COLUMNAS Para el cálculo de las columnas debemos comenzar con el análisis de las solicitaciones, estas solicitaciones definirán si nuestra columna es de esquina, de borde o interior, a su vez debemos calcular las rigideces de cada una de ellas en cada plano de análisis para determinar si la columna es corta o esbelta. Clasificación de las columnas según su tipología, en columnas de Esquina (Momentos en dos direcciones -Flexión Oblicua-), de Borde (Momento en una dirección –Flexión Simple-) e Interna (Sin momentos). C001 (20x20)
C003 (Ø25)
C002 (Ø25)
C004 (20x20)
Columna Interna L001 10
L003 14
L002 10 C006 (Ø25)
C005 (20x20)
C007 (20x20)
Columna de Borde L004 10
C008 (20x20)
L005 14 Columna de Borde C009 (Ø25)
Columna de Esquina C011 (20x20)
Columna Interna C010 (Ø25)
Para determinar las rigideces tomamos las siguientes sigui entes consideraciones:
Vigas 20x35 3
Cálculo de momentos en cabeza y pie de columnas
0 5 . 2
Vigas 20x30 3
6 , 0
Este esquema es el que usaremos en el cálculo de todas las columnas.
0 7 . 2
Una vez calculados los momentos sobre las vigas ( M 2 ) provenientes de las cargas, estos deben distribuirse a las columnas para mantener el equilibrio del nudo, por lo tanto esta distribución se hace mediante: M 3
Encadenado Inf. 20x20
=
M 2 ×
cs
+ ci
1 + cs
+ ci
Momento transferido a
la columna Este valor de momento M3 es el valor de momento que debe distribuirse entre las columnas concurrentes al nudo, y esta distribución se hace mediante:
M s
=
M i
=
M 3 × M 3 ×
ci cs
Momento en la cabeza de la columna inferior
+ ci
csi cs
Momento en el pie de la columna superior
+ ci
c : coeficiente de distribución de momentos, que tiene en cuenta la rigideces de las vigas y columnas que concurren al nudo analizado. Este coeficiente de distribución se calcula mediante las siguientes fórmulas: cs
=
lv × I s
ci
hs × I v
=
lv × I i hi × I v
Is M3 Iv
Ms Mi
Ii
M2
Rigidez y estabilidad del conjunto
La longitud de pandeo de cada columna de un edificio depende del grado de rigidez de la totalidad de la estructura que lo compone. Existen dos grandes grupos de edificios: sistemas indesplazables. sistemas desplazables. El CIRSOC201-2005, indica que se puede suponer que los nudos extremos de una columna son indesplazables cuando los momentos de primer orden en los extremos de la misma experimentan un incremento menor o igual al 5% al considerar los efectos de segundo orden. Dado que esta verificación es bastante laboriosa de efectuar, propone la siguiente expresión aproximada cuya verificación permite suponer que un entrepiso de una estructura es indesplazable: Q
Donde:
Q:
=
ΣPu × ∆ 0
(Vus × lc )
≤
0,05
índice de estabilidad ΣPu : carga vertical total mayorada ∆o : desplazamiento relativo de primer orden entre la parte superior e inferior del entrepiso debido a Vus . Vus : esfuerzo de corte horizontal total a nivel del piso considerado lc : longitud del elemento comprimido en estudio medida entre los ejes de los nudos de pórtico
Esbeltez de las columnas
En piezas comprimidas es necesario verificar la seguridad al pandeo de las mismas, este efecto de segundo orden es mayor cuando la pieza es más esbelta. Se realiza los cálculos en cada dirección. λ =
k × l
=
r
le I A
Donde: λ: grado de esbeltez de la columna k: factor de longitud efectiva l: longitud de pandeo le: longitud efectiva r: radio de giro de la sección A: área de la sección I: momento de inercia de la sección La longitud efectiva es función de la rigidez relativa ψ en cada extremo del elemento comprimido, además de si el pórtico es desplazable o indesplazable: ψ =
(
Σ EI
(
lc )(columnas )
Σ EI
lv )(vigas )
se calcula en cada extremo de la columna y la sumatorias se extienden sobre los elementos que concurren a ese extremo que actúan en el plano en el que se analiza el pandeo. lv: es la longitud de cada una de las vigas que concurren al nudo tomadas entre ejes de apoyo. Ψ:
En estructuras construidas con una única calidad de hormigón los módulos de elasticidad E se simplifican y desaparecen. La rigidez EI debe calcularse con base a E = 4700 × f ´c , y respecto al momento de inercia I ; para tener en cuenta la fisuración; el reglamento indica que, en forma simplificada, se utilicen las siguientes propiedades: I vigas 0,35 Ig I columnas 0,70 Ig →
→
(Ig es el momento de inercia de la sección bruta de hormigón) Entonces, introduciendo la simplificación anterior y suponiendo un único hormigón, la ecuación anterior se reduce a la siguiente:
ψ A
=
ψ B
2×
=
Σ ( Ig
2×
Coeficiente de rigidez relativa en la cabeza de la columna analizada
lc )( columnas )
Σ ( Ig Σ ( Ig
lv )( vigas ) lc )( columnas )
Σ ( Ig
lv )( vigas )
k = 0,7 + 0,05 × (ψ A +ψ B ) k = 0,85 + ( 0,05 ×ψ mín )
≤1
Coeficiente de rigidez relativa en la pie de la columna analizada Factor de reducción de la longitud no sustentada o longitud libre de entrepiso
Donde ψ mín es el menor valor entre ψ A y ψ B
Calculo de la esbeltez límite:
λ lím λ =
= 34 − 12 ×
k ×l r
=
M 1
Esbeltez limite
M 2 le
Esbeltez de la columna analizada
I A
λ ≤ λ lím y λ ≤ 40 , si se comprueban estas dos relaciones estamos frente a una columna corta y por lo tanto no se consideran los efectos de la esbeltez. Disposiciones generales para todos los tipos de columnas Para las columnas Cuadradas Armadura mínima: Armadura máxima:
Ast Ast
≥ 0, 01× ≤
Ag
=
0, 08 × Ag
0, 01× 400 cm 2
= 4 cm
= 0, 08 × 400 = 32 cm
2
2
Aparte del cálculo de armadura mínima, se establece como mínimo 4 db12mm. Para las columnas Circulares Armadura mínima: Armadura máxima:
Ast Ast
≥ 0, 01× ≤
Ag
=
0, 08 × Ag
0, 01× 500 cm 2
= 5cm
= 0, 08 × 500 = 40 cm
2
2
Aparte del cálculo de armadura mínima, según la Norma CIRSOC 201, se establece que como mínimo 6 db12mm. Estribos mínimos: Se especifica que todas las barras estén restringidas con una
rama de estribo, a menos que esté ubicada a una distancia ≤ 15dbe de otra arriostrada. La separación entre estribos debe ser: s≤
12xdb 48xdbe b
Donde: db: diámetro de la barra longitudinal. dbe: diámetro del estribo. b: lado menor de la columna.
Diseño por resistencia a flexo-compresión de columnas cortas En las columnas cortas la resistencia depende solo de la resistencia de los materiales y de la geometría de la sección transversal. Los efectos de segundo orden pueden ser despreciados. Compresión axial
La compresión última a compresión del hormigón es ε cu
=
acero, en general, está en período de fluencia, ya que ε y
0,003 , para la cual el
=
f y E s
=
420 200000
=
0,002
Entonces para la deformación última de 0,003, igual para ambos materiales, la resistencia nominal es: Pn = 0,85 × f `c × Ac + fy × Ast = 0,85 × ( Ag − Ast ) + fy × Ast
Donde:
Ag: área bruta de hormigón Ast : área total de armadura
Luego la resistencia nominal debe afectarse por el coeficiente de minoración de resistencia: φ × Pn( máx) ≥ Pu Donde: Pu: es el esfuerzo normal último obtenido de las cargas mayoradas. φ = 0,65 para columnas con estribos. φ = 0,60 para columnas zunchadas. El código CIRSOC 201 establece una limitación adicional en la resistencia de columnas, para tener en cuenta excentricidades accidentales de las cargas no tratadas en el análisis. Se especifica: φ × Pn( máx)
=
0,80 × φ × (0,85 × f `c × ( Ag
)
− Ast +
fy × Ast )
Pn( máx ) Ast =
− (0,85 × f ' c × Ag ) 0,80 (−0,85 × f `c + fy )
Flexo-compresión recta
En edificios es frecuente encontrar elementos cargados axialmente cargados axialmente acompañados de flexión recta u oblicua, debido al aporticamiento de vigas con columnas (construcción monolítica) para resistir acciones verticales gravitacionales y horizontales. La condición de resistencia en este caso es: φ × Mn ≥ Mu φ × Pn ≥ Pu El factor de reducción de resistencia dependerá de la deformación de la armadura más traccionada (o menos comprimida) ε s 4
Como ayuda para el diseño se utilizan los diagramas de interacción. Éstos son gráficos de interacción de resistencia m, n que permiten realizar un dimensionamiento directo. Dada una forma de sección (cuadrada, circular, etc.), una disposición de armadura (distribuida uniformemente, concentrada en los extremos, simétrica o asimétrica), tipo de materiales y recubrimiento, se puede construir una curva, para cada cuantía de armadura ρ g
=
Ast Ag
, que representa las cantidades adimensionales: m=
Mn Ag
× h × fc´
Pn × e
=
Ag
×h×
fc´
n=
Pn Ag
× fc´
Curva típica (Libro Hormigón Armado de Oscar Möller, pág. 158):
Ejemplos de Aplicación Para comenzar con los cálculos de una columna debe seguirse: •
Predimensionar la columna, se puede estimar con Ag mínima como se explicó anteriormente.
Análisis de Cargas • Calcular los momentos provenientes de las vigas, para esto corresponde considerarse empotrados los apoyos de las vigas en la columna respectiva. Las solicitaciones se deben calcular con las cargas PD por un lado y las P L por el otro. Luego se obtienen las solicitaciones, en la cabeza y el pie de la • columna. Se calcula el peso propio de la columna. • Debe tenerse en cuenta q hay q aplicar el polinomio de mayoración de cargas solamente a este último calculo obtenido. •
Luego del análisis de cargas se clasifican las columnas según la tipología de sus cargas: Internas, cuando no tiene momentos aplicados. De borde, cuando en uno de sus planos de la columna existe momento. O de esquina, cuando en ambos planos la columna esta solicitada por momentos.
Lo que sigue es verificar en cada plano la seguridad al pandeo de las piezas comprimidas:
Plano x-x viga1
viga2
columna 1
viga 1
viga 2
h(mts) 0,5
h(mts) 0,5
columna 2 b(mts) plano analizado
Tener en cuenta las dimensiones de la columna en el plano q estemos trabajando, "h"(altura) se debe medir en forma perpendicular al eje en que estemos trabajando y "b"(base) en el mismo sentido del eje.
b(mts) 0,2
0,2
long V1(mts) 3,4
long V2(mts) 6,7
columna 1
columna 2
h(mts) 0,2
ESQUEMA DEL PLANO EN Q EST AMOS TRABAJANDO
Ø (mts) 0,3
viga
columna
viga
b(mts) 0,2
vista en planta b
long C1(mts) 2,5
long C2(mts)
Se calcula el ψa con los datos referidos a las columnas y vigas que llegan a la cabeza de la columna. Ψb se calcula con los datos referidos a las columnas y vigas que llegan al pie de la columna. Se hace esto en cada plano.
4 CALCULO DE "k"
INERCIAS VIGA 1 0,002083 VIGA 2 0,002083 COLUMNA 1 0,000133 COLUMNA 2 0,000398
I c
Ψ = 2×
∑l
c
I v
∑l
v
=
0,331
ψa ψb
0,115 0,331
k = 0.70 + 0.05 × (Ψ A + Ψ B ) ≤ 1
0,722
k = 0.85 + 0.05× Ψ min
0,856
Se adopta el menor de los 2= 0,722
Plano y-y viga1
viga2
columna 1
viga 1
viga 2
h(mts) 0,3
h(mts) 0,3
columna 2 b(mts) plano analizado
Tener en cuenta las dimensiones de la columna en el plano q estemos trabajando, "h"(altura) se debe medir en forma perpendicular al eje en que estemos trabajando y "b"(base) en el mismo sentido del eje.
b(mts) 0,2
0,2
long V1(mts) 3,8
long V2(mts) 3,9
columna 1
columna 2
h(mts) 0,2
ESQUEMA DEL PLANO EN Q ESTAMOS TRABAJANDO
Ø (mts) 0,3
viga
columna
viga
b(mts) 0,2
vista en planta b
long C1(mts) 2,5
long C2(mts)
Se calcula el ψa con los datos referidos a las columnas y vigas que llegan a la cabeza de la columna. Ψb se calcula con los datos referidos a las columnas y vigas que llegan al pie de la columna. Se hace esto en cada plano.
4 CALCULO DE "k"
INERCIAS VIGA 1 0,000450 VIGA 2 0,000450 COLUMNA 1 0,000133 COLUMNA 2 0,000398
I c
Ψ = 2×
∑l
c
I v
∑l
v
=
1,307
ψa ψb
0,115 1,307
k = 0.70 + 0.05 × (Ψ A + Ψ B ) ≤ 1
0,771
k = 0.85 + 0.05× Ψ min
0,856
Se adopta el menor de los 2= 0,771
Calculo de la esbeltez límite:
Plano x-x
Esbeltez límite: λ lim
=
34 − 12 ×
M 1
=
34 − 12 ×
M 2
Esbeltez de la columna analizada: λ =
k × l
0.00
=
0.00 le
=
r
=
34
0.722 × 2.50
I
0.00013
A
0.04
=
31.28
λ < λ lim y λ < 40 → Por lo que estamos frente a una columna corta. Plano y-y
Esbeltez límite: λ lim
=
34 − 12 ×
M 1
=
34 − 12 ×
M 2
Esbeltez de la columna analizada: λ =
k × l
0.00
=
0.00 le
=
r
=
34
0.771 × 2.50
I
0.000133
A
0.04
=
33.43
λ < λ lim y λ < 40 → Por lo que estamos frente a una columna corta. Por lo tanto no se consideran los efectos de esbeltez en ningún plano de la columna. En este caso como analizamos columnas cortas, las cargas son mayoradas y n o estan separadas en permanentes y vivas. Consideración que si se requiere para el cálculo de columnas esbeltas. Columna interna
De un análisis anterior con un programa de cálculo se obtuvo el valor de la carga de la columna, que es: Pn( máx )
=
Pu
φ Pn( máx )
Ast
=
=
0,4128MN
=
0,65 − ( 0,85 × f
0,635MN
MN 2 × 0, 04 m 2 2 m 0,80 × 10.000cm = −1,41cm2 MN MN m2 ( −0,85 × 25 2 + 420 2 ) m m
0,635MN
' c × Ag )
0,80 ( −0,85 × f `c + fy )
=
− 0,85 × 25
Este valor negativo nos está indicando que la columna resiste la carga exterior solo con el hormigón, por lo tanto adoptamos la armadura mínima reglamentaria, para una columna cuadrada de 20cm x 20cm. Adoptamos: 4 barras db=12mm y estribos de dbe=6mm cada 14cm. Columna de Borde
Se hace la verificación de esbeltez como en la columna anterior. Resulta columna corta. Los valores de solicitaciones se obtuvieron de un programa de cálculo.
Mn ≥ Pn ≥
m=
n=
Mu
ϕ Pu
0,02933 MNm
=
0,65 0,16318MN
=
=
ϕ
0,65
φ × Mn
=
Ag × h
φ × Pn
=
Ag
=
0,045MNm
0,251MN
0,02933MNm 0, 04 m2 × 0, 20 m
0,16318MN 0,04 m
=
2
= 3,67
4,1
γ = 0, 7
Ingresando en los diagramas de interacción, el valor de cuantía hallado es ρ = 0,021 Por lo tanto:
ρ =
Ast Ag
=
0, 021 → Ast = 8, 4cm2
Adoptamos: 8 barras db=12mm y estribos de dbe=6mm cada 14cm. Las barras deben estar restringidas con una rama de estribo, a menos que esté ubicada a una distancia ≤ 15dbe de otra arriostrada (esto esta establecido por el reglamento). Por lo que se realiza la verificación: x ≤ 15 × dbe = 15 × 0.6cm = 9 cm
x max = x max =
b − 2 × Cc − 2 × dbe − 2 × db
2
N º barras
20cm − 4cm − 2 × 0.6cm − 1.2 cm 3
=
4.53cm
< 15dbe
Se verifica que las barras no arriostradas se encuentran a una distancia menor a 9cm.
