BAB IV
VIBRASI KRISTAL
MATERI : Getaran (Vibr bra asi) Kristal • 4.1 4.1.pe .pers rsam amaan aan di dispe spers rsii untu untuk k kr krist istal al berbasis satu atom. • 4. 4.2. 2.ke kece cepa pata tan n ke kelo lomp mpok ok (group velocity) • 4.3 per persa sama maan an di dispe spers rsii untu untuk k kr krist istal al berbasis dua atom. • 4.4.cabang optik • 4. 4.5. 5.ca cab ban ang g ak akus usttik ik..
INDIKATOR • menen menentuk tukan an pe pers rsam amaan aan dis dispe pers rsii unt untuk uk kristal berbasis satu atom. • me mengh nghitu itung ng kec kecep epata atan n ke kelom lompo pok k unt untuk uk . • menen menentuk tukan an fre frekue kuensi nsi/en /ener ergi gi untu untuk k caba cabang ng optik. • menen menentuk tukan an fr freku ekuens ensii /en /ener ergi gi unt untuk uk cabang akustik.
TIK : Menentukan frequensi Gelombang elastik dalam bentuk (sebagai fungsi ) Vektor gelombang gelombang (k) , Atau dapat dinyatakan dinyatakan : W = f (k )
VIBRASI KRISTAL
Gelombang Elastik dan PHONON
MONOATOMI K
DIATOMIK
Getaran atom dapat disebabkan oleh : Zat padat yang menyerap energi panas. Gelombang yang merambat pada kristal.
Dari bab sebelumnya,telah dibahas bahwa kristal tersusun oleh atom atom yang diam pada posisi di titik kisi. Sesungguhnya atom-atom tersebut tidaklah diam, tetapi bergetar pada posisi kesetimbangnya.
digunakan dan dibandingkan dengan jarak antar atom dalam kristal,dapat dibedakan menjadi : - pendekatan gelombang pendek - pendekatan gelombang panjang
Disebut pendekatan gelombang pendek apabila : • Apabila panjang gelombang yang digunakan memiliki panjang gelombang yang lebih kecil dari jarak antar atom. “melihat” bahwa kristal merupakan susunan atom atom diskret, sehingga pendekatan ini sering disebut pendekatan kisi diskret.
• Sebaliknya , bila diapakai gelombang yang panjang, gelombangnya lebih besar dari jarak antar atom,kisi akan “nampak” malar perambatan gelombang. Oleh karena itu, pendekatan ini sering disebut sebagai pendekatan kisi malar.
GELOMBANG ELASTIK
Gelombang mekanik
regangan pada batang :
dx
.............................(1)
tegangan σ yang memenuhi hukum Hooke sebagai berikut:
E
.....................................................(2)
menurut hukum kedua Newton, tegangan yang bekerja pada elemen batang dx menghasilkan gaya sebesar : ......................................(3) F A { (x dx) - (x)}
2u A{ ( x dx ) ( x )} Adx 2 t dx x E dx
……………………. (4)
dx
du E dx x dx d 2 u 2 x dx
…………………….
Substitusikan persamaan (5) ke persamaan (4), sehingga diperoleh :
2u 2u Adx 2 E 2 dx. A t x
2u 2 u 2 2 E x t
……………………. (6)
Fonon Fonon adalah fenomena yang muncul dari kuantisasi sistem Fisika. Fonon dapat ditemui dalam sistem kristal. Jadi, Fonon adalah partikel yang terdapat dalam gelombang elastik.
Contoh : nitrogen vacancy center (NV Center) in diamond, konfigurasi elektron nya membentuk energi level 'ground state' dan 'excited state' yang perbedaan energinya sebesar 637 Nm.
Persamaan Gerak
MONOATOMIK
Grafik
Kecepatan Group
GETARAN KRISTAL YANG BERBASIS SATU ATOM (MONOATOMIK) Pembahasan ini kita mulai dengan kasus yang paling sederhana yaitu kasus yang melibatkan getaran kristal akibat adanya gelombang elastis yang merambat dalam arah 100;110;111 [1 1 1]
[ 1 1 0] [1 0 0]
Untuk setiap vektor gelombang k terdapat 3 model getaran, yaitu :1 buah longitudinal 2 buah transversal.
Y
ARAH RAMBAT (SB.X) US (ARAH SIMPANGAN)
X Z
1 Buah Gelombang Longitudinal
Simpangan
X
Z
Arah Rambat
Simpangan
2 Buah Gelombang Transversal
s
Jadi : Fs c U s 1 U s c U s 1 U s
Fs c U s 1 U s-1 - 2Us ersamaan gera
ang r s a
Hukum Newton :
.............. (1)
esa aa :
F ma
Hukum Hooke: F c.x Dari
kedua
persamaan
di atas diperoleh
m a c. x m
d 2 Us dt 2
c(U s 1 U s -1 - 2Us)
..............(2)
:
Solusi dari persamaan gerak ini tergantung pada waktu (t), dinyatakan oleh : U e i t s Karena persamaan (2) merupakan turunan hanya terhadap waktu, maka : d2U dt
2 d s e i t ω 2 e - i t dt US
Jadi : d 2 Us dt2
ω2 Us
Sehingga, persamaan (2) dapat ditulis :
ω 2 mU c U s
s 1
U
s 1
2U
s
Solusi : U e i t dapat ditulis sebagai berikut : s
- i t
- i2π t
s
U e ikx e iksa s
-i
2π λ
t
Secara lengkap, Us dapat ditulis sebagai berikut :
Us Ue iksa
Karena itu : U U
s 1 s 1
U.e
ik(s 1)a
U.e iksa .e ika
U e ika .......... .......... .......... .......... ... ( 5 ) s
Persamaan (5) dan (3) dapat ditulis :
ω 2 mU
s
c (U e ika U e ika 2U s
s
ω 2 m c (e ika e ika 2) .......... ......... (6) Karena :
e i θ cos θ i sin θ maka
: e ika e ika 2cos
ka
s
)
Sehingga persamaan (6) menjadi : ω2m c 2 cos ka 2 ω2
2c
ω
2c
m
m
1 cos
ka 1
1 cos ka
2
…………(7)
2c 1 2 2 ω 2sin ka m 2 ω 2
c m
sin
1 2 A
ka
…………..(8)
Persamaan (8)
Persamaan dispersi
Menyatakan hubungan antara frekuensi sudut ω terhadap vektor gelombang k
ω f ( k )
Persamaan (8) merupakan Persamaan Dispersi. Persamaan (8) menyatakan hubungan antara frekuensi sudut (ω) terhadap ve ktor gelombang (k). ω = f(k) Bila dinyatakan dengan grafik
Daerah Brillovin I
Sin π/2 = sin 90o → max = 1 Sin Sin
/2 2 /3 2
= sin 45o = ½ √2 = sin 30o = ½
Bila dinyatakan dengan grafik, maka:
.
KECEPATAN GROUP /KECEPATAN KELOMPOK (Vg)
dω
v g dk
Gradien atau arah
d c 1 2 sin ka dk m 2
2
c a m2
cos
ka 2
………………(9)
2π
Pada saat ka =
λ
a π λ 2a
π
c
v a cos 0 g m 2 Artinya tidak ada gradien /kemiringan Pada saat ka
π
2π
2
λ
c
a
π 2
λ 4a
π
c
v a cos 0,74a g m 4 m Artinya ada gradien /kemiringan
Persamaan Gerak
diATOMIK
Grafik
Kecepatan Group
VIBRASI KRISTAL DIATOMIK
.
.
Untuk m1 → m1
2
d U s 2
dt
= c {( Vs- Us)+( Vs-1-Us)
2 m1 d U s = c { Vs + Vs-1 - 2 Us}.........(1)
dt 2
Untuk d 2U s m2 → m2 = c {( Us+1- Vs)+( Us-Vs) 2 m2
dt 2 d U s 2
dt
= c { Us+1 + Us - 2 Vs}.........(2)
PERSAMAAN GERAK a
M 1
M 2
M 1
d2U 1
1
Untuk
m
1
2
dt
m
2
dt 2
s 1
s
s cV V 2U s s 1 s 2
m d2V
s
dt 2
2 d U m
s
M 2
d2V 2
dt 2
s c U
s c U
s 1
s1
V
U 2V s
s
s
s
.................... (1)
U s V s
............................ (2)
Solusinya : U
s
Ue
i ksa
dU
ωt
dt
s U i(- ω( e i ksa ωt
d2U dt
V Ve s U
s 1
s U ω 2 e i ksa ωt
i ksa ωt
i ksa ωt ika Ue e
V Ve s 1
e
.............. (3)
a
Persamaan (3) disubstitusikan ke persamaan (1) diperoleh : i ksa ωt i ksa ωt i ksa ωt i ksa ωt 2 m Uω e cVe Ve 2Ue 1
1 e - ika 2cU .............................. (4) m ω 2 U cV 1
m ω 2 V cU 1 e ika - 2cV ................................... (5) 2
Determinan dari persamaan (4) dan (5) 2c m1ω 2
( c)(1 eika ) U
( c)(1 e )
2c-m2ω2
2c m1ω 2
(c)(1 e ika )
ika
(c)(1 e ika )
2c-m2ω2
0
V
=0
{(2c m1ω 2 )(2c m 2 ω 2 )} - {( c)(1 e ika ) ( c)(1 e ika )} 0 (m1m2)ω4-{2c(m1+m2)}ω2-c2(2+ eika+ e-ika)=0 (m1m2)ω4-{2c(m1+m2)}ω2+2c2(1- cos ka)=0 Rumus abc: 2 2 2c(m m ) {2c(m m )} 4(m m )(2c )(1 cos ka) 1 2 1 2 1 2 (12)2 = 2(m1 m 2 )
Persamaan cabang optik (gelombang elektromagnetik)
(ω1)2
=c(
1 m1
1 m2
)+c (
1 m1
1 m2
)2
4 m1 m2
sin 2 (
ka 2
)
Persamaan cabang akustik (bunyi)
(ω1
)2
=c(
1 m1
1 m2
)-c (
1 m1
1 m2
)2
4 m1 m2
sin 2 (
ka 2
)
2c
Bila m1‹ m2 →
m1
›
2c m2
ωop={2c()}1/2
Cabang optik √(2c/m1)
Daerah terlarang(tidak ada energi yang dilalui)
√(2c/m2) Cabang akustik
-π/2a
-π/a
Bila m1 › m2 →
2c m1
‹
0
π/2a
2c m2
Yang terjadi adalah tidak ada celah terlarang yang artinya untuk setiap energi selalu menghasilkan getaran
π/a
Grafik ω terhadap k pada vibrasi kristal diatomik Cabang optik
ωop={2c()}1/2
√(2c/m1)
√(2c/m2)
Daerah terlarang(tidak ada energi yang dilalui)
Cabang akustik
-π/a
-π/2a
0
π/2a
k π/a
Bila m1 › m2 maka Yang terjadi adalah tidak ada celah terlarang yang artinya untuk setiap energi selalu menghasilkan getaran.
ω untuk vibrasi kristal diatomik 2
1 1 1 1 4 2 ka ( 1,2) C C sin 2 1 2 m1 m2 m1 m2 mm 2
Untuk cabang optik
1 C
1
1
1
1
2
2
1 2
2
cos ka C m1 m2 m1 m2 mm mm 1 2 1 2
Untuk cabang akustik
2 1 1 1 1 2 2 2 C C cos ka m1 m2 m1 m2 mm mm 1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
KECEPATAN GROUP Untuk cabang optik
1 Vg 1 k 1
2 2 1 1 1 1 2 2 V C C cos ka m1 m2 m1 m2 m1m2 m1m2 12 1 2 2 1 1 a 2 2 1 1 Vg1 Csin ka C C cos ka 2mm mm 1 2 1 2 1 2 m1 m2 m1 m2 mm 1 2
1
1 1 2 2 coska mm m1 m2 mm 1 2 1 2 2
2
Untuk cabang akustik Vg 2
2 k
2 1 1 1 2 2 1 Vg 2 C cos ka C m1 m2 m1 m2 m1m2 m1m2 k
1
2
1
2
1 2 1 1 1 1 2 2 C m m C m m m m m m cos ka 2 2 1 2 1 2 aC sin ka 1 1 Vg 2 2 2m1m2 1 1 2 2 cos ka m1 m2 m1m2 m1m2
2
ANIMASI PHONON
LATIHAN SOAL : 1.Jelaskan persamaan dispersi untuk kristal berbasis satu dan dua atom. 2.Hitung kecepatan kelompok untuk sebuah gelombang pada kristal monoatomik dan diatomik. 3.Tentukan frekuensi/energi untuk cabang optik. 4.Tentukan frekuensi /energi untuk cabang akustik.
Latihan soal 1.Sebuah gelombang elastis merambat didalam krital monoatomik satu dimensi dengan konstanta kisi sebesar 2 A 0. Tentukan : a. w (k) dan kecepatan group (v g ) pada energi : 1 eV dan 0,8.10-18 Joule b. Batas nilai k dan panjang gelombang ( λ )max yang membatasi daerah Brillouin-I c. Buatlah grafik sebagai fungsi (k), untuk kasus diatas.
Latihan soal : 2.a.Jelaskan tentang konsep vibrasi kristal, b.Jelaskan 4(empat) karakteristik dari kristal monoatomik c.Jelaskan 4(empat) karakteristik dari kristal di atomik. 3. Turunkan kecepatan group untuk kristal di atomik untuk cabang a. optik b. akustik
Test Unit I : Selasa : 7 April 2009 Materi : Bab I – III Test Unit II : Materi : Bab IV- VI Test Unit III : Di jadwal Tentamen Materi : Bab : VII - X
