4SEMINARIO

CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2010-I

GEOMETRÍA ÁREAS DE REGIONES POLIGONALES, TRIANGULARES Y CUADRANGULARES

01. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. A toda región poligonal corresponde un único número real positivo, denominado área de la región poligonal. II. El área de una región cuadrada, cuyo lado tiene longitud A , es igual a A2 . III. Si dos triángulos son congruentes, entonces las regiones triangulares determinadas por ellas, tienen la misma área. A) VVV B) FFF C) VVF D) FFV E) VFV 02. Indicar el valor de verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: I. Si una región poligonal es la unión de dos regiones poligonales, entonces su área es la suma de las áreas de dichas regiones. II. Si dos regiones triangulares son equivalentes, entonces sus triángulos correspondientes son congruentes. III. A toda región poligonal le corresponde un número no negativo único. A) FFV B) FVV C) VVV D) VFF E) FFF 03. Demuestre que el área de una región rectangular es igual al producto de la base por su altura. 04. Calcule el área de una región pentagonal convexa ABCDE, sabiendo que BD = 6 u, AB = BC, CD = DE, los ángulos ABC y CDE son rectos. CEPRE-UNI

SEMINARIO Nº 04

A) 12 D) 20

B) 16 E) 24

C) 18

05. En la figura, ABCD es un cuadrado y BE + ED = 6 2 u . Halle el área (en u2) de la región cuadrangular ABED. B

C E

A

A) 18 D) 24

D

B) 20 E) 26

C) 22

06. En un rectángulo ABCD, P y Q son puntos de BC y AD , tal que PQ contiene al punto de intersección de las diagonales y el triángulo APQ es equilátero. Si BC = 9 u, entonces el área de la región rectangular ABCD (en u2) es B) 54 C) 27 5 A) 27 3 E) 27 8 D) 27 6 07. En un cuadrado ABCD, se prolonga los lados opuestos AB y CD en los puntos M y N respectivamente, tal que BM = 3 u y DN = 4 u. Si MN = 13 u, halle el área (en u2) de la región cuadrada. A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 25 08. En un cuadrado ABCD, la longitud de su lado es 10 cm; P, Q, R y S son los puntos medios de AB , BC, CD y AD . Si PC interseca a BS en M, PC interseca a DQ en N, AR interseca a DQ en T y AR interseca a BS en W, halle el área de la región MNTW (en cm2). GEOMETRÍA

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A) 16 D) 22

B) 18 E) 24

C) 20

09. En la figura, ABCD es un cuadrado cuyo centro es O. Si la longitud de su lado es 6 u, calcule el área de la región sombreada (en u2). B

C

O

A

A) 6 D) 12

D

B) 8 E) 18

C) 9

10. Si los lados de un triángulo miden en 3 m, 7 m y 10 m. Halle la longitud de la menor altura (en m). 200 101 210 A) B) C) 10 10 10 201 2 210 E) D) 9 11 11. Los lados de un triángulo miden 13 u, 14 u y 15 u. Hallar el radio de la circunferencia circunscrita. 65 65 65 A) B) C) 18 14 12 65 65 D) E) 9 8 12. Hallar el área de un triángulo equilátero en función del inradio r. 3 3 3r 2 B) C) 3r 2 A) 3r 2 4 2 2 D) 2 3r E) 3 3r 2 13. Hallar el área de una región triangular en función de sus exradios ra, rb y rc, y del inradio r. CEPRE-UNI

SEMINARIO Nº 04

A) r rarbrc

B) ra rbrcr C) rb rarcr

D) r 2rrarb

E)

rarbrcr

14. Los lados de un triángulo, ABC, miden a, b, c; su altura BH mide 16 u. Si se cumple que a + c = 3 b, encontrar el inradio de dicho triángulo (en u). A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 15. En un triángulo ABC, AB = 3 u, BC = 6 u y AC = 5 u, el punto E es el excentro relativo a BC . Hallar el área de la región del cuadrilátero ABEC (en u2). B) 2 14 C) 3 14 A) 14 D) 5 14 E) 8 14 16. En un triángulo ABC, m∠BAC = 53 . Si r y ra son los valores del inradio y del exradio relativo al lado BC , entonces el área de la región triangular es A) r . ra B) 2r . ra C) 3r . ra r . ra 3 E) r . ra D) 2 2 17. Si los lados de un triángulo son a, b y c, entonces el producto del radio de la circunferencia circunscrita por el radio de la circunferencia inscrita, en función de a, b y c es abc 2abc B) A) a+b−c a+b+c abc abc C) D) 3 (a + b + c ) 2 (a + b + c ) 2abc E) 3 (a + b + c ) 18. En un triángulo ABC, se ubica el punto interior F, tal que FD es AB FE perpendicular a y perpendicular a BC . Si (AB) (BC) = 150 cm2, AC = 12 cm, DE = 4 cm y GEOMETRÍA

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BF = 6 m, entonces el área de la región triangular ABC (en cm2) es A) 40 B) 44 C) 48 D) 50 E) 56 19. En un triángulo ABC, se trazan la mediana CM y la bisectriz BD . Si BD ∩ CM = {0} , AB = 13 u, BC = 15 u y AC = 14 u, entonces el área (en u2) de la región triangular BOM es 546 546 84 B) C) A) 13 43 43 536 506 D) E) 13 57 20. En una región triangular de perímetro 30 u y área 110 u2, calcule la longitud del exradio relativo al lado que mide 4 u. A) 8,0 B) 8,75 C) 9,0 D) 9,5 E) 10,0 21. En un triángulo ABC, AB = BC, el punto F pertenece a AC y la circunferencia exinscrita del triángulo ABF es relativa al lado AF , que es congruente con la circunferencia inscrita en el triángulo FBC. Si la longitud del radio es igual a r, entonces la altura AH del triángulo ABC es A) 2r B) 3r C) 4r D) 5r E) 6r 22. En un triángulo rectángulo ABC, I es el incentro y E es el excentro relativo al cateto BC . La circunferencia inscrita en el triángulo es tangente a los lados AB y AC en los puntos M y N respectivamente. Si el área de la región triangular, MBE mide 56 u2, entonces el área (en u2) de la región triangular INC es A) 28 B) 36 C) 56 D) 58 E) 63 CEPRE-UNI

SEMINARIO Nº 04

p y AO p son semicircunferencias tal 23. AB que O es el punto medio de AB ; la p en M. cuerda AQ intersecta a AO Sea H en OB tal que m∠BHQ = 90 . Si (AM) (MH) (QH) = 120 u3 y AB = 10 u, entonces el área de la región triangular MQH (es u2) es A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 24

24. Demuestre que en todo triángulo rectángulo, el área de su región es igual al producto del inradio con el exradio mayor e igual al producto de los exradios relativos a los catetos. 25. En un triángulo ABC, inscrito en una circunferencia, el producto de longitudes de las 3 alturas relativas es 80 cm3 y el circunradio mide 5 cm. Calcule el área (en cm2) de la región triangular ABC. B) 6 5 C) 7 2 A) 5 2 E) 10 2 D) 8 3 26. Los lados de un triángulo ABC, miden AB = 12 u, BC = 14 u y AC = 10 u. Si I es el incentro, calcular el área de la región triangular AIC (en u2). 20 6 10 6 A) B) C) 5 6 3 3 E) 10 6 D) 20 6 27. En un triángulo ABC, AB = c, BC = a, AC = b. Si R es el circunradio y r el inradio del triángulo. Calcule rR. abc abc B) A) 2 (a + b + c ) a+b+c 2abc a+b+c C) D) a+b+c abc 2 (a + b + c ) E) abc

GEOMETRÍA

-3-


RELACIÓN DE ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES Y CUADRANGULARES 28. En un triángulo ABC, se inscribe el paralelogramo AEFH, E en AB , F en BC y H en AC . Si el área de las regiones triangulares EBF y HFC miden 25 u2 y 16 u2 respectivamente, entonces el área del paralelogramo (en u2) es A) 26 B) 30 C) 36 D) 40 E) 44 29. En la figura mostrada el área de la región triangular BOF = 9 m2, el área de la región triangular AOD = 16 m2, entonces el área del paralelogramo ABCD (en m2) es F

B

C

O D

A

A) 18 D) 50

B) 20 E) 56

C) 25

30. En un paralelogramo ABCD, se ubica el punto medio P del lado BC ; los segmentos AP y BD se intersectan en Q. Entonces, la relación entre las áreas de la región triangular QCD y la región paralelográmica ABCD es A) 1 : 6 B) 1 : 5 C) 1 : 4 D) 1 : 3 E) 1 : 2 31. En un paralelogramo ABCD, se ubica M en AB , tal que AM ≅ MB . Si BD ∩ CM = {O} , AD = 10 u y la altura BH del paralelogramo ABCD mide 6 u, calcule el área (en u2) de la región trapezoidal AOCD. A) 20 B) 28 C) 30 D) 40 E) 42 CEPRE-UNI

SEMINARIO Nº 04

32. En un paralelogramo ABCD, se ubican los puntos medios F y E en los lados AB y BC respectivamente. Luego CF ∩ AE = {G}, ED ∩ CF = {H} . Si el área de la región limitada por ABCD es S, entonces el área de la región triangular GEH es S S S B) C) A) 60 50 40 S S D) E) 30 20 33. En un cuadrado ABCD, se ubican los puntos T, P en BC y en la prolongación de AD, respectivamente,

tal que CD ∩ TP = {Q} . Si SΔABT = 5 cm2, SΔTCQ = 4 cm2 y CD = DP, entonces SΔCQP (en cm2) es A) 5 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10 34. Encontrar el área (en u2) de la región triangular ACD, en función de las áreas de las regiones triangulares ABC y ADE. SΔABC = 4u2, SΔADE = 6 u2. E

D

A

A) 6 D) 4 6

α α α

B) 2 6 E) 5 6

C B

C) 3 6

35. Dado el triángulo ABC, en AB se ubican los puntos P y R respectivamente, de manera que AR = RB, AP < BP. En BC se ubica el punto Q de manera que RQ es paralelo a CP . Si las áreas de las regiones PBQ y APQC son a y b GEOMETRÍA

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respectivamente, entonces es correcto 2 B) a = 2b C) a = b A) a = b 3 1 E) a = 3b D) a = b 4 36. En un triángulo ABC las alturas CF y AG se intersectan en O. Si las áreas de las regiones triangulares FBG, FOG y AOC son S1, S2 y S3 respectivamente, entonces el área de la región triangular ABC es S S S + S3 SS B) 1 C) 1 2 A) 2 3 S3 S1 S2 SS S + S2 D) 1 E) 1 3 S3 S2 37. Sea el triángulo ABC recto en B. Se traza la ceviana AD , tal que m∠DAC = 2m∠BAD , AD = 2 u y AC = 7 u. Hallar la relación de las áreas de las regiones triangulares ABD y ADC. 1 1 1 A) B) C) 7 6 5 1 1 D) E) 4 3 38. En un trapezoide asimétrico ABCD, las diagonales AC y BD son perpendiculares; las mediatrices de AB y CD se intersectan en P y las regiones triangulares ABP y CDP son equivalentes. Demuestre que ABCD es inscriptible. 39. Se trazan tres rectas paralelas L1, L2 y L3. Si A, B y C están en L1, L2 y L3 respectivamente y ABC es un triángulo equilátero. Calcule el área de la región ABC, si la distancia entre L1 y L2, L2 y L3 son a y b respectivamente (a > b). CEPRE-UNI

SEMINARIO Nº 04

A) B) C) D) E)

3( 2 a + b2 + ab ) 3 3( 2 a + b2 + ab ) 12 3( 2 a + b2 + ab ) 4 3( 2 a + b2 + ab ) 8 3( 2 a + b2 + ab ) 5

40. Sean a, b y c las longitudes de los lados de un triángulo, R es el circunradio y r el inradio. Demostrar que ( b + c − a ) ( a + c − b ) ( a + b − c ) 2r = . abc R 41. En un triángulo ABC, las alturas miden ha, hb y hc. Se ubica un punto E exterior relativo a BC , desde el cuál se trazan distancias a los lados AB , BC y AC que miden A a , A b y A c respectivamente. Demostrar que Ab Ac Aa + − = 1. hb hc ha 42. Dado un triángulo ABC, de lados AB = 51 u, BC = 77 u y AC = 40 u, se prolongan los lados en el mismo sentido y en una longitud igual a cada lado. Determine el área (en u3) de la región triangular cuyos vértices son los extremos de las prolongaciones. A) 5 452 B) 5 856 C) 6 254 D) 6 468 E) 6 768 43. En un triángulo equilátero ABC, de 60 u de lado, se ubica sobre el lado AC el punto D, tal que AD = 40 u y sobre el lado AB otro punto E. Si ED divide al triángulo dado ABC en dos regiones equivalentes, entonces la longitud de AE (en u) es GEOMETRÍA

-5-


A) 30 D) 45

B) 35 E) 50

C) 40

44. Dado el triángulo ABC, se inscribe una circunferencia cuyo radio mide r; se traza una circunferencia exinscrita relativa al lado BC cuyo radio mide ra. Calcule la longitud de la altura relativa al lado BC. rra 2rra 2rra B) C) A) r + ra r + ra ra − r rra D) E) rra ra − r 45. En un triángulo isósceles ABC, AB = BC = 30 u. Si M es punto medio de BC , y desde allí se traza una perpendicular a BC que intersecta a AE 1 AB en E, tal que = , entonces el EB 5 área de la región triangular ABC (en u2) es A) 300 B) 320 C) 340 D) 360 E) 380 46. En un triángulo acutángulo ABC, las prolongaciones de las alturas AE , BF y CD interceptan a la circunferencia circunscrita al triángulo, en los puntos N, Q y M. Si AC = 12 u y BF = 20 u, calcule el área de la región AMBNCQ (u2). A) 200 B) 240 C) 280 D) 300 E) 320 47. En la figura adjunta, A es punto de tangencia y ABD es un triángulo equilátero. Si BF = 2 u y DF = 4 u. Halle el área de la región sombrada B (en u2). F A D

CEPRE-UNI

C

SEMINARIO Nº 04

A) 7 2 D) 9 3

B) 8 3 E) 10 3

C) 9 2

48. Las longitudes de los tres lados de un triángulo son 13 u, 14 u y 15 u. Calcular la longitud del circunradio (en u). A) 7,75 B) 8 C) 8,125 D) 8,75 E) 8,9 49. En un triángulo las alturas miden 12 cm, 15 cm y 20 cm, entonces la longitud (en cm.) del radio de la circunferencia inscrita en dicho triángulo es A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 50. El perímetro de un triángulo es 2p y el radio de la circunferencia circunscrita es R. Calcule el área de la región triangular cuyos vértices son sus excentros. A) 2pR B) pR C) 3pR 3 D) 4pR E) pR 2 51. Dada una región triangular ABC de 34 u2 de área, se trazan las cevianas CE y BQ que se interceptan en F. Siendo AE = 3EB, QC = 4AQ, hallar el área de la región triangular EBF (en u2). 1 3 B) 1 C) A) 2 2 5 D) 2u E) 2 52. La circunferencia exinscrita a un triángulo ABC es tangente a BC en P y a la prolongación de AB en Q. Si AC = 2BQ, entonces la razón de las áreas de las regiones triangulares ABP y CBQ es

GEOMETRÍA

-6-


1 2 1 D) 4

A)

B) 1 E)

C)

2 3

2 3

53. En la figura, AB = 5 u, AC = 7 u, BC = 8 u. Hallar el área de la región triangular MON (en u2). M

B D

O

N

15 3 6 15 3 D) 8

A)

56. Dado el cuadrilátero ABCD, convexo en AB , BC, CD y AD se ubican los puntos medios P, Q, R y S respectivamente, AQ ∩ PS = {E} , AR ∩ PS = {F}. Si las áreas de las regiones de PQE, QCR, RSF y AEF son a, b, c y d respectivamente, entonces es verdadero A) b + d = a + c. B) ac = bd. C) a – c = b – d. D) b + 2d = a + 2c. ac bd = . E) a+c b+d

C

A

B) 5 3

SEMINARIO Nº 04

C)

15 3 7

E) 6 3

54. Sean M, N y Q los puntos medios de los lados de un triángulo acutángulo, ABC, de circuncentro O; en las prolongaciones de OM , ON y OQ se ubican los puntos E, F y G respectivamente, tal que EM = 2MO, FN = 2NO y GQ = 2QO. La razón de las áreas de las regiones triangulares ABC y EFG es 2 1 4 B) C) A) 3 3 9 5 5 D) E) 6 12 55. En el cuadrante de círculo AOB (OA y OB son radios) se ubica el punto P p ) . Si AP = 6 y PB = 2 2 , (P ∈ AB

calcule el área de la región cuadrangular OAPB (en u2). A) 20 B) 21 C) 23 D) 24 E) 25

57. Un cuadrilátero ABCD, inscrito en una circunferencia. Si AB = 3 cm, BC = 5 cm, CD = 7 cm y BD = 8 cm, entonces el área de la región cuadrilátera es (m2) B) 16 3 C) 18 2 A) 12 2 D) 20 3 E) 30 58. En un trapezoide asimétrico ABCD, se ubica el punto E en AD , tal que AB // CE y BE // CD . Si las áreas de las regiones triangulares ABE y CED son 25 u2 y 4 u2 respectivamente, entonces el área (en u2) de la región trapezoidal ABCD es A) 36 B) 39 C) 42 D) 45 E) 48 59. En la figura, ABCD es un rectángulo, M y N son puntos medios de AB y AD . Si BC = 2AB, calcule la relación entre las áreas de las regiones cuadrangulares EFGN y ABCD. B

C

F

M E

G A CEPRE-UNI

N GEOMETRÍA

D -7-


5 48 3 D) 11

3 16 4 E) 15

A)

B)

C)

SEMINARIO Nº 04

63. En la figura ABCD es un trapecio, MN es la base media, siendo el área (AMND) = W y el área (MBCN) = V. Hallar el área de la región triangular BPD. B C

9 25

60. En la figura adjunta, ABCD es un cuadrado (AD = PD). Si el área del triángulo ABQ es 5 m2 y el área del triángulo QCT es 4 m2, hallar el área (en m2) del triángulo TPD. B

Q

P

A) 6 D) 9

B) 7 E) 10

D

W−V 2 W+V C) 4 W+V E) 2

B) W – V

A)

T

D

N

P

A

C

A

M

C) 8

61. El área de una región triangular es 90 u2. Hallar el área de la región trapecial que determina una paralela a un lado, trazada por el baricentro. A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 75 62. En la figura, M y N son puntos de tangencia, E es un excentro. Demostrar que el área (MBNE) = área (ABC) B

D)

W+V 3

64. En una circunferencia de centro O y diámetro AB (AB = 2R), se ubica M en la prolongación de AB , tal que MO = 2R. Trazamos las tangentes MC y MD , calcule el área de región cuadrilátera ACMD. 3 2 3 2 2R2 3 B) R 3 C) A) R 3 4 5 3 2 3R 3 D) 2R2 3 E) 2 ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES 65. En el gráfico adjunto, hallar el área de la región sombreada en función de R.

M

N

A

k C

R O1 T

E

L R M

CEPRE-UNI

O2

GEOMETRÍA

-8-


SEMINARIO Nº 04

R2 4 R2 D) ( 3 2 − π ) 3

respectivamente. Si AB=3 u, BC=4 u, entonces el área de la región MBN (en u2) es 12 12 11 B) C) A) 7 5 11 12 5 D) E) 5 3

66. Demostrar que el área sombreada es ⎛ L + A ⎞( S=⎜ ⎟ R − r). ⎝ 2 ⎠

70. Una corona circular está limitada por las circunferencias cuyos radios miden r y 2r. La corona circular es equivalente a un sector circular cuyo radio mide 3r, calcule la medida del ángulo de sector circular. A) 75 B) 90 C) 120 D) 145 E) 150

R2 2 R2 C) ( 3 3 − π ) 2 R2 ( ) E) 4 3 − π 5

A)

(

3 + π)

B)

(2

3 − π)

R r

A S L

67. ABCD es un cuadrado cuyo lado mide a. Halle el área de la región limitada por las circunferencias inscritas y circunscrita al cuadrado. πa2 πa2 πa2 B) C) A) 16 12 8 2 2 πa πa D) E) 6 4 68. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, la altura BE (E en AC ) y la bisectriz AF (F en BC ) se intersectan en el punto Q. Si BQ = 2, QE = 1, entonces el área de la región triangular QBF es C) 3 A) 3 B) 5 E) 1 D) 2 69. En un triángulo rectángulo ABC, se trazan interiormente dos semicircunferencias con diámetros contenidos en los lados AB y BC (extremo común en B) tangentes a la hipotenusa AC en los puntos M y N CEPRE-UNI

71. Sobre el lado AC de un triángulo equilátero ABC, se encuentra el centro O de una semicircunferencia de diámetro contenido en AC, tangente a los lados AB y BC en los puntos P y Q. Con centro en B se traza el arco EOF (E ∈ AB y F ∈ BC) . Si AB = a, entonces el área de la región p , QF , poligonal mixta limitada por PQ q y EP es FOE 3a2 ( 3a2 ) (π − 3 ) A) B) π −1 16 16 3a2 3a2 ( ) (π − 3 3 ) π−2 3 D) C) 16 16 3a2 ( π − 3) E) 16 72. Sean C1, C2 y C3 circunferencias concéntricas, la cuerda CD de C2 es tangente a C1 y la cuerda AB de C3 es tangente a C2. Si AB = 8 u y CD = 6 u, entonces el área de la corona determinada por C1 y C3 es B) 25π C) 32π A) 20π D) 36π E) 42π

GEOMETRÍA

-9-


73. En la figura adjunta, ABCD es un cuadrado; T, E, P y F son puntos de tangencia. Si el área de la región triangular AQD es 18 u2, calcular el área de la corona circular. B

C F T E Q

A

D P

A) 9π D) 18π

B) 10π E) 21π

C) 12π

74. El perímetro de un pentágono regular es 20 u. Calcule el área (en u2) de la corona circular, determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita al pentágono regular. C) 4π A) 2π B) 3π D) 6π E) 10π 75. Sea a la longitud del lado del triángulo equilátero ABC. M, N y P son puntos medios de los lados y centros de las semicircunferencias de la figura mostrada. Calcule el área de la región sombreada. B

N

A

πa2 3 A) 24 πa2 3 D) 48 CEPRE-UNI

P

M

πa2 B) 24 πa2 E) 48

C

πa2 C) 36

SEMINARIO Nº 04

76. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si dos círculos son equivalentes, entonces son congruentes. II. Si una región paralelográmica es equivalente a una región cuadrangular, entonces tiene igual longitud de altura. III. Si un cuadrado y una circunferencia, tienen cada uno de ellos un área de km2, entonces son equivalentes. A) VFF B) VVF C) VFV D) FVV E) FVF 77. En un círculo de radio 4 u, se trazan 2 radios OA y OB que subtienden un arco de longitud 6 u, entonces el área de la región circular AOB (en u2) es A) 6 B) 9 C) 12 D) 18 E) 24 78. En un hexágono regular, ABCDEF, inscrito en una circunferencia de centro O y de radio R, sobre AB , BD , DE y EA se construyen exteriormente cuatro semicircunferencias. Entonces la relación entre la suma de las áreas de las cuatro lúnulas, comprendidas entre la circunferencia de centro O de las semicircunferencias referidas y el área del hexágono es 3 2 1 A) B) C) 2 3 3 3 3 D) E) 4 5 79. En un triángulo rectángulo isósceles ABC, cuyo cateto mide a “u”, con el vértice A del ángulo recto como centro, se describe un cuadrante de circunferencia de radio a. Se describe una semicircunferencia, exterior al triángulo, con BC por diámetro y las dos circunferencias, cuyos diámetros son AB y AC , que pasan por D GEOMETRÍA

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SEMINARIO Nº 04

(D ∈ BC ) , entonces la suma de las

C

áreas de la lámina, de la región ón triangular curvilínea BCD y de la región encerrada por los arcos AD es a2 a2 ( a2 π + 2 ) C) ( π−2) A) π B) 8 4 4 2 2 a a D) π E) π 8 3

B

A

O

D

80. Las circunferencias de centros O1 y O2 son secantes. Si CE = 6 2 u , AB y CD son diámetros, entonces el área (en u2) del círculo de centro O2 es C

60º O1

A E

B) 2π E) 3,5π

A) π D) 3π

C) 2,5π

83. En la figura adjunta, OAB es un cuadrante. Si OA = OB = 9 u, halle el área (en u2) del círculo de centro en O1. A

O2 B

O1 F

D B

O

A) 20π D) 32π

B) 24π E) 36π

C) 30π

81. Dado el triángulo ABC, recto en B, AB = 15 u, BC = 20 u. Con centros en A y C se trazan arcos de circunferencia con radios AB y CB que interceptan al lado AC en P y Q respectivamente. Calcule el área (en u2) del triángulo mixto QBP. A) 80,24π − 160 B) 75π − 130 C) 74,24π − 150 D) 74,5π − 120 E) 84,26π − 180 82. En la figura, AB es perpendicular a CD , y AO = 2 u. Calcule la suma de las áreas (en u2) de los sectores AOD y BOC. CEPRE-UNI

A) 2π D) 5π

B) 3π E) 6π

C) 4π

84. Hallar el área de sombreada. C

la

región

B

A R

R'

O

R2 A) 2 πR2 D) 3

πR2 B) 4 πR2 E) 2 GEOMETRÍA

C) R2

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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA DEL ESPACIO 85. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Tres puntos no colineales cualesquiera, pertenecen a un plano. II. Una recta y un punto determinan un plano. III. Dos rectas que no se interceptan son paralelas. A) VVF B) VFV C) VFF D) VVV E) FFF

SEMINARIO Nº 04

III. Por un punto del plano, se puede trazar sólo una recta perpendicular al plano. A) VVV B) FFV C) FFF D) FVV E) VFF

89. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Todo plano paralelo a una recta L1 es paralelo a cualquier plano que contiene a la recta L1. II. Todo plano que contiene a una de dos rectas cruzadas es siempre paralelo a la otra recta. 86. Si una recta es perpendicular a tres III. Si un plano H es paralelo a una recta L1, entonces será paralelo a rectas dadas, entonces: A) las tres rectas tienen que ser otra recta perpendicular a L1. paralelas. A) FVF B) FFV C) FFF B) las tres rectas tienen que estar en D) VVF E) VFV un mismo plano que contenga a la perpendicular. 90. Indique el valor de verdad de las C) por las tres rectas pueden pasar siguientes proposiciones: planos paralelos entre sí. I. Sea el plano P y la recta L, A ∈ L D) por las tres rectas no pueden pasar y B ∈ L . Siendo las proyecciones planos paralelos entre sí. ortogonales de estos puntos E) las tres rectas son perpendiculares sobre el plano P, los puntos C y D entre sí. respectivamente, si AC ≅ BD , entonces L // P. 87. Indique el valor de verdad de las II. Si dos rectas no son paralelas, ni siguientes proposiciones: se interceptan, entonces dichas I. Dos rectas perpendiculares al rectas son cruzadas. mismo plano son paralelas entre III. Se ubican cuatro puntos sí. cualesquiera no coplanares en el II. Por un punto de un plano sólo se espacio. Entonces, existe un puede trazar una recta punto que equidista de estos perpendicular al plano. cuatro puntos datos. III. Todas las rectas paralelas entre A) VVV B) FFV C) FVV sí son coplanares. D) FFF E) VFV A) VVF B) FFF C) VVV D) FVV E) VFF 91. Sean las semicircunferencias AMB y AQB contenidas en planos diferentes. 88. Indique el valor de verdad de las Si la proyección ortogonal de M, siguientes proposiciones: sobre el plano que contiene a la otra I. Dos rectas cruzadas determinan semicircunferencia es un punto H un plano. p = mMB p , mAQ p = 120 y de AQ , mAM II. Todos los planos paralelos a un AB = 4 u, entonces la longitud de MH plano dado son paralelos entre sí. (en u) es CEPRE-UNI

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A) 2 6 D)

2 3 3

B)

2 2 3

C)

2 6 3

E) 2 3

92. AB y PR se cruzan en el espacio, AP = 9 cm. y BR = 6 cm. respectivamente. Halle la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y PR , sabiendo que es el mayor entero posible (en cm.). A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 93. Dos segmentos AB y CD se cruzan y son ortogonales, demuestre que BC2 – AC2 = BD2 – AD2. 94. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Desde un punto exterior a una recta se pueden trazar infinitas rectas perpendiculares a dicha recta. II. Si una recta es perpendicular a un plano, entonces será perpendicular a todas las rectas que están contenidas en dicho plano. III. Si una recta es paralela a una recta contenida por un plano, entonces dicha recta es paralela a dicho plano. A) FVF B) FVV C) VFV D) VVF E) VVV 95. La recta oblicua AB forma un ángulo que mide 45 con un plano P y es igual a la medida del ángulo entre la proyección de dicha oblicua y la recta AC, contenida en el plano P. Calcule la medida del ángulo BAC. A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 90

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96. Un segmento AB, cuya longitud es igual a A , tiene sus extremos en dos planos perpendiculares entre sí y forman con uno de ellos un ángulo de 30º y con el otro plano un ángulo de 45º. La distancia entre las proyecciones de los extremos del segmento dado, en la línea de intersección de los planos es A A A A) B) C) 5 4 3 A E) A D) 2 97. Por el vértice A de un plano ABC se traza una perpendicular AD al plano del triángulo, luego por el vértice A se trazan las perpendiculares, AM a BD , y AN a CD , entonces el cuadrilátero BMNC es A) Equiángulo B) Inscriptible C) Circunscriptible D) Un trapecio E) Un trapezoide 98. Dadas dos rectas cruzadas AB y CD, y un punto M exterior a ellas. I. Por M puede HJJ trazarse una recta G MP paralela a AB . II. Por M puede trazarse HJJG una recta perpendicular por CD . III. Para algunaHJJposición G HJJG de M y de las rectas AB y CD , se puede trazar por M una recta paralela a la recta AB y perpendicular a la recta CD. De las proposiciones anteriores son verdaderas: A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) II y III E) Todas

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99. Se dan dos planos paralelos P y Q. 103. Por el vértice C de un cuadrado Una recta AB, perpendicular al plano ABCD se traza CE , perpendicular al Q en el punto B, intercepta al plano P plano P que contiene al cuadrado en el punto C. Se ubican los puntos D ABCD, de manera que DC = CE. Por y E del plano P, tales que EB ≅ AC y B se traza la perpendicular BF AD ≅ ED . Demuestre que el ∠EBD perpendicular a P, E y F en el mismo es agudo. AB . Calcular la semiespacio, BF = 2 100. Un rectángulo ABCD y un cuadrado medida del ángulo diedro que forma ABEF están contenidos en dos planos el plano de FDE con P. perpendiculares. Si AE ≅ AD, 2 5 A) arc tg B) arc tg entonces la medida del ángulo que 3 2 forman la recta CF y el plano ABCD 3 7 es D) arc tg C) arc tg 3 2 A) 30 B) 36 C) 45 1 D) 53 E) 60 E) arc tg 3 101. En el plano H se dibuja el triángulo ABC recto en B. Se ubica el punto S 104. ABCD es una región cuadrada, que determina con un plano P un ángulo exterior al plano H tal que diedro de 30º. Si AB está contenido SA ≅ SB ≅ SC . Si la distancia del en el plano, calcular la longitud de la punto S al plano H es de 24 u y diagonal del rectángulo que resulta al AB = 14 u, entonces la medida del proyectar ABCD sobre el plano, ángulo diedro cuya arista es la recta siendo AB = a. BC es a 7 a 7 a 7 ⎛6⎞ ⎛ 24 ⎞ A) B) C) A) tg−1 ⎜ ⎟ B) tg−1 ⎜ ⎟ 5 4 3 ⎝7⎠ ⎝ 7 ⎠ a 7 ⎛ 12 ⎞ E) a 7 D) D) 45 C) tg−1 ⎜ ⎟ 2 ⎝ 7 ⎠ E) 60 105. Se tiene un hexágono regular ABCDEF; sobre un plano P paralelo 102. Indicar el valor de verdad de las al plano del hexágono se proyectan siguientes proposiciones: todos sus vértices determinando I. El plano determinado por un A 'B ' C 'D 'E 'F ' . Si la distancia entre el ángulo plano de un ángulo diedro plano P y el plano del hexágono es perpendicular a su arista. regular es igual a la longitud del lado II. Todo ángulo diedro es un del hexágono, entonces la medida del conjunto convexo. ángulo diedro C – AF - C ' es III. Existe un punto que no pertenece ⎛ 1⎞ a un ángulo diedro que equidista A) arc tan ⎜ ⎟ B) arc tan (2) ⎝2⎠ de sus caras y de su arista. A) FFV B) VVF C) VFV ⎛ 1⎞ D) arc tan (3) C) arc tan ⎜ ⎟ D) VFF E) VVV ⎝3⎠ ⎛ 1 ⎞ E) arc tan ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ CEPRE-UNI

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106. Sea BD perpendicular a un plano H 109. En las caras P y Q de un ángulo diedro recto, se ubican los puntos A y que contiene al triángulo ABC. Si B. El segmento AB forman las caras AB = 15 u, AC = 14 u, BC = 13 u y P y Q ángulos que miden 37 y 30 BD = 12 u, entonces la medida del respectivamente. Si AB = 10 u, ángulo diedro de arista AC es entonces la menor distancia entre la A) 15 B) 30 C) 45 recta AB y la arista del ángulo diedro D) 60 E) 75 es 107. Dos planos contienen a rectángulos 20 61 30 61 A) B) congruentes ABCD y AFED. Si 61 61 BC = 4 2 u , AF = 4 u y m∠CAE = 60 , 16 61 18 61 D) C) entonces la medida del ángulo diedro 61 61 de arista AD es 10 61 A) 45 B) 60 C) 90 E) 61 D) 120 E) 150 108. Se tiene un ángulo diedro 110. Se tiene un triángulo rectángulo isósceles AOB cuyo cateto mide determinado por los planos P y Q de HJJG ( 2 − 3 ) m. Se traza una arista XZ . Desde un punto R exterior al ángulo diedro se trazan los rayos perpendicular OM al plano RS perpendicular al plano P y RT determinado por el triángulo AOB. Si perpendicular al plano Q. Entonces la medida del ángulo diedro de las siguientes proposiciones: determinado por las regiones I. El plano RST es perpendicular a triangulares AOB y AMB es 75, las caras del ángulo diedro. entonces la longitud (en m) de OM es II. El plano RST no es perpendicular 2 3 a las caras del ángulo diedro. A) B) C) 2 2 2 II. La recta XZ no es perpendicular al plano RST. D) 3 E) 2 Son verdaderas A) sólo I B) solo I, II y III 111. En un plano P se dibuja un triángulo C) solo II y III D) sólo II rectángulo isósceles AOB E) solo I y III ( AO ≅ OB ) . Por el vértice O se traza la perpendicular OC al plano P tal que AB = 2OC. Entonces, la medida del ángulo diedro AB es A) 15 B) 20 C) 30 D) 45 E) 60

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