4pd31213 2 28.17. a ) ¿De qué magnitud tendría que ser la corriente que tendría que transportar un alambre largo y recto para que el CM a 2 cm del alambre fuera igual a 1G (comparable con el de la Tierra que apunta hacia el norte)? b ) Si el alambre es horizontal, con la corriente que va de este a oeste, ¿en qué ubicación el CM del alambre apuntaría en la misma dirección que la componente horizontal del CM terrestre? c ) Repita el inciso b ) considerando ahora que el alambre es vertical y que la corriente va hacia arriba. 28.13. Un alambre que conduce corriente de se dobla en ángulo recto.
Considere dos segmentos de de alambre, cada uno a del doblez Halle el CM que producen producen estos segmentos en el punto P , que está a la mitad entre ellos.
28.20. Efecto de las líneas de transmisión t ransmisión.. Dos excursionistas leen una
brújula debajo de una línea de transmisión situada a por arriba del suelo y que transporta una corriente de en dirección horizontal de norte a sur. a) Halle el CM en un punto sobre el suelo directamente debajo del conductor. l os excursionistas sugiere que caminen para evitar lecturas b) Uno de los inexactas de la brújula causadas por la corriente. Considerando que la magnitud del CM de la Tierra es del orden de ¿es realmente un problema la corriente? 28.27. Cables de lámpara. lámpara. Es común que los alambres de las lámparas
domésticas estén separados de un centro al otro y conduzcan corrientes iguales en sentidos opuestos. Si el cable conduce co nduce corriente a una bombilla eléctrica de conectado a través de una diferencia de potencial de , ¿cuál es la fuerza por metro que cada alambre del cable ejerce sobre el otro? ¿La fuerza es de atracción o repulsión? ¿Esta fuerza es suficientemente grande como para considerarla en el diseño del cable? (Modele el cable de la lámpara como un alambre muy largo y recto.) 28.37. Cable coaxial. coaxial. Un conductor sólido con radio está sostenido por
discos aislantes sobre el eje de un tubo conductor con radio interior y radio exterior . El conductor y el tubo central conducen corrientes iguales en sentidos opuestos. Las corrientes están distribuidas de manera uniforme sobre las secciones transversales de cada conductor.
Obtenga una expresión para la magnitud del CM a) en puntos situados afuera del conductor central sólido pero en el interior del tubo ( ), y b) en puntos situados afuera del tubo ( ).
28.38. Repita el ejercicio 28.37 para el caso en que la corriente en el conductor central sólido es , la corriente en el tubo es I 2, y ambas corrientes fluyen en
el mismo sentido y no en sentidos opuestos.
28.51. Un par de cargas puntuales, y , se desplazan en
cada caso con una rapidez ⁄ y ⁄. Cuando las cargas están en las ubicaciones que se muestran, ¿cuál es a) el CM producido en el origen y b) la fuerza magnética que ejerce sobre q?
28.54. El ramal del circuito que incluye la batería está muy lejos de los dos
segmentos horizontales que contienen dos resistores. Estos segmentos horizontales están separados por una distancia de 5 cm y su longitud es mucho mayor que 5 cm. Se lanza un protón (carga, + e) a 650 km/s desde un punto intermedio entre los dos segmentos horizontales superiores del circuito. La velocidad inicial del protón está en el plano del circuito y se dirige hacia el alambre de arriba. Halle la fuerza magnética inicial sobre el protón
28.62. Un par de varillas metálicas largas y rígidas, cada una de longitud L,
están paralelas sobre una mesa perfectamente lisa. Se conectan sus extremos con resortes conductores idénticos, muy ligeros, con constante de fuerza k y cuya longitud es despreciable cuando no se encuentran estirados. Si una corriente I circula por el circuito, los resortes se estirarán. ¿Con qué separación las varillas permanecerán en reposo? Suponga que k es suficientemente grande para que la separación de las varillas sea mucho menor que L.
28.67. Bobinas de Helmholtz. La figura muestra un corte de dos bobinas circulares con radio , cada una con devanado de N vueltas de alambre que conduce una corriente I que circula en el mismo sentido en ambas bobinas. Éstas se hallan separadas por una distancia a igual a sus radios. Esta
configuración se conoce como bobinas de Helmholtz, las cuales producen un cm muy uniforme en la región comprendida entre ellas. a) Obtenga la expresión para la magnitud B del cm en un punto sobre el eje a una distancia x a la derecha del punto P , el cual está a la mitad de la distancia entre las bobinas. b) Dibuje la gráfica de B en función de x , de ⁄. Compare esta gráfica con otra para el campo magnético debido solamente a la bobina de la derecha. c ) A partir del inciso a), obtenga una expresión para la magnitud del campo magnético en el punto P si N =300 espiras, I = 6 A, y a =8 cm. e) Calcule ⁄ y ⁄ en P ( x= 0). Analice el modo en que sus resultados muestran que el campo es muy uniforme en la vecindad de P .
28.88. Un alambre en forma de semicírculo con radio a está orientado en el plano yz con su centro de curvatura en el origen. Si la corriente en el alambre es I , calcule las componentes del cm producido en el punto P , a una distancia x a lo largo del eje x . (Nota: No olvide la contribución del alambre recto en la
parte inferior del semicírculo que va de . Puede considerar el hecho de que los campos de las dos corrientes antiparalelas se anulan en z . a, pero debe explicar por qué se anulan.)
28.85. Dos alambres conductores largos y rectos, con densidad de masa lineal están
suspendidos de cordeles en posición horizontal, paralelos uno al otro y separados una distancia . Los extremos posteriores de los alambres están conectados entre sí por un alambre de conexión holgado y de baja resistencia. Ahora se incorpora al sistema un capacitor con carga (capacitancia ); la placa positiva del capacitor (carga inicial ) se conecta al extremo anterior de uno de los alambres, y la placa negativa del capacitor (carga inicial se conecta al extremo anterior del otro alambre. Ambas conexiones se hacen con alambres holgados de poca resistencia. Una vez establecida la conexión, la fuerza de repulsión entre los alambres los empuja hacia los lados, y cada alambre tiene una velocidad horizontal inicial de magnitud v 0. Suponga que el tiempo de descarga del capacitor es insignificante en comparación con el tiempo necesario para que ocurra un desplazamiento apreciable en la posición de los alambres. a) muestre que la rapidez inicial de cualquiera de los alambres está dada por
donde R es la resistencia total del circuito.
b) ¿A qué altura h se elevará cada cable como resultado de la conexión del
circuito?
29.24. Fem de movimiento en el transporte. Los aviones y trenes se
desplazan a través del cm de la Tierra a grandes velocidades, por lo que es razonable preguntarse si este campo tiene un efecto sustancial sobre ellos. El valor de uso común para el campo terrestre es de a) El tren francés TGV y el “tren bala” japonés alcanzan una rapidez de hasta ⁄ cuando se desplazan sobre sus de . Cuando se desplazan a su máxima
rieles separados por una distancia rapidez en forma perpendicular al campo magnético de la Tierra, ¿qué diferencia de potencial se induce a través de los rieles mientras las ruedas giran? ¿Esto parece suficientemente considerable para producir un efecto notable? b) El avión Boeing 747-400 tiene una envergadura de 64.4 m y rapidez de crucero de ⁄. Si no hay viento que sople (por lo que la rapidez de crucero sería también su rapidez con respecto al suelo), ¿cuál es la diferencia de potencial máxima que podría inducirse entre los extremos opuestos de las alas? ¿Esto parece suficientemente considerable para causar problemas al avión? 29.15. Una espira circular de alambre está en una región de CMU
Halle el sentido (horario o anti horario) de la corriente inducida en la espira cuando a) B aumenta; b) B disminuye; c ) B tiene un valor constante B0. Explique su razonamiento. 29.25. La varilla conductora ab que se muestra hace contacto con los rieles
metálicos y . El aparato está en un campo magnético uniforme de , perpendicular al plano de la figura. a) Calcule la magnitud de la fem inducida en la varilla cuando ésta se mueve hacia la derecha con una rapidez de ⁄. b) ¿En qué sentido fluye la corriente en la varilla? c ) Si la resistencia del circuito abdc es de (que se supone constante), calcule la fuerza requerida para mantener la varilla moviéndose hacia la derecha con rapidez de ⁄ Ignore la fricción. d ) Compare la tasa con que la fuerza ( ) efectúa trabajo mecánico con la tasa a que se desarrolla energía térmica en el circuito ( ).
29.27. Una barra de de longitud se mueve a través de un cmu de
con una rapidez de ⁄. En cada caso, calcule la fem inducida entre los extremos de esta barra e identifique cuál extremo ( a o b, si acaso alguno de los dos) está a mayor potencial. La barra se mueve en la dirección de a) el eje + x ; b) el eje -y ; c ) el eje +z . d ) ¿Cómo debería moverse esta barra para que la fem a través de sus extremos tuviera el mayor valor posible con b a un potencial más alto que a, y cuál sería esa fem máxima?
29.29. El cm dentro de un solenoide largo y recto con sección transversal circular y radio R se incrementa a razón ⁄ a) ¿Cuál es la tasa de cambio del flujo a través de un círculo con radio r 1
dentro del solenoide, normal al eje del solenoide, y con centro en el eje de éste? b) Determine la magnitud del campo eléctrico inducido dentro del solenoide, a una distancia r 1 de su eje. Indique en un diagrama la dirección de este campo.
c ) ¿Cuál es la magnitud del ce inducido afuera del solenoide, a una distancia r 2
del eje? d ) Elabore una gráfica de la magnitud del campo eléctrico inducido como función de la distancia r a partir del eje, de a . e) ¿Cuál es la magnitud de la fem inducida en una espira circular de radio R/ 2 con centro en el eje del solenoide? f ) ¿Cuál es la magnitud de la fem inducida si el radio en el inciso e) es R ? g ) ¿Cuál es la fem inducida si el radio en el inciso e) es 2R ? 29.30. El CM en todos los puntos del círculo coloreado que se muestra tiene
una magnitud inicial de . (El círculo podría representar aproximadamente el espacio dentro de un solenoide largo y delgado.) El CM está dirigido hacia el plano y disminuye a razón de ⁄. a) ¿Cuál es la forma de las líneas del CE inducido que se ilustra en la figura, dentro del círculo coloreado? b) ¿Cuáles son la magnitud y dirección de este campo en cualquier punto del anillo conductor circular con radio 0.1 m? c ) ¿Cuál es la corriente en el anillo si su resistencia es de . d ) ¿Cuál es la fem entre los puntos a y b del anillo? e) Si el anillo se cortara en algún punto y los extremos se separaran ligeramente, ¿cuál sería la fem entre ellos?
29.45. En el circuito, el capacitor tiene una capacitancia inicialmente
se carga a con la polaridad que se indica. El resistor tiene una resistencia de . En el momento se cierra el interruptor. El circuito pequeño no está conectado de ninguna forma al circuito grande. El alambre del circuito pequeño tiene una resistencia de ⁄ y contiene 25 espiras. El circuito grande es un rectángulo de por , mientras que el pequeño tiene dimensiones y . La distancia c es de . (La figura no está dibujada a escala.) Ambos circuitos están fijos. Suponga que sólo el alambre más cercano al circuito pequeño produce un campo magnético apreciable a través de él. a) Halle la corriente en el circuito grande 200 ms después de que se cerró S. b) Calcule la corriente en el circuito pequeño 200 ms después de haber cerrado S. (Sugerencia: véase el problema 29.7.) c ) Halle el sentido de la corriente en el circuito pequeño.
d ) Justifique por qué se puede ignorar el campo magnético de todos los
alambres del circuito grande, excepto el del que está más cerca del circuito pequeño.
29.46. Una bobina plana está orientada con el plano de su área formando
ángulos rectos con un cmu. La magnitud de este cm varía con el tiempo de acuerdo con la gráfica. Dibuje una gráfica cualitativa (pero exacta) de la fem inducida en la bobina como función del tiempo. Asegúrese de indicar en la gráfica los tiempos , y .
29.49. En la figura, se tira de la espira hacia la derecha a rapidez constante, v . Una corriente constante I fluye en el alambre largo, en el sentido que se indica. a) Calcule la magnitud de la fem neta en la espira. Haga esto de dos modos: i) con base en la ley de Faraday de la inducción ( Sugerencia: vea 29.7)
y ii) examinando la fem inducida en cada segmento de la espira debido al movimiento de ésta. b) Encuentre el sentido (horario o antihorario) de la corriente inducida en la espira. Haga esto de dos maneras: i) con base en la ley de Lenz y ii) a partir de la fuerza magnética sobre las cargas en la espira. c ) Compruebe su respuesta para la fem del inciso a) en los siguientes casos especiales para ver si es físicamente razonable: i) La espira está fija; ii) la espira es muy delgada, de manera que a S 0; iii) la espira está muy lejos del alambre.
29.57. Fem de una antena. Un satélite que orbita la Tierra sobre el ecuador a
una altitud de 400 km, tiene una antena que puede modelarse como una varilla de 2 m de largo. La antena está orientada de manera perpendicular a la superficie de la Tierra. En el ecuador, el cm de nuestro planeta es esencialmente horizontal y tiene un valor de ; ignore cualesquiera cambios en B debidos a la altitud. Si la órbita es circular, determine la fem inducida entre los extremos de la antena 29.63. Una varilla delgada, de 0.240 m de largo, gira con rapidez angular de
8.80 rad>s en torno a un eje que pasa por un extremo y es perpendicular a la varilla. El plano de rotación de la varilla es perpendicular a un campo magnético uniforme con magnitud de 0.650 T. a) ¿Cuál es la fem inducida en la varilla? b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre sus extremos? c ) Suponga que en vez de lo anterior, la varilla gira a 8.80 r ad/s en torno a un eje que pasa por su centro y es perpendicular a la varilla. En este caso, ¿cuál es la diferencia de potencial entre los extremos de la varilla? ¿Y entre el centro de la varilla y un extremo? 29.75. Una espira conductora, cuadrada, de 20.0 cm por lado, está situada en
el mismo CM que se ilustra en el ejercicio 29.30. (Véase la figura 29.55; el centro de la espira cuadrada está en el centro de la región del CM.) a) Copie la figura 29.55 y dibuje vectores para indicar la dirección y magnitud relativas del CE inducido en los puntos a, b y c . b) Demuestre que la componente de a lo largo de la espira tiene el mismo valor en todos los puntos de la espira y es igual a la del anillo mostrado en la figura 29.31 (véase el ejercicio 29.30). c ) ¿Cuál es la corriente inducida en la espira si su resistencia es 1.9 ? d ) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los puntos a y b?
´29.77. Una barra metálica con longitud L, masa m y resistencia R está
colocada sobre rieles metálicos sin fricción que están inclinados un ángulo f por encima de la horizontal. Los rieles tienen una resistencia despreciable. Hay un cmu de magnitud B dirigido hacia abajo. La barra se libera desde el reposo y se desliza hacia abajo por los rieles. a) El sentido de la corriente inducida en la barra, ¿es de o de ? b) ¿Cuál es la rapidez terminal de la barra? c ) ¿Cuál es la corriente inducida en la barra cuando se ha alcanzado la rapidez terminal? d ) Después de haber alcanzado la rapidez terminal, ¿a qué tasa se convierte la energía eléctrica en energía térmica en la resistencia de la barra? e) Una vez que se llegó a la rapidez terminal, ¿a qué tasa la gravedad realiza trabajo sobre la barra? Compare su respuesta con la del inciso d ).
30.15. Un solenoide de de longitud y área de sección transversal de ,
contiene 400 espiras de alambre y conduce una corriente de Calcule: a) el cm en el solenoide; b) la densidad de energía en el cm si el solenoide está lleno de aire; c ) la energía total contenida en el cm de la bobina(suponga cmu); d ) la inductancia del solenoide.
.
30.18. Se ha propuesto almacenar de energía eléctrica en un
CMU con magnitud de 0.6 T. a) ¿Qué volumen (en el vacío) debe ocupar el CM para almacenar esa cantidad de energía? b) Si en vez de lo anterior, esa cantidad de energía fuera a almacenarse en un volumen (en el vacío) equivalente a un cubo de 40.0 cm por lado, ¿cuál sería el CM que se requiere? 30.19. Un inductor con inductancia de y resistencia de está conectado
a las terminales de una batería con una fem de 6V y resistencia interna despreciable. Halle a) la tasa inicial de incremento de la corriente en el circuito; b) la tasa de aumento de la corriente en el instante en que esta última es de ; c ) la corriente después de haber cerrado el circuito; d ) la corriente en el estado estable final. 30.20. Un resistor de 15 y una bobina se encuentran conectados en serie con
una batería de 6.3 V con resistencia interna despreciable y un interruptor cerrado. a) 2.00 ms después de abrir el interruptor, la corriente ha disminuido a 0.21 A. Calcule la inductancia de la bobina. b) Calcule la constante de tiempo en el circuito. c ) ¿Cuánto tiempo después de haber cerrado el interruptor la corriente alcanzará el 1.00% de su valor original? 30.31. Oscilaciones de L -C . Un capacitor con capacitancia de se carga
conectándolo a una batería de . El capacitor se desconecta de la batería y se conecta entre los extremos de un inductor con . a) ¿Cuáles son la frecuencia angular de las oscilaciones eléctricas y el periodo de estas oscilaciones? b) ¿Cuál es la carga inicial en el capacitor? c ) ¿Cuánta energía hay almacenada inicialmente en el capacitor? d ) ¿Cuál es la carga en el capacitor 0.023 s después de haberlo conectado con el inductor? Interprete el signo de la respuesta. e) En el momento citado en el inciso d ), ¿cuál es la corriente en el inductor? Interprete el signo de su respuesta. f ) En el momento citado en el inciso d ), ¿cuánta energía eléctrica hay almacenada en el capacitor y cuánta en el inductor? 30.34. En un circuito L-C , L = 85 mH y .
Durante las oscilaciones, la corriente máxima en el inductor es de 0.850 mA. a) ¿Cuál es la carga máxima en el capacitor? b) ¿Cuál es la magnitud de la carga en el capacitor en el instante en que la corriente en el inductor tiene una magnitud de 0.5 mA? 30.48. Cable coaxial. Un conductor sólido y pequeño, con radio , está
sostenido por discos aislantes no magnéticos sobre el eje de un tubo de paredes delgadas con radio interior . Los conductores interior y exterior transportan corrientes iguales en sentidos opuestos.
a) Con base en la ley de Ampère, hay halle el cm en cualquier punto del
volumen comprendido entre los conductores. b) Escriba la expresión para el flujo a través de una banda angosta de longitud l paralela al eje, de ancho dr , a una distancia r del eje del cable, y que se encuentra en el plano que contiene al eje. c ) Integre su expresión del inciso b) con respecto al volumen comprendido entre los dos conductores para determinar el flujo total producido por una corriente en el conductor central. d ) muestre que la inductancia de un tramo del cable de longitud l es
e) halle la energía almacenada en el cm para una longitud l del cable. 30.57. Alarma electromagnética para automóvil. Su invento más reciente es
una alarma para automóvil que produce un sonido de una frecuencia particularmente molesta de 3500 Hz. Para lograrlo, los circuitos de la alarma deben producir una corriente eléctrica alterna de la misma frecuencia. Ésa es la razón por la que su diseño incluye un inductor y un capacitor en serie. El voltaje máximo entre los extremos del capacitor va a ser de 12.0 V (el mismo que la batería del vehículo). Para producir un sonido suficientemente fuerte, el capacitor debe almacenar 0.016 J de energía. ¿Qué valores de capacitancia e inductancia se deben elegir para el circuito de la alarma? 30.59. Energía magnética solar . Los cm dentro de una mancha solar llegan a
tener una intensidad tan grande como . (En comparación, el cm terrestre es de alrededor de 1/10,000 de ese valor .) Las manchas solares tienen hasta 25,000 km de radio. El material en una mancha solar tiene una densidad de cerca de ⁄ Suponga que para el material de la mancha solar es . Si el 100% de la energía del cm almacenada en una mancha se pudiera usar para expulsar de la superficie del Sol el material de la mancha, ¿con qué rapidez sería expulsado el material? Compare el resultado con la rapidez de escape del Sol, que es de aproximadamente ⁄. (Sugerencia: calcule la energía cinética que podría proveer el campo magnético a 1 m3 de material de la mancha solar.) 30.61. En el laboratorio usted trata de determinar la inductancia y resistencia
interna de un solenoide. Para ello, lo conecta en serie con una batería cuya resistencia interna es despreciable, un resistor de 10 y un interruptor. A continuación acopla un osciloscopio entre los extremos de uno de estos elementos de circuito para medir el voltaje entre los extremos del elemento de circuito como función del tiempo. Se cierra el interruptor y el osciloscopio indica el voltaje contra el tiempo, como se aprecia en la figura. a) ¿A cuál elemento de circuito (solenoide o resistor) está conectado el osciloscopio? ¿Cómo lo sabe?
b) ¿Por qué la gráfica no tiende a cero cuando t S ∞? c ) ¿Cuál es la fem de la batería? d ) Determine la corriente máxima en el circuito. e) ¿Cuáles son la resistencia interna y la autoinductancia del solenoide?
30.66. En el circuito que se observa, el interruptor S1 ha estado cerrado
durante un tiempo prolongado, por lo que la lectura de la corriente es un valor estable de 3.50 A. De pronto, simultáneamente se cierra el interruptor S2 y se abre el S1. a) ¿Cuál es la carga máxima que recibirá el capacitor? b) En ese momento, ¿cuál es la corriente en el inductor?
30.67. En el circuito que se presenta en la figura, .
El interruptor S se cierra en . Inmediatamente después de cerrar el interruptor, a) ¿cuál es la diferencia de potencial vab entre los extremos del resistor R 1; b) ¿cuál punto, a o b, está a un potencial más alto?; c ) ¿cuál es la diferencia de potencial vcd entre los extremos del inductor L? d ) ¿Cuál punto, c o d , está a un potencial más alto? Se deja cerrado el interruptor durante mucho tiempo y después se abre. Inmediatamente después de abrir el interruptor, e) ¿cuál es la diferencia de potencial vab entre los extremos del resistor R 1?; f ) ¿cuál punto, a o b, está a un potencial más alto?; g ) ¿cuál es la diferencia de potencial vcd entre los extremos del inductor L?; h) ¿cuál punto, c o d , está a un potencial más alto?
30.68. En el circuito que se ilustra, .
a) El interruptor S está cerrado. En cierto momento t posterior, la corriente en el inductor aumenta a una tasa de ⁄ ⁄. En ese instante, ¿cuáles son la corriente i 1 a través de R 1 y la corriente i 2 a través de R 2? (Sug: analice 2 mallas separadas: una que contenga a E y R 1, y la otra a E, R 2 y L.) b) Después de que el interruptor ha estado cerrado durante mucho tiempo, se
abre de nuevo. Inmediatamente después de abrirlo, ¿cuál es la corriente a través de R 1?
30.73. Cierto solenoide toroidal de sección transversal rectangular tiene
espiras espaciadas de manera uniforme, con aire en el interior. No suponga que el CM es uniforme en toda la sección transversal. a) Muestre que el flujo magnético a través de una sección transversal del toroide es
b)
Muestre que la inductancia del solenoide toroidal está dada por
c)
La fracción b>a se puede escribir como
d)
Use la expansión de series de potencias válida para para demostrar que cuando es mucho menor que a, la inductancia es
Compare este resultado con el que se dio en el ejemplo 30.3
30.76. Considere el circuito. Los elementos de circuito son los siguientes:
En el instante t = 0, el interruptor se cierra. La corriente a través del inductor es i 1, la corriente a través del ramal del capacitor es i 2, y la carga en el capacitor es q2.
a)
Con base en las leyes de Kirchhoff, verifique las ecuaciones de circuito
b) ¿Cuáles son los valores iniciales de i 1, i 2 y q2? c ) Por sustitución directa, demuestre que las siguientes soluciones para i 1 y q2 satisfacen las ecuaciones de circuito del inciso a). Asimismo, demuestre que
satisfacen las condiciones iniciales
donde y
d ) Determine el tiempo t 1 en el que i 2 disminuye a cero por primera vez.
