Лимеси и непрекинатост непрекинатост
Лимеси Осно Основн внаата прим примен енаа на лимес лимесит итее е опиш опишув увањ ањее на однес днесув увањ ањет ето о на функци функција јата та кога независ независна ната та промен променлив ливаа се стреми стреми (приб (приближу лижува ва)) кон дадена вредност. вредност. На пример, да го испитаме однесувањето на функцијата функцијата f ( x) = x 2 − x + 1
Лева страна
Десна страна
Двострани лимеси Лимеси (Интуитивна дефиниција) Ако Ако вре вреднос дноста та на f ( x x) е сè
поблиску до бројот L кoга x e доволно блиску до а, но x ≠ a, тогаш пишуваме
lim f ( x) = L
x →a
(1)
и велиме дека „ L е лимес на f ( x x) кога x тежи кон а“ или „ f ( x x) тежи кон “. Изразот (1) може (1) може да се запише и како L кога x тежи кон а“. Изразот f ( x x) → L кога x → a.
двостра тран н лимес лимес бидејќи бара вредностите на Овој лимес се нарекува двос f ( x x) да бидат сè с è поблиску до L кога за x се земаат вредности од двете страни на x = a.
Еднострани лимеси Некои функции покажуваат различно однесување за вредности на x кои се блиску до а, но се од левата и десната страна на а. Во тој случај потребно е да се прави разлика дали вредностите на x блиску до a се на левата страна или на десната страна од a со цел да се испита граничното однесување на функцијата. функцијата . Пример:
1, x > 0 f ( x) = = x −1, x < 0 x
lim+
x →0
x x
=1 и
lim−
x →0
x x
= −1
Едносстр Едно тран ани и ли лиме меси си (И (Инт нтуи уити тивн вна а де дефи фини ници ција ја)) Ако вредноста на f ( x x) е сè поблиску до бројот L кo к oга x e доволно блиску до а, но x > а, тогаш пишуваме lim f ( x) = L (3) x → a
+
и велиме дека „ L е лимес на f ( x x) кога x тежи кон а од десно“ или „ L е десен лимес на f ( x x) во x = а“. Ако вредностa вредностa на f ( x x) е сè поблиску до бројот L кoга x e доволно блиску до а, но x < а, тогаш пишуваме (4) lim f ( x) = L x → a −
и велиме дека „ L е лимес на f ( x x) кога x тежи кон а од лево“ или „ L е лев лимес на f ( x x) во x = а “ . Исто така, можеме да запишеме: запишеме : f ( x x) → L кога x → a+ f ( x x) → L кога x → a . −
Врска меѓу еднострани лимеси и двострани лимеси Во општ општ случ случај ај,, не пост постои гара гаранц нциј ијаа дек дека функц ункциј ијаа f ( x x) ќе ќе има двос двостр тран ан лимес лимес во точка чка а. Вреднос Вредностит титее на f ( x може да не се x) мо приближуваат кон еден реален број L кoга вредностите на x→а. Во постои ои. овој случај велиме дека lim f ( x) не пост x → a
Слично, Слично, вредностите на f ( x x) може може да не се прибл приближув ижуваа аатт кон еден реален број L кo кoга x→а + или кога x→а – . Во овој случај велиме дека lim f ( x) не пост постои ои или lim− f ( x ) не пост постои ои.
x →a +
x →a
Теорема 1. (Врска меѓу еднострани лимеси и двострани лимеси) Двостраниот лимес на функцијата f ( x x) постои ако и само ако постојат двата еднострани лимеси и тие се еднакви, т. т.е., lim+ f ( x) = lim− f ( x) = L lim f ( x) = L aко и само ако x →a
x →a
x →a
Пример 1. За функц ункции иите те на црте цртеж жот, от, да се најд најдаат двос двостр тран анит итее и едностраните лимеси во x = a, ако постојат. постојат. Решение. Функциите на сите три цртежи имаат исти еднострани лимеси кога x → a, бидејќи функциите се идентични освен во x = a. За сите три функции lim− f ( x) = 1 и lim+ f ( x ) = 3 x → a
x →a
Но, за сите функции не постои двостраниот лимес кога x → a бидејќи едностраните лимеси во x = a не се еднакви. еднакви .
Пример 2. За функц ункции иите те на црте цртеж жот, да се најд најдаат двос двостр трааните ните и едностраните лимеси во x = a, ако постојат. постојат. Решение. Сите три функции имаат исти еднострани лимеси кога x → a, бидејќи функциите се идентични освен во x = a. Лимесите се и lim+ f ( x ) = 2 lim− f ( x) = 2 x → a
x→a
За овие три функции постои и двостраниот лимес кога x → a бидејќи едностраните лимеси се еднакви и lim f ( x) = 2
x →a
Бесконечни лимеси Поне Понек когаш огаш еднос едностра трани ните те или двост двостра рани ните те лимеси лимеси не посто постоја јатт биде бидејќ јќи и вредностите на функцијата неограничено растат или неограничено опаѓаат. опаѓаат. Пример. lim
x →0−
1 x
= −∞
и
lim
x → 0+
1 x
=
+∞
Неограничено расте
(+∞ (+ ∞) – (+ (+∞) = 0 е нет неточно чно
Неограничено опаѓа
Лева страна
Симболите +∞ и – ∞ не се реални броеви, тие само означуваат дека лимесот не постои. постои. Затоа секој обид за примена на алгебарски операции врз нив е погрешен. погрешен. На пример,
Десна страна
Бесконеечни лиме Бескон лимеси си (Инт Интуит уитивн ивна а дефи дефиници ниција ја) x) неограничено расте кога x тежи 1. Ако вредноста на функцијата f ( x кон а од лево (или десно) тогаш пишуваме lim− f ( x) = +∞
x → a
( т.е. lim+ f ( x ) = +∞ ) x→a
x) неограничено опаѓа кога x тежи 2. Ако вредноста на функцијата f ( x
кон а од лево (или десно) тогаш пишуваме lim− f ( x ) = −∞
x → a
( т.е. lim+ f ( x ) = −∞ ) x→ a
Ако двата еднострани лимеси се +∞ тогаш ќе пишуваме 3. Ако lim f ( x) = +∞
x →a
Ако Ако двата еднострани лимеси се −∞ тогаш ќе пишуваме lim f ( x) = − ∞
x →a
Пример 3.
и
и
Вертикални асимптоти Дефиниција 1. Правата x = a е вертик вертикална ална асимпт асимптота ота на графикот на ), ако о f ( x x), ак lim f ( x) = +∞
или
x → a −
lim f ( x) = −∞
x →a −
или
lim f ( x) = +∞
x→a+
или
lim f ( x) = −∞.
x→a +
Неограничено опаѓа
lim−
x →0
1 x
= −∞
и
lim+
x →0
1 x
= +∞
x = 0 е 0 е вертикална асимптота на графикот на f .
lim f ( x) = −∞
x → a −
и
lim f ( x) = −∞
x→ a+
x = a е вертикална асимптота на графикот на f .
Лимеси во бесконечност Лимеси Лимес и во бе беск скон онеечн чнос ост т (И (Инт нтуи уити тивн вна а деф дефин иници иција ја)) Ако Ако вредн вредноста оста на функци ункција јата та f ( x x) е сè поб поблиску лиску до број број L кога x неограничено расте, тогаш пишуваме lim f ( x ) = L
x →+∞
или
f (x ) → L
кога x → +∞
Ако Ако вредн вредноста оста на функци ункција јата та f ( x поблиску лиску до број број L кога x x) е сè поб неограничено опаѓа, тогаш пишуваме 1 1 = и l i m =∞0 l i m 0 lim f ( x ) = L − или x →+f∞( x ) → L кога x →x−→ ∞ x x x →−∞
lim
1
=0
lim
1
=0
Хоризонтална асимптота Хоризонтална асимптота
Хоризонтална асимптота
Во првиот случај графикот на f се се приближува кон правата y = L кога графикот на f се се приближува x неограничено расте, а во вториот случај графикот кон правата y = L кога x неограничено опаѓа. опаѓа . Ако Дефиниција. Ако lim f ( x ) = L
x → +∞
ил и
lim f ( x ) = L
x → −∞
Тогаш правата правата y = L се нарек нарекув уваа хориз оризон онта талн лна а асим асимпт пто ота на графикот на f.
Бесконечни лимеси во бесконечност Бескон Беск онеечн чни и лим лимеси еси во бе беск скон онеечн чнос ост т (И (Инт нтуи уити тивн вна а деф дефин иници иција ја)) функцијата f ( x 1. Ако 1. Ако вредноста на функцијата x) неограничено расте кога x неограничено се зголемува (или намалува), пишуваме lim f ( x) = +∞
x → +∞
т.е.
lim f ( x) = +∞
x → −∞
2. Ако 2. Ако вредноста на функцијата f ( x x) неограничено опаѓа кога x неограничено се зголемува (или намалува), пишуваме lim f ( x) = −∞
x → +∞
т.е.
lim f ( x) = −∞
x → −∞
Лимес во бесконечност – кога лимесот не постои Да ја разгледаме разгледаме функцијата f ( x Лиме сот кога x → +∞ или x → – ∞ x) = sin x. Лимесот не постои, но не заради тоа што f ( x x) расте или опаѓа неограничено, туку зара заради ди тоа тоа што што вред вреднос ности тите те на f ( x x) осцилираа осцилираатт меѓу –1 и 1 без да се приб прибли лижу жув ваат аат кон нек некој опре опреде деле лен н реал реален ен број број.. Во Во општ случај, тригонометриските функции немаат лимес кога x→+∞ или x→ – ∞ бидејќи се периодични. периодични . Нема ознака за ваков вид на однесување на функција, затоа само ќе пишуваме “лимесот не постои". постои" .
Лимесот не постои кога x → +∞ или x → – ∞.
Пресметување на лимеси Теорема 1. Нека а и k се се реални броеви.
(а) lim k x →a
=
k
(б) lim x = a x → a
(в) lim− x →0
1 x
= −∞
(г) (г ) lim+ x → 0
1 x
= +∞
Теорема 2. Нека а е даден реален број, и нека lim f ( x ) = L1 и li lim g ( x ) = L2 x → a
x→a
(а) lim[ f ( x ) + g ( x )] = lim f (x ) + lim g (x ) = L1 + L2 x → a
x→a
x→a
(б) lim[ f ( x ) − g ( x )] = lim f (x ) − lim g (x ) = L1 − L2 x → a
x →a
x →a
(в) lim[ f ( x ) ⋅ g ( x )] = lim f (x ) ⋅ lim g (x ) = L1 ⋅ L2 x → a
(г) lim x → a
x →a
f ( x) g ( x)
=
lim f ( x )
x → a
lim g ( x)
x → a
=
x→a
L1 L2
,
(д) lim n f ( x) = n lim f ( x) = n L1 , x → a
x →a
под услов L2 ≠ 0
под услов L1 ≥ 0, aкo n е парен број
Тврдењата важат и за едностраните лимеси, кога x→a – или кога x→a+ .
Две генерализации Својствата а) и в) од Теорема 2 може да се генерализираат за повеќе од две функции. функции. Теорема 3. Ако за функциите f 1, f 2, …, f n, постои лимесот лиме сот кога x→a, тогаш i ) lim[ f1 ( x) + f 2 ( x) + + f n ( x)] = li lim f1( x) + li lim f 2 ( x) + + lim f n ( x) x →a
x →a
x →a
x→a
ii ) lim[ f1 ( x) f 2 ( x) f n ( x)] = [lim f1( x)][lim f 2 ( x)] [lim f n ( x)] x → a
x →a
x→a
x →a
Некои основни лимеси Својство 1. lim x n = a n
x → a
Доказ.
(
lim x = lim x ⋅ x x = lim x ⋅ lim x ⋅ lim x = lim x n
x → a
x →a
x →a x →a x →a n пати
Својство 2.
lim( cf ( x)) = c lim f ( x)
x → a
x →a
Доказ.
lim(cf ( x)) = lim c ⋅ lim f ( x) = c lim f ( x)
x → a
x →a
x →a
x →a
x →a
)
n
= an
Примери: lim[ f ( x) − g ( x ) + 2h ( x )] = lim f ( x ) − lim g ( x ) + 2 li lim h ( x )
x → a
x→a
x→ a
x→ a
lim[ f ( x) ⋅ g ( x ) ⋅ h( x)] = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x ) ⋅ lim h ( x ), од Теорема 3 за n = 3
x → a
x→ a
lim[ f ( x )]3 = [lim f ( x )]3
x → a
x →a
x→ a
земаме f ( x ) = g ( x ) = h ( x ) во последното равенство
lim[ f ( x )]n = [lim f ( x )]n
x →a
x→ a
x →a
од Теор Теорем емаа 3 за n множ множит ител ели и секој екој едн еднак аков ов на f ( x)
Пример. Да се определи
lim( x 2 − 4 x + 3) x →5
Решение. lim( x 2 − 4 x + 3) = lim x 2 − lim 4 x + lim 3 x →5
x →5
x→5
x→ 5
примена на Теорема 2 (а), (б)
= lim x 2 − 4 lim x + lim 3
константата константата пред знакот за лимес
= 52 − 4 ⋅ 5 + 3 = 8
Својство 1
x →5
x →5
x→5
Теорема 4. За било кој полином 2 n p ( x ) = c0 + c1 x + c2 x + + cn x
и било кој реален број а,
lim p( x ) = p (a )
x → a
Доказ.
lim p ( x) = lim(c0 + c1 x + c2 x 2 + + cn x n ) =
x → a
x→ a
= lim c0 + lim(c1 x ) + lim(c2 x 2 ) + + lim(cn x n ) = x → a
x→ a
x→ a
x→ a
= c0 + c1 lim x + c2 lim x 2 + + cn lim x n = x → a
x → a
x→ a
= c0 + c1a + c2 a 2 + + cn a n = p( a)
Теорема 5. Нека f ( x) =
p( x) q( x)
е дробно - рационална функција, и нека а е било кој реален број. (а) Ако q(a) ≠ 0, тогаш lim f ( x) = f (a ) x → a
(б) Ако q(a) = 0 и p(a) ≠ 0, тогаш lim f ( x) не постои. x → a
Доказ. lim p ( x ) = p (a ), lim q ( x ) = q (a ) . Нека q(a) ≠0, тогаш 0, тогаш x → a
x→ a
lim f ( x) = lim
x → a
x→ a
p ( x) q ( x)
=
lim p( x )
x → a
lim q( x) x → a
=
p( a) q ( a)
= f ( a).
Нека q(a) = 0 и p(a) ≠ 0, тогаш 0, тогаш за вредности на x доволно блиски до a, кога 0) се добива број p( x x) ќе се подели со q( x x) (многу мала вредност, блиска до 0) се кој е многу голем (тежи кон +∞) или многу мал (тежи кон −∞), зависно од знакот на p( x x) и q( x x). Значи, во овој случај lim f ( x ) не постои . x → a
p( x)
Aко q (a) = 0, p (a) ≠ 0 тогаш за лимесот на f ( x) = , кога x →a можен е q ( x) еден од следните 3 случаи: случаи: 1. Едниот 1. Едниот едностран лимес е − ∞, а другиот +∞. 2. Двата 2. Двата еднострани лимеси се +∞. 3. Двата 3. Двата еднострани лимеси се − ∞.
Пример. Да се определат
а) lim
x → 4+
2 − x ( x − 4)( x + 2)
б) lim
x → 4−
2 − x ( x − 4)( x + 2)
в) xlim →4
2 − x ( x − 4)( x + 2)
Неопределеност од облик 0/0 Ако Ако p( x x)/q( x x) e дробно дробно- рационална рационална функција за која што p(a) = 0 = q(a), тогаш броителот и именителот имаат заеднички фактор x – a, т.е., може да a, т. се поделат со x – a. a. Во овој случај, прво се крати заедничкиот множител x – a a, а потоа се бара лимесот на добиената поедноставна функција. функција .
Пример. Најди
а) lim
x 2 − 6 x + 9
б) lim
( x − 3)
x →3
x →− 4
2 x + 8 x + x − 12 2
Решение. а) Броителот и именителот имаат заеднички фактор x – 3.
lim x →3
x 2 − 6 x + 9
( x − 3)
= lim x →3
( x − 3) 2 ( x − 3)
= lim( x − 3) = 0 x→3
б) Броителот и именителот имаат заеднички фактор x + 4. lim
x → −4
2 x + 8 x 2 + x − 12
= lim
x → −4
2( x + 4) ( x + 4)( x − 3)
= lim
x→ − 4
2 x−3
=−
2 7
Лимеси кои содржат корени Пример. Најди
lim x →1
x − 1 x − 1
Решение. Имаме неопределеност од облик 0/0. Со рацион рационализ ализаци ација ја на именителот добиваме
x −1 x +1 ( x − 1)( x + 1) lim = lim ⋅ = lim = lxi→m1 x →1 x →1 x →1 x − 1 x − 1 x −1 x +1 x − 1
(
)
x +1 = 2
Лимеси на функции дефинирани по делови За функции кои што се дефинирани по делови, двострани лимеси во точките во кои формулата се менува се определуваат со пресметување на едностраните лимеси. лимеси . Пример. Нека
1 x < − 2 x + 2 , 2 f ( x ) = x − 5, −2 < x ≤ 3 . x>3 x + 13,
Да се определат следните лимеси: лимеси: а) lim f ( x ) x →− 2
б) lim f ( x ) x →0
в) lim f ( x ) x →3
определи лиме ме двостр двостран анио иотт Решение. (а) За да го опреде лимес прво треба да ги најдиме двата еднострани лимеси. лимеси. При определување на едностраните лимеси мора да го користиме делот од формулата соодветен на интервалот во кој што се менува x. На пример, кога x тежи кон –2 кон –2 oд лево, функцијата е f ( x) =
1 x + 2
а кога x тежи кон 2 oд десно, функцијата е f ( x) = x 2 − 5
Според тоа, lim− f ( x) = lim−
x → −2
x → −2
1 x + 2
= −∞
lim+ f ( x) = lim+ ( x 2 − 5) = ( −2) 2 − 5 = −1
x → −2
x →−2
од каде што следува дека lim f ( x) не постои . x →− 2
Решение. (б) Од двете страни на x = 0 формулата e f ( x x) = x2 –5
па затоа не е потребно да се бараат двата еднострани лимеси. лимеси. Директно добиваме lim( x 2 − 5) = 02 − 5 = −5
x →0
Решение. (в) Користејќи ги соодветните формули за f ( x x) имаме lim− f ( x) = lim− ( x 2 − 5) = ( −3) 2 − 5 = 4
x →3
x →3
lim f ( x) = lim+
x →3+
x →3
x + 13 = lim+ 3 + 13 = 4 x →3
Бидејќи двата двата еднострани лимеси се с е еднакви lim f ( x ) = 4 x →3
