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ANÁLISIS Y COMPENSACIÓN DE SISTEMAS DE CONTROL CONTENIDO CAPÍTULO IV 4.5 DISEÑO EN TIEMPO DISCRETO DISCRETO POR ASIGNACIÓN DE POLOS 4.5.1. Diseño del controlador PID de posición 4.5.2. Diseño del controlador PID de velocidad 4.5.3. Diseño del controlador RST 4.5.3.1 Diseño de la regulación: controlador RST 4.5.3.2 Diseño del seguimiento: controlador RST 4.5.3.3 Diseño del RST con cancelación polo-cero 4.6 DISEÑO CON EL LUGAR DE LAS RAÍCES 4.7 DISEÑO CON LA RESPUESTA RESPUESTA DE FRECUENCIA FRECUENCIA 4.8 RESUMEN 4.9 EJERCICIOS

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4.5. DISEÑO EN TIEMPO DISCRETO POR POR ASIGNACIÓN DE POLOS 4.5. 4.5.1. 1. Dise Diseño ño de dell cont contrrolad olador or PID PID de posi posici ción ón

Sea el PID en forma posicional:

La FdT en RC: P ( s s)= S c A + Rc B: polos deseados de RC; Rc B: ceros de RC GRUPO DE INVESTIGACION EN CONTROL INDUSTRIAL

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Sea el PID en forma posicional:

La FdT en RC: P ( s s)= S c A + Rc B: polos deseados de RC; Rc B: ceros de RC GRUPO DE INVESTIGACION EN CONTROL INDUSTRIAL

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z ), Las Las espe especif cific icac acio ione ness de de dese semp mpeñ eñoo se impo impone nenn en T ( z ), de defi fini nien endo do el z )=1+p polinomio característico: P ( z )=1+p1z-1 + p2z-2, de forma que se obtengan ρ y ωn, adecuados en red cerrada, de donde se puede usar: para estimar el muestreo. R c estos Los ceros de red cerrada son los del proceso B y los del contro controlador lador R ceros dependen de A, B y P y por lo tanto no se definen de antemano; recuérdese que los ceros de Rc pueden aumentar el SP. Si P no no tiene como factor a B, no hay cancelación polo-cero en red cerrada en tal caso, el controlador se puede usar con ceros del proceso B de fase no mínima; recuérdese que los ceros de fase no mínima son frecuentes en los sistemas de datos muestreados.


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4.5. DISEÑO EN TIEMPO DISCRETO POR ASIGNACIÓN DE POLOS 4.5.1. Diseño del controlador PID de posición

Se recuerda que en general para La discretización da:


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4.5. DISEÑO EN TIEMPO DISCRETO POR ASIGNACIÓN DE POLOS 4.5.1. Diseño del controlador PID de posición


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4.5. DISEÑO EN TIEMPO DISCRETO POR ASIGNACIÓN DE POLOS 4.5.1. Diseño del controlador PID de posición Ejemplo

De 0.2 < ωnT < 0.6, para ωn = 0.05 se tiene: 4 < T < 12, se escoge T = 5. De la tabla con T = 5, τ= 10 y T m = 3, los polinomios del numerador y denominador de G( z ) son:


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El sistema tiene unos márgenes de estabilidad apropiados de: MG=7.712 (>2), MF=67.2o (> 30o), módulo: 0.7551 (> 0.5) y de retardo: 45.4 s (> T = = 5). De los parámetros del PID continuo (pg 2) existe uno con:


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4.5.2. Diseño del controlador PID de velocidad

El sobrepaso debido al cero del controlador se puede evitar usando un PID en forma de velocidad, donde la acción PD solo actúa sobre la medida:


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4.5. DISEÑO EN TIEMPO DISCRETO POR ASIGNACIÓN DE POLOS 4.5.2. Diseño del controlador PID de velocidad

PID continuo equivalente:


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4.5. DISEÑO EN TIEMPO DISCRETO POR ASIGNACIÓN DE POLOS 4.5.2. Diseño del controlador PID de velocidad Ejemplo

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4.5. DISEÑO EN TIEMPO DISCRETO POR ASIGNACIÓN DE POLOS


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4.5. DISEÑO EN TIEMPO DISCRETO POR ASIGNACIÓN DE POLOS 4.5.3. Diseño del controlador RST

Como para el diseño en tiempo continuo, el diseño del RST digital por asignación de polos aplica a plantas con polos y ceros de fase mínima o no mínima, de cualquier grado en el numerador y denominador, pero sin factores comunes entre ellos. Una ligera diferencia es que el digital si considera el retardo del proceso, puesto que su discretización genera funciones de transferencia de pulsos polinómicas racionales en z −1 con polos en el origen; en tiempo continuo el tiempo muerto debe aproximarse a una función polinómica como la de Padé para aplicar el método de asignación de polos.


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4.5. DISEÑO EN TIEMPO DISCRETO POR ASIGNACIÓN DE POLOS 4.5.3. Diseño del controlador RST 4.5.3.1 Diseño de la regulación


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4.5. DISEÑO EN TIEMPO DISCRETO POR ASIGNACIÓN DE POLOS 4.5.3.1 Diseño de la regulación: controlador RST


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4.5. DISEÑO EN TIEMPO DISCRETO POR ASIGNACIÓN DE POLOS 4.5.3.1 Diseño de la regulación: controlador RST Diseño con restricciones


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4.5. DISEÑO EN TIEMPO DISCRETO POR ASIGNACIÓN DE POLOS 4.5.3.1 Diseño de la regulación: controlador RST Diseño con restricciones


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4.5. DISEÑO EN TIEMPO DISCRETO POR ASIGNACIÓN DE POLOS 4.5.3.2 Diseño del seguimiento: controlador RST

Por causalidad, el retardo z −(1+d ) no se puede compensar; para un sistema normalizado de segundo orden, su discretización con ROC es:

0≤ ρ<1


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4.5. DISEÑO EN TIEMPO DISCRETO POR ASIGNACIÓN DE POLOS 4.5.3. Diseño del controlador RST Ejemplo

De:


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En RC márgenes de estabilidad adecuados: MG=2.703, MF= 65.4º, MM=0.618 y MR=2.1s. Respuesta temporal para el seguimiento y la regulación con el desempeño deseado:


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4.5. DISEÑO EN TIEMPO DISCRETO POR ASIGNACIÓN DE POLOS 4.5.3.3 Diseño del RST con cancelación polo-cero

Al igual que en el caso continuo, polos o ceros del proceso dentro del círculo de radio unidad se pueden cancelar con el controlador; el procedimiento es equivalente al analizado para el tiempo continuo. El ejemplo siguiente ilustra el caso de cancelar los ceros B( z ) de la planta. Ejemplo

Se considera una planta con ceros B( z ) de fase mínima. Para el diseño de la regulación, S c( z ) contiene los ceros B( z ) de la planta:


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El seguimiento y la regulación independientes no se puede aplicar a plantas con ceros de fase no mínima, los cuales pueden aparecer por el muestreo, incluso si el sistema continuo no los tiene; tampoco es conveniente cancelar ceros poco amortiguados, por las oscilaciones que se generan en la señal de control u(t ). GRUPO DE INVESTIGACION EN CONTROL INDUSTRIAL

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4.5. DISEÑO EN TIEMPO DISCRETO POR ASIGNACIÓN DE POLOS


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4.6. DISEÑO CON EL LUGAR DE LAS RAÍCES

El LGDR permite ajustar el parámetro de variación para el cual se traza; para una planta inalterable en un lazo simple, un primer paso de diseño para cumplir las especificaciones es ajustar la ganancia proporcional k p del lazo → lo más alta posible para bajo e ss, respetando los requerimientos de estabilidad relativa → k p máximo → e ssD o bajo tipo en la planta. GH ( s) orden 1 → k p para cumplir e ss

apropiada. GH ( s) orden 2:

y verificar si la velocidad de respuesta es el polo lento puede ser Integrador

Con el sistema subamortiguado la parte real de las raíces no depende de k p ; con k p para ρ= 0.7, si t s=4/ ρωn mayor del deseado, → control P insuficiente. Si GH ( s) orden 3 o más, alta k p genera inestablilidad; k p crítica con Routh. Si k p no es suficiente para cumplir las especificaciones, adicionar polos y ceros al controlador; para especificaciones en el tiempo dadas como una ubicación deseada de las raíces, el LGDR permite ajustar controladores con dos parámetros, al aplicar los criterios de magnitud y ángulo. GRUPO DE INVESTIGACION EN CONTROL INDUSTRIAL

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Ejemplo

Controlado con un PI; S.P ≤ 10%, y t s máximo de: 10/6 s.

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Con k p = 2.2, tercera raíz en s = −0.96; la respuesta al escalón en RC presenta S.P elevado por el cero del PI en s = −0.75; filtrándolo con G f ( s)= 0.75/( s + 0.75) se obtiene S.P=1.24% y t s =3.73s, que cumplen las especificaciones dadas.


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Para acciones de control con dos parámetros ajustables, el contorno de las raíces da una idea global del efecto de cada uno de ellos y permite su ajuste. Ejemplo


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Efecto amortiguador de la acción D. Con el PD S.P=4.2% y t s =4.9ms, cumpliendo las especificaciones dadas. 35

Los criterios para el diseño por el LGDR en tiempo continuo aplican para los sistemas de tiempo discreto. Ejemplo


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4.7 DISEÑO CON LA RESPUESTA DE FRECUENCIA

Ejemplo

Para el ajuste por RF de un PD, k p desplaza Mdb hacia arriba o abajo y T d corre la curva con pendiente positiva de 20db/dec a la izquierda si aumenta o a la derecha si disminuye.

La acción P tiende a aumentar ω g y el ancho de banda; la acción D mejora MG y MF, pero puede amplificar ruido a altas frecuencias; es ineficaz si la curva de fase es muy pendiente en cercanías de ω g , pues el aumento de ω g y la rápida disminución de la fase pueden hacer que la fase adicionada por el controlador no sea suficiente. GRUPO DE INVESTIGACION EN CONTROL INDUSTRIAL

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Para el ejemplo de la página 30 se diseña el PD por R.F; se requiere: e ssv≤0.00443, MF ≥70º, T max ≤ 1.05, ωTb ≤ 2000 rad/seg.


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Ejemplo

No es posible cancelar el polo de la planta con el cero del controlador, pues se obtiene un sistema marginalmente estable en red cerrada. El sistema es estable solo si el cero en s = −1/T I está antes del polo en s = −1/T : 1/T I < 1/T luego: T I > T . Por la simetría de la curva, se busca con el diseño obtener el máximo MF ubicando ω g en la frecuencia de máximo avance de fase ω m ubicada en la media geométrica entre el cero y el polo:

Diseñ o por simetr ía óptima

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El cero aumenta el S.P. Se elimina con el filtro G f ( s) en la referencia.

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El diseño por RF de los sistemas de control digitales aplican los mismos criterios del diseño de los sistemas continuos. Ejemplo

Diseñar Gc( z ) en el plano W para: MF = 50o, MG≥ 10db, con K ev = 2.


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Gráfica a trazos: RF de kG(w); MG = 13.3db y MF = 31.6o.

Trazo continuo RF del sistema compensado; MF = 51.6o, MG = 14.3db, cumpliendo los especificados. 44



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4.7 DISEÑO CON LA RESPUESTA DE FRECUENCIA Controlador PID serie continuo

Cascada de un PI y un PD; en su RF, se observa que en baja frecuencia actúa como PI y en alta frecuencia actúa como PD. El PID se utiliza para plantas de segundo orden o más; se estudiará el ajuste para una planta con gran atraso de fase de tercer orden y una con un polo real y 2 complejos conjugados con bajo amortiguamiento. GRUPO DE INVESTIGACION EN CONTROL INDUSTRIAL

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4.7 DISEÑO CON LA RESPUESTA DE FRECUENCIA Ejemplo


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RF del sistema compensado

Buenos MG y MF. Se ha adicionado un polo rápido al controlador con ωc=100 para bajar la ganancia en alta frecuencia; t s =4.8s ante respuestas a escalones de entrada; alta ganancia transitoria del controlador de 28 generando saturación en u(t ); como el objetivo principal es de rechazo de los disturbios, la referencia se puede filtrar para cancelar el cero de la acción D: G f ( s)=1/(1 + 2.2 s). GRUPO DE INVESTIGACION EN CONTROL INDUSTRIAL

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El ancho de banda de la función de sensibilidad es de ωS = 1.04rad/s cumpliendo la especificación requerida; S max = 1.9 ≤ 2. Ancho de banda de red cerrada entre la referencia y la salida es de ωT = 0.43, bajo, definido por el filtro de la referencia. Los disturbios de entrada al proceso se rechazan bien y solo alcanzan máximos de 0.73; el valor máximo de la señal de control es inferior a tres. GRUPO DE INVESTIGACION EN CONTROL INDUSTRIAL

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Bajo amortiguamiento del modo oscilatorio: 0 < ρ<< 1. Para un oscilador puro ( ρ=0) un PID inyecta amortiguamiento, dando un controlador bipropio PID paralelo con ceros complejos, ver el ejemplo de la página 16, diseño continuo por asignación de polos. En los ejercicios 10.11 y 10.12, se propone diseñar un controlador digital RST, con el modo oscilatorio en alta frecuencia cerca del ancho de banda de red cerrada. El ejemplo siguiente considera el caso de tener el modo oscilatorio en baja frecuencia. Ejemplo

Servomecanismo para el posicionamiento radial del lector de un DVD; Filardi [2003] traslada las exigencias de desempeño para el rechazo de los disturbios periódicos debidos a la excentricidad, en términos de una cota máxima para la función de sensibilidad, S d . La atenuación de disturbios de baja frecuencia debe ser de al menos −67db en baja frecuencia, hasta 25Hz. La pendiente es luego de +40db/dec hasta el ancho de banda de aproximadamente 1kHz; el máximo es de 3db.

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Un ajuste es considerar la constante de tiempo T I como la más lenta, mayor que T d , con lo que el polo 1/(T 1 s+1) tendrá la constante de tiempo más rápida, menor de T’ d ; las frecuencias de avance de fase máximas de los términos PI y PD son:

Curvas de fase de cada componente y la total, con la asignación:

A partir de estas ecuaciones al imponer un avance de fase, se establece una relación entre las constantes de tiempo de cada red de avance de fase. GRUPO DE INVESTIGACION EN CONTROL INDUSTRIAL

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Respuesta de frecuencia en red abierta del sistema sin compensar y compensado. Para el sistema controlado MG=23.8db y MF =60.2o.

Respuestas de magnitud de las funciones de sensibilidad S y T . S max = 1.9db, T max = 1.82db, ω Sb = 9600rad/s y ωTb = 25000rad/s. La función de sensibilidad cumple con la cota máxima S d especificada. 54



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4.8. RESUMEN

Se ha estudiado el diseño de sistemas de control lineales. Se revisaron las consideraciones fundamentales más importantes para el diseño, en términos de reglas, restricciones, arquitecturas posibles y las especificaciones deseadas de desempeño tanto en el tiempo como en la frecuencia. Se estudiaron diversos métodos de diseño: • La síntesis para la asignación de polos con controladores PID y RST, que incluyó restricciones de diseño como el filtrado de perturbaciones, el bloqueo de señales en el lazo o la cancelación de polos o ceros estables de la planta. • Por análisis con el lugar de las raíces y la respuesta de frecuencia tanto para sistemas de control digitales como continuos.


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4.9. EJERCICIOS


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4.9. EJERCICIOS


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4.9. EJERCICIOS


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4.9. EJERCICIOS

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