Flujo en Tuberías
Luis Emilio Pardo Aluma
6. SISTEMAS DE REDES DE TUBERÍAS
6.1 CONCEPTOS GENERALES. Sistemas de redes de tuberías
n este capitulo estudiaremos 3 de los métodos más utilizados para el análisis y diseño de las redes cerradas de tuberías, estas constituyen el tipo de red que comúnmente se encuentra en los sistemas de abastecimientos de agua. En un sistema de acueducto las tuberías van por las vías públicas y en las esquinas donde se cruzan se conectan con el respectivo accesorio, veamos una esquina en particular.
Figura 6.1 Detalle de una red de acueducto. Vemos que al frente de cada vivienda se encuentra la acometida de acueducto, lo cual nos indica un caudal de salida de la red. Cuando hacemos nuestros análisis, debemos indicar los puntos de salida o entrada de caudales, cambios de diámetro y cruces de tuberías mediante nudos, si hacemos esto deberíamos colocar un nudo en cada sitio en donde se encuentre una acometida, lo cual elevaría innecesariamente el número de tramos, para simplificar, en casi todos los métodos, se concentran las salidas próximas a los nudos en ellos.
55
Flujo en Tuberías
Luis Emilio Pardo Aluma
6.2 PRINCIPIOS FUNDAMENTALES En la red modelada en la figura 6.2 los nudos los hemos enumerado en forma ascendente desde el 0, nudo de alimentación hasta el 3, de igual forma los tubos.
Figura 6.2 Ejemplo de una red con una alimentación Si aplicamos la continuidad en cada nudo tenemos: − Q1 − Q3 − Q4 + q0 = 0 Q1 − Q2
− q1 = 0
Q4 − Q5
− q2 = 0
m
de forma general tenemos, para cada nudo k:
∑Q i =1
i
+ qk = 0
Q2 + Q3 + Q5 − q3 = 0 En el ejemplo planteado se pueden identificar dos caminos o ciclos interiores, los cuales llamaremos circuitos, y en ellos definimos arbitrariamente el signo de los flujos, sí esta en la dirección de las manecillas del reloj como positivo; al efectuar el balance de energía en dichos circuitos tenemos:
K 1Q1n + K 2 Q2n − K 3 Q3n = 0 K 3Q − K 5Q − K 4 Q = 0 n 3
n 5
n 4
m
de forma general tenemos, para cada circuito
∑K Q i =1
i
n i
=0
Si adicionamos estas dos ecuaciones a las cuatro obtenidas aplicando continuidad, obtenemos 6 ecuaciones con 5 incógnitas, lo que nos indica que una de las ecuaciones debe ser combinación lineal de las otras, por eso se elimina una de las ecuaciones de continuidad, como la del nudo en donde entra el flujo al sistema. De esta forma se obtiene un sistema cuadrado en Qi, en el cual existe una única solución. A continuación estudiaremos dos de los métodos más utilizados para resolver este sistema de ecuaciones: el de Transformación lineal, el de Hardy-Cross y el del método del gradiente.
56
Flujo en Tuberías
Luis Emilio Pardo Aluma
6.3 TRANSFORMACIÓN LINEAL Si se observamos las ecuaciones de energía son de la forma
∑K Q
n i
i
=0
Esta se puede representar de la siguiente forma:
∑ (K Q )Q n −1 i
i
i
=0
Como las propiedades de cada tubo (Ki) son conocidas, podemos suponer las direcciones de los flujos y unos caudales iniciales, introduciendo Bi = K i Qin −1 la cual la reemplazamos en el sistema, planteado en el numeral anterior, convirtiéndolo en lineal. Sistema Original
Sistema lineal
m
m
∑ Qi + qk = 0
⇒
i =1 m
∑Q i =1
i
+ qk = 0
m
∑ K i Qin = 0
∑B Q
i =1
i =1
i
i
=0
Con los valores de Qi supuestos, resolvemos el sistema y si los valores encontrados de Qi, difieren de los supuestos, deberemos suponer nuevos valores de Qi, los cuales obtenemos como el promedio de los supuestos y los encontrados. El proceso se repite hasta que la diferencia de los Qi supuestos y los hallados sea tan pequeña como se quiera. 6.4 MÉTODO DE HARDY – CROSS Este es una versión simplificada del método de transformación lineal si llamamos Qoi a los valores de los caudales inicialmente supuestos y Qi a los caudales hallados, se puede definir el ajuste de flujo ∆Q para cada circuito así: ∆Q = Qi − Qoi Luego la ecuación de energía en cada circuito seria:
∑K Q i
n i
n(n − 1) n − 2 n Qoi ∆Q 2 + ... = 0 = ∑ K i (Qoi + ∆Q ) = ∑ K i Qoin + nQoin −1 ∆Q + 2
Como ∆Q es pequeño comparado con Qoi podemos despreciar los ∆Q con exponente mayor que uno, obteniendo así la siguiente expresión:
∑ K (Q i
n oi
)
+ nQoin −1 ∆Q = ∑ K i Qoin + ∑ K i nQoin −1 ∆Q = 0
57
Flujo en Tuberías
Luis Emilio Pardo Aluma
Como ∆Q es constante la podemos sacar de la sumatoria y despejando obtenemos: ∆Q =
− ∑ K i Qoin
n∑ K i Qoin −1
En la expresión los términos de la sumatoria del numerador K i Qoin son positivos si el flujo va en la dirección supuesta como positiva, puede ser las manecillas del reloj, y negativa en caso contrario. Los términos del denominador son siempre positivos. El ∆Q así obtenido se le sumará a los flujos con dirección positiva y se restará a los flujos con dirección negativa. Este proceso se repite hasta que ∆Q sea tan pequeño como se quiera.
6.5 EL MÉTODO DEL GRADIENTE 1 Este método puede clasificarse como un método híbrido de nudos y mallas. Todini y Pilati (1987), y más tarde Salgado et al. (1988) decidieron llamarlo "Método del Gradiente". Métodos similares fueron propuestos anteriormente por Hamam y Brameller (1971) (el "Método Híbrido") y por Osiadacz (1987) (el "Método de Newton para Nudos y Mallas"). La única diferencia entre estos métodos es la forma en que se actualizan los caudales de línea, después de haber encontrado una nueva solución provisional para las alturas en los nudos. Dado que la aproximación de Todini es la más simple, la observaremos con detenimiento. Supongamos que tenemos una red de tuberías con N nudos de caudal y NF nudos de altura dada (embalses y depósitos). La relación entre la pérdida de carga para una tubería que va del nudo i al j, y el caudal de paso puede escribirse como:
H i − H j = hij = rQijn + mQij2 Donde H = altura piezométrica en el nudo, h = pérdida de carga, r = coeficiente de resistencia, Q = caudal, n = exponente del caudal, y m = coeficiente de pérdidas menores.
(6.5.1)
El valor del coeficiente de resistencia depende de la fórmula utilizada para el cálculo de las pérdidas (ver más adelante). Para las bombas, la pérdida (esto es, la altura de la bomba cambiada de signo), puede representarse mediante una fórmula potencial del tipo:
1
LEWIS A. ROSMAN, Epanet Users Manual, P. 187
58
Flujo en Tuberías
Luis Emilio Pardo Aluma
Q hij = −ω h0 − r ij ω
n
2
donde:
h0 es la altura a caudal nulo, ω es la velocidad relativa de giro, y r y n son coeficientes de la curva de la bomba.
El segundo sistema de ecuaciones a cumplir está configurado por la condición de equilibrio para los caudales en todos los nudos:
∑Q
ij
− Di = 0
para i = 1,…N
(6.5.2)
j
Donde Di es el caudal de demanda en el nudo i, el cual por convención se toma como positivo cuando entra al nudo. Dados los valores de las alturas en los nudos de altura prefijada, se trata de encontrar una solución para las alturas Hi en los restantes nudos, y para los caudales Qij de todas las líneas, que satisfagan las ecuaciones (6.5.1) y (6.5.2). El método de resolución del Gradiente comienza haciendo una estimación inicial del caudal por cada tubería, sin necesidad de cumplir la ecuación de continuidad. En cada iteración del método, se obtienen las alturas piezométricas en los nudos resolviendo el sistema de ecuaciones: AH = F
(6.5.3)
Donde A = matriz Jacobiana (NxN), H = vector de incógnitas nodales (Nx1), y F = vector de términos independientes (Nx1) Los elementos de la diagonal principal de la matriz Jacobiana vienen dados por: Aij = ∑ pij j
y los elementos no nulos fuera de la diagonal principal, por: Aij = − pij
donde pij es la inversa de la derivada respecto al caudal, de la pérdida de carga en la línea que va del nudo i al j. Su expresión para las tuberías es: 1
pij = nr Qij
n −1
+ 2m Qij
y para las bombas: pij =
1 Q nω r ij ω
n −1
2
59
Flujo en Tuberías
Luis Emilio Pardo Aluma
Los términos independientes están constituidos por el caudal residual no equilibrado en el nudo, más un factor de corrección dado por:
Fi = ∑ Qij − Di + ∑ y ij + ∑ pif H f f j j donde el último término está presente sólo para las tuberías que conectan el nudo i con un nudo de altura conocida f ; por su parte, el factor de corrección del caudal yij tiene por expresión:
(
y ij = pij r Qij
n
+ m Qij
2
)sgn(Q ) ij
para las tuberías, donde sgn(x) es 1 si x > 0 y -1 en otro caso, e: n Qij y ij = − pij ω ho − r ω
para las bombas (Qij es siempre positivo en este caso). Una vez calculadas las nuevas alturas resolviendo las ecuaciones (6.5.3), los nuevos caudales se obtienen mediante: Qij = Qij − ( y ij − pij (H i − H j ))
Si la suma, extendida a todas las líneas, del valor absoluto de la variación del caudal respecto al caudal total de cada línea es mayor que una cierta tolerancia (p. ej. 0,001), las ecuaciones (6.5.3) y (6.5.4) se resuelven de nuevo. Obsérvese que la fórmula de actualización (6.5.4) conduce al equilibrio de caudales en los nudos, tras la primera iteración. Ejemplo 6.1
Hallar los caudales que pasan por cada tramo, del sistema mostrado en la figura 6.3, utilizando el método de transformación lineal.
Material: PVC, C = 140 Liquido: Agua a 15oC 4”≈0.102m 3”≈0.076m 2”≈0.051m
Figura 6.3. Sistema del ejemplo 6.1
60
Flujo en Tuberías
Solución:
Luis Emilio Pardo Aluma
Primero debemos plantear las ecuaciones de continuidad, en los nudos 2 y 3 q1 + q 2
=6
− q 2 + q3 = 2
y como solo tiene un circuito planteamos una ecuación de energía
K1 q1n − K 2 q 2n − K 3 q3n = 0 Como el liquido es agua a 15oC y las tuberías son de mayores o iguales a 2” podemos utilizar la ecuación de Hazen – Williams, en la cual n=1.852, por facilidad. Por lo anterior tenemos que: Ki =
10.674 Li y reemplazando los valores se obtiene: Ci1.852 Di4.871
K1 = 15 269.92 K2 = 335 131.31 K3 = 64 015.49 Al linealizar la ecuación de energía tenemos:
[K q ]q − [K q ]− [K q ]q 0.852 1 1
1
2
0.852 2
0.852 3 3
3
=0
y suponemos los siguientes caudales, cumpliendo la ecuación de continuidad: q1=5 l/s, q2=1 l/s y q3=3 l/s, con estos valores obtenemos el siguiente sistema de 3x3:
1 1 0 q1 6 q = 2 0 −1 1 2 60 167.12 − 335 131.31 − 163 227.14 q 3 0 Resolviendo el anterior sistema tenemos: q1 5.94 q = 0.06 l/s 2 q3 2.06
En la siguiente iteración se utilizará el promedio del caudal supuesto y el encontrado, así: q1 = (5.94 + 5) / 2 = 5.47 l/s q2 = (0.06 + 1) / 2 = 0.53 l/s q3 = (2.06 + 3) / 2 = 2.53 l/s y obtenemos el nuevo sistema:
1 1 0 q1 6 q = 2 0 −1 1 2 64 953.41 − 195 118.32 − 141170.44 q3 0 Resolviendo este nuevo sistema de ecuaciones se obtiene:
61
Flujo en Tuberías
Luis Emilio Pardo Aluma
q1 5.73 q = 0.27 l/s 2 q3 2.27
Con en la anterior iteración, utilizaremos el promedio para la siguiente iteración: q1 = (5.47 + 5.73) / 2 = 5.60 l/s q2 = (0.53 + 0.27) / 2 = 0.40 l/s q3 = (2.53 + 2.27) / 2 = 2.40 l/s Con estos valores conformamos el nuevo sistema de ecuaciones: 1 1 0 q1 6 q = 2 0 −1 1 2 66 266.34 − 153 521.82 − 134 966.21 q3 0
Y obtenemos la siguiente solución:
q1 5.64 q = 0.36 l/s 2 q3 2.36 Para la próxima iteración tomamos los siguientes valores: q1 = (5.60 + 5.64) / 2 = 5.62 l/s q2 = (0.40 + 0.36) / 2 = 0.38 l/s q3 = (2.40 + 2.36) / 2 = 2.38 l/s Obteniendo así un nuevo sistema de ecuaciones,
1 1 0 q1 6 q = 2 0 −1 1 2 66 467.92 − 146 957.12 − 134 007.36 q3 0 y obtenemos la siguiente solución: q1 5.62 q = 0.38 l/s 2 q3 2.38
Como los caudales encontrados son iguales a los supuestos, tomamos estos últimos caudales como los que buscábamos.
62
Flujo en Tuberías
Ejemplo 6.2
Luis Emilio Pardo Aluma
Hallar los caudales que pasan por cada tramo, del sistema mostrado en la figura 6.4, utilizando el método de Hardy Cross.
Material: PVC, C = 140 Liquido: Agua a 15oC 4”≈0.102m 3”≈0.076m 2”≈0.051m
Figura 6.4. Sistema del ejemplo 6.1
Solución:
1. se determina la dirección positiva 2. se suponen caudales iniciales y las direcciones de flujo.
Figura 6.5 Caudales supuestos. 3. se calcula el error
∆Q =
− ∑ K i Qin
n∑ K i Q
n −1 i
,
n = 1.852
Ki =
10.674 Li C i1.852 Di4.871
Expandiendo la anterior sumatoria tenemos:
63
Flujo en Tuberías
Luis Emilio Pardo Aluma
∆Q =
(
)
− K 1Q1n − K 2 Q2n − K 3Q3n n K 1Q1n −1 + K 2 Q2n −1 + K 3Q3n −1
(
)
Calculamos los coeficientes de resistencia Ki para cada uno de los tubos con la expresión dada: Tubo 1 2 3
Ki 15 269.92 335 131.31 64 015.49
Con los caudales supuestos tenemos el primer ∆Q,
∆Q1 =
(
)
− 15 269.92 * 51.852 − 335131.31 * 11.852 − 64 015.49 * 31.852 = 0.51 1.852 15 269.92 * 5 0.852 + 335131.31 * 10.852 + 64 015.49 * 3 0.852
(
)
Este primer ajuste se lo sumamos a los caudales supuestos: q1 = 5+0.51=5.51 l/s q2 = 1-0.51=0.49 l/s q3 = 3-0.51=2.49 l/s Con estos nuevos caudales calculamos el segundo ∆Q,
(
)
− 15 269.92 * 5.511.852 − 335131.31 * 0.491.852 − 64 015.49 * 2.491.852 = 0.11 1.852 15 269.92 * 5.510.852 + 335131.31 * 0.49 0.852 + 64 015.49 * 2.49 0.852 Este segundo ajuste se lo sumamos a los caudales supuestos: ∆Q2 =
(
)
q1 = 5.51+0.11=5.62 l/s q2 = 0.49-0.11=0.38 l/s q3 = 2.49-0.11=2.38 l/s Nuevamente calculamos un ajuste para estos caudales,
∆Q3 =
(
)
− 15 269.92 * 5.621.852 − 335131.31 * 0.381.852 − 64 015.49 * 2.381.852 = 0.00 1.852 15 269.92 * 5.62 0.852 + 335131.31 * 0.38 0.852 + 64 015.49 * 2.38 0.852
(
Como en esta iteración ∆Q=0.00, tomamos los últimos valores calculados de los caudales como los buscados.
64
)
Flujo en Tuberías
Ejemplo 6.3
Luis Emilio Pardo Aluma
Hallar las presiones en los nudos del sistema de acueducto mostrado en la figura 6.6.
Figura 6.6 Acueducto del problema 6.3 En el cual las propiedades de los tramos y nudos son las siguientes: Diámetro Rugosidad Longitud Tramo mm (m) Pulg. mm C 1200 4 102 0.0015 1 800 3 76 0.0015 2 700 3 76 0.0015 3 900 3 76 0.0015 4 800 4 102 0.0015 5 950 3 76 0.0015 6 850 3 76 0.0015 7 900 3 76 0.0015 Nudo T 1 2 3 4 5 6
Altura (msm) 80 57 55 54 56 58 59 TOTAL
Demanda l/s 1.59 0.95 1.02 1.69 1.14 1.11 7.50
Al utilizar uno cualquiera de los métodos descritos anteriormente, podemos encontrar que los caudales en las tuberías de la red son los mostrados en la figura 6.7. Con estos caudales podemos encontrar las pérdidas en los tramos de la red, y con estos podemos definir la presión de servicio en cada tramo.
65
Flujo en Tuberías
Luis Emilio Pardo Aluma
Figura 6.7 Caudales en l/s en los tramos de la red. Y de acuerdo a lo definido en la sección 5.1.2, en lo referente a la línea piezométrica, tenemos que la presión para cada nudo (k), conociendo la cota del nudo inicial (T) la podemos definir como la diferencia de cotas de los dos nudos menos las pérdidas de energía desde el tanque hasta el nudo en cuestión, así:
Ps =
P
γ
k
= ( zT − z k ) − ∑ hi i =T
Al aplicar la anterior expresión en cada nudo de la red tenemos: Nudo 1: Ps = (80-57)-(9.30) = 13.7 m.c.a 2. Nudo 2: Ps = (80-57)-(9.30+1.31) = 12.39 m.c.a Nudo 3: Ps = (80-57)-(9.30+1.31+0.17) = 12.22 m.c.a. Nudo 4: Ps = (80-57)-(9.30+1.21) = 12.49 m.c.a. Nudo 5: Ps = (80-57)-(9.30+1.61) = 12.09 m.c.a. Nudo 6: Ps = (80-57)-(9.30+1.61+0.14) = 11.95 m.c.a.
2
m.c.a.: metros de columna de agua
66