4.3 Propiedades de La Transformada de Laplace Pp 1-21

ECUACIONES DIFERERNCIALES ORDINARIAS UNIDAD 4 TRANSFORMADA DE LAPLACE Y SISTEMAS DE ECUACIONES ECUACIONES DIFERENCIALES.

Ing. Nancy Velasco E. Abril2016-Agosto2016 I

N

V l

E

0

UNIDAD 4 TRANSFORMADA DE LAPLACE Y SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

I

N

V l

E

1

Linealidad Traslación Cambio de escala T.L Derivadas T. L. Inrales Multiplicación por tn y división por t T.L Funciones periódicas

Sean f, f1 y f2 funciones cuyas transformadas de Laplace existen para s> α y sea c una constante. Entonces, para s>α

) ℒ    = ℒ   ℒ  ) ℒ  = ℒ 

Valor inicial y final Ejercicios planteados

Ing. Nancy Velasco E. 2

Ejemplo: * Determinar: Linealidad Traslación Cambio de escala T.L Derivadas T. L. Integrales Multiplicación por tn y división por t T.L Funciones periódicas Valor inicial y final Ejercicios planteados

ℒ 11  5  6  2

) ℒ    = ℒ   ℒ  ℒ 11  5   6  2 = ℒ 11  ℒ 5  ℒ 6  2 b)ℒ  = ℒ  = 11ℒ 1 5ℒ  6ℒ  2  1 1  ℒ   = ℒ 1 =  ℒ  =      2 = 11 1  5  1 4  6  2 11 5 12 =     4    4  > 4

Por la propiedad de linealidad inciso

Por la propiedad de linealidad inciso

se tiene:

se tiene:

Ing. Nancy Velasco E.

3

Linealidad

Traslación sobre el eje s (primer teorema de traslación).

Traslación Cambio de escala T.L Derivadas T. L. Integrales

Entonces:

: ℒ () = () ℒ  () =     ∈ 

Gráficamente por ejemplo:

Multiplicación por tn y división por t T.L Funciones periódicas Valor inicial y final Ejercicios planteados

Ing. Nancy Velasco E. 4

Ejemplo: * Aplicar el primer teorema de traslación para encontrar: Linealidad Traslación Cambio de escala T.L Derivadas T. L. Integrales Multiplicación por tn y división por t T.L Funciones periódicas Valor inicial y final Ejercicios planteados

  = ℒ  ℒ  () =     :   =  ! = 2   = ℒ  = +  1  ℒ  = + :   = (  ) = (26)

Con a=6

Con n=2

Ing. Nancy Velasco E. 5

Función escalón unitario Linealidad

La función escalón unitario u(t ) está dada por Traslación Cambio de escala T.L Derivadas T. L. Integrales Multiplicación por tn y división por t T.L Funciones periódicas Valor inicial y final Ejercicios planteados

  = 01  <≥ 00

Al recorrer el argumento de u(t ) podemos mover el salto a otra posición; es decir

tiene su salto en t=a.

Ing. Nancy Velasco E. 6

Al multiplicar por una constante M, la altura del salto también se puede modificar. Linealidad Traslación Cambio de escala T.L Derivadas T. L. Integrales Multiplicación por tn y división por t T.L Funciones periódicas Valor inicial y final Ejercicios planteados

Cualquier función continua por partes se puede expresar en términos de funciones escalón unitario. Ing. Nancy Velasco E. 7

Ejemplo: * Escriba la función: Linealidad Traslación Cambio de escala T.L Derivadas

31   /10

2 << 2 < 5 5 ><  < 8 8

T. L. Integrales Multiplicación por tn y división por t T.L Funciones periódicas Valor inicial y final Ejercicios planteados

í () = 3 í () = 1 í () =  á () = /10 Ing. Nancy Velasco E.

8

 f (t ) es igual a 3 hasta que t llega a 2

   = 3()     = 3()  2    2 

Ejemplo:

Realiza un salto de 2 hasta el valor 1.

Linealidad Traslación

u(t-2) es nulo hasta llegar a 2

Cambio de escala T.L Derivadas

En t=5, f cambia del valor 1 a t 

   = 3()  2    2  t1  5 

T. L. Integrales Multiplicación por tn y división por t T.L Funciones periódicas Valor inicial y final Ejercicios planteados

En t=8, f cambia del valor t a

/10

   = 3()  2    2  t  1    5  (      8      = 3()  2    2  t  1    5 (      8 )

)

Ing. Nancy Velasco E.

9

Transformada de Laplace del escalón Linealidad

La Transformada de Laplace de la función escalón

Traslación

−  ℒ    =   >0

Cambio de escala T.L Derivadas T. L. Integrales Multiplicación por tn y división por t T.L Funciones periódicas Valor inicial y final Ejercicios planteados

Ejemplo: * Obtenga la Transformada de Laplace de

=5 −  ℒ  5  = 

(  )  ≥ 0

(  5)

con

es

:

Ing. Nancy Velasco E. 10

Linealidad Traslación

Traslación sobre el eje t (segundo teorema de traslación).

Cambio de escala

T. L. Integrales Multiplicación por tn y división por t T.L Funciones periódicas

:   = ℒ () ℒ         = − () y a>0

T.L Derivadas

Entonces:

Valor inicial y final Ejercicios planteados

Ing. Nancy Velasco E. 11

Ejemplo: Linealidad

* Grafique la función y halle la transformada de Laplace aplicando el segundo teorema de traslación.

  = ℒ   1 (  1)

Traslación Cambio de escala T.L Derivadas T. L. Integrales Multiplicación por tn y división por t T.L Funciones periódicas

Escalón Para graficar:

  1    1 = ( 01)  <≥ 11

Valor inicial y final Ejercicios planteados

Ing. Nancy Velasco E. 12

Ejemplo: Linealidad Traslación Cambio de escala T.L Derivadas T. L. Integrales Multiplicación por tn y división por t T.L Funciones periódicas Valor inicial y final Ejercicios planteados

  = ℒ   1 (  1) ℒ (  )    = −() :   =  !  2   = ℒ  = + =  1  ℒ  = + :   = −() = − 2

Con a=1

Con n=2

Ing. Nancy Velasco E. 13

Linealidad Traslación Cambio de escala T.L Derivadas T. L. Integrales Multiplicación por tn y división por t T.L Funciones periódicas Valor inicial y final Ejercicios planteados

→

Sea f:[0,∞) α, entonces:

una función continua por tramos y de orden exponencial

1  ℒ () =     ℒ   =   

Para a>0

y alternativamente:

Para a>0

La propiedad establece que cuando se cambia la escala en el dominio de tiempo ocurre un cambio de escala contrario en el dominio de la frecuencia, es decir, si la función en el dominio de tiempo se amplía en un factor a, la correspondiente transformada se reduce en la misma cantidad y viceversa. En el dominio de la frecuencia la amplitud queda dividida por a. Ing. Nancy Velasco E. 14

Ejemplo: * Determine la transformada de las funciones f(2t) siendo:

   =     1    1  (  1)

Linealidad Traslación Cambio de escala T.L Derivadas T. L. Integrales Multiplicación por tn y división por t T.L Funciones periódicas Valor inicial y final Ejercicios planteados

ℒ 

− 1 −  = + ℒ         =  () ℒ     =     =  1   =  −  1 1    =   −   

Con n=1

Con a=1

Con a=1

Ing. Nancy Velasco E. 15

Ejemplo: Linealidad Traslación Cambio de escala T.L Derivadas T. L. Integrales Multiplicación por tn y división por t T.L Funciones periódicas Valor inicial y final Ejercicios planteados

1  ℒ () =    1  ℒ (2) = 2  2  −   1 1 1  −   2 = 2         2 2 2    2 2 − −  2 =         1 Ing. Nancy Velasco E. 16

Linealidad Traslación Cambio de escala

Sea f (t ) continua en [0, ∞) y f (t ) continua por partes en [0, ∞ ), ambas de orden exponencial . Entonces, para s>α:

ℒ ′  = ℒ    (0)

T.L Derivadas

Transformada de Laplace de derivadas en orden superior T. L. Integrales Multiplicación por tn y división por t T.L Funciones periódicas Valor inicial y final Ejercicios planteados

Sean f(t), f’(t), …, f (n-1)(t) continuas en [0, ∞) y sea f (n)(t) continua por partes en [0, ∞), con todas estas funciones de orden exponencial. Entonces, para s>α:

ℒ ()  = ℒ    −  0  − ′ 0  ⋯  − (0) Se reemplazar la “ derivación con respecto de t” con la “multiplicación por s”  Ing. Nancy Velasco E. 17

Ejemplo:

   =  

* Obtenga la transformada de la derivada de la función Linealidad Traslación Cambio de escala T.L Derivadas T. L. Integrales Multiplicación por tn y división por t T.L Funciones periódicas Valor inicial y final Ejercicios planteados

ℒ ′  = ℒ    (0) ℒ ′  = s ℒ     (0)    0 =  0 = 0 ℒ   =     ′ ℒ   = s     Ing. Nancy Velasco E.

18

Linealidad Traslación Cambio de escala T.L Derivadas T. L. Integrales Multiplicación por tn y división por t T.L Funciones periódicas

Sea f(t) una función seccionalmente en t≥0 y de orden exponencial α, y si

ℒ () =   ,:  ℒ     = 1 ()

Valor inicial y final Ejercicios planteados

Ing. Nancy Velasco E. 19

Ejemplo: Linealidad Traslación Cambio de escala T.L Derivadas T. L. Integrales Multiplicación por tn y división por t T.L Funciones periódicas Valor inicial y final Ejercicios planteados

   = cosh  1 ℒ cosh =   

* Obtenga la transformada de la integral de la función

1 ℒ =  ()  ℒ  (cosh  1 ) = 1 ()     

con b=1

Obteniendo la transformada de f(t)

  =   1  1s Ing. Nancy Velasco E. 20

Ejemplo: Linealidad Traslación Cambio de escala T.L Derivadas T. L. Integrales Multiplicación por tn y división por t T.L Funciones periódicas Valor inicial y final

Reemplazando:

ℒ

  (cosh  1 )

Reduciendo:

1  1 =    1  s     1 1  =    1 1 = (   1)

Ejercicios planteados

Ing. Nancy Velasco E. 21

Ejercicios plateados

Linealidad

Halle la Transformada de Laplace de:

Traslación Cambio de escala

*

.

Sugerencia emplee una identidad trigonométrica

Sol:

T.L Derivadas T. L. Integrales Multiplicación por tn y división por t T.L Funciones periódicas Valor inicial y final Ejercicios planteados

Sol:

*

Usar el teorema de la transformada de la derivada de una función para encontrar F(s) Sol: *

Ing. Nancy Velasco E. 22

¿Preguntas?

Ing. Nancy Velasco E.

23