423 - Ampliación de Topología

423 - Ampliación de Topología

Índice general 1 Ho Homo moto topí píaa

1

1.1 Defi Definic nición ión formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Tip Tipoo hom homotó otópi pico co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3 Ref Refere erenci ncias as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.4 Lite Literatur raturaa del caso caso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.5 Enlac Enlaces es ext externo ernoss

2

. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . .

2 Grupo fu fundam ndamenta entall

3

2.1 De Defini finici cion ones es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2.1. 2. 1.11

Lazo La zo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2.1.2

Clasess de hom Clase homotop otopía ía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.1.3

Grupo fu fundam ndamenta entall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2 Pro Propi pieda edade dess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.3 Eje jempl mplos os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.4 Ref Refere erenci ncias as y notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.5 Bib Bibliliogr ografí afíaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

3 Espa Espacio cio recu recubrid bridor or

6

3.1 Recu Recubri bridor dor uni univers versal al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

3.2 Véa Véase se tam tambi bién én

. . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . .. . .

6


6

4 Teorem Teoremaa funda fundamental mental del álgebra

8

4.11 Hi 4. Hist stor oria ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

4.2 Enunciad Enunciadoo y equi equivalenc valencias ias

. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. .

9

4.3 Dem Demost ostrac ració iónn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

4.3.1 4.3 .1

Corol Cor olari arios os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.4 Ref Refere erenci ncias as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.5 Enlac Enlaces es ext externo ernoss

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5 Teo Teorema rema de la bola pelu peluda da

5.1 Repr Represe esentaci ntación ón intu intuiti itiva va

11

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.2 Enu Enunc ncia iado do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5.33 Hi 5. Hist stor oria ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 i

Índice general 1 Ho Homo moto topí píaa

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1.1 Defi Definic nición ión formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.2 Tip Tipoo hom homotó otópi pico co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.4 Lite Literatur raturaa del caso caso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.5 Enlac Enlaces es ext externo ernoss

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2 Grupo fu fundam ndamenta entall

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2.1 De Defini finici cion ones es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.1. 2. 1.11

Lazo La zo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.1.2

Clasess de hom Clase homotop otopía ía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.1.3

Grupo fu fundam ndamenta entall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.2 Pro Propi pieda edade dess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.3 Eje jempl mplos os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.4 Ref Refere erenci ncias as y notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.5 Bib Bibliliogr ografí afíaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Espa Espacio cio recu recubrid bridor or

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3.1 Recu Recubri bridor dor uni univers versal al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4 Teorem Teoremaa funda fundamental mental del álgebra

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4.11 Hi 4. Hist stor oria ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4.2 Enunciad Enunciadoo y equi equivalenc valencias ias

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4.3 Dem Demost ostrac ració iónn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4.3.1 4.3 .1

Corol Cor olari arios os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10


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5 Teo Teorema rema de la bola pelu peluda da

5.1 Repr Represe esentaci ntación ón intu intuiti itiva va

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5.2 Enu Enunc ncia iado do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5.33 Hi 5. Hist stor oria ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 i

ii

ÍNDICE GENERAL

5.4 Dem Demost ostrac ració iónn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5.4.1

Demostraci Demos tración ón vis visual ual por el disc discoo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.4.2

Formaliza Form alizació ciónn geom geométri étrica ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.4.3

Formaliza Form alizació ciónn anal analític íticaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.5 Gen General eralizac ización ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5.6 Aplicac Aplicaciones iones y consec consecuencias uencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5.6.1

Teoremaa del punto fijo de Brouwe Teorem Brouwerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.6.2 5.6 .2

Corol Cor olari arioo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.6.3 5.6 .3

Meteor Met eorol ologí ogíaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.6.4

Computaci Comp utación ón gráfi gráfica ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.8 Notas y ref refere erenci ncias as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5.9 Bib Bibliliogr ografí afíaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5.10 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 6 Teorem Teoremaa de Seif Seifert-van ert-van Kampen

6.1 Véa Véase se tam tambi bién én 6.2 Enlac Enlaces es ext externo ernoss

19

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

7 Supe Superfici rficiee (mate (matemáti mática) ca)

20

7.1 Defi Definic nicion iones es fo formal rmales es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 7.2 Propieda Propiedades des y tipos de superfi superficies cies

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7.2.1

Superfic Supe rficies ies cer cerradas radas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7.2.2

Superficies Superfici es desarroll desarrollables, ables, regladas y alabeadas

7.2.3

Superfic Supe rficies ies orie orientab ntables les . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7.3 Teore Teorema ma de de clasific clasificación ación de superfic superficies ies cerradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 7.4 Véa Véase se tam tambi bién én 7.5 Enlac Enlaces es ext externo ernoss

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

8 Homo Homologí logíaa (mate (matemáti mática) ca)

25

8.1 De Defini finici ción ón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 8.2 Véa Véase se tam tambi bién én

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

8.5 Text and image sources, contributors, and license licensess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 8.5. 8. 5.11

Text xt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

8.5. 8. 5.22

Imag Im ages es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

8.5.3 8.5 .3

Conten Con tentt lilice cense nse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Capítulo 1

Homotopía

Los dos caminos en negrita que se muestran arriba son homotópicos en relación a sus extremos. Las líneas finas marcan isocontornos de una posible homotopía.

En topología, y más precisamente en topología algebraica,dos aplicaciones continuas deun espacio topológico en otro se dicen homotópicas (del griego homos = mismo y topos = lugar) si una de ellas puede “deformarse continuamente” en la otra.

1.1 Definición formal Dos aplicaciones continuas f , g : X → Y se dicen homotópicas si existe otra aplicación (continua también) H : X × [0, 1] → Y tal que: H (x, 0) = f (x)

1

2

CAPÍTULO 1. HOMOTOPÍA

H (x, 1) = g (x)

Un ejemplo importante son las diferentes clases (homotópicas) de mapeos del círculo a un espacio X S 1

→ X

la estructura resultante es el importantísimo grupo fundamental.

• Si dos aplicaciones f y g son homotópicas, se escribe f ≃ g; lo que significa esta relación es efectivamente una relación de equivalencia sobre el conjunto de aplicaciones continuas de de X en Y, Las clases de equivalencia se denominan clases de homotopía de aplicaciones. [1]

1.2 Tipo homotópico f

g

Se dice que dos espacios X , Y tienen el mismo tipo homotópico, si existe un par de aplicaciones X →Y y Y →X tales que g ◦ f y f ◦ g son homotópicos a I dX y I dY respectivamente. Suele ser utilizado el símbolo: f ≃ g , para indicar que los objetos f y g son homotópicos. Como ejemplos, una 1-esfera y un toro sólido tienen el mismo tipo homotópico.

1.3 Referencias [1] Munkres: “Topología”

1.4 Literatura del caso

• Weisstein, Eric W. «Homotopía». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), « Homotopía» (en inglés), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104

1.5 Enlaces externos

•

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Capítulo 2

Grupo fundamental

Mediante lazos con base en un punto fijo podemos explorar el espacio topológico al que pertenece. Las clases de equivalencia de estos lazos formarán el grupo fundamental.

En topología, podemos asociar a cada punto p de un espacio topológico X un grupo que nos informa sobre la estructura 1-dimensional de la porción de espacio que rodea a este punto. Los elementos de este grupo, llamado grupo fundamental de X relativo al punto base p ,[1] son clases de equivalencia de lazos (curvas cerradas) con origen en el punto p. Existen generalizaciones a dimensión superior de este grupo, que reciben el nombre de grupos de homotopía.Elgrupo fundamental recibe también el nombre de primer grupo de homotopía. De ahí la forma común de notarlo como π1 (X, p) .

2.1 Definiciones 2.1.1 Lazo Sea X un espacio topológico, y p un punto fijo de X . Un lazo con base en p es una aplicación continua γ : [0, 1] → X que verifica γ (0) = γ (1) = p . El producto α ∗ β de dos lazos α y β se define como (α ∗ β )(t) =

�

α(2t)

0

1 2

≤ t ≤ Esto es, el lazo α ∗ β ≤ t ≤ 1

β (2t 1) 12 primero recorre el camino de α , pero a “doble velocidad” y después el de β , también a doble velocidad.

3

−

4

CAPÍTULO 2. GRUPO FUNDAMENTAL

2.1.2 Clases de homotopía Las clases de homotopía son las clases de equivalencia debidas a la relación de ser homotópico. Dos lazos α, β : [0, 1] → X con base en un punto común p son homotópicos si existe una aplicación continua H : [0, 1] × [0, 1] → X tal que H (s, 0) = α (s) H (s, 1) = β (s) H (0, t) = p H (1, t) = p

Intuitivamente una clase de homotopía representa un paquete de curvas que son deformables entre sí.

2.1.3 Grupo fundamental El producto de dos clases de homotopía de lazos [f] y [g] se define como [f ∗ g]. Puede demostrarse que este producto está bien definido al ser independiente de la elección de representantes. Este producto nos permite obtener una estructura de grupo: el elemento neutro será la clase [γ] del lazo t rivial definido como γ(t) = p para todo t; el inverso de la clase de un lazo [f] será la clase del mismo lazo recorrido en sentido contrario (es decir, f − 1 (t) = f(1 − t)) El grupo fundamental de un espacio topológico X basado en un punto p ∈ X , notado como π 1(X, p) , es el conjunto de clases de homotopía de curvas cerradas con la operación yuxtaponer clases.

2.2 Propiedades

• Si el espacio es arco-conexo, los diferentes grupos π (X, p)

y π1(X, q ) para dos puntos p, q isomorfos. Siendo posible hablar de el grupo fundamental del espacio: π1 (X ) . 1

∈

X son

• Una aplicación continua f : X → Y entre dos espacios topológicos induce una aplicación del conjunto de lazos de X sobre el de lazos de Y. Esta aplicación se induce también sobre las clases respectivas y se convierte en un homomorfismo f entre los grupos fundamentales definido de este modo: f [α] = [ f ◦ α] . • La asignación dada por X → π (X ) que va de la categoría de espacios topológicos a la categoría de grupos ∗

∗

1

es un functor.

• Este invariante puede ser calculado mediante la técnica de grafo de grupos conocida como el Teorema de Seifert-van Kampen. Con este resultado basta descomponer el espacio en 2 espacios más simples donde el grupo fundamental sea conocido.

2.3 Ejemplos

• En muchos espacios sólo existe una clase de homotopía de lazos, y en consecuencia, el grupo nfundamental

es trivial. Un espacio topológico con grupo fundamental trivial se dice simplemente conexo. R , o cualquier subconjunto convexo de Rn lo son. La esfera de dimensión n con n mayor o igual que 2 también lo es.

• El espacio topológico más simple no simplemente conexo es la circunferencia: su grupo fundamental es iso-

morfo al grupo aditivo de los números enteros Z. El número entero asociado a cada lazo de S 1 es el número de vueltas que ese lazo da en torno a ella.

• Si X e Y son dos espacios topológicos arcoconexos, el grupo fundamental del producto X x Y es isomorfo al producto de los grupos de ambos espacios. Por ejemplo, si para la circunferencia, π (S ) = Z . Para el toro, homeomorfo a un producto de circunferencias, π (T ) = Z ⊕ Z . • El grupo fundamental no tiene por qué ser conmutativo. Por ejemplo, el grupo fundamental del plano privado de dos puntos R − {a; b} es isomorfo al grupo libre con dos generadores F . Estos dos generadores son las 1

1

2

1

2

2

clases de los lazos que pasando por un punto p rodean a cada uno de los puntos eliminados.

2.4. REFERENCIAS Y NOTAS

2.4 Referencias y notas [1] Munkres: “Topología” ISBN 978-84-205-3180-9, printed in spain

2.5 Bibliografía

• Masey, W.S. A basic course in algebraic topology. GTM 127. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97430-X • Munkres, J., Topology, Prentice Hall (2000) ISBN 0131816292 •

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5

Capítulo 3

Espacio recubridor ˜ , p , X ] donde X, ˜ X son espacios topoEn topología, un espacio recubridor o espacio cubriente es una tripleta [X ˜ → X es una función continua y sobreyectiva lógicos y p : X

Además se cumple que ∀x ∈ X 1

−

p

U =

∪

∃U abierto en X vecindad de x tal que

˜j U

j

˜j son disjuntos y para cada U ˜j la aplicación p| ˜ : U ˜j → U es un homeomorfismo. donde los U U j

El concepto de espacio cubriente se utiliza en ciencias tales como la geometría diferencial, los grupos de Lie, superficies de Riemann, homotopía, teoría de nudos. El ejemplo prototipo es R → S 1 dado por t → e it .

3.1 Recubridor universal Entre todos los espacios recubridores de un espacio X se llama recubridor universal al espacio recubridor simplemente conexo. Puede probarse que el espacio recubridor universal es único salvo homeomorfismos. En otras palabras un espacio cubriente se llama universal si es simplemente conexo, i.e. su primer grupo de homotopía es trivial.

3.2 Véase también

• Fibrado • Cubierta ramificada 3.3 Referencias

• W.S. Massey. Introducción a la topología algebraica . Ed. Reverté, S.A. 1982. ISBN 84-291-5091-9. • C. Kosniowski. A first course in algebraic topology. Cambridge Univ. Press. 1980. ISBN 0-521-23195-7.

6

3.3. REFERENCIAS

Y es un cubriente de X.

7

Capítulo 4

Teorema fundamental del álgebra El teorema fundamental del álgebra establece que todo polinomio de grado mayor que cero tiene una raíz. [1] El dominio de la variable es el conjunto de los números complejos, que es un hiperconjunto de los números reales. Aunque este enunciado, en principio, parece ser una declaración débil, implica que todo polinomio de grado n de una variable con grado mayor que cero con coeficientes complejos tiene, contando las multiplicidades, exactamente n raíces complejas. La equivalencia de estos dos enunciados se realiza mediante la división polinómica sucesiva por factores lineales. Hay muchas demostraciones de esta importante proposición, que requieren bastantes conocimientos matemáticos para formalizarlas.

4.1 Historia Pedro Rothe (Petrus Roth), en su libro Arithmetica Philosophica (publicado en 1608), escribió que una ecuación polinómica de grado n (con coeficientes reales) puede tener n soluciones. Alberto Girardo, en su libro L'invention nouvelle en l'Algebre (publicado en 1629), aseveró que una ecuación de grado n tiene n soluciones, pero no menciona que dichas soluciones deban ser números reales. Más aún, él agrega quesu aseveración es válida “salvo que la ecuación sea incompleta”, con lo que quiere decir que ninguno de los coeficientes del polinomio sea igual a cero. Sin embargo, cuando explica en detalle a qué se está refiriendo, se hace evidente que el autor piensa que la aseveración siempre es cierta; en particular, muestra que la ecuación x4 = 4 x

− 3

a pesar de ser incompleta, tiene las siguientes cuatro soluciones (la raíz 1 tiene multiplicidad 2):

1,

1,

−1 + i

√

2 y

− 1 − i

√

2.

Leibniz en 1702 y más tarde Nikolaus Bernoulli, conjeturaron lo contrario. Como se mencionará de nuevo más adelante, se sigue del teorema fundamental del álgebra que todo polinomio con coeficientes reales y de grado mayor que cero se puede escribir como un producto de polinomios con coeficientes reales del cual sus grados son 1 ó 2. De todas formas, en 1702 Leibniz dijo que ningún polinomio de tipo x 4 + a4 (con a real y distinto de 0) se puede escribir en tal manera. Luego, Nikolaus Bernoulli hizo la misma afirmación concerniente al polinomio x4 − 4x3 + 2x2 + 4x + 4 , pero recibió una carta de Euler en 1742 en el que le decía que su polinomio pasaba a ser igual a:

(x2

− (2 + α)x + 1 +

√

7 + α)(x2

− (2 − α)x + 1 +

√

7

− α)

con α igual a raíz cuadrada de 4 + 2√7. Igualmente mencionó que: 8

9

4.2. ENUNCIADO Y EQUIVALENCIAS

√

x4 + a4 = (x2 + a 2x + a2 )(x2

− a

√

2x + a2 ).

El primer intento que se hizo para demostrar el teorema lo hizo d'Alembert en 1746. Su demostración tenía un fallo, en tanto que asumía implícitamente como cierto un teorema (actualmente conocido como el teorema de Puiseux) que no sería demostrado hasta un siglo más tarde. Entre otros Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772) y Laplace (1795) intentaron demostrar este teorema. A finales del siglo XVIII, se presentaron dos nuevas pruebas, una por James Wood y otra por Gauss (1799), pero ambas igualmente incorrectas. Finalmente, en 1806 Argand publicó una prueba correcta para el teorema, enunciando el teorema fundamental del álgebra para polinomios con coeficientes complejos. Gauss produjo otro par de demostraciones en 1816 y 1849, siendo esta última otra versión de su demostración original. El primer libro de texto que contiene la demostración de este teorema fue escrito por Cauchy. Se trata de Course d'anlyse de l'École Royale Polytechnique (1821). La prueba es la debida a Argand, pero sin embargo en el texto no se le da crédito. Ninguna de las pruebas mencionadas más arriba son constructivas. Es Weierstrass quien por primera vez, a mediados del siglo XIX, menciona el problema de encontrar una prueba constructiva del teorema fundamental del álgebra. En 1891 publica una demostración de este tipo. En 1940 Hellmuth Knesser consigue otra prueba de este estilo, que luego sería simplificada por su hijo Marin Kneser en 1981.

4.2 Enunciado y equivalencias El teorema se enuncia comúnmente de la siguiente manera: Es ampliamente conocido también el enunciado: Un polinomio en una variable, no constante y con coeficientes complejos, tiene tantas raíces [3] como indica su grado, contando las raíces con sus multiplicidades. En otras palabras, dado un polinomio complejo p ( z) de grado n ≥ 1, la ecuación p ( z) = 0 tiene exactamente n soluciones complejas, contando multiplicidades. Otras formas equivalentes del teorema son:

• El cuerpo de los complejos es cerrado para las operaciones algebraicas. • Todo polinomio complejo de grado n ≥ 1 se puede expresar como un producto de n polinomios lineales, es decir

n

p(z ) =

∑

n k

ak z = a n

∏

(z

i=1

k =0

− b ). i

4.3 Demostración Sea p un polinomio de grado n . p es una función entera. Para cada constante positiva m , existe un número real positivo r tal que

| p(z)| > m,

si

|z| > r.

Si p no tiene raíces, la función f = 1/ p , es una función entera con la propiedad de que para cualquier número real ϵ mayor que cero, existe un número positvo r tal que

|f (z)| < ϵ,

si

|z| > r.

Concluimos que la función f es acotada. Pero el teorema de Liouville dice que si f es una función entera y acotada, entonces, f es constante y esto es una contradicción.

10

CAPÍTULO 4. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA

De manera que f no es entera y por tanto p tiene al menos una raíz. p se puede escribir por tanto como el producto p(z ) = (z

− α )q (z), 1

donde α 1 es una raíz de p y q es un polinomio de grado n − 1 . Por el argumento anterior, el polinomio q a su vez tiene al menos una raíz y se lo puede factorizar nuevamente. Repitiendo este proceso n − 1 veces,[4] concluimos que el polinomio p puede escribirse como el producto p(z ) = k (z

− α )(z − α ) ··· (z − α 1

2

n)

donde α1 ... αn son las raíces de p (no necesariamente distintas) y k es una constante.

4.3.1 Corolarios Como el teorema fundamental del álgebra puede ser visto como la declaración de que el cuerpo de los números complejos es algebraicamente cerrado, se sigue que cualquier teorema concerniente a cuerpos algebraicamente cerrados aplican al cuerpo de los números complejos. Se muestran aquí algunas consecuencias del teorema, acerca del cuerpo de los números reales o acerca de las relaciones entre el cuerpo de los reales y el cuerpo de los complejos:

• El cuerpo de los números complejos es la clausura algebraica del cuerpo de números reales. • Todo polinomio en una variable x con coeficientes reales es el producto de un polinomio constante de la forma x + a con a real, y polinomios de la forma x + ax + b con a y b reales y a − 4b < 0 (que es lo mismo que 2

2

decir que el polinomio x2 + ax + b no tiene raíces reales).

• Toda función racional en una variable x , con coeficientes reales, se puede escribir como la suma de una función polinómica con funcionesracionales de la forma a/(x − b) (donde n es un número natural, y a y b son números reales), y funciones racionales de la forma (ax + b)/(x + cx + d) (donde n es un número natural, y a , b , c , y d son números reales tales que c − 4d < 0 ). Un corolario de esto es que toda función racional en una n

2

n

2

variable y coeficientes reales tiene una primitiva elemental.

• Toda extensión algebraica del cuerpo de los reales es isomorfa al cuerpo de los reales o al cuerpo de los complejos.

4.4 Referencias [1] William R. Derick: “Variable Compleja con aplicaciones”. ISBN 968-7270-35-5 [2] J. Rey Pastor, P. Pi Calleja, C. A. Trejo. Análisis matemático I. Buenos Aires: Kapelusz. §18-1. El texto dice: Toda ecuación algebraica en una incógnita z de grado n ≥ 1.... La cita fue adaptada al contexto del artículo. [3] Se dice que el número z es una raíz de un polinomio p si p (z ) = 0 . [4] En el último paso, lo que queda es un polinomio de grado uno multiplicado por una constante


• Fundamental Theorem of Algebra — a collection of proofs (en inglés) • D. J. Velleman: The Fundamental Theorem of Algebra: A Visual Approach , PDF (unpublished paper), visualisation of d'Alembert’s, Gauss’s and the winding number proofs (en inglés)

• Weisstein, EricW. «FundamentalTheorem of Algebra». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

Capítulo 5

Teorema de la bola peluda

Si un campo vectorial sobre una esfera se simboliza por pelos de longitud constante, el teorema de la bola peluda estipula que la esfera contiene al menos un rizo. La figura contiene dos, uno en cada polo.

En matemática, y más precisamente en topología diferencial, el teorema de la bola peluda es un resultado que se aplica a esferas que en cada punto poseen un vector, visualizado como un «pelo» tangente a la superficie. Afirma que la función que asocia a cada punto de la esfera el vector admite al menos un punto de discontinuidad, lo que significa que el peinado contiene un «bucle» o «rizo», es decir que habrá zonas vacías (o calvicie). De manera más rigurosa, un campo vectorial continuo definido sobre una esfera de dimensión par, al menos igual a 2, se anula en al menos un punto. Este resultado se relaciona con los llamados teoremas de punto fijo y tiene numerosas aplicaciones en áreas como la meteorología o la computación gráfica. 11

12

CAPÍTULO 5. TEOREMA DE LA BOLA PELUDA

5.1 Representación intuitiva Se representa intuitivamente[1] una esfera recubierta por pelos lisos y no crespos, cada punto de la esfera es la raíz de un pelo. A continuación, se considera la proyección sobre el plano tangente a la esfera en el punto en que el pelo crece: el conjunto de estas proyecciones da una buena idea de un campo de vectores tangentes a la esfera. Lo que se busca entonces es “peinar” estos pelos alisándolos sobre la superficie de la bola, evitando las discontinuidades: el peinado no tiene raya, no se permite a ningún pelo cambiar bruscamente de dirección con respecto a los otros. El teorema afirma entonces que es imposible obtener este resultado: cualquier intento causará al menos un rizo, es decir un punto en que un pelo se parará.

5.2 Enunciado Nota: en dimensión impar, sí es posible construir campos vectoriales continuos que no se anulan nunca.

5.3 Historia Este teorema fue demostrado por primera vez por Luitzen Egbertus Jan Brouwer en 1912.[2] La prueba generaliza los resultados obtenidos con anterioridad como el teorema de la curva de Jordan [3] o los trabajos de Leopold Kronecker sobre las funciones continuamente diferenciables de la esfera real de dimensión n- 1 en un espacio vectorial de dimensión n.[4] Estos resultados, aunque de formulación intuitiva, requieren para su demostración desarrollos a veces técnicos. Un ejemplo arquetípico de resultados de la misma naturaleza es el teorema del punto fijo de Brouwer , el cual enuncia que toda aplicación continua de una bola cerrada de un espacio vectorial euclidiano de dimensión finita en él mismo, admite un punto fijo.

5.4 Demostración Muchas de las demostraciones de este teorema son por « reducción al absurdo». Los formalismos matemáticos requeridos en algunas de ellas escapan a las pretensiones del presente artículo. [Ver bibliografía]

5.4.1 Demostración visual por el disco Es una demostración que utiliza el argumento del reductio ad absurdum (se pueden construir análogos tridimensionales: se quiere demostrar que no puede haber campo vectorial tangente y continuo, que no se anule nunca sobre la esfera ordinaria en el espacio tridimensional). Al razonar por el absurdo, se supone que sí existe una aplicación continua f del disco unitario en él mismo, tal que f (x) es distinta de x para cualquier x del disco. Lo que se busca es fabricar una bola peluda sin rizo ni calvicie, y obtener así una contradicción. Si se tiene una aplicación f sin punto fijo, entonces cada punto x del disco permite definir un vector no nulo, el vector f (x) − x . Intuitivamente, la idea es «plegar» una esfera cortada por la mitad, y hacerla coincidir exactamente con el semi-disco.

• • • • • • Al pegar nuevamente ambos hemisferios de la esfera, los campos tangentes se recomponen continuamente, obteniéndose así un «peinado» continuo y sin «calvicie», que es la contradicción deseada.

5.4. DEMOSTRACIÓN

13

5.4.2 Formalización geométrica

Se razona nuevamente por el absurdo. Dada una esfera, se eligen un polo norte y un polo sur, así como una orientación. De este modo se puede hablar de paralelos de la esfera y orientarlos de manera continua. Adicionalmente, se define un sistema referencial móvil tangente a la esfera. Se le puede asociar entonces a cada paralelo un número: el número de vueltas del campo vectorial en el sistema móvil a lo largo de ese paralelo. Este número está bien definido pues el campo vectorial no se anula; depende continuamente de la latitud del paralelo -según los resultados estándares sobre la continuidad del número de vueltas- y es entero. Por lo tanto es constante. A continuación, se calcula el número de vueltas en la vecindad del polo norte, punto en que el sistema de referencia móvil cesa de estar definido. Para paliar esta dificultad, se proyectan a la vez el campo vectorial v y es sistema móvil sobre el plano tangente al polo norte. La orientación de este plano tangente se deduce de la orientación de la esfera. Por continuidad, el número de vueltas no cambia y vale m y m vale +1 o −1 según la elección de la orientación de los paralelos. Siguiendo un razonamiento similar en una vecindad del polo sur, el sistema móvil dará una vuelta alrededor del polo sur en el sentido de los paralelos, mas para mantener una orientación coherente con la de la esfera, en tanto que plano en el espacio de tres dimensiones, el plano tangente debe estar orientado en el sentido opuesto, y por lo tanto el número de vueltas será −m , lo cual es una contradicción.

14


5.4.3 Formalización analítica Para el desarrollo algebraico formal de las demostraciones expuestas, se puede tomar, por ejemplo, x como un punto corriente de la esfera y v (x) el campo de vectores; a continuación se parametriza la esfera en coordenadas polares (suponiendo un radio 1): x1 = cos θ cos φ,

x2 = sin θ cos φ,

x3 = sin φ

con 0≤ θ <2 π y −π /2 ≤ φ ≤ π /2 . El resultado muestra la contadicción esbozada, al calcular el número de vueltas del campo tangente, con una determinada orientación, en la vecindad de los polos.

5.5 Generalización La demostración analítica debida a Milnor generaliza el teorema al caso de cualquier dimensión. [5] Una demostración ligeramente diferente es debida a A. Rogers. [6] Otras pruebas se basan en conceptos de la topología algebraica; una demostración clásica utiliza la característica de Euler; también se puede formular como un caso particular del teorema de Poincaré-Hopf; otras pruebas se basan

5.6. APLICACIONES Y CONSECUENCIAS

15

En un toro la situación es diferente.

en propiedades de homotopía matemática (teorema de Borsuk-Ulam). En el caso de la esfera ordinaria, es posible deducir una demostración a partir del lema de Sperner. Existe un argumento relacionado (en topología algebraica) que se basa en el número de Lefschetz y los números de Betti: en una 2-esfera, el número de componentes conectadas (número de Betti) son 1, 0, 1, 0, 0, ... Los números de Lefschetz (la traza total de homología) de la función identidad es igual a 2; al integrar el campo vectorial, se obtiene un difeomorfismo de la esfera. Se requiere algo más de trabajo riguroso para mostrar que, debido a que el número de Lefschetz no se anula, debe haber un punto en el que el campo vectorial sea cero. La generalización del teorema está íntimamente conectada con la característica de Euler χ: la 2 n-esfera no tiene un campo vectorial que no se anule para n ≥ 1. Esto es una consecuencia directa del teorema de Poincaré–Hopf. En el caso específico de un toro matemático , por ejemplo, la característica de Euler es 0, por lo que sí es posible obtener un peinado sin bucles ni zonas claras.

5.6 Aplicaciones y consecuencias Las consecuencias del teorema son numerosas y no se limitan a las matemáticas.

5.6.1 Teorema del punto fijo de Brouwer Es posible demostrar el teorema del punto fijo de Brouwer a partir del teorema de la bola peluda:

5.6.2 Corolario Una consecuencia del teorema de la bola peluda es que toda función continua que «mapee» una esfera en sí misma tiene o bien un punto fijo o bien un punto que se mapea en su punto antípodo. Esto se puede ver al transformar una función en un campo vectorial tangente y definiendo por ejemplo una proyección estereográfica de la función sobre la esfera. El teorema asegura qua habrá al menos un punto p para el cual la proyección será 0.

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5.6.3 Meteorología

Ojo del ciclón tropical .

El teorema tiene consecuencias en meteorología; se considera una modelización esquemática del viento como vector definido continuamente en cada punto sobre la superficie del planeta con atmósfera. Como una idealización, el viento tiene componentes vectoriales bidimensionales, y su movimiento a lo largo del eje vertical es nulo. Bajo estas condiciones, la falta absoluta de viento corresponde a una solución posible: el campo de vectores nulos . Este escenario no presenta mayor interés desde el punto de vista del teorema, y es físicamente irrealista (viento siempre habrá). En el caso en que hay algo de viento, el teorema de la bola peluda dice que en todo momento debe haber al menos un punto en el planeta sin nada de viento. En un sentido físico, esta zona de no viento corresponde al ojo de un ciclón o anticiclón (efecto observable, por ejemplo, en la vellosidad de un pelota de tenis, de forma espiral alrededor de esta zona). El teorema de la bola peluda impone la existencia permanente de un punto sobre la tierra en donde el viento se modeliza por un sistema arremolinado y, en su centro, un ojo. Esta consecuencia se observa de hecho en la realidad. El teorema no dice nada sin embargo acerca de la talla del vórtice o la potencia de los vientos que lo rodean.

5.6.4 Computación gráfica Un problema común en computación gráfica es el de generar, en el espacio tridimensional, un vector no nulo que sea ortogonal a una zona no nula dada. No existe una función continua que pueda hacer esto para todos los vectores no nulos dados. Este es un corolario del teorema de la bola peluda. Para verlo, puede considerarse el vector dado como el radio de una esfera: encontrar un vector ortogonal no nulo ortogonal a uno dado sería equivalente a encontrar un vector no nulo que sea tangente a la superficie de esa esfera. El teorema asegura que no existe una función continua que pueda definirse en cada punto de una esfera ( i.e. para cada vector dado).

5.7 Véase también

• Teorema del punto fijo de Brouwer

5.8. NOTAS Y REFERENCIAS

17

Campo vectorial continuo tangente sobre una 2-esfera.

•

Teoremas de punto fijo

5.8 Notas y referencias [1] Benoît Rittaud, Le journal de maths des élèves, 1 (1994), ENS de Lyon [2] Luitzen Egbertus Jan Brouwer, Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten Mathematische Annalen, 1912 [3] Este teorema enuncia que un bucle simple divide al plano en dos componentes conexas. Fue demostrado rigurosamente en 1905: Oswald Veblen, Theory on plane curves in non-metrical analysis situs , Transactions of the American Mathematical Society 6 (1905), pp. 83–98 [4] Leopold Kronecker Über Systeme von Funktionen mehrerer Variabeln Monatsber. Berlin Akad. 1869 pp. 159–193 y 688– 698 [5] J. Milnor, Analytic proofs of the “hairy ball theorem” and the Brouwer fixed point, Am. Math. Monthly 85(1978)521-524. [6] C. A. Rogers, A less strange version of Milnor’sproof of Brouwer fixed point theorem, Amer. Math. Monthly 87(1980)525527

18


5.9 Bibliografía

• J.W.Milnor, Topology from the differentiable viewpoint PrincetonUniv. 1997 ISBN069104833957. (eninglés) • N. E. Chinn W. G. Steenrod Topologie élémentaire Dunod 1991 ISBN 2040048480. (en francés) • M. Eisenberg, R. Guy, A Proof of the Hairy Ball Theorem The American Mathematical Monthly Vol. 86, No. 7 (Aug. — Sep., 1979), pp. 571–574. (en inglés)

• Murray Eisenberg, Robert Guy, A Proof of the Hairy Ball Theorem , The American Mathematical Monthly, Vol. 86, No. 7 (Aug. - Sep., 1979), pp. 571–574. (en inglés)


• Esta obra deriva de la traducción parcial de Théorème de la boule chevelue de Wikipedia en francés, con-

cretamente de esta versión, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported.

• Esta obra deriva de la traducción parcial de Hairy ball theorem de Wikipedia en inglés, concretamente de esta versión, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported.

Capítulo 6

Teorema de Seifert-van Kampen En matemáticas, concretamente en topología algebraica, el teorema de Seifert–van Kampen, a veces conocido simplementecomoel teorema de van Kampen, expresala estructura del grupo fundamental deun espacio topológico X respecto de los grupos fundamentales de dos subespacios abiertos y conexos por caminos U y V que recubren X. Se puede emplear por tanto para obtener el grupo fundamental de espacios construibles a partir de espacios más sencillos.

6.1 Véase también

• Grupoide 6.2 Enlaces externos

• Van Kampen’s theorem result en PlanetMath

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Capítulo 7

Superficie (matemática)

Ilustración de una superficie curvada, inmersa en R 3 , orientable y con borde; sobre la que se ha dibujado un conjunto de líneas coordenadas ortogonales.

Una superficie es de hecho un conjunto de puntos de un espacio euclídeo que forma un espacio topológico bidimensional que localmente, es decir, visto de cerca se parece al espacio euclídeo bidimensional. Así alrededor de cada punto de una superficie esta se aproxima bien por el plano tangente a la superficie en dicho punto. Una definición tradicional de superficie que alude a términos intuitivos pero con la que resulta fácil trabajar desde un punto de vista matemático fue la dada por Euclides:

Una superficie es aquello que sólo tiene longitud y anchura. Euclides, Los Elementos, Libro I, definición 5ª.

20

7.1. DEFINICIONES FORMALES

21

7.1 Definiciones formales Una superficie es una variedad bidimensional, es decir, un objeto topológico que localmente “se parece” al plano euclídeo R2 (técnicamente localmente homeomorfo al plano). Eso significa que si tomamos un área muy pequeña de la superficie es parecida al plano euclídeo, al igual que en medio de una llanura la superficie local de la tierra nos parece plana. Más formalmente el homeomorfismo local entre una superficie y el plano euclídeo implica que para cada punto de una superficie hay una vecindad de P (una pequeña región que la rodea) que es homeomorfa a un disco abierto de R2 . Esta propiedad de ser homeomorfa con el plano permite construir un sistema de coordenadas local bidimensional en torno a cualquier punto en la superficie. Se puede llamar al homeomorfismo local que va de la superficie a R2 como carta y al inverso (de este homeomorfismo) parametrización. No siempre es posible parametrizar una superficie con un único homeomorfismo local. Una superficie (topológica) con frontera es un espacio topológico de tipo Hausdorff en que cada punto tiene una vecindad abierta V para la que existe un homeomorfismo φ con un conjunto abierto del semiplano superior del plano euclídeo E2 . El par ordenado ( V , φ) se llama carta (local) de coordenadas del punto [esta carta no es única porque para cada punto existen de hecho muchas posibles elecciones de coordenadas].

7.2 Propiedades y tipos de superficies Las superficies usuales sonversiones curvadasdel plano, de hecho sonlocalmente homeomorfas a él. No es extraño por tanto que varios tipos de superficies interesantes en las aplicaciones, se definan a partir de propiedades de curvatura respecto al plano euclídeo o en términos de isometrías. Además otros conceptos topológicos interesantes como la orientabilidad permiten expresar formalmente ciertas propiedades de las superficies.

7.2.1 Superficies cerradas

Un ejemplo de una superficie cerrada y múltiplemente conexa es el triple toro.

22

CAPÍTULO 7. SUPERFICIE (MATEMÁTICA)

Intuitivamente una superfice cerrada en el espacio tridimensional es cualquier superfice que encierra un volumen, dividiendo a dicho espacio en una región “acotada” y unaregión “noacotada”. En 4 o másdimensiones también existen superficies cerradas pero la noción intuitiva anterior no es válida, ya que las superficies cerradas en más dimensiones no dividen al espacio de esta forma.

• Puede comprobarse que en tres dimensiones una superficie sin borde encierra un volumen, como por ejemplo

la esfera y el toro o “donut”, estas superficies son además superficies orientables. De hecho todas las superficies cerradas inmersas en el espacio tridimensional son orientables, a diferencia de lo que ocurre en más dimensiones.

• Otrassuperficiescerradasmás exóticas son el plano proyectivo y la botella de Klein (definible en 4 dimensiones). • Un disco (en R ), un cilindro de altura finita o la banda de Möbius son ejemplos de superficies con frontera. 2

Como la imagen de la derecha.

7.2.2 Superficies desarrollables, regladas y alabeadas Algunas superficies tienen propiedades interesantes que son expresables en términos de su curvatura, estos tipos son las superficies desarrollables, regladas y alabeadas:

• Intuitivamente una superficie es desarrollable si puede fabricarse a partir de un plano euclídeo mediante “do-

blado”. El cono y el cilindro son desarrollables, lo cual se manifiesta en que se pueden construir modelos apropiados a partir de una hoja de papel o cartulina plana. Formalmente dada una superficie desarrollable existe una isometría entre la superficie y el plano euclídeo. Una condición necesaria y suficiente para que una superficie se desarrollable, se desprende del theorema egregium de Gauss,esquela curvatura gaussiana de dicha superficie sea idénticamente nula.

• Una superficie es reglada cuando el plano tangente para cada punto de la misma contiene una línea recta

completamente contenida sobre la superficie. Una condición necesaria es que la segunda forma fundamental sea en ese punto una forma cuadrática indefinida y por tanto la curvatura gaussiana es negativa.

• Una superficie alabeada es una superficie reglada y no-desarrollable. 7.2.3 Superficies orientables Una última propiedad menos intutiva es la de orientabilidad, que permite distinguir entre superficies orientables y noorientables. Una superficie orientable puede definirse simplemente como una variedad orientable de dimensión dos, donde toda curva cerrada simple contenida tiene una vecindad regular homeomorfa a un cilindro abierto. Cualquier variedad de dimensión dos que no es orientable es una superficie no-orientable. Esto es, existe al menos una curva cerrada simple contenida que tiene una vecindad regular homeomorfa a una banda de Möbius. Las superficies orientables cerradas tienen la propiedad de dividir el espacio tridimensional (donde siempre pueden ser encajadas) en dos regiones diferentes y disjuntas: una acotada por dicha superficie que es de volumen finito y otra no acotada exterior a dicho volumen. Este término se utiliza para distinguirlas de las superficies que no encierran nada en su interior, como un plano infinito en referencia al espacio tridimensional. Es imposible hablar de que las superficies no orientables dividan el espacio tridimensional pues estas superficies no pueden ser encajadas en él.

7.3 Teorema de clasificación de superficies cerradas Un importante resultado matemático es el teorema de clasificación de superficies cerradas , el cual afirma que toda superficie cerrada (es decir, compacta y sin frontera o borde) es homeomorfa a algún miembro de las siguientes tres familias de superficies: 1. la esfera; 2. la suma conexa de g -toros, siendo g ≥ 1 ;

7.4. VÉASE TAMBIÉN

23

La banda de Möbius es una superficie no-orientable con una frontera (su frontera es una curva cerrada simple).

3. la suma conexa de k planos proyectivos reales, siendo k ≥ 1 . Dicho de otra manera, las superficies anteriores son todas las superficies cerradas que existen (salvo homeomorfismo). La superficies de las dos primeras familias son orientables. Es conveniente combinar las dos primeras familias, considerando la esfera como la suma conexa de cero toros. El número g de toros involucrados en la construcción se denomina género de la superficie. Puesto que la esfera y el toro tienen características de Euler 2 y 0, respectivamente, se deduce que la característica de Euler de la suma conexa de g toros es precisamente 2 − 2g .

Las superficies de la tercera familia son no-orientables. La característica de Euler del plano proyectivo real es 1, así la suma conexa de k de ellos es is 2 − k . De todo esto se sigue, que una superficie cerrada está determinada -salvo homeomorfismo- por dos propiedades: el valor numérico de su característica de Euler (o su género) y si es o no-orientable. Es posible clasificar también las superficies que no son cerradas (es decir, con frontera). Esto se obtiene como el esquema anterior, añadiendo el número de fronteras que tiene la superficie.

7.4 Véase también

• Variedad diferenciable • Variedad algebraica • Variedad topológica • Geometría diferencial de superficies • Área

24

CAPÍTULO 7. SUPERFICIE (MATEMÁTICA)

Deformando una 2-variedad con frontera.

• Cuádrica 7.5 Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Superficie. Commons • Surface en la Enciclopedia en-línea de la Springer-Verlag • Clasificación de las superficies, en webdelprofesor.ula.ve

Capítulo 8

Homología (matemática) En matemática (especialmente en topología algebraica y en álgebra homológica), la homología (en Griego homos = idéntico) es un procedimiento general para asociar un objeto matemático dado (por ejemplo un espacio topológico o un grupo) con una sucesión de grupos abelianos, es decir una acción functorial. Para un espacio topológico, los grupos de homología son generalmente mucho más fáciles de computar que los grupos de homotopía, y consecuentemente, uno habitualmente tendrá un trabajo más simple con homología para ayudar en la clasificación de espacios. La motivación original de homología era definir y clasificar los agujeros de un espacio topológico. En este caso, los grupos de homología describen agujeros del espacio topológico. Cada generador indica la existencia de un agujero y las propiedades del grupo indica la estructura del espacio topológico como dimensión y orientabilidad.

8.1 Definición Se define el n-ésimo grupo de homología asociado a un complejo de cadenas ...

→ A

δn+1 n+1

δn

→ A →A → . . . n

n−1

donde δ n ◦ δ n+1 = 0

como el grupo abeliano ker(δ n ) . im(δ n+1 ) También se utiliza la notación H (An ) =

H n (A) , donde A es el complejo de cadenas respectivo.

Se llama ker (δ n ) los ciclos en An y se llama im (δ n+1 ) las fronteras de A n . Se dice que la homología mide la falta de exactitud de un complejo de cadenas en cada uno de sus eslabones. Por ejemplo si tenemos un complejo de cadenas corto 0

a1

a2

→ A →A →A → 0 1

2

3

entonces sus correspondientes grup(os de homología son: ker a 2 A3 , H (A3 ) = im a1 im a2 Es obvio que si la sucesión fuese exacta, entonces estos grupos serían triviales (=0). H (A1 ) = ker a1 ,

H (A2 ) =

25

26

CAPÍTULO 8. HOMOLOGÍA (MATEMÁTICA)

8.2 Véase también

• Álgebra homológica • Cohomología 8.3 Referencias

• Hatcher, Allen (2002) Algebraic Topology Cambridge University Press 8.4 Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Homology». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

8.5. TEXT AND IMAGE SOURCES, CONTRIBUTORS, AND LICENSES

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8.5 Text and image sources, contributors, and licenses 8.5.1 Text •

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Homotopía Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Homotop%C3%ADa?oldid=81043916 Colaboradores: Richy, Orgullobot~eswiki, Wewe, Eskimbot, Juan Marquez, Alonsorgaz, TXiKiBoT, SieBot, Drinibot, Gato ocioso, DragonBot, Juan Mayordomo, Raulshc, UA31, Adelpine, Luckas-bot, Yonidebot, SassoBot, D'ohBot, Hprmedina, Jerowiki, Ripchip Bot, ZéroBot, WikitanvirBot, KLBot2, Makecatbot y Anónimos: 6 Grupo fundamental Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Grupo%20fundamental?oldid=75968595 Colaboradores: Tano4595, AlfonsoERomero, Eskimbot, Juan Marquez, CEM-bot, Thijs!bot, HiTe, Adrián Cervantes Lomelí, Muro Bot, YonaBot, SieBot, Copydays, Gato ocioso, Luckas-bot, Jkbw, Albertocai, Kizar, Humbefa, Paritto, ZéroBot, Grillitus, WikitanvirBot, Legobot y Anónimos: 3 Espaciorecubridor Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio%20recubridor?oldid=74140491 Colaboradores: Oblongo,Zwobot, Aliman5040, Yrbot, BOTijo, YurikBot, KnightRider, Joseangelmadrid, Juan Marquez, CEM-bot, Davius, Botones, Rei-bot, Muro Bot, YonaBot, PaintBot, Gato ocioso, Alexbot, Luckas-bot, DiegoFb, Banana04131, BenzolBot, RedBot, Paritto, EmausBot, ZéroBot, Legobot, Café Bene y Anónimos: 3 Teorema fundamental del álgebra Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema%20fundamental%20del%20%C3%A1lgebra?oldid= 79623739 Colaboradores: Youssefsan, Romero Schmidtke, Joseaperez, Sabbut, Moriel, JorgeGG, Head, Ascánder, Sms, Rsg, Joselarrucea, Schummy, Digigalos, Petronas, Rembiapo pohyiete (bot), Orgullobot~eswiki, RobotQuistnix, Chobot, Caiserbot, Yrbot, Mpagano, Davidsevilla, .Sergio, YurikBot, GermanX, KnightRider, Tomatejc, CEM-bot, Soteke, Cdomarchi, Eli22, Davius, Luis Cortés Barbado, Ggenellina, Ingenioso Hidalgo, Thijs!bot, Botones, Isha, Jhnieto, Wybot, TXiKiBoT, Humberto, Revenga10V, Rovnet, Jtico, VolkovBot, Muro Bot, SieBot, Loveless, Tentenpie, Arapajoe, STBot~eswiki, Bermudob, StarBOT, DragonBot, Farisori, Alexbot, Juan Mayordomo, Raulshc, JacoboCA, VanBot, AVBOT, Ialad, Diegusjaimes, Andreasmperu, Luckas-bot, Markoszarrate, SuperBraulio13, Jkbw, Sylfred1977, Marsal20, EmausBot, Grillitus, MetroBot, Acratta, Helmy oved, Anstarpo3, Legobot, Sofia 0810, DavosMat, Mnrka y Anónimos: 65 Teorema de la bola peluda Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema%20de%20la%20bola%20peluda?oldid=79865127 Colaboradores: RedTony,BOT-Superzerocool, FrescoBot, Jerowiki, ZéroBot, KLBot2, MetroBot, Invadibot, JacobRodrigues, Egis57 y Anónimos: 2 Teorema de Seifert-van Kampen Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema%20de%20Seifert-van%20Kampen?oldid=74314447 Colaboradores: Sabbut, Wewe, Davius, TXiKiBoT, Urdangaray, Juan Mayordomo, Rαge, Raulshc, Xqbot, Albertocai, Katimpe, Grillitus y KLBot2 Superficie (matemática) Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Superficie%20(matem%C3%A1tica)?oldid=80256739 Colaboradores: AstroNomo, ILVI, Oblongo, Sabbut, Moriel, Hashar, ManuelGR, Sanbec, Dodo, Patxi Aguado, Triku, Sms, Tano4595, Agguizar, Jsanchezes, Cinabrium, Kordas, Digigalos, Xuankar, Rembiapo pohyiete (bot), LeCire, Aliman5040, Mortadelo, Alhen, Superzerocool, Polo leopoldo, Yrbot, FlaBot, GermanX, Wewe, Equi, Wars, Angel.F, Filipo, Juan Marquez, BOTpolicia, Nethac DIU, CEM-bot, ARHEKI, JMCC1, -jem-, Torquemado, Baiji, Davius, FrancoGG, Ggenellina, Ingenioso Hidalgo, Rjelves, Thijs!bot, Isha, JAnDbot, Kved, Hosg, TXiKiBoT, Linkedark, Humberto, Rei-bot, Jorge C.Al, Aibot, VolkovBot, Nicoguaro, Matdrodes, Synthebot, Muro Bot, SieBot, PaintBot, BOTarate, Libardo asprilla lara, Yas02, DragonBot, Eduardosalg, Qwertymith, ElMeBot, Eveneg, LordT, AVBOT, MastiBot, Diegusjaimes, Escorpion008, Arjuno3, Andreasmperu, Luckas-bot, Outisnn, ArthurBot, SuperBraulio13, Obersachsebot, Xqbot, Jkbw, Botarel, Gusbelluwiki, Halfdrag, RedBot, Jerowiki, GrouchoBot, EmausBot, ZéroBot, Waka Waka, Torresaza, MerlIwBot, KLBot2, AvocatoBot, Acratta, Helmy oved, Emferr, Addbot, JuanManwell, McMetrox y Anónimos: 71 Homología (matemática) Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Homolog%C3%ADa%20(matem%C3%A1tica)?oldid=80279354 Colaboradores: Sabbut, BOT-Superzerocool, YurikBot, Wewe, Boja, Juan Marquez, CEM-bot, Ingenioso Hidalgo, Thijs!bot, Botones, JAnDbot, Fremen, BotMultichill, SieBot, PaintBot, Farisori, Raulshc, David0811, CarsracBot, Luckas-bot, DiegoFb, Aalvaro, SuperBraulio13, Toorandom, Jerowiki, Humbefa, EmausBot, MerlIwBot, Addbot, Blevyq y Anónimos: 13

8.5.2 Images •

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423 - Ampliación de Topología

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