II UNIDAD: DERIVADAS Y SUS APLICACIONES
Introducción: La derivación es uno de los conceptos centrales del cálculo y es de gran importancia y aplicación en problemas de optimización, razón de cambio o trazado de curvas.
INTERPRETACION DE LA DERIVADA COMO VARIACION INSTANTANEA
Para llegar a un concepto de la derivada definiremos lo que se conoce como cambio o incremento de una variable. Sea que
una función, con x1 y x 2 , un par de valores en el dominio de f , de tal forma
f ( x1 ) = y1 y f ( x 2 ) = y 2 entonces:
1. – El cambio en el valor de incremento de
x
x , al
pasar de
y se representa por ∆x
x1
x 2 dado por x 2 − x1 se denomina
a
∆x = x 2 − x1
2. - El cambio en el valor de y , al pasar de y1 incremento de y y se representa por ∆y
∆y =
y 2 − y1 =
a
y 2 dado por y 2 − y1 se denomina
f ( x 2 ) − f ( x1 )
Ejemplos: 1) Considere la siguiente función de costos dado por C ( x ) = 70 .000 + 2.500 x , que determina el costo de producir x unidades. ¿Cuál es el aumento en los costos al incrementar la producción de 500 a 800 unidades?
2) El volumen de ventas de gasolina de cierta estación de servicio depende del precio por litro. Si p es el precio por litro en pesos, se encuentra que el volumen de venta q (en litros por día) está dado por q = 500 (150 − p ) Calcule el incremento en el volumen de ventas que corresponde a un incremento en el precio de $120 a $130 por litro.
OBSERVACION: Resolviendo la ecuación ∆x = x 2 − x1 para x 2 , tenemos x 2 = x1 + ∆x . Usando este valor de x 2 en la definición de ∆y , obtenemos
∆y = f ( x1 + ∆x ) − f ( x1 ) Dado que x1 puede ser cualquier valor de
x , podemos suprimir el subíndice y escribir
∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x )
Ejemplo: 2 Dada f ( x ) = x , calcule ∆y si x = 1 y ∆x = 0,2
TASA DE CAMBIO PROMEDIO
Definición:
La tasa de cambio promedio de una función
∆y corresponde al cuociente . ∆x
Por tanto la tasa de cambio promedio de
y respecto a x es:
∆y f ( x + ∆x ) − f ( x ) = ∆x ∆x Ejemplo:
f ( x ) entre x
y
x + ∆x
1) Calcula la tasa de cambio promedio de la función en el intervalo indicado
f ( x ) = 3 x 2 − 5 x +1 ; x = 3 ;
∆x = 0,2
x toneladas de cierto fertilizante está dado por C ( x ) = 20 .000 + 40 x dólares y el ingreso obtenido por
2) Un fabricante de productos químicos advierte que el costo de producir
la venta de x toneladas está dado por R ( x ) = 100 x − 0,01 x . La compañía actualmente produce 3.100 toneladas por semana, pero está considerando incrementar la producción a 3200 toneladas por semana. 2
a) Calcule los incrementos resultantes en el costo, el ingreso y la utilidad b) Determine la tasa de cambio promedio de los costos, los ingresos y de la utilidad por las toneladas extras producidas.
OBSERVACION:
En muchos casos no es necesario hallar la tasa de cambio promedio, sino la tasa de cambio instantánea para el costo, el ingreso, la utilidad, etc. Es decir se debe calcular el límite del costo promedio, el límite del ingreso promedio, etc. cuando ∆x tiende a cero. Por ejemplo:
lim ∆x →0
∆C ∆x
Tasa de cambio instantánea de costo
lim ∆x→0
∆U ∆x
Tasa de cambio instantánea de utilidad
Todas estas tasas de cambio instantáneas son casos particulares de lo que se conoce en calculo como la “derivada de una función”.
Sea y = f ( x ) una función en la variable así: ,
f
( x ) = lim ∆x→0
x . La derivada de
f con respecto a
x
se define
∆y ∆x
o bien
f
Observación: f
,
( x)
,
( x ) = lim ∆x→0 f ( x + ∆x ) − f ( x ) ∆x
se lee: “ derivada de f con respecto de a “
x”
Ejercicio: Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones:
1)
f ( x) = c
con
1)
f ( x) = x
2)
f ( x) = x 2
3 4) f ( x ) = x
5) f ( x ) =
x
c ∈R
ó “ f ”prima de “
x ”.
n Conclusión: f ( x ) = x . Entonces
f ´ ( x) = n ⋅ x n −1
Ejercicio: Usando la conclusión anterior, indica la derivada de cada una de las siguientes funciones.
a)
f ( x) = x 4
b)
f ( x ) = x −3
2
c) f ( x ) = x 3
d) f ( x ) = 5 x 2
e) f ( x ) =
1 x5
f) f ( x ) =
1 x −7
g) f ( x ) =
1 x
Ejercicio 1.- Usando la definición de derivada los siguientes problemas
1) Sea f ( x ) = 2 x + 3 . Encuentra a) b) c)
( x) ( 4) , f ( − 4) f f
,
,
f
,
( x ) = lim ∆x→0 f ( x + ∆x ) − f ( x ) . Resuelva ∆x
2) Sea f ( x ) = x 2 + 5 x Encuentra a)
f
,
( x)
b)
f
,
( 0)
c)
f
,
( 2)
3) Sea g ( x ) = a)
g , ( x)
b)
g , ( 2)
c)
g , ( 5)
4) Sea h( x ) = a)
h, ( x)
b)
h , ( 3)
c)
1 h, 2
x −1
Encuentra
1 Encuentra x
Ejercicio 2.- El beneficio de cierta empresa viene dado por la expresión U (x) = 0,2 x2 +2x +3 millones de pesetas, siendo “x” los años transcurridos. Cuál fue la tasa de cambio instantánea de U(x).
Re spuesta
U ( x ) = 0,4 x + 2
Ejercicio 3.- Se lanza una pelota hacia el aire con una velocidad de 40 pies por segundo, su 2 altura (en pies) después de t segundos se expresa como y = 80 t −16 t . Encuentra la velocidad en el instante en que t =2 Respuesta: 16 pies/segundos
3 Ejercicio 4.- La ecuación del movimiento y = 4t + 6t + 2 denota el desplazamiento (en metros) de una partícula que se mueve en línea recta. En dicha expresión t se mide en segundos. Encuentra la velocidad de la partícula en los instantes t=a ; t = 1 ; t = 2
Respuestas: 12 a 2 + 6
;
18 m seg :
54 m seg
Ejercicio
5.- El costo (en dólares) de producir
x unidades
de cierto articulo es
C ( x ) = 5000 +10 x + 0,05 x a) Encuentra la razón promedio de cambio de C con respecto x cuando se cambia el nivel de producción de 100 a 105 unidades b) Halle la razón instantánea de cambio de C con respecto a x cuando x = 100 2
Respuestas: a) 20,25 dólares por unidad
b) 20 dólares por unidad
Ejercicio 6.- Un fabricante descubre que el costo de producir x artículos está dado por C ( x ) = 0,001 x 3 − 0,3 x 2 + 40 x +1000 . Determina la tasa de cambio promedio al incrementar la producción de 90 a 100 unidades. Respuesta: 10,1 En promedio por artículo extra producido se tiene un costo de 10,1 unidades monetarias
Ejercicio 7.- La ecuación c ( x ) =1.200 .000 + 0,1x representa el costo de producir unidades, que determinada fabrica vende según la siguiente ecuación de demanda x =100 .000 − 5 p . 2
x
Determina la tasa de cambio promedio de la utilidad respecto de las unidades producidas si estas se ven incrementadas de 10.000 a 12.000 unidades. Respuesta: 13400 En promedio por unidad extra producida se tiene una ganancia de 13.400 unidades monetarias
