4001 - microeconomia - castelao

Facultad de Ciencias Económicas

Ejercicios de Microeconomía intermedia Guía práctica en revisión

Autoras: Lic. Analía V. Calero Lic. María Eugenia Castelao Caruana

EJERCICIOS DE MICROECONOMIA 1

INTERMEDIA

UNIVERSIDAD DE BELGRANO Año 2012

Lic. Analía V. Calero Lic. Ma. Eugenia Castelao Caruana

GUIA PRÁCTICA EN REVISIÓN

Índice EQUILIBRIO GENERAL Y ÓPTIMO DE PARETO .............................................. 1 ECONOMIA DE DISTRIBUCIÓN ............................................................. 2 ECONOMIA DE INTERCAMBIO ............................................................. 3 EQUILIBRIO Y OPTIMO ..................................................................... 4 FUNCION DE BIENESTAR SOCIAL .......................................................... 12 EXTERNALIDADES ........................................................................... 16 BIENES PÚBLICOS ........................................................................... 19 MONOPOLIO Y REGULACION TARIFARIA ................................................. 20 CONSUMO BAJO CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE.................................... 23 SELECCIÓN DE CARTERA ................................................................... 29 ECONOMIA DE LA INFORMACIÓN .......................................................... 36 TEORIA DE LOS JUEGOS .................................................................... 43 CONSUMO INTERTEMPORAL ............................................................... 52 BIBLIOGRAFIA CITADA Y SUGERIDA ....................................................... 60

GUIA PRACTICA EN REVISION

MODELOS DE EQUILIBRIO GENERAL WALRASIANO Malinvaud (1974) desarrolla tres modelos de Equilibrio General Walrasiano denominados por el autor como Economía de Distribución, Economía de Intercambio Puro y Economía con Producción y Propiedad Privada. Los modelos de Economía de Intercambio Puro y de Economía con Producción son los modelos típicos de Equilibrio General Walrasiano. El modelo de Economía de Distribución, en cambio, se aleja de los modelos tradicionales neoclásicos de equilibrio general al postular la ausencia inicial de propiedad privada y la existencia de un “distribuidor central” encargado de asignar a cada individuo una renta monetaria y de administrar la oferta de bienes. Este modelo puede interpretarse como un punto de partida para un análisis de equilibrio general dentro del marco de la teoría económica del socialismo. Cada uno de estos modelos plantea un orden ascendente de generalidad, a saber: - Economía de Distribución - Economía de Intercambio Puro - Economía con Producción y Propiedad Privada El modelo de Economía de Intercambio Puro relaja el supuesto de rentas individuales exógenas que asume el modelo de Economía de Distribución, siendo estas determinadas por las dotaciones iniciales que posee cada uno de los individuos. A su vez, el modelo de Economía con Producción relaja el supuesto de ofertas rígidas (exógenamente determinadas por las dotaciones iniciales), permitiendo la existencia de empresas que produzcan cantidades positivas de los bienes en cuestión.


EQUILIBRIO GENERAL CONOMIA DE DISTRIBUCIÓN 1. Curvas de contrato. Considere una economía de caja de Edgeworth con las siguientes preferencias:

                           

      positivos. En cada caso, Todos los parámetros de preferencias son estrictamente dibuje el conjunto de óptimos de Pareto dentro de la caja de Edgeworth. ECONOMIA DE DISTRIBUCIÓN 2. Suponer una economía pura de distribución compuesta por dos individuos, dos bienes y un distribuidor central administrador de las dotaciones iniciales de esos bienes. Este distribuidor asigna de manera totalmente arbitraria una renta monetaria a cada uno de los individuos con el objeto que ellos puedan comprar los bienes disponibles en la economía.

Se supone además que los individuos son idénticos en cuanto a sus preferencias, las cuales vienen representadas por la siguiente función de utilidad:

U(xi1, xi2) = xi10.5 * xi20.5

con i = 1,2

Las dotaciones iniciales de los bienes (en manos del distribuidor central) son las siguientes: W1 = 20 y W2 = 40. Por último, las rentas monetarias asignadas por el distribuidor a cada uno de los individuos son: R1 = 100 y R 2 = 60 a. b.

c.

Solucionar el problema de equilibrio general y verificar que, en una economía de distribución, los precios monetarios quedan determinados. Suponer que el distribuidor central incrementa en una misma proporción la renta monetaria de ambos individuos simultáneamente ¿Qué efectos producirá esto sobre los precios de equilibrio? Luego de la suba decretada por el Distribuidor, un economista afirmó que “el problema de la economía era que las rentas de los individuos eran muy


bajas, ahora los individuos tendrán un mayor nivel de utilidad”. Comentar esta afirmación, sus supuestos, y formalizar su fundamentación. 3. En una Economía de Distribución compuesta por dos individuos con funciones de utilidad de tipo Cobb- Douglas: a. Determinar el efecto que produciría sobre el equilibrio general de la economía un incremento de la renta monetaria asignada al individuo 1. b. A partir de la situación anterior, se puede afirmar que el administrador ha

realizado una mejora paretiana? ECONOMIA DE INTERCAMBIO 4. Suponer una economía de intercambio puro compuesta por dos individuos y dos bienes. Las preferencias de cada individuo i, con i = 1,2, vienen representadas por la misma función de utilidad de Cobb-Douglas:

      Las dotaciones de cada individuo son las siguientes: w11 = 1

w12 = 2

y

w21 = 2

w22 = 1

donde wij es la dotación inicial del bien j en manos del individuo i. a. b. c. d. e.

Sin resolver el ejercicio, podría decir a priori si el precio relativo del bien 2 respecto al bien 1 será mayor, igual o menor a uno? Se puede determinar a priori cual es el individuo más rico? Podría decir a priori si habrá intercambio en esta economía? Y si las dotaciones del individuo 2 fueran iguales a las del individuo 1? Solucionar el problema de equilibrio general. Verificar que en el equilibrio el mercado se vacía.

5. Sea una economía con dos consumidores (1 y 2) y dos bienes (X1 y X2), donde cada consumidor comienza con dotación inicial de cada uno de los bienes. El consumidor 1 tiene al inicio 60 unidades de X2, mientras que el consumidor 2 posee 20 unidades de X1 y 10 unidades de X2. Suponga que las funciones de utilidad son las siguientes: GUIA PRACTICA EN REVISION

   a. b. c.

      

Determine el Equilibrio General de esta economía ¿Quedan determinados los precios monetarios? ¿Por qué? Ante una variación positiva de W12 de 1 unidad, resolver mediante estática comparativa (diferenciar) para X11 y X21.

ECONOMIA CON PRODUCCION Y PROPIEDAD PRIVADA 6. (Difícil) Suponga que una economía dispone de tres bienes: ocio, dorado y boga. Existen i consumidores y 2j firmas. Cada consumidor tiene preferencias sobre los tres bienes y una dotación inicial dada por wi =(T; 0; 0) : Cada firma usa el trabajo como único insumo. Todas las firmas impares producen dorados de acuerdo a una tecnología con rendimientos constantes a escala. Todas las firmas pares producen boga de acuerdo a una tecnología con rendimientos constantes a escala.

a. b.

Provea la notación necesaria para de.nir un equilibrio walrasiano en esta economía. Qué puede decir de los precios de equilibrio y los beneficios de equilibrio?

7. Suponga que la frontera de posibilidades de producción de la economía está definida por: X2 + 4Y2=B

La Economía está formada por dos agentes (A y B) cuyas preferencias están dadas por:

    

     

El agente A es el dueño de toda la producción del bien X que obtiene la economía y el agente B es el dueño de toda la producción del bien Y. Suponga que B=128, =0,5 y  =0,5. Si el precio del bien X es la mitad del precio del bien Y ¿Alcanzará la economía una situación de equilibrio general? Suponga B=128, =1/4 y  =3/4 resuelva las misma pregunta del apartado anterior.


a. b.

¿Cómo cambiaría la respuesta si inicialmente los bienes se distribuyeran a medias entre los dos individuos? Con los mismos datos del ejercicio anterior. ¿Cómo cambiaría la respuesta al segundo apartado si inicialmente fuese B el dueño de toda la producción del bien X y A el de toda la producción del bien Y.

8. Una hipotética economía cuenta con 90 unidades de trabajo y otras tantas de capital para producir dos tipos de bienes X e Y. Las funciones de producción de los dos están definidas por:

               a. b.

c.

d.

e.

Explique las condiciones que deben cumplirse para alcanzar la eficiencia en la asignación del capital y el trabajo en esta economía. Suponga que el precio del trabajo es la mitad de la remuneración del capital y que existe competencia perfecta en los mercados de factores. ¿Cómo se distribuirá el capital y el trabajo entre los dos sectores de la economía? Obtenga los niveles de producción de los dos bienes. Una serie de reformas recientes han aumentado el precio relativo del trabajo, hasta igualarlo a la remuneración unitaria del capital. Obtenga la nueva asignación de recursos de la economía y comente las consecuencias de dichas reformas sobre la producción final de los distintos bienes. Utilice la información obtenida en los apartados anteriores para representar la Caja de Edgeworth de la producción y para representar en ella las soluciones de los apartados (b) y (c) Explique qué relación hay entre el equilibrio en el mercado de factores y la frontera de posibilidades de producción de la economía y represente esta última.

9. Actualmente la economía distribuye las 100 unidades de capital disponibles de modo que el sector X utiliza 10 unidades y el sector Y el resto. Por otra parte, de las 100 unidades de trabajo disponibles, el sector X utiliza 25 y el sector Y 75.


a.

b. c.

¿Se encontrarán en equilibrio los mercados de capital y trabajo de esta economía? Explique su respuesta y represente gráficamente la situación actual. Calcule la relación de precios de los factores (w/r ,o el tipo de salario partido por el precio del capital) de la situación actual de la economía. Como cambiará la situación de equilibrio si la relación de precios de los factores fuera w/r=0,8.

10. Una economía dispone de 180 unidades de trabajo y 120 de capital que puede utilizar para la producción de dos bienes cuyas funciones de producción están dadas por:

              El individuo A es propietario de tres cuartas partes del trabajo y de la cuarta parte del capital disponible en la economía. Las preferencias de los dos individuos que conforman esta economía están dadas por:

    

     

Si el precio del trabajo es dos terceras partes del precio del capital: a. b.

¿Cuál será la situación de los mercados de bienes y de factores? Obtenga y represente gráficamente el equilibrio general de la economía.


EQUILIBRIO Y ÓPTIMO DE PARETO

 

1. Sea una economía con dos consumidores (1 y 2) y dos bienes (  y  ), donde cada consumidor comienza con una dotación inicial de los bienes y se comporta tomando como dados los precios de mercado.

El consumidor 1 tiene al inicio 40 unidades de X1 y 160 X2, mientras que el consumidor 2 posee 240 unidades de X1 y 120 de X2. Suponga que las funciones de utilidad son las siguientes:

     a. b. c. d.

para i=1, 2

Hallar el Óptimo de Pareto si todo el poder de negociación lo tiene el individuo 1. Hallar la solución competitiva y verificar que es Óptimo de Pareto ¿Qué precios son los que quedan determinados? ¿Por qué? Graficar. Encuentre la curva de contrato

Solución

a. Si todo el poder negociación se encuentra del individuo debemos maximizar su defunción de utilidad, sujeta ena manos las restricciones del1, problema, a saber: la utilidad del otro individuo y el vaciamiento de los mercados

  sujeto a:       ;         Planteamos el lagrangiano incorporando las restricciones de vaciamiento de los mercados a la restricción de la utilidad del individuo 2:

                  (1) GUIA PRACTICA EN REVISION

               

(2) (3)

Del despeje de λ de (1) y de (2) y de su posterior igualación tenemos que

   . Al reemplazar estos valores en (3) obtenemos     ;     b. Para hallara la solución competitiva: Para el individuo 1:

  sujeto a su Restricción de Presupuesto:

                           (1)         (2)             (3)

Del despeje de λ de (1) y de (2) y de su posterior igualación tenemos que

  

Al reemplazar estos valores en (3) obtenemos las funciones de demanda del individuo 1:

    

y

   

Para el individuo 2:

                    (1)                    GUIA PRACTICA EN REVISION

(2) (3)

Del despeje de λ de (1) y de (2) y de su posteriorigualación tenemos que

   Al reemplazar estos valores en (3) obtenemos las funciones de demanda del individuo 2:

  

y

  

Si buscamos el vaciamiento de los mercados, entonces:

        Al reemplazar las funciones de demanda en la condición de equilibrio obtenemos los precios relativos,

  . Con lo cual tenemos que :  

              y en equilibrio se verifica que se vacían los mercados:

        por otra parte, en equilibrio, se verifica que las tasas marginales de sustitución de los dos bienes para los dos individuos se igualan, y a su vez se igualan a la relación de precios: Para el individuo 1:

            Para el individuo 2:

            Luego: RMS1=RMS2 =

  


2. Suponga 2 bienes y 2 individuos cuyas preferencias vienen representadas por una función de utilidad tal que: U1 = U1 (X11; X12) y U2 = U2 (X21; X22) donde Xij= cantidad demandada por el individuo i del bien j.

Asimismo, los consumidores poseen dotaciones iniciales, wij, donde w representa la disponibilidad inicial del bien i para parte del individuo j. Luego: w1 = (w11; w12) y Individuo 2 : w2 = (w21; w22)

a. Determine a partirhacemos de la información qué tipo de del modelo de equilibrio general referencia ybrindada enumerealos supuestos mismo. b. Explique el concepto de Óptimo y de Equilibrio y demuestre que el equilibrio competitivo es Óptimo de Pareto. Grafique mediante un diagrama de caja. c. Explique qué condición se tiene que cumplir en el equilibrio general y qué funciones se determinan. d. Explicite los dos teoremas fundamentales de la Economía del Bienestar y su significado conceptual.

3. En la siguiente economía de dos individuos, se sabe que las funciones de utilidad tienen la siguiente forma:

   

y que el individuo 1 posee una dotación w 1= (2,1) mientras que el individuo 2 tiene una dotación w2= (1,2). a. Hallar el equilibrio competitivo o walrasiano. b. Compruebe que se cumple la Ley de Walras. ¿Qué vector de precios utiliza para verificarlo? c. Compruebe que el equilibrio encontrado es un óptimo de Pareto d. Suponga que el planificador desea llegar a la siguiente asignación: x11= 2; x21 = 2; x12 = 1; x22 = 1 (observe que es un óptimo de Pareto). ¿Qué esquema de transferencias de suma fija debe implementar?

4. Suponga una economía con dos bienes X1 y X2, dos consumidores A y B, y una firma que produce ambos bienes. La tecnología viene dada por las siguientes funciones de producción: GUIA PRACTICA EN REVISION

X1

= √L1

X2

= √L2

donde Li representa la cantidad de trabajo contratada por la firma para producir el bien i. Suponga además que cada consumidor tiene una dotación inicial Li fija para repartir entre ocio y trabajo, igual a 0,5, y que cada uno es dueño del 50% de la firma. Las preferencias son las mismas para ambos consumidores:

   

a. Resuelva el equilibrio competitivo. Resuelva el problema de la firma y de los consumidores. Encuentre los precios y cantidades de equilibrio. b. ¿Qué condición se cumple en el óptimo? Grafique.

5. Robinson Crusoe ha decidido utilizar 10 horas de su día para procurarse alimento. Puede emplear este tiempo recolectando cocos o pescando. Es capaz de pescar un pez y medio por hora y puede recolectar 4 cocos por hora. a. Desarrolla una ecuación que exprese su frontera de las posibilidades de producción. Grafíquela. b. La función de utilidad de Robinson es U(P,C) = PC/2, donde P representa su consumo diario de peces y C representa su consumo diario de cocos. Representar gráficamente la curva de indiferencia de Robinson que se corresponde con su nivel de utilidad. c. ¿Qué cantidad optima de peces y cocos elegirá Robinson producir al día? d. Supongamos que Robinson no vive solo en la isla, sino que vive próximo a un comercio donde puede comprar peces y cocos. Si los peces cuestan $1,5 cada uno, ¿cuánto deberían costar los cocos para que eligiera consumir el doble de cocos que de peces? e. Supongamos que un planificador social deseara que Robinson consumiera 4 peces y 8 cocos al día. Si estableciera el precio de los peces igual a $2, ¿cuánto debería ser el precio de los cocos, y que sueldo debería pagarle a Robinson?


FUNCION DE BIENESTAR SOCIAL Los estados de óptimo en el sentido de Pareto son en general múltiples, por lo que resulta necesario introducir un orden entre situaciones o estados óptimos compatible con el orden o equilibrio parcial (capítulo X). Partiendo de este principio se ha propuesto que los estados sean ordenados de acuerdo a una FUNCIÓN DE BIENESTAR SOCIAL (FBS), una función numérica que tiene como argumentos a los n valores que toman las utilidades individuales de los n consumidores, o sea: W(U1; U2; U3;…; Un) La compatibilidad entre el orden completo y el orden parcial exige que W sea diferenciable y que las Wi´ sean todas positivas. Admitir la existencia de una FBS implica: Atribuir a cada consumidor una función de utilidad completamente especificada, una utilidad cardinal; La existencia a nivel colectivo de una relación marginal de sustitución entre las utilidades individuales de los diversos consumidores. Esto supone que las utilidades de individuos diferentes son comparables. Las elecciones representadas por una FBS de esta naturaleza no se inspiran solamente en consideraciones relativas a la eficacia de la producción y la distribución, sino también en una ética de la justicia que debe presidir a la distribución de los bienes entre los individuos. El debate en torno a cómo se define la justicia social ha generado numerosos debates entre filósofos y economistas por su implicancia en la formulación de las políticas públicas. En su libro A Theory of Justice (1971), John Rawls propuso un modelo de justicia según el cual las diferencias sólo podían ser aceptadas si las desigualdades sociales y económicas fueran tales que maximizaran los beneficios de los menos favorecidos. Este criterio demanda imparcialidad en los resultados y en la igualdad de oportunidades: las personas que tienen habilidades similares deberían tener oportunidades similares en la vida. El libro de Nozick, titulado Anarchy, State and Utopia (1974),·presenta una fuerte crítica a la teoría y la práctica de la formulación de políticas públicas al estilo Rawls. En contraposición a la noción de justicia de Rawls, relacionada con la distribución de los resultados de manera "imparcial", Nozick argumenta que la justicia distributiva se basa en la idea del "derecho a" y de los derechos del individuo. Para este autor, la justicia tiene que ver con aquello a lo que las personas tienen derecho y no con la imparcialidad: la distribución puede ser


justa, pues cada uno tiene derecho a aquello que posee, pero puede no ser imparcial en un sentido distributivo. Según el autor, los individuos y los mercados son el único medio, en un mundo libre, que permite la organización de la sociedad con una aspiración de justicia. Quienes deseaban ver menos políticas públicas y más libertad de elección individual no desaprovecharon esta tesis (Parsons 1998). En la práctica, el criterio aplicado se refleja en la forma funcional de la FBS: Criterio de Rawls

Una mejora de la situación social se da si y solo si el que mejora es el que estaba peor. La función es simétrica, concava y paretiana, pero no estrictamente. Maximiza la utilidad del miembro con menor bienestar. Muestra una aversión extrema a la desigualdad en la distribución de utilidad porque W(U1; U2)= W(100,0)= W(0;0).

   Nótese que la FBS rawlsiana implica una solución estrictamente igualitaria en el óptimo social. A medida que sube a lo largo del eje de 45º, el óptimo social es uno de igualdad absoluta (UA*(R)=UB*(R)), mientras que en el caso utilitarista los óptimos sociales pueden ser compatibles con la desigualdad de utilidades. Criterio utilitarista

La ponderación de LalasFBS utilidades individuales la FBS es similar para las distintas personas. es simétrica, cóncavaeny estrictamente paretiana. El óptimo social de cualquier conjunto de la FBS es aquel donde la cantidad total de la utilidad es la mayor posible. No hay aversión a la desigualdad porque un vector W(U1; U2)= W(100,0)= W(50;50).



  

En términos más generales, el criterio utilitarista se encuentra definido por la expresión:



  

Donde es mayor una función creciente mayor la concavidad de la funciónG G, la aversión de ylacóncava. sociedadCuanto a la desigualdad. Cada unidad sucesiva de utilidad que recibe una persona incrementa el bienestar social, pero de forma decreciente. GUIA PRACTICA EN REVISION

1. Dada una función de bienestar social

      

     Con oferta

total de bienes:   a. Demostrar que el máximo de la función de bienestar es óptimo de Pareto b. Mencionar el significado de las condiciones de primer orden c. Graficar

2. Considere una economía de intercambio puro con dos agentes y dos bienes repartidos inicialmente de la siguiente manera:  y 

   

La función de bienestar social está dada por la sumatoria de las funciones de utilidad de ambos individuos, siendo:

        a. Hallar el punto máximo de la función de bienestar social. Graficar b. Hallar el equilibrio general de esta economía y comparar con los resultados obtenidos en el punto anterior. Será igual el consumo de los individuos? Y sus niveles de utilidad? c. Cuál será la relación de precios necesaria para llegar, a través del mercado, a las demandas que determinan el máximo de la función de bienestar social. Qué será necesario modificar para que obtener esta relación de precios?

3. Considere una economía de intercambio puro con dos agentes y dos bienes. Demuestre que un reparto igualitario de las dotaciones iniciales de los agentes, y  no es eficiente en el sentido de Pareto si las  preferencias son:

 

 

   y    con  ¿Por qué? ¿Ocurriría lo mismo si  1?


4. Obtenga la curva de contrato y la frontera de utilidad para una economía de intercambio puro formada por dos individuos con las siguientes preferencias y dotaciones iniciales:

     ,

     

Compruebe que la asignación competitiva es eficiente en el sentido de Pareto. Calcule los óptimos sociales (en términos de asignaciones) correspondientes a las siguientes funciones de bienestar social:

          

¿Puede concluirse que la asignación competitiva es un óptimo social? ¿Cuáles son los precios competitivos que soportan el óptimo social definido por la función de bienestar social minimax?


EXTERNALIDADES La característica crucial de las externalidades es que los bienes que les dan srcen interesan a los agentes (por sus efectos negativos o positivos), pero no se venden en mercados organizados. En presencia de externalidades el mecanismo de mercado no logra asignaciones eficientes en el sentido de Pareto de los recursos, lo que significa que sería posible mejorar el bienestar la sociedad en su conjunto modificándolas. Sin que embargo, hayhasta otras cierto instituciones como el sistema jurídico o el Estado pueden, punto, sociales actuar de manera análoga. Los problemas de externalidad surgen si los derechos de propiedad no se encuentran definidos de forma tal que quien genera la externalidad deba pagar o pueda cobrar por el efecto negativo o positivo que genera. Si los derechos de propiedad están bien definidos no hay externalidades en la producción, pero si no lo están, el resultado de las interdependencias económicas genera ineficiencias. Esta afirmación fue planteada en 1968 por G. Hardin en lo que se llamo “The Tragedy of the Commons” (Varian, 1999). Cuando la producción genera externalidades, la forma de producción óptima es independiente de quien tenga los derechos de propiedad, pero la distribución de sus beneficios o pérdidas depende de la asignación de los derechos de propiedad. Existe un caso especial en que el resultado de la externalidad es independiente de quien tenga los derechos de propiedad. Si las preferencias de los agentes son cuasilineales (primera clase práctica funciones de utilidad), esto es, las curvas de indiferencia son meras versiones desplazadas unas de otras, lo que significa que la RMS no cambia cuando alteramos la cantidad del bien), todas las soluciones eficientes deben generar la misma cantidad de la externalidad. El supuesto de preferencias cuasilineales implica que las demandas del bien que genera la externalidad son independientes de la distribución de la renta. Por lo que una reasignación de las dotaciones no afecta la cantidad eficiente de la externalidad. Esto se expresa diciendo que el teorema de Coase es válido si no hay “efectos renta”.

Eleonor Ostrom (1990), premio nobel de economía en 2009, demostró que una tercera vía para la gestión de los bienes colectivos diferente al mercado y al Estado es la creación de una institución colectiva.


1. Supuestos del Modelo: Equilibrio Parcial y un único factor productivo. Dada las siguientes funciones de producción de dos empresas monoproductoras:

QA = 15 LA0,5 + 1,5QB QB = 19 ln (LB) Con PA = 2, PB = 3 y W = 3 Donde LA y LB representan la cantidad de trabajo demandada por cada industria, W el salario real vigente, PA y PB el precio del producto de cada empresa y QA, QB las cantidades producidas. Resolver suponiendo que las empresas actúan bajo competencia perfecta. a. ¿Es óptima la asignación de recursos? ¿Por qué? b. Si ambas empresas se fusionan, hallar QA y QB. ¿Son óptimas estas cantidades? c. El Estado analiza la posibilidad de brindar un subsidio a la empresa B de $ 1,5 por unidad producida (en el contexto del punto a) para tratar de que se alcance el óptimo en este mercado. El Estado recurre a usted para conocer su opinión respecto al monto de este subsidio. ¿Es correcto el monto elegido? ¿Por qué? Demostrar.

2. Dos empresas interdependientes por la generación de externalidades negativas por parte de la empresa M poseen las siguientes funciones de costos:

     y los precios de los bienes son:

            

Planteando los supuestos y condiciones necesarias, resolver: a. Hallando la solución competitiva (cantidad y beneficios) b. Creando un mercado para la externalidad c. Aplicando un impuesto

3. Dos empresas monoproductoras presentan las siguientes funciones de producción:

QA= 5 ln (LA) – 0,2 QB GUIA PRACTICA EN REVISION

QB= 3 LB0,5 Con PA = 2, PB = 3 y W = 1 a. Determinar la asignación de recursos suponiendo que las empresas actúan bajo competencia perfecta. ¿Es óptima la asignación? ¿Qué falla de mercado está presente? b. Proponer un mecanismo para solucionar dicha falla. Resolver. ¿Qué se puede decir acerca de la demanda de trabajo de la empresa B respecto de la situación anterior? c. Si se le impone un impuesto de $1 por unidad producida a la empresa B, ¿Es óptima dicha situación? Explicar.

4. Considere una economía de intercambio con dos consumidores, cuyas preferencias sobre los bienes existentes (x;y) pueden ser representadas por las siguientes funciones de utilidad:

    

           

Dadas las siguientes dotaciones iniciales   , halle   los equilibrios competitivos. Es un resultado óptimo en el sentido de Pareto?


BIENES PÚBLICOS 1. En un modelo de dos consumidores y dos bienes, las funciones de utilidad de los dos individuos son:

        



donde  es el consumo del bien j por el individuo i

Las funciones implícita de producción dan lugar a la función de transformación entre de los : dos bienes   

       



Determinar las condiciones de primer orden para un óptimo si  es un bien privado y  es un bien público



2. Encuentre la solución descentralizada de asignación de un bien público para dos individuos cuyas preferencias son:

               

 

con  =30 con  =40

Donde G=20; X = 50; X = 40 1

2

Nota: será necesario el uso de un programa matemático para obtener los resultados finales del ejercicio


MONOPOLIO Y REGULACION TARIFARIA 1. Determinar el nivel óptimo de producción y precio de las siguientes empresas monopólicas e indicar si son un monopolio natural. Las funciones de demanda de sus mercados y sus funciones de coste son:

 

   



      

2. Un monopolio enfrenta un costo medio igual a su costo marginal, el que es igual a 5. La demanda de mercado de su producto está dada por D(p)= 53- p. Determine el excedente del consumidor si la empresa actúa bajo las reglas de competencia perfecta y si actúa sin restricciones. Indique la pérdida de eficiencia de la economía de una situación a otra.

 abastece a 3. Un monopolista con una función de costos totales igual a un mercado cuya función inversa de demanda es p=300-4x. a. Obtenga el equilibrio del monopolista y el excedente social de esta

  

economía b. Calcule la pérdida de eficiencia que sufre esta economía respecto a una situación de competencia perfecta c. Compare ambas situaciones con la que obtendría si una regulación obligara al monopolista a comportarse como un monopolio social Si el gobierno otorga una licencia al monopolista, su función de costes asciende a  , ¿Cuánto será lo máximo que la firma monopolista estará dispuesta a pagar por esta licencia?

  

  abastece 4. Un monopolista con una función de producción igual a un mercado cuya función inversa de demanda es p(x)=80-x. Este monopolista se comporta como precio aceptante en el mercado de factores, siendo el precio del trabajo y del capital, respectivamente, w=4 y r=1. Si en el corto plazo, el factor capital está fijo en K=4:

   


a. Determine la demanda de trabajo que maximiza el beneficio del monopolista b. Calcule la función de costos a corto plazo de la empresa y la demanda condicionada del factor trabajo en el equilibrio ¿Coincide dicha demanda con la obtenida en el apartado anterior?

5. Sea una empresa cuya función de Cme es 5x y que enfrenta un mercado cuya

función de demandaa es a un en impuesto ventas equivalente t%. p=50 ¿Cuál-2x. seráElelproducto efecto deestá un sujeto incremento la tasa adelas impuesto si la empresa se comporta como maximizadora de beneficios?

6. Se autoriza a una empresa a ser la única abastecedora de electricidad en una zona determinada. Dicha empresa no puede acumular electricidad, por lo que debe organizar su producción de modo de satisfacer instantáneamente la demanda. La demanda depende del momento del día, durante la mañana (4 horas) la demanda en megawatts es

 

, durante el resto del día la demanda en megawatts es .

La empresa tiene dos clases de costos: costos de equipos que equivalen a $300 por día por megawatt de capacidad instalada (incluyendo interés sobre el capital invertido) y costos de funcionamiento de $20 por megawatt/hora. Indicar que capacidad instalará la empresa y qué precios fijará si: a. El gobierno impone a la empresa la regla de actuar como si rigiesen condiciones de competencia perfecta b. La empresa maximiza sus beneficios sin restricciones legales

7. Un monopolio maximizador de beneficio opera con costos totales lineales dados por: CT(x)= 50+20x.

La función de demanda de mercado es p=100-4x. La cantidad máxima que puede producir con las instalaciones actuales es de 30 unidades. Indicar: GUIA PRACTICA EN REVISION

a. El precio, la cantidad y el beneficio resultantes de la maximización libre del beneficio b. El precio que cobrará si el monopolio es regulado debiendo vender la mayor cantidad posible de producto que le permita cubrir los costos c. El efecto del establecimiento de un precio máximo de $25 sobre la cantidad y el beneficio resultantes de la maximización del beneficio

8. Un monopolista tieneuna costos totales de descriptos siguiente ecuación:las C(Q)= 400+ 25Qnatural y enfrenta demanda mercadoporQ=la2002P. Obtenga

ganancias del monopolista, la producción de equilibrio y el excedente del consumidor cuando: a. El precio es igual al costo marginal. b. El precio es igual al costo medio. c. El monopolista fija una tarifa de dos tramos, una parte igual al costo marginal y otra parte es un cargo fijo por consumidor. Suponga que la demanda proviene de 10 consumidores idénticos. ¿Qué cargo fijo deberá aplicar un monopolista regulado para no tener pérdidas? Y un monopolista maximizador de beneficios?

9. Un monopolista natural está sujeto a un esquema de regulación por tasa de ganancia. Sea Q=f(K;L) la cantidad de producto producida con K unidades de capital y L unidades de trabajo. Suponga que la producción requiere cantidades positivas de los dos factores, de manera que Q= 0 si K= 0 o si L=0. Sea p(Q) la función de demanda inversa y R(Q) = p(Q)*Q el ingreso obtenido de la venta de Q unidades de producto. Sea r el costo de oportunidad del capital. Suponga que el regulador decide que la tasa de retorno sobre el capital no puede ser mayor que S. a. Formule el problema del monopolista y derive las condiciones de primer orden. b. Muestre que S debe ser mayor que r para que la firma obtenga beneficios positivos (Ayuda: trabaje directamente con la función de beneficios). c. Usando las condiciones de primer orden, muestre que en este contexto tiene lugar el efecto Averch-Johnson (Ayuda: considere que si λ es el multiplicador asociado a la restricción sobre la tasa de ganancia en el problema planteado en a), resulta 0 <λ <1).


CONSUMO BAJO CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE 1. Don Pedro es propietario de un departamento cuyo valor es de $250.000 y está evaluando la posibilidad de contratar un seguro contra destrucción parcial del inmueble (por incendio, etc.).

El costo de la prima del seguro es de $9.900 y en caso de ocurrencia del siniestro le paga un monto de $122.625. Si la probabilidad de ocurrencia del incidente es de 0,08 y la pérdida que genera es de $127.500: a. ¿Decidirá Don Pedro asegurar el dpto si su función de utilidad es: U = W ½ ? ¿Por qué? b. Calcular la ganancia esperada de la compañía de seguros y compararla con el valor esperado. Explicar la relación. c. Hallar la probabilidad de ocurrencia del siniestro que deja indiferente a Don Pedro entre asegurar o no la casa.

Solución

a. Para evaluar la decisión de asegurar el dpto. Don Pedro debe comparar la utilidad que obtiene con la opción cierta con la lograda con la opción incierta. En este caso, contratar el seguro del dpto representa la opción cierta y arriesgarse a que el siniestro no ocurra, la incierta. U sin seguro (incierta) = W ½ = (250.000 – 9.900)½ = 490 UE con seguro (cierta) = W½ = 0,08 (122.500)½ + 0.92 (250.000)½ = 0.08 * 350 + 500 * 0.92 = 488 Luego, la utilidad esperada de contratar el seguro (cierta) es mayor que la proporcionada por la no contratación (incierta), por lo que elegirá contratarlo.

b. Asumimos que la compañía aseguradora posee una función de beneficio como la siguiente: GUIA PRACTICA EN REVISION

П = prima – x* c = 9.900 – 0,08 * 122.625 = 90

Siendo el beneficio П, que está compuesto por la prima (ingreso), menos la probabilidad (x) de que ocurra el siniestro multiplicado por el monto asegurado (c = costo). Lo cual determinaría una ganancia esperada de $90.

c. Para hallar la probabilidad del siniestro (x) que deja indiferente al Don Pedro entre asegurar o no el dpto se debe plantear una ecuación que iguale la Utilidad con seguro a la Utilidad sin seguro y que tenga como variable la nueva probabilidad de ocurrencia del siniestro: U con Seguro = 490 = x * 350 + (1– x) 500 = UE sin seguro 350x + 500 – 500x = 490 -150x = -10 x = 0,066…

Si el siniestro tuviera una probabilidad de ocurrencia del 0,066 Don Pedro estaría indiferente entre contratar o no el seguro.

2. Un chacarero puede plantar soja o maíz. A su vez, las ganancias que obtendría dependerían de un “evento de la naturaleza”, en este caso el clima. Por lo tanto

sus ganancias son:

Lluvias Normales

Sequía

Soja

46.000

15.000

Trigo

31.000

24.000

La probabilidad de lluvia es del 50% y la probabilidad de sequía de un 50%. La función de utilidad del chacarero es: U= ln(W) + 100 donde W = ingreso neto. a. Si debe elegir entre soja o trigo, ¿Cuál elegirá sembrar? b. Si puede optar entre distintas proporciones de ambos cultivos (ingreso proporcional al área sembrada), ¿Cuánto sembrará de cada uno?


c. Si existe un seguro para los que sólo cultivan soja que paga $4500 si llueve y cuesta $2.000, ¿Cambiará su decisión?

Solución

a. Calculamos la utilidad esperada de cada alternativa. Donde UEs es la utilidad esperada de cultivar soja y UEm es la utilidad esperada de cultivar trigo. UEs = 0,5 [ U(46.000) + U(15.000)] UEs = 0,5 [ln 46.000 + 100 + ln 15.000 + 100] UEs = 110,1761 UEt = 0,5 [ U(31.000) + U(24.000)] UEt = 0,5 [ln 31.000 + 100 + ln 24.000 + 100] UEt = 110,2138 Siendo la utilidad esperada de cultivar trigo más alta que la de cultivar soja, elegirá cultivar la primer semilla.

b. En este caso el individuo debe elegir la proporción X de soja y (1-X) de trigo que maximiza su utilidad esperada considerando los posibles estados de la naturaleza.

Si llueve normalmente las ganancias serán: 46.000* X + 31.000* (1-X) = 15.000 X + 31.000 Si hay sequía las ganancias serán: 15.000* X + 24.000* (1-X) = -9.000 X + 24.000 Considerando estas posibles ganancias y la probabilidad de ocurrencia de cada caso, maximiza la Utilidad esperada a partir de la proporción de siembre X, que es la incógnita.

Max UEsm = 0,5 [U (15.000 X + 31.000) + U(-9.000 X + 24.000)] = 0,5 [ln(15.000 X + 31.000)+ 100 + ln(-9.000 X + 24.000) + 100]


∂UEsm/∂X = 0,5 [15.000 / (15.000 X + 31.000)– 9.000 / (-9.000 X + 24.000)] = 0

Despejando la igualdad anterior para hallar X: 15.000 / (15.000 X + 31.000) = 9.000 / (-9.000 X + 24.000) 9.000 = 30.000 X

X= 3/10

y, por lo tanto,

(1-X) = 7/10

De forma tal que el chacarero destinará 30% de su tierra a la soja y el 70% al maíz. Reemplazando en la función de utilidad esperada: UEst = 0.5[ln(15.000 * 0.3+ 31.000)+ 100 + ln(-9.000 * 0.3 + 24.000) + 100] UEst = 0.5[ln(35.500)+ 100 + ln(21.300) + 100] UEst = 110,2219

c. Si suponemos que el chacarero cultiva sólo soja y contrata el seguro:

Si llueve sus ganancias serán: 46.000 – 2000 = 44.000 En caso de sequía sus ganancias serán: 15.000 + 4.500– 2000 = 17.500 La utilidad esperada de esta decisión es: UE = 0,5 [U(44.000) + U(17.500)] UE = 0,5 [ln(44.000)+ 100 + ln(17.500) + 100] UE = 110,2310 Dado que es mayor a la utilidad esperada de diversificar la producción calculada en el inciso anterior, la decisión óptima para el individuo será cultivar solamente soja contratando el seguro, y no diversificar.

3. A continuación, y antes de seguir leyendo hasta el final este ejercicio, juegue el siguiente juego normalmente, sin pensar que haya ninguna trampa, de esta

forma podrá que taldevez Ud. sea una persona normal que como cualquier otra comprobar cae en la Paradoja Allais:


a. Suponga que a usted le permiten elegir entre las siguientes situaciones, conocidas como loterías A y B. Hágalo y anótelo en un papelito: Loteria A) $1,000,000 con probabilidad 1 Lotería B) $5,000,000 con probabilidad 10%; $1,000,000 con probabilidad 89%; $0 con probabilidad 1% b. Ahora suponga que viene otra persona y le dice elija entre las siguientes loterías C y D. Hágalo y anótelo en un papelito: Lotería C) $5,000,000 con probabilidad 10%;

$0 con probabilidad 90%

Lotería D) $1,000,000 con probabilidad 11%;

$0 con probabilidad 89%

c. ¿Cuáles son sus rdos? Comúnmente se observa que la gente prefiere “A” a “B”, y que prefieren “C” a “D”.Es su caso? d. Muestre que la elecciones del punto c son inconsistentes con la maximización de la utilidad esperada.

4. Federico es averso al riesgo y su función de utilidad es U= 100W 0,9, donde W es su sueldo en miles de pesos.

La empresa que acaba de emplearlo le paga $2.000 mensuales, pero le descuenta $100 por errores cometidos en el trabajo. Federico tiene un 10% de probabilidad mensual de cometer un error. Afortunadamente puede acceder a una aseguradora de empleados distraídos: a. Calcule cuanto estaría dispuesto a pagar por una póliza de seguro que le daría $100 en caso de que cometa un error. b. La utilidad de Federico se ve aumentada por el amor a la empresa en la que trabaja. (Puede extraer indefinidamente café y golosinas de una maquina) Si hoy lo despidieran y tuviera que trabajar independientemente su utilidad se reduciría a: U= W^0,9 c. Federico fue reasignado a una posición en donde puede cometer errores que le costarían mayores deducciones del sueldo. Calcule la perdida de riqueza que debería sufrir trabajando en la empresa para que estuviese


indiferente a que lo despidan. (aclaración: si lo despiden le pagan el sueldo como indemnización igual) d. Ahora suponga que hay una probabilidad del 1% de que Federico sea despedido. Federico puede conseguir una póliza de seguro que cubra casos de despidos. ¿Cuál sería el "precio justo" de una póliza de seguro que le pague el monto de riqueza equivalente (calculado en C) en el caso de que lo despidan? ¿Pagará Federico esta póliza? Provea de una exhaustiva explicación de su respuesta. (Ayuda: compare la situación en la que compra y en la que no compra la póliza)

5. La función de utilidad para un individuo X está definida de la siguiente manera:

U= (y/10.000) 1/2 2

para

0≤y≤50.000

3

U= 1/4*(y /100.000) *(y/10.000) para y>50.000 a. Analizar si el individuo es averso o no al riesgo b. Si el individuo dispone de $50.000 ¿contrataría un seguro pagando $600 de prima si existe una probabilidad de 0,03 de que ocurra un siniestro, en cuyo caso pasaría a tener $8.000? c. Si dispone de $40.000 y puede comprar un billete de lotería con probabilidad 0,01 de tener $70.000, y el precio del billete es de $2.500 ¿Qué hace? d. Si dispone de $80.000 y puede comprar un billete de lotería con probabilidad 0,01 de tener $70.000, y el precio del billete es de $2.500 ¿Qué hace?


SELECCIÓN DE CARTERA 1. Sean dos activos A y B cuyos rendimientos se muestran en la siguiente Tabla: Estado Probabilidad Retorno A Retorno B I

0,25

10

11

II

0,25

12

6

III

0,25

18

10

IV

0,25

20

17

a. ¿Cuál es el rendimiento medio de cada uno de los activos? b. ¿Cuál es su Varianza? ¿Y su covarianza? c. ¿Cuál es su coeficiente de correlación?

Solución

a. El rendimiento medio de cada activo se calcula multiplicando la rentabilidad del activo en el estado i por la probabilidad de ocurrencia de dicho estado. µA = RI*pI+ RII*pII + RIII*pIII+ RIV*pIV Ri = retorno del activo A en el estado i pi = probabilidad de ocurrencia de ri Reemplazando los datos para el activo A y el activo B respectivamente: µa = 10*0,25 + 12*0,25 + 18*0,25 + 20*0,25 =15 µb = 11*0,25 + 6*0,25 + 10*0,25 + 17*0,25 =11

b. La varianza de cada activo representa el riesgo de cada inversión. Su fórmula de cálculo para el activo A es: σ2A= (RI - µa)2*pI + (RII - µa)2*pII + (RIII - µa)2*pIII + (RIV - µa)2*pIV


σ2A =(10-15)2*0,25 + (12-15)2*0,25 + (18-15)2* 0,25 + (20-15)2*0,25 = 17 σ2B= (11-11)2* 0,25 + (6-11)2*0,25 + (10-11)2*0,25 + (17-11)2*0,25 = 15,5

La Covarianza mide la relación entre dos variablesy su fórmula es: σAB=

E[(Ri - µa) (Rs - µb)] = ∑∑(Ri - µa) (Rs - µb)* pis

siendo: Ri el retorno del activo A en el estado i Rs el retorno del activo B en el estado s Debido a que en este ejercicio los estados de la naturaleza son excluyentes y sus probabilidades de ocurrencia son iguales, la fórmula se limita a: = 0,25*[(10-15)*(11-11) + (12-15)*(6-11) + (18-15)*(10-11) + (20-15)*(17-11)] = 10,5 σAB

c. El factor de correlación (ρ) indica la relación que existe entre ambas opciones de inversión. Si ρ = 1, las opciones están directamente relacionadas y si ρ = -1, están inversamente relacionadas. Su fórmula es ρ=σAB/( σA* σB), reemplazando obtenemos: ρ = 10,5 /(√17*√15,5)= 0,64

Lo ideal es que el factor de correlación sea negativo, ya que esto implica que el movimiento de una opción de inversión es compensado por el movimiento en el sentido opuesto de la otra.

2. En un mercado existen dos opciones de inversión: una es en “La Grande”, una compañía cuyas acciones poseen una rentabilidad esperada de $15 con un riesgo (desvío estándar) de 18,6. La otra opción de inversión es en la compañía “La Pequeña” cuyas acciones poseen una rentabilidad esperada de $21 y un riesgo de

28. El coeficiente de correlación entre ambas rentabilidad es de 0,2.


a. Si un inversor averso al riesgo decide invertir 40% en “La Pequeña” y 60% en “La Grande”, ¿Cuál será el retorno esperado de dicho portfolio? ¿Y su

desvío estándar? b. ¿Cuánto deberá invertir en cada activo para alcanzar el menor riesgo posible? ¿A cuánto ascenderá dicho riesgo? ¿Y cuál será la rentabilidad esperada de dicho portfolio? c. Graficar la Frontera de Carteras Eficientes.

Solución

Ordenamos los datos del enunciado: La Grande (A) La Pequeña (B) µ

15

σ 18.6

21 28

Siendo ρ=0,2= CovAB /σAσB, despejamos la CovAB=104,16 a. La cartera del inversor está formada por un 60% (xA) de activos de La Grande y 40% (xB) de activos de La Pequeña. La rentabilidad esperada de su portfolio estará dada por: µC =E(R)= xA*µA – xB*µB= 0,6*15 + 0,4*21= 17,4 El desvío estándar, por otro lado, está dado por: σC= √(xA2*σA2 + xB2*σB2 + 2*xA*xB*CovAB) =√(0,62*18,62+0,42*282+0,6*0,4*2*104,16)=

17,32

b. Para minimizar riesgo dada una rentabilidad esperada, necesitamos que la rentabilidad y la varianza dependan de una misma y única variable. Sabiendo que xA+ xB=1 tenemos que: La rentabilidad de la cartera es µc= xA*µA – xB*µB =15xA + 21(1-xA) = 21-6 xA 2

2

2

2

2

σC = xA σA + xB σB + 2xAxB* CovAB La2varianza de2 la cartera es σC =345,96xA + (1-xA) 2784+2xA(1-xA)104,16 σc2=921,64xA2-1359,68xA+784


Planteando el Lagrangeano que minimiza σc2 sujeto a µc: L(xA,λ)=921,64 xA2 -1359,68 xA+784 + λ(21- 6xA- µc) Las condiciones de primer orden para la minimización son: ∂L/∂xA =1843,28 xA -1359,68- 6 λ =0 ∂L/ ∂λ =21- -6µc xA =0

(2)

De la ecuación (2) obtenemos la proporción que debe invertir el individuo en el activo A para cada nivel de rentabilidad esperada Ax= (21- µc)/6 con el fin de minimizar el riesgo. La Frontera de Carteras Eficientes es aquel subconjunto de portfolios factibles que otorgan el máximo retorno para un riesgo dado o, lo que es lo mismo, el mínimo riesgo para una rentabilidad dada. Esta Frontera no indica la cartera que seleccionará el inversor, sólo las opciones factibles que este posee. La selección de una cartera dependerá de la Frontera pero también de las preferencias que cada inversor tenga respecto al riesgo y la rentabilidad. Significado Económico de λ

Según el teorema de la envolvente: δL/δµc =δσC2/δµc O sea, que cada posible incremento de µc estará asociado a un riesgo mayor en el mercado. Es la pendiente de la frontera, la tasa a la cual se acepta un mayor riesgo a cambio de cierta rentabilidad esperada (luego de saber el signo de lambda). c. El siguiente gráfico, en el cual el eje vertical representa la rentabilidad esperada y el eje horizontal el riesgo, muestra la Frontera de Carteras Factibles, las combinaciones de riesgo- retorno esperado que es posible alcanzar mediante diversas elecciones para el portfolio. La línea roja (parte superior) es el subconjunto de Carteras Eficientes1, donde un mayor retorno está asociado a un mayor riesgo.

1

En realidad la frontera de carteras eficientes comienza en el punto de inflexión de la Frontera de Carteras Factibles.


Frontera de Carteras Factibles 22 0

200

400

600

800

1000

21 20 19 18

17 16 15 14

Para seleccionar la cartera óptima del conjunto de carteras eficientes, se debe conocer la forma funcional de la utilidad del inversor, de donde surge también su actitud frente al riesgo, y hallar el punto de tangencia entre la FCE y la curva de indiferencia de mayor nivel de utilidad.

3. Un pequeño inversor tiene una suma de dinero que dedicará a dos alternativas de inversión totalmente independientes uno del otro en el mercado: 

ACTIVO 1:

µ1 = 10

σ21 = 3



ACTIVO 2:

µ2 = 15

σ22 = 5

a. Obtener 3 puntos de la frontera de carteras eficientes suponiendo valores de riesgo de 3,5; 2 y 0,5. b. ¿Cuál es el menor riesgo posible de obtener? ¿Y el mayor rendimiento esperado? c. Graficar e indicar las preferencias del inversor averso al riesgo. d. Explicar el motivo por el cual se buscan carteras diversificadas y qué es el riesgo de mercado. e. ¿Qué tipo de correlación conviene? ¿Por qué?


Solución

Siendo X la participación del activo 1 en la cartera del inversor, la rentabilidad y el riesgo están determinados por: σ2c=3x2 + 5(1-x)2 = 8x2-10x + 5

µc=10x + (1-x).15 = 15 - 5x

Dado que las inversiones son independientes el coeficiente de correlación y, por lo tanto, también la covarianza son iguales a cero.

a. Para hallar los puntos sugeridos de la Frontera de Carteras Eficientes (FCE) maximizamos la rentabilidad sujeta a los niveles de riesgo establecidos. Lo haremos de forma genérica para obtener una relación que luego nos permita encontrar todos los puntos que buscamos: L(x, λ)= 15 - 5x + λ (8x2- 10x + 5 - σ2c) ∂L/∂x = -5 + λ(16x -10) = 0 2

2

∂L/∂λ = 8x - 10x +5= -0σ

(1) (2)

c

A partir de la ecuación (2) obtenemos que: [10 + (100-32(5- σ2c)1/2]/16

[10 – (100-32(5-σ2c )1/2]/16

Cuando σ2c = 3,5:

x =1 1,075

O puede ser

x2= 0,1743 y

y

µ c= 9,625 µc= 14,1285

Entonces, la rentabilidad esperada de un portolio con riesgo de 3,5 se maximiza cuando se invierte 17,43% del dinero disponible en el activo 1 y el resto, 82,57%, en el activo 2, obteniendo una rentabilidad esperada dela cartera de $14,1285 Cuando σ2c= 2:

O puede ser

x =1 0,75

y

x2= 0,5

µ y

c=

11,25

µc= 12,5

Entonces, la rentabilidad esperada de un portolio con varianzao 2 se maximiza cuando se invierte el 50% del dinero disponible en el activo 1 y el resto en el activo 2, obteniendo una rentabilidad esperada de la cartera de $12,5. No es factible componer una cartera con un riesgo igual a 0,5.


b. Para obtener el mínimo riesgo posible minimizamos la función de riesgo: Min σ2c= 8x2 – 10x + 15 ∂σ2c/∂x = 16x – 10 = 0

Despejando la ecuación anterior obtenemos que x = 5/8 y, por lo tanto, el riesgo mínimo es igual a σ2c min= 1,875 La máxima rentabilidad esperada, por otro lado, sería la maximización de µc= 15 – 5x

∂ µc/∂x = 15

esto significa que x=0

c) El inversor averso al riesgo prefiere obtener el valor esperado de la lotería, es decir, la utilidad de la lotería U(px+(1-p)y) debe ser menor que la utilidad del valor esperado de la lotería px+(1-p)y. Este tipo de conducta es la denominada de aversión al riesgo.

Intuitivamente cuanto más cóncava sea la función de utilidad esperada, más contrario a correr riesgos será el consumidor. Analíticamente, puede la aversión de un individuo puede medirse mediante los índices de Arrow-Pratt de aversión absoluta al riesgo, medida global del riesgo y aversión relativa al riesgo. Para conocer la manera de calcular estos indicadores y su aplicabilidad consultar

Varian (1999). d. Una cartera diversificada permite disminuir los riesgos del mercado, especialmente cuando se logra una combinación de activos con variabilidad de sus rendimientos indirectamente correlacionadas, esto quiere decir que mientras la rentabilidad de algunos activos están subiendo la rentabilidad de los otros podrían estar bajando. El riesgo de mercado podrá mitigarse o equilibrarse con una diversificación conveniente, pero nunca podrá eliminarse, porque existe una cuota de incertidumbre involucrada en el riesgo. El riesgo inherente a las características propias de los activos si podrá reducirse considerablemente, e incluso eliminarse, con una diversificación adecuada. e. Las ventajas de la diversificación son mayores cuanto menor es la correlación entre la rentabilidad de los activos incluidos en la cartera, por lo que será conveniente que los activos estén negativamente correlacionados.


ECONOMIA DE LA INFORMACIÓN 1. Dados los siguientes datos: Existen 2 acciones posibles para el agente y ellas son: a (alto esfuerzo) y b (bajo esfuerzo)

Existen 2 resultados posibles para cada acción, uno malo (1) y uno bueno: x1= 10 ; x2=10.000 Lo anterior implica que aunque se haga un gran esfuerzo, igual se puede obtener un resultado malo y viceversa. Sin embargo la probabilidad de obtener un resultado bueno es más alta si se realiza un alto esfuerzo. Luego, siendo que p ij es la probabilidad del resultado j cuando se realiza la acción i Pa1=0,8;

Pa2=0,2;

Pb1=0,2;

Pb2=0,8;



Los costos del esfuerzo son: Ca=10 ; Cb=20



La utilidad del agente en función del ingreso: U(w) = [w(xj)]0,5



La utilidad de reserva del agente es = 10

a. Determinar el sistema óptimo de incentivos que maximiza el beneficio esperado del principal acerca de la acción del agente en el caso de INFORMACIÓN PERFECTA. b. Determinar el sistema óptimo de incentivos que maximiza el beneficio esperado del principal acerca de la acción del agente en el caso de INFORMACIÓN IMPERFECTA.

2. Rosa está desempleada y cobra $ 24 de seguro de desempleo por día.

Le ofrecieron un trabajo, en el cual podría cobrar$ 16 por hora si trabajase preparando almuerzos gourmet para delivery y $10 de viáticos por día pagadero por su empleador. Está evaluando si le conviene, pues esta actividad le significaría un costo igual al cuadrado de las horas trabajadas más 12 pesos de transporte y comida.


a. ¿Cuántas horas trabajaría por día si su empleador le exige armar tres viandas por hora (que luego coloca en el mercado a $50 cada una)? b. ¿Cuánto debería cobrar Rosa por hora para trabajar 8 horas por día?

3. El Dr. McDuck, un multimillonario que no sabe ya qué hacer con su dinero, decide invertir $100.000 en el Fondo Común de Inversión del banco “Banck”.

El gerente del banco le dice que puede ganar el 10% de su inversión inicial con una probabilidad del 80% si el Fondo realiza una exhaustiva investigación del mercado (lo cual representa para el banco un costo de $60). De lo contrario, si el Fondo destina únicamente $5 a la investigación, el Dr. McDuck, tiene un 80% de probabilidades de obtener un retorno igual al 0,5% de su inversión inicial. El Fondo no está dispuesto a trabajar por menos de $15 y su función de utilidad es U(w) = [w(xj)]1/2. a. ¿Cuál sería el sistema óptimo de incentivos que maximizaría el beneficio esperado de McDuck,? (Aclaración: McDuck, no puede monitorear las acciones del Fondo). b. ¿Cuál es su beneficio esperado? c. Explicar el concepto de Moral Hazard en base a este ejercicio.

Solución

a. Maximizamos 0,8[10.000 - W(X1)] + 0,2[ - W(X2)] sujeto a Restricción de participación: 0,8[W(X1)]1/2 + 0,2[W(X2)]1/2 – 60 / 15 Restricción de compatibilidad de incentivos: 0,8[W(X1)]1/2 + 0,2[W(X2)]1/2 – 60 / 0,2[W(X1)]1/2 + 0,8[W(X2)]1/2 – 5 L(W(X1),W(X2),a,b)= 8000 – 0,8W(X1) – 0,2W(X2) + a [0,8[ W(X1)]1/2 + 0,2[ W(X2)]1/2 – 75] + b [0,6[W(X1)]1/2 – 0,6[W(X2)]1/2 – 55 ] L´w1= -0,8 + 0,4a[ W(X1)]-1/2 + 0,3b[W(X1)]-1/2 =0


L`w2= -0,2 + 0,1a[W(X1)]-1/2 – 0,3b[W(X2)]-1/2 =0 L`a= 0,8[W(X1)]1/2 + 0,2[W(X2)]1/2 – 75 =0 L`b= 0,6[W(X1)]1/2 – 0,6[W(X2)]1/2 – 55 =0 de esto se obtiene:

W(X1)= 8711.22 y W(X2)= 2.77

b. BEie= 10.000* 0,8 + 0,2*0–60= 7940 BEnie= 500* 0.8 + 0,2*0 – 5 = 395 c. Se observa que el pago para el agente aumenta, cuando el principal lo incentiva a realizar una acción más costosa. Debido a que el principal no posee información perfecta sobre las acciones del agente (hay información oculta), el primero trata de que el segundo se esmere en realizar la acción que le otorgue mayor remuneración y a la vez mayor beneficio para el principal. O sea que a través de un incentivo, encamina al agente a realizar una acción determinada. Existe el problema de Moral Hazard, que es el riesgo moral que tiene el agente de responsabilizarse por hacer la acción más costosa pero que si no la hace, el principal no obtendrá los beneficios esperados para tal paga. En esta situación, el principal se esfuerzo vería altamente perjudicado el agente se compromete realizar cierto por el que el principalyaleque pagará cierta remuneración y ala fin y al cabo el agente no realiza tal esfuerzo. Esto se debe a que el principal no puede influir de manera directa en el proceder del agente sino sólo de forma indirecta a través de la paga. El riesgo moral que corre el agente será obtener la paga mayor sin haber realizado el esfuerzo mayor y por consiguiente conseguir el beneficio máximo.

4. Tomás Moro solicita al Banco Amazonas un préstamo por un año para un proyecto en la selva, cuya probabilidad de resultar exitoso es del 70% y, en ese caso, paga $300.

Si el proyecto no es exitoso su pago es de $0. El préstamo que necesita es de $100 y la tasa de interés libre de riesgo es del 10% anual. (Supuesto: si el proyecto fracasa, Tomás Moro no le paga nada al Banco). GUIA PRACTICA EN REVISION

a. ¿Cuál es el beneficio esperado del proyecto en la selva? b. ¿Qué tasa de interés le cobrará el Banco Amazonas? c. ¿Cuál es el Beneficio Esperado para Tomás Moro? d. ¿Qué pasaría si Tomás Moro, sabiendo que la probabilidad de éxito del proyecto es del 70%, le dijera al Banco que es del 90%? ¿Qué tasa de interés le cobraría el Banco en este caso? ¿Y cuál sería esta vez su beneficio esperado? Solución

a. En primer lugar, calculamos el beneficio esperado durante el primer año del proyecto en la selva, que se compone del ingreso esperado menos el valor de lo invertido (suponemos que invierte todo lo que pide prestado) multiplicado por la tasa libre de riesgo. El retorno libre de riesgo se define como lo que podría haber ganado de haber colocado el capital en un activo sin riesgo. BE = Pe *G + Pf *P – D*(1+r) BE= 0,7 *(300– 100 *(1+0,1)) + 0,3 *0 = 133 BE: Beneficio esperado del proyecto en la selva Pe: Probabilidad de éxito del proyecto G: Ganancia o pago del proyecto por éxito Pf: Probabilidad de fracaso del proyecto P: Pérdida o pago del proyecto por fracaso D: Inversión necesaria para llevar a cabo el proyecto r: Tasa de retorno libre de riesgo

b) El Banco Amazonas quien el riesgo por que se lleverecuperar a cabo elel proyecto, dado que enescaso decorre que todo fracase, el banco no podrá dinero prestado.


Por tal motivo cobrará una tasa de interés más alta que la tasa libre de riesgo, de modo que se lo compense por correr el riesgo. Con dicha tasa de interés se debe igualar el valor esperado de cobro al valor de lo prestado. VE = Pe x W (1 + i) + Pf x K (1 + i) = 100 0,7 * 100 (1 + i) + 0,3* 0 (1 + i) = 100 70 (1 + i) = 100



1 + i = 100 / 70



i = 0,42

VE: Valor esperado de cobro Pe: Probabilidad de éxito W: Pago en caso de éxito i: tasa de interés cobrada por el banco Pf: Probabilidad de fracaso K: Pago en caso de fracaso El banco le cobrará una tasa de interés del 42% por prestarle el dinero, dado el riesgo de fracasar que tiene el proyecto.

c) El beneficio esperado para Tomás Moro se obtiene restándole al beneficio esperado del proyecto el dinero que le prestó el banco pero en vez de multiplicarlo por la tasa de interés libre de riesgo hay que hacerlo por la tasa de interés que le cobrará el banco. BT = Pe x G + Pf x P – D (1 + i) BT = 0,7 x 300 + 0,3 x 0 – 100 (1 + 0,42) BT = 210 – 142 = 68 BT: Beneficio esperado por Tomás Moro Pe: Probabilidad de éxito G: Pago del proyecto en caso de éxito Pf: Probabilidad de fracaso P: Pago del proyecto en caso de fracaso


D: Dinero que se pide prestado al banco i: Tasa de interés cobrada por el banco d) Si Tomás Moro le dijese al Banco Amazonas que la probabilidad de éxito del proyecto es mayor que la que realmente es, estaríamos en caso de información oculta. El Banco Amazonas le prestaría dinero a una tasa más baja de la que realmente le convendría a Tomás Moro. Para solucionar este inconveniente el Banco Amazonas debería diseñar un sistema de incentivos para forzar a que Tomás Moro no mienta en la información suministrada o investigar muy bien la veracidad de la información para corroborar que sea cierta. Suponemos que el Banco Amazonas no toma ninguna de las dos alternativas anteriores con lo cual cree en la palabra de Tomás Moro. La tasa de interés cobrada por el banco será entonces menor que la tasa de interés que hubiese cobrado si tuviese la verdadera probabilidad. VE = Pe x W (1 + i) + Pf x K (1 + i) = 100 0,9 x 100 (1 + i) + 0,3 x 0 (1 + i) = 100 90 (1 + i) = 100 1 + i = 100 / 90 i = 0,11 -

VE: Valor esperado de cobro Pe: Probabilidad de éxito informada por Tomás (difiere de la probabilidad real) W: Pago en caso de éxito i: tasa de interés cobrada por el banco Pf: Probabilidad de fracaso informada por Tomás (difiere de la probabilidad real) - K: Pago en caso de fracaso El Banco Amazonas le cobrará un interés del 11% por prestarle el dinero, dado el riesgo de fracasar que tiene el proyecto según lo informado por Tomás Moro.


El beneficio esperado por Tomás será entonces mayor que el que tendría si se hubiese informado la verdadera probabilidad de fracaso del proyecto (dado que habiendo mentido obtiene una tasa de interés menor). BT = Pe x G + Pf x P – D (1 + i) BT = 0,7 x 300 + 0,3 x 0 – 100 (1 + 0,11) BT = 210 – 111 = 99 -

BT: Beneficio esperado por Tomás Moro Pe: Probabilidad de éxito G: Pago del proyecto en caso de éxito Pf: Probabilidad de fracaso P: Pago del proyecto en caso de fracaso D: Dinero que se pide prestado al banco i: Tasa de interés cobrada por el banco

El beneficio esperado por Tomás habiendo indicado una probabilidad de éxito del proyecto del 90% cuando es realidad del 70% es de $99.


TEORIA DE LOS JUEGOS 1. Considere el siguiente juego con dos jugadores y dos estrategias: Jugador B Izquierda Jugador A

a. b. c. d.

Arriba Abajo

( 10; 20 ) (-10; 7 )

Derecha ( 15; 8 ) ( 10; 10 )

¿Tiene el jugador B una estrategia dominante? ¿Tiene el jugador A una estrategia dominante? ¿Cuál es la estrategia segura ( maximin) para el jugador B? ¿Cuáles son las estrategias de equilibrio de Nash para los jugadores A y B?

2. Dada la siguiente matriz responda: Jugador 2 D Jugador 1

a. b. c. d. e.

A

100;125

B C

E

200;100

250;0

600;600

750;400

01; 00

4003; 00

03; 50

¿Tiene el jugador 1 estrategia dominante? ¿Tiene el jugador 1 alguna estrategia dominada? ¿Tiene el jugador 2 una estrategia dominante? ¿Tiene el jugador 2 alguna estrategia dominada? ¿Existe algún equilibrio de Nash?

f. ¿Cuál es el equilibrio cooperativo? ¿Es estable?


F

300;255

3. Dada la siguiente matriz responda: jugador 1

jugador 2

a. b. c. d. e.

rojo negro

rojo (1-1 ;) (-11;)

negro (-11;) (1-;1)

¿Tiene el jugador 1 estrategia dominante? ¿Tiene el jugador 1 alguna estrategia dominada? ¿Tiene el jugador 2 una estrategia dominante? ¿Tiene el jugador 2 alguna estrategia dominada? ¿Existe algún equilibrio de Nash?

4. Dos negocios de comidas rápidas, McDon y BurK compiten por la clientela de un centro comercial. Los dueños del primer local están evaluando dos posibles estrategias: ofrecer todos los días un menú económico (ME) o incorporar dos platos light (PL).

En el primer caso, creen que si BurK incursiona en el rubro Macrobiótico (M), ganarán un 5% del mercado, mientras que si BurK incluye el delivery, perderán un 8%. En el segundo caso, estiman que sus porcentajes de participación en el mercado variarán en -3% y un 6%, respectivamente. a. Con estrategias conservadoras, indique las frecuencias óptimas de cada decisión para McDon. b. Con estrategias conservadoras, indique las frecuencias óptimas de cada decisión para BurK.

5. Las empresas TeleCombo y TeleAfonica evalúan la posibilidad de incrementar sus participaciones en el mercado de telefonía móvil, mediante agresivas políticas comerciales y propaganda. La gerencia de TC supone que si promocionara el servicio enviando propaganda por correspondencia a todos los profesionales matriculados en GCBA, ganaría un GUIA PRACTICA EN REVISION

2% del mercado en el caso que TA mantuviera su política comercial, pero perdería un 2% si TA financiara la venta del aparato. Si alternativamente TC promociona su servicio ofreciendo llamadas sin cargo por una semana a las 500 empresas con sede en GCBA que más factura ganaría un 1% independientemente de la decisión del competidor. Considera que TC y TA son conservadoras en sus decisiones. a. Indique si hay dominación de estrategias para algún participante. b. En el caso de contestar afirmativamente en a), elimine las estrategias dominadas y determine el valor del juego. c. Evalúe la aplicabilidad del concepto de estrategias mixtas al presente problema. d. Verifique que aplicando estrategias mixtas en la matriz srcinal, la frecuencia óptima de estrategias dominadas es 0.

6. Dadas 2 empresas del rubro alimenticio, con 2 estrategias para incrementar sus participaciones en el mercado:

A Degustaciones

-0.05

B Auspicia un chef -0.02

B Recetarios gratis

0.03

-0.04

A “Lleve 3, pague 2”

a. Determine si existe equilibrio por estrategias puras b. Determine el equilibrio por estrategias mixtas.

7. Existe un duopolio en la industria de combustibles líquidos. Cada empresa evalúa su estrategia para incrementar sus ganancias.

La empresa 1 puede aumentar su capacidad de refinamiento (R) o aumentar su capacidad de almacenaje (A). La empresa 2 puede ampliar la red local (L) o puede explorar zonas nuevas (Z). El beneficios que obtengan dependerá de lo que ocurra en el mercado internacional con el precio que puede subir con p=0,40 o bajar con p=0,60.


Peso ↑: 0,40

Peso se aprecia ↓:0.60

E1/E2

L

Z

E1/E2

L

R

(100, 100)

(200, -100)

R

(-60,-100) (-100,100)

A

(-100, 160)

(300,

A

(100,

0)

Z

0) (-200, 60)

Calcule el valor esperado del juego. 8. Dos firmas dedicadas a la tecnología, "Dello" y "HPo" están evaluando su estrategia para expandirse en el mercado latinoamericano”. Dello puede optar

por ofrecer tecnología de punta (T) o personalizar el diseño a gusto del usuario (D). HPo puede colocar locales exclusivos en algunos países (L) o alternativamente ofrecer financiamiento en cuotas (C). El beneficio que obtenga cada firma estará influido no sólo por lo que realice su adversario, sino también por lo que suceda en el mercado internacional con el precio del peso con respecto al dólar (US$). La probabilidad de que el peso se aprecie es de 0.60 (sube con respecto al dólar). Se presentan los datos en millones de dólares anuales:

Peso se deprecia↓: ---------DellO/HPo

L

Peso se aprecia ↑:0.60 C

DellO/HPo

L

C (600,900)

T

(400, -200) (300, 150)

T

(-400,100)

D

(-300, 100) (400,-300)

D

(500, -500) (200,100)

a. Obtener e interpretar económicamente el valor esperado del juego con el análisis de la matriz de beneficios. b. Obtener e interpretar económicamente el resultado del juego. c. ¿Qué tipo de juego es? ¿Ante qué tipo de estrategias nos encontramos?


9. Dos casas de alta costura, "Armando" y "Versero" quienes siempre apuntaron a nichos diferentes del mercado, están evaluando ahora su estrategia para conquistar al sector juvenil americano de entre 18 y 23 años. Armando puede optar por adquirir telas de texturas srcinales (T) o realizar un

desfile inaugural a beneficio mostrando la nueva colección (D). Versero está entre instalar un par de locales exclusivos (L) o también dedicar

recursos para una campaña publicitaria al tono (C) El beneficio que obtengan cada una de las casas estará influido no sólo por lo que realice su adversario, sino también por lo que suceda en el mercado internacional con el precio del Euro con respecto al dólar (US$). La probabilidad de que el Euro se deprecie es de 0.05. (cae con respecto al dólar). Se presentan los datos en millones de euros anuales: Euro se deprecia↓: 0.05 A/V

L

Euro se aprecia ↑:---------C

A/V

L

C

T

(200, -20) (150, 30)

T

(-50,100)

(80,90)

D

(-50, 10)

D

(70, -5)

(30,10)

(40,-20)

a. Plantear como árbol de decisión si A toma la iniciativa b. Obtener e interpretar económicamente el valor esperado del juego con el análisis de la matriz de beneficios. c. Obtener e interpretar económicamente el resultado del juego. d. ¿Ante qué tipo de estrategias nos encontramos?¿Qué tipo de juego es?

10. En la ciudad de Rosario existen sólo dos proveedoras de TV por cable: CABLE TV y SUPER TV. Suponemos que lo que una proveedora gana de mercado, la otra lo pierde. La empresa CABLE TV evalúa tres estrategias para mejorar su

posición promoción gráfica, promoción por TV abierta e instalación sin cargo.deSimercado: la empresa SUPER TV no modifica su estrategia actual, CABLE TV espera ganar un 3% del mercado si hace promoción gráfica, 6% si es por TV y 5% si ofrece instalación sin cargo. Si SUPER TV decide sortear viajes entre sus GUIA PRACTICA EN REVISION

suscriptores, esta espera ganar un 4% del mercado si CABLE TV ofrece instalación sin cargo, perder un 7% si CABLE TV hace promoción gráfica, perder un 5% si CABLE TV hace promoción por TV. a. Halle solución con estrategias puras. ¿Existe equilibrio? Explicar. (Supuesto: Conducta conservadora). b. El Gerente de Marketing de CABLE TV le solicita determine la frecuencia óptima de las estrategias: Instalación sin cargo y promoción por TV. Establezca la ganancia esperada en la participación de mercado si sigue su consejo. Explique el resultado. ¿En qué contexto tiene sentido? Graficar.

Solución

a. Para hallar la solución por estrategias puras primeramente armamos la matriz de ganancia de la empresa CABLE TV SUPER

CABLE

Estrategia Actual

Sortear Viajes

Promoción Gráfica

0,03

0,07

Promoción TV

0,06

0,05

Instalación s/ cargo

0,05

- 0,04

Estrategia dominada

El presente es un juego de suma cero, en el que uno pierde lo que el otro gana y la matriz está armada desde los resultados del jugador fila, por lo que los números positivos son ganancia para CABLE y pérdida para SUPER, mientras que los números negativos de la matriz son pérdidas para CABLE y ganancias para SUPER. Por este motivo, y porque suponemos que los participantes tienen conductas conservadoras, la empresa CABLE TV es Maximinimizante y SUPER TV es Minimaximizante.


Como primer paso observamos si alguna estrategia está dominada. En este caso la estrategia ISC está dominada por la estrategia PTV. Ahora aplicamos Maximin a las dos estrategias que le quedan a CABLE TV. Si elige Promoción Gráfica lo peor que le puede pasar es obtener sólo el 3% del mercado y si elige Promoción TV el peor resultado sería ganar el 5% del mercado. De estos dos el resultado más favorable es Promoción TV y esta será la estrategia a aplicar. La empresa SUPER, por su parte, aplicará Minimax y encontrará que si se queda en el estado actual podría perder un 6% del mercado y si sortea viajes podría incluso llegar a perder un 7%. La estrategia conservadora entonces es mantener el estado actual. SUPER EA

CABLE

SV

Maximin

PG

0,03

0,07

0,03

PTV

0,06

0,05

0,05

ISC

0,05

-0,04

Minimax

0,06

0,07

El resultado del juego al aplicar CABLE TV la estrategia PTV y mantener el estado actual SUPER TV es una ganancia del 6% del mercado para CABLE TV. Sin embargo, este resultado no es un equilibrio estable, ya que al menos uno de los jugadores tiene incentivos a cambiar de estrategia si el juego se repite bajo iguales condiciones. b.

Para determinar las frecuencias óptimas de las estrategias “Instalación sin cargo” y “promoción por TV” para la empresa CABLE TV, se analiza la siguiente

matriz de pagos:


SUPER

CABLE

EA

SV

PTV

0,06

0,05

ISC

0,05

-0,04

Estrategia dominada

De la matriz se observa que la estrategia ISC está dominada por la estrategia PTV, ya que siempre le va a convenir realizar esta última ya que reditúa mayores ganancias. Por lo tanto, en este caso, no es necesario continuar con la resolución del juego, ya que la estrategia queda determinada directamente a través de la dominación: CABLE TV debe adoptar en el 100% de las veces la estrategia PTV y, de esta forma, el valor del juego será 0,05. b*) Determine la frecuencia óptima de las estrategias: Instalación sin cargo y promoción por TV para CABLE TV (suponiendo que debemos realizar la comparación con las tres estrategias y no sólo con las dos estrategias que mencionamos anteriormente.) Si lo resolvemos de esta manera, la frecuencia óptima de la estrategia de Instalación Sin Cargo (al ser eliminada por estar dominada por las otras estrategias), continúa siendo cero por ciento, y por lo tanto se plantea el siguiente sistema con las otras dos estrategias (PG y PTV). 0,03 * p1 + 0,06 * (1 - p1) » V

y

(0,03 – 0,06) * +p10,06 » V - 0,03 *+ p0,06 »V 1

y y

0,07 * p1 + 0,05 * (1 - p1) » V (0,07

– 0,05) * p1 + 0,05 » V

0,02 * p

1

+ 0,05 » V

Para resolver estas inecuaciones las pensamos como igualdades: - 0,03 *+ p0,06 =V 1

y

- 0,03 * p1 + 0,06 = 0,02 * p 1 + 0,05 0,05 * p1 = 0,01 p1= 0,2

p

2

= (1 - p1) = 0,8


0,02 * p

1

+ 0,05 = V

Y por lo tanto, el valor esperado del juego es: V = 0,054. En conclusión, la frecuencia óptima para la empresa CABLE sería realizar un 20% de las veces Promoción Gráfica y un 80% Promoción por TV. El realizar de esta manera las estrategias redundará en un aumento del 5,4% de la participación de CABLE TV en el mercado. Gráficamente:

V 0,07 0 06

V*

0 05 0 03

1

0 P1=0.2

La aplicabilidad del concepto de estrategias mixtas está condicionado a la repetitividad de las acciones que involucran. En la medida en que la política de la empresa CABLE y la política de SUPER TV se revean frecuentemente, el concepto de estrategias mixtas puede considerarse aplicable. Si tal revisión no fuera frecuente, entre una “jugada” y otra podría haber

cambiado el contexto, quitando actualidad a los coeficientes expresados en la matriz de pagos.


CONSUMO INTERTEMPORAL 1.

Una persona puede recibir una herencia constituida por los activos, A y B. El activo A produce una renta de $1.000 en t = 1 y $900 en t = 2. El activo B produce una renta de $800 en t = 1 y $1.200 en t = 2. Su función de utilidad es U = ln(C1) + 1/1,2* ln(C2), siendo C1 el consumo en el primer período y C2 en el segundo. Suponiendo que éste es el único ingreso de esta persona, calcular su utilidad esperada en las siguientes situaciones: a. Si debe optar entre A y B y no tiene acceso al crédito. b. Si puede recibir parte en A y parte en B y no puede prestar ni tomar prestado. c. Si debe optar entre A y B y tiene acceso al mercado de crédito a una tasa del 14%.

2.

Un individuo tiene la siguiente función de utilidad: U= ln(C1) + βln(C2) con β =

1/1,2. En el período la persona el segundo lo único que puede hacer es1,invertir en unrecibe activo $100. que enPara el estado bueno,período, que ocurre la mitad de las veces, otorga una rentabilidad del 40%. Si el estado es malo, la rentabilidad del activo es nula. a. Determinar el sendero óptimo de consumo. b. ¿Cuál es la esperanza del consumo en el período 2? c. Si el individuo tiene la opción de acceder al mercado de crédito a una tasa del 10%, ¿Preferirá esta nueva opción o invertir en el activo antes descripto?

Solución a. El individuo deberá maximizar su utilidad esperada sujeta a su restricción de presupuesto intertemporal. Por un lado su utilidad esperada estará dada por:


Max UE = ln(C1) + β E(lnC2)

donde lnC2 = p(C2b)* lnC2b+ p(C2m)* lnC2m

C2b: consumo del periodo 2 si el estado del activo es bueno C2m: consumo del periodo 2 si el estado del activo es malo p(C2i): probabilidad de que el estado sea i, siendo i= malo; bueno Con respecto a la restricción de presupuesto intertemporal, sabemos que siendo S1 el ahorro, o la inversión en el activo riesgoso, realizado durante el primer período, entonces C1= 100 – S1 y C2b= 1,4 S1 y C2m=S1 Reemplazando para incorporar las restricciones a la función objetivo: Max UE= ln (100 – S1) + 1/1,2 [0,50 ln (1,4 S1) + 0,50 ln (S1) ] Derivando buscamos la condición de primer orden: ∂E(U)/ ∂S1= -1/ (100 – S1) + 5/12 [1,4/ (1,4 S1) + 1/ S1 ] = 0

-1/(100-S1) + 5/12*S1 + 5/12*S1= 0 1/(100-S1) = 5/6*S1 100-S1= S1*6/5 S1= 45,4545 Entonces el sendero óptimo de consumo será: En el periodo 1: C1*= 54,55 En el periodo 2, dependerá del estado de la naturaleza, por lo que podrá ser: C2b*= 1,4 * 45,4545 = 63,63

C2m*= 45,45

Y la utilidad esperada en el óptimo será de: UE= 7,3198 b. El valor esperado del consumo en el período 2 es: VE (C2) = 0,50 * 63,63 + 0,50 * 45,45= 54.54


c. Ahora el individuo tiene la posibilidad de acceder al mercado de crédito a una tasa de captación del 10%. Calculamos cual sería su utilidad si invirtiera en esta opción cumpliendo con su restricción presupuestaria intertemporal. Max U = ln (100-S1) + 1/1,2 ln (1,1*S1) ∂U/ ∂S1= -1/(100- S1) + 10/12* S1=0

Despejando: (100- S1) = S1*6/5

S1** = 45,45 y C1** = 54,55 y

C2**=

49,995 El nivel de utilidad alcanzada es U** = ln (54,55) + 1/1,2 ln (49,995) = 7,259 El nivel de utilidad alcanzado en este caso es inferior al nivel de utilidad esperado en el caso de invertir en un activo inseguro, por lo que el individuo preferirá la primera opción. Esto se debe a que aún siendo un individuo adverso al riesgo, por las características de su función de utilidad, en niveles bajos de riqueza puede llegar a preferir tomar ciertos riesgos.

3.

Analizando un modelo de optimización intertemporal referido a dos periodos, suponemos que el consumidor tiene la siguiente función de utilidad para un periodo dado: ln (Ct) en donde Ct indica el nivel de consumo en el periodo t. Suponiendo que la tasa de preferencia intertemporal es ρ = 0,25 y que la tasa de

interés es r = 0,05, si el nivel de consumo optimo para el periodo 1 es C1 =2. a. Averiguar el nivel óptimo de consumo para el periodo 2. b. Siendo el ingreso de cada periodo igual a 10, cual es el consumo optimo en los dos periodos.

4.

Juan tiene una función de utilidad intertemporal de consumo en dos periodos de la siguiente forma:


donde c0 y c1 son los montos totales de consumo en los periodos 0 y 1 respectivamente, ∂ es la tasa de descuento de la utilidad. Tiene una riqueza

inicial de W y no va ganar nada mas en el resto del tiempo. En el periodo 0 puede elegir gastar su riqueza en consumo (C0) o puede elegir ahorrar a una tasa de interés r , de manera que estos ahorros pagaran un total de (1 + r) a pagarse en el periodo 1. a. ¿Cuál es la restricción que enfrenta Juan? b. Encuentre las demandas marshallianas correspondientes para c0 y c1. c. ¿Bajo qué condiciones c0 va a ser mayor, menor, o igual a c1? De una representación matemática y una interpretación económica para estas condiciones.

Solución

Cuál es la restricción presupuestaria? Vista desde el periodo 0, la restricción de recursos es:

Busco C0 y C1, para lo cual armo el lagrangiano:

Derivando respecto a las variables de decisión C0 y C1, obtenemos las condiciones de primer orden:

Dividiendo las dos primeras ecuaciones, obtenemos la tasa de sustitución intertemporal o Ecuación de Euler:


Sustituyendo en la restricción presupuestaria

Reemplazando en la expresión que vincula C1 y C0 (ecuación de euler), obtenemos:

Bajo qué condiciones C0 va a ser mayor, menor, o igual a C1?

disminuye, lo que significa que estoy descontando mas relativamente mi utilidad del consumo futuro, es decir, ahora mi consumo futuro vale relativamente menos. Por lo tano, tiene sentido pensar que si aumento ∂ voy a quererconsumir más en el presente y menos en el futuro. A medida que ∂ aumenta,

Ahora, la condición de optimización nos dice que en el óptimo la tasa a la que estoy dispuesto a sustituir consumo presente por consumo futuro es la tasa a la que podemos trasladar consumo, ajustada por la tasa de descuento entre periodos. De manera que si la tasa de interés aumenta, entonces voy a querer consumir menos hoy y más mañana para mantener la igualdad, y si aumenta quiero consumir más hoy y menos mañana por la misma razón.


5.

Existe una función de utilidad para dos periodos: Los consumidores tienen ingresos fijos Y0 y Y1, con Y1 < Y0. Los consumidores pueden invertir a una tasa de interés r. Además

El gobierno puede recaudar ingresos de cualquiera de estas dos formas: - Un impuesto al consumo - Un impuesto al ingreso a. ¿Cómo difieren las decisiones de consumo entre las dos situaciones planteadas? b. Ahora asuma que el gobierno desea aumentar su recaudación vía un impuesto a las ganancias del capital (un impuesto a los beneficios de una inversión en el periodo 1). ¿Cómo resultan las decisiones de consumo en este régimen impositivo?

Solución

1. Podemos mostrar fácilmente como un impuesto al consumo y al ingreso son exactamente lo mismo. Con un impuesto al ingreso, el gobierno toma el porcentaje Ty del ingreso de cada periodo. Esto nos determina la siguiente la siguiente restricción presupuestaria:

Con un impuesto al consumo, cada unidad a consumir es adquirida a un mayor precio que incluye la tasa impositiva Tc, por lo que el gasto en consumo para una misma cantidad aumenta:

Por lo tanto, se puede observar fácilmente que si:


Entonces ambas restricciones son equivalentes y el resultado de la optimización será el mismo. Presentemos este resultado ahora de una forma alternativa, que puede también ser ilustrativa. Veamos cómo se resolverían los problemas: Impuesto al Ingreso

Las condiciones de primer orden son:

Si dividimos las dos primeras, obtenemos la tasa marginal de sustitución intertemporal, que determina como estamos dispuestos a sustituir consumo presente por futuro:

Utilizando el supuesto de que

, tenemos que:

Sabiendo que la tasa de sustitución es tal que el individuo está dispuesto a consumir lo mismo en cada periodo, utilizamos la restricción para encontrar los niveles óptimos en función de los datos del problema:


6.

Dada una función de utilidad intertemporal aditivamente separable

    

a. Escriba la restricción presupuestaria intertemporal del consumidor. Interprete b. Muestre que la tasa marginal de sustitución entre el consumo en el periodo   1 y en el periodo 2 viene dada por  . Comente.  c. En particular, explique cómo es la decisión del consumidor si la tasa de interés es igual a la tasa de impaciencia.



7.

Si las preferencias de un consumidor se presentan a través de una función de utilidad de elasticidad de sustitución constante como:   con q>0    

   



a. Encuentre la trayectoria óptima del consumo, asumiendo que el consumidor tienen libre acceso a los mercados de capitales a una tasa de interés r. b. Cómo se comporta el consumidor para distintos valores del parámetro q. En particular, muestre la relación entre el parámetro y la elasticidad de sustitución entre consumo en el periodo 1 y consumo en el periodo 2.


BIBLIOGRAFIA

Parsons, Wayne (1998) Políticas públicas: una introducción a la teoría y la práctica del análisis de políticas públicas, Atenea Acevedo. México. Rawls, John (1). A Theory of Justice, Harvard University. Nozick, Robert (1974). Anarchy, State and Utopia, Blackwell Publishers, Oxford Diéguez, Hector y Porto, Alberto (1971). Problemas de Microeconomía , Amorrortu, Buenos Aires. Ostrom, Elinor (1990). Governing the Commons: The Evolution of Institutions for Collective Action, University Press, Cambridge.


4001 - microeconomia - castelao

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