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aumento de la frecuencia resulta en una reconstrucción más exacta de la señal original. La desventaja efectiva en sistemas de banda estrecha para telecomunicaciones es la limitación de la capacidad del canal, así que las señales deben transmitirse con la potencia suficiente para que la interferencia por ruido gaussiano no sea efectiva y la probabilidad de que los datos recibidos no sean correctos permanecerá baja. Esto significa que la SNR efectiva debe ser suficientemente alta para que el receptor pueda recuperar la señal transmitida sin error. Los errores introducidos por un canal hostil pueden reducirse a cualquier nivel deseado sin sacrificar la tasa binaria de transferencia de información que utiliza. La ecuación de Shannon describe la capacidad del canal. La SNR se puede disminuir sin que aumente la tasa de error de bit. Esto significa que si la señal se ensancha sobre un ancho de banda grande con un nivel menor de potencia espectral, aún se puede lograr la tasa requerida. Si la potencia total de señal se interpreta como la zona bajo la densidad espectral de potencia, entonces señales con la potencia total equivalente pueden tener o una potencia grande de señal concentrada en un ancho de banda pequeño o una potencia pequeña de señal esparcida sobre un ancho de banda grande, como se puede ver en la Figura 4.1.
Figura 4.1. Señales con la misma potencia, pero con diferentes anchos de banda
4.3- W-CDMA El sistema W-CDMA (Wideband-Direct Sequence -Code Division Multiple Access , Acceso múltiple por división de código-Banda ancha) es el sistema que aprovecha el ancho de banda de forma más eficiente en ambientes multiusuario. Por esta razón, el sistema W-CDMA se convierte en una elección ideal para zonas metropolitanas con gran densidad de usuarios.
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Figura 4.2 Esquema de acceso múltiple por división de código de banda ancha
Un código W-CDMA es utilizado para modular la señal a transmitir. Dicho código consiste en una serie de impulsos binarios o chips, conocido como una secuencia de pseudo-ruido (PN), que es una secuencia binaria con un periodo determinado. El código se ejecuta a una tasa más alta que la señal a transmitir y determina el ancho de banda real de transmisión. Una señal de espectro ensanchado en secuencia directa (SS/DS-CDMA) se obtiene modulando la señal a transmitir con una señal pseudo-aleatoria de banda ancha (código de pseudo-ruido). El producto da una señal de banda ancha. Un código de pseudoruido es una secuencia binaria representada con valores -1 y 1, que posee propiedades similares a las del ruido. Esto determina valores pequeños de correlación entre los códigos y la dificultad de bloqueo o detección de una señal de información por un usuario no deseado. La dispersión de energía sobre una banda ancha, o rebajar la densidad espectral de potencia, hace que el sistema W-CDMA genere señales menos probables para interferir con comunicaciones de banda estrecha, porque la potencia ensanchada de la señal está cerca de los niveles gaussianos de ruido. Como ya se ha visto, las comunicaciones de banda estrecha, ocasionan poca o ninguna interferencia en sistemas W-CDMA porque el receptor de correlación integra sobre un ancho de banda muy amplio para recuperar una señal W-CDMA.
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Figura 4.3. Nivel de potencia de la señal ensanchada por debajo del nivel de potencia de r uido
4.3.1- Códigos CDMA ( Spreading codes ) Existen dos familias de códigos W-CDMA empleadas, los códigos PN y los códigos ortogonales. Los códigos PN son secuencias pseudoaleatorias generadas por un registro de desplazamiento realimentado y se emplean para la diferenciación de usuarios o nodos B. Los más utilizados en W-CDMA se generan utilizando un registro de desplazamiento lineal. La correlación cruzada teórica entre códigos ortogonales es cero en una transmisión síncrona. Las secuencias de Walsh son los códigos ortogonales comúnmente utilizados para el ensanchamiento del espectro y para la separación de canales o de usuarios en sistemas W-CDMA.
4.3.1.1- Propiedades básicas En una transmisión W-CDMA la señal de información es modulada mediante un código CDMA y en el receptor la señal recibida es correlada con una replica del mismo código. Debido a esto, es importante que exista una baja correlación cruzada entre la señal deseada y las señales interferentes de los demás usuarios para poder suprimir la interferencia multiusuario. También se requiere que tengan una buena autocorrelación para una buena sincronización. Además, la buena autocorrelación es importante para eliminar la interferencia debida a la propagación multicamino. Las funciones de autocorrelación y correlación cruzada están relacionadas de forma que en un mismo instante de tiempo no se pueden alcanzar buenos valores de ambas. Así pues se utilizarán las funciones de autocorrelación y correlación cruzada periódicas para juzgar si un código está cualificado o no para ser utilizado. En particular se utilizan las funciones de autocorrelación y correlación cruzada discretas que se pueden ver a continuación: •
Función de autocorrelación periódica: L
φ xx (l ) =
∑c
x
(i )c x [(i + l ) mod L]
i =1
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para
0 ≤ l ≤ L − 1
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•
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Función de correlación cruzada periódica: L
φ xy (l ) =
∑c
x
(i )c y [(i + l ) mod L ]
para
0 ≤ l ≤ L − 1
i =1
donde, •
C x(i) es el i-ésimo chip del código x con longitud L.
•
C y(i) es el i-ésimo chip del código y con longitud L.
Para los sistemas CDMA, los códigos deben de tener un pico grande en la autocorrelación para l =0. Para el resto de valores de l , la función de autocorrelación debe de ser tan próxima a cero como sea posible. Esto será útil a la hora de poder sincronizar el transmisor y el receptor. Para una gran capacidad multiusuario en sistemas CDMA, los diferentes códigos deben de ser ortogonales entre ellos, siendo cero el valor de la función de correlación cruzada para l =0. Para cualquier código conocido, las propiedades de las funciones de autocorrelación y correlación cruzada, que se requieren en los sistemas CDMA, no pueden cumplirse simultáneamente. Además, la condición de que el valor de la correlación cruzada para l =0 es cero, es válida sólo cuando las señales recibidas están alineadas en tiempo, lo que sólo se cumple en el caso del enlace Downlink , ya que en el Uplink todas las señales de los usuarios tienen diferentes caminos de propagación hacia el Nodo B y no están alineadas en el tiempo. Mientras que hay muchos códigos que cumplen la propiedad de la correlación cruzada para l =0, en muchos casos no se cumplirá que el valor de la función de correlación cruzada sea bajo para valores l ≠0.
4.3.1.2- M-Secuencias En muchos casos los códigos de ensanchamiento son generados con un registro lineal de desplazamiento junto a unos operadores lógicos apropiados. Dichos operadores realimentan a la entrada del registro una combinación de los estados de dos o más de sus registros como se puede ver en la Figura 4.4.
Figura 4.4. Esquema de un generador de M-secuencias - 27 -
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Las conexiones de los registros al módulo sumador vienen determinadas por el polinomio generador de la secuencia PN, que es de la forma: G(X) = 1 + A 1X + A2X2 + ... + A NX N Donde Ai es ‘1’ o ‘0’ dependiendo si hay conexión o no con el módulo sumador. El estado inicial de los registros es lo que se denomina semilla del código. Los sumadores lógicos realizan una OR-Exclusiva (XOR) de los registros para ser realimentados. Para el caso de códigos binarios la operación de suma módulo-2 es equivalente a la operación XOR. Hay que tener en cuenta que no todos los polinomios generadores producen una secuencia PN de máxima longitud, por lo que es necesario consultar tablas estándar donde se encuentren las especificaciones. Las M-Secuencias son códigos que tienen la máxima longitud realizable con un registro de desplazamiento consistente en N casillas, de ahí procede su nombre Máxima-Secuencia. Dicha longitud es L=2 N-1. Las M-Secuencias están definidas por los denominados polinomios irreducibles o primitivos. Para diferentes valores iniciales de las casillas, la M-Secuencia obtenida es siempre la misma, la única diferencia es que empieza con un desplazamiento en el tiempo llamado fase de código. A continuación se pueden ver las propiedades más importantes de las M-Secuencias: •
Para la función de autocorrelación se puede encontrar:
L para
φ xx (l ) =
− 1 para
l = 0 1 ≤ l ≤ L − 1
si los elementos del código son mapeados a {-1,1}. •
N-1
Hay 2
N-1
unos y 2
-1 ceros en un periodo de código.
•
El número de repeticiones (un cierto número de chips consecutivos con el N-(p+2) mismo valor) de longitud p es 2 tanto para los ceros como para los unos. No hay repeticiones de ceros de longitud N o de unos de longitud N-1. Además, el número de repeticiones decrece en potencia de 2 a medida que su longitud crece. La distribución estadística de unos y ceros aparenta ser totalmente aleatoria pero está bien definida y siempre es la misma. Esta aleatoriedad también se puede ver en la forma de la función de autocorrelación, ya que la correlación de una M-Secuencia con una versión de ella misma desplazada en el tiempo es casi cero, indicando que los valores del código c(i) son estadísticamente independientes.
•
Si una M-Secuencia se suma módulo-2 con una versión de ella misma desplazada en el tiempo, el resultado es la misma secuencia de código con un nuevo desplazamiento en el tiempo. Si dos M-Secuencias diferentes de igual longitud se suman módulo-2, el resultado es una secuencia compuesta de igual longitud. Esta secuencia compuesta es diferente para cada combinación de desplazamiento en el tiempo de las secuencias originales. Gracias a este
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resultado se pueden generar un gran número de códigos diferentes, así es como se calculan los códigos de la familia Gold en el apartado 4.3.1.3. •
Se ha demostrado que para todas las M-Secuencias de una determinada longitud, sólo unas pocas de ellas tienen unas “buenas” propiedades de correlación cruzada. En este contexto “buenas” significa que la correlación cruzada solamente toma tres posibles valores: φ xy
{
}
= − 1, −Θ c ( N ), Θ c ( N ) − 2
con
Θ c ( N ) =
2
N 2 +1 +
1
x donde denota la parte entera del número real x. Desafortunadamente el número de M-Secuencias con estas “buenas” propiedades de correlación cruzada, también conocido como mightiness, es muy pequeño y no crece con la longitud de las M-Secuencias como se puede ver en la Tabla 4.1.
N L
3
7
Número de M-Secuencias Mightiness 2
5 7 11 31 127 2047 32767 2 6 18 167 1800 3 6 4 2
15
Tabla 4.1. Propiedades de M-Secuencias para diferentes longitudes del registro de desplazamiento
A continuación se puede ver un ejemplo de la generación de una secuencia PN:
Figura 4.5. Esquema de un registro lineal de desplazamiento con semilla 110
Donde: •
N = 3
•
Semilla = 110
•
G(X) = 1 + X 2 + X3
•
L=7
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Haciendo un seguimiento del circuito se puede ver como la secuencia PN de salida es la siguiente: 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 ... Se puede ver como la secuencia PN se repite cada 7 chips.
4.3.1.3- Secuencias Gold Las secuencias de Gold son generadas mediante la suma módulo-2 de dos “buenas” M-Secuencias de igual longitud como se puede ver en la Figura 4.6.
Figura 4.6. Esquema de un generador de códigos Gold
Aunque el número de “buenas” M-Secuencias es bajo, gran número de secuencias de Gold. Esto es debido a que dos tener hasta 2 N-1 desplazamientos relativos diferentes entre ellas, resulta en una secuencia de Gold diferente como se explicó en M-Secuencias.
se pueden obtener un M-Secuencias pueden y cada desplazamiento las propiedades de las
En oposición a las M-Secuencias, la función de autocorrelación de los códigos Gold tienen cuatro posibles valores diferentes mientras que la correlación cruzada posee tres posibles valores: φ xx (l ) = { L, Θ c ( N ) − 2,−1,−Θ c ( N )} φ xy (l ) = {Θ c ( N ) − 2,−1,−Θ c ( N )}
con
Θ c ( N ) =
2
N 2 +1 +
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1
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Comparando las secuencias de Gold con las M-Secuencias con respecto a las funciones de correlación, se puede ver como para las secuencias de Gold hay un mayor número de códigos que cumplen la propiedad de la correlación cruzada. Esto está compensado con una empeora de la función de autocorrelación. Los códigos Gold se utilizan en UMTS para el Scrambling .
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A continuación se puede ver un ejemplo de una comunicación CDMA con un usuario:
Figura 4.7. Ejemplo de comunicación CDMA con una señal transmitida (T 1), un código Gold (C 1), un filtro adaptado en recepción ( ∑T 1 * C 1 *C 1 ) y una señal desensanchada (R 1)
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Si en el ejemplo anterior, en lugar de multiplicar en recepción por el código de Gold C1, se multiplica por un código de Gold C2 igual al código inicial, pero desplazado una muestra se obtendría:
Figura 4.8. Ejemplo de comunicación CDMA con una señal transmitida (T 1), un código Gold en recepción erróneo (C 2) y un filtro adaptado en recepción (
∑T * C *C ) 1
1
2
El ejemplo anterior se corresponde con el caso de que el transmisor y el receptor no se encuentren sincronizados. En la Figura 4.8 se puede ver como a la salida del filtro adaptado el nivel de la señal en los periodos de muestreo es casi despreciable. En la Figura 4.9 se puede ver como en un entorno multiusuario, donde cada usuario tiene su propio código de Gold, es posible recuperar las señales en recepción multiplicándolas por el código del usuario del cual se quiera recuperar la señal.
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Figura 4.9. Ejemplo de comunicación CDMA con dos señales transmitidas (T 1 y T 2), dos códigos Gold (C1 y C2) y un filtro adaptado en recepción
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4.3.1.4- Códigos ortogonales En 1923, J.L Walsh definió un sistema de funciones ortogonales. La característica más importante de los códigos de Walsh es la perfecta ortogonalidad entre los códigos, y es por ello, que se utilizan en aplicaciones de comunicaciones. Las secuencias de Walsh son utilizadas en UMTS como códigos de canalización en el Uplink y en el Downlink . Las secuencias de Walsh se pueden generar con la ayuda de las denominadas matrices de Hadamard , las cuales son matrices cuadradas. Cada fila o columna de una matriz de Hadamard es una secuencia de Walsh. Las matrices de Hadamard se pueden calcular utilizando la siguiente regla recursiva:
H 1
H 2i
=
=
[1]
H i H i
H i
− H i
O lo que es lo mismo, H 2
1 1 H 4 = 1 1 1 1 1 1 H 8 = 1 1 1 1
=
1 1
1
− 1
1
1
1
−1
1
−1
1 − 1 − 1 −1 −1 1
1
1
1
1
1
1
−1
1
−1
1
−1
1
1
−1
−1
1
1
−1
−1
−1
1
1
−1
−1
1
1
1
−1
−1
−1
−1
1
−1
−1
1
−1
1
−1
−1
−1
−1
1
−1
−1
1
−1
1
1
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1
− 1 1 − 1 1 1 − 1 −1
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Se puede ver con facilidad que todas las columnas y las filas son mutuamente ortogonales. Las siguientes propiedades se pueden derivar si se define la secuencia de Walsh W i como la i-ésima fila o columna de una matriz de Hadamard : •
Las secuencias de Walsh son secuencias binarias con valores de +1 y –1.
•
La longitud de las secuencias de Walsh son siempre potencia de 2.
•
Siempre hay L secuencias diferentes de longitud L.
•
Las secuencias de Walsh son mutuamente ortogonales si están sincronizadas, es decir, φ xy (l = 0) = 0 .
•
Si dos secuencias de Walsh tienen desplazamiento en el tiempo, la función de correlación cruzada puede tomar valores mayores que el pico de la función de autocorrelación, el cual es igual a la longitud L de la secuencia. Aunque también es posible que la función de correlación cruzada tome un valor de cero incluso cuando existe cualquier desplazamiento en el tiempo.
•
Todas las secuencias de Walsh comienzan por +1.
Otro método para generar códigos ortogonales es utilizando estructuras de árbol:
C ch,4,0 = ( 1 , 1 , 1 , 1 ) C ch,2,0 = ( 1 , 1 ) C ch,4,1 = (1,1,-1,-1) C ch,1,0 = ( 1 ) C ch,4,2 = (1,-1,1,-1) C ch,2,1 = ( 1 , - 1 ) C ch,4,3 = (1,-1,-1,1) SF = 1
SF = 2
SF = 4
Figura 4.10. Generación de códigos ortogonales mediante las estructuras de árbol
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La generación de esta estructura de árbol se realiza mediante el siguiente proceso recursivo:
C C n,1 C 2 n,1 n ,1 C C n ,1 − C n ,1 2n,2 C 2 n = = ... ... C C n, n n,n C 2 n , 2 n C n,n − C n ,n Donde C 2n es un conjunto de códigos ortogonales de tamaño 2n y SF es el Spreading Factor o factor de ensanchamiento. Las propiedades de ortogonalidad de estos códigos similares a las de los códigos de Walsh. El orden de las funciones de la matriz no es el mismo que el de la matriz de Hadamard , pero las funciones en si son las mismas. Las secuencias pertenecientes a la misma rama forman un conjunto de códigos ortogonales, es más, dos secuencias cualesquiera de diferentes ramas son ortogonales excepto si una secuencia es la madre de la otra. Como ya se ha mencionado, estas secuencias son completamente ortogonales para un retraso cero. Para otros retrasos, tienen muy malas propiedades de correlación cruzada y por eso sólo son apropiados para sistemas síncronos. Debido al efecto de la propagación multicamino, es necesario combinar estas secuencias con otras que eliminen dicho efecto, para evitar la interferencia producida por el mismo código. La ganancia del rendimiento de los códigos ortogonales depende del perfil del canal, de la dispersión y de las pérdidas debidas a la propagación. Cuanto mejor sea el aislamiento entre células y menor sea el efecto multicamino, mayor será la ganancia del rendimiento del sistema. En la figura 4.11 se puede ver un ejemplo de la utilización de los códigos ortogonales, en el que dos señales ensanchadas por diferentes códigos ortogonales se transmiten y una de ellas se recupera en el receptor.
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Figura 4.11. Ejemplo de utilización de códigos ortogonales
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4.3.2- Control de potencia En general, control de potencia significa controlar la potencia de transmisión de la señal para optimizar el rendimiento del receptor en el caso en el que múltiples usuarios se encuentren activos en la misma celda y en celdas vecinas. De esta forma se puede optimizar la capacidad del sistema. A continuación se considerará un caso para el Uplink , en el que todas las MSs ( Mobile Stations, estaciones móviles) transmiten con la misma potencia. Las señales recibidas de las MSs cercanas a la BS ( Base Station, estación base) serán mucho mayores que las señales de MSs lejanas a la BS. En el caso de correlación cruzada perfecta de las señales ensanchadas, el receptor será capaz de recuperar la señal débil. Pero la realidad es que las propiedades de los códigos CDMA no son perfectas, por lo que es un sistema limitado por interferencia. La interferencia producida por las MSs cercanas bloquea la recepción de las señales débiles. A esto se le llama efecto near-far (cerca-lejos). Evidentemente, la solución a este problema es realizar algún tipo de control sobre la potencia. En el caso perfecto, la potencia que se recibiría en la BS procedente de cada una de las MSs sería la misma, aunque se seguiría teniendo MAI (Múltiple Access Interference , interferencia por acceso múltiple) ya que cada señal causa interferencia a los otros usuarios. En una situación como la del Downlink , debido a las diferentes pérdidas de los caminos para cada MS, la BS transmite las señales de diferentes usuarios con diferentes niveles de potencia. Con un perfecto control de potencia, las señales llegarían a cada usuario con la misma potencia. Esto produciría efecto near-far porque el nivel de potencia transmitido a una MS cercana sería mucho menor que el transmitido a una MS situada en los límites de la BS. Si se transmitiesen todas las señales con la misma potencia se eliminaría el efecto near-far , pero esto no es posible debido a la limitación de potencia de la BS. No obstante, en UMTS, se aplica el control de potencia para el Downlink , aunque el objetivo es diferente que en el Uplink . El control de potencia se aplica para proveer un margen de potencia para enlaces de MSs que se encuentran en los límites de la celda, donde sufren interferencia de las celdas vecinas.
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