4 - Turbine Assiali

Turbine Turbine assiali assiali

Triangoli di velocità ρ1 Ax1cx1= ρ2 Ax2cx2 = ρ3 Ax3cx3

Triangoli di velocità ρ1 Ax1cx1= ρ2 Ax2cx2 = ρ3 Ax3cx3

Parametri di progetto • Coefficiente di flusso: ϕ  =

cm U 

(

c x U 

in macchine    puramente assiali )

"issata geometria e velocità di rota!ione# il flusso in massa attraverso la turbina cresce con ϕ

• Coefficiente di carico:

h0 U ∆cθ   ∆cθ   ∆ ψ  =  = = = U2

U2

U

∆$%: varia! dell&entalpia totale attraverso lo stadio' (n macc$ina adiabatica ) pari

•

al lavoro specifico per turbina puramente assiale e con raggio costante# l&e*ua!ione di +ulero fornisce il lavoro specifico come ,- ∆cθ ,n elevato carico di stadio s tadio .elevato ψ / comporta un&elevata rota!ione del fluido e *uindi triangoli di velocità molto sc$iacciati' 0aggiore ) ψ # minore ) il numero di stadi a parità carico totale .esistono comun*ue effetti sull&efficien!a del carico rado didirea!ione: per stadio c$e limitano ψ /

h2 − h3 R= h1 − h3

upponendo il flusso in turbina isoentropico

 Tds=d$dp ρ  4=.p

p /.p p /

5avoro in uno stadio assiale • (l lavoro per unità di massa fatto sul rotore di uno stadio assiale ): ∆W =  8W   8m= h01 − h03 = U ( cθ 2 + cθ 3 ) +*' +ulero con r cost' • 6ello statore l&entalpia totale resta costante perc$7 non ci sono scambi di lavoro e calore h01 = h02

5avoro in uno stadio assiale • 9ato c$e la componente della velocità radiale ) piccola 1

1

h02 − h03

= U ( cθ 2 + cθ 3 ) = h2 − h3 + ( c θ 2 − c θ 3 ) + ( c 2 x 2 − c x23 )

h2 − h3 +

1

h2 − h3 +

2

2

2

2 1

2

( cθ 2 + cθ 3 ) [ ( cθ 2 − cθ 3 ) − 2U ] +

1 2

(c − c ) = 0 2  x 2

( cθ 2 + cθ 3 ) [ ( cθ 2 − U ) − ( cθ 3 + U ) ] +

2 • + dai triangoli di velocità:

1 2

2  x 3

(c − c ) = 0 2  x 2

2  x 3

e cθ 2 + cθ 3 = wθ 2 + wθ 3

• icottiene: cθ 3 + U = wθ 3 θ 2 − U = wθ 2 h2 − h3 +

 1 2

( wθ 2 − wθ 3 ) + 2

2

 1 2

2 2 c c  − (  x 2  x 3 ) = 0

5avoro in uno stadio assiale • e la velocità assiale ) costante:  1 2  1 2 h2 + w2 = h3 + w3 2

⇒

2

h02 rel  = h03rel

+ntalpia tot rel costante attraverso il rotore di una turbina puramente assiale

Turbina multistadio • 6elle turbomacc$ine multistadio si assume c$e la velocità assiale sia costante e per un progetto preliminare si considerano i triangoli di velocità al raggio medio' • i considera inoltre c$e il raggio medio sia costante e α1 = α3

Turbina multistadio • 9alla defini!ione di grado di rea!ione: R=

h2 − h3 h1 − h3

h1 − h2 h01 − h03

= 1−

$1$3=$%1$%3 dato c$e le velocità alle se!ioni 1 e 3 sono uguali .ingresso e uscita stadio  condi!ioni per stadi ripetuti/

• Possiamo scrivere: 1 1 h − h = h − h + ( c − c ) = c ( tan α  − tan α  ) 2

1

2

h01 − h03

01

02

2

2

2

1

2

2

2

 x

2

2

1

= U  ψ  2

2

⇒  R = 1 −

c x

2

2U  ψ 

( tan

2

α 2 − tan 2 α 1 ) = 1 −

2

ϕ  ( tan 2 α 2 − tan 2 α 1 ) 2ψ 

ϕ  =

c x U 

Turbina multistadio • (l coefficiente di carico pu essere scritto: ∆cθ  c x ( tan α 2 + tan α 1 ) = = ϕ ( tan α 2 + tan α 1 ) ψ  = U 

U 

• C$e pu essere inserito nella espressione del grado di rea!ione: ϕ  ϕ  1 tan tan 1  R = − ( α  − α  ) = −  ( tan α  − tan α  ) 2ψ  2ϕ ( tan α  + tan α  ) ϕ   R = 1 − ( tan α  − tan α  ) 2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

1

• 4icavando tan;2 e sostituendo si ottiene: tan α 2

2

= tan α 1 + (1 − R ) ⇒

ϕ  ψ  = ϕ ( tan α 2 + tan α 1 ) = 2ϕ  tan α 1 + 2(1 − R ) = 2(1 − R + ϕ  tan α 1 )

1

Turbina multistadio ψ  = 2(1 − R + ϕ  tan α 1 )

• "issando ϕ# < e 4 si definiscono i triangoli di velocità: ψ  ( R − 1) tan = + α 1

tan α 2

2ϕ 

=

2(1 − R )

ϕ 

ϕ 

+ tan α 1

• 9alla condi!ione di stadi ripetuti .;1=; 3/ e dai triangoli di velocità: 1 wθ 2 = c − U  → c x tan β 2 = c x tan α 2 − U  → tan β 2 = tan α 2 −

ϕ 

θ  2

w

= c + U  → c

tan β 

=c

tan α 

+ U  → tan β  = tan α  +

1

4endimento e perdite di stadio • Consideriamo il rendimento totaletotale:

η tt  = ( h01 − h03 ) ( h01 − h03 ss ) • Possiamo supporre c$e le condi!ioni di velocità all&ingresso siano identic$e a *uelle in uscita e c$e c3ss=c3: η tt  = ( h1 − h3 ) ( h1 − h3 ss ) =

= ( h1 − h3 ) [ ( h1 − h3 ) + ( h3 − h3 s ) + ( h3 s − h3 ss )] • Possiamo scrivere: h3 s h

− h ≅ T  ( s −  s ) ) h T  ( 3 ss

3

3 s

3 ss

4endimento e perdite di stadio • 9ato c$e: s3s − s3ss = s2 − s2 s ⇒ h3s − h3ss = ( T 3 T 2 ) ( h2 − h2 s )

• 9efinendo i coefficienti di perdita in fun!ione delle velocità in uscita: 1

h3 − h3s = w32ζ R 2 1

h2 − h2 s = c22ζ N 2

+ffetto irreversibilità attraverso il rotore# espresso nei termini dell&en' cinetica in uscita dalla sc$iera +ffetto irreversibilità attraverso lo statore# espresso nei termini dell&en' cinetica in uscita dalla sc$iera

• Possiamo scrivere:

 ζ Rw32 + ζ Nc22 T 3 η tt  = 1 + 2( h h ) 

−1  T 2  

4endimento e perdite di stadio • (l rendimento totalestatico ) .$p c 1=c3=c3ss/ : −1

 ζ  + ζ  T 3 T 2 +  η ts = ( h01 − h03 ) ( h01 − h3 ss ) = 1 +  2 ( ) − h h 1 3   • 6egli stadi con una piccola varia!ione di temperatura .T3T2 ≅1/: 2 w  R 3

 ζ Rw32 + ζ N c22 −1 η tt  = 1 +   2 ( h1 − h3 )   ζ Rw + ζ  η ts = 1 + 2( h  2 3

c +c h)

2 N 2

2 1

−1

  

2 c N  2

2 c1

Progetto preliminare • Con i tre parametri # < e 4 si possono fissare i triangoli di velocità' • Prima ancora < pu essere usato per definire il numero di stadi:   8W  nstage >   8mψ U 2

• i pu osservare c$e il numero di stadi dipende non solo da <# ma anc$e da ,' • ,na alta velocità periferica ) sempre desiderabile in *uanto implica un pi> ridotto n stage

Progetto preliminare • , ) limitata dai seguenti fattori:  ? Tensioni sulla pala  ? @ibra!ioni

Carichi centrifughi e vibrazioni aumentano rapidamente al crescere della velocità del rotore

 ? 4umore  ? Condi!ioni di flusso .subsonicotransonico/  ? 9rag troppo elevato

Progetto preliminare • +& poi necessario fissare il raggio medio e l&alte!!a della pala' • Considerando la velocità assiale costante dall&e*' 9i continuità di $a :  ρ 1 A x1 =  ρ 2 A x 2 =  ρ 3 A x 3 c x

= ϕ U 

⇒  A =  x

 m  ρϕ U 

≈ 2π r   H  m

•  Assumendo c$e il raggio medio sia la media dei raggi al mo!!o e alla corona : r 

1

= ( r  + r  )

Progetto preliminare • arebbe pi> corretto scrivere c$e il raggio medio ) *uello c$e divide il flusso .o meglio l&annulus/ in due parti uguali: 1 2 2 r m = ( r t  + r h2 ) 2

• 5e due defini!ioni di raggio medio si e*uivalgono se il rapporto tra i raggi alla corona e al mo!!o ) alto' • 5&area dell&annulus ) comun*ue data da: 2      r  2 h  A x = π r t  1 −  2     r      

Progetto preliminare • (l raggio medio pu essere vincolato dalla scelta della , e della velocità di rota!ione  r m = U Ω • 5&alte!!a della pala ) *uindi calcolabile da:   ricordando

 A x

=

 m

 ρϕ U 

  8m r t  − r h = H ≈  ρφ U 2π rm 

≈ 2π r   H  m

Progetto preliminare • 6el caso di flusso comprimibile la se!ione pu essere trovata dalla seguente espressione .fun!ione del flusso in massa/:   8m c pT 01 = Q( M1 )  A x cosα 1

• Per gli stadi successivi si possono utili!!are le seguenti espressioni:

∆h0 = ψ U 2 = c p (T 01 − T 03 ) ⇒  p03  p01

η  pγ   ( γ  −1)

 T 03   =      T    01  

T 03 T 01

= 1−

ψ U 2 c pT 01

+& utili!!ato Bp in *uanto pi> idonea a studiare la varia!ione di proprietà attraverso il singolo

tadio con 4=% • ( vantaggi di uno stadio con 4=% sono molteplici:  ? Alto coefficiente di carico  ? assi caric$i assiali sul rotore  ? 0inori perdite per trafilamento .per la ridotta perdita di pressione attraverso il rotore/  ? Poc$i stadi • li svantaggi sono:  ? 0inore efficien!a .per l&aumento del carico di stadio/  ? Possibile separa!ione dello strato limite .elevato camber/

tadio con 4=% • 9alla defini!ione di 4=% risulta c$e $ 2=$3 e *uindi il salto entalpico ) tutto nello statore' 9alla conserva! dell&entalpia tot rel nel rotore si $a *uindi c$e D2=D3

• Poi combinando: φ 

R = 1 − ( tan α 2 − tan α 1 ) 2

• i ottiene:  φ 

R = ( tan β 3 − tan β 2 ) 2

• Per 4=% β 3 = β 2

e

tan β 2 =  tan α 2 −

 1

φ 

tan β 3 = tan α 3 +

 1

φ 

tadio con 4=%'E • 9alla defini!ione di 4=%'E risulta c$e il salto entalpico ) diviso in parti uguali • Fuindi:  R = 1 − ϕ  ( tan α 2 − tan α 1 ) ⇒ 1 = ϕ ( tan α 2 − tan α 1 ) 2

1=

1 U 

( cθ 2 − c x tan α 1 ) =

1 U 

( wθ 2 + U  − c x tan α 1 )

    1 = ( c x tan β 2 + U  − c x tan α 1 ) = ϕ  tan β 2 + − tan α 1     ϕ  U      ⇒ ( tan β 2 − tan α 1 ) = 0 ⇒ β 2 = α 1 = α 3 1

+ffetto del grado di rea!ione • 9alla seguente espressione: ψ  = 2 ( 1 − R + φ tanα 1 ) • i possono calcolare vari triangoli di velocità e *uindi i rendimenti totaletotale e totalestatico

9iffusione nelle turbine • i parla di diffusione *uando la velocità assoluta diminuisce nello statore e *uella relativa diminuisce nel rotore • (n particolare si pu avere diffusione nel rotore se 4G% e nello statore se 4H1 • Per 4=1 abbiamo la situa!ione in figura

5a correla!ione di mit$ .1IJE/ • 9a dati relativi a oltre K% turbine 4olls4oLce# ) stato creato *uesto diagramma

5a correla!ione di mit$ .1IJE/ • 9al punto di vista analitico# mit$ suppose c$e le perdite fossero propor!ionali alla energia cinetica media' Per 4=%'E fu definito un fattore: h0 h0 ∆ ∆ f s = 2 2 = 2 2 2 2 ( c1 + c2 ) ( c1 U + c2 U ) • Per 4=%'E si trovano: c2 U

w3 = U

2     ψ  + 1 = φ 2 +  ÷;   2  

c1 U

w2 = U

2     ψ  − 1 = φ 2 +  ÷   2  

5a correla!ione di mit$ .1IJE/ • C$e sostituite diventano: 2ψ  ψ  = 2 2 f s = 2 2   2  ψ + 1   2  ψ − 1     ( 4φ  + ψ  + 1) φ  +  ÷ + φ  +  ÷ ÷÷   2         2   • Per ogni M si pu trovare lo < ottimale differen!iando rispetto a <: 2 2 φ  ψ  + + 1) 2 4 ∂f s == ( = 0 2 2 ∂ψ  ( 4φ  + ψ  + 1) ⇒ ψ opt  =

4φ 2 + 1

4endimento per 4=%'E • (l rendimento totaletotale ) rappresentativo del rendimento di uno stadio in una macc$ina multistadio' •  Abbiamo già visto c$e:

 ζ Rw32 + ζ Nc22 −1 η tt  = 1 +   2 ( h1 − h3 ) 

• Per 4=%'E si $a: D 3=c2 e N4=N6=N *uindi: w32 = c x 2 sec2 β 3 = c x 2 ( 1 + tan2 β 3 ) β 

( ψ + 1) ( 2φ ) ; β  ( ψ  1) ( 2φ )

4endimento per 4=%'E • i ottiene *uindi: 2

ζφ  = 1+ η tt  ψ  1

2     ζφ  1 + ψ  2  ( 1 + tan β 3 ) = 1 + ψ  1 +  2φ  ÷       

• 9a cui si nota c$e i valori ottimali di  e < sono entrambi bassi • (n generale: %'EGG1'E e %'OG
2

4endimento per 4=% • e 4=% 2=3 e *uindi: tan α 2 =

1

+ tan β 2 ;

tan α 3 = tan β 3 −

 1

φ  φ   ∆ W  ψ  = 2 = φ ( tan α 2 + tan α 3 ) = φ ( tan β 2 + tan β 3 ) = 2φ tan β 2 U ψ  ⇒ tan β 2 = 2φ   ψ  2 + 1  ψ  2 − 1 ⇒ tan α 2 = ; tan α 3 = φ  φ 

4endimento per 4=% • Qsservando i triangoli di velocità:

   ψ  2 + 1  2   ÷ c2 = c x sec α 2 ⇒ c22 = c x 2 ( 1 + tan 2 α 2 ) = c x 2 1 +     φ  ÷  ÷        ψ   2   w3 = c x sec β 3 ⇒ w32 = c x 2 ( 1 + tan 2 β 3 )  = c x 2 1 +  ÷ ÷   2φ   ÷      2   ψ  2    2  ψ  2  ζ Rw32 + ζ N c22 1 1  ⇒ = 1+ = 1 + ζ R φ  +  ÷  + ζ N φ  + 1 + ÷  2 2 U 2     2       2   

4endimento per 4=%

4endimento con c 3 assiale • i considera il rendimento totalestatico c$e ) rappresentativo dell&ultimo stadio' ζ Rw32 + ζ Nc22 + c12 φ 2 1 2 2 1 sec sec ζ  β  ζ  α 2 + 1} = 1+ = + + { R 3 N 2 η ts

2ψ U

2ψ 

c1 = c3 = c x  ⇒ tan β 3 = U c x ; tan β 2 =  tan α 2 − tan β 3  1 sec2 β 3 = 1 + tan 2 β 3 = 1 + ;

φ 

⇒

1

η tt 

= 1+

1

2     ψ  sec 2 α 2 = 1 + tan 2 α 2 = 1 +  ÷  φ   

ζ R ( 1 + φ  ) + ζ N ( φ  + ψ  ) + φ  } { 2φ  2

2

2

2

4endimento con c 3 assiale

"or!e centrifug$e • 5a for!a centrifuga c$e agisce su un elemento infinitesimo di pala ): dF c = −Ω2 rdm= −Ω2 r  ρ m Adr 

• 5e tensioni sono: dσ c dF c = = −Ω2rdr   ρ m  ρ m A

• Per pale a se!ione costante 2

      Ut   r h  σ c 2 == Ω ∫ r  r dr = 1 −  ÷  ρ m 2   r t     r t  h

2

"or!e centrifug$e • 9ato c$e le pale sono rastremate si pu definire: tensione    al    mozzo     pala    rastremata  K  tensione    al    mozzo    pala    diritta =

• 9a cui:

2      σ c KU t   r h  = 1−  ÷  ρ m 2   r t     2