4. Programación Multiobjetivo

Tema 4. Programación Lineal Multiobjetivo

Investigación Operativa

ÍNDICE 1. Introducción 2. Métodos analíticos para la resolución de problemas de optimización multiobjetivo 2.1. Método de las ponderaciones 2.2. Método de las ! – restricciones 2.3. Programación por metas 3. Ejemplos



1. Introducción En muchas situaciones reales los problemas de decisión deben considerar simultáneamente múltiples objetivos, que suelen ser conflictivos en el sentido de que la mejora en uno o varios conlleva un deterioro en otros. Los problemas de optimización multiobjetivo, también denominada optimización vectorial o multicriterio, surgen de forma natural en muchas áreas y su resolución de manera eficiente constituye un desafío desde hace tres décadas. Determinación de los valores para un vector de variables de decisión x que satisfaga un conjunto de restricciones y “optimice” una función vectorial, cuyos elementos representan las funciones objetivo individuales. “optimizar“ f(x) sujeto a x F !



donde F es el conjunto de soluciones factibles del problema y función objetivo n-dimensional a maximizar, f(x)

f

es una

= {f1(x), f2(x),.., fn(x)}.

Generalmente, para este tipo de problemas no existe ninguna solución que proporcione simultáneamente el mejor valor para todos los objetivos, es decir, no existe ningún x* tal que fi (x*) " fi (x), para todo x ! F, i=1,...,n.

Nuestro objetivo consistirá en conseguir una solución que proporcione valores aceptables para el decisor en todas las funciones objetivos. Se trata de obtener soluciones eficientes, no dominadas o Pareto óptimas (Edgeworth, 1881; Pareto, 1896).



Una solución x* es un óptimo de Pareto, eficiente o no dominada (bajo hipótesis de minimización), si no existe otra solución factible que tome un valor menor en algún objetivo sin causar un incremento simultáneo en al menos otro.

Formalmente: Un punto x*! F es una solución eficiente si no existe otra solución x ! F tal que fi (x) " fi (x*) para todo i=1,...,n y existe al menos un índice i tal que fi (x) < fi (x*). Las desigualdades anteriores las expresaremos de manera conjunta escribiendo x* ≻ x, que significa que x* domina x (existen otros conceptos modificaciones del anterior, como eficiencia débil, fuerte...). El conjunto de Pareto, eficiente o no dominado s erá: P = { x ! F: no existe x!! F con x! ≻ x}

La optimalidad de Pareto no garantiza la unicidad de la solución.



f2

f1

El conjunto eficiente podría ser muy grande.



Alternativas: • métodos aproximados o de aproximación (constituyen una alternativa razonable a los métodos exactos) ! encontrar soluciones eficientes, proporcionando un buen equilibrio entre una aproximación del conjunto de soluciones eficientes y los posibles requerimientos de tiempo y memoria para alcanzarlas. • Dirigir la búsqueda dentro del conjunto eficiente para alcanzar una solución de compromiso o satisfaciente (Simon, 1957) a partir de las preferencias de los decisores.



Ejemplo. Supongamos un fabricante de productos químicos que está considerando la posibilidad de producir a gran escala dos tipos de sustancias, denominadas A y B. El fabricante desea maximizar el beneficio (objetivo 1) pero a la vez desea hacer mínima la contaminación emitida (objetivo 2) que se produce en el proceso de fabricación, siendo ambos conflictivos. Sean las variables de decisión x1 = producción de A

y

x2 = producción de B,

y supongamos que el problema se modeliza considerando las funciones objetivo: max z1(x) = 2x1 +3x2 (beneficio), min z2o(x) = 4x1 + 2x2 (contaminación),



Finalmente, las restricciones se deben a la limitación de disponibilidad de la materia prima y a tiempos de trabajo y de control de calidad, y vienen dadas por x1 + 3x2 " 24 (materia prima) 2x1 + x2 " 18 (tiempo de trabajo) x1 + x2 " 10 (control de calidad)

además de las condiciones de no negatividad, x1, x2 # 0. Multiplicando la segunda función objetivo por !1, hacemos z2 = $z2o, y el problema queda de la siguiente forma:





La obtención del conjunto eficiente la hacemos determinando la imagen de F (región factible del problema) mediante f =(z1(x), z2(x)) y cada punto x ∈F tendrá su transformado z = z(x) ∈ Z = z(F) en el plano z1z2, con Z región factible en el espacio de objetivos. Observemos también que el conjunto eficiente se corresponde con el conjunto eficiente en Z está representado por los segmentos O’A’ y A’B’.



2. Métodos analíticos para la resolución de problemas de optimización multiobjetivo 2.1. Método de las ponderaciones Fue propuesto por Zadeh en 1963. Se basa en la idea de ponderar los objetivos y generar el conjunto eficiente con una adecuada variación paramétrica de los mismos (el problema pasa a ser uniobjetivo). El método de las ponderaciones se formula planteando el programa lineal

con %k peso asociado al objetivo zk. Denominamos a este problema P("), con " = (%1,..., %n) vector de pesos o ponderaciones.



El peso %k para el objetivo zk se interpreta como la importancia o peso relativo del k-ésimo objetivo en relación con el resto de los objetivos. Si los pesos %1,..., %n expresan las preferencias del decisor sobre cada objetivo y éste es capaz de asignarlos de una manera razonable, la solución óptima de P(") es la solución de mejor compromiso para él.

Teorema. Si %k > 0 para todo k =1,...,n, entonces cualquier solución óptima x* de P(") es eficiente. El método de las ponderaciones no resulta muy adecuado para obtener la representación completa del citado conjunto. Hay que considerar de forma sistemática una serie de conjuntos de pesos positivos. Usualmente, se empieza por la optimización individual de cada objetivo, que equivale a tomar los pesos (1,0,...,0), (0,1,...,0),..., (0,0,...,1), para después introducir una variación sistemática de éstos con una tasa de aumento prefijada que hay que estimar como adecuada.



En el caso de las soluciones obtenidas con algún peso nulo, no podemos asegurar que sean eficientes y, en tal caso, habría que comprobarlo (más adelante). En la práctica se pueden tener ciertos inconvenientes: • Distintos conjuntos de pesos pueden generar la misma solución (eficiencia). • El tamaño del paso de un conjunto de pesos a otro puede no permitir generar todos los puntos extremos y, por tanto, se obtendría una aproximación del conjunto eficiente. En definitiva, se podría esperar en muchos casos la generación de una aproximación más que una representación exacta del conjunto eficiente.



Ejemplo. Siguiendo con el problema del fabricante de productos químicos supongamos que el decisor es capaz de proponer los pesos %1=4 y %2=1, para las respectivas funciones objetivo, quedando el problema transformado:

que proporcionaría la solución de mejor compromiso. Método del símplex ! x1*=3 y x2*=7, que es un punto eficiente (punto B). Además, z1*=27 (beneficio) y z2o* = -z2* =26 (contaminación).



El decisor no es capaz de asignar pesos a los objetivos o desea obtener todo el conjunto eficiente ! variación paramétrica de los pesos. Tomamos entonces diferentes valores de extremos de F.

"

que nos conducen a puntos

Las soluciones (0,0) y (0,8) se han obtenido para pesos estrictamente positivos ! eficientes. Además, puesto que son adyacentes, cualquier combinación de la forma p(0,0)+(1-p)(0,8), p∈(0,1), será un punto eficiente.


Punto extremo (3,7) asociado al vector de pesos (1,0) asegurar que sea eficiente.


!

no se puede

Una inspección visual permite confirmar que sí lo es. Problemas de mayor dimensión ! es necesario proponer algún método.



Método para contrastar la eficiencia de las soluciones generadas a partir de vectores de pesos con componentes nulas.

Supongamos que %k > 0 %k = 0

para k = 1,...,t y para k = t+1,...,n,

y que en la solución del problema con esa ponderación se ha obtenido una solución óptima, para la que zk(x1,...,xn) = zk*, k = 1,...,t. Resolvemos el siguiente problema de optimización (de ponderaciones en un subconjunto de S) con %k > 0 para k = t+1,...,n.



La resolución de este problema nos permite determinar si las soluciones son eficientes.

Ejemplo. En el ejemplo anterior el punto (3,7) de F se obtuvo con los pesos %1=1 y %2=0, pudiendo entonces no ser eficiente. Resolvemos el problema:

con % = 1 y tenemos como solución x*=(3,7) y, por tanto, sí es eficiente. 2



2.3. Método de las !-restricciones El método de !-restricciones consiste en optimizar una función objetivo zl(x) de z, que se supone más importante que las otras, introduciéndose además números reales !k (k & l) para las restantes funciones objetivo que corresponden a cotas inferiores propuestas por el decisor.

y que denominaremos Pl(#). La elección de la función objetivo zl y las cotas !k, representan preferencias subjetivas del decisor ! si Pl(#) no tiene solución habría que relajar al menos una de las cotas.



La siguiente figura ilustra el método para el caso biobjetivo.

Vemos que el espacio Z = z(F) de objetivos ha quedado reducido al conjunto Zo, al tomarse z1 como función objetivo más importante y considerar una cota inferior para la segunda función objetivo, es decir, z2(x) # !2.

Teorema (condición suficiente). Si la solución óptima x* de entonces x* es eficiente.

Pl(#)

es única,



Ejemplo. Supongamos que el decisor considera el objetivo beneficio económico (z1) más importante que el objetivo contaminación ( z2o), pero para este último establece que un nivel de contaminación inferior a 24 unidades sería aceptable.

Mediante el método del símplex se obtiene la solución óptima x*=(2.4,7.2), con z1* = 26.4 y z2o* = -z2* = 24. Ésta es la mejor solución de compromiso para el decisor y como además es única, es eficiente.



En el caso de soluciones óptimas alternativas no es posible garantizar la eficiencia de las soluciones obtenidas mediante Pl(#). Para comprobar la eficiencia de las mismas resolvemos el problema de optimización

para distintos valores de %k . Los objetivos zi que pasan a ser restricciones son aquellos que cumplen las restricciones como igualdades (zk(x*)= !k), incluido el objetivo que se eligió como más importante en el problema srcinal de maximización (objetivo l).



Teorema. Dada x* solución eficiente, para cualquier l es posible tomar cotas inferiores !k (k & l) tales que x* sea óptima para el problema Pl(#). A continuación, damos un algoritmo basado en el método de las !-restricciones que conduce a soluciones eficientes: Paso 0. Hacer l=1 y tomar (convenientemente) nºs arbitrarios !k (k = 1,...,n). Paso 1. Resolver el problema Pl(#) y sea xl* una solución óptima. Paso 2. Si l = n, parar. Si l < n, entonces si !l < zl(xl*), cambiar el valor de !l a zl(xl*), hacer l = l+1 e ir al paso 1.



Ejemplo. Siguiendo con el problema del fabricante de productos químicos: Paso 0. Hacemos l=1 y tomamos ! =(!1, !2)=(20,-30) como cotas inferiores para los objetivos z1 y z2, respectivamente. Paso 1. Resolvemos el problema P1(!):

cuya solución óptima es x1*=(3,7) con z1*=27. Paso 2. Como l=1<2 y !1 = 20 < 27 = z1(x1*), hacemos !1=27, l=2 y vamos al Paso 1.



Paso 1. Resolvemos el problema P2(!), con ! =(27,-30)

cuya solución óptima es x2*=(3,7) con z2*= -26 = -z2*. Paso 2. Como l = 2 = n, paramos. La solución es x=(3,7), que es eficiente. La generación de todo el conjunto eficiente requiere una adecuada variación paramétrica de los !k, para lo que hay disponibles algunos algoritmos, Chan-kong y Haimes (1983).



2.3. Programación por metas Concebida inicialmente por Charnes y Cooper a principios de los años sesenta. Una de las áreas con mayor número de aplicaciones en problemas de programación multiobjetivo. En principio a problemas industriales, sin embargo, posteriormente se han extendido a muchos otros campos como la Economía, Agricultura... Idea: proponer metas o niveles de aspiración para los distintos objetivos que desea alcanzar y una solución óptima se define como aquélla que minimiza la desviación a las metas propuestas. Modelo de programación por metas: Determinar x ∈IR tal que !



donde es la meta establecida por el decisor para el i-ésimo objetivo zi y F la región factible definida por las restricciones lineales. El criterio es, por tanto, hacer mínima la suma de los valores absolutos de las desviaciones o diferencias entre los valores de los objetivos y sus metas. La función objetivo no es lineal, no siendo aplicable entonces el método del símplex. Redefinir la función objetivo transformando el problema al formato lineal. Dos nuevas variables di⁺ y di⁻, de desviación por exceso y defecto, respectivamente, del objetivo zi de su meta dadas por :



Observemos que de di⁺ es igual a

y cero en otro caso, y

di⁻ es igual a

y cero en otro caso.

Por tanto, di⁺ y di⁻ se interpretan como exceso y defecto del nivel de aspiración o meta del objetivo i-ésimo. Para cada i se tiene además

obteniendo el siguiente problema lineal equivalente:


A


lo denominamos restricción de meta.

Se ha prescindido de las restricciones di⁺'di⁻= 0 que lo convertirían en un problema no lineal. La función objetivo conducirá a una o ambas iguales a cero para cada i, asegurando que no puedan ser simultáneamente variables básicas. No es posible a la vez un exceso y un defecto, de forma que si di⁺>0 debe ser di⁻=0 y viceversa. Observemos que, en general, la solución obtenida no será eficiente.



Ejemplo. Siguiendo con el problema del fabricante de productos químicos tomando como metas =28 y =24. El programa por metas se formula

Pasando a la forma equivalente, se tiene el problema



cuya solución, aplicando el método del símplex, es

con D*=1.6, siendo z1*=26.4 y z2o*=24.

Planteemos ahora algunas modificaciones de la formulación lineal equivalente que se propuso anteriormente.



1. Ponderar las desviaciones di⁺ y di⁻, con el propósito de reflejar la importancia relativa de los objetivos y la relativa significación de la desviación por exceso o por defecto. Si definimos con %i⁺ y %i⁻ los pesos asociados a las desviaciones di⁺ y di⁻ (no negativos y al menos uno positivo) el problema queda como

La función objetivo es una suma ponderada de variables de desviación. Los pesos %i⁺ y %i⁻ deben ser fijados por el decisor, lo que puede ser una dificultad importante ! objeción al método.



Ejemplo. Siguiendo con el problema del fabricante de productos químicos se proponen las metas =26 y =20 y como pesos para las variables de desviación %1+=4, %1⁻=1, %2+=1 y %2⁻=2, el problema queda

Aplicando el método del símplex, se obtiene la solución

con P*=0.8, siendo



2. Considerar su función objetivo como una suma ponderada con pesos %i " 0 y potencias de orden q de las diferencias :

Recibe el nombre de programación por metas generalizada. Programa no lineal ! puede ser difícil de resolver. El programa anterior está íntimamente relacionado con un enfoque denominado de programación de compromiso introducido por Yu y Zeleny en 1973, véanse Ríos et al. (1989) y Romero (1996).



3. Otros casos especiales de interés se han desarrollado para la formulación

• Que la posible desviación sea únicamente por exceso o por defecto ! cada objetivo se aproxime lo más posible a la meta pero manteniéndose siempre o bien por debajo o bien por encima o, incluso, igual al valor establecido para ella. • Factores de prioridad ! se intenta que un objetivo satisfaga su meta (si es factible) antes de considerar el resto de metas ! se ordenan las metas de acuerdo al orden de importancia.



¿Cómo? ! para una determinada desviación k-ésima, hacer el peso %k+ mucho mayor que %l+ y, análogamente, para %k- y %l-, para todo l & k. Conceptualmente diferentes de los pesos introducidos anteriormente, ya que cada uno se asigna a una o más variables de desviación asociadas con las metas. Se debe pensar en ellos no como números, sino como una sucesión con la propiedad de que Pi es más importante (o tiene prioridad) sobre Pi+1 (i=1,...,k-1). La función objetivo de este modelo toma la forma

donde %ik+ y %ik- representan los pesos asignados a las i-ésimas variables de desviación en la prioridad Pk.



La formulación explícita de estos modelos con otras variantes y su resolución se pueden ver en Romero (1993) y Ríos Insua (1996).

Algoritmo lineal secuencial Inspirado en el método lexicográfico, consiste en resolver sucesivamente los PL uniobjetivo que se obtienen al establecer una partición del problema de acuerdo con los niveles de prioridad, comenzando por resolver el problema con la prioridad más. Teniendo en cuenta el significado de los factores de prioridad como una ordenación lexicográfica para K factores de prioridad, donde

el problema toma la forma





Ejemplo. Consideremos el problema del fabricante de productos químicos

con z1(x) = 2x1 +3x2 (beneficio) y z2(x) = - 4x1 - 2x2 (contaminación). Supongamos que en el mismo se proponen las siguientes metas por orden de importancia: 1. P1: reservada a las restricciones (rígidas), 2. P2: alcanzar un beneficio de 21 unidades (z1 " 21), 3. P3: limitar el nivel de contaminación a 12 unidades (zo2

#

12).



El modelo de planificación de la producción se puede expresar



Aplicando el algoritmo secuencial: Paso 0. Hacer k = 1. Paso 1. Consideramos el problema

Paso 2. Aplicando el método del símplex ! %1* = 0. Paso 3. Hacer k = k+1 = 2, y como k = 2 " 3 = K, vamos al Paso 4.



Paso 4. Consideramos el problema

y vamos al paso 2. Paso 2. Aplicando el método del símplex ! %2* = 0. Paso 3. Hacer k = k+1 = 3, y como k = 3 " 3 = K, vamos al Paso 4.



Paso 4. Consideramos el problema

y vamos al paso 2. Paso 2. Aplicando el método del símplex ! %3* = 2. Paso 3. Hacer k = k+1 = 4, y como k = 4 > 3 = K, vamos al Paso 5. Paso 5. La solución óptima del problema srcinal es x1*=0 y x2*=7.



Ejemplo 1 Un fabricante de herramientas produce tres calidades ( A, B, C) de pulidoras. El proceso de fabricación de una pulidora de tipo B ocupa doble tiempo que una de tipo C, y una del tipo A doble que el de B. Si toda la producción fuera del tipo C, se podrían hacer a lo sumo 1000 unidades diarias. Los tres tipos de pulidoras utilizan la misma cantidad de materia prima y la cantidad disponible limita diariamente a 600 el número total de unidades que se pueden producir. Los beneficios unitarios de las herramientas A, B y C son 40, 30 y 10 euros, respectivamente. El fabricante desea maximizar la ganancia total. Para determinar la política de producción, se sabe que la demanda de los tres tipos es importante, pero, por razones de imagen, quiere que la producción de los tipos B y C sea lo mayor posible. Se pide:



a. Formular un modelo de programación lineal multiobjetivo que tenga en cuenta los deseos del fabricante. b. Dibujar las regiones factibles en los espacios de decisiones y de objetivos. Determinar las soluciones eficientes. c. Suponiendo que elque fabricante dos veces mas importante el objetivo económico el de nivelestima de producción, determinar mediante el método de las ponderaciones cual debe ser la política de producción. Comentar la solución. Ídem si establece que solo el objetivo nivel de producción de B y C es importante. d. Si el fabricante dice que el objetivo nivel de producción de las pulidoras B y C es mucho mas importante que el económico, pero para este último establece un nivel mínimo de 14500 euros, ¿cuál es la política de producción mas adecuada?

Tema 4. Programación Lineal Multiobjetivo a) Variables de decisión

Restricciones

Funciones objetivo

Modelo de programación lineal multiobjetivo




b)

z2

M’

C’

600

B’ N’ 400

Z 200

A’ O’ 0

500 3

1000

1500

z1



c) Método de las ponderaciones:

Eficiente Método de las ponderaciones:

Eficiente? Sí


d) Método de !-restricciones :




Ejemplo 2 En el proceso de fabricación de dos tipos de transistores denominados T1 (alta calidad) y T2 (baja calidad), se utilizan entre otras como materias primas, aluminio, arsénico y selenio, en las cantidades que se indican en la tabla. En ella aparecen, además, las disponibilidades de las materias primas, los costes de mano de obra y del proceso de fabricación (en euros $102), los consumos de energía (kW) y contaminación emitida (mg) en el proceso de fabricación. Todas las cantidades son por unidad producida.



El fabricante desea racionalizar el proceso de producción y, para ello, establece un conjunto de metas con el siguiente orden de importancia: 1. No superar las disponibilidades de materias primas. 2. Respetar las demandas de transistores. A partir de estudios de mercado, se estima que para el tipo T1 se encuentra entre 50 y 90 unidades y para el tipo T2 es superior a 110. 3. Los costes de mano de obra y del proceso no deben superar los fondos disponibles, que se sitúan en 60000 y 117500 euros, respectivamente. 4. El consumo de energía debe ser inferior a 3600 kW. 5. La contaminación emitida debe situarse lo mas próxima posible a 1600 mg. Se desea: a. Construir un modelo de programación por metas con prioridades que responda a los deseos del fabricante. b. Al poco tiempo, aparece legislado un límite superior de contaminación emitida de 1500 mg, bajo pena de cierre de la fabrica. Comentar como habrá que modificar el modelo

Tema 4. Programación Lineal Multiobjetivo a) Variables de decisión

Primera prioridad: restricciones rígidas de disponibilidad

Segunda prioridad: demandas

Tercera prioridad: costes




Cuarta prioridad: consumo de energía

Quinta prioridad: contaminación

Condiciones de no negatividad

Función objetivo

b) Situar la restricción de meta de la prioridad P5; que desaparece, en la prioridad P1 pero solo con ; cambiando el termino independiente 1600 por 1500, quedando



Referencias Chankong, V. y Haimes, Y.Y. (1983), Multiobjective Decision Making: Theory and Methodology, North-Holland, Nueva York. Ríos, S., Ríos Insua, M.J. y Ríos Insua, S. (1989), Procesos de Decisión Multicriterio, EUDEMA, Madrid. Ríos Insua, S. (1996), Investigación Operativa. Programación Lineal y Aplicaciones, Editorial Centro de Estudios Ramón Areces S.A., Madrid. Romero, C. (1993), Teoría de la Decisión Multicriterio: Conceptos, Técnicas y Aplicaciones, Alianza Universidad Textos, Madrid. Romero, C. (1996), Análisis de las Decisiones Multicriterio, Isdefe, Madrid. Simon, H. (1957), Models of Man, Wiley. Steuer, R. (1986), Multiple Criteria Optimization: Theory, Computation and Applications , Wiley, New York.

4. Programación Multiobjetivo

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