4-ÁLGEBRA

ACADEMIA «SAN FERNANDO»

O D I A N M E A D N A C R A E F N A S 1

Ven a la Academia Academia SAN FERNANDO FERNANDO e ¡ I N G R E S A Y A ! !

ÁLGEBRA

COMPENDIO ACADEMICO

POTENCIAS Y RADICALES 0 1. 1. R ed ed uc ucir:

O D I A N M E A D N A C R A E F N A S

R   UR   U || x • x•... | •..... .... .. x | x • x •... •. .... .... .. x| |V|S |V• x −n −1 K = S 6 x • x •... •. .... .... .. x x   || | (4n− | |T 2) veces |W|T |W (3n + 6) veces

b) x 3

a) x 4

02. Efe Efectuar tuar::

K =

a) 3 d) 6

a)

125 : 125 : 125 : ..........

b) 2 5

5

d) 6

08. 08. Redu Reduci cirr:

a) x+1

b) 1 e) 2

03. Simp Simpli lifi fiqu que: e:

R=

a) 2 d) 3

3

e

j e j e 36e 2 x − 2 j + 2 x + 4

b) 1 / 5 e) 1

x

0 4 . Si: x x = 3 ; calcule: x x a ) 81 d ) 12 5

c) 1/ 3

b) 27 e) 3

c) 9

c) x 2

a) 1 9/ 7 2 d ) 72/ 13

a)

a

4

a3

3

3

a2

4

a

4

a

3

a3

a2

b) 1 3/ 1 2 e) 13/ 72

1

3

; dar el equivalente de: b) 3 3

3

e) 4

c) 1 3/ 36

F aa +1 I H G aa −1J K a c) 2 3

3

11. COLUMNA A

F 1 I F 1 I −3 − G J G J 1 1 F I F I H 9 K H 3 K − G J G J

El equivalente de:

F G 1 I J H 9 K H 3 K H 3 K b) 1 / 3 e) 3

a

4

d) 5 3

05. Simp Simpli lifi fiqu que: e:

a) 9 d ) 1/ 9

j

−a 10 . Si: a =

x+x x

; si: x x = 5

09. Indique Indique el exponen exponente te de "a"; "a"; luego luego de reduc reducir: ir:

c) 5

2x +5 − 2 2 x + 3 − 6 2 x − 1 − 4 2 x+ 1

x

b) x5 e) x

d) 1

38 • 5 4 •1011

x−x

ex j + x x + x N= xe x x + 4 + 1j 5

12 4 • 510 • 2 3 •15 5

c) 5

e) 5 5

c) x 5

e) x 2

d) x

07. 07. Calc alcular lar:

(2n + 3) veces

5 x + 3 − 5 x + 2 + 5 x +1

c) 2 7

5 x +1

; x ∈N

COLUMNA B

0 6. 6. R ed ed uc ucir:

El equivalente de:

R|F 1 I −2 / 3 F 1 I −4 / 5 U| A = SG J + H G 32 J K V |TH 27 K |W

1 / 2

a) 5 d) 3

b) 8 e) 9

c) 4

2 x +1 + 2 x + 2 + 2 x + 3 2 x −1 + 2 x − 2 + 2 x − 3

; x ∈Z

a) A es mayor mayor que que B

b) A es es men menor or que que B

c) A es igua iguall que que B

d) ¡No ¡No util utilic ice e est esta a opc opció ión! n!

e) No se puede determinar


2

ACADEMIA «SAN FERNANDO» 12. Mostr Mostrar ar el equiv equivale alente nte de: a

a

a a −1 a

a a +1

a) a ∈R

;

3

d) b) a 2

c)

a

2

a

A = 2 2 5x

a) 24 d ) 10

3

5x

4

c) 3 3

3

20. (EXM (EXM ADM. ADM. UNI) UNI) Si:

F H G

13. Calc Calcul ular ar "x" "x" en: en:

3

e) 3

3

e) N.A.

a

b)

3

+

a

a) a d)

3

19. (EXM. (EXM. ADM. ADM. UNI) UNI) Hallar Hallar x en: en: x x = 3

−35

23

5

3n

I F 33 I J K H G J K −n 3

3

5 x = 2517

O D I A N M E A D N A C R A E F N A S b) 12 e) 16

c) 48

F F 2 4 I 6 I 14 B = G .... G e 2 j J ......J H G H K J K

14 . Si: 9 x − 4 x = 6 x ; indicar un valor de: x +1

3x

e

a) 1

7 Calcule: B1 /n • A −1 • −2 −2

b g

j

5 −1

b) 2

d) 4

e)

c) 3

2

2n +1 • 4 −2n +1 + 8 −n + 2

e j

a) 4,5 d)

3

M=

−3

b ) 3,5

c) 2,5

e) N.A.

16. (EXM. ADM. UNI) UNI) El valor valor enter entero o x que que satisface satisface el sistema:

a) 2 d) 3

b) -1 e) 4

a) 1/ 2 d) 1 /16

b) xyz

d) x

e) xyz

a) 3 d) 27

b g2n+1 + 9 3n +1

b) 9 e) 81

2

x +1

b

gx + 2

= x +1

c) 1 / 8

COLUMNA B

El valor de x en:

3n +1 + 2n +1

+2

b) 2 e) 2n + 1

x2 +2

=4

a) A es mayor que B

−n −1

b) A es menor que B c) 6

c) A es igual que B d) ¡No utilizar esta opción! e) No se puede determinar

3

b g1/n

c) xyz

39n +1 • 756

El valor positivo de x en:

xx

a) 4 d ) 2n

b gn

a) 1

x

2

2

3

y

xyz ≠ 0

1

2

−n −1

x −n + y − n + z − n

∀n ∈ N − {1};

18. (EXM. (EXM. ADM. ADM. UNMSM UNMSM)) Simplif Simplific icar: ar:

n +1

bxygn + byzgn + bzx gn • x −1 • z −1

23. COLUMNA A

4

c) 1/ 6

9 27

c) 5

b ) 1/ 4 e)

n

3n + 2

17. (EXM. (EXM. ADM: ADM: UNFV UNFV)) Halle Halle el valor valor de de x en: en: xx =

b) 1 e) 1/ 2

22. Simp Simpli lifi fica car: r:

Ry x = 64 |S F x +1I |TyH G x −1J K = 16

es:

a) -1 d ) -2

2 1. 1. R ed ed uc uci r: r:

15. (EXM. (EXM. ADM. ADM. UNI UNI)) Simpli Simplifi ficar car::

16 • 2n

Donde: 1• 2• 3 • 4 • 5 •6 •7 = n


c) 1 8

ÁLGEBRA

COMPENDIO ACADEMICO

PRODUCTOS NOTABLES


01. Si: a+b=5 ∧ ab=2. Calcular:

e

j e

05. Sabiendo que:

j

x= 5− 7

c) 121

y= 7− 3

a a 2 + a + 1 + 1 + b + b2 b

a) 119 d) 122 02. Columna A

b) 120 e) 123

z= 3− 5

El equivalente de:

e

2

j + e 7 − 2j e 5 − 2je 5 + 2j

2+ 7

Calcular:

2

a) 6

Columna B

(x+1) (x+2) + (x+3) (x+4) - 2x (x+5)

b) -6

2

d) -

El equivalente de:

g −1

a)

donde x ∧ y ∈ R + , calcular el valor numérico de:

xy

a) 1

c)

1

2

a) d)

4 3 8 9

1

3 d) -3

b) 3

c) 6

e) -72

g

a) 2 2 d) 2

b) 4

c) 4 2

e) 8

08. Si: 2x 2 + 5 x + 4 = 0 , calcular:

4(2x+1) (x+1) (2x+3) (x+2)

04. Si m + n = 2 ∧ m 3 + n 3 = 4

b

ac

puede asumir x+y.

e) 4

Calcular: m − n

bc

07. Si x ∧ y ∈ R / x 2 + y 2 = 8 . Calcular el máximo valor que

b) 2

d) -1

2

a2 + b2 + c 2 = 12 ∧ ab+ac+bc=-6


x − xy + y

3

sabiendo que:

d) ¡No utilizar esta opción!

2

2

3

ab

c) A es igual que B

2

c)

ba + bg2 + bb + cg2 + ba + cg 2

b) A es menor que B

b

e) −

3 06 . R ed ucir:

a) A es mayor que B

03.Si: x −1 + y −1 = 4 x + y

ea2 + b 2 + c2 jea3 + b 3 + c3 j abcbab + ac + bcg

a) 8 d) 10

2

b) 2 e) 12

c) 4

09. Si x, y ∧ z ∈ R tal que: b) e)

2 3 4

c)

1 3

bx + y + zg2 = 3bxy + xz + yzg calcular:

9

x15 + y15 + z15 + 5 x 5 y5 z5 x 7 y8 − x 8 z 7 + y7 z 8

a) 1 d) 8

b) 2 e) 12

Ven a la Academia SAN FERNANDO e ¡ I N G R E S A Y A ! !

c) 4

4

ACADEMIA «SAN FERNANDO» 1

10. Calcular:

ab

+

1

+

bc

15. Sabiendo que:

1 ac

Si se cumple que:

3 1 + 3 14

a3 + b3 + c 3 = 24

Qué valor asume:

a2 + b2 + c 2 = 12

5 x 3 + 3x + 1

ab + ac + bc = 12

a) 9

a) 3/4 d) 3 11. COLUMNA A

5 5

b) 1/5 e) N.A.

c) 2/5

e

3

b)

c) 11

3

e) 13

4

O D I A N M E A D N A C R A E F N A S je

Indicar el equivalente de:

je

j

1 + 8 32 + 1 3 4 + 1 38 + 1

x+ 2

8

COLUMNA B

El equivalente de:

a) 5

b) 25

b x + 2ge x 2 − 2x + 4j − b x − 1ge x 2 + x + 1j

d) 20

e)

a)

=x

5 5

16. Si: x + 2 = 23 2x

El equivalente de: 8

d)

3 14

+ 3 1−

La cantidad en A es mayor que la cantidad en B

b)

La cantidad en A es menor que la cantidad en B

c)

La cantidad en A es igual que la cantidad en B

d)

¡No debe utili zar esta opció n!

e)

No se puede determinar

a) a+b+c

b) ab+bc+ac

c) a 2 + b2 + c2

d) 2(ab+bc+ac)

e

2

j e

j e

a) 18 d) 24

b) 11 e) 35

c) 9

x10 + 5x 5 + 1 x5

e

Calcular: F 2 + 3

j

a) 9 b) 1/3 c) 3 d) 27 e) 1/9 19. Siendo: X, a,b, ∧ c números reales, que verifican:

R|x 2 ea2 + b2 + c2 j = 3b2x − 1g S |Ta + b + c = 3

13. El equivalente de:

RS T

Donde: x ≠ 0,

1

2

UV W

Halle el valor numérico de:

es: a) ab d) 8ab 14. Si:

b) 2ab e) 16ab

e

5 a2 + b2

5 ab =

a2 + ab + b2 + c2

c) 4ab

bc

a) 1 d) 4 20. Si se cumple:

j

5

c) 3

a≠b

calcular:

F G a I J + F G b I J H b K H a K a) 45 d) 49

b) 2 e) 8

a + ac = b + bc ;

Indicar el valor de: 8

8

a

+

bc

b) 46 e) 48

c) 47

j

a+b+c

e) a2 + 2b2 + c 2

L 2a + b − 2a − b O L M 2a − b 2ab + b P • M b2a + bg2 − 4ab OP M 2a + b 2a − b P M PQ 4 MM P N 2a − b + 2a + b PQ N

5

a a 2 − bc + b b 2 − ac + c c 2 − ab

12. Proporcionar la raíz cuadrada de: 2

c)

17. Si: a-b=b-c= 3 / {a , b, c} ⊂ R . Calcular el valor de:

18. Si: F(x) =

ea2 + b2 + c2 + ab + bc + acj − ba + b + cg2 •ea2 + b2 + c2j

2x

a) 3 d) 27

b

+

ac

b) 6 e) 36


c ab

c) 9

ÁLGEBRA

COMPENDIO ACADEMICO

DIVISIÓN DE POLINOMIOS


01. Calcular la suma de los coeficientes del cociente de dividir: 20 x 4 − 2 x 3 − 47 x 2 + 73 x + 8



06. Si R(x) ≡ 6 − 3x es el residuo de dividir:

5x 2 − 8x + 4

a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

5x 2 − 2x + 3

02. Encontrar el residuo de dividir:

Calcular: "m+n" a) 15 d) 18

8 x 5 + 4 x 3 + 13 x 2 + 25 2x 3 + x 2 + 3

b) 2x 2 − 6 x − 16

c) 2x 2 − 6 x + 16 e) N.A.

d) −2x 2 − 6 x + 16

12x 3 − 25 x 2 + 22x − 11 3x − 1

2x 5 − 2 x 4 + 3 x3 + ax 2 + bx + c 2x 3 − x − 2

a) 4 d) -4

2x 4 − 13 x3 + 27 x2 − 34 x + 4

b) 2 e) 7

c) 0

8 x 5 + 4 x 3 + mx 2 + nx + p 2x 3 + x 2 + 3

d) 12x 2 − 21x − 15

b

gb

g

deja como resto: R(x) ≡ 5 x + 2 2 x + 3 a) 45 d) 53

b) 66 e) 61

c) 99

09. Calcular abc, si la división:

x−4

b) -20 e) -22

; es cero

08. Hallar: m+n+p, si la división:

b) 4 x 2 − 7x + 5

04. Proporcionar el residuo de la siguiente división:

a) 20 d) -16

c) 17

¿Cuál es el valor de: a • b • c ?

03. Mostrar el cociente de dividir:

a) 4 x 2 + 7x − 5 c) 12x 2 − 21x + 15

b) 16 e) 19

07. El residuo de dividir:

a) −2x 2 + 6 x + 16

e) N.A.

10 x 4 + 16 x 3 − 17x 2 + mx − n

c) 7

c) 16

x 4 + ax 3 + bx 2 + 17 x + c x 3 + 5 x 2 − 7x + 3

05. Columna A

El término independiente del residuo de dividir: 18 x 4 + 51x 3 − 13 x 2 − 67 x + 30

a) 306 d) 288

es exacta:

b) 180 e) 198

c) 405

10. Si: R(x) ≡ 10 x + 5 el residuo de dividir:

2

3x + 5 x − 6 20 x 4 − 13 x 3 + 4 x 2 + ax − 1

Columna B

5 x 2 − 2x + b

El residuo de dividir: 20 x 3 + 49 x 2 + 14 x − 12 4x + 5

Calcular el valor de: a• b a) 3 d) 33

b) 11 e) 40

c) 30

a) A es mayor que B b) A es menor que B c) A es gual que B


6

ACADEMIA «SAN FERNANDO» 11. Hallar el residuo de dividir:

18. Si la división:

b

amx 3 + apx 2 − anx − bmx 2 − bpx − bn ax − b

a) 0 d) bn

b) 2bn e) -bn

21x 4 − 41x 3 − 23x 2 + mx − 16

2d + bc ab − bc

a) 1 d) 4

3x − 5

deja como resto 4.

b) 2 e) 5

c) 65


ea2 − b 2 jx 3 + 2bba − b gx 2 + 4abx + b b2b − a g b a + b gx + b b − a g

13. Calcular "m" si en la división:

9 x 6 − 9 x 5 + 2 x 4 − 3 x 2 + 11x − m 3x − 2

el resto es " a • b" según esto calcular el valor de:

el residuo es igual al término independiente del cociente. b) 5 e) 6

c) -3

14. Hallar el residuo de dividir:

e

V =

a) 1 d) 4

ab

c) 3

20. Calcular "m" si la división es exacta.

j

3 − 2 x 5 − 2 3 x 3 + 2 3x + 13

b) 15 e) 25

a2 + b2

b) 2 e) 6

6 x 3 − 3 x 2 − mx − 15 2x − 3

x− 3− 2

c) 21

15. A partir de la división:

a) -2 d) 1

b) -1 e) 2

c) 0

21. Al dividir: x 3 + y 3 − 3xy + 1 entre x+y+1 e igualar el

5 x 401 − 2 x 400 + x 399 + 6 x 2 + 5 x + 11 x −1

Calcular la suma de coeficientes del cociente mas el residuo. a) 1647 d) 1802

c) 3

19. En la división:

b) 67 e) 70

a) 10 d) 14

j

es exacta: Hallar: R =

a) 3 d) 9

e

x 2 + ax + c

c) -2bn

12. Calcular "m" si la división:

a) 69 d) 63

g

x 3 2a + b x 2 + a2 + c + d x + ac

b) 1711 e) 1753

c) 1594

cociente a cero se obtendrá: a) x+y=0

b) x<0 ; y<0

c) x>0 ; y>0

d) x=y=1

e) x=0 ; y>0

22. Calcular "a+b" si la división.

2ax 3 − ax 2 + 3 bx + 6

16. Al dividir:

2x 2 − 3 x + 1

2x 4 + 5 x 3 + ax 2 − a

deja un residuo idéntico a: -5x+4

2x 2 − x + 1

se obtiene como resto, solamente un término constante indicar dicho residuo. a) 0 d) -7

b) 5 e) 9

a) 2 d) 12

c) 1

23. Hallar "a+b" si la división

c) -3

10 x 4 + ax 3 + bx 2 − 23 x + 10 2x 2 + 3 x − 2

17. En la siguiente división exacta:

ax 4 + bx 3 + 8 x 2 + 6 x + 4 3x 2 − x + 2

es exacta: a) 13 d) 1

b) 14 e) 0

c) 15

24. Al dividir:

Hallar: a+b a) 2 d) 12

b) 7 e) -1

b) 6 e) 16

c) 10 12x 3 − 7 x 2 − 4 x + m 4x + 3

La suma de coeficientes de su cociente es: a) m-6 d) 1 7

b) 4 e) 0


c) -6m

ÁLGEBRA

COMPENDIO ACADEMICO

DIVISIÓN DE POLINOMIOS II

O D I A N M E A D N A C R A E F N A S 06. Encontrar el residuo de dividir:

01. Columna A

El residuo de dividir:

x 7 ( x − 2)7 + 2 x 2 − 4 x + 7 x 2 − 2 x − 1

x 2005 − x13 + 2x + 1

a) 10 d) 7

x −1

Columna B

b) 9 e) 6

07. Para determinar el valor de «n» en el C-N de dividir:

El residuo de dividir

x 5n+ 30 − y5n+ 3 z 2n+ 4 − yn−1

x 2004 − x 12 − 2 x + 1 x + 1

a) b) c) d) e)

02. ¿Cuántos términos tiene el C-N de dividir: 454545m−100

x

5m+ 7

x

454545m− 200

−y

− y5m+ 6

b) 7 e) 99

a)

El dato I es suficiente pero el dato II no lo es

b)

El dato II es suficiente pero el dato I no lo es

c)

Es necesario utilizar I y II conjuntamente

d)

Cada dato por separado es suficiente

e)

Es necesario mas datos

08. Determinar el término de lugar 21 en el C-N de dividir:

c) 6

2 x − x 2

1 − 20 x − 1

03. Proporcionar el residuo de dividir: (1 + x )

1 − x 2

b) 8x+6 e) N.A.

b) x2-1 e) (x+1)2

a) x+1 d) x-1

4

a) 16 d) 8x+8

se tiene:

I. x>y II. x=z 2

A es mayor que B A es menor que B A es igual que B ¡No utilizar esta opción! No se puede determinar

a) 200 d) 100

c) 8

09. Determinar el residuo de dividir:

c) 8x+1

x 21 + 1

x 2 + x + 1

04. Mostrar el vigésimo segundo término del C-N de dividir:

a) 1 d) 4

x 60 − y90 x 2 + y 3

a) x 16 y 63

b) − x 16y 43

d) − x 16 y 64

e) N.A.

c) (x-1)2

b) 2 e) 5

c) 3

10. Un polinomio P(x) mònico de tercer grado se anula

c) − x 16 y 63

para x = 2

∧

x = 3 indicar el término independiente

de P(x) sabiendo que la suma de sus coeficientes es 10.

05. Al dividir un polinomio P(x) separadamente por (x-3) y (x-2) se obtuvo como residuos 7 y 3 respectivamente.

a) 11 d) 24

b) 21 e) 18

c) 23

¿Cuàl es el residuo de dividir a P(x) por ( x 2 − 5 x + 6) ? a) 4x+5 d) 3x+7

b) 4x-5 e) 5x-4

c) 2x-7


8

ACADEMIA «SAN FERNANDO» 11. Proporcionar el residuo de dividir:

19. Determinar el valor de "m" para que el polinomio: P(x) ≡ 2x 53 + mx 40 − 3x − 4

(x − 2)2005 + (x − 3)2007 x 2 − 5x + 6

a) x-5 d) x-2

sea divisible por (x-1)

b) 2x+5 e) x+2

c) 2x-5

Rpta: ...................... 20. Calcular el residuo de dividir:

12. En el C-N de dividir:

bx + 1gb x + 2gb x + 3gb x + 4g − x + 1

x 15m+ 50 − y15m−10

x 2 + 5x − 2

x m+1 − ym− 2

Indicar el lugar que ocupa el tèrmino de grado absoluto 85 a) 10 d) 17

21. Un polinomio P(x) disminuido en 4 es divisible por (x1) y aumentado en 4 es divisible por (x) ¿Cuál es el


c) 15

e

2 residuo de dividir: P(x) ÷ x − x

13. Si al dividir al polinomio P(x) en forma separada por (x+1); (x+2) y (x-3) se obtuvo siempre el mismo resto: 4. ¿Cuál será el residuo de dividir a P(x) por (x 3-7x-6)? a) 12 d) 2

Rpta: .......................

b) 4 e) 0

Rpta: ........................

22. Si la división:

c) 16

xn +1 − y 200 x2 − y4

14. Calcular «n+K» si el cociente notable de dividir:

origina un C-N ¿cuál es el tercer término del cociente?

x 2n+ 3 K + 26 + y5n+ 2K −12

Rpta: .......................

x 5 + y 3

23. Encontrar el término de lugar 14 en el cociente notable de dividir:

Tiene once términos a) 12 d) 13

b) 11 e) 16

c) 10

x100 − y75 x 4 − y3

15. ¿Cuántos términos fraccionarios tiene el C-N de dividir: x 45 − x −30 x 3 − x − 2

a) 10 d) 5

Rpta: ...........................

?

24. Determinar el lugar que ocupa el término: x143 y 32 en el

b) 8 e) 6.

c) 7

C-N de dividir:

x 260 − y80

16. Calcular el residuo de dividir:

b x − 2g

50

b

g

+2 x−3

40

x13 + y 4

b

+3 x−4

x−3

g

25

+4

Rpta: ...............................

25. Simplificar:

Rpta: .......................

17. Determinar el residuo de dividir:

15 x 3 − 41x 2 + 24x − 8 2 − 5x

x 6n − 3 − x6 n − 6 + x6 n −9 −.....+ x9 − x6 + x 3 − 1 x 3n − 3 − x3 n − 6 + x 3n −9 −.....− x9 + x6 − x 3 + 1

Rpta: .............................

Rpta: ......................

18. Proporcionar el residuo de dividir: x 4 + x 3 − x 2 − 2x − 2 x+ 2

Rpta: .......................

9

j


ÁLGEBRA

COMPENDIO ACADEMICO

FACTORIZACIÓN


01. Columna A

06. Indicar la suma de los polinomios de los factores primos del polinomio:

El número de factores primos de:

e

j

P(x) ≡ 2x 4 − 7x + 3 x 3 − x 2 − 1

P(x; y) ≡ xy 6 − 5 x 2 y 5 − 4 x 3y 4 + 20x 4y 3

a) 5x+6 d) 4x

Columna B

El número de factores primos de:

b) 4x-1 e) 5x

c) 3x-2

07. Indicar uno de los factores primos del polinomio:

F(x; y) ≡ x 3 − xy 2 + x 2y − y 3 + x 2 − y 2

b

g

b

g

b

g

P(x; y; z) ≡ x 4 y − z + y 4 z − x + z 4 x − y

a) A es mayor que B

a) x+y b) x+y+z

b) A es menor que B c) A es igual a B

c) xy+xz+yz


e) x 2 + y 2 + z 2 + xy + xz + yz


02. Reconocer un factor primo de:

b

4 ad + bc

a) a+b d) b+c-a+d

08. Reconocer a uno de los factores primos del polinomio:

g2 − ea2 − b2 − c 2 + d2 j

b) c-d e) a+b+c+d

2

c) a-b

03. Indicar la suma de los factores primos del iguiente polinomio: 7

6

5

4

3

2

P(x) ≡ x + x − x − x − x − x + x + 1

a) 3x+1

d) x 2 + 2

P(x) ≡ 6 x 3 + x 2 − 9 x − 9

a) 3x 2 − 5 x + 3

b) 2x+3

d) 3x 2 + 5 x − 3

e) 3x-2

P(x) ≡ x 5 − 6 x 4 + 9 x 3 + 8 x 2 − 48 x + 72 ?

a) 2 d) 6

b) 4 e) N.A.

c) 12

P(x) ≡ x 4 + 3x − 2

04. Indicar el número de factores primos lineales de: 2

b) 4 e) 8

10. Luego de factorizar al polinomio:

e) x 2 − 3x + 1

e1 + x + x 2 + x 3 + x4 j

c) 2x-3

09. ¿Cuántos factores tiene el siguiente polinomio:

a) 3 d) 6

c) x 2 + 2x + 1

b) 3x-1

2 2 2 d) x + y + z + xyz

− x4

c) 5

responda verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I) Un factor es: x 2 − x + 2

II) Un término de un factor es: 2x III) La Σ coef. de un F.P. es: 3

05. Indicar un factor primo de:

IV) La Σ coef. de un F.P. es: 1

b

P(x; y) ≡ x + y

g

3

b

g

+ 3xy 1 − x − y − 1

a) x-y-1

b) x+y+1

d) x+y-1

e) x 2 − xy + y 2

c) x-y+1

a) VFFF d) FFFV

b) VVFF e) FFVV


c) VFFV

10

ACADEMIA «SAN FERNANDO» I I . F ACTORIZAR

11. Columna (A) El valor numérico de la suma de los factores primos de: P(x) ≡ 2x 3 − 7x 2 + 9

21.

; x ∈ IR

PO L I N O M I O

CADA

P(x) ≡ 8 x 2 − 2 x − 3

Rpta: ......................

Columna (B)

22.

R(x) ≡ 8 x 6 + 7x 3 − 1

El valor numérico de la suma de los factores primos de: Rpta: ...................... F(x) ≡ 3x 3 + 2x 2 − 5 x + 4

; x ∈ IR

23.

P(x; y) ≡ 20 x 4 + 31x 2y 3 − 9 y 6

a) A es mayor que B Rpta: ......................

b) A es menor que B


c) A es igual que B

24.

b


Rpta: ......................


12. Indicar el número de factores primos de:

25.

P(x) ≡ x 5 − x 4 − 2 x 3 + 2x 2 − 1

a) 1 d) 4

I.

b) 2 e) 5

F ACTORIZAR

c) 3

26.

j

2

+ 3x 2 + 3x − 15

e

Rpta: ......................

INDICAR L A

SUMA

SIGUIENTES POLINOMIOS.

j

27.

P(x; y) ≡ 15 x 2 + 14 xy + 3y 2 + 41x + 23y + 14

Rpta: ..........................

Rpta: .......................

28.

P(x) ≡ x 7 − 2 x 6 + x 4 − 2x 3

R(x; y) ≡ 10 x 2 + 11xy − x − 6 y 2 − 11y − 3

Rpta: ..........................

Rpta: ......................

e

E

j

e

R(x; y; z; w) ≡ wz x 2 − y 2 + xy w 2 − z 2

29.

j

P(x; y) ≡ 4 x 5 y + 10x 4 y − x 3y 3 + x 3y 2 + 6x 3y

Rpta: ..........................

Rpta: ......................

30.

b

g2bx + yg − 3bx + yg2bx − yg −xex 2 −y2j

17. P(x; y) ≡ 3 x − y

Rpta: .....................

31.

P(x; y) ≡ 2 x 2 + 7xy − 15 y 2 − 6 x + 22y − 8

Rpta: ..........................

Rpta: .....................

32.

P(x; y; z) ≡ x 2 − 4 y 2 + 4 xz + 4 z 2

19.

R(x; y) ≡ 6 x 2 + 19 xy + 15 y 2 − 17y − 11x + 4

Rpta: ..........................

R(x; y) ≡ x 2 + 2x + xy + y + 1

18.

R(x; y) ≡ 36 x 2 − 48 xy + 123x − 52y + 91

Rpta: ..........................

Rpta: ......................

e

j e

j

e

R(x; y) ≡ x x 5 + 1 − y y 5 + 1 + xy y 4 − x 4

20.

j

Rpta: ......................

11

DE LOS

COEFICIENTES DE LO S FACTORES PRIMOS DE L OS

R(x; y; z) ≡ x x 2 − y 2 + xz − y 2z

16.

e

R(x) ≡ x2 + x + 1

I I I . FACTORIZAR

Rpta: ........................

15.

g 2 + xb y + z g

E INDICAR EL N Ú M E R O DE

P(x; y; z) ≡ x 2 y + x 2 z + y3 + y 2 z + yz 2 + z 3

14.

b

P(x; y; z) ≡ 12 x + y + z

Rpta: ......................

FACTORES PRIMOS DE CADA POLINOMIO .

13.

g2 + 7bx − yg − 12

R(x; y) ≡ 12 x − y


ÁLGEBRA

COMPENDIO ACADEMICO

BINOMIO DE NEWTON 01. Simplificar:


07. Indicar el coeficiente del término que tiene grado absoluto 17 en el desarrollo de al potencia.

23 + 22 + 21

14

21 + 22

a) 21 d) 24

b) 22 e) 25

c) 23

02. Encontrar "n" en:

bn − 5g!• bn − 6g! = 720 n 2 − 12n + 35 e j bn − 5g!− bn − 6g! a) 13 d) 16

b) 14 e) 17

03. Simplificar:

x

a) y d) x

a) 156 d) 384

b) 144 e) 364

F 3x 2 1 I 9 GH 2 − 3x J K

a) 1/2 d) 5/18

y

c) 1

x

b) 1/3 e) 7/18

e) y

04. Mostrar el equivalente de:

n

e3x 2 − 1j y e5 x 3 − 1j

2n − 6

son respectivamente iguales. a) 10 d) 3

b) 11 e) 4

c) 2

10. Qué valor de "n" verifica:

bng

10 11 12 C10 3 + C 4 + C 5 + C7

2n

11 C11 4 + C5

a) 1 d) 12

c) 4/9

09. Halle "n" si la suma de los coeficientes de los desarrollo de:

F x + 2y I F x − 3y I F x − 2y I 2 GH y J K GH y J K GH y J K b)

c) 182

08. Hallar el término independiente de "x" en el desarrollo de la siguiente potencia:

c) 15

x x x − 2y + −1 − 3 y y y

x − 4y y

e x 2 + yj

b) 2 e) N.A.

c) 4

05. Hallar el quinto término en la expresión de:

a) 18 d) 21

2

Cn2n+1+1 =

b) 19 e) 22

41 21

c) 20

11. Con respecto a la igualdad:

2n-14 = 0

e 2x + y 2 j

a) 32 x 2 y 4

b) 64 x 2 y 6

d) 84 x 2 y 8

e) 60 x 2 y 8

6

Podemos afirmar:

c) 120 x 2 y 8

b) el valor de "n" es 7,5 c) "n" asuma cualquier valor distinto de 7

06. Calcular el valor de "n" para que el término doceavo de la expresión de:

a) el valor de "n" es 7

d) no existe valor de n e) A ∨ B

F G x 5 + 1 I J n H x 3 K

admita a "x" con exponente 12. a) 15 d) 25

b) 20 e) 28

c) 22


12

ACADEMIA «SAN FERNANDO» 12. Columna (A)

18. Calcular x en:

El equivalente de: 1 + 2 + 3 25

C 0x +

+ 26 + 27

C1x 2

a) 2 d) 7

25

Columna (B)

+

C 2x 3

+........+

C xx x +1

b) 3 e) 5

=

21 2

c) 6

19. Calcular "m" si en la expansión de:

El equivalente de:

F G 3−m xm + m y 3m − 2 I J n H K

C 02003 + C13 + C 42 C 2004 2004

presenta igual grado. a) 2 d) 5

a) A es mayor que B

d) ¡No debe utilizar esta opción!

120 F 5 1 I G x + 3 J H x K

e) no se puede determinar 13. Calcular "n" en:

n + 7• n + 5 n+6+ n+5

=

son irracionales?

a) todos d) 113

15

b) 9 e) 12

b) 8 e) 17

c) 10

x+1 = 132 x-1

a) 15 d) 12

c) 4

F x 4 4 I 19 + P(x) ≡ G H 2 x J K

C 2005 x

a) 8 c) 11

2

b) 9 e) 12

b) -70x e) 70

+ 26 C 2004 +........ 1 + 22 C12004 + 24 C 2004 2 3

c) 15

c) 70x

2

17. Indicar el término independiente de x en la expresión de:

2005 términos

13

b) 84 e) 92

a) 4008

b) 4 2004

d) 5 2004

e) 5 2005

c) 4 2005

24. Si el décimo término del desarrollo de

ex a + x b j

c

es

x18 . Calcular el valor de "a" si la suma de los grados absolutos de todos los términos de la expansión es 360.

a) 11 d) 6

9 F 1 I G x + 4 J H x K

a) 72 d) 70

c) 10

2 3. R ed uci r:

F G x 2 − 1 I J 8 H x K

a) 70x d) -70

= 2x − 11

2004 − C 2006 x +1 • C x −1

16. Proporcionar el término central de la expansión de:

4

c) 13

2005 C 2006 C 2004 x +1 − C x x −1

15. Calcular el lugar del término lineal del desarrollo de la potencia:

b) 14 e) 17

b) 14 e) 11

22. Calcular x de:

C xx + 3 + C xx ++13 = 2 C xx + 2 + C xx ++12

b) 14 e) N.A.

c) 112

21. Calcular x en:

14. Hallar "x" en:

a) 10 d) 16

c) 4

20. ¿Cuántos términos de la expansión de:

c) A es igual a B

a) 6 d) 2

b) 3 e) 6


b) A es menor que B

a) 8 d) 11

dos términos cualesquiera

b) 9 e) 12

c) 60


c) 10

ÁLGEBRA

COMPENDIO ACADEMICO

NÚMEROS COMPLEJOS 01. Efectuar:

O D I A N M E A D N A C R A E F N A S 08. Si: {a, b} ⊂ IR /

F 1 − i7 1 + i7 I 4 + P=G H 1 + i7 1 − i7 J K

a) 1 d) 16 02. Calcular:

b) 0 e) NA

0 3. R ed ucir:

c) 4

910

1112

1516

1314

+i

19 20

1718

+i

b) 1 e) -3i

0 5. R ed ucir:

c) 3

b) -2 e) 0

c) 2i

c) 0

a) 13/3 d) 11/8

b) 11/4 e) 9/8

c) 13/4

10. Si Z ∈ C calcular Z

a) 5

b) 5 2

d) 10 2

e) NA

c) 10

11. Columna (A)

La parte real de Z, donde:

−2

5

i +i

b) -2 e) 0

Z=

c) 2i

3+i

4−i

Columna (B)

La parte imaginaria de W, donde:

2 1 + ig b1 + 3ig b M=

W=

i−3

a)1 d) 2

b) 2 e) -4

Z=(1+i) (3-i) (1+2i)

E=

a) 1 d) -2i

a) 4 d) -2

09. Calcular x-y a partir de:

b g4 + b1 − ig4

0 4. R ed ucir:

= 1+ i

Calcular: "a-b"

L = 1+ i

a) 1 d) -2i

a + bi

(4+2i)x - (2+3i)y = 5+4i ; {x , y} ⊂ IR

E=i

a) 0 d) 3i

ab

b) -2 e) 10

c) 0

06. Calcular el valor de "a" para que sea real el complejo:

3−i

4+i

a) A es mayor que B

b) A es menor que B c) A es igual que B

Z=

a) 1 d) -3

2 − ai 1 + 2i

b) -1 e) -4

d) ¡No utilizar esta opión!


c) -2

12 . R ed ucir:

07. Indicar el complejo por el cual se tiene que multiplicar a 2-3i para obtener 11-10i. a) 4-i d) 1-4i

b) 1+4i e) 4+i

−5 i + 11gbi + 1g b 11 − 15i − S= 7 64i bi − 1g

c) i-4 a) 1/4 d) 1

b) 1/2 e) -1


c) 2

14

ACADEMIA «SAN FERNANDO» 13 . Red ucir:

17. Si W ∧ Z ∈ C reducir: b + ai a − bi

a) i d) 1+i

−

b − ai a + bi

; {a ,b} ⊂ IR*

b) abi e) 1

c) i/ab

14 . Red ucir:

15 . Red ucir:

b) 2 e) 16

a)1 d) 2

b) 0 e) F.D.

c) -2

A = {z = z e i ⊂ C / z + i = 1}

c) -2

a) -1 d) 1/2

b) -1/2 e) 1

c) 0

1 9. R ed uci r:

O D I A N M E A D N A C R A E F N A S −2

Z=

a) 1 d) 10

F G Z + 1 I J + ReF G W − 1 I J H Z + W K H Z + W K

18. Indicar la intersección del conjunto A con el eje real. 19 1 + ig b P= b1 − ig17

a) 1 d) 3

Re

9

R=

i

1+ i

b) i e) 0

c) -i

a) i+1 d) 2i+1

3

−2

4

4i i −

6

b) i-1 e) 2i-1

−8

5

i

c) 1-i

20. Entre los números complejos z que satisface la condición.

16. Para los números complejos:

z − 5i = 3

z = 3 + 6i 1

∧

z

2

= 5 + 3i

¿Cuál de los gráficos cartesianos corresponde a z 1 − z 2

Hallar el número complejo que tiene argumento positivo mínimo. a)

Im

1

2

d)

a)

IRe

3

5

+

+

3

2

4 5

i

b)

i

e)

12

−

16

+

16

5

12 5

5

5

i

c)

3

5

+

16 5

i

i

2 1. R ed ucir:

P = i + i2 + i3 + i4 +............+i 2003

a) 1 d) i

Im

b) 2 e) 2i

c) -1

22. Calcular:

b)

IRe

F 1 + 7i I 4 F 1 − 7i I 4 GH 2 J K + GH 2 J K

a) 0 d) 4

Im

b) 1 e) 6

c) 2

23. Consideremos a los reales a y b de modo que:

c)

IRe

Z=

Im

d)

W=

IRe

a − 2i

b − 3i

es un número real.

b

g

b+ a+8 i a + bi

es un número imaginario puro

Calcular: a-b a) -12 d) 8

b) 10 e) -10

e) N.A.

15


c) 24

ÁLGEBRA

COMPENDIO ACADEMICO

RACIONALIZACIÓN


01. Al racionalizar y simplificar a:

d)

4 3

24 x y 5

a) x d) 5x

b) xy e) N.A.

0 2. R ed ucir:

e2 a) −2 2

j

2 −3

4 − 15 + 2 −

2

a) 2 2 d)

c) 5

1

5−

d) 2 5 − 3

e)

15 −

2+

c)

5+ 2

a) 2 5

b) 3 6

d) 2 15

e) 2 6

3

2 3 −3 2

d) − 5

5+ 3

c) 2 3

09. Efectuar:

6 − 2 5 − 11 + 2 30 + 1

6

5− 3

−

5− 3

I 3 J K

5 −2

b)

2

e) 1

2

04. Mostrar el equivalente de:

a)

3

08 . R ed ucir:

b) 1

5

c)

2

5+ 3

F 2G 4 + H

3

2

b)

+2 2

e) 5 − 3

0 3. R ed ucir:

e) NA

2

13 − 120 + 5 − 24

e2 − 3 j

+

2

3

c) 5

b) 1 − 3

d) − 3

a)

2

+

07. Simplificar:

obtenemos:

120 x 2 y 2

1

a) 0

c) − 6

5

d)

e) N.A.

5

+

2 −2 3

2

+

3− 2

b) 1

c)

2

e) NA

3

10. Al racionalizar:

05. Determinar "K-n" si:

2

3

15 − 2 54 + 8 + 2 12 <> n + K

a) 61 d) 83

b) 37 e) 57

06. Efectuar:

L M M 2 M • 3 M M M MN a) −

1 2

−

3 2

c) 18

1− 3 1

3−

3−

b) −

1 2

+

3 2

45 + 3

b) 4 e) 6

c) 3

11 . R ed ucir:

−1

3 5−

c)

+1

el donominador de la expresión resultante es: a) 5 d) 2

O P P P P 1 P P 3 PQ

75 +

3

1 2

−

3 2

+ 2

200 125

e

5+ 2

j

a) 9 2 + 5

b) 9

c) 8 5 + 2

d) 5 5 + 3 2

e) 9 5 + 2


16

ACADEMIA «SAN FERNANDO» 12. Calcular "n+K" si:

a) A es mayor que B b) A es menor que B

7 + 4 5 + 2 9 + 2 7 − 2 6 <>

a) 14 d) 10

b) 9 e) 11

n+

K


c) 8

13. Indique uno de los radicales simples en los que se transforma: 1

x+

2

a)

8

14 . Red ucir:

E=

a) 1 d) 4

P=

4

c)

4

a)

2

x +1

e)

c)

e)

F 3 5 − 3 3 − 2I H K −

1

3

25 +

3

9+

3

x−5

x − 4 − 3x − 14

5+ 2+

3

5− 3

b)

6

15 − 6

3

15 − 2

d)

3

6

5− 2 2

m ∧ n ∈IN ∧ m > n , descomponer en radicales simples

a:

m + n + 2 m + 6n

; obtenemos:

c) 0

a)

7+ 5

b)

d)

7+ 2

e) NA

5+ 2

c)

5 +1

c)

2

21. Efectuar:

16. Efectuar:

m m − m3 − n 6 •

b)

3

3

m m + m3 −n 6

c) ±n

n

3+ 2•

a) 2 d)

e) n2

d) 2n

3

m + 4 n + 2 <> m − 2 + 2n , donde

c) 3

b) -1 e) 2

a) n

5− 2+

20. Sabiendo que se verifica:

2

15

15. Si reemplazamos x=5 en el denominador racional de:

3

3− 2

2

b) 2 e) 5

a) -2 d) 1

19. Racionalizar:


x −1

d)

e) no se puede determinar

1

2

b)

2

2x −

2

c) A es igual a B

4

5−2 6

b) 1

3

e) 0

22. Al extraer raíz cuadrada a:

17. Luego de reducir:

5 x − 2 + 2 6 x 2 − 7x − 3

L M N

1

2+ 3

+

1

3+ 4

+

1

4+ 5

+.....+

1

19 +

El denominador racional es: a) 14 d) 20

b) 16 e) 22

18. Columna A

c) 18

O−1 P 20 Q

se obtiene:

a) 2 + x + 1

b) 1 + x − 1

c)

d)

3x + 1 + 2 x − 3 e) NA

x + 1 + 2x − 3

23. Calcular "n+K+c" a partir de:

El denominador racional de: 8 + 2 5 + 2 2 + 2 10 <> n + K + c 1 3

9−

3

a) 12 d) 0

3 +1

El denominador racional de: 4+ 5

17

5

11 −

2 +1 5

7

c) 10

2 4. R ed uci r:

Columna B

5

b) 8 e) 5

2+ 3 2− 3

a) 2 d) 4

+

2− 3 2+ 3

b) 3 e) 1


c) 5

ÁLGEBRA

COMPENDIO ACADEMICO

ECUACIONES I


01. Proporcionar x a partir de:

07. Si el sistema:

(x-4) (x+2) -x (x-1) = 3x a) 2 d) -2 02. Resolver:

b) 1 e) 3

tiene como solución (x;y) entonces: y 2 − x 2 es:

x−

a)

RS11 UV T5W

d) {2} 03. Resolver:

x−5 x+2 + −5 =0 2 3

b)

RS− 11 UV T 5W

2

RS11 UV T6W

d) {-5}

c)

a) 11 d) 44

RS 5 UV T 11 W

e) N.A.

x −1

a)

R5 x + 3y = 41 S−7x + 2y = −14 T

c) -1

b)

e)

−

x

7

=

x−4 14

RS− 11 UV T 6W RS 12 UV T5W

c)

RS− 6 UV T 11 W

2 x − a 2x − b + =2 b a

d) 1

b) e)

a+b 2

c)

a−b 2

R x + y = 2m || n Sx || − y = n − m Tm

a) mn d) m/n

b) m+n e) n

b) 4 e) 9

c) 7

R4 x + y = 14 STx − 3y = 10

a) 6 d) 3

del siguiente sistema:

x+z

b) 5 e) 2

x + a2

c) 4

x − b2 − c2

+

ba + b − cgba − b + cg bc − a − bgb b − a − cg

a) bc d) abc

b) ac e) NA

=1

c) ab

11. Hallar x en la ecuación: a)

b)

c) b) IIC e) N.A.

c) m-n

y

09. Determine el valor de:

4

06. Indique el cuadrante donde se encuentra la solución del siguiente sistema:

a) IC d) IVC

08. Determine "x" a partir del siguiente sistema:

10. Calcular x en:

a+b

05. La base de un triángulo tiene la misma longitud que el lado de un cuadrado, un segundo lado del triángulo es 1m más largo que la base y el tercer lado es 5m menor que el triple de la base. Si el perímetro del triángulo es igual que el perímetro del cuadrado, encontrar la longitud del lado mayor del triángulo. a) 3m d) 5

c) 33

Rx + y + z = 24 | ma: S x + y − z = 18 |Tx − y + z = −16

04. Despejar x de:

a) ab

b) 22 e) 55

1− x 2

2+x 3 2x + a b

1 − 2x

+

3

+

+

3 + 2x 4 x−b a

=1

=x+5

=

b

3ax + a − b

g2

ab

c) IIIC


18

ACADEMIA «SAN FERNANDO» x+m

d)

e)

m

x−a b+c

x +n

−

n

x−b

+

a+c

=

+

m 2 + n2 mn

x−c n+b

18. Hallar "x" en:

−2

6 x + 2a + 3b + c 6 x + 2a − 3b − c

=3

ac

a)

b

12. Indicar el valor de x, al resolver el sistema:

a) 2 d) 5

1

d)

R 3x + y = 11 || 2 S y ||x + = 7 T 2

b) e)

abc

=

2x + 6a + b + 3c 2x + 6a − b − 3c

ab

c) abc

c ac b2

19. Columna A El triple del valor de "x" en: x + x 2 − 21 = 7


c) 4

Columna B

13. Calcular "m" para que el sistema:

La suma de cifras de "x" en:

R|bm + 3gx + bm − 1gy = 4 ...............(1) S| mx + y = 2m − 4 .....(2) T

3

14 + x +

3

14 − x = 4

a) A es mayor que B

Sea indeterminado. a) 3 d) 1

b) A es menor que B

b) 0 c) -1 e) más de una es correcta

c) A es igual a B

d) no se puede determinar

14. Consideremos al sistema:

e) ¡no utilizar esta opción!

R|bm + 2gx + 6y = m ................(1) S| 2x + bm + 1gy = 1...................(2) T

20. El valor de "x" que satisface:

3x − 2 = 2x − 1 + 4 x − 3 − 5 x − 4

¿Para qué valores de " m" el sistema tiene solución única?

se caracteriza por ser:

a) IR-{-5} d) {-5}

a) par d) fraccionario

b) {-5; 2} e) IR - {2; -5}

c) IR - {2}

15. Hallar "x" en:

n m +1

b)

d) m(1-n)

e)

n x

El valor de x en:

x

=m

mx + n

n

c)

m −1

2−x 3−x 4−x 5−x 3 + + + + =0 3 4 5 6 4

m

n +1

n

Columna B

El opuesto de x en:

1− m

16. Si la solución de la ecuación: x+

es de la forma " − a) 1 d) 3

".

x− x− x =

, donde

1

2

x + 3 x − 28

3

x

2

x+ x

y

a) d)

19

a + b +1 2 a+b+3 2

1

2

x + 12 x + 35

=

3

2

x + x − 20

a) A es mayor que B

son PESI. Calcular

c) 4

b) A es menor que B c) A es igual a B

e) ¡no utilizar esta opción!

22. Encuentre la suma de las cifras de "x" en:

17. Hallar "x" en:

x −a −1

−

d) no se puede determinar

b) 9 e) NA

x−a

c) impar

21. Columna A

m+

a)

b) primo e) irracional

−

x − a −1 x−a−2

b) e)

=

x−b x − b −1

a − b +1 2

−

x − b −1 x−b−2

c)

a+b+2

3

7+ x −

a) 9 d) 10

3

49 − x +

3

7 − x =1

b) 8 e) 16

2

a−b−3 2


c) 12

ÁLGEBRA

COMPENDIO ACADEMICO

ECUACIONES II


01. Calcular el discriminante de la ecuación: 2x 2 + 3 x − 5 2 = 0

a) 43

b) 23

d) -43

x2 −

c) -23

e) 3 5

d)

RS3; 1 UV T 2W RS− 1 ;− 1 UV T 2 2W

e)

c)

RS3 ;− 1 UV T 2W

c) -1/3

g b

g

raíces iguales? a) 5; 2

d) 2; −

b) 1; 3/5

10

c) 4; 1

e) 3; -1

9

08. Calcular la menor de las raíces de la ecuación:

La E c: 5 x 2 + x + 1 = 0 tiene raíces reales ......................( )

II)

La Ec: 5 x 2 + x + 1 = 0 tiene raíces imaginarias ...........( )

III)

La Ec: 9 x 2 + 12x + 4 = 0 tiene raíces reales .................( ) b) FVF e) VFV

c) FVV

3x 2 − 3 x + 1 = 0

+ x2

−1

g

sabiendo que una de ellas es el doble de la otra. a) 0,2 d) 0,4

b) 0,5 e) 2,5

c) 0,25

09. Si la ecuación:

b

g

x 2 + 2m − 6 x + m = 0

a) x 2 + 8 x + 15 = 0

+ x1 •x 2

b) 10/3 e) 9

2x 2 + nx + n − 3 = 0

presenta raíces recíprocas. Identificar a la ecuación de raíces "m" y "n"

Calcular el valor de: −1

b

8 x 2 − 3mx + m − 1 = 0

presenta raíces simétricas y la ecuación:

04. Dada la ecuación cuadrática de raíces x 1 ∧ x 2

a) 7/3 d) 6

+1= 0

b) 1/3 e) 2/3

b

I)

x1

4

x 2 − 2x 1 + 3m + 7 3 + 2m = 0

03. Marcar (V) o (F)

a) VVV d) VVF

2

07. Para qué valores de "m" tendrá la ecuación:

sabiendo que el discriminante es 25. b)

g

+3 x+

a) -1/6 d) 1/6

bn − 2gx 2 − b2n − 1gx + n − 1 = 0 RS−3 ; 1 UV T 2W RS−3 ;− 1 UV T 2W

b

" las raíces de la ecuación:

se diferencian en: 2

02. Resolver la ecuación cuadrática en "x"

a)

06. Para qué valor de "

c) 1/3

2 b) x − 8 x + 15 = 0

c) x 2 − 8 x − 15 = 0

10. Si: x 1 ∧ x 2 son las raíces de la ecuación: x 2 − 2x + 3 = 0

2 d) x + x − 15 = 0

2 e) x − 2x + 8 = 0

Calcular: x 1 4 + x 2 4 a) 14 d) -10

b) 10 e) -14

c) 7


20

ACADEMIA «SAN FERNANDO» 10. Indicar un valor de x del sistema:

17. Para que valor del parámetro "m" la cuadrática en x:

R|x 2 + xy + y2 = 4 ..............(1) S| x + xy + y = 2..............(2) T a) -2 d) -4

bm + 1gx 2 − 2mx + m − 3 = 0 Tendrá raíces iguales.

b) 2 e) 6

c) 4

1 x +7

= 49 6 − x +

a) {-7;7}

b) {-7}

d) {6}

e)

b

1 x +7

c) {7}

c) 5/2

g

4 x 2 = 2x − m

Admiten una raíz común:


x 2 − 8 x + m = 0 , la suma de los cuadrados de sus raíces sea 34.

b) 13 e) 9

c) 15

13. Calcular la suma de todos los valores de "m" para que en la cuadrática en

b

g

x: 2x 2 + m + 1 x + 54 = 0 una raíz sea el triple de la otra. a) -1 d) -3

gb

4 x 2 = m − 2 1 − 2x

12. Determinar "m" para que en la cuadrática en x:

a) 8 d) 17

b) 2/3 e) 1/5

18. Para que valor de "m" las cuadráticas en x:

11. Resolver: x2 6 − x +

a) -3/2 d) 2/5

b) -2 e) N.A.

c) 2

14. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto solución de:

a) -1 d) -4

b) -2 e) -5

c) -3

19. Calcular la suma de las soluciones de la ecuación x+ x−2 =4

a) 9 d) -3

b) 3 e) N.A.

c) 6

20. Formar la cuadrática en x cuyas raíces sean los cuadrados de las raíces de: x 2 − ax + b = 0

e

j

e

j

e

j

e

j

e

j

2 2 2 a) x − a − 2b x + b = 0

2 2 2 b) x + a + 2b x + b = 0

x + x +1 + x + 2 = 2 ?

a) 4 d) 1

b) 3 e) 0

c) 2

15. Calcular "m" si las cuadráticas en x:

2 2 2 c) x − a + 2 b x − b = 0

2 2 2 d) x − a − 2 b x − b = 0

b5m − 2gx 2 − bm − 1gx + 2 = 0

2 2 2 2 e) x − a − 2 b x − a b = 0

b2n + 1gx 2 − 5x + 3 = 0

21. Si

son equivalentes: a) d)

3 13

13 3

b) e)

9 5

c)

4

3

1

b

5

calcular:

+8 +1

a) 5 d) -3

4

16. Sean a, b ∧ c números reales positivos con respecto a la ecuación. 2

es una raíz de la ecuación: x 2 + x = 1

x 2 + 2 = 2x

g

m n mn calcular: m + •n

Dar el valor de verdad:

a) -2 d) 2

I) Tiene raíces reales.

III) Sus raíces pueden ser iguales

c) 1

x 2 − 8 x + m = 0 si sus raíces verifican

c) VFF 3x 1 − 4 x 2 = 3

a) 16 d) 15

21

b) -4 e) 4

23. Calcular "m" en la ecuación:

II) Sus raíces son positivas

b) VVF e) FFV

c) 3

22. Si m ∧ n son raíces de la ecuación:

x + a + b + c x + ac = 0

a) FFF d) VFV

b) -5 e) 1

b) 12 e) 10


c) 8

ÁLGEBRA

COMPENDIO ACADEMICO

DESIGUALDADES E INECUACIONES


01. Si -3
a) d)

1 5

4 15

02. Resolver:

b)

1

2

2

15

07. Resolver:

2

−

2x + 7

)

1

3

d) 7 / 5 ; ∞

1

x +1

<0

b) -24 e) NA

c) -27

08. Indicar el menor valor entero que satisface. x−3

b2x − 1g2 + xbx + 1g + 3 > 5xbx − 3g + 2bx − 5g a) −∞; 7 / 5

x +8

+

Indicando la suma de todos los valores enteros que verifican la desigualdad. a) -18 d) -31

e) NA

1

b) −7 / 5 ; 0

c) −7 / 5 ; ∞

e) N.A.

5

5x − 7

+

a) 8 d) 11

3

>

2x − 3 2

+

3x − 1

b) 9 e) 12

4

c) 10

09. Resolver:

03. Marcar (V) o (F)

4x − 1

I)

2≤3

III) -1<0 a) FFVV d) VVVF

II) 0 ≥ 0 IV)

3

c) FFVF

04. La solución de la inecuación:

05. Resolver:

c) -11

............(I)

............(II)

b) < 3 / 2; ∞ >

d) < −∞;−1 >

e) N.A.

c) < 1; ∞ >

d)

2x − 1 > 2

b)

4−x <1

3x − 4 < 1

e)

x−2 ≥ 6−x

3

c)

3

x + 1 > −2

11. ¿Cuántos enteros positivos x verifican: 26

x 3 + x 2 ≥ 4x + 4

a) [2;∞ >

+2

a) < −1; ∞ >

a)

b) -1
2

10. Resolver cada inecuación:

− x 2 + 8 x − 7 > 0 ; es:

a) −∞ < x < ∞ d) 0
7x − 1

(x+1)(2x-3) > 0

≥ 3,14

b) VVVV e) FFFF

+4<

x−3

b) < −∞;−1 > ∪ < 2, ∞ >

c) [−2;1] ∪ [2; ∞ >

d) [−2; −1]∪ [2; ∞ >

e) < −∞; − 2] ∪ [ −1;2]

>

x−4 27

a) 3 d) 27

b) 26 e) NA

c) 4

12. Si {x; y} ∈ IR + y además:

06. Resolver: x + 2005 y = x 1+ x

a) < −∞;−1 > d) R

>1

b) < −1; ∞ > e) NA

2005

¿Cuál es el máximo valor que puede alcanzar xy? c) < − 11 ; >

a) 1 d)

b) 2005 2005

c) 0,25

e) 0,5


22

ACADEMIA «SAN FERNANDO» 13. Si x ∈[1 / 3; 1] . determine "m" máximo y "n" mínimo a partir de:

b

18. Parte de la solución de la inecuación: x − 5

g2 ≥ 4

Se obtiene de: m≤

a) d)

1 4

∧

5 2

7

7

b)

5

∧8

5

x+2 x+3

∧

a) x ≤ −1 d) x ≤ 3

≤n

4

c)

3

3 4

∧

5 7

b) x ≤ 8 e) x ≤ 10

19. Resolver: x 4 < 2x 2 + 8 a) IR d) <-2; 2>

e) N.A.

c) x ≤ −4

b) <-3; 3> e) <-4; 4>

c) <-1; 1>

20. Luego de resolver:

14. Columna A x 2 − 5x + 54 > x − x 2 − 1

El menor entero x tal que: x 2

+

x 3

+


x

4

>

x

5

Indicar su conjunto solución:

+1

Columna B

El mayor valor entero x tal que:

x 6

−

F G H

b)

d) < 0; ∞ >

e) N.A.

I J K

a)

−∞;−

1

c)

−∞;−

1

a) A es mayor que B

b) A es menor que B c) A es igual que B

3

4

∪

∪

b

e) NA 16. Si: F(x ) ≡

d) −∞;−1 ∪ 1; ∞

∪

3

;∞

≥0

con: a
a

d) < − ∞; ] ∪ [1; ∞ >

a

;∞

2

es de la forma: < a; b] ∪ [c; ∞ > −{d}

a

b) < 1; ]

b

2

1

b)

x2 + x − 2

el intervalo al cual pertenece x es:

c) < − ∞;1] ∪ [ ; ∞ >

1

−∞;−

1

;∞

b−1 + x ge x + x 2 j

2 15. Si: a + bx ≥ ax + bx ; 0 > a > b

b

2

?

22. Si el conjunto solución de la inecuación:


a

1

1 x −1

e) NA


a) < −∞;1] ∪ [ ; ∞ >

c) IR

21. Si: x ∈< −2 ; 3 > ¿A qué intervalo pertenece

1 2 −1 9−x >0 3 3 5 3

x−

a) < −∞;0 >

b

a) -2 d) 1

b) -1 e) 2

c) 0

23. Si T es el conjunto solución de la inecuación:

x +1

x+3 + x < 3

3

x + 8 x 2 + 14 x + 12

entonces el conjunto T es:

De modo que: F(x) ≤ 0

para x ≤ a

.............(I)

F(1− x) ≤ 0 para b ≤ x

.............(II)

Calcular: b - ab b) 5 e) 0

c) 3

17. A qué intervalo debe pertenecer "m" de modo que:

bm + 2gx 2 + 2mx + 1 > 0 ; a) <2;3> d) <-2 ; 3> 23

b) <-3; 1> e) <1; 6>

b) < −∞;1 >

d) [0;1 >

e) < 1;∞ >

24. En que intervalo debe variar "

Donde "a" es el mayor valor real y "b" es el menor valor real que verifican las condiciones (I) y (II)

a) 4 d) 1

a) [0;∞ >

∀x ∈ IR

b

c) [0; 2 >

" para que la ecuación:

g

2x 2 + 2 + 3 x + 8 = 0

tenga una raíz en el intervalo <3;8>. Indicar por respuesta la suma de los extremos finitos del intervalo solución. a) − d)

95 6

125 7

b) 11 e) NA

c) <-1 ; 2>


c) −

131 6

ÁLGEBRA

COMPENDIO ACADEMICO

FUNCIONES ESCALARES

O D I A N M E A D N A C R A E F N A S 06. Dada la función:

01. Dados los conjuntos:

l

q

F :→ [5; 8 → [15; 30

A = x ∈ IN / 7 < 2x + 1 < 19

{

Determinar su rango.

}

B = x ∈ Z / 2 < x 2 ≤ 100

¿Cuántos elementos tiene el conjunto AxB? a) 45 d) 50

b) 60 e) 100

c) 90

a) [10,30

b) [15;21

d) [15;30

e) N.A.

c) 10;13]

07. Dada la función definida por

02. Dada la relación R: A → B definida por R=

/ F(x) = 2x + 5

⎧5 x − 1 ⎪⎪ F(x) = ⎨x 2 − 1 ⎪2x + 7 ⎪⎩

nb x; yg / x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ x ≤ ys

Donde: A={1,2} ∧ B={-1,1,4}

;x > 4

⎫ ⎪⎪ ;−3 ≤ x ≤ 4 ⎬ ⎪ ; x < −3 ⎪⎭

Determinar la suma de todos los elementos de R.

Calcular: F(2)+F(6)-F(-4)

a) 13 d) (4;9)

a) 21 c) 30 e)N.A.

b) 7 e) (9;4)

c) (7;12)

03. Determinar el valor de "a+b" para que el conjunto:

b) 27 d) 33

08. Determinar el rango de F si

F = {(8;2),(2; a),(a 2 − 1; b), (2;2a − 3), (3;5)}

F : R → IR / y = F(x) = x +

Sea una función: a) 5 c) 7 e) 4

b) 6 d) 8

04. Determine el dominio de la función real de variable real cuya regla de correspondencia es:

1 ; x ∈ IR + x

a) [0; ∞

b) [1; ∞

d) [2; ∞

e) − ∞; − 2] ∪ [2; ∞

c) [− 2; 2

09. A partir del gráfico:

y

y = F(x) =

a) [-1;1] d) 1; ∞

2004

F

1 − x2

5

G

c) −∞;1

b) −1;1

3

e) IR +

m

-2

x

05. Hallar el dominio de: F: R → R tal que: F(x) =

1 x−2

+ x+

a) 0;5

b) 0;5 − {2}

d) [0, 5 − {2}

e) 5;5 − {3}

1 5−x

c) 0, 5 ] − {2}

Calcular: F(G(−2)) − G(F(3)) + a) 1 d) 4

F(m) G(m)

b) 2 e) FD


c) 3

24

ACADEMIA «SAN FERNANDO» 10. Esbozar la gráfica de la siguiente función:

15. A continuación se muestra la gráfica de la función F definida así:

F: R → R / y = F(x) = x − 1 + x

F: R → R / y = F(x) = x 2 + mx − m − 1 y

y

y

a)

b)

F x

x

x y

y

-4

O D I A N M E A D N A C R A E F N A S ¿Cuál es el valor de m?

c)

d)

x

x

a) 6 d) -2

b) -6 e) FD

c) 2

16. Si el dominio de la función:

e) N.A.

11. Si x ∈[−5;3 > indicar el máximo valo r entero de la función

F: R → R / y = F (x) =

x −1 + 4 − x 2x − 6

F definida por:

es: [a; b > ∪ < b; c] . Calcular: a-b+c

F: R → R / y = F(x) = x(x + 4)

a) 15 d) 21

b) 18 e) 24

c) 20

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

17. Determinar el rango de la función real de variable real F, cuya regla de correspondencia viene dada por

12. Columna A

La suma de los valores enteros del do minio de la función: F: R → R / y = F(x) =

y = F(x ) =

2−x + x +3

Columna B

a) −∞;0

b) 0; ∞

La suma de los reales que no pertenecen al dominio de la función.

d) {−2;2}

e) −2; 2

H: R → R / y = H(x) =

x

x+5

−

x−2

F(T) ⋅ (b − a) ≤ k; ∀T ∧ a b > 0 es:

b) A es menor que B

c) A es igual que B


13. Sea "f" una función definida en Q cuya regla de

b)

d) a 2 + b 2

e) (b − a)a 2

F: R → R / y = F(x) =

Hallar F(a), si f(a-1)=f(a)

c) 1/2

14. Si el conjunto:

; Ctg

gUV W

es una función. Calcular el producto de los elementos

a)

d) 1 25

3

x+ x

afirmamos que:

a) no es función

b) es creciente

c) es decreciente

d) es no creciente

e) es no decreciente

RF G a 2 ; 1 I J , b−2;1g, a 2 ; sen , b−Tg SH 2 K e j T

de su rango. (

c) (b − a)b 2

19. De la función:

correspondencia es: f (x) = x 2 − 1

A=

b2 − a 2 2

a) b 2 − a 2


b) -1 e) 1/4

c) IR

18. Sea: F : [a; b] → R / F(T) = T 2 el menor valor de "k" tal que

1

a) A es mayor que B

a) -3/4 d) 3/4

x x + x x

: agudo) b)

e)

3 2 2

20. Sea F una función tal que: F: Z + → N F(2)=0 ∧ F(ab) = F(a) + F(b); ∀a, b ∈ Z + F(n)=0 si la última cifra de n es 3

c) 2

Calcular: F(2001) + F(2004) a) 0 d) 2005

b) 2001 e) 1

2


c) 2004

ÁLGEBRA

COMPENDIO ACADEMICO

LOGARITMOS 0 1. R ed ucir:

O D I A N M E A D N A C R A E F N A S 07. Calcular «x» en:

antiLn(antiLn x) = e π

E = Log2(Tg1º )3 ⋅ Log3(Tg2º )4 ⋅ Log4 (Tg3º )5.......89 factores

a) Tg 89º d)

b) 0

c) 1

a) Ln π

1 2

e) Tg 49º

d)

02. Calcular «x» en:

Logx = 2 +

a) 47 d) 50

1

2

(log 18 + log 8 − 2 log 25)

b) 48 e) N.A.

b) 10

−4

c) 10

5

1

c) π

e

e) πe

π

08 . R ed ucir:

1 + Log 2003 2004 1 − Log 2003 2004

a) 2004

x log x (2x −1) = 1

d) 10 6

1

c) 49


a) 1

b)

d)

2003

2004

+

1 + Log 2004 2003 1 − Log 2004 2003

b) 2003

c)

2004 2003

e) 0


e) N.A.

04. Luego de resolver la ecuación:

x

⎛ 10 3 ⎞ ⎟ =⎜ ⎜ x ⎟ ⎝ ⎠

log x

10 Logx − 10 Log7 =

4

Log x + x 2 − 1

Dar el producto de las raíces: a) 107 d) 10 6

b) 10 −4

Log x − x 2 − 1

c) 105

a) 3 c) 5 e) 7

; x≠0

b) 9 d) 6

10. Si se define una función cuya regla de correspondencia es:

e) N.A.

05. Si {a, b, c} ⊂ IR + - {1}

⎛ 1 − x ⎞ ⎟ ⎝ 1 + x ⎠

F(x) = Log⎜

Calcular: Log ab c , de modo que:

Proporcional el equivalente de: F(a)+F(b)

x = Log bc ∧ y = Log a c

a)

d)

x2

b)

x+y xy

e)

x+y

x 2y 2

c)

x+y

x+y xy

x2 + y2 xy

x2

a) 54 d) 67

+

=

⎛ a + b ⎞ ⎟⎟ b) F ⎜⎜ ⎝ 1 + a 2 ⎠

⎛ a + b ⎞ c) F⎜ 1 − ab ⎟ ⎝ ⎠

⎛ a + b ⎞ d) F ⎜ 1 + ab ⎟ ⎝ ⎠

⎛ 2ab ⎞ e) F ⎜ 1 − ab ⎟ ⎝ ⎠

06. Calcular «x+y» del sistema: 2x

⎛ a − b ⎞ a) F ⎜ 1 + ab ⎟ ⎝ ⎠

y .......... .....(1)

3(3 − log 2 y) = 0.......... (2)

b) 48 e) 59

c) 66


26

ACADEMIA «SAN FERNANDO» 11. Calcular:

18. Si: Log 2 3 = m , calcular Log 24 64 Log e

a) 1

Log

16

64 Ln 100

b) 2

d) 4

5

d)

e

19.

12. Si: Log ab a = 3

b)

m+ 2

c) 3

1

e)

3

a)

e)

m+2

5

6

c)

m +1

m+3

6 m+2

Columna A 5 El equivalente de: Log 3 2 4

Calcular:

Columna B Log ab (3 a b )

a) 2/3 d) 0

99

d)

1 3 1 9

c) - 2/3

x(1+ Log

99

x)

= 3 66

3

b)

c)

2

2

3

2 7

a)

A es mayor que B

b)

A es menor que B

c)

A es igual a B

d)

!No utilizar esta opción¡

e)

No se puede determinar

20. Resolver:

1

e)

27

Log 2 x

4

3

Log x

14. Indicar el menor valor que asume «x» en: 2Log 2 + Log(x − 3)

Log(7 x + 1) + Log(x − 6) + Log 3

a) 3 d) 12

7 2

O D I A N M E A D N A C R A E F N A S b) - 1 e) N.A.


a)

El equivalente de: Log

b) 6 e) 15

=

1

2

c) 9

+3=0

2

a) {8}

⎧1⎫ b) ⎨ 8 ⎬ ⎩ ⎭

⎧ 1⎫ d) ⎨8; 8 ⎬ ⎩ ⎭

e) N.A.

c) {3; - 3}

15. Proporcionar el mayor valor que asume «x» en:

21. Si:

2

1 + Log x = Log x − 1

10

5 +1

d)

5 −1

10

e) 100 10 16. Calcular

y

x + y 2 a partir del sistema :

Log y x y

=

=

y

2004 Log bc a

y

=

2004 Log ac b

z

=

2004 Log ab c

Calcular:

.......... ........(1)

x 1 + Log x 2.......... ...( 2)

Donde x ≠ y a) 1 d) 4

=

b) 3 10

a) 10 10 c)

x

b) 2 e) 1/4

c) 1/2

2004

x

x

2005

a) 4008 d) 2005

+x

y

+

y

2005

+y

b) 1 e) 0

z

+

z

2005

+z

c) 2004

22. El producto de las soluciones de la ecuación: 64

17. Calcular:

Log

x

2

= 8x

es: x

y

z

(e + e + e )(x + y + z) e

Ln(z − y)

+ eLn(z − x) + eLn(x + y)

b) 15 e) N.A.

b) 4 e) 1

c) 3

23. Indicar el valor de «x» que verifica el sistema:

Si: x=Ln3; y=Ln5 ∧ z=Ln15 a) 23 d) 20

a) 8 d) 2

c) 10

2Log x + 2Log y = 0.........(1) 3

3

Log x − Log y = 2.......... ...( 2) 2

a) 2 d) 1/4

27

2

b) 1/2 e) A ∨ C


c) - 2

ÁLGEBRA

COMPENDIO ACADEMICO

PROGRESIONES


07. La suma de tres términos de cierta P.A. es 27 y el producto de los mismos consecutivos es igual a 648 ¿Cuál es la razón de la progresión creciente?

01. Columna (A)

El valor de x en la siguiente P.A. : x+7 . 2x . 1-x

a) 2 d) 1/3

Columna (B)

b) 3 e) 2/3

c) 6

08. ¿Cuántos términos se deben considerar en una P.A. que

El valor de y en la siguiente P.G. :: x-1 : 4 : 2

empieza con (-2) y cuya razón es

a) A es mayor que B

de ellos resulte 21?

b) A es menor que B

a) 20 d) 23

c) A es igual a B


1

3

2

4

02. Encontrar el onceavo término de la sucesión : ,

,......

b) 5/2 e) 5

c) 3

03. El número de términos de una P.G. es 6, la suma de todos ellos es 364 y la diferencia entre el cuarto término y el tercero es igual al sextuplo del segundo ¿Cuál es el primer término? b) 52/3 e) A y B

b) 27 e) 37

c) 24

naturales; n>1 calcular el valor de:

5 2n

a) n

b) 2n

d) 2

e)

b) 19 e) 16

c) 15

a)

e)

1

2

1

2

1

2

1− 5

b)

2(1 + 5 )

d)

1

2

2(1 − 5 )

1+ 5

1+ 5

12. Dada la P.G.

06. Si 5n representa la suma de los "n" primeros números

5 2n +1

c) 210

11. Si los lados de un triángulo rectángulo forman una P.G. creciente, el valor de la razón es:

c) 35

b) 26 e) 35

E=

c) 22

b) 180 e) 240

a) 17 d) 18

c)

05. Se tiene una P.G. de tres términos y razón dos, si se le restan cuatro unidades al tercer término, se convierte en una P.A. Hallar la suma d e los tres términos de esta P.A. a) 28 d) 22

para que la suma

10. ¿Cuántos medios aritméticos se pueden interpolar entre 8 y 48 de tal manera que se forme una P.A. cuya suma de términos sea 588?

c) 2

04. El quinto y noveno término de una P.A. son 17 y 33 respectivamente. Hallar su décimo término. a) 31 d) 43

b) 21 e) 24

a) 120 d) 190

sabiendo que cada término se obtiene sumando al anterior una constante.

a) 1 d) 4

4

09. ¿Cuál es la suma de los tres medios diferenciales que se pueden interpolar entre 10 y 110?


a) 1 d) 7

1

+

::

e

j e

5 −1 : :

Calcular "

j

5 +1 :

" siendo

positivo

a) 3 + 5

b) 3 − 5

d) 5 − 3

e) 2 5 + 1

c) 5 + 3

25n −1 n2

c) 1

2 n


28

ACADEMIA «SAN FERNANDO» 13. ¿Cuál es el término enésimo de:

19. Los números: x1, x 2 , x 3 ,...... x 11 forman una P.A. creciente tal que:

1 a − 1 2a − 3 , , ,.............? a ≠ 2 c c c

ba − 2gn + ba − 3g

a)

c

ba − 3gn + ba − 2g

c)

c

x1 + x 2 + x 3 +...... x 11 = 11

ba − 2gn + 3

b)

2 x12 + x 2 x 2 ...... x11 = 121 2 + 3+

c

ba − 3gn + 2

d)

Hallar: x1

c

a) 2 d) -4

ba − 2gn − ba − 3g

e)

c

14. Halle el término décimo tercero en la siguiente PG.

b) 311

d) 313

c) 312

e) 314

Rz − 5x − 2y = 10 .............(1) S 4y + 3z = −40...........(2) T

b) 2 e) -4

c) -1

16. Dada la siguiente P.A.

: a . a . a . ...........an ; 2

3

n ∈ Z+

Calcular el equivalente de: a a

F 1 1 1 I + +......+ G J a H a a a 2n −1 K 1 1 3 2

5

a) 15 d) 25

a)

Donde x, y ∧ z son tres términos consecutivos de una P.G. decreci ente ¿Cuánto se d ebe agregar al térm ino central de esta PG de tal manera que se genere una P.A.?

1

20. El producto de los términos de lugar impar de una P.G. de número impar de términos es 65536 y el producto de los de lugar par es 4096. Calcular la suma del término central de la P.G. y el número de tér minos de la misma. b) 17 e) 19

d)

3 2

3

3

b)

e)

5 2

3

a

3

a 2n −1

d) 2n

b) n 2 e) 3n

c) 2n+1

17. Los dos primeros términos de una P.G. ilimitada suman 6 y cada término es igual a cuatro veces la suma de todos los términos que le siguen ¿Cuál es el primer término? a) 6 d) 7

b) 5 e) 3

c) 4

18. Calcular el término de lugar

a+b 2

2

a) 28

b) −2 8

d) −27

e) 29

d)

29

a+ b a b

b) e)

a+ b

Sn =

F G 7n + 1I J n H 2 K

Hallar el término de lugar 21. a) 72 d) 252

b) 148 e) 620

c) 144

24. Si se interpolan 5 medios geométricos entre 8 y 5832, el quinto término de la progresión total es: a) 1944 d) 729

b) 648 e) 1456

en una P.G. sabiendo

c)

c) 27

23. Si la suma de los "n" primeros términos de una P.A. viene dada según la fórmula:

que : Ta = b ∧ Tb = a a)

5

22. En una PG se conoce el término de lugar tres cuyo valor es 2 y el término de lugar siete cuyo valor es 32. ¿Cuál es el valor del término de lugar diez?

sabiendo que el primer término es la razón. a) n

c)

5 1

a a a + l7 +......+ 2n + 3 − 2

1

c) 23

21. La suma de los términos de una PG decreciente e ilimitada es igual al doble de la suma de los cinco primeros términos hallar la razón.

15. Luego de resolver el sistema:

a) 1 d) -2

c) 4


:: x-1 : x+ : x+7 : ............. a) 310

b) -2 e) 0

ab

b a


c) 2916

4-ÁLGEBRA

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