4-06-MAT-53-02

เอกสารประกอบการอบรม เรื่อง

พีชคณิต I โดย

ดร. เรืองวรินท์ อินทรวงษ์ สราญรักษ์ สกุล

โครงการส่ งเสริมโอลิมปิ กวิชาการและพัฒนามาตรฐานวิทยาศาสตร์ ศึกษา (สอวน.) ระหว่างวันที่ 7-9 ตุลาคมพ.ศ. 2553 ณ. ศูนย์ โรงเรียนราชสีมาวิทยาลัย

เ รื อ ง ว ริ น ท์ อิ น ท ร ว ง ษ์ ส ร า ญ รั ก ษ์ ส กุ ล

AlgebraI |1

พีชคณิต พีชคณิต เป็ นแขนงวิชาหนึ่งในคณิ ตศาสตร์ เช่นเดียวกับเรขาคณิ ตหรื อตรี โกณ แต่พีชคณิ ตเป็ นวิชาที่จะศึกษา การแก้โจทย์ปัญหาทางคณิ ตศาสตร์ ดว้ ยกระบวนการที่อาจสร้างขึ้นในรู ปของนิพจน์ที่ประกอบด้วย สัญลักษณ์ในรู ปตัวแปรซึ่ งสามารถใช้แทนตัวเลข เซต ฟังก์ชนั หรื ออะไรก็ได้ จึงทาให้วธิ ี การทางพีชคณิ ต สามารถใช้ในการแก้ปัญหาหรื อสนับสนุนงานทางคณิ ตศาสตร์ หลายสาขา เช่นทางด้านเครื อข่าย ติดต่อสื่ อสาร กฎทางฟิ สิ กส์ แบบจาลองประชากร ผลเชิงสถิติ ซึ่ งสิ่ งต่างเเหล่านี้สามารถถูกแทนได้ดว้ ย สัญลักษณ์ทางพีชคณิ ตซึ่งออกมาในรู ปสมการ สมการ คือข้อความที่แสดงความสัมพันธ์ของนิพจน์ เพื่อบอกว่านิพจน์ท้ งั สองข้างใช้แทนสิ่ งเดียวกัน โดย เชื่อมนิพจน์ท้ งั สองข้างด้วย “ = ” แบบฝึ กหัด คือโจทย์คาถามซึ่ งเราทราบวิธีการหรื อเทคนิคที่แน่นอนทันทีวา่ ทาอย่างไรจึงจะได้คาตอบซึ่ ง ขึ้นอยูก่ บั ประสบการณ์ (experience) และความแม่นยาของผูท้ าโจทย์ โดยไม่จาเป็ นต้องหาหรื อใช้เทคนิคที่ ยุง่ ยากซับซ้อน แต่ท้ งั นี้ก็เพื่อให้ผทู ้ าแบบฝึ กหัดได้คุน้ เคยกับเทคนิคหรื อทฤษฎีบทสาหรับแก้โจทย์ปัญหาใน ลักษณะเฉพาะอย่างหนึ่งเพื่อสัง่ สมประสบการณ์สาหรับนาไปประยุกต์กบั คาถามอื่นเต่อไป โจทย์ปัญหา คือคาถามที่ตอ้ งการหรื ออาศัย เชาว์ปัญญา ไหวพริ บ ปฏิภาณ ความช่างสังเกตและความช่างคิด ในการวิเคราะห์เพื่อค้นหาวิธีการหรื อเทคนิคที่สงั่ สมมาจากการทาแบบฝึ กหัดในการตอบโจทย์ปัญหา ดังนั้นการแก้โจทย์ปัญหาด้วยพีชคณิ ต จึงต้องการ ทักษะ เวลา ความอุตสาหะ ความพยายาม และ ความอดทน ตัวอย่าง (การใช้พีชคณิ ตในการแก้ปัญหา) จงหาเลขสองหลักจานวนหนึ่งที่มีผลบวกของเลขโดดในหลักทั้งสองเท่ากับ 12 แต่เมื่อนา 36 บวกกับเลข ดังกล่าวจะได้เลขจานวนใหม่ที่กลับหลักกับเลขจานวนเดิม

เ รื อ ง ว ริ น ท์ อิ น ท ร ว ง ษ์ ส ร า ญ รั ก ษ์ ส กุ ล

ตัวอย่าง (แบบฝึ กหัด) จงเขียนผลบวก

AlgebraI |2

1 1 1 1    1 2 2  3 3  4 99 100

ให้อยูใ่ นรู ปผลบวกของเศษส่ วนที่มี

จานวนพจน์นอ้ ยที่สุด

ตัวอย่าง (โจทย์ปัญหา)

1 1 1 1  2  2  2 10 11 12 10002

ผิดพลาดน้อยกว่า 0.006)

มีค่าเท่าใด (ตอบเป็ นทศนิยม 3 ตาแหน่งที่มีค่า

เ รื อ ง ว ริ น ท์ อิ น ท ร ว ง ษ์ ส ร า ญ รั ก ษ์ ส กุ ล

AlgebraI |3

Telescope การจัดรู ปผลบวกให้มีพจน์ซ้ าซ้อน แต่ต่างเครื่ องหมายกันซึ่ งจะหักล้างกันหมดไปจนเหลืออยูเ่ พียง ไม่กี่พจน์ที่เราสามารถหาค่าผลบวกได้อย่างง่ายเ หรื อเป็ นการสร้างผลบวกใหม่ ที่มีพจน์เกือบเหมือนกันทั้ง หมดแล้วนาผลบวกทั้งสองมาหักล้างกัน แล้วสิ่ งที่เหลือจะอยูใ่ นรู ปสมการง่ายเ ที่ตวั แปรคือสิ่ งที่เราต้องการ หาค่า ทาให้เราสามารถประยุกต์กบั การหาผลบวกของอนุ กรมอื่นเได้อีกมากมาย 

ตัวอย่าง จงพิสูจน์วา่  (1  12 )  1 n 2 n2

ตัวอย่าง จงทาให้ผลคูณอยูใ่ นรู ปอย่างง่าย

1 1 1 1 (1  )(1  2 )(1  4 )  (1  2100 ) a a a a

เ รื อ ง ว ริ น ท์ อิ น ท ร ว ง ษ์ ส ร า ญ รั ก ษ์ ส กุ ล

ตัวอย่าง กาหนดให้ f 2002 (2002)

f 0 ( x) 

1 1 x

และ

f n ( x)  f 0 ( f n1 ( x))

AlgebraI |4

สาหรับ n  1 และ

x  1 จงหาค่าของ

เ รื อ ง ว ริ น ท์ อิ น ท ร ว ง ษ์ ส ร า ญ รั ก ษ์ ส กุ ล

ตัวอย่าง ถ้า f 1997 (2540)

f ( x) 

1 x 1 x

และ

f  n ( x)  ( f 1 )n ( x)

AlgebraI |5

สาหรับ n  1 และ

x  1 จงหาค่าของ

เ รื อ ง ว ริ น ท์ อิ น ท ร ว ง ษ์ ส ร า ญ รั ก ษ์ ส กุ ล

ตัวอย่าง จงหาค่าของ

ตัวอย่าง ถ้า

(68  69  70  71)  1

x  y  xy  3 จงหาค่าของ x3  y 3

AlgebraI |6

เ รื อ ง ว ริ น ท์ อิ น ท ร ว ง ษ์ ส ร า ญ รั ก ษ์ ส กุ ล

ตัวอย่าง จงหาค่าของ

x  2 2x  4  x  2 2x  4

AlgebraI |7

เมื่อ 2  x  3

ตัวอย่าง กาหนดให้  x  หมายถึงจานวนเต็มที่มากที่สุดที่นอ้ ยกว่าหรื อเท่ากับ ให้ n เป็ นจานวนเต็มใดเ จงพิสูจน์วา่

 n   n  1  2    2   n และ

x

2  n   n  1  n     2   2   4   

เ รื อ ง ว ริ น ท์ อิ น ท ร ว ง ษ์ ส ร า ญ รั ก ษ์ ส กุ ล

AlgebraI |8

แบบฝึ กหัด 1. จงหาค่าของ

(3  8 13 18)  625

2. จงหาจานวนเต็ม

x

ทั้งหมดที่ทาให้

x

และ

x x

เป็ นจานวนเต็ม

3. จงหาเลขสามหลักจานวนหนึ่ง ถ้าสลับหลักหน่วยกับหลักร้อยของจานวนนั้นจะได้จานวนที่มากกว่าสอง เท่าของจานวนเดิมอยู่ 66 แต่ถา้ สลับหลักร้อยกับหลักสิ บจะได้จานวนที่มีค่าน้อยกว่าจานวนเดิมอยู่ 180 และ ถ้าสลับหลักหน่วยกับหลักสิ บจะได้จานวนที่มีค่ามากกว่าเดิมอยู่ 63 4. จงหาค่าของ x 2 

1 x2

และ

x3 

1 x3

เมื่อ

x

1 1 x

5. จงหาผลบวกของ 6  66  666  6666    66666...6 ( n ตัว) เมื่อ n  1 6. กาหนด

f ( x )  2 x 2 , g ( x) 

x , h( x)  ( f g )( x), h 2 ( x)  (h h)( x) และ hn ( x)  (h hn1 )( x) 4

เมื่อ n  2 จงหาค่าของ h20 ( x) 7. จงหาค่าของ 7.1

1 1 1     1 2  3 2  3  4 n  (n  1)  (n  2)

7. 2

3 5 7 29  2 2  2 2    2 2 2 1  2 2 3 3  4 14 15 2

8. จงหาคาตอบของสมการ log 2 (9x1  15)  2  log2 (61(3x )  3)

เ รื อ ง ว ริ น ท์ อิ น ท ร ว ง ษ์ ส ร า ญ รั ก ษ์ ส กุ ล

AlgebraI |

30

บทพิสูจน์

ตัวอย่าง จงหาค่า p ที่ทาให้ผลต่างของรากทั้งสองของสมการ 3x2  ( p 1) x  3  0 เป็ น

ตัวอย่าง ให้อตั ราส่ วนของรากทั้งสองของสมการ ax2  bx  c  0 เป็ น m : n จงแสดงว่า 1.

mnb2  (m  n)2 ac

2. ถ้า b  c  0 แล้ว

m n b   0 n m a

61 3

เ รื อ ง ว ริ น ท์ อิ น ท ร ว ง ษ์ ส ร า ญ รั ก ษ์ ส กุ ล

AlgebraI |

31

ตัวอย่าง ถ้า  และ  เป็ นรากของสมการ

x2  ax  b  0

สมการซึ่งมีรากเป็ น (  1)2 และ (  1)2

จงพิสูจน์วา่  3   3  3ab  a3 พร้อมทั้งหา

เ รื อ ง ว ริ น ท์ อิ น ท ร ว ง ษ์ ส ร า ญ รั ก ษ์ ส กุ ล

AlgebraI |

32

ดิสคริมิแนนท์ (discriminant) สาหรับสมการกาลังสอง ax2  bx  c เมื่อ a  0 มีสองรากคือ b  b 2  4ac 2a

ถ้า

b2  4ac  0

b2  4ac

หรื อ b 

b 2  4ac 2a

รากทั้งสองของสมการจะต่างกัน และรากจะเป็ นจานวนจริ งเมื่อ b2  4ac  0 แสดงว่า

เป็ นนิพจน์ที่เราสามารถใช้ตอบคาถามเกี่ยวกับลักษณะรากของสมการกาลังสองได้ เราจึงเรี ยก

นิพจน์ “ b2  4ac ” ว่า ดิสคริ มิแนนท์ (discriminant) ของพหุนามและสมการพหุนาม ซึ่งจะสรุ ปเป็ น ทฤษฎีบทดังนี้ ทฤษฎีบทของพหุนามกาลังสอง ให้ ax2  bx  c เป็ นพหุ นามที่มีสัมประสิ ทธิ์ เป็ นจานวนจริ ง 1. พหุนาม ax2  bx  c เขียนได้ในรู ป  ( px  q)2 โดยที่  , p และ q เ ป็ นจานวนคงค่าหรื อ ค่าคงที่ ก็ต่อเมื่อ b2  4ac  0 [ในกรณี น้ ี เราจะกล่าวว่ารากของ ax2  bx  c เป็ นรากจริ ง โดยที่รากทั้งสองซ้ ากัน และมีค่าเท่ากับ 

2.

b ] a

ax2  bx  c

มีรากสองรากต่างกัน ก็ต่อเมื่อ b2  4ac  0

เ รื อ ง ว ริ น ท์ อิ น ท ร ว ง ษ์ ส ร า ญ รั ก ษ์ ส กุ ล

AlgebraI |

33

2.1 ถ้า

b2  4ac  0

รากทั้งสองของสมการกาลังสองเป็ นรากจริ ง

2.2 ถ้า

b2  4ac  0

เราจะกล่างว่ารากทั้งสองของสมการกาลังสองเป็ นจานวนเชิ งซ้ อนหรื อ

รากซ้ อน 2.3

b2  4ac

เป็ นกาลังสองสมบูรณ์แล้วรากทั้งสองของสมการกาลังสองเป็ นรากตรรกยะ

ตัวอย่าง จงหาค่า m ที่ทาให้รากของสมการ

x2  4mx  m  0

มีรากเป็ นจานวนจริ งบวกทั้งสองราก

ตัวอย่าง กาหนดให้ a  0 และ  ,  เป็ นรากของสมการ 2x2  ax  3  0 ถ้า ของสมการ 9x2  52 x  4  0 ค่าของ a เป็ นเท่าใด

1 2

และ

1

2

เป็ นราก

เ รื อ ง ว ริ น ท์ อิ น ท ร ว ง ษ์ ส ร า ญ รั ก ษ์ ส กุ ล

AlgebraI |

34

ตัวอย่าง จงสร้างสมการที่มีรากเป็ น a 2  x 2  px  q  0

ก็ต่อเมื่อ

p0

พร้อมทั้งพิสูจน์วา่

หรื อ

p 2  4q

p

1 b2

และ b2 

1 a2

เมื่อ a และ b เป็ นรากของสมการ

และ q เป็ นจานวนจริ ง และสมการที่สร้างขึ้นจะมีรากซ้ ากัน

เ รื อ ง ว ริ น ท์ อิ น ท ร ว ง ษ์ ส ร า ญ รั ก ษ์ ส กุ ล

AlgebraI |

35

แบบฝึ กหัด 1. จงแสดงว่า ถ้า n เป็ นจานวนเต็มบวกแล้ว n1

n1

(1  t )(1  t 2 )(1  t 4 )...(1  t 2 )  1  t  t 2  t 3    t 2

2. จงหาค่า m และ p ที่ทาให้ 3 เป็ นรากร่ วมของพหุ นาม

x3  3mx 2  px  3  0

และ พหุนาม

x3  3mx 2  5 px  3  0

3. จงแสดงว่าพหุ นาม (1  x  x2  x3  ...  x99  x100 )(1  x  x2  x3  ...  x99  x100 ) ไม่มีพจน์ ที่กาลังคี่ 4. ให้ m และ n เป็ นรากของพหุ นามกาลังสอง n  m2

x2  5x  3

จงหาพหุ นามกาลังสองที่มี m  n2 และ

เป็ นราก

5. ให้ m และ n เป็ นรากของพหุ นามกาลังสอง t 2  bt  c  0 จงแสดงว่า b และ c เป็ นรากของ สมการพหุนาม t 2  (m  n  mn)t  mn(m  n)  0 6. ถ้า 7 เป็ นรากของสมการพหุ นามกาลังสอง

x2  2ax  7a  0

แล้ว จงหารากของสมการพหุนาม

x2  9ax  90a2  0

7. ถ้า  และ  เป็ นรากของสมการ

x 2  px  q  0 จงหาสมการที่มีรากตามที่กาหนดให้ต่อไปนี้

เ รื อ ง ว ริ น ท์ อิ น ท ร ว ง ษ์ ส ร า ญ รั ก ษ์ ส กุ ล

AlgebraI |

36

7.1 (   )2 และ (   )2 7.2  และ  



8. จงพิสูจน์วา่ รากทั้งสองของสมการ ax2  bx  c  0 จะเป็ นจานวนจริ งลบทั้งคู่ ถ้า a, b และ c เป็ นจานวนจริ งที่มีเครื่ องหมายเหมือนกัน และรากทั้งสองจะเป็ นจานวนจริ งบวกทั้งคู่ ถ้า a และ c เป็ นจานวนจริ งที่มีเครื่ องหมายเหมือนกันแต่ต่างกับเครื่ องหมายของ b 9. จงพิสูจน์วา่ ถ้าสมการ

x 2  px  q  0 และสมการ px 2  qx  1  0 แล้ว p  q  1  0

หรื อ

p 2  q 2  1  pq  p  q

10. จงพิสูจน์วา่ ถ้ารากทั้งสองของสมการ x2  px  q  ( x  a)(2 x  p)  0

11. ถ้าสมการ

x2  ax  bc  0

และ

x 2  px  q

เป็ นจานวนจริ ง แล้วคาตอบของสมการ

เป็ นจานวนจริ งสาหรับทุกจานวนจริ ง

x2  bx  ca  0

a

เมื่อ a, b และ c ไม่เป็ นศูนย์ มีรากร่ วมกัน

หนึ่งตัว จงพิสูจน์วา่ รากตัวที่เหลือของแต่ละสมการจะเป็ นรากของ

x2  cx  ab  0