Teorija betonskih konstrukcija 1 Prof.dr Snežana Marinković
Sadržaj • • • • • • • • • • • •
Uvod Osnove proračuna
Osobine materij rijala Analiza ULS-Savijanje ULS-Smicanje ULS-Torzija ULS-Stabilnost ULS-Str -Strut ut& &tie tie mo mode delili Trajnost Perfo rforma rmanc ncee ba base sed d de desi sign gn Ploče u jednom pravcu
ULS – smicanje Savijani elementi realnih AB konstrukcija (grede, ploče..), pored momenata savijanja uvek imaju i transverzalne sile, makar samo od uticaja sopstvene težine. Transverzalne sile izazivaju smičuće napone, tako da su AB elementi uvek izloženi kombinovanom dejstvu momenata savijanja i transverzalnih sila, odnosno normalnih i smičućih napona.
ULS – smicanje ELEMENTI KOJI NEMAJU ARMATURU ARMATURU ZA SMICANJE
Mehanizam prenošenja smičućih napona zavisi najviše od toga da li su u elementu razvijene prsline od savijanja ili ne. Posmatraćemo dva slučaja: AB element bez prslina od savijanja u kritičnoj zoni (zona u kojoj su transverzalne sile najveće) i AB element koji ima razvijene prsline od savijanja u posmatranoj zoni.
ULS – smicanje Trajektorije glavnih napona pritiska i zatezanja - homogen materijal, bez prslina:
σcc
σ1
τc
σ2 τn-n
n
σ2 σ2
45º
σ1
n
σ 1, 2 =
σ cc 2
±
σ cc2 4
2
+ τ c
σct
U neutralnoj osi nosača σ cc=0:
tg 2α 1, 2 = ±
2τ c 0
σ 1, 2 = ±τ c α 1, 2 = ±45
Glavni naponi zatezanja!
ULS – smicanje Ukoliko u AB elementu nema prslina od savijanja, smicanje se prenosi naponima pritiska i zatezanja u betonu. Kada maksimalni glavni napon zatezanja, usled dejstva momenta i transverzalne sile, prekorači čvrstoću betona na zatezanje javlja se kosa-dijagonalna prslina koja praktično predstavlja lom, jer nema armature koja može da prihvati ovo zatezanje. Ovo je smičući lom zatezanjem (shear-tension). Javlja se u prethodno napregnutim elementima, elementima sa velikom aksijalnom silom pritiska (stubovi), u blizini oslonaca visokih greda ili oko tačaka infleksije kontinualnih greda.
ULS – smicanje smičući lom zatezanjem
ULS – smicanje U najvećem broju slučajeva smicanje se prenosi u prisustvu prslina od savijanja. Pod pretpostavkom da se kroz prsline ne može preneti normalni napon zatezanja, ali može smičući napon, trajektorije glavnih napona pritiska i zatezanja:
σ2 σ1
τ =
VS i bJ i
σ1
Fc
n σ2
τn-n
n
Ft
45º
u težištu (neutralna osa):
σ2
τc
σcc
J i S i
=
z
τ n − n =
V bz
ULS – smicanje Kosa prslina, odnosno lom, nastaje kad glavni napon zatezanja, brojno jednak smičućem naponu τn-n=V/bz, prekorači čvrstoću betona na zatezanje. U suprotnom, ukoliko se kroz prsline uopšte ne prenosi smicanje, “zub“ betona između prslina se ponaša kao konzola uklještena u pritisnuti beton, opterećena silom prianjanja između betona i zategnute armature. Nosivost na smicanje je određena nosivošću betonske konzole na savijanje.
ULS – smicanje Ovo je smičući lom savijanjem (shear-flexure), a stvarno ponašanje isprskalog AB elementa je između ova dva ekstremna modela: P
Fc Vc
trenje u prslini
z
V
Vi Fs
R
cepanje x
Vd xcr
d
Transverzalna sila se prenosi: - smičućim naponima u pritisnutom betonu Vc; -trenjem kroz prslinu, zahvaljujući aggregate interlock –u, Vi; - dejstvom moždanika zategnute armature (dowel effect), Vd.
ULS – smicanje Većina standarda, pa i EC2, za sračunavanje nosivosti na smicanje
savijanjem AB elementa bez armature za smicanje, za ovu vrstu loma daju empirijske izraze. Danas postoje mehanički modeli koji tačnije opisuju ovu pojavu, među kojima se izdvajaju dva: - Modifikovana teorija polja pritisaka (Modified compression field theory – MCFT), Vecchio&Collins, 1986. U pojednostavljenom obliku, koristi se u Kanadskim propisima i u MC2010. - Teorija kritične širine prslina (Critical shear crack width theory – CSCT), Muttoni, 2003. U pojednostavljenom obliku, koristi se u Švajcarskim propisima, i za proračun probijanja ploča direktno oslonjenih na stubove u MC2010.
ULS – smicanje U nekim slučajevima opterećenja, grednim mehanizmom se ne može dobro modelirati realno ponašanje AB elementa. To su slučajevi kada opterećenje deluje u blizini oslonca odnosno kada je smičući raspon lučni mehanizam
strut&tie modeli empirijski izrazi
ULS – smicanje ELEMENTI KOJI IMAJ U ARMATURU ZA SMICANJE
Ponašanje grednog nosača sa prslinama u fazi loma opisuje se modelom rešetke.
- pritisnuti pojas: beton - zategnuti pojas: podužna armatura - pritisnute dijagonale: beton, nagib θ - zategnute verikale ili dijagonale: armatura za smicanje, nagib α
ULS – smicanje Armatura za smicanje: vertikalne uzengije ili koso povijena armatura.
ULS – smicanje U modelu rešetke, sve uzengije, odnosno sve betonske dijagonale, na dužini horizontalne projekcije preseka koji je paralelan pritisnutim dijagonalama, se mogu modelirati kao jedna vertikala, odnosno jedna dijagonala.
ULS – smicanje Proračun sila u štapovima rešetke
uzengije α=90
ULS – smicanje Proračun sila u štapovima rešetke
uzengije α=90
ULS – smicanje Proračun sila u štapovima rešetke
uzengije α=90
ULS – smicanje σ sw = f yd
uzengije
σ cw = f cd 2
α=90
Nosivost pritisnute betonske dijagonale:
V Rd ,cw = f cd 2 bw z cos θ sin θ = f cd 2 bw z
cot θ 1 + cot 2 θ
Nosivost uzengija:
V Rd , sw = Asw f ywd z cot θ / s Nosivost podužne zategnute armature u svakom preseku mora zadovoljiti:
F s , Rd ≥ F s , Ed =
M Ed z
+
1 2
V Ed cot θ
ULS – smicanje Izjednačavanjem nosivosti betonske dijagonale i uzengija dobija se maksimalna nosivost na smicanje elementa i odgovarajući ugao nagiba pritisnutih dijagonala θ.
Koeficijent armiranja armaturom za smicanje: ρ w =
Asw
VRd
bw s
cot θ =
f cd 2
ρ w f ywd
VRd,sw
−1
VRd,cw
45º
40º
35º 30º
25º
20º
15º
θ
ULS – smicanje Proračun sila u štapovima rešetke s
Asw
presek 1
Kosa armatura z
α≠90
α
θ zcotθ
∑ V
presek 1
zcotα
=0
V = Aswσ sw sin α
z (cot α + cot θ ) s
ULS – smicanje Proračun sila u štapovima rešetke Asw
s
presek 2
Kosa armatura z
α≠90 α
θ
zcotθ
∑V
presek 2
zcotα
=0
V = σ cwbw z
cot α + cot θ 2
1 + cot θ
ULS – smicanje Proračun sila u štapovima rešetke s
Asw ΣN
B
u preseku Fcw θ
Vcotθ
V
presek 2
z/2
V(cotθ-cotα)
Fsw
z
α
z/2 α
θ
Vcotα
zcotθ
∑ M
B
=0
Kosa armatura α≠90
zcotα
F s =
M z
+
1 2
V (cot θ − cot α )
ULS – smicanje σ sw = f yd
σ cw = f cd 2
Nosivost pritisnute betonske dijagonale:
V Rd ,cw = f cd 2bw z
Kosa armatura α≠90
cot θ + cot α 1 + cot 2 θ
Nosivost uzengija: A V Rd , sw = sw zf yd (cot θ + cot α )sin α s Nosivost podužne zategnute armature u svakom preseku mora zadovoljiti:
F s , Rd ≥ F s , Ed =
M Ed z
+
1 2
V Ed (cot θ − cot α )
ULS – smicanje Ako se opterećenje nalazi sa donje strane nosača , potrebno je uzengije sračunati i na takozvano obešeno opterećenje: opterećenje sa gornje strane nosača
F/2
F
N=0.5F
F
opterećenje sa donje strane nosača verdeelde
F
F/2
N=1.5F
N=F
N=0 F/2
Asw =
F Ed f yd
F
F
F
F/2
ULS – smicanje ODREDBE EC2
VRd,c VRd,s VRd,max
proračunska nosivost na smicanje elementa bez armature
za smicanje proračunska vrednost sile smicanja koju može da prihvati armatura za smicanje na granici razvlačenja proračunska vrednost najveće sile smicanja koju element može da prihvati, ograničena drobljenjem betona u
pritisnutim štapovima
ULS – smicanje Vccd
proračunska vrednost smičuće komponente sile u pritisnutoj
Vtd
proračunska vrednost smičuće komponente sile u zategnutoj
zoni, kada je pritisnuti pojas u nagibu armaturi, kada je zategnuti pojas u nagibu
Vccd Vtd
Nosivost na smicanje elementa sa armaturom za smicanje:
V Rd = V Rd , s + V ccd + V td
ULS – smicanje PRINCIPI
VEd≤V Rd,c
nije potrebna proračunska armatura za smicanje
minimalni koeficijent armiranja armaturom za smicanje: ρ w =
VEd>VRd,c
Asw sbw sin α
≥ 0.08
f ck f yk
treba da se obezbedi dovoljna armatura za smicanje tako da je V Ed≤V Rd; → VRd,s ≥
V Ed
VEd – Vccd - Vtd ≤ VRd,max Podužna zategnuta armatura treba da bude u stanju da prihvati dodatnu silu zatezanja usled smicanja.
ULS – smicanje VEd ne mora da se proverava na rastojanju koje je manje od d od ivice oslonca VRd,max se proverava na ivici oslonca
Kada opterećenje deluje u donjoj zoni preseka treba obezbediti dodatnu vertikalnu armaturu koja je dovoljna da prenese opterećenje u gornju zonu preseka.
ULS – smicanje Elementi za koje se ne zahteva proračun armature za smicanje
Proračunska vrednost nosivosti na smicanje (savijanjem) elemenata koji
nemaju armaturu za smicanje, V Rd,c :
V Rd , c = C Rd , c k (100 ρ l f ck )
1/ 3
+ k 1σ cp bw d
ali ne manje od:
V Rd , c = ν min + k 1σ cp bw d
ULS – smicanje VRd,c CRd,c k1 f ck
(N); =0.18/γc, koeficijent;
=0.15, koeficijent; karakteristična čvrstoća betona pri pritisku (MPa);
k = 1 +
ρ l = As1 bw σcp
NEd Ac
νmin
200
As1 bw d
d
≤ 2.0
d (mm)
≤ 0.02
površina zategnute armature, koja se produžava za najmanje (l bd+d) izvan razmatranog preseka, lbd je dužina sidrenja; najmanja širina poprečnog preseka u zategnutoj zoni (mm); =NEd/Ac<0.2f cd (MPa); aksijalna sila u popre čnom preseku od opterećenja ili prethodnog naprezanja (N), pozitivna u slučaju pritiska; površina poprečnog preseka betona (mm2); =0.0353/2·f ck1/2.
ULS – smicanje Proračunska vrednost nosivosti na smicanje (zatezanjem) elemenata koji
nemaju armaturu za smicanje, V Rd,c (napon u betonu pri zatezanju savijanjem manji od f ctk,0,05/γc) :
V Rd , c =
I ⋅ bw S
( f ctd )2 + α 1σ cp f ctd
I bw S
moment inercije poprečnog preseka; širina poprečnog preseka u težišnoj osi; statički moment površine preseka iznad težišne ose, za težišnu osu;
α1
koeficijent kojim se uzima u obzir položaj razmatranog preseka u odnosu na dužinu unošenja sile prethodnog naprezanja, jednak jedinici osim za prethodno zategnute kablove;
σcp
napon pritiska u betonu u težišnoj osi presek a, od aksijalnog opterećenja i/ili prethodnog naprezanja (σcp=NEd/Ac, u (MPa), NEd>0 za pritisak).
ULS – smicanje Ako se opterećenje nalazi unutar rastojanja 0.5d≤av≤2d od ivice oslonca, proračunska vrednost sile smicanja iznosi: β=av/2d
ali mora:
za av≤0.5d, usvaja se av=0.5d
(f ck u MPa)
ULS – smicanje Elementi za koje se zahteva proračun armature za smicanje
Zasniva se na modelu rešetke sa promenljivim nagibom pritisnutih betonskih štapova θ.
ULS – smicanje α
ugao između armature za smicanje i ose grede upravne na silu
smicanja; θ
ugao između pritisnutog betonskog štapa i ose grede upravne na
silu smicanja; Ftd Fcd
proračunska vrednost sile zatezanja u podužnoj armaturi; proračunska vrednost sile pritiska u betonu u pravcu podužne ose
bw z
najmanja širina između zategnutog i pritisnutog pojasa;
elementa; krak unutrašnjih sila koji odgovara momentu u razmatranom elementu; može da se koristi približna vrednost z=0.9d za čisto
savijanje.
1 ≤ cot θ ≤ 2.5
45 ≤ θ ≤ 21.8
ULS – smicanje Za elemente sa uzengijama, nosivost na smicanje, V Rd, jednaka je manjoj od sledeće dve vrednosti:
V Rd , s = Asw s f ywd
Asw s
zf ywd cot θ
V Rd ,max = α cwν 1 f cd bw z
cot θ 1 + cot 2 θ
površina preseka armature za smicanje; rastojanje armature za smicanje; proračunska granica razvlačenja armature za smicanje; =ν, koeficijent kojim se smanjuje čvrstoća betona zbog prslina usled smicanja;
ν1 koeficijent kojima se uzima u obzir stanje napona u pritisnutom pojasu i iznosi: αcw za 0 < σcp ≤ 0.25f cd αcw= 1+σcp/f cd za 0.25f cd < σcp ≤ 0.5f cd αcw= 1.25 αcw= 2.5(1- σcp/f cd) za 0.5f cd < σcp < 1.0f cd
gde je σcp srednja vrednost napona pritiska u betonu, sa pozitivnim znakom, usled proračunske aksijalne sile, za idealizovan presek.
ULS – smicanje Za elemente sa armaturom za smicanje pod uglom α, nosivost na smicanje, VRd, jednaka je manjoj od sledeće dve vrednosti: V Rd , s =
Asw s
zf ywd (cot θ + cot α )sin α
V Rd ,max = α cwν 1 f cd bw z
cot θ + cot α 1 + cot 2 θ
Dodatna sila zatezanja u podužnoj armaturi ΔFtd usled smicanja VEd se sračunava:
∆F td =
1 2
V Ed (cot θ − cot α )
ULS – smicanje q Ed
L1
L2
Pomeranje linije zatežućih
VEd
+
+
sila za a1:
-
a1 = MEd
1 2
(cot θ − cot α )
α = 90 al
Μ Ed,max
Fsd=MEd /z
∆Ftd
al
al
Fsd,max
a1=1.25z, za θ=21.8° a1=0.5z, za θ=45°
ULS – smicanje Ako se opterećenje nalazi unutar rastojanja 0.5d≤av≤2d od ivice oslonca, proračunska vrednost sile smicanja iznosi:
V Ed , av = β V Ed
β=av/2d
za av≤0.5d, usvaja se av=0.5d
V Ed , av ≤ Asw f ywd sin α
ali mora:
V Ed ≤ V Rd ,max = α cwν 1 f cd bw z
cot θ 1 + cot 2 θ
ULS – smicanje SMICANJE NA SPOJU REBRA I FLANŠI U T-PRESECIMA
Da bi se obezbedio zajednički rad dela ploče sa rebrom T-preseka, potrebno je obezbediti, armaturom, podužno smicanje koje se javlja na spoju ploče i rebra. moment grede =0
Asf
moment grede =Mmax
ULS – smicanje Za određivanje nosivosti flanše, odnosno proračun potrebne armature, flanša se može modelirati rešetkom, slično kako se modelira smicanje grednog nosača, u kojoj zategnute štapove čini armatura, a pritisnute štapove beton flanše.
ULS – smicanje EC2
Posmatra se deo pritisnute flanše i rebra dužine Δx, na koje deluju sile pritiska koje su posledica savijanja nosača, Fd i na razmaku Δx, Fd+ΔFd.
ULS – smicanje Prosečan podužni napon smicanja na spoju između jedne strane flanše i rebra se određuje na osnovu promene normalne sile u posmatranom delu
flanše: v Ed =
∆F d
h f ∆ x
ΔFd
proračunska vrednost promene normalne sile u delu flanše sa jedne strane rebra na dužini Δx;
hf
visina flanše na spoju sa rebrom;
Δx
posmatrana dužina nosača.
Maksimalna vrednost Δx je polovina rastojanja između preseka u kojem je moment jednak nuli i preseka u kome je moment maksimalan.
ULS – smicanje Iz modela rešetke flanše sledi, po analogiji sa modelom rešetke nosača: V Ed = ∆F d
z = ∆x
bw = h f v Ed =
V Ed bw z
=
∆F d
h f ∆ x
i za ugao nagiba zategnutih štapova α=90 °: 1
Asf sf θf
Asf f yd s f
≥
v Ed h f
cot θ f
površina jedne šipke poprečne armature; razmak između šipki ove armature;
ugao nagiba pritisnutih dijagonala u flanši, EC2 preporučuje, za pritisnute flanše:
45° ≥ θf ≥ 26.5° (1.0 ≤ cotθf ≤ 2.0)
ULS – smicanje Proračunska vrednost maksimalnog napona pritiska u pritisnutoj dijagonali, sledi po analogiji sa modelom rešetke nosača, za ugao nagiba zategnutih štapova α=90°:
v Ed ≤ ν f cd sin θ f cos θ f Ukoliko flanša ima svoje transverzalno savijanje, što je uvek slučaj kod Tpreseka nastalih spojem ploče i rebra, površina armature u flanši treba da bude veća od vrednosti koja je data izrazom (1) ili polovine te vrednosti, uvećane za armaturu koja je potrebna za transverzalno savijanje flanše
