Sistemas basados en reglas Composición de relaciones difusas
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Ejercicio jercicio propue propuesto Considere un universo de discurso X compuesto de los enteros del 1 al 5. Suponga que existen las siguientes etiquetas: Pequeño = { 1/1 + 1/2 + 0.9/3 + 0.6/4 + 0.3/5} Medio = { 0/1 + 0.1/2 + 0.3/3 + 0.7/4 + 1/5}. Calcu lcule la relac lación ión entre ambos con conjuntos.
Sistema istemas s difusos difusos Un sistema estático o dinámico que hace uso de conjuntos difusos y del marco matemático correspondiente es un sistema difuso. Los conjuntos difusos pueden verse envueltos en un sistema difuso fuso de difer ferente entes s mane manera ras, s, tal tales como como:: En l a d es c r i p c i ó n d el s i s t em a: un sistema puede ser defin finido, do, por ejemplo, como una colección de reglas IFIF-THE THEN con predicados difusos, o como una relación difusa. Un ejemplo de una regla difusa que describe la relación entre la potencia de calentamiento y la temperatura en un salón puede ser la siguiente: IF la potencia de calentamiento es alta alta THEN THEN la temp temper erat atu ura aume umentar ntará á ráp rápido. do.
Sistema istemas s difusos difusos En la espe specifi cifica caci ción ón de los los pará paráme metr tros os del del sist siste ema: ma: El sistem tema puede estar defin finido por una ecuación algebraica o diferencial, en la cual los parámetros son números difusos en vez de números reales. Como un ejemplo, considere la la ec ecuación y 3 x1 5 x2, do donde 3 y 5 son nú números difusos ¨alrededor de 3¨ y ¨alrededor de 5¨, respectivamente, defin efiniidos dos por func funciiones nes de mem membres bresía ía.. Los Los númer úmeros os difus ifusos os expresan la incertid tidumbre en los valores de los parámetros. L a en t r ad a, l a s al i d a y l as v ar i ab l es d e es t ad o d e u n s i s t em a pue pueden den ser ser conju conjunt ntos os difus difusos os.. Las entradas difusas pueden ser lecturas de sensores no confiables (datos ruidosos), o cantidades relacionadas con la percepción huma humana na,, tale tales s como como conf confor ort, t, bell bellez eza, a, etc. etc. Los sistemas difusos pueden procesar esa información, que no es el
Sistemas difusos Los sistemas difusos pueden servir para diferentes fines, tales como análisis de datos, predicción, modelado y control. Los sistemas difusos basados en reglas se denominan modelos difusos, independiente del fin que persigan
Sistemas basados en reglas En los sistemas difusos basados en reglas, las relaciones entre las variables son representadas por reglas del tipo IF-THEN de la forma siguiente: IF proposición del antecedente THEN proposición del consecuente.
Sistemas basados en reglas La proposición del antecedente es siempre una proposición difusa del tipo ¨x es A¨ donde x es una variable lingüística y A es una etiqueta o término lingüístico. Dependiendo de la estructura particular de la proposición del consecuente se distinguen tres tipos de modelos: Modelo difuso lingüístico (Zadeh, 1973, Mamdani,1977): los antecedentes y los consecuentes son modelos difusos. El modelo difuso solitario es un caso especial donde los consecuentes son conjuntos solitarios (singleton). Modelo relacional difuso (Pedr ycz, 1984 y Yi y Chung,1994): que puede considerarse una generalización del modelo lingüístico, permite que una proposición del antecedente en particular este asociada a varias proposiciones diferentes del consecuente, por medio de una relación difusa
Sistemas basados en reglas Modelo relacional difuso (Pedrycz, 1984 y Yi y que puede considerarse una Chung,1994): generalización del modelo lingüístico, permite que una proposición del antecedente en particular este asociada a varias proposiciones diferentes del consecuente, por medio de una relación difusa
Sistemas basados en reglas Modelo difuso Takagi-Sugeno (TS,1985): Donde el consecuente es una función precisa (crisp) de las variables del antecedente en vez de una proposición difusa. IF x is A AND y is B THEN z = f(x,y) z es un polinomio, que puede ser: z = ax + by + c z=c
Modelo Sugeno de primer orden Modelo Sugeno de orden cero
Modelo lingüístico El modelo lingüístico ha sido introducido como una manera de capturar conocimiento en forma de reglas IF-THEN. Ri: IF x es Ai THEN y es Bi i= 1,2,…,K Aquí x es la variable lingüística de entrada (antecedente) y Ai es la etiqueta. Similarmente, y es la variable lingüística de salida (consecuente) y Bi es la etiqueta lingüística del consecuente
Modelo lingüístico Los términos lingüísticos o etiquetas lingüísticas pueden verse como valores cualitativos (información granulada), utilizadas para describir una relación particular por medio de reglas lingüísticas. Típicamente, un conjunto de N términos lingüísticos A = {A1, A2,…,An} es definido en el dominio de una variable x. Para diferenciar entre una variable lingüística y la variable numérica original, esta última se denomina variable base.
Variable lingüística Una variable lingüística L es definida como un quíntuple: L = (x,A,X,g,m) • x es la variable base (tiene el mismo nombre que la variable lingüística). • A= {A1, A2…, An} es el conjunto de términos lingüísticos o etiquetas. • X es el dominio o universo de discurso de x. • g es una regla sintáctica para genera etiquetas. • m es una regla semántica que asigna a cada etiqueta su significado (un conjunto difuso en X)
Variable lingüística
Variable lingüística
Temperatura
Baja
Media
Alta
Etiquetas
Regla semántica
1 Funciones de membresía
0 0
10
20 30 T (temperatura )
40
Variable base
Composición de relaciones difusas Las relaciones en diferentes espacios productos pueden ser combinadas entre ellas por medio de la composición. Además, los conjuntos difusos pueden ser combinados con relaciones difusas de la misma manera. Existen diferentes versiones del operador composicional. La más conocida de todas es una composición MAX-MIN. Otras como MAX-PROD y MAX-AVERAGE también pueden ser utilizadas.
Composición de relaciones difusas
Sean R1 ( x, y ), ( x, y ) X Y , R2 ( y, z ), ( y, z ) Y Z , dos relaciones difusas. La composición MAX-MIN es R1 R2 ( x, z ) [( x, z), max{min{ R1 ( x, y), R2 ( y, z)}}] y
La composición MAX-PROD es R1 R2 ( x, z ) [( x, z), max{ R1 ( x, y) R2 ( y, z )}] y
La composición MAX-AVE es 1 R1 AVE R2 ( x, z ) [( x, z), max{R1 ( x, y) R2 ( y, z)}] 2 y donde R 1 u R2 es la función de membresía de una composición difusa
Composición de relaciones difusas Ejemplo: R1 es la relación que describe una interconexión entre el color, x, y la madurez, y, de un tomate, y R2 representa una interconexión entre la madurez, y, y el sabor, z ,de un tomate. Presente las matrices relacionales para las composiciones MAX-MIN y MAX-PROD tierno pintón maduro R1 verde 1 0.5 0 amarillo 0.3 1 0.4 rojo 0 0.2 1 agrio agridulce dulce R2 tierno 1 0.2 0 pintón 0.7 1 0.3 maduro 0 0.7 1
Composición de relaciones difusas Procedimiento para obtener la composición MAX-MIN: r 11 max(min(1,1),min(0.5,0.7),min(0,0)) 1 r 12 max(min(1,0.2),min(0.5,1),min(0,0.7)) 0.5 r 13 max(min(1,0),min(0.5,0.3),min(0,1)) 0.3 r 21 max(min(0.3,1),min(1,0.7),min(0.4,0)) 0.7 r 22 max(min(0.3,0.2),min(1,1),min(0.4,0.1)) 1 r 23 max(min(0.3,0),min(1,0.3),min(0.4,1)) 0.4 r 31 max(min(0,1),min(0.2,0.7),min(1,0)) 0.2 r 32 max(min(0,0.2),min(0.2,1),min(1,0.7)) 0.7 r 33 max(min(0,0),min(0.2,0.3),min(1,1) 1
Composición de relaciones difusas Composición MAX-MIN
R(y,z)
agrio
agridulce
dulce
verde
1
0.5
0.3
amarillo
0.7
1
0.4
rojo
0.2
0.7
1
Composición de relaciones difusas Composición MAX-PROD:
r 11 max(1,0.35,0) 1 r 1, 2 max(0.2,0.5,0) 0.5 r 1,3 max(0,0.15,0) 0.15 r 21 max(0.3,0.7,0) 0.7 r 22 max(0.06,1,0.28) 1 r 23 max(0,0.3,0.4) 0.4 r 31 max(0,0.14,0) 0.14 r 32 max(0,0.2,0.7) 0.7 r 33 max(0,0.06,1) 1
Composición de relaciones difusas Composición MAX-PROD
R(y,z)
agrio agridulce dulce
verde
1
0.5
0.15
amarillo
0.7
1
0.4
rojo
0.14
0.7
1
Composición de relaciones difusas Resultados: La composición MAX-MIN es la matriz relacional R(y, z) agrio agridulce dulce verde 1 0.5 0.3 amarillo 0.7 1 0.4 rojo 0.2 0.7 1 La composición MAX-PROD es la matriz relacional R(y, z) agrio agridulce verde 1 0.5 amarillo 0.7 1 rojo 0.14 0.7
dulce 0.15 0.4 1
Composición de relaciones difusas Ejercicio Propuesto: Obtenga la composición MAX-AVE de las relaciones R1 y R2, y compare con los resultados obtenidos previamente.
Composición de relaciones difusas La interpretación lingüística en forma de reglas para la matriz relacional resultante es directa R(x, z) agrio agridulce dulce verde 1 0.5 0.15 amarillo 0.7 1 0.4 rojo 0.14 0.7 1 es como sigue:
R1: IF tomate es verde THEN es agrio, menos probable que sea agridulce, e improbable que sea dulce. R2: IF tomate es amarillo THEN es agridulce, posiblemente sea agrio, y poco probable que sea dulce. R3: IF tomate es rojo THEN es dulce, posiblemente sea agridulce e improbable que sea agrio
Inferencia Difusa La inferencia difusa es el proceso de formular el mapeo de una entrada dada hacia una salida usando la lógica difusa. La inferencia en sistemas difusos basados en reglas es el proceso de obtener un conjunto difuso de salida, dada las reglas y las entradas. El mecanismo de inferencia en el modelo lingüístico se basa en la regla composicional de inferencia (Zadeh). Esto es, ser capaces de inferir una conclusión cuando el antecedente es parcialmente conocido o cuando el hecho es similar pero no igual al conocido. Un típico problema de razonamiento aproximado difuso es:
Inferencia Difusa Implicación: IF tomate es rojo THEN es dulce, posiblemente sea agridulce e improbable que sea agrio Premisa o hecho: El tomate es ±rojo (μr = 0.8) Conclusión: Sabor = ? La pregunta es, ¿teniendo un estado (premisa o hecho) que no es exactamente igual al antecedente, y la regla IF-THEN (implicación), cuál es la conclusión?
Inferencia Difusa Regla de inferencia composicional de Zadeh Si R es una relación difusa desde un universo de discurso X hacia un universo de discurso Y, y x es un subconjunto difuso de X entonces, el subconjunto difuso y de Y que es inducido por x está dado por la composición:
y
x R
Como se mencionó anteriormente, el operador de esta composición es MAX-MIN, con alternativas MAX-PROD o MAX-AVE
Inferencia en el modelo lingüístico La inferencia, en sistemas difusos basados en reglas, es el proceso de derivar un conjunto difuso de salida, dada las reglas y las entradas. El mecanismo de inferencia en el modelo lingüístico se basa en la regla composicional de inferencia de Zadeh. Cada regla puede ser considerada como una relación difusa, que es calculada como: R ( x, y)
I ( A ( x), B ( y))
El operador I puede ser una implicación difusa o un operador de conjunción (una t-norma).
Inferencia en el modelo lingüístico Las implicaciones difusas son usadas cuando la regla está relacionada con una implicación Ai Bi, es decir, Ai implica Bi. Cuando se utiliza una conjunción , A B, la interpretación de las reglas IF – THEN es: ¨es cierto que A y B simultáneamente se cumplen¨.
Inferencia en el modelo lingüístico Ejemplos de implicación difusas son: La implicación de Lukasiewicz: I(u A(x),uB(y)) = min(1,1-u A (x) +uB(y)) ó la implicación Kleene-Diene: I(u A(x),uB(y)) = max(1-u A (x),uB (y))
Inferencia en el modelo lingüístico Ejemplos de operador de conjunción (t-norma) son: el mínimo: I(u A(x),uB(y)) = min(u A (x), uB(y)) o el producto: I(u A (x),uB(y)) =u A (x)uB(y))
Inferencia en el modelo lingüístico El mecanismo de inferencia se basa en el modus-ponens generalizado: IF x es A THEN y es B x es A’ ----------------y es B’ Dada la regla IF-THEN y el hecho ¨x es A’ ¨, el conjunto difuso de salida B’ es obtenido por la composición relacional max-t, o sea: B’ = A’o R Para la t-norma mínimo, la composición max-min se obtiene como:
u B ' ( y) max min (u A' ( x), u R ( x, y)) x
XxY
Inferencia en el modelo lingüístico Ejemplo: Considere la regla difusa: IF x es A THEN y es B Con los conjuntos difusos: A = {0/1, 0.1/2, 0.4/3, 0.8/4, 1/5} B = {0/-2, 0.6/-1, 1/0, 0.6/1, 0/2} Halle la relación difusa entre los conjuntos, utilice el operador mínimo.
Inferencia en el modelo lingüístico Aplicando el mínimo, se tiene que:
Rm
min(0,0.6) min(0,1) min(0,0.6) min(0,0) min(0,0) min(0.1,0) min(0.1,0.6) min(0.1,1) min(0.1,6) min(0.1,0) min(0.4,0) min(0.4,0.6) min(0.4,1) min(0.4,0.6) min(0.4,0) min( 0 . 8 , 0 ) min( 0 . 8 , 0 . 6 ) min( 0 . 8 , 1 ) min( 0 . 8 , 0 . 6 ) min( 0 . 8 , 0 ) min(1,0) min(1,0.6) min(1,1) min(1,0.6) min(1,0)
Rm AT
0 0 B 0 0 0
0
0
0
0
0.1 0.1 0.1 0
0.4 0.4 0.4 0 0.6 0.8 0.6 0 0.6 1 0.6 0
Inferencia en el modelo lingüístico Considere ahora que la entrada a la regla cambió: A’ = { 0/1, 0.2/, 0.8/3, 1/4, 0.1/5} En el caso de la composición MAX-MIN donde B’ = A’ o Rm B’ = [0 0.2 0.8 1 0.1] o R
Inferencia en el modelo lingüístico
0 0 B' 0 0.2 0.8 1 0.1 0 0 0
0
0
0
0
0.1 0.1 0.1 0
0.4 0.4 0.4 0 0.6 0.8 0.6 0 0.6 1 0.6 0
B’11= max(min(0,0) min(0.2,0) min(0.8,0) min(1,0) min(0.1,0)) = 0 B’12 = max(min(0,0) min(0.2,0.1) min(0.8,0.4) min(1 0.6) min(0.1,0.6)) = 0.6 B’13 = max(min(0,0) min(0.2, 0.1) min(0.8,0.4) min(1,0.8) min(0.1,1)) = 0.8 B’14 = max(min(0,0) min(0.2,0.1) min(0.8,0.4) min(1,0.6) min(0.1,0.6)) = 0.6 B’15 = max(min(0,0) min(0.2,0) min(0.8,0) min(1,0) min(0.1,0) = 0 B’ = [0 0.6 0.8 0.6 0]
B’ = [0/-2 0.6/-1 0.8/0 0.6/1 0/2]
Ejercicio Propuesto1: Sean X = {3, 8, 10} y Y = {1, 2, 6, 7}, defina una matriz relacional para las siguientes relaciones: • “x es considerablemente mayor que y” • “y es muy cercano a x”
1. Realice la operación manualmente. 2. Realice un VI en Labview para mostrar los valores del ítem 1. Utilice arreglos de constantes e indicadores numéricos. 3. Grafique las etiquetas nombradas previamente utilizando visualizadores 3D en Labview (ej: Surface).
Ejercicio Propuesto2: Sean los siguientes conjuntos difusos:
1 0.5 0.3 0.2 A { } 2 3 4 5 0.5 0.7 0.2 0.4 B { } 2 3 4 5 1. Calcule A B, A B,A y B 2. Diseñe un VI en Labview para realizar las operaciones mencionadas, considerando conjuntos difusos con 4 puntos. 3. Grafique en Labview las operaciones mencionadas, considerando el visualizar XY Graph.
Ejercicio Propuesto3: Sean las siguientes matrices relacionales: tierno pintón maduro R1 verde 1 0.5 0 amarillo 0.3 1 0.4 rojo 0 0.2 1
agrio agridulce dulce R2 tierno 1 0.2 0 pintón 0.7 1 0.3 maduro 0 0.7 1
1. Diseñe un VI en Labview para obtener la composición R = R1 o R2 (R: relación entre color y sabor). Considere un selector para elegir entre las siguientes opciones: MAX-MIN, MAX-PROD, MAX-AVE. 2. Resuelva el literal 1 empleando la herramienta MathScript de Labview. 3. Grafique las matrices relacionales R1, R2 y R utilizando Labview. Nota: Si al ejecutar el programa, se cambia algún valor de R1, R2 o el
Ejercicio Propuesto3: Solución con Mathscript:
Ejercicio Propuesto3: Solución con Mathscript:
Ejercicio Demostrativo: Utilizando su intuición y la definición del universo de discurso, establezca las funciones de membresía para la variable lingüística “el peso de las personas” . El universo de discurso es el peso de las personas en kg. Sean las siguientes variables lingüísticas: muy ligero
w 30
ligero
30 w 45
promedio
45 w 60
pesado
60 w 75
muy pesado
w 75
Utilice funciones de membresía triangulares.
Ejercicio Demostrativo: L
ML
1
0
30
P
45
MPE
PE
60
75
kg
Funciones de membresía de: “el peso de las personas” 1. Utilizando la herramienta Fuzzy Designer diseñe la variable lingüística “el peso de las personas”. Incluya todas
Ejercicio Demostrativo:
Funciones de membresía de: “el peso de las personas” 1. Utilizando la herramienta Fuzzy Designer diseñe la variable lingüística “el peso de las personas”. Incluya todas
Anexo del Ejercicio Propuesto2: Programa para calcular la unión, la intersección y el com plemento de conjuntos % Entre las matrices A y B u = input(‘entre la matriz A’); v = input(‘entre la matriz B’); opción = input(‘entre la opción’); % opción1 Unión % opción 2 Intersección % opción 3 Complemento If (opción ==1) w = max(u,v) end If(opción == 2) p=min(u,v) end if(opción == 3) opción1=input(‘entre para hallar el complemento de la matriz A(1) o la matriz B(2)’) if(opción1 == 1) [m,n] =size(u); q = ones(m)-u; else q = ones(m)-v; end
