3ManualMatematicasIII

UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE LA HUASTECA HIDALGUENSE

MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS III

ADMINISTRACIÓN Y EVALUACION DE PROYECTOS

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MANUAL DEL PROFESOR



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Índice Introducción

4

Firmas de autorización

4

1. 1.1 1.1 1.2 1.3 1.4

Prob Probab abililid idad ad apli aplica cada da Conc Concep epto toss bási básico coss Permu Permuta tacio cione ness y combin combinaci acione oness Enfo Enfoue ue de prob probab abili ilida dadd !istri !istribu bució ciónn de proba probabi bilid lidad ad

" " # 12 24

2. 2.1 2.1 2.2 2.3

Estimación Esti Estima maci ción ón pun puntu tual al Estim Estimac ación ión por por inte inter$a r$alo lo !etermin !eterminació aciónn del del tama%o tama%o de muest muestra ra

43 43 4& "3

3. Prueba de 'ipótesis 3.1. Prueba de 'ipótesis para medias 3.2. Prueba de 'ipótesis para proporciones

"# "# &1

4. 4.1. 4.2. 4.3.

&&# #-

(e)resión y Correlación *+nimos cuadrados. Estimación mediante l+nea de re)resión simple. ,nálisis de correlación.

Introducción a las matemáticas financieras Conceptos )enerales Pro)resiones aritm/ticas e inter/s simple Pro)resiones )eom/tricas e inter/s compuesto !ia)ramas de flu0o de ca0a

1 1 " 1" 111

". asa de in inter/s r/s. asa de inter/s efecti$a asa de inter/s real asa de inter/s nominal Cálculos de tasa real y efecti$a

11" 11" 12 12" 12&

-. ,nua ,nualid lidad ades es y amort amortiza izació ción. n. &.1 ,nualidades anticipadas y $encidas &.2 amortización

12# 12# 141

&. asa asa int intern ernaa de de reto retorno rno.. conceptos )enerales */todo de la tasa interna de retorno */todo del $alor presente neto */todo del costo anual uniforme eui$alente

14& 14& 1" 1"3 1-

MATEMÁTICAS III


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Firmas Elaboró

(e$isó

In). !ar+o arc+a ernández.

* en C. 5uana arc+a *orales. !irectora de la Carrera

6o. 7o.

,utorizó

*,!. *arisol Flores Contreras !irectora de Enlace ,cad/mico

!ra. *iriam 8ta (ectora

Introducción Ele$ar la calidad acad/mica de esta uni$ersidad se 'a con$ertido en el ob0eti$o a corto plazo9 es de reconocer el esfuerzo au+ $ertido para proporcionar a los estudiantes una formación de calidad9 sin embar)o9 la participación )lobal de una institución educati$a obli)a a una actualización permanente !entro de este marco los materiales didácticos se con$ierten en instrumentos indispensables para ayudar a ele$ar la calidad educati$a en las instituciones. Este manual pretende proporcionar una $isión de con0unto de la asi)natura9 as+ como se%alar los conceptos fundamentales tratados en cada uno de los temas del pro)rama. El ob0eti$o principal ue se persi)ue es el de ayudar al alumno a estructurar y or)anizar la información reco)ida en el manual para facilitar as+ la compresión de sus contenidos. Por tanto9 el euipo docente recomienda a todos los alumnos de la carrera de ,dministración y E$aluación de Proyectos en ue lean detenidamente este manual para tener una orientación )eneral de la asi)natura y ue la consulten cuando estudien cada uno de los temas tratados en el te:to9 ya ue en ella se proporcionarán las orientaciones didácticas precisas para su estudio.

MATEMÁTICAS III


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Creemos ue este manual puede facilitar al alumno de la ;ni$ersidad ecnoló)ica de la uasteca idal)uense un material didáctico adicional ue contribuya al aprendiza0e de los contenidos de la asi)natura. (esumen de acti$idades de aprendiza0e9 b> (esumen de sesiones9 c>0ustificación de desfasamiento

Unidad Temtica? I! Probabilidad ,plicada. I!"Tema? Conceptos básicos. I!"!" O#$eti%o de a&rendi'a$e( @ue el alumno identifiue y mane0e los distintos conceptos básicos fundamentales en la probabilidad ! I!"!) Recurso tiem&o de* tema( 3 'oras I!"!+ Desarro**o( ,ro#a#i*idad.= 6alor entre cero y uno9 inclusi$e9 ue describe la posibilidad relati$a de ue ocurra un e$ento. de $arias obser$aciones posibles. En el caso de la probabilidad9 un e:perimento tiene dos o más resultados posibles9 y es incierto cual 'abrá de ocurrir. Resu*tado.= Bo ue resulta espec+ficamente de un e:perimento. Por e0emplo9 lanzar una moneda al aire es un e:perimento se puede obser$ar el lanzamiento de auella9 pero no se está se)uro de ue si caerá caraD Aan$erso> o cruz Are$erso>. E%ento.= Con0unto de uno o más resultados de un e:perimento. En el e:perimento de tirar un dado e:isten seis resultados posibles9 pero 'ay muc'os e$entos factibles. Cuando contamos el nmero de miembros de 0unta de directores ue tienen más de - a%os de edad en las " compa%+as representadas en la re$ista Fortune9 el o. otal de resultados posibles puede estar entre cero y el nmero total de miembros. E:iste un )ran nmero de e$entos posibles en /ste e:perimento.



E:perimento.

odos

los

irar un dado.

Contar el nmero de miembros de 0unta de dire direct ctor ores es de " compa%+as presentadas en Fortune de más de - a%os de edad.

resultados Caer un 1 posibles Caer un 2 Caer un 3 Caer un 4 Caer un " Caer un -

,l)unos e$entos e$entos posibles. posibles.

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in)uno es mayor de - uno es mayor de - dos son mayores de - 2 son mayores de - 4# son mayores de -

;n nmero nmero par ;n nmero mayor ue 4 ;n nmero menor ue 3

*as de 13 son mayores de - *enos de 2 con mayores de -.

Una &ro#a#i*idad &ro#a#i*idad se e:presa con un nmero decimal9 del tipo .&9 .2& o bien .". 9 es . !e esta forma9 la probabilidad 1 representa al)o ue se)uramente $a a suceder9 y la probabilidad  se%ala al)o ue no puede ocurrir. Cuando más se apro:ime a  una probabilidad9 es más improbable ue suceda al)o. Cuanto más se acerue a 19 tantos más se)uros estaremos ue ocurrirá.

,ro#a#i*idad de .ue e* so* desa&are'ca /ste a0o!

,osi#i*idad de .ue una moneda cai1a cara a* tirar*a una $ez una $ez

,osi#i*idad de aumento en *os im&uestos 2edera*es

,osi#i*idad de .ue /ste a0o **ue%a en F*orida!

E$em&*o( El departamento de $+a pblica9 en ue0utla9 )o.9 está considerando ampliar la ,$enida 5uárez a tres carriles. ,ntes de tomar una decisión9 se pre)untó a " ciudadanos si apoyan la ampliación.



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a>.= Cuál es el e:perimentoJ b>.= Cuáles son al)unos de los posibles e$entosJ c>.= *encione dos resultados posibles. a>.= Pre)untar a " ciudadanos si están a fa$or o en contra de ampliar a tres carriles la ,$enida 5uárez. b>.= 321 a fa$or de la ampliación 3#& fa$orecen tal acción 444 opinan a fa$or de la misma. c>.= ;na mayor+a es fa$orable a la ampliación .2"1 o más. 3 personas están a fa$or de la ampliación. I!"!+!" T/cnica Didctica? Didctica ? E:posición del profesor. I!"!+!) 3ateria* de A&o4o ? Pizarrón9 'aciendo uso de marcadores en diferentes colores. I!"!5 Acti%idades de A&rendi'a$e Acti%idad de a&rendi'a$e No! "( PR-1 : ,ractica escrita I!"!5!" Instrucciones( (esuel$e de manera correctamente las si)uientes Pre)untas. a6 Va*o Va*orr act acti% i%id idad ad(( " Puntos #6 ,rodu ,roducto cto es&e es&erad rado( o( @ue sea resuelta de manera satisfactoria la práctica. c6 Fec7 Fec7aa ini inici cio( o( d6 Fec7 Fec7aa entr entre1 e1a( a( e6 Form Formaa de de ent entre re1a 1a(( Por separado9 escrito a mano 26 Ti&o Ti&o de acti acti%%idad idad(( Indi$idual 16 Fec7a Fec7a de de rea*im rea*iment entac ación ión(( El mismo d+a de entre)a. I!"!5!" Criterio de e%a*uación de *a acti%idad ,8" ,cti$idad ,cti$idad

Ponderación Ponderación

,ractica &or escrito (esponder á la practica. 4 Puntos 3ane$ 3a ne$o o de *os conce conce&to &toss ;til ;tiliz izar ar el form format atoo para para la 1 Puntos #sicos &ro#a#i*9sticas! elaboración de prácticas. Tota* " puntos I!"!: I!"!: Resu Resu*ta *tado do de* de* A&re A&rendi ndi'a$ 'a$e( e(


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I!)! Tema? Tema ? Permutaciones y combinaciones. I!)!"O#$eti%o de a&rendi'a$e( ,plicar las permutaciones en la solución de problemas prácticos I!)!) Recurso tiem&o de* tema( 3. 'oras I!)!+ Desarro**o( ,rinci&ios de conteo

Nu!"# $#$%& '! %""!(&#) * +M, +N, Esto puede e:tenderse para más de dos e$entos. Para tres e$entos *9 9 M? umero total de arre)los O A*> A> AM> E0emplo? ;n $endedor de automó$iles desea anunciar anunciar ue N1  Adólares> usted puede comprar un con$ertible9 un sedan de dos puertas9 o un modelo de cuatro9 con elecció elecciónn de de cubrerrin cubrerrines es Ao cubrerru cubrerrueda edas> s> dep deporti$ orti$os os o comunes comunes.. Cuántos arre)los diferentes de modelos y cubrerruedas puede ofrecer el comercianteJ An>O A3> A2> O -. En este e0emplo no fue dif+cil en listar y contar todas las posibles combinaciones decubrerrines y modelos de autos.
MATEMÁTICAS III


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todas las alternati$as posibles. En $ez de esto podr+a utilizarse la fórmula de multiplicación. En tal caso9 Am> An> O A#> A-> O 4# arre)los posibles. Fórmu*a de &ermutación. Es un arre)lo o disposición de r ob0etos seleccionados a partir de un )rupo nico de n ob0etos posibles. Mbser$e ue el arre)lo a9b9c y b9a9c9 son permutaciones diferentes. Ba fórmula ue se utiliza para contar el nmero total de permutaciones distintas es? n Pr =

n! ( n −r )!

!onde? P es el nmero de permutaciones o9 modos en ue pueden ordenarse los ob0etos.  es el nmero total de ob0etos. En el primero e0emplo9 'as tres partes electrónicas9 de manera ue nO3. r es el nmero de ob0etos ue se $an a disponer cada $ez. n OQ se lee como n factorialD es el producto de todos los nmeros de 1 a n. Por definición  O 1. E0emplo 1? Con referencia a un )rupo de tres partes electrónicas ue deben ensamblarse en cualuier orden En cuantos modos diferentes pueden reunirseJ
,7C

n!

( n − r )!

=

7,C

3! (3 − 3)!

=

3! 0!

C,7

=

6

,C7

7C,

C7,

E0emplo 2? y seis para el tercero. Entonces. A#>A&>A-> O 33-. Como antes9 esto tambi/n puede e:presarse matemáticamente diciendo ue el numero de permutaciones 9P9 de n elementos depende del numero de espacios 9r9 disponibles. Pr O

n

n! ( n −r )!

O

8! (8 −3)!

O

8! 5!

O

(8)(7)(6)5! 5!

O 33-

MATEMÁTICAS III


- 1. -

Formu*a de *a Com#inación

A fin de que se considere como una permutación es diferente el orden de los objetos para cada resultado posible. Para tres objetos, a, b, c, la ordenación a, b, c es el de una ermutación ! b, a, c es otra c, a, b es otra m"s, # as$ sucesi%amente& 'a# seis arrelos osibles ara estos tres objetos tomados tres a la %e& *tiliando la formula de la ermutación& Pr O

n

n! ( n −r )!

O

3! (3 −3)!

O

(3)( ,)(+) +

O-

-i no imorta el orden de los objetos, al n.mero total de ordenaciones se le denomina combinación.

C#/0%0 /s el n.mero de modos ara eleir r objetos de un ruo de n de ellos sin considerar el orden& a formula de la combinaciones1 r >

n

n! −

E!&# -i los ejecuti%os Abel, 2"e # 4aunc# 4an de ser eleidos como un comit ara neociar una fusión de emresas, sólo eiste una combinación osible de estos tres& /l comit formado or Abel, 2"e # 4aunc# equi%ale al interado 2"e, 4aunc# # Abel& *tiliando la fórmula de la combinación& C"



n! 3&,&+ * r !( n r )! 3&,&+(+) −

*+

E!&#: A un deartamento de mercadeo se le 4a solicitado que disee códios de color ara las  l$neas de discos comactos (9)%endidos or :odo# ;ecords& -e 4an de utiliar tres colores en cada l$nea, ero con una combinación de tres colores emleados ara una de ellas no uede reordenarse # ser utiliada ara identificar una distinta l$nea de 9& /sto sinifica que si se usaran %erde, amarillo # %ioleta ara sealar una l$nea, entonces amarillo, %erde # %ioleta (o cualquiera otra combinación de estos tres colores)no ueden ser emleados ara identificar otra < ser"n adecuados siete colores tomados de tres a la %e ara codificar or color las  l$neas= -olución& /isten 35 combinaciones que se obtienen del c"lculo de1

C" *



n! r !( n

r )!

−

*

7! 3! (7

7! 3)!&

−

=

3!!

* 35

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- 11 -

os siete colores tomados de tres a la %e , no ser$an adecuados ara codificar or color los  discos comactos diferentes, or que solo ermiten 35 combinaciones& ?c4o colores tomados tres a la %e dar$an 56 combinaciones distintas& /sto ser$a mas que adecuado ara codificar crom"ticamente las  l$neas&

I231 T/cnica Didctica( /osición del rofesor& I!)!+!) 3ateria* de A&o4o( Pizarrón9 'aciendo uso de marcadores en. diferentes colores. I!)!5 Acti%idades de A&rendi'a$e Acti%idad de a&rendi'a$e No! ) TA-1 : E$ercicios de a&*icación! I!)!5!" Instrucciones( (esuel$e de manera correctamente los si)uientes E0ercicios. 76 Va*or acti%idad( 1 Puntos i6 ,roducto es&erado( @ue los alumnos resuel$an de manera correcta los e0ercicios propuestos. $6 Fec7a inicio( =6 Fec7a entre1a( *6 Forma de entre1a( Por separado9 escrito a mano m6 Ti&o de acti%idad( Indi$idual n6 Fec7a de rea*imentación( El mismo d+a de entre)a. I!)!5!" Criterio de e%a*uación de *a acti%idad TA8" ,cti$idad ,cti$idad

Ponderación

E0ercicios propuestos.

(esol$er los e0ercicios  Puntos propuestos. (esuel$a de manera ;tilizar el formato para la 1 Puntos correcta los problemas. entre)a de tareas. otal 1 puntos Acti%idad de a&rendi'a$e No! + ,R8) Reso*%er e$ercicios &rcticos I!)!5!" Instrucciones? (esol$er los si)uientes e0ercicios prácticos. o6 Va*or( " Puntos &6 ,roducto es&erado( @ue los e0ercicios sean resueltos de manera correcta. .6 Fec7a inicio( r6 Fec7a entre1a( s6 Forma de entre1a( escrito a mano t6 Ti&o de acti%idad( Indi%idua* u6 Fec7a de retroa*imentación( I241 C"0$!"0# '! !%&u%0 '! &% %$00'%' PR-2 Acti%idad Acti%idad Practica por escrita.

,onderación

(esol$er en forma rápida 4 Puntos e0ercicios sobre

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;so de presentación


re)las

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permutaciones.. de ;tilizar el formato para la 1 Puntos elaboración de prácticas. otal " puntos

I!)!: Resu*tado de* A&rendi'a$e(
P;M !E 6I<, M75EI6M? Probabilidad emp+rica Probabilidad O !e un e$ento

o. de resultados fa$orables o. total de resultados posibles

E0emplo? Considerar el e:perimento de tirar un dado de seis caras Cuál será la probabilidad del e$ento de caer un numero parJ

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Probabilidad de un nmero par O 3R - O ." *utuamente e:cluyente? se e:presa esto porue la ocurrencia de cualuier e$ento implica ue nin)n otro puede ocurrir al mismo tiempo. En el e:perimento de tirar un dado9 el e$ento un nmero parD y el e$ento un nmero imparD son mutuamente e:cluyentes.
Probabilidad E$ento? Cara E$ento? Cruz otal?

." ." 1.

Mbs/r$ese ue es innecesario realizar un e:perimento para determinar la probabilidad de ue ocurra un e$ento al utilizar un enfoue clásico. E0emplo? Es posible lle)ar en forma ló)ica a la probabilidad de obtener una cruz en el lanzamiento de una moneda o tres caras en el lanzamiento de tres monedas. Concepto emp+rico? Mtra manera para definir la probabilidad es con base a las frecuencias relati$as. Ba probabilidad de ue un e$ento ocurra a lar)o plazo se determina obser$ando en ue fracción de tiempo sucedieron e$entos seme0antes en el pasado. ;tilizando una fórmula? Probabilidad !e ue
O

o. de $eces ue el e$ento ocurrió en el pasado o. total de obser$aciones

E0emplo? . Este e:perimento re$eló ue 3#3 de los &"1 no estaban empleados se)n su principal área de estudio en la uni$ersidad. Por e0emplo? ;na persona ue se )raduó en un área especializada en contadur+aS a'ora es )erente del mercadeo de una empresa de

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procesamiento de tomates. Cuál es la probabilidad de ue un )raduado espec+fico en administración est/ empleado en un área distinta a la principal de sus estudios de uni$ersidadJ Probabilidad !e ue O

O

o. de $eces ue el e$ento ocurrió en el pasado o. total de obser$aciones

3#3 &"1

PA,> O ."1 Con base en la e:periencia9 e:iste una probabilidad de ."1 de ue un )raduado en administración est/ empleado en un campo distinto al de su área principal de estudio. Probabilidad sub0eti$a? Posibilidad Aprobabilidad> de ue suceda un e$ento espec+fico9 asi)nado por una persona con base en cualuier información de ue se dispon)a. 

Calcular la probabilidad de ue la eneral *otors Corp. pierda su lu)ar nmero 1 en unidades totales $endidas frente a la Ford *otor Co.9 o a la C'rysler Corp. dentro de 2 a%os.



6alorar la posibilidad de ue el alumno : obten)a una calificación de 1 en este curso.



Estimar la probabilidad de ue el euipo de los patriotas de ue$a In)laterra 0ue)uen en el supertazón de ftbol americano el pró:imo a%o.

ay dos puntos de $ista con respecto a la probabilidadS el ob0eti$o y el sub0eti$o.
MATEMÁTICAS III


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suma de las probabilidades. Esta re)la se e:presa en la formula si)uiente?

R!(&% !)!0%& '! %'00

P+A # , * P+A, 9 P+,

E0emplo? ;na máuina automática <'aV llena bolsas de plástico con un a mezcla de fri0oles9 brócoli y otras le)umbres. Ba mayor+a de las bolsas contiene el peso correcto9 pero debido a li)eras $ariaciones en el tama%o de las $erduras9 un pauete puede tener un peso li)eramente menor o mayor. ;na $erificación de 4 pauetes llenados en el mes pasado indicó. Peso

E$ento

mero pauetes 1

de Probabilidad de ocurrencia. Con peso menor , .2" A1G4> O PA,> W PAC> O .2"W.&" O .1 Re1*a de com&*emento( !ia)ramas de 6enn El e:perto en ló)ica 5. 6enn A1#34 X 1###> desarrolló un dia)rama para representar )ráficamente el resultado de un e:perimento. El concepto de mutuamente excluyentes y otras re)las di$ersas para combinar probabilidades pueden $isualizarse empleando /ste dispositi$o. Para elaborar un dia)rama primero se delimita un espacio ue 'a de representar a todos los posibles resultados. al espacio tiene )eneralmente forma de rectán)ulo. ;n e$ento se representa por un área redonda ue se dibu0a proporcional a la probabilidad del e$ento. (epresentación del concepto mutuamente e:cluyente. o 'ay superposición de e$entos9 lo cual indica ue son de ese tipo.

E6EM ,

E6EM 7

E6EM C

MATEMÁTICAS III


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Ba probabilidad de ue una bolsa de $erduras mi:tas seleccionada sea de peso menor9 PA,> mas la probabilidad de ue no sea una bolsa con peso de menos9 ue se escribe PAY,> y se lee no ,D 9 debe ló)icamente ser i)ual a 1. Esto se e:presa como si)ue? PA,> W PAY,> O 1 Bo anterior puede ser e:presado tambi/n como?

R!(&% '! #&!!$# P+A, * 1 - P+@A) , esto se le denomina re)la del complemento. Ba re)la del complemento se utiliza para determinar la probabilidad de ue ocurra un e$ento restando del nmero 1 la probabilidad de ue no ocurra. ;n dia)rama de 6enn ue ilustre la re)la del complemento ser+a?

E!$# A

A

E0emplo? ay ue recordar ue la probabilidad de ue una bolsa con le)umbres mi:tas ten)a peso de menos es .2" y ue ten)a peso de mas9 .&". !ebe de utilizarse la re)la de complemento para demostrar ue la probabilidad de ue una bolsa satisfactoria $ale .. Plantear la solución empleando dia)rama de 6enn. O PA,> W PAC> O .2" W .&" O 1.. Ba bolsa es satisfactoria si no es de peso menor ni de peso mayor9 por tanto PA7> O 1= ZPA,>[ WZPAC>[ O 1 = A.2" W .&"> O . A* ..25

C * ..75

 +A # C, * ..

Re1*a 1enera* de adición( Los resultados de un experimento pueden no ser mutuamente excluyentes. Por ejemplo
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!isney Korld es .-9 ue se obtiene de 12G2. !e manera similar9 la probabilidad de ue uno de los $ia0eros 'aya ido a 7usc' ardens es .". Ba suma es de 1.1. se suma la probabilidad de ue el turista 'aya ido a !isney Kord y la probabilidad de ue 'aya estado en 7usc' ardens9 y A2> se resta de la probabilidad de $isitar ambos lu)ares. !e esta forma? PA!isney o 7usc'> O PA!isney> W P A7usc'> XPA!isney y 7usc'> O 12G2 W 1G2 = -G2 O .- W ." X .3 O .# Cuando dos e$entos se traslapan9 la probabilidad se le denomina probabilidad con0unta. Ba probabilidad de ue el turista $isite ambos lu)ares A.3> es un e0emplo de probabilidad con0unta. Probabilidad Conjunta: Es la probabilidad que mide la posibilidad de que dos eventos ocurran en forma simultánea. En resumen, la regla general de adición se utiliza para combinar eventos que nos son mutuamente excluyentes. Esta regla para dos eventos denotados como  y ! se escribe"

R!(&% (!!"%& '! %'00 P+A # , * P+A, 9 P+, ; +P < ,

En la e:presión PA, o 7>9 el t/rmino oD indica ue , puede ocurrir o ue 7 tambi/n puede suceder. Esto incluye asimismo la posibilidad de ue , y 7 puedan ocurrir. , /ste uso de la oD a $eces se le llama  inclusivoD puesto de otra forma9 se $erá con a)rado cuando tanto , y 7 sucedan9 o bien cuando cualuiera de los dos ocurran. E0emplo? Cuál es la probabilidad de ue una carta ele)ida al azar de una bara0a americana sea un rey o una de corazonesJ a la de una carta de corazones A'ay 13 en dic'a bara0a> y se e:presa ue 1& cartas de las "2 cumplen el reuisito 9 se 'a contado dos $eces al rey de corazones.
Probabilidad PA,> O 4G"2 PA7> O 13G"2

E:plicación ay cuatro reyes en la bara0a. ay 13 cartas de corazones en la bara0a.

MATEMÁTICAS III


(ey de corazones

PA, y 7> O 1G"2

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ay un rey de corazones en la bara0a.

;tilizando la formula? PA, o 7> O PA,> W PA7> XPA, y 7> O 4G"2 W 13G"2 X 1G"2 O 1-G"29 o bien .3&& ;n dia)rama de 6enn presenta estos resultados ue nos son mutuamente e:cluyentes. R!
C#"%=#!)

A/#)

(e)las de multiplicación Re1*a Es&ecia* de 3u*ti&*icación . Ba re)la especial de multiplicación reuiere ue dos e$entos , y 7 sean independientes. !os e$entos son independientes si la ocurrencia de uno no altera la probabilidad del otro. !e manera ue si los e$entos , y 7 son independientes9 la ocurrencia de , no altera la probabilidad 7. Independiente.
R!(&% !)!0%& '! u&$0&0%0 P+A < , * P+A, P+, Esta re)la para combinar probabilidades supone ue un se)undo resultado no depende del primero. Para ilustrar lo ue si)nifica independencia de resultados9 supon)a ue se lanzan al aire dos monedas. El resultado de una moneda Acara o cruz> no se $e afectado por el resultado de la otra moneda Acara o cruz>. Puesto de otra forma9 dos e$entos son independientes si el resultado de un se)undo e$ento no depende del resultado del primero. Para tres e$entos independientes ,9 7 y C9 la re)la especial de multiplicación utilizada para determinar la probabilidad de ue ocurran los tres e$entos es?

R!(&% !)!0%& '! u&$0&0%0 P+A <  < C, * P+A, P+, P+C, E0emplo? 9 escrita PA,>9 es de H9 o bi/n .". Ba probabilidad de ue la otra moneda cai)a i)ual9

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denotada por PA7> es tambi/n de H9 o .". Ba probabilidad de ue ocurran ambas cosas es de un ]9 o .2"9 lo cual se obtiene como si)ue? P, y 7> O PA,> PA7> O A1G2>A1G2> O 1&N o bi/n .2" 3G si el primer rollo seleccionado fuera bueno Alos tres con defectos si)uen estando en la ca0a ue conten+a los nue$e ori)inales>. , la fracción 2G A 3G> se le denomina probabilidad condicional porue su $alor tiene tal caracter+stica Adependiente de /stas> respecto de la primera selección de la ca0a? ue se 'aya sacado un rollo foto)ráfico defectuoso o uno normal. Probabilidad condicional:

Es la probabilidad de ue ocurra un e$ento en particular9 dado ue otro e$ento 'aya ocurrido. Re1*a Genera* de 3u*ti&*icación( Ba re)la )eneral de multiplicación se utiliza para determinar la probabilidad con0unta9 de ue ocurran dos e$entos9 como seleccionar dos rollos defectuosos de la ca0a con 19 uno despu/s del otro. En )eneral9 la re)la indica ue para dos e$entos , y 79 la probabilidad con0unta de ue ambos sucedan se e$ala al multiplicar la probabilidad de ue el e$ento , ocurra9 por la probabilidad condicional de ue suceda el e$ento 7. !e manera simbólica9 la probabilidad con0unta PA, y 7> se obtiene por medio de?

R!(&% (!!"%& '! u&$0&0%0 P+A < , * P+A, P+>A, !onde PA7G,> e:presa la posibilidad de ue ocurra 7 dado ue ya ocurrió ,. El trazo $ertical si)nifica  dado ueD. E0emplo. Considerar otra $ez el e0emplo anterior de los 1 rollos de pel+cula en una ca0a9 3 de los cuales están defectuosos.
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O 3G1 porue tres de los diez rollos son no aceptables. El se)undo rollo seleccionado9 resultante con defectos9 es el evento !. Por lo tanto 9 PA7G,> O 2G9 porue despu/s de descubrir ue la primera sección era un rollo con defectos9 solo uedaron dos rollos no buenosD en la ca0a ue conten+a nue$e rollos. O PA,> PA7 G ,> O A3G1> A2G> O -G o tambi/n .& apro:. Por cierto ue se considera ue este e:perimento se realizó sin reposiciónAo reemplazo>S es decir9 el rollo defectuoso de pel+cula no se de$ol$ió a la ca0a antes de selecciona el si)uiente rollo. ambi/n debe obser$arse ue la re)la )eneral de multiplicación puede ampliarse a más de dos e$entos? para tres e$entosS ,9 7 y C9 la fórmula ser+a?

R!(&% (!!"%& '! u&$0&0%0 P+A <  < C, * P+A, P+>A, P+C>A < ,

E0emplo? la probabilidad de ue los primeros tres rollos seleccionados de la ca0a sean todos defectuosos es .#339 ue resulta de calcular? PA, y 7 y C> O PA,> PA7G,>PACG, y 7> O A3G1> A2G> A1G#> O -G&2 o tambi/n . Teorema de
En el si)lo L6III el re$erendo 'omas 7ayes9 ministro presbiteriano in)l/s9 planteó la si)uiente cuestión #ealmente existe $ios J Estando interesado en las matemáticas9 intentó desarrollar una fórmula para lle)ar a e$aluar la probabilidad de ue !ios e:ista9 con base en la e$idencia de ue /l dispon+a au+ en la ierra. *ás adelante. Baplace afinó el traba0o de 7ayes y le dió el nombre de eorema de 7ayes.

T!#"!% '! %, *

P+A1, P+>A1, P+A1, P+>A1, 9 P+A2, P+>A2,

E0emplo? O .". Esta probabilidad PA, 1> O PAtiene la enfermedad> O ."9 se denomina probabilidad a priori .
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E:iste una t/cnica de dia)nostico para detectar la enfermedad9 pero no es muy e:acta .
PA7G,1> O .

Considere ue la probabilidad de ue una persona en realidad no ten)a el padecimiento9 pero ue la prueba indiue ue el mismo está presente9 es .1". PA7G,2> O .1" 9 ue se interpreta como? PAtiene la enfermedadGA los resultados de la prueba son positi$os>. Ba probabilidad de PA, 1G7> se denomina una probabilidad a posteriori. Probabilidad a Posteriori. Es una probabilidad revisada con base en información adicional.

Con la ayuda del teorema de 7ayes9 es posible determinar la probabilidad a posteriori o re$isada. P+A1>, *

P+A1, P+>A1, P+A1,P+>A1, 9 P+A2,P+>A2,

O

A."> A.> A."> A.> W A."> A.1"> O .4" .1#&" O .24

Por lo tanto9 la probabilidad de ue una persona ten)a la enfermedad9 dado ue la prueba resultó positi$a9 es .24. Como se interpreta /ste resultadoJ , *

P+A1, P+>A1, P+A1, P+>A1, 9P+A2, P+>A2, 9?9P+A, P+>A,

!onde ,1 se refiere a cualuiera de los n posibles resultados. I!+!+!" T/cnica Didctica( E:posición del profesor. I!+!+!) 3ateria* de A&o4o( Pizarrón9 'aciendo uso de marcadores en.

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diferentes colores. I!+!5 Acti%idades de A&rendi'a$e Acti%idad de a&rendi'a$e No! 5 TA8) : E$ercicios de a&*icación! I!+!5!" Instrucciones( (esuel$e de manera correctamente los si)uientes E0ercicios acerca de las re)las de probabilidad. %6 Va*or acti%idad( 1 Puntos >6 ,roducto es&erado( @ue los alumnos resuel$an de manera correcta los e0ercicios propuestos. -6 Fec7a inicio( 46 Fec7a entre1a( '6 Forma de entre1a( Por separado9 escrito a mano a6 Ti&o de acti%idad( Indi$idual

/, F!@% '! "!%&0!$%0: /l mismo d$a de entrea& I341 C"0$!"0# '! !%&u%0 '! &% %$00'%' TA-2

,cti$idad

,cti$idad

Ponderación

E0ercicios propuestos de re)las de probabilidad. (esuel$a de manera correcta los problemas.

(esol$er los e0ercicios  Puntos propuestos. ;tilizar el formato para la 1 Puntos entre)a de tareas. otal 1 puntos

Acti%idad de a&rendi'a$e No! : ,R8+ Reso*%er e$ercicios &rcticos I!+!5!" Instrucciones? (esol$er los si)uientes e0ercicios prácticos acerca de ra)las de probabilidad. c6 Va*or( " Puntos d6 ,roducto es&erado( @ue los e0ercicios sean resueltos de manera correcta. e6 Fec7a inicio( 26 Fec7a entre1a( 16 Forma de entre1a( escrito a mano 76 Ti&o de acti%idad( Indi%idua* i6 Fec7a de retroa*imentación( I341 C"0$!"0# '! !%&u%0 '! &% %$00'%' PR-3 Acti%idad Acti%idad Practica por escrita considerando re)las de probabilidad. ;so de re)las de presentación

,onderación

(esol$er en forma rápida 4 Puntos e0ercicios sobre re)las de probabilidad. ;tilizar el formato para la 1 Puntos elaboración de prácticas. otal " puntos Acti%idad de a&rendi'a$e No! ; TA8+ : E$ercicios de a&*icación!

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I!+!5!" Instrucciones( (esuel$e de manera correctamente los si)uientes e0ercicios considerando condiciones de dependencia e independencia estad+stica. $6 Va*or acti%idad( 1 Puntos =6 ,roducto es&erado( @ue los alumnos resuel$an de manera correcta los e0ercicios propuestos. *6 Fec7a inicio( m6 Fec7a entre1a( n6 Forma de entre1a( Por separado9 escrito a mano o6 Ti&o de acti%idad( Indi$idual &6 Fec7a de rea*imentación( El mismo d+a de entre)a. I!+!5!" Criterio de e%a*uación de *a acti%idad TA8+ ,cti$idad ,cti$idad E0ercicios propuestos de dependencia e independencia estad+stica (esuel$a de manera correcta los problemas.

(esol$er los propuestos.

Ponderación

e0ercicios  Puntos

;tilizar el formato para la 1 Puntos entre)a de tareas. otal 1 puntos Acti%idad de a&rendi'a$e No! ? ,R85 Reso*%er e$ercicios &rcticos I!+!5!" Instrucciones? (esol$er los si)uientes e0ercicios prácticos. .6 Va*or( " Puntos r6 ,roducto es&erado( @ue los e0ercicios sean resueltos de manera correcta. s6 Fec7a inicio( t6 Fec7a entre1a( u6 Forma de entre1a( escrito a mano %6 Ti&o de acti%idad( Indi%idua* >6 Fec7a de retroa*imentación(

I341 C"0$!"0# '! !%&u%0 '! &% %$00'%' PR-4 Acti%idad Acti%idad Practica por escrita con problemas de dependencia e independencia estadistica. ;so de re)las de presentación

,onderación

(esol$er en forma rápida 4 Puntos e0ercicios sobre permutaciones..

;tilizar el formato para la 1 Puntos elaboración de prácticas. otal " puntos Acti%idad de a&rendi'a$e No! @ TA85: E$ercicios de a&*icación! I!+!5!" Instrucciones( (esuel$e de manera correctamente los si)uientes e0ercicios aplicando el teorema de 7ayes.. a6 Va*or acti%idad( 1 Puntos #6 ,roducto es&erado( @ue los alumnos resuel$an de manera correcta los e0ercicios propuestos.

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c6 Fec7a inicio( d6 Fec7a entre1a( e6 Forma de entre1a( Por separado9 escrito a mano 266 Ti&o de acti%idad( Indi$idual 16 Fec7a de rea*imentación( El mismo d+a de entre)a. I!+!5!" Criterio de e%a*uación de *a acti%idad TA85 ,cti$idad ,cti$idad E0ercicios propuestos aplicando el teorema de 7ayes. (esuel$a de manera correcta los problemas.


Ponderación


;tilizar el formato para la 1 Puntos entre)a de tareas. otal 1 puntos

I!+!: Resu*tado de* A&rendi'a$e(
I!5! Tema? !istribuciones de probabilidad. I!5!" O#$eti%o de a&rendi'a$e? @ue el alumno encuentre las probabilidades de ocurrencia de los datos. I!5!) Recurso tiem&o de* tema( ". 'oras I!5!+ Desarro**o( (ecordando la definición de un experimento como cualuier proceso ue )enera resultados bien definidos. ,'ora deseamos concentrarnos en el proceso de asi)nar valores num&ricos a los resultados9 para lo ue introducimos el concepto de variable aleatoria. Para cualuier e:perimento en particular9 se puede definir una variable aleatoria de manera ue cada resultado e:perimental posible )enere e:actamente un $alor num/rico para dic'a $ariable. Por e0emplo9 si consideramos el e:perimento de la $enta de automó$iles durante un d+a en una a)encia en particular9 describir+amos los resultados e:perimentales en función del nmero de $e'+culos $endidos. En este caso9 si9 : O nmero de automó$iles $endidos9 : se conoce como una variable aleatoria. Este $alor num/rico particular9 ue toma la $ariable aleatoria9 dependerá del resultado del e:perimento. Esto es9 no sabremos cuál es el $alor espec+fico de la $ariable aleatoria en tanto no 'ayamos obser$ado el resultado e:perimental. Por e0emplo9 si en un d+a dado se $enden 3 automó$iles9 el $alor de la $ariable aleatoria será 3S si en otro d+a Auna repetición del e:perimento> se $enden 49 el $alor será 4. !efinimos una variable aleatoria como si)ue? 'na variable aleatoria es la descripción num&rica del resultado de un experimento. En la tabla 4.
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naturalmente se prestan a $alores num/ricos9 en otros no ocurre as+. Por e0emplo para el e:perimento de lanzar una moneda una $ez9 el resultado e:perimental puede ser cara o cruz9 nin)uno de los cuales tiene un $alor num/rico natural.
E0emplos de $ariables aleatorias. 6ariable aleatoria A:> mero total de $entas.

6alores posibles de la $ariable aleatoria 919293_.1

mero de radios defectuosos

919293_..&

Porcenta0e del proyecto terminado despu/s de - meses. mero de clientes ue entran en un d+a.

`:`1 919293__..

;na variable aleatoria puede clasificarse como discreta o continua, dependiendo de los $alores num/ricos ue pueda tomar. ,uella $ariable aleatoria ue solamente pueda tomar una secuencia de $alores9 finita o infinita9 Apor e0emplo9 19293_> es una variable aleatoria discreta. El nmero de unidades $endidas9 el nmero defectos obser$ados9 el nmero de clientes ue entran en un banco durante un d+a de operación9 y as+ sucesi$amente9 son e0emplos de $ariables aleatorias discretas. Bas dos primeras y la ltima de la tabla anterior son discretas. 6ariables aleatorias como peso9 tiempo y temperatura9 ue pueden tomar cualuier $alor dentro de un cierto inter$alo o colección de inter$alos9 son variables aleatorias continuas. . Varia#*es a*eatorias discretas( Podemos demostrar el uso de una $ariable discreta al pensar en la $enta de automó$iles en !iCarlo *otors9 en
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estos datos 'istóricos9 el propietario de !iCarlo *otors cree ue el m&todo de frecuencia relativa dará un medio razonable de 0uz)ar las probabilidades de la $ariable aleatoria x . Ba función de probabilidad, indicada como fA:>9 representa la probabilidad de ue la $ariable aleatoria : tome al)n $alor espec+fico. !ado ue en "4 de los 3 d+as de datos 'istóricos9 !iCarlo *otors no $endió nin)n automó$il9 dado ue nin)una $enta corresponde a :O9 asi)namos a fA> el $alor de "4G3 O.1#. !e manera similar9 fA1> indica la probabilidad de ue : toma el $alor de uno9 por lo ue le asi)namos a fA1>el $alor de 11&G3O.3. !espu/s de calcular las frecuencias relati$as de los otros $alores posibles de :9 podemos desarrollar una tabla de $alores de x y de f(x). Ba tabla 4.2 muestra una forma de representar la distribución de probabilidad de la $ariable aleatoria :.

T%/&% 41

Au$#0&!) !'0'#) #" '% ! D0C%"&# M#$#") V#&u! '! V!$%)

Nu!"# '! '%)

N0(u% !$% EB%$%!$! 1 %u$#0& EB%$%!$! 2 %u$#0&!) EB%$%!$! 3 %u$#0&!) EB%$%!$! 4 %u$#0&!) EB%$%!$! 5 %u$#0&!) T#$%& T%/&% 42

54 117 72 42 1 12 3 1..

D0)$"0/u0 '! "#/%/0&0'%' %"% !"# '! %u$#0&!) !'0'#) #" '%

B . 1 2 3 4 5 T#$%&

+B, .18 .3 .24 .14 ..4 ..1 1..

ambi/n se puede representar la distribución de probabilidad de : de manera )rafica. En la fi)ura 4.1 se muestran los $alores de la $ariable aleatoria : en un e0e 'orizontalS la probabilidad de ue : tome estos $alores aparece en el e0e $ertical. Para muc'as $ariables aleatorias discretas9 la distribución de probabilidad tambi/n se puede representar como una fórmula ue nos da fA:> para cualuier $alor posible de :. Ilustraremos /ste procedimiento en la si)uiente sección. En el desarrollo de la distribución de probabilidad discreta9 deberán satisfacerse siempre dos condiciones? fA:   fA:> O 1

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Ba primera condición es el reuisito ue las probabilidades asociadas con cada uno de los $alores de : debe ser mayor ue o i)ual a cero9 en tanto ue la se)unda condición dice ue la suma de las probabilidades de todos los $alores de la $ariable : debe ser i)ual a uno. Ba tabla 4.2 muestra ue las condiciones anteriores 'an sido satisfec'as9 por lo ue la distribución de probabilidad desarrollada por !iCarlo *otors es una distribución de probabilidades discretas $álida.

F0(u"% 41 D0)$"0/u0 '! "#/%/0&0'%' %"% !& !"# '! %u$#0&!) !'0'#) #" '% Probabilidad

.4 .3 .2 .1 .



1

2

3

4

"

umero de automó$iles $endidos por d+a.

!espu/s de establecer una $ariable aleatoria y su distribución de probabilidad9 podemos desarrollar una di$ersidad de información de probabilidad adicional9 dependiendo de las necesidades e intereses de uien toma las decisiones. Por e0emplo en el problema de !iCarlo *otors la distribución de probabilidad ue se muestra en la tabla 4.2 puede utilizarse para obtener la información si)uiente?

1. E:iste la probabilidad de .1# ue durante al)n d+a no se $enda nin)n automó$il. 2. El $olumen mas probable de $entas es uno9 con fG:> O .3 3. E:iste una probabilidad de ." ue e:ista un d+a de $entas e:traordinario9 con $entas de 4 o " automó$iles. ;tilizando la información de probabilidades como la ue acabamos de dar9 la administración de !icarlo puede comprender me0or las incertidumbres asociadas con la operación de $enta de automó$iles. @uizás esta mayor comprensión puede ser$ir de base a nue$as pol+ticas o decisiones ue incrementan la eficacia de la empresa. Va*or es&erado o es&eran'a matemtica( !espu/s de construir la distribución de probabilidad para una $ariable aleatoria9 a menudo deseamos calcular cual es el $alor medio o esperado de dic'a $ariable aleatoria. El $alor esperado o esperanza matemática de una $ariable aleatoria discreta es un promedio ponderado de los $alores posibles de la $ariable aleatoria9 para el cual la función de probabilidad proporciona las ponderaciones. Ba formula matemática para calcular el $alor esperado o esperanza matemática de una $ariable aleatoria discreta : es?

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E+B, * G *  B +B, Para calcular el $alor esperado o esperanza matemática de una $ariable aleatoria discreta debemos multiplicar cada uno de los $alores de la $ariable aleatoria por su probabilidad correspondiente y9 a continuación9 sumar los t/rminos resultantes. El calculo del $alor esperado o esperanza matemática de la $ariable aleatoria Anmero de $entas diarias> para !iCarlo *otors aparece en la tabla 4.3. Ba primera columna contiene los $alores de la $ariable aleatoria : 9 la se)unda sus propiedades asociadas fA:>. *ultiplicando cada uno de los $alores de : por su probabilidad fA:> nos da los $alores de :fA:> de la tercera columna si)uiendo la ecuación anterior sumamos esta columna  B+B, a fin de determinar el $alor esperado o esperanza matemática de 1." automó$iles $endidos por d+a. abla 4.3

Calculo del $alor esperado :  1 2 3 4 "

fA:> .1# .3 .24 .14 .4 .1

: fA:> A.1#> O  1A.3> O .3 2A.24> O .4# 3A.14> O .42 4A.4> O .1"A.4> O ." EA: O 1."

El $alor esperado de una $ariable aleatoria es el $alor medio9 es decir promedio. Esto es9 par e:perimentos ue puedan repetirse muc'as $eces9 el $alor esperado o esperanza matemática puede interpretarse como el $alor promedio a la lar)aD de la $ariable aleatoria. O automo$iles para el si)uiente periodo de 3 meses. Para el establecimiento de cuotas de $entas o para planear pedidos9 el $alor esperado o esperanza matemática puede dar una información para la toma de decisiones. Varian'a! El $alor esperado de una $ariable aleatoria nos da una idea del $alor promedio o central de una $ariable aleatoria9 pero a menudo deseamos al)una idea de la dispersión9 es decir de la $ariabilidad de los $alores posibles de la $ariable aleatoria. Por e0emplo9 si los $alores de la $ariable aleatoria solamente muestran una $ariación modesta9 esperamos un $alor relati$amente peue%o. Ba $arianza es una medida utilizada comnmente para

V%"+B, * H *  +B ; G,2+B,

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resumir la $ariabilidad de los $alores de una $ariable aleatoria. Ba e:presión matemática para la $arianza de una $ariable aleatoria discreta es?

Como muestra la ecuación la ecuación anterior9 una parte esencial de la formula de la $arianza es una des$iación9 := , que mide lo lejos que un %alor articular de la %ariable aleatoria est" del %alor eserado o medio, & Al calcular la %ariana de una %ariable aleatoria discreta, ele%amos al cuadrado las des%iaciones # a continuación las onderamos al multilicarlas or la robabilidad corresondiente& a suma de esas des%iaciones cuadr"ticas onderadas, ara todos los %alores de la %ariable aleatoria es la %ariana& /n otras alabras, la %ariana es el romedio onderado de las des%iaciones cuadr"ticas de la media& /l c"lculo de %ariana ara el n.mero de %entas diarias en el roblema de 9iarlo Botors se resume en la tabla && ?bser%emos que la %ariana ara el n.mero de automó%iles %endidos es 4o# en d$a de +&5& *na medida de %ariabilidad relacionada es la des%iación est"ndar C, que se define como la ra$ cuadrada ositi%a de la %ariana& /n el caso de 9i arlo motors, la des%iación est"ndar del n.mero de automó%iles %endidos or d$a es  B "!): B "!""@ Para una mas fácil interpretación9 desde el punto de $ista administrati$o9 pudiera referirse la des$iación estándar en $ez de la $arianza9 porue se mide en las mismas unidades ue la $ariable aleatoria AO1.11# automó$iles $endidos por d+a>. Ba $arianza A 2> se mide en unidades cuadráticas9 por lo ue su interpretación resulta más dif+cil para el administrador. En este momento nuestra interpretación de la $arianza y de la des$iación estándar se limita a comparaciones de $ariabilidad de distintas $ariables aleatorias. Por e0emplo9 si los datos diarios de $entas de una se)unda a)encia !icarlo en ,lbany 9 ue$a 8or 9diera 2O 2."- y  2O 1.-9 podemos concluir ue el nmero de automó$iles $endidos diariamente en esa a)encia e:'ibe mayor $ariabilidad ue la primera a)encia !iCarlo9  2O1.2" y  2O 1.11#.

abla 4.4 :  1 2 3 4 "

Cálculo de la $arianza := =1." O =1." 1=1." O =." 2=1." O ." 3=1." O 1." 4=1." O 2." "=1." O 3."

A:=>2 2.2" .2" .2" 2.2" -.2" 12.2"

fA:> .1# .3 .24 .14 .4 .1

A:=>2fA:> 2.2"A.1#> O .4" .2"A.3> O .&" .2"A.24> O .- 2.2"A.14> O .31" -.2"A=4> O .2" 12.2"A.1> O .122" 2 O 1.2"

La distri#ución #inomia* En esta sección $eremos un tipo de e:perimentos ue cumplen con las condiciones si)uientes? 1. Ba totalidad del e:perimento se puede escribir en función de una secuencia de e:perimentos n id/nticos conocidos como ensayos. 2. En cada ensayo son posibles dos resultados. os referimos a uno de ellos como un acierto y al otro como un fracaso.

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- 3. -

3. Bas probabilidades de los resultados no se modifican de un ensayo al si)uiente. 4. Bos ensayos son independientes Aes decir9 el resultado de un ensayo no afecta el resultado de cualuiera de los demás>. Bos e:perimentos ue satisfacen las condiciones 29 3 y 4 se dice ue están )enerados por un proceso de 7ernoulli. ,demás9 si se satisface la condición 1Aue e:istan n ensayos id/nticos> nos encontramos ante un e:perimento 7inomial. ;na $ariable aleatoria discreta importante asociada con el e:perimento binomial es el nmero de aciertos en los n ensayos.
+B, *  B +1 - , - B B+ - B, !onde

B * .1?

n O numero de intentos. p O probabilidad de aciertos en un intento. : O numerote aciertos en n intentos. fA:>Oprobabilidad de x aciertos en n intentos.

El t/rmino n* en la e:presión arriba citada se conoce como el factorial de n y se define como? n O nAn = 1> An = 2> _A2>A1> Por e0emplo 4 O A4>A3>A2>A1> O24. ambi/n por definición9 el caso especial de factorial de cero es +* %  E0emplo? Consideremos el e:perimento de clientes ue entran a la tienda de ropa aste. Para mantener relati$amente peue%o el problema9 restrin)iremos el e:perimento a los si)uientes tres clientes. o no Afracaso>. 3. Ba probabilidad de aduisición A.3> o de no aduisición A.&>se supone lamisca para todos los clientes . 4. Ba decisión de compra de cada cliente es independiente de la decisión de compra de los otros clientes.

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Por lo ue9 si definimos la $ariable aleatoria : como el nmero de clientes ue efectan una aduisición Aes decir9 el nmero de aciertos para los 3 intentos> satisfacemos los reuisitos de la distribución de probabilidad binomial. Con nO3 intentos y la probabilidad de una compra pO3 para cada uno de los clientes9 utilizando la ecuación anterior9 para calcular la probabilidad de ue 2 clientes efecten una compra. Esta probabilidad9 ue se identifica como fA2>9 es

FA2> O 3 A.3> 2A.&>1 21 O 3 : 2 :1 A.3> 2A.&> 1 2:1:1 O .1#

9 es? fAo> O 3 A.3> A.&> 3 3 O 3:2:1 A.3> A.&> 3 1:3:2:1 O .343 O .441 y fA3> O .2&. Ba tabla 4." *uestra resume la distribución de probabilidad binomial correspondiente al problema de la tienda de ropa aste. abla 4."

!istribución de probabilidad para los clientes ue efectan una compra

:  1 2 3 otal

fA:> .343 .441 .1# .2& 1.

Va*or es&erado o es&eran'a matemtica 4 %arian'a &ara *a distri#ución #inomia* . !e la tabla 4." podemos utilizar la ecuación para el $alor esperado o esperanza matemática de clientes ue efectan una compra o el nmero esperado de clientes ue efectan una compra?  O : fA:> O A.343>W 1A.441> W2A.1#>W3A.2&> .. Mbser$e ue pudi/ramos 'aber obtenido este mismo $alor esperado o esperanza matemática simplemente multiplicando n Ael nmero de intentos>por p Ala probabilidad de aciertos en cualuiera de los intentos>. np O 3A.3> O . Para el caso especial de una distribución de probabilidad binomial9 el $alor esperado o esperanza matemática de la $ariable amatoria está dada por?  O np

MATEMÁTICAS III


- 32 -

Por lo ue9 si usted sabe ue la distribución de probabilidad es binomial9 no es necesario ue efectelos cálculos detallados reueridos por la ecuación para calcular el $alor esperado o esperanza matemática. E$em&*o? A.3> O 3. , fin de incrementar el nmero esperado de $entas9 aste debe inducir a ue entrenen más clientes en la tienda9 o de al)una manera incrementar la probabilidad de ue al)n cliente en particular efecte una compra una $ez ue 'aya entrado. Para el caso especial de una distribución binomial la $arianza de la $ariable aleatoria es? 2 O np A1=p> Para el problema de la tienda de ropa aste con 3 clientes9 la $arianza y la des$iación estándar para el nmero de clientes ue efectan compras son? 2 O npA1=p>O3A.3>A.&>O.-3  O .-3 O .& Distri#ución de ,oisson( Ba distribución de Poisson se llama as+ en 'onor a B g: e=g :

para : O 9192_.

!onde g O numero promedio de ocurrencias en un inter$alo. e O 2.&1#2#

MATEMÁTICAS III


- 33 -

: O nmero de ocurrencias dentro de un inter$alo. fA:> O probabilidad de : ocurrencias en el inter$alo. E0emplo. O g: e=g O 1 : e=1 : :

Para : O 91929_

O 1"e=1 O .3&# " !istribución ormal. Ba distribución probabil+stica normal y su respecti$a cur$a normal tienen las si)uientes caracter+sticas? 1. Ba cur$a normal es acampanada y presenta un solo pico en el centro de la distribución. Ba media Aaritm/tica>9 la mediana y la moda de la distribución son i)uales y están localizadas en el pico. !e esta forma9 la mitad del área ba0o la cur$a. !e esta forma9 la mitad del área ba0o la cur$a se encuentra por arriba de ese punto central9 y la otra mitad por aba0o. 2. Ba distribución probabil+stica normal es sim/trica con respecto a su media.
Fi)ura 4.2. Caracter+sticas de la distribución normal.

L% u"% #"%& !) )0J$"0% 0$%'!) 0'J$0%)

#&%

'#)

#&% L% !'0%  L% !'0%% < &% #'% S# 0(u%&!)

MATEMÁTICAS III


- 34 -

o e:iste solo una distribución probabil+stica normal9 sino ue 'ay una familiaDde ellas. E:iste una distribución de probabilidad normal para los tiempos de ser$icio de los empleados de la planta de Camden9 para la ue la media es 2 Aa%os> y la des$iación estándar $ale 3.1Aa%os>. E:iste otra distribución probabil+stica normal para los citados tiempos de la planta de !urir9 para la cual O2 y O3. en la fi)ura 4.3 se ilustran tres distribuciones normales para las ue las medias son i)uales9 pero las des$iaciones estándares son diferentes.

Fi)ura 4.3. !istribuciones H*31 %K#) &%$% C%'!

Probabil+sticas normales con *edias i)uales9 pero diferentes

H*3 %K#) &%$% '! Du"0

!es$iaciones estándares.

G 2. %K#) Du"%0 '! )!"00#

H* 5. %K#) &%$% '! E&0"%

En la fi)ura 4.4. *uestra la distribución de los pesos de empaues de tres cereales. Bos pesos están distribuidos en forma normal9 con medias diferentes9 pero con des$iaciones estándares id/nticas.

Su(%" Yu0!)

H*16 ("%#)

A&@%/!$  !)

H*16 ("%#)

!0(@$ H*16 ("%#) D"#!")

  distribuciones normales ue  En la si)uiente fi)ura 4." muestra tres tienen distintas )@+ +" +)" medias y1ramos des$iaciones estándares. *uestra la distribución de resistencias a la tensión 1ramos 1ramos 2 medidas en libras por pul)ada cuadrada AlbGpul) > Zpsi[ para tres tipos de cables.

MATEMÁTICAS III


- 35 -

Distri#ución &ro#a#i*9stica norma*! H * 26 H * 41 )0 H * 52 )0

G

G

G

2 ... P)0

2 .48 P)0

2 186 P)0

o des$iación estándar A>9 con $alores diferentes. Por lo tanto9 el nmero de distribuciones normales es ilimitado. (esultar+a f+sicamente imposible proporcionar una tabla de probabilidades Acomo la binomial y la de Poisson> para cada combinación de  y . Por fortuna9 puede utilizarse un elemento de la familia de distribuciones normales para todos los problemas donde tal distribución resulta aplicable. iene una media i)ual a  y una des$iación estándar i)ual a 19 y se denomina distribución normal estándar. Cualuier distribución normal puede con$ertirse en una distribución normal estándarD restando la media a cada obser$ación9 di$idiendo lue)o entre la des$iación estándar. Primero se con$ierte o se estandariza9 la distribución a una distribución normal estándar utilizando e $alor z9Atambi/n denominado9 a $eces9 des$+o normal estandarizado9 o simplemente des$+o normal>.

6alor z !iferencia Ades$iación> entre un $alor seleccionado9 denotado por :9 y la media 9 di$idida tal diferencia entre la des$iación estándar9 . Por tanto9 el $alor z es la distancia a partir de la media9 medida en unidades de la des$iación estándar. E:presado lo anterior con una formula ueda?

V%&#" #"%& !)$'%"  *

Q-  

!onde? L es el $alor de cualuier medida u obser$ación espec+fica.  es la media de la distribución.  es la des$iación estándar de la distribución. Como se obser$a por la definición anterior9 el $alor z mide la distancia entre el $alor espec+fico L y la media Aaritm/tica>9 en unidades de la des$iación estándar. Conociendo el

MATEMÁTICAS III


- 36 -

$alor z determinado por la formula anterior9 se puede obtener el área o la probabilidad ba0o la cur$a normal. (ecurriendo a la tabla del ap/ndice ,.
.471 .

11

=

E$em&*o! Ba media de un )rupo de in)resos semanales con distribución normal para un )ran con0unto de )erentes de ni$el medio9 es N 1Adólares>9 y la des$iación estándar es de N1.cuál es el $alor z para un in)reso L de N1 1J8 para uno de NJ So*ución! ;tilizando la fórmula anterior9 los $alores z para los dos $alores de L AN1 1 y > se calculan como si)ue? Para L ON1 1 Para L O N h O L=  O N1 1 X N1  N 1

O 1.

h O L=  O N = N1  N1

O =1.

El $alor z de 1. indica ue un in)reso semanal de N1 1 para un )erente de ni$el medio está una des$iación estándar por encima de la mediaS una z de =1. indica ue un in)reso de N está una des$iación estándar por deba0o de la media. Mbs/r$ese ue ambos in)resos AN1 1 y N> están a la misma distancia AN1> respecto de la media. reas #a$o *a cur%a norma*! ,ntes de e:aminar di$ersas aplicaciones de la distribución de probabilidad normal estándar9 se consideran tres áreas ba0o la cur$a ue 'an de ser utilizadas ampliamente en los si)uientes temas? 1. ,pro:imadamente -#^ del área ba0o la cur$a normal está dentro de mas una y menos una des$iaciones estándares respecto de la media. Esto se e:presa como 1. 2. ,pro:imadamente "^ del área ba0o la cur$a normal está dentro de más dos y menos dos des$iaciones estándares respecto de la media9 lo ue se e:presa por 2. 3. Prácticamente toda el área A.&^> ba0o la cur$a normal está dentro de tres des$iaciones estándares respecto de la media Aa uno y otro lados del centro> lo cuál se indica por 3.

MATEMÁTICAS III


- 37 -

*ostrando esto en un dia)rama y utilizando porcenta0es más precisos ueda?

=3 =2 =1



W1 W2 W3 Escala de L

El transformar las mediciones a $alores zAo des$+os normales estándares> cambia la -#.2-^ escala. Bas con$ersiones se muestran en el si)uiente dia)rama. Por e0emplo9 W1 se ".44^ con$ierte a un $alor z de W1.. !e manera seme0ante9 =2 se transforma en un $alor z de =2.. Mbser$ase ue el centro de.&4^ la distribución z es cero9 lo cuál indica ue no e:iste des$iación respecto de la media9 .

=3 =2 =1  W1 W2 W3 Escala de L se con$ierte en =3

=2

=1



1

2

3 Escala de z

Estos conceptos pueden e:presarse de manera al)o distinta? el área ba0o la cur$a normal dentro de más y menos una des$iación estándar respecto de la media9 es .-#2-. El área dentro de más y menos dos des$iaciones estándares dentro de la media es ."44. El área dentro de tres des$iaciones estándares respecto de la media $ale .&4. 8 el área total ba0o la cur$a normal es 1.. E0emplo. ;na prueba de $ida til para un )ran nmero de pilas alcalinas tipo !9 re$eló ue la duración media para un uso espec+fico antes de la falla9 es de 1. 'oras A'>. Ba distribución de las duraciones se apro:ima a una distribución normal. Ba des$iación estándar de la distribución fue 1.2 '. 1. Encuentre ue par de $alores falló apro:imadamente -#^ de las pilasJ 2. Entre cuáles dos $alores ocurrió la falla de alrededor de "^ de las pilasJ 3. Entre ue par de $alores fallaron prácticamente todas las pilasJ 2. ,lrededor de "^ lo 'izo entre 1-.- ' y 21.4 '9 calculado por 1.2A1.2>. 3. Prácticamente todas las pilas fallaron entre 1".4 ' y 22.- '9 lo ue resulta de 1.3A1.2>.

G-3H G-2H 154 166

G-1H G G91H 178 1. 2.2

G92H 214

G93 226

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- 38 -

Ba primera aplicación de la distribución normal estándar se relaciona con la determinación del área ba0o la cur$a normal9 entre la media y un $alor seleccionado9 ue se denota por L. ;tilizando el mismo problema ue en el e0emplo anterior del in)reso semanal ZON1 Adólares>9 ON1[9 Cuál es el área ba0o la cur$a normal entre N1  y N1 1J 8a 'emos con$ertido N1 1 a un $alor z de 1. aplicando la formula9 como reiteración? L X N1 1= N1  hO O O 1.  N1 Ba probabilidad asociada a un $alor z de 1. ya se calculó y se muestra en la si)uiente tabla? z .& .# . 1. 1.1

. .2"# .2##1 .31" .3413 .3-43

.1 .2-11 .21 .31#.343# .3--"

.2 .2-42 .23 .3212 .34-1 .3-#-

(epresentado en un dia)rama?

.3413

. 1. E)%&% '! = 1 ... 1 1.. E)%&% '! '&%"!)

MATEMÁTICAS III


- 3 -

El área ba0o la cur$a normal entre N1 Adólares> y N1 1 es .3413. ambi/n puede decirse ue 34.13^ de los in)resos semanales están entre N1 y N1 19 y la probabilidad de ue en un in)reso espec+fico se 'alle entre N1  y N 1 19 tiene por $alor .3413. E0emplo. (efi/rase al problema anterior Z ON1 Adólares>9 ON1[. 1. Cuál es la probabilidad de ue un in)reso semanal espec+fico seleccionado al azar entre N& y N1 J 2. Cuál es la probabilidad de ue el in)reso sea menor de N&J
.5... ..17

.5...

.4821

-21.

.

E)%&% =

;na se)unda aplicación de la distribución normal estándar se relaciona con combinar dos áreas9 una a la derec'a y otra a la izuierda de la media. E0emplo. 6ol$iendo a la distribución de in)resos semanales ZON1Adólares>9 ON1[9 Cuánto $ale el área ba0o la cur$a normal entre N#4 y N1 2 dólaresJ
MATEMÁTICAS III


- 4. -

h O N#4=N1  O =N1-O =1.- N1 N1 Para el área entre la media de N1  y N1 2? h O N1 2=N1  O N2O 2. N1 N1 El área ba0o la cur$a para un $alor z de =1.- es.44"2. El área ba0o la cur$a para un z de 2.9 es .4&&2.
.4452

.4772

84. 1 ... 1 2.. I("!)#) )!%%&!) +! '&%"!),

E)%&% '! 0("!)#)

;na aplicación adicional de la distribución normal estándar consiste en determinar el área por encima9 o por deba0o9 de un $alor espec+fico. E0emplo? Considerando de nue$o el e0emplo de los in)resos semanales AON1 9ON1>9 @u/ porcenta0e de los e0ecuti$os tienen in)resos por semana de N1 24" o másJ
.-5...

.42 G 1 ... .

...71

B 1 245 E)%&% '! '&%"!) 9 245 E)%&% =

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- 41 -

,un otra aplicación de la distribución normal estándar implica determinar el área entre $alores sobre el mismo lado de la media. E0emplo 6ol$iendo al e0emplo de los in)resos semanales AON 19ON1>9 Cuánto $ale el área ba0o la cur$a normal entre N1 1" y N1 2"J 9 de lo ue corresponde a un z de 2."Ao sea .43#>. Por tanto9 la probabilidad de un in)reso semanario entre N1 1" y N1 2"9 es .--. En un dia)rama?

..6.6

1 ... 1 15. 1 25. E)%&% '! 0("!)#) . 15. 25. E)%&% '! =

I!5!5 Acti%idad de a&rendi'a$e No!  TA8:: E$ercicios de a&*icación! "!5!5!" Instrucciones( (esuel$e de manera correctamente los si)uientes e0ercicios acerca de $alor esperado9 $arianza9 distribución de binomial y distribución de Poisson. a6 Va*or acti%idad( " Puntos #6 ,roducto es&erado( @ue los alumnos resuel$an de manera correcta los e0ercicios propuestos. c6 Fec7a inicio( d6 Fec7a entre1a( e6 Forma de entre1a( Por separado9 escrito a mano

MATEMÁTICAS III


266 Ti&o de acti%idad( Indi$idual 16 Fec7a de rea*imentación( El mismo d+a de entre)a. I!5!5!" Criterio de e%a*uación de *a acti%idad TA8: ,cti$idad ,cti$idad (esol$er e0ercicios acerca de $alor esperado9 $arianza distribución binomial9 distribución de Poisson9 (esuel$a de manera correcta los problemas.


Ponderación



Acti%idad de a&rendi'a$e No! " ,R8: Reso*%er e$ercicios &rcticos I!5!5!" Instrucciones? (esol$er un e0ercicio ue incluya uno de los temas. 76 Va*or( " Puntos i6 ,roducto es&erado( @ue los e0ercicios sean resueltos de manera correcta. $6 Fec7a inicio( =6 Fec7a entre1a( *6 Forma de entre1a( escrito a mano m6 Ti&o de acti%idad( Indi%idua* n6 Fec7a de retroa*imentación( I441 Criterio de e%a*uación de *a acti%idad ,R8: Acti%idad Acti%idad Practica por escrita con problemas de $alor esperado9 $arianza9 distribución binomial y distribución de Poisson. ;so de re)las de presentación

,onderación

(esol$er en forma rápida 4 Puntos e0ercicios de distribuciones discretas. ;tilizar el formato para la 1 Puntos elaboración de prácticas. otal " puntos

Acti%idad de a&rendi'a$e No! "" TA8;: E$ercicios de a&*icación! "!5!5!" Instrucciones( (esuel$e de manera correctamente los si)uientes e0ercicios acerca de distribuciones continuas. o6 Va*or acti%idad( " Puntos &6 ,roducto es&erado( @ue los alumnos resuel$an de manera correcta los e0ercicios propuestos. .6 Fec7a inicio( r6 Fec7a entre1a( s6 Forma de entre1a( Por separado9 escrito a mano

- 42 -

MATEMÁTICAS III


- 43 -

t66 Ti&o de acti%idad( Indi$idual u6 Fec7a de rea*imentación( El mismo d+a de entre)a. I!5!5!" Criterio de e%a*uación de *a acti%idad TA8; ,cti$idad ,cti$idad (esol$er e0ercicios acerca de distribuciones continuas9 (esuel$a de manera correcta los problemas.

Ponderación

(esol$er los e0ercicios  Puntos propuestos. ;tilizar el formato para la 1 Puntos entre)a de tareas. otal 1 puntos

Acti%idad de a&rendi'a$e No! ") ,R8; Reso*%er e$ercicios &rcticos I!5!5!" Instrucciones? (esol$er un e0ercicio ue incluya distribuciones continuas. 76 Va*or( " Puntos i6 ,roducto es&erado( @ue los e0ercicios sean resueltos de manera correcta. $6 Fec7a inicio( =6 Fec7a entre1a( *6 Forma de entre1a( escrito a mano m6 Ti&o de acti%idad( Indi%idua* n6 Fec7a de retroa*imentación( I441 Criterio de e%a*uación de *a acti%idad ,R8; Acti%idad Acti%idad Practica por escrita con problemas de distribuciones continuas. ;so de re)las de presentación

,onderación

(esol$er en forma rápida 4 Puntos e0ercicios de distribuciones continuas. ;tilizar el formato para la 1 Puntos elaboración de prácticas. otal " puntos

I!5!: Resu*tado de* A&rendi'a$e(
Unidad Temtica? 2! Estimación )!"Tema? Estimación puntual

MATEMÁTICAS III


- 44 -

)!"!" O#$eti%o de a&rendi'a$e( @ue el alumno aduiera los conocimientos acerca de estimaciones puntuales en medias y en proporciones9 ,s+ como su correcta aplicación en problemas reales de empresa )!"!) Recurso tiem&o de* tema( 4. 'oras )!"!+ Desarro**o( Estimación &untua*. El $alor9 calculado a partir de la información de muestreo9 ue se emplea para estimar el parámetro de población. Ba media muestral9

9 es una estimación puntual de la media poblacional9 µ 9.

P es una estimación puntual de p y as+ mismo la des$iación estándar de la mue stra - es

una estimación puntual de la des$iación estándar de la población

σ &

. En realidad 'ay tres ni$eles de confianza relacionados comnmente con los inter$alos de confianzaS ^9 "^ y ^. o 'ay nada má)ico sobre /stos tres.
MATEMÁTICAS III


- 45 -

Bas estimaciones por inter$alo )ozan de ciertas $enta0as sobre las estimaciones puntuales. !ebido al error de muestreo9 probablemente

no será i)ual a .
no 'ay manera de saber ue tan )rande es el error de muestreo. E* 2undamento de un inter%a*o de con2ian'a! Inter$alo de confianza tiene un *9mite in2erior de con2ian'a ABIC> y un *9mite su&erior de con2ian'a LSC6! Estos limites se 'ayan calculando primero la media muestral9 se suma una cierta cantidad

. Bue)o

para obtener el B
para obtener el BIC. Cómo se puede construir un inter$alo y lue)o ar)umentar ue se puede tener un "^ de confianza en ue contiene a 9 si incluso no se sabe cuál es la media poblacionalJ 6ale la pena recordar de la discusión anterior sobre la (e)la Emp+rica ue el "."^ de todas las medias muestrales caen dentro de dos errores estándar de la media poblacional. Entonces la media poblacional está má:imo a dos errores de "."^ de todas las medias muestrales. Por tanto9 al comenzar con cualquier media muestral9 si se pasa de dos errores estándar por encima de dic'a media y dos por deba0o de ella9 se puede tener un "."^ de confianza en ue el inter$alo resultante conten)a la media poblacional desconocida.

55 2LIC1

-2 -

BJ Q1 K) -

LSC1

Ba información desarrollada acerca de la forma de una distribución de muestreo de medias muestrales9 lo cual si)nifica una distribución de muestreo de

9

permite localizar

un inter$alo ue conten)a una probabilidad espec+fica de incluir a la media de la población9 . Para muestras razonablemente mayores9 se puede utilizar el teorema del l+mite central y afirmar lo si)uiente. 1.;n "^ de las medias muestrales seleccionadas de una población estará dentro de 1.des$iaciones estándares respecto de la media poblacional9.

MATEMÁTICAS III


- 46 -

Ba des$iación estándar mencionada au+ es la des$iación estándar de la distribución de muestreo de medias mu/strales. Bos inter$alos calculados de /sta manera se denominan el intervalo de confianza de /0Cómo se obtiene el $alor de 1.-J El "^ se refiere al porcenta0e de tiempo

del inter$alo construido similarmente ue incluye el parámetro ue se estima. Por e0emplo9 el "^ se refiere al "^ central de las obser$aciones. Por tanto9 el "^ restante se di$ide por i)ual entre los dos e:tremos. 6/ase el dia)rama si)uiente?

.5...

.5...

.475.

.475.

.25

..25

-16

16 E)%&% '! =

El teorema de l+mite central afirma ue la distribución de muestreo de las medias muestrales se apro:ima a la normal. Por lo tanto9 puede utilizarse la tabla del ap/ndice ,9 para determinar los $alores de z adecuados. Bocalice .4&" en el cuerpo de la tabla9 y despu/s l/ase los $alores correspondientes de columna e 'ilera. ,s+ resulta 1.-. !e modo ue la probabilidad de encontrar un $alor z entre  y 1.- es o.4&". !el mismo modo9 la probabilidad de ue est/ en el inter$alo =1.- y 9 es tambi/n .4&". Cuando se combinan ambas9 la probabilidad de encontrarse en el inter$alo de =1.- a 1.- resulta ser .". Error Estándar de la *edia *uestral A :>. !es$iación estándar de la distribución de muestreo de las medias muestrales. El error estándar es una medida de la $ariabilidad de la distribución de muestreo de la media muestral.
0&5000

MATEMÁTICAS III


Error estndar de *a media cuando se conoce *a des%iación estndar de *a &o#*ación!

- B

- 47 -





n

!onde?

: es el error estándar de la media9 tambi/n denominado des$iación estándar de la distribución de muestreo de la media.  es la des$iación estándar de la población. n es el tama%o de la muestra. En la mayor+a de los casos9 se desconoce la des$iación estándar de la población. Por lo tanto9 se reemplaza con la des$iación estándar de la muestra. Esto es9 se cambia  por s. !espu/s se escribe la formula de la manera si)uiente? E""#" !)$'%" '! &% !'0% # /%)! ! &% '!)0%0 !)$'%" '! &% #/&%0

SB *

)  

!os $alores afectan el tama%o del error estándar. El primero es la des$iación estándar.
MATEMÁTICAS III


I$!"%&# '! #0%=% Q  258 ) D!  %"% u% !'0%  Mtros ni$eles de confianza pueden

- 48 -

ser empleados. Para estos casos el $alor z cambia

correspondientemente. En )eneral9 un inter$alo de confianza para la media se calcula por? I$!"%&# '! #0%=% P%"% u% !'0%

Q=

)  

!onde z es el ni$el de confianza. E0emplo? En un e:perimento se trata de seleccionar una muestra aleatoria de 2"- )erentes de ni$el medio. ;n elemento de inter/s es el in)reso anual. Ba media muestral $ale N4" 42 Adólares> y la des$iación estándar en la muestra9 es N2 ". Cuál es el inter$alo de confianza de "^ para la media de la población Aredondeando a los N1 más cercano>J -olución.

El inter$alo de confianza está entre N4" 1& y N4" -&9 ue se obtiene mediante? L 1.- s O N4" 421.- N2 " n

 2"O N4" 422"1.12" O N4" 1-#.#&" y N4" -&1.12"

Estos puntos e:tremos se redondean frecuentemente y9 en este caso9 se re)istrar+an

como D5 +70 # D5 670& FACTOR DE CORRECCION ,ARA UNA ,O
Error estándar de las medias mu/strales utilizando un factor de corrección?

MATEMÁTICAS III

σ x =


σ

N − n

N

N −+

- 4 -

Este a0uste se denomina factor de corrección para población finita Por u/ es necesario aplicar un factor y cuál es su efectoJ Bó)icamente si la muestra es un porcenta0e considerable de la población9 entonces se esperar+a ue cualesuiera estimaciones fueran mas precisas ue las correspondientes a muestras peue%as. Mbser$ase el efecto del t/rmino A=n 6  A=1>. GA1=1>9 o sea9 G9 con la ra+z cuadrada se obtiene el factor de corrección .42. *ultiplicando por el error estándar9 se reduce el error apro:imadamente un "Â1=.42 ≅ .">. Esta reducción en el tama%o del error estándar resulta en un inter$alo de menor de $alores en la estimación de la media poblacional.
Fracción de la población .1 .2" ." .1 .2 ."

Factor de corrección ."" .#& .&"2 .42 .#4 .&&"

E0emplo? ay 2" familias en el peue%o poblado de con una des$iación estándar de N&". Establezca un inter$alo de confianza del "^ par la contribución media anual. !atos LO N4"

 ,50 − 80  80  ,50 − +

75 h"Ô 1.-

4" ± 1.-

  

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- 5. -

E0emplo?
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Como se estima el inter$alo de confianza para una proporción de poblaciónJ

I$!"%&# '! #0%=% u$0&0=%'# U% "##"0 '! &% #/&%0

!onde H p

  =H p

es el error estándar de la proporción.

E""#" !)$'%" '! &% H p = "##"0 u!)$"%&

p ( +-p )



Por tanto9 el inter$alo de confianza se establece mediante?

I$!"%&# '! #0%=% %"% u% "##"0 u!)$"%&

=

 - +1 - , 

!onde? P O es la proporción muestral. h O es el $alor de z del )rado de confianza seleccionado. n O es el tama%o de la muestra. E0emplo n

O .#1.-

.#A1=.#> 2 

O .#1.-.#

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O . y .#1# Bos l+mites de confianza &#.2 y #1.#^S supón)ase ue por lo menos &"^ de los miembros del sindicato deben aprobar la fusión. Con base en los resultados de la muestra9 cuando $otan todos los traba0adores sindicalizados9 la propuesta probablemente será aceptada debido a ue .&" está por deba0o del inter$alo . y .#1# )!)!5Acti%idad de a&rendi'a$e No! " TA8": E$ercicios de a&*icación! )!)!5!" Instrucciones( (esuel$e de manera correctamente los si)uientes e0ercicios acerca de inter$alos de confianza para un media muestral. a6 Va*or acti%idad( " Puntos #6 ,roducto es&erado( @ue los alumnos resuel$an de manera correcta los e0ercicios propuestos. c6 Fec7a inicio( d6 Fec7a entre1a( e6 Forma de entre1a( Por separado9 escrito a mano 266 Ti&o de acti%idad( Indi$idual 16 Fec7a de rea*imentación( El mismo d+a de entre)a. )!)!5!" Criterio de e%a*uación de *a acti%idad TA8" ,cti$idad ,cti$idad (esol$er e0ercicios acerca de inter$alos de confianza para medias muestrales. (esuel$a de manera correcta los problemas.


Ponderación



Acti%idad de a&rendi'a$e No! ) ,R8 " Reso*%er e$ercicios &rcticos )!)!5!) Instrucciones? (esol$er un e0ercicio acerca de una media muestral.

76 Va*or( " Puntos

i6 ,roducto es&erado( @ue los e0ercicios sean resueltos de manera correcta. $6 Fec7a inicio( =6 Fec7a entre1a( *6 Forma de entre1a( escrito a mano m6 Ti&o de acti%idad( Indi%idua* n6 Fec7a de retroa*imentación( 2242 Criterio de e%a*uación de *a acti%idad ,R8" Acti%idad Acti%idad Practica conten)a

,onderación

escrita ue (esol$er en forma rápida 4 Puntos problemas de e0ercicios de inter$alo de

MATEMÁTICAS III


inter$alo de confianza para confianza para medias medias muestrales. muestrales. ;so de re)las de ;tilizar el formato para la 1 Puntos presentación elaboración de prácticas. otal " puntos Acti%idad de a&rendi'a$e No! + TA8): E$ercicios de a&*icación! )!)!5!" Instrucciones( (esuel$e de manera correctamente los si)uientes e0ercicios acerca de inter$alos de confianza para una proporciones muestrales. a6 Va*or acti%idad( " Puntos #6 ,roducto es&erado( @ue los alumnos resuel$an de manera correcta los e0ercicios propuestos. c6 Fec7a inicio( d6 Fec7a entre1a(

e6 Forma de entre1a( Por separado9 escrito a mano 266 Ti&o de acti%idad( Indi$idual 16 Fec7a de rea*imentación( El mismo d+a de entre)a.

)!)!5!" Criterio de e%a*uación de *a acti%idad TA8) ,cti$idad ,cti$idad (esol$er e0ercicios acerca de inter$alos de confianza para una proporcion. (esuel$a de manera correcta los problemas.


Ponderación


;tilizar el formato para la 1 Puntos entre)a de tareas. otal ". puntos

Acti%idad de a&rendi'a$e No! 5 ,R8 ) Reso*%er e$ercicios &rcticos )!)!5!) Instrucciones? (esol$er un e0ercicio de inter$alos de confianza en proporciones muestrales. 76 Va*or( " Puntos i6 ,roducto es&erado( @ue el e0ercicio sea resuelto de manera correcta. $6 Fec7a inicio( =6 Fec7a entre1a( *6 Forma de entre1a( escrito a mano m6 Ti&o de acti%idad( Indi%idua* n6 Fec7a de retroa*imentación( 2242 Criterio de e%a*uación de *a acti%idad ,R8) Acti%idad Acti%idad

,onderación

Practica escrita ue (esol$er en forma rápida 4 Puntos conten)a problemas de un e0ercicios de inter$alo de inter$alo de confianza para confianza para

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proporciones muestrales. proporciones muestrales. ;so de re)las de ;tilizar el formato para la 1 Puntos presentación elaboración de prácticas. otal " puntos )!)!: Resu*tado de* A&rendi'a$e(
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El error má:imo permisible9 denotado como E9 es la cantidad ue se suma y resta de la media muestral para determinar los puntos e:tremos del inter$alo de confianza. Es la cantidad de error ue el in$esti)ador está dispuesto a tolerar. ,simismo9 corresponde a la mitad de la anc'ura del inter$alo de confianza correspondiente. ;n peue%o error admisible reuerirá una muestra )rande9 y un error )rande de esa clase aceptará el uso de una muestra menor. El tercer factor al determinar el tama%o de una muestra es la des$iación estándar de la población. 9 el tama%o reuerido de la muestra será menor.
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El tercer enfoue para e$aluar la des$iación estándar es realizar un estudio piloto. Este es el m/todo mas comnmente utilizado.
E*= )   !espe0ando n en esta ecuación9 se tiene el tama%o reuerido de la muestra.

T%%K# '! u!)$"% P%"% !)$0% u% !'0%

 *

=) E

2

!onde? n es el tama%o de muestra. z es el $alor normal estándar correspondiente al ni$el de confianza deseado. s es un estimado de la des$iación estándar de la población. E es el má:imo error permisible. El resultado de /ste calculo no siempre es un nmero entero9 por lo ue la práctica usual es redondear cualuier nmero fraccionario. Por e0emplo9 21.22 se redondea a 22. E0emplo ;n estudiante de administración pblica desea determinar el in)reso medio de los miembros de conce0os urbanos. El error al estimar la media es menor ue N1Adólares>con un ni$el de confianza de "^. El estudiante encontró un informe presentado por el !epartamento del raba0o ue estimaba la des$iación estándar en N1 . Cuál es el tama%o de muestra reueridoJ
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El má:imo error permisible9 E9 es N1. El $alor z para un ni$el de confianza de "^ es 1.-9 y el estimado de la des$iación estándar es N1 . ,l introducir estos $alores en la formula anterior9 se tiene el tama%o reuerido de la muestra? n

=

A 1.-> AN1 >

2

N 1 n O A1.-> 2 n O 3#4.1# k 3#" El $alor calculado de 3#4.1# se redondea a 3#".
T%%K# '! u!)$"% %"% u% "##"0

 * +1-,+ = > E , 2

Es posible utilizar un cálculo de si se encuentra disponible a partir de un estudio piloto o al)una otra fuente. !e otra manera9 se utiliza ."9 porue el t/rmino pA1= p> nunca puede ser mayor ue cuando p O .". Por e0emplo9 si p O .39 entonces pA1= p> O .3A1 = .3> O .219 pero cuando p O ."9 pA1= p> O ."A1 = ."> O .2". E0emplo El estudio en el e0emplo anterior tambi/n estima la proporción de ciudades ue cuentan con cobradores pri$ados. El estudiante uiere ue el cálculo se 'alle dentro de .1 de la proporción de la población9 el ni$el deseado de confianza es de ^9 y no 'ay al)una estimación disponible para la proporción de la población. Cuál es el tama%o reuerido de la muestraJ
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8a ue no e:iste nin)n cálculo de la proporción de población9 se utilizará .". El tama%o reuerido de la muestra es? n O A.">A.">A1.-"G.1> 2 n O -#.-2" El estudiante necesita una muestra aleatoria de - ciudades. )!+!5! Acti%idad de a&rendi'a$e No! : TA8+: E$ercicios de a&*icación! )!+!5!" Instrucciones( (esuel$e de manera correctamente los si)uientes e0ercicios acerca tama%o de muestras para medias. a6 Va*or acti%idad( " Puntos #6 ,roducto es&erado( @ue los alumnos resuel$an de manera correcta los e0ercicios propuestos. c6 Fec7a inicio( d6 Fec7a entre1a( e6 Forma de entre1a( Por separado9 escrito a mano 266 Ti&o de acti%idad( Indi$idual 16 Fec7a de rea*imentación( El mismo d+a de entre)a. )!+!5!" Criterio de e%a*uación de *a acti%idad TA8+ ,cti$idad ,cti$idad (esol$er e0ercicios acerca de tama%o de muestra para medias. (esuel$a de manera correcta los problemas.


Ponderación



Acti%idad de a&rendi'a$e No! ; ,R8 + Reso*%er e$ercicios &rcticos )!+!5!) Instrucciones? (esol$er un e0ercicio de inter$alos de confianza en medias y proporciones. 76 Va*or( " Puntos i6 ,roducto es&erado( @ue el e0ercicio sea resuelto de manera correcta. $6 Fec7a inicio( =6 Fec7a entre1a( *6 Forma de entre1a( escrito a mano m6 Ti&o de acti%idad( Indi%idua* n6 Fec7a de retroa*imentación( 2342 Criterio de e%a*uación de *a acti%idad ,R8+ Acti%idad Acti%idad

,onderación

Practica escrita ue (esol$er en forma rápida 4 Puntos conten)a problemas de un e0ercicio de tama%o de tama%o de muestra para muestra para medias y

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medias y proporciones. proporciones. ;so de re)las de ;tilizar el formato para la 1 Puntos presentación elaboración de prácticas. otal " puntos )!+!: Resu*tado de* A&rendi'a$e(
Unidad Temtica? 3! ,rue#as de 7i&ótesis +!"Tema? (ealizar pruebas de 'ipótesis para medias. +!"!" O#$eti%o de a&rendi'a$e( @ue el alumno aduiera la 'abilidad para contrastar 'ipótesis para medias. +!"!) Recurso tiem&o de* tema( 4. 'oras +!"!+ Desarro**o( Hi&ótesis Enunciado acerca de una población elaborado con el propósito de poner a prueba

En la mayor+a de los casos la población es tan )rande ue por di$ersas razones no seria factible estudiar todos los elementos9 ob0etos9 personas en la población. Por e0emplo seria prácticamente imposible entre$istar a todos los analistas de sistemas en Estados ;nidos9 para a$eri)uar su in)reso mensual. !e i)ual modo9 un departamento de ase)uramiento de la calidad no puede $erificar la resistencia a la ruptura de cada ampolleta producida9 para determinar si está entre " y 2 psi Alibras por pul)ada cuadrada>. ;na alternati$a de medir o entre$istar a la población completa es tomar una muestra de la población de inter/s. Por tanto9 es posible probar una afirmación a fin de determinar si la e$idencia emp+rica de la muestra fundamenta o no la afirmación concerniente a la población. @u/ es la prueba de 'ipótesisJ Bas e:presiones prueba de 1ipótesis y probar una 1ipótesis se emplean correlati$amente. Ba prueba de 'ipótesis principia con una afirmación9 o supuesto9 acerca de un parámetro de población9 como la media poblacional. Como se 'a dic'o9 este enunciado se denomina 'ipótesis. ;na 'ipótesis podr+a ser ue la comisión mensual media de $endedores de computadoras al menudeo9 es de N2 . El costo de localizar e interro)ar a cada $endedor de computadoras de Estados ;nidos9 ser+a e:orbitante. Para probar la $alidez de la afirmación A O N2 > debe seleccionarse una muestra de la población formada por todos los $endedores de tal euipo9 calcular $alores estad+sticos muestrales y9 con base en determinadas re)las de decisión9 aceptar o rec'azar la 'ipótesis. ;na media muestral de N1  para los citados a)entes de $entas en definiti$a pro$ocar+a el rec'azo de la 'ipótesis.
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,rue#a de 7i&ótesis Procedimiento basado en la e$idencia muestral y en la teor+a de probabilidad ue se emplea para determinar si la 'ipótesis es un enunciado razonable. ,rocedimiento de cinco &asos &ara &ro#ar una 7i&ótesis( E:iste un procedimiento de cinco pasos ue sistematiza la prueba de 'ipótesisS al lle)ar al paso "9 se tiene ya la capacidad de tomar la decisión de rec'azar o no la 'ipótesis. y la 'ipótesis alternati$a? A 1> El primer paso es plantear la 'ipótesis ue 'a de ser probada. 9 y la resistencia media al impacto de una muestra de 12 placas de $idrio es -." psi. !ebe emitirse un 0uicio acerca de la diferencia de ." psi.Es una diferencia $erdadera = esto es9 una diferencia si)nificati$a = o la diferencia entre el $alor estad+stico muestral9 A-."> y el parámetro poblacional 'ipot/tico A&.>se debe al azar Amuestreo>JComo se obser$ó9

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para contestar a esta pre)unta se realiza una prueba de si)nificancia9 comnmente denominada prueba de 'ipótesis . El si)nificado de una 'ipótesis nula es? ipótesis nula ,firmación Ao enunciado acerca del $alor de un parámetro poblacional. Ba 1ipótesis alternativa describe lo ue se considerará si se rec'aza la 'ipótesis nula. nunca aparecerá en la 'ipótesis alternati$a. Por u/J Porue la 'ipótesis nula es el enunciado a probar. 9 el ni$el .19 el .1 cualuier otro ni$el entre  y 1. radicionalmente se selecciona el ni$el de ." para proyectos de in$esti)ación sobre consumo9 el de .1 para el ase)uramiento de la calidad9 y el .1 para encuestas pol+ticas. Como in$esti)ador9 usted debe decidir el ni$el de si)nificancia antes de formular una re)la de decisión y recopilar datos muestrales. , fin de ilustrar como es posible rec'azar una 'ipótesis $erdadera9 supón)ase ue una compa%+a ue fabrica computadoras personales utiliza un )ran nmero de tableros con circuitos impresos. Bos pro$eedores ofrecen di$ersos tableros y al ue presente el de me0or condición9 se le acepta un contrato de $enta considerable. En tal contrato se especifica ue el departamento de ase)uramiento de calidad del fabricante de computadoras muestreará todos los en$+os de tableros ue se reciban.
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se seleccionaron de la muestra de "9 eran los nicos de ese tipo en el en$+o de 4  tableros. Entonces solo 1G1 de 1^ eran defectuosos A4 G4 O .1>. En este caso9 menos del -^ del en$+o completo estaba por deba0o del estándar y fue un error rec'azar la remesa. En t/rminos de la prueba de 'ipótesis9 se rec'aza la 'ipótesis nula de ue el en$+o no era subestándar9 cuando debió 'aberse aceptado tal 'ipótesis nula. ,l rec'azar una 'ipótesis $erdadera9 se cometió un error tipo I. Ba probabilidad de cometer un error de tal clase es . Error tipo I (ec'azar la 'ipótesis nula9  o9 cuando en realidad es $erdadera. Ba probabilidad de cometer otra clase de error9 denominado error tipo II9 se denota con la letra )rie)a A>. Error tipo II ,ceptar la 'ipótesis nula cuando en realidad es falsa. El fabricante de las computadoras personales cometer+a un error tipo II si9 desconoci/ndolo9 en un en$+o de circuitos impresos ue se recibiera de la empresa manufacturera9 'ubiera 1"^ de tableros subestándares y9 a pesar de ello se aceptara el en$+o. Cómo podr+a suceder estoJ probados estu$ieran por aba0o del estándar9 y ue 4# de los " fueran aceptables. !e acuerdo con el procedimiento se%alado9 debido a ue la muestra conten+a menos de -^ de tableros subestándares9 el en$+o se aceptó. \Podr+a ser ue debido al azar9 los 4# tableros ue se seleccionaron en la muestra fueran los nicos aceptables en la remesa completa9 ue consta de miles de unidades (etrospecti$amente9 el in$esti)ador no puede estudiar cada elemento o indi$iduo de la población. Por tanto9 'ay una posibilidad de incurrir en dos tipo de error9 uno de tipo I9 cuando se rec'aza la 'ipótesis nula en $ez de 'aberla aceptado9 y uno de tipo II9 si se acepta la 'ipótesis nula cuando deber+a 'aberse rec'azado. es la posibilidad de cometer un error tipo I9 y el betaA> es la probabilidad de cometer un error tipo II. En la si)uiente tabla se resumen las decisiones ue podria tomar el in$esti)ador y las consecuencias posibles. In$esti)ador Hi&ótesis Nu*a

De ace&ta Ho

Se rec7a'a Ho

o es $erdadera

!ecisión correcta

Error de tipo I

o es falsa

Error tipo II

!ecisión correcta.

3. Identificar el $alor estad+stico de prueba. E:isten muc'os $alores estad+sticos de prueba. En este capitulo reutiliza el $alor z. 6alor estad+stico de prueba 6alor obtenido a partir de la información muestral9 ue se utiliza para determinar si se rec'aza la 'ipótesis nula. En las pruebas de 'ipótesis para la media A>9 el $alor estad+stico de prueba z se determina a partir de?

 '! '0)$"0/u0 ## %&#" !)$%')$0# '! "u!/% =*B;G H>

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El $alor z se basa en la distribución muestral 9 ue se distribuye de manera normal cuando la muestra es razonablemente )rande con una media A L> i)ual a 9 y una des$iación estándar  :9 ue es i)ual a n. !e /sta manera se puede determinar si la diferencia entre y  es estad+sticamente si)nificati$a encontrando el nmero de des$iaciones estándares ue esta a partir de  aplicando la formula anterior. 4. Formular una re)la de decisión.

;na re)la de decisión es un enunciado de las condiciones se)n las ue se acepta o se rec'aza la 'ipótesis nula. Ba re)ión de rec'azo define la ubicación de todos los $alores ue son demasiado )randes o demasiado peue%os9 por lo ue es muy remota la probabilidad de ue ocurran se)n una 'ipótesis nula $erdadera.

N# )! R!@%=% #

. P"#/& .5

R!(0 '! R!@%=# 165

E)%&% '! = P"#/& ..5

Mbs/r$ese en el dia)rama en cuestión ue? 1. Ba re)ión de no rec'azoAo aceptación> de la 'ipótesis nula incluye el área a la izuierda de 1.-". *ás adelante se e:plicará como lle)ar al $alor de 1.-". 2. El área de rec'azo está a la derec'a de 1.-". 3. . 4.
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razonamiento de ue es muy improbable ue un $alor z tan )rande se deba al azar9 esto es9 a una $ariación del muestreo. . , demás. ay una posibilidad definible de ue la 'ipótesis nula se acepte cuando deber+a 'aberse rec'azado Aerror tipo II>. ,ntes de realizar una prueba de 'ipótesis9 se diferenciará entre una prueba de sinificancia de una y de dos colas. Prueba de si)nificancia de una y de dos colas Considerando el dia)rama anterior9 ue indica ue se está aplicando una prueba de una cola. Ba re)ión de rec'azo está solo en la cola de la derec'a Are)ión de $alores superiores> de la cur$a. Como ilustración supón)ase ue al departamento de empauetado de una abastecedora de alimentos9 le preocupa el ue al)unas ca0as de cierto producto ten)an un sobrepeso si)nificati$o. El cereal se empaueta en ca0as de 4"3 )ramos9 de modo ue la 'ipótesis es  S  ` 4"3. Esto se lee como? la media poblacional A> es i)ual a o menor ue 4"3D. Ba 'ipótesis alternati$a9 por consi)uiente9 es 1? Q4"3. Esto se interpreta como  es mayor ue 4"3. Mbs/r$ese ue el si)no de desi)ualdad en e:ceso9 en la 'ipótesis alternati$a AQ> apunta a la re)ión de rec'azo en la cola de la re)ión de $alores superiores. ,simismo9 tambi/n obs/r$ese ue la 'ipótesis nula incluye el si)no de i)ualdad. Esto es  S `4"3. Este siempre será e l caso. Ba condición de i)ualdad siempre aparece en  9 nunca en  1. En el si)uiente dia)rama se ilustra una situación en la ue la re)ión de rec'azo está en la cola de la izuierda Aen la re)ión de $alores inferiores>de la cur$a normal como ilustración9 consid/rese el problema de fabricantes de automó$iles 9 )randes compa%+as arrendadoras de autos y otras or)anizaciones ue compran )randes cantidades de llantas. Es deseable entonces ue las llantas ten)an un promedio de des)aste de9 por e0emplo9 4  mi Amillas>9 en un uso normal. Por consi)uiente9 rec'azarán una remeza de llantas si las pruebas de des)aste acelerado re$elan ue la duración de las llantas es si)nificati$amente inferior a 4  mi en promedio \,ceptar+an de buen )rado un en$+o si la duración media resultara mayor de 4  mi
R!(0 '! "!@%=#

R!(0 '! %!$%0 '! #

V%&#" "$0# . -165

E)%&% '! =

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;na forma de determinar la ubicación de la re)ión de rec'azo es mirar 'acia donde apunta el si)no de no i)ualdad en la 'ipótesis alternati$a Aya sea q9 o bien9 Q>. En este problema se%ala 'acia la izuierda9 y la re)ión de rec'azo está9 por tanto9 en la cola de tal lado. En resumen9 una prueba es de una cola cuando la 'ipótesis alternati$a9  19 indica una dirección9 como e:presa en se)uida? ? El in)reso medio de mu0eres es menor ue o i)ual al in)reso medio de 'ombres. 1? El in)reso medio de 'ombres es mayor ue el in)reso medio de mu0eres. . En el dia)rama si)uiente se muestran las dos áreas y los $alores cr+ticos. ótese ue el área total ba0o la cur$a normal es 1.9 ue resulta de ." W .2" W .2". ,'ora se probará una 'ipótesis acerca de la media de una población9 tomando una muestra )rande de /sta. (ecu/rdese ue una muestra de 3 o mas se considera )rande.

R!(0 '! "!@%=# .25

R!(0 '! %!$%0 .

-16 V%&#" "0$0#

.5

R!(0 '! "!@%=# ..25

16 E)%&% '!  V%&#" "0$0#

,rue#a &ara *a media de &o#*ación( 3uestra 1rande 4 se conoce *a des%iación estndar &o#*aciona*! Ba respuesta a las si)uientes pre)untas implica una media de población? El in)reso medio de e0ecuti$os de alto ni$el de la industria fabriles de N32"  dólaresJ Ba lon)itud media de las barras cortadas es de 2. pul)adasJ Ba edad media de los internos es prisiones federales es menor ue 4 a%os.

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Ba cantidad media de dinero ue deben uienes tienen tar0eta de cr/dito es mayor de N1  dólares. Ba producción semanal media de ciertos escritorios en la empresa 5amesoVs
Prueba de dos colas? En si)uiente e0emplo se mostrará la forma en ue se establece la 'ipótesis nula y la alternati$a y como se utiliza el procedimiento de prueba de 'ipótesis estad+sticas. E0emplo? Ba empresa 5amestoVn

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menor de 2. El $icepresidente de manufactura solo desea a$eri)uar si la tasa de producción es diferente de 2. ,aso )? Como se obser$ó9 se utiliza el ni$el de si)nificancia de .1. Esto es 9 o sea la probabilidad de cometer un error tipo I. !e modo ue es la probabilidad de rec'azar una 'ipótesis $erdadera. ,aso +? El $alor estad+stico de prueba para este tipo de problema es z. Ba transformación de los datos de producción a unidades estándares A$alores z> permite su uso no solo en /ste problema9 sino tambi/n en otros de prueba de 'ipótesis? M!'0% u!)$"%&

M!'0% #/&%0#%&

*

= Gn

D!)0%0 !)$'%" '! &% #/&%0

N!"# ! u!)$"%

,aso 5( Ba re)la de decisión se formula 'allando el $alor cr+tico de z a partir del ap/ndice ,. Puesto ue /sta es una prueba de dos colas9 la mitad de .19 o sea ."9 está en cada e:tremidad. El área de aceptación  9 ue se localiza entre las dos colas9 $ale9 por consi)uiente9 .. El ap/ndice , se basa en solo la mitad del área ba0o la cur$a9 o sea .". Bue)o ." = ." es .4"9 y as+ este $alor de .4" es el área entre  y el $alor cr+tico. Bocalice .4" en el cuerpo de la tabla. El $alor más cercano a .4" es .4"1. Bue)o se lee el $alor cr+tico en la fila y la columna correspondiente a .4"19 y resulta 2."#. odos los aspectos de /ste problema se localizan en el si)uiente dia)rama?

.5...

.5...

W>2* ...5

W>2* ...5 .45.

.45.

-258 . 258 E)%&% '! = R!(0 '! R!(0 '! R!(0 '! "!@%=# A!$%0 "!@%=# V%&#" "$0# V%&#" "$0#

MATEMÁTICAS III


- 68 -

Por consi)uiente9 la re)la de decisión es? rec'azar la 'ipótesis nula y aceptar la 'ipótesis alternati$a Aue establece ue la población media no es 2>9 si el $alor z calculado no ueda en la re)ión entre X2."# y W2."#. En caso contrario9 no se descarta la 'ipótesis nula si z ueda entre los citados $alores X2."# y 2."#. ,aso :. S se calcula z y Xcon base en la re)la decisoria= se decidirá rec'azar la  o no rec'azarla. El nmero medio de escritorios producidos en el ltimo a%oA" semanas9 porue la planta estu$o cerrada dos por $acaciones>9 es de 23.". Ba des$iación estándar de la población es de 1- escritorios al mes. Calculando el $alor z con la fórmula? h O :=

O 23." X 2 O 1.""

Gn

1-G"

Puesto 1."" no cae en la re)ión de rec'azo9   no se descarta. !e modo ue se concluye ue la media de la población no es distinta de 2. ,s+ ue se reporta al $icepresidente ue la e$idencia muestral no refle0a ue la tasa producti$a en la Planta Fredonia 'aya cambiado de 2 por semana. Ba diferencia de 3." unidades entre la tasa de producción semanal 'istórica 9 y la del a%o anterior 9 puede atribuirse razonablemente al azar. Prueba de una cola? En el e0emplo anterior se subrayó ue solamente se deseaba informar al $icepresidente de la empresa9 si 'ab+a 'abido un cambio en el nmero medio de escritorios ensamblados en la Planta Fredonia. o interesaba si el cambio era un aumento o una disminución en la producción. Para ilustrar una prueba de una cola se cambiará el problema.
MATEMÁTICAS III


N# )! R!@%=% . . .

- 6 -

R!(0 '! "!@%=# ..1 233 %&#" "$0#

Para la prueba de una e:tremidad9 el $alor cr+tico es 2.339 obtenido de A1>restar .1 de ."9 y A2> encontrar el $alor z correspondiente a .4. 6alor p en las pruebas de 'ipótesis En a%os recientes9 estimulada por la disponibilidad de los pro)ramas para computación AsoftVare>9 se da a conocer con frecuencia información adicional acerca de la fuerza del rec'azo. Esto es9 cuánto se puede confiar en el rec'azo de la 'ipótesis nulaJ Este m/todo se%ala la posibilidad Asuponiendo ue dic'a 'ipótesis es cierta > de obtener un $alor estad+stico de prueba9 por 9lo menos tan e:tremo como el obtenido. Este procedimiento compara la probabilidad9 llamada valor p9 con el ni$el de si)nificancia.
obser$ado9 dado ue la 'ipótesis nula sea $erdadera. !eterminar el valor p no solo resulta en una decisión referente a o9 si no ue proporciona discernimiento adicional acerca del $i)or de la decisión. ;n valor p muy 0&5000 0&5000 peue%o9 tal como .19 indica ue 'ay poca probabilidad de ue o sea $erdadera. Por otro lado9 un $alor P de .233 si)nifica ue o no se rec'aza y ue 'ay poca probabilidad de ue sea falsa. Cómo se calcula el $alor pJ Para considerar el $alor p9 se necesita considerar la re)ión de los $alores menores ue =1."". ,s+ como los $alores mayores ue 1."" Adebido a ue e:isten re)iones de rec'azo en ambas e:tremidades> . El $alor p es .12129 obtenido de 2A.-->. El $alor P de .1212 es mayor ue el ni$el de si)nificáncia .1 esco)ido inicialmente9 as+ ue o no se rec'aza.

V%&#"  9

. .6.6 R "!@%=# W>2 * ...5

-258 -155

..6.6 R "!@%=# W>2 * ...5

.

155 258 E)%&% =

MATEMÁTICAS III


- 7. -

;n $alor p es una manera de e:presar la probabilidad de ue   no sea $erdadera. Pero pero como se puede interpretar tal $alorJ 8a se estableció ue si p es menor ue el ni$el de si)nificancia 9 se rec'aza  S si es mayor ue dic'o ni$el 9 no se descarta  . ,demás9 si el $alor p es muy )rande es probable ue   sea $erdadera.
V%&#" = )! '!)##! 

zO

=
E0emplo. ;na cadena de tiendas de descuento A'ompsons !iscount e:pide su propia tar0eta de cr/dito. El )erente de esta función desea a$eri)uar si el saldo insoluto medio mensual es mayor ue N4Adólares>. El ni$el de si)nificancia se fi0a en .". ;na re$isión aleatoria de 1&2 saldos insolutos re$eló ue la media muestral es N4&9 y ue la des$iación estándar de la muestra $ale N3#. !eber+a concluir el funcionario de cr/dito ue la media poblacional es mayor ue N49 o bien es razonable suponer ue la diferencia de N& Aobtenida de N4&=N4O N&> se debe al azarJ -olución"

Ba 'ipótesis nula y la alternati$a se enuncian como si)ue? ?  O N4

MATEMÁTICAS III


- 71 -

1? Q4 !ebido a ue la 'ipótesis alternati$a indica un sentido o dirección9 se aplica una prueba de una cola. El $alor cr+tico de z es 1.-". El $alor calculado de z es 2.429 determinado por la fórmula? zO

=  O N4=N4 O N&
N3#G1&2

O 2.42

N2.#&"

Ba re)la de decisión se muestra )ráficamente en el si)uiente dia)rama?

R!(0 '! "!@%=# V%&#" p 165 E)%&% '! = V%&#" C"0$0# 242 V%&#" %&u&%'#

!ebido a ue el $alor estad+stico de prueba calculado A2.42> es mayor ue el $alor cr+tico A1.-">9se rec'aza la 'ipótesis nula. El )erente de cr/dito puede concluir ue el saldo insoluto medio es mayor ue N4. El $alor p proporciona información adicional acerca de la decisión. (ecu/rdese ue el $alor p es la probabilidad de encontrar un $alor estad+stico de prueba tan )rande o mayor ue el obtenido cuando la 'ipótesis nula es $erdadera. Por lo tanto resulta la probabilidad de un $alor z mayor ue 2.42. En la tabla del ap/ndice , se $e la probabilidad de z entre  y 2.429 $ale .422.
MATEMÁTICAS III


- 72 -

266 Ti&o de acti%idad( Indi$idual 16 Fec7a de rea*imentación( El mismo d+a de entre)a. +!"!5!" Criterio de e%a*uación de *a acti%idad TA85 ,cti$idad ,cti$idad (esol$er e0ercicios acerca de prueba de 'ipótesis para medias. (esuel$a de manera correcta los problemas.


Ponderación



Acti%idad de a&rendi'a$e No! @ ,R8 5 Reso*%er e$ercicios &rcticos +!"!5!) Instrucciones? (esol$er un e0ercicio en el ue se in$olucre la prueba de 'ipótesis para medias. 76 Va*or( " Puntos i6 ,roducto es&erado( @ue los e0ercicios sean resueltos de manera correcta. $6 Fec7a inicio( =6 Fec7a entre1a( *6 Forma de entre1a( escrito a mano.. m6 Ti&o de acti%idad( Indi$idual . n6 Fec7a de retroa*imentación( el mismo d+a de entre)a. 3142 Criterio de e%a*uación de *a acti%idad ,R85 Acti%idad Acti%idad Practica escrita ue conten)a por lo menos un problema de prueba de 'ipótesis para medias. ;so de re)las de presentación

,onderación

(esol$er en forma rápida 4 Puntos por lo menos un e0ercicio de prueba de 'ipótesis. ;tilizar el formato para la 1 Puntos elaboración de prácticas. otal " puntos

+!"!: Resu*tado de* A&rendi'a$e(
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- 73 -

+!)!+ Desarro**o(

El material presentado 'asta a'ora en esta parte 'a utilizado la escala de inter$alo o de razón de medición. Esto es9 se utilizaron $ariables tales como pesos9 in)resos9 distancias y edades. ,'ora se desea considerar situaciones como las si)uientes? El director de ser$icios profesionales en el . ;na compa%+a )rande uiere saber si 'ay diferencia en la proporción de e0ecuti$os 'ombres y mu0eres dispuestos a mudarse a otra ciudad para obtener un ascenso. Estos problemas son ilustraciones de la escala nominal de medición. (ecu/rdese ue para tal escala la obser$ación se re)istra en una de dos o más cate)or+as. Por e0emplo9 una persona se clasifica como el se:o masculino o femenino9 o bien un elector potencial es clasificado como republicano9 demócrata9 independiente o otra afiliación. (elación proporcional Es la relación por cociente o porción relati$a9 ue e:presa la parte fraccional de la población o muestra ue tiene un atributo particular de inter/s. Por ejemplo

.
R!&%0 "##"0#%& p *

N!"# '! JB0$#) ! &% u!)$"% N!"# u!)$"!%'#

,ntes probar una relación proporcional de población deben considerarse al)unos supuestos y cumplirse al)unas condiciones. Para poner a prueba una 'ipótesis acerca de una relación proporcional de población9 se relaciona una muestra aleatoria de esa población. Este procesos se denomina e:perimento. los datos muestrales recopilados son resultado del conteosS A2> un resultado de un e:perimento se clasifica en una de dos cate)or+as mutuamente e:cluyentes? un /:itoD o un fracasoDS A3> la probabilidad de un /:ito se manifiesta i)ual para cada ensayoS y A4> los ensayos son independientes9 lo ue si)nifica ue el resultado de uno no afecta el resultado de cualuier otro. Ba prueba ue se realizará en bre$e es adecuada cuando tanto n como nA1=>9 $alen al menos ".
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- 74 -

población. Ba prueba se presenta en esta sección debido a ue en una e:tensión especial de la prueba presentada anteriormente es esta parte 9 y tambi/n es de uso comn. !ic'a prueba es un buen e0emplo del caso donde la distribución probabil+stica normal se aplica para apro:imar con )ran e:actitud una del tipo binomial. Ejemplo

e:ceden de ". En este problema n O2  y  O .# A es la relación proporcional de los $otos en el estado del norte del estado=i)ual a #^= necesaria para la reelección>. Por tanto9 n O 2A1= .#> O 4. anto 1- como como 4 son mayores ue ". ,aso ". Ba 'ipótesis nula  9 es ue la relación proporcional 9 $ale .#. Ba 'ipótesis alternati$a9  19 es ue tal relación es menor ue .#. !esde un punto de $ista práctico9 el )obernador actual se preocupa solo cuando la relación muestral es menor ue .#.
P"u!/% '! @0$!)0) u% "!&%0 "##"0#%& = *

-X HX

,aso 5? El $alor cr+tico Ao los $alores cr+ticos> de z forman el punto o puntos de di$isión entre las re)iones de aceptación y de rec'azo de  . Como la 'ipótesis alternati$a indicó una dirección9 esta es una prueba de una cola A$/ase el si)uiente dia)rama>. En el paso se especificó ue alfa $ale .". Esta probabilidad se encuentra en la cola izuierda y determina la re)ión de rec'azo. El área entre cero y el $alor cr+tico $ale .4"9 ue se obtiene de ."=.". ,l consultar el ap/ndice , y buscando .4"9 se encuentra el

MATEMÁTICAS III


- 75 -

$alor cr+tico de z es 1.-". Por tanto9 la re)la de decisión es ? (ec'azar la 'ipótesis nula y aceptar la 'ipótesis alternati$a si el $alor z calculado ueda a la izuierda de X1.-"S de otra manera9 se acepta  .

.5...

R!(0 '! R!@%=# ..5

N# )! "!@%=% . .45..

-165 V%&#" "$0#

.5... .

E)%&% =

,aso :! es lo suficiente cercana a la necesaria de .# para afirmar ue la diferencia se debe al azarJ En este problema? P $ale o.&&"9 la relación proporcional en la muestra de uienes planean $otar por el

)obernador. n $ale 2 9 el nmero de electores en la encuesta.

 $ale .# la relación 'ipot/tica de la población. z es el $alor estad+stico de prueba distribuido normalmente cuando la 'ipótesis es 6erdadera y las otras suposiciones lo son tambi/n.

 *

P;X

* +1 55.>2..., ; .8.

 X+1- X, 

.8.+1-.8.,>2...

* -28.

El $alor calculado zA=2.#>9 esta en la re)ión de rec'azo9 por lo ue se descarta la 'ipótesis nula en el ni$el de .". Ba diferencia de 2." porcentuales entre el porcenta0e muestral A&&."^> y el porcenta0e poblacional 'ipot/tico en la parte norte del estado9 necesaria para )anar la elección A#^> es estad+sticamente si)nificati$a. @uizás esto no se debe a la $ariación muestral. E:presado en otros t/rminos. Ba e$idencia obtenida no fundamenta la ase$eración de ue el )obernador saliente re)resará al puesto por otros cuatro a%os.

MATEMÁTICAS III


- 76 -

El $alor p es la probabilidad de obtener un $alor z menor ue X2.#. !el ap/ndice ,9 se $e ue la probabilidad de z entre  y X2.#9 es .4&4. por lo tanto9 el $alor p es .2-9 obtenido mediante ."=.4&4. n conclusión? \el )obernador no puede confiar en ue será el reele)idoD.

es m+nima la suma de los cuadrados de dic'as des$iaciones Aes decir9 nin)una otra recta dar+a una suma menor de las des$iaciones ele$adas al cuadrado>.

Ponderación



Acti%idad de a&rendi'a$e No! " ,R8 5 Reso*%er e$ercicios &rcticos +!)!5!) Instrucciones? (esol$er un e0ercicio en el ue se in$olucre la prueba de 'ipótesis para proporciones. 76 Va*or( " Puntos i6 ,roducto es&erado( @ue los e0ercicios sean resueltos de manera correcta. $6 Fec7a inicio( =6 Fec7a entre1a( *6 Forma de entre1a( escrito a mano.. m6 Ti&o de acti%idad( Indi$idual . n6 Fec7a de retroa*imentación( el mismo d+a de entre)a. 3242 Criterio de e%a*uación de *a acti%idad ,R8:



Acti%idad

Acti%idad

Pract ractic icaa escri scrita ta ue conten)a por lo menos un prob proble lema ma de prueb ruebaa de 'ipótesis para proporciones. ;so de re)las de presentación

(esol$ (esol$er er en forma forma rápida rápida 4 Puntos por lo menos un e0ercicio de prueba de 'ipótesis.

- 77 -

,onderación

;tiliz ;tilizar ar el forma formato to para para la 1 Puntos elaboración de prácticas. otal " puntos

+!)!: Resu*tado de* A&rendi'a$e(
;I!,! E*vIC,( 5. (E(E
8 CM((EB,CIM.

5!" Tema? Tema? *+nimos cuadrados. 5!"!" O<ETIVO A,RENDIPAE? @ue el alumno aprenda a mane0ar correctamente el m/todo de m+nimos cuadrados. 5!"!) Recurso tiem&o de* tema( " 'oras 5!"!+ Desarro**o( Ba re)res re)resión ión y la corre correla lació ciónn son son dos dos t/cnic t/cnicas as estre estrec'a c'ame mente nte relaci relacion onada adass ue ue comprenden una forma de estimación. Ba diferencia entre estas t/cnicas y el tipo de estimación estudiado anteriormente radica en ue las t/cnicas anteriores se utilizaron para para e$al e$alua uarr un parám parámet etro ro de de pob pobla lació ciónn nica nica En forma forma más más espec especifi ifica9 ca9 /l aná anális lisis is de correlación y re)resión comprende el análisis de los datos mu/strales para saber si y como se relacionan entre s+ dos o más $ariable de una población. Bos Bos dato datoss nece necesa sari rios os para para el anál anális isis is de re)r re)res esió iónn y corr correl elac ació iónn pro$ pro$ie iene nenn de obser$aciones de $ariables relacionadas. En el caso de un problema de dos $ariables9 esto si)nifica ue cada obser$ación proporciona proporciona dos $alores9 uno para cada $ariable. Por e0emplo9 un estudio ue comprenda caracter+sticas f+sicas puede interesarse por la edad y la estatura de cada indi$iduo del mismo. Bas dos $ariables de inter/s9 = la edad y la estatura de cada persona X ser+an las relacionadas. En el caso de un problema de tres $ariables9 cada obser$ación proporciona tres $alores. Por e0emplo9 además de la edad y la estatura de cada persona tal $ez desear+amos incluir en el análisis9 el peso de la misma.

EL 5678$8 $E 59:;58- <'$#$8-"



- 78 -

eneralmente9 más de una cur$a de un tipo dado parece a0ustar un con0unto de datos. Para e$itar el 0uicio indi$idual en la construcción de rectas9 parábolas9 u otras cur$as de apro:imación9 apro:imación9 es necesario obtener obtener una definición definición de la  me0or recta de a0uste a0uste 9 me0or parábola de a0usteD. Para moti$ar una posible definición consid/rese la fi)ura.4.1 en la cuál los puntos de datos son A: 19 y 1>...9A:n9 y n>. Para un $alor dado de :9 por e0emplo : 19 'abrá una diferencia entre el $alor de y 19 y el $alor correspondiente correspondiente de la cur$a C. C. !enotamos /sta /sta diferencia por d19 ue al)unas $eces se le conoce conoce como des$iación9 des$iación9 error o residuo residuo y puede puede ser posi posititi$o $o99 ne)a ne)atiti$o $o o cero cero.. ,nál ,nálo) o)am amen ente te99 corr corres espo pond ndie iend ndoo a los los $alo $alore ress : 29...9:n obtenemos las des$iaciones d 29 ....9dn.

< +B < , 1

'1

1





'







/+B2<2,

'2

B Fi& &+

;na medida de la bondad del a0uste  de la cur$a C ue al con0unto de datos la suministra la cantidad d 12 W d22W.....Wd n2. . 2



- 7 -

en el cual yi O $alor obser$ado de y yc O $alor calculado de y utilizando la ecuación de m+nimos cuadrados con el $alor correspondiente de : para yi. Bos $alores de a y b para la recta y c c % ue minimiza la suma de los cuadrados de % a > bx ue las des$iaciones9 son las soluciones a las llamadas ecuaciones normalesD. ∑y O naWb A ∑:> ∑:y

O aA∑:>WbA∑:2>

En las ue n es el nmero de pares de obser$aciones. ,s+9 e$aluando las cantidades como ∑:9 ∑:y9 etc.9 se puede resol$er estas dos ecuaciones simultáneas para determinar a y b. sin embar)o9 en las ecuaciones pueden despe0arse a y b9 y esto proporciona un modo más sencillo de cálculo.
b>

n(∑#) G (∑) (∑#) n(∑) G (∑)

a > ∑# G b ∑ n

Es posible utilizar el m/todo de m+nimos cuadrados para obtener una recta9 en el caso del ilometra0e y el precio de $enta. , partir de las ecuaciones anteriores9 es e$idente ue9 para determinar la ecuación lineal primero se deberán calcular calcular los $alores de ∑:9 ∑y9 ∑:2 y ∑:y9 los cuales se determinan a partir de los datos de la muestra. ;na cantidad adicional9 ∑y29 tambi/n deberá calcularse para usos posteriores. Cabe obser$ar ue n O 14 partes de obser$aciones. Bos $alores respecti$os se muestran en la tabla 4.1 HI&+&+ Jabla &+& "lculos ara ara los datos ?bser%ación

;ecorrido

Precio %e %enta #



#

D +,000&00

0000

+600

+000000

30

+,500&00

5000

K00

50000

3

30

+,00&00

36000

K00

+0000



5

+,800&00

5000

65

30000

5

50

800&00

0000

500

60000

H



+

0



#

MATEMÁTICAS III


- 8. -

6

60

+,000&00

60000

3600

+000000

7

65

500&00

3500

5

50000

8

+0

3,000&00

30000

+00

K000000

K

+5

,500&00

37500

5

650000

+0

0

,000&00

0000

00

000000

++

55

800&00

000

305

60000

+

0

+,500&00

60000

+600

50000

+3

35

,000&00

70000

+5

000000

+

30

,000&00

60000

K00

000000

∑ > 505

∑# > +600

∑#> 60000

∑>

+85

∑# > 3KK60000

!e dic'a tabla se obtienen? b O 14A-4> X A""> A21-> O #- X 1# 14A21#2"> XA""2> 3""" = 2""2"

O =14# O =3#."""2"

a O ∑y XbA∑:> O 21- X A=3#."-> A""> O 4&.4 O 234 n 14 14 la ecuación resultante de re)resión9 y % a>bx, es entonces? #c > K3 G 38&56

5!"!5Acti%idad de a&rendi'a$e No! " TA85: E$ercicios de a&*icación! 5!"!5!" Instrucciones( (esuel$e de manera correctamente los si)uientes e0ercicios en los se in$olucre m+nimos cuadrados. a6 Va*or acti%idad( " Puntos #6 ,roducto es&erado( @ue los alumnos resuel$an de manera correcta los e0ercicios propuestos. c6 Fec7a inicio( d6 Fec7a entre1a( e6 Forma de entre1a( Por separado9 escrito a mano 266 Ti&o de acti%idad( Indi$idual 16 Fec7a de rea*imentación( El mismo d+a de entre)a. 5!"!5!" Criterio de e%a*uación de *a acti%idad TA8" ,cti$idad ,cti$idad

Ponderación

MATEMÁTICAS III


(esol$er e0ercicios en los ue se in$olucre m+nimos cuadrados.. (esuel$a de manera correcta los problemas.


- 81 -



Acti%idad de a&rendi'a$e No! ) ,R8 " Reso*%er e$ercicios &rcticos 5!"!5!) Instrucciones? (esol$er un e0ercicio en el ue se in$olucre m+nimos Cuadrados. 76 Va*or( " Puntos i6 ,roducto es&erado( @ue los e0ercicios sean resueltos de manera correcta. $6 Fec7a inicio( =6 Fec7a entre1a( *6 Forma de entre1a( escrito a mano.. m6 Ti&o de acti%idad( Indi$idual . n6 Fec7a de retroa*imentación( el mismo d+a de entre)a. 4142 Criterio de e%a*uación de *a acti%idad ,R8" Acti%idad Acti%idad Practica escrita ue conten)a por lo menos un problema de m+nimos cuadrados. ;so de re)las de presentación

,onderación

(esol$er en forma rápida 4 Puntos por lo menos un e0ercicio de m+nimos cuadrados. ;tilizar el formato para la 1 Puntos elaboración de prácticas. otal " puntos

5!"!: Resu*tado de* A&rendi'a$e(
MATEMÁTICAS III


- 82 -

5!)!+ Desarro**o( E-7;5<;?: 5E$;:7E L L9:E $E #E@#E-;?: -;5PLE Ba re)resión lineal simple comprende el intento de desarrollar una l+nea recta o ecuación matemáticas lineal ue describa la relación entre dos $ariables. Bas ecuaciones de re)resión pueden ser utilizadas de di$ersas formas. y la re)resión cur$il+neaApara relaciones de forma no lineal> comprenden e:tensiones de los mismos conceptos ue se utilizan en el re)resión lineal simple. !os caracter+sticas importantes de una ecuación lineal son? 1> la pendiente de la recta y 2> la localización de la recta en al)n punto. ;na ecuación lineal tiene la forma? y O a W b: En la ue a y b son $alores ue se determinan a partir de los datos de la muestraS a indica la altura de la recta en : O 9 y b se%ala su pendiente. Ba $ariable y es la ue se 'abrá de predecir9 y : es la $ariable predoctora. En la fi)ura 4.3 se ilustra la relación entre la )ráfica de la recta y la ecuación. Ba recta9 cuya ecuación y O a W b:9 corta al e0e 8 en el punto y O a. El punto se llama ordenada en

MATEMÁTICAS III


- 83 -

el ori)enAIntercepción con el e0e 8> Ba pendiente de la recta b9 indica la intensidad de cambio de y por unidad de cambio de :9 o sea9 ∆yG∆:.

< B

Pendiente > b >

< * % 9 /B < B*1

Consid/rese la ecuación lineal y O" W 3:9 ue se representa en la Fi). 4.2 la recta corta al e0e 8 en el punto donde y O ". Ba pendiente de la recta es 39 lo cual indica ue para todo cambio de una unidad en :9 'abrá en y un cambio correspondiente de tres unidades. Como se muestra en la tabla ue si)ue9 la ecuación se puede utilizar a fin de determinar $alores de y para di$ersos $alores de :. Este ltimo m/todo Aes decir9 sustituir $alores de : en la ecuación y despe0ar y> )eneralmente es preferible a leer $alores en la )ráfica9 ya ue permite un )rado de precisión mayor ue el ue es posible obtener al utilizar una )ráfica ordinaria.

 5  0 + 5 + 0 5

MATEMÁTICAS III


0

+



3



5

6

7

8

K

- 84 -

+0

Ialor de  

5L3() > ++

3&+

5L3(3&+) > +&3

7&

5L3(7&) > 6&6

!ecisión acerca de un tipo de relación. Es importante darse cuenta de ue no en todos los casos se puede obtener una apro:imación mediante una ecuación lineal. !ebido a ello9 suele ser necesario realizar un traba0o preliminar a fin de determinar si un modelo lineal será el adecuado. El procedimiento más simple es )raficar los datos y determinar por e:amen si parece e:istir una relación lineal. E:amine las )ráficas de la Fi). 4.4 y obser$e ue los puntos en Ab> y en Ac> parece se)uir un alineamiento. Cuando los datos no se pueden apro:imar con un modelo9 las alternati$as son buscar un modelo no lineal adecuado o bien9 cambiar los datos a la forma lineal. Por e0emplo9 si se con$ierten una o ambas escalas en lo)ar+tmicas pueden li)arse a un modelo lineal. Esto probablemente producir+a una recta en el eso de la Fi). 4.4 Aa>

M M

MMM M M M M

M M

MM M

M

M M

M M

MM

M

MM

M M

M

M

M

!EE(*I,CIw !E B, EC;,CIw *,E*vIC,. Concentremos nuestra atención en la forma de obtener la ecuación de la recta ue me0or describa un con0unto de obser$aciones.
MATEMÁTICAS III


- 85 -

determinar si e:iste relación entre el ilometra0e de un automó$il usado y su precio de $enta.

+5 N M M +0 M N 0N

M M M M

M M M M

M M M

M M

MM

M 0 +00

00

300

00

500

+ N +0 N 8N 6N

M M M M M

N

M M

N

M 0 +

M M M 

3



Es decir9 se inda)a si el precio depende del ilometra0e del automó$il. En termino de re)resión el ilometra0e se desi)nar+a como la $ariable independiente o e:plicati$a9 y el precio de $enta como la 6ariable dependiente o e:plicadaD. Es tradicional utilizar el s+mbolo : para representar los $alores de la $ariable independiente9 el s+mbolo y para $alores de la $ariable dependiente.

/n la reresión, los %alores de # son redic4os a artir de %alores de  dados o conocidos& la %ariable # recibe el nombre de %ariable deendiente # la %ariable  el de %ariable indeendiente&

MATEMÁTICAS III


. 5!)!5! Acti%idad de a&rendi'a$e No! + TA8): E$ercicios de a&*icación! 5!)!5!" Instrucciones( (esuel$e de manera correctamente los si)uientes e0ercicios en los se in$olucre l+nea de re)resión simple. a6 Va*or acti%idad( " Puntos #6 ,roducto es&erado( @ue los alumnos resuel$an de manera correcta los e0ercicios propuestos. c6 Fec7a inicio( d6 Fec7a entre1a( e6 Forma de entre1a( Por separado9 escrito a mano 266 Ti&o de acti%idad( Indi$idual 16 Fec7a de rea*imentación( El mismo d+a de entre)a. 5!)!5!" Criterio de e%a*uación de *a acti%idad TA8) ,cti$idad ,cti$idad (esol$er e0ercicios en los ue se in$olucre la l+nea de re)resión. (esuel$a de manera correcta los problemas.


Ponderación



Acti%idad de a&rendi'a$e No! 5 ,R8 ) Reso*%er e$ercicios &rcticos 5!)!5!) Instrucciones? (esol$er un e0ercicio en el ue se in$olucre la linea !e re)resión simple. 76 Va*or( " Puntos i6 ,roducto es&erado( @ue los e0ercicios sean resueltos de manera correcta. $6 Fec7a inicio( =6 Fec7a entre1a( *6 Forma de entre1a( escrito a mano.. m6 Ti&o de acti%idad( Indi$idual . n6 Fec7a de retroa*imentación( el mismo d+a de entre)a. 4242 Criterio de e%a*uación de *a acti%idad ,R8" Acti%idad Acti%idad Practica escrita ue conten)a por lo menos un problema ue sea de re)resión simple. . ;so de re)las de

,onderación

(esol$er en forma rápida 4 Puntos por lo menos un e0ercicio de l+nea de re)resión simple. ;tilizar el formato para la 1 Puntos

- 86 -

MATEMÁTICAS III

presentación


elaboración de prácticas. otal

- 87 -

" puntos

5!)!: Resu*tado de* A&rendi'a$e(
Ba empresa Copier
Oo& de llamadas

Oo& 9e coiadoras %endidas

Jom eller

0

30

Qeff 'all

0

60

2rian Iirost

0

0

Quan Flores

30

60

-usan Relc4

+0

30

MATEMÁTICAS III


- 88 -

arlos ;am$re

+0

0

;ic4 Oiles

0

0

uis iel

0

50

BarS ;e#nolds

0

30

-oni Qones

30

70

-olución.

En base en los datos presentados en la tabla 4=29 la se%orita 7encer sospec'a ue e:iste una relación entre el nmero de llamadas 'ec'as en un mes 9 y el nmero de copiadoras ue se $endieron. en el e0e $ertical9 o e0e 89 o la $ariable independiente A numero de llamadas a clientes > en el e0e 'orizontal 9 o e0e L. Para establecer el dia)rama de dispersión para la información de $entas de la empresa en cuestión9 se comienza con el primer representante9 om xeller9 uien 'izo 2 telefonemas el mes anterior y $endió 3 copiadorasS as+ ue L O 2 y 8 O 3. para ubicar el punto ob$iamente se $a sobre el e0e 'orizontal 'asta lle)ar a L O 29 despu/s se sube en dirección $ertical 'asta 8 O 3M9 y se sita as+ el punto respecti$o en el plano L8. Este proceso se continua 'asta situar todas las pare0as de datos9 como se muestra en el dia)rama "=2.

unidades

**amadas !ia)rama "=2 !ia)rama de dispersión ue muestra las llamadas de $entas y

MATEMÁTICAS III


- 8 -

las copias $endidas. El dia)rama de dispersión indica ue los representantes de $entas ue 'acen más llamadas telefónicas9 tienden a $ender más copiadoras. Es razonable ue la se%ora 7encer9 la )erente nacional de $entas de la empresa mencionada9 di)a a sus representantes ue cuanto mayor sea el numero de llamadas a clientes ue 'a)an9 mas copiadoras podrán esperar $ender. Mbs/r$ese ue aun parece 'aber una relación positi$a entre las dos $ariables. o todos los puntos uedan en una misma l+nea recta. <8EA;<;E:7E $E <8##EL<;?: Mri)inado por el in$esti)ador xarl Pearson apro:imadamente ene el a%o 1. El coeficiente de correlación. !escribe la intensidad de la relación entre dos con0untos de $ariables escalizadas por inter$alo o por relación o razón. 8a ue se le denota con r9 con frecuencia se menciona tambi/n como r de Pearson9 o como coeficiente de correlación9 puede tomar cualuier $alor de X 1. a W1.9 inclusi$e. ;n coeficiente de correlación de X1. o de W 1. indica una correlación perfecta9 esto es el numero de telefonemas y el de productos $endidos están perfectamente relacionados en un sentido lineal positi$o. ;n $alor calculado de X1. indica ue la $ariable independiente L y la $ariable dependiente 8 están perfectamente relacionadas en forma lineal ne)ati$a. Ba forma como uedar+a el dia)rama de dispersión si la relación entre los dos con0untos de datos fuera lineal y perfecta como se obser$a en el si)uiente dia)rama.

8

y

Corre*ación ne1ati%a &er2ecta (ecta con pendiente e)ati$a

Corre*ación &ositi%a &er2ecta r O W1.

r O =1.

(ecta con pendiente positi$a

:

:

!ia)rama "=3 !ia)rama de dispersión ue ilustra una correlación ne)ati$a perfecta y una correlación positi$a perfecta.

El si)uiente cuadro resume la intensidad y la dirección del coeficiente de correlación. C#""!&%0 N!(%$0% P!"!$% C#""!&%0 N!(%$0% I$!)% -1..

C#""!&%0 P#)0$0% P!"!$%

N0(u% C#""!&%0 C#""!&%0 C#""!&%0 C#""!&%0 N!(%$0% !(%$0% P#)0$0% M#'!"%'% 'J/0& I$!)% -.5.

C#""!&%0 ! %$0%

.

C#"5"!&%0# C#""!&%0# P#)0$0% P#)0$0% M#'!"%'% I$!)% .5.

C#""!&%0 #)0$0%

1..

MATEMÁTICAS III


- . -

Coeficiente de correlación *edida de la intensidad de la relación lineal entre dos $ariables. Para determinar el $alor num/rico del coeficiente de correlación9 se utiliza la si)uiente e:presión la formula para r es ?

Coeficiente de correlación r O

nA :y> X A : > Ay >  Z n A : 2 > X A: >2 [ Z n Ay2 > = Ay >2 [

!onde? n L 8 A∑:2> A∑:>2 A ∑y2> A ∑y>2

numero de pares de obser$aciones. suma de los $alores de la $ariable L. suma de los $alores de la $ariable 8. suma de los $alores de L ele$ados al cuadrado. cuadrado de la suma de los $alores de L. suma de los $alores de 8 ele$ados al cuadrado. cuadrado de la suma de los $alores de 8.

L8

suma de los productos de L y 8.

Ejemplo

;efirase al ejemlo anterior, donde se desarrolló un diarama de disersión que ilustra la relación entre el n.mero de telefonemas a clientes # la cantidad de coiadoras %endidas& 9etermine el coeficiente de correlación& Jabla && lamadas # coiadoras %endidas or +0 reresentantes& ;eresentantes %entas

de lamadas



coiadoras

#

#

()

%endidas (#)

Jom eller

0

30

 00

K 00

6 00

Qeff 'all

0

60

+ 600

3 600

 00

2rian Iirost

0

0

 00

+ 600

8 00

Quan Flores

30

60

K 00

3 600

+ 800

-usan Relc4

+0

30

+ 00

K 00

3 00

arlos ;am$re

+0

0

+ 00

+ 600

 00

;ic4 Oiles

0

0

 00

+ 600

8 00

uis iel

0

50

 00

 500

+ 000

BarS ;e#nolds

0

30

 00

K 00

6 00

-oni Qones

30

70

K 00

 K00

 +00

Jotal

0

50

5 600

 +00

+0 800

MATEMÁTICAS III


- 1 -

El coeficiente de correlación es .&"9 ue se e$ala por medio de la fórmula? rO

n  L8 X  :  8  Qn A:26  A:>) Qn Ay2> X Ay>2

O

1 A1 #> X A22> A4">  T+0 (5 600)N (0) U T+0( +00) N (50)

> 0&75K <ómo se interreta un correlación de 0&75K= Primero1 es ositi%a, as$ que se %e que eiste una relación directa entre el n.mero de telefonemas # el n.mero de coiadoras %endidas& /sto confirma el raonamiento basado en el r"fico de disersión& /l %alor de 0&75K esta mu# cerca de +&00, as$ que se conclu#e que la asociación es fuerte& Para eresarlo de otro modo, un 5V de incremento en las llamadas robablemente conducir" a un 5V de aumento en la %entas&

Coeficiente de determinación ;na medida ue tiene una aceptación mas fácil de interpretar es el coeficiente de determinación. . Esta es una relación proporcional o porcenta0eS puede decirse ue "&.-^ de la $ariación en el nmero de copiadoras $endidas se e:plica por la $ariación en el numero de tefonemas. Coeficiente de determinación Ba porción de la $ariación total en la $ariable 89 ue e:plica por la $ariación en la $ariable independientes L . 5!+!5! Acti%idad de a&rendi'a$e No! : TA8+: E$ercicios de a&*icación! 5!+!5!" Instrucciones( (esol$er e0ercicios en los ue se in$olucre el Correlación y determinación. a6 Va*or acti%idad( " Puntos #6 ,roducto es&erado( @ue los alumnos resuel$an de manera correcta los e0ercicios propuestos. c6 Fec7a inicio( d6 Fec7a entre1a( e6 Forma de entre1a( Por separado9 escrito a mano 266 Ti&o de acti%idad( Indi$idual 16 Fec7a de rea*imentación( El mismo d+a de entre)a. 5!+!5!" Criterio de e%a*uación de *a acti%idad TA8+ ,cti$idad ,cti$idad (esol$er e0ercicios en los (esol$er los ue se in$olucre el propuestos. coeficiente de correlación.

Ponderación


MATEMÁTICAS III


- 2 -

(esuel$a de manera ;tilizar el formato para la 1 Puntos correcta los problemas. entre)a de tareas. otal 1 puntos Acti%idad de a&rendi'a$e No! ; ,R8 + Reso*%er e$ercicios &rcticos 5!+!5!) Instrucciones? (esol$er un e0ercicio en el ue se in$olucre coeficiente !e correlación. . 76 Va*or( " Puntos i6 ,roducto es&erado( @ue los e0ercicios sean resueltos de manera correcta. $6 Fec7a inicio( =6 Fec7a entre1a( *6 Forma de entre1a( escrito a mano.. m6 Ti&o de acti%idad( Indi$idual . n6 Fec7a de retroa*imentación( el mismo d+a de entre)a. 4342 Criterio de e%a*uación de *a acti%idad ,R8+ Acti%idad Acti%idad Practica escrita ue conten)a al menos un problema de coeficiente de correlación.. . ;so de re)las de presentación

,onderación

(esol$er en forma rápida 4 Puntos un problema de coeficiente de correlación. ;tilizar el formato para la 1 Puntos elaboración de prácticas. otal " puntos

5!+!: Resu*tado de* A&rendi'a$e(
respecto a

Dinero

ormalmente se define al dinero como la suma de moneda en circulación más las cuentas corrientes de los bancos.

Esta suma se denomina al)unas $eces oferta

MATEMÁTICAS III


- 3 -

monetaria en sentido estrictoD y se desi)na por medio del s+mbolo *1. Ba moneda en circulación se compone de monedas Acontantes y sonantes> y de billetes Apapel moneda>. Bas cuentas corrientes Adinero en c'eues> corresponden a las cuentas pri$adas de c'eues de los bancos comerciales.

<ólo la moneda en circulación y las cuentas

corrientes pueden ser utilizadas como formas de pa)o o cambio. Cuando a la oferta monetaria en sentido estrictoD se le a)re)an los depósitos a plazos de los bancos comerciales se obtiene la oferta monetaria en sentido amplioD9 la ue se desi)na con el s+mbolo *2.

La in%ersión de dinero El dinero de tu bolsillo o el de tu cuenta de c'eues9 siempre está disponible para efectuar pa)os o compras9 pero aparte de esa función9 no reporta utilidad al)una. Con las altas tasas de inter/s ue se conceden 'oy en d+a9 tener demasiado dinero en efecti$o9 constituye un lu0o caro. @uienes saben administrar 'ábilmente el dinero9 desde las prudentes amas de casa 'asta los sa)aces e0ecuti$os de las empresas9 tienen un ob0eti$o comnS poner el dinero a traba0arD. Este propósito puede conse)uirse tanto prestando como aduiriendo bienes con /l. ,s+ por e0emplo9 los prestamistas compran boletas de empe%o ue les reditan beneficios9 y los in$ersionistas aduieren $alores de renta $ariable con la esperanza de ue

la

empresa ten)a /:ito y produzca )anancias de capital superior a las ue obtendr+an mediante obli)aciones u otros instrumentos de in$ersión. Los o#$eti%os de *a in%ersión

odas las personas con dinero ocioso9 pueden encontrar un lu)ar apropiado donde produzca beneficios económicos entre los mltiples y di$ersos instrumentos de in$ersión ue e:isten en los actuales mercados financieros.
MATEMÁTICAS III


- 4 -

efectuar una solo in$ersión9 sino realizar un minucioso estudio de las diferentes alternati$as ue se presentan 9 a efecto de seleccionar la me0or combinación ue permita alcanzar los ob0eti$os del in$ersionista. El análisis de las $enta0as e incon$enientes de esa combinación9 debe efectuarse conforme a los si)uientes criterios? 1. Biuidez. (ápida con$ersión en dinero de la in$ersión9 con m+nima o nula p/rdida de

capital. 1.
el obierno Federal9 0unto

con muc'os estados9 ciudades y

corporaciones9 0amás de0arán de estar en deuda. Pero el monto de la deuda no debe ser causa de preocupación mientras se manten)a dentro de las capacidades y recursos del deudor. Cuando al)una persona o institución pide dinero en pr/stamo9 se crea una deuda9 pero al mismo tiempo9 tambi/n se satisface al)una necesidad o se crea un acti$o.

MATEMÁTICAS III


- 5 -

9 o bien utilizarlo en una empresa financiera ue no sólo pa)ue el costo del pr/stamo9 sino ue tambi/n permita obtener beneficios monetarios adicionales. El cr/dito representa en nuestros d+as un estilo de $ida y un medio necesario en la mayor parte de los ne)ocios9 por lo ue resulta importante utilizarlo de manera racional.
MATEMÁTICAS III


- 6 -

a6 Va*or acti%idad( : Puntos #6 ,roducto es&erado( @ue los alumnos realicen la in$esti)ación $+a internet . c6 Fec7a inicio( d6 Fec7a entre1a( e6 Forma de entre1a( Por separado9 escrito a mano 266 Ti&o de acti%idad( Indi$idual 16 Fec7a de rea*imentación( El mismo d+a de entre)a. :!"!5!" Criterio de e%a*uación de *a acti%idad TI8" ,cti$idad ,cti$idad

Ponderación

In$esti)ue por internet la
:!)!" Tema? Pro)resiones aritm/ticas e inter/s simple.

O#$eti%o de a&rendi'a$e( @ue el alumno comprenda y apliue el inter/s simple mediante problemas reales . :!)!) Recurso tiem&o de* tema ( ." 'oras

:!)!+ Desarro**o(

,ROGRESIONES(

Es una serie de nmeros no interrumpida9 cuya ley de

formación está perfectamente definida9 dentro de /sta ley debe e:istir un primer t/rmino y un criterio para determinar cada uno de los si)uientes t/rminos de la pro)resión.

E0emplo? 1, 6, 11 , 16, 21, 26, etc..

Es una pro)resión cuya ley9 es ue cada t/rmino despu/s del primero9 se obtiene sumando "D al t/rmino anterior.

E0emplo? 5, 10, 20, 40...

Es una pro)resión cuya ley es9 ue cada t/rmino despu/s del primero se obtiene

MATEMÁTICAS III


- 7 -

multiplicando por 2D el t/rmino anterior.

Bos t/rminos ue inte)ran esta serie de nmeros llamada pro)resión se pueden obtener por diferencia o por cociente. 
PRORESIZN ARITM[TICA Para poder inte)rar una pro)resión aritm/tica es necesario ue e:istan un primer t/rmino la diferencia y el nmero definido de t/rmino. Identificación de los literales. a O primer t/rmino " d O diferencia 3 n O nmero de t/rminos " E:presión literal primer t/rmino se)undo t/rmino tercer t/rmino cuarto t/rmino uinto t/rmino

E:presión num/rica a a a a a

" O" "W3 O # "W2A3> O 11 "W3A3> O 14 "W A"=1> A3> O 1&

Wd W 2d W 3d W An=1>d 5 8 11 14 17

{ltimo t/rmino de la serie a

aLd

a L d

+



3

l > a L n N+ d a L 3d 

a L (nN+)d n

l O ltimo t/rmino a O primer t/rmino n O nmero de t/rminos d O diferencia

E0emplo? !eterminar el ltimo t/rmino de una pro)resión aritm/tica cuyos elementos son 4.

Primer trmino 8 n.mero de trminos  diferencia 5

l > a L (nN+) d

l > 8 L (N+)5 l > 8 L (3) (5) l > 8 L +5

MATEMÁTICAS III


- 8 -

l > 3

8 13 18 23 E0emplo !e una pro)resión aritm/tica se sabe ue tiene & t/rminos9 d O "9 l O 29 deseamos saber cual es el primer t/rmino. % * & ; +-1, ' % * 2 ; +7-1,5 % * 2 ; 3. % * -1

-1 4  14 1 24 2

E0emplo El primer t/rmino de una pro)resión aritm/tica 9 y el $i)/simo 1 encuentre la diferencia comn. dO

l −a n −+

O

+K0 − 0 O 1 ,0 −+

. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. . 1.. 2. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 1. E0emplo Cuántos t/rminos tiene la pro)resión aritm/tica =&9 =3 ..... 2J

nO

l − a d

+

+

O

,K − (−7) 

+ O 1

+

SU3A DE UNA ,ROGRESIN ARIT3TICA

Ba suma de una pro)resión aritm/tica consiste en sumar cada uno de los t/rminos ue la inte)ran. EM(E*,. En cada pro)resión aritm/tica limitada9 la suma de los medios distantes de los

e:tremos es i)ual a la suma de los e:tremos? Demostración( 5 8 11 14 17 2.

E:tremos? " W 2 O 2" *edios a i)ual distancia de los e:tremos? # W 1& O 2" *edios a i)ual distancia de los e:tremos? 11W 14 O 2"

MATEMÁTICAS III


-  -

W A l Xd > aWlOAa WdWlXd> aWlOaWl
S * ( a + l ) ,

d

S*

S*

n

,

n

,

( a + a + ( n − +) d )

[ ,a + (n −+)d ]

E0emplo
+8 (  + 55 ) O "31 ,

5 ? " "+ "; " )) ): )@ +" +5 +? 5 5+ 5; 5 :) ::! E0emplo Encuentre la suma de los primeros 3 t/rminos de la pro)resión aritm/tica 29 9 1-. l O a W An=1>d O 2WA3=1>&O 2"

n

,

[ ,a + (n −+)d ] O

30 [ , + ,05 ] O 31" ,

2  16 23 3. 37 44 51 58 65 7 86 3 1.. 1.7 114 121 128 135 142 14 156 163 17. 177 184 11 18 2.5

MATEMÁTICAS III


- 1.. -

A,LICACIONES

;n estudiante a'orra para dar el en)anc'e de una motocicleta la primera semana )uarda N"9 la se)unda semana9 N-9 la tercera semana N& y as+ sucesi$amente por 4 semanas cuanto dinero tendrá al final de 4 semanas. SB

0 [ ,(50) + (0 −+)+0] B 2A4>O N # ,

5. 6. 7. 8. . 1.. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 44. INTERES SI3,LE

Es el ue se pa)a al final de un inter$alo de tiempo pre$iamente definido sin ue el capital ori)inal $ari/. Este tipo de inter/s se usa principalmente en deudas a corto plazo de un a%o o menos. IOc t !onde? I O Inter/s simple  O constante de proporcionalidad c O capital t O tiempo
I c M t

E0emplo
O

3&5 O .3" por mes. +00 M +mes

D j

 O +00 M unidadtiem po

=

j

+00

I O A.3"> A4>A3> O 42

por unidad de tiempo

=

 O es la tasa de inter/s di$idida entre 1 en otras palabrasS  es el porcenta0e en forma decimal esto es? OiO E0emplo

j +00

MATEMÁTICAS III


- 1.1 -

;na persona pidió prestado N2 3". a " meses de plazo y al 42^ de inter/s simple Cuál es el inter/s )eneradoJ 5&todo ;. !atos Con$ersiones. Formula C O N2 3". 0 O 42^ anual O 42G12 O 3." mensual I O C  I  t t O " meses con$irtiendo 0 en i ? I O 2 3"  .3"  " 0 O 42^ anual i O 0 G1O3." G1 O .3" I O N 411.2" 5&todo ;; !atos C ON2 3". 0 O 42^ anual t O " meses

Con$ersiones " meses O "G12 O .41-- a%o

Formula IOCIt I O 2 3" .42  .41-I O N411.2"

E0emplo *arcela posee un capital de N32 .. In$ierte &^ de su capital al "."#^ trimestral y el resto al 1."^ semestral. cuánto recibe cada mes de inter/s totalJ !atos C1 O N22 4. C 2 O N -. i O "."#G1 O .""# cada 3 meses. i O 1."G1 O .1" t O 1 mes. t O1 mes Primer calculo? A.""#>A1mes> O N41-.-4 I O A ->A.1"G->A1 mes > O N1-#. IT B 5";!;5K";@ B :@5!;5 3ONTO SI3,LE

, la suma del capital mas el inter/s simple )anado se le llama9 monto simple o simplemente monto y se simboliza mediante la letra *.

M*C9I M * M#$# )0&! C * C%0$%& I * I$!"J) E0emplo? Calcule el monto de un pr/stamo de N 2 . al 4-^ de inter/s simple a 2 meses 5&todo ; !atos C ON 2 . i O 4-^ O.4t O2 meses

I O A2>A.4-G12>A2>O 1"3.33 * O 2W1"3. 33 3 B W) ":+!++

Mtodo II

!atos C O N 2 . I O 4-Ô.4t O2 meses

* O C Z 1W Ai  t > [ * O 2 Z 1 W A.4-G12> A2> [ 3 B W ) ":+!++

MATEMÁTICAS III


- 1.2 -

T I I E ( asa de inter/s interbancaria de euilibrioS y se refiere a la tasa de inter/s ue

i)uala la oferta y la demanda de fondos prestables entre los bancos por conducto del 7anco de */:ico y se denomina a partir de las cotizaciones ue estos presentan al 7anco Central. E0emplo (amón tiene una deuda por N&9" ue debe pa)ar dentro de " meses.
* O C Z1 W AI W t> [ * O & " Z1W A.34-"G12>A"> [ 3 B W@ :@)!@"

INTERXS CO3ERCIAL Y REAL

Cuando el tiempo en un pr/stamo esta dado en d+as9 se $uel$e necesario con$ertir la tasa de inter/s anual9 a una tasa de inter/s por d+a. Cuando la tasa anual se con$ierte a tasa diaria utilizando el a%o natural A 3-" d+as o 3-- d+as si el a%o es bisiesto> se toma como di$isor en la formula de inter/s simple o del monto9 el inter/s obtenido se llama inter/s real o inter/s e:acto. Cuando se lle$a acabo la con$ersión utilizando como di$isor el nmero de 3-9 se dice ue s/ esta utilizando el a%o comercial9 en este caso el inter/s obtenido se llama inter/s comercial o inter/s ordinario.

El uso del a%o comercial de 3- d+as es utilizado por prestamistas particulares 9 comercios 9 bancos9 y casos de bolsa en la mayor+a de sus operaciones financieras debido a la costumbre y por ue el inter/s comercial resulta mayor ue el inter/s real para un mismo capital9 tasa y tiempo. FM(*;B, EE(,B?

Inter/s real

I ( O C  i G 3-"  t

Inter/s comercial

Ic O C  i G 3-  t

E0emplo Calcular el inter/s comercial y real de un pr/stamo por N 49&". al 3#^ por " d+as. !atos? C O N 49&". I C O 4 &" A.3#G3->" t O " d+as IC B W):!; i O 3#^ O .3# I( O 4 &".A.3#G3-">" IR B W):5?!); CALCULO DEL TIE3,O

MATEMÁTICAS III


- 1.3 -

En muc'as ocasiones el periodo entre el momento en ue se toma un pr/stamo o se in$ierte un determinado capital y su $encimiento se se%ala mediante fec'as. Para calcular el tiempo transcurrido entre dos fec'as9 se cuentan los d+as efecti$os de calendario. ,l calcular el numero de d+as se acostumbra e:cluir el primer d+a e incluir el ultimoS sin embar)o esta no es una practica generalizada9 ya ue al)unas $eces se cuenta tanto el primer d+a como el ltimo. !e /sta forma para un pr/stamo contra+do el 2" de enero y liuidado el 2- de abril de un a%o cualuiera9 no bisiesto el tiempo transcurrido es de 1 d+as. Enero Febrero *arzo ,bril

- d+as 2# d+as 31 d+as 2- d+as 1 d+as

A31 d+as X 2" d+as>

E0emplo? Calcular el inter/s comercial y real de una deuda contra+da el 2 de mayo para ser pa)ada el 2" de septiembre9 si la tasa de inter/s es del &-^ y el capital es de N"99.. !atos? C O N"99. i O &-^ O .&t O 12# d+as Calculo del tiempo 11 d+as de mayoA2=31> 3 d+as de 0unio 31 d+as de 0ulio 31 d+as de a)osto 2" d+as de septiembre 12# d+as en total

I C O "   A.&-G3-> 12# I C O N 1 3"1 111.11 I ( O "  A.&-G3-"> 12# I ( O N 1 332 -3.&4

;n &a1ar/ es un documento mediante el cual una persona se obli)a a pa)ar a otra una cantidad determinada de dinero9 con inter/s o sin /l9 en una fec'a dada. Ba persona ue 'ace la promesa de pa)ar es el deudor u otor)ante9 y la persona ue cobra el pa)ar/ es el beneficiario o tenedor. /n todo aar inter%ienen los siuientes concetos1

F!@%1 es la fec4a en la que se etiende el aar F!@% '! !00!$#1 es la fec4a en la cual debe ser aada la deuda  P&%=#1 es el tiemo que transcurre entre la fec4a # la fec4a de %encimiento  V%&#" #0%& 1 es la cantidad marcada en el aar& -i en el aar se indica que el %alor nominal causar" intereses a determinada tasa, entonces el %alor nominal es el caital obtenido en rstamo! en cambio, si en el aar se indica que el %alor nominal inclu#e intereses a determinada tasa, entonces el %alor nominal es el monto a aar en la fec4a de %encimiento&

MATEMÁTICAS III


- 1.4 -

V%&#" '! !00!$# 1 es la cantidad que debe ser aada en la fec4a de %encimiento& /sto es, es el caital obtenido en rstamo m"s los intereses, si los 4ubiera& E %&(u#) %(%"J) # )! !)!00% &% $%)% '! 0$!"J) !)$# '% &u(%" % u% '! '# )0$u%0#!): # /0! !& %(%"J # "#'u! 0$!"!)!) # &#) 0$!"!)!) <% @% )0'# %K%'0'#) %& %0$%& '! $%& %!"% \u! !& '#u!$# u!)$"% &% %$0'%' $#$%& +#$#, % %(%" ! &% !@% '! !00!$# D#u!$# N#

0#

P#"

273...

P#" !)$! PAARE ! +#), #/&0(#+%#), % %(%" 0#'00#%&!$! % &% #"'! '! SR ARMANDO ROMO ! UADALA]ARA ]AL E& '% 26 '! DICIEMRE '! 15 &% %$0'%' '! DOS MIL SETECIENTOS TREINTA PESOS %&#" "!0/0'# % 0 +u!)$"%, !$!"% )%$0)%0 L% )u% %$!"0#" %u)%" 0$!"!)!) % &% $%)% '!& 38 %u%& @%)$% &% !@% '! )u !00!$# < )0 # !) %(%'% %& !00!$# %u)%" 0$!"!)!) #"%$#"0#) % &% $%)% '!& 57 %u%& Lu(%" < !@%: UADALA]ARA ]AL 14 DE FERERO DE 15

En N#/"!: este pa)ar/9 ,ntonio ,730 T+ L (0&38X365)(3+5)U B > 3,65&K

E& 26 '! '00!/"! '! 15 !& )!K#" S#&) %( &% %$0'%' '! 36252 %& )!K#" R## uando una deuda no se liquida en la fec4a de %encimiento, emiea a anar intereses llamados moratorios, los cuales se calculan con base en el caital oriinalmente restado& Por o eneral, la tasa de inters moratorio es un 50V m"s de la tasa normal alicada& /l lector uede comrobar que la tasa de inters moratorio indicada en el aar mostrado es, efecti%amente, un 50V m"s de la tasa normal&

Su(%)! '!& !!&# %$!"0#" )! &0\u0' 12 '%) '!)uJ) '! &% !@% '! !00!$# C%&u&! !& 0$!"J) #"%$#"0# < &% %$0'%' $#$%& % %(%" Hnters moratorio > (,730)(0&57X365) (+) > 5+&+6 antidad total a aar > aital L intereses ordinarios L intereses moratorios antidad total a aar > Bonto L intereses moratorios

C%$0'%' $#$%& % %(%" * 36252 9 5116 * 367645 524 A$00'%' '! %"!'0=%! N# 8 TA85: E$ercicios de a&*icación!

MATEMÁTICAS III


:!)!5!" Instrucciones( (esol$er e0ercicios en los ue se in$olucre pro)resiones aritm/ticas e inter/s simple a6 Va*or acti%idad( " Puntos #6 ,roducto es&erado( @ue los alumnos resuel$an de manera correcta los e0ercicios propuestos. c6 Fec7a inicio( d6 Fec7a entre1a( e6 Forma de entre1a( Por separado9 escrito a mano 266 Ti&o de acti%idad( Indi$idual 16 Fec7a de rea*imentación( El mismo d+a de entre)a. :!)!5!" Criterio de e%a*uación de *a acti%idad TA85 ,cti$idad ,cti$idad (esol$er e0ercicios en los ue se in$olucre pro)resiones aritm/ticas e inter/s simple. (esuel$a de manera correcta los problemas.


Ponderación



Acti%idad de a&rendi'a$e No!  ,R8 5 Reso*%er e$ercicios &rcticos :!)!5!) Instrucciones? (esol$er un e0ercicio en el ue se in$olucre pro)resiones aritm/ticas o interese simple 76 Va*or de *a acti%idad( " Puntos i6 ,roducto es&erado( @ue los e0ercicios sean resueltos de manera correcta. $6 Fec7a inicio( =6 Fec7a entre1a( *6 Forma de entre1a( escrito a mano.. m6 Ti&o de acti%idad( Indi$idual . n6 Fec7a de retroa*imentación( el mismo d+a de entre)a. 5242 Criterio de e%a*uación de *a acti%idad ,R85 Acti%idad Acti%idad Practica escrita ue conten)a al menos un problema de pro)resiones aritm/ticas e inter/s simple. . ;so de re)las de presentación

,onderación

(esol$er en forma rápida 4 Puntos un problema de pro)resiones aritm/tica e inter/s simple. ;tilizar el formato para la 1 Puntos elaboración de prácticas. otal " puntos

- 1.5 -

MATEMÁTICAS III


- 1.6 -

:!)!: Resu*tado de* A&rendi'a$e(
:!)!;
:!)!+ Desarro**o(

P(M(E
Es una sucesión en la cual cada t/rmino despu/s del primero9 se obtiene multiplicando el t/rmino anterior por una cantidad constante llamada razón comn. E0emplo? 19 49 1-9 -49 2"-9 es una razón )eom/trica cuya razón comn es 4. En toda pro)resión )eom/trica la razón comn se encuentra di$idiendo un t/rmino cualuiera entre el t/rmino anterior.  O a 12 a4 O a3 O Aa1> O a13 ! ! ! ! ! ! !

an O a1n=1 an O ltimo t/rmino a1 O primer t/rmino  O razón comn E0emplo Encuentre el 1"} t/rmino de la sucesión )eom/trica 39 -9 129... anO a  n X 1 a1 O 3 n O 1" anO 3 21"=1 6  O O2 3 anO 3.214 anO 491"2

MATEMÁTICAS III


- 1.7 -

39 -9 129 249 4#9 -9 129 3#49 &-#9 1"3-9 3&29 -1449 12 2##9 24 "&-9 4 1"2. 1"Z

E0emplo Encuentre el nmero de t/rminos ue 'ay en la sucesión 49 !atos a1 O4  O 2G3 an O 2"-G&2

n *

*

nO

lo l − lo a lo !

lo ,56 X 7,K − lo  lo , X 3

−

8 3

9

+6 ,56 ......... K 7,K

+

+

+

+

0&5 − 0&60,0 − 0&+760

O & t/rminos.

SU3A DE LOS TXR3INOS DE UNA ,ROGRESIMN GEO3XTRICA

".-

*ultiplicando por  ambos lados de la i)ualdad anterior? s O a1 W a12 W a13 W a14 W . . . . a 1n=1 W a1n

".&

(estando ambas ecuaciones ".- de ".& s X s O a1 X a1 n Factorizando O a1 A1Xn> multiplicando ambos lados de la i)ualdad X1 y despe0ando < se obtiene
a1 An X 1> X1

E0emplo

Encuentre la suma de los doce primeros t/rminos de la pro)resión )eom/trica "9 19 2. !atos.

MATEMÁTICAS III


aO "

"A212 X 1>

O 2

"A4- X 1> O

O 294&"

2X1

nO 2

- 1.8 -

1

E0emplo Encuentre el $alor del primer t/rmino de una pro)resión )eom/trica cuya suma de los siete primeros t/rminos es #23- G 243 y cuya razón comn es 2G3.

!atos nO& O 2

aO

s A X 1>

#23-G243A2&3=1> O

n

 =1

O2G3 < O #23-G243

33.#3A=.3333> O

&

A2G3> =1

O 12

==414

APHAH?O/-1

E0emplo 1A2-4 = 1> aO1
a nO a n X 1

O .

a nO 1 A.> -"

nO --

a nO .1-111--

INTERXS CO3,UESTO

Es auel ue al final de cada periodo se a)re)a al capital es decir se rein$ierte Ase capitaliza>.  En cierta institución bancaria la tasa de inter/s en cuenta de a'orros9 para el caso de personas f+sicas9 es del 2^ capitalizada cada semestre. ;na persona abre una cuenta de a'orros depositando N 2. y no lle$a a cabo depósitos o retiros posteriores a la apertura de la cuenta si se de0a capitalizar en inter/s9 calcule.

MATEMÁTICAS III


a> El monto compuesto al final de 2 a%os. b> El inter/s compuesto obtenido al final de 2 a%os. c> Comprar/ el monto compuesto con el monto simple. 0 O 2^ anual O 2 O 1^ semestral. 2 t O 2 a%os O 2 semestres O 4 semestres a%o c O N 2. En los 2 a%os 'abrá 4 periodos en capitalización.

Capital ori)inal Inter/s del 1er.
N 29. N 2. N 22. N 22. N 242. N 242. N 2--2.2 N 2--.2 N 22#.2

El monto compuesto obtenido al final de dos a%os es N 22#.2 I O * X C O 22#.2 X 29. O N 2#.2 A2>[ * O N 29#. El inter/s compuesto es mayor ue el inter/s simple9 para un mismo capital9 tasa y tiempo. CLCULO DEL 3ONTO * O C A1 W i >n * O *onto compuesto o $alor futuro. C O Capital ori)inal

- 1. -

MATEMÁTICAS III


- 11. -

i O asa al inter/s en forma decimal Aesto es di$idida entre 1> por periodo de capitalización. n O mero de periodos de capitalización. E0emplo? Mbtener el monto compuesto y el inter/s compuesto al final de - a%os de N19 in$ertidos a una tasa del 34^ A1 a%o O 4 trimestres> en capitalización trimestral. !atos

Formula

C O N 19.

* O C A1 W i > n

(esultado

* O N 19 A1 W .#"> 24

* O N & #4".&3- 0 O

34^ anual O #." trimestral i O .#" por trimestre t O - a%os O 24 trimestres E0emplo? @ue cantidad de dinero se 'abrá acumulado al t/rmino de 3 a%os si se in$ierte un capital ori)inal de N 129&-" al 3.4^ mensual capitalizable cada cuatrimestre. !atos

Fórmula * O C A1 W i> n

C O N129&-"

(esultado

* O 129&-" A1 W .13->  * O 4921#.4

i O 3.4 ^ mensual i O 3.4 : 4 O 13.-^ cuatrimestral t O 3 a%os O  cuatrimestres. ,ARA TASA DE INTERXS VARIA
!atos

Fórmula

(esultado

C ON1  0 O .&G4 O 2.42"^ trimestral * O C A1 W 0 > n * O 19 A1 W .242"> 14 n O 3." a%os O 14 trimestres.

* O N 139#".-#

MATEMÁTICAS III


- 111 -

)da! ,arte. C O 13 #".-#

* O 13#".-# A1 W .&"> 1#

5 O .&" mensual

* O N1" .-

n O 1." a%os O 1# meses. E0ercicio? El 1 de abril de 1# se efecto un depósito de N #. en un banco ue pa)aba el &"^ de inter/s capitalizable cada trimestre. El 1 de octubre de 1 se realizó un depósito de N 191. en la misma cuenta9 y ese mismo d+a la tasa de inter/s cambio al 4&^ con capitalización mensual cuál será el saldo en la cuenta el 1 de 0ulio de 14J !atos? C O N #.

< O 2 243.32 W 1 1.

0 O &"^ anual O 1#.&"G1 O

- > D3 33&3

n O - trimestres < O C A1 W i> n < O N # A1 W .1#&"> -

< O 3 343.32 A1 W .31-> 4"

< O N # A1.1#&">

< O N 1# #3& .2

< O N 29243.32 534 A$00'%' '! %"!'0=%! N# 1. TA8:: E$ercicios de a&*icación! :!+!5!" Instrucciones( (esol$er e0ercicios en los ue se in$olucre pro)resiones )eom/tricas e inter/s compuesto. a6 Va*or acti%idad( " Puntos #6 ,roducto es&erado( @ue los alumnos resuel$an de manera correcta los e0ercicios propuestos. c6 Fec7a inicio( d6 Fec7a entre1a( e6 Forma de entre1a( Por separado9 escrito a mano 266 Ti&o de acti%idad( Indi$idual 16 Fec7a de rea*imentación( El mismo d+a de entre)a. :!+!5!" Criterio de e%a*uación de *a acti%idad TA8: ,cti$idad ,cti$idad (esol$er e0ercicios en los ue se in$olucre pro)resiones )eom/tricas e inter/s compuesto. (esuel$a de manera correcta los problemas.


Ponderación



MATEMÁTICAS III


- 112 -

Acti%idad de a&rendi'a$e No! "" ,R8 : Reso*%er e$ercicios &rcticos :!+!5!) Instrucciones? (esol$er un e0ercicio en el ue se in$olucre pro)resiones )eom/tricas o interese compuesto. 76 Va*or de *a acti%idad( " Puntos i6 ,roducto es&erado( @ue los e0ercicios sean resueltos de manera correcta. $6 Fec7a inicio( =6 Fec7a entre1a( *6 Forma de entre1a( escrito a mano.. m6 Ti&o de acti%idad( Indi$idual . n6 Fec7a de retroa*imentación( el mismo d+a de entre)a. 5342 Criterio de e%a*uación de *a acti%idad ,R8: Acti%idad Acti%idad Practica escrita ue conten)a al menos un problema de pro)resiones )eom/tricas e inter/s compuesto. .

;so de re)las presentación

,onderación

(esol$er en forma rápida 4 Puntos un problema de pro)resiones )eom/tricas e inter/s compuesto.

de ;tilizar el formato para la 1 Puntos elaboración de prácticas. otal " puntos

:!+!: Resu*tado de* A&rendi'a$e( S y de desembolsos de efecti$o =)astos y costos Asalidas>=.Estas entradas y desembolsos constituyen los flu0os de efecti$o 9 con un si)no mas representa las entradas de efecti$o y con un si)no menos representa las salidas de efecti$o. Bos flu0os de efecti$o ocurren durante periodos espec+ficos 9 tales como un mes o un a%o. !e todos los elementos del enfoue de estudio de in)enier+a económica9 la estimación de flu0os de efecti$o es probablemente la más dif+cil e ine:acta . Bas estimaciones de flu0o de efecti$o son solo eso? estimaciones relati$as a un futuro incierto. ;na $ez estimadas9 las t/cnicas mostradas orientan en el proceso de toma de decisiones.
MATEMÁTICAS III


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e:actitud probada con el tiempo de la estimación de entradas y salidas de efecti$o de una alternati$a claramente determina la calidad del análisis económico y su conclusión. Bas entradas de efectivo9 o in)resos9 pueden constar de los si)uientes elementos9 dependiendo de la naturaleza de la acti$idad propuesta y de la clase de ne)ocio ue emprenda. E$em&*os de entradas de e2ecti%oestimación6 In)resosApor lo )eneral incrementales pro$enientes de una alternati$a>. (educciones en los costos de operación Aatribuibles a una alternati$a>. 6alor de sal$amento de acti$os. (ecepción del capital de un pr/stamo. ,'orros en impuestos sobre la renta . In)resos pro$enientes de la $enta de acciones y bonos. ,'orros en costos de construcción e instalaciones. ,'orros o rendimiento de los fondos de capital corporati$o. Bas salidas de efectivo 9 o desembolsos9 pueden estar construidas por los si)uientes elementos9 dependiendo9 de nue$a cuenta9 de la naturaleza de la acti$idad y del tipo de ne)ocio. E$em&*os de sa*ida de e2ecti%o estimación6 Costo de aduisición de acti$os . Costo de dise%o de in)enier+a. Costo de operación Aanual e incremetal>. Costo de mantenimiento periódico y de remodelación. Pa)os de inter/s y del capital de un pr/stamo. Costo de actualización Aesperados o no esperados>. Impuestos sobre la renta asto de fondos de capital corporati$os. Ba información necesaria para lle$ar a cabo las estimaciones puede estar disponible en departamentos tales como contabilidad9 finanzas9 mercadotecnia9 $entas9 in)enier+a9 dise%o9 manufactura9 producción ser$icios de campo y ser$icios computacionales. Ba e:actitud de las estimaciones depende en )ran medida de la e:periencia de la persona ue realiza la estimación con situaciones similares. eneralmente se efectan estimaciones puntalesS es decir9 ue se obtiene la estimación de un $alor nico para cada elemento económico de una alternati$a. ;na $ez ue se lle$an a cabo las estimaciones de entrada y salidas de efecti$o9 es posible determinar el flu0o de efecti$o neto. F*u$o de e2ecti%o neto B in1resos8desem#o*sos B entradas de e2ecti%o 8 sa*idas de e2ecti%o! Puesto ue los flu0os de efecti$o normalmente tienen lu)ar en puntos $ariables del tiempo dentro de un periodo de inter/s9 se adopta un supuesto ue simplifica el análisis. Ba conversión de final de periodo implica la suposición de ue todos los flu0os de efecti$o ocurren al final de un periodo de inter/s.
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dia)rama incluye los datos conocidos9 los datos estimados y la información ue se necesita. Es9 decir9 ue una $ez ue el dia)rama de flu0o de efecti$o se encuentre completo9 otra persona deber+a ser capaz de abordar el problema a partir del mismo. El tiempo del dia)rama de flu0o t O  es el presente9 t O 1 es el final del periodo 1. Por a'ora9 supondremos ue los periodos se e:presan en a%os. Ba escala de tiempo de la fi)ura si)uiente abarca " a%os. 8a ue la con$ención de final de a%o ubica los flu0os de efecti$o al final de cada a%o 9 el 1D indica el final del a%o 1.

AK# 1 0

%K# 5 +



3



5

tiemo

,unue no es necesario trazar una escala e:acta en el dia)rama de flu0o de efecti$o9 probablemente se e$itarán muc'os errores si se elabora un dia)rama claro para apro:imar la escala del tiempo y de la ma)nitud relati$a de los flu0os de efecti$o. Ba dirección de las flec'as del dia)rama de flu0o de efecti$o resulta importante. ;na flec'a $ertical ue apunta 'acia arriba indica un flu0o de efecti$o positi$o. Por el contrario 9 una flec'a ue apunta 'acia aba0o indica un flu0o de efecti$o ne)ati$o. Ba si)uiente fi)ura ilustra un in)reso Aentrada de efecti$o> al final del a%o 1 y desembolsos i)uales Asalidas de efecti$o>al final de los a%os 2 y 3. ,ntes de dibu0ar un dia)rama de flu0o de efecti$o y colocar un si)no en /l9 es necesario determinar la perspecti$a o punto de $ista. Como e0emplo9 si una persona obtiene un pr/stamo de N2 " para comprar en efecti$o una arley=!a$ison usada de N2  y utiliza el resto para pa)ar un traba0o de pintura 9 pueden adoptarse diferentes perspecti$as. Bas perspecti$as9 los si)nos de flu0o de efecti$o y las cantidades son las si)uientes. ,ers&ecti%a

F*u$o de e2ecti%o W

=2 " W2 " =2  = " W2  W "

9 1

2

3

FE

-

E)%&% $0% '! $0!# '! &u# '! !!$0# 'u"%$! 5 %K#)

T0!#

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E0emplo Cada a%o E::on=*o$il )asta cantidades de dinero importantes en sistemas mecanicos de se)uridad en sus operaciones alrededor del mundo. Carla (amos9 in)eniera industrial para las operaciones ue se lle$an a cabo en */:ico y ,merica Central pro)rama )astos por un millón de dólares a'ora y en cada uno de los si)uientes cuatro a%os9 e:clusi$amente para el me0oramiento de $ál$ulas de ali$io de presión industriales. Construya el dia)rama de flu0o de efecti$o para determinar el $alor eui$alente de dic'os )astos al final del a%o 49 utilizando un costo del capital estimado para fondos se)uros al 12^ anual.

-"



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0 * 12 )

+

F *` 5

AK#

A * 1 ... ... D0%("%% '! &u# '! !!$0#

Este dia)rama muestra los flu0os de efecti$o ne)ati$os y uniformes A)astos> durante " periodos9 as+ como el $alor desconocidos de F Aflu0o de efecti$o positi$o eui$alente>e:actamente en el mismo momento ue el uinto )asto. Como los )astos comienzana 'acerse de inmediato9 el primer millón de dólares aparece en el tiempo cero9 no en el tiempo 1. Por tanto9 el ltimo flu0o de efecti$o ne)ati$o aparece al final del cuarto a%o 9 para cuando tambi/n se presenta F.


:!5!5!" Criterio de e%a*uación de *a acti%idad TA8; ,cti$idad ,cti$idad (esol (esol$e $err e0erci e0ercicio cioss en los ue se in$olucren dia)ramas de flu0o de ca0a. (esuel$a de manera correcta los problemas.

(eso (esol$ l$er er los los propuestos.

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e0er e0erci cici cios os  Puntos

;tiliz ;tilizar ar el forma formato to para para la 1 Puntos entre)a de tareas. otal 1 puntos

:!5!: Resu*tado de* A&rendi'a$e(
Unidad Temtica? Temtica? ;! Tasas de inter/s! ;!"! Tema? Tema? tasa de inter/s efecti$a. efecti$a . ;!"!" O#$eti%o de a&rendi'a$e( @ue el alumno comprenda y apliue la tasa de inter/s efecti$a en problemas reales. ;!"!) Recurso tiem&o de* tema( 2 'oras ;!"!+ Desarro**o( asa de inter/s efecti$a por periodo S es la tasa de inter/s ue efecti$amente se aplica en cada periodo de capitalización. Esta tasa de inter/s se obtiene al di$idir la tasa nominal anual entre el nmero de periodos de capitalización ue 'ay en un a%o. 0ep O

j m

0ep O tasa efecti$a por periodo. 0 O asa de de inter/s nominal nominal anual. anual. m O nmero de periodos de capitalización en un a%o. E0emplo Para una tasa del 34^.

0O

3 

O #." trimestral.

(EB,CIME< !E E@;I6,BECI, ? P,M< ;ICM< CM PP  PC

Cuando se trata e:clusi$amente de flu0os de efecti$o de pa)o nico9 'ay dos formas i)ualmente correctas de determinar i y n para los factores PGF y FGP. El m/todo 1 es mas fácil de aplicar9 porue las tablas de inter/s ue aparecen en el ap/ndice , por lo comn ofrecen el $alor del factor. El m/todo 2 uizá reuiera cálculos mediante la fórmula mediante la fórmula para el factor9 ya ue la tasa de inter/s efecti$a ue resulta no constituye un entero. 5&todo .


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, B F ,F i \ e2ecti%a &or ,C n]mero tota* de &eriodos n6! F B ,F, i \ &or ,C n]mero tota* de &eriodos n6! 5&todo C.
I ^ efecti$a anual O A1 W

0&+5 +,

n O 2 a%os

>12= 1 O 1-.&-^

El factor PGF es el mismo para ambos m/todos? APGF9 1.2"^924> O .&4229 utilizando la tabla "S y APGF91-.&-^92> O .&422 aplicando la fórmula del factor PGF. E$em&*o ;n in)en in)enie iero ro ue ue traba traba0a 0a como como consu consulto ltorr pri$a pri$ado do realiz realizóó depó depósit sitos os en una una cuenta cuenta especial9 para cubrir )astos de $ia0e no reembolsados. Ba fi)ura muestra el dia)rama de flu0o de efecti$o. Calcule cuanto 'ay en la cuenta despu/s de 1 a%os a una tasa de inter/s de 12^ anual 9 compuesto semestralmente. F*` 

"

)

+

5

W" 

W+ 

:

;

?

@



"

W " :

Dia1rama de 2*u$o de e2ecti%o

So*ución W 3 AFGP9 -^912> W 1 "AFGP9 -^9 #> O 1 A3.2&1> W 3 A2.122> W 1 "A1."3#> O N 11 -34 5&todo 5&todo C. E:pre E:prese se la tasa tasa efe efecti cti$a $a anua anuall con con base base en un perio periodo do de compo composic sición ión semestral. i ^ efecti$a anual O A 1 W

+&+, 2 > X 1 O 12.3-^ ,



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El $alor de n es el nmero real de a%os. ;tilice la fórmula del factor AFGP9 i9 n> O #1.123-> #1.123-> n y la ecuación para $alor futuro. F O 1 AFGP9 12.3-^9 1> W 3 AFGP9 12.3-^9 -> W 1 " AFGP9 12.3-^9 4> O 1 A3.2&1> W 3 A2.122>W 1 " A1."3#> O N11 -34 (EB,CIME< !E E@;I6,BECI,? y el periodo de pa)o es i)ual o mayor ue el periodo de capitalización9 
$%)% '! 0$!"J)

bu! !#$"%"c \u! !)$% '%'#

N#$%0 !)$'%"

5 .. )!!)$"%&!$! 'u"%$! 5 %K#)

16 %u%& #u!)$# !)u%&!$!

E#$"%" P '%'# A

P * 5..+P>A 8 1.,

75 !)u%&!$! 'u"%$! 3 %K#)

24 %u%& #u!)$# )!!)$"%&!$!

E#$"%" F '%'# A

P * 75+F>P 2 36,

18. $"0!)$"%&!$! 'u"%$! 15 %K#)

5 $"0!)$"%&

E#$"%" F '%'# A

F * 18.+F>P 5 6.,

I"!!$# '! 25 !)u%&!$! 'u"%$! 4 %K#)

1 !)u%&

E#$"%" P '%'# 

P * 25+P>1 48,

E$em&*o  5 ... $"0!)$"%&!$! 1 !)u%& E#$"%" A A * 5 ...+A>P 3.3 24, ;n'u"%$! in)eniero 6 %K#) de control de calidad pa)ó '%'# PN" semestrales en los pasados & a%os por el contrato de mantenimiento del softVare de una Ban.Cuál es la cantidad eui$alente despu/s del ltimo pa)o9 si /stos fondos se obtienen de un consorcio ue 'a estado reembolsando 2^ de intereses anuales con composición trimestralJ

0 * 2. %u%& #u!)$# $"0!)$"%&!$!



"

)

+

5

:

F *`

;

? A0os

A BW: Dia1rama de de&ósito semestra*es uti*i'ado &ara determinar e* %a*or de F!

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So*ución El periodo de pa)o A- meses> es mas lar)o ue el periodo de capitalización Atrimestre>S es decir 9PPQPC.
0&+0 ,

>2 1 O 1.2"^

Ba tasa de inter/s efecti$a semestral tambi/n se obtiene de la tabla 4.3 utilizando un $alor de r de 1^ y m O 2 para lle)ar a i O1.2"^. El $alor i O 1.2"^ parece razonable9 ya ue esperamos ue la tasa de inter/s efecti$a sea li)eramente superior a la tasa de inter/s nominal de 1^9 por cada periodo de meses. El nmero total de periodo de pa)os semestrales es n O 2A&> O 14 Ba relación para F es? F O , AFG,91}.2"^9 14> O "A2#94#1> O N14 244." (EB,CIM !E E@;I6,BECI,? P,M< ;ICM< 8 se realizan al final del periodo de capitalización S asimismo9 se considera ue los retiros se 'acen al principio. Como e0emplo si se tiene un inter/s compuesto trimestral9 los depósitos mensuales se trasladan al final del trimestre Ano se obtienen intereses interperiódicos>9 y todos los retiros se trasladan al principio Ano se pa)an intereses durante todo el trimestre>. al procedimiento puede alterar si)nificati$amente la distribución de los flu0os de efecti$o9 antes de ue se apliue la tasa de inter/s efecti$a trimestral para determinar P9 F o ,. Esto lle$a9 en efecto9 a los flu0os de

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efecti$o a una situación donde PP O PC9 se3)un se analizo en la sección anterior. En el si)uiente e0emplo9 se ilustra este procedimiento y el 'ec'o económico de ue9 dentro de un marco temporal de un periodo de capitalización9 no 'ay nin)una $enta0a en intereses si se efectan pa)os anticipados. Por supuesto 9 uizá se presenten factores no económicos. E$em&*o (ob es in)eniero de coordinación de obra en ,lcoa ,luminum9 donde se encuentra una mina en reno$ación9 en la cual un contratista local 'a instalado un nue$o euipo de refinamiento de materiales. (ob desarrolló el dia)rama de flu0o de efecti$o de la fi)ura -.2a en unidades de N1 desde la perspecti$a del proyecto . El dia)rama incluye los pa)os al contratista ue (ob autorizó para el a%o en curso y los anticipos aprobados por las oficinas centrales de ,lcoa9 (ob sabe ue la tasa de inter/s sobre proyectos de campo de euipo como /stos es de 12^ anual9 compuesto trimestralmente 9 y ue ,lcoa no $a a insistir en la capitalización interpeiódica de los intereses . 
I("!)#) D! L%) O00% C!$"%&!) 12. .

45

. .

1

2

3

15.

4

5

75

6

7

8



1.

1..

2..

1 %K#)

11

12 !)!)

5. P%(#) %& #$"%$0)

%$F0(62% D0%("%% '! &u# '! !!$0# %$u%&

trasladados al final del trimestre respecti$o y a todos los flu0os de efecti$o positi$oAin)resos de las oficinas centrales> trasladados al principio del trimestre respecti$o. Calcule el $alor de F al 3^

F*`

.

1

. 1

15.

2

2

3 2..

165 3

4

5

6

175

7

4

8



T"0!)$"!

1.

11

12

5.

M!)

F *` D0%("%% '! &u# '! !!$0# $"%)&%'%'#) +! 1..., %"% &#) !"0#'#) '! %0$%&0=%0 $"0!)$"%& )0 0$!"J) !$"! !"0#'#)

F * 1 ...+-15.+F>P 3 4,- 2..+F>P 3 3,9 +-1759.,+F>P 3 2, 9 165+F>P 31,-5.,

F * -357 52

Ro# &uede conc*uir .ue *as 2inan'as de* &ro4ecto en *a o#ra se encontrarn en n]meros ro$os &or a*rededor de W+:? ; a* 2ina* de* a0o!

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9 la tasa de inter/s efecti$a por cada PP es? I\ e2ecti%a semana* B "!+6 ""+ " B !))@\ semana*!

614 A$00'%' '! %"!'0=%! N# 13 TA8?: E$ercicios de a&*icación! ;!"!5!" Instrucciones( (esol$er e0ercicios de $alor presente o $alor futuro con PP mayor ue el PC. . a6 Va*or acti%idad( " Puntos #6 ,roducto es&erado( @ue los alumnos resuel$an de manera correcta los e0ercicios propuestos. c6 Fec7a inicio( d6 Fec7a entre1a( e6 Forma de entre1a( Por separado9 escrito a mano 266 Ti&o de acti%idad( Indi$idual 16 Fec7a de rea*imentación( El mismo d+a de entre)a. ;!"!5!" Criterio de e%a*uación de *a acti%idad TA8? ,cti$idad ,cti$idad (esol$er e0ercicios de $alor presente o $alor futuro con PPQPC. (esuel$a de manera correcta los problemas.


Ponderación



;!"!: Resu*tado de* A&rendi'a$e(
;!)! Tema? asa de inter/s real. ;!)!" O#$eti%o de a&rendi'a$e( @ue el alumno comprenda y apliue la tasa de inter/s real en problemas reales.

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;!)!) Recurso tiem&o de* tema( 1." 'oras ;!)!+ Desarro**o( ,<, !E IE(|< (E,B M ? Es el rendimiento real ue )ana una in$ersión una $ez descontada la inflación. asa inflacionararia?

g O

+ndice 1 =1  1 •ndice 2

!onde? •ndice 1? Es el +ndice de precios al inicio del periodo. •ndice 2? Es el +ndice de precios al final del periodo. 6alor real?

6( O

!onde? * ? *onto g? asa inflacionaria. t ? iempo. asa de inter/s real?

* 1 W Ag> At>

i( O

Ie = g 1W g

 1

!onde? I( ? asa de inter/s real e:presada en porcenta0e. Ie? asa de inter/s efecti$a anual o por periodo. g ? !ebe e:presarse en forma decimal. E5E*PBM< Eduardo &resta W"  con un inter/s sim&*e de* "@\ anua* 4 " meses de &*a'o! Si en e* momento de e2ectuarse e* &r/stamo e* 9ndice de &recios era de )"+!@@ 4 en *a 2ec7a de %encimiento es de )5"!@ 7a**ar  a> El monto ue recibe Eduardo9 e:presado en pesos corrientes. b> El $alor real ue recibe Eduardo. a> * O 1  1W A  .1#G12> A1> * O N11 " b> Ba inflación ocurrida en los 1 meses fue? g O 241.# € 1 213.##

O 12.&2^

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Por tanto9 el $alor del dinero e:presado en pesos constantes a , la fec'a del pr/stamo es?

6R B

11 " 1 W A.12&2> A1>

6( O 1 22.2& c> ormalmente9 Eduardo tiene N11 "9 pero debido a la Inflación ese dinero tiene un $alor eui$alente a N 1 22.2& de 'ace 1 meses. Por tanto9 la tasa de inter/s real )anado es? 1 22.2& O 1  1 W Ai (> A1> 1.222& O 1 W 1 i ( i( O .222& O .222&^ mensual O 2.43^ anual. Como se $e9 a pesar de la inflación9 Eduardo obtu$o )anancia. ;n prestamista efecta un pr/stamo por N2-9 al 3"^ capitalizable cada mes y un a%o de plazo. En el momento de efectuar el pr/stamo el IPC era de 1&#.3 y en la fec'a de $encimiento fue de 21".#3. Cuál fue el $alor real ue pa)ó el deudorJ Cuál fue la tasa de inter/s real cobrada por el prestamistaJ 12 F O N3-9&11.4# Ba tasa promedio de inflación mensual fue? 21".#3 O 1&#.3 A 1 W g > 12 Por tanto? g O 1.-1&^ mensual Con la tasa de inflación se obtiene el $alor real del monto pa)ado por el deudor? 3-9&11.4# 6( O A 1 W .1-1& > 12 6( O N392#3.4Ba tasa real se calcula mediante la formula de Fis'er? i( O

.3"G12 X .1-1&

1



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1.1-1&

i( O 1.2&^ mensual O 1".3"^ anual capitalizable cada mes tambi/n es posible obtener la tasa real de la si)uiente forma? 392#3.4- O 2-9 A 1 W i ( > 12 resol$iendo la ecuación se tiene ? i( O 1.2&^ mensual Para definir el $alor de P para los $alores de los flu0os de efecti$o futuro AF t> con diferentes $alores de iAi t> para cada a%o t9 supondremos una composición anual . Para determinar el $alor presente9 se calcula P para cada $alor de F t9 utilizando la i t ue apliue y sumando los resultados. !e acuerdo con la notación estándar y el factor PGF? P O F1 APGF9i19 1> W F 2APGF9 i1>APGF9i 291> W _ W FnAPGF9i 191> APGF9i291>_ APGF9I n91> Cuando solo están in$olu in$olucradas cradas cantidades cantidades nicas9 es decir9 una P y una F en el a%o final n el ltimo t/rmino de la ecuación anterior es la e:presión del $alor presente del flu0o de efecti$o futuro. P O Fn APGF9i19 1> APGF9i 29 1> ... APGF9 i n9 1>
1

2

;tilidad neta N&  asa anual &^

3

4

N&  N3"  N2"  &^ ^ 1^

Ba si)uiente7.fi)ura ... muestra los flu0os de efecti$o9 las tasas de A *cada ` a%o y los $alores eui$alentes 35 ... de P y ,. Ba ecuación anterior se utiliza para calcular P. 8a ue para los a%os 1 y 2 el rendimiento 25 ... neto de N&  y la tasa anual es &^9 el factor PG, se aplica e:clusi$amente para estos dos a%os. 1

0* 7

2

3

0 *7

4

.

1 7

0 *  0 * 1.

P*`

172 816

V%&#"!) !\u0%&!$!) '! P < A %"% $%)%) '! 0$!"J) %"0%/&!)

2 7

3 

4 1.



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, B Q?,A ?\ )6 K +:,F ?\ )6 ,F \ "6 K ):,F ?\ )6,F \ "6 ,F "\ "6 " 6 B Q? "!@@ K +:@"+6 K ):!?)@56 "6 B W"?) @"; Para determinar determinar una serie anual eui$alente9 eui$alente9 se sustituye sustituye el s+mbolo s+mbolo , por los $alores $alores de utilidad utilidad neta en la parte derec'a de la ecuación anterior ue se i)uala a P O N1&2 #1- y se despe0a ,. Esta ecuación toma en cuenta los $alores $ariables de i de cada a%o. Ba fi)ura anterior muestra la transformación del dia)rama de flu0o de efecti$o. W"?) @"; B AQ"!@@6 K !@"+ K !?)@56 B AQ+!++?? A B W:" ??? anua*es!

624 A$00'%' '! %"!'0=%! N# 14

TA8@: TA8@: E$ercicios de a&*icación! ;!)!5!" Instrucciones( (esol$er e0ercicios de $alor presente o $alor futuro con PP menor ue el PC. a6 Va*or acti%idad( " Puntos " Puntos #6 ,roducto es&erado( @ue los alumnos resuel$an de manera correcta los e0ercicios propuestos. c6 Fec7a inicio( d6 Fec7a entre1a( e6 Forma de entre1a( Por separado9 escrito a mano 266 Ti&o de acti%idad( Indi$idual 16 Fec7a de rea*imentación( El mismo d+a de entre)a. ;!)!5!" Criterio de e%a*uación de *a acti%idad TA8@ ,cti$idad ,cti$idad (esol$er e0ercicios de $alor presente o $alor futuro con PP q PC. (esuel$a de manera correcta los problemas.

(eso (esol$ l$er er los los propuestos.


e0er e0erci cici cios os  Puntos

;tiliz ;tilizar ar el forma formato to para para la 1 Puntos entre)a de tareas.

otal

1 puntos

;!)!: Resu*tado de* A&rendi'a$e(


- 126 -

;!+! Tema? Tema ? asa de inter/s nominal. ;!)!" O#$eti%o de a&rendi'a$e( @ue el alumno comprenda y apliue la tasa de inter/s nominal en problemas reales. ;!)!) Recurso tiem&o de* tema( 1." 'oras ;!)!+ Desarro**o(

Ba tasa tasa de inte inter&s r&s nomi nomina nal,l, r 9 es una tasa de inter/s ue no considera la capitalización de intereses9 por definición9 r B tasa de inter/s &or &eriodo - n]mero de &eriodos . En una tasa nominal r puede fi0arse para cualuier periodo? 1a%o9 - meses9 1 trimestre9 1 mes9 1 semana 9 1 d+a9 etc. Ba ecuación anterior se aplica para calcular el $alor eui$alente de r para cualuier periodo menor o mayor. E0emplo Ba tasa nominal de r O1." ^ mensual es la misma ue cada una de las si)uientes tasas. r O 1."^ mensual : 24 meses O 3-^ por un periodo de 2 a%os.

Amayor ue 1mes>

O 1."^ mensual L 12 meses O 1#^ anual

Amayor ue 1 mes>

O1."^ mensual L - meses O ^ por medio a%o

Amayor ue 1 mes>

O 1."^ mensual : 3 meses O 4."^ trimestral

Amayor ue 1 mes>

O 1."^ mensual : 1 mes O1." mensual

Ai)ual a 1 mes>

O1."^ mensual : .231 mes O .34-^

Amenor ue 1 mes>

Mbse Mbser$ r$ee ue ue nin) nin)un unaa de /sta /stass tasa tasass nomi nomina nale less me menc ncio iona na la frec frecue uenc ncia ia de la composición. odas ellas tienen la forma D r^ por periodo de tiempo tD. Periodo de pago (PP) es necesario considerar la frecuencia de los pa)os o in)resosS es decir9 el periodo de transacción de flu0o de efecti$o. Por sencillez 9 recibe el nombre de periodo de pa)o. Periodo de tiempo es la unidad fundamental del tiempo de la tasa de inter/s. Esta corresponde a la literal t en en el enunciado ue r^ por periodo de tiempo t. asta a'ora9 la unidad de tiempo de un a%o es la mas comn.
MATEMÁTICAS III


- 127 -

Periodo de composición o de capitalización (P<) es la unidad de tiempo utilizada para determinar el efecto de inter/s.
En los cap+tulos anteriores9 todas las tasas de inter/s ten+an $alores de t y m de un a%o. Esto si)nifica ue las tasas eran tasas efecti$as y nominales9 en $irtud ue se utilizaba la misma unidad de un a%o.
r V porperiodo det iempot

O mperiododecomposicionpoirt

r m

E0emplo
Ponderación

@ue se comprenda el 4 Puntos mane0o de los conceptos. ;tilizar el formato para la 1 Puntos entre)a de tareas. otal 1 puntos

MATEMÁTICAS III


- 128 -

;!+!: Resu*tado de* A&rendi'a$e( 2-^ capitalizable cada semestre. 5 O 2-^ m O 2 periodos de capitalización por a%o. 5epO

,6 ,

O 13^ semestral.

b> 3^ capitalizable cada i d+as. 5 O 3^ anual. *O 0ep O

365 K+

O 4.1#11 periodo de capitalización en el a%o.

30 &0+0K8K0++

0ep O &.4&4 en 1 d+as. _Calcule la tasa efecti$a de la tasa nominal del 1"^ semestral capitalizable cada mes. Ie O .1" por semestre O .3 por a%o * O 12 periodos de capitalización por a%o. Ie O A1W

0&30 +,

>12=1

Ie O .344### 5e  34.4#^ anual

644 A$00'%' '! %"!'0=%! N# 15 TA8:E$ercicios &ro&uestos! ;!5!5!" Instrucciones( @ue el alumno resuel$a problemas en los ue se in$olucren las tasas de inter/s. . a6 Va*or acti%idad( : Puntos #6 ,roducto es&erado( @ue los alumnos realicen correctamente los e0ercicios. c6 Fec7a inicio( d6 Fec7a entre1a( e6 Forma de entre1a( Por separado9 escrito a mano

MATEMÁTICAS III


- 12 -

266 Ti&o de acti%idad( Indi$idual 16 Fec7a de rea*imentación( El mismo d+a de entre)a.

;!5!5!" Criterio de e%a*uación de *a acti%idad TA8 ,cti$idad ,cti$idad Ponderación @ue realice una in$esti)ación de los anteriores conceptos @ue se realice una correcta in$esti)ación.

@ue se comprenda el 4 Puntos mane0o de los conceptos. ;tilizar el formato para la 1 Puntos entre)a de tareas. otal 1 puntos

;!5!: Resu*tado de* A&rendi'a$e(
_El cobro uincenal del sueldo9 el pa)o mensual de la renta de la casa los abonos mensuales para pa)ar una computadora comprada a cr/dito9 el pa)o anual de la prima del se)uro de $ida. Bos di$idendos semestrales con acciones. Bos depósitos bimestrales efectuados al fondo de 0ubilación9 etc.

Bos t/rminos de renta9 pa)o periódico9 abono u otros9 pueden ser utilizados en lu)ar de anualidades. El tiempo transcurrido entre dos pa)os sucesi$os se llama periodo de pago o periodo de renta. El periodo de pa)o puede ser anual9 semestral9 y mensual9 etc. El tiempo ue trascurre entre el principio del periodo de pa)o y el final del ltimo periodo de pa)o se llama plazo de la anualidad.

MATEMÁTICAS III


- 13. -

vencidas u ordinarias.?
simples? Es auella cuyo periodo de pa)o ue coincide con el periodo de capitalización de los intereses. Por e0emplo? (ealizar depósitos mensuales en una cuenta de a'orros ue pa)a intereses capitalizable cada mes.

)eneral? Es auella cuyo periodo de pa)o no coincide con el periodo de capitalización de los intereses. Por e0emplo? Cuando se realizan depósitos uincenales en una cuenta de a'orros cuyos intereses se capitalizan cada mes. ANUALIDADE I!PLE "ENCIDA

El monto de una anualidad $encida es el $alor acumulado de una serie de pa)os i)uales efectuados al final de cada periodo.

Ejemplo

1... . 1 M#!$# %$%&

1... 2

1... 3

1... 4

  

1...

1...

11

12

!)!)

* O 1A1W.1"> 11W1A1W.1"> 1W1A1W.1"> W1A1W.1"> #W1 A1W.1"> &W1A1W.1"> -W1A1W.1">"W1A1W.1"> 4W1A1W.1"> 3W1A1W. 1">2W1A1W.1"> 1W1O 13 41.21

MATEMÁTICAS III


- 131 -

;nter&s compuesto ganado por la anualidad : es la diferencia entre el monto y el total depositado. ;nter&s ganado % +F.CG(+++)(C)%+F.C

Formula )eneral para obtener el monto o $alor futuro de las anualidades $encidas ! 3BA

 " K i 6n 8" i

3 B 3onto A B ,a1o o de&ósito 7ec7o a* 2ina* de cada uno de *os &eriodos i B tasa de inter/s &or &eriodo e-&resada en 2orma decima* n B numero de &eriodos 3 B "

" K !":6 ")8" !":

* O 1 A13.412114#> * O 13 41.21

E$em&*o

El papá de un ni%o de 1 a%os empieza a'orrar para ue su 'i0o pueda estudiar una carrera uni$ersitaria. Planea depositar " en una cuenta de a'orros al final de cada mes durante los pró:imos # a%os.
0&,7 +,

sensual.

* O "

+ + 0&,7 X +,)K6 −+ 0&,7 X +,

 O # a%os O - meses.

* O "

(+&0,,5) K6 −+ 0&0,,5

* O " A331.#22341> * O 1-" 11.1&" En # a%os A"> A-> O 4#  I O 4# =1-" 11.1&" I O 11& 11.1&"

MATEMÁTICAS III


- 132 -

E$em&*o

El papá de un ni%o de 1 a%os empieza a'orrar para ue su 'i0o pueda estudiar una carrera uni$ersitaria. Planea depositar N" mensuales en una cuenta de a'orros al final de cada mes durante los pró:imos # a%os.
.

5..

5..

5..

5..

5..

5..

1

2

3

4

5

6



5..

8..

8..

8..

6.

61

62

63

8..

8..

5

6 !)!)



D0%("%% '! &u# '! !!$0#

!atos , O N" i O 2&^G12 O2.2"G1 O 922"

* 1 O "

+ + 0&0,,5) 60 −+ 0&0,,5

O N-2 22".21

n O - meses Se1unda &arte?

3-

*2 O N13#9 -2-.3-12

Tercera &arte
*+ B @ " K !)):6 +; 8" !)): *+ B N439 -"".-4

3onto tota*( 3 t B 3)K3+B"+@ ;);!+;") K 5+ ;::!;5 B W"@) )@)!: VALOR ,RESENTE O ACTUAL DE UNA ANUALIDAD VENCIDA

MATEMÁTICAS III


- 133 -

El $alor presente de una anualidad9 se define como la suma de los $alores presentes de todos los pa)os. E$em&*o
1 18375 . P

1 18375

1

1 18375

1 18375

3

4

2

M!)!)

D0%("%% '! &u# '! !!$0#

PO

++83&7, +&03

W

++83&7, ,

+&03

W

++83&7, 3

+&03

W

++83&7, +&03

O N 4 4

!onde P representa el $alor presente de los pa)os. N44 es el $alor actual de 4 pa)os mensuales de N1 1#3.&2 cada uno9 y representa la cantidad de dinero pedida en pr/stamo por el deudor.

Fórmula para obtener el $alor presente o actual de una anualidad $encida. PO,

+ − (i + i )

−

n

i

E$em&*o Cual es el $alor presente de N "  depositados en una cuenta al final de cada trimestre9 durante 4 a%os9 si la tasa de inter/s es del 2#^ contabilizable en forma trimestral.

, O "  I O .2#G4  O 4 a%os O 1- trimestres

P O " 

+ − (+ + 0&,8 X )−+6 0&,8 X 

MATEMÁTICAS III


P O " A P O "  A

+ −(+&07 ) −+6 0&07

- 134 -

>

+ − 0&338735K78 0&07

>

P O N4& 233.24

E$em&*o

(auel desea 0ubilarse este a%o y cree ue necesita N"  cada mes durante los si)uientes 1" a%os.
P O,

+ − (+ + i)

−

n

i

n O 1" a%os O 1# meses −

P O " 

+ − (+ + 0&0+8333)

+80

0&0+8333

, B W);) +;+!??+ Ba diferencia entre el $alor actual y la cantidad total recibida es el inter/s compuesto )anado Inter/s com&uesto B :6 "@68 );)+;+!??+6 B W;+?;+;!))?

ANUALIDADES SI3,LES ANTICI,ADAS ;na anualidad anticipada es auella en la cual los pa)os se lle$an a cabo al inicio del periodo de renta. de un se)uro de $ida9 la renta de una casa u oficinaS al)unos planes de cr/dito estipulan ue los pa)os deben realizarse al comienzo de los periodos con$enidos9 etc/tera.
MATEMÁTICAS III


- 135 -

Anua*idad ordinaria



,

,

,

1

2

3

!!!

,

,

,

n=2

n=1

n

Anua*idad antici&ada ,

,

,

,

,

,

n=2

n=1

!!! 

1

2

3

n

Mbs/r$ese ue la anualidad anticipada comienza con un pa)o y concluye un periodo despu/s de ue se 'aya cubierto el ltimo pa)o. Por tal moti$o9 el n=/sino pa)o )ana intereses por un periodo debido a ue fue depositado al inicio del ltimo periodo. 3ONTO Y VALOR ACTUAL DE UNA ANUALIDAD ANTICI,ADA E$em&*o
1

1



1

1

1

1

1

2

3

4

" F

meses

" W 1 A1.2> 4 W 1 A1.2> 3 W 1 A1.2>2 W 1 A1.2> F O 1 A1.2" W 1.2 4 W 1.2 3 W 1.22 W 1.2> F O 1 A".3#12-3> F O N"3.#12 FMR3ULA ,ARA O nW1 X A1 W i> FO,

MATEMÁTICAS III


- 136 -

i

A1 W .2>"W1 X A1 W .2> F O 1

.2

F O N "3.#1

FOR3ULA ,ARA O
PO,

(+ + i ) − (+ + i )+

P O 1

−

n

i

(+ + 0&0,) − (+ + 0&0,)+

−

5

0&0,

P O 1A4.#&&2#-#>

, B W5@!?? E$em&*o( ;n profesionista deposita N4&. al principio de cada mes9 en una cuenta de in$ersión. Mbten)a el monto al cabo de 4 a%os. b> Cuál es el inter/s )anado en los 4 a%osJ c> Calcule el $alor presente de la anualidad. So*ución a6 , O 4& n O 4# meses

MATEMÁTICAS III


- 137 -

i O .23-4G12 O .1&
A1 W i> n W 1 X A1 W i> FO,

A1.1&> 4# W 1 X A1.1&> O 4&

i

.1&

2.-14&2 X .1& F O 4&

O 4& A#.2&1"2-"> 1.1&

F O N3&9&2&.-2

b>Inter/s compuesto )anado O *onto X total depositado O 3&9&2&.-2 X A4&> A4# meses> O N1"91-&.-2 c6 El $alor actual se obtiene mediante la ecuación

1W 1& X A1W 1&> 1 = 4#

P O 4&

.1&

P O 4& A31.4-1&&&4&"> P O N149&."1 E$em&*o( ;na compa%+a constructora debe in$ertir durante los pró:imos " a%os9 al comienzo de cada mes9 N1"9. en un fondo para la depreciación de su mauinaria. Cuál será el monto de este fondo de depreciación al cabo de " a%os9 si 'a estado produciendo el 2&^ capitalizable cada mesJ
MATEMÁTICAS III


- 138 -

i O .2&G12 O .22"

FO,

A1 i>nW1 X A1Wi>

O 1"9

A1.22"> -1 X A1.22">

i

.22"

F O 1"9 A12&.2""-&1&> F O N1 #9&"#.""
F O 1"9

A1.22">- = 1 O N1 #--.&"-."2 .22"

H2ay una diferencia de IFC,++C.+C*

E$em&*o( Ba póliza de un se)uro de $ida estipula ue se entre)ue al beneficiario de /ste un pa)o de N"9. al comienzo de cada mes durante 12 a%os. Cuál es el $alor presente de esta anualidad9 si la tasa de inter/s es del 2.3"^ mensualJ SOLUCIMN , O "9 n O 144 meses i O .23"

A1 W i> X A1 W i> 1 X n PO,

O "9 i

P O "9 A42.1&2--4-2&> P O N219#-.33

E$em&*o(

1.23" X A1.23"> 1 X 144 .23"

MATEMÁTICAS III


- 13 -

;tilice el problema anterior y compare el $alor actual de la anualidad anticipada con el $alor actual si fuera anualidad ordinaria. SOLUCIMN
P O "9

1 X A1.23"> X144 .23"

P O "9 A41."2"31-> P O N2"92-2.-El $alor presente de la anualidad anticipada es N49#23.-& AN219#-.33 = N2"92-2.--> más ue el $alor presente de la anualidad $encida. Mtra forma de lle$ar a cabo la comparación es?

219#-.33

2"92-2.--

O 1.23"

El $alor actual de la anualidad anticipada es 1.23" $eces más ue el de la anualidad $encida. E$em&*o( ;na ni%a reci/n nacida recibió9 por parte de sus abuelos maternos9 N19. para ue sean utilizados en su educación uni$ersitaria. El mismo d+a en ue nació la ni%a su padre le abrió una cuenta de in$ersión a su nombre9 donde depósito el re)alo de los abuelos 0unto con N3. ue piensa depositar9 a partir de ese momento9 cada mes9 durante 12 a%os. !espu/s de transcurrido ese tiempo9 los depósitos serán suspendidos9 pero el dinero se mantendrá en la cuenta 'asta ue la ni%a cumpla 1# a%os9 edad en ue estará por in)resar a la ;ni$ersidad. @u/ cantidad de dinero 'abrá en la cuenta dentro de 1# a%osJ
3



3

3

!!! 1

2

!!! 142

143

F representa el monto al final de 1# a%os. El problema se debe resol$er en 3 etapas.

144

14"

meses

214

21"

21F

MATEMÁTICAS III


,rimera &arte! Mbtener el monto AF 1> de N19 durante 1# a%os

19 !!! 

1

2

3

meses 214

21"

21F1

0&8+6 ,+6 ) +,

F1 O 1  A1 W

F1 O N2&& 24".42& Se1unda &arte de la mensualidad anticipada9 durante 12 a%os. 3

3

3

3

3

!!! 

1

2

142

143

meses

144 F2

A1 W i> nW1 X A1 W i> F2 O ,

F2 O 3

i

A1 .1#-G12>14" X A1 W .1#-G12> A.1#-G12>

F2 O 3 A"34.-3112-3> F2 O N1- 3#.34 Tercera &arte de N1- 3#.34 in$ertidos de los 12 a los 1# a%os.

- 14. -

MATEMÁTICAS III


- 141 -

1- 3#.34 !!! 144

14"

14-

214

21"

meses 21F3

.1#F3 O 1-93#.34 A1 W > &2 12 F3 O N4#"9434.11 El monto total al final de los 1# a%os $iene dado por la suma de F 1 y F3. *onto total O F1 W F3 O 2&&924".43 W 4#"9434.11 *onto total O N&-29-&."4

?!"!5! Acti%idad de a&rendi'a$e No! "; TA8"(E$ercicios &ro&uestos! ?!"!5!" Instrucciones( @ue el alumno resuel$a problemas de anualidades $encidas y anticipadas . . a6 Va*or acti%idad( " Puntos #6 ,roducto es&erado( @ue los alumnos realicen correctamente los e0ercicios. c6 Fec7a inicio( d6 Fec7a entre1a( e6 Forma de entre1a( Por separado9 escrito a mano 266 Ti&o de acti%idad( Indi$idual 16 Fec7a de rea*imentación( El mismo d+a de entre)a. ?!"!5!" Criterio de e%a*uación de *a acti%idad TA8" ,cti$idad ,cti$idad

Ponderación

@ue se realice e0ercicios @ue pueda tomar  Puntos respecto a anualidades decisiones respecto en $encidas y anticipadas. diferentes alternati$as de financiamiento. @ue se realicen ;tilizar el formato para la 1 Puntos correctamente los entre)a de tareas. e0ercicios. otal 1 puntos Acti%idad de a&rendi'a$e No! "? ,R8 : Reso*%er e$ercicios &rcticos ?!"!5!) Instrucciones? (esol$er un e0ercicio de anualidades $encidas o anticipadas. .

MATEMÁTICAS III


- 142 -

76 Va*or de *a acti%idad( "" Puntos i6 ,roducto es&erado( @ue los e0ercicios sean resueltos de manera correcta. $6 Fec7a inicio( =6 Fec7a entre1a( *6 Forma de entre1a( escrito a mano.. m6 Ti&o de acti%idad( Indi$idual . n6 Fec7a de retroa*imentación( el mismo d+a de entre)a. ?!"!5!) Criterio de e%a*uación de *a acti%idad ,R8; Acti%idad Acti%idad Practica escrita ue conten)a al menos un problema de anualidades $encidas o anticipadas. . ;so de re)las de presentación

,onderación

(esol$er en forma rápida  Puntos un problema de anualidades $encidas o anticipadas. ;tilizar el formato para la 1 Puntos elaboración de prácticas. otal 1 puntos

?!"!: Resu*tado de* A&rendi'a$e(
?!)! Tema? ablas de amortización. ?!)!" O#$eti%o de a&rendi'a$e( @ue el alumno aduiera la 'abilidad para realizar las tablas de amortización. ?!)!) Recurso tiem&o de* tema( 3 'oras ?!)!+ Desarro**o( ,*M(Ih,CIw , IE(|<
A/## :

M#$# '! &% '!u'% N!"# '! %(#)

MATEMÁTICAS III


- 143 -

Las amorti'aciones a inter/s sim&*e se pueden lle$ar a cabo de dos maneras distintas. • •

con inter/s )lobal. con inter/s sobre saldos insolutos.

Amorti'ación con inter/s 1*o#a*( En /ste tipo de amortización los intereses son calculados sobre la totalidad de la deuda y no se toman en cuenta los pa)os efectuados. E$em&*o El se%or 5a$ier *edina compra un refri)erador a cr/dito cuyo precio de contado es de N39#. ba0o las si)uientes condiciones del pa)o9 - meses para pa)ar dando abonos mensuales i)uales en cantidad y una tasa de inter/s )lobal del 4#^. Calcule $alor del abono mensual. 12 < O N49&12. ,bono O N49&12. O N&#".33 Ba Bey Federal de Protección de consumidor pro'+be el uso del inter/s )lobal en todas las operaciones a cr/dito. El art+culo - de dic'a ley dice te:tualmente Bos intereses se causarán e:clusi$amente sobre los saldos insólitos del cr/dito concedido y su pa)o no podrá ser e:i)ido por adelantado9 sino nicamente por periodos $encidos.

Amorti'ación con inter/s so#re sa*dos insó*itos(
MATEMÁTICAS III


- 144 -

Ba amortización mensual al capital? C O 3#.

,mortización Aa> O

D3800 6mesesdepa" o

=

D633&33

i O 4#^ Bos intereses mensuales se deben calcular sobre la parte no pa)ada del capital Asaldo insoluto> ue $a uedando despu/s de cada amortización. !esde el inicio del cr/dito 'asta el final del primer mes el saldo insoluto es al N39#. por tanto9 el inter/s a pa)ar al efectuar la primera amortización será?

I O N3#.  .4#  1 O N 1"2. 12 Ta#*a de amorti'ación 3es 1 2 3 4 " -

Sa*do inso*uto N 39#. N 391--.-& N 29"33.34 N 19.1 N 192--.-# N -33.33 Tota*

Amorti'ación a* ca&ita* -33.33 63333 63333 63333 63333 63333 3 &.#

Intereses N 1"2. N 12-.-& N 11.33 N &-. N ".-& N 3".33 N "32

,a1o tota* &#".33 &-. &34.-&.33 -#4. -"#.-N 49331.#

El precio pa)ado por el refri)erador es de N433.#S N3 #. corresponden al capital y N"32. a los intereses. Como se puede $er9 los intereses cobrados sobre los saldos insolutos son menores ue los cobrados mediante el inter/s )lobal. ambi/n se obser$a ue el pa)o total es cada $ez menor9 debido a los intereses ue $an decreciendo mes a mesS sin embar)o9 es practica comn ue el pa)o total sea i)ual cada mes. El pa)o total mensual constante9 con intereses incluidos9 es de? ,bono O 49331.# O &22 El refri)erador se pa)a mediante - pa)os mensuales i)uales de N &22 cada uno. Otra 2orma de o#tener e* inter/s tota* so#re sa*dos inso*utos! c O $alor presente. n O nmero de periodos i O tasa de inter/s Asin su porcenta0e9 es decir entre 1> a O el $alor de la amortización al capital. a9 se obtiene al di$idir el $alor presente de la deuda entre el nmero de periodos9 esto es?

MATEMÁTICAS III

aO

c n


donde

- 145 -

c O saldo insoluto al inicio

!atos? c O N 39#. a O N -33.33 n O - meses i O .4#G12 O .4

 I *

2

+ 9 %,

I O -  .4 A39# W -33.33> O N"32. ,bono mensual O *onto O 39# W "32 O N&22 n -

E0emplo? Implementos a)r+colas <9 ,. $ende un tractor9 cuyo precio de contado es N 19. ba0o los si)uientes condiciones? dar un en)anc'e del 2"^ y el resto en 3- abonos uincenales i)uales en cantidad9 a una tasa de inter/s simple del "^ sobre saldos insolutos. Calcule el importe del abono uincenal. El $alor presente de la deuda. C O 19 X 2"^ del 19. C O 19 X 4&9" C O N 1429". El $alor de la amortización? a O 1429" O 3a O N 3 "#.33 n O 3iO ." O .2#3 24 I O 3-  .2#3 A1429" W 3"#.33> O "4921.#&3& 2 I O "4921.#&3&

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- 146 -

*onto O N 1429" W "421.#&3& *onto O 1&9421.#&3& ,bono uincenal O 1&9421.#&3& 3 ,bono uincenal O "94#3.4 E$em&*o? 2 I O - : .31- A3-9> W A3-> : A4> W 39-> 2 I O N "913. Ta#*a de amorti'ación 3ES

SALDO INSOLUTO

1 2 3 4 " & #  1

3-9 3294 2#9# 2"92 219- 1#9 1494 19# &92 39-

A3ORTIPACIMN AL CA,ITAL 3- 36.. 36.. 36.. 36.. 36.. 36.. 36.. 36.. 36..

INTERXS

,AGO TOTAL

114 1212 &# -#4 "& 4"342 22# 114

4&4 4&24"12 43# 42#4 41& 4"342 3#2# 3&14

E$em&*o? ;n pr/stamo por N "292 deberá ser liuidado en un a%o9 como pa)os bimestrales9 cobrando una tasa de inter/s simple sobre saldos insolutos i)ual a la IIE Aasa de Inter/s interbancaria de euilibrio> más " puntos porcentuales. El pr/stamo fue otor)ado el " de 0ulio y en pa)os deberán 'acerse los d+as "9 empezando con el " de septiembre obten)a el pa)o total ue se deberá realizar cada bimestre9 sabiendo ue las tasas de inter/s fueron los si)uientes?

MATEMÁTICAS III


7I*E<(E

- 147 -

IIE

1 2 3 4 " -

3.#^ 4.1"^ 41.24^ 43.^ 2."^ 4.#&^

c O N "292 a O "292 O N #9&. n O - bimestres i O tasa $ariable.
Sa*do inso*uto "292 4"9" 349# 2-91 1&94 #9&

Amorti'ación a* ca&ita* #9& #9& #9& #9& #9& #9&

Tasa de inter/s ms : &tos! 44.#^ 4".1"^ 2-.24^ 4#.^ 4&."^ 4".#&^

Inter/s

,a1o Tota*

3#34." 32&3.3&" 2-#1.2 2## 13&&." --".11"

129"34.11&393&" 113#1.2 19&##. 19&&." 3-".11"

Acti%idad de a&rendi'a$e No! "@ ,R8 ? Reso*%er e$ercicios &rcticos ?!)!5!) Instrucciones? (esol$er un e0ercicio de amortización sobre saldos insolutos.. . 76 Va*or de *a acti%idad( 1 Puntos i6 ,roducto es&erado( @ue los e0ercicios sean resueltos de manera correcta. $6 Fec7a inicio( =6 Fec7a entre1a( *6 Forma de entre1a( escrito a mano.. m6 Ti&o de acti%idad( Indi$idual . n6 Fec7a de retroa*imentación( el mismo d+a de entre)a. ?!)!5!) Criterio de e%a*uación de *a acti%idad ,R8? Acti%idad Acti%idad Practica escrita ue conten)a al menos un problema de amortizaciones a inter/s simple. . ;so de re)las de presentación

,onderación

(esol$er en forma rápida  Puntos un problema de amortizaciones a inter/s simple. ;tilizar el formato para la 1 Puntos elaboración de prácticas. otal 1 puntos

MATEMÁTICAS III


- 148 -

?!"!: Resu*tado de* A&rendi'a$e(
Tasa de rendimiento m#nimo aceptable.

Bos m/todo de e$aluación económica se basan en comparaciones. Es decir9 comparan sus resultados económicos con los beneficios m+nimos ue los in$ersionistas están dispuestos a aceptar u otras in$ersiones accesibles para los in$ersionistas. Ba tasa de rendimiento m+nima aceptableArema> es la tasa de rendimiento ue como m+nimo está dispuesta a aceptar una persona o empresa para in$ertir sus recursos en una in$ersión dada. E:isten tres criterios para determinarla. Primero" rendimiento i)ual o mayor ue la inflación. Esperar ue una in$ersión )enere rendimiento i)ual a la inflación eui$ale a considerar ue los in$ersionistas se conformen con sus a'orros cuando menos conser$en su poder aduisiti$o. En este caso se esperar+a obtener un rendimiento real i)ual a cero9 lo ue creemos ue en la práctica resulta poco interesante para los in$ersionistasS por esta razón no consideramos ue este sea el me0or criterio. -egundo: rendimiento mayor o i)ual ue el costo de oportunidad de capital. Este se define como lo ue se de0a )anar en una in$ersión , por in$ertir los recursos disponibles en otra opción 7. Este criterio se basa en el 'ec'o de comparar el rendimiento estimado del proyecto de in$ersión con otras opciones accesibles al in$ersionista. Esas opciones de in$ersión son )eneralmente mas se)uras y pueden ser? in$ersiones en el mercado de dinero9 de capitales9 de metales precios o inclusi$e el rendimiento obtenido por otro proyecto de in$ersión. Bo mas comn es utilizar los Certificados de la esorer+a de la Federación.ACetes>. 7ercero" (endimiento mayor o i)ual a costo del capital.
MATEMÁTICAS III


- 14 -

endeudamiento y por aportaciones de capital de los accionistas. Por e0emplo una empresa con una estructura de capital como la ue se muestra en la tabla &.1 tiene un costo de capital promedio ponderado i)ual al 1#9#^. abla&.1. E0emplos de la estructura de capital de una empresa.

C#!$# A$0#)+, P%)0# 6.. C%0$%& )#0%& 4.. T#$%& 1...

C#)$# %u%& 18. 2..

C#)$# #'!"%'# 1.8 8. 188

Por tanto9 cualuier in$ersión ue realice la empresa tiene ue redituarle este rendimiento o uno mayor. Independientemente de cuál de los tres criterios Ainflación 9 costo de oportunidad o costo de capital> se apliue para e$aluar un proyecto9 los in$ersionistas siempre solicitan un premio adicional o sobre tasa. Este premio e:tra es proporcional al ni$el de ries)o de la a$entura. !e tal forma ue la rema debe considerar ese premio por la toma de ries)os. La in$lación % tasa m#nima de rendimiento aceptable.

El rendimiento ofrecido por una in$ersión tiene una parte i)ual a la inflación y otra llamada parte real ue puede estar por arriba o por aba0o de la inflación. Cuando el rendimiento ue )enera una in$ersión es superior a la inflación9 se dice ue esa in$ersión )enera un rendimiento real positi$o Afi). &.29 caso 1>9 y cuando es menor9 decimos ue la in$ersión produce un rendimiento real ne)ati$oAfi). &.39 caso 2>. &endimiento &eal positivo

&endimiento &eal ne'ativo

(endimiento efecti$o inflación

Inflación

(endimiento efecti$o Caso 2

Caso 1

Fi). &.3. (endimiento real de una in$ersión. !el concepto de inter/s real con$iene recordar la e:presión usada para calcular la tasa real de inter/s.

r O

+ +# e =1 + +# inf

L 1

!onde? r O asa real e O asa de inter/s efecti$a inf . O asa de inflación. ay ue considerar ue la e$aluación de un proyecto de in$ersión se realiza a partir de su flu0os de efecti$o proyectados.
MATEMÁTICAS III


- 15. -

entonces9 la rema ue se aplicará para e$aluar el proyecto de in$ersión deberá corresponder nicamente a la porción real de esa tasa de inter/s. E0emplo?
r O

+ + 0& , + + 0&+5

+

−

L 1 O 4.3"^

Por lo tanto9 la tasa de 4.3"^ real anual será la ue empleará como rema para e$aluar el proyecto de in$ersión mencionado. Cuando las proporciones financieras del proyecto consideran las efectos de la inflación en la proyección de sus in)resos y de sus costos9 entonces9 la rema ue se apliue para e$aluar el proyecto deberá incluir tanto la parte inflacionaria como la parte real de la tasa de rendimiento. E0emplo

(endimiento sobre la in$ersión */todos !eterministicos

6alor presente neto Con actualización

asa interna de rendimiento •ndice de rentabilidad.

*/todos

Pronósticos conser$adores asa de descuento a0ustado por ries)o ,nálisis de sensibilidad

MATEMÁTICAS III

probabilisticos


- 151 -

*odelos de simulación de *onte Carlo vrboles de decisión estocásticos. Eui$alente ba0o certeza.

3/todo de *a tasa interna de retorno o tasa de 2*u$o de e2ecti%o neto descontado La tasa interna de retorno es la tasa de inter/s pa)ada sobre saldos insolutos de dinero tomado en pr/stamo o la tasa de inter/s )anada sobre el saldo no recuperado de una in$ersión 9 de tal manera ue el pa)o o el in)reso final lle$a el saldo a cero9 considerando el Inter/s. En otras palabras es la tasa de inter/s efecti$a ue se pa)a por un financiamiento Apr/stamo>S tambi/n puede definirse como la tasa de inter/s efecti$a ue se obtiene como rendimiento en una in$ersión particular. Ba tasa interna de retorno AI(> tambi/n se puede definir como la tasa de descuento ue 'ace ue el $alor presente neto de los flu0os de efecti$o de una in$ersión sea i)ual a cero o ue tambi/n ten)a una relación beneficio G costo actualizados o +ndice de rentabilidad i)ual a uno. Es uno de los m/todos mas utilizados para e$aluar proyectos de in$ersión. Consiste en calcular la tasa de descuento para la cual el 6P de los flu0os de efecti$o sea cero o ue su +ndice de su rentabilidad sea i)ual a uno.
 9 se dice ue el proyecto es rentable.  de la si)uiente e:presión. !onde?

6P O CoWC1A1Wi>=n

6P O $alor presente neto de los flu0os de efecti$o proyectado. Co O in$ersión inicial o flu0o de efecti$o del a%os cero. C1O flu0o de efecti$o del primer a%o y beneficio recibido. I O tasa de descuento. n O nmero de periodos. Por sustitución de los $alores y despe0e de la tasa de descuento i9 tenemos ue? 6P O  O =1 W 1" A1W i> =n iO

+50 +00

+ n

=1

MATEMÁTICAS III


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C1 * 15.

.

1 C# * 1..

F0( 74 F&u# '! !!$0# "#
!onde n O 1 I O ." ‚ "^ Por tanto9 el rendimiento ue )enera esta in$ersión es de "^9es decir9 su tasa interna de retorno es i)ual a "^. E$em&*o Continuemos con el e0ercicio de la e$aluación de los proyectos , y 7 ue se 'an desarrollado anteriormente9 mostremos el dia)rama de flu0o?

C1*1. ... C2 *1. ... C3* 1. ...

C4 *7 ... C5 * 5 ...

.

1

2

3

4

5

C6 * 5 ... 6

C#*2. ... 75 F&u# '! !!$0# '!& "#
Ba ecuación ue nos permite calcular el 6P del flu0o de efecti$o9 es la si)uiente? 6P O Co W C1A1Wi> =1 W C2A1Wi> X2 W C3A1Wi> =3WC4A1Wi> X4 W C"A1Wi> =" W C-A1Wi> XPor sustitución de los $alores tenemos ue? 6P O  O =2  W 1 A1Wi> =1 W 1 A1Wi>=2 W 1 A1WI>=3 W & A1WI> =4W"A1WI>="W " A1WI>=!espe0ar la tasa de descuento i de una ecuación de este tipo no es muy sencillo9 la forma más práctica de calcular la tasa interna de retorno es mediante tanteos9 es decir9 $ariando $alores en la tasa de descuento i 'asta ue se cumpla la condición determinada. Ba si)uiente tabla muestra el $alor presente neto y el +ndice de rentabilidad ue resulta con diferentes tasas de descuento para los proyectos , y 7. Como se puede obser$ar en la tabla &.- y en la fi)ura &.# la tasa de descuento ue 'ace el 6P del proyecto sea i)ual a cero y el I( i)ual a 1. abla &.- $alor presente neto e +ndice de rentabilidad para tasas de descuento diferentes. ,ro4ecto A ,ro4ecto < asa de 6PAN> I(A$eces> 6PAN> I(A$eces> descuentoA^>

MATEMÁTICAS III


" 1" 2" 3" 4" "" -" &" #" " I(

21."1 11.&-# "."41 1.1"# =2."2 =4.4#2 =-.3&2 =&.#&=.# =1.13#.2#^

2.1 1.1.3 1.1 . .# .& .." ."

42.3# 1&.3" 2." =".&&& =11.43" =1".2"=1&.42 =1.#& =21.3-3 =22.41 2&.2^

2" 

2.4 1.1.1 .# .." .4 .3 .3 .3

2."

2 

2.

1"  1 

I( O 1

1."

" 

1.

" 

6P O 

."

1  1" 

- 153 -

"

1"

2"

3"

3#

4"

""

-" &" #" " 

asa de descuentoA^>

` +ndice de rentabilidad 

6alor presente neto

Fi).&.# Cálculo de la I(9 proyecto ,. Está dentro del ran)o comprendido entre 3"" y 4"^. Con mas precisión la tasa de descuento ue cumple con la condición 6P O 9 es 3#.2#^.  O =2W1A1W.3#2#>=1W1A1W.3#2#>=2W1 A1W.3#2#>=3 W&A1W.32#>= 4 W "A1W.3#2#>=" W" A1W.3#2#>=Por lo tanto9 la I( de los flu0os de efecti$o del proyecto , es de 3#.2#^9 y en el caso del proyecto 79 la I( de sus flu0os de efecti$o es 2&.2^.Con base en los criterios de decisión e:puestos anteriormente9 podemos concluir ue el proyecto , es una opción de in$ersión mas rentable porue tiene la I( mayor. Venta$as 4 des%enta$as de* m/todo de tasa interna de retorno! Las ventajas que presenta este m&todo son las sigu ientes? <+ considera el $alor del dinero en el tiempo. 
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Las desventajas" El criterio de decisión para proyectos mutuamente e:cluyentes puede contradecir al m/todo de 6P. o todos los flu0os de efecti$o tienen la propiedad de ue el $alor presente neto disminuye a medida ue la tasa de descuento aumenta. ay flu0os de efecti$o ue presentan tasas internas de retorno mltiples. E:isten dificultades para tomar decisiones de in$ersión cuando el $alor de la rema para corto y lar)o plazo es diferente.

3XTODO DEL VALOR ,RESENTE El m/todo del $alor presente es uno de los criterios económicos más ampliamente utilizados en la e$aluación de proyectos de in$ersión. Consiste en determinar la eui$alencia en el tiempo cero de los flu0os de efecti$o futuros ue )enera un proyecto y comparar esta eui$alencia con el desembolso inicial cuando dic'a eui$alencia es mayor ue el desembolso inicial9 entonces9 es recomendable ue el proyecto sea aceptado. Fórmu*a uti*i'ada &ara e%a*uar e* %a*or &resente de *os 2*u$os 1enerados &or un &ro4ecto de in%ersión(

n St "PN B So K  tB " "K i6t

donde( V,N! B Va*or &resente neto! S o B In%ersión inicia*! S t B F*u$o de e2ecti%o neto de* &eriodo t! n B N]mero de &eriodos de %ida de* &ro4ecto! i B Tasa de recu&eración m9nima atracti%a! Ba fórmula anterior tiene una serie de caracter+sticas ue la 'acen apropiada para utilizarse como base de comprobación capaz de resumir las diferencias más importantes ue se deri$an de las diferentes alternati$as de in$ersión disponibles. Primero9 la fórmula anterior considera el $alor del dinero a tra$/s del tiempo al seleccionar un $alor adecuado de i. Cabe mencionar ue al)unos autores utilizan como el $alor de i el costo de capital Aponderado de las diferentes fuentes de financiamiento ue utiliza la empresa> en lu)ar de (E*, Atasa de recuperación atracti$a>. !if+cil de e$aluar y actualizar y 2> Puede conducir a tomar malas decisiones puesto ue al utilizar el costo de capital9 proyectos con $alores presentes positi$os cercanos a cero ser+an aceptados.
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utilizarse en situaciones en ue el comportamiento irre)ular de los flu0os de efecti$o9 ori)ina el fenómeno de tasas mltiples de rendimiento. Finalmente9 con$iene mencionar ue en la mayor+a de los casos9 el $alor presente para diferentes $alores de i9 se comporta como aparece en la fi)ura &.. Bo anterior se debe "PN

Inter/s

FI;(, &.. 6alor presente neto como una función de la tasa de inter/s. Caso más frecuente. al 'ec'o de ue )eneralmente todos los proyectos de in$ersión demandan desembolsos en su etapa inicial y )eneran in)resos en los sucesi$o.
5

5

5

5

V,N B " K K K K K "K!):6 "K!):6) "K!):6+ "K!):6 5 "K!):6 : V,N B W"5"): Puesto ue el valor presente neto es positivo 9 se recomienda adquirir el nuevo equipo. !e acuerdo a este e0emplo es ob$io ue siempre ue el $alor presente de un proyecto sea positi$o9 la decisión será emprenderlo. . ambi/n9 cuando el $alor presente de un proyecto es positi$o9 si)nifica ue se $a a incrementar el $alor del capital de los accionistas.

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En el e0emplo anterior la decisión era aceptar el proyecto.
5

5

5

;

V,NB " K K K K K "K!56" "K!56) "K!56 + "K!565 "K!56 : V,N B 8W"5@?: 8 como el $alor presente es ne)ati$o9 entonces9 el proyecto debe ser rec'azado. Bo anterior si)nifica ue cuando la (E*, es demasiado )rande9 e:isten muc'as probabilidades de rec'azar los nue$os proyectos de in$ersión. El resultado anterior es bastante ob$io9 puesto ue un $alor )rande de (E*, si)nifica ue una cantidad peue%a en el presente se puede transformar en una cantidad muy )rande en el futuro9 o eui$alentemente9 ue una cantidad futura representa una cantidad muy peue%a en el presente. Finalmente9 si en el e0emplo analizado se 'ubiera supuesto un $alor peue%o de (E*,9 el $alor presente 'ubiera resultado muy )rande. Esto si)nifica ue cuando (E*, es peue%a e:isten mayores probabilidades de aceptación9 puesto ue en estas condiciones el dinero no tendr+a nin)n $alor a tra$/s del tiempo. Para terminar la discusión de este e0emplo9 la fi)ura # muestra cómo ser+a el $alor presente ue se obtiene en la compra del nue$o euipo para diferentes $alores de (E*,. "PN

"5"): +: 5 . . . . ): +

TRE3A \6

"5@?:

FI;(, #. 6alor presente como una función de (E*, para el euipo de mane0o de materiales ! Se*ección de &ro4ectos mutuamente e-c*usi%os! En la sección anterior se describieron las )u+as )enerales ue se deben se)uir para e$aluar un proyecto indi$idual.
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Va*or &resente de *a in%ersión tota* Puesto ue el ob0eti$o en la selección de estas alternati$as es esco)er auella ue ma:imice el $alor presente9 las normas de utilización de este criterio son muy simples. odo lo ue se reuiere 'acer es determinar el $alor presente de los flu0os de efecti$o ue )enera cada alternati$a y entonces seleccionar auella ue ten)a el $alor presente má:imo.
5

$ B "

: V,N< B 8 "@ K 

@

B W+:"5)

"K!):6

$ B "

: V,NC B 8 )" K 

B W?:?"

"K!):6 $

$

@: "K!):6 $

$ B "

B W"@;

y puesto ue el mayor $alor presente corresponde a la alternati$a 79 entonces se debe de seleccionar esta alternati$a. ,7B, #.1. Flu0os de efecti$o de alternati$as mutuamente e:clusi$as. ALTE&NATI"A

AO  "8:

A 8W" 5

< 8W"@ @

C 8W)" @:

En este e0emplo ue se acaba de analizar9 se seleccionó una alternati$a. .

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: V,NA B 8": K 

$ B "

:: "K!)6 $

" 6 " K

"K!)6

:

6

V,NA B W)) 4 " ? V,N< B ): K  $ B" "K!)6 $

V,N< B W5+: 8 como el $alor presente del montacar)as 7 es mayor9 entonces se debe de seleccionar dic'o montacar)as. ,7B, #=2. Flu0os de efecti$o de los montacar)as. In%ersión inicia* Vida A7orros netosa0o

A 8W": : a0os ::

3ontacar1as < 8W): " a0os ?

El análisis anterior muestra ue la me0or alternati$a es el montacar)as 7. sin embar)o9 esta decisión puede ser en)a%osa9 es decir9 probablemente esta alternati$a no sea la me0or. Ba razón por la ue esta decisión no necesariamente es la me0or9 se basa en el 'ec'o de ue en la primera alternati$a se consideró impl+citamente ue en el a%o " 'abrá en el mercado montacar)as id/ntico al anterior. sea me0or ue el montacar)as 7. Ba principal e$idencia al considerar como 'orizonte de planeación el m+nimo comn mltiplo de las $idas de las diferentes alternati$as9 es suponer ue en lo ciclos sucesi$os de cada alternati$a se tendrán flu0os de efecti$os id/nticos a los del primer ciclo. Bos razonable en estos casos ser+a? 1> Pronosticar con mayor e:actitud lo ue $a a ocurrir en el futuro9 es decir9 tratar de predecir las

MATEMÁTICAS III


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diferentes alternati$as ue estarán disponibles en el mercado para ese tiempo9 ó 2> utilizar como 'orizonte de planeación el menor de los tiempos de $ida de las diferentes alternati$as. Va*or &resente de* incremento en *a in%ersión Cuando se analizan alternati$as mutuamente e:clusi$as9 son las diferencias entre ellas lo ue ser+a más rele$ante al tomador de decisiones. El $alor presente del incremento en la in$ersión precisamente determina si se 0ustifican esos incrementos de in$ersión ue demandan las alternati$as de mayor in$ersión. Cuando se comparan dos alternati$as mutuamente e:clusi$as mediante este enfoue9 lo primero ue se debe 'acer es determinar los flu0os de efecti$o netos de la diferencia entre los flu0os de efecti$o de las dos alternati$as analizadas. Ense)uida se determina si el incremento en la in$ersión se 0ustifica. El incremento en la in$ersión se considera aceptable si su rendimiento e:cede la tasa de recuperación m+nima atracti$a9 es decir9 si el $alor presente del incremento en la in$ersión es mayor ue cero9 el incremento se considera deseable y la alternati$a ue reuiere esta in$ersión adicional se considera como la más atracti$a. Cuando se comparan dos alternati$as mutuamente e:clusi$as mediante este enfoue9 lo primero ue se debe 'acer es determinar los flu0os de efecti$o netos de la diferencia entre los flu0os de efecti$o de las dos alternati$as analizadas. Ense)uida se determina si el incremento en la in$ersión se 0ustifica. El incremento en la in$ersión se considera aceptable si su rendimiento e:cede la tasa de recuperación m+nima atracti$a9 es decir9 si el $alor presente del incremento en la in$ersión es mayor ue cero9 el incremento se considera deseable y la alternati$a ue reuiere esta in$ersión adicional se considera como la más atracti$a. Cuando se aplica el criterio del $alor presente del incremento en la in$ersión en la selección de alternati$as mutuamente e:clusi$as9 los pasos a se)uir ser+an? "! ,oner *as a*ternati%as en orden ascendente de acuerdo a su in%ersión inicia*! )! Se*eccionar como *a me$or a*ternati%a a.ue**a de menor costo! Ca#e se0a*ar .ue *a a*ternati%a de menor costo siem&re ser bno 7acer nada es decir esta a*ternati%a ser9a *a #ase contra *a cua* se com&arar *a si1uiente a*ternati%a de menor costo! La a*ternati%a bno 7acer nada con%iene siem&re considerar*a &uesto .ue se &ueden &resentar casos en *os cua*es todas *as a*ternati%as dis&oni#*es ten1an %a*ores &resentes ne1ati%os! +! Com&arar *a me$or a*ternati%a con *a si1uiente de acuerdo a* ordenamiento de* &aso "! La com&aración entre estas dos a*ternati%as se #asa en determinar e* %a*or &resente de* incremento en *a in%ersión 2*u$os de e2ecti%os di2erencia*es6! Si este %a*or &resente es ma4or .ue cero entonces *a a*ternati%a retadora se trans2orma en *a me$or a*ternati%a! ,or e* contrario si e* %a*or &resente de* incremento en *a in%ersión es ne1ati%o entonces *a me$or a*ternati%a si1ue siendo *a de2ensora 4 *a retadora se e*imina de &osterior consideración! 5! Re&etir e* &aso + 7asta .ue todas *as a*ternati%as dis&oni#*es 7a4an sido ana*i'adas! La a*ternati%a .ue ma-imi'a e* %a*or &resente 4 &ro&orciona un rendimiento ma4or .ue TRE3A es *a a*ternati%a de ma4or in%ersión cu4os incrementos de in%ersión se $usti2icaron!
MATEMÁTICAS III


: V,NAB 8" K 

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5

$ B "

"K!):6

$

B W?:?"

puesto ue el $alor presente de la alternati$a de menor in$ersión es positi$o9 entonces9 la alternati$a , es me0or ue la alternati$a no 'acer nadaD.pos consi)uiente9 la me0or alternati$a 'asta el momento es la ,9 la cual pasa a ser considerada como la alternati$a defensora y la alternati$a 7 pasa a ser la alternati$a retadora9 es decir9 la alternati$a 7 se $a a comparar con la , de acuerdo a una base incremental?

: V,N<8AB 8@ K 

5

$ B "

B W)?:?"

"K!):6 $

y como el $alor presente del incremento en la in$ersión es positi$o9 entonces la alternati$a 7 pasa a ser la defensora y la alternati$a C la retadora.
: : V,NC8

ALTENATI"A AO  " ) +

A 8W" 8 + 8 +: 8 5

< 8W") 8 ): 8 + 8 +

C 8W": 8 ": 8 ": 8 ":

Ta#*a @!"! F*u$os de e2ecti%o de a*ternati%as mutuamente e-c*usi%as de *as cua*es

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Como la alternati$a  no 'acer nadaD no es considerada9 entonces la alternati$a , se transforma en la me0or alternati$a9 es decir9 inicialmente la alternati$a , es la defensora y la alternati$a 7 la retadora. ,plicando el $alor presente sobre una base incremental a estas alternati$as se obtiene?

V,N<8A B ) K

:

K

"K!)6

:

"

K "K!)6) "K!)6 +

V,N<8A B 8 W;:? y puesto ue el $alor presente es ne)ati$o9 la alternati$a 7 se elimina de posterior consideración. Por consi)uiente9 la alternati$a , se)uirá siendo la defensora y la alternati$a C pasa a ser considerada la retadora. ,'ora9 si se comparan estas alternati$as sobre una base incremental se obtiene?

": V,NC8A B : K

) K

"K!)6

):

K "K!)6) "K!)6 +

V,NC8A B 8 W"5 y como el $alor presente es ne)ati$o9 la alternati$a C es desec'ada. Puesto ue ya no e:isten más alternati$as9 entonces la alternati$a , es la selección óptima. 3XTODO DEL COSTO ANUAL UNIFOR3E EÛIVALENTECAUE6 El m/todo del C,;E consiste en con$ertir todos los in)resos y e)resos9 en una serie uniforme de pa)os. Mb$iamente9 si el C,;E es positi$o9 es porue los in)resos son mayores ue los e)resos y por lo tanto9 el proyecto puede realizarseS pero9 si el C,;E es ne)ati$o9 es porue los in)resos son menores ue los e)resos y en consecuencia el proyecto debe ser rec'azado. , continuación se presenta la aplicación de la metodolo)+a del costo anual uniforme eui$alente en la e$aluación de proyectos de in$ersión. E0emplo ;na mauina cuesta N- 9 tiene una $ida til de " a%os y un $alor de sal$amento de N1 S el costo anual de operación es de alrededor de N"  y se estima de producirá unos in)resos anuales del orden de N2 . !eterminar si la compra de la máuina es aconse0able9 cuando se utiliza una tasa de? a>2"^ b>1"^ para los a%os 1 a " O N2  a6 uti*i'ando i B):\ se tiene( Bos N-  se reparten en una serie uniforme de pa)os9 ue se efectan al final de cada uno de los " a%os ue dura el proyecto y cada pa)o tendrá un $alor de?

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600000 a − 5&,5V por otra parte9 los N1  del $alor de sal$amento se repartirán en " pa)os ue se efectuar+an al final de cada a%o y tendr+an un $alor de?

+00000 5 − &,5V

El C,;E puede calcularse as+? C,;E O

+00000 5 − &,5V

W 2 =

600000 a

− 5&,5V

="  O N=1".23

C,;E O

+0000 s

− 5&+5V

W 2 =

600000 a − 5&+5V

="  O N3.#43

En esta e$aluación se puede apreciar ue en estas condiciones9 el proyecto si es aconse0able. Como consecuencia de lo anterior9 es importante determinar una tasa correcta para 'acer los cálculosS 'ay uienes opinan ue debe usarse la tasa promedio9 utilizada en el mercado financiero y 'ay otros ue opinan ue debe ser la tasa de inter/s9 a la cual normalmente el due%o del proyecto 'ace sus in$ersiones.

Acti%idad de a&rendi'a$e No! " ,R8 @ Reso*%er e$ercicios &rcticos @!"!5!) Instrucciones? (esol$er un e0ercicio de tasa interna de retorno 76 Va*or de *a acti%idad( 1 Puntos i6 ,roducto es&erado( @ue los e0ercicios sean resueltos de manera correcta. $6 Fec7a inicio( =6 Fec7a entre1a( *6 Forma de entre1a( escrito a mano.. m6 Ti&o de acti%idad( Indi$idual . n6 Fec7a de retroa*imentación( el mismo d+a de entre)a. @!"!5!) Criterio de e%a*uación de *a acti%idad ,R8@ Acti%idad Acti%idad Practica conten)a al problema de de retorno. . ;so de presentación

,onderación

escrita ue (esol$er en forma rápida  Puntos menos un un problema de tasa interna tasa interna de retorno re)las

de ;tilizar el formato para la 1 Puntos elaboración de prácticas. otal 1 puntos

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@!"!: Resu*tado de* A&rendi'a$e(

3ManualMatematicasIII

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