CALCULO DIFERENCIAL DERIVADAS
EDWIN ALBERTO MORENO VARON CÓDIGO: 1116238587 ROBERTO JOSE SERRANO PEREZ CÓDIGO 1114451738 ESTUDIANTE 3 CÓDIGO ESTUDIANTE 3 ESTUDIANTE 4 CÓDIGO ESTUDIANTE 4 ESTUDIANTE 5 CÓDIGO ESTUDIANTE 5
GRUPO: 100410_314 TUTOR: EDGAR ORLEY MORENO
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD CEAD PALMIRA, VALLE DEL CAUCA
NOVIEMBRE DE 2018
INTRODUCCIÓN
En el presente trabajo se documenta el desarrollo de ejercicios que fueron seleccionados por cada estudiante de manera individual para su análisis y apropiación con miras a dar continuidad a la cimentación de las bases para la exploración de las temáticas concernientes al Cálculo Cá lculo Diferencial. Los tópicos abordados en ésta fase corresponden a Concepto de Derivada, Derivada de Monomios y Polinomios, Derivadas Producto y Cociente, Derivadas implícitas, Derivadas de Orden Superior y Aplicaciones de las derivadas. El desarrollo de los ejercicios se logró a través del estudio teórico de las respectivas temáticas y el análisis de casos modelo que fundamentan nuestro conocimiento, ayudando afianzar la temática en sí.
DESARROLLO 1. ESTUDIANTE 1 ESTUDIANTE 1 DERIVADAS –
CALCULAR POR L’HÔPITAL LOS SIGUIENTES LÍMITES
→ 0 lim 1 = 0 → ′′ = = 1 ∗ 2 = 2 ′ = = ′ = = →
ESTUDIANTE 1 DERIVADAS –
2 1 lim = → 21 1 2 1 lim = → 2 1 lim = 22 → → = APLICANDO LAS REGLAS DE LA DERIVACIÓN CALCULE LAS DERIVADAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES:
=
= = = = = = = 6 4 2 4 2 2 3 3 2 22 2 3 3 = 6 3 3
ESTUDIANTE 1 DERIVADAS –
6 6 12 2 2 4 3 3 6 12 4 4 8 8 3 3 22 = 3 3 6 18 6 18 18 12 36 4 12 4 12 12 8 24 2 2 4 3 3 6 2 2 4 3 3 6 4 4 8 66 6 12 12 = 6 3 3
ESTUDIANTE 1 DERIVADAS –
2 1 lim = → 21 1 2 1 lim = → 2 1 lim = 22 → → = APLICANDO LAS REGLAS DE LA DERIVACIÓN CALCULE LAS DERIVADAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES:
=
= = = = = = = 6 4 2 4 2 2 3 3 2 22 2 3 3 = 6 3 3
ESTUDIANTE 1 DERIVADAS –
6 6 12 2 2 4 3 3 6 12 4 4 8 8 3 3 22 = 3 3 6 18 6 18 18 12 36 4 12 4 12 12 8 24 2 2 4 3 3 6 2 2 4 3 3 6 4 4 8 66 6 12 12 = 6 3 3 2 2 4 3 3 6 4 4 8 6 6 12 = 6 28 34 24 44 24 2 2 4 3 3 63 3 =
APLICANDO LAS REGLAS DE LA DERIVACIÓN CALCULE LAS DERIVADAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES:
= = = = = = = = 5 4 25 4 8 8 5 = 3 5 4 5 5 5 4 8 5 = = 15 15 12 5 10 10 8 8 5 5 4 = = 15 15 12 5 80 80 50 50 64 40
ESTUDIANTE 1 DERIVADAS –
= 75 60 60 48 48 80 50 64 64 40 = CALCULAR LA DERIVADA IMPLÍCITA
=
ESTUDIANTE 1 DERIVADAS –
6 6 12 2 2 4 3 3 6 12 4 4 8 8 3 3 22 = 3 3 6 18 6 18 18 12 36 4 12 4 12 12 8 24 2 2 4 3 3 6 2 2 4 3 3 6 4 4 8 66 6 12 12 = 6 3 3 2 2 4 3 3 6 4 4 8 6 6 12 = 6 28 34 24 44 24 2 2 4 3 3 63 3 =
APLICANDO LAS REGLAS DE LA DERIVACIÓN CALCULE LAS DERIVADAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES:
= = = = = = = = 5 4 25 4 8 8 5 = 3 5 4 5 5 5 4 8 5 = = 15 15 12 5 10 10 8 8 5 5 4 = = 15 15 12 5 80 80 50 50 64 40
ESTUDIANTE 1 DERIVADAS –
= 75 60 60 48 48 80 50 64 64 40 = CALCULAR LA DERIVADA IMPLÍCITA
= 6 5 3 = 12 7 5 3 = 12 7′ 5 ′ 3 ′ = 12′ 72 15 15 66 = 0 14 7 15 6 = 0 ′7 15 = 14 6 6 = 14 7 15 15 = DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
= √ √ =? =
ESTUDIANTE 1 DERIVADAS –
= 12 3 1 − 2 = 12 3 12 − = −
ESTUDIANTE 1 DERIVADAS –
= 75 60 60 48 48 80 50 64 64 40 = CALCULAR LA DERIVADA IMPLÍCITA
= 6 5 3 = 12 7 5 3 = 12 7′ 5 ′ 3 ′ = 12′ 72 15 15 66 = 0 14 7 15 6 = 0 ′7 15 = 14 6 6 = 14 7 15 15 = DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
= √ √ =? =
ESTUDIANTE 1 DERIVADAS –
= 12 3 1 −
2 = 12 3 12 − = − = 24 0 0 12 ∗ 12 −− = 24 14 − − = 24 14 ∗ 1
= 24 1 ∗ 4− = = 1 ∗ 32 4 − 0 ∗4 = 24 4
ESTUDIANTE 1 DERIVADAS –
12 = 24 0 2 4 12 = 24 24 2
ESTUDIANTE 1 DERIVADAS –
= 12 3 1 −
2 = 12 3 12 − = − = 24 0 0 12 ∗ 12 −− = 24 14 − − = 24 14 ∗ 1
= 24 1 ∗ 4− = = 1 ∗ 32 4 − 0 ∗4 = 24 4
ESTUDIANTE 1 DERIVADAS –
12 = 24 0 2 4 12 = 24 24 2 16 = 24 24 6 16 = 24 24 3 8 = 24 3 8 = ESTUDIANTE 1 - GRÁFICAS
= = = 11 ∗ ∗
ESTUDIANTE 1 - GRÁFICAS
= = 2 = 22 2
ESTUDIANTE 1 DERIVADAS –
12 = 24 0 2 4 12 = 24 24 2 16 = 24 24 6 16 = 24 24 3 8 = 24 3 8 = ESTUDIANTE 1 - GRÁFICAS
= = = 11 ∗ ∗
ESTUDIANTE 1 - GRÁFICAS
= = 2 = 22 2 2 = 2∗ 0,909 0,416 0,416 2 = 1,818 0,416 ≅ , = 22 = 2 ∗ 0,416 416 ≅ ,
ESTUDIANTE 1 - GRÁFICAS
= = 2 = 22 2 2 = 2∗ 0,909 0,416 0,416 2 = 1,818 0,416 ≅ , = 22 = 2 ∗ 0,416 416 ≅ ,
ESTUDIANTE 1 - GRÁFICAS
= = 2 2 5
ESTUDIANTE 1 - GRÁFICAS
= = 2 2 5 = 2cot 2 cot5 5 ∗ [(csc5 5) ∗ 5]5] = 2 25 5 ∗ 5csc 5 5 = 2 = 5 ∗ 2 2 = 10 ≅ , 2 = 10csc 5 ∗ 22 cot cot5 ∗ 22 2 = 10csc 10 10 cot cot10 10 2 = 10csc10 10 cot cot10 10 2 = 33,78846 ∗ 1,54235 ≅ ,
ESTUDIANTE 1 - GRÁFICAS
= = 2 2 5 = 2cot 2 cot5 5 ∗ [(csc5 5) ∗ 5]5] = 2 25 5 ∗ 5csc 5 5 = 2 = 5 ∗ 2 2 = 10 ≅ , 2 = 10csc 5 ∗ 22 cot cot5 ∗ 22 2 = 10csc 10 10 cot cot10 10 2 = 10csc10 10 cot cot10 10 2 = 33,78846 ∗ 1,54235 ≅ ,
ESTUDIANTE 1 - GRÁFICAS
= =
ESTUDIANTE 1 - GRÁFICAS
= = = = = = ′ = = ∗ = = = = ± √ = 4 ± √ 42 ∗ 34∗ 3 ∗0 16 0 = 4 ± √ 616 = 46 4
ESTUDIANTE 1 - GRÁFICAS
= 06 = 4 4 = 4 6
ESTUDIANTE 1 - GRÁFICAS
= = = = = = ′ = = ∗ = = = = ± √ = 4 ± √ 42 ∗ 34∗ 3 ∗0 16 0 = 4 ± √ 616 = 46 4
ESTUDIANTE 1 - GRÁFICAS
= 06 = 4 4 = 4 6 = 86 = , í á = 0,1 0,1 = 3 3 0,1 0,1 440,1 0,1 0,1 0,1 = 3 3 0,01 0,01 0,4 0,1 0,1 = 0,03 0,4 , , = , 0,1 0,1 = 3 3 0,1 0,1 40,1 0,1 0,1 0,1 = 30,01 0,4 0,1 0,1 = 0,03 0,4 ,, = , í
ESTUDIANTE 1 - GRÁFICAS
= = ó
ESTUDIANTE 1 - GRÁFICAS
= 06 = 4 4 = 4 6 = 86 = , í á = 0,1 0,1 = 3 3 0,1 0,1 440,1 0,1 0,1 0,1 = 3 3 0,01 0,01 0,4 0,1 0,1 = 0,03 0,4 , , = , 0,1 0,1 = 3 3 0,1 0,1 40,1 0,1 0,1 0,1 = 30,01 0,4 0,1 0,1 = 0,03 0,4 ,, = , í
ESTUDIANTE 1 - GRÁFICAS
= = ó = = 46 = , , á ó; á = → í = , , → á á = , → ó
ESTUDIANTE 1 - GRÁFICAS
= = ó = = 46 = , , á ó; á = → í = , , → á á = , → ó
ESTUDIANTE 1 - GRÁFICAS
=
=
ESTUDIANTE 1 - GRÁFICAS
=
= = 3 24 10 = , , = = ± √
10 10 4 ∗1,5∗ ∗1,5 ∗ 0 = 10 2 ∗1, ∗ 1,5
10 √ 100 100 = 10 3 = 103 10 = 03
ESTUDIANTE 1 - GRÁFICAS
= = 103 10
ESTUDIANTE 1 - GRÁFICAS
=
= = 3 24 10 = , , = = ± √
10 10 4 ∗1,5∗ ∗1,5 ∗ 0 = 10 2 ∗1, ∗ 1,5
10 √ 100 100 = 10 3 = 103 10 = 03
ESTUDIANTE 1 - GRÁFICAS
= = 103 10 = 20 3 = , í á
= , 0,1 0,1 = 1,5 1,50,1 0,1 10 100,1 0,1 0,1 0,1 = 1,5 ∗ 0,001 0,001 10 0,1 0,1 = 0,015 10 , , = , 0,1 0,1 = 1,5 1,50,1 0,1 10 100,1 0,1 0,1 0,1 = 1,5∗ 0,001 001 10 10 0,1 0,1 = 0,015 10
ESTUDIANTE 1 - GRÁFICAS
,, = , í á
= → í = , → á
ESTUDIANTE 1 - GRÁFICAS
= = 103 10 = 20 3 = , í á
= , 0,1 0,1 = 1,5 1,50,1 0,1 10 100,1 0,1 0,1 0,1 = 1,5 ∗ 0,001 0,001 10 0,1 0,1 = 0,015 10 , , = , 0,1 0,1 = 1,5 1,50,1 0,1 10 100,1 0,1 0,1 0,1 = 1,5∗ 0,001 001 10 10 0,1 0,1 = 0,015 10
ESTUDIANTE 1 - GRÁFICAS
,, = , í á
= → í = , → á , || = , á ,
ESTUDIANTE 1 - GRÁFICAS
ESTUDIANTE 1 - GRÁFICAS
,, = , í á
= → í = , → á , || = , á ,
ESTUDIANTE 1 - GRÁFICAS
2. ESTUDIANTE 2
ESTUDIANTE 2 DERIVADAS –
ESTUDIANTE 1 - GRÁFICAS
2. ESTUDIANTE 2
ESTUDIANTE 2 DERIVADAS –
→
−
Evaluamos el límite del numerador y el límite del denominador
0
0 Dado que tiene forma indeterminada, aplicamos la regla de L’Hôpital. La regla de L’Hôpital establece que el límite del cociente de una función es igual al límite del cociente de las derivadas. − = lim − lim → 2 → 2 2 Debemos encontrar la derivada del numerador y denominador.
lim →
− 2
Tomamos el límite de cada termino
Dividimos el límite usando la regla de los límites de los cocientes en el límite conforme se aproxima a 0.
lim → lim 2cos → 2cos
Separamos los limites usando la regla de la suma de los limites conforme se aproxima a 0.
ESTUDIANTE 2 DERIVADAS –
lim → lim − → lim 2cos 2cos → Movemos el límite dentro del exponente
lim lim
2. ESTUDIANTE 2
ESTUDIANTE 2 DERIVADAS –
→
−
Evaluamos el límite del numerador y el límite del denominador
0
0 Dado que tiene forma indeterminada, aplicamos la regla de L’Hôpital. La regla de L’Hôpital establece que el límite del cociente de una función es igual al límite del cociente de las derivadas. − = lim − lim → 2 → 2 2 Debemos encontrar la derivada del numerador y denominador.
lim →
− 2
Tomamos el límite de cada termino
Dividimos el límite usando la regla de los límites de los cocientes en el límite conforme se aproxima a 0.
lim → lim 2cos → 2cos
Separamos los limites usando la regla de la suma de los limites conforme se aproxima a 0.
ESTUDIANTE 2 DERIVADAS –
lim → lim − → lim 2cos 2cos → Movemos el límite dentro del exponente
→ lim → lim lim 2cos 2cos → Movemos el termino -1 fuera del límite porque este es constante respecto x
→ lim lim → lim 2cos 2cos → Movemos el termino 2 fuera del límite porque este es constante respecto x
→ lim lim → 2→ lim cos cos Mover el limite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.
→ lim lim → 2 lim → Evaluamos los limites evaluando 0 para todas l as apariciones de x. Evaluamos el límite de x introduciendo 0 en el lugar de x.
lim → 2 lim →
ESTUDIANTE 2 DERIVADAS –
Evaluamos el límite de x introduciendo 0 en el lugar x.
2 lim → Evaluamos el límite de x introduciendo 0 en el lugar de x.
ESTUDIANTE 2 DERIVADAS –
lim → lim − → lim 2cos 2cos → Movemos el límite dentro del exponente
→ lim → lim lim 2cos 2cos → Movemos el termino -1 fuera del límite porque este es constante respecto x
→ lim lim → lim 2cos 2cos → Movemos el termino 2 fuera del límite porque este es constante respecto x
→ lim lim → 2→ lim cos cos Mover el limite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.
→ lim lim → 2 lim → Evaluamos los limites evaluando 0 para todas l as apariciones de x. Evaluamos el límite de x introduciendo 0 en el lugar de x.
lim → 2 lim →
ESTUDIANTE 2 DERIVADAS –
Evaluamos el límite de x introduciendo 0 en el lugar x.
2 lim → Evaluamos el límite de x introduciendo 0 en el lugar de x.
2 0 Simplificamos la respuesta. Simplificamos primero el numerador Cualquier número elevado a 0 es 1
1 2 0 Cualquier número elevado a 0 es 1
11 2 0 Sumamos 1 y 1
2 2 0 Simplificamos el denominador.
2 2∗1
ESTUDIANTE 2 DERIVADAS –
Reducimos la expresión anulando los factores comunes.
1
ESTUDIANTE 2 DERIVADAS –
Evaluamos el límite de x introduciendo 0 en el lugar x.
2 lim → Evaluamos el límite de x introduciendo 0 en el lugar de x.
2 0 Simplificamos la respuesta. Simplificamos primero el numerador Cualquier número elevado a 0 es 1
1 2 0 Cualquier número elevado a 0 es 1
11 2 0 Sumamos 1 y 1
2 2 0 Simplificamos el denominador.
2 2∗1
ESTUDIANTE 2 DERIVADAS –
Reducimos la expresión anulando los factores comunes.
1
Hallar la derivada
= Solución: Diferenciamos usando la regla del cociente que establece lo siguiente:
− −/
= 6 3 3 = 4 2 6 3 4 2 6 3 3 6 3 4 2 4 2
Diferenciamos usando la regla de la cadena, que establece lo siguiente:
[()] ( () = = 6 3 3 [( 4 23 236 3 3 6 3 3 6 3 3 4 2 4 2 Diferenciamos los términos:
ESTUDIANTE 2 DERIVADAS –
9 4 2 26 3 3 66 3 3 3 8 4 2 Simplificamos y reordenamos los términos:
3 6 69 36 6 3 33 3 8 8 18 18
ESTUDIANTE 2 DERIVADAS –
Reducimos la expresión anulando los factores comunes.
1
Hallar la derivada
= Solución: Diferenciamos usando la regla del cociente que establece lo siguiente:
− −/
= 6 3 3 = 4 2 6 3 4 2 6 3 3 6 3 4 2 4 2
Diferenciamos usando la regla de la cadena, que establece lo siguiente:
[()] ( () = = 6 3 3 [( 4 23 236 3 3 6 3 3 6 3 3 4 2 4 2 Diferenciamos los términos:
ESTUDIANTE 2 DERIVADAS –
9 4 2 26 3 3 66 3 3 3 8 4 2 Simplificamos y reordenamos los términos:
3 6 69 36 6 3 33 3 8 8 18 18 4 2
= Dado que 6 es constante respecto a
6 , la derivada de x respecto 6 es x. 6
Diferenciamos usando la regla del producto que establece lo siguiente:
= = = 6 Diferenciamos usando la regla de la cadena, que establece lo siguiente:
[()] ( () = = = [(
ESTUDIANTE 2 DERIVADAS
6 3 3
–
Diferenciamos
63 2 3 22
ESTUDIANTE 2 DERIVADAS –
9 4 2 26 3 3 66 3 3 3 8 4 2 Simplificamos y reordenamos los términos:
3 6 69 36 6 3 33 3 8 8 18 18 4 2
= Dado que 6 es constante respecto a
6 , la derivada de x respecto 6 es x. 6
Diferenciamos usando la regla del producto que establece lo siguiente:
= = = 6 Diferenciamos usando la regla de la cadena, que establece lo siguiente:
[()] ( () = = = [(
ESTUDIANTE 2 DERIVADAS
6 3 3
–
Diferenciamos
63 2 3 22 Simplificamos y reordenamos los términos.
6 6 (3 (32 3 22 ) Ejercicio 4 Calcular la derivada implícita dy/dx:
=
Diferenciamos ambos lados de la ecuación
11 = Diferenciamos el lado izquierdo de la ecuación
7 5 Diferenciamos el lado derecho de la ecuación.
1 Reformamos la ecuación haciendo el lado izquierdo igual al lado derecho.
7 5 = 1
ESTUDIANTE 2 DERIVADAS –
Resolvemos para x’. 1 = 7 5 1 Remplazamos x’ con
ESTUDIANTE 2 DERIVADAS
6 3 3
–
Diferenciamos
63 2 3 22 Simplificamos y reordenamos los términos.
6 6 (3 (32 3 22 ) Ejercicio 4 Calcular la derivada implícita dy/dx:
=
Diferenciamos ambos lados de la ecuación
11 = Diferenciamos el lado izquierdo de la ecuación
7 5 Diferenciamos el lado derecho de la ecuación.
1 Reformamos la ecuación haciendo el lado izquierdo igual al lado derecho.
7 5 = 1
ESTUDIANTE 2 DERIVADAS –
Resolvemos para x’. 1 = 7 5 1 Remplazamos x’ con . = 7 1 5 1
= √ √ =?
Para la hallar las derivadas de orden superior, debemos hallar la primera derivada.
= 8 8
1 2 2
Hallamos la segunda derivada
1 4 2 La segunda derivada de con respecto a es 24 8 + + = 24 8
24 8
1 4 2 2
ESTUDIANTE 2 - GRÁFICAS
ESTUDIANTE 2 DERIVADAS –
Resolvemos para x’. 1 = 7 5 1 Remplazamos x’ con . = 7 1 5 1
= √ √ =?
Para la hallar las derivadas de orden superior, debemos hallar la primera derivada.
= 8 8
1 2 2
Hallamos la segunda derivada
1 4 2 La segunda derivada de con respecto a es 24 8 + + = 24 8
24 8
1 4 2 2
ESTUDIANTE 2 - GRÁFICAS
a)
Se utiliza la forma
=
para encontrar las variables usadas pa ra hallar la amplitud, el periodo, el desplazamiento de fase y el desplazamiento vertical. = = 1 = 0 = cos cos Hallamos la amplitud ||. Amplitud: Debemos encontrar el periodo usando la formula
||
2
Periodo: Debemos encontrar el cambio de fase usando la formula .
Desplazamiento de fase: 0 Hallamos el desplazamiento vertical d. Desplazamiento vertical:
cos cos
ESTUDIANTE 2 - GRÁFICAS Enumeramos las propiedades de las funciones trigonométricas.
2
Amplitud: Periodo:
Desplazamiento de fase: 0 (0 a la derecha)
ESTUDIANTE 2 - GRÁFICAS
a)
Se utiliza la forma
=
para encontrar las variables usadas pa ra hallar la amplitud, el periodo, el desplazamiento de fase y el desplazamiento vertical. = = 1 = 0 = cos cos Hallamos la amplitud ||. Amplitud: Debemos encontrar el periodo usando la formula
||
2
Periodo: Debemos encontrar el cambio de fase usando la formula .
Desplazamiento de fase: 0 Hallamos el desplazamiento vertical d. Desplazamiento vertical:
cos cos
ESTUDIANTE 2 - GRÁFICAS Enumeramos las propiedades de las funciones trigonométricas.
2
Amplitud: Periodo:
Desplazamiento de fase: 0 (0 a la derecha) Desplazamiento vertical:
cos cos
Seleccionamos algunos puntos del gráfico.
= 0, 2 , , 32 , 2 = 1, 2 ,1, 32 , 1
ESTUDIANTE 2 - GRÁFICAS Segunda grafica
= 2 2 cos cos 3 3 2,0
Puntos de intersección con el eje de
ESTUDIANTE 2 - GRÁFICAS Enumeramos las propiedades de las funciones trigonométricas.
2
Amplitud: Periodo:
Desplazamiento de fase: 0 (0 a la derecha) Desplazamiento vertical:
cos cos
Seleccionamos algunos puntos del gráfico.
= 0, 2 , , 32 , 2 = 1, 2 ,1, 32 , 1
ESTUDIANTE 2 - GRÁFICAS Segunda grafica
= 2 2 cos cos 3 3 : 2 2,0 32 2,0 5,9690 5,969033 … 6.28319… 6.28319… ,0 ,0 , 0.31416…6.28319…,0 0.94248… 94248… 6.2831 6.283199 … ,0 0.94248…6.28319…,0 :0,1 :0,1
Puntos de intersección con el eje de
ESTUDIANTE 2 - GRÁFICAS
ESTUDIANTE 2 - GRÁFICAS Segunda grafica
= 2 2 cos cos 3 3 : 2 2,0 32 2,0 5,9690 5,969033 … 6.28319… 6.28319… ,0 ,0 , 0.31416…6.28319…,0 0.94248… 94248… 6.2831 6.283199 … ,0 0.94248…6.28319…,0 :0,1 :0,1
Puntos de intersección con el eje de
ESTUDIANTE 2 - GRÁFICAS
= Para hallar los puntos máximos y mínimos tenemos que buscar la primera y la segunda derivada.
= 3
ESTUDIANTE 2 - GRÁFICAS
= 2 ∗ ∗ 3 = 2 6 = 3 6 = 2 2 3 3 2 2 = 6 6 Ahora, para los puntos máximos y mínimos debemos igualar a cero la primera derivada.
ESTUDIANTE 2 - GRÁFICAS
= Para hallar los puntos máximos y mínimos tenemos que buscar la primera y la segunda derivada.
= 3
ESTUDIANTE 2 - GRÁFICAS
= 2 ∗ ∗ 3 = 2 6 = 3 6 = 2 2 3 3 2 2 = 6 6 Ahora, para los puntos máximos y mínimos debemos igualar a cero la primera derivada.
3 6 = 0 3 6 6 = 0 = 0 Tenemos dos puntos críticos, veamos si son máximos o mínimos. Para eso evaluamos en la s egunda derivada.
0 = 6 6 0 6 = 6 6 2 = 6 6 2 6 = 6 Por tanto, en = 0 tenemos un máximo y en = 2 tenemos un mínimo. Procedemos a buscar la otra coo rdenada. 0 = 0 ∗ ∗ 00 33 = 0 2 = 2 ∗ ∗ 22 33 = 4 0,0 0,0 2,4 Ahora el punto de inflexión viene dado por la segunda derivada igualada a cero, tenemos:
6 6 = 0 = 1 Por lo tanto, en
= 1 Hay un punto de inflexión. Buscamos la otra coordenada.
ESTUDIANTE 2 - GRÁFICAS
1 = 1 ∗ ∗ 11 33 = 2 1,2 1,2 → .
ESTUDIANTE 2 - GRÁFICAS
= 2 ∗ ∗ 3 = 2 6 = 3 6 = 2 2 3 3 2 2 = 6 6 Ahora, para los puntos máximos y mínimos debemos igualar a cero la primera derivada.
3 6 = 0 3 6 6 = 0 = 0 Tenemos dos puntos críticos, veamos si son máximos o mínimos. Para eso evaluamos en la s egunda derivada.
0 = 6 6 0 6 = 6 6 2 = 6 6 2 6 = 6 Por tanto, en = 0 tenemos un máximo y en = 2 tenemos un mínimo. Procedemos a buscar la otra coo rdenada. 0 = 0 ∗ ∗ 00 33 = 0 2 = 2 ∗ ∗ 22 33 = 4 0,0 0,0 2,4 Ahora el punto de inflexión viene dado por la segunda derivada igualada a cero, tenemos:
6 6 = 0 = 1 Por lo tanto, en
= 1 Hay un punto de inflexión. Buscamos la otra coordenada.
ESTUDIANTE 2 - GRÁFICAS
1 = 1 ∗ ∗ 11 33 = 2 1,2 1,2 → .
B) Con un cartón de 6X4 metros se pretende construir una caja sin tapa, de volumen máximo. Hallar las dimensiones de dicha caja para obtener su volumen máximo.
= = ∗ ∗ Para que el volumen sea máximo debemos derivar e igualar a cero, tenemos:
ESTUDIANTE 2 - GRÁFICAS
= = 24 24 20 4 = 24 40 12 12 0 = 24 40 12
ESTUDIANTE 2 - GRÁFICAS
1 = 1 ∗ ∗ 11 33 = 2 1,2 1,2 → .
B) Con un cartón de 6X4 metros se pretende construir una caja sin tapa, de volumen máximo. Hallar las dimensiones de dicha caja para obtener su volumen máximo.
= = ∗ ∗ Para que el volumen sea máximo debemos derivar e igualar a cero, tenemos:
ESTUDIANTE 2 - GRÁFICAS
= = 24 24 20 4 = 24 40 12 12 0 = 24 40 12 Aplicamos la resolvente y tenemos que:
= 2.54 = 0.78
Seleccionamos la altura menor porque es la más coherente.
= 6 1.56 = 4.44 ℎ = 4 1.56 = 2.44 = 0.78
ESTUDIANTE 2 - GRÁFICAS
ESTUDIANTE 2 - GRÁFICAS
= = 24 24 20 4 = 24 40 12 12 0 = 24 40 12 Aplicamos la resolvente y tenemos que:
= 2.54 = 0.78
Seleccionamos la altura menor porque es la más coherente.
= 6 1.56 = 4.44 ℎ = 4 1.56 = 2.44 = 0.78
ESTUDIANTE 2 - GRÁFICAS
3. ESTUDIANTE 3
ESTUDIANTE 2 - GRÁFICAS
3. ESTUDIANTE 3
4. ESTUDIANTE 4
3. ESTUDIANTE 3
4. ESTUDIANTE 4
5. ESTUDIANTE 5
4. ESTUDIANTE 4
5. ESTUDIANTE 5
5. ESTUDIANTE 5
CONCLUSIONES
A partir de las temáticas estudiadas y el desarrollo de los ejercicios propuestos se realiza un análisis profundo de las reglas matemáticas que permiten derivar funciones. (Alumno Edwin Moreno). Se comprehende el concepto de Derivada, que de manera resumida, esta representa los cambios o la evolución de la pendiente en cada uno de los puntos a lo largo de una curva c urva o función. (Alumno Edwin Moreno). Se comprende de manera asertiva la forma de calcular por el método de L’
Hospital, evaluando los limites. (Alumno Roberto Serrano).
Se aplicaron las diferentes reglas de derivación, calculando así su derivada en cada uno de los ejercicios estructurados a lo largo de la actividad. (Roberto Serrano).
CONCLUSIONES
A partir de las temáticas estudiadas y el desarrollo de los ejercicios propuestos se realiza un análisis profundo de las reglas matemáticas que permiten derivar funciones. (Alumno Edwin Moreno). Se comprehende el concepto de Derivada, que de manera resumida, esta representa los cambios o la evolución de la pendiente en cada uno de los puntos a lo largo de una curva c urva o función. (Alumno Edwin Moreno). Se comprende de manera asertiva la forma de calcular por el método de L’
Hospital, evaluando los limites. (Alumno Roberto Serrano).
Se aplicaron las diferentes reglas de derivación, calculando así su derivada en cada uno de los ejercicios estructurados a lo largo de la actividad. (Roberto Serrano).
REFERENCIAS Guerrero, T. G. (2014). Cálculo diferencial: Serie universitaria patria. Surgimiento de la Derivada. Pág. 33-35. Derivada de monomios y polinomios. Pág. 42-44. Regla de la Cadena. 46-48. Derivada de un Producto. Pág. 50-52. Derivada de un cociente. 54-57. Derivada Implícita. 59-62. Derivadas de orden superior. Pág. 101-106. Recuperado de::http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login?url=http://search.ebscohost.c de om/login.aspx?direct=true&db=edselb&AN=edselb.3227452&lang=es&site =eds-live USE
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García, G. Y. L. (2010). Introducción al cálculo diferencial. Capítulo 6 – Razones de Cambio. Pág. 102. Derivadas Elementales. Pág. 104. Propiedades de la Derivada. Pág. 109-118. Derivación Implícita. Pág. Derivadas de Orden Superior. Pág. 125. México, D.F., MX: Instituto Politécnico Nacional. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2051/login.aspx?direct=true&db=edse bk&AN=865890&lang=es&site=eds-live Cabrera, J. (2018). OVA. Solución Ejercicios http://hdl.handle.net/10596/19075
Derivadas.
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