39775406-Electrodinamica-clasica

Notas de curso de Electrodin´ amica cl´ asica Prof. Prof. Antonio Anton io Fern´ ern ´ andez-Ra andez -Ra˜ nada n ãda Curso 2004/05

Universidad Complutense Fac acul ulta tad d de F´ısic ısica a Ciudad Universitaria, Madrid

Bibliograf´ıa and and E. M. Lifs Lifshi hitz tz,, Teor´ıa ıa cl´ cl asica asic ´ a de campos ampos (Re (R ever verté, Barcelona, Barcelona, 1986); The 1986); The classical theory of fields , (Pergamon Press, Oxford, 1975). Landau au • L. D. Land

Electrodynamics dynamics , 3rd edition (John Wiley, New • J. D. Jackson, Classical Electro

York, 1998). Hay versión on espa˜ nola de la segunda edici´ nola on on inglesa, Electrodin´ inglesa, Electrodin´ amica cl´ asica , 2 edición on (Alhambra Universidad, Barcelona, 1980).

• W. K. H. Panofsky and M. Phillips, Classical Electricity and Magnetism

(Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1964).

• Bo Thid Th id´é, Classical electrodynamics ,

http://www.plasma.uu.se/CED/Book/index.html.

• A. O: Barut, Barut, Electrodynamics and Classical Theory of Fields and Particles

(Dover, New York, 1980).

Rohrlich, Classical Charged Particles (Addison-Wesley, (Addison-Wesley, Reading, Massa• F. Rohrlich, Classical

chusetts, 1990).

— 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

0–2

notas EDC (v. 30/mayo/2005)

Bibliograf´ıa and and E. M. Lifs Lifshi hitz tz,, Teor´ıa ıa cl´ cl asica asic ´ a de campos ampos (Re (R ever verté, Barcelona, Barcelona, 1986); The 1986); The classical theory of fields , (Pergamon Press, Oxford, 1975). Landau au • L. D. Land

Electrodynamics dynamics , 3rd edition (John Wiley, New • J. D. Jackson, Classical Electro

York, 1998). Hay versión on espa˜ nola de la segunda edici´ nola on on inglesa, Electrodin´ inglesa, Electrodin´ amica cl´ asica , 2 edición on (Alhambra Universidad, Barcelona, 1980).

• W. K. H. Panofsky and M. Phillips, Classical Electricity and Magnetism

(Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1964).

• Bo Thid Th id´é, Classical electrodynamics ,

http://www.plasma.uu.se/CED/Book/index.html.

• A. O: Barut, Barut, Electrodynamics and Classical Theory of Fields and Particles

(Dover, New York, 1980).

Rohrlich, Classical Charged Particles (Addison-Wesley, (Addison-Wesley, Reading, Massa• F. Rohrlich, Classical

chusetts, 1990).


0–2


Índice general 1. Revisi´ Revisi´ on de las ecuaciones de Maxwell on

1–1

1.1. Las ecuaci ecuaciones ones de Maxw Maxwell ell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–1 1.2. 1.2 . Energ´ Ene rg´ıa ıa electro elec tromag magn´ nética eti ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–2 1.3. Los potenciales electromagn´ elec tromagnéticos eticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–4 1.4. Condici Condiciones ones de fron frontera tera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–4 1.5. Transformaci´ ransformaci´ on on de los campos camp os electromagn´ e lectromagnéticos eticos bajo rotaciones, reflexiones reflexiones e inversi´ inversi´ on on temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–5 1.5.1. 1.5.1. Rotacion Rotaciones. es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–7 1.5.2. 1.5.2. Reflexio Reflexiones. nes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–9 1.5.3. 1.5.3. Inve Inversi rsi´ on oń temporal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–10 1.6. Ejercici Ejercicios os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–12

2. Relatividad Relatividad especial

2–1

2.1. El principi principioo de relativ relatividad idad y los postulados postulados de Einstein Einstein . . . . . . 2–1 2.1.1. 2.1.1. Sistema Sistemass inerci inerciales ales.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–1 2.1.2. 2.1.2. Velocidad elocidad de propag propagaci aci´ on oń de la interacci´ on. on. . . . . . . . . . 2–2 — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

2.1.3. Sucesos, interv intervalo alo y tiempo propio. propio. . . . . . . . . . . . . . 2–3 2.1.4. Importancia del interv intervalo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–5 2.1.5. 2.1.5. Tipos de int interv ervalo. alo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–5 2.1. 2.1.6. 6.

Tiemp Tiempoo propi propio. o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–7

2.2. Las transfo transformac rmacion iones es de Lorentz Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–8 2.2.1. 2.2.1. Po Postul stulados ados de Einste Einstein. in. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–9 2.3. Transformaci´ ransformaci´ on on de las velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–11 notas EDC (v. 30/mayo/2005)

0–3

Índice general 2.4. Cuadrivelocidad y cuadriaceleraci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–11 2.5. Principio de covariancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–12 2.6. Apéndice: Grupos, vectores, formas y tensores . . . . . . . . . . . 2–14 2.6.1. Formas lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–16 2.6.2. Qu´ e cosa es un tensor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–17 2.6.3. Caso general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–19 2.6.4. Tensores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–23 2.6.5. Vectores y pseudovectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–24 2.6.6. Integrales en cuatro dimensiones. . . . . . . . . . . . . . . 2–25 2.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–27

3. Formulaci´ on lagrangiana de la electrodin´ amica cl´ asica I

3–1

3.1. Principio de “m´ınima acci´ on” en mec´ anica newtoniana . . . . . . 3–1 3.2. La acci´ on de una part´ıcula libre en relatividad . . . . . . . . . . . 3–3 3.2.1. Formulaci´ on cuadridimensional. . . . . . . . . . . . . . . . 3–5 3.3. Cuadripotencial del campo electromagnético . . . . . . . . . . . . 3–6 3.3.1. Interacci´ on a distancia e interacci´ on por campos interpuestos.3–6 3.4. Ecuaciones del movimiento de una carga en un campo electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–8 3.5. Invariancia gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–10 3.6. El tensor electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–10 3.6.1. Transformaciones de Lorentz del campo . . . . . . . . . . . 3–13 3.6.2. Invariantes del campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–14 3.7. Campo eléctrico de una carga puntual en movimiento uniforme . . 3–15 — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

3.8.

Part´ıcula cargada en un campo eléctrico uniforme y constante . . 3–17

3.9.

Part´ıcula cargada en un campo magnético uniforme y constante . 3–19

3.10. Part´ıcula cargada en campos eléctrico y magnético uniformes y constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–20 3.11. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–22

4. Formulaci´ on relativista lagrangiana de la electrodin´ amica cl´ asica II 4–1 0–4


´ Indice general 4.1. El primer par de ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . 4–1 4.2. La acci´ on del campo electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . 4–2 4.3. El cuadrivector corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–4 4.3.1. La ecuaci´ on de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–5 4.4. El segundo par de ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . 4–5 4.4.1. Forma integral del segundo par de Maxwell. . . . . . . . . 4–8 4.5. Densidad de energ´ıa y flujo de energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . 4–9 4.6. El tensor de energ´ıa-momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–11 4.6.1. Sentido de las componentes de T µν . . . . . . . . . . . . . . 4–14 4.6.2. Expresi´ on de las componentes del tensor energ´ıa-momento canónico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–14 4.6.3. Tensores energ´ıa-momento can´ onico y simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–15 4.7. Balance energético de la interacci´ on campo electromagnético-cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–16 4.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–18

5. Ondas electromagn´ eticas

5–1

5.1. La ecuaci´ on de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5–1 5.1.1. Ecuaciones de onda de los potenciales escalar y vectorial y transformaciones de gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5–2 5.2. Ondas electromagnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5–5 5.2.1. Ondas planas en medios no conductores . . . . . . . . . . 5–5 5.3. Radiaci´ on electromagnética en una cavidad en forma de paralelep´ıpedo rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5–7 — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

5.4. Gu´ıas de onda y cavidades resonantes . . . . . . . . . . . . . . . . 5–8 5.4.1. Condiciones de contorno de los campos longitudinales . . . . . . . . . . . . . . . . . 5–11 5.5. Modos transversales eléctricos y magnéticos y frecuencias m´ınimas 5–11 5.6. Cavidades resonantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5–13 5.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5–19

6. Radiaci´ on de part´ıculas cargadas

6–1


0–5

Índice general 6.1. Soluci´ on de la ecuaci´ on de ondas en forma covariante. Funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–1 6.2. Los potenciales y los campos de Liénard-Wiechert de una carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–5 6.2.1. C´ alculo de los potenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–5 6.2.2. C´ alculo de los campos eléctrico y magnético. . . . . . . . . 6–7 6.2.3. Campos de una carga en movimiento uniforme . . . . . . . 6–9 6.3. Radiaci´ on de una carga acelerada. F´ ormula de Larmor . . . . . . 6–10 6.3.1. F´ ormula relativista de Larmor . . . . . . . . . . . . . . . . 6–11 6.4. Reacci´ on a la radiaci´ on. Radiaci´ on del sincrotr´ on. . . . . . . . . . 6–12 6.4.1. Caso de aceleraci´ on lineal, . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–13 6.4.2. Caso de la aceleraci´ on centr´ıpeta en un movimiento circular.6–16 6.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–17

7. Sistemas radiantes

7–1

7.1. Radiaci´ on de un sistema de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7–1 7.2. Radiaci´ on de un dipolo oscilante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7–2 7.3. Planteamiento general del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . 7–6 7.4. Término dipolar eléctrico de la radiaci´ on . . . . . . . . . . . . . . 7–9 7.5. Radiaci´ on dipolar magnética y cuadrupolar eléctrica . . . . . . . . 7–10 7.6. Un ejemplo de antena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7–12 7.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7–13


0–6


Cap´ıtulo 1 Revisi´ on de las ecuaciones de Maxwell 1.1.

Las ecuaciones de Maxwell

Sean E (r, t) y B (r, t) los campos eléctrico y magnético y D (r, t) y H (r, t), los vectores de desplazamiento y de intensidad magnética. Las cuatro ecuaciones de Maxwell que los relacionan son en el vac´ıo

·B ∇×E ∇·E ∇×B ∇

= 0, = =

(1.1)

− ∂ ∂tB , ρ , 0

(1.2)

(1.3)

∂ E , (1.4) ∂t donde ρ(r, t) y j(r, t) son las densidades de carga y de corriente. Por razones que quedar´ an claras más adelante al estudiar la formulaci´ on relativista, las dos primeras se conocen como el primer par y la tercera y la cuarta, el segundo par . — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

= µ0 j + µ00

En un medio material, estas ecuaciones se escriben a menudo en la forma

·B ∇×E ∇·D ∇×H ∇

= 0, =

− ∂ ∂tB ,

= ρ,

(1.5)

(1.6) (1.7)

∂ D , (1.8) ∂t a las que se deben a˜ nadir las relaciones D = E, B = µH y, si la corriente no está dada a priori, tambien j = σ E. Las cantidades  y µ son la permitividad y notas EDC (v. 30/mayo/2005)

= j+

1–1

´ n de las ecuaciones de Maxwell Cap´ıtulo 1. Revisio la permeabilidad del medio, que representan fenomenol´ ogicamente el efecto de las cargas y spines del mismo. Se llaman también a veces su constante eléctrica y su constante magnética . σ es la conductividad eléctrica cuya inversa es la resistividad eléctrica . En muchas ocasiones, se trata de estudiar c´ omo var´ıa el campo electromagnético en interacci´ on con cargas libres cuyo movimiento no est´ a dado a priori sino que está afectado por los campos. Tomemos el caso especialmente interesante de electrones cuyas posiciones y velocidades son r k , v k . En ese caso hay que acoplar las ecuaciones de Maxwell con las de movimiento de cada carga. Para ello hay que hacer dos cosas (i) Tomar como densidad de carga del conjunto de electrones ρe =

 − e

δ (3) (r

− r ),

(1.9)

− r )v

(1.10)

k

k

y como densidad de corriente

je =

 − e

δ (3) (r

k

k

k

(ii) A˜ nadir las ecuaciones de movimiento de los electrones



d dt (1

−



mvk = F k = vk2 /c2 )1/2

−e(E + v × B). k

(1.11)

que es la segunda de Newton en su forma relativista, con la fuerza F k sobre cada carga dada por la expresi´ o n de Lorentz y tomando los campos E = E(r, t) y B = B(r, t) en la posición de cada carga. En el caso en que v/c 1 podemos aproximar el primer miembro por su expresi´ on no relativista d(mv)/dt.




Estas ecuaciones est´ an siendo comprobadas incontables veces cada d´ıa, tanto desde el punto de vita te´ orico, como en su aplicaci´ on a multitud de instrumentos y dispositivos, como los que tenemos en nuestras casas. Constituyen una parte muy importante de la f´ısica b´ asica.

1.2.

Energ´ıa electromagn´ etica

Las cantidades

1 U E = 2

y U M = 1–2

1 2

  V

V

E D dv,

(1.12)

H B dv,

(1.13)

·

·


1.2. Energ´ıa electromagnética son, respectivamente, la energ´ıa potencial electrost´ atica del sistema de cargas que produce el campo eléctrico y la energ´ıa almacenada en el campo magnético. Nótese que las densidades de energ´ıa se pueden escribir tambi´ en como 1 uE = E 2 , 2

uM =

1 2 B . 2µ

Veremos ahora qu´ e ocurre en las situaciones din´ amicas. Tomemos la diferencia entre la ecuaci´ on (1.6) multiplicada escalarmente por H y la (1.8) multiplicada por E ∂ B ∂ D H (∇ E) E (∇ H) = H E E j. ∂t ∂t El primer miembro de esta ecuaci´ on es igual a ∇ (E H), por lo que

·

× − · ∇

×

− ·

− · · ×

− ·

· (E × H) = −H · ∂ ∂tB − E · ∂ ∂tD − E · j.

(1.14)

Suponiendo que D, B, j dependen linealmente de E, H, E, esta ecuaci´ on puede escribirse como ∇

· (E × H) = − ∂t∂ 12 [E · D + B · H] − j · E.

(1.15)

El segundo miembro tiene una interpretaci´ on clara: con un cambio de signo, es la derivada respecto al tiempo de la suma de las densidades de energ´ıas eléctrica y magnética más el calentamiento Joule por unidad de volumen. Integrando la ecuaci´ on anterior en el volumen V , bordeado por S , y aplicando el teorema de Gauss, se llega de inmediato a d j E dv = dt V

 − · — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

 V

1 [ E D + B H] dv + 2

·

·



(E

S

× H) · n da.

(1.16)

Esta ecuaci´ on integral es muy importante, pues se trata de la conservaci´ on de la energ´ıa. Se conoce como Teorema de Poynting en forma integral. Si definimos el vector de Poynting (1.17) S = E H

×

podemos escribir (4.29) en la forma ∂u + ∇ S = j E, ∂t

·

−·

(1.18)

donde u es la suma de las densidades de energ´ıa eléctrica y magnética 1 u = u E + uM = [ E D + B H] . 2

·


·

(1.19) 1–3

´ n de las ecuaciones de Maxwell Cap´ıtulo 1. Revisio La ecuaci´ on (4.30) es el teorema de Poynting en forma diferencial. Su interpretación de es clara: el segundo miembro es la energ´ıa por unidad de volumen que pierde el campo electromagn´ etico debido al efecto Joule (o sea la energ´ıa transferida del campo a la agitaci´ on térmica de la materia); el primer sumando del primer término es la variaci´ on local de la densidad de energ´ıa y ∇ S es la densidad de flujo de energ´ıa electromagnética, es decir la energ´ıa electromagnética que atraviesa una unidad de superficie normal a S por unida de tiempo. Integrada en un volumen V cualquiera (y transformando el término con S en una integral en la superficie S que bordea a V ) la ecuaci´ on (4.30) nos dice que la variación de energ´ıa electromagnética en ese volumen se debe a (i) el efecto Joule y (ii) al flujo de energ´ıa a través del borde de V , representada por el vector de Poynting.

·

En resumen u es la densidad de energ´ıa electromagnética almacenada en el campo y S es la densidad de flujo de energ´ıa.

1.3.

Los potenciales electromagn´ eticos

La ecuaci´ on ∇ B = 0 nos dice que el campo magnético es un rotacional, o sea que existe un campo vectorial A tal que B = ∇ A. Ello implica que la ley de Faraday ∇ E = ∂ t B puede escribirse como ∇ (E + ∂ tA) = 0, lo que dice que (E + ∂ t A) es el gradiente de una funci´ on Φ. Recapitulando

·

×

× ×

−

E =

−∇Φ − ∂ ∂tA ,

B =

∇

× A.

(1.20)

A y Φ son los potenciales escalar y vectorial que pueden usarse para definir el campo electromagnético con s´ olo cuatro funciones.

1.4. — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

Condiciones de frontera

Sea una superficie f (r) = 0 que separa dos medios cuyas propiedades electromagnéticas son diferentes. En su superficie hay (o se inducen) una densidad supeficial de carga ρ y una densidad superficial de corriente K. Indicamos las magnitudes en los dos medios por sub´ındices 1 y 2. Las condiciones de contorno para los campos E, D, B, H son las siguientes (siendo n un vector unitario normal a la superficie (i. e. n = ∇f/ ∇f ) que suponemos dirigido del medio 1 al 2

| |

(D2 (H2 1–4

−D )·n −H )×n 1

1

= σ, = K,

− E ) × n = 0 , (B − B ) · n = 0 .

(E2

2

1

1

(1.21)

(1.22)


1.5. Transformaci´ on de los campos electromagnéticos bajo rotaciones, reflexiones e inversi´ on temporal Se pueden enunciar as´ı: Las componentes normal de B y tangencial de E son continuas en la superficie. La componente normal de D tiene una discontinuidad igual a la densidad superficieal de energ´ıa y la componente tangencial de H tiene una discontinuidad igual a la densidad de corriente. Si fluye una corriente de un medio al otro, su componete normal debe ser continua, ( j 2

− j ) · n = 0 .

1

(1.23)

Las condiciones de los potenciales son ∂ Φ ∂t

 − 2

∂ Φ ∂t



=0 1

2

∂ Φ ∂n

 − 2

∂ Φ 1 ∂n



= σ .

(1.24)

1

La primera condici´ on para Φ puede escribirse en la forma Φ2 = Φ1 ,

(1.25)

La condici´ on para el potencial vectorial tiene una expresi´ on algo más complicada, depende la geometr´ıa de la superficie, y no se dar´ a aqu´ı.

1.5.

Transformaci´ on de los campos electromagn´ eticos bajo rotaciones, reflexiones e inversi´ on temporal

El comportamiento de de las cantidades f´ısicas ba jo ciertas transformaciones tienen mucha importancia. Ello se debe a que las propiedades b´ asicas del espaciotiempo y la materia se expresan a menudo como ciertas invariancias bajo grupos de transformaciones. As´ı


i) la homogeneidad del espacio se puede enunciar como la invariancia de las leyes básicas bajo traslaciones. Ello significa que al pasar de un punto a otro no cambian las leyes, o sea que todos los puntos del espacio son equivalentes para la f´ısica. Las leyes son las mismas en Madrid que en Barcelona, Bilbao, Nueva York ´ o Mosc´ u. Este fue un descubrimiento importante de Newton: debemos aceptar la idea de que las leyes son las mismas por todas partes, en contra de lo que se admit´ıa hasta entonces, siguiendo la tradici´ on de la filosof´ıa aristotélica que divid´ıa el mundo en uno sublunar y el de las estrellas. ii) la isotrop´ıa del espacio, o sea que todas las direcciones son equivalentes para las leyes de la f´ısica, se puede enunciar diciendo que éstas deben ser invariantes bajo las rotaciones del espacio. notas EDC (v. 30/mayo/2005)

1–5

´ n de las ecuaciones de Maxwell Cap´ıtulo 1. Revisio iii) la equivalencia entre la derecha y la izquierda se conoce en f´ısica como invariancia bajo paridad . Significa que, si tenemos un proceso f´ısico cualquiera que sigue una cierta ley, el proceso obtenido mediante una imagen especular está también previsto por la misma ley. Se puede expresar dieciendo que las leyes sin invariantes bajo reflexiones r r.

→−

iv) el principio de relatividad se puede formular diciendo que las leyes son invariantes bajo transformaciones de Lorentz. Para que estas ideas sean operativas es esencial el concepto de simetr´ıa . ¿Qué significa esta palabra en la vida ordinaria? Siempre alude a que algo no cambia cuando se realizan ciertas transformacione geométricas. Por ejemplo, una esfera es una figura muy simétrica. Esto significa que si la giramos alrededor de cualquier eje que pase por su centro, ella permanece invariante. Por su parte, un cubo no cambia bajo rotaciones de un ańgulo m´ ultiplo entero de π/4 alrededor de un eje que pase por los centros de dos caras opuestas o bajo rotaciones de ángulo 2π/3 alrededor de un eje que pase por dos vértices opuestos o rotaciones de ańgulo π alrededor de un eje que pase por los puntos medios de dos aristas opuestas o bajo la reflexiones r xk , k = 1, 2, 3. Esas transformar o xk ciones y sus productos forman un grupo llamado el grupo de simetrias del cubo, lo mismo que el grupo de simetr´ıas de la esfera es el de las rotaciones alrededor de cualquier eje por su centro, m´ as las reflexiones.

→−

→ −

Análogamente, una columna cil´ındrica no cambia si la giramos un angulo ´ cualquiera alrededor de su eje. O una h´ elice, ante rotaciones de un angulo ´ α alrededor de su eje multiplicadas por una traslaci´ on seg´ un su eje de una longitud rα tan β , siendo r su radio y 2πr tan β su paso de rosca. Con frecuencia este tipo de simetr´ıas está asociado a una sensaci´ on est´ etica. Nos parece que las figuras geom´ etricas son especialmente bellas, lo mismo que la belleza de una persona suele incluir una figura muy simétrica, por ejemplo respecto a un plano.


Pues bien, las simetr´ıas matem´ aticas que estamos considerando son algo parecido, pero lo que debe permanecer invariante no es la forma de un objeto en el espacio f´ısico, sino algo m´ as abstracto y complejo: una ecuaci´ on diferencial que expresa una ley f´ısica. En otras palabras, supongamos a Andr´ es y Beatriz (o a Alicia y Bernardo) cuyos sistemas de coordenadas espaciales y relojes que miden el tiempo son distintos. Por ejemplo, Andrés est´ a en reposo en un sistema inercial y Beatriz se mueve respecto a Andrés con velocidad constante o bien Andrés está girado respecto a Beatriz. Supongamos que la relaci´ on entre sus coordenadas y tiempos sea una simetr´ıa de una cierta ley. En ese caso, si Andrés encuentra que esa ley da buenos resultados en su sistema, al realizar una serie de experimentos, 1–6


1.5. Transformaci´ on de los campos electromagnéticos bajo rotaciones, reflexiones e inversi´ on temporal y se expresa mediante unas ecuaciones diferenciales del tipo F (¨ xk , x˙ k , xk ) = 0 , y les aplica la transformaci´ on matem´ atica que pasa al sistema de referecnia de Beatriz, obtendr´ a las mismas ecuaciones, salvo posiblemente los nombres de las variables. O sea que la función F es la misma para los dos. Entre las simetr´ıas fundamentales de la f´ısica, destacan las rotaciones, las reflexiones y la invariancia bajo inversi´ on temporal t t. Por eso conviene mucho que sepamos cu´ ales son las propiedades de los campos electromagnéticos respecto a tales transformaciones.

→ −

1.5.1.

Rotaciones.

Una rotaci´ on de coordenadas en el espacio tridimensional es una transformación lineal, tal que la norma de un vector permanece invariante. En otras palabras, tal que la suma de los cuadrados de las coordenadas no cambia. O sea que se trata de una transformaci´ on lineal x j

→

x j

=



a jk xk .

(1.26)

k

Para que (x )2 = (x)2 se debe cumplir



a jk a j = δ k .

(1.27)

j

Si la matriz A tiene por coordenadas a jk , esto significa que su inversa A −1 es igual ˜ o sea que a su traspuesta A, ˜ AA = I , (1.28)


por lo que las matrices que expresan una rotaci´ on se llaman (adecuadamente) ortogonales y su conjunto se conoce como grupo ortogonal O(3), el tres refiriéndose la dimensión del espacio. Pues bien, todo conjunto de tres cantidades que se transforman en una rotación como las componentes de x se llama vector , por ejemplo la velocidad v o el momento lineal p. Hay, además, cantidades que son invariante bajo rotaciones y se llaman escalares . Por ejemplo, los productos escalares de dos vectores, as´ı x 2 , x p o v p, este u ´ltimo el doble de la energ´ıa cinética en f´ısica newtoniana. Si φ(xi ) es un escalar y V k (xi ) es un vector, se tiene

·

·

φ (xi ) = φ(xi ) ,

V j (xi ) =



a jk V k (xi ) .

(1.29)

k


1–7

´ n de las ecuaciones de Maxwell Cap´ıtulo 1. Revisio Como vemos, los escalares son tensores de rango cero. Por otra parte hay cantidades con dos ´ındices Bij que se transforman como un vector respecto a cada uno, es decir Bij

 ij

→ B

=



aik a j Bk .

(1.30)

k

Son los llamados tensores de segundo rango o de dos ´ındices. Como ejemplos, podemos mencional los tensores de inercia de un s´ olido o los de tensi´ on y deformación en mec´ anica de medios continuos. Uno de ellos, el tensor electromagnético jugará un papel importante en este curso, como veremos m´ as adelante. La generalización a tensores de rango n, o de n ´ındices, es inmediata. Los escalares son tensores de rango cero, sin ´ındices, y los vectores, tensores de rango uno o con un ´ındice. Si multiplicamos término a término dos tensores, se obtiene un tensor cuyo rango es la suma de los dos. As´ı el producto di´ adico de dos vectores P ij = A i B j es un tensor de rango dos. La cantidad T ijk = A i Bij es un tensor de tres ´ındices, etc. Los operadores diferenciales tienen también propiedades de transformaci´ on bajo las rotaciones. Por ejemplo, el gradiente es un operador vectorial . Como consecuencia, el gradiente de un escalar ∇φ es un vector, la divergencia de un vector ∇ V es un escalar, la laplaciana es un operador escalar, de modo que la laplaciana de un escalar es otro escalar ∇2 φ.

·

Para interpretar lo que significa una rotaci´ on, podemos usar dos interpretacionees. En el punto de vista activo se considera que no cambian los ejes de referencia y el sistema f´ısico es el que se gira. En el punto de vista pasivo es al rev´ es, los ejes se giran y el sistema se deja fijo. Para entenderlo mejor, tomemos una rotaci´ on alrededor del eje z , o sea en el plano xy. Desde el punto de vista activo, giramos el sistema un ańgulo α y desde el pasivo, un ángulo α. La situaci´ on relativa del sistema y los ejes es la misma en los dos puntos de vista.

−

Consideremos el producto vectorial — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

A = B

×C.

(1.31)

En componentes Di =



ijk B j C k ,

jk

donde el s´ımbolo ijk representa el tensor de Levi-Civita, que es de rango tres y completamente antisim´ etrico. Vale cero si dos ´ındices son iguales, +1 si ijk es una permutaci´ on par de (123) y -1 si es una permutaci´ on impar. Es f´ acil ver que 1–8


1.5. Transformaci´ on de los campos electromagnéticos bajo rotaciones, reflexiones e inversi´ on temporal es un tensor invariante, pues ijk

=



ai a jm akn mn =  ijk .

mn

En efecto, si dos ´ındices en (ijk) son iguales el segundo miembro se anula. Si, por ejemplo i = j, los terminos en ai aim mn se cancelan. Si ijk es una permutaci´ on par, el segundo miembro es igual al determinante de A = (aij ) y si es una permutaci´ on impar a menos el determinante (pues se han intercambiado dos filas). Como el determinante de una rotaci´ on propia es +1, queda demostrado. Nótese que si la rotación fuese imporpia, su determinante ser´ıa 1 y el tensor de Levi-Civita cambiar´ıa de signo en una reflexi´ on. Los tensores a lo suq les ocurre tal cosa, se llaman pseudotensores . Pues bien, vemos que  ijk es un pseudotensor. En el caso del producto vectorial D , su expresión sugiere que se puede considerar como un tensor antisimétrico de rango dos cuyas componentes sean B j C k Bk C j . Por ser antisimétrico tiene s´ olo dos componentes distintas, lo que permite tratarlo como un vector. Pero el hecho de que el tensor de Levi-Civita sea un pseudotensor, indica que su ley de transformaci´ on es

−

−

Di =

det(a)



aij D j

(1.32)

j

O sea que un producto vectorial es realmente de un pseudovector. Esto tiene importancia pues es el caso del campo vectorial. Los pseudovectores se llaman también vectores axiales mientras que los vectores ordinarios se conocen como vectores polares . El producto vectorial de un axial por un polar es polar, el de dos axiales es axial. El producto escalar de un axial y un polar es un pseudoescalar y el de dos axiales un escalar.

1.5.2. — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

Reflexiones.

La paridad o reflexión r on que cambia la axilidad de r es una transformaci´ una figura, por ejemplo transformando una mano derecha en una mano izquierda. La matriz de tal transformaci´ o n es aij = δ ij cuyo determinante vale 1. Ya hemos visto antes que los pseudotensores se transforman de modo distinto que los vectores bajo una reflexi´ on.

→−

−

−

Si consideramos el conjunto de todas las rotaciones propias, es decir tales que det(a) = +1, es fácil ver que forman un grupo llamado ortogonal. Si incluimos los productos de esas rotaciones por la paridad, resulta que det(a) = 1, que se llama grupo ortogonal completo. La reflexión respecto a un plano tiene determinante 1

±


−

1–9

´ n de las ecuaciones de Maxwell Cap´ıtulo 1. Revisio y es igual al producto de la paridad por una rotaci´ on de ańgulo π en el plano. Por ejemplo (x,y,z ) (x,y, z ) es igual al producto de una rotaci´ on en el plano xy por la reflexi´ on r r.

→ − →−

1.5.3.

Inversi´ on temporal.

Las leyes básicas de la f´ısica clásica son invariantes por el cambio de la flecha del tiempo. Nótese que lo que es invariante no es cada trayectoria, sino la expresión matem´ atica de la ley, es decir, la ecuación del movimiento. Si tomamos una pel´ıcula de una carambola, que no contenga pistas como un reloj o una persona andando, resulta imposible saber al verla si esta siendo pasada hacia alante o hacia atr´ as. Los planetas giran an torno al Sol aproximadamente en un plano y con un cierto sentido de giro. Ello se debe a un accidente hist´ orico, pues podr´ıan igualmente girar en el sentido contrario. A las leyes del movimiento les da igual. Nótese que para pasar de un sentido al otro, basta con cambiar t t, v v, p p.

→−

→−

→−

Pues bien para tener en cuenta esta simetr´ıa temporal, es preciso que las ecuaciones sean invariante por esos cambios. Tomemos la segunda ley de Newton en la forma dp = ∇U (r) . dt

−

En la Tabla 1, se indican las propiedades de transformaci´ on de las principales magnitudes electromagnéticas ante rotaciones, paridad e inversi´ on espacial.


1–10


1.5. Transformaci´ on de los campos electromagnéticos bajo rotaciones, reflexiones e inversi´ on temporal

Tabla 1.1 Propiedades de transformación de varias magnitudes bajo rotaciones, paridad e inversi´ on temporal.

Rotaci´ on (rango del tensor) Paridad

Magnitud


I. Mec´ anicas Coordenada Velocidad Momento Momento angular Fuerza Torque Energ´ıa cinética Energ´ıa Potencial

x v p L = x F N = x p2 /2m U (x)

II. Electromagnéticas Densidad de carga Densidad de corriente Campo eléctrico Desplazamiento Polarizaci´ on Campo Magnético Intensidad Magnética Imanación Vector de Poynting Tensor de Maxwell

ρ J E D P B H M S = E T αβ


×p ×F

×H

Inversi´ on temporal

1 1 1 1 1 1 0 0

Impar (vector) Impar (vector) Impar (vector) Par (pseudovector) Impar (vector) Par (pseudovector) Par (escalar) Par (escalar)

Par Impar Impar Impar Par Par Par Par

0 1 1 1 1 1 1 1 1 2

Par (escalar) Impar (vector) Impar (vector) Impar (vector) Impar (vector) Par (pseudovector) Par (pseudovector) Par (pseudovector) Impar (vector) Par (tensor)

Par Impar Par Par Par Impar Impar Impar Impar Par

1–11

´ n de las ecuaciones de Maxwell Cap´ıtulo 1. Revisio

1.6.

Ejercicios

1.1 Comprobar que la fuente del potencial vectorial en el gauge de Coulomb es la componente transversal o solenoidal de la corriente J t (que verifica ∇ Jt = 0).

·

1.2 Si existiesen los monopolos magnéticos, uno de carga q m situado en el origen de coordenadas producir´ıa un campo magnético igual a Bm =

µ0q m r 4π r3

a) Demostrar que ese campo no es una soluci´ on de las ecuaciones de Maxwell y, por tanto, es incompatible con la teor´ıa en ellas basada. b) Demostrar que, si se a˜ nade el término Bs = µ 0 q m δ (x)δ (y)h( z )ez al campo anterior, el campo suma s´ı obedece a las ecuaciones de Maxwell. Interpretar la solución as´ı obtenida.

−

1.3 Supongamos que la relación constitutiva de un material que expresa el vector polarizaci´ on P en función del campo eléctrico en presencia de una campo magnético est´ atico B0 incluye varias contribuciones de E, sus derivadas temporales y B0 . Usar argumentos de simetr´ıa que muestren que la expresi´ on más general hasta el segundo orden en B0 tiene necesariamente la forma: 1 ∂ E P = χ 0 E + χ1 0 ∂t


× B + χ (B · 0

2

0

∂ 2E B0 ) 2 + χ3 ∂t



∂ 2E B0 B0 ∂t 2

·



1.4 Si en un conductor por el que fluye una corriente debida a un campo eléctrico se aplica un campo magnético transversal, aparece una componente de campo eléctrico en la direcci´ on perpendicular a ambos y, como consecuencia, un voltaje entre los dos lados del conductor. Este fen´ omeno se conoce como efecto Hall . Basándose en las propiedades se simetr´ıa espacial y temporal, demostrar que, para campos magnéticos peque˜ nos. la generalizaci´ o n de la ley de Ohm que es correcta hasta el segundo orden en el campo magnético tiene la forma E = ρ 0J + R(H

2

× J) + β H J + β (H · J)H 1

2

donde ρ0 es la resistividad en ausencia del campo magnético y R, β 1, β 2 son ciertos coeficientes (R se conoce como coeficiente de Hall o coeficiente Hall ).

1.5 Demostrar que las ecuaciones de Maxwell en el vac´ıo son invariantes ba jo las llamadas transformaciones de dualidad E 1–12



→ E = E cos θ + cB sen θ ,

cB



→ cB = −E sen θ + cB cos θ. notas EDC (v. 30/mayo/2005)

1.6. Ejercicios

1.6∗ Demostrar que las ecuaciones de Maxwell en el espacio vac´ıo se pueden modificar para incluir las hipotéticas cargas magnéticas y que tales ecuaciones modificadas son invariantes bajo las llamadas transformaciones de dualidad que entremezclan la electricidad y el magnetismo E = E cos α + cB sen α ,

cB  =

cρe = cρe cos α + ρm sen α ,

ρm

c je = c j e cos α + j m sen α ,

jm

−E sen α + cB cos α , = −cρ sen α + ρ cos α , = −c j sen α + j cos α . e

e

m

m

Determinar las propiedades de transformaci´ on ba jo rotaciones propias, reflexiones espaciales e inversi´ on temporal de las cantidades electromagnéticas involucradas. También bajo la reflexi´ on de carga q q  = q .

→



−

1–13

´ n de las ecuaciones de Maxwell Cap´ıtulo 1. Revisio


1–14


Cap´ıtulo 2 Relatividad especial 2.1.

El principio de relatividad y los postulados de Einstein

2.1.1.

Sistemas inerciales.

Para describir los fen´ omenos naturales, los f´ısicos usan sistemas de referencia , que también llamaremos referenciales , que consisten en sistemas de coordenadas para indicar la posición en el espacio y relojes fijos en cada sistema para indicar el tiempo.


Tienen un interés especial los llamados sistemas inerciales , que son sistemas de coordenadas en los que un m´ ovil libre, o sea sin fuerzas aplicadas, se mueve con velocidad constante. Son importantes porque en ellos valen las leyes de Newton sin necesidad de incluir fuerzas de inercia. Si un sistema es inercial, todos aquellos que se mueven respeto a él con velocidad constante y sin rotaci´ on son también inerciales. Rec´ıprocamente si dos sistemas son inerciales, se mueven uno respecto al otro con velocidad relativa constante. A pesar de la importancia que tiene en la fundamentaci´ o n de la dinámica clásica, la idea de sistema inercial es m´ as bien reciente. Fue introducida por el filósofo y cient´ıfico alem´ an Ludwig Lange en 1885. Gracias a ella, se aclaró mucho la noción de relatividad, que estaba confusa incluso en las obras de los grandes mecánicos del XVIII y XIX.

Principio de relatividad: Las leyes de la naturaleza son las mismas en todos los sistemas inerciales de referencia. Esto significa que, si Andrés y Beatriz cada uno en su referencia inercial, investigan mediante experimentos las leyes de la notas EDC (v. 30/mayo/2005)

2–1

Cap´ıtulo 2. Relatividad especial naturaleza en un cierto sistema f´ısico, los dos obtendr´ an las mismas leyes (salvo error, claro). Con frecuencia se distingue entre principio de relatividad de Galileo y de Einstein. El primero se refiere tan s´ olo a leyes de la dinámica. El segundo a todas las leyes de la f´ısica, incluyendo en particular el electromagnetismo, o sea que es el principio de relatividad sin más cualificaci´ on.

2.1.2.

Velocidad de propagaci´ on de la interacci´ on.

La dinámica de Newton usaba fuerzas instant´ aneas . La ley de la gravitaci´ on universal, por ejemplo, no incluye ninguna referencia ni al tiempo t ni a la velocidad de propagaci´ on de la gravedad. Para ilustrar esta cuesti´ on, imaginemos que en el Sol se produjese una explosión en un cierto instante t0, de modo que dos mitades fuesen despedidas con una cierta velocidad en direcciones opuestas (o quizá en el n´ ucleo de la galaxia). Al cabo de un cierto tiempo, cambiar´ıa la órbita de la Tierra porque cambiar´ıa la fuerza de la gravedad del Sol. Seg´ un la teor´ıa de Newton, ese cambio ser´ıa instant´ aneo, es decir, se notar´ıa desde el mismo instante t0 (si bien al principio el cambio ser´ıa peque˜ no). Hoy se piensa, en cambio, que la interacci´ on gravitatoria tiene una velocidad finita de propagaci´ on, que coincide con la velocidad de la luz c, de modo que los efectos de la explosi´ on en el Sol se notar´ıa solo tras unos 8 minutos y 20 segundos (= 1 UA/c 500 s). También sabemos hoy que esa velocidad c es la de propagaci´ on de la interacci´ on electromagnética y tambi´ en es una velocidad l´ımita que no puede ser superada por ning´ un móvil. Su valor es



c = 299 792 458 m/s .


(2.1)

Como es una constante universal de la naturaleza, puede jugar el papel de patr´ on universal. Hay que tener en cuenta que cuando se toma un patr´ on, siempre es necesario suponer que algo no cambia. Por ejemplo, el metro se defin´ıa como “la diezmilmillon´ esima parte del cuadrante de meridiano terrestre que pasa por Par´ıs” porque se supone que los meridianos de la Tierra tienen longitud invariante. Si se definió más tarde como la distancia entre dos marcas en una barra de platino iridiado mantenida a temperatura constante, fue porque esa aleaci´ on se dilata o contrae muy poco ante cambios de temeperatura (es inevitable que haya algunos muy peque˜ nos). Luego se tom´ o como definici´ on la longitud de 1 650 763,73 longitudes de onda de una cierta radiaci´ o n emitida por el 86 Kr, lo que implica 2–2


2.1. El principio de relatividad y los postulados de Einstein suponer que la constante de Rydberg es realmente constante R =

2

  1 4π 0

me4 = constante . 4π 3 c

Para aprovechar la constancia universal de c, el metro se define desde 1983 como la distancia recorrida por la luz en 3,335640952 10−9 s. Cabe mencionar que la revista Nature publicó entonces un editorial criticando la decisi´ on de la Oficina Internacional de Pesas y Medidas porque no se puede asegurar que c no cambie en alguna medida que escapa a los experimentos actuales. En todo caso, se puede decir que se conoce actualmente el valor exacto, o sea sin error, de la velocidad de la luz (tambi´ en ocurre con dos cantidades relacionadas: la permitividad y la permeabilidad del espacio vac´ıo).

×

2.1.3.

Sucesos, intervalo y tiempo propio.

Un suceso o evento es algo que ocurre en un punto del espacio en un instante de tiempo. Se define por cuatro cantidades, el valor del tiempo t y los de las tres coordenadas (x, y, z ). Los sucesos se sit´ uan en un espacio de cuatro dimensiones, una temporal y tres espaciales, conocido como espacio-tiempo (se intent´ o sin éxito la palabra universo). Por abuso de lenguaje, se suele identificar suceso con punto del espacio-tiempo. Una part´ıcula puntual descibe una l´ınea en el espacio-tiempo (un tubo, si no es puntual). La idea de espacio-tiempo fue introducida por el matem´ atico alem´ am Hermann Minkowski en el Congreso de la Asociaci´ on de Matem´ aticos, celebrado en Colonia en 1908, al decir que, como consecuencia de la teor´ıa de Einstein (que hab´ıa sido alumno suyo en Zurich), “A partir de ahora, el espacio por s´ı mismo y el tiempo por s´ı mismo est´ an condenados a desvanecerse como meras sobras y sólo quedar´ a una ´ıntima unión de ellos dos: el espacio-tiempo”. Por eso el espaciotiempo de la relatividad especial se conoce como espacio de Minkowski . — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

La idea de distancia entre dos puntos a lo largo de una trayectoria es muy importante en geometr´ıa eucl´ıdea. La distancia, sin m´ as, es la distancia a lo largo de un a l´ınea recta que una los dos puntos. Sean estos P 1 (x1 , y1 , z 1) y P 2 (x2 , y2 , z 2 ). Su distancia s cumple

≡

≡

s2 = (x2

2

−x ) 1

+ (y2

Si los puntos son P 1 (x,y,z ) y P 2 distancia, o de longitud, es

≡

2

−y ) 1

+ (z 2

− z ) 1

2

.

≡ (x + dx, y + dy, z + dz ) el elemento de

ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 . notas EDC (v. 30/mayo/2005)

2–3

Cap´ıtulo 2. Relatividad especial Una caracter´ıstica importante de la geometr´ıa eucl´ıdea es que el elemento de longitud se puede escribir como la suma de cuadrados de elementos de las coordenadas. En realidad, esto es ni más ni menos que el teorema de Pit´ agoras. En el caso de que las coordenadas correspondan a ejes no ortogonales, de modo que un punto se determine por el vector dr = xi ei pero con los vectores ei no siendo ortonormales ei e j = δ ij , el elemento de longitud se escribe como



·  2

ds =



gij dxi dx j ,

ij

donde gij = ei e j es el llamado tensor métrico. En una geometr´ıa eucl´ıdea, siempre se puede conseguir que gij = δ ij , eligiendo adecuadamente los vectores de la base.

·

Para estudiar el espacio-tiempo en relatividad, se usa el concepto de intervalo, que es an´ alogo pero no igual al de distancia. El intervalo entre dos sucesos y el elemento de intervalo valen (suponiendo una base espacial ortonormal) s212 = c2 (t2 ds2 =

2

2

2

− t ) − (x − x ) − (y − y ) − (z − z ) c dt − dx − dy − dz . 2

1

2

2

2

1

2

2

1

2

1

2

2

,

(2.2) (2.3)

En general, conviene usar cuatro coordenadas para trabajar en el espacio-tiempo x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z . El intervalo es entonces 2

0 2

ds = (dx )

1 2

2 2

3 2

− (dx ) − (dx ) − (dx )

=



gij dxi dx j .

ij

Esto se parece a lo que ocurre en un espacio eucl´ıdeo, pero con tensor métrico igual a (notaci´ on autoexplicativa) — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

gij = diagonal(1, 1, 1, 1).

− − −

Cuando un espacio tiene un elemento de distancia que se puede escribir como la suma de varios cuadrados de diferenciales de coordenadas menos la suma de varios otros, se dice que es un espacio pseudoeucl´ıdeo. La signatura de la métrica es el dato de cuantos signos m´ a s y cuantos signos menos hay en ella. La de la relatividad se puede expresar como (1,3) o (3,1) ( de modo equivalente) Nótese que sigo usando un cuadrado en el primer miembro, a pesar del hecho evidente que el segundo miembro puede ser negativo (se dice que la m´ etrica 2–4


2.1. El principio de relatividad y los postulados de Einstein no es definida positiva). Los espacios en que el tensor m´ etrico depende de las coordenadas, de modo que varia de punto a punto se califican de riemannianos o pseudoriemnnianos en honor al matem´ atico alem´ an Georg Friedrich Riemann (1826-1866), quien los introdujo en un importante trabajo titulado “Sobre las hipótesis en que se basa la geometr´ıa”. Al hacerlo se apoy´ o en la obra anterior de Gauss.

2.1.4.

Importancia del intervalo.

Se debe a que el intervalo entre dos sucesos toma el mismo valor para todos los observadores inerciales, porque es invariante bajo transformaciones de Lorentz. Como veremos esto es parecido a lo que le ocurre a la distancia en la geometr´ıa eucl´ıdea, que es invariante bajo rotaciones.

2.1.5.

Tipos de intervalo.

Supongamos que el punto del espacio-tiempo P 1 es el origen de coordenadas y P 2 (t,x,y,z ). El intervalo entre P 1 y P 2 será

≡

s212 = c 2 t2

−

2

,

con 2 = x 2 + y 2 + z 2 .

Como el signo de s 2 no est´ a definido, un intervalo puede ser de tres tipos. a) de tipo tiempo (o temporal ), si s 212 > 0. Esto significa que se puede ir de P 1 a P 2 manteniendo siempre una velocidad menor que c. s12 es real. b) de tipo luz , si s212 = 0. En este caso un rayo de luz puede ir de P 1 a P 2 . Además, s12 = 0. c) de tipo espacio (o espacial ), si s212 < 0. Ningún movil puede ir de P 1 a P 2 pues se necesitar´ıa llegar a una velocidad superior a la de la luz. s 12 es imaginario puro. — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

Se define el cono de luz de un punto como el conjunto de los rayos de luz que salen de ese punto (o sea en un cierto instante). Su ecuaci´ on es c2 t2 (x2 +y2 +z 2 ) = 0. Las partes con t > 0 (resp. t < 0) se llaman cono del futuro (resp. cono del pasado). Pues bien

−

a) Si el intervalo entre P 1 y P 2 es de tipo tiempo, P 2 está dentro del cono de luz de P 1 . b) Si es de tipo luz, P 2 está en el cono de luz. c) Si es de tipo espacio, P 2 está fuera del cono de luz. notas EDC (v. 30/mayo/2005)

2–5

Cap´ıtulo 2. Relatividad especial

Figura 2.1: Tipos de intervalo. La gran importancia que tiene la noci´ on de cono de luz est´ a en sus consecuencias sobre las posibles relaciones causales entre P 1 y P 2 . a) El interior del cono de luz del futuro se llama futuro absoluto de P 1 . Ello se debe a que t > 0 (o sea t2 > t1 ) para todos los observadores inerciales. En cambio, existe un sistema de referencia en el que los dos sucesos ocurren en el mismo punto espacial. El intervalo temporal entre los dos eventos en ese sistema es igual a c2 t212 212 s12  t12 = = . c c



−

S´ı puede haber una influencia causal de P 1 sobre P 2 , pero no al revés.


Análogamente, el interior del cono de luz del pasado se llama pasado absoluto. Existe un sistema en que los dos sucesos ocurren en el mismo tiempo. Además, s´ı puede haber una influencia causal de P 2 sobre P 1 , pero no al revés. b) Los sucesos en el cono de luz, est´ an siempre separados (para que se diesen los dos en un mismo punto, el sistema deber´ıa viajar a velocidad c). Los del futuro serán siempre futuro y los del pasado, siempre pasado. c) Los puntos del exterior del cono de luz de P 1 están siempre separados. No hay ning´ un referencial en que los dos ocurran en el mismo lugar. Como para viajar entre P 1 y uno de ellos se necesita llegar a una velocidad superior a c, cosa imposible, no puede haber ninguna conexi´ on causal con puntos de fuera del cono de luz. 2–6


2.1. El principio de relatividad y los postulados de Einstein Por otra parte, hay sistemas en los que P 1 y P 2 son simultáneos. Su distancia espacial es en ese caso 12

=

 − 212

c2 t212 = is12 .

Entender que el orden temporal entre dos sucesos separados por un intervalo tipo espacio depende del observador y que la simultaneidad de sucesos separados espacialmente no puede tener caracter absoluto fue el punto de partida de Einstein para su relatividad espacial. Al desarrollarla actu´ o como un empirista, pues no ve´ıa modo de determinar experimentalmente que dos sucesos sean simultaneos, de módo válido para todos los observadores inerciales.

2.1.6.

Tiempo propio.

Sea un reloj que se mueve de manera arbitraria respecto a un sistema inercial S . Cerca de cada instante, se puede considerar que su movimiento es uniforme. As´ımismo introducimos sistemas de coordenadas en cada instante, unidas r´ıgidamente al reloj, de modo que éste se mueve intant´ anamente en un sistema inercial. Sean (t,x,y,z ) las coordenadas en el sistema S . En el intervalo dt, el reloj recorre la distancia dx2 + dy 2 + dz 2 . En el sistema ligado r´ıgidamente al reloj S  , se tiene dx = dy  = dz  = 0. Como el intervalo es invariante, resulta



ds2 = c 2 dt2

2

2

2

− dx − dy − dz

= c 2 dt 2 ,

de donde

 −

dt = dt 1

(dx2 + dy2 + dz 2 )/c2 dt2 .

Como (dx2 + dy2 + dz 2 )/dt2 = v 2 , resulta que

 −

dt = dt 1 — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

v 2/c2 .

Por tanto, el tiempo que habr´ a medido el reloj al moverse a lo largo de una cierta trayectoria entre los tiempos t1 y t2 en S será t2

−

t1

  − t2

=

dt 1

t1

v 2 c2

(

≤t −t ) . 2

1

(2.4)

Esto significa que el tiempo medido por un reloj en movimiento respecto a un sistema S será siempre menor que el de un reloj que esté en reposo en s. notas EDC (v. 30/mayo/2005)

2–7


Figura 2.2: Transformaciones de Lorentz.

2.2.

Las transformaciones de Lorentz

Dados dos sistemas S y S  , en movimiento relativo con velocidad constante, estas transformaciones relacionan las coordenadas espaciales y temporales de un suceso (el paso de un m´ o vil por un punto es un ejemplo) en los dos sistemas. Suponiendo por simplicidad que los ejes de S y S  coinciden en el tiempo t = 0 y que el sistema primado se mueve con velocidad v paralela al eje x, su expresión matemática es x vt x = , 1 v 2 /c2 y = y , z  = z , (2.5) t (v/c 2)x  t = . 1 v 2 /c2

 −−  − −

Estas son las famosas ecuaciones de transformaci´ on de Lorentz o transformaciones de Lorentz , de modo más breve. Es fácil comprobar que la transformaci´ on inversa de (3.41) es


x + vt  x = , 1 v 2/c2 y = y , z = z  , t + (v/c2 )x t = . 1 v 2 /c2

 −  −

(2.6)

O sea que, como cab´ıa esperar, la inversa se obtiene de la directa mediante un simple cambio del signo de la velocidad. Una primera observaci´ on, más bien trivial, es que si v 0 (o equivalentemente si c ) se obtienen las transformaciones de Galileo, las propias de la mec´ anica de Newton.

→∞

2–8

→


2.2. Las transformaciones de Lorentz La expresi´ on matem´ atica (3.41) se puede obtener de varias maneras.

2.2.1.

Postulados de Einstein.

Primero, como lo hizo Einstein, mediante sus dos famosos postulados, el de relatividad y el de la constancia de la velocidad de la luz.

1. Postulado de relatividad. Las leyes de la f´ısica son las mismas en todos los sistemas inerciales. (Ning´ un sistema inercial es especial.)

2. Postulado de la constancia de la velocidad de la luz. La velocidad de la luz en el vac´ıo tiene el mismo valor en todos los sistemas inerciales. De estos dos postulados se pueden deducir la transformaciones de Lorentz, que implican que la velocidad de la luz c es una velocidad l´ımite con caracter universal, la invariancia del intervalo y la relaci´ on (2.4) entre los tiempos de un reloj en movimiento general y otro en un sistema inercial y la invariancia del intervalo (2.2)-(2.3). Pero las transformaciones (3.41) pueden deducirse tambi´ en a partir de la invariancia del intervalo. Suponemos que tienen que tender a las de Galileo cuando c cabe restringirse a transformaciones lineales en las coordenadas.

→ ∞, por lo que

Busquemos las transformaciones en el espacio-tiempo que dejen invariante el valor del intervalo, usando como coordenadas (x,y,z,ct). Y para ello empezamos por notar que el problema es muy parecido al de hallar las transformaciones que dejan invariante la distancia en el espacio euccl´ıdeo bi- o tri-dimansional. Sabemos que son las rotaciones. Una rotaci´ on en el plano xy se puede escribir siempre como x = x cos φ + y sen φ , y = — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

−x sen φ + y cos φ .

Estas ecuaciones representan una rotaci´ on de un ańgulo φ de los ejes coordenados. Es evidente que las propiedades de las funciones trigonométricas garantizan que x2 + y 2 = x  2 + y  2 . La diferencia con el espacio-tiempo es el signo menos debido a la signatura de la métrica, o sea su signatura. Como an´ alogo a una rotaci´ on en el plano, tomemos una rotaci´ on cuadridimensional en el plano (x,ct). La cantidad que debe mantenerse invariante es ahora (ct)2 x2 . Lo mismo que antes eso se consegu´ıa gracias

−


2–9

Cap´ıtulo 2. Relatividad especial a las funciones trigonométricas, en este caso hay que usar funciones hiperb´ olicas. Recordemos su definici´ on sinh ψ =

eψ

−ψ

−e 2

eψ + e−ψ , cosh ψ = , 2

eψ e−ψ tanh = ψ , e + e−ψ

−

cumpliéndose que cosh2 ψ sinh2 ψ = 1. Es fácil comprobar que la expresi´ on general de una transformaci´ on lineal que conserve el intervalo es

−

x = x cosh ψ ct =

− ct sinh ψ ,

−x sinh ψ + ct cosh ψ ,

pues (ct )2

−x

2

= (ct)2

2

−x

.

Para hallar el valor de ψ adecuado a la transformaci´ on de Lorentz (3.41), notemos que si x = 0, la transformaci´ o n es x =

−ct sinh ψ ,

con lo que

x = ct

Como x /t =

ct = ct cosh ψ ,

− tan ψ .

−v, resulta que tanh ψ =

v = β , c

v ψ = arctanh . c

Teniendo en cuenta que sinh ψ = resulta — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

tanh ψ

 −  − 1

sinh ψ =

tanh2 ψ β

1

β 2

, cosh ψ =

, cosh ψ =

1

 −  − 1

tanh2 ψ

1

1

β 2

,

.

Sustituyendo se obtiene la expresi´ on de la transformaci´ on de Lorentz (3.41) que queda as´ı probada a partir de la invariancia del intervalo. La analog´ıa con las rotaciones se puede conseguir usando una coordenada temporal imaginaria. En vez de x0 = ct, sea x4 = ict. El intervalo se escribe entonces formalmente como el de una métrica eucl´ıdea 2

1 2

2 2

3 2

4 2

ds = (dx ) + (dx ) + (dx ) + (dx ) =



gij dxi dx j ,

ij

2–10


2.3. Transformaci´ on de las velocidades donde gij = δ ij (el signo global no importa). Pues bien, la transformaci´ o n de Lorentz en el plano (t, x) se puede escribir como x = x cos(iψ) + ict sen(iψ) , ict =

−x sen(iψ) + ict cos(iψ) . Teniendo en cuenta que cos(iψ) = cosh ψ y sen(iψ) = −i sinh ψ, se comprueba que coincide con la expresi´ on hallada más arriba.

O sea, de manera puramente formal, una transformaci´ on de Lorentz con velocidad paralela al eje x se puede escribir como una rotaci´ o n de un ańgulo imaginario puro igual a iarctanh(v/c) en el plano (ict, x) si se usa ict como cuarta coordenada.

2.3.

Transformaci´ on de las velocidades

Sea un m´ ovil que se mueve con velocidades u y u en los sistemas S y S  respectivamente. La relaci´ on entre sus dos velocidades es ux + v , 1 + ux (v/c2 )

ux =

2.4.


 −  −

uy =

uy 1 v 2 /c2 1 + ux (v/c 2 )

uz =

uz 1 v 2 /c2 1 + ux (v/c 2 )

(2.7)

Cuadrivelocidad y cuadriaceleraci´ on

En f´ısica newtoniana la velocidad se define como la derivada de las tres coordenadas cartesianas de una part´ıcula respecto al tiempo, de modo que la velocidad es el trivector vk = dxk /dt. En relatividad, se define una velocidad con cuatro componentes, un cuadrivector, derivando respecto al tiempo propio τ en vez de respecto al tiempo coordenado t, de modo que dxµ u = . dτ µ

El elemento de tiempo propio de la part´ıcula es dτ = ds/c = notas EDC (v. 30/mayo/2005)

 − 1

v 2 /c2 dt , 2–11

Cap´ıtulo 2. 2. Relativid Relatividad ad especial especial por lo que la cuadrivelocidad se puede escribir como uµ =



c

 − 1

v 2 /c2

,

v 1 v 2 /c2

 −



,

que, como se ve, tiene dimensiones de velocidad.

Es posible pos ible definir defini r también en la la cuadriaceleraci´ on como como la segunda derivada d2 xµ duµ wµ = = . dτ 2 dτ Los dos vectores cumplen las relaciones uµ uµ = c 2 ,

uµ w µ = 0 .

A veces, se define la cuadrivelocidad de modo alternativo y equivalente como dxµ uµ = ds

1 dxµ = c dτ





,

que no tiene dimensiones (Landau y Lifshitz Lifshitz as´ as´ı lo hacen). Con esta definici´ definicion ´ uµ uµ = 1.

2.5. 2.5.


Princi Principio pio de cov covarianc ariancia ia

El principio de relatividad relat ividad dice que las leyes de la f´ısica tienen la misma forma en todos los sistemas de referencia inerciales. Por eso las consideraciones anteriores son de gran importancia. En efecto, una manera de construir leyes que cumplan ese principio, que sean invariantes Lorentz como se dice, es que se expresen mediante magnitudes cuya variaci´ on on bajo transformaciones de Lorentz esté claramente definida, o sea, en lenguaje tensorial. Cualquier ley se escribe como una igualdad entre dos expresiones matem´ aticas. Para que sea invariante Lorentz, todos los aticas. términos erminos a la derecha derecha y todos los términos erminos a la izquierda izquierda deben deben ser tensores del mismo rango. Tambi´ Tambi´ en en lo deben ser los dos miembros. miembros. De ese modo, mo do, si valen en el sistema de referencia de un observador inercial, est´ a garantizado que valgan también en en todos to dos los dem´ as. as. Esta prescripci´ on on se conoce como Principio como Principio de covariancia . Nótese o tese que ello no sólo olo sirve para presentar en un lenguaje coherente una teor´ teor´ıa ya conocida y probada, probada, sino que es una exigenc exigencia ia esencia esenciall a la hora de buscar nuevas leyes que cumplan el principio de relatividad, eliminando algunas que podr po dr´´ıan parecer atractivas, pero pe ro que no son covariantes. covariantes. 2–12


2.5. Principio Principio de covaria covariancia ncia Dos ultima u ´ ltima observaci´ observaci´ on. on. Alguno Algunoss fil´ osofos o sofos o soci´ ologos ologos (?), o simple simplemen mente te opinantes, de la posmodernidad p osmodernidad se apoyan ap oyan en la teor t eor´´ıa de Einstein para defender relativismos u otras formas for mas de pensamiento débil, ebil, cuando lo que ella dice en verdad es que s´ı hay cosas absolutas, absolutas, en el sentido sentido que son las mismas para todos los observadores inerciales. Son las leyes de la naturaleza, nada menos. Por ello el nombre de relatividad es confundente. Einstein no la bautiz´ o cuando la propuso en 1905 y mejor hubiera sido llamarla llamarla Teor´ eor´ıa del absoluto absoluto o de la absolutidad, absolutidad, o Teor´ eor´ıa del invariante, como empez´ emp ez´ o a ser conocida cuando la palabra relatividad hizo fortuna. Usaremos, Usaremos, en este curso, la teor´ teor´ıa de la relatividad relatividad especial, elemento indispensable para formular formular adecuadamente adecuadamente las leyes del electromagnetism electromagnetismo. o. Relatividad especial, también en llamada llamada a veces restringida, significa que est´ a basada en las transformaciones de Lorentz como grupo de invariancia y vive en un espacio plano, aunque no eucl´ıdeo ıdeo del todo. Pero, como el propio Einstein se dio cuenta en 1911, esa teor´ teor´ıa no es e s definitiva porque no puede albergar de forma satisfactoria a la gravedad. gravedad. Para conseguirlo, conseguirlo, el mismo Einstein desarroll´ o en los a˜ nos nos 1907-1911 1907-1911 su Relatividad General, mucho m´ as completa, cuyo grupo de invariancia es el de as las transformaciones transformaciones suaves (es decir suficientemen suficientemente te derivables). derivables).



2–13

Cap´ıtulo 2. 2. Relativid Relatividad ad especial especial

2.6.

Ap´ Ap´ endice: endice: Grupos, vectores, vectores, formas formas y tensores

o n de grupo y de grupo de Lie. Un grupo es un A2.1.1 Definición conjunto de objetos que incluye una ley de composici´ on binaria que asigna un on elemento a cada par de elementos ordenados a y b. Se escribe a b = p. Esa ley cumple tres propiedades

·

1) Es asociativa Es asociativa : a (b c) = (a b) c.

· ·

· ·

2) Existe un elemento un elemento identidad e, tal que a e = e = e a = a = a para todo a.

·

·

3) Cada elemento del grupo a grupo a tiene tiene un inverso un inverso a a −1 tal que a que a −1 a = a = a a−1 = e. e .

·

·

En este curso nos interesan en especial los los grupos grupos continuos , tales que sus elementos dependen continuamente de varios par´ ametros 1 , , n. Si la dependencia es anal´ anal´ıticas, ıticas, el grupo se llema llema grupo de Lie , en honor del matem´ atico atico noruego Sophus Lie, que fue un pionero en su investigaci´ on. on.

···

Ejemplos de grupos de Lie son el de las rotaciones en n dimensiones, el de las traslaciones o el de Lorentz. Los par´ ametros ametros son angulos, ańgulos, distancias o ángulos angulos y velocidades, respectivamente ( o funciones de ellos). En general los grupos de Lie se representan por matrices, de modo que a cada elemento (a menudo una transformación) on) le corresponde una matriz que act´ ua en un espacio vectorial, que ua conserve la ley de multiplicaci´ on. Es otras palabras, el grupo de Lie y el grupo de on. matrices deben ser homomorfos. Una tal correspondencia se llama representaci´ llama representaci´ on lineal del grupo de Lie .

eucl´ıdeo y grupo de las rotaciones A2.1.2 Espacio eucl´


Qu´ e cosa es un vector. Varios n´ umeros umeros sin más as no son necesariamente las componentes de un vector en un cierto espacio vectorial. En este apartado, dar´ e dos definiciones definiciones de vector, vector, en el caso de ese espacio de tres dimensiones con geometr geome tr´´ıa eucl´ıdea. ıdea. La primera prime ra observaci´ obser vaci´ on es que las componentes de un vector siempre deben expresar, de alg´ un modo, una direccionalidad. Intuitivamente un hablando, hablando, el ejemplo m´ as as simple es el de una velocidad. Consideremos Consideremos el conjunto de los vectores tridimensionales r = (r1 , r2 , r3) [ (x,y,z ( x,y,z )], )], que representaremos r = A r, como una columna de tres n´ umeros, umeros, y una transformaci´ on on lineal A lineal A : : r donde A donde A es una matriz 3 3

≡

→

×

A = (aij ) =

2–14

 

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

 

.

(2.8)


2.6. Apéndice: Grupos, vectores, formas y tensores La expresi´ on en coordenadas de la transformaci´ on es ri

→

ri

=



aij r j ,

(2.9)

j

o, en forma matricial,

      r1 r2 r3

=

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

     r1 r2 r3

.

(2.10)

Pues bien la primera definici´ on de vector tridimensional es la siguiente: un vector es un conjunto de tres cantidades que se transforman seg´ un ( 2.9 )-( 2.10 ) ante una transformaci´ on lineal de coordenadas. La generalizaci´ on a n dimensiones es inmediata. Nos interesa ahora el caso particular en que las matrices A representan rotaciones en tres dimensiones. Se definen por la propiedad de mantener invariante el módulo de los vectores r2 = ˜r r, donde ˜r = (r1 , r2 , r3), es decir es un vector fila (la tilde sobre una matriz indica traspocici´ on). Nótese que un producto vectorial implica una métrica. Se puede escribir, pues,

·

˜ r , r2 = r r = ˜rr = ˜r r = ˜rAIA

·

donde I es la matriz unidad (correspondiente a la transformaci´ on identidad). Como esto debe ocurrir para todos los vectores r, es necesario que se cumpla ˜ AA = I ,

−1 ˜ o sea A = A .

(2.11)

La traspuesta de A es igual a su inversa o, tambi´ en, A es autoadjunta, es decir, igual a su propia adjunta1 . Las matrices que cumplen esa propiedad se llaman matrices ortogonales . El conjunto de tales matrices en n dimensiones forma un grupo continuo, o de Lie, llamado grupo ortogonal On . El de las rotaciones en el espacio f´ısico es, pues, O3 .


La relaci´ on anterior implica que det(A) = [det(A)]−1 , por lo que det(A) = 1. El conjunto de las transformaciones con determinante +1 forman un grupo llamado grupo ortogonal propio, compuesto por las rotaciones que cambian una mano derecha en una mano derecha. Las que tienen determinante 1 transforman una mano derecha en una izquierda y al revés. Cada una de ellas es producto de r, cuya matriz es I . No forman una rotaci´ on propia por una reflexi´ on r grupo pues el producto de dos de ellas tiene determinante +1. El conjunto de todas, las propias y las no propias, s´ı forma grupo evidentemente. Se llama grupo ortogonal completo.

±

−

→ −

1

−

La matriz adjunta de A es la inversa de la traspuesta, o la traspuesta de la inversa.


2–15


2.6.1.

Formas lineales.

Consideremos ahora otro concepto. Una forma lineal en el espacio tridimensional es una función lineal de los vectores que toma valores entre los n´ umeros reales. Como es lineal, toda forma F está definida por tres n´ umeros, sean (u1 , u2 , u2 ), tales que F u (v) = u 1 v1 + u2 v2 + u3 v3 =



ui vi .

(2.12)

i

Es fácil ver que el conjunto de las formas lineales en un espacio vectorial V tiene también la estructura de espacio vectorial. Se conoce por espacio dual de V . El teorema de Riesz establece que hay una correspondencia biun´ıvoca entre V y su dual, de modo que a cada vector le corresponde una forma. Nos interesan las formas invariante por O 3 (en el caso general, por un cierto grupo). Para ello, su valor debe ser el mismo en un sistema con primas (o sea, rotado) F u (v ) = ui vi = ui aij v j = F u (v) . (2.13) 





i

i

j

Como esto se debe cumplir para todo vector v, las dos ecuaciones anteriores implican que los coeficientes de la forma se transforman del modo u j =



aij ui ,

i

y, si la matriz aij es ortogonal, esto equivale a ui =



aij u j .

j


O sea que los coeficientes de una forma se transforman como los componentes de un vector. Esto parece sugerir que un vector y una forma son la misma cosa. Pero no es as´ı, en general son dos conceptos que hay que saber distinguir. Ocurre sin embargo que, en el caso eucl´ıdeo con el grupo de las rotaciones, las componentes de la forma son la misma terna que la del vector u a que está asociada en virtud del teorema de Riesz. Pero en el caso general, las cosas son algo m´ as complicadas y conviene, como se ver´ a más abajo. Cuando hay una métrica dada por un producto escalar, se puede establecer una relaci´ on biun´ıvoca entre el conjunto de los vectores y el de las formas. Gracias a ello y en el caso de una geometr´ıa eucl´ıdea con una base ortogonal, es posible y c´ omodo identificarlos, si bien con un cierto abuso de lenguaje poco importante. Pero eso no se puede hacer en relatividad, 2–16


2.6. Apéndice: Grupos, vectores, formas y tensores que usa una geometr´ıa pseudoeucl´ıdea con el grupo de Lorentz en vez del de las rotaciones. Eso permite formular la segunda definici´ on de vector antes anunciada: un vector es el conjunto de los coeficientes de una forma lineal. Pero conviene insistir que hay en ella un cierto abuso de lenguaje.

2.6.2.

Qu´ e cosa es un tensor.

Un tensor de rango n o de n ´ındices en el espacio eucl´ıdeo R 3 es un objeto de 3n componentes T ij···n que en la transformación de coordenadas (2.9) cambia del modo siguiente T ij···n

→

 T ij···n =



aii a jj 



i j ···n 





·· · a

nn



T i j ···n 





(2.14)

Es evidente que un ejemplo de tensor de rango n es el conjunto de los productos de las componentes de n vectores Rij···n = A i B j

·· · N . n

En otras palabras, un tensor es un objeto con varios ´ındices que se transforma como un vector respecto a cada ´ındice. Con esta definici´ on, un vector es un tensor de rango uno y un escalar es un tensor de rango cero. Como sabemos una matriz de transformaci´ on es un objeto de dos ´ındices, lo que plantea una pregunta. ¿Es también un tensor? Consideremos una transformación lineal dada por la matriz B = (bij ), es decir

u


→ v = B u,

o sea

ui

→ v = i



bij u j .

(2.15)

j

Apliquemos la matriz de transformaci´ on A = (aij ) que nos pasa a un sistema con primas, en el que la transformación dada por B será

u

→v



= B u ,


o sea

ui

 i

→ v =



bij u j .

(2.16)

j

2–17

Cap´ıtulo 2. Relatividad especial La situaci´ on puede describirse con el diagrama B

u A

v

→

↓

A

↓ B

u



v .

→

(2.17)

Esto significa que

v = B  Au = AB u . Como esto debe verificarse para todo vector u, se ha de cumplir B  A = AB ,

es decir B  = ABA−1 .

(2.18)

Tomando componentes bij =



ai (ã−1 ) jm bm

(2.19)

m

Como A˜−1 = A, entonces (˜ a−1 ) jm = a jm , de donde bij

=



ai a jm bm ,

(2.20)

m

que indica que las componentes de la matriz B se transforman como las de un tensor. En f´ısica abundan los tensores. Tres ejemplos de segundo dos: el de inercia de un sólido r´ıgido y los de deformación y tensión en mec´ anica de medios continuos.

Producto y contracci´ on de tensores. Se define el producto de dos tensores de rangos n y m como el tensor de rango m + n cuyas componentes son los 3n+m productos de las del primero por el segundo. Ejemplo: la diada o producto di´ adico de dos vectores es el tensor D ij = A i B j . — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

La operaci´ on igualar dos de los ´ındices de un tensor y sumar después en sus posibles valores se llama contracci´ on . Por ejemplo la traza de una matriz de dos ´ındices es la contracci´ on del tensor correspondiente Tr (Aij ) = j A jj . Es fácil comprender que la contracci´ o n de un tensor de rango n es otro tensor, pero de rango n 2. Por ejemplo si contraemos los dos primeros ´ındices del tensor de (2.14), el objeto resultante, U k···n = i T iik···n , se transformar´ a como un tensor de rango n 2 pues



−

−

 i

2–18

T iik···n

 iik···n

→ T

 

aii aij

=



i j ···n 







·· · a

nn



T i j ···n . 






2.6. Apéndice: Grupos, vectores, formas y tensores Como



i

aii aij = δ i j , resulta que 









 U k···n =

akk



k ···n 



· ·· a

nn



U k ···n 



(2.21)

Luego la contracci´ on de un tensor de n ´ındices es un tensor de n 2 ´ındices. Como ejemplo, el producto escalar de dos vectores es la contracci´ on de su producto diádico (la contracci´ on de a k b j es k ak bk ).

−



Con frecuencia se simplifica la notaci´ on mediante lo que se llama convenio de Einstein de los ´ındices repetidos que consiste, simplemente, en sobrentender que siempre que haya dos ´ındices repetidos hay que sumar sobre sus valores posibles. Por ejemplo el producto escalar de a k y b k se puede escribir de dos maneras: como k ak bk o, con un poco menos menos de tinta, como ak bk . Eso permite escribir muchas f´ ormulas de modo más econ´ omico.



Un ejemplo interesante de tensor es el llamado tensor de energ´ıa-momento, que jugar´ a un papel importante en este curso. Tiene rango dos e indica la densidad de energ´ıa y la densidad de flujo de la energ´ıa de un campo elecromagnético.

2.6.3.

Caso general.

Supongamos un espacio vectorial de n dimensiones al que asignamos una métrica dada por el “tensor métrico”gij , que es simétrico gij = g ji , tal que el producto escalar de dos vectores ui y v i está dada por (n´ otese que las componentes de los vectores ser´ an indicadas por super´ındices)

u v =

·



gij ui v j .

(2.22)

ij

En una geometr´ıa eucl´ıdea existen bases tales que e i e j = δ ij con lo que tenemos el producto escalar de las matem´ aticas elementales. Pero puede ocurrir que, por alguna raz´ on, deseemos usar una base no ortogonal. En el caso del espacio de Minkowsky, lo más que se puede llegar es a una métrica diagonal con un 1 y tres 1, o sea cuatro vectores ortogonales pero, bien uno de ellos bien tres, con norma negativa.

·


−

La expresi´ on (2.22) se puede escribir de modo m´ as simple introduciendo las cantidades u j = gij ui , tal que u j = g jk uk , (2.23)

 



j

pues entonces

u v =

·

j

i j

gij u v =

ij


 j

j

u j v =

 i

i

u vi =



g ij ui v j ,

(2.24)

ij

2–19

Cap´ıtulo 2. Relatividad especial donde la matriz del tensor simétrico g ij es la inversa de la de gij , es decir que



gik g kj = δ ji .

(2.25)

k

Propiamente hablando, las cantidades con el super´ındice, las xk , son las componentes de un vector y las que llevan el sub´ındice, las xk , de una forma. Pero dada la correspondencia biun´ıvoca entre vectores y formas a la que se refiere el teorema de Riesz, resulta aceptable, y conveniente a un cierto nivel, identificar los vectores con las formas. Se dice entonces que las cantidades xk son componentes contravariantes y las xk , componentes covariantes. La operaci´ on de pasar de las unas a las otras, mediante la contracci´ on con el tensor métrico se llama subir y bajar ´ındices . En el caso eucl´ıdeo es posible elegir los vectores de la base de modo que x k = x k , pero eso resulta imposible en el tratamiento de la relatividad. Dada una transformaci´ on de coordenadas xi

i

→x

=



ai j x j ,

(2.26)

j

se dice que v (v 1 , . . . v n ) es un vector si sus componentes cambian en esa transformaci´ on del mismo modo que las x s, o sea

≡

v

i

→v

i

=



ai j v j .

j

Supondremos que esa transformaci´ on forma parte de un grupo de Lie. El producto escalar permite asociar a cada vector u una forma lineal F u de modo que F u (v) = u v =

·



gij ui v j ,

ij

que, como se ha visto m´ as arriba, se puede escribir — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

F u (v) = u v =

·



ui v i .

(2.27)

i

Si esa cantidad es invariante por el grupo, debe ser igual a



u j v j =

j



u j v  j =

j



u j a jk v k =

jk



uk v k .

k

Para que sean iguales debe ocurrir que uk = 2–20



a jk u j ,

o sea u j =



a j u .

k


2.6. Apéndice: Grupos, vectores, formas y tensores Vemos que, en el caso más general, las componentes contravariantes y covariantes se transforman de distinta manera i

u =



ai j u j

ui =

,

j



a ji u j .

(2.28)

j

Estas son las maneras en que se transforman las componentes de los vectores y las formas. Gracias a la existencia de un producto escalar con su tensor gij , podemos decir tambi´ en que son las maneras de transformarse de las componentes contravariantes y covariantes de los vectores. En el caso eucl´ıdeo con el grupo On , si multiplicamos la u ´ ltima ecuaci´ o n por (a−1 )iq y sumamos en i, teniendo en cuenta adem´ as que i (a−1)iq ai = δ q se llega a



uq =



(a−1 )iq ui

i

En el caso eucl´ıdeo con el grupo de las rotaciones, la inversa de la matriz es igual a la traspuesta, por lo que u q = aq i ui .



que es la misma ley (2.26).

A2.1.3 Espacio de Minkowski, grupo de Lorentz, cuadrivectores y tensores. La teor´ıa de la relatividad vive en el espacio de Minkowsky, un espacio de cuatro dimensiones, con vectores a aµ = (a0 , a1 , a2 , a3), dotado del producto escalar

≡

a b =

·



ηµν aµ bν ,

(2.29)

µν

que corresponde al tensor métrico de Minkowsky gµν = η µν = diag(1,


−1, −1, −1) ,

en notaci´ on autoexplicativa. Ese producto escalar es invariante por el grupo de Lorentz, cuyas transformaciones son del tipo x siendo A una matriz 4



→ x = Ax

× 4. Si G la matriz del tensor g G

≡ (g


ij )

=

  

1 0 0 0

0 1 0 0

−

0 0 1 0

−

ij ,

   − 0 0 0 1

(2.30)

es decir

,

2–21

Cap´ıtulo 2. Relatividad especial podemos escribir un producto escalar de los vectores u y v  en la forma ˜ u˜Gv . → uÃGAv =

u v  = u ˜ Gv 

·

(2.31)

Como esto se debe cumplir para todo par de vectores, es necesario que ˜ AGA = G .

(2.32)

Esta es la condici´ o n que cumplen las matrices del grupo de Lorentz (es f´ acil comprobar que el conjunto de las matrices que la cumplen tiene estructura de grupo). N´ otese que en el caso eucl´ıdeo, la matriz G es la unidad, con lo que (2.32) −1 ˜ se transforma en la conocida condici´ on A = A . La regla para formar las componentes covariantes de un vector es simple con el tensor métrico de Minkowsky. Est´ a claro que a0 = a 0 ,

a1 =

−a

1

,

a2 =

−a

2

,

a3 =

−a

3

,

o sea que subir o bajar un ´ındice espacial equivale a cambiar el signo, mientras que si el ´ındice es temporal la componente no cambia. El tensor métrico se puede escribir de tres maneras gij , g ji = δ ji g ij donde la matriz g ij es la inversa de gij . Es fácil comprobar que

(gij ) = (gij ) =


  

1 0 0 0

0 1 0 0

−

0 0 1 0

−

0 0 0 1

−

  

,

g ji =

  

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

  

Usaremos el siguiente convenio. Los ´ındices griegos van siempre de 0 a 3 y los latinos de 1 a 3. Esto significa que las letras griegas se usan para designar a las cuatro coordenadas de espacio y tiempo y las latinas para las de espacio. Esta es la notaci´ on tradicional en el Occidente, mientras que en la Uni´ on Soviética se usaba m´ as la contraria, por eso es la que tiene el libro de Landau. Como hemos visto, un suceso se determina en relatividad por cuatro datos (ct,x,y,z ) que vamos a considerar como las cuatro coordenadas de un vector en el espacio de Minkowsky, de modo que x0 = ct,

x1 = x,

x2 = y,

x3 = z .

El “cuadrado del m´ odulo”de este vector vale xµ xµ = (x0)2 2–22

1 2

2 2

2 2

− (x ) − (x ) − (x )

= x 0 x0 + x1x1 + x2 x2 + x3 x3 , notas EDC (v. 30/mayo/2005)

2.6. Apéndice: Grupos, vectores, formas y tensores que queda invariante ante las “rotaciones.en cuatro dimensiones, o sea ante las transformaciones de Lorentz. De hecho si se aplica al cuadrivector general (a0 , a1 , a2 , a3) una transformaci´ on de Lorentz con velocidad v a lo largo del eje x, se transforma en otro con componentes dadas por las mismas expresiones (3.41) a

1

=

a1

0

− βx , 1 − β

  −−

2

a 2 = a2 , a 3 = a 3 , a0 βa 1 0 a = , 1 β 2

(2.33)

con β = v/c es la velocidad expresada en unidades de la velocidad de la luz c. Ante esa transformaci´ on de Lorentz el cuadrado de su magnitud aµ aµ = (a0 )2

1 2

2 2

2 2

− (a ) − (a ) − (a ) ,

permanece invariante. O sea, las transformaciones de Lorentz no s´ olo se aplican a las coordenadas espaciales y al tiempo.

Convenio de Einstein de los ´ındices repetidos. En el caso de los tensores relativistas, es decir, en el espacio de Minkowski, este convenio siempre se aplica a un par de ´ındices que sean uno contravariante y otro covariante, com ocurre en el producto de dos cuadrivectores, por ejemplo la cuadrivelocidad y la cuadriaceleración u w = u µ wµ .

·

2.6.4.

Tensores.

En relatividad un tensor es un objeto con n ´ındices arriba y m abajo. Se dice que es n veces contravariante y m veces covariante Aµν , — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

Rαβ γ .

Se llaman también tensores mixtos para indicar que tiene, a la vez, indices de los dos tipos. Los ´ındices se suben y se bajan mediante la misma regla simple que para los vectores. Al cambiar un ´ındice que vale 0, nada cambia; si vale 1, 2 o 3 cambia el signo. Para contraer dos ´ındices es preciso que sea uno covariante y otro contravariante. Además de las tres formas anteriores del tensor métrico, tiene interés el pseudotensor tensor completamente antisim´ etrico de rango cuatro eαβγδ , una generalización del de Levi-Civitta. Su valor es 0 si dos de los ´ındices son iguales y +1 notas EDC (v. 30/mayo/2005)

2–23

Cap´ıtulo 2. Relatividad especial o 1 si son los cuatro distintos y los ´ındices forman una permutaci´ on par o impar, respectivamente, de los n´ umeros (0, 1, 2, 3). Por ejemplo e0123 = +1, e1023 = 1, e1123 = 0. Nótese que e 0123 = 1. Ese tensor tiene por tanto 4! = 24 componentes no nulas.

−

−

−

2.6.5.

Vectores y pseudovectores.

Si se realiza una inversi´ on de coordenadas (o sea una simetr´ıa respecto al origen, (x,y,z ) ( x, y, z )), las tres componentes espaciales de un vector “ordinario” cambian de signo. Si s´ olo se invierte una de las coordenadas (por ejemplo, se invierte z si se realiza una simetr´ıa respecto al plano xy), la componente correspondiente de los vectores cambia de signo). Consideremos, sin embargo, el producto escalar de dos vectores, como es el caso del campo magn´ etico. Es f´ acil comprobar que sus componentes permanecen invariantes en una inversi´ on de coordenadas. Si s´ olo se invierte una, la componente correspondiente del producto escalar no cambia; por contra las otras dos s´ı cambian de signo.

→ − − −

En el primer caso, se dice que se trata de un vector polar ; en el segundo, que es un vector axial . Es fácil comprobar que el campo eléctrico es polar y el campo magnético, axial. También se conocen esos dos tipos como vector y pseudovector , respectivamente. Sea C = A B. Está claro que (usando el convenio de los ´ındices repetidos)

×

1 C i = eijk C jk , siendo C jk = A j Bk Ak B j . 2 La primera igualdad puede escribirse tambi´ en como C i = eijk C jk .

−


En general, un pseudotensor se comporta como un tensor para transformaciones de coordenadas sin inversi´ o n o con la inversi´ o n de un n´ u mero para de coordenadas (o cuando la mano derecha cambia en una mano derecha), m´ as precisamente si no cambia la axilidad del sistema de ejes. Pero no cambia de signo sus componentes en una inversion de un n´ umero impar de coordenadas, como s´ı lo hace un tensor. Como ejemplo de pseudoescalar tomemos el producto escalar de un vector y un pseudovector, E B en electromagnetismo por caso. Cambia de signo, al reves que un escalar en una inversión de las tres coordenadas.

·

Sea T µν un tensor antisimétrico de rango dos en cuatro dimensiones. Se define su dual ∗T ρσ como 1 ∗ ρσ T = eρσµν T µν . 2 De la misma manera el dual de un vector Rα es el tensor de rango tres ∗Rβγδ = eαβγδ Rα . 2–24


2.6. Apéndice: Grupos, vectores, formas y tensores Este tipo de tensores son especialmente importantes porque aparacen muy a menudo en las aplicaciones f´ısicas, como veremos. Sea T αβ uno de ellos. Sus componentes (T 01 , T 02 , T 03 ) forman un vector polar, como es f´ acil de comprender aplicando las leyes de transformaci´ on. Por su parte, las componentes (T 32 , T 13 , T 21 ) forman un vector axial. También se puede entender bien esto al observar que esas tres componentes son las coordenadas del vector dual del tensor T ij y se comportan como un producto vectorial. Se puede escribir

(T αβ ) =

y con notaci´ on evidente

  

−e −e −e 0 −b b b 0 −b −b b 0

0 ex ey ez

x

y

z

z

y

z

y

T αβ = ( e, b),

−

x

x

  

,

T αβ = (e, b)

El gradiente en cuatro dimensiones de una funci´ on f es ∂f = ∂x i



1 ∂f , c ∂t

 ∇

f .

Sus cuatro componentes son las coordenadas covariantes de un vector, escritas a menudo como ∂ i f . La diferencial de la funci´ on vale obviamente df = ∂ i dxi y es un escalar, pues est´ a claro que es el producto escalar de dos vectores.

2.6.6.

Integrales en cuatro dimensiones.

Se usan integrales de l´ınea, de superficie bidimensional, de volumen tridimensional y de cuadrivolumen. Veamos cu´ ales son los elementos difrenciales. (i) Integrales de l´ınea. El elemento de integraci´ on es simplemente dxi . — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

(ii) Integrales de superficie bidimensional. En el espacio tridimensional, las proyecciones del a´rea de un paralelogramo formado por dr y dr sobre los plano xi x j son dxi dx j dx j dxi . El conjunto de tales proyecciones es un tensor de rango dos. Su dual es el doble del producto escalar dr dr , cuyas componentes son las áreas de las tres proyecciones. An´ alogamente, en el espacio de Minkowsky el tensor dS αβ = dxα dx β dxβ dx α tiene por componentes las a´reas de las proyecciones en los seis planos xα xβ . Como elemento de a´rea se usa su dual

−

×

−

1 d∗S γδ =  γδαβ dS αβ 2 notas EDC (v. 30/mayo/2005)

2–25

Cap´ıtulo 2. Relatividad especial (iii) Integrales de volumen tridimensional. De modo parecido se usa el dual del tensor de rango tres βγδ

dS

es decir

=

 

β

 β

 β

dx dx dx dxγ dx γ dx γ dxδ dx δ dx δ

dS α =

− 16 

αβγδ

 

,

dS βγ δ

por ejemplo dS 0 = dS 123 , dS 1 = dS 023 ... (iv) Integral en un volumen cuadridimensional dΩ = dx0dx1 dx2dx3 = cdtdV


2–26


2.7. Ejercicios

2.7.

Ejercicios

a en el sistema S y observa que un cierto suceso ocurre en 2.1 Beatriz est´ x = 100 km, y = 10 km, z = km en el tiempo t = 5,0 10−6 s. Andrés está en S  , que se mueve con velocidad 0,92 c respecto a S a lo largo de su eje com´ un x x , de modo que sus or´ıgenes coinciden en t = t = 0. ¿Cuáles son las coordenadas espaciales y el tiempo del suceso para Andrés? Comprobar la respuesta empleando la transformaci´ on de Lorentz inversa para pasar de S  a S .

×

≡

2.2 A ciertos valores de la velocidad v, el valor de x difiere en 0.1 %, 1% y 10 % del obtenido con la transformaci´ on de Galileo. ¿Cuáles son esos valores de v? 2.3 Demostrar que la ecuaci´ on de ondas del campo electromagnético es invariante ante una transformaci´ on de Lorentz. Para hacerlo, basta comprobar que se cumple la siguiente igualdad entre los operadores de D’Alembert en los sistemas S y S  ∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

−

1 ∂ ∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 = 2 + 2 + 2 c2 ∂t 2 ∂x ∂y ∂z

− c1 ∂t∂ 2

2

teniendo en cuenta que las coordenadas con y sin primas est´ an relacionadas por la transformaci´ on de Lorentz.

 −

2.4 Demostrar que el tiempo propio definido por dτ = dt 1 variante Lorentz.


v 2 /c2 es in-

2.5 Andrés observa dos sucesos P 1 y P 2 en los puntos (x1 , y1 , z 1 ) y (x2 , y2 , z 2 ) de su sistema propio S , y los observa en el mismo tiempo. a) ¿Le parecer´ an simult´ aneos a Alicia, que se mueve con velocidad v respecto a S ? b) Si no se lo parecen, ¿cu´ al es el intervalo de tiempo que mide Alicia entre esos dos sucesos? c) ¿Cómo var´ıa ese intervalo de tiempo, si la distancia espacial entre P 1 y P 2 tiende a cero? 2.6 En el sistema S hay una caja en reposo, con forma de paralelep´ıpedo rect´ angular con lados a, b y c, que est´ a en reposo. Su masa es m0 y su densidad en S es ρ0 = m0 /(abc). a) ¿Cuál será el volumen de la caja para un observador que se desplaza a una velocidad u con respecto a la caja, paralelamente al eje x (y al lado a)? b) ¿Cuánto valdr´ an la masa y la densidad para ese observador? on cuya energ´ıa cinética es igual a su 2.7 ¿Cuál será la velocidad de un electr´ energ´ıa en reposo? notas EDC (v. 30/mayo/2005)

2–27


2.8 Ejercicios de c´ alculo tensorial: a) Determinar si las siguientes cantidades son tensores, diciendo en su caso si son covariantes o contravariantes, siendo φ un escalar dx

α

∂φ(x1 , x2 , . . . , xn ) . ∂x µ

y

b) En el caso del grupo general de transformaciones xµ tensor se define mediante la ley de transformaci´ on  αβ...γ

T

=



→x

µ

= x  µ (xα ), un

∂x  α ∂x  β ∂x γ µν...ρ ... T ∂x µ ∂x ν ∂x ρ

Demostrar que esta definici´ o n de tensor se reduce a las ya conocidas en los casos eucl´ıdeo u pseudoeucl´ıdeo y probar las siguientes igualdades ∂x α = δ β α , β ∂x

∂x α ∂x  β = δ γ α ,  β γ ∂x ∂x

en las que se usa el convenio de Einstein de los ´ındices repetidos. Razonar que eso indica que la delta de Kronecker δ β α es un tensor mixto, una vez covariante y otra contravariante. Demostrar que c) el producto de dos tensores C γαβδ = A γ αβ B δ es también un tensor; d) si un tensor es simétrico (resp. antisimétrico) respecto a dos ´ındices, es decir, si A α...β... = A β...α... en un sistema de coordenadas, lo es también en cualquier otro sistema. En otras palabras, la simetr´ıa o antisimetr´ıa de los tensores es invariante por cambios de coordenadas.

 −

2.9 Demostrar que el tiempo propio dτ = dt 1 c2B 2 E 2 y E B son invariantes relativistas.

−


·

(v/c)2 y las cantidades

2.10 Hallar la fórmula de adición de velocidades cuando la velocidad v del sistema S  respecto al S tiene una direcci´ on cualquiera, expresando el resultado en forma vectorial. 2.11 Hallar los campos de un condensador plano con densidad propia de carga σ0 que se mueve con velocidad v: a) paralela a las placas; b) perpendicular a las placas. Comprobar los invariantes de la transformaci´ on. oximas, paralelas al eje z y con densidades 2.12 Dos rectas paralelas muy pr´ de carga λ y λ, se mueven paralelamente a s´ı mismas con velocidades +v y v. En el sistema del laboratorio los campos que crean valen aproximadamente E = 0 y B = (µ0 I/2πρ)uρ , siendo I = 2λv.

−

2–28

−


2.7. Ejercicios a) Usando los invariantes del campo, determinar si existe alg´ un sistema de referencia en el cual E = 0, B = 0.



b) Una carga q se mueve paralelamente a las dos rectas con velocidad u. Por transformación de los campos, hallar la fuerza sobre la carga en un sistema ligado a ella.

2.13∗ Demostrar que dos transformaciones de Lorentz sucesivas en ańgulo recto no conmutan (p. ej. una con velocidad v1 paralela al eje x y otra con v2 paralela al y). Demostrar también que, en cualquier orden en que se realicen, el resultado no coincide con el de una transformaci´ on con v = v 1 e1 + v2 e2. Probar que, en cambio, dos transformaciones con velocidades paralelas conmutan y el resultado de su producto es equivalente al de una sola con v = (v1 + v 2 )/(1 + v1 v2 /c2 ).



2–29



2–30


Cap´ıtulo 3 Formulaci´ on lagrangiana de la electrodin´ amica cl´ asica I 3.1.

Principio de “m´ınima acci´ on” en mec´ anica newtoniana

Sea un sistema mec´ anico de n grados de libertad y descrito por n coordenadas (q 1 , q 2 , , q n ) y, para simplificar supongamos que el potencial no depende del tiempo. Sean sus energ´ıas cinética T y potencial V y su función lagrangiana L

· ··

T = T (q, q ˙) ,

U = U (q ) ,

L = L(q, q ˙) = T (q, q ˙)

− U (q ) .

(3.1)

Sus ecuaciones del movimiento se pueden obtener con gran sencillez a partir del principio de la “m´ınima” acción en su forma de Hamilton. Podemos enunciar este principio de la siguiente manera

Principio de Hamilton: Cuando el sistema va desde la configuración q k(1) en t = t 1 hasta la q k(2) en t = t2 , se cumple que la integral de acci´ on S t2


S =



L(q, q ˙) dt

(3.2)

t1

toma un valor estacionario. Ello implica que se deben cumplir la ecuaciones diferenciales de EulerLagrange d ∂L ∂L = 0, k = 1, 2, . . . n , (3.3) dt ∂ q ˙k ∂q k que son por tanto las ecuaciones del movimiento del sistema. En este contexto, se suelen llamar simplemente las ecuaciones de Lagrange.

−


3–1

´ n lagrangiana de la electrodin a ´mica Cap´ıtulo 3. Formulacio ´ sica I cla

Ejemplo. Part´ıcula en tres dimensiones sometida al ptential U (x,y,z ) . El lagrangiano es 1 L = mv 2 U 2 y las ecuaciones de Lagrange

−

m¨ x =

−∂ U , x

m¨ y =

−∂ U ,

m¨ z =

y

−∂ U . z

Prueba del principio de Hamilton. Definimos las variaciones de las coordenadas δq k (t) como funciones con buen comportamiento que se anulan en t1 y t2 , o sea que δq (t1 ) = δq (t2 ) = 0 . (3.4) De ese modo los conjuntos q k (t) + δq k (t) son conjuntos de funciones que cumplen (1) todas ellas las condiciones inicial y final q k (t1 ) + δq k (t1 ) = q k y q k (t2 ) + δq k (t2 ) = (2) q k . Que la integral de acción tome un valor estacionario significa que, al variar las coordenadas, se anule la parte de primer orden de la variaci´ on de la integral. La variaci´ on de la integral de acci´ on vale t2

δS =



t2

[L(q + δq, q ˙ + δ ˙q )

t1

− L(q, q ˙)] dt =

  t1



∂L ∂L δq + δ ˙q dt , (3.5) ∂q ∂ q ˙

salvo términos de segundo orden y superiores en las variaciones (n´ otese que por simplicidad se han omitido los sub´ındices en las coordenadas y velocidades. Hay que sobreentender que esa expresi´ on es una suma extendida a los valores k = 1, 2, , n). Tal como hemos definido la variaci´ on, est´ a claro que la variaci´ on y la derivada respecto al tiempo conmutan, es decir

···

δ ˙q =

d δq . dt

(3.6)

Gracias a ello podemos integrar por partes el segundo término del tercer miembro de (3.5), con lo que — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

t2

 t1

t2

t2

 −    

∂L ∂L δ ˙q dt = δq ∂ q ˙ ∂ q ˙ t

1

t1

d ∂L dt ∂ q ˙

δq dt

anul´ andose el primer término del segundo miembro por la condici´ on (3.4), de modo que (3.5) toma la forma t2

δS =

  − t1

3–2

d ∂L dt ∂ q ˙

− ∂∂q L



    − n

δq (t) dt

t2

=

k=1

t1

d ∂L dt ∂ q ˙k

∂L − ∂q

k





δq k (t) dt

(3.7)


3.2. La acci´ on de una part´ıcula libre en relatividad La u´ nica manera en que las integrales en (3.7) sean nulas para todas las variaciones posibles es que se anulen los paréntesis, lo que conduce a las ecuaciones de Lagrange (3.3). Rec´ıprocamente, éstas ecuaciones implican δS = 0.

Momentos conjugados. A cada variable q k le corresponde un momento conjugado p k definido as´ı ∂L pk = . ∂ q ˙k A las variables cartesianas xk les corresponde el momento lineal pk = mvk , a la rotación alrededor de un eje, la componente sobre ese eje del momento angular, etc. Hamiltoniano. (o función hamiltoniana) Se define as´ı H =



pk ˙q k

k

− L.

Su derivada total respecto al tiempo vale dH ∂L = , dt ∂t o sea que si L no depende expl´ıcitamente del tiempo el hamiltoniano es una constante del movimiento. Eso ocurre al estudiar leyes que no dependan del tiempo. Si la energ´ıa cinética es la suma de una funci´ on cuadr´ atica de las velocidades T 2 = ij 12 Aij ˙q i ˙q j , otra parte lineal T 1 = k Bk ˙q k y otra independiente de las velocidades T 0 , el hamiltoniano vale





H = T 2

− T + U. 0

Cuando T = T 2 , caso frecuente, H puede identificarse con la energ´ıa.


La acci´ on de una part´ıcula libre en relatividad

Sea una part´ıcula libre, por ejemplo un electr´ on, que se mueve. ¿Cómo plantear su movimiento desde el punto de vista variacional? En primer lugar el integrando de la acción debe ser un escalar, pues de otra forma la teor´ıa no ser´ıa covariante Lorentz ni, por tanto, relativista. Adem´ as debe ser también una forma diferencial de primer orden. El uńico integrando que cumple esas condiciones es λ ds, siendo λ una constante. Por tanto la acci´ on debe ser 2

S =

 − λ

ds ,

(3.8)

1


3–3

´ n lagrangiana de la electrodin a ´mica Cap´ıtulo 3. Formulacio ´ sica I cla donde la integral se toma a lo largo de la trayectoria (o l´ınea de universo) de la part´ıcula en el espacio de Minkowski. Los l´ımites de la integral son dos puntos de espacio-tiempo, o sea una posici´ on en el tiempo incial t1 y otra en el tiempo final t2 . Se puede comprobar que λ debe ser positiva. Hasta ahora el elemento diferencial que aparece en la integral de acci´ on es la diferencial del tiempo, de 2 modo que S = 1 Ldt. La ecuaci´ on (3.8) toma la forma



t2

S =

  − − λc 1

v 2 /c2 dt ,

(3.9)

t1

donde v es la velocidad. El lagrangiano es, pues, L =



2

2

−λ c 1 − v /c

.

(3.10)

Para determinar la constante λ usaremos dos criterios: i) el lagrangiano L debe tener dimensiones de energ´ıa; y ii) cada part´ıcula est´ a caracterizada por su masa m. Esto sugiere que podr´ıa ser λ = mc. Para comprobarlo, tomemos el caso de peque˜ na velocidad, cuando vale la teor´ıa newtoniana. Aproximando la ra´ız hasta términos en primer orden en v 2 /c2, resulta L =

 −

−λ c

1

λv 2 λc + . 2c

v 2 /c2

≈−

(3.11)

Comparando con la expresi´ on newtoniana L = mv 2 /2 se comprueba que el valor anterior de λ es el correcto. Quedan pues la acci´ on y el lagrangiano en la forma 2

S =

−mc



ds =

1

2

−mc

2



dτ ,

L =

1

2

−mc

 − 1

v 2 /c2 .

(3.12)

Energ´ıa y momento lineal. La definici´ on del momento lineal p = ( p1 , p2 , p3 ), el conjugado a las coordenadas cartesianas, es pk = — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

∂L , ∂ x˙ k

o sea

p =

mv . 1 v 2 /c2

 −

(3.13)

En cuanto a la energ´ıa, la tomaremos igual al hamiltoniano, es decir 3

E =



pk ˙q k

1

− L,

o sea

E =

mc2 . 1 v 2 /c2

 −

(3.14)

Como vemos se obtienen as´ı las conocidas expresiones relativistas. Nótese que a peque˜ nas velocidades 2

E  mc 3–4

1 + mv2 , 2 notas EDC (v. 30/mayo/2005)

3.2. La acci´ on de una part´ıcula libre en relatividad y que, a cualquier velocidad, 2

E

c2

= p 2 + m2c2 .

El hamiltoniano puede escribirse as´ı

H = c También



p2 + m2 c2 .

p =

E cv . 2

A primera vista parece que la idea de una part´ıcula con masa nula m = 0 no tiene sentido. Sin embargo s´ı lo tiene, si suponemos que esa part´ıcula siempre tiene la velocidad c respecto a todos los observadores inerciales, como se deduce por otra parte de las transformaciones relativistas de las velocidades. En ese caso

E = p c . 3.2.1.

Formulaci´ on cuadridimensional.

El principio de “m´ınima” acció n es δS =

2

−mc

2

δ



dτ = 0 ,

1

donde τ es el tiempo propio. Teniendo en cuenta que dτ = (dxµ dxµ )1/2 /c, que dδx µ = δ dxµ y que δ (dxµ dxµ )1/2 = dxµ δ dhµ /(dxµ dxµ )1/2 , es decir que la variaci´ on y el diferencial conmutan, esa variaci´ on vale 2

δS =




−m

1

dxµ δ dxµ = dτ

2

−m



uµ dδx µ .

1

Integrando por partes δS =

−

m uµ δx µ 21 +

|

2

m

 1

δx µ

duµ dτ . dτ

El primer término del segundo miembro vale cero porque la variaciones se anulan en los tiempos extremos. La condici´ on δS = 0 implica pues que duµ /dτ = 0 , es decir, la cuadrivelocidad es constante, como corresponde a una part´ıcula libre. notas EDC (v. 30/mayo/2005)

3–5

´ n lagrangiana de la electrodin a ´mica Cap´ıtulo 3. Formulacio ´ sica I cla Tal como se hace en mec´ anica te´ orica newtonana, podemos considerar a la acción como una onda, haciendo fijo el l´ımite inferior 1 y variando el superior 2, o sea considerando las coordenadas de este u´ltimo como variables. De ese modo tenemos una funci´ on S = S (xµ ). Si variamos sólo estas coordenadas del punto final queda δS = m uµ δx µ ,

−

porque la integral en la expresi´ on de δS , ecuaci´ on anterior, se anula y s´ olo queda el primer término en el l´ımite superior. El cuadrivector ∂S pµ = ∂x µ es el cuadrivector momento. De hecho en mecánica cl´ asica las derivadas (∂ xS, ∂ y S, ∂ z S ) son las tres componentes del momento lineal p mientras que ∂ t S es la energ´ıa de la part´ıcula. Por tanto las componentes covariantes y contravariantes del cuadrimomento son pµ = ( , p) , pµ = ( , p) , c c por lo que pµ = m uµ

−

−

E −

E

lo que coincide con las definiciones anteriores. La consecuencia de estos argumentos en que la energ´ıa sobre c y el momento lineal forman un cuadrivector, llamado de energ´ıa-momento. En una transformación de Lorents se cambia, pues, del modo px v /c2  px = py = p y 2 2 1 v /c vp x = pz = p z , . 1 v 2 /c2 Debido a la identidad uµ uµ = 1 se cumple que

 −− E E

 E −−

pµ pµ = m 2 c2 , que es otra forma de la relaci´ on relativista entre la energ´ıa y el momento. — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

3.3.

Cuadripotencial del campo electromagn´ etico

3.3.1.

Interacci´ on a distancia e interacci´ o n por campos interpuestos.

En las presentaciones elementales de la f´ısica se suele considerar que las fuerzas entre cuerpos o part´ıculas se efect´ uan de manera instant´ anea. Por ejemplo, al 3–6


3.3. Cuadripotencial del campo electromagnético estudiar el Sistema Solar de modo newtoniano no se tienen en cuenta la posibilidad de que la acción gravitatoria tarde un tiempo en ir de un cuerpo a otro. Lo mismo ocurre en el caso del electromagnetismo elemental. Esto parec´ıa evidente al principio, debido a que esas acciones se transmiten de hecho con una velocidad muy alta, la de la luz, por lo que la idea de acci´ on a distancia da muy buenos resultados si las velocidades implicadas no son relativistas. Pero un tratamiento más fino exige incluir ese retraso de la acci´ on. Ello se hace suponiendo que hay un campo intermedio que se propaga entre dos part´ıculas que interact´ uan. En este curso trataremos esta cuesti´ o n en el caso de las cargas a alta velocidad o aceleradas. Consideraremos ahora el movimiento de una carga puntual en un campo electromagnético exterior, es decir que no cambia a causa de la part´ıcula. En ese caso el lagrangiano debe tener dos términos: uno el mismo que antes, para la part´ıcula libre, y otro que represente a la interacci´ on. La experiencia dice que este u ´ltimo 2 es de la forma e 1 Aµ dxµ , siendo e la carga de la part´ıcula y Aµ = A µ (r, t) un cuadripotencial que representa al campo electromagnético. Veremos que resulta ser igual a Aµ = (Φ/c, A) .

−



Nótese que Φ/c y A tienen las mismas dimensiones, m´ as concretamente [Aµ ] = Fuerza/Intensidad de corriente,

o sea [Aµ ] = kg m s−2 A−1 = N/A .

· · ·

Tomaremos pues la siguiente expresi´ on para la acci´ on de una part´ıcula con carga e 2

S =

 −

mc2 dτ

1

µ

Esa integral se puede escribir como 2

S =

 − −  −  − m c2 dτ


=

mc2

1

1



·

v2 c2

.

e Φ dt + e A dr

1

2

µ

− eA dx



− eΦ + eA · v



(3.15)

dt .

(3.16)

El lagrangiano es, por tanto, L =

2

−mc

 1

v2 c2

− − eΦ + eA · v

Momento lineal. Ese momento será px = ∂L/∂vx, por lo que mv P = + eA = p + eA . 1 v 2 /c2

 −


(3.17)

(3.18) 3–7

´ n lagrangiana de la electrodin a ´mica Cap´ıtulo 3. Formulacio ´ sica I cla onico y p = mγ v el momento mec´ anico. El Hamiltoniano P es el momento can´ vale ∂L = x˙ k L ∂ x ˙ k k

H

=

  −

−

mc2 + eΦ 2 2 1 v /c

(3.19)

El hamiltoniano puede expresarse, y es importante hacerlo as´ı, en términos del momento can´ onico de la part´ıcula. El c´ alculo es simple y sale



m2c4 + c2 (P

2

− eA) + eΦ . En el caso de peque˜ na velocidad, L = mv /2 − eΦ + ev · A, con lo que 1 ( P − eA) + eΦ . H = 2m

H=

2

2

3.4.

(3.20)

(3.21)

Ecuaciones del movimiento de una carga en un campo electromagn´ etico

Entre una carga y un campo electromagnético hay acciones mutuas (interacciones), de modo que el campo cambia el movimiento de la part´ıcula (mediante fuerzas) y, a su vez, el movimiento de la part´ıcula modifica el campo (emitiendo radiación, por ejemplo). Debe ser as´ı si la energ´ıa se conserva. Conviene empezar por lo que se llama una part´ıcula de prueba, cuya carga y energ´ıa son tan peque˜ nas que su acción sobre el campo se puede despreciar. Un ejemplo es el de un electrón en un campo macrosc´ opico. Para estudiar el problema en esa aproximaci´ on, considerarremos variaciones de las coordenadas de la part´ıcula en el lagrangiano en (3.16), pero no del vector Aµ (r, t). Las ecuaciones de Lagrange son — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

d dt

  ∂L ∂v k

=

∂L , ∂x k

(3.22)

con el lagrangiano L dado por (3.17). Nótese que el segundo miembro es igual a ∇L = e ∇(A

· v) − e∇Φ .

El gradiente del producto escalar de dos vectores arbitrarios est´ a dado por la fórmula ∇(a

3–8

· b) = (a · ∇)b + (b · ∇)a + b × (∇ × a) + a × (∇ × b) . notas EDC (v. 30/mayo/2005)

3.4. Ecuaciones del movimiento de una carga en un campo electromagn´ etico Aplicando esta fórmula y teniendo en cuenta que v no depende de r, resulta ∇L = e (v

· ∇)A + e v × (∇ × A) − e∇Φ .

Como en las ecuaciones de Lagrange ∂L/∂ v = P = p + e A, resulta que esas ecuaciones tienen la forma dp ∂ A = e e∇Φ + ev (∇ A) . (3.23) dt ∂t Esta ecuaci´ on tiene un aire muy conocido. Definiendo los vectores E, B como

−

E =

−

×

−∇Φ − ∂ A ,

B =

t

×

∇

× A,

(3.24)

las ecuaciones (3.22) toman la forma dp = e E + e v B , dt con p = mγ v, y, como se ve, expresan la ley de Lorentz.

×

(3.25)

nas velocidades la ecuaci´ on (3.25) toman Cosas sueltas. En el caso de peque˜ la forma dv m = e E + e v B . (3.26) dt La derivada temporal de la energ´ıa cinética vale

×

dT d = dt dt



2

mc 1 v 2 /c2

 −



= v

· ddtp = e E · v .

(3.27)

O sea que el campo magnético no efect´ ua trabajo sobre la part´ıcula.


Las ecuaciones del movimiento en mec´ anica newtoniana son invariantes bajo la inversión del tiempo. Esto significa que si un cierto movimiento es posible, también lo es el movimiento que se obtiene cambiando el signo de todas las velocidades (por ejemplo ser´ıa posible un sistema solar como el nuestro en que los planetas se movieran con exactamente las velocidades opuestas a las que ahora tienen). De hecho esas ecuaciones son reversibles temporalmente. En el caso que nos ocupa, eso sigue siendo cierto con tal de que cambiemos adem´ as el signo del campo magnético. De modo m´ as preciso, las ecuaciones (3.25) son invariantes bajo los cambio E, B B, t t, E (3.28)

→−

→

→−

lo que corresponde a Φ

→ Φ,

A

→ −A .

(3.29)

O sea, si un movimiento de cargas en un campo electromagn´ etico es posible, el movimiento inverso en el tiempo es también posible si se cambia el signo del campo magnético. notas EDC (v. 30/mayo/2005)

3–9


3.5.

Invariancia gauge

Un problema que se plantea es decidir au´ ales son m´ as importantes, los potenciales (Φ, A) o los campos (E, B). A primera vista parecen m´ as fundamentales los primeros, pues los segundos se deducen un´ıvocamente de ellos y, adem´ as, sólo tiene cuatro grados de libertad en cada punto, por seis de los campos. Sin embargo, lo que caracteriza al campo electromagn´ etico desde el punto de vista experimental es su acci´ o n sobre las cargas y eso se lleva a cabo mediante los campos eléctrico y magnético. Un problema interesante en este caso es saber si los potenciales est´ an un´ıvocamente determinados por los campos. La respuesta es no. En particular, si se suman a los potenciales las derivadas de una funci´ on arbitraria del espacio-tiempo, de modo que ∂f → A = A − ∂x ,  µ

Aµ

µ

µ

(3.30)

los campos E y B no cambian, como se comprueba f´ acilmente. Est´ a claro que tal cambio equivale a a˜ nadir al integrando de la integral de acci´ on una diferencial exacta pues ∂f e µ dxµ = d(ef ) , ∂x por lo que la acción cambia en la cantidad eδ [f (2) f (1)] que vale cero pues las variaciones en los dos extremos del intervalo son nulas. O sea que la acción permanece invariante y nada cambia en el proceso f´ısico. Adem´ as es fácil comprobar que el cambio (3.30) equivale a

−

Φ

→ Φ = Φ − 1c ∂ f, 

A

t



→ A = A + ∇f ,

(3.31)

de modo que no cambian los vectores E y B.


Esta es la famosa invariancia de gauge bajo la transformaci´ on de gauge (3.30). Un caso particular es a˜ nadir una constante al potencial escalar y un vector constante al potencial vectorial, lo que se consigue tomando f = ak xk .



3.6.

El tensor electromagn´ etico

Consideremos de nuevo el principio variacional para el movimiento de una part´ıcula en un campo electromagnético exterior 2

δS = δ

 − 1

3–10

m c2 dτ

− eA dx µ

µ



= 0.

(3.32)


3.6. El tensor electromagnético Variaremos ahora no s´ olo la trayectoria de la part´ıcula sino también el potencial Aµ . Teniendo en cuenta que dτ = dxµ dxµ /c, se puede escribir la ecuaci´ on anterior en la forma



2

δS =

  − 1

dxµ dδx µ m + eAµ dδx µ + eδA µ dxµ dτ



= 0.

A continuaci´ on integramos los dos primeros términos por partes, introduciendo la cuadrivelocidad uµ = dxµ /dτ , con lo que llegamos a δS =

−

[(m uµ + eAµ )δx µ ]21 +

2



(m duµ δx µ + e δx µ dAµ

1

µ

− eδA dx ) = 0 . (3.33) µ

El primer término del segundo miembro es clramente nulo, ya que las variaciones δx µ se anulan en los extremos del intervalo. Aplicando al resto las igualdades δA µ = resulta

2

  1

∂A µ ν δx ∂x ν

dAµ =

∂A µ m duµ δx µ + e ν δx µ dxν ∂x

−

∂A µ ν dx , ∂x ν



∂Aµ e ν dxµ δx ν = 0 . ∂x

Sustituyendo duµ = (duµ /dτ )dτ en el primer término y dxµ = u µ dτ en el segundo y el tercero, intercambiando adem´ as los ´ındices mudos µ y ν en el el tercero, se obtiene duµ ∂A ν ∂A µ m e uν δx µ dτ = 0 . µ ν dτ ∂x ∂x

 

 −



−

Como las funciones δx µ son arbitrarias, se debe cumplir duµ m = e dτ



∂A ν ∂x µ

−

∂A µ ∂x ν



uν .

(3.34)

Conviene introducir el tensor electromagnético definido como — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

F µν =

∂A ν ∂x µ

− ∂∂xA

µ ν

,

(3.35)

o también F µν = ∂ µ Aν ∂ ν Aµ , donde la F es la inicial de Faraday, el f´ısico que introdujo la idea de campo. La ecuaci´ on del movimiento toma la forma

−

duµ m = eF µν uν . dτ

(3.36)

Esa es la expresi´ on de las ecuaciones del movimiento de una carga puntual en un campo EM en formalismo cuadridimensional. Sustituyendo Aµ = (Φ, A), resulta notas EDC (v. 30/mayo/2005)

3–11

´ n lagrangiana de la electrodin a ´mica Cap´ıtulo 3. Formulacio ´ sica I cla que el tensor electromagnético vale (los ´ındices de filas y columnas son (0, 1, 2, 3))

  

−E /c −E /c −E /c −B 0 B B 0 −B B 0 −B

  

  −  −−

  

0 E x /c E y /c E z /c x y z E x /c 0 Bz By z y F µν = , F µν = E y /c Bz 0 Bx z x E z /c By Bx 0 y x (3.37) En la notaci´ on más breve, usada en el cap´ıtulo anterior 0 E x /c E y /c E z /c

F µν = ( E/c, B) ,

−

−

−

−

F µν = (E/c, B) .

Las dimensiones de F µν son [F µν ] = N/A m .

·

Es importante comprobar que las componentes de los trivectores eléctrico y magnético son las componentes de un tensor antisim´ etrico de rango dos, el tensor electromagnético. De esta afirmaci´ on deduciremos c´ omo cambian E y B en una transformación de Lorentz. El sentido de las ecuaciones (4.37) se entiende f´ acilmente, al dar valores al ´ındice µ en (4.37). Las tres componentes espaciales µ = 1, 2, 3 son, en otra forma, las ecuaciones (3.25); la componente temporal, con µ = 0, da la ecuaci´ o n del trabajo (3.27). Alguien podr´ıa pensar que no tiene mucho interés poner esas ecuaciones en formalismo de cuatro dimensiones si, al fin y al cabo, son las mismas. Pero n´ otese que en esta forma es evidente que se trata de una teor´ıa relativista pues se cumple evidentemente el principio de covariancia: los dos miembros se transforman de igual modo, los dos son cuadrivectores. Lo mismo que hicimos antes, consideremos a la acci´ o n como una onda en el espacio-tiempo. Para hacerlo fijemos el punto inicial, usemos la trayectoria correcta y variemos solamente el punto final. Se tiene evidentemente δS = — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

Por tanto

−(m u + eA ) δx µ

µ

µ

.

∂S = m u + eAµ = p + eA − ∂x µ

µ

µ

(3.38)

µ.

Como el primer miembro de esta ecuaci´ on es el cuadrivector P µ de los momentos conjugados de la part´ıcula, resulta que éste vale P µ =

 E

cin +

c

eΦ



, p + eA

.

(3.39)

Vemos que la componente cero de ese cuadrivector es la energ´ıa cinética m´ as la potencial, como era de esperar. 3–12


.

3.6. El tensor electromagnético

3.6.1.

Transformaciones de Lorentz del campo

Un vector y un tensor de segundo rango se transforman as´ı R  µ = a µρ Rρ ,

T  µν = a µρ aν σ T ρσ .

(3.40)

Teniendo en cuenta la expresi´ on conocida de las transformaciones de Lorentz, vt , v 2 /c2 = y, z  = z , t (v/c 2 )x = , 1 v 2 /c2

x = y t

x 1

 −−  − −

o sea

x 1 = γ (x1

− vx /c)

0

x 2 = x 2 ,

x 3 = x 3

x 0 = γ (x0

− vx /c),

(3.41)

1

resulta que la matriz (aµρ ) es igual a

 √  √ 

1

1 v 2 /c2

aµρ

=

− −v/c 1−v /c 2

√ 1−−v/cv /c 0 0 2

2

1

2

0 0

√ −v /c 2

1

0 0

2

0 0

1 0 0 1

Los potenciales se transforman como un vector, o sea 

Φ =

Φ 1

 −−

vAx v 2/c2

Ax =

Ax vΦ/c2 1 v 2 /c2

 −−

  

Ay = A y ,

.

Az = A z ,

(3.42)

(3.43)

y los campos eléctrico y magnético cambian como componentes de un tensor de rango dos en una transformaci´ on de Lorentz a lo largo del eje x. Más concretamente as´ı E x = E x — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

Bx = Bx

E y vB z E z + vBy , E z = 1 v 2 /c2 1 v 2 /c2 By + vE z /c2 Bz vE y /c2   By = , Bz = 1 v 2 /c2 1 v 2 /c2

E y =

Prueba.

 −−  −

 −  −−

(3.44) (3.45)

En primer lugar veamos que las componentes F 01 y F 23 no cambian, o sea que E x , Bx son las mismas en los dos sistemas. F  01 =

 x

−E /c = a

0 1 αβ α a β F

= (a01 a10

0 1 01 0 a 1 )F

−a

= γ 2(β 2

− 1)E /c = −E /c , x

x

donde se ha usado (4.41). Análogamente para F 23 . notas EDC (v. 30/mayo/2005)

3–13

´ n lagrangiana de la electrodin a ´mica Cap´ıtulo 3. Formulacio ´ sica I cla Por su parte las componentes (F 02 , F 03) transforman como x0 y las (F 12 , F 13 ), como x1 . También se puede aplicar (3.40), por ejemplo  y

 02

−E /c = F

= a 0α a2β F αβ = (a00a22 + a01 a22)F 02 = γ ( E y /c) + ( βγ )( Bz ) ,

−

−

−

de lo que resulta la ecuaci´ on (4.42), usando (4.41), y análogamente con las dem´ as. Las ecuaciones (4.42)-(4.43) pueden escribirse también como

× − γ +γ 1 β(β · E) ,

E = γ (E + v B)

B = γ (B

− cv × E) − γ +γ 1 β(β · B) . (3.46) 2

En el caso de que la velocidad entre los dos sistemas sea peque˜ na β tomando hasta los términos en β , resulta E x = E x

E y = E y

Bx = Bx

By = B y + vE z /c2 ,

 1,

E z = E z + vB y

− vB , z

Bz = B z

2

− vE /c y

,

que en forma vectorial se escriben

E = E

−B×v,

B = B +

1 E c2

×v.

(3.47)

Si en el sistema S no hay campo magnético, B = 0, en el sistema S  ese campo valdrá 1 (3.48) B = 2 E v . c Nótese que en S  los campos eléctrico y magnético son perpendiculares.

×

3.6.2.


Invariantes del campo

A partir del campo electromagnético se pueden formar cantidades que no var´ıan bajo una transformaci´ on de Lorentz. Se llaman invariantes Lorentz. Pensemos en el tensor de rango cuatro T αβγδ = F αβ F γδ . Podemos hacer dos cosas con él. (i) contraer sus ´ındices 1o y 3o y 2o y 4o; (ii) contraerlo con el tensor completamente antisimétrico eαβγδ . Resultan as´ı dos cantidades invariantes F αβ F αβ ,

eαβγδ F αβ F αβ ,

(3.49)

el primero es un escalar, es decir un tensor de rango cero; el segundo es un pseudoscalar. Tomando las expresiones anteriores del tensor electromagnético, es f´ acil calcular los valores de estos invariantes que son, respectivamente, F αβ F αβ = 2 (B 2 3–14

2

2

− E /c ) ,

eαβγδ F αβ F αβ = 4 E B/c .

·

(3.50)


3.7. Campo eléctrico de una carga puntual en movimiento uniforme Que estas cantidades sean invariantes significa que su valor es el mismo en todos los sistemas inerciales. En particular si se anulan en un sistema, se anulan siempre. Esto implica que si E y B son perpendiculares en un punto del espaciotiempo de un sistema inercial, lo son también en el punto correspondiente de todos los dem´ a s. Si tienen el mismo módulo, ocurre lo mismo. Igual sucede si E/c > B, o si E/c < B. Una u ´ltima observaci´ on es conveniente para lo que se tratar´ a en el próximo cap´ıtulo. Teniendo en cuenta que c 2 = (0 µ0 )−1 , y recordando que las densidades de energ´ıa eléctrica y magnética son U e = 0 E 2 /2 y U m = B 2 /2µ0 , el primer invariante puede escribirse en la forma F αβ F αβ = 2 (B 2

2

2

− E /c ) = 4µ

0



B2 2µ0

−

0 E 2 2



= 4µ0 (U m

− U ) ,

(3.51)

e

y por tanto su integral espacial es proporcional a la diferencia entre las energ´ıas asociadas a los campos magnético y eléctrico.

3.7.

Campo el´ ectrico de una carga puntual en movimiento uniforme

Sabemos que una carga puntual en reposo produce un campo culombiano, lo que sugiere preguntar ¿qué forma tiene el campo creado por una carga puntual que se mueve con velocidad constante? Consideremos dos sistemas inerciales S y S  , el segundo moviéndose con velocidad v seg´ u n el eje x, con ejes paralelos y de modo que en el tiempo t = 0 coinciden los dos or´ıgenes (ver figura). Una carga est´ a en reposo en el origen del sistema S  . El observador est´ a en el punto P .


En el sistema S  , el punto P tiene coordenadas x = vt  , y = b, z = 0 y su distancia al origen, donde est´ a la carga q , es r  = b2 + (vt  )2. Los campos eléctrico y magnético en S  son (desde aqu´ı hasta la ecuaci´ on (3.54) omitiremos los factores 1/4π0 y µ0 /4π, para aligerar la escritura)

 −

E x

=

−

qvt , r3

Bx = 0 ,

qb , r3 By = 0 , E y =

E z = 0 . Bz = 0 .

La relaci´ on entre los tiempos en P es t = γ (t xv/c2 ) = γt, pues xP = 0. Con ello podemos expresar los campos anteriores en funci´ on de las coordenadas en S .

−

E x =

− (b + qγvt γ v t ) 2

2 2 2

, 3/2


E y =

qb , (b2 + γ 2 v 2 t2 )3/2

E z = 0 .

(3.52) 3–15


Figura 3.1: Una carga puntual q movi´ endose con velocidad constante que pasa con par´ ametro de impacto b un punto de observaci´ on Usando las ecuaciones de la transformaci´ on inversa de (4.43), resulta la expresi´ on de los campos en S E x = E x =

− (b + qγvt γ v t ) 2

2 2 2 3/2

γqb (b2 + γ 2 v 2 t2 )3/2 = γβ E y = βE y .

E y = γE y = Bz

(3.53)

Las dem´ as componentes se anulan. Las ecuaciones (3.53) expresan la dependencia de los campos en el punto de observaci´ on en función del tiempo. Tambi´ en conviene conocer su valor en funci´ on de las coordenadas espaciales en S , respecto a la posici´ on actual de la carga. Para ello observemos en primer lugar que E x/ey = vt/b = x/y, lo que indica que el campo eléctrico est´ a dirigido radialmente desde la posici´ on de la part´ıcula en el instante t. Como sus coordenadas verifican x2 + y 2 = b 2 + v 2 t2 , el módulo de E, E 2 = e 2x + E y2 verifica

−


−

γ 2 q 2 (x2 + y2 ) q 2 (x2 + y2 ) q 2 (x2 + y2 ) = = [(γx)2 + y 2)3 γ 4 (x2 + y2 /γ 2 )3 γ 4 [x2 + y2 (1 β 2 )]3 q 2(x2 + y 2 )(1 β 2 )2 q 2 (1 β 2 )2 = = 2 , (x2 + y 2 )3 [1 β 2 y2 /(x2 + y 2 )]3 (x + y 2)3 [1 β 2 sen2 ψ]3

E 2 =

−

−

− −

−

donde el ańgulo ψ es el formado por el radio vector en S y la velocidad v de la carga. Como consecuencia de todo lo anterior, el campo el´ ectrico es radial, pero su móduloo depende de la direcci´ on., de modo que vale

E = 3–16

1 4π0 r3 γ 2 (1

−

q r β 2 sen2 ψ)3/2

(3.54)


3.8.

Part´ıcula cargada en un campo eléctrico uniforme y constante

Nótese que en el l´ımite β 0 se obtiene la ley de Coulomb. S´ olo hay isotrop´ıa en ese caso. El campo es más intenso en la direcci´ on perpendicular a la velocidad. En la direcci´ on del movimiento de la carga (ψ = 0, π) el campo es menor que en el caso no relativista en un factor γ −2 , mientras que en la direcci´ on transversal es mayor por un factor γ . En cierto modo, estos efectos pueden considerarse como una consecuencia de la contracci´ on de FitzGerald.

→

Conviene hacer dos u´ltimas observaciones. Como se ha dicho, el campo E se dirige radialmente al punto P , desde la posición que tiene la carga en el mismo instante de observaci´ on. Concretando, si la carga pas´ o en el tiempo t por el origen del sistema S , un observador situado en cualquier punto comprueba que el campo está dirigido radialmente hacia el origen en ese momento t. Esto parece sorprendente: da la impresi´ on de que la fuerza se transmite de modo instant´ aneo, pero ¿cómo puede saber un observador lejano la posici´ on de la part´ıcula en el mismo instante? En realidad no puede, pues eso ser´ıa una violaci´ on de la causalidad de Einstein. La explicación es que la part´ıcula ven´ıa siguiendo un movimiento uniforme que pasar´ıa por el origen en el instante t y esa información era conocible desde antes. Cabe hacer otro comentario. El campo (3.54) no puede ser creado por ninguna distribución est´ atica de carga. Para ello consideremos un circuito C en forma de trapecio curvil´ıneo, formado por dos arcos de circunferencia de radios R1 y R2 , centradas en la posici´ on de la part´ıcula, y dos radios desde ese punto. Est´ a claro que la circulación de E no es nula, por lo que se necesita un campo magnético.

3.8.


Part´ıcula cargada en un campo el´ ectrico uniforme y constante

En lo sucesivo, usaremos la siguente notaci´ o n: un campo es uniforme si no depende de la posici´ o n y es constante si no depende del tiempo. Si el campo eléctrico es constante, se expresa como E = ∇Φ, donde Φ = E r con la posible adición de una constante. N´ otese que esa adici´ o n es la uńica transformaci´ o n de gauge permitida si E es constante y B = 0.

−

− ·

Como E es constante, el lagrangiano es independiente del tiempo, por lo que la energ´ıa se conserva. Su valor es

E = siendo q el valor de la carga. notas EDC (v. 30/mayo/2005)

mc2 + q Φ , 1 (v 2 /c2 )

 −

3–17

´ n lagrangiana de la electrodin a ´mica Cap´ıtulo 3. Formulacio ´ sica I cla Supongamos que, en el momento inicial, la carga tiene un momento lineal p0 . Su movimiento estar´ a confinado al plano formado por los vectores E y p0 . Tomemos el caso en que sean perpendiculares, definiendo las coordenadas (x, y) de modo que E = (E, 0) y p0 = (0, p0 ). La ecuaciones del movimiento son (el sobrepunto indica derivada respecto a t)) p˙x = qE,

p˙y = 0 ,

la trayectoria, px = qEt ,

py = p 0 .

y la energ´ıa cinética de la carga,

E

cin

donde

=



m2 c4

+

c2 p20 +

(cqETt)2

=

 E

2 0

+ (cqEt)2

E es la energ´ıa cinética inicial. La velocidad verifica 0

v =

pc2

E

,

cin

por lo que dx px c2 = = dt cin

E

dy py c 2 = = dt cin

E

Integrando estas ecuaciones, se tiene 1 x = qE

 E

2 0

c2qEt

 E  E

2 0

+ (cqEt)2 p0 c2

2 0

+ (cqEt)2

(3.55) (3.56)

 

p0 c cqEt y = arcsinh qE 0

+ (cqEt)2 ,

E

.

(3.57)

Por simplicidad, se han tomado iguales a cero las constantes de integraci´ on. Eliminando el tiempo entre las dos ecuaciones anteriores (recordando que cosh2 u sinh2 u = 1), resulta como ecuaci´ on de la trayectoria

−


x =

E cosh qEy , 0

qE

p0 c

(3.58)

curva conocida como catenaria . En el caso no relativista, si v c, se puede aproximar p0 = mv 0 y 0 = mc 2 , con lo que la ecuaci´ on de la trayectoria resulta ser qE 2 (3.59) x = y + const, 2mv02



E

es decir una par´ abola, como en el tiro parab´ olico, naturalmente. 3–18


3.9.

3.9.

Part´ıcula cargada en un campo magnético uniforme y constante

Part´ıcula cargada en un campo magn´ etico uniforme y constante

Tomamos el campo B en la dirección del eje z . La ecuación del movimiento toma la forma (3.60) p˙ = q v B

×

Como el sistema es independiente del tiempo, se conserva la energ´ıa y, como el trimomento vale p = v/c2 , resulta

E

E v˙ = q v × B

c2 Eso se puede escribir en la forma v˙ x = ωvy ,

v˙ y =

−ωv

x

,

v˙ z = 0,

(3.61)

(3.62)

donde la frecuencia ω, conocida como frecuencia del ciclotr´ on , vale ω=

qc 2 B

E

.

(3.63)

Combinando las dos ecuaciones (3.62) resulta v˙ x + iv˙ y =

−iω(v + iv ) , x

y

cuya soluci´ on es vx + ivy = ae −iωt , siendo a una cantidad compleja que se puede escribir como a = v 0t e−iα . Resulta entonces que la trayectoria de la carga verifica vx = v 0t cos(ωt + α) ,

vy = v 0t sen(ωt + α) .

(3.64)

La constante v 0t es la componente normal al campo magnético de la velocidad en el momento inicial. Integrando de nuevo x = x 0 + r sen(ωt + α) , siendo — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

y = y0 + r cos(ωt + α)

v0t v0t = 2 . ω qc B La tercera ecuaci´ on tiene la solcui´ on r =

E

z = z 0 + v0z t .

(3.65) (3.66)

(3.67)

La trayectoria es una hélice cuyo eje pasa por (x0 , y0 ), es paralelo a B y cuyo radio es r. Su paso de rosca es 2πvz /ω. En el caso no relativista, la frecuencia vale qB ω= . m notas EDC (v. 30/mayo/2005)

(3.68) 3–19


3.10.

Part´ıcula cargada en campos el´ ectrico y magn´ etico uniformes y constantes

Consideramos ahora el movimiento de una carga puntual q de masa m, sometida a campos eléctrico y magnético constantes y uniformes. Tomaremos s´ olo el caso no relativista en que la velocidad de la carga es peque˜ na, v c y el momento lineal se puede aproximar como p = m v. Elegimos el eje z seg´ un la dirección de B, estando el campo E en el plano yz . Las ecuaciones del movimiento son



mv = q ˙ (E + v

× B)

o sea m¨ x = q ˙yB ,

m¨ y = qE y

− q ˙xB ,

m¨ z = qE z .

(3.69)

La soluci´ on de la tercera es z =

qE z 2 t + v0z t + z 0 . 2m

(3.70)

Sumando la primera (3.69) con la segunda multiplicada por i, resulta d qE y (x + ˙ iy) ˙ + iω(x + ˙ iy) ˙ = i , dt m

(3.71)

donde ω = qB/m es el l´ımite no relativista de la frecuencia del ciclotr´ on. La solución general de (3.71) es la general de la homognénea m´ as una particular de la completa. La primera es ae−iωt con a una constante de integraci´ on compleja, la segunda puede ser qE y /mω = E y /B, es decir (x + ˙ iy) ˙ = ae −iωt +


E y . B

(3.72)

La constante se puede escribir como a = be iα , con b real. Eligiendo adecuadamente el origen del tiempo (m´ as concretamente, redefiniendo el tiempo de t a tnuevo = t α/ω, se puede eliminar la fase α, o sea tomar a real. Resulta entonces

−

x = a ˙ cos ωt +

E y , B

y = ˙

−a sen ωt .

(3.73)

Las constantes de integraci´ on se han elegido de tal modo que, en el instante inicial, la velocidad de la carga es paralela al eje y. Las dos componentes de la velocidad son peri´ odicas, siendo sus valores medios en el tiempo

x˙  = E B , y

3–20

y˙  = 0 . notas EDC (v. 30/mayo/2005)

3.10. Part´ıcula cargada en campos eléctrico y magnético uniformes y constantes

Figura 3.2: Proyecci´ on en el plano xy de la trayectoria de una carga en dos campos E y B cruzados, en los casos a > E y /B, a < E y /B y a = E y /B

| |

| |

| |

Esto significa que aparece una velocidad en la direcci´ on perpendicular al plano que contiene los vectores E y B , calificada como velocidad de deriva (drift velocity en inglés). Su valor es E B , (3.74) vderiva = B2 y se superpone a una velocidad peri´ odica con frecuencia ω. Hemos supuesto que el tratamiento no relativista da una buena aproximaci´ on, para lo cual se necesita que E y 1, B siendo los valores de E y y B totalmente arbitrarios mientras verifiquen la relaci´ on anterior. Integrando ahora las ecuaciones (3.73), con las condiciones iniciales x = y = 0 en t = 0, resulta

×



x = — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

Si a =

a E y sen ωt + t, ω B

y =

a (cos ωt ω

− 1) .

(3.75)

−E /B, la solución es y

x =

E y (ωt ωB

− sen ωt)

y=

E y (1 ωB

− cos ωt) ,

(3.76)

curva conocida como cicloide . Los otros casos corresponden a las llamadas epicicloide e hipocicloide .


3–21


3.11.

Ejercicios

on tridimensional del lagrangiano de una part´ıcu3.1 A partir de la expresi´ la cargada en un campo el´ ectrico, deducir el hamiltoniano siguiendo el mismo método que el dinámica clásica.

3.2 Estudiar si la densidad lagrangiana del campo electromagnético es invariante bajo transformaciones de gauge y discutir las consecuencias de que lo sea o no. 3.3 Estudiar la trayectoria de una carga puntual en un campo electromagnético constante y uniforme cuyos vectores eléctrico E y magnético B son paralelos. 3.4 ¿Existe la posibilidad de que un campo electromagnético sea puramente eléctrico en un sistema inercial y puramente magnético en otro? ¿Que condici´ on  debe cumplirse en un sistema S para que E = 0 en otro sistema S . 3.5 En un cierto sistema de referencia S se tiene un campo electromagnético uniforme E, B. Se busca un sistema S  en el que E a siempre B . ¿Tendr´ solución este problema? Si la tiene, ¿es uńica? En tal caso, hallar la velocidad v de S  respecto a S y determinar E y B .



3.6 En una onda electromagnética progresiva en el vac´ıo, el campo eléctrico tiene la expresi´ on E = E 0 ei(kx−ωt) uy . a) ¿Hay alg´ un otro sistema de referencia en el que el campo sea puramente eléctrico o puramente magnético? b) Encontrar alguna raz´ on por la que la fase deba ser invariante.


3.7 Una densidad lagrangiana empleada algunas veces para el campo electromagnético es 1 1 = ∂ µ Aν ∂ µ Aν + j µ Aµ . 2cµ0 c

L −

Compararla con la est´ andar, usada en este curso, examinando bajo que condiciones conduce a las ecuaciones de Maxwell.

3.8 Sea un haz cil´ındrico y uniforme de electrones cuyo radio es a. El haz ha sido acelerado mediante una ddp V y lleva una intensidad de corriente total I . Hallar la fuerza electro magnética sobre un electr´ on cualquiera del haz. 3.9 Una part´ıcula de carga e y masa m se mueve en un campo electrost´ atico 3–22


3.11. Ejercicios de potencial Φ = k(x2 y2 ), con k > 0. La posición y la velocidad iniciales son r0 = (x0 , y0 , z 0 ) y v0 = (0, 0, v0 ).

−

a) Escribir las ecuaciones relativistas del movimiento. b) Determinar la trayectoria en la aproximaci´ on no relativista.

3.10 Dos cargas +q y q están situadas en los puntos (0, 0 d/2) del sistema de referencia S . En un cierto instante se mueven con velocidades ( v, 0, 0). a) Determinar los campos eléctrico y magnético, as´ı como las fuerzas entre las dos cargas en ese instante. b) Mismas cuestiones en los sistemas S  y S  en que +q y q están en repos, respectivamente.

−

±

±

−

3.11 Un cierto selector de velocidades consiste en dos placas cil´ındricas muy próximas, entre las que se aplica una diferencia de potencial constante V , con el objeto de que las part´ıculas cargadas describan una trayectoria curvada, de modo que sólo salgan del selector las que han entrado con la velocidad v0 . Como la distancia d entre las placas es muy peque˜ na, el campo eléctrico puede suponerse uniforme en m´ odulo. a) Escribir las ecuaciones relativistas del movimiento para una de las cargas incidentes con velocidad v 0 . b) Determinar la relaci´ on entre v 0 y la diferencia de potencial aplicada V para que salga del selector.

3.12 Hallar el momento canónico y la fuerza generalizada en el caso de una part´ıcula cargada en el campo electromagn´ etico dado por (Φ, A). Interpretar f´ısicamente el resultado, buscando en los libros si es necesario (p. ej. en Feynman, vol. 2).



3–23



3–24


Cap´ıtulo 4 Formulaci´ on relativista lagrangiana de la electrodin´ amica cl´ asica II 4.1.

El primer par de ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de maxwell son

·B ∇·E

∇

= 0, =

ρ , 0

× E = − ∂ ∂tB , ∂ E ∇ × B = µ j +  µ . ∂t ∇

0

0 0

(4.1)

(4.2)

Las ecuaciones (4.1) y (4.2) se conocen como el primer par y el segundo par de ecuaciones de Maxwell , respectivamente. Las del primer par, más que ecuaciones del movimiento, son condiciones cinemáticas que deben cumplir los campos E y B. Son consecuencia directa de la existencia de un cuadripotencial (Φ/c, A) y de las definiciones — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

E =

−∇Φ − ∂ A

B =

t

∇

× A,

como se puede comprobar f´ acilmente, teniendo en cuenta que las derivadas espaciales y temporales conmutan.

Forma integral. Las dos primeras ecuaciones de Maxwell se pueden poner en forma integral, usando los teoremas de Gauss y de Stokes.

 S

B n dS = 0 ,

·




C

E dr =

·

−

∂ ∂t

 S

B n dS ,

·

(4.3) 4–1

´ n relativista lagrangiana de la Cap´ıtulo 4. Formulacio ´ mica cla ´ sica II electrodin a donde S es una superficie cerrada en la primera y en la segundo S está bordeada por C = ∂S . El vector n es unitario y normal a la superficie. Estas dos ecuaciones pueden expresarse as´ı: i) El flujo del campo magnético a través de una superficie cerrada es siempre nulo (no existen cargas magnéticas). ii) La circulación del campo el´ ectrico a lo largo de una cueva cerrada es igual a menos la derivada temporal del flujo magnético a trav´ es de una superficie cuyo borde es C (en esta forma es la ley de la inducci´ on de Faraday; la circulaci´ on de E es la fuerza electromotriz ). Ahora nos interesa poner esas ecuaciones en forma relativista cuadridimensional. Es fácil comprobar que (4.1) son equivalentes a ∂ α F βγ +∂ β F γα +∂ γ F αβ = 0, siendo (α, β, γ ) una terna cualquiera de (0, 1, 2, 3). Escrito de otro modo, eso es ∂F βγ ∂F γα ∂F αβ + + = 0. (4.4) ∂x α ∂x β ∂x γ Nó tese que se trata de cuatro ecuaciones en derivadas parciales. De hecho el primer miembro de (4.4) es un tensor de rango 3 completamente antisimétrico. Sólo tiene cuatro componentes distintas (salvo el signo) que corresponden a las cuatro maneras en que los tres ´ındices pueden ser distintos. Es f´ acil ver, teniendo en cuenta las expresiones del tensor electromagnético en el cap´ıtulo anterior que i) si (α,β,γ ) = (1, 2, 3) se obtiene la primera ecuaci´ on (4.1). ii) Si uno de los ´ındices es igual a cero, hay tres posibilidades para los otros dos, que llevan a las tres componentes de la segunda ecuaci´ on (4.1). El primer par se puede escribir tambi´ en como eαβγδ

∂F βγ = eαβγδ ∂ α F βγ = 0 , α ∂x

(4.5)

en forma manifiestamente covariante. — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

4.2.

La acci´ on del campo electromagn´ etico

Para estudiar el movimiento de una part´ıcula cargada en un campo electromagnétic exterior ( y fijo!) tom´ amos una acci´ on suma de dos términos 2

S = S p + S int =

 −

( mcds

1

µ

− eA dx ) , µ

(3.15)

que corresponden a la part´ıcula y la acci´ on del campo sobre ella, respectivamente. 4–2


4.2. La acci´ on del campo electromagnético Si consideramos un sistema formado por la part´ıcula y el campo en interacci´ on, de modo que los dos se ven sometidos a cambios producidos mutuamente, tendremos que considerar tres términos, los dos de antes y un tercero para describir la dinámica interna del propio campo electromagnético. S = S p + S em + S int .

(4.6)

Lo que necesitamos, pues, es saber cu´ al es la buena elecci´ on para el nuevo témino S em. Como criterios parece razonable usar los siguientes. i) Como la teor´ıa debe ser relativista, es decir invariante Lorentz, la acci´ on debe ser la integral extendida al espacio de una funci´ on escalar de los campos E y B. S em =

 

El lagrangiano es entonces Lem = densidad lagrangiana .

f (F µν ) d3 xdt . f (F µν ) d3x. La funci´ on f se conoce como

ii) Debido al principio de superposici´ o n, es preciso que las ecuaciones del campo electromagnético sean lineales en F µν , para lo cual la función f debe ser cuadrática en F µν . Ocurre que la u ńica cantidad que es cuadr´ atica en los campos E y B y a la vez, es un escalar es f = aF µν F µν , donde a es un factor constante. Adem´ a s y seg´ un se vio al final del cap´ıtulo anterior, F µν F µν = 4µ0 (U m U e ). Esto signfica que si tomamos a = 1/4µ0 , tedremos un lagrangiano igual a L = (U e U m ) d3 x, que se parece mucho a la expresi´ on para un sistema de part´ıculas L = T U , usada en mec´ anica lagrangiana. Esto significa que consideramos a las energ´ıas eléctrica y magnética de un campo electromagnético como an´ alogas a las energ´ıas cinética y potencial de un sistema de part´ıculas (el signo menos de a resulta necesario para obtener las buenas ecuaciones, como veremos enseguida). Con ese valor de a, la acción del campo electromagnético vale

−

−


S em =

−

1 4µ0



F µν F µν d3 xdt =

 

0 E 2 2

−



B2 2µ0



−

−

d3 xdt .

(4.7)

Como consecuencia, la acci´ on del sistema toma la forma 2

S = S p + S int + S em =

  −

( mcds

1

µ

− eA dx ) − µ

1 4µ0 c



F µν F µν dΩ , (4.8)

donde dΩ = c dt dx dy dz y el sumatorio está para incluir el caso de varias cargas puntuales. notas EDC (v. 30/mayo/2005)

4–3

´ n relativista lagrangiana de la Cap´ıtulo 4. Formulacio ´ mica cla ´ sica II electrodin a

4.3.

El cuadrivector corriente

Aunque la carga est´ a cuantizada y va siempre en m´ ultiplos enteros de e, conviena a menudo considerarla como distribuida de modo continuo con una funci´ on densidad ρ(r, t). Además existe un vector corriente j = ρ v. ¿Cómo se expresan estas cantidades en el formalismo cuadridimensional? Es necesario contestar a esta pregunta. Por ejemplo, la carga es una magnitud invariante, por lo que ρ d3 x lo es también. Se sigue que ρ no lo es. Si tenemos un conjunto de cargas puntuales, la densidad es



ρ =

ek δ (r

k

− r ),

k

(4.9)

donde ek y rk son la carga y la posición de la part´ıcula k-ésima. Sea el elemento diferencial dxµ de dxµ = ρ d3x dxµ = ρ d3 x dt . dt El primer miembro es un cuadrivector (pues el elemento de carga de es un escalar), por lo que el tercer miembro debe serlo también. Como d3 xdt = dΩ/c es un escalar, resulta que ρ(dxµ /dt) debe ser un cuadrivector, que llamaremos cuadrivector corriente o cuadricorriente , denotado por j µ , dxµ j = ρ = (cρ, j) , dt µ

(4.10)

con

j = ρ v. La carga total en un volumen tridimensional V es el espacio en forma cuadridimensional es




1 ρ d3 x = c



1 j 0d3 x = c



 V

ρdV . La que hay en todo

j µ dS µ ,

donde la u ´ltima integral se extiende a una secci´ on t = constante o, más en general, a una superficie tridimensional infinita de tipo espacio. Es la misma para todas las tales superficie tridimensionales, pues esa integral es igual a las suma de todas las cargas cuyas lineas de universo cortan a esa superficie. Es posible reescribir el término de interacci´ on en(4.8) como

 −

e Aµ dxµ =

 −

dxµ 3 ρ d x Aµ dt = dt

con lo que la acci´ on toma la forma 2

S =

  − −

mcds

1

4–4

−

1 c



 −

Aµ j µ dΩ

−

j µ Aµ dt d3 x =

1 4µ0 c



 −

j µ Aµ

F µν F µν dΩ ,

dΩ , c

(4.11)


4.4. El segundo par de ecuaciones de Maxwell

4.3.1.

La ecuaci´ on de continuidad

Esta ecuaci´ on tiene gran importancia en varias ramas de la f´ısica. Su expresi´ on cásica es ∂ρ + ∇ j = 0 . ∂t

·

Puesto que x µ = (ct, r) y j µ = (cρ, j), la ecuación de continuidad se escribe as´ı en forma cuadridimensional ∂j µ µ ∂ µ j = = 0, (4.12) ∂x µ como se puede comprobar con facilidad. Nótese que el primer miembro se puede considerar, a efectos de covariacia, como el producto escalar de los vectores ∂ µ y j µ .

4.4.

El segundo par de ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones del movimiento de las part´ıculas se obtuvieron variando sus coordenadas xµ . El primer par de ecuaciones de Maxwell son consecuencia de la existencia de un cuadrivector potencial A µ del que se deducen los campos E y B . El segundo par ρ ∂ E ∇ E = , ∇ B = µ 0 j + 0 µ0 , (4.13) 0 ∂t

·

×

se obtiene variando el campo Aµ en la expresión de la acci´ on (4.11). Nótese que esto implica que se concede un valor fundamental al cuadripotencial, sin duda porque determina un´ıvocamente a los campos E, B, cosa que no ocurre al revés.


Esta es una situaci´ on curiosa. El campo vectorial Aµ tiene cuatro grados de libertad en cada punto del espacio, mientras que el tensor F µν o, equivalentemente, el par E, B tienen seis. Como estos dos campos quedan determinados por el potencial, se deduce que hay una redundancia en ellos: s´ olo cuatro de sus seis grados de libertad pueden ser independientes. Pero también debe haber redundancia en Aµ pues tenemos la libertad de elegir el gauge, haciendo que se cumplan las condiciones de Lorenz o de Coulomb, por ejemplo, si as´ı nos conviene. De hecho, se muestra en Electrodin´ amica Cu´ antica (conocida a menudo por las siglas inglesas QED), que sólo hay dos grados de libertad independientes en cada punto, correspondientes a los dos estados de polarizaci´ on posibles para el fotón. En resumen, parece que nos vemos obligados a usar m´ as campos de lo que ser´ıa estrictamente necesario para tener una teor´ıa formulable. Esta es una caracter´ıstica de las llamadas teor´ıas gauge , de las que el electromagnetismo es un caso notas EDC (v. 30/mayo/2005)

4–5

´ n relativista lagrangiana de la Cap´ıtulo 4. Formulacio ´ mica cla ´ sica II electrodin a particular y que son las base de nuestro entendimiento actual de las part´ıculas elementales. Conviene hacer algunas observaciones. i) Lo mismo que en el caso de la mecánica de part´ıculas puntuales, la integral de acci´ on se extiende entre dos tiempos t 1 y t 2 . La integral espacial cubre todo el tri-espacio. En otras palabras, los intervalos de integraci´ on son t1

≤ t ≤ t

2

,

−∞ < x, y, z < ∞ .

Dicho de otro modo, la integral de acci´ on S int + S em es de la forma t2

S =

∞

∞

∞

     − t1



1 dt dx dy dz Aµ j µ + F µν F µν 4µ0 −∞ −∞ −∞

,

ii) Las variaciones del campo Aµ se anulan en los tiempos t1 , t2 . O sea Aµ (r, t)

→ A (r, t) + δA (r, t) µ

µ

de modo que δA µ (r, t1 ) = 0 , 2

δA µ (r, t2 ) = 0 .

Un ejemplo: δAµ = a µ e−(r/r ) sen[π(t t1)/(t2 y aµ un cuadrivector, ambos arbitrarios. 0

−

− t )], siendo r una longitud dada 1

0

Por simplicidad, supondremos también que δA µ se anula en el infinito espacial, aunque esta restricci´ on puede eliminarse. iii) Se supone que los campos tienden convenientemente a cero en el infinito espacial, o sea Aµ , E, B 0, si r .

→

→∞

iv) La derivada parcial conmuta con la variaci´ on, o sea ∂A ν ∂δAν δ µ = ∂x ∂x µ — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

(4.14)

Obtenci´ on del segundo par. Como antes se advirtió, tenemos que variar sólo el cuadripotencial en la expresi´ on de la acción, de donde δS =

−

1 δ c

 



1 Aµ j µ + F µν F µν dΩ , 4µ0

donde, recordemos, F µν = ∂ µ Aν ∂ ν Aµ . Se dice que la densidad lagrangiana el lagrangiano L del campo electromagnético son

−

L=− 4–6

1 F µν F µν , 4µ0

L =

 L

Ly

d3 x .


4.4. El segundo par de ecuaciones de Maxwell L tiene dimensiones de energ´ıa y , de densidad de energ´ıa.

L

Teniendo en cuenta que F µν δF µν = F µν δF µν , resulta δS = =

− −

1 c 1 c

   



1 µν δA µ j + F δF µν dΩ 2µ0 1 µν ∂ j µ δA µ + F (δA ν ) 2µ0 ∂x µ µ



−

∂ (δA µ ) ∂x ν



dΩ .

En el u ´ltimo término de la segunda l´ınea anterior, intercambiamos los ´ındices mudos µ y ν y tenemos en cuenta que F µν = F νµ , lo que nos lleva a

−

δS =

−

1 c

 



1 ∂ j µ δA µ + F µν (δA ν ) µ0 ∂x µ



dΩ .

Ahora se integra por partes el segundo término del integrando, lo que equivale a usar la identidad µν

F





∂ ∂ (δA ) = [F µν (δA ν )] ν µ µ ∂x ∂x

∂F µν ∂x µ

  −

(δA ν )

No es dif´ıcil comprender que el primer término del segundo miembro no contribuye a la integral o, en otras palabras,



∂ µ (F µν δA ν )dtd3x = 0 .

En efecto, tras integrar en el tiempo, el término con µ = 0 queda



0ν

t2

F δA ν t d3x = 0 ,



1

porque las variaciones se anulan en los extremos del intervalo temporal. El mismo razonamiento muestra que los términos con µ = 1, 2, 3 se anulan también, debido a que tanto E, B como δAµ se anulan en el infinito espacial. Llegamos as´ı a — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

δS = =

− −

1 c 1 c

1 ∂F µν µ j δA µ δAν dΩ µ0 ∂x µ 1 ∂F µν j ν δA ν dΩ = 0 . µ0 ∂x µ

   

−

−





Para que esa integral se anule para cualquier variaci´ on δAν es necesario y suficiente que la cantidad entre paréntesis cuadrados se anule, es decir que ∂F µν = µ 0 j ν , µ ∂x notas EDC (v. 30/mayo/2005)

(4.15) 4–7

´ n relativista lagrangiana de la Cap´ıtulo 4. Formulacio ´ mica cla ´ sica II electrodin a que forma un conjunto de cuatro ecuaciones en derivadas parciales, precisamente el segundo par. Se puede escribir tambi´ en en notaci´ on más econ´ omica y elegante como ∂ µ F µν = µ 0 j ν . (4.16) Para ver que se trata realmente del segundo par, tomemos primero ν = 0. Sustituyendo, resulta de inmediato que (4.15) es ∇

· E = ρ/

0

.

(4.17)

Si tomamos las tres ecuaciones correspondientes a ν = 1, 2, 3, resultan ser ∇

× B = µ j +  µ ∂ ∂tE 0

0 0

(4.18)

Resumen. Podemos resumir las ecuaciones encontradas en la forma dp ∂ A Ec. part´ıcula: = e e∇Φ + ev (∇ A) dt ∂t = e(E + v B) ,

−

Primer par:

− ×

×

×

(4.19)

∂F βγ ∂F γα ∂ F αβ + + = 0, ∂x α ∂x β ∂x γ (4.20)

Segundo par

∂F µν = µ 0 j ν . µ ∂x (4.21)

Nótese que la primera de estas ecuaciones se obtiene al variar las coordenadas on. El primer par de Maxwell es una x j de la part´ıcula en la integral de acci´ consecuencia de la existencia de los potenciales Aµ (Φ/c, A). El segundo par se obtiene variando el potencial Aµ en la integral de acci´ o n. En el primer par, hay que tomar las cuatro ternas formadas con los ´ındices (0,1,2,3), y que, en el segundo, los cuatro valores posibles de ν . Cada par consta de una ecuaci´ on escalar y una vectorial.

≡


4.4.1.

Forma integral del segundo par de Maxwell.

Lo mismo que ocurre con el primero, es posible formular el segundo par de forma integral. Con ν = 0 toma la forma (4.17) que, integrada en un volumen V bordeador po S = ∂V , toma la forma V ∇ E d3 x = S E n da. Aplicando el teorema de Gauss esto es q (4.22) E n da = , 0 S



4–8

·



·



·


4.5. Densidad de energ´ıa y flujo de energ´ıa , siendo n un vector unitario saliente de la superficie, o sea: El flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada S es igual a la carga total encerrada por S sobre 0 . Tomando ahora la ecuaci´ on (4.18) e integr´ andola en una superficie abierta S cuyo borde es ∂S = C , el teorema de Stokes implica que S (∇ B) n da = B d. Definiendo la corriente de desplazamiento jD = ∂ D/∂t, con D =  0 E, C la ecuaci´ on toma la forma ∇ B = µ 0 ( j + jD ). Resulta as´ı



·



×

 ·  ·

B d = µ 0 (I + I D ) ,

×

·

(4.23)

C

 ·

donde I = S j n da, I D = S jD n da o sea La circulaci´ on del campo magnético a lo largo de una curva cerrada C es igual a la corriente total, suma de la de cargas y la de desplazamiento, que atraviesa una superficie S cuyo borde es C , mutiplicada por µ0 . Nótese que esta ley es la generalizaci´ on al caso dinámico de la ley de Ampère del caso est´ atico.

4.5.

Densidad de energ´ıa y flujo de energ´ıa

Podemos multiplicar los dos lados de la segunda (4.1) por E y los de (4.18) por B, obteniendo

H (∇

·

E)

E (∇

× − ·

×

H) =

∂ B H ∂t

− ·

−

∂ ˙D E ∂t

− E · j

(4.24)

donde D = 0 E y H = B/µ0 son los vectores desplazamiento e intensidad magnética. El primer miembro es igual a (E H), por lo que se sigue

∇ · ×

∇ · (E × H) = −H · ∂ ∂tB − E · ∂ ∂tD − E · j. — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

(4.25)

Suponiendo que D, B, j dependen linealmente de E, H, E, esta ecuaci´ on puede escribirse como

∇ · (E × H) = − ∂t∂ 12 [E · D + B · H] − j · E.

(4.26)

El segundo miembro tiene una interpretaci´ on clara: con un cambio de signo, es la derivada respecto al tiempo de la suma de las densidades de energ´ıas eléctrica y magnética más el calentamiento Joule por unidad de volumen. Definiendo el vector de Poynting

S = E notas EDC (v. 30/mayo/2005)

×H,

(4.27) 4–9

´ n relativista lagrangiana de la Cap´ıtulo 4. Formulacio ´ mica cla ´ sica II electrodin a siendo la densidad de energ´ıa del campo 1 0 E 2 B2 1 E 2 u = [ E D + B H] = + = + B2 , 2 2 2 2µ0 2µ0 c

·

·









(4.28)

e integrando la ecuaci´ on anterior en el volumen V , bordeado por S , y aplicando el teorema de Gauss, se llega de inmediato a d j E dv = dt V

 − ·



u dv +

V



(E

S

× H) · n da .

(4.29)

Esta ecuaci´ on integral es muy importante, pues se trata de la conservaci´ o n de la energ´ıa. Podemos escribir (4.29) en la forma ∂u + ∇ S = j E . (4.30) ∂t Las dos ecuaciones anteriores (4.29) y (4.30) son los enunciados integral y diferencial del teorema de Poynting .

·

−·

La interpretaci´ o n de (4.30) es clara: el segundo miembro es la energ´ıa por unidad de volumen que pierde el campo electromagn´ etico debido al efecto Joule (o sea la energ´ıa transferida del campo a la agitaci´ on térmica de la materia); el primer sumando del primer término es la variaci´ on local de la densidad de energ´ıa y S es la densidad de flujo de energ´ıa electromagnética, es decir la energ´ıa electromagnética que atraviesa una unidad de superficie normal a S por unida de tiempo. Integrada en un volumen V cualquiera (y transformando el término con S en una integral en la superficie S que bordea a V ) la ecuaci´ on (4.30) toma la forma integral (4.29), la cual nos dice que la variaci´ on de energ´ıa electromagnética en ese volumen se debe a (i) el efecto Joule y (ii) al flujo de energ´ıa a través del borde de V , representada ésta por el vector de Poynting.

∇ ·


En el caso de un conjunto de part´ıculas puntuales moviéndose en el vac´ıo, y tomando la integral hasta el infinito (de modo que la integral de superficie en (4.29) se anula), la integral de volumen j Edv es igual a la suma ev E sobre las cargas, o sea a d ev E = cin . dt La ecuaci´ on (4.29) se puede escribir en la forma d dt

    1 2µ0

 ·

·



·

E

  E 

E 2 /c2 + B 2 dv +

cin

= 0,

(4.31)

o sea que la suma de la energ´ıa de campo y las energ´ıas cinéticas de las cargas permanece constante. La idea importante de esta secci´ on es que u es la densidad de energ´ıa electromagnética almacenada en el campo y S es la densidad de flujo de energ´ıa. 4–10


4.6. El tensor de energ´ıa-momento

4.6.

El tensor de energ´ıa-momento

Estudiaremos en esta secci´ on un tensor de dos ´ındices T µν que expresa c´ omo se mueve la densidad de energ´ıa y momento lineal de un campo electromagnético. Tomando un punto de vista m´ as general, consideremos la acci´ on de un sistema cualquiera de campos q k (r, t) (siendo el campo electromagnético en caso particular) 1 ∂q (4.32) S = q, µ dΩ c ∂x

 L  

L es la densidad lagrangiana , siendo el lagrangiano L = L d x . Recordemos que L tiene dimensiones de energ´ıa y L, de densidad de energ´ıa. donde



3

En primer lugar, veamos c´ omo se obtienen las ecuaciones del movimiento a partir de la condici´ on δS = 0, con la integral extendida a todo el espacio y entre dos tiempos t1 , t2 ) en los que se anulan las variaciones. Para simplificar la notaci´ on escribiremos ∂q ∂ µ q = µ = q , µ . ∂x Se tiene entonces, usando el convenio de los ´ındices repetidos de Einstein, 1 δS = c 1 = c

  L   L



∂ ∂ δq + δq ,µ dΩ ∂q ∂q , µ ∂ ∂ ∂ ∂ δq δq µ + µ ∂q ∂x ∂q , µ ∂x

L

L

−





∂ δq ∂q , µ

L

dΩ = 0 .

Aplicando el teorema de Gauss al tercer término de la integral, se muestra que no contribuye a la integral (suponiendo que los campos decrecen suficientemente deprisa en el infinito), por lo que queda


1 δS = c

  L − ∂ ∂q

∂ ∂ ∂x µ ∂q , µ

L



δq dΩ = 0 .

Como la variación δq es arbitraria, se deben cumplir las ecuaciones del movimiento ∂ ∂ ∂x µ ∂q , µ

L − ∂ L = 0 , ∂q

(4.33)

donde se sobreentiende que hay que sumar en los ´ındices repetidos y que hay en realidad n ecuaciones como la anterior ∂ ∂ ∂x µ ∂q k, µ

L − ∂ L = 0 , ∂q


k = 1, . . . , n .

(4.34)

k

4–11

´ n relativista lagrangiana de la Cap´ıtulo 4. Formulacio ´ mica cla ´ sica II electrodin a Escribamos ahora

∂ ∂ ∂q ∂ ∂q , ν = + ∂x µ ∂q ∂x µ ∂q , ν ∂x µ

L

L

L

Usando las ecuaciones del movimiento y teniendo en cuenta que q , µν = q , νµ , resulta ∂ ∂ ∂ ∂ ∂q , µ ∂ ∂ = q + = q . (4.35) , µ , µ ∂x µ ∂x ν ∂q , ν ∂q , ν ∂x ν ∂x ν ∂q , ν

L

 L



L

Como también se puede escribir

L



∂ ν ∂ = δ , µ ∂x µ ∂x ν

L

L

e introduciendo la notaci´ on T µ ν = q , µ

∂ ∂q , ν

L − δ L ν µ

(4.36)

resulta que (4.35) se puede escribir como ∂T µ ν = 0. ∂x ν

(4.37)

El tensor T µν es el tensor de energ´ıa-momento. Como se ve tiene las mismas dimensiones que la densidad de lagrangiano, o sea densidad de energ´ıa (julios por metro c´ ubico). La eq. (4.37) significa que cada uno de los cuatro “cuadrivectores” (T 0ν , T 1ν , T 2ν , T 3ν ) obedece a una ecuaci´ o n de continuidad, de modo que las cantidades T µ = T µ0 d3 x , (4.38)



son constantes. T µ tiene dimensiones de energ´ıa. Se dice que T µν es un tensor conservado. ¿Cu´ al es el significado de sus componentes? En primer lugar,


∂ T 00 = q ˙ , ∂ q ˙ donde el sobrepunto indica derivada parcial respecto al tiempo. Recordemos que para un sistema natural (o sea cuya energ´ıa cinética es una funci´ on homogéna cuadrática de las velocidades), la energ´ıa es igual a

L −L

E =

 k

q ˙k

∂L ∂ q ˙k

− L = T + U .

Esto hace pensar de inmediato que T 00 es la densidad de energ´ıa, como es cierto en verdad. Teniendo en cuenta que el cuadrivector energ´ıa-momento es ( /c, p)

E

4–12


4.6. El tensor de energ´ıa-momento o bien ( , cp), no cabe duda de que las otras tres densidades son las de las tres componentes del momento lineal multiplicadas por c, o sea

E

E = siendo



00

1 P = c

3



k

T d x ,

T 0k d3x .

(4.39)

E y P la energ´ıa y el momento lineal totales del campo electromagnético.

Un punto importante sobre el que conviene advertir es que la definici´ o n de tensor energ´ıa-momento no es unica, ´ pues si χµνρ es un tensor dependiente del campo elecromagnético y antisimétrico en sus ´ındices segundo y tercero, es decir si χ µνρ = χµρν , el tensor ∂ T µν + ρ χ µνρ (4.40) ∂x obedece también la ecuaci´ on de continuidad (4.38) porque ∂ 2 χαβγ /∂x β ∂x γ = 0. Hay que suponer que el tensor χ tiende a cero en el infinito, suficientemente deprisa. De esta propiedad se sigue que la energ´ıa y el momento lineal totales no cambian en la operaci´ on (4.38)

−



∂ γ χ0kγ dx3 =

V



χ0kj n j da = 0 ,

S

pues basta con aplicar el teorema de Gauss para transformar esa integral de volumen en otra de χ0kγ a través de la esfera de radio R con R .

→∞

Por tanto, el cuadrimomento T µ del campo s´ı est´ a un´ıvocamente definido, aunque el tensor T µν no lo esté. Es posible dar una definici´ o n más profunda de tensor de energ´ıa-momento, pero también m´ as compleja por usar conceptos de Relatividad General, que conduce necesariamente a un tensor simétrico1 . Sin entrar en ella y pues conviene usar un tensor simétrico, podemos conseguirlo imponiendo una condici´ on f´ısica: que el cuadritensor de momento angular se exprese en términos del cuadrimomento en la forma αβ

M


=



α

β

(x dP

β

α

− x dP ) =



(xα T βγ

β αγ

− x T

) dS γ ,

(4.41)

donde dS γ es el elemento diferencial del volumen tridimenional (ver final del cap´ıtulo 2). Recordemos que, en el caso de un sistema de part´ıculas µν

M

=



(xµ pν

ν µ

− x p )

Nótese que, tomando una secci´ on t = constante del espacio-tiempo, dS γ = (d3 x, 0). Para que eso ocurra y, adem´ as, el momento angular se conserve se necesita que la divergencia de M αβ se anule, o sea que ∂ α βγ (x T ∂x γ 1

β αγ

− x T

) = 0,

Ver el libro de Landau y Lifshitz, sección 94


4–13

´ n relativista lagrangiana de la Cap´ıtulo 4. Formulacio ´ mica cla ´ sica II electrodin a de lo que se sigue que T αβ = T βα ,

(4.42)

O sea que el tensor de energ´ıa-momento debe ser simétrico. La expresi´ on (4.36) no es simétrica. Se conoce como tensor can´ onico energ´ıa-momento, por oposición al tensor simétrico energ´ıa-momento.

4.6.1.

Sentido de las componentes de T µν .

La ley de conservaci´ on (4.37) se puede descomponer en dos partes 1 ∂T 00 ∂ T 0k + = 0, c ∂t ∂x k

1 ∂T i0 ∂ T ik + = 0. c ∂t ∂x k

(4.43)

Integremos la primera ecuaci´ on sobre un volumen tridimensional V , con borde S = ∂V . 1 ∂ ∂T 0k 3 T 00 d3x + d x = 0 k c ∂t V ∂x V







 −

y aplicando el teorema de Gauss a la segunda integral ∂ ∂t

T 00 d3 x =

V

c

T 0k nk da ,

(4.44)

S

siendo n el vector unitario normal a la superficie S . Esta ecuaci´ o n dice que la variación de la energ´ıa electromagnética dentro de V por unidad de tiempo es igual a menos el flujo del vector (cT 01 , cT 02 , cT 03 ). Hacienco lo mismo con la segunda ecuaci´ on (4.43), resulta ∂ ∂t




T j0 d3 x =

V

 − c

T jk nk da .

(4.45)

S

Esto indica que las componentes T jk son las densidades de corriente del momento lineal P j , lo que también se llama tensor tridimensional de densidad de flujo de (M ) momento o también tensor de tensiones de Maxwell T (ij) o Θij .

4.6.2.

Expresi´ on de las componentes del tensor energ´ıamomento can´ onico.

Tomemos la densidad lagrangiana usada anteriormente

L=− 4–14

1 4µ0



F µν F µν ,

(4.46)


4.6. El tensor de energ´ıa-momento Como campos fundamentales tomaremos las componentes del cuadrivector potencial Aµ (Φ/c, A). Resulta entonces

≡

00

T

T 0k T k0

0E 2 = + 2 1 = ( E µ0 c 1 = ( E µ0 c

B2 1 + ∇ (ΦE) 2µ0 µ0 c2 1 B)k + ∇ (Ak E) µ0 c 1 (∇ ΦB)k B)k + µ0 c

· ·

× ×

(4.47) 0





× − ∂ (ΦE ) (se han usado las relaciones ∇ · E = 0 and ∇ × B = ∂ E/c∂x .) 4.6.3.

k

0

.

Tensores energ´ıa-momento can´ onico y sim´ etrico

El tensor can´ onico energ´ıa-momento es igual a T αβ =

∂A ρ ∂ ∂x α ∂ (∂A ρ /∂x β )

L

β α

− δ L .

(4.48)

la variación de la densidad lagrangiana vale δ =

L −

1 F µν δF µν = 2µ0

−



1 ∂A ν F µν δ µ 2µ0 ∂x

−

∂A µ δ ν ∂x

Teniendo en cuenta la antisimetr´ıa de F µν , eso resulta

L − µ1 F

µν

δ =

0

∂A ν δ µ , ∂x

⇒

∂ = ∂ (∂A ν /∂x µ )

L



.

− µ1 F

µν

,

0

por lo que la expresi´ on del tensor can´ onico de energ´ıa-momento es T αβ =

− µ1

0

∂A ρ βρ 1 β F + δ α F µν F µν , α 4µ0 ∂x

que, en forma contravariante, es αβ

T — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

=

−

1 ∂A ρ β 1 αβ F ρ + g F µν F µν . µ0 ∂x α 4µ0

(4.49)

Como se ve, este tensor can´ onico no es simétrico, pero si le a˜ nadimos la cantidad 1 ∂A α β 1 ∂ F ρ = Aα F βρ , µ0 ∂x ρ µ0 ∂x ρ

 

pues, en ausencia de cargas ∂ ρ F β ρ = 0. Ya vimos que a˜ nadir la divergencia del tensor de rango tres χ αβρ = A α F βρ no cambia ni la energ´ıa ni el momento lineal, pero el nuevo tensor Θαβ = T αβ + ∂ ρ (Aα F βρ ) es simétrico Θαβ = notas EDC (v. 30/mayo/2005)

1 1 (F αρ F ρ β + g αβ F µν F µν ) . µ0 4

(4.50) 4–15

´ n relativista lagrangiana de la Cap´ıtulo 4. Formulacio ´ mica cla ´ sica II electrodin a Sus componentes valen 00

Θ

Θ0k

0 E 2 B2 = + , 2 2µ0 1 = ( E B)k , µ0 c

×

Θ jk =

 −

0 E j E k + B j Bk /µ0

−

(4.51)



1 δ jk (0 E 2 + B 2 /µ0 ) 2

.

Esta u´ltima ecuaci´ on puede escribirse en la forma Θ jk

−1 = µ0



E j E k /c2 + B j Bk

−

1 δ jk (E 2 /c2 + B 2 ) 2



.

Como vemos, Θ00 es la densidad de energ´ıa y Θk0 , el vector de Pointing sobre c. Por tanto la energ´ıa y el momento lineal del campo valen

E =

 

0 E 2 B2 + 2 2µ0



d3 x ,

P k =



E B 3 d x. µ0 c2

×

(4.52)

La densidad de momento lineal es, por tanto, gk =

4.7.


Θ0k S k = 2 . c c

(4.53)

Balance energ´ etico de la interacci´ on campo electromagnético-cargas

Supongamos un campo electromagnético en presencia de fuentes externas dadas por una densidad de carga y corrientes. En ese caso la divergencia del tensor de energ´ıa-momento del campo electromagnético no es nula. Su valor se calcula f´ acilmente a partir de (4.50) y vale ∂ α Θαβ

 



1 1 = ∂ µ (F µρ F ρβ + ∂ β (F µρ F µρ ) µ0 4 1 1 = (∂ µ F µρ )F ρβ + F µρ ∂ µ F ρβ + F µρ ∂ β F µρ . µ0 2



En el primer término a la derecha, sustituimos las ecuaciones de Maxwell y lo pasamos al primer miembro, con lo que ∂ α Θαβ + F βρ jρ = 4–16

1 F µρ (∂ µ F ρβ + ∂ µ F ρβ + ∂ β F µρ ) . 2µ0 notas EDC (v. 30/mayo/2005)

4.7. Balance energético de la interacci´ on campo electromagnético-cargas La suma de los dos u ´ ltimos términos al final del segundo miembro vale ∂ ρ F µβ , por lo que 1 ∂ α Θαβ + F βρ jρ = F µρ (∂ µ F ρβ + ∂ ρ F µβ ) . 2µ0 El segundo miembro se anula pues es la contracci´ on de un tensor simétrico y otro antisim´ etrico, con lo que nos queda ∂ α Θαβ =

βρ

−F

jρ .

(4.54)

La parte temporal de la ecuaci´ on anterior (es decir con β = 0) es



 ·

∂u +∇ S ∂t

= j E ,

−·

(4.55)

y la espacial (con β = k) ∂g k ∂t

3

 − 1

∂ (M ) T = ∂x j kj

− [ρE + ( j × B) ] k

(4.56)

k

donde g = S/c2 es la densidad de momento lineal del campo electromagn´ etico. Nótese que las dimensiones de todos los t´ erminos de la ecuaci´ on anterior son ”energ´ıa por metro a la cuarta”, o seq que se miden en J/m4. La dos ecuaciones anteriores son la expresi´ on de la conservaci´ on de la energ´ıa y el momento lineal de un sistema formado por un campo electromagn´ etico en interacci´ o n con una densidad de cargas y de corrientes. N´ o tese que el caso de cargas puntuales se resuleve escribiendo las (ρ y j ) correspondientes por medio de deltas de Dirac. Si las integramos a un volumen V bordeado por una superficie S = ∂V , se tiene


d dt d dt

  V

V

u dv +

 ·  

S n ds =

S

3

gk dv =

S 1

 − ·  −

j E ds

(4.57)

V

(M ) T kj n j ds

V

[ρE k + ( j

× B) ] dv k

(4.58)

(M ) La u ´ ltima ecuaci´ on justifica la denominaci´ o n de tensor de tensiones para T kj . Sus dimensiones son de fuerza por unidad de superficie, o sea de tensi´ on y su flujo a través de la superficie cerrada S la fuerza que ejerce el campo electromagnético sobre el vol´ umen, en el sentido de la variación de su momento lineal por unidad de tiempo.


4–17


4.8.

Ejercicios

aneos de la densidad de energ´ıa, 4.1 Hallar la expresión de los valores instant´ densidad de momento lineal y tensiones de los campos electromagn´ eticos siguientes k1 a) E = E 0ey ei(k x−ωt) , B = ex z E µ0 0 con k1 =  0 µ0 ω, ky = kz = 0.

×

1

b) c)

lo mismo que en a) pero con k1 = iα. Br =

µ0m cos θ , 2π r3

Bθ =

µ0 m sen θ , 4π r3

identificando los casos.

4.2 Dos planos paralelos Σ y Σ están situados en x = 0 y x = h. Tienen densidades superficiales de carga σ  = σ y σ, respectivamente y se mueven con velocidades v  ey y vex . Comprobar que las fuerzas entre los dos planos no son iguales y opuestas, por lo que surge el problema de la validez de la tercera ley de Newton. Discutir el resultado a la luz de la conservación del momento lineal.

−

4.3 Hallar la presión que ejerce una onda electromagnética sobre una supericie, si incide perpendiculamente a ella (con un coeficiente de reflexi´ on r). Investigar la posibilidad de navegar a vela gracias al viento solar (presi´ on de la radiaci´ on del Sol), sabiendo que en las proximidades de la Tierra la intensidad de la radiación solar es de 1350 W/m2 . Una propuesta razonable es usar una vela hecha de un pol´ımero muy ligero, como el kapt´ on, con un espesor de 2 µm, recubierto de una capa de 10 µm de aluminio, cuya masa por unidad de superficie ser´ıa de 30 g/m2 . (http: www.kp.dlr.de/solarsail/Welcome.html).



\\


4.4 Calcular la presión magnética debida al campo magnético de la Tierra en uno de sus polos, donde B 6 10−5 T y compararla con la presión atmosférica (1 atm = 1,013 105 Pa. Suponiendo que el momento dipolar magnético de la Tierra fuese proporcional a su velocidad angular, cu´ anto deber´ıa girar alrededor de su eje para que su presi´ on magnética fuese comparable a la atmosférica.

×

 ×

4.5 Consideremos un solenoide de longitud L y diámetro D para producir un campo magnético B 0 en su interior. a) Hallar la energ´ıa total almacenada. Usando el tensor de esfuerzos de Maxwell, determinar b) la fuerza total que comprime el solenoide en su direcci´ on longitudinal y c) la presi´ on magnética que act´ ua radialmente sobre el arrollamiento. 4–18


4.8. Ejercicios La MRI (magnetic resonance image , llamada también NRM) es una técnica de diagnóstico médico de gran importancia. Utiliza un solenoide superconductor para generar un campo magnético muy intenso que hace que los espines de los protones en el agua del cuerpo tengan un movimiento de precesi´ on cuya frecuencia se detecta mediante un circuito de rf. Las dimensiones t´ıpicas en una unidad MRI son L = 2 m, D = 0,8 m y B0 = 7 T.Calcular las magnitudes indicadas en los apartados a), b) y c), expresando la fuerza en toneladas, la presi´ o n en atmósferas y la energ´ıa en su equivalente en masa de TNT (TNT significa tonelada de trinitrotolueno, se usa como unidad de intensidad de una explosi´ on y libera 2.2 MJ/kg).

4.6 Calcular el radio cl´ asico del electr´ on . As´ı se llama el radio que deber´ıa tener esa part´ıcula, suponiendo que es una esfera homogénea con densidad uniforme de carga, con radio re y carga q = e, y que su masa es la del campo electromagnético asociado. La masa y la energ´ıa se relaci´ on mediante la ecuaci´ on de Einstein E = mc2 .

||

4.7∗ Un alambre infinitamente largo tiene una densidad lineal de carga λ. Alrededor suyo hay una capa cil´ındrica dieléctrica de radio a y momento de inercia I por unidad de longitud, coaxial con el alambre y cargada con densidad superficial de carga σ = λ/2πa. La capa puede girar libremente alrededor de su eje. El canjunto est´ a inmerso en un campo magnético externo B paralelo al eje e inicialmente en reposo. A partir del un instante inicial, el campo magnético se disminuye lentamente hasta cero durante un tiempo T a/c. ¿Cuál será la velocidad angular del cilindro?

−



(v. Feynman II-17.4, 27.5 y 27.6)



4–19



4–20


Cap´ıtulo 5 Ondas electromagn´ eticas 5.1.

La ecuaci´ on de ondas

Tomando el rotacional de la ecuaci´ on (1.6) (o sea de la ley de Faraday), se tiene ∇ (∇ E) = ∂ t ∇ B,

×

×

− × que puede escribirse en la forma (pues ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇ A) ∇(∇ · E) − ∇ E = −∂ (µ j + µ∂ E) , 2

2

o sea

t

t

−∇ E − 1 ∇ρ = −µσ∂ E − µ∂ E. 2

2 t

t

Suponiendo que el espacio (o el medio) no tiene cargas libres, ρ = 0, resulta que el campo eléctrico satisface la ecuaci´ on ∂ 2 E ∂ E = 0. ∇ E µ 2 µσ ∂t ∂t Podemos proceder de modo an´ alogo con el campo H. Se tiene 2


∇

−

−

(5.1)

× (∇ × H) = ∇ × j + ∇ × ∂ ∂tD .

Sustituyendo adecuadament, esta ecuaci´ on se transforma en ∇

× (∇ × H) = σ ∇ × E +  ∂ ∂t ∇ × E.

Intercambiando el orden de las derivadas espaciales y temporales en el segundo término de la derecha y usando la tercera ecuaci´ on de Maxwell en el primero, también de la derecha, resulta ∇

× (∇ × H) = −


∂ H σµ ∂t

−

∂ 2 H µ 2 . ∂t 5–1

Cap´ıtulo 5. Ondas electromagn´ eticas La ecuaci´ on de ondas para H es por tanto 2

∇

H

−

∂ 2 H µ 2 ∂t

− µσ ∂ ∂tH = 0.

(5.2)

Supongamos que la conductividad es cero (o que la resistividad es infinito). La ecuaciones de onda se transforman en 1 ∂ 2 E 2 ∇ E = 0, (5.3) v 2 ∂t 2 1 ∂ 2 H 2 = 0. (5.4) ∇ H v 2 ∂t 2 donde v vale 1 v= (5.5) µ que son dos ecuaciones cl´ asicas de ondas con velocidad v. En el vac´ıo se tiene 1 v = = 2,997925 108 m/s = c. (5.6) 0 µ0

− −

√

×

√

5.1.1.

Ecuaciones de onda de los potenciales escalar y vectorial y transformaciones de gauge

La ecuaci´ on ∇ B nos dice que el campo magnético es un rotacional, o sea que existe un campo vectorial A tal que B = ∇ A. Ello implica que la ley de Faraday ∇ E = ∂ t B puede escribirse como ∇ (E + ∂ t A) = 0, lo que dice que (E + ∂ t A) es el gradiente de una funci´ on Φ. Recapitulando

·

×

×

−

E =

−∇Φ − ∂ ∂tA ,

B =

×

∇

× A.

(5.7)

A y Φ son los potenciales escalar y vectorial que pueden usarse para definir el campo electromagnético con s´ olo cuatro funciones.


Sustituyendo en las dos ecuaciones de Maxwell (1.3) y (1.4) estas expresiones de los campos E y B, resulta 1 ∂ 2 ∇ Φ + ( ∇ A) = ρ (5.8) ∂t  ∂ 2 A ∂ Φ 2 ∇ A ∇ ∇ A + µ µ 2 = µ j (5.9) ∂t ∂t

·

−

−

−



·



−

 

−

Consideremos el caso del espacio vac´ıo. Estas dos ecuaciones se pueden reescribir en la forma 1 ∂ 2 Φ ∂ 1 ∂ Φ 1 2 ∇ Φ ∇ A+ + = ρ (5.10) c2 ∂t 2 ∂t c2 ∂t 0 1 ∂ 2 A 1 ∂ Φ 2 ∇ A ∇ ∇ A+ = µ0 j, (5.11) c2 ∂t 2 c2 ∂t

− −

5–2

−

 

·

·

−


5.1. La ecuaci´ on de ondas donde c = (0 µ0 )−1/2 es la velocidad de la luz en el vac´ıo.

Transformaciones de gauge. Sea ξ una función cualquiera de (r, t) (con buen comportamiento). Podemos cambiar los potenciales mediante la siguiente transformación de gauge Φ

, − ∂ξ ∂t



= Φ



= A + ∇ξ.

→Φ A→A

(5.12)

Es fácil comprobar que los campos E , B permanecen inalterados bajo esta transformación. Gracias a ello se pueden elegir potenciales que simplifiquen los problemas. Por ejemplo, si los elegimos de modo que se cumpla la llamada condici´ on de Lorenz 1 ∂ Φ = 0, (5.13) ∇ A+ c2 ∂t

·

las ecuaciones de onda (5.10)-(5.11) toman la forma m´ as simple 2

∇

2

∇

Φ

−

A

−

1 ∂ 2 Φ = c2 ∂t 2 1 ∂ 2 A = c2 ∂t 2

− 1 ρ

(5.14)

−µ j,

(5.15)

0

0

es decir que son dos ecuaciones cl´ asicas de onda con términos de fuente. Al hacer una transformaci´ on de gauge para fijar la forma de las ecuaci´ o n se dice que se fija el gauge . Es fácil comprender que siempre es posible hacer que los potenciales cumplan la condici´ o n de Lorentz. Si Φ, A cumplen (5.10)-(5.11) y elegimos la función ξ como una solución de 2

∇

ξ

1 ∂ 2 ξ = c2 ∂t 2

−

 −

∇

·



1 ∂ Φ , A+ 2 c ∂t

que siempre tiene soluci´ on, los nuevos potenciales obtenidos mediante la transformación de gauge (5.12) obedecen las ecuaciones simplificadas (5.18)-(5.15). — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

Nótese que (5.18)-(5.15) se reducen en el caso est´ atico a 2

∇

Φ=

− 1 ρ,

2

∇

A =

0

−µ j, 0

(5.16)

como cab´ıa esperar. Se suele usar la notaci´ on 


2

=∇

−

1 ∂ 2 , c2 ∂t 2 5–3

Cap´ıtulo 5. Ondas electromagn´ eticas conociéndose este operador como dalambertiano u operador de D’Alembert . Las ecuaciones de onda con la condici´ on de Lorentz se pueden escribir de forma compacta  Φ = ρ/0 ,  A = µ0 j,

−

−

ecuaciones conocidas como de Klein-Gordon con fuente. A pesar de la condición de gauge, los potenciales no quedan completamente determinados. Siempre se pueden cambiar sin modificar la forma (5.18)-(5.15) de las ecuaciones de onda haciendo transformaciones de gauge con una funci´ on que cumpla la ecuaci´ on homogénea de Klein-Gordon  ξ = 0. Otra condici´ on de gauge frecuentemente usada es la condici´ on de Coulomb ∇

· A = 0,

(5.17)

que conduce a las ecuaciones de onda 2

∇

2

∇

Φ =

− 1 ρ

(5.18)

0 2

− c1 ∂ ∂tA = −µ j + c1 ∂ ∇Φ,

A

2

0

2

2

(5.19)

El interés del gauge de Coulomb es que el potencial escalar es el potencial instant´ aneo creado por la densidad de carga ρ (de ah´ı viene el nombre, pues Φ se obtiene como con la ley de Coulomb en el caso est´ atico) 1 Φ(r, t) = 4π0



r ρ(r , t) r V





− r dv. | −r|

 3

(5.20)

Si descomponemos la corriente como la suma de dos términos j = j + j ⊥ , de modo que ∇ j = 0 (se dice que es longitudinal o irrotacional ) y ∇ j⊥ = 0 ( se dice que es transversal o solenoidal ), se tiene

×

·

2


∇

2

A

− c1 ∂ ∂tA = −µ j 2

0 ⊥,

2

(5.21)

pues se sigue de la ecuaci´ on de continuidad que µ0 0

∂ ∇Φ = µ 0 j . ∂∂ t

Una propiedad interesante de la condici´ on de Coulomb es que, si no hay densidad de carga, ρ = 0, con lo que Φ = 0, de modo que con ese gauge

E = 5–4

− ∂ ∂tA ,

B =

∇

× A. notas EDC (v. 30/mayo/2005)

5.2. Ondas electromagn´ eticas

5.2.

Ondas electromagn´ eticas

5.2.1.

Ondas planas en medios no conductores

Supongamos un medio no conductor, o sea cuya conductividad se anula σ = 0. Los dos campos E y B obedecen la ecuaci´ on clásica de ondas, 2

E

− ∇ B− ∇

2

1 ∂ 2 E = 0, c2 ∂t 2 1 ∂ 2 B = 0, c2 ∂t 2

(5.22)

(5.23)

con c = (µ)−1/2, pero eso no basta: deben relacionarse entre s´ı de modo que cumplan adem´ as las ecuaciones de Maxwell. Nótese que estas ecuaciones se refieren a un medio caracterizado por 0 , µ0 , sin fuentes, o sea en ausencia de materia. La soluciones de esas ecuaciones se denominan ondas electromagnéticas . Estudiaremos una clase muy importante de soluciones, las ondas monocrom´ aticas , que son las caracterizadas por una sola frecuencia (o sea un solo color). Siguiendo un método est´ andar, buscaremos soluciones de la forma

E(r, t) = E s (r)e−iωt ,

B(r, t) = B s (r)e−iωt

entendiendo que la funci´ on que representa a los campos f´ısicos est´ a dada por la parte real de esas funciones complejas. N´ otese que Es y Bs serán también complejos, aunque con el mismo desfasaje ϕ los dos, de modo que el campo eléctrico será proporcional a cos(ωt + ϕ) y el magético, a sen(ωt + ϕ). Las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir en la forma s

= 0,

s

= 0,

·E ∇·B ∇


× E = iω B ∇ × B = −iµ  ω E ∇

s

s

s

0 0

s

.

(5.24)

(5.25)

Al sustituir en la ecuaci´ on de ondas (5.22) resulta e−iωt



ω 2 2 Es ∇ Es + c2



= 0,

e−iωt

ω 2 2 Bs ∇ Bs + c2





= 0.

(5.26)

Diremos que la solución es una onda plana si la amplitud de la onda es la misma dentro de cada plano perpendicular a una direcci´ on que ser´ a la de propagaci´ on. Tomando el eje x paralelo a esa direcci´ on, esto implica que E = Es (x), lo que simplifica la ecuaci´ on a d2Es ω 2 + 2 Es = 0, dx2 c notas EDC (v. 30/mayo/2005)

5–5

´ Cap´ıtulo 5. Ondas Ondas electr electroma omagn gneticas eticas cuya solución on es

Es (x) = E 0 e∓iωx/c, donde E 0 es un vector constante. Adem´ as as se tiene

E(x, t) =



(ux E 0x + uy E 0y + uz E 0z ) eiϕ e∓iωx/ce−iωt



= (ux E 0x + uy E 0y + uz E 0z )cos(kx )cos(kx



− ωt + ϕ) ,

Tomaremos para simplificar el signo en ωt. ωt . Como el campo eléctrico ectrico s´ olo olo depende de x y t, la ecuación on ∇ E = 0 se simplifica a dE d E x /dx = 0, pero como E x depende sinusoidalmente de x seg´ un un la ecuaci´ on on anterior, resulta que E 0x = 0, o sea que la condición on de diverge divergencia ncia nula nula implic implicaa que el campo el´ eléctrico ectrico es transversal: solo son distintas de cero las componentes normales a la direcci´ on on de propagación. on. O, en otras palabras, el campo el´ ectrico ectrico es paralelo paralelo a los frentes de onda.

−

·

Esto significa que el campo eléctrico ectrico tiene la forma for ma

E(x, t) =

 (u E

0y +

y

uz E 0z ) eiϕ e−iωx/ce−iωt ,

= (uy E 0y + uz E 0z )cos(kx )cos(kx

− ωt + ϕ) ,

(5.27)

where k = ω/c es la componente x del vector de ondas . Como las otras dos componentes componentes son nulas nulas es tambi´ también en su m´ odulo, también en llamado el n´ umero de ondas . Para obtener obte ner el campo ca mpo magnético, etico, empleremos la ecuaci´ ecu aci´ on de Maxwell (5.27)) est´ a dado por E = ∂ t B. El rotacional de (5.27

∇

−

∇

× E = [u E − u E y

0z

sen(kx 0y ] k sen(kx

z

×

− ωt + ϕ),

por lo que el campo magnético etico debe valer (junto con el eléctrico) ectrico) )cos(kx E(x, t) = (uy E 0y + uz E 0z )cos(kx — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

B(x, t) = (uy E 0z /c

− u E z

0y

− ωt + ϕ) , /c)cos( /c)cos(kx kx − ωt + ϕ) ,

(5.28)

donde se aprecia bien la transversalidad de la onda. Esta onda se transmite hacia la derecha con velocidad v = ω = ω/k /k = = (µ) µ)−1/2 veloci velocidad dad de la la onda onda = v = u x (µ) µ)−1/2 .

(5.29)

El ´ındice de refracci´ refr acción on vale, por tanto, n = 5–6

√  µ , r r

(5.30)


5.3. Radiaci´ adiaci´ on electromagnética etica en una cavidad en forma de paralelep´ paralelep´ıpedo ıpedo rectangular en función on simple de la permitividad y la permeabilidad relativas. Nótese otese que hay dos modos de polarizaci´ on plana que se obtienen haciendo on E 0y = 0 y E 0z = 0, respectivamente. Finalmente veamos cuanto vale el vector de Poynting 1 1 E 02y + E 02z sen(kx sen(kx ωt) ωt) cos( cos(kx kx ωt) ωt )ux , (5.31) S = E B = µ0 µ0 en el que se ha hecho ϕ hecho ϕ = = 0 por simplicidad. Nótese otese que el flujo de energ´ energ´ıa va en el sentido positivo del eje x como cab´ıa ıa espera esp erar. r.

×

5.3. .3.





−

−

Radiaci Rad iaci´ ´ on on electro electromagn´ magn´ etica eti ca en una cavidad en forma de paralelep paralele p´ıpedo ıp edo rectangular

Consideremos una cavidad en forma de paralelep´ paralelep´ıpedo rectangular s´ olido 0 x L1 , 0 y L2 , 0 z L3, en la que hay radiación on electr ele ctroma omagn´ gnética eti ca en equilibrio con las paredes. Para obtener las expresiones de los campos en su interior, se deben resolver las ecuaciones de Maxwell con las condiciones de equilibrio E n = 0 , B n = 0, (5.32)

≤ ≤

≤ ≤

C ≤ ≤ ≤ ×

·

siendo n un vector normal a la pared de la cavidad = ∂ . Los campos pueden expresarse como suma de modos normales, caracterizado cada uno por tres enteros no negativos k1 , k2 , k3 , de los cuales al menos dos deben ser no nulos. Eligiendo adecuad adecuadamen amente te el gauge, gauge, podemos tomar tomar A0 = 0, de manera que los modos normales pueden expresarse como

S C

A0 = 0,

A1 = Ae 1x cos ωt cos(k cos(k1 πx/L1 )sen(k )sen(k2 πy/L2 )sen(k )sen(k3 πz/L3 ),

A2 = Ae1y cos ωt sen(k sen(k1πx/L1 )cos(k )cos(k2 πy/L2 )sen(k )sen(k3 πz/L3),

(5.33)

A3 = Ae1z cos ωt sen(k sen(k1 πx/L1)sen(k )sen(k2 πy/L2 )cos(k )cos(k3 πz/L3 ), — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

E 1 = ωAe1x sen ωt cos(k cos(k1 πx/L1 )sen(k )sen(k2πy/L2 ) sen( sen(k k3 πz/L3 ), sen(k1 πx/L1)cos(k )cos(k2 πy/L2 )sen(k )sen(k3 πz/L3 ), (5.34) E 2 = ωAe1y sen ωt sen(k E 3 = ωAe1z sen ωt sen(k sen(k1πx/L1 )sen(k )sen(k2 πy/L2 )cos(k )cos(k3 πz/L3), y ω Ae2x cos ωt sen(k sen(k1 πx/L1 )cos(k )cos(k2πy/L2 )cos(k )cos(k3 πz/L3 ), c ω = Ae2y cos ωt cos(k cos(k1 πx/L1)sen(k )sen(k2 πy/L2 )cos(k )cos(k3 πz/L3 ), (5.35) c ω = Ae2z cos ωt cos(k cos(k1πx/L1 )cos(k )cos(k2 πy/L2 )sen(k )sen(k3 πz/L3), c

B1 = B2 B3


5–7

´ Cap´ıtulo 5. Ondas Ondas electr electroma omagn gneticas eticas donde

       k1 L1

ω = k c = π = πcc

||

2

+

k2 L2

2

+

k3 L3

2

,

siendo (e1 , e2 , k/k) /k ) tres vectores ortogonales.

El vector de Poynting S = E B/µ0 representa repr esenta un flujo complejo de energ´ energ´ıa, sin que esta energ´ energ´ıa pueda atravesar atravesar las paredes a causa de las condiciones de frontera (5.32 (5.32). ). La energ´ıa ıa que est´ a dentro permanece permanece dentro dentro y no se a˜ nade nada desde fuera. Para comprenderlo, calculemos el vector S. Su componente x, por ejemplo, es igual a

×

S 1

ω 2 A2 = sen2ωt sen2ωt sen(2k sen(2k1 πx/L1 ) e1y e2z cos2 (k2πy/L2 ) sen(2 sen(2k k3 πz/L3) 8cµ0 e1z e2y sen(2k sen(2k2 πy/L2 )cos2 (k3 πz/L3 ) .



−



Como se comprueba f´ acilmente acilmente S 1 = 0 en las caras normales al eje x (i.e. x = 0, L1 ) pero no en las otras caras. An´ alogamente alogamente para S 2 , S 3 . Luego la condición on en el borde (5.32 (5.32)) no n o permite p ermite que entre e ntre o salga energ e nerg´´ıa de la cavidad. Pero esa condici´ on on tan simple matemáticamente aticamente es s´ olo olo una aproximaci´ on on que sólo olo vale para conductores perfectos, es decir cuya conductividad es infinita. En los buenos conductores reales hay una capa muy fina debajo de su superficie, en la que el campo magnético etico normal y el eléctrico ectrico tangencial disminuyen hasta anularse anularse al fondo de ella. Como consecuencia, consecuencia, se transfiere algo de energ´ energ´ıa del campo a las paredes que se va en forma de calor. Ocurre algo parecido en el dieléctrico ectrico que llena la cavidad, pues pu es el proceso de polarizaci´ p olarizaci´ on y despolarizaci´ on, on, muy rápido apido en una onda, no es absolutamen absolutamente te el´ astico. Pero las condiciones (5.32 astico. (5.32)) son una buena aproximaci´ on on en muchos casos.


Gu´ Gu ´ıas de onda y ca cavida vidades des resonant resonantes es

Una gu´ Una gu´ıa es un tubo hueco y abierto por sus extremos, con paredes ıa de onda on das s es hechas de un buen conductor, a lo largo de cuyo interior se propagan ondas electromag tro magn´ néticas eti cas.. En la versi ve rsi´ on oń más as simple es un cilindro rector de sección on arbitraria. Si sus extremos est´ an an cerrados se llama cavidad llama cavidad resonante . Supongamos, por simplicidad, que su interior está vac´ vac´ıo, aunque aunqu e se pueden puede n llenar de un dieléctrico. ectr ico. Tomemos una cavidad cil´ cil´ındrica cuyo eje e je es el z , partiendo de las ecuaciones (5.24)-( 5.24)-(5.26 5.26), ), omitiendo omitiendo por simplicidad simplicidad de la escritura el sub´ sub´ındice s. Dada la simetr´ simetr´ıa del problema, cab e esperar esp erar que haya soluciones de la forma kz −ωt) ωt) E = E (x, y )e±i(kz− ,

5–8

kz −ωt) ωt) B = B (x, y )e±i(kz− ,

(5.36)


5.4. Gu´ Gu´ıas de onda y cavidades resonantes resonantes

Figura 5.1: Gu´ Gu´ıa de ondas. ondas . siendo la cantidad k real o compleja. Resulta conveniente escribir el operador laplaciano como una suma 2

∇

=



∂ 2 ∂ 2 + ∂x 2 ∂y 2



∂ 2 + 2 = ∇t2 + ∇2z , ∂z

de un término ermin o transversal trans versal ∇t2 y otro longitudinal ∇2z , siendo ∇t = (∂ x , ∂ y , 0) y ∇z = (0, (0, 0, ∂ z ). Sustituyendo en una ecuaci´ on de Maxwell (y en otra con B) on



2

∇

2

+

ω c2

   E B

=

2

∇t

2

+

ω c2

−k

2



E(x, y ) B(x, y )



kz −ωt) ωt) e±i(kz− = 0.

Se sigue que

 — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

2

∇t

2

+

ω c2

−k

2

  E B

= 0,

(5.37)

y lo mismo para B. Conviene descomponer los campos en partes paralelas al eje z y y transversales,

E = Ez + Et ,

(5.38)

de modo que

Ez = E z ez

Et = (ez

× E) × e . z

(5.39)

Esto es interesante pues veremos a continuaci´ on que si se conocen las partes Ez on y Bz quedan determinadas las otras dos. De hecho, las ecuaciones de Maxwell (5.24)-( 5.24)-(5.25 5.25)) se pueden escribir en términos erminos de componentes transversas y longinotas EDC (v. 30/mayo/2005)

5–9

´ Cap´ıtulo 5. Ondas Ondas electr electroma omagn gneticas eticas tudinales. Toman entonces la forma ∂ z Et + iωez

t

=

∇t E z ,

t

=

∇t Bz ,

t

=

−∂ E ,

×B ∂ B − iµω e × E ∇ ·E z

t

z

t

z

iω B , (5.40) · × E ) = iωB e · (∇ × B ) = −iµωE , (5.41) ∇ · B = −∂ B (5.42)

ez (∇t z

z

t

t

t

z

t

t

z

z

z

Es evidente, a partir de las dos primeras primer as l´ l´ıneas inmediatamente inmediata mente anteriores que, si E z y Bz se conocen, las componentes transversas transversas quedan determinadas, determinadas, suponiendo las ecuaciones (5.36 (5.36). ). De hecho se deduce de (5.40 (5.40)-( )-(5.42 5.42)) que

Et = Bt

i

ω2 /c2 i = ω2 /c2

−k

2

−k

2

(k

∇ E − ω (e × ∇ )B ) t

z

z

ω k t Bz + 2 ( ez c

∇

t

(5.43)

z

× ∇ )E t

z



.

(5.44)

Para cambiar el sentido de la propagaci´ on basta con cambiar el signo de k. on Hay, Hay, en primer lugar, un tipo de soluci´ on on conocido como onda como onda transversal ´ electromagn etica etica (u onda TEM), caracterizada por tener los campos solo componentes transversas, o sea por E z = Bz = 0. En tal caso, se deduce de la segunda (5.40 (5.40)) y la primera (5.42 (5.42)) que el campo EEMT = E t obedece a ∇t

×E

TEM

= 0,

∇t

·E

TEM

= 0.

Estas son las ecuaciones del campo electrost´ atico en dos dimensiones. Ello tiene atico tres consecuencias. consecuencias. i) El número umero de ondas longitudinal es el mismo que en un medio infinito

√

k = k = k 0 = ω/c ω /c = = ω ω µ .

(5.45)

ii) El campo magnético etico correspondiente, c orrespondiente, deducido de d e la primera (5.41 (5.41), ), es

BTEM = — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

±√ µe × E z

TEM ,

(5.46)

seg´ un el sentido de propagaci´ un o n de las ondas. O sea que la relación on o n entre los campos eléctrico ectrico y magnético etico es la misma que en el caso de una onda plana que avanza seg´ un un el eje z . iii) Un modo mo do TEM no puede darse en un conductor conduc tor cil´ cil´ındrico hueco. La L a raz´ on es que, como es f´ acil demostrar, los dos campos de un modo TEM obedecen la acil ecuación on de Laplace en dos dimensiones ∆t ETEM = 0 5–10

∆tBTEM = 0 , notas EDC (v. 30/mayo/2005)

5.5. Modos transversales eléctricos y magnéticos y frecuencias m´ınimas y se pueden deducir de potenciales que obedecen la misma ecuaci´ on. Como un conductor en una superficie equipotencial, la uńica soluci´ on para el potencial en el interior de la gu´ıa es Φ = constante, que corresponde a campo eléctrico nulo. En cambio la solución es posible con varios conductores, pues cada uno puede estar a un potencial diferente, siendo no nulo el campo E. Veremos un ejemplo en el cable coaxial.

5.4.1.

Condiciones de contorno de los campos longitudinales

Necesitamos conocer las condiciones de contorno de los campos E z y B z en la superficie S , pues el procedimiento que seguimos es obtenerlos primero y deducir de ellos E t y Bt mediante (5.43)-(5.44). De (5.32) se sigue de modo evidente que la condición para E z es E z S = 0 . (5.47)

|

En el caso de Bz , tomamos la primera ecuaci´ on (5.41) multiplicada escalarmente por la normal a S n. Como Et es normal a S el segundo término del primer miembro se anula y, como Bt es paralelo a la superficie, se anula el primer término. Sólo queda n ∇t Bz = 0, o sea

·

∂B z ∂n



= 0.

(5.48)

S

Las ecuaciones (5.37) junto con las condiciones de contorno (5.47)-(5.48) plantean el problema de hallar las ondas en la gu´ıa.


Modos transversales el´ ectricos y magn´ eticos y frecuencias m´ınimas

Existen dos familias de soluciones ´ticas (TM): i) Ondas transversas magn e Bz = 0 en todo el interior y E z S = 0 en la superficie.

|

ćtricas (TE): ii) Ondas transversas el e E z = 0 en todo el interior y ∂ n Bz S = 0 en la superficie. Nó tese que ni el campo el´ ectrico es transversal en las ondas TM ni el campo magnético lo es en las ondas TE.

|


5–11

Cap´ıtulo 5. Ondas electromagn´ eticas Una propiedad importante es que el conjunto completo de ondas TE y TM, más las TEM si existen, constituyen un conjunto completo de soluciones para expresar cualquier onda electromagnética en la gu´ıa. Multiplicando vectorialmente por ez cada una de las las ecuaciones (5.43) y (5.44) y combin´ andola con la otra, se deduce que tanto las ondas TE como las TM cumplen 1 (5.49) Ht = ez Et , Z donde se usa el campo H en vez de B y la llamada impedancia de la onda vale

±

k k Z = = ω k0

×

  µ 

µω k0 = k k

Z =

(T M ) (5.50)

µ 

(T E )

con k0 dado más arriba. El signo depende del sentido de la propagaci´ on. Los campos transversales se determinan por los longitudinales seg´ un (5.43) y (5.44):

±

Ondas TM

Et =

± γ ik ∇ ψ

Ht =

± γ ik ∇ ψ

Ondas TE

t

2

t

2

siendo ψe ±ikz igual a E z (resp. H z ) para las ondas TM (resp. TE) y γ 2 = µω 2

−k

2

.

(5.51)

La funci´ on escalar cumple la ecuaci´ on de ondas bidimensional (∇2t + γ 2 )ψ = 0

(5.52)

y las condiciones de borde — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

ψ

|

S

= 0,

∂ψ ∂n



=0

(5.53)

S

Está claro que la constante γ 2 debe ser no negativa. Se tiene as´ı un problema de valores propios, dado por la ecuaci´ on de onda y las dos condiciones de contorno, que tiene un conjunto discreto de valores propios γ λ2 y de funciones propias ψλ , λ = 1, 2, 3, . . .. Dada una frecuencia ω el n´ umero de ondas toma un valor para cada λ kλ2 = µω 2 γ λ2 (5.54)

−

5–12


5.6. Cavidades resonantes

Figura 5.2: N´ umero de ondas kλ frente a ω en varios modos λ. lo que define una frecuencia de corte m´ınima (cut-off frequency ) ωλ =

√ γ µ λ

(5.55)

siendo el correspondiente n´ umero de ondas

√ k = µ λ

 − ω2

ωλ2

(5.56)

Para que sea real, es preciso que ω > ωλ . En tal caso las ondas se propagan en la gu´ıa. Nótese que para cada valor de λ hay uno de γ λ y una familia infinita dependiendo continuamente de kλ , con 0 < kλ / µω < 1 y un valor de ω dado por las ecuaciones anteriores

√

Nó tese que el n´ umero de ondas kλ es menor que el correspondiente valor en el espacio libre µ ω, por lo que las longitudes de onda son mayores que la del espacio libre. Por contra, la velocidad de fase v f es mayor que en el espacio libre, pues ω 1 1 1 vf = = > kλ µ 1 (ωλ /ω)2 µ

√


√

5.6.

 −

√

Cavidades resonantes

Una cavidad resonante es simplemente un volumen rodeado por una placa conductora. O sea el interior de un conductor, por ejemplo la cavidad en forma de paralelep´ıpedo de la secci´ on 5.3. Lo mismo que esa, cualquier otra tiene un notas EDC (v. 30/mayo/2005)

5–13

Cap´ıtulo 5. Ondas electromagn´ eticas conjunto discreto de frecuencias llamadas de resonancia , que pueden excitarse si la pared tiene un agujero que comunica a la cavidad con el exterior. Cada modo tiene una frecuencia y una forma del modo, dada ésta por un par de funciones vectoriales E(r, t), B(r, t). El conjunto de frecuencias y las formas de los modos se determinan al resolver un problema de valores propios: las ecuaciones de Maxwell en el interior, más las condiciones de contorno. N´ otese que la cavidad tiene un gran parecido con los sistemas oscilatorios mec´ anicos, como varios péndulos acoplados por ejemplo. Si las paredes estuvieran hechas de un conductor perfecto y la cavidad estuviese vac´ıa de materia, la energ´ıa contenida en el campo eb el interior se conservar´ıa, pues el vector de Pointing es siempre tangente a esas paredes. Pero, como ya se ha indicado, hay una capa fina bajo la superficie interior en la que entra el campo por el efecto pelicular (skin effect ). En esa capa hay una transferencia de energ´ıa del campo a las paredes, en forma de calor que se transmite por el conductor y sale fuera. También hay alguna inevitable pérdida en el dieléctrico interior, debida a la constante polarizaci´ on y despolarizaci´ on. Por ello la cantidad de energ´ıa almacenada en el interior de la cavidad disminuye. Una consecuencia de esos procesos es que la frecuencia ya no est´ a completamente definida (como una funci´ on delta) sino que hay una banda más o menos estrecha de frecuencias alrededor de un cierto valor ω0 . Para caracterizar la disipaci´ on de energ´ıa se define el factor Q o factor de calidad de la cavidad como 2π veces la energ´ıa almacenada dividida por la pérdida de energ´ıa por ciclo Energ´ıa almacenada Q = ω0 (5.57) Potencia perdida La potencia disipada es la tasa de variaci´ on de la energ´ıa almacenada U cambiada de signo, por lo que se puede escribir


dU = dt

− ωQ U, 0

⇒

U (t) = U 0 e−ω

0

t/Q

(5.58)

La energ´ıa decrece exponencialmente tanto m´ as despacio cuanto mayor sea el factor Q, lo que explica la razón de ser calificado como de calidad. La dependencia anterior del tiempo implica que los campos en la cavidad tienen la forma E (t) = E 0 e−ω

0

t/2Q −i(ω0 +∆ω)t

e

donde ∆ω es una imprecisi´ on de la frecuencia y E 0 , una funci´ on espacial. Usando 5–14



Figura 5.3: Forma de la resonancia. la transformaci´ on de Fourier se puede escribir 1 2π 1 2π

√

E (t) =

√

E (ω) =

∞

 

E (ω)e−iωt dt

−∞ ∞

E 0 e−ω

0

t/2Q i(ω−ω0 −∆ω)t

e

dt

(5.59)

0

Resolviendo la segunda integral, resulta

|E (ω)| ∝ (ω − ω − ∆ω)1 2

2

0

+ (ω0 /2Q)2

,

(5.60)

en forma de curva de resonancia. El m´ aximo está en ω0 + ∆ω. Se define como anchura de la resonancia a la anchura de la curva a la mitad de la altitud del máximo. Su valor es Γ = ω 0/Q. Por tanto, el factor Q vale Q = — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

ω0 Γ

(5.61)

Ejempl0 5.1: El cable coaxial Un cable coaxial consiste en un colindro conductor exterior y otro interior, entre los que hay un dieléctrico. Puede transmitir ondas TEM debido a que su frontera est´ a formada por dos conductores separados (es decir, sin contacto). Seg´ un se vio más arriba, en esas ondas se cumple

√

k = ω µ,

∆t ETEM = 0 ,


BTEM =

±√ µ e × E z

TEM

5–15

Cap´ıtulo 5. Ondas electromagn´ eticas

Figura 5.4: Secci´ on de un cable coaxial. Podemos resolver la ecuaci´ on de E, pero es preferible trabajar con un potencial en dos dimensiones φ(x, y), de modo que −i(ωt−kz)

∇ φ)e La ecuaci´ on de φ es la de Laplace en 2D ∇ φ = 0 que se escribe en coordenadas ETEM = (

t

2 t

polares



∂ 2 1 ∂ 1 ∂ 2 + + ∂ρ 2 ρ ∂ρ ρ2 ∂ϕ 2



φ(ρ, ϕ) = 0

Como el potencial es constante en cada uno de los dos conductores, φ(R1, ϕ) = φ 1 y φ(R2 , ϕ) = φ 2 , la solución es independiente del azimut ϕ, por lo que el potencial depende s´ olo de ρ y la ecuación se simplifica a — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

1 ∂ ρ ∂ρ

  ρ

∂ρ ∂phi

=0

cuya soluci´ on es φ = A log ρ + B, siendo A y B dos constantes de integraci´ on que se deducen de las condiciones de contorno A =

φ1 φ2 , log(R1 /R2)

−

B=

φ2 log R1 φ1 log R2 log(R1/R2 )

−

Es fácil comprobar que, si se quita el conductor interno, A se puede deducir de las condiciones de contorno en R1 , pero el potencial as´ı obtenido diverge en ρ = 0. 5–16



Figura 5.5: Figura Gu´ıa de ondas rectangular. La uńica soluci´ on posible es Φ = constante que corresponde a campo nulo, como cab´ıa esperar, ya que as´ı ocurre en las gu´ıas constituidas por un conductor hueco. Los campo eléctrico y magnético son En coordinadas cil´ındricas:

ETEM (ρ,ϕ,z,t) =

A −i(ωt−kz) eρ , e ρ

BTEM (ρ,ϕ,z,t) =

√ µ A e

−i(ωt−kz)

ρ

eϕ

En coordenadas cartesianas:

ETEM — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

√

A µ A −(iωt−kz) e e B = 2 (x + y ) e , = ( yex + xey ) e−i(ωt−kz) . x y TEM 2 2 2 x +y x +y

−

Ejemplo 5.2: Gu´ıa de ondas rectangular Sea una g´ıa de secci´ on rectangular de lados a y b y de caras paralelas al eje z (ver figura 5.5). Las condiciones de contorno n B = 0 y n E = 0 en las caras, equivalen a

·

×

E y = E z = B x = 0,

en x = 0, a

E x = E z = B y = 0,

en y = 0, b

Los campos son de la forma

E(x,y,z,t) = E(x, y) = ei(kz−ωt) , notas EDC (v. 30/mayo/2005)

B(x,y,z,t) = B (x, y) = ei(kz−ωt) 5–17

Cap´ıtulo 5. Ondas electromagn´ eticas y deben cumplir las ecuaciones de ondas



2

2

∂ ∂ + ∂x 2 ∂y 2

   E B

+

2

ω c2

−k

2

  E B

=0

Teniendo en cuenta las ecuaciones de Maxwell (5.24) y (5.25), se pueden buscar soluciones para E(x, y) y B(x, y) de la forma mπ nπ x sen y, a b mπ nπ = β sen x cos y, a b mπ nπ = γ sen x sen y, a b

E x = α cos E y E z

mπ nπ Bx = α  sen x cos y a b mπ nπ By = β  cos x sen y a b mπ nπ Bz = γ  cos x cos y a b

Sustituyendo en la ecuaci´ on de ondas, se obtiene ω2 mπ = c2 a

2

nπ + b

   

2

+ k2

Esto indica que para cada modo (m, n) hay una frecuencia m´ınima ωmin = ω mn = c

     mπ a

2

nπ b

+

2

Aplicando las ecuaciones de Maxwell, se llega a nπ iωα = γ ikβ , b mπ iωβ  = iαk γ , a mπ nπ iωγ  = β α , a b

− − −

−iµωα = γ nπb − iβ k −iµωβ = iα k + γ mπ a mπ −iµωγ = −β a + α nπb 











Un examen de estas condiciones lleva a las conclusiones siguientes.


i) Los modos TE corresponden a γ = 0 y los TM a γ  = 0. Si las dos se anulan, el campo es nulo, como cab´ıa esperar ya que las paredes forman un s´ olo cuerpo conductor y no hay modos TEM. ii) Los modos TE tienen uno de los enteros m, n igual a cero. O sea, corresponden bien a (m = 0 n = 0) bien a (m = 0, n = 0). Los modos TM tienen los dós enteros, o sea m = 0, n = 0)

 





Tomemos como ejemplo el modo (10) (o sea m = 1, n = 0), que es TE. Es fácil ver que E x = E z = 0 y E y = β sen 5–18

πx i(kz−ωt) β i[kz+(π/a)x−ωt] e = e a 2i



i[kz−(π/a)x−ωt]

−e



.


5.7. Ejercicios Además, By = 0, Bx , Bz = 0. Vemos que, como ocurre en los demás modos TE, el campo magnético no es transverso. El campo eléctrico es la superposici´ on de dos ondas con vectores de onda (π/a, 0, k) y ( π/a, 0, k) que representa una onda y sus reflexiones en las caras normales al eje x. El vector de Poynting de cada una de esas ondas est´ a en el plano xz y su ángulo con el eje x es ε = arctan [k/(π/a)]. Ello explica que la velocidad de grupo v g a lo largo de la gu´ıa sea menor que c, si bien la de fase vf es mayor. Se cumple, como en las demás gu´ıas



−

vf

·

c2 vg = = c  2 µr r

donde c  es la velocidad de la luz en el dieléctrico que llena la gu´ıa.

5.7.

Ejercicios

5.1 Hallar la ley de transformación de la densidad de energ´ıa de una onda electromagnética plana entre los sistemas de referencia S y S  , el segundo moviéndose con velocidad v a lo largo del eje com´ un x y admitiendo que los or´ıgenes coinciden en t = 0. 5.2 Sea la reflexión de una onda plana en un plano conductor, al que llega con ańgulo de incidencia θ, en el caso de polarizaci´ o n de la onda paralela a la superficie. a) Analizar la onda estacionaria resultante, comprobando que se puede introducir otro plano conductor a cierta ditancia del primero sin perturbar la configuración de los campos. Estudiar, comparando con una gu´ıa rectangular, las caracter´ısticas del sistema de transmisi´ on as´ı formado. ¿Puede propagarse en tal sistema un modo TEM?


b) Las superficies conductoras formadas por el l´ımite de la ionosfera a la altura h 100 km y la superficie de la Tierra pueden considerarse como un sistema de láminas paralelas. ¿Cuáles son los modos más bajos que puede propagar esa “gu´ıa” y cuales son sus frecuencias de corte?



unel se comporta como una gu´ıa de ondas. En el caso de uno de 5.3 Un t´ sección rectangular con dimensiones a y b: a) Hallar el rango de frecuencias para las que se propaga s´ olo el modo fundamental. b) Explicar por qué las se˜ nales de radio de AM se recibenpeor dentro del t´ unel que las de FM. notas EDC (v. 30/mayo/2005)

5–19

Cap´ıtulo 5. Ondas electromagn´ eticas on cuadrada de lado a y paredes perfecta5.4 En una gu´ıa de ondas de secci´ mente conductoras, se propaga un campo electromagnético cuyo campo eléctrico vale 2πx a 2πx = E 0y sen a 2πx = E 0z sen a

E x = E 0x cos E y E z

            2πy a 2πy cos a 2πy sen a

sen

ei(kz−ωt) , ei(kz−ωt) , ei(kz−ωt) .

a) ¿Qué relaci´ on debe haber entre E x , E y , E z para que sea un modo TM puro? Identificar tal modo y calcular la frecuencia f 0 a la que deja de propagarse. b) ¿Qué otros modos pueden propagarse con frecuencia por encima de f 0 ? c) Calcular la densidad de energ´ıa electromagnética por unidad de longitud de la gu´ıa, promediada en el tiempo.

5.5 Estudiar las constantes de corte y los modos de propagaci´ on en una gu´ıa de secci´ on circular de radio a (sugerencia: revisar el método de separaci´ on de variables en coordenadas cil´ındricas para el operador de Laplace en geometr´ıas circulares). Hallar la expresi´ on de las velocidades de fase y de grupo en funci´ on de la frecuencia para los modos TE11 , TM01 y TE01 en una gu´ıa cil´ındrica de radio 1 cm. Dibujar un esquema de las configuraciones de campos en esos modos en los planos xy y xz . 5.6∗ Sea una gu´ıa de ondas rectangular, con dimensiones a = 2 cm, b = 1 cm, transmitiendo una onda en el modo fundamental. a) Hallar las velocidades de fase y de grupo en funci´ on de la frecuencia. b) Calcular la potencia media m´ axima que puede transmitir la gu´ıa a 10 GHz (el campo el´ ectrico de ruptura en el aire es de 30 kV/cm).


5–20


Cap´ıtulo 6 Radiaci´ on de part´ıculas cargadas 6.1.

Soluci´ on de la ecuaci´ on de ondas en forma covariante. Funciones de Green

Nos interesa ahora estudiar las soluciones de la ecuaci´ o n de ondas para el campo electromagnético en presencia de una corriente (o fuente) exterior J β (x). El segundo par se escribe ∂ α F αβ = µ 0 J β . Teniendo en cuenta que F µν = ∂ µ Aν β

A

ν

(6.1)

µ

− ∂ A , resulta

β

α

β

− ∂ (∂ A ) = µ J α

0

.

(6.2)

Eligiendo los potenciales de modo que satisfagan la condici´ on de Lorenz1 ∂ α Aα = 0, con lo que la ecuaci´ on se simplifica a A


β

= µ0 J β .

(6.3)

Un método para resolver esta ecuaci´ on es el de las funciones de Green. Sea D(x, x ) esa tal funci´ on, de modo que x D(x, x



) = δ (4) (x



− x ),

(6.4)

donde δ (4) (x



 0

(3)

− x ) = δ (x − x ) δ 0

(r



−r)

1

No de Hendrik Anton Lorentz, el de las transformaciones, sino del f´ısico dan´ es Ludvig V. Lorenz quien la propuso en 1867, ver Jackson, p. 294.


6–1

´ n de part´ıculas cargadas Cap´ıtulo 6. Radiacio Si tomamos todo el espacio, sin superficies de frontera (donde se podr´ıan inducir cargas), la funci´ on de Green s´ olo puede depender de la diferencia z α = x α x α . O sea que D(x, x ) = D(x x ) = D(z ), por lo que

−

−

= δ (4) (z ) .

z D(z )

(6.5)

Nótese que las dimensiones de la delta en cuatro dimensiones son L −4 , por tanto las de la funci´ on de Green son las de un a´rea inversa [D] = L −2 . Una vex conocida la función de Green, una soluci´ o n de (6.3) ser´ a Aβ (x) = A  β (x) +



D(x



β



4 

− x )µ J (x ) d x , 0

(6.6)

donde A  β (x) es una soluci´ on de la ecuaci´ on homogénea. Para obtener la funci´ on de Green, podemos usar el método de la transformaci´ on de Fourier, de modo que 1 D(z ) = (2π)4



˜ d4 k D(k) e−ik·z ,

(6.7)

˜ = L2 . Tomemos la siendo k z = k0 z 0 k z. Respecto a las dimensiones [D] representaci´ on de Fourier de la delta

·

− ·

1 δ (4)(z ) = (2π)4



d4 k e−ik·z ,

con lo que, tras sustituir en la ecuación (6.5), resulta ˜ D(k) = con k k = k 02

·

2

(6.8)

− κ . Resulta as´ı D(z ) =


− k 1· k ,

−

1 (2π)4



e−ik·z dk k k 4

·

(6.9)

Esta integral puede calcularse en el campo complejo, usando el método de Cauchy, pero hay que tener cuidado por tener singularidades el integrando. Integremos primero en k0 , con lo que D(z ) =

−

1 (2π)4



3

ik·z

d ke

∞

e−ik z dk0 2 , 2 k κ −∞ 0



0

0

−

donde κ = k . Para dar sentido a esta integral, necesitamos decir c´ omo se trata los polos (ver figura). Consideremos primero la l´ınea r, que puede cerrarse mediante un semic´ırculo de radio R , por arriba o por abajo. Si z 0 < 0, la exponencial del integrando tiende a + por abajo, luego hay que cerrar por arriba. Como

||

→∞ ∞

6–2


6.1. Soluci´ on de la ecuaci´ on de ondas en forma covariante. Funciones de Green no hay polos dentro del circuito de integraci´ on, la integral se anula entonces. Si z 0 > 0, ocurre al revés, hay que cerrar por abajo, aplicando la f´ ormula de Cauchy, de modo que e−ik z dk0 2 = 2 k κ r 0



0

0

−

e−ik z 2πi = 2 2 k κ Residuos 0 0



−

La funci´ on de Green es, por tanto, θ(z 0 ) Dr (z ) = (2π)3



0

−

d3 k eik·z

− 2πκ sen(κz ) 0

sen(κz 0 ) , κ

siendo θ la función escal´ on de Heaviside. Nótese que sus dimensiones son las de una a´rea inversa, o sea [Dr ] = L −2. Escribiendo en la exponencial k z = κz cos θ e integrando en los ańgulos, resulta

·

θ(z 0 ) Dr (z ) = 2 2π R

∞



dκ sen(κR) sen(κz 0 )

0

con R = z = r r la distancia espacial entre el punto de fuente y el de observation. Escribiendo los senos en forma exponencial y haciendo alg´ un cambio de variable, eso resulta ser igual a

||

| − |

θ(z 0 ) Dz = 2 8π R

∞

 

dκ eiκ(z

0

−R)

−∞

iκ(z0 +R)

−e



.

La segunda integral es cero pues, como z 0 > 0, z 0 + R > 0. La primera es una delta de Dirac, o sea θ(x0 x0 ) Dr (x x ) = δ (x0 x0 R) 4πR θ(x0 x0 ) R = δ (t0 t0 ) 4πRc c Usando la l´ınea a y procediendo del mismo modo, se obtiene

−

Da(x — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

−

− −



− − − −

θ(x0 x0 ) x) = δ (x0 4πR θ(x0 x0 ) = δ (t0 4πRc

− −



(6.10)

 0

− x + R) − t + Rc )  0

(6.11)

Estas dos funciones se llaman funci´ on de Green retardada y funci´ on de Green avanzada , respectivamente. Se cumple la siguiente identidad δ [(x

 2

−x) ]

 2 0  0

= =


 2

− x ) − |r − r | ] δ [(x − x − R)(x − x + R)] 1 [δ (x − x − R) + δ (x − x + R)] . 2R

= δ [(x0 0

0

0

 0

 0

0

 0

6–3

´ n de part´ıculas cargadas Cap´ıtulo 6. Radiacio

Figura 6.1: Camino r, por encima de los polos en pasa por debajo de esos polos.

±κ en el plano k . El camino a 0

Con lo que las dos funciones de Green se pueden escribir en la forma Dr (x



−x)

=

1 θ(x0 2π

 0

 2

− x ) δ [(x − x ) ] (6.12)

1 θ(x0 x0 ) δ [(x x )2 ] 2π Estas son dos expresiones invariantes Lorentz, si se toma s´ olo el grupo propio, o sea el que no incluye inversines temporales. Usando la ecuaci´ on (6.6), cada solución de la ecuación de ondas (6.3)(segundo par) puede escribirse en términos de las dos funciones de Green, de dos maneras distintas Da (x



−x)

=

Aβ (x) = Aβ in (x) + µ0 — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

Aβ (x) = Aβ out (x)+ µ0

−

 

Dr (x

−



β



4 

(6.13)



β



4 

(6.14)

− x )J (x ) d x , D (x − x )J (x ) d x , a

β donde Aβ eneas (o sea in (x) y Aout (x) son dos soluciones de las ecuaciones homog´ del segundo par de Maxwell si fuentes).

En la primera de esas dos ecuaciones, la integral se anula en el l´ımite x0 , pues la función de Green en el integrabdo es la retardada. Por ello el potencial Aβ in (x) se debe interpretar como el potencial “entrante” o “incidente”, cuando x 0 . Por la misma regla de tres, A out(x) es el potencial saliente, en x0 + .

→ −∞

→ −∞ → ∞

6–4


6.2. Los potenciales y los campos de Liénard-Wiechert de una carga puntual Desde el pasado remoto al futuro remoto, se habr´ a producido un cambio, que es “la radiaci´ on” cuyo valor es la diferencia entre los potenciales saliente y entrante. Su expresi´ on es Aβ rad (x)

= A β out (x)

−

Aβ in (x)

= µ 0



D(x



β



4 

− x )J (x ) d x ,

(6.15)

siendo D(z ) = D r (z )

− D (z ) a

es la diferencia entre las funciones de Green retardada y avanzada. Conviene saber c´ omo expresar las densidades de carga y de corriente para una part´ıcula cargada puntual, tal un electr´ on. Recordemos que el cuadrivector corriente es j α = (cρ , j). Si su posición y su velocidad son r(t), v(t) = r˙ (t), esas dos cantidades valen ρ(x, t) = eδ [x

− r(t)] ,

j(x, t) = ev(t)δ [x

− r(t)] .

La forma manifiestamente covariante de esas magnitudes es j α = euα , donde uα es la cuadrivelocidad. Usaremos una forma algo m´ as complicada, lo que se justificará en los desarrollos que vienen. Sea r α(τ ) la trayectoria del electr´ on como función de su tiempo propio τ en el espacio-tiempo. Tomaremos como expresi´ on de la cuadricorriente J α (x) = e



dτ uα (τ ) δ (4)[x

− r(τ )] .

(6.16)

En un sistema inercial, se tiene uα = (γc,γ v) y rα = [ct, r(t)]. Estas expresiones deben usarse en las ecuaciones (6.13), (6.14) y (6.15) para obtener los potenciales correspondientes Aβ (x).


6.2.

Los potenciales y los campos de Li´ enardWiechert de una carga puntual

6.2.1.

C´ alculo de los potenciales.

Consideremos el caso del potencial creado por una carga puntual que sigue una trayectoria r = r (τ ). En tal caso hay que usar (6.13) con Aµin = 0, de modo que Aα (x) = µ0 notas EDC (v. 30/mayo/2005)



Dr (x



α



4 

− x )J (x ) d x ,

(6.17) 6–5

´ n de part´ıculas cargadas Cap´ıtulo 6. Radiacio donde J α (x) = e



dτ uα (τ ) δ (4) [x

− r(τ )] .

(6.18)

Insertando (6.18) en (6.17) y usando la expresión de la funci´ on de Green (6.12), resulta eµ0 Aα = uα (τ ) δ (4) [x r(τ )] θ[x0 x0 ] δ [x x ]2 dτ d 4 x . (6.19) 2π



−

−

{ − }

Integrando primero en x , se obtiene fácilmente eµ0 Aα = 2π



uα (τ ) θ[x0

2

− r (τ )] δ {[x − r(τ )] } dτ . 0

(6.20)

A esta u ´ ltima integral s´ olo contribuye el punto con τ = τ 0 , definido por las condiciones de retardo [x

2

− r(τ )]

= 0,

(6.21)

x0 > r0 (τ 0 ) .

En la figura se indica el significado de estas condiciones. Vemos que τ 0 corresponde al punto en que el cono de luz del pasado del punto de observaci´ o n corta a la trayectoria de la part´ıcula cargada. Una propiedad de la función delta que necesitamos ahora es la siguiente (siendo τ una variable real, coordenada en R1 ). Haciendo un cambio de variable, se comprueba f´ acilmente que δ (aτ ) = δ (τ )/ a . Por el mismo procedimiento se sigue que δ (τ τ k ) δ [f (τ )] = , (df /dx) τ =τ k

||



−

|

|

k

donde τ k son los ceros de f (τ ), es decir f (τ k ) = 0. En el caso de la integral (6.20), f (τ ) = [x r(τ )]2 , que sólo tiene un cero y cuya derivada es

−

d [x r(τ )]2 = 2 [x dτ Sustituyendo en (6.20), resulta — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

α

− − r(τ )] · u(τ ) = −2 [x − r(τ )] u (τ ) .

−

α

µ0 e uα (τ ) A (x) = 4π u [x r(τ )] α

· −



,

(6.22)

τ =τ



donde τ  es el tiempo retardado. Esta es la solci´ on buscada. Conviene escribirla en la forma no covariante para compararla con la expresi´ o n más conocida. Para ello, desarrollemos el denominador u [x

· − r(τ )]

= u0 [x0 = =

6–6

− r (τ )] − u · [x − r(τ )] γcR − γ v · nR γcR(1 − β · n) , 0

(6.23)


6.2. Los potenciales y los campos de Liénard-Wiechert de una carga puntual donde n es un vector unitario en la direcci´ on de x r(τ ) y β = v (τ )/c. Se consigue as´ı expresar los potenciales en la forma

−



1 e Φ(x, t) = 4π0 R(1 β n)

− ·



, ret



µ0 ev A = 4π R(1 β n)

− ·



.

(6.24)

ret

El sub´ındice “ret”significa que la cantidad entre parèntesis debe evaluarse en el tiempo retardado, que se determina por la condici´ on r 0 (τ 0 ) = x 0 R. Nótese que si la carga que crea el campo se mueve despacio, o sea β 1, esas expresiones coinciden con los potenciales ya concidos en la teor´ıa no relativista, en orden cero en β , es decir que se reducen a

−



Φ(x, t) =

1 4π 0 x

| −

e , x (t)

|

A(x, t) =

µ0 ev , 4π x x (t)

| −

|

(6.25)

siendo x el punto de observaci´ on y x  aquel en que se halla la carga en el tiempo retardado t .

6.2.2.

C´ alculo de los campos el´ ectrico y magn´ etico.

El tensor electromagnético F µν puede calcularse como ∂ µ Aν ∂ ν Aµ usando (6.22). Sin embargo, es algo más facil hacerlo derivando la integral en (6.20). Al derivar respecto a las coordenadas del punto de observaci´ on x, se opera sobre las funciones theta y delta. La primera no contribuye pues la derivada respecto a x 0 de la función theta da δ (x0 r0(τ ), lo que transforma a la función delta al valor δ ( R2 ), que sólo contribuye si R = 0, es decir si la carga pasa exactamente por el punto de observaci´ on. Excluyendo esa posibilidad, podemos prescindir de las derivadas de la funci´ on escal´ on. Haciéndolo as´ı, se tiene

−

−

−

eµ0 ∂ α Aβ = 2π



uβ (τ ) θ[x0

α

2

− r (τ )] ∂ δ {[x − r(τ )] } dτ . 0

Para calcular la derivada de la funci´ on delta, se procede as´ı (con f = [x — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

∂ α δ [f ] = ∂ α f

(6.26) 2

− r(τ )] ):

d dτ d δ [f ] = ∂ α f δ [f ] , df df dτ

Como dτ/df = (df /dτ )−1 , se sigue α

∂ δ [f ] =

(x r)α d δ [f ] . [x r] u dτ

− −− ·

Sustituyendo en (6.26), resulta e µ0 ∂ A = 2π α

β



β

dτ u (τ ) θ[x0


−

(x r)α d r0 (τ )] ( ) δ [f ] . [x r] u dτ

− −− ·

(6.27) 6–7

´ n de part´ıculas cargadas Cap´ıtulo 6. Radiacio Si integramos por partes, resulta α

β

∂ A

=

−

e µ0 (x r)α β δ [f ] u θ[x0 2π [x r] u

− − ·

e µ0 + 2π

 

d (x dτ dτ [x

α β

− r) u − r] · u



− r (τ )] 0



θ[x0

∞ −∞

(6.28) 2

− r (τ )] δ {[x − r(τ )] } . 0

Es fácil ver que la parte integrada (es decir, la primera l´ınea) se anula, pues la delta es cero en los tiempos . Queda la segunda, que tiene la misma forma que la ecuaci´ on (6.20) con la velocidad u α sustituida por la derivada del término entre paréntesis cuadrados. Realizando el mismo c´ alculo con intercambio de α y β , restando y teniendo en cuenta lo anterior, se llega a

±∞

e µ0 1 F αβ = 2π u (x

· −



d (x r) dτ

α β

β α

− r) u − (x − r) u ) u · (x − r)



.

(6.29)

ret

Esta expresi´ on es manifiestamente covariante, pero no es muy expresiva. Lo que nos gustar´ıa es hallar los campos E y B en función de β , β˙ , x, r(τ ). Para conseguirlo, hay que utilizar las relaciones, fácilmente comprobables (x

α

− r)

= (R, Rn),

u = (γc,γcβ ),

duα d duα 4 2 ˙ 4 2 ˙ ˙ β β β β β β = [cγ , cγ + cγ ( )], [u (x r)] = c + (x r)α , dτ dτ dτ donde β˙ es la aceleración ordinaria dividida por c. Sustituyendo en (6.29) se obtiene

·

E(x, t) =


·

e 4π0

1 B = [ n c



· −

n

−β γ (1 − β · n) R 2

× E]

3

ret

2



+ ret

e 4π0 c



−

n

−

× [(n − β) × (1 − β · n) R 3

β˙ ]



ret

(6.30)

Campos de velocidad y aceleraci´ on, campos pr´ oximos y lejanos Los campos eléctrico y magnético anteriores son la suma de dos términos. El primero depende de la posici´ on y la velocidad de la carga pero no de la aceleraci´ on. Además decae en el infinito como 1/R2 . Está siempre ligado a la carga. El segundo depende de la aceleraci´ o n y decae m´ as despacio, como 1/r. Cobra ”vida propia”pues se separa de la carga: es la radiaci´ on . Se anula si β˙ = 0. Si, además, β 0 el campo eléctrico tiene a la ley de Coulomb. El primer término se suele llamar campo de velocidad o campo pr´ oximo; el segundo campo de aceleraci´ on o campo lejano.

→

6–8


6.2. Los potenciales y los campos de Liénard-Wiechert de una carga puntual

Figura 6.2: Posición presente y retardada de una carga en movimiento uniforme.

6.2.3.

Campos de una carga en movimiento uniforme

En el cap´ıtulo 3 se obtuvo la expresi´ on del campo eléctrico de una part´ıcula en movimiento uniforme con velocidad v = β c. Como vimos, vale 1 q r E = , (6.31) 4π0 r 3 γ 2 (1 β 2 sen2 ψ)3/2 siendo ψ el ańgulo formado por la velocidad y el radio vector. A primera vista es algo muy distinto del primer término de (6.30), pero se puede mostrar que son iguales. En la figura, O es el punto de observari´ on y P  , P son las posiciones retardada y actual de la carga e. La longitud P  Q es igual a v R/c = β R y (P M ) = vt, suponiendo que la carga pasa a la m´ınima distancia de P en el tiempo inicial.

−

| |

Por tanto (OQ) = βR cos θ = β nR y (P Q) = R(1 β n). Comparando los triángulos OP Q y P P  Q, se tiene [(1 β n)R]2 = r 2 (P Q)2 = r 2 β 2 R2 sen2 θ. Además, R sen θ = b, de modo que

·


[(1

2

− β · n)R]

− ·

= b 2 + v 2t2

−

2 2 −2

− β b γ

− ·

−

(b2 + γ 2 v 2 t2 ) .

En la ecuaci´ on (3.52) del cap´ıtulo 3, se ve que la componente transversa E y vale eγb , (b2 + γv 2 t2)3/2 que se puede escribir, en términos de la posici´ on retardada, como E y =

E y = notas EDC (v. 30/mayo/2005)



eb γ 2 (1

3

− β · n) R

3



,

(6.32)

ret

6–9

´ n de part´ıculas cargadas Cap´ıtulo 6. Radiacio que coincide con la expresi´ on de la componente transversal del campo eléctrico pró ximo en (6.30). Las otras componentes se obtienen de la misma manera. O sea que las expresiones (6.30) y (6.31) para el campo el´ ectrico sin aceleraci´ on coinciden, como cab´ıa esperar.

6.3.

Radiaci´ on de una carga acelerada. F´ ormula de Larmor

Consideremos a una carga acelerada en un sistema de referencia en el que su velocidad es peque˜ na, lo que incluye casos de gran interés. En tal caso, el campo eléctrico se reduce al de aceleraci´ on con β = 0, o sea a

Ea (x, t) = Cómo B = n

e 4π 0c



n

× [n ×

β˙ ]

R



.

ret

× E/c, el vector de Poynting vale 1 1 1 S = E × B = E × (n × E) = |E | n µ µc µc 0

(6.33)

0

a

0

2

(6.34)

donde se ha usado la identidad a b c = (a c)b (a b)c y la relación E n = 0.

× ×

·

− ·

·

Se sigue que la potencia radiada por unidad de ańgulo s´ olido vale dP 1 1 = REa 2 = dΩ µ0 c µ0 c

|

|

2

 |× e 4π0 c

n

[n

× β˙ ]|

(6.35)

(6.36)

2

If Θ is the angle between the acceleration v˙ and n, then dP e2 v˙ 2 = sen2 Θ , 2 3 dΩ (4π) 0 c


donde se ha usado la igualdad 0µ0 c2 = 1. La potencia radiada total se obtiene integrando la expresi´ on anterior en la esfera unidad. El valor medio de sen2 Θ vale 2/3, con lo que la potencia total es 2 e2 v˙ 2 P = , 3 4π0 c3

(6.37)

que es la conocida f´ ormula de Larmor . En unidades gaussianas toma la forma, más usada, 2 q 2 2 v˙ , P = 3 c3 siendo q 2 = e 2 /4π 0. 6–10


6.3. Radiaci´ on de una carga acelerada. F´ ormula de Larmor

Figura 6.3: Distribuci´ on angular de la potencia radiada por una part´ıcula de baja velocidad. Los dos l´ obulos tienen forma circular e indican las l´ıneas de intensidad igual de los campos eléctrico y magnético y el vector de Poynting. La distribuci´ on tiene simetr´ıa cil´ındrica en torno a la aceleraci´ on v˙ (la flecha). La fórmula (6.36) dice que, en el caso de peque˜ na velocidad, la distribuci´ on angular de la potencia radiada es proporcional a sen2 Θ, lo que significa que la part´ıcula radia de manera tranvesal a la aceleraci´ on, con el máximo en el plano perpendicular a ella seg´ un se indica en la figura.

6.3.1.


F´ ormula relativista de Larmor

La fórmula de Larmor anteriormente hallada supone que la velocidad de la carga es peque˜ na, lo que limita su campo de aplicación. Conviene generalizarla para velocidad arbitraria, lo que es posible hacer usando argumentos de covariancia Lorentz. Para ello busquemos una expresi´ on que sea invariante Lorentz y se reduzca a (6.37) cuando β 0. Se puede demostrar que el resultado es uńico2 . La fórmula de Larmor se puede escribir

→

2 q 2 P = 3 m2 c3



dp dp dt dt



d pµ d pµ dτ dτ

·



,

(6.38)

siendo m y p la masa y el momento lineal de la carga. Recordemos que q 2 = e2 /4π0 . La generalizaci´ on invariante Lorentz es P = 2

−

2 q 2 3 m2 c3

·



,

(6.39)

Ver Rohrlich, p. 109 y Jackson, p. 666.


6–11

´ n de part´ıculas cargadas Cap´ıtulo 6. Radiacio donde dτ = dt/γ es el tiempo propio y pµ es el cuadivector energ´ıa-momento. El producto de cuadrivectores en esta ecuaci´ on se puede escribir como

− donde

d pµ d pµ = dτ dτ

·

2

E = γmc

2

2

2

2

  −  E    −   dp dτ

1 c2

d dτ

dp dτ

=

2

β

d p dτ

,

(6.40)

y p = γmv. Eso conduce de inmediato a 2 q 2 6 ˙ 2 P = γ [β 3 c

− (β × β˙ ) ] . 2

(6.41)

Esta es la fórmula relativista de Larmor, v´ alida para cualquier velocidad.

6.4.

Reacci´ on a la radiaci´ on. Radiaci´ on del sincrotr´ on.

La radiaci´ on representa una pérdida de energ´ıa que hay que tener en cuenta al calcular los movimientos de part´ıculas cargadas en campos electromagnéticos. También es algo as´ı como los gases que salen de un cohete, algo as´ı como un motor puesto al revés en un avi´ on que interviene como una fuerza que hay que tener en cuenta, llamada reacci´ on a la radiaci´ on . Es un problema muy importante para los dise˜ nadores de aceleradores de part´ıculas. Los campos eléctrico y magnético est´ an dados por (6.30), es decir,

E =

e 4π 0c



n

× [(n − β) × (1 − β · n) R 3

β˙ ]



1 B = [ n c

,

ret

× E] .

La componente radial del vector de Poynting vale


q 2 [S n]ret = 4πc

·

 

 

1 n [(n β) β˙ ] R2 (1 β n)3

× − × − ·

   2

(6.42) ret

Como se ve, hay dos tipos de efectos relativistas: uno se debe a la relaci´ on entre la velocidad y la aceleraci´ on y determina la forma de la distribuci´ on angular de la energ´ıa radiada; el otro es el debido a la dependencia de β del denominador. Conviene usar el tiempo retardado t = t R(t )/c que es el propio de la carga. Para calcular la energ´ıa radiada entre t = T 1 y t = T 2 es

−

T 2 +[R(T 2 )/c]

E =



T 1 +[R(T 1 )/c]

6–12

T 2

[S n]ret dt =

·



T 1

(S n)

·

dt  dt . dt

(6.43)


6.4. Reacci´ on a la radiaci´ on. Radiaci´ on del sincrotr´ on. La energ´ıa radiada por unidad de angulo ´ s´ olido y de tiempo propio de la carga debe ser pues dP (t ) dt = R 2 (S n)  = R 2 S n (1 dΩ dt

·

·

− β · n) .

(6.44)

Tomando el valor (6.42) para la componente radial del vector de Poynting, resulta dP (t ) q 2 n [(n β) β˙ 2 = . dΩ 4πc (1 β n)5

| × − × | − ·

6.4.1.

(6.45)

Caso de aceleraci´ on lineal,

o sea, de aceleraci´ o n paralela o antiparalela a la velocidad. En ese caso la componente radial de S vale q 2 [S n]ret = 4πc

·

 

 

1 n [n β˙ ] R2 (1 β n)3

× × − ·

   2

(6.46)

ret

Teniendo en cuenta que β n = v cos θ y n (n v˙ ) 2 = v˙ 2 sen2 θ (donde θ es el ángulo entre la l´ınea desde la carga al punto de observaci´ on y la velocidad (o sea entre x r(t ) y v), resulta para la distribuci´ on angular de la radiaci´ on

·

| × × |

−

dP (t ) = dΩ

q 2 4πc 3

 

v˙ 2 sen2 θ , [1 (v/c)cos θ]5

−

(6.47)

siendo θ el ańgulo que forma la direcci´ on hacia el punto de observaci´ o n con la del vector velocidad. Si β 0, la expresi´ o n anterior tiende a la f´ ormula de Larmor, de modo que la radiaci´ on se emite transversalmente. En el caso opuesto de alta velocidad (también llamado ultrarrelativista ), β 1, la radiación sale hacia adelante, concentr´ andose en dos l´ obulos alrededor de la velocidad, de modo que el ángulo que forman con ella decrece al crecer v, haciéndose cero en el l´ımite β = 1. La potencia radiada crece con la velocidad y con la aceleraci´ on. El ángulo θmax para el que la intensidad es m´ aximo se obtiene hallando el m´ aximo de la expresión (6.47), o sea

→

→


2

0=

d sen θ , dθ (1 β cos θ)5

−

⇒ cos θ

max

=

 

1+

15β 2 3β

 − 1

→ 1 − 8γ 1 , 2

donde el l´ımite corresponde a β 1, hasta segundo orden en 1/γ . Por tanto al alta velocidad θmax = 1/2γ . Es fácil comprobar que en el l´ımite β 1, la intensidad de la radiaci´ o n en ese m´ aximo es proporcional a γ 8. Teniendo en cuenta que

→


→

6–13


Figura 6.4: Distribuci´ on angular de la potencia radiada por una part´ıcula de alta velocidad, cuando es paralela (o antiparalela) a la aceleraci´ o n . Los dos lóbulos indican adem´ as las l´ıneas de intensidad igual de los campos eléctrico y magnético y el vector de Poynting. La distribuci´ on tiene simetr´ıa cil´ındrica en torno a la velocidad (o a la aceleraci´ on). β 1 1/2γ 2 en ese l´ımite, la ecuaci´ on (6.47) se puede escribir para ańgulos peque˜ nos en la forma aproximada

 −

dP (t ) dΩ



8 q 2 v˙ 2 8 (γθ)2 γ , π c3 (1 + γ 2 θ2 )5

(6.48)

que aparece representada en la figura. N´ otese que hay un pico en γθ = 1/2, con las semialturas en γθ = 0,23 y γθ = 0,91. Es fácil comprobar que la media cuadr´ atica del ańgulo vale 1 mc2 2 1/2 θ = = . γ

 

E

Nótese que, integrando es ta u´ltima ecuaci´ on se obtiene 2 q 2 2 6 P (t ) = ˙v γ , 3 c3 


que coincide con (6.41) para velocidad y aceleraci´ on paralelas. Como vemos, la radiación debe producir un frenado. Se conoce como bremsstrahlung , palabra alemana que significa radiaci´ on de frenado (de Bremsung , deceleraci´ on, y Strahlung , radiaci´ on). Ocurre cuando un chorro de electrones se frena al atravesar un medio material. Es un fenómeno muy importante. En un acelerador lineal, el movimiento es unidimensional. De la ecuaci´ on (6.40) se sigue que 2 2 q 2 d p P = . (6.49) 3 m2 c3 dt

 

6–14


6.4. Reacci´ on a la radiaci´ on. Radiaci´ on del sincrotr´ on.

Figura 6.5: Distribuci´ on angular de la radiaci´ on para una part´ıcula muy relativista. Como la tasa de cambio temporal del momento lineal es igual al cambio de la energ´ıa de la partr´ıcula por unidad de longitud, resulta 2 q 2 P = 3 m2 c3

2

 E  d dx

,

(6.50)

de modo que, en el caso de movimiento lineal, la potencia radiada depende de las fuerzas aplicadas que determinan la variaci´ on de la energ´ıa por unidad de longitud y no de la energ´ıa misma. El cociente de la potencia radiada a la potencia suministrada por las fuerzas exteriores es, P 2 q 2 1 d = , (d /dx) 3 m2 c3 v dx

E

E

(6.51)

(6.52)

que en el l´ımite de alta velocidad (β

→ 1), da


P (d /dx)

E

→

2 q 2 /mc2 d . 3 mc2 dx

E

La ecuaci´ on anterior muestra que, en un acelerador lineal, la pérdida de energ´ıa por radiaci´ o n sólo es importante si el aumento de la energ´ıa es del orden de mc2 = 0,511 MeV en la distancia q 2 /mc2 = 2,82 10−15 m, es decir si d /dx 2 1014 MeV/m. En un acelerador lineal la ganancia en energ´ıa debida a los campos exteriores a la part´ıcula suele ser del orden de 50MeV/m. Por tanto la radiaci´ on de la part´ıcula (o sea la reacci´ on de la radiaci´ on ) es muy poco importante en los aceleradores lineales. Se puede despreciar.

×


E  ×

6–15


Figura 6.6: Caso de una part´ıcula en movimiento circular

6.4.2.

Caso de la aceleraci´ on centr´ıpeta en un movimiento circular.

Supongamos una carga puntual movi´ endose a lo largo de una circunferencia. Tomando un sistema de coordenadas con el eje z seg´ un la dirección de v y el eje x seg´ u n la de v˙ , y con los ángulos polar y azimutal seg´ un se indica en la figura, la expresión (6.45) resulta ser igual a dP (t ) q 2 = dΩ 4πc3 (1

−

v˙ 2 1 β cos θ)3

−

sen2 θ cos2 φ . γ 2 (1 β cos θ)2



−

(6.53)

En el caso de una carga muy relativista encontramos de nuevo un pico pronunciado hacia delante. Si γ 1 y siguiendo un proceso an´ alogo al que llevó a (6.48), la distribución angular anterior puede aproximarse como




dP (t ) dΩ



v˙ 2 2 q 2 6 γ 1 π c3 (1 + γ 2 θ2 )3

−

4γ 2 θ2 cos2 φ . (1 + γ 2 θ2 )2



(6.54)

La media cuadr´ atica del ańgulo θ2 1/2 vale lo mismo que en el caso de la aceleración longitudinal. La potencia radiada total se obtiene integrando (6.53) y resulta 2 e2 2 4  P (t ) = (6.55) v˙ γ . 3 c3 Nótese que, como en un movimiento circular de radio  se cumple v˙ = v 2 /, la intensidad de la radiaci´ on es proporcional a la cuarta potencia de la velocidad e inversamente proporcional al cuadrado del radio.

 

| |

6–16


6.5. Ejercicios Teniendo en cuenta que la fuerza, es decir la magnitud del cambio de momento lineal, es en el movimiento circular igual a γmv, ˙ la ecuación (6.55) puede escribirse como 2 q 2 2 dp 2  P circular (t ) = γ , (6.56) 3 m2 c3 dt a comparar con (6.49)

 

2 q 2  P longitudinal(t ) = 3 m2 c3

  dp dt

2

.

Como se ve y para la misma fuerza la radiación emitida cuando la aceleraci´ on es transversal es un factor γ 2 más intensa que cuando es longitudinal.

6.5.

Ejercicios

6.1 Dos cargas P y S de valor q están fijas en los extremos de una varilla de longitud 2b, colocada a lo largo del eje z , desde b a +b. En el plano mediador de la varilla, a una distancia d de ella y sobre el eje x está una tercera carga R de valor +q . Consideraremos dos supuestos. a) En el sistema S , la varilla P S acelera con a = v˙ = v˙ ex hacia R, que est´ a en reposo. b) En el sistema S  , la varilla está en reposo y R acelera con v˙ hacia la varilla. Calcular en los dos casos, las fuerzas que se establecen entre los dos sistemas R y P S . Se supone que las velocidades son peque˜ nas frente a c.

−

−

−

6.2 Se tiene un alambre conductor rectil´ıneo e infinito situado a lo largo del eje z . A partir del instante t = 0 se le aplica una corriente constante en todo el alambre, es decir I (z, t) =

 

0,

t < 0 ,

I,

t

≤ 0.

Hallar los campos E , B y el vector de Poynting S en todo el espacio. — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

on y el promedio temporal 6.3 Analizar la distribución angular de la radiaci´ de la potencia radiada por unidad de angulo ´ s´ olido por una carga en movimiento no relativista, a) a lo largo del eje z con z = a cos ω0 t. b) a lo largo de una circunferencia de radio r en el plano xy con frecuencia angular ω0 .

6.4 Una part´ıcula cargada con velocidad v 0 entra en un medio y se ve frenada con una fuerza proporcional a la velocidad F = αv. Hallar la energ´ıa total

−


6–17

´ n de part´ıculas cargadas Cap´ıtulo 6. Radiacio emitida en forma de radiaci´ o n, suponiendo que el medio act´ u a pr´ acticamente como el vac´ıo para la radiaci´ on. 1

Ayuda:



−1

1 x2 4 6 dx = β . (1 + βx)5 3

−

asico de Bohr por un electr´ on 6.5 Calcular la potencia radiada en el modelo cl´ en el estado fundamental del a´tomo de hidr´ ogeno (sin postulado de cuantizaci´ on). ¿Cuál ser´ıa el tiempo de vida del a´tomo? (Se puede admitir que el electr´ o n cae al n´ ucleo muy despacio, siguiendo una espiral de modo que la radiaciń es muy aproximadamente la de un movimiento circular. Analizar la validez de tal aproximación a la luz del resultado obtenido.

6.6 Dos cargas de valores opuestos (+q y q ) describen una o´rbita circular con frecuencia ω, manteniéndose en posiciones diametralmente opuestas. Estudiar la radiacón emitida en la zona lejana. Hallar la distribuci´ on angular de la radiaci´ on y la potencia total radiada en la aproximaci´ on no relativista.

−

6.7∗ Una carga Q, uniformemente distribuida en una esfera de radio R, se mueve con velocidad v, constante respecto al sistema de laboratorio S . Calcular el momento y la energ´ıa debidos a su campo electromagnético. a) Por transformaci´ on a S de la energ´ıa y el momento en el sistema propio de la esfera S  . b) Por c´ alculo directo en el referencial S . Se supone que v c.




6–18


Cap´ıtulo 7 Sistemas radiantes 7.1.

Radiaci´ on de un sistema de cargas

El prop´ osito de esta secci´ on es determinar la potencia radiada por un conjunto de cargas puntuales que se mueven en el vac´ıo manteniéndose en el interior de un volumen acotado V . Supondremos que (i) las velocidades de las cargas son no relativistas vk c, (ii) las dimensiones de V son peque˜ nas respecto a la distancia al punto de observaci´ on y (iii) respecto a las longitudes de onda dominantes.

| |

Tomemos las expresiones de los campos eléctrico y magnético de una carga acelerada obtenidos en el cap´ıtulo 6, ecuaciones (6.30), suponiendo el origen de coordenadas en el interior de V . Despreciando el efecto de su velocidad, los campos creados por esa carga son q n E = 4π 0 c


× (n × ¨r/c) r

 

,

B =

ret

−

n ¨r/c q 4π 0 c2 r

×

 

.

(7.1)

ret

En los sucesivo se omite por simplicidad el sub´ındice “ret”, indicador de que el segundo miembro debe calcularse en el tiempo retardado. Sumando en el conjunto de las cargas q k , se obtiene B = n rk /(4π0 c3 r), de donde k q k ¨ µ0 c ¨ , = (7.2) B = r p E r B , 4πcr 2 r siendo p es el momento dipolar eléctrico del sistema de cargas

− × ×

−

p =





− ×

q k rk .

k

Nótese que tanto E como B son perpendiculares a r. Para calcular la potencia radiada, debemos determinar el vector de Poynting c S = B µ0 r

× (r ×


¨ )2 r(r p c 2 B) = r B = µ0 r 16π 2 0 c3 r 5

×

(7.3) 7–1

Cap´ıtulo 7. Sistemas radiantes ¨, Si se toma el eje z en la dirección de p ¨ sen2 θ r p . S = 16π2 0 c3 r3

(7.4)

¨ . Tomando La máxima potencia radiada se alcanza en las direcciones normales a p una esfera S de radio grande cuya superficie esté toda en la zona lejana de las part´ıculas e integrando el flujo a través de ella, resulta para la potencia radiada total dW P = = dt ¨2 p = 16π 20 c3

−

O sea

 · 

S n da

S

sen2 θ r r 2 r sen θdθdϕ r3 r

·

p2 1 2 ¨ P = , 4π0 3 c3

(7.5)

que es la expresión de la potencia radiada por un sistema de part´ıculas no relativistas contenidas en un volumen acotado. N´ otese que su valor no depende de la elección particular del eje z que hemos hecho. La ecuaci´ o n anterior tiene una gran semejanza con la f´ ormula de Larmor (6.37), estudiada en el cap´ıtulo anterior. De hecho, si s´ olo hay una part´ıcula, su momento dipolar p = q r no tiene car´ acter intr´ınseco pues depende del origen de coordenadas, seg´ un ocurre cuando la carga total no se anula. Pero eso no tiene ¨ = q ˙v no var´ıan al cambiar el importancia pues las derivadas p˙ = q ˙r = q v y p origen. Se obtiene as´ı q 2 2 v˙ 2 P = 4π 0 3 c3 que es precisamente la f´ ormula de Larmor.


La radiaci´ on considerada en esta secci´ o n se conoce como radiaci´ on dipolar eléctrica por ser la parte correspondiente a la variaci´ on del momento dipolar eléctrico. Pero es s´ olo una aproximaci´ on, si bien es, en general, la parte dominate del campo radiado. M´ as concretamente, es el primer término de un desarrollo en serie.

7.2.

Radiaci´ on de un dipolo oscilante

Sea un dipolo oscilante, constituido por dos peque˜ nas esferas localizadas en los puntos z = /2 del eje z , conectadas por un alambre, tal como se muestra

±

7–2


7.2. Radiaci´ on de un dipolo oscilante en la figura. Ese dipolo representa un circuito lineal peque˜ no por el que circula una corriente alterna, generada por una fuente de tensi´ on con frecuencia ω. En notación compleja de fasores Q = q ω cos ωt = (q ω eiωt ). La intensidad de corriente en el alambre es ˙ I = Q,



(si q = q ω cos ωt, entonces I ω = ωq ω sen ωt) con lo que I = iωQ y el momento dipolar pω = Q = iI ω /ω (en lo sucesivo omitiremos el sub´ındice ω por simplicidad; recordemos que, en el m´ etodo de los fasores, a la derivada temporal le corresponde la multiplicaci´ o n por iω y a la integraci´ on la divisió n por iω).

−

−

−

−

Figura 7.1: Supondremos que la longitud  del dipolo es peque˜ na comparada con la longitud de onda de la radiaci´ on λ = c/2πω:  λ. El potencial vector debido a la distribución de corriente I = q ˙ vale



µ0 Az (r, t) = 4π — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

/2



I (z  , t



− |r − z k |/c) dz . |r − z k | 

/2

z



(7.6)

z

Para calcular esta integral, hay que hacer algunas aproximaciones. En primer lugar, si  r (a grandes distancias) se puede tomar





2



 2 1/2

|r − kz | = (r − 2z k · r + z

)



≈ r − z cos θ,

siendo θ el ángulo polar. Sustituyendo en (7.6), resulta que podemos pres cindir del término z  cos θ en el denominador, como aproximaci´ on, si r es suficientemente grande (en la zona lejana). En el numerador, sin embargo, ese término s´ olo puede despreciarse si z  cos θ/c es muy peque˜ no comparado con el tiempo durante el cual

−


7–3

Cap´ıtulo 7. Sistemas radiantes cambia apreciablemente la corriente, para lo que podemos tomar el periodo T = 2π/ω. Como z  cos θ /2, esto implica que el retardo solo puede despreciarse si  (7.7) cT = λ , 2 es decir, si es peque˜ no comparado con la longitud de onda y, adem´ as, el punto de observaci´ on est´ a lo suficientemente alejado del dipolo (r ). En ese caso, podemos aproximar (7.6) por

|

|≤





µ0  Az (r, t) = I t 4π r

r . c

− 

(7.8)

Para calcular el potencial Φ hay que tener cuidado con las aproximaciones porque es la diferencia entre dos términos grandes. Para evitar errores grandes, conviene fijar el gauge con la condici´ on de Lorentz

∇ · A + c1 ∂ ∂tΦ = 0,

2

(7.9)

de donde ∂ Φ = ∂t

  −    −   − 

1 ∂  r I t 4π0 ∂z r c  z r z ˙ = I t + I t 4π0 r 3 c r2 c

−

r c

Como I = q ˙, esta ecuaci´ on puede integrarse f´ acilmente  z Φ(r, t) = 4π 0 r2



q (t

− r/c) + I (t − r/c) r

c



,

(7.10)

Las ecuaciones (7.8) y (7.10) dan los potenciales. A partir de ellos se obtienen los campos por simple derivaci´ on. Consideremos el caso en que la carga del dipolo var´ıa armónicamente — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

r c

− 

q t

r , c r = c

−  − 

= q 0 cos ω t

I = I 0 sen ω t

−ωq sen 0

r . c

−  t

Descomponiendo A en sus componentes esféricas, resulta Ar Aθ Aϕ 7–4

µ0 I 0  r = cos θ sen ω t , 4π r c µ0 I 0  r = sen θ sen ω t , 4π r c = 0,

−

−  − 


7.2. Radiaci´ on de un dipolo oscilante La u ´ nica componente no nula de B es 1 ∂ (rAθ ) r ∂r µ0 I 0  = sen θ 4π r

− 1r ∂A ∂θ

Bϕ =



r

ω cos ω t c

 − 

r 1 + sen ω t c r

− 

r c

. (7.11)

El cálculo del campo eléctrico es m´ as complejo pues hay que sumar dos términos E = ∇Φ ∂ t A. El resultado es

−

E r E θ E ϕ

−

 



2I 0 cos θ sen ω(t r/c) cos ω(t r/c) = , 4π 0 r2c ωr 3 I 0 sen θ 1 ω r 1 r = cos t sen ω t 4π 0 ωr 3 rc2 c r2c c = 0.

−

−

−

−

−

  − −

 − 

(7.12) ,

Conviene subrayar que las l´ıneas magnéticas son circunferencias en planos z = const y centradas en el eje z , mientras que las eléctricas est´ an contenidas en los planos que contienen el eje z . Para calcular la tasa de emisi´ on de energ´ıa del dipolo hay que hallar el flujo del vector de Poynting a través de una esfera de radio R centrada en el centro del dipolo. Sólo influye la componente r del vector de Poynting, y por tanto 1 S n da = R2 µ0 S



·

π



E θ Bϕ 2π sen θ dθ.

(7.13)

0

Lo interesante es calcular el valor de ese flujo a alto valor de R, para lo que hay que tomar solamente los términos en r −1 en E θ y Bϕ . Resulta (I 0)2 ω2 S nda = cos2 ω t 3 6π 0c S



r . c

− 

·

(7.14)

Esa es la potencia instant´ anea radiada; la potencia media es 2 ω2 I 02 P = . 6π0 c3 2

  — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

(7.15)

Esta ecuaci´ on se suele escribir en función de la longitud de onda λ = 2πc/ω y la velocidad de la luz en la forma 2π P = 3

 

   µ0 0

 λ

2

I 02 . 2

(7.16)

Esta f´ ormula recuerda a la expresi´ on del efecto Joule P = RI 2 /2. Por ello se define la resistencia de radiaci´ on de un dipolo como 2π Rr = 3

2

   µ0 0

 λ

,

 o también Rr = 789 λ


2



Ω en el espacio vac´ıo

7–5

Cap´ıtulo 7. Sistemas radiantes

7.3.

Planteamiento general del problema

Consideremos de nuevo un sistema de cargas y corrientes dentro de un volumen V acotado, estudiando su din´ amica en el espacio ilimitado, sin la presencia de conductores, por ejemplo, por simplicidad. Los métodos del an´ alisis de Fourier son muy importantes y muy usados. Tomemos densidades de carga y de corriente que ver´ıen arm´ onicamente en el tiempo ρ(r, t) = ρ(r)e−iωt ,

j(r, t) = j (r)e−iωt ,

(7.17)

tomando luego la parte real de los resultados de los c´ alculos para obtener las magnitudes f´ısicas.

Figura 7.2: Seg´ un se ha visto al estudiar las funciones de Green, el vector A(r, t) en el gauge de Lorenz es µ0 A(r, t) = 4π


  3 

d r

V

j(r , t ) r r  dt δ t + c r r 

|− |





| − | − t

.

(7.18)

La funci´ o n delta tiene en cuenta el retraso de la se˜ nal para garantizar el comportamiento causal. Sustituyendo (7.17) en (7.18), resulta A(r, t) = A(r)e−iωt , con µ0 eik|r−r | 3  dr (7.19) A(r) = j(r ) r r 4π



Los campos se expresan fuera de V como

H =

1 µ0

∇

× A,



|− |

E =

iZ 0 k

∇

×H

(7.20)



siendo Z 0 = µ0/0 la impedancia del espacio vac´ıo. La primera igualdad es la relación est´ andar entre el potencial vectorial y el campo magnético; la segunda es la carta ecuaci´ on de Maxwell o ley de Ampère-Maxwell. 7–6


7.3. Planteamiento general del problema En principio, bastar´ıa con aplicar (7.18) para calcular los campos. Sin embargo, conviene conocer algunas propiedades del sistema que son interesantes para elaborar una visi´ on intuitiva del problema y no dependen de los detalles exactos de las distribuciones de carga y corriente. Seguimos con las aproximaciones expuestas al principio del cap´ıtulo, en especial suponiendo que las dimensiones de V , del orden de , y la longitud de onda cumplen λ = 2πc/ω . Se deben considerar separadamente tres regiones espaciales.



i) La zona pr´ oxima: 

 r  λ, ii) la zona intermedia:   r ∼ λ, iii) la zona lejana:   λ  r. Las tres zonas se conocen tambi´ en como est´ atica, de inducci´ on y de radiación, respectivamente. Las propiedades de los campos son diferentes en las tres zonas. En la próxima, los campos tienen caracter´ısticas de campos est´ aticos, con componentes radiales no nulas y variaci´ on espacial dependiente de los detalles de las fuentes. En la zona lejana los campos E y B son transversos, decaen como 1/r y tienen dependencia espacial t´ıpica de los campos de radiaci´ on, caracterizados por la variaci´ on temporal de los momentos multipolares de las distribuciones de carga y de corriente. En la zona pr´ oxima se cumple kr 1, por lo que la exponencial en (7.19) se puede aproximar como 1. Expresando r r −1 mediante su desarrollo en serie multipolar

 | − |

1

∞



 1 r< ∗ = 4π Y m (θ , ϕ )Y m(θ, ϕ) . +1  r 2 + 1 r> =0 m=−



|r − |

(7.21)

Resulta as´ı µ0 l´ım A(r) = kr→0 4π — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

 ,m

4π Y m (θ, ϕ) 2 + 1 r +1



∗ j(r )r  Y m (θ , ϕ ) d3 r

(7.22)

O sea que los campos en la zona pr´ oxima son cuasi-estacionarios: oscilan arm´ onicamente debido al factor e−iωt pero tienen una dependencia espacial est´ atica. En la zona lejana ocurre al revés: kr 1, por lo que la exponencial en (7.19) oscila muy deprisa. Se puede hacer la aproximaci´ on







|r − r |  r − n · r .

(7.23)

donde n es un vector unitario en la direcci´ o n de r. El término dominante en la expresión de A(r) se obtiene prescindiendo de n r en el denominador de (7.19).

− ·


7–7

Cap´ıtulo 7. Sistemas radiantes Se sigue que, en esa aproximación, el potencial vectorial vale µ0 eikr j(r )e−ikn·r d3 r  l´ım = (7.24) kr→∞ 4π r Esta ecuaci´ on muestra que el potencial vectorial se comporta, en la zona lejana, como una onda esf´ erica saliente con un factor multiplicativo dependiente de los ángulos (la integral). Si se cumple la condici´ on  λ, se puede desarollar la exponencial en serie de k







µ0 eikr l´ım A(r) = kr→∞ 4π r

( ik)m m!

 −  m

j(r )[n r ]m d3 r .

·

(7.25)

De aqu´ı se sigue una importante consecuencia. Como el orden de magnitud de r es , o menor, y k es menor que uno, los términos en la serie en la integral anterior decaen hacia cero, de manera que la radiaci´ on emitida se debe s´ olo a los primeros términos. En la zona intermedia el c´ alculo es m´ as complejo. Diremos solamente que las aproximaciones usadas para las zonas pr´ o xima y lejana no son v´ alidas all´ı. Lo más importante es la expresi´ on exacta del potencial vectorial. Para conseguirla se usa el desarrollo multipolar 

eik|r−r | = ik 4π r r

|− |

∞



j (kr <)h(1)  (kr > )

 =0



∗ Y m (θ , ϕ )Y (θ, ϕ) ,

(7.26)

m=− (1)

donde j (kr) son las funciones esf´ ericas de Bessel, h (kr) las de Hankel de primera especie e Y m , los armónicos esféricos. Sustituyendo en (7.19), resulta que, fuera de V , el potencial vale exactamente

A(r) = µ 0 ik



(1) h (kr)Y m(θ, ϕ)

,m

(1)

Nótese que h (kr)


+1 ikr

→ (−i)

e



j(r ) j (kr  )Y m(θ , ϕ )d3 r 

/kr para kr

(7.27)

→ ∞.

Inexistencia de radiaci´ on monopolar. Haciendo el mismo cálculo con el potencial escalar, resulta 1 ρ(r , t ) r r  Φ(r, t) = d3r  dt + δ t t . r r 4π 0 V c





| − | − |− | La parte monopolar de la radiaci´ on se obtiene sustituyendo |r − r | por r, lo que conduce a q (t = t − r/c) Φ (r, t) =

 





monopolar

4π 0 r Como la carga eléctrica de una distribuci´ on contenida en el volumen V se conserva, el término monopolar es siempre est´ atico. Los campos arm´ onicos no pueden incluir términos monopolares. O sea: no hay radiaci´ on monopolar. 7–8


7.4. Término dipolar eléctrico de la radiaci´ on

7.4.

T´ ermino dipolar el´ ectrico de la radiaci´ on

Consideremos de nuevo la ecuaci´ on (7.25). Si se desprecian todos los términos de la serie salvo el primero, se tiene µ0 eikr A(r) = 4π r



j(r )d3 r

(7.28)

que es evidentemente el término  = 0 de la serie (7.27) teniendo en cuenta que, como kr 1, se puede aproximar j  = 1 en la integral. Mediante una integraci´ on por partes, es posible escribir dicha integral del modo





j d3 r  =

 −

r (∇ j) d3 r  =

·

−iω



r ρ(r ) d3 r =

−iωp

(7.29)

pues la ecuaci´ on de continuidad dice que iωρ = ∇ j , siendo p = rρ(r) d3 r el momento dipolar eléctrico. Esto es interesante, pues permite expresar el potencial vectorial en funci´ on de p iµ0 ω eikr A(r) = p (7.30) 4π r Usando ahora las ecuaciones (7.20) se muestra que los campos tiene la forma



·

−

ck2 eikr 1 H = (n p) 1 4π r ikr 1 eikr k 2 ( n p) n + [3 n(n p) E = 4π 0 r

− 

×



× ×

· − p]



(7.31) 1 r3

−

ik r2

  eikr

Esta es la expresi´ on del término dipolar eléctrico de la radiaci´ on . Nótese que es distinto de cero si y sólo si p = p (t). Su comportamiento en la zona lejana es ck2 eikr (n p) , H = E = Z 0 H n , 4π r mientras que en la zona próxima iω 1 1 1 H = ( n p) 2 , E = [3n(n p) p] 3 . 4π r 4π0 r

×

×


×

(7.32)

· −

(7.33)

Conviene subrayar los siguientes puntos (i) la radiación dipolar eléctrica es el primer término en el desarrollo multipolar de la radiaci´ on; por ello es dominante en general. (ii) Depende de la variaci´ on del momento dipolar eléctrico, es decir de sus derivadas temporales respecto al tiempo. (iii) En su expresión completa, el campo magnético es transverso siempre, mientras que el el´ ectrico lo es en la zona de radiaci´ on, pero no en la zona pr´ oxima. (iv) En la zona pr´ oxima el campo eléctrico es estacionario, oscilando arm´ onicamente alrededor de la forma t´ıpica de un campo dipolar eléctrico est´ atico (debido al factor e −iωt ). notas EDC (v. 30/mayo/2005)

7–9


7.5.

Radiaci´ on dipolar magn´ etica y cuadrupolar eléctrica

El segundo término en (7.25) es µ0 eikr A(r) = 4π r

 −   1 r

ik

j(r )(n r )d3 r

(7.34)

·

donde se han incluido la forma correcta de la serie (7.27) para que (7.34) sea válida en todo el exterior de V , no sólo en la zona lejana. Conviene escribir el integrando anterior como suma de una parte simétrica en j y r y otra antisimétrica. 1 1 [(n r ) j + (n j)r ] + (r 2 2

·

·

× j) × n .

(7.35)

La segunda parte es la imanaci´ on debida a la corriente 1 M = (r 2

× j)

(7.36)

La contribuci´ on de ese término al potencial vectorial es ikµ0 A(r) = (n 4π

×

eikr m) r

−  1 ikr

1

,

(7.37)

donde m es el momento dipolar magnético del sistema

m =




1 M d3 r = 2

 × (r

j) d3 r

(7.38)

Los campos pueden determinarse tenendo en cuenta que el potencial vectorial (7.37) es proporcional al campo magnético del dipolo eléctrico (7.31). Más concretamente, resulta que el campo magnético del dipolo magnético es igual a 1/Z 0 por el campo eléctrico del dipolo eléctrico, cambiando p por m/c. Además, el campo magnético de esta fuente dipolar magnética es Z 0 por el campo magnético del dipolo eléctrico con la misma sustotuci´ on. De modo expl´ıcito:

−

1 eikr 2 k (n m) n + [3n(n m) H = 4π r Z 0 2 eikr 1 E = k (n m) 1 4π r ikr



−

×

×

×

·

− 

−



1 m] 3 r

−

ik r2

 

eikr

(7.39)

Como se puede ver se pasa de una a otra de las expresiones de los campos en las E, p m/c. dos formas de radiaci´ on mediante los cambios E Z 0 H, Z 0 H Nótese, adem´ as, que los dos campos son transversos en la zona lejana.

→

7–10

→−

→


7.5. Radiaci´ on dipolar magnética y cuadrupolar eléctrica

T´ ermino cuadrupolar eléctrico. Consideremos ahora el efecto del término simétrico en (7.35). Si se integran por partes y tras un poco de álgebra, su integral toma la forma 1 2



[(n r ) j + (n j)r ]d3 r =

·

·

−

iω 2



r (n r )ρ(r )d3 r

(7.40)

·

donde se ha hecho uso de la ecuaci´ on de continuidad como m´ as arriba. El potencial vectorial es

A(r) =

−

µ0ck 2 eikr 8π r

 −   1 ikr

1

r (n r )ρ(r )d3 r

(7.41)

·

El cálculo es algo más complicado, pero si nos limitamos a la zona lejana, no es dif´ıcil ver que toman la forma

H = ik n

× A/µ

0

,

E = ikZ 0 (n

× A) × n/µ

0

(7.42)

Sustituyendo el valor de A, se tiene para el campo magnético

H =

−

ick 3 eikr 8π r



(n







3 

× r )(n · r )ρ(r )d r

(7.43)

Recordando la expresi´ on del tensor de momento angular Qij =



(3xi x j

2

3

− r δ )ρ(r)d r ij

(7.44)

la integral en (7.43) se puede escribir como

n

 ×

1 r (n r )ρ(r )d3 r = n 3

·

× Q(n)

(7.45)



donde el vector Q(n) tiene por componentes Qi = j Qij n j . Resulta entonces que ick3 eikr (7.46) H = n Q(n) 24π r con lo que la potencia media radiada por unidad de ańgulo s´ olido es

−


×

dP c2 Z 0 6 = k [n dΩ 1152π2

2

| × Q(n)]|

Este término del desarrollo en serie del campo radiado se llama radiaci´ on cuadupolar eléctrica pues depende de los momentos cuadupolares eléctricos. El cálculo se hace progresivamente m´ as complejo y no lo desarrollaremos aqu´ı. Existe un procedimiento sistem´ atico que permite atacar el problema general del desarrollo multipolar de la radiaci´ on (véase, por ejemplo, Jackson cap. 9.) notas EDC (v. 30/mayo/2005)

7–11


7.6.

Un ejemplo de antena

Tomemos ahora un caso simple de antena lineal alimentada por el centro que permite hacer c´ alculos fáciles pero significativos. Se trata de una antena lineal, o sea rectil´ınea, de longitud d que se excita por un espacio o brecha en su punto medio (ver figura). Si la antena es fina, la corriente en ella puede considerarse como sinusoidal en el espacio y el tiempo con n´ umero de ondas k = ω/c y simétrica en los dos brazos. Es evidente que se anula en los dos extremos. En otras palabras, si se toma el eje z a lo largo de la antena, se tiene

j(r) = I sen



kd 2

 − || k z

δ (x)δ (y)ez ,

(7.47)

en z < d/2 (n´ otese que los brazos se suponen de di´ ametro nulo).

| |

Figura 7.3: — 5 0 0 2 a d a ˜ n a R z e d n ´ a n r e F o i n o t n A —

La corriente en la brecha es I 0 = I sen(kd/2). Seg´ un (7.24), el potencial vectorial correspondiente a esa corriente en la zona lejana es µ0 Ieikr A(r) = e z 4π r

(d/2)



sen

−(d/2)



kd 2

 − || k z

e−ikz cos θ dz

(7.48)

El resultado de la integraci´ on es ikr

A(r) = e z 7–12

µ0 Ie 4π r



θ cos( kd cos ) 2

−

sen2 θ

cos( kd ) 2



(7.49)


7.7. Ejercicios El campo el´ ectrico en la zona de radiaci´ on es H = ikn A/µ0 . Del cálculo del vector de Poynting, se sigue que la potencia media en el tiempo radiada por unidad de ańgulo s´ olido es

×

2

dP Z 0 I = dΩ 8π2

 

θ cos( kd cos ) 2

−

cos( kd ) 2

sen θ

 

2

(7.50)

Esta distribuci´ on angular depende del valor de kd. Si kd 0, es decir en el caso de longitud de onda larga, se reduce al caso de radiaci´ on dipolar. Para los valores kd = π (resp 2π), conocidos como antena de media onda (resp. de onda entera) y correspondientes a λ = 2d (resp. λ = d), las distribuciones angulares son cos2 π2 cos θ / sen2 θ, kd = π 2 dP Z 0I = (7.51) dΩ 8π2 4cos4 π2 cos θ / sen2 θ, kd = 2π

→

     

En la figura 7.4 se representan estas dos distribuciones. N´ o tese que la de media onda es muy pr´ o xima a la forma dipolar pura mientrs que la de onda entera est´ a m´ as dirigida.

7.7.

Ejercicios

7.1 Dos dipolos puntuales separados p = (0, 0, p cos ωt) (en 0, 0, λ/4) y p (en 0, 0, λ/4) oscilan en oposici´ on de fase. a) Determinar los campos de radiaci´ on y la potencia radiada por unidad de ańgulo sólido. b) Hallar la directividad del sistema (es decir, la potencia radiada por estereorradiá n en un m´ aximo dividida por (4π)−1 veces la potencia total radiada).

−

−


7.2 Un cuadrupolo oscilante consta de las cargas q, +2q, q situadas en las posiciones (z 1 , z 2 , z 3), con z k = a cos ωt, 0, a cos ωt, respectivamente. Calcular los campos a gran distancia y la potencia media total radiada.

−

−

−

as bajas, determinar los cam7.3 Usando las aproximaciones multipolares m´ pos electromagn´ eticos en la zona lejana: a) para una carga q que se mueve con velocidad angular uniforme en régimen no relativista en orbita ´ circular de radio a; b) para dos cargas idénticas que se mueven a lo largo del mismo c´ırculo, manteniéndose en posiciones diametralmente opuestas. notas EDC (v. 30/mayo/2005)

7–13

39775406-Electrodinamica-clasica

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