CONTADOR GEIGER-MÜLLER Y NATURALEZA ESTADÍSTICA DE LOS PROCESOS RADIACTIVOS Daniel Mena, Juan M. Orozco, Luis F. Higueras Cali, Septiembre de 2010.Universidad del Valle, Departamento de Física. Laboratorio de Física Moderna II.
Abstract: El siguiente artículo se enfoca en el estudio de las principales características y funcionamiento de un contador Geiger-Müller utilizando como elementos radiactivos Co60 y Cs137. Además, se realiza un estudio acerca de la naturaleza estadística de los procesos radiactivos, radiactivos, realizando r ealizando pruebas de radiación de fondo y radiación con Cs137 para obtener diferentes distribuciones de frecuencias que se pueden modelar como distribución Gaussiana ó Poissoniana según se obtengan los resultados. r esultados. Keywords: Radiactividad detectores de ionización gaseosa, contador Geiger-Müller, Geiger-Müller, zona de Plateau, tiempo muerto, distribución distribución de Gauss, distribución de Poisson.
1. INTRODUCCIÓN
. FUNDAMENTO TEÓRICO
2
2.1. Detectores gaseosos. gaseosos.
Los núcleos radiactivos emiten espontáneamente diferentes tipos de radiaciones, y partículas neutras, con energías bien definidas. Para este tipo de radiaciones se han desarrollado una serie de detectores, cada uno de ellos con sus limitaciones y ventajas particulares. La mayoría de los detectores están basados en una forma u otra en la pérdida de energía por ionización de una partícula cargada. Las partículas cargadas suelen detectarse mediante la ionización que producen en una cámara, un contador proporcional, tubo Geiger-Müller, contador de cristal, contador de centelleo o mediante la excitación de una sustancia fosforescente o fluorescente. En este experimento estudiaremos las características de uno de los detectores más sencillos, el tubo Geiger-Müller, el cual será utilizado como detector de desintegraciones radiactivas del Cs137 y Co60.
La mayoría de los detectores de partículas se basan de una forma u otra en la energía perdida por la partícula cargada gracias a la ionización del medio que atraviesa. En diferentes clases de instrumentos, el material detector es gas; los potenciales de ionización son del orden de 10eV, pero en promedio, por ejemplo en el aire, la partícula cargada pierde 30 a 35eV por cada par ión-electrón formado. Colectando las cargas libres creadas, es posible obtener un pulso eléctrico, señalando el paso de la partícula cargada.
Fig. 1. Detector gaseoso.
El tipo más simple de un detector gaseoso consiste en una cámara cilíndrica con un alambre estirado en el centro, como se muestra en la figura 1. Las paredes de la cámara actúan como un electrodo negativo, y un voltaje positivo es aplicado al electrodo central. Bajo la influencia del campo eléctrico, los electrones son colectados en el centro mientras los iones positivos se mueven en dirección a las paredes. Es deseable colectar las cargas libres antes de que se combinen en el gas; esto es principalmente una función de la presión del gas y del voltaje aplicado. Si el voltaje es incrementado lo suficiente, los electrones ganan energía suficiente para ionizar a través de colisiones algunos átomos del gas, así que existe un multiplicación significante de las cargas libres creadas originalmente por el paso de la partícula. En la figura 2, la curva relaciona el número de pares ión-electrón colectados como función del voltaje aplicado cuando un electrón (ionización mínima) atraviesa el detector; la curva representa los mismos resultados pero para una partícula mucho más ionizante.
Fig. 2. Número de iones colectados en función del voltaje aplicado en un detector gaseoso. Refiriéndonos a la figura 2, vemos las siguientes regiones de operación de un contador gaseoso: en las regiones I y II el voltaje es suficiente para colectar todos los pares ión-electrón, pero no lo suficiente para producir cualquier multiplicación. Un detector operado entre estas regiones es llamado ³cámara de ionización ´. Cuando el voltaje es aumentado, se alcanza la región III, donde se da la multiplicación de las cargas libres originales mediante la interacción de los electrones mientras se mueven a través del gas hasta llegar al electrodo colector. Sin embargo, por encima de un rango considerable de voltaje, el número total de pares ión-electrón colectados es justamente proporcional a la ionización original causada por el paso de la partícula cargada.
Un detector operado en esta región es llamado ³contador proporcional ´; tiene una ventaja sobre el contador de ionización en que las señales son más fuertes, las ganancias alcanzadas están en el orden de 102 a 104. Finalmente, un mayor incremento en el voltaje lleva a la región V, donde multiplicaciones muy grandes son observadas, y donde el número de pares ión-electrón son independientes de la ionización inicial. Esta es la región del ³Contador Geiger-Müller´, que tiene la gran ventaja de un pulso de salida muy grande, así que su operación es simple y de confianza. 2.2 Contador Geiger-Müller.
Se anotó anteriormente que un contador gaseoso opera en la región Geiger cuando el voltaje entre los electrodos es suficientemente grande; esto es, el paso de una partícula cargada inicia una descarga en el gas, y como resultado aparece un pulso de salida que es independiente de la ionización original. Si el voltaje aumenta aún más, se dan descargas espontáneas, haciendo el dispositivo inservible como detector de partículas. Una consideración importante del contador GeigerMüller es el ³enfriamiento´ de la descarga iniciada por el paso de una partícula cargada. Hasta que el gas vuelva a su estado neutro, el paso de una partícula cargada no producirá un pulso de salida; este es el periodo de tiempo durante el cual se dice que el contador está ³muerto´. En orden de operar un contador Geiger apropiadamente, la fuente de alto voltaje debe encontrarse en la región ³Plateau´ (ver figura 3), donde un pulso de salida similar es consistentemente obtenido para todas las partículas cargadas que atraviesan el contador.
Que puede ser expandida en la cantidad pequeña para dar la solución aproximada
2.3 Naturaleza radiactivos.
Fig. 3. Número de iones colectados en función del voltaje. Región de operación en un contador Geiger.
estadística
(1)
de
los
procesos
Una fuente que contiene un elemento radiactivo tiene normalmente un número muy grande de núcleos inestables que se desintegran al ³azar ´. Estos procesos siguen una distribución de Poisson, la cual para un número de conteos muy grande se convierte en una distribución Gaussiana.
Distribución de Gauss. El tiempo muerto del contador puede obtenerse por una técnica ³operacional´, como lo es el medir el conteo perdido cuando el detector es sometido a un alto flujo. Si el tiempo muerto es , y la rata de conteo (cuentas/s), el detector es inoperante durante una fracción de segundo; la eficiencia de conteo verdadero es entonces .
Consideremos dos fuentes y , que cuando son puestas a distancias y del contador dan una rata real (cuentas/s) y . El contador, sin embargo, registra ratas , debidas a pérdidas por tiempo muerto, y cuando ambas fuentes se encuentran presentes simultáneamente, el contador registra debido a la pérdida adicional que acompaña el flujo mayor. Ahora, Resolvemos escribiendo
Que se reduce a una ecuación cuadrática en con la solución
Consideremos la distribución binómica.
( ) Cuando es muy grande, el cálculo de la probabilidad es difícil puesto que exige el 2
cálculo de factoriales de números grandes, para ello es posible utilizar aproximaciones que nos permita transformar la distribución binómica en forma sencilla. La característica importante, consiste en que la probabilidad se hace despreciablemente pequeña cuando difiere apreciablemente del valor particular en el que es un máximo; por ello la región de interés, aquella donde la probabilidad no es despreciable, se compone de aquellos valores donde . Pero en esa región relativamente pequeña puede hallarse una expresión aproximada para .
Es conveniente analizar el comportamiento de cerca de la posición de su máximo. Como se puede notar el mismo es grande cuando es grande. Por lo anterior los números son también grandes en la región de interés. Cuando es grande la probabilidad cambia poco cuando cambia en una unidad, entonces:
(3)
considerar Varía lentamente con , por lo tanto se puede a como una función suave de una variable continua de , además el logaritmo de varía mucho más suave con que la misma , por lo tanto es más fácil tratar el comportamiento de ,
Siendo
Realizando las diferentes derivadas y teniendo en cuenta que la primera derivada es cero, obtenemos que:
por lo anterior podemos tomar el logaritmo de la distribución binómica y obtenemos:
(4)
En el valor particular en el cual máximo, satisface la condición:
es un
O lo que es equivalente, por la condición máximo luego entonces tenemos:
sea
Derivando la ecuación (4), y teniendo en cuenta que los números que aparecen con los factoriales son grandes comparados con la unidad, tenemos que tener en cuenta que:
Por lo tanto (4) queda de la siguiente manera:
(5) Para hallar el máximo de , hay que igualar (5) a cero así:
.
En donde
.
Haciendo aproximaciones podemos obtener el valor de , utilizando la condición de normalización y que varia suavemente entre los valores enteros sucesivos de , luego la suma de normalización se puede reemplazar por una integral, entonces:
Utilizando este valor y además se tiene que Por lo tanto la probabilidad quedará:
(6)
La ecuación (6) se conoce como la Distribución Gaussiana. Esta aparece siempre en los razonamientos estadísticos, siempre que los números considerados sean grandes.
Tomando antilogaritmos y agrupando tenemos:
y como , y el valor de , que corresponde al máximo valor de , luego: Para analizar el comportamiento de cerca de su máximo, basta con desarrollar esta función en serie de Taylor, alrededor de , por lo tanto:
.
Fig. 4. Distribución Gaussiana.
Distribución de Poisson. Consideremos la distribución binómica:
Cuando la distribución binómica, se puede aproximar mediante una distribución de Gauss. Examinaremos ahora otra aproximación diferente, cuando la probabilidad es mucho menor que la unidad, es decir , y además el número de apariciones es también pequeño de tal forma que tenemos . Dequeacuerdo con las suposiciones anteriores Cuando , cada uno de los factores del lado derecho es esencialmente igual a , por lo tanto
podemos obtener:
Definamos ahora
; Como , entonces y se puede aproximar el logaritmo en series de Taylor, por lo tanto
Entonces , por lo tanto al utilizar estas aproximaciones en la distribución binómica obtenemos:
Fig. 5. Distribución de Poisson. 2.4 Coeficiente de absorción lineal.
Cuando los rayos pasan a través de la materia, cierto número de fotones que entran al material son absorbidos y solo una fracción de la radiación inicial pasa a través del absorbedor. Existen tres procesos fundamentales por los cuales se absorben fotones, el efecto fotoeléctrico, efecto Compton y producción de pares. Todos estos son procesos definitivos en el sentido de que, si tienen lugar, siempre se elimina un fotón incidente.
Sea la intensidad de la radiación que inicialmente llega al absorbedor (número de fotones que llegan al material), después que la radiación haya atravesado un material de espesor x, su intensidad será .
El número de fotones que se absorben en un material de espesor es , por lo tanto
Integrando obtenemos:
(7)
Siendo . La ecuación (7) se conoce como distribución de Poisson. Obsérvese que cuando aumenta hace que disminuya rápidamente.
(9)
Ó
(8)
Siendo: La intensidad de la radiación medida sin absorbedor. La intensidad de la radiación medida con absorbedor. El coeficiente de absorción lineal del material absorbedor. El espesor del absorbente (material).
La segunda etapa consistió en estudiar la naturaleza estadística de los procesos radiactivos. Para esto, se empleó el Cs137 como muestra radiactiva y se tomaron 200 mediciones de conteo para un voltaje de 650V (cerca del centro del Plateau) empleando 20 segundos por cada medición realizada; también se realizó este mismo proceso, pero esta vez para la radiación de fondo, es decir, empleando el contador sin muestra radiactiva directa.
Figura 6. Gráfico de número de cuentas por minuto en función del espesor del material.
La última etapa del estudio consistió en determinar el coeficiente de absorción lineal para el polietileno. Utilizando diferentes membranas de este material, es decir, muestras de diferente espesor, se observó la intensidad de radiación que mostraba el contador para cada una de ellas, obteniéndose así, un determinado número de cuentas por cada espesor empleado. 4. RESULTADOS OBTENIDOS
3. METODO EXPERIMENTAL Para llevar a cabo el estudio tratado se desarrolló un método experimental que se dividió en tres etapas, empleando en cada una de ellas un software especial para este tipo de tratamiento. La primera de ellas consistió en determinar las características propias del contador Geiger-Müller operado, tiempo muerto y Plateau; para esto, se emplearon dos muestras radiactivas, Cs137 y Co60. Para determinar el Plateau se utilizaron las dos muestras (una a la vez) y se estudió el número de cuentas por cada voltaje empleado en un intervalo de 250V a 1200V durante 25 segundos por cada aumento de 25V. Para determinar el tiempo muerto del contador, de acuerdo a la ecuación (1) mostrada anteriormente, se utilizaron de nuevo las dos muestras mencionadas como y . Como primera medida se empleó Cs137 y se encontró su promedio de iones detectados para un potencial cercano al punto medio del Plateau (650V) realizando medidas de 25 segundos cada una; el mismo procedimiento se hizo para el Co60 y las dos muestras simultáneamente.
A continuación se presentan los datos obtenidos en el laboratorio mediante el método experimental expuesto anteriormente. 4.1 Determinación del Plateau.
A continuación se muestran las gráficas obtenidas en la determinación del Plateau para el Cs137 y el Co60.
Dispersion 6000 5500 5000 4500 4000 3500 s / s 3000 a t n 2500 e u 2000 C
1500 1000 500 0 -500 1 00
2 00
3 00
4 00
5 00
6 00
7 00
8 00
9 00 1 0 0 0 1 10 0 1 20 0 1 30 0
Votlaje aplicado (V)
Fig. 7. Intensidad de radiación (cuentas/s) en función del potencial aplicado para una muestra de Cs137.
Dispersion 140000
4.3 Estudio de la naturaleza estadística de los procesos radiactivos.
120000
A continuación se muestran los datos obtenidos durante la segunda etapa del experimento, donde se estudiaron gran cantidad de datos para una muestra de Cs137 y para la radiación de fondo. En cada caso se muestra una distribución de frecuencias que relaciona la cantidad de veces que se da un determinado intervalo de cuentas y el número de cuentas por segundo.
100000
80000 s / s a 60000 t n e u c 40000
20000 0
-20000 200
400
600
800
1000
1200
Vpltaje aplicado (V)
Fig. 8. Intensidad de radiación (cuentas/s) en función del potencial aplicado para una muestra de Co60.
Distribucion de frecuencias 40
30
4.2 Determinación del tiempo muerto del contador.
a i c n e u c 20 e r F
10
0 188
190
192
194
196
198
200
202
204
206
Cuentas/s
Fig. 9. Distribución de frecuencias para una muestra de Cs137. Distribucion de frecuencias 35
30
25 a i c n 20 e u c e r 15 F
10
5
0 0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
Cuentas/s
Fig. 10. Distribución de frecuencias para la radiación de fondo.
4.4 Coeficiente polietileno.
de
absorción
lineal
para
el
La siguiente gráfica muestra la relación entre la intensidad de radiación (cuentas/s) en función del espesor del material (polietileno), obtenida con los datos del proceso experimental descrito anteriormente. £
is
¡
rsi
¢
¤
200
150
s / s t 100 ©
¨
§
¦
¥
50
0
0
100
200
Es
300
400
500
600
700
2
¡
s r (mg/cm ) ¢
Fig. 11. Gráfica de intensidad de radiación en función del espesor del material.
5. ANALISIS DE RESULTADOS. En esta sección se presenta el análisis de los resultados obtenidos, presentados anteriormente. Las diferentes figuras mostradas permiten llevar a cabo un estudio concreto de los fenómenos observados. 5.1
Determinación del Plateau.
En las figuras 7 y 8 se presenta la intensidad de radiación en función del voltaje aplicado para las muestras de Cs137 y Co60 en un intervalo de 250V a 1200V. En los dos gráficos se puede observar claramente la zona del Plateau, en donde es útil operar el contador. Pero en efecto, la muestra de Cs137 permite observar mejor esta zona, ya que la cantidad de pares ión-electrón que se crean por el paso de cada una de las partículas cargadas de esta fuente es superior a las del Co60 y dicha cantidad no es tan despreciable con respecto a las cuentas realizadas después de los 900V como lo son las del Co60 mostradas en la figura 8. Se puede apreciar entonces, de las dos figuras, que la zona del Plateau se encuentra aproximadamente entre 450V y 900V. Por esta razón, para las siguientes etapas del estudio, se operó el contador en 650V que es un potencial aproximado al centro de la zona del Plateau.
5.2
Distribución Gaussiana y Poissoniana para analizar la naturaleza estadística de los procesos radiactivos.
5.3
Coeficiente polietileno.
de
absorción
lineal
para
el
La ecuación (9) describe la intensidad de radiación en función de la intensidad sin presencia de material absorbedor, el coeficiente de absorción lineal del material absorbedor y el espesor de dicho material. Dicha ecuación se puede linealizar con el fin de encontrar el coeficiente de absorción del polietileno empleando los datos mostrados en la figura 11. Veamos. La ecuación (9)
Se puede escribir de la forma
(10) Pero esta expresión se puede ver como una función lineal de la forma , donde es , y . Así, es posible obtener una línea recta de los datos de la figura 11 y por medio de mínimos cuadrados calcular la mejor pendiente, que en este caso sería el coeficiente de absorción lineal del polietileno. A continuación se muestra una gráfica de vs. .
Dispersion Linealizacion
0,5 0,0 -0,5 -1,0 -1,5 )
I / I
0
( -2,0 n L
-2,5 -3,0 -3,5 -4,0 0
50
100
150
spesor del
200
aterial (
250
Para indicar el significado de la contribución, sus limitaciones, ventajas y posibles aplicaciones. Se numera. REFERENCIAS Guías de Laboratorio de Física Moderna II. Universidad del Valle. Departamento de Física. MELISSINOS, A. C. NAPOLITANO, J. Experiments in Modern Physics. Second Edition. Academic Press. 2003.
X. CONCLUSIONES
/c
2
300
350
)
Fig. 12. Gráfica de Ln (I/I0) en function del espesor. La pendiente encontrada por el método de mínimos cuadrados tiene un valor de -0.01216 cm2/mg, este es el valor del coeficiente de absorción lineal para el polietileno encontrado experimentalmente.
