MATEMÁTICA PRÉ-VESTIBULAR LIVRO DO PROFESSOR
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I2299 I22
IESDE Bra IESDE Brasil sil S.A S.A.. / Pré-ve Pré-vesti stibul bular ar / IES IESDE DE Bra Brasil sil S.A S.A.. — Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor] 660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título. CDD 370.71 Disciplinas
Autores
Língua Portuguesa
Francis Madeira da S. Sales Márcio F. Santiago Calixto Rita de Fátima Bezerra Fábio D’Ávila Danton Pedro dos Santos Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba Costa Cleber Ribeiro Marco Antonio Noronha Vitor M. Saquette Edson Costa P. da Cruz Fernanda Barbosa Fernando Pimentel Hélio Apostolo Rogério Fernandes Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini Rafael F. de Menezes Rogério de Sousa Gonçalves Vanessa Silva
Literatura Matemática
Física Química Biologia História
Geografa
Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer
Produção
Projeto e Desenvolvimento Pedagógico
Sistemas lineares A matriz das incógnitas é uma matriz coluna formada pelas incógnitas do sistema. é x1 ù ê ú êx ú 2 X=ê ú ê ú ê ú êx ú ëê n ûú
Sistema linear Os primeiros trabalhos sobre resolução de sis temas lineares remontam ao século III a.C. A utilização de determinantes para a resolução de sistemas, porém, só ocorreu no século XVII com Seki Kowa, no Japão, e, posteriormente com Leibniz que discutiu as soluções de sistema de 3 equações e 3 variáveis. É interessante que a famosa regra de Cramer para a resolução de sistemas lineares foi desenvolvida primeiro por Colin Malaurin e somente algum tempo depois por Cramer. A importância dos sistemas lineares atualmente é vista nas mais variadas áreas de conhecimento, o que continua motivando estudos tanto em matemá tica pura como aplicada. Um sistema linear de m equações a n incógnitas é um conjunto de m (m 1) equações lineares a n incógnitas e pode ser escrito como segue: ì ïa11x1 + a12 x 2 + + a1n x n = b1 ï ï ïa21x1 + a22 x 2 + + a 2n x n = b 2 ï í ï ï ï ïa x + a x + + a x = b ï m2 2 mn n m ï î m1 1
onde x1, x2, ..., x n são as incógnitas. O sistema acima pode ser escrito na forma matricial. é a11 ê êa ê 21 ê ê êa êë m1
a12
a22
am 2
a1n ù é x1 ù é b1 ù ú ú ê ú ê a2n ú ê x 2 ú ê b2 ú ú ú×ê ú = ê ê ú ú ê ú ú ú ê ú ê a mn úúû êêë x n úúû êêë bm úúû
A matriz dos coeficientes das equações é chamada matriz incompleta do sistema. 2 1 0 _ T A M _ V _ M E
é a11 ê êa 21 A=ê ê ê êa êë m1
a12
a22
am2
a1n ù ú a2n ú ú ú ú a mn úûú
A matriz dos termos independentes é uma matriz-coluna formada pelas constantes do segundo membro. é b1 ù ê ú êb ú 2ú C=ê ê ú ê ú êb ú êë m úû
A matriz completa é obtida justapondo a matriz dos coeficientes à matriz incompleta. é a11 ê êa 21 B=ê ê ê êa êë m1
a12
a1n
a22
a2n
am2
a mn
b1 ù ú b2 ú ú ú ú bm úúû
Assim, o sistema linear na forma matricial pode ser representado como: A.X=C Quando a matriz A é inversível é possível obter a solução do sistema por meio da expressão: X = A-1. C A obtenção da matriz inversa, entretanto, é um procedimento muito trabalhoso, o que leva ao desenvolvimento de métodos alternativos para a resolução dos sistemas lineares.
Classifcação de um sistema linear A solução de um sistema linear de m equações e n incógnitas é uma ênupla ordenada ( a1,a2, ... ,an) que satisfaz cada uma das m equações, em que na posição i aparece o valor a ser atribuído à incógnita x i.
1
De acordo com a quantidade de soluções, o sis tema linear pode ser classificado como segue:
Determinado (S.P.D.) Indeterminado (S.P.I.)
Sistema possível ou compatível
Uma única solução
Alguns exemplos simples são apresentados a a seguir: x + y = 3 S.P.D. ⇒ S = {(2, 1)} x − y = 1 •
•
x + y = 3 2x + 2y = 6 nitas soluções S.P.I. ⇒
x + y = 3 2x + 2y = 7
S.I. ⇒
S ={(t, 3 – t) t R} infi-
S=
Teorema de Cramer Seja um sistema linear de n equações e n incógnitas e A a sua matriz incompleta. Se det A 0, então o sistema é possível e determinado e a solução é tal que: xi =
det A i det A
para i = 1, 2, ..., n
onde Ai é a matriz obtida de A, substituindo-se a iésima coluna pela coluna dos termos independentes. Nesse caso, diz-se que o sistema é um Sistema de Cramer.
det A
=
a11
a12
�
a 1n
a 21
a 22
�
a 2n
�
a n1
an 2
�
a nm
0
Sistema de Cramer Vamos aplicar o Teorema de Cramer na resolução do sistema abaixo: 1 1 1 x + y + z = 6 2 x + y − z = 1 det A = 2 1 −1 = –10 0 3x − y + z = 4 3 −1 1
2
6
1
detA x = 1
1
-1 =
-1
1
1
6
detAz = 2
1
1=
3 x=
z=
det A x
-1 =
det A det A z det A
=
6
1
detA y = 2
1
-1
3
4
1
= –20
–30
4
-10
-10
–10
1
1
- 10
-30
sistema possível e
1
4
Innitas
soluções Nenhuma Sistema impossível ou incompatível (S.I.) solução
•
sistema de Cramer determinado
=1 y =
det A y det A
=
-20 -10
=2
=3
S = {(1, 2, 3)} A Regra de Cramer permite identificar os sistemas possíveis e determinados e obter a sua solução. Entretanto, quando det A = 0, o sistema não é de Cramer, podendo ser possível e indeterminado ou impossível.
Sistema homogêneo Um sistema de equações lineares é dito homogêneo se os termos independentes de todas as equações são nulos. ì a x + a 12 x 2 + + a1n x n = 0 ï ï 11 1 ï ïa21x1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 ï í ï ï ï ïa x + a x + + a x = 0 ï m2 2 mn n ï î m1 1
Um sistema linear homogêneo sempre apresenta a solução (a1, a2, ... , a n) = (0, 0, ... , 0) que é chamada solução trivial. Se um sistema homogêneo é de Cramer (det A 0), então a solução trivial é a única solução. Se um sistema homogêneo não é de Cramer (det A = 0), então ele é necessariamente possível e indeterminado, possuindo infinitas soluções inclusive a trivial.
Autovalor e autovetor Seja A uma matriz quadrada de ordem n e a equação matricial A . V – l .V = 0 onde l é um escalar. Os valores de l para os quais a equação admite solução V 0 (visto que V = 0 é solução para qualquer
2 1 0 _ T A M _ V _ M E
l) são chamados autovalores ou valores próprios ou
valores característicos da matriz A. A solução V 0 correspondente a cada autovalor l é chamada autovetor ou vetor próprio ou vetor característico da matriz A, correspondente a l. Seja a matriz quadrada A de ordem n: é a11 ê êa 21 A=ê ê ê êa êë n1
a12
a22
an 2
a1n ù ú a2n ú ú ú ú ann úûú
a12
a22
an 2
é V1 ù a1n ù é V1 ù ê ú ú ê ú êV ú a2n ú ê V2 ú ú×ê ú =l ê 2ú ê ú ú ê ú ú ê ú ê ú êV ú ann úûú êëê Vn úûú ëê n ûú
a11 − λ
a12
�
a1n
a 21
a 22 − λ
�
a 2n
an1
an2
�
a nn
= 0
− λ
Desenvolvendo o determinante acima, resulta uma equação polinomial de grau n em, chamada de equação característica de A. 1 1 −2 Assim seja a matriz A = −1 2 1 , tem-se: 0 1 −1 1 − λ 1 −2 2 − λ 1 det( A − λ Ι n ) = −1 = –l3 + 2l2 + l – 2 = 0 0 1 −1 − λ
2 1 0 _ T A M _ V _ M E
1 0
−2 0 1
x 0 y = 0 z 0
− x + y + z = 0 y − 2z = 0
3z 3 y = 2z e x = 3z V = 2z = z ⋅ 2 z 1 3 Fazendo z = 1, então V = 2 1
Dois sistemas lineares (S1) e (S2) são equivalen tes, indicado por (S1) ~ (S2): 1.°) possuem as mesmas soluções, se são consistentes; 2.°) se são inconsistentes.
Transpondo todas as matrizes para o 1.º membro e colocando V em evidência a equação resultante é (A – In) . V = 0 onde In é a matriz identidade de ordem n. Essa equação representa um sistema linear homogêneo e possuirá solução não-trivial (não-nula) se, e somente se, o determinante da matriz incompleta do sistema for nulo.
det( A − λ Ιn )=
1
Sistemas equivalentes
A equação matricial A . V – .V = 0 pode ser escrita como: é a11 ê êa ê 21 ê ê êa êë n1
−1 0 0
Raízes: l1 = –1, l2 = 2 e l3 = 1. Logo, os autovalores de A são –1, 2 e 1. Vamos, para exemplificar, obter o autovetor correspondente ao autovalor l3 = 1. 0 1 − 2 x 0 −1 1 1 . y = 0 l3 = 1 (A – l3In) . V = 0 Escalonando a matriz vem: 0 1 −2 z 0
Quando são realizadas transformações elementares em um sistema, obtém-se outro sistema equivalente ao primeiro. São transformações elementares: 1.°) trocar as posições de duas equações; 2.°) multiplicar uma equação por um número não-nulo; 3.°) somar uma equação a outra (que pode ter sido multiplicada por um número nãonulo).
Sistemas escalonados Um sistema linear (S) é dito escalonado ou na forma escalonada quando: 1.°) cada equação possui pelo menos um coeficiente não nulo; 2.°) o número de coeficientes nulos, antes do primeiro coeficiente não-nulo, aumenta de equação para equação.
Resolução de sistemas escalonados A forma escalonada é uma forma extremamente conveniente para a resolução dos sistemas lineares. Serão apresentados os dois tipos de sistemas escalonados e a resolução de cada um deles.
3
Sistemas com número de equações igual ao número de incógnitas Nesse caso, o número de equações é igual ao número de incógnitas e cada termo a ii 0, i = 1, 2, ..., n. a11x1 + a12 x 2 + a13x 3 + a1n x n = b1 a22 x 2 + a 23x 3 + a 2n x n = b 2 a33 x 3 + + a 3n x n = b3 ann x n = bn
A matriz incompleta desse sistema é uma matriz triangular e, consequentemente, seu determinante será não-nulo.
det A =
a11
a12
a 13
a1n
0
a22
a23
a2n
0
0
a33
a3n
0
0
0
ann
=
a11a22 ⋅ ⋅ ann
Logo, o sistema é de Cramer, e por conseguinte, possível e determinado. Para obter a solução do sistema, obtém-se x n na n-ésima equação, depois, xn-1 na (n-1)-ésima equação e assim sucessivamente para xn-2, xn-3, ..., x 2, x1.
Sistemas com número de equações menor que o número de incógnitas Nesse caso, o número de equações é inferior ao número de incógnitas e nem todos os termos a ii, i = 1, 2, ..., n, são não-nulos. Para resolver esse tipo de sistema devemos transformá-lo num sistema do tipo anterior como segue: 1.°) as incógnitas que não aparecem no início de nenhuma equação, chamadas variáveis livres, devem ser transpostas para os segundos membros das equações. 2.°) O novo sistema assim obtido deve ser considerado como um sistema contendo apenas as incógnitas que sobraram nos 1. os membros das equações. 3.°) O sistema resultante estará na forma escalonada e pode ser resolvido pelo método exposto no item anterior, onde as variáveis 4
do 1.º membro serão apresentadas em função das variáveis do 2.º membro (variáveis livres). Como para cada valor assumido pelas variáveis livres resulta uma solução diferente, o sistema possui infinitas soluções, ou seja, é possível e indeterminado. O número de variáveis livres é obtido subtraindo do número total de variáveis o número de equações do sistema escalonado e é chamado grau de indeterminação do sistema. Nos dois tipos de sistemas escalonados não foram apresentados sistemas impossíveis. Isto se deve ao fato de ser uma exigência para que o sistema seja considerado na forma escalonada que todas as equações possuam pelo menos um coeficiente não-nulo. Como veremos a seguir, essa condição não é satisfeita para os sistemas impossíveis.
Método de eliminação de Gauss O método de eliminação de Gauss é um procedimento para escalonar um sistema, por meio de operações elementares, a fim de resolvê-lo. 1.° passo: colocamos como 1.ª equação aquela em que o coeficiente da 1.ª incógnita seja não-nulo. 2.° passo: anulam-se os coeficientes da 1.ª incógnita de todas as equações a exceção da 1.ª, substituindo cada equação pela sua soma com a 1.ª multiplicada por um número conveniente. 3.° passo: deixa-se de lado a 1.ª equação e aplicam-se o 1.º e 2.º passos às equações restantes. 4.° passo: deixam-se de lado a 1.ª e a 2.ª equações e repetem-se o 1.º e 2.º passo para as equações restantes e assim por diante até que o sistema fique na forma escalonada. Se, durante o escalonamento, ocorrer alguma equação do tipo Ox1 + Ox2 + ... Ox n = 0, esta deverá ser suprimida do sistema. Se, durante o escalonamento, ocorrer alguma equação do tipo Ox1 + Ox2 + ... Ox n = b, com b 0, o sistema será impossível. O sistema escalonado pode apresentar uma das seguintes características: 2 1 0 _ T A M _ V _ M E
sistema posn.º de equações = 1.º tipo sível determin.º incógnitas nado sistema possín.º de equações < 2.º tipo vel indetermin.º incógnitas nado apresenta equação da forma 0x1 + 0x2 sistema 3.º tipo +...+ 0xn = b com impossível b 0, `
1 única solução
x + 3 y − 2 z = 8 3) Resolva o sistema: 5 x + y + 4 z = 12 3 x + 2 y + z = 4 `
innitas
soluções nenhuma solução
Exemplos:
Como o sistema possui número de equações menor que o número de incógnitas é possível e indetermi- nado e seu grau de indeterminação é 1. A solução do sistema envolverá então um parâmetro. Fazendo z = t , t R. z =t
y = z + 1 = t + 1 x = y – z + 2 = 3
S = {(3, t + 1, t): t R} x + 2 y − 3 z = 4 2) Resolva o sistema: x + 3 y + z = 11 2 x + 5 y − 4 z = 13 `
Como há uma equação do tipo, o sistema é impos- sível. S=
Solução:
x − y + z = 2 x − y + z = 2 x − y + z = 2 2 x + y − z = 7 ~ 3 y − 3 z = 3 ~ 3 y − 3 z = 3 ~ x + 2 y − 2 z = 5 3 y − 3 z = 3 0 y + 0 z = 0 x − y + z = 2 y − z = 1
Solução:
x + 2 y − 3 z = 4 x + 3 y + z =11 ~ 2 x + 5 y − 4 z =13 x + 2 y − 3 z = 4 y + 2 z = 5 2 z = 2
x + 2 y − 3 z = 4 y + 4 z = 7 ~ y + 2 z = 5
z = 1 y = 5 - 2 . 1 = 3 x = 4 - 2 . 3 +3 . 1 = 1 Observe que o sistema escalonado possuía número de equações igual ao número de variáveis, logo é possível e determinado . S = {(1, 3, 1)}
Solução:
x + 3 y − 2 z = 8 x + 3 y − 2 z = 8 x + 3 y − 2 z = 8 ~ 5 x + y + 4 z = 12 ~ −14 y +14 z = −28 ~ − y + z = −2 3 x + 2 y + z = 4 −7 yy + 7 z = −20 20 − y + z = − 7 x + 3 y − 2 z = 8 − y + z = −2 20 0 = − 7
x − y + z = 2 1) Resolva o sistema: 2 x + y − z = 7 x + 2 y − 2 z = 5 `
x + y + z = 0 4) Discuta e resolva o sistema: x − y + mz = 2 mx + 2 y + z = −1 `
Solução:
Devemos analisar em separado o caso m = 0 (pois a multiplicação de uma linha por zero altera o sistema): x + y + z = 0 x + y + z = 0 x − y = 2 m=0 ~ − 2 y − z = 2 ~ 2 y + z = −1 2 y + z = −1 x + y + z = 0 − 2 y − z = 2 0 =1 sistema impossível S = Se m 0, temos: +y + z = 0 x + y + z = 0 x x − y + mz = 2 − 2 y + ( m −1 ) z = 2 ~ mx + 2 y + z = −1 ( 2 − m ) y + (1 − m ) z = − 1 x ~
+y + z = 0 − 2 y + ( m −1 ) z = 2 m(1 − m ) z = 1 − m 2
Se m = 1 a última equação se anula e o sistema é possível indeterminado com grau de indetermi- nação 1. Fazendo z = t, t R. z=t
2 1 0 _ T A M _ V _ M E
y = -1
x=1-t
S = {(1 - t, -1, t)}
Se m 0 e m 1, então o sistema possui número de equações igual ao número de variáveis e será possível e determinado. 5
2 1 1 ⇒ y = − ⇒ x = − m m m 1 1 2 S = − , − , m m m z =
`
Solução:
m=0
S=
m=1
S = {(1 - t, - 1, t)}
m 0em
1 1 2 S = − , − , m m m
Matriz escalonada Uma matriz está na forma escalonada se o número de zeros que precedem o primeiro elemento não-nulo de uma linha aumenta, linha por linha, até que restem, eventualmente, apenas linhas nulas. Assim, são matrizes escalonadas: 1 2 4 7 1 2 4 A = 0 3 5 8 ; B = 0 3 5 e 0 0 6 9 0 0 0
1 1 1 −2 Dada a matriz 2 4 5 8 a sua redução à −1 9 8 50 forma escalonada é feita como segue: (1) (linha 2) – 2 (linha 1) e (linha 3)+(linha 1) (2) (linha 3) – 5 (linha 2) 1 2 −1
1
1
4
5
9
8
−2 (1) 8 ~ 50
1 0 0
1
1
2
3
10
9
−2 (2) 12 ~ 48
1 0 0
1
1
2
3
0
−6
−2 12 −12
A última matriz encontra-se na forma escalonada.
Característica de uma matriz
Seja uma matriz qualquer A e A’ uma matriz equivalente à matriz A na forma escalonada. A carac terística da matriz A, indicada por p(A), é o número de linhas não-nulas de A’. 1 2 3 1 2 4 7 A matriz A = 4 5 6 é equivalente à matriz 5 7 9 C = 0 3 5 8 0 0 6 9 1 2 3 0 0 0 1 escalonada, 0 −3 −6 logo p (A) = 2. 0 0 0 Matrizes 1 1 1 −2 A matriz B = 2 4 5 8 é equivalente à ma −1 9 8 50 Uma matriz B é equivalente a uma matriz A de 1 1 1 −2 mesma ordem, indicado por B ~ A, se B for obtida a partir de A através de uma sequência finita de ope- triz escalonada 0 2 3 12 , logo p(B) = 3. 0 0 −6 −12 rações elementares sobre as linhas de A. As operações elementares citadas acima são: Há uma outra maneira equivalente de apresen tar o conceito de característica de uma matriz. 1.ª) trocar as posições de duas linhas; Chamando de determinante principal de uma 2.ª) multiplicar uma linha por um número nãomatriz, qualquer um dos determinantes não-nulos -nulo; de ordem máxima que podem ser extraídos dessa 3.ª) substituir uma linha pela sua soma com matriz. A característica da matriz é a ordem do seu outra linha (que pode ter sido multiplicada determinante principal. por um número não-nulo). 1 2 3 No caso da matriz A = 4 5 6 , temos: As operações elementares para o escalonamen to de uma matriz são análogas às operações para o 5 7 9 1 2 3 escalonamento de um sistema linear. Assim, se es4 5 6 = 0 p(A) não é 3 calonamos a matriz completa de um sistema linear, a matriz escalonada será a matriz completa de um 5 7 9 sistema equivalente ao original. 1 2 = −3 ≠ 0 p(A) = 2
equivalentes por linha
4
6
5
2 1 0 _ T A M _ V _ M E
1 Para a matriz B = 2 −1 1
1
1
2
4
5
−1
9
8
= −12 ≠ 0
1
1
4
5
9
8
−2 8 , temos: 50
é
p(A) = 3
Teorema de Rouché-Capelli Seja um sistema linear de m equações a n variáveis: a11x1 + a12 x 2 + + a1n x n = b1 a x + a x + + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 (S) am1x1 + a m 2x 2 + + a mn x n = bm Sejam A e B, as matrizes incompleta e completa do sistema: a11 a12 a1n a11 a12 a1n b1 a A = 21 a22 a2n B = a21 a22 a2n b2 a m1 am 2 amn am1 am 2 amn bm e suas características p(A) e p(B), respectivamente. O sistema linear (S) será: I) possível e determinado p(A) = p(B) = n
As três primeiras colunas compõem a matriz incompleta do sistema A. Logo p(A) = 2. Como p(A) < p(B), o sistema é impossível.
1.
a) m 10
b) m 11 c) m 2 d) m 13 e) m 14 `
Solução: C
Para que o sistema possua solução única, o sistema deve ser de Cramer, ou seja, o determinante da matriz incompleta deve ser não-nulo.
III) impossível p(A) < p(B)
2 1 0 _ T A M _ V _ M E
(UFPA) Qual o valor de m para que o sistema
mx + 3y = 12 tenha solução única? 4x − y = 10
II) possível e indeterminado p(A) = p(B) < n No caso do sistema ser possível e indeterminado, o grau de indeterminação do sistema, que indica a dimensão do conjunto verdade, é dado por n – p(A). x + y + z = 1 Dado o sistema linear 2x + y − 2z = 2 4 x − 3y + 2z = 30 sua matriz completa é: 1 1 1 1 1 1 1 1 B = 2 1 −2 2 ~ 0 1 4 0 . 4 −3 2 30 0 0 26 26 Logo, p(B) = 3. As três primeiras colunas compõem a matriz incompleta do sistema A. Logo p(A) = 3. Como p(A) = p(B) = 3, o sistema é possível e determinado.
x + y + z = 1 No sistema x + 2y + 2z = 2 sua matriz completa x + y + z = 0 1 1 1 1 1 1 1 1 B = 1 2 2 2 ~ 0 1 1 1 . Logo, p(B) = 3. 1 1 1 0 0 0 0 −1
m 3 4 −1 2.
0
–m –12 0
m –12
(UFRN) Se a, b e c são soluções do sistema x + 2y + z = 16 2x + y + z = 15 , então, abc vale: x + y + 2z = 17 a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100
`
Solução: A
1 det A = 2 1 16 det A x = 15 17
2 1 1 2 1 1
1 1 = —4 0 2 1 1 = –12 2
Sistema de Cramer
7
rismos do ano, em uma nova tripla de números d’-m’-a’, de acordo com a regra:
1 16 1 det A y = 2 15 1 = –16 1 17 2
−2 3 1 d d ' −1 2 1 ⋅ m = m ' −2 3 1 a a '
1 2 16 det Az = 2 1 15 = –20 1 1 17
O código revelou-se um desastre. De fato, várias datas originais distintas (d, m, a) correspondem a um mesmo código transmitido (d’, m’, a’).
det A x −12 = x = −4 = 3 det A
Por exemplo, as datas 1/1/97 e 2/2/96 correspondem ao mesmo código 98-98-98, pois:
det A y −16 = = 4 y = −4 det A
−2 3 1 1 −2 3 1 2 98 −1 2 1 ⋅ 1 = −1 2 1 ⋅ 2 = 98 −2 3 1 97 −2 3 1 96 98
det Az = −20 = 5 z = −4 det A
3.
a = 3, b = 4 e c = 5 abc = 3 . 4 . 5 = 60
Id Ota pensou então em alterar o coefciente central da
4 5 7 0 (ITA) Considere a equação x −16 + y 1 + z 0 = 0 4 2 3 0 onde x, y e z são números reais. É verdade que:
matriz, a 22 , igual a 2, para um outro valor k.
a) a equação admite somente uma solução. c) em qualquer solução, 16x = 9z . d) em qualquer solução, 25y2 = 16z2.
Isso pode ser confrmado calculando o determinante da
2
matriz incompleta do sistema
e) em qualquer solução, 9y2 = 16z2. Solução: E
4 5 7 0 x −16 + y 1 + z 0 = 0 ⇔ 4 2 3 0
4 x + 5 y + 7z = 0 −16 x + y = 0 4 x + 2 y + 3 z = 0
O sistema acima é homogêneo. O determinante da sua matriz incompleta 4 5 7 −16 1 0 = 0 4 2 3
8
Solução:
O sistema em questão não é de Cramer por isso apare- cem mais de uma data (solução) para o mesmo código.
2
4.
`
k < –27 ou k > 33
b) em qualquer solução, x 2 = z2.
`
Determine, se possível, os valores de k que fazem o código funcionar bem.
−2 3 1 −1 2 1 = 0 −2 3 1 Se (d,m,a) e (d 1,m 1,a 1 ) são duas datas distintas transfor- madas no mesmo código, temos: −2 3 1 d −2 3 1 d 1 0 −1 k 1 m − −1 k 1 m = 0 1 −2 3 1 a −2 3 1 a 1 0
Logo, o sistema é possível e indeterminado.
separando-se as variáveis temos: d − d 1 3 − k m − m = n ⋅ 1 1 a − a 1 3 − 2 k
Escalonando o sistema, temos:
n Z*
4 x + 5 y + 7 z = 0 3 y + 4 z = 0 As soluções do sistema satisfazem 3y = 4z, elevando ao quadrado, temos 9y 2 = 16z 2 .
Temos as seguintes restrições:
(UFRJ) O agente Id Ota inventou o seguinte código secreto para a transmissão de datas de certos fatos importantes: o código transforma uma data d-m-a, onde d é o dia, m é o mês e a representa os dois últimos alga-
–99 a –a 1 99
–30 d –d 1 30 –11 m –m 1 11
–30 n.(3–k) 30 11 n 11 99 n(3k – 2) 99
Basta analisarmos n = 1, pois este valor determinará os maiores intervalos para k.
2 1 0 _ T A M _ V _ M E
disso, a quantidade de castanha de caju em cada lata deve ser igual a um terço da soma das outras duas.
É fácil ver que se –27 k 33 o código não funciona. Logo devemos ter k > 27 ou k > 33. 5.
a) Escreva o sistema linear que representa a situação descrita acima.
(UFV) A tabela abaixo apresenta informações relativas às pizzas de uma pizzaria. Tamanho
Diâmetro (em cm)
pequena média grande
20 30 40
Preço (em R$)
6,00 11,00 18,00
b) Resolva o referido sistema, determinando as quantidades, em gramas, de cada ingrediente por lata. `
x + y + z = 0 , 5 a) 5 x + 20 y +16 z = 5 ,75 y = ( x + z ) / 3 b) 250g de amendoim, 125g de castanha de caju e 125g de castanha-do-pará.
Considerando que, nessa pizzaria, o preço P, em reais, de uma pizza é calculado pela soma de um custo xo c
com um termo que depende do raio r, em cm, da pizza segundo a função P(r) = c + b . r + a . r2: a) Calcule o valor de b.
`
Resposta:
`
Solução:
a) quantidade de amendoim em quilos: x
b) Calcule o valor de c.
quantidade de castanha de caju em quilos: y
c) Determine o preço, em reais, de uma pizza gigante, de 50cm de diâmetro.
quantidade de castanha-do–pará em quilos: z (cada lata contém 1/2kg da mistura) x + y + z = 0 , 5 5 x + 20 y +16 z = 5 ,75 (custo total dos ingredientes da lata) y = ( x + z ) / 3 (qtd. castanha de caju é 1/3 das outras)
Solução:
a) b = 0 b) c = 2
b)
c) R$27,00
x + y + z = 0 , 5 15 y +11z = 3 , 25 − 4 y = −0 , 5
a) e b)
y = 0,125 kg = 125g z = 0,125 kg = 125 x = 0,250 kg = 250g
P(10) = c + 10b + 100a = 6 c + 10b + 100a = 6 P(15) = c + 15b + 225a = 11 5b + 125a = 5 P(20) = c + 20b + 400a = 18 ~ 10b + 300a = 12 7.
c + 10b + 100a = 6 ~ 5b + 125a = 5 50a = 2 1 ⇒ a = 25 1 ⇒ 5 b = 5 −125 ⋅ ⇒ 5 b = 0 ⇒ b = 0 25 1 ⇒ c = 6 −10 ⋅ 0 −100 ⋅ ⇒ c = 2 25 1 c )P ( 25 ) = 2 + ⋅ 25 2 = 2 + 25 = 27 ⇒ preço: R $ 27 , 00 25 6. 2 1 0 _ T A M _ V _ M E
(Unicamp) Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará. Sabe-se que o quilo de amendoim custa R$5,00, o quilo da castanha de caju R$20,00 e o quilo de castanha-do-pará R$16,00. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$5,75. Além
x + y + z = 0 , 5 x + y + z = 0 ,5 5 x + 20 y +16 z = 5 ,75 ~ 5 x + 20 y +16 z = 5 ,75 ~ y = ( x + z ) / 3 x − 3 y + z = 0
(IME) Determine para que seja impossível o sistema: ì ï x + 2 y - 3 z = 4 ï ï ï3 x - y + 5 z = 2 í ï ï ï4 x + y + ( a2 -14 ) z = a + 2 ï î
`
Solução: a = –4 ì x + 2 y - 3 z = 4 ï ï ï ï3 x - y + 5 z = 2 í ~ ï ï 2 ï4 x + y + ( a -14 ) z = a + 2 ï î
~
ì x + 2 y - 3 z = 4 ï ï ï ï-7 y +14 z = - 10 í ï ï 2 ï( a -16 ) z = a - 4 ï î
ì x + 2 y - 3 z = 4 ï ï ï ï-7 y +14 z = -10 í ï ï ï-7 y + ( a 2 - 2 ) z = a -14 ï î
9
a) homogêneo indeterminado.
Para que o sistema seja impossível, a 3.ª equação deve ser da forma 0z = b, b 0, então a
– 16 = 0
2
a–4
0
4
a a
b) possível e determinado. c) possível e indeterminado.
4
d) impossível e determinado.
Logo, quando a = –4, a 3.ª equação fca 0z = –8 e o sistema é impossível. 8.
(UFF) As ligações entre as cidades A, B e C guram num
e) impossível e indeterminado. `
mapa rodoviário conforme ilustrado abaixo:
Seja B a matriz completa do sistema: 4 1 −1 0 −1 −1 1 1 B = −1 −1 1 1 ~ 4 1 −1 0 ~ 2 −1 1 2 2 −1 1 2
cidade
A cidade
B
−1 −1 1 1 0 −3 3 4 ~ 0 −3 3 4
cidade
−1 −1 1 1 0 −3 3 4 0 0 0 0
Podemos identifcar a característica da matriz completa
C
Seguindo esse mapa, uma pessoa que se deslocar de A para C, passando por B, percorrerá 450km. Caso a pessoa se desloque de A para B, passando por C, o percurso será de 600km. Para se deslocar de B para C, passando por A, a pessoa vai percorrer 800km. Determine quantos quilômetros esta pessoa percorrerá ao se deslocar de A para B, sem passar por C. `
Solução: C
p(B) e da matriz incompleta p(A) (desprezando a 4.ª coluna). p(A) = p(B) = 2 < 3 sistema possível e indeterminado. 10.
Solução: 325km
Determine para que os valores de k no sistema x − y + 2z = 1 x + y − z = 2 seja: x − 3 y + 5z = k a) possível e determinado; b) possível e indeterminado; c) impossível.
cidade
A cidade
B
`
Solução:
a) não existe k b) k 0
z
c) k = 0 v cidade
C
x + y = 450 y + z = 600 x + z = 800 Esse sistema pode facilmente ser resolvido somando as três equações: 2.(x +y +z) = 1850 x + y + z = 925 x = 925 - (y + z) = 925 - 600 = 325 km 9.
10
4x + y − z = 0 (PUC-SP) Estudando o sistema linear − x − y + z = 1 2x − y + z = 2 vericamos que ele é:
1 −1 2 1 1 −1 2 1 B = 1 1 −1 2 ~ 0 2 −3 1 ~ 1 −3 5 k 0 −2 3 k −1 1 −1 2 1 0 2 −3 1 0 0 0 k
Analisando a matriz vemos que p(A) = 2 e p(B) depende de k. a) Não ocorre a situação p(A) = p(B) = 3, pois p(A) = 2, independente de k. b) p(A) = p(B) < 3 devemos ter p(B) = 2 c) p(A) < p(B)
p(B) = 3
k 0
k = 0
2 1 0 _ T A M _ V _ M E
11.
Sabendo que as equações da forma ax + by + cz + d = 0, representam planos no R 3, determine que gura representa gracamente a solução do sistema
3.
x + 2y + z = 1 2x − y − 3z = 7 3 x + y − 2z = 8 `
x + α y − 2 z = 0 (FGV) O sistema linear x + y + z = 0 admite solução x − y − z = 0 não-trivial, se: a) a = –2 b) a –2 c) a = 2
Solução: Reta
1 2 1 1 1 2 1 1 B = 2 −1 −3 7 ~ 0 −5 −5 5 ~ 3 1 −2 8 0 −5 −5 5
d) a 2 e) a R, sendo R o conjunto dos números reais. 4.
(FGV) a) Mostre que existem innitas triplas ordenadas (x, y, z) de números que satisfazem a equação matricial:
1 2 1 1 0 −5 −5 5 0 0 0 0
1 2 −1 0 x ⋅ 2 + y ⋅ 0 + z ⋅ −10 = 0 −1 1 7 0
p(A) = p(B) = 2 O sistema é possível e indeterminado e o grau de inde- terminação é 3 – 2 = 1. Logo, a dimensão do conjunto solução é um (a variável z aparece como parâmetro) e a solução é representada por uma reta.
b) Resolva o sistema linear abaixo, nas incógnitas x e y, usando o conceito de matriz inversa:
2x + y = a 5x + 3 y = b
A solução desse sistema pode ser representada como: z = t y = –1 – t
S = {(3 + t, –1 – t, t); t R)}
Use o fato de que a inversa da matriz
x = 3 + t
A
Como se pode ver a solução do sistema representa a equação de uma reta no R 3 na forma paramétrica.
1.
5.
6.
b) m –11 c) m –12 d) m –13 e) m –14 2.
2x − y − z = 1 (Unicamp) Para que valor de o sistema x + 2 y + 3z = 0 − x − y + α z = 0
(Cesgranrio) O valor de a tal que no sistema 2x + 3y − z = 3 x − y + az = 1 x + y + z = 5 se tenha z = 3 é: a) – 2
(FGV) Determine os valores de a para os quais o sistema linear abaixo admita solução não-trivial.
b) – 1 c) 0
2x + y + z = 0 (sen a )x + (cos a ) y = 0 (cos a )x + (sen a )z = 0 2 1 0 _ T A M _ V _ M E
−1 = 3 −1 −5 2
2 1 5 3 é
1 −1 −1 = x det 0 2 3 , tem solução única (x, y, z) dada por: 0 −1 α 2 −1 1 2 1 −1 y = det 1 0 3 e z = det 1 2 0 ? −1 −1 0 −1 0 α
(UFPA) Qual o valor de m para que o sistema mx + 3 y = 12 4 x − y = 10 tenha solução única? a) m –10
A =
d) 1 e) 2 7.
(FGV) Considere o sistema linear nas incógnitas x, y e z: 11
x + y + mz = 3 2x + 3 y − 5z = −7 3x − y + z = 4
II III Total
a) Para que valores de m o sistema é determinado? b) Resolva o sistema para m = 0. 8.
x + 4z = −7 (Fuvest) Se x − 3 y = −8 , então x +y +z é igual a: y + z = 1 a) –2 b) –1
Produtos Lojas
d) 1 e) 2
( k + 2)x + y − z = 0 (UFRGS) O sistema linear x + ky + z = 0 é possível − x + (k − 1)z = 4
X Y Z
de k. A soma de todos esses valores de k é: a) 1 c) 0
13.
B
C
3 1 1
2 2 2
1 3 0
Despesas (R$)
80,00 100,00 40,00
(UENF) Considere um grupo de 50 pessoas que foram
d) 1/2
identicadas em relação a duas categorias: quanto à cor
e) 1
azuis ou castanhos. De acordo com essa identicação,
dos cabelos, louras ou morenas; quanto à cor dos olhos, sabe-se que 14 pessoas no grupo são louras com olhos azuis, que 31 pessoas são morenas e que 18 têm olhos castanhos. Calcule, no grupo, o número de pessoas morenas com olhos castanhos.
(Unirio) Numa prova de vestibular, uma das questões tinha o seguinte enunciado: “Discuta o seguinte sistema de 3 equações lineares a 3 incógnitas, em função de a e b” 14.
2x + y − z = − x + ay + bz = 3 x − 2 y + z =
comunicou ao scal. Este, via Coordenação do Concurso,
contatou a banca, que reconheceu a falha e, para não anular a questão, avisou a todos os candidatos que o sistema era homogêneo. Sendo você é um(a) candidato(a) desta prova, resolva a questão. 11. (UERJ) Uma indústria produz três tipos de correntes. A tabela abaixo indica os preços praticados para uma produção total de 100m. Tipos
Produção (metros)
x
Preço por metro Custo
2,00
Venda
3,00
(UERJ) Um negociante de carros dispõe de certa quantia, em reais, para comprar dois modelos de carro, A e B. Analisando as várias possibilidades de compra, concluiu, em relação a essa quantia, que: •
Ao iniciar a prova, um candidato notou que estavam faltando os termos independentes das equações e
12
A
b) o preço unitário do produto A, admitindo que o preço de venda de cada produto é igual nas três lojas.
b) –1/2
I
5,00 P 460,00
De acordo com os dados, determine: a) o intervalo de variação do preço do produto B, comprado na loja Z;
e determinado, exceto para um número nito de valores
10.
4,00 5,00 320,00
A quantidade z de metros produzidos da corrente do tipo III é um número inteiro. Se 5 < P 10, calcule os possíveis valores inteiros de P. 12. (UENF) A tabela abaixo indica a quantidade dos produtos A, B e C, comprados nas lojas X, Y e Z, e as despesas, em reais, relativas às compras efetuadas.
c) 0
9.
y z 100
•
•
15.
faltariam R$10.000,00 para comprar cinco unidades do modelo A e duas do modelo B; sobrariam R$29.000,00, se comprasse três unidades de cada modelo; gastaria exatamente a quantia disponível, se comprasse oito unidades do modelo B.
Estabeleça a quantia de que o negociante dispõe. (UERJ) Um comerciante deseja totalizar a quantia de R$500,00 utilizando cédulas de um, cinco e dez reais, num total de 92 cédulas, de modo que as quantidades de cédulas de um e de dez reais sejam iguais. Neste caso, a quantidade de cédulas de cinco reais de que o comerciante precisará será igual a:
2 1 0 _ T A M _ V _ M E
a) 12
19.
x + y + z = 1 x + y − z = 1
b) 28 c) 40 16.
(PUC-Rio) Assinale a armativa correta. O sistema
d) 92
a) não tem solução.
(Unirio) Estados Unidos, China, Rússia, Austrália e Japão foram, nesta ordem, os cinco países mais bem colocados nas Olimpíadas de Atenas/2004.
b) tem uma solução única x = 1, y = 0, z = 0.
•
•
•
c) tem exatamente duas soluções. d) tem uma innidade de soluções.
O total de medalhas de Estados Unidos, China e Rússia foi 258.
e) tem uma solução com z = 1.
O total de medalhas de China, Rússia e Austrália foi 204.
x + y − z = 1 (PUC-Rio) Dado o sistema x − y + z = 1 − x + y + z = 1
20.
Estados Unidos e Austrália somaram 152 medalhas.
a) Existe uma solução do tipo x = a + 1, y = 2a e z = a?
O total de medalhas conquistadas pela Austrália foi: a) 37
b) Ache todas as soluções do sistema. 21.
b) 45
(UFJF) O alvo de um “Tiro ao Alvo” é composto por três regiões A, B e C, conforme a gura a seguir.
c) 49 d) 51 e) 63 17.
(UFRJ) Na gura a seguir, cada um dos sete quadros
A
contém a medida de um ângulo expressa em graus. Em quaisquer três quadros consecutivos temos os três ângulos internos de um triângulo.
B C
100O X 65O 22.
18.
Determine o valor do ângulo X. (PUC) O conjunto de todas as soluções do sistema
a1x + b1y = c1 sistema a2 x + b2 y = c 2 é: a 3 x + b3 y = c 3
x + 2 y + 3z = 0 4x + 5y + 6z = 0
a) indeterminado.
a) é vazio.
b) determinado.
b) consiste apenas no vetor nulo (0,0,0) .
c) incompatível.
c) consiste apenas no vetor (1, − 2, 1) .
d) determinado se, e somente se, c 1 = c2 = c3 = 0.
d) consiste em todos os múltiplos {( a, − 2a, a )} de (1, − 2, 1) . 2 1 0 _ T A M _ V _ M E
e) consiste em todos os múltiplos {( a, a, − 2a )} de (11 , , − 2) .
Nesse jogo, cada tiro acertado na região B vale a metade dos pontos de um tiro acertado na região A e cada tiro acertado na região C vale um quinto dos pontos de um tiro acertado na região B. Carlos jogou e acertou 5 tiros na região A, 2 tiros na região B e 2 tiros na região C, perfazendo um total de 62 pontos. Pedro jogou e acertou 8 tiros na região A, 3 tiros na região B e 2 tiros na região C. Quantos pontos Pedro fez? (UFRGS) Se (an ), (bn ) e (c n ) são progressões geométricas de mesma razão, com a12 ≠ b12, não-nulo, então o
e) indeterminado se, e somente se, c 1 = c2 = c3 = 0. 23.
(Fuvest) O sistema
x + (c + 1) y = 0 cx + y = −1 , onde c
0, admite
uma solução (x, y) com x = 1. Então, o valor de c é: 13
24.
a) 3
a) é determinado qualquer que seja m.
b) –2
b) é indeterminado para m 2/3.
c) –1
c) é impossível para m 2/3.
d) 1
d) é determinado para m 2/3.
e) 2
e) é impossível qualquer que seja m.
(FGV) Considere o sistema linear nas incógnitas x, y e z:
28.
x − 2 y − z = 8 2x + y + 3z = −2 ax + y + 2z = 8 a) Encontre o valor de a que torna o sistema impossível ou indeterminado.
a) Esse sistema tem alguma solução? b) Qual a dimensão do conjunto solução deste sistema? c) Descreva, geometricamente, este conjunto solução. 29.
são: a) 3 e 5
(FGV) O sistema linear abaixo:
b) –2 e 1
x + 2 y − 3z = 1 2x − y − z = 4
c) 1/2 e 3 d) 0 e 1
a) é impossível. b) admite apenas uma solução.
e) 4 e –2 30.
c) admite apenas duas soluções.
(UFF) Determine os valores de a para que o sistema
ax + a2 y = a2 seja: S: 6 5 4 + = a x a y a
d) admite apenas três soluções. e) admite innitas soluções. 26.
(UFJF) Os valores de a e b para que o sistema
3x + y = 3a + 4b (a − b )x + 2 y = 8 seja possível e indeterminado,
b) Utilize o valor de a encontrado no item anterior para vericar se o sistema dado é impossível ou indeter minado. 25.
(PUC-Rio) Considere o sistema
x + y + z = 1 x + y − z = 1 x + y = 1
a) possível e determinado;
(FGV)
b) indeterminado;
a) No plano cartesiano, mostre que as retas de equax − y − 1 = 0 ções 4 x − y − 10 = 0 concorrem num mesmo
c) impossível.
2x + y − 8 = 0
ponto e obtenha esse ponto. b) Discuta, em função do parâmetro m, a posição rela3 x − 2 y − 5 = 0 tiva das retas de equações . mx − y + 2 = 0 27.
(Unicamp) Seja A a matriz formada pelos coecientes
do sistema linear abaixo:
λ x + y + z x + λ y + z x + y + λ z
(FGV) O sistema linear nas incógnitas x e y:
x − 2 y = 7 2x + my = 0 3x − y = 6
14
1.
= λ + 2 = λ + 2 = λ + 2
a) Ache as raízes da equação: det A=0. b) Ache a solução geral desse sistema para λ = 2. 2.
(UERJ) Considere que na resolução do sistema abaixo, onde cada equação representa um plano no espaço cartesiano tridimensional, um aluno aplicou a regra de Cramer.
2 1 0 _ T A M _ V _ M E
x +y +z =0 2 x + (log3 a ) y + z = 0
x + 2 y + 3z = 1 x + 2 y + 3 z = 2 x + 2 y + 3z = 4
2 x + 2 y + log3
Resolução do aluno 1 2 3 D = 1 2 3 =0 ; 1 2 3
1 2 3 Dx = 2 2 3 = 0 4 2 3
;
;
x =
D
=
0 0
;
y =
Dy D
=
0 0
;z=
Dz D
=
0
5.
0
Conclusão: Sistema possível e indeterminado
b) S
é vazio
c) S
[2, 4]
d) S
[1, 3]
e) S
[0, 1]
das armações abaixo é verdadeira?
b) paralelos, sendo apenas dois coincidentes.
d) As raízes são 0 e 5/2.
c) dois paralelos distintos e o terceiro oblíquo a eles.
e) Todo l real satisfaz esta equação.
a) Apresenta apenas raízes negativas. b) Apresenta apenas raízes inteiras. c) Uma raiz é nula e a outra negativa.
6.
(ITA) O sistema abaixo, nas incógnitas x, y e z, ax a +1 3 x +3a −1
6 −3 0 (Unesp) Considere a matriz A = −3 6 0 . 1 1 2 a) Determine todos os número reais l para os quais se tem det (A – lI ) = 0, onde é a matriz identidade
a) log32 e
=
a +1 y +3
a
=1
1 2
( −1 + log2 5 )
b) log32 e 1 log 5 2
b) Tomando l = –2, dê todas as soluções do sistema
2 1
c) log21 e log2 3
(6 − λ )x − 3 y = 0 −3x + (6 − λ ) y = 0 x − y + (2 − λ )z = 0 (ITA) Se S é o conjunto dos valores de a para os quais o sistema
a
é possível e determinado quando o número a é diferente de:
de ordem 3.
2 1 0 _ T A M _ V _ M E
=0
(ITA) Seja l um número real, I a matriz identidade de ordem 2 e A a matriz quadrada de ordem 2, cujos elementos aij são denidos por: aij = i + j. Sobre a equação em denida por det(A – lI ) = det A – l , qual
e) secantes dois a dois, determinando três retas paralelas distintas.
4.
z
A co nc lusã o do al uno está errada. A regra de Cramer pode, na discussão de sistemas, levar a falsas conclusões. Esse sistema, por exemplo, é impossível pois os três planos são: a) paralelos distintos.
d) dois paralelos distintos e o terceiro perpendicular a eles.
3.
a
é indeterminado, então a) S [ 3, 3]
1 1 3 Dy = 1 2 3 = 0 1 4 3
1 2 1 Dz = 1 2 2 = 0 1 2 4 Dx
27
2
d)
1 2
( −1 + log2 1) e
1 2
( −1 + log2 3)
1
e) log31 e ( −1 + log3 5) 2
7.
(ITA) Seja m R, m > 0. Considere o sistema:
15
x + y + z = 0 x sen a + y cos a + z (2 sen a + cos a ) = 0 x sen2 a + y cos2 a + z (1 + 3 sen2 a + 2 sen 2a ) = 0
2x − (log4 m ) y + 5z = 0 (log2 m )x + y − 2z = 0 x + y − (log m 2 )z = 0 2 O produto dos valores de m para os quais o sistema admite solução não-trivial é: a) 1
possível e indeterminado é: a) 5p b) 4p
b) 2
c) 3p
c) 4
d) 2p
d) 8
e) p
e) 2 log2 5 8.
(ITA) Considere as matrizes
−1 0 1 2 0 1 A = 0 2 0 e B = 0 −2 0 1 0 −1 1 0 2 Sejam l0, l1 e l2 as raízes da equação det (A – l I3 ) = 0 com l0 l1 l2 .
11.
Considere as armações.
I. B = A l0l3 II. B = (A l1 l3 )A III. B = A(A l2 l3 )
(UFRN) Ao estudar a condução do calor numa barra metálica na, colocam-se suas extremidades em con tato com dois reservatórios de calor para mantê-las a temperaturas constantes. Após um certo tempo, a distribuição de temperatura entra em equilíbrio e adquire a seguinte propriedade: Se a, b e c são pontos da barra com b equidistante de a e c, então Tb = (Ta + T ) / 2, sendo T X a temperatura c da barra no ponto x.
Então: a) todas as rmações são falsas. b) todas as armações são verdadeiras. c) apenas (I) é falsa.
Supondo que a gura abaixo representa uma barra de
metal cujas extremidades estão mantidas a 10ºC e 30ºC e que os pontos 1, 2 e 3 dividem a barra em quatro partes iguais, atenda às solicitações que seguem.
d) apenas (II) é falsa. e) apenas (III) é verdadeira. 9.
(ITA) Os valores reais de a que tornam o sistema
o
o
10 C
30 C 1
2a+1 ì ï3 ×x +y =1 ï ï íx + y = 0 ï a ï( 3 × 10 - 3 ) × x + y = 1 ï ï î
b) apenas a = 0 e a = 3. c) apenas a = 2.
12.
d) apenas a = 1 e a = -1. e) não existe valor de a nessas condições.
16
(ITA) A soma de todos os valores de a tornam o sistema
3
a) Escreva as três equações que fornecem as temperaturas T1, T2 , T3 nos pontos 1, 2 e 3, respectivamente. 2x − y = 10 b) Resolva o sistema x − 2 y + z = 0 y − 2z = −30 c) Qual a relação entre a solução do sistema acima e as temperaturas nos pontos 1, 2, 3 da barra?
possível e determinado são: a) qualquer valor de a.
10.
2
[0, 2p[ que
x + z + w = 0 (ITA) Considere o sistema: (P) x + ky + k 2 w = 1 x + (k + 1)z + w = 1 x + z + kw = 2
2 1 0 _ T A M _ V _ M E
horas, em que cada um usa o computador, por noite, sabe-se que:
Podemos armar que (P) é possível e determinado
quando: a) k 0
•
b) k 1 c) k –1
•
d) k 0 e k 1 •
e) n.d.a. 13.
Considere o quadrado mágico representado abaixo:
c) 5h
3x 5 y
z 7y 6
b) 7h d) 6h 17.
lanche e juntos gastaram R$13,90. O primeiro comprou dois cachorros-quentes, um saco de batatas fritas e um refrigerante, gastando R$4,40. O segundo gastou R$5,80 na compra de um cachorro-quente, dois refrigerantes e dois sacos de batatas fritas.
(UFJF) Em uma videolocadora, o acervo de lmes foi
celo estava fazendo sua cha de inscrição, quando viu Paulo alugar dois lmes SO, dois lmes SP e um lme SB e pagar R$13,50 pela locação dos lmes. Viu tam bém Marcos alugar quatro lmes SO, dois lmes SP e um lme SB e pagar R$20,50 pela locação. Marcelo alugou três lmes SO, um lme SP e dois lmes SB e pagou R$16,00 pela locação dos lmes. Então, nesta locadora, o preço da locação de três lmes, um de cada
a) Determine o preço do refrigerante sabendo que o terceiro dos três amigos comprou um refrigerante e dois sacos de batatas fritas. b) Quanto seria gasto na compra de quatro cachorrosquentes, seis refrigerantes e seis sacos de batatas fritas? 18.
categoria, é igual a: a) R$7,50 b) R$8,00 c) R$8,50 d) R$9,00 e) R$10,00
16.
(UFF) Um biscoito é composto por açúcar, farinha de trigo e manteiga, sendo a quantidade de farinha o dobro da quantidade de açúcar. Os preços por quilograma do açúcar, da farinha e da manteiga são, respectivamente, R$0,50, R$0,80 e R$5,00. O custo por quilograma de massa do biscoito, considerando apenas esses ingredientes, é R$2,42. Calcule a quantidade, em gramas, de cada ingrediente presente em 1kg de massa do biscoito. (UFRN) Três amigos, denominados X, Y e Z, utilizam o computador todas as noites. Em relação ao tempo em
(Unirio) Três amigos foram assistir a uma partida de basquetebol no Maracanãzinho. No intervalo zeram um
dividido, quanto ao preço, em três categorias: Série Ouro (SO), Série Prata (SP) e Série Bronze (SB). Mar-
2 1 0 _ T A M _ V _ M E
o tempo de X mais 9 vezes o tempo de Z excede em 10 o tempo de Y.
A soma do número de horas de utilização do computador, pelos três amigos, em cada noite, é igual a: a) 4h
Calcule os valores de x, y e z.
15.
o tempo de X mais o quádruplo do tempo de Z é igual a 3 mais o dobro do tempo de Y.
(UFF) Um dos textos chineses mais antigos é o “I-King”, ou livro das permutações. Nele aparece um diagrama numérico “Io-shu”, conhecido como “quadrado mágico”. A soma dos elementos de cada linha, de cada coluna e de cada diagonal é a mesma.
4 x 4z
14.
o tempo de X mais o tempo de Z excede o de Y em 2.
19.
20.
(Fuvest) Um caminhão transporta maçãs, pêras e laranjas, num total de 10 000 frutas. As frutas estão condicionadas em caixas (cada caixa só contém um tipo de fruta), sendo que cada caixa de maçãs, pêras e laranjas, têm, respectivamente 50 maçãs, 60 pêras e 100 laranjas e custam, respectivamente, 20, 40 e 10 reais. Se a carga do caminhão tem 140 caixas e custa 3.300 reais, calcule quantas maçãs, pêras e laranjas estão sendo transportadas. (UFCE) Seja a função f: R R, f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx onde a, b e c são números reais. Determine f(–2) sabendo que f(1) = 0, f(1) = 2 e f(2) = 14. (UEM) Determine a soma das soluções do sistema de equações dado por:
2x + 2y + 2z = 7 2x +1 + 2 y + 2z = 9 2x − 2 y +1 + 2z +1 = 2 17
(sugestão: considere 2 x = a , 2 y = b e 2z = c . 21.
3x − 2 y + z = 7 (ITA) Analisando o sistema x + y − z = 0 concluímos 2x + y − 2z = −1 que este é:
24.
a) possível e determinado com xyz = 7. b) possível e determinado com xyz = –8. c) possível e determinado com xyz = 6.
22.
x 1 + x 2 + x 3 = 0 x + x + x = 0 2 3 4 Demonstrar que se , então x1 = x2 x 99 + x 100 + x 1 = 0 x 100 + x 1 + x 2 = 0 = ... = x99 = x100 = 0.
25.
(UFSC) Indique a soma da(s) proposição(ões)
d) possível e indeterminado.
correta(s).
e) impossível.
(01) Dada uma matriz A, de ordem m n, e uma matriz B de ordem n p, a matriz produto A B existe e é de ordem m p.
(ITA) Os dados experimentais da tabela abaixo correspondem às concentrações de uma substância química medida em intervalos de um segundo. Assumindo que a linha que passa pelos três pontos experimentais é uma parábola, tem-se que a concentração (em mol) após 2,5 segundos é:
(02) A terna (2, 1, 0) é uma solução do sistema
x + 2y + 3z = 4 2x − y − 2z = 3 3x + y + z = 7 6x + 2y + 2z = 14
a) 3,60 b) 3,65 c) 3,70
(04) Se um sistema de equações possui mais equações do que incógnitas, então ele é incompatível (impossível).
d) 3,75 e) 3,80
23.
(ITA) Em uma mesa de uma lanchonete, o consumo de três sanduíches, sete xícaras de café e um pedaço de torta totalizou R$31,50. Em outra mesa, o consumo de quatro sanduíches, 10 xícaras de café e um pedaço de torta totalizou R$42,00. Então, o consumo de um sanduíche, uma xícara de café e um pedaço de torta totaliza o valor de: a) R$17,50 b) R$16,50 c) R$12,50 d) R$10,50 e) R$9,50
(08) Três pessoas foram a uma lanchonete. A primeira tomou dois guaranás, comeu um pastel e pagou R$ 4,00. A segunda tomou um guaraná, comeu dois pastéis e pagou R$ 5,00. A terceira tomou dois guaranás, comeu dois pastéis e pagou R$ 7,00. Então, pelo menos, uma das pessoas não pagou o preço correto. Soma ( ) 26.
(UFPR) A respeito do sistema de equações x + 3 y − 4z = 0 onde a e b são números reais, é 3x + y = a 4 x + bz = 0 correto armar:
( ) Se a = 0, existe algum valor de b para o qual o sistema é impossível. ( ) Se o valor de b for tal que o determinante da matriz 1 3 −4
3 4
1 0 não seja nulo, o sistema terá uma úni0 b
ca solução, qualquer que seja o valor de a.
( ) Se a = 1 e b = 2, o sistema tem mais de uma solução. ( ) Se a = b = 0, o sistema possui somente a solução
18
2 1 0 _ T A M _ V _ M E
nula. 27.
d) 0 < a < 1/2 e 0 < b < 1.
(Unicamp) Considere o sistema linear abaixo, no qual a é um parâmetro real:
ax + y + z = 1 x + ay + z = 2 x + y + az = −3
e) n.d.a. 31.
armar que:
a) É possível e determinado. b) É impossível.
a) Mostre que para a = 1 o sistema é impossível.
c) É possível e qualquer solução (x, y, z) é tal que os números x, y e z formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão igual a x.
b) Encontre os valores do parâmetro a para os quais o sistema tem solução única. 28.
29.
(Unicamp) Encontre o valor de a para que o sistema 2x − y + 3z = a x + 2 y − z = 3 seja possível. Para o valor en7 x + 4 y + 3z = 13 contrado de a ache a solução geral do sistema, isto é, ache expressões que representem todas as soluções do sistema. Explicite duas dessas soluções.
e) É possível e qualquer solução (x, y, z) é tal que os números x, y e z foram, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão (x + y + z)/3. 32.
b) a
10 e a
onde a e b são números reais. Analise para que valores de e este sistema admite mais de uma solução.
− loga ( a ) log10 (1) 33.
d) a 2 e a
3
e) a 2 e a
10
34.
Resolver o sistema sabendo que a, b e c são reais e a+b+c 0.
ax + by + cz bx + cy + az cx + ay + bz
(ITA) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais vericou-se que os pontos A = (a, 1, a); B = (2a, 1, a) e
C = (b, a, a) são colineares. Além disso, o sistema ax + by = 0 bx + y + z = 0 , nas incógnitas x, y e z é indeterminabx + ay + bz = 0 do. Sendo a > 0 e b > 0, qual é a alternativa correta?
x + ay + a 2z = k 2 x + y + bz = k 2 (IME) Dado o sistema: a onde a, b, x + y + z = k 2 a 2 b k 0. Pedem-se os valores de a e b que tornam o sistema indeterminado.
1/3
c) a 5 e a 10
(ITA) Seja o sistema linear em x, y e z dado por
α x + y + 2z = 5 x + β y − 3z = −1
2 log10( 3a )
Para que a característica de A seja máxima, o valor de a deve ser tal que: a) a 10 e a 1/3
30.
d) É possível e qualquer solução (x, y, z) é tal que y = (x + z)/3.
(ITA-SP) Se a R, a > 0 e a 1e considere a matriz A:
loga ( 3a ) 1 A = loga a loga (1)
(ITA) Sobre o sistema
8x − y − 2z = 0 7 x + y − 3z = 0 , podemos x − 2 y + z = 0
35.
Resolver o sistema
= a +b +c = a +b +c = a +b +c
ax + y + z = 1 x + ay + z = a x + y + az = a 2
a) a e b são números pares. b) a e b são números inteiros consecutivos. 2 1 0 _ T A M _ V _ M E
c) a não é divisor de b.
19
36.
Um sistema para geração de números de cadastro formados por quatro dígitos mais um dígito verica dor utiliza uma equação linear da forma ax +by +cx +dw = k para geração do dígito vericador, obtido
pelo algarismo da unidade de k e onde x, y, z e w são os quatro primeiros dígitos nessa ordem e a, b, c e d são constantes. Sabendo que são inscrições válidas 1111-1, 1221-5, 1212-6 e 111N-4, onde N é um algarismo e que, para todas as inscrições, o valor de k obtido era um número de dois algarismos com algarismo das dezenas igual a um, obtenha os possíveis valores de N, sabendo que para cada inscrição espera-se que haja um único valor para o dígito vericador. 37.
(Fuvest) Dado um número real a, considere o seguinte problema: “Achar números reais x 1, x2, ... , x6, não todos nulos, que satisfaçam o sistema linear: r ( r − 2)( r − 3) x r −1 + (( r − 1)( r − 3)( r − 4)( r − 6)a + ( −1) ) x r
+( r − 3)x r +1 = 0
para r = 1, 2, ... , 6, onde x0 = x7 = 0” a) Escreva o sistema linear acima na forma matricial. b) Para que valores de a o problema acima tem solução? c) Existe, para algum valor de a, uma solução do problema com x1 = 1? Se existir, determine tal solução.
20
2 1 0 _ T A M _ V _ M E
11. 1.
C
2.
a=
3.
A
12.
π 4
a) 0 < B < 20
+ k ⋅ π , k Z
4.
a) O sistema é possível e indeterminado, pois o determinante da matriz incompleta do sistema é nulo.
b) R$10,00 13.
13
14.
R$200.000,00
15.
A
b) S = {(3a b, 5a +2b)}
16.
C
5.
1,4
17.
15º
6.
D
18.
D
19.
D
7.
a) m 19/11
2 1 0 _ T A M _ V _ M E
7, 8 e 10
20.
b) V = {(1, 2, 3)}
a) não
8.
E
b) S = {(1, 1, 1)}
9.
A
10.
5a + 7b = 1 (SPI) e 5a +7b ≠ 1 (– SPD)
21. 22.
97 A 21
23.
B
c) O sistema representa as temperaturas nos 3 pontos pela aplicação da expressão do enunciado.
24.
a) a = 1 b) Impossível. 25.
E
26.
a) (3,2) b) m 3/2, concorrentes e m = 3/2 paralelas 27.
12.
D
13.
x = 3, y = 1 e z = 2.
14.
A
15.
Açúcar 200g; farinha 400g; manteiga 400g
16. 17.
a) R$1,10
C
b) R$18,40
28.
a) sim b) 1 c) reta que passa pelos pontos (1, 0, 0) e (0, 1, 0) 29.
D
E
30.
a) a 0 e a ±1 b) a = 0 e a = 1 c) a = 1
18.
2 000 maçãs, 3 000 pêras e 5 000 laranjas.
19.
–6
20.
3
21.
D
22.
C
23.
D
24.
Demonstração.
25.
1 + 2 + 8 = 10
26.
F, V, F, V
27.
a) Demonstração. b) a –2 e a 1
1.
a) 1 (dupla) e –2
28.
a = 2 , S = {(1,4 t; t +0,8; t): t R}, (1,4; 0,8; 0) e (0,4; 1,8; 1)
29.
B
30.
E
31.
C
32.
a
33.
a=b=1
34.
(1, 1, 1)
35.
a ≠ 1 e a ≠ −2: x = –(1+a)/(a+2), y = 1/(a+2) e z = (a+1)2/(a+2)
b) S = {(k, k, k): k R} 2.
A
3.
a) 2, 3 e 9 b) (0, 0, 0) 4.
A
5.
B
6.
E
7.
A
8.
E
9.
D
36.
A
37.
10. 11.
a) T1 = 15ºC, T2 = 20ºC e T3 = 25ºC b) x = 15, y = 20, z = 25 22
– 2/3 ou b –3/2
a = –2: impossível a = 1: innitas soluções que satisfazem x +y +z = 1
N 1
−1 0 0 a) 0 0 0
−2 0 0 ( −8a + 1) −1 0 −1 0 0 0 0 0
0 0 0 2 1 1 0 6 ( −8a − 1) 0 0 12
0 x 1 0 0 x 2 0 0 x 3 0 = 0 x 4 0 2 x 5 0 1 x 6 0
2 1 0 _ T A M _ V _ M E
b) a = 1/8 ou a = 31/8 c) a = 1/8 e S = {(1, 1/2, 0, 0, 0, 0)}
2 1 0 _ T A M _ V _ M E
23
24
2 1 0 _ T A M _ V _ M E
