Impacto Un choque entre dos cuerpos que ocurre en un intervalo muy pequeño y durante el cual los dos cuerpos ejercen fuerzas relativamente grandes entre sí recibe el nombre de impacto. La normal común a las superficies en contacto durante el impacto se conoce como línea de impacto. i los centros de masa en los dos cuerpos que chocan se ubican sobre esta línea! el impacto es un impacto central. "n otro caso! se dice que el impacto es e#c$ntrico. %uestro estudio se limitar& al impacto central de dos partículas. i las velocidades de dos partículas se dirigen a lo largo de la línea de impacto! se dice dice que que el impa impact cto o ser& ser& direc directo to 'fig 'figur ura a a(. i algu alguna na o amba ambas s partí partícul culas as se mueven a lo largo de una línea que no sea la línea de impacto! se dice que el impacto ser& oblicuo 'figura b(.
Impacto central directo
)onsidere dos partículas * y +! de masas m * y m+! las cuales cuales se mueven mueven en la misma línea recta y hacia la derecha con velocidades conocidas v * y v+ 'figura a(. i v * es mayor que v +! la partícula * golpear& finalmente a la partícula +. ,or el impacto! las dos partículas se deformar&n y! al final del periodo de deformaci-n! tendr&n la misma velocidad u 'figura b(. e presentar& un periodo de restituci-n! al final del cual! dependiendo de la magnitud de las fuerzas de impacto y de los materiales implicados! las dos partículas habr&n recobrado su forma original o permanecer&n deformadas. "l prop-sito aquí es determinar las velocidades v * y v+/ de las partículas al final del periodo de restituci-n 'figura c(. )onsiderando primero las dos partículas como un solo sistema! se advierte que no hay fuerza impulsiva e#terna. 0e tal modo! se conserva la cantidad de movimiento total de las dos partículas y se escribe m A v A + mB v B =m A v ´ A + mB v ´ B
e considera ahora el movimiento de la partícula * durante el periodo de deformaci-n y se aplica el principio del impulso y la cantidad de movimiento. ,uesto que la única fuerza impulsiva que actúa sobre * durante este periodo es la fuerza , ejercida por + 'figura a(! se escribe
∫ P dt =m
m A v A −
A
u
donde la integral se e#tiende sobre el periodo de deformaci-n. *l considerar ahora el movimiento de * durante el periodo de restituci-n! y denotar por 1 la fuerza ejercida por + sobre * durante este periodo 'figura b(! se escribe
∫ R dt =m
m A u−
A
v ´ A
"l cociente de las magnitudes de los impulsos correspondientes! respectivamente! al periodo de restituci-n y al periodo de deformaci-n se denomina coeficiente de restituci-n y se denota por e. e escribe e=
∫ R dt ∫ P dt
*l resolver las ecuaciones para los impulsos y sustituir en la ecuaci-n anterior se obtiene e=
u− v ´ A v A −u
Un an&lisis similar de la partícula + conduce a la relaci-n v ´ B− v ´ A = e ( v A− v B )
"n virtud de que v/ +2v/ * representa la velocidad relativa de las dos partículas despu$s del impacto y v *2v+ representa su velocidad relativa antes del impacto! la f-rmula e#presa que la velocidad relativa de dos partículas despu$s del impacto puede obtenerse al multiplicar su velocidad relativa antes del impacto por el coeficiente de restituci-n. 0os casos de impacto particulares son de especial inter$s3 4. e56! impacto perfectamente pl&stico. )uando e56 la ecuaci-n se escribe
(
)
m A v A + mB v B = m A + m B v ´
7. e54! impacto perfectamente el&stico. )uando e54 la ecuaci-n se reduce a v ´ B− v ´ A = v A− v B
Impacto central oblicuo
"n seguida se estudiar& el caso en el que las velocidades de las dos partículas que chocan no est&n dirigidas a lo largo de la línea de impacto.
,uesto que no se conocen ni la direcci-n ni la magnitud de las velocidades v/ * y v /+ de las partículas despu$s del impacto! su determinaci-n requerir& el uso de cuatro ecuaciones independientes.
e eligieron como ejes coordenados al eje n a lo largo de la línea de impacto! esto es! a lo largo de la normal común a las superficies en contacto! y el eje t a lo largo de su tangente común. uponiendo que las partículas son perfectamente lisas y sin ficci-n! se observa que los únicos impulsos que se ejercen sobre las partículas durante el impacto se deben a las fuerzas internas dirigidas a la línea de impacto! esto es! a lo largo del eje n! como se muestra en la figura. e concluye que
4. La componente de la cantidad de movimiento de cada partícula a lo largo del eje t! considerada por separado! se conserva8 en consecuencia! la componente t de la velocidad de cada partícula permanece invariable. e escribe v v ´
v ´
(¿¿ A ) ( v ) =¿ t
A t
(¿¿ B ) (¿¿ B) =¿ ¿ t
t
7. La componente a lo largo del eje n de la cantidad de movimiento total de las dos partículas se conserva. e escribe v v ´
(¿¿ B ) (¿¿ B) =m ( v ´ ) + m ¿ m ( v ) +m ¿ n
n
A
A
A
A n
n
B
B
9. La componente a lo largo del eje n de la velocidad relativa de las dos partículas despu$s del impacto se obtiene multiplicando la componente n de su velocidad relativa antes del impacto por el coeficiente de restituci-n. v ´ v
(¿¿ B ) (v ) −¿ (¿¿ B) −( v ´ ) = e ¿ ¿ n
A n
n
A n
* continuaci-n se e#aminar& el caso en el que una o ambas de las partículas que chocan tiene restricciones en su movimiento. )onsidere! por ejemplo! el choque entre el bloque *! que est& restringido a moverse sobre una superficie horizontal y la bola +! que tiene libertad para moverse en el plano de la figura.
Las velocidades del bloque * y de la bola + inmediatamente despu$s del impacto se representan mediante tres inc-gnitas3 la magnitud de la velocidad v/ * del bloque *! la cual se sabe que es horizontal! y la magnitud y direcci-n de la velocidad v/+ de la bola +. ,or lo tanto! se deben escribir tres ecuaciones en las que se e#prese que 4. La componente a lo largo del eje t de la cantidad de movimiento de la bola + se conserva8 en consecuencia! la componente t de la velocidad de la bola + permanece invariable. e escribe v v ´
(¿¿ B ) (¿¿ B) =¿ ¿ t
t
7. La componente a lo largo del eje # horizontal de la cantidad de movimiento total del bloque * y de la bola + se conserva. e escribe v v ´
(¿¿ B ) (¿¿ B) =m v ´ + m ¿ m v +m ¿ x
x
A
A
A
A
B
B
9. La componente a lo largo del eje n de la velocidad relativa del bloque * y de la bola + despu$s del impacto se obtiene al multiplicar la componente n de su velocidad relativa antes del impacto por el coeficiente de restituci-n. e escribe de nuevo
