3446437541_Physik

Dietmar Mende Günter Simon

PHYSIK Gleichungen und Tabellen

16., aktualisierte Auflage

1 Grundbegriffe der Metrologie

M

2 Mechanik fester Körper

FK

3 Mechanik der Flüssigkeiten und Gase

FG

4 Thermodynamik

T

5 Elektrik

E

6 Schwingungen

S

7 Wellen

W

8 Spezielle Relativitätstheorie

R

9 Quantentheorie und Atombau

Q

10 Physikalische Konstanten

K

11 Grundlagen der Vektorrechnung

V

12 Grundlagen der Fehlerrechnung

F

13 Umrechnung von Einheiten

UE

Mende/Simon PHYSIK Gleichungen und Tabellen

PHYSIK Gleichungen und Tabellen Von Dipl.-Phys. Dietmar Mende (†), Riesa und Dipl.-Phys. Günter Simon, Apolda

16., aktualisierte Auflage Mit 297 Bildern

FACHBUCHVERLAG LEIPZIG im Carl Hanser Verlag

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

ISBN 978-3-446-43754-8 E-Book-ISBN 978-3-446-43861-3

Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdrucks und der Vervielfältigung des Buches oder Teilen daraus, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag © 2013 Carl Hanser Verlag München www.hanser-fachbuch.de Lektorat: Dipl.-Phys. Jochen Horn Herstellung: Katrin Wulst Satz: Werksatz Schmidt & Schulz GmbH, Gräfenhainichen Zeichnungen: Peter Palm, Berlin Druck und Bindung: Friedrich Pustet KG, Regensburg Printed in Germany

Vorwort

Die Zusammenstellung der wichtigsten Gleichungen, Größen, Zahlenwerte und Konstanten aus dem Gesamtbereich der Physik auf möglichst knappem Raum, dabei übersichtlich, einprägsam und rasch auffindbar, wo möglich in Tabellenform – das ist das Anliegen dieses Buches. Dem Benutzer soll ein Hilfsmittel für theoretische und praktische Arbeiten auf dem Gebiet der Physik, ein „Speicher“ für gelerntes Wissen zur Verfügung gestellt werden. „PHYSIK – Gleichungen und Tabellen“ ist kein Lehrbuch, es baut auf vorhandenen Kenntnissen auf. Unterschiedlichen Niveaustufen wird durch entsprechende Gliederung des Stoffes Rechnung getragen; dem Einarbeiten in die Methodik des Buches dienen die Benutzungshinweise. In seiner Anlage wendet sich dieses Nachschlagewerk vorrangig an Studenten der Fachhochschulen, Technischen Hochschulen und Universitäten, Ingenieure, Techniker und Laboranten, aber auch an Naturwissenschaftler. Zugang zu den gewünschten Informationen erhält der Benutzer vor allem durch das umfangreiche Sachwortverzeichnis am Schluss des Buches. Für Hinweise zur weiteren Verbesserung des Werkes sind wir sehr dankbar. Autoren und Verlag

Benutzungshinweise

1. Es wird grundsätzlich das Internationale Einheitensystem (SI) verwendet. Umrechnungen früherer, SI-fremder Einheiten in SI-Einheiten enthält Abschnitt 1.4. 2. Im Abschnitt 1.2 sind die im Buch verwendeten Formelzeichen physikalischer Größen in alphabetischer Reihenfolge zusammengestellt. Außerdem ist jedem Abschnitt eine Übersicht über die vorkommenden Größen vorangestellt: Formelzeichen, Größe, SI-Einheit, oft auch die Beziehung der Einheit zu anderen, insbesondere Basiseinheiten. 3. Die am häufigsten vorkommenden Größen werden im Allgemeinen nicht vor jedem Abschnitt wiederholt. Sie sind hier zusammengefasst: Mechanik: s Weg t Zeit √ Geschwindigkeit m Masse A Fläche V Volumen F Kraft p Druck

m s m s–1 kg m2 m3 N Pa

Schwingungen und Wellen: l Wellenlänge t Zeit T Periodendauer f Frequenz w Kreisfrequenz

m s s Hz s–1

Thermodynamik: m Masse V Volumen p Druck T Temperatur t Celsius-Temperatur

kg m3 Pa K °C

Gleichstromkreis: I Stromstärke U Spannung R Widerstand

A V W

4. In der Regel sind die im Buch vorkommenden Gleichungen Größengleichungen. Sie gelten unabhängig von der Wahl der Einheiten. In Ausnahmefällen ist auch die Form der zugeschnittenen Größengleichung gewählt worden. 5. Besonders wichtige Gleichungen sind durch einen Punkt ● am linken Seitenrand markiert, die Konstanten durch ein Dreieck . 6. Im Sachwortverzeichnis wird grundsätzlich auf die Seitenzahl verwiesen. 7. Fehlergrenzen der physikalischen Konstanten sind nur im Kapitel 10 angegeben. 8. Vektoren werden durch das entsprechende Formelzeichen mit einem Pfeil versehen dargestellt.

Inhaltsverzeichnis

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

Grundbegriffe der Metrologie . . . . . . . . . . Physikalische Größen . . . . . . . . . . . . . . Formelzeichen physikalischer Größen (Auswahl) Einheiten physikalischer Größen . . . . . . . . Umrechnungstabellen . . . . . . . . . . . . . . Dimensionen physikalischer Größenarten . . . Physikalische Gleichungen . . . . . . . . . . . .

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11 11 11 15 18 20 25

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

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26 26 39 47 66

2.6

Mechanik fester Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statik starrer Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Physikalische Grundlagen der Festigkeitslehre . . . . . . Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung wichtiger Gesetze der Kinematik und Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

83 86

3 3.1 3.2 3.3

Mechanik der Flüssigkeiten und Gase . . . . . . . . Allgemeine Eigenschaften der Flüssigkeiten und Gase Ruhende Flüssigkeiten und Gase . . . . . . . . . . . Strömende Flüssigkeiten und Gase . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

93 93 95 98

4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13

Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thermische Ausdehnung der festen Körper und Flüssigkeiten Zustandsgleichung des idealen Gases . . . . . . . . . . . . . Wärmemenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wärmeübertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erster Hauptsatz der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . Zustandsänderungen des idealen Gases . . . . . . . . . . . . Carnot’scher Kreisprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik . . . . . . . . . . . Exergie und Anergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Änderungen des Aggregatzustandes . . . . . . . . . . . . . . Reale Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kinetische Theorie der Wärme . . . . . . . . . . . . . . . .

111 111 112 116 120 129 135 136 143 145 145 145 155 159

5 5.1

Elektrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gleichstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

169 169

. . . .

. . . .

10 5.2 5.3 5.4

Inhaltsverzeichnis

. .

181 192

5.5 5.6 5.7 5.8

Elektrisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnetisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung der wichtigsten Gesetze des elektrischen und magnetischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . Leitungsvorgänge in Festkörpern und Flüssigkeiten . . . . Leitungsvorgänge in Gasen und im Vakuum . . . . . . . . Wichtige Bauelemente der Elektronik . . . . . . . . . . . . Grundlagen der Schaltalgebra . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

212 215 224 229 239

6 6.1 6.2 6.3

Schwingungen . . . . . . . Mechanische Schwingungen Elektrische Schwingungen . Wechselstrom . . . . . . .

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243 243 256 258

7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12

Wellen . . . . . . . . . . . Allgemeine Wellenlehre . Wellenfeld . . . . . . . . Schallwellen . . . . . . . Schallfeldgrößen . . . . . Physiologische Akustik . Elektromagnetische Wellen Lichtausbreitung . . . . . Optische Abbildung . . . Optische Geräte . . . . . Fotometrie . . . . . . . . Lichtabsorption . . . . . Temperaturstrahlung . . .

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272 272 275 279 285 291 293 298 309 313 315 320 322

8

Spezielle Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . .

326

9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5

Quantentheorie und Atombau . . . Atom . . . . . . . . . . . . . . . . . Dualismus Welle – Korpuskel . . . . Atomhülle . . . . . . . . . . . . . . Physik der Atomkerne . . . . . . . . Dosimetrie und Strahlenschwächung

. . . . . .

331 331 332 334 361 388

10

Häufig benötigte physikalische Konstanten (Fundamentalkonstanten) nach CODATA 2010 . . . . . . . . . . . . . . .

403

11 11.1 11.2

Grundlagen der Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . Vektoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektoranalysis (Differenzialoperationen) . . . . . . . . . . .

409 409 413

12

Grundlagen der Fehlerrechnung . . . . . . . . . . . . . . . .

416

13

Umrechnung von Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . .

422

14

Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

428

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1

Grundbegriffe der Metrologie

1.1

Physikalische Größen

G {G} [G]

Wert der physikalischen Größe Zahlenwert der physikalischen Größe Einheit der physikalischen Größe

Jeder Größenwert ist das Produkt aus Zahlenwert und Einheit: ●

G = {G} [G]

Beispiele: l = 20 m, F = 8 N, U = 230 V Physikalische Größen, die sich als Quotienten gleicher Größenarten ergeben, haben die Einheit 1. Beispiele: Wirkungsgrad, Reibungszahl, Permeabilitätszahl

1.2 A

AH Ar a

B

b

Formelzeichen physikalischer Größen (Auswahl) Absorptionsfläche Aktivität Fläche Massenzahl numerische Apertur Hall-Koeffizient relative Atommasse Albedo Beschleunigung Länge, Abstand Materialwert eines Thermoelements spezifische Aktivität Temperaturleitfähigkeit van-der-Waals’sche Konstante Bildgröße Blindleitwert magnetische Flussdichte Bildweite Länge, Abstand

b

C Cm CV c

D

d

Spaltbreite van-der-Waals’sche Konstante Wien’sche Konstante elektrische Kapazität Wärmekapazität molare Wärmekapazität volumenbezogene Wärmekapazität Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen Lichtgeschwindigkeit Planck’sche Strahlungskonstanten spezifische Wärmekapazität Abstand der Hauptebenen Brechwert von Linsen elektrische Flussdichte Energiedosis Winkelrichtgröße Dicke, Abstand

M

12 d Durchmesser d1/2 Halbwertsdicke E Beleuchtungsstärke Bestrahlungsstärke ebullioskopische Konstante Elastizitätsmodul elektrische Feldstärke Energie Ek kinetische Energie Ep potenzielle Energie e Elementarladung Exzentrizität e៬ Einheitsvektor F Faraday-Konstante Kraft FG Gewichtskraft FN Normalkraft FR Reibungskraft f absolute Feuchte Anzahl der Freiheitsgrade Brennweite Frequenz G elektrischer Leitwert, Wirkleitwert Gegenstandsgröße, Dinggröße Gravitationskonstante Schubmodul, Torsionsmodul g Fallbeschleunigung Gegenstandsweite Gitterkonstante H Äquivalentdosis Belichtung Drehstoß Enthalpie Häufigkeit Heizwert magnetische Feldstärke h Höhe Planck’sches Wirkungsquantum spezifische Enthalpie _ Drehimpulsquantum h I elektrische Stromstärke Flächenträgheitsmoment

1 Grundbegriffe der Metrologie I

i i៬ J

j j៬ K

k

k៬ L

Lp l li M

Mr m mi

Kraftstoß Lichtstärke Strahlstärke elektrische Stromstärke (zeitlich veränderlich) Trägheitsradius Einheitsvektor in Richtung der x-Achse elektrische Stromdichte Ionendosis (Exposition) magnetische Polarisation (Massen-)Trägheitsmoment Schallintensität magnetisches Moment (Dipolmoment) Einheitsvektor in Richtung der y-Achse fotometrisches Strahlungsäquivalent Kerma Kompressionsmodul kryoskopische Konstante Boltzmann-Konstante elektrochemisches Äquivalent Federkonstante, Richtgröße Öffnungszahl Polytropenexponent Stoßparameter Wärmedurchgangskoeffizient Einheitsvektor in Richtung der z-Achse Drehimpuls Induktivität Leuchtdichte Strahldichte Schalldruckpegel Länge Bahndrehimpuls-Quantenzahl Drehmoment, Kraftmoment Magnetisierung molare Masse relative Molekülmasse Masse Magnetquantenzahl

1.2 Formelzeichen physikalischer Größen (Auswahl)

N NA n

n0 neq n៬ o P p

Q

q

R

Rth Rthk Rtha Rthl Re r r៬ S

Anzahl der Neutronen Windungszahl Avogadro-Konstante Brechzahl Drehzahl Elektronenkonzentration Hauptquantenzahl Stoffmenge Loschmidt-Konstante Äquivalentmenge Einheitsvektor in Richtung der Bahnnormalen elektrische Polarisation Leistung, Wirkleistung Druck Impuls Schalldruck elektrisches Moment Blindleistung elektrische Ladung Lichtmenge Wärmemenge, Wärmeenergie elektrische Ladung (zeitlich veränderlich) gleichmäßig verteilte Belastung spezifische Schmelzwärme Wärmestromdichte elektrischer Widerstand, Wirkwiderstand Gaskonstante Rydberg-Konstante Schalldämm-Maß Wärmewiderstand Wärmedurchgangswiderstand Wärmeübergangswiderstand Wärmeleitwiderstand Reynolds-Zahl Radius, Abstand spezifische Verdampfungswärme Ortsvektor Entropie Scheinleistung

S S៬ s

si T

T1/2 t

U

Uq u

V V˙ Vm

√

W w X x Y y

Z

13

Steilheit Poynting-Vektor konventionelle Sehweite spezifische Entropie Weg, Länge Spindrehimpuls-Quantenzahl Periodendauer thermodynamische Temperatur Halbwertszeit Celsius-Temperatur optische Tubuslänge Zeit elektrische Spannung innere Energie Wärmedurchgangskoeffizient Quellenspannung Beweglichkeit von Ladungsträgern elektrische Spannung (zeitlich veränderlich) spezifische innere Energie magnetische Spannung Normalvergrößerung Volumen Volumenstrom molares Volumen Geschwindigkeit Parallelverschiebung Schallschnelle spezifisches Volumen Arbeit Widerstandsmoment Energiedichte Wahrscheinlichkeit Blindwiderstand Koordinate Scheinleitwert Elongation Koordinate Verlängerung Kernladungszahl (Ordnungszahl) Scheinwiderstand

M

14


z

Anzahl Koordinate Wertigkeit

q k

a

Absorptionsgrad Dämpfungskoeffizient Dehnungskoeffizient Dissoziationsgrad elektrische Polarisierbarkeit Längenausdehnungskoeffizient Phasendifferenz Temperaturkoeffizient Wärmeübergangskoeffizient Winkel Winkelbeschleunigung spezifische Drehung Abbildungsmaßstab Phasenkoeffizient Schubkoeffizient Temperaturkoeffizient Winkel Dosisleistungskonstante Wellenwiderstand Ausbreitungskoeffizient Druckkoeffizient elektrische Leitfähigkeit Raumausdehnungskoeffizient Scherung (Schiebung) Winkel Laplace-Operator Abklingkoeffizient Gangunterschied Winkel Dehnung Emissionsgrad Winkel elektrische Feldkonstante Permittivitätszahl dynamische Viskosität Lichtausbeute Wirkungsgrad Dämpfungsgrad mittlere Dispersion

L

as b

G g

D d

e

e0 er h

q

l

m

m0 mr v x r

s

t

Streuwinkel Adiabatenexponent (Isentropenexponent) Kompressibilität magnetischer Leitwert mittlere freie Weglänge Wärmeleitfähigkeit Wellenlänge Zerfallskonstante Ausflusszahl magnetisches Moment von Elementarteilchen makroskopischer Wirkungsquerschnitt Permeabilität Poisson-Zahl Reibungszahl Schwächungskoeffizient magnetische Feldkonstante Permeabilitätszahl Abbe-Zahl kinematische Viskosität spezifische magnetische Suszeptibilität Dichte Krümmungsradius Raumladungsdichte Reflexionsgrad spezifischer elektrischer Widerstand Winkel (natürlicher Böschungswinkel) mikroskopischer Wirkungsquerschnitt Oberflächenspannung (spezifische Grenzflächenenergie) Stefan-BoltzmannKonstante Streukoeffizient Zugspannung, Druckspannung Schubspannung Transmissionsgrad

15

1.3 Einheiten physikalischer Größen

t F

f

ce cm

1.3

Zeitkonstante Lichtstrom magnetischer Fluss Strahlungsfluss Wärmestrom elektrostatisches Potenzial Phasenverschiebungswinkel relative Feuchte Strahlungsflussdichte Winkel elektrische Suszeptibilität magnetische Suszeptibilität

Y Y y

W w

elektrischer Verschiebungsfluss orts- und zeitabhängige Wellenfunktion Druckkoeffizient der Siedetemperatur ortsabhängige Wellenfunktion Raumwinkel Kreisfrequenz Winkel Winkelgeschwindigkeit

Einheiten physikalischer Größen

Basiseinheiten des Internationalen Einheitensystems (Sl) Einheit der Länge: Einheit der Zeit: Einheit der Masse: Einheit der Stromstärke: Einheit der Temperatur: Einheit der Stoffmenge: Einheit der Lichtstärke:

Meter Sekunde Kilogramm Ampere Kelvin Mol Candela

m s kg A K mol cd

Abgeleitete SI-Einheiten Abgeleitete SI-Einheiten (kohärente Einheiten) sind alle Einheiten, die aus den Basiseinheiten direkt gebildet werden können (ohne Verwendung von Zahlenfaktoren ungleich 1). Beispiele für abgeleitete SI-Einheiten: Einheit des ebenen Winkels: Einheit des Raumwinkels: Einheit der Geschwindigkeit: Einheit der Kraft: Einheit der Arbeit: Einheit des Druckes: Einheit der Leistung: Einheit der elektrischen Spannung: Einheit des Widerstandes:

Radiant Steradiant Meter/Sekunde Newton Joule Pascal Watt

1 rad = 1 m m–1 = 1 1 sr = 1 m2 m–2 = 1 1 m s–1 1 N = 1 m s–2 kg 1 J = 1 m2 s–2 kg 1 Pa = 1 m–1 s–2 kg 1 W = 1 m2 s–3 kg

Volt Ohm

1 V = 1 m2 s–3 kg A–1 1 W = 1 m2 s–3 kg A–2

M

16


SI-fremde Einheiten SI-fremde Einheiten lassen sich zwar auch auf die Basiseinheiten zurückführen, jedoch treten in den entsprechenden Gleichungen Zahlenwerte auf, die von eins verschieden sind. Beispiele für SI-fremde Einheiten: Kilometer 1 km = 103 m Stunde 1 h = 3 600 s Tonne 1t = 103 kg Kilopond *) 1 kp = 9,806 65 m s–2 kg Kalorie*) 1 cal = 4,186 8 m2 s–2 kg physikalische Atmosphäre *) 1 atm = 101 325 m–1 s–2 kg technische Atmosphäre *) 1 at = 98 066,5 m–1 s–2 kg _ _______________________________________________________________

Einheit der Länge: Einheit der Zeit: Einheit der Masse: Einheit der Kraft: Einheit der Energie: Einheiten des Druckes:

*) Nicht mehr gesetzlich

Vielfache und Teile der Einheiten Vielfache und Teile der Einheiten werden durch Vorsätze gekennzeichnet: Vorsatz

Vorsatzzeichen

Bedeutung

Yotta Zetta Exa Peta Tera Giga Mega Kilo Hekto*) Deka*) Dezi*) Zenti*) Milli Mikro Nano Piko Femto Atto Zepto Yocto

Y Z E P T G M k h da d c m m n p f a z y

1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 10 2 10 10 –1 10 –2 10 –3 10 –6 10 –9 10 –12 10 –15 10 –18 10 –21 10 –24

Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten Einheiten

*) Diese Vorsätze sollen nur bei solchen Einheiten angewendet werden, bei denen sie bisher üblich waren (z.B. cm, dm, hl). In der Informatik bedeutet Mega (M) 220 = 1 048 576 und Kilo (k) 210 = 1024.

17

1.3 Einheiten physikalischer Größen

Einheiten, die nach Personen benannt sind EinEinheit heitenzeichen

Größe

A Å Bi Bq C Ci Cl °C D F Fr G Gal

Ampere Ångström*) Biot*) Becquerel Coulomb Curie *) Clausius*) Grad Celsius Debye*) Farad Franklin*) Gauß*) Gal*)

elektrische Stromstärke Länge elektrische Stromstärke Aktivität elektrische Ladung Aktivität Entropie Temperatur Dipolmoment Kapazität elektrische Ladung magn. Flussdichte Beschleunigung

Gb

Gilbert*)

Gy H Hz J K M (Mx) N

Gray Henry Hertz Joule Kelvin Maxwell*) Newton

Oe

Oested*)

W P Pa R S St Sv T Torr V W Wb

Ohm Poise*) Pascal Röntgen*) Siemens Stokes *) Sievert Tesla Torr*) Volt Watt Weber

Beziehungen zu den SI-Einheiten

Basiseinheit 1 Å = 10–10 m 1 Bi = 10 A 1 Bq = 1 s–1 1C=1As 1 Ci = 3,7 · 1010 Bq 1 Cl = 4,186 8 J K–1 0 °C = 273,15 K 1 D = 3,3 · 10–30 C m 1 F = 1 A s V–1 1 Fr = 3,336 · 10–10 C 1 G = 10–4 T 1 Gal = 10–2 m s–2 10 magnetische Spannung 1 Gb = ––– A 4p Energiedosis 1 Gy = 1 J kg–1 Induktivität 1 H = 1 V s A–1 Frequenz 1 Hz = 1 s–1 Energie 1J=1Nm=1Ws Temperatur Basiseinheit magnetischer Fluss 1 M = 10–8 Wb Kraft 1 N = 1 m kg s–2 103 magnetische Feldstärke 1 Oe = ––– A m–1 4p elektrischer Widerstand 1 W = 1 V A–1 dynamische Viskosität 1 P = 0,1 Pa s Druck, Spannung 1 Pa = 1 N m–2 Ionendosis 1 R = 2,58 · 10–4 C kg–1 elektrischer Leitwert 1 S = 1 W–1 kinematische Viskosität 1 St = 10–4 m2 s–1 Äquivalentdosis 1 Sv = 1 J kg–1 magn. Flussdichte 1 T = 1 V s m–2 Druck 1 Torr = 133,322 4 Pa elektrische Spannung 1 V = 1 W A–1 Leistung 1 W = 1 J s–1 = 1 V A magnetischer Fluss 1 Wb = 1 V s

*) Einheit nicht (oder nicht mehr) gesetzlich

M

18

1.4


Umrechnungstabellen

Umrechnungstabelle SI-fremder Längeneinheiten in Meter Einheit

Einheitenzeichen

Umrechnung in Meter

Seemeile X-Einheit Ångström Astronomische Einheit Lichtjahr Parsec

sm XE Å AE ly pc

1 sm = 1 852 m 1 XE = 1,002 02 · 10–13 m 1 Å = 10–10 m 1 AE = 1,496 00 · 1011 m 1 ly = 9,460 5 · 1015 m 1 pc = 3,0857 · 1016 m (1 pc = 3,261 7 ly)

Umrechnungstabelle für Zeiteinheiten Einheit

Jahr Tag Stunde Minute Sekunde

Einhei- Faktor zur Umrechnung in tenzeichen a d h

min

a d h min s

525949 31556926 1440 86 400 60 3 600 1 60 0,016 67 1

1 2,738 ·10–3 1,141 ·10–4 0,1901 ·10–5 0,316 9 ·10–7

365,242 1 0,0417 0,694 ·10–3 1,57 ·10–5

8 765,81 24 1 0,01667 2,778 ·10–4

s

Umrechnungstabelle SI-fremder Energieeinheiten in Joule Einheit

Einheiten- Umrechnung in Joule (1 J = 1 N m = 1 W s) zeichen

Kilowattstunde Kilopondmeter Erg Kilokalorie Elektronvolt

kW h kp m erg kcal eV

1 kW h = 3,6 · 106 J = 3,6 MJ 1 kp m = 9,80665 J 1 erg = 10–7 J = 0,1 µJ 1 kcal = 4,1868 · 103 J = 4,186 8 kJ 1 eV = 1,60218 · 10–19 J = 0,160 218 aJ

19

1.4 Umrechnungstabellen

Umrechnungstabelle für Winkeleinheiten Einheit

EinFaktor zur Umrechnung in heitenzeichen rad °

Radiant rad 1 Rechter p = –– Radiant 2 Grad ° Minute

′

Sekunde

″

Gon

gon

M °

′

″

gon

1 0,636620 57,295781 57 17 44,8 63,662 1,570 796 1 90 90 0 0 100

17,453 29 · 10–3 2,90888 · 10–4 4,848 137 · 10–6 1,570796 · 10–2

1,111 11 · 10–2 1,85185 · 10–4 3,086 4 · 10–6 10–2

1

1

0

0

1,111 11

1,66667 · 10–2 2,77 · 10–4 0,9

0

1

0

0

0

1

0

54 0

1,851 85 · 10–2 3,086 4 · 10–4 1

Umrechnungstabelle SI-fremder Druckeinheiten in Pascal Einheit

Einheitenzeichen

Umrechnung in Pascal (1 Pa = 1 N/m2)

Bar

bar

1 bar

= 105 Pa = 100 kPa = 103 hPa

1 µbar

= 0,1 Pa

dyn Mikrobar µbar = ––––2 cm kp Millimeter mm WS = ––– Wassersäule m2 Physikalische atm Atmosphäre Torr Torr Technische at Atmosphäre

1 mm WS = 9,80665 Pa 1 atm

= 1,01325 · 105 Pa = 101,325 kPa

1 Torr 1 at

= 133,3224 Pa = 9,80665 · 104 Pa = 98,0665 kPa

Umrechnungstabelle SI-fremder Krafteinheiten in Newton Einheit

Einheitenzeichen

Umrechnung in Newton

Dyn Kilopond Megapond

dyn kp Mp

1 dyn = 10–5 N 1 kp = 9,80665 N 1 Mp = 9,80665 · 103 N

20


Umrechnungstabelle SI-fremder Leistungseinheiten in Watt Einheit

Einheitenzeichen

Umrechnung in Watt (1 W = 1 J/s)

Kilowatt Kilopondmeter ––––––––––––– Sekunde Kilokalorie ––––––––––––– Sekunde Pferdestärke Kilokalorie ––––––––––––– Stunde

kW kp m ––––– s kcal ––––– s PS kcal –––– h

1 kW = 103 W kp m 1 ––––– = 9,80665 W s kcal 1 –––– = 4,1868 · 103 W = 4,186 8 kW s 1 PS = 735,5 W kcal 1 –––– = 1,163 W h

1.5

Dimensionen physikalischer Größenarten

Die Dimension kennzeichnet die Qualität einer physikalischen Größenart; sie gibt den Zusammenhang einer physikalischen Größe mit den Basisgrößen an. Der Begriff der Dimension ist von dem der Einheit zu unterscheiden. So hat z. B. die Geschwindigkeit Länge Meter die Dimension –––––– und die Einheit –––––––– Zeit Sekunde Als Dimensionszeichen werden große steile Groteskbuchstaben benutzt: Basisgröße

Dimensionszeichen

Basisgröße

Dimensionszeichen

Länge Zeit Masse Stromstärke

L Z M I

Temperatur (thermodynamische) Stoffmenge Lichtstärke

T

N J

Beispiele für Dimensionen und Einheiten Größenart Fläche Volumen Geschwindigkeit Beschleunigung Kraft

Dimension 2

L L3 L Z –1 L Z –2 L Z –2M

Einheit 1 m2 1 m3 1 m s–1 1 m s–2 1 m s–2 kg = 1 N

21

1.5 Dimensionen physikalischer Größenarten

Größenart Druck Arbeit, Energie Leistung Elektrische Spannung Elektrische Ladung Molare Masse

Dimension –1

Einheit

–2

1 m–1 s–2 kg = 1 Pa 1 m2 s–2 kg = 1 J 1 m2 s–3 kg = 1 W 1 m2 s–3 kg A–1 = 1 V 1sA=1C 1 kg mol–1

L Z M L2 Z–2 M L2 Z–3 M L2 Z–3 M I–1 ZI M N–1

Die Dimension der Größe G kann also in der Form dim G = Li z j Mk ll Tm Nn J p die SI-Einheit als [G] = mi s j kg k Al Km moln cdp dargestellt werden. Die Exponenten i, j, k, l, m, n, p sind der folgenden Tabelle zu entnehmen (Auswahl): Größe

Formel- i zeichen

j

k

l

m

n

p

Länge Fläche Volumen Brechwert Ebener Winkel Raumwinkel Zeit Frequenz Kreisfrequenz Winkelgeschwindigkeit Winkelbeschleunigung Geschwindigkeit Beschleunigung Masse Dichte Spezifisches Volumen Kraft Druck Spannung (Zug-, Druck-) Impuls Drehimpuls Massenträgheitsmoment Flächenträgheitsmoment

l A V D f W t f w w a

1 2 3 –1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 –3 3 1 –1 –1 1 2 2 4

0 0 0 0 0 0 1 –1 –1 –1 –2 –1 –2 0 0 0 –2 –2 –2 –1 –1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 –1 1 1 1 1 1 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

√ a m r

√ F p s p L J I

M

22


Größe

Formel- i zeichen

j

k

l

m

n

p

Drehmoment (Kraftmoment) Energie, Arbeit Leistung Wirkung Energiedichte Wirkungsgrad Reibungszahl Elastizitätsmodul Schub-, Torsionsmodul Kompressionsmodul Poisson-Zahl Richtgröße Gravitationskonstante Oberflächenspannung Dynamische Viskosität Kinematische Viskosität Volumenstrom Reynolds-Zahl Elongation Periodendauer Schallschnelle Lautstärkepegel Dämm-Maß Temperatur (thermodynamische) Stoffmenge Molare Masse Molares Volumen Wärmemenge, Wärmeenergie Wärmekapazität Spezifische Wärmekapazität Volumenbezogene Wärmekapazität Molare Wärmekapazität Enthalpie Entropie Gaskonstante Boltzmann-Konstante Adiabatenexponent Polytropenexponent Spezifische Schmelzwärme

M E, W P H w h m E G K m k G s h v V˙ Re y T Ls R

2 2 2 2 –1 0 0 –1 –1 –1 0 0 3 0 –1 2 3 0 1 0 1 0 0

–2 –2 –3 –1 –2 0 0 –2 –2 –2 0 –2 –2 –2 –1 –1 –1 0 0 1 –1 0 0

1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 –1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

T n M Vm Q C c

0 0 0 3 2 2 2

0 0 0 0 –2 –2 –2

0 0 1 0 1 1 0

0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 –1 –1

0 1 –1 –1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

CV Cm H S R k x k q

–1 2 2 2 2 2 0 0 2

–2 –2 –2 –2 –2 –2 0 0 –2

1 1 1 1 1 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

–1 –1 0 –1 –1 –1 0 0 0

0 –1 0 0 –1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

√

23

1.5 Dimensionen physikalischer Größenarten

Größe Spezifische Verdampfungswärme Heizwert (feste und flüssige Brennstoffe) Heizwert (gasförmige Brennstoffe) Längenausdehnungskoeffizient Raumausdehnungskoeffizient Wärmeleitfähigkeit Wärmeübergangskoeffizient Wärmedurchgangskoeffizient Wärmestrom Wärmestromdichte Temperaturleitfähigkeit Ebullioskopische Konstante Kryoskopische Konstante Dissoziationsgrad Van-der-Waals’sche Konstante Van-der-Waals’sche Konstante Absolute Feuchte Relative Feuchte Elektrische Stromstärke Elektrische Ladung Elektrische Stromdichte Elektrische Spannung Elektrischer Widerstand Elektrischer Leitwert Spezifischer elektrischer Widerstand Elektrische Leitfähigkeit Elektrische Feldstärke Magnetische Feldstärke Elektrische Kapazität Induktivität Elektrische Flussdichte Magnetische Flussdichte Magnetischer Fluss

Formel- i zeichen

j

k

l

m

n

p

r

2

–2

0

0

0

0

0

H

2

–2

0

0

0

0

0

H′

–1

–2

1

0

0

0

0

a

0

0

0

0

–1

0

0

g l a k, U F q a E K a

0 1 0 0 2 0 2 0 0 0

0 –3 –3 –3 –3 –3 –1 0 0 0

0 1 1 1 1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

–1 –1 –1 –1 0 0 0 1 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

a

5

–2

1

0

0

–2

0

b f f I Q J U R G

3 –3 0 0 0 –2 2 2 –2

0 0 0 0 1 0 –3 –3 3

0 1 0 0 0 0 1 1 –1

0 0 0 1 1 1 –1 –2 2

0 0 0 0 0 0 0 0 0

–1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

r g E H C L D B F

3 –3 1 –1 –2 2 –2 0 2

–3 3 –3 0 4 –2 1 –2 –2

1 –1 1 0 –1 1 0 1 1

–2 2 –1 1 2 –2 1 –1 –1

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

M

24


Größe

Formel- i zeichen

j

k

l

m

n

p

Magnetische Spannung Magnetischer Widerstand Elektrische Feldkonstante Magnetische Feldkonstante Dielektrizitätszahl Permeabilitätszahl Elektrische Suszeptibilität Magnetische Suszeptibilität Elektrische Polarisation Magnetische Polarisation Elektrisches Moment Magnetisches Moment Elektrische Polarisierbarkeit Magnetische Polarisierbarkeit Faraday-Konstante Lichtstärke Lichtstrom Leuchtdichte Beleuchtungsstärke Strahlungsfluss Strahlungsflussdichte Strahlstärke Strahldichte Bestrahlungsstärke Numerische Apertur Brennweite Brechzahl Gitterkonstante Relative Atommasse Relative Molekülmasse Aktivität Planck’sches Wirkungsquantum Drehimpulsquantum Avogadro-Konstante Loschmidt-Konstante Zerfallskonstante

V Rm e0 m0 er mr ce cm P J p j a b F I, Iv F, Fv L, Lv E, Ev F, Fe f I, Ie L, Le E, Ee A f n g Ar Mr A

0 –2 –3 1 0 0 0 0 –2 0 1 3 0 4 0 0 0 –2 –2 2 0 2 0 0 0 1 0 1 0 0 0

0 2 4 –2 0 0 0 0 1 –2 1 –2 4 –2 1 0 0 0 0 –3 –3 –3 –3 –3 0 0 0 0 0 0 –1

0 –1 –1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 –1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

1 2 2 –2 0 0 0 0 1 –1 1 –1 2 –2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 –1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

h _ h NA n0 l

2 2 0 –3 0

–1 –1 0 0 –1

1 1 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 –1 0 0

0 0 0 0 0

25

1.6 Physikalische Gleichungen

1.6

Physikalische Gleichungen

M

Größengleichungen In jeder Größengleichung steht das Formelzeichen für die physikalische Größe, also für das Produkt aus Zahlenwert und Einheit. Die Größengleichung gilt unabhängig von der Wahl der Einheiten, sie ist daher bevorzugt anzuwenden. Beispiele für Größengleichungen: s = √t,

√ = 2prf,

F = ma

Zugeschnittene Größengleichungen Auch in der zugeschnittenen Größengleichung steht das Formelzeichen für die physikalische Größe. In der Gleichung wird der Quotient aus der Größe und der Einheit gebildet, in der die Größe zu messen ist. Dieser Quotient ergibt den Zahlenwert der Größe. Beispiele für zugeschnittene Größengleichungen: 1 s/m = ––– √/km h–1 · t/s, 3,6

F/N = m/kg · a/m s–2

√/m s–1 = 0,10472 r/m · f/min–1 Zahlenwertgleichungen Das Formelzeichen bedeutet in einer Zahlenwertgleichung nur den Zahlenwert der physikalischen Größe, dem eine ganz bestimmte Einheit zugeordnet ist, die in einer Gleichungslegende (Einheitenrechen, Wallot’scher Kamm) angegeben werden muss. Wegen der abweichenden Bedeutung der Formelzeichen – nur Zahlenwert, nicht physikalische Größe – werden in diesem Buch grundsätzlich keine Zahlenwertgleichungen verwendet. Beispiele für Zahlenwertgleichungen: 1 s | √ |t s = ––– √t –––––––––––– 3,6 m | km h–1 | s

√ | r | f – √ = 0,10472 rf –––––––––––––– –1 –1 ms

| m | min

2

Mechanik fester Körper

2.1

Kinematik

Länge ●

Die Länge ist eine Basisgröße. Die Einheit der Länge ist das Meter: Das Meter ist die Länge der Strecke, die Licht im Vakuum während der Dauer von 1/299792458 Sekunden durchläuft.

Zeit ●

Die Zeit ist eine Basisgröße. Die Einheit der Zeit ist die Sekunde: Die Sekunde ist die Dauer von 9192631770 Perioden der Strahlung, die dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes des Atoms Cäsium 133 entspricht.

Bahngeschwindigkeit s, t →

√ r៬ s៬° r៬°

Benutzungshinweise Bahngeschwindigkeit (Geschwindigkeit) Ortsvektor Einheitsvektor in Richtung der Bahnkurve Einheitsvektor in Richtung des Ortsvektors

m s–1 m l l

√, r៬, s, r៬° und s៬° sind im Allgemeinen zeitabhängig dr៬ dt

√៬ = ––– dr៬ ៬ ds ––– = r˙ = ––– s៬° = √s៬° dt dt

Bahngeschwindigkeit auf gerader Bahn s, t → Benutzungshinweise Bahngeschwindigkeit (Geschwindigkeit) s0 zur Zeit t0 bereits zurückgelegter Weg

√

Augenblicksgeschwindigkeit ●

ds √ = ––– = s˙ dt

s

n r

●

M

m s–1 m

r(t)

r 0

v(t)

27

2.1 Kinematik

Durchschnittsgeschwindigkeit ●

Ds

s – s0

Dt

t – t0

√ = ––– = –––––

s – s0

√ = ––––– für t0 = 0 t

FK

Geschwindigkeit bei gleichförmiger Bewegung ●

s t

√ = – für t0 = 0 und s0 = 0

Einige Geschwindigkeiten (Durchschnittswerte) Bewegung

√ –––––– km h–1

√ ––––– m s–1

Gletscherbewegung 2,3 · 10–5 6,4 · 10–6 Schneeflocken 0,72 0,2 Gehen 5 1,4 Dauerlauf 10 2,8 Radfahren 20 5,5 Kurzstreckenlauf bis 36 bis 10 Brieftaube 72 20 Rennpferd 90 25 Orkan (Windstärke 12) 126 35 Schallgeschwindigkeit in Luft bei 0 °C und 101,325 kPa 1225 340 Punkt am Äquator (Umfangsgeschwindigkeit der Erde) 1 670 464 Überschallverkehrsflugzeug 2500 695 Gewehrgeschoss (Anfangsgeschwindigkeit) 3130 870 Wasserstoffmoleküle bei 0 °C und 101,325 kPa 6625 1840 Erdbebenwelle 13000 3 600 Künstlicher Erdsatellit 28800 8000 Bahngeschwindigkeit der Erde 3 · 104 um die Sonne 1,1 · 105 9 Licht im Vakuum 1,1 · 10 3 · 108 Bahngeschwindigkeit bei Kreisbewegung mit konstanter Drehfrequenz

√ r f

Bahngeschwindigkeit Radius der Kreisbahn Drehfrequenz (Drehzahl)

●

√ = 2prf

m s–1 m s–1

28


Winkelgeschwindigkeit (→ w៬ r៬ e៬° f n៬° r

Bild S. 26); M und O liegen in der Zeichenebene Winkelgeschwindigkeit bezüglich O Ortsvektor Einheitsvektor, senkrecht zur Bahnebene Winkel zwischen r៬ und einer vorgegebenen Richtung Einheitsvektor in Richtung der Normalen der Bahnkurve zum Krümmungsmittelpunkt Krümmungsradius der Bahnkurve →

( )

df df ––– = ––– e៬° dt dt

Winkelgeschwindigkeit bezüglich O  →

e៬° ⊥ r៬

( )

df 1 ––– = ––2 (r៬ × √៬) dt r

Winkelgeschwindigkeit bezüglich M e៬° ⊥ n៬°

1 w៬ = –r– (√៬ × n៬°)

√

w = –r–

 →

( )

df Wenn O und M zusammenfallen, gilt w៬ = ––– . dt Winkelgeschwindigkeit bei Kreisbewegung w f t T f

√ r s z

Winkelgeschwindigkeit Drehwinkel Zeit Periodendauer (Umlaufzeit) Drehfrequenz (Drehzahl) Bahngeschwindigkeit Radius der Kreisbahn Kreisbogen Anzahl der Umdrehungen

rad s–1 ≡ s–1 rad ≡ 1 s s s–1 m s–1 m m 1

Augenblickswinkelgeschwindigkeit ●

df w = ––– = f˙ mit dt

s f = –– r

Durchschnittswinkelgeschwindigkeit ●

Df f – f0 w = –––– = ––––––– , Dt t – t0

f – f0 w = ––––––– t

für t0 = 0

rad s–1 ≡ s–1 m 1 rad ≡ 1 1 m

29

2.1 Kinematik

Winkelgeschwindigkeit bei konstanter Drehfrequenz für t0 = 0 und f0 = 0 ●

f 2p w = –– = ––– , t T

w = 2pf,

1 f = –– T

Zusammenhang zwischen Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit ●

√ = wr

Anzahl der Umdrehungen bei konstanter Drehfrequenz ●

z = ft

Beschleunigung (→ a៬ r៬ at

√ ar r s៬° n៬° t ●

Bild S. 26) Vektor der Beschleunigung Ortsvektor Bahnbeschleunigung (Tangentialbeschleunigung) Bahngeschwindigkeit Radialbeschleunigung Krümmungsradius der Bahnkurve Einheitsvektor in Richtung der Bahnkurve Einheitsvektor in Richtung der Normalen der Bahnkurve Zeit d√៬ a៬ = –– , dt

m s–2 m m s–2 m s–1 m s–2 m 1 1 s

√2 d√៬ –– = √˙៬ = ˙r˙៬ = √˙s៬° + –– n៬° = a៬t + a៬r r dt

Betrag der Beschleunigung a = a t2 + a 2r ,

at = √˙ ,

√2

ar = –– r

Bahnbeschleunigung at √ t √0, t0

Bahnbeschleunigung (Tangentialbeschleunigung) Bahngeschwindigkeit Zeit Anfangswerte von √ und t

Augenblicksbeschleunigung ●

d√ at = –– = √˙ = ˙s˙ dt

Durchschnittsbeschleunigung ●

D√ √ – √ 0 at = ––– = ––––– , Dt t – t0

√ – √0 at = ––––– t

für t0 = 0

m s–2 m s–1 s

FK

30


Beschleunigung bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung ●

√

at = – t

für t0 = 0

und √0 = 0

Beträge einiger Beschleunigungen (Durchschnittswerte) Bewegung

a ––––– m s–2

Anfahren von Güterzügen Anfahren von Personenzügen Anfahren von Kraftfahrzeugen Bremsen von Güterzügen Bremsen von Personenzügen Bremsen von Kraftfahrzeugen Normwert der Fallbeschleunigung Tennisball beim Aufprall auf eine Wand Abschuss eines Geschosses

0,1 … 0,3 0,5 … 0,6 1…3 0,15 0,3 … 1 1 … 10 9,806 65 105 bis 5 · 105

Radialbeschleunigung (→ ar

√ r r wr w

Bild S. 26) Radialbeschleunigung Bahngeschwindigkeit Krümmungsradius der Bahnkurve Radius des Kreises bei Kreisbewegung Winkelgeschwindigkeit um die zur Bahnebene senkrechte Achse durch den Krümmungsmittelpunkt M Winkelgeschwindigkeit bei Kreisbewegung

√2

ar = –– , r

m s–2 m s–1 m m rad s–1 ≡ s–1 rad s–1 ≡ s–1

√2

–– = √wr = wr2 r r

Radialbeschleunigung bei Kreisbewegung ●

√2

ar = –– , r

√2

–– = √w = w2 r r

Winkelbeschleunigung a w

Winkelbeschleunigung Winkelgeschwindigkeit

rad s–2 ≡ s–2 rad s–1 ≡ s–1

31

2.1 Kinematik

f t e៬° w0, t0

rad ≡ 1 s

Drehwinkel Zeit Einheitsvektor in Richtung der Achse, um die die Drehung erfolgt Anfangswerte von w und t

1

FK

Augenblickswinkelbeschleunigung

●

dw៬ a៬ = –––– , dt

dw៬ –––– = w˙៬ = f˙˙៬ = w˙ e៬ ° dt

dw a = –––– , dt

dw –––– = w˙ = f ˙˙ dt

Durchschnittswinkelbeschleunigung ●

Dw w – w0 a = –––– = ––––––– , Dt t – t0

w – w0 a = ––––––– für t

t0 = 0

Winkelbeschleunigung bei gleichmäßig beschleunigter Kreisbewegung ●

w a = –– t

für

t0 = 0

und

w0 = 0

Geschwindigkeit bei Relativbewegung

√៬ √៬f √៬r

●

Absolutgeschwindigkeit (Geschwindigkeit des Körpers gegenüber dem ruhenden System) Führungsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit des translatorisch bewegten Bezugssystems gegenüber dem ruhenden System) Relativgeschwindigkeit (Geschwindigkeit des Körpers, bezogen auf das bewegte Bezugssystem)

√៬ = √៬f + √៬r ,

√ = √ f2 + √ r2 – 2√f √r cos a

m s–1 m s–1 m s–1 vf

vr

α

v

Beschleunigung bei Relativbewegung a៬ a៬ f a៬ r a៬ c

Absolutbeschleunigung (Beschleunigung des Körpers, bezogen auf das ruhende System) Führungsbeschleunigung (Beschleunigung des bewegten Systems, bezogen auf das ruhende System) Relativbeschleunigung (Beschleunigung des bewegten Körpers, bezogen auf das bewegte System) Coriolis-Beschleunigung

m s–2 m s–2 m s–2 m s–2

32 w៬ √៬r a


Winkelgeschwindigkeit des bewegten Systems, bezogen auf das ruhende System Relativgeschwindigkeit (Geschwindigkeit des Körpers, bezogen auf das bewegte System) Winkel zwischen w៬ und √៬r

rad s–1 ≡ s–1 m s–1 rad ≡ 1

Absolutbeschleunigung a៬ = a៬f + a៬r + a៬c Coriolis-Beschleunigung a៬c = 2w៬ × √៬r ac = 2w√r sin a,

ac = 2w√r für w៬ ⊥ √៬r

für w = 0: Es ist nur Translationsbewegung der beiden Systeme zueinander vorhanden. Der Körper ruht im bewegten System. √r = 0: √៬r || w៬ : Die Geschwindigkeit des Körpers im bewegten System ist parallel zur Drehachse. ac = 0

Gesetze der beschleunigten geradlinigen Bewegung s, √, t → Benutzungshinweise a Beschleunigung s0, √0, t0 Anfangswerte von s, √, t Für t0 = 0 gelten:

m s–2

Für t0 ≠ 0 gelten:

Weg-Zeit-Gesetz t

●

s = s0 + ∫ √ dt, 0

t

s = s0 + ∫ √ dt t0

Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz t

●

√ = √0 + ∫ a dt, 0

t

√ = √0 + ∫ a dt t0

s, √ und a sind zeitabhängig. Gesetze der gleichmäßig beschleunigten geradlinigen Bewegung (a = const) s, √, t → Benutzungshinweise a Beschleunigung s0, √0, t0 Anfangswerte von s, √, t

m s–2

33

2.1 Kinematik

Für t0 = 0 gelten:

s a<0

Weg-Zeit-Gesetz 1 s = s0 + √0t + – at 2 2 √ + √0 ● s = s0 + ––––– t 2 1 ● s = s0 + √t – – at 2 2 Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz

●

●

a>0 s0 v

√ = √0 + at

v0

a>0 a<0 t

Zeitfreie Gleichung ●

a

√ = √02 + 2a (s – s0)

a>0 t

Spezialfälle → S. 38

a<0

Freier Fall g h t f r rE h1

Fallbeschleunigung Fallhöhe Zeit geografische Breite Abstand vom Erdmittelpunkt Erdradius Höhe über der Erdoberfläche

●

1 h = – gt 2 , 2

m s–2 m s ° m m m

√ = 2gh

√ = gt,

Fallbeschleunigung Ort

FK t

Formelzeichen

Normort (45° nördliche Breite 0 m über dem Meeresspiegel) gn Pol gp Äquator gä

g ––––– m s–2

9,80665 9,83221 9,78049

Abhängigkeit der Fallbeschleunigung von der geografischen Breite gf gp –––––2– = –––– – – 0,052 cos2 f ms m s –2

34


Abhängigkeit der Fallbeschleunigung vom Abstand vom Erdmittelpunkt rE2 gr = ––2 gn , r

r > rE = 6,37 · 106 m

Fallbeschleunigung in der Höhe h1 über der Erdoberfläche gh gn h1 –––––2– = –––– – – 3 · 10–6 –– ms m s –2 m

für

h1 –– 1 rE

Senkrechter Wurf Der senkrechte Wurf nach oben ist eine gleichmäßig verzögerte Bewegung mit der Beschleunigung a = – g (Ordinaten werden nach oben positiv gezählt) (→ S. 33; s0 = 0).

√, t → Benutzungshinweise h hmax tmax

√0 g

Höhe Steighöhe Steigzeit Anfangsgeschwindigkeit Fallbeschleunigung

●

1 h = √0t – – gt2 , 2

●

√ = √0 – gt , Steighöhe

●

m m s m s –1 m s –2

1 h = –– (√ + √0) t 2

√ = √02 – 2gh Steigzeit

√02

hmax = ––– 2g

√0

tmax = –– g

Reibungsfreie Bewegung auf der geneigten Ebene a g a

Beschleunigung Fallbeschleunigung Winkel

m s –2 m s –2 °

Die reibungsfreie Abwärtsbewegung auf der geneigten Ebene ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit der Beschleunigung ●

a = g sin a

Es gelten die Gleichungen für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung (→ S. 33).

g sinα

α

g

α

g cos α

35

2.1 Kinematik

Horizontaler Wurf

√0 √x , √y x, y smax t g h

m s –1 m s –1 m m s m s –2 m

Anfangsgeschwindigkeit Geschwindigkeitskomponenten Koordinaten Wurfweite Zeit Fallbeschleunigung Fallhöhe

FK

Geschwindigkeit

√x = √0 ,

√y = gt ,

√=

+

√y2

vx v

h

●

√x2

Gleichung der Wurfparabel ●

1 y = –– gt 2 , 2

x = √0t ,

x vy

s max y

g y = ––––2 x 2 2√0

Wurfweite ●

smax = √0

2h –––– g

Schiefer Wurf

√, t → Benutzungshinweise √0 Anfangsgeschwindigkeit √x, √y Geschwindigkeitskomponenten Koordinaten Steighöhe Wurfweite Fallbeschleunigung Winkel zwischen √0 und der x-Achse Steigzeit y

Geschwindigkeit ●

√x = √0 cos a , √y = √0 sin a – gt √=

√x2

+

v0

hmax

x, y hmax smax g a tst

m s –1 m s –1 m m m m s –2 ° s

α

√y2

Gleichung der Wurfparabel 1 y = √0t sin a – –– gt 2 , 2

●

x = √0t cos a ,

●

gx 2 –––––– y = x tan a – ––– 2 2√0 cos2 a

s max

x

36

●


Wurfweite

Steighöhe

Steigzeit

1 smax = –– √02 sin 2a g

1 hmax = –– √02 sin2 a 2g

1 tst = –– √0 sin a g

Gesetze der beschleunigten Kreisbewegung Weg auf der Kreisbahn Bahngeschwindigkeit a Bahnbeschleunigung f Drehwinkel w Winkelgeschwindigkeit a Winkelbeschleunigung t Zeit f0, w0, t0 Anfangswerte von f, w, t r Radius der Kreisbahn

m m s –1 m s –2 rad ≡ 1 rad s –1 ≡ s –1 rad s –2 ≡ s –2 s

s

√

m

Für die Bahnbeschleunigung, die Bahngeschwindigkeit und den zurückgelegten Weg auf der Kreisbahn gelten die gleichen Gesetze wie bei der beschleunigten geradlinigen Bewegung (→ S. 32). Zwischen Weg und Drehwinkel, Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit sowie Bahnbeschleunigung und Winkelbeschleunigung bestehen folgende Zusammenhänge: ●

√ = rw ,

s = rf ,

a = ra

Drehwinkel-Zeit-Gesetz (t0 = 0) t

●

f = f0 + ∫ w dt , 0

Winkelgeschwindigkeit-Zeit-Gesetz (t0 = 0) t

●

w = w0 + ∫ a dt , 0

(t0 n 0) t

f = f0 + ∫ w dt t0

(t0 n 0) t

w = w0 + ∫ a dt t0

f, w, a sind zeitabhängig. Gesetze der gleichmäßig beschleunigten Kreisbewegung f w f

Drehwinkel Winkelgeschwindigkeit Drehfrequenz (Umdrehungsfrequenz, Drehzahl)

rad ≡ 1 rad s –1 ≡ s –1 s –1

37

2.1 Kinematik

a f0, w0, f0, t0 z t

Winkelbeschleunigung Anfangswerte von f, w, f und t Anzahl der Umdrehungen Zeit

rad s –2 ≡ s –2 1 s

FK

Für t0 = 0 gelten: Drehwinkel-Zeit-Gesetz ●

1 f = f0 + w0t + – at 2 , 2

●

1 f = f0 + – (w + w0) t 2

1 f = f0 + wt – – at 2 2 ϕ

α <0 α >0

Winkelgeschwindigkeit-Zeit-Gesetz w = w0 + at

ϕ0

Zeitfreie Gleichung

ω

●

●

w=

w 02

t

Anzahl der Umdrehungen während der gleichmäßig beschleunigten Kreisbewegung ●

α>0

+ 2a (f – f0)

1 z = – (f + f0) t , 2

ω0

α<0 t

α

f z = ––– 2p

α>0 t

Spezialfälle → S. 38. α<0

Zusammenfassung der Gesetze der gleichmäßig beschleunigten Bewegung s, t → Benutzungshinweise Bahngeschwindigkeit (Geschwindigkeit) a Bahnbeschleunigung (Beschleunigung) f Drehwinkel w Winkelgeschwindigkeit a Winkelbeschleunigung

√

Translation

m s –1 m s –2 rad ≡ 1 rad s –1 ≡ s –1 rad s –2 ≡ s –2

Rotation

Für s0 = 0, √0 = 0, f0 = 0 und w0 = 0 bei t0 = 0 gelten folgende Gleichungen: 1 s = –– at 2 2

1 f = – at 2 2

38


Translation

Rotation

1 s = –– √t 2

1 f = –– wt 2

√ = at

w = at

√ = 2as

w = 2af

Für s0 = 0, √0 n 0, f0 = 0, w0 n 0 bei t0 = 0 gelten folgende Gleichungen: 1 s = √0t + – at 2 2

1 f = w0t + – at 2 2

1 s = – (√ + √0) t 2

1 f = –– (w + w0) t 2

√ = √0 + at

w = w0 + at

√ = √ 02 + 2as

w = w 02 + 2af

1 s = √t – –– at 2 2

1 f = wt – – at 2 2

Sind alle Anfangswerte n 0 (bei t0 = 0), gelten folgende Gleichungen: 1 s = s0 + √0t + – at 2 2

1 f = f0 + w0t + – at 2 2

1 s = s0 + – (√ + √0) t 2

1 f = f0 + –– (w + w0) t 2

√ = √0 + at

w = w0 + at

√ = √02 + 2a (s – s0)

w = w 02 + 2a (f – f0)

1 s = s0 + √t – –– at 2 2

1 f = f0 + wt – – at 2 2

Ist r der Radius der Kreisbahn, so gilt: s = rf ,

√ = rw ,

a = ra

39

2.2 Statik starrer Körper

2.2

Statik starrer Körper

Ebenes zentrales Kraftsystem F Kraft a, b, g Winkel

N °, rad ≡ 1

FK

Addition zweier Kräfte F៬ = F៬1 + F៬2 ,

●

F = F 12 + F 22 + 2 F1F2 cos g

Richtung 1 F

β

F1

F1

α

α F2

F

γ β F2

Richtung 2

Richtung der Resultierenden ●

F2 sin b = ––– sin g , F

F1 sin a = ––– sin g F

Zerlegung einer Kraft in zwei Richtungen ●

sin a F1 = F ––––––––– , sin (a + b)

sin b F2 = F ––––––––– sin (a + b)

Für a + b = 90° gilt ●

F1 = F sin a,

y

F2 = F cos a

Addition beliebig vieler Kräfte n

●

Fx = ∑ Fi cos ai

F2

F3 α4

i =1

F4 n

●

Fy = ∑ Fi sin ai

●

F = F x2 + F y2

●

Fy tan aF = ––– Fx

i =1

α2

α3

F1

α1 x

α5 F5

40


Gleichgewicht im ebenen zentralen Kraftsystem n

●

n

∑ Fi cos ai = 0,

∑ Fi sin ai = 0

i =1

i=1

Kraftmoment (Drehmoment) Kraft Kraftmoment Beträge der Komponenten des Kraftmoments Vektor vom Drehpunkt zum Angriffspunkt der Kraft Beträge der Komponenten des Vektors r៬ Winkel Beträge der Komponenten der Kraft F៬

F M Mx , My , Mz r៬ x, y, z a Fx, Fy, Fz i៬, j៬, k៬

m m ° N

Einheitsvektoren in Richtung der Achsen des Koordinatensystems Abstand der Kräfte des Kräftepaares

a ●

N Nm Nm

៬ = r៬ × F៬, M

1 m

M = Fr sin a

Für ein rechtwinkliges Koordinatensystem M mit dem Ursprung O gilt ៬ = i៬Mx + j៬My + k៬Mz M i៬ j៬ k៬ ៬ = x y z M Fx Fy Fz

|

|

O r sin α

α

Drehmoment eines Kräftepaares (Drehachse beliebig, das Moment steht senkrecht zur Zeichenebene) ●

F1

M = Fa

M a

Kraft Länge des Lotes von der Drehachse auf die Kraftrichtung Kraftmoment Winkel

a F2

Allgemeines ebenes Kraftsystem F a

F

r

N m Nm °

Addition von Kräften: Betrag und Richtung der Resultierenden ergeben sich wie beim ebenen zentralen Kraftsystem.

41


Die Lage der Resultierenden erhält man aus dem Kraftmomentensatz n

Fa = ∑ Fi ai

F1

ıı

ııı

ıııı

ıı

ı

ı

ı ıı ıı

ıı

ııı ıı

ıı

i =1

ıı ııııııııı ı

ıı

F3

ıı

ı

i =1

n

∑ Fi sin ai = 0,

ıı

ıı

ıı

FK

ıı

α2

ııı

ıı

ıı

ıı ıııııııı ııııııııı

ı ı ıııı

n

∑ Fi cos ai = 0,

ıııı

ııı ı ı ı ı ı ı ı ı ı ıı

α1 α

α3

ııı ıııı ııııııııııııııı

Gleichgewicht im allgemeinen ebenen Kraftsystem (Gleichgewichtsbedingungen) ●

ıı

ıı

ıı

Drehachse

Linksdrehende Kräfte sind mit positivem, rechtsdrehende mit negativem Vorzeichen in die Summe einzusetzen.

ıı

i =1

ıı

●

ııı

ıı ııı

F2

F

n

∑ Fi ai = 0

i =1

Gleichgewicht an einem starren Körper, der um eine feste Achse drehbar ist (Hebelgesetz): Ein Hebel ist im Gleichgewicht, wenn die Summe der rechtsdrehenden Momente gleich der Summe der linksdrehenden Momente ist. n

z

∑ Mi = 0

i =1

ıııı ıı

ıı

ıı

ıı

ıı

ıı ıı

ıı

ıı ıı

ıı ı ı ıııı ııı

ı

ı

ı ı ı ı ı ıııııı ıı ıııııııııııı

z

zs

ıı

ıı

ıı

ıı

ı

dV ıı

ıı ııı

ıı

ıı

ıı

ıı

ıı

ııı

ıı ıııı ıııı ı

ııı

ıı

S

ıı

∫ ry dV ∫ y dm ∫ y dm ys = ––––––– = –––––– = –––––– m ∫ r dV ∫ dm

ıı

ıı

ııı ı

Benutzungshinweise Dichte kg m–3 Länge m Ortskoordinaten m ys

xs

Schwerpunkt eines homogenen starren Körpers x rx dV ∫ x dm ∫ x dm ∫–––––– – = –––––– = –––––– ● xs = m ∫ r dV ∫ dm ●

ıı

m, V, A → r l x, y, z

ıı ı ıı

Massenmittelpunkt (Schwerpunkt)

ıı

●

y

x

y

∫ rz dV ∫ z dm ∫ z dm zs = ––––––– = –––––– = –––––– m ∫ r dV ∫ dm

Schwerpunkt eines Körpers, der aus n Teilkörpern besteht, die die Massen Dmi und die Schwerpunktkoordinaten xi, yi und zi haben n

∑ xi Dmi

●

i =1

n

∑ yi Dmi

i =1

n

∑ zi Dmi

i =1

ys = –––––––– , zs = –––––––– xs = –––––––– , m m m Bei homogenen Körpern kann Dmi durch DVi und m durch V ersetzt werden. Für Flächenschwerpunkte ist an Stelle der Masse m die Fläche A, für Linienschwerpunkte die Länge l zu setzen.

42


Schwerpunkte von Linien Linie

Lage des Schwerpunkts

c S

1 b+c ys = – h –––––––– 2 a+b+c

ys

b

h

Dreieckumfang

a

Parallelogrammumfang

im Schnittpunkt der Diagonalen

Kreisbogen

rs ys = –– b

b h

S ys

s r

r

α α M

p a = –– : 2

2r ys = –– p

p a = –– : 4

2 2r ys = ––––– p

p a = –– : 6

3r ys = ––– p

Schwerpunkte von Flächen Lage des Schwerpunkts

Dreieckfläche

im Schnittpunkt der Seitenhalbierenden

ys

S

h

Fläche Fläche

b

Trapez

S

ys

b 2

a 2 a

1 ys = – h 3 1 a + 2b ys = – h –––––– 3 a+b

43


Schwerpunkte von Flächen Fläche Fläche


Parallelogramm

im Schnittpunkt der Diagonalen

Kreisausschnitt

2 sin a 2rs ys = – r ––––– = ––– 3 a 3b

h

b s S ys

r

r

α α M

4r ys = ––– 3p

p a = –– : 4

4 2r ys = ––––– 3p

p a = –– : 6

2r – ys = –– p

4r sin a s3 ys = –––––––––––––– = –––– 3 (2a – sin 2a) 12A A Fläche des Kreisabschnitts h ys = – 2

ys

S

ys

S

h

h

Kreisabschnitt (→ Bild Kreisausschnitt) Kugelkappe, Kugelzone

p a = –– : 2

Kegelmantel h

h ys = – 3

ys

S

FK

44


Schwerpunkte von Körpern Körper Körper


Prisma und Zylinder mit parallelen Endflächen

in der Mitte der geradlinigen Verbindungsstrecke der Schwerpunkte der beiden Endflächen

schief abgeschnittener Kreiszylinder

r2 tan a xs = ––––––– 4h h

α

1 ys = ––– (4h2 + r2 tan2 a) 8h

ys

S

xs r

Pyramide und Kegel h

h ys = –– 4

ys

S

2 + 3A2) h (A1 + 2 A1A ys = –––––––––––––––––––– 4 (A1 + A1A2 + A2) h

A2

Pyramiden- und Kegelstumpf

ys

S A1

h

Kugelabschnitt

r

ys

S r

α α M

Kugelausschnitt (→ Bild Kugelabschnitt)

3 (2r – h)2 ys = –––––––––– 4 (3r – h) p 3 a = –– : ys = – r 2 8

3 ys = – (2r – h) 8

45


Schwerpunkte von Körpern Körper


Rotationsparaboloid z = x2 + y2

h zs = – 3 h Höhe des Paraboloids

FK

Flächen(trägheits)moment I Is Ic x, y A i a

m4

Flächen(trägheits)moment Flächen(trägheits)moment, bezogen auf eine Achse durch den Schwerpunkt Flächen(trägheits)moment, bezogen auf eine zur Schwerpunktachse parallele Achse Abstände von den Bezugsachsen Fläche Trägheitsradius Abstand der Achse durch den Schwerpunkt von einer beliebigen dazu parallelen Achse

m4 m4 m m2 m m

Axiales Flächen(trägheits)moment Flächen(trägheits)moment, bezogen auf die x-Achse

y dA

n

Ix = ∑

Ix = ∫ y dA,

i =1

x

yi2 DAi

n

●

Iy = ∑ xi2 DAi

Iy = ∫ x2 dA,

y

r

s

Flächen(trägheits)moment, bezogen auf die y-Achse

s

S O

a

●

2

c

i =1

Fläche

Flächen(trägheits)moment

Quadrat

a4 Ix = Iy = –– 12

a

y

x a

x c

46


Fläche


Rechteck

ba3 Ix = ––– , 12

a

y

ab3 Iy = ––– 12

x b

pd 4 Ix = Iy = –––– 64

y

d

Kreis

x

Kreisring

p Ix = Iy = ––– (d 41 – d 24) 64

d2

d1

y

x

y

1 Ix = – pab3, 4 b

Ellipse

x a

Dreieck

1 Ix = ––– bh3 36

h

y

S x b

1 Iy = – pa3b 4

47

2.3 Physikalische Grundlagen der Festigkeitslehre

Fläche


regelmäßiges Sechseck

y

5 Ix = Iy = ––– 3a 4 16

a

a a

x

Trapez

6a 2 + 6a 1a + a 12 Ix = –––––––––––––––– h3 36 (2a + a 1)

a

h

S

x a1 2

a1 2

Polares Flächen(trägheits)moment (Bezugsachse geht durch den Punkt O und steht senkrecht auf der Zeichenebene, → Bild S. 45) ●

Ip = ∫ r2 dA,

n

Ip = ∑ ri2 DAi, i =1

Ip = Ix + Iy

Zentrifugales Flächen(trägheits)moment (→ Bild S. 45) ●

Ixy = ∫ xy dA,

n

Ixy = ∑ xi yi DAi

Trägheitsradius

i =1

I –– A Satz von Steiner (→ Bild S. 45) i=

●

Ic = Is + Aa 2

2.3

Physikalische Grundlagen der Festigkeitslehre

Dichte m,V → Benutzungshinweise r Dichte dm r = ––– dV

kg m–3

FK

48


Mittlere Dichte m ● r = –– V Dichte der Elemente Element

Symbol

r ––––––––– 3 10 kg m–3 bei 20 °C

Actinium Aluminium Americium Antimon Argon Arsen Astat Barium Berkelium Beryllium Bismut Blei Bohrium Bor Brom Cadmium Calcium Californium Cäsium Cer Chlor Chrom Cobalt Curium Darmstadtium Dubnium Dysprosium Einsteinium Eisen Erbium Europium Fermium Fluor

Ac Al Am Sb Ar As At Ba Bk Be Bi Pb Bh B Br Cd Ca Cf Cs Ce Cl Cr Co Cm Ds Db Dy Es Fe Er Eu Fm F

10,07 2,698 13,67 6,67

r –––––– kg m–3 bei 0 °C und 101,325 kPa

1,783 7 5,72 3,61 13,25 1,86 9,79 11,337 2,33 3,14 8,642 1,55 15,1 1,873 6,768 3,214 6,92 8,90 13,51

8,56 7,86 9,06 5,24 1,696

49


Element

Symbol

Francium Gadolinium Gallium Germanium Gold Hafnium Hassium Helium Holmium Indium Iod Iridium Kalium Kohlenstoff (Diamant) Kohlenstoff (Graphit) Krypton Kupfer Lanthan Lawrencium Lithium Lutetium Magnesium Mangan Meitnerium Mendelevium Molybdän Natrium Neodym Neon Neptunium Nickel Niobium Nobelium Osmium Palladium Phosphor, weiß Phosphor, rot Platin Plutonium

Fr Gd Ga Ge Au Hf Hs He Ho In I Ir K C C Kr Cu La Lr Li Lu Mg Mn Mt Md Mo Na Nd Ne Np Ni Nb No Os Pd P P Pt Pu

r ––––––––– 103 kg m–3 bei 20 °C

r –––––– kg m–3 bei 0 °C und 101,325 kPa

7,89 5,91 5,35 19,3 13,36 0,178 47 8,8 7,3 4,932 22,4 0,862 3,51 2,25 3,744 8,96 6,162 0,534 9,85 1,741 7,20

10,22 0,971 7,0 0,900 6 20,45 8,91 8,55 22,48 12,1 1,82 2,20 21,45 19,74

FK

50


Element

Symbol

r ––––––––– 103 kg m–3 bei 20 °C

Polonium Praseodym Promethium Protactinium Quecksilber Radium Radon Rhenium Rhodium Roentgenium Rubidium Ruthenium Rutherfordium Samarium Sauerstoff Scandium Schwefel, rhombisch Schwefel, monoklin Seaborgium Selen, rot Selen, metallisch Silber Silicium Stickstoff Strontium Tantal Technetium Tellur Terbium Thallium Thorium Thulium Titan Uran Vanadium Wasserstoff Wolfram Xenon Ytterbium

Po Pr Pm Pa Hg Ra Rn Re Rh Rg Rb Ru Rf Sm O Sc S S Sg Se Se Ag Si N Sr Ta Tc Te Tb Tl Th Tm Ti U V H W Xe Yb

9,51 6,77 7,22 15,37 13,546 5,0

r –––––– kg m–3 bei 0 °C und 101,325 kPa

9,91 21,3 12,5 1,532 12,3 7,53 1,428 95 2,99 2,07 1,96 4,26 4,792 10,49 2,326 1,250 5 2,67 16,6 11,49 6,25 8,25 11,85 11,7 9,32 4,51 18,97 5,97 0,089 89 19,27 5,896 6,96

51


Element

Symbol

Yttrium Zink Zinn Zirconium

Y Zn Sn Zr

r ––––––––– 103 kg m–3 bei 20 °C

r –––––– kg m–3 bei 0 °C und 101,325 kPa

4,47 7,13 7,29 6,5

Dichte fester Stoffe Bei porösen und wolligen Stoffen ist die Rohdichte angegeben. Stoff

r ––––––––– 103 kg m–3 bei 20 °C

Stoff

r ––––––––– 103 kg m–3 bei 20 °C

1,0 … 2,8 2,95 … 3,1

Hartporzellan Hartsteingut Kalk, gebrannt gebrannt (Schüttdichte) gelöscht gelöscht (Schüttdichte) Kalkmörtel, trocken Kalkstein Kaolin Kies, trocken (Schüttdichte) Klinker Kreide Lehm Marmor Porphyr Sand, feucht (Schüttdichte) trocken (Schüttdichte) Sandstein Schamotte Schiefer

2,2 … 2,4 ≈ 1,9 2,8 … 3,2

Baustoffe und Gesteine Asphalt Basalt, Melaphyr Beton Anhydritestrich Bimsbeton Poren(Gas)beton Leichtbeton Schwerbeton Stahlbeton und Spannbeton Schwerstbeton Boden, gewachsen Bitumen Dachpappe Dachschiefer Dachziegel Diabas Diorit Dichte Kalke und Dolomite Faserplatten Gips (Schüttdichte) Gneis, Granulit Granit, Syenit

2,0 … 2,3 ≈ 1,1 0,4 … 0,8 0,6 … 1,8 1,8 … 2,7 2,2 … 2,5 2,8 … 5,0 ≈ 1,7 1,05 1,0 … 1,2 2,7 … 2,8 2,6 2,8 … 2,9 2,8 … 3,0 2,65 … 2,85 ≈ 1,0 2,3 1,6 … 1,8 2,6 … 3,0 2,5 … 3,0

0,9 … 1,2 2,2 … 2,3 1,1 … 1,3 1,6 … 1,65 2,5 … 2,7 2,2 … 2,6 1,9 … 2,0 2,0 … 2,6 1,8 … 2,7 1,5 … 1,8 2,5 … 2,85 2,4 … 2,8 1,9 … 2,1 1,4 … 1,65 2,0 … 2,3 1,7 … 2,1 2,6 … 2,7

FK

52 Stoff


r ––––––––– 103 kg m–3 bei 20 °C

Stoff

r ––––––––– 103 kg m–3 bei 20 °C

Magnesitpulver Mineralwolle Piatherm Platten aus Mineralwolle Polystyrolplatten Schilf Torfmull Vakuumdämmplatten Wärmedämmputz Zement Zementmörtel Ziegel Ziegelmauerwerk

0,13 0,15 … 0,2 0,015

Baustoffe und Gesteine Schlacke Hochofenschlacke (Schüttdichte) Schlackensteine Ton, trocken nass Wärmedämmende Baumaterialien Fußbodendämmplatten Glaswatte Hobelspäne (Schüttdichte) Holzspanplatten Holzwolle-Platten

2,6 … 3,0 0,4 … 0,85 1,2 … 2,4 ≈ 1,8 ≈ 2,6

≈ 0,65 0,075 … 0,1 0,09 … 0,14 0,4 … 0,8 0,38 … 0,46

0,15 … 0,2 0,2 … 0,3 0,19 … 0,22 ≈ 0,19 0,17 … 0,19 ≈ 0,9 2,6 … 3,2 ≈ 2,0 0,7 … 1,9 0,8 … 2,0

Brennstoffe Anthrazit Braunkohle Braunkohlenbrikett Holzkohle in Stücken

1,3 … 1,5 1,2 … 1,5 1,25 … 1,3 ≈ 0,4

Koks Steinkohle Torf, trocken

1,1 … 1,4 1,2 … 1,4 ≈ 0,5

Optische Gläser BaK 571/557 (BaK 4) BK 518/639 (BK 7) K 524/588 (K 13) F 624/361 (F 2) SF 746/280 (SF 3) Quarzglas

3,11 2,53 2,52 3,60 4,60 2,20

Glas Chemisch-technische Gläser (Jenaer Glas) Jena 16 III 2,54 Jena 59 III 2,39 Labortherm S 2,49 Rasothermglas 2,25 Fensterglas 2,4 … 2,6 Flaschenglas 2,6 Glühlampenglas 2,46 Kristallglas (25 % Bleioxid) 2,90


Stoff

r ––––––––– 103 kg m–3 bei 20 °C

Stoff

53 r ––––––––– 103 kg m–3 bei 20 °C

FK

Harze, Hochpolymere Äthoxylinharz (Epoxidharz, z. B. Araldit) Bernstein Gummi Rohkautschuk Weichgummi, vulkanisiert ohne Zusätze mit 25 % Ruß Hartgummi ohne Zusätze Buna S ohne Zusätze Buna S mit 30 % Ruß Kolophonium Kunsthorn (z. B. Galalith) Melaminharz (z. B. Ultrapas) Phenolharz (Phenenharz) ohne Füllstoff als Formpressstoff mit Asbestfaser mit Holzmehl

1,1 … 1,3 1,0 … 1,1 0,91 … 0,94

0,96 1,15 1,12 … 1,8 0,92 1,2 1,07 1,3 … 1,4 1,5 … 1,6

1,2 … 1,3 1,6 … 1,9 1,3 … 1,4

als Schichtpressstoff mit Gewebebahnen (Hartgewebe) 1,3 … 1,4 mit Papierbahnen (Pertinax) 1,3 … 1,4 Polyamide (z. B. Dederon, Nylon) 1,08 … 1,14 Polyethylen (z. B. Lupolen) 0,92 … 0,94 Polymethacrylester (z. B. Plexiglas) 1,16 … 1,20 Polystyrol (Polystyren) (z. B. Trolitul) 1,05 … 1,18 Polypropylen 0,91 Polytetrafluorethylen (z.B. Teflon, PTFE) 2,1 … 2,3 Polytrifluormonochlorethylen (z. B. Hostaflon) 2,1 … 2,2 Polyvinylchlorid 1,34 … 1,38 Zelluloseacetat 1,3 … 1,4 Zelluloid 1,35 … 1,6

Holz, lufttrocken Ahorn Balsa Birke Buche Eiche Esche

0,53 … 0,8 0,08 … 0,2 0,52 … 0,8 0,6 … 0,9 0,5 … 1,0 0,5 … 0,95

Fichte Kiefer Lärche Mahagoni Pockholz Weide

0,35 … 0,65 0,32 … 0,7 0,5 … 0,7 0,55 … 1,05 1,1 … 1,35 0,4 … 0,6

54 Stoff


r ––––––––– 103 kg m–3 bei 20 °C

Stoff

r ––––––––– 103 kg m–3 bei 20 °C

Kawenit S KER 710 Kawenit Z KER 730 Pythagoras-Masse Thoriumoxid Zirconoxid

≈ 3,8 ≈ 5,4 2,9 9,09 5,49

Hochfeuerfeste Materialien Aluminiumoxid Berylliumoxid Elektrographit Ignodur KER 630 Ignolan KER 631

2,9 2,9 2,25 ≈ 2,7 ≈ 2,25

Stoff

Zusammensetzung in Masseprozent

r ––––––––– 103 kg m–3 bei 20 °C

Metalle und Legierungen Aluminium, rein Blech gegossen Blattgold, unecht Bronze, gewöhnlich Aluminiumbronze Berylliumbronze Elektron Eisen und Stahl Roheisen, grau Roheisen, weiß Gusseisen Stahl, unlegiert Magnetstahl Chromnickelstahl Elektroblech Invar-Stahl Cobaltstahl Wolframstahl (Schnellarbeitsstahl) Hartblei Kupfer, rein Elektrolytkupfer Kupferdraht, hart

77 … 85 Cu, 23 … 15 Zn 80 … 94 Cu, 20 … 6 Sn 80 … 95 Cu, 20 … 5 Al 90 … 98 Cu, 10 … 2 Be 90 … 98 Mg,10 … 0 Al Spuren Mn, Cu, Zn 3 … 5 C, 1 … 3 Si, Rest Fe 3 … 5 C, 0 … 1 Si, Rest Fe 1,7 … 4 C, Rest Fe 0,05 … 1,7 C 5 Co, 20 Ni, 12 Al, Rest Fe ≈ 9 Ni, ≈ 0,5 Si, ≈ 18 Cr, ≈ 0,5 Mn, ≈ 0,12 C, Rest Fe 0,04 … 4,1 Si, Rest Fe 35 … 37 Ni, Rest Fe 15 … 35 Co, Rest Fe 20 W, Rest Fe 75 … 94 Pb, 25 … 6 Sb

2,703 2,73 2,56 8,5 … 8,7 8,7 … 8,9 7,7 … 8,6 8,2 … 8,8 1,7 … 1,8 6,6 … 7,4 7,6 … 7,8 7,2 … 7,6 7,7 … 7,86 6,9 7,8 … 8,0 7,6 … 7,86 8,1 7,8 … 8,0 9,0 10,2 … 11,5 8,933 8,952 8,96

55


Stoff

Zusammensetzung in Masseprozent

r ––––––––– 103 kg m–3 bei 20 °C

FK

Metalle und Legierungen Konstantan Manganin Messing Neusilber

60 Cu, 40 Ni 84 Cu, 12 Mn, 4 Ni 60 … 80 Cu, 40 … 20 Zn 50 … 60 Cu, 15 … 30 Zn 15 … 35 Ni

Nickel, gegossen Nickeldraht, hart Nickeldraht, weich Platin-lridium Platinit Silber, rein Elektrolytsilber Sintereisen (Lagerwerkstoff) (Pressformwerkstoff) Sinterbronze (Lagerwerkstoff) Tombak rot gelb

90 Pt, 10 Ir 46 Ni, 54 Fe

90 Cu, 10 Zn 72 Cu, 28 Zn

8,8 8,4 8,1 … 8,6 8,4 … 8,7 8,90 8,76 8,84 21,6 8,2 10,49 10,56 5,8 6,2 … 7,3 6,5 8,7 8,6

Weitere Werte sind der Tabelle „Dichte der Elemente“ (→ S. 48) zu entnehmen. Stoff

r ––––––––– 3 10 kg m–3 bei 20 °C

Stoff

r ––––––––– 3 10 kg m–3 bei 20 °C

Roggen Rüben Weizen Zucker

0,68 … 0,75 0,65 … 0,75 0,7 … 0,8 0,8

Baumwolle Bauxit Bergkristall

1,47 … 1,5 2,4 … 2,5 2,64

Nahrungsmittel (Schüttdichte) Gerste Hafer Kartoffeln Mehl, lose Obst

0,6 … 0,7 0,45 … 0,55 0,65 … 0,75 0,4 … 0,55 0,35 … 0,45

Verschiedene feste Stoffe Acetatseide Achat Asbest

1,25 … 1,35 2,5 … 2,8 2,1 … 2,8

56 Stoff


r ––––––––– 103 kg m–3 bei 20 °C

Stoff

r ––––––––– 103 kg m–3 bei 20 °C

Papier Paraffine Pech Permalloy Pertinax Porzellan Quarz Salpeter (Kali) Schmirgel Schnee lose, trocken (Schüttdichte) nass (Schüttdichte) Schwerspat Sinterkorund Stearin Steinsalz (kristallin) Teer Wachs

0,7 … 1,2 0,8 … 0,9 1,25 … 1,33 8,59 1,3 … 1,4 2,20 … 2,50 2,70 1,95 … 2,1 4,0

Verschiedene feste Stoffe Bleiglanz Borax Brauneisenstein Eis bei 0 °C Elfenbein Erdreich, trocken Fette Glimmer Kalkspat Keramik Knochen Kohlensäurediamid (Harnstoff) Kork Leder Magnetische Ferritwerkstoffe (Manifer, Maniperm)

7,2 … 7,6 2,37 3,4 … 3,9 0,917 1,8 … 1,9 1,3 … 2,0 0,90 … 0,95 2,60 … 3,20 2,60 … 2,80 2,1 … 2,3 1,7 … 2,0 1,3232 0,2 … 0,35 0,9 … 1,0

4…5

0,13 bis 0,95 4,25 3,7 … 4,0 1,0 2,3 … 2,4 1,1 … 1,2 0,94 … 1,04

Dichte von Flüssigkeiten bei 18°C Ammoniakwasser (Salmiakgeist 24 %) (34,95 %) Aminobenzol (Anilin, Aminobenzen) Benzin Benzen (Benzol) Diethylether (Äther, Ether) Dieselöl Erdöl Ethanol (Äthylalkohol Ethansäure (Essigsäure) Flusssäure (38 %)

0,910 0,882 1,021 6 0,70 … 0,74 0,88 0,72 0,85 … 0,88 0,73 … 0,94 0,789 2 1,0492 1,12

Kalilauge (40 % bei 15 °C) Kohlenstoffdisulfid (Schwefelkohlenstoff) Methanol (Methylalkohol) Methansäure (Ameisensäure) Methylbenzol (Toluol, Methylbenzen) Natronlauge (40 % bei 15 °C) Nitrobenzol (Nitrobenzen) n-Oktan

1,395

1,263 0,792 1,22 0,865 6 1,434 1,203 0,702

57


Stoff

r ––––––––– 103 kg m–3

Stoff

r ––––––––– 103 kg m–3

Dichte von Flüssigkeiten bei 18 °C und 1013 hPa Olivenöl 0,91 Phosphorsäure (85 %) 1,69 Propanon (Aceton) 0,791 Propantriol (Glyzerin, Glycerol) 1,26 Propantrioltrinitrat (Nitroglyzerin, Nitroglycerol) 1,60 Pentan 0,623 Petroleum 0,80 … 0,82 Rizinusöl 0,96 Salpetersäure (50 %) 1,31 (65 %) 1,40 Salzsäure (38 %) 1,19 Schmieröl ≈ 0,85 Schwefelsäure (50 %) 1,40 (98 %) 1,84 Seewasser 1,02

Siliconöle Spiritus Steinkohlenteer Terpentinöl Tetrachlormethan Trichlormethan Wasser bei 0 °C bei 4 °C bei 10 °C bei 20 °C bei 30 °C bei 50 °C bei 80 °C bei 100 °C bei 100 °C gesättigter Wasserdampf Wasserstoffperoxid

FK 0,76 … 0,97 0,83 1,20 0,855 1,598 1,489 0,918 0,999973 0,999701 0,998205 0,995650 0,98803 0,97179 0,95835 0,590 · 10–3 1,463 1

Dichte verflüssigter Gase Stoff

t ––– °C

r ––––––––– 3 10 kg m–3

Ammoniak

– 10 20 – 34 – 23,5 20 – 60 20 31,1 – 192 – 183 – 10,1 – 195,8 – 253

0,65 0,61 1,56 0,52 0,40 1,19 0,77 0,468 0,96 1,14 1,46 0,81 0,07

Chlor Ethin (Azetylen) Kohlenstoffdioxid

Luft Sauerstoff Schwefeldioxid Stickstoff Wasserstoff

58


Dichte der Gase (bei 0 °C und 101,325 kPa) Gas

r –––––– kg m–3

Gas

r –––––– kg m–3

Ammoniak Argon Chlorwasserstoff Ethin (Azetylen) Helium Kohlenstoffdioxid Kohlenstoffmonooxid Krypton Luft (trocken) Methan

0,7714 1,7837 1,6392 1,1709 0,1785 1,976 8 1,2500 3,744 1,2928 0,7168

Neon Ozon Propan Propen (Propylen) Schwefeldioxid Schwefelwasserstoff Stadtgas Stickstoff(II)-oxid Wasserdampf Xenon

0,9006 2,22 2,003 7 1,915 2,926 3 1,539 2 ≈ 0,6 1,340 0,768 5,896

Weitere Werte sind der Tabelle „Dichte der Elemente“ (→ S. 48 zu entnehmen. Druck p, A → Benutzungshinweise F

Normalkraft (F ⊥ A)

●

F p = –– A

N

Hooke’sches Gesetz F, A → Benutzungshinweise s E e l d a m eq

●

Spannung Elastizitätsmodul Dehnung (relative Längenänderung) Länge Durchmesser Dehnzahl Poisson-Zahl Querkürzung (relative Querschnittsänderung) s = Ee,

F s = –– , A

F⊥A

Pa Pa 1 m m Pa–1 l 1

59


Elastizitätsmodul einiger Stoffe Stoff

E –––– GPa

Stoff

E –––– GPa

Aluminium Basalt Beton Blei Bronze Cadmium Glas, Jena 16 III Rasothermglas Gneis Gold Granit Gusseisen Holz Iridium Kalkstein Keramik Kupfer Magnesium Messing Molybdän

73 50 … 100 10 … 40 17 110 51 65 61 13 … 36 80 15 … 70 100 11 … 12 530 25 … 70 0,3 … 30 120 41 103 280

Neusilber Nickel Pertinax Platin Plexiglas Polystyrol (Polystyren) Porzellan Quarzglas Sandstein Silber Stahl ChromnickelFederS 235 (St 37) Titan Vulkanfiber Wolfram Zink Zinn

110 200 9,5 170 3 3,4 0,8 60 4 … 40 79 ≈ 200 200 220 206 110 5 355 40 … 130 54

Zugfestigkeit bzw. Druckfestigkeit einiger Stoffe (1 MPa = 1 N mm–2) Stoff

sz –––– MPa

Stoff

sz –––– MPa

Aluminium Basalt Beton*) Blei Glas GeräteQuarzGneis Gold Granit

250 250 … 400 2 … 100 20 30 … 90 140 … 250 800 160 … 280 270 160 … 240

Gusseisen Holz Kalkstein Keramik Kupfer Messing Molybdän Phenolharz, füllstofffrei Platin

≈ 130 4…8 80 … 180 30 … 180 400 600 700

*) Würfelfestigkeit nach 28 Tagen am Würfel s = 20 cm

55 300

FK

60


Stoff

sz –––– MPa

Stoff

sz –––– MPa

Plexiglas Polyamidfaser Sandstein Silber Stahl, FederS 235

70 200 … 600 30 … 180 290 bis 1700 340 … 510

S 355 Cr–Mo Ni Ziegel Zink Zinn

490 … 680 420 … 550 500 … 900 10 … 40 130 20

Dehnung Dl e = ––– l0 Dehnzahl 1 a = –– E Querkürzung Dd eq = ––– d0 Poisson-Zahl eq m = –– e ●

F

d 0

Poisson-Zahl einiger Stoffe Stoff

m

Stoff

m

Aluminium Basalt Beton (älter als 70 Tage) Blei Cadmium Glas GeräteQuarzGlimmer Gips Gold Gusseisen Kalkstein

0,34 0,3 0,17

Kupfer Messing Neusilber Nickel Platin Silber Stahl FederS 235 S 355 Titan Wolfram Zink Zinn

0,35 0,35 0,37 0,30 0,39 0,38

0,45 0,30 0,2 0,25 0,20 0,458 0,34 0,42 0,26 0,33

0,29 0,29 0,27 0,36 0,17 0,25 0,33

d0

∆

0

61


Hooke’sches Gesetz für die Schubbeanspruchung G t g b E m

Schubmodul (Torsionsmodul) Schubspannung Scherung (Schiebung) Schubkoeffizient Elastizitätsmodul Poisson-Zahl

●

t = Gg

Pa Pa rad ≡ 1 Pa–1 Pa 1

FK

Schubmodul einiger Stoffe Stoff

G –––– GPa

Stoff

G –––– GPa

Aluminium Basalt Beton Blei Bronze Cadmium Glas GeräteQuarzGold Gusseisen Kalkstein Kupfer

26 27 ≈ 10 8 45 20 ≈ 20 20 … 80 29 28 30 15 … 30 45

Magnesium Messing Molybdän Neusilber Nickel Platin Silber Stahl FederS 235 Wolfram Zink Zinn

19 42 145 48 78 62 29 ≈ 82 85 81 130 30 … 50 18

a tan g = –– ≈ g d

F

γ

d

Scherung (Schiebung)

Schubkoeffizient 1 b = –– G

a

Zusammenhang zwischen Elastizitätsmodul, Schubmodul und PoissonZahl ●

E G = –––––––– 2 (1 + m)

62


Kompressibilität und Kompressionsmodul fester Stoffe DV V0 p E m k K

Volumenänderung Ausgangsvolumen Druck Elastizitätsmodul Poisson-Zahl Kompressibilität Kompressionsmodul

●

DV k = –––– , pV0

m3 m3 Pa Pa 1 Pa–1 Pa

3 (1 – 2m) k = ––––––––– , E

1 K = –– k

Kompressibilität und Kompressionsmodul einiger fester Stoffe Stoff

k ––––– TPa–1

K –––– GPa

Aluminium Blei Cadmium Glas GeräteQuarzGold Gusseisen Kupfer Magnesium Messing Molybdän Nickel Platin Silber Stahl, FederS 235 Wolfram Zink Zinn

14 23 21 13 … 29 20 31 6 13 7 ≈ 30 ≈ 10 4,5 5,1 3,6 10 19 6 3 17,1 19,1

71,4 43,5 47,6 33 … 76 50 32,4 167 76,5 142 ≈ 33 ≈ 100 223 196 280 100 53 167 333 58 52

Biegebeanspruchung gerader Stäbe s M W I e

Biegespannung (+ Zug-, – Druckspannung) Biegemoment an der betrachteten Stelle des Stabes Widerstandsmoment des Trägerquerschnitts Flächen(trägheits)moment (→ S. 45) Abstand der äußersten Faser von der Biegeachse

Pa Nm m3 m4 m

63


Biegespannung an der äußersten Faser M I ● s = ± –– mit W = –– W e Widerstandsmomente einiger Querschnitte Bilder und Bezeichnungen → S. 45 Fläche Quadrat Rechteck Kreis Ellipse

FK

Widerstandsmoment 1 3 Wx = Wy = –– a 6 1 2 1 2 Wy = –– ba Wx = –– ab , 6 6 1 Wx = Wy = ––– pd 3 32 1 1 2 2 Wy = –– pba Wx = –– pab , 4 4

Differenzialgleichung der Biegelinie (Elastische Linie) Biegemoment Nm Elastizitätsmodul Pa äquatoriales Flächen(trägheits)moment des Querschnitts bezüglich einer Achse senkrecht zur x, y-Ebene (→ Bild unten) durch die neutrale Faser m4 F Kraft N ymax maximale Durchbiegung m a, b Abmessungen m l Länge m x, y Koordinaten m q gleichmäßig verteilte Belastung N m–1 FA , FB Auflagerkräfte in den Auflagern A und B N M d2y ––––2 = – ––– dx EI Definition des Biegemoments x1 Das Biegemoment in einem beliebigen Punkt des Trägers ist gleich der Summe der statischen Kraftmomente aller links bzw. rechts vom betrachteten Querschnitt angreifenden Kräfte. Das Biegemoment ist positiv, wenn sich der Träger infolge des Kraftmoments nach unten, y negativ, wenn er sich nach oben durchbiegt. M E I

y1

x

64


Auflagerkräfte, Biegemomente, Biegelinie und maximale Durchbiegung für Belastung

Auflagerkräfte und Biegemomente FA = F, x

Mmax = Fl

y

FA = ql = F

q

x

y

2

qx Mx = ––– , 2

ymax

A

F

ymax

A

B

ymax

y

ql 2 Mmax = ––– 2

F FA = FB = ––– 2

2

x A

Mx = Fx

Fx Mx = ––– , 2

Fl Mmax = –– 4

F

a

x1

C yF

y

ymax

x A

Fb FA = –––– , l

b B

y1

F

Fa FB = –––– l

Fbx Für AC gilt: Mx = –––– l Fax1 Für BC gilt: Mx1 = ––––– l Fab Mmax = –––– l

ymax

x A

q y

B

ql FA = FB = –––– 2

( )

ql 2 4x2 Mx = ––– 1 – –––2– 8 l ql 2 Mmax = ––– 8

65


einige wichtige Belastungsfälle Gleichung der Biegelinie

Durchbiegung an der Laststelle und maximale Durchbiegung

3

(

3

)

Fl ymax = –––– 3EI

3

3

(

4

)

Fl ymax = –––– 8EI

l für x –– 2

Fl ymax = ––––– 48EI

Fl 3x x y = –––– 1 – ––– + –––3 3EI 2l 2l

3

4x x Fl y = –––– 1 – ––– + –––4 8EI 3l 3l

2

2

(

Fl x 4x y = ––––– 1 – –––– 2 16EI 3l

2

)

2

(

FK

3

2 2

)

l x Fab x y = –––––– 1+ –– – ––– 6EIl b ab

Fa b yF = –––––– 3EIl

für x a 2

2

(

l x1 Fba x1 y1 = ––––––– 1+ –– – ––– 6EIl a ab

)

l+b ymax = yF ––––– 3b

für x1 b

4

(

2

)(

2

)

5ql 4x 4x y = –––––– 1 – –––– 1 – –––– 2 2 5l 384EI l

4

5ql ymax = ––––––– 384EI

l+b ––––– 3a

66


Auflagerkräfte, Biegemomente, Biegelinie und maximale Durchbiegung für Belastung

Auflagerkräfte und Biegemomente 11 FB = ––– F , 16

x1

x y

ymax yF

C

A

y1

B

Für AC gilt: 5 Mx = ––– Fx , 16

2

F

5 FA = ––– F 16

5 MC = ––– Fl 32

Für BC gilt:

(

11x1 3 Mx1 = Fl ––––– – ––– 16l 16

)

3 Mmax = ––– Fl 16

x ymax

A

y

B

(

)

Fl 1 x Mx = ––– –– – –– 2 4 l

F

2

1 FA = FB = –– F 2

x A

y

ymax

Fl Mmax = ––– 8 q

B

3 FA = –– ql , 8

5 FB = –– ql 8

(

1 x Mx = –– qlx 3 – 4 –– 8 l

)

1 2 Mmax = MB = –– ql 8

2.4

Dynamik

Masse ●

Die Masse ist eine Basisgröße. Die Einheit der Masse ist das Kilogramm: Das Kilogramm ist die Masse des internationalen Kilogrammprototyps.

67

2.4 Dynamik

einige wichtige Belastungsfälle Gleichung der Biegelinie 2

2

(

)

Fl x 5x y = ––––– 1 – ––––2– 32EI 3l 2

(

l für x –– 2

)

Flx1 11x1 y1 = ––––– 3 – ––––– 32EI 3l

3

3

l für x1 –– 2

( )( )

4x Fl y = –––––– 1 + ––– 192EI l

2x 1 – ––– l

( )(

ql x x y = ––––– 1 – –– 48EI l

Durchbiegung an der Laststelle und maximale Durchbiegung

2

FK

3

7Fl yF = –––––– 768EI 3

Fl ymax = –––––––– 48 5 EI

3

Fl ymax = –––––– 192EI

2

x x 1 + –– – 2 ––2 l l

)

4

ql ymax ≈ ––––––– 185EI

Dynamisches Grundgesetz s, √, t, m, F → Benutzungshinweise a Beschleunigung FG Gewichtskraft (Gewicht) g Fallbeschleunigung

m s–2 N m s–2

68


p Impuls a Steigungswinkel der geneigten Ebene FH, FN Hangabtriebskraft, Normalkraft ●

d(m√៬) F៬ = ––––– , dt

d(m√) F = ––––– , dt

Ns ° N

dp F = ––– dt

Für konstante Masse gilt

●

d√៬ F៬ = m ––– = m√·៬ = ms˙˙៬, dt F៬ = ma៬ , F = ma

d√ F = m ––– = m√· = ms˙˙ dt

Gewichtskraft (Gewicht) ●

FG = mg

Die Gewichtskraft eines Körpers ist gleich der Vektorsumme der eingeprägten Schwerkräfte (Gravitation, → S. 86) und der von der Erde herrührenden Fliehkraft (→ S. 72). Die Gewichtskraft eines Körpers am Normort wird Normgewichtskraft genannt: FGn = mgn Zwischen der Normgewichtskraft und der Gewichtskraft an einem anderen Ort besteht der Zusammenhang: gn FGn = ––– FG g Hangabtriebskraft

Normalkraft

●

FN = mg cos a

FH = mg sin a

(→ Bild S. 73) Radialkraft (Zentripetalkraft, Zentralkraft)

w r p

Radialkraft Radialbeschleunigung Geschwindigkeit (Bahngeschwindigkeit) Winkelgeschwindigkeit Radius der Kreisbahn Impuls

●

F៬r = ma៬r ,

●

– = pw Fr = m√w = mw2r = m –– r

Fr ar

√

Fr = mar

√2

N m s–2 m s–1 rad s–1 ≡ s–1 m Ns

69

2.4 Dynamik

Lineares Kraftgesetz F k y ●

Rückstellkraft Richtgröße (Federkonstante) durch die Kraft F hervorgerufene Längenänderung

N N m–1

FK

m

F = – ky

Reibung FR FN m0 mG m r r f

Reibungskraft Normalkraft (Kraft senkrecht zur Unterlage) Haftreibungszahl Gleitreibungszahl Rollreibungszahl (Fahrwiderstandszahl) natürlicher Böschungswinkel Radius des Rollkörpers Hebelarm bei Rollreibung

N N 1 1 1 ° m m

Haftreibungskraft ●

FR = m0 FN

Einige Haftreibungszahlen (ungefähre Werte) Stoffpaar

Stahl auf Stahl Stahl auf Gusseisen oder Rotguss Metall auf Holz Holz auf Holz Lederriemen auf Holz Lederriemen auf Gusseisen Hanfseil auf Holz Stahl auf Eis Luftreifen auf Asphalt Beton Kleinpflaster Gleitreibungskraft ●

FR = mGFN

m0 trocken

geschmiert

0,15 0,18 0,5 … 0,6 0,5 … 0,65 0,47 0,6 0,5 0,027 0,55 0,65 0,55

0,11 … 0,12 0,13 0,1

0,12 … 0,25

0,2 0,3 0,2

70


Einige Gleitreibungszahlen (ungefähre Werte) Stoffpaar

Stahl auf Stahl Stahl auf Gusseisen oder Rotguss Metall auf Holz Holz auf Holz Lederriemen auf Gusseisen Lederriemen auf Holz Bremsbelag auf Stahl Gebremstes Auto auf Pflaster Gebremstes Auto auf Asphalt

mG trocken

geschmiert

mit Wasser

0,03 … 0,09 0,16 0,25 … 0,5 0,2 … 0,4 0,27 … 0,56 0,27 0,5 … 0,6 0,5 0,3

0,009 0,01 0,02 … 0,08 0,04 … 0,16 0,12 … 0,15

0,25 0,25 0,38

0,3 … 0,5 0,2 0,15

Rollreibungswiderstand ●

FN

f FR = –– FN r FR

Mittlere Hebelarme der Rollreibung Gusseisen, Stahlguss oder Stahl auf Stahl f ≈ 5 · 10–4 m gehärtete Stahlkugeln oder -rollen auf gleichen Stahlringen f = (5 … 10) · 10–6 m Fahrwiderstand (Rollreibung und Lagerreibung) ●

FR = mFN

Einige Fahrwiderstandszahlen (ungefähre Werte) Fahrzeug

m

Straßenbahn Eisenbahn Loren in Bergwerken Fuhrwerk auf gutem Erdweg Fuhrwerk auf guter Landstraße Fuhrwerk auf Asphalt Kfz auf Pflaster Kfz auf Asphalt

0,006 0,002 0,01 0,05 0,025 0,015 0,04 0,02 … 0,025

r FR f

FN

71

2.4 Dynamik

Natürlicher Böschungswinkel (bei loser Schüttung) ●

tan r = m0

Einige Böschungswinkel (ungefähre Werte) Stoff

r – °

m0

Anthrazit Braunkohle Erze Gartenerde Kalkpulver, trocken Kies, erdfeucht trocken Koks Lehmboden, nass trocken Quellsand, nass Sand, trocken Steinschotter, nass Zement, Asche, Salz

27 35 … 50 40 … 45 27 … 37 50 25 … 45 35 45 20 … 25 40 … 45 25 30 … 35 35 … 40 40

0,5 0,7 … 1,2 0,83 … 1 0,5 … 0,75 1,2 0,47 … 1 0,7 1 0,36 … 0,47 0,83 … 1 0,47 0,57 … 0,7 0,7 … 0,83 0,83

Kräfte in beschleunigten Bezugssystemen FT FZ FC m a

ar ac

√ √r w r a p

Trägheitskraft bei beschleunigter geradliniger Bewegung Zentrifugalkraft Coriolis-Kraft Masse Beschleunigung (Bahnbeschleunigung) des beschleunigten Systems, bezogen auf das Inertialsystem Radialbeschleunigung des rotierenden Systems, bezogen auf das Inertialsystem Coriolis-Beschleunigung des Körpers, bezogen auf das rotierende System Bahngeschwindigkeit Relativgeschwindigkeit, mit der sich der Körper im rotierenden System bewegt Winkelgeschwindigkeit des bewegten Systems Radius der Kreisbahn Winkel zwischen w៬ und √៬ Impuls

N N N kg m s–2 m s–2 m s–2 m s–1 m s–1 rad s–1 ≡ s–1 m ° Ns

FK

72


Prinzip von d’Alembert Die Vektorsumme aus den wirklich angreifenden Kräften und den Trägheitskräften ist null. n

∑ (F៬i + F៬Ti) = 0

●

i =1

Trägheitskraft bei beschleunigter geradliniger Bewegung F៬T = – ma៬ ,

●

FT = ma

Trägheitskraft bei Drehbewegung, Zentrifugalkraft √2 ● F៬Z = – ma៬r , FZ = mar = mw2r = m –– = pw r Trägheitskraft bei Drehbewegung, Coriolis-Kraft (der Körper bewegt sich im rotierenden System mit der Geschwindigkeit √r) F៬C = – ma៬c ,

●

F៬C = – 2mw៬ × √៬r ,

FC = 2mw√r sin a

Relativitätsprinzip der Mechanik Ein Bezugssystem ohne Trägheitskräfte ist ein Inertialsystem oder Fundamentalsystem. Zwei sich gleichförmig gegeneinander bewegende Systeme (Inertialsysteme) sind dynamisch gleichwertig. Mechanische Arbeit s, F, m, √ → Benutzungshinweise W Arbeit a Winkel zwischen F៬ und s៬, Neigungswinkel der geneigten Ebene Gewichtskraft (Gewicht) FG h Höhe g Fallbeschleunigung k Richtgröße (Federkonstante) y durch die Kraft hervorgerufene Verlängerung m Reibungszahl

J=Nm=Ws ° N m m s–2 N m–1 m 1

F B dW

ds

F

α

A

A

ds

B

s

73

2.4 Dynamik

Definition der Arbeit

F

B

●

dW

B

W = ∫ F៬ ds៬,

W = ∫ F ds cos a

A

A

FK

Arbeit bei konstanter Kraft B

B

W = F៬ ∫ ds៬,

W = F ∫ ds cos a

A

A

A

B

ds

s

Arbeit bei konstanter Kraft auf gerader Bahn ●

W = F៬s៬,

F

W = Fs cos a α

Arbeit bei konstanter Kraft auf gerader Bahn, Kraft und Weg sind parallel ●

s

W = Fs

F FH

Hubarbeit

FN

mg

Arbeit auf geneigter Ebene (ohne Reibung) W = FHs ,

α

α

W = FG h = mgh

W = mgs sin a ,

W = mgh y

Spannarbeit (elastische Feder) 1 W = – Fy , 2

F

0

1 W = – ky2 2 F

Reibungsarbeit W = mFNs ,

F

W = FRs ,

W = mmgs cos a Auf horizontaler Strecke gilt W = mmgs Beschleunigungsarbeit √

W = ∫ m√ d√ √0

Bei konstanter Masse gilt √

W = m ∫ √ d√ , √0

1 W = – m (√2 – √02) 2

y

y

74


Ist die Anfangsgeschwindigkeit null, dann ist 1 W = – m√2 2 Energie (Arbeitsfähigkeit) m, √ → E FG k h y g p

Benutzungshinweise Energie Gewichtskraft (Gewicht) Richtgröße (Federkonstante) Höhe Verlängerung der gespannten Feder Fallbeschleunigung Impuls

J N N m–1 m m m s–2 N s = kg m s–1

Potenzielle Energie (Energie der Lage) ●

Ep = FG h = mgh

Potenzielle Energie einer gespannten Feder 1 Ep = – ky2 2 Kinetische Energie (Energie der Bewegung) ●

1 Ek = – m√2 , 2

p2 Ek = ––– 2m

Energieerhaltungssatz der Mechanik ●

In einem abgeschlossenen System ist die Summe aus potenzieller und kinetischer Energie konstant, d.h., wenn nur konservative Kräfte wirken, ist nur die Umwandlung einer Energieform in die andere möglich. E = Ep + Ek = const

Leistung s, F, √, t → Benutzungshinweise P Leistung W, E Arbeit, Energie a Winkel zwischen F៬ und s៬ h Wirkungsgrad Nutzleistung (effektive Leistung) Pe Pi zugeführte Leistung (indizierte Leistung) Pv Verlustleistung We , Ee Nutzarbeit, Nutzenergie Wi , Ei zugeführte Arbeit, zugeführte Energie

W J ° 1 W W W J J

75

2.4 Dynamik

Definition der Leistung ●

dW P = ––– , dt

dE P = ––– dt

FK

Mittlere Leistung s

●

1 Pm = – ∫ F ds cos a , t s0

W Pm = –– , t

E Pm = –– t

Leistung bei gleichförmiger Bewegung (Kraft konstant, Kraft und Weg parallel) ●

W P = –– , t

Fs P = ––– , t

P = F√

Augenblicksleistung ist gleich Durchschnittsleistung. Mittlere Leistung bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung auf gerader Bahn (Kraft konstant, Kraft und Weg parallel) ●

1 P = – F (√ + √0), 2

1 P = – F√ 2

für √0 = 0

Augenblicksleistung bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung ●

P = F√

P und √ sind zeitabhängig.

Wirkungsgrad ●

We h = ––– , Wi

Pe h = ––– , Pi

Ee h = ––– Ei

Wirkungsgrad hintereinander geschalteter Maschinen h = h1h2h3 … Verlustleistung Pv = Pi – Pe ,

( )

1 Pv = Pi (1– h) = Pe –– – 1 h

Impuls m, t, √, F → Benutzungshinweise p Impuls I Kraftstoß √ 0, t0 Anfangswerte von √ und t ●

p៬ = m √៬ ,

p = m√

N s = kg m s–1 Ns

76


Kraftstoß und Impulsänderung

F F = F(t)

Der Kraftstoß ist das Zeitintegral der Kraft; er ist gleich der Impulsänderung: t

I៬ = ∫ F៬ dt = m (√៬ – √៬0) t0 t

t1

I = ∫ F dt = m (√ – √0)

t1

t

t0

Ist die Kraft konstant, t0 = 0, und sind Kraft und Geschwindigkeit parallel, dann gilt ●

I = Ft = m (√ – √0) ,

für √0 = 0: I = Ft = m√

Impulserhaltungssatz ●

Der Gesamtimpuls eines abgeschlossenen Systems ist konstant. Für F = 0 gilt

dp ––– = 0 , dt

p = const

Stoßgesetze (gerader zentraler Stoß) m1, m2 √1, √2 √ 1′ , √ 2′ DE k

Massen der stoßenden Körper Geschwindigkeiten vor dem Stoß Geschwindigkeiten nach dem Stoß Verlust an mechanischer Energie Stoßparameter

Geschwindigkeiten nach dem Stoß m1√1 + m2√2 – km2 (√1 – √2) √ 1′ = ––––––––––––––––––––––– m1 + m2

m1√1 + m2√2 + km1 (√1 – √2) √2′ = ––––––––––––––––––––––– m1 + m2

Verlust an mechanischer Energie m1m2 (√1 – √2)2 (1 – k2) DE = ––––––––––––––––––– 2 (m1 + m2) Stoßparameter

√ 2′ – √ 1′ k = –––––– √1 – √2

kg m s–1 m s–1 J 1

77

2.4 Dynamik

Einige Werte des Stoßparameters für kleine Geschwindigkeiten (einige m s–1) elastischer Stoß unelastischer Stoß Kugeln aus Glas

k=1 k=0 k = 0,95

Kugeln aus Elfenbein Kugeln aus Stahl Kugeln aus Holz

k = 0,9 k = 0,85 k = 0,5

(Massen-)Trägheitsmoment J Jxy m r x, y, z mred i a

(Massen-)Trägheitsmoment zentrifugales (Massen-)Trägheitsmoment Masse Abstand, Radius Koordinaten reduzierte Masse Trägheitsradius Abstand der Schwerpunktachse von einer beliebigen, zur Schwerpunktachse parallelen Bezugsachse

kg m2 kg m2 kg m m kg m

m

(Massen-)Trägheitsmoment ●

y

n

J = ∑ r k2 Dmk

J = ∫ r 2 dm ,

r

dm

k =1

x

In den folgenden Tabellen und Gleichungen geben die Indizes s, a, x, y, z die Bezugsachse an. Drehachse

Körper Kreisbogen, z ⊥ x, y-Ebene

(Massen-)Trägheitsmoment

r

m

α α

( (

1 sin 2a Jx = –– mr2 1 – –––––– 2 2a

y

x

1 sin 2a Jy = – mr2 1 + –––––– 2 2a Jz = mr2

Dünner Kreisring, z ⊥ x, y-Ebene

1 Jx = Jy = – mr2 2 Jz = mr2

y r

m x

) )

FK

78


Körper


Kreisausschnitt, y z ⊥ x, y-Ebene α α

x

m

b

y

1 sin 2a Jy = –– mr2 1 + –––––– 4 2a 1 Jz = –– mr2 2

m

Ellipse, z ⊥ x, y-Ebene

( (

) )

1 sin 2a Jx = –– mr2 1 – –––––– 4 2a

r

x a

1 Jx = –– mb2 4 1 Jy = –– ma2 4 1 Jz = –– m (a2 + b2) 4

Kugel, Bezugsachse durch den Mittelpunkt, r Radius

2 J = – mr2 5

Halbkugel

2 Jx = Jy = Jz = –– mr2 5

z

y x

Hohlkugel ri Innenradius ra Außenradius Bezugsachse durch den Mittelpunkt

5 5 2 ra – r i – J = – m ––––– 5 r a3 – r 3i

Dünne Hohlkugel ra ≈ ri ≈ r Bezugsachse durch den Mittelpunkt

2 J = – mr2 3

Kugelausschnitt

1 Jz = – mh (3r – h) 5

z

h

r

79

2.4 Dynamik

Körper


Vollzylinder

1 Jx = –– mr2 2

d = 2r

z

x

FK

1 Jz = –– m (3r 2 + h2) 12

h z

di = 2ri

da = 2ra

Hohlzylinder

x

1 Jx = –– m (r 2a + r 2i ) 2 1 1 Jz = –– m r 2a + r 2i + – h2 4 3

(

)

h

Hohlzylinder Wanddicke d = r a – r i klein gegen den mittleren Radius 1 rm = – (r a + r i) 2

2 Jx = mrm 1 1 2 + – h2 Jz = –– m 2r m 4 3

Ring

1 3 Jz = –– m d 22 + – d 12 4 4

)

(

)

d1

z

(

d2 z

Quader

z

1 Jx = Jz –– ml 2 12

x

x

a

Langer dünner Stab

b

y c

1 Jx = ––– m (b2 + c2) 12 1 Jy = –– m (a2 + b2) 12 1 Jx = ––– m (a2 + c2) 12

80


Körper


Gerader Kreiskegel S Schwerpunkt

(

3 1 Jx = Jy = –– m r2 + –– h2 20 4

z

)

3 Jz = –– mr2 10

h

y

Kreiskegel mit r1 > r2 (r15 – r25) 3 Jz = –– m –––––––– 10 (r 31 – r 32 )

S x

d = 2r

Beliebiger r Rotationskörper r Dichte

x2

1 Jx = – pr ∫ r4 dx 2 x1

r(x)

x

x1

dx x2

Zentrifugales (Massen-)Trägheitsmoment ●

Jxy = ∫ xy dm ,

n

Jxy = ∑ xkyk Dmk

F

k =1

F

Reduzierte Masse J mred = –––2 r

r

A

r

mred

Drehachse

Einige reduzierte Massen Körper

Ort, auf den mred bezogen wird

mred

Zylinder Kugel Kegel

Zylinderumfang Kugeläquator Kegelgrundkreisradius

0,5 m 0,4 m 0,3 m

Hohlzylinder

äußerer Zylinderumfang

r 2i 0,5 m 1 + ––2 ra

( )

81

2.4 Dynamik

Trägheitsradius (Trägheitshalbmesser, Trägheitsarm) ●

i=

J ––– m

FK

Einige Trägheitsradien Körper

Trägheitsradius

Dünner Ring Zylinder Kugel Kegel

r r 0,5 = 0,707 r r 0,4 = 0,632 r r 0,3 = 0,548 r

Die Bezugsachse ist die Symmetrieachse, r ist der Radius des Körpers. Satz von Steiner ●

Ja = Js + ma2

Dynamisches Grundgesetz bei Rotation M J w a t f L

Kraftmoment (Drehmoment) (Massen-)Trägheitsmoment Winkelgeschwindigkeit Winkelbeschleunigung Zeit Drehwinkel Drehimpuls → S. 83

●

d ៬ ៬ = –– M (J w៬) , dt

Nm kg m2 rad s–1 ≡ s–1 rad s–2 ≡ s–2 s rad ≡ 1 Nms

d dL M = –– (Jw) = ––– dt dt

Für konstantes Trägheitsmoment gilt dw៬ ៬ = J ––– M = Jw·៬ = Jf··៬ , dt ●

៬ = Ja៬ , M

dw ·· M = J ––– = Jw· = Jf dt

M = Ja

Arbeit bei Rotation W M f

Arbeit Kraftmoment (Drehmoment), parallel zur Drehachse Drehwinkel

J Nm rad ≡ 1

82

2 Mechanik fester Körper f

●

f

៬ df៬ , W = ∫M

W = ∫ M df

f0

M

M(ϕ )

f0

dW

Für konstantes Kraftmoment gilt ●

W = M (f – f0) ϕ0

W = Mf bei f0 = 0

ϕ

dϕ

Kinetische Energie bei Rotation (Rotationsenergie) Erot J w L

Rotationsenergie (Massen-)Trägheitsmoment Winkelgeschwindigkeit Drehimpuls

●

1 Erot = – Jw 2 , 2

J kg m2 rad s–1 ≡ s–1 N m s = kg m2 s–1

L2 Erot = – – 2J

Leistung bei Rotation P M f w t

Leistung Kraftmoment (Drehmoment) Drehwinkel Winkelgeschwindigkeit Zeit

W Nm rad ≡ 1 rad s–1 ≡ s–1 s

Mittlere Leistung f

●

1 Pm = – ∫ M df , t f0

W Pm = –– t

Leistung bei konstanter Drehzahl und konstantem Kraftmoment ●

Mf P = –––– , t

P = Mw

Mittlere Leistung bei gleichmäßig beschleunigter Drehbewegung ●

1 P = – M (w + w0) , 2

1 P = – Mw für w0 = 0 2

Augenblicksleistung bei gleichmäßig beschleunigter Drehbewegung ●

P = Mw

P und w sind zeitabhängig

ϕ

83

2.5 Zusammenfassung wichtiger Gesetze der Kinematik und Dynamik

Drehimpuls m, √, t → Benutzungshinweise L Drehimpuls M Kraftmoment (Drehmoment) J (Massen-)Trägheitsmoment w Winkelgeschwindigkeit √៬ Bahngeschwindigkeit r៬ Ortsvektor p៬ Impuls H Drehstoß

N m s = kg m2 s –1 Nm kg m2 rad s–1 ≡ s–1 m s–1 m Ns Nms

Der Hauptdrehstoß H៬ (in N m s) ist das Zeitintegral des Kraftmoments. Die Größe Jw nennt man Drehimpuls oder Drall. ● L៬ = Jw៬ , L = Jw t

t

H៬ = ∫ M៬ dt = Jw៬ – Jw៬ 0 , t0

H = ∫ M dt = Jw – Jw0 = DL t0

Für konstantes Kraftmoment gilt ●

H = M Dt = J (w – w0) ,

H = Mt = J (w – w0) = DL

für t0 = 0

Drehimpuls eines Massenpunktes ● L៬ = r៬ × p៬ = r៬ × m√៬ Drehimpulserhaltungssatz ●

In einem abgeschlossenen System ist der Gesamtdrehimpuls konstant. Das heißt, beim Fehlen äußerer Kraftmomente (M = 0) ist dL ––– = 0 dt

2.5

und

L = const

Zusammenfassung wichtiger Gesetze der Kinematik und Dynamik

Folgende Größen entsprechen einander: Translation

Rotation

Größe

Formelzeichen

Größe

Formelzeichen

Weg Geschwindigkeit Beschleunigung Kraft

s √ a F

Drehwinkel Winkelgeschwindigkeit Winkelbeschleunigung Kraftmoment (Drehmoment)

f w a M

FK

84


Translation

Rotation

Größe

Formelzeichen

Größe

Formelzeichen

Masse Richtgröße Energie Arbeit Leistung Impuls Zeit

m k Ek W P p t

(Massen-)Trägheitsmoment Winkelrichtgröße Energie Arbeit Leistung Drehimpuls Zeit

J D Erot W P L t

Folgende Gleichungen entsprechen einander: Translation

Rotation

Beschleunigung

Winkelbeschleunigung

2

d√ d s a = –– = –––2 = √· = s·· dt dt

dw d2f ·· a = ––– = –––2– = w· = f dt dt

Geschwindigkeit

Winkelgeschwindigkeit

ds √ = –– = s· dt

df w = ––– = f· dt

t

t

√ = √0 + ∫ a dt

w = w0 + ∫ a dt

Weg

Drehwinkel

0

t

0

t

s = s0 + ∫ √ dt

f = f0 + ∫ w dt

Für √ = const gilt

Für w = const gilt

s √=– t Für a = const gilt

f w = –– t Für a = const gilt

1 s = s0 + √0 t + – at 2 2 1 s = s0 + – (√ + √0 ) t 2 √ = √0 + at √2 = √ 02 + 2a (s – s0)

1 f = f0 + w0 t + – at 2 2 1 f = f0 + – (w + w0 ) t 2 w = w0 + at w2 = f 02 + 2a (f – f0 )

0

0

2.5 Zusammenfassung wichtiger Gesetze der Kinematik und Dynamik

Translation

Rotation

Kraft

Kraftmoment (Drehmoment)

F

M = Fr sin ( F៬, r៬)

Masse


m

J = ∫ r 2 dm

FK n

J = ∑ Dmi r 2i i =1

Dynamisches Grundgesetz

Dynamisches Grundgesetz

dp F = ––– , dt

dL M = ––– , dt

F = ma

Kinetische Energie 1 Ek = – m√ 2 , 2

M = Ja

Rotationsenergie 2

L2 Erot = ––– 2J

1 Erot = – Jw2 , 2

p Ek = ––– 2m

Arbeit

Arbeit (Kraftmoment parallel zur Drehachse) f

s

W = ∫ F ds cos ( F៬, ds៬)

W = ∫ M df

Für konstante Kraft gilt

Für konstantes Kraftmoment gilt

W = Fs cos ( F៬, s៬)

W = Mf

Leistung

Leistung

0

dW P = ––– , dt

W P = –– , t

Durchschnittsleistung bei beschleunigter Bewegung

s

0

P = F√

dW P = ––– , dt

W P = –– , t

P = Mw

Durchschnittsleistung bei beschleunigter Drehbewegung (Kraftmoment parallel zur Drehachse) f

1 P = – ∫ F ds cos ( F៬, ds៬) t0

1 P = – ∫ M df t0

1 P = – F (√ + √0 ) 2

1 P = – M (w + w0 ) 2

85

86


Translation

Rotation

Impuls

Drehimpuls

p = m√

L = Jw

Erhaltungssätze für abgeschlossene Systeme

Erhaltungssätze für abgeschlossene Systeme

E = const , p = const

E = const ,

Kraftstoß

Drehstoß

t

w

t

√

L = const

I = ∫ F dt = ∫ m d√ , Ft = m√

H = ∫ M dt = ∫ J dw , Mt = Jw

Richtgröße (Federkonstante)

Winkelrichtgröße (Direktionsmoment)

F k = –– y

M D = –– f

Eigenfrequenz (elastische Schwingung)

Eigenfrequenz (elastische Drehschwingung)

1 f = ––– 2p

1 f = ––– 2p

0

2.6

√0

k –– m

w0

0

D –– J

Gravitation

Gravitationsgesetz F Kraft (Gravitationskraft) m1, m2 Massen r Schwerpunktabstand der beiden Körper G Gravitationskonstante ●

m1m2 – r៬, F៬ = G –––– r3

N kg m m3 s–2 kg–1 = N m2 kg–2

m1m2 – F = G –––– r2

Gravitationskonstante

G = 6,67384 · 10 –11 m3 s–2 kg–1

Gravitationsbeschleunigung (Gravitationsfeldstärke), Gravitationspotenzial W F m m′

Arbeit Kraft (Gravitationskraft) felderzeugende Masse Masse, auf die die Gravitationskraft einwirkt

J N kg kg

87

2.6 Gravitation

Abstand vom Schwerpunkt der felderzeugenden Masse m rm Radius der felderzeugenden Masse m g0 Gravitationsbeschleunigung m s–2 Vg Gravitationspotenzial m2 s–2 G Gravitationskonstante m3 s–2 kg–1 Gravitationsbeschleunigung für r > rm F៬ m F m g៬0 = ––– , g៬0 = G –––3 r៬, g0 = ––– , g0 = G ––2 m′ r m′ r m m Ist r < rm , gilt g0 = G ––3– r g0 = G ––2– und für r = rm rm rm Die Fallbeschleunigung g៬ auf der Erde setzt sich aus der Gravitationsbeschleunigung g៬0 und der Zentrifugalbeschleunigung g៬z vektoriell zusammen. Am Äquator gilt gz = 0,0338 m s–2 , g = 9,7805 m s–2 g0 = 9,8143 m s–2 , Gravitationspotenzial r m Vg = ∫ g៬0 dr៬ , Vg = – G –– r ∞ r

Arbeit im Gravitationsfeld 1 1 W = –Gmm′ –– – –– = – m′ (Vg1 – Vg2) r2 r1

(

)

Geschwindigkeit eines Satelliten auf einer Erdumlaufbahn √ Bahngeschwindigkeit m s–1 rE mittlerer Erdradius (rE = 6,37 · 106 m) m r Abstand des Satelliten vom Erdmittelpunkt m gn Normwert der Fallbeschleunigung m s–2 a große Halbachse der Ellipsenbahn m T Umlaufzeit s G Gravitationskonstante m3 s–2 kg–1 mE Masse der Erde kg ●

√=

( )

1 1 2gn rE2 – – ––– r 2a

Für eine Kreisbahn ist 3 rE2 gn GmEr 2 ––––– T = –––––– r 4p2 1. kosmische Geschwindigkeit (Kreisbahn an der Erdoberfläche) √ = gn rE = 7,92 km s–1

√=

2. kosmische Geschwindigkeit (Fluchtgeschwindigkeit) √ = 2 gn rE = 11,2 km s–1

FK

88


Kepler’sche Gesetze a T mS mP G rE gn

große Halbachse der Ellipse, auf der sich der Planet um die Sonne bewegt Umlaufzeit des Planeten um die Sonne Masse der Sonne Masse des Planeten Gravitationskonstante mittlerer Erdradius Fallbeschleunigung am Normort

m s, a kg kg m3 s–2 kg–1 m m s–2

1. Gesetz Die Bahnkurven der Planeten sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. 2. Gesetz Die Flächengeschwindigkeit eines Planeten ist konstant, d.h., die Verbindungslinie Sonne–Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. 3. Gesetz Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen ihrer Bahnen. a 31 T 21 –– = ––– a 32 T 22

2p Umlaufzeit T = –––––– a3 GmS

Berücksichtigt man, dass die Sonnenmasse nicht unendlich groß gegen die Planetenmasse ist, so gilt G a3 ––––––––––– = –––– 2 T (mS + mP) 4p2 Für den Umlauf eines Satelliten um die Erde gilt a3 GmE –––2 = ––––– , T 4p2

GmE = gnr E2

Grundlagen des Raketenantriebs

√e √0 √G √

Geschwindigkeit der Rakete bei Brennschluss (Luftwiderstand und Schwerkraft werden vernachlässigt) Geschwindigkeit bei Brennbeginn (auf der Erde √0 = 0) Ausströmgeschwindigkeit der Gase relativ zur Rakete (– entgegengesetzt √0) Geschwindigkeit der Rakete zur Zeit t

m s–1 m s–1 m s–1 m s–1

89

2.6 Gravitation

Masse bei Brennschluss Masse bei Brennbeginn dm zeitliche Änderung der Masse, hervorgerufen · m = ––– durch die austretenden Gase dt g Fallbeschleunigung FS Schubkraft (Schub) F Antriebskraft bei Berücksichtigung der Erdanziehung t Zeit nach Brennbeginn h erreichte Höhe der Rakete zur Zeit t Höhe, die nach Brennschluss noch erreicht wird h1 hg Gesamthöhe m1 m0

kg kg kg s–1 m s–2 N N s m m m

Grundgleichung des idealen Raketenantriebs (Ziolkowski-Gleichung) (Rakete befindet sich im leeren Raum, Gravitationskräfte sowie relativistische Massenänderungen werden vernachlässigt) ●

m0

m0

√៬e – √៬0 = – √៬G ln ––– ,

√e = √0 + √G ln –––

m1

m1

Schubkraft (Schub) dm F៬S = √៬G ––– , dt

dm FS = √G ––– dt

Massenverhältnis m0 √e – √0 ––– = exp –––––– √G m1 Antriebskraft und Geschwindigkeit der Rakete zur Zeit t bei Berücksichtigung der Gravitationskraft der Erde, Vernachlässigung des Luftwiderstandes, konstanter Ausströmgeschwindigkeit der Gase sowie konstanter Änderung der Masse und konstanter Fallbeschleunigung d√ (m0 – m· t) ––– = FS – (m0 – m· t) g, m· = const dt m0 – – gt √ = √0 + √G ln ––––––– m0 – m· t Höhe, die zur Zeit t erreicht wird: m0 1 √Gm0 –––– + √Gt – – gt 2 h = √0t + √Gt – ––––– ln ––––– m· m0 – m· t 2

(

)

Ist in dieser Höhe Brennschluss, steigt die Rakete noch um

√2

h1 = ––– 2g Erreichte Gesamthöhe hg = h + h1

FK

90


Wichtige Daten der Planeten r mittlerer Abstand des Planeten von der Sonne d Äquatordurchmesser des Planeten Äquatordurchmesser – Poldurchmesser p Abplattung = –––––––––––––––––––––––––––––––––– Äquatordurchmesser m Masse r mittlere Dichte g Fallbeschleunigung an der Oberfläche mittlere Bahngeschwindigkeit um die Sonne √m Planet

Zeir d –––––– –––––– chen 106 km 103 km

Merkur Venus Erde Mars Jupiter Saturn Uranus Neptun Pluto *)

57,91 108,21 149,60 227,94 778,3 1427 2870 4 524 5900

4,876 12,04 12,756 6,80 142,8 120,8 51,2 49,6 2,318

p

m –––––– 1024 kg

≈0 0,330 ≈0 4,869 0,003 35 5,974 0,0051 0,642 0,065 1900 0,088 569 0,023 87 0,071 103 0,013

m, km m, km 1 kg kg m–3 m s–2 m s–1, km s–1

r g ––––––––– ––––– 103 kg m–3 m s–2 5,43 5,24 5,51 3,94 1,33 0,68 1,27 1,64 ≈ 1,8

√

m ––––– – km s–1

3,68 47,36 8,83 35,02 9,806 65 29,78 3,78 24,08 23,2 13,06 8,93 9,64 8,4 6,79 10,9 5,43 0,6 1,3

*) Die Angaben über den Pluto sind sehr unsicher; seit 2006 gehört Pluto nicht mehr zu den Planeten, sondern zu den Zwergplaneten (Kleinplaneten).

Jupiter, Saturn, Uranus und Neptun haben Ringe. Einige Daten der Sonne mittlerer Äquatorradius Masse Dichte (Mittelwert) Oberflächentemperatur (effektiv) Flächenbezogene Strahlungsleistung Gesamtstrahlungsleistung Massenabgabe durch Strahlung Schwerebeschleunigung Dauer der Eigenrotation siderisch (Mittelwerte) synodisch Dichte im Sonnenkern Temperatur im Sonnenkern Druck im Sonnenkern

6,96 · 105 km 1,99 · 1030 kg 1,41 · 103 kg m–3 5714 K ≈ 6,3 · 107 W m–2 ≈ 3,86 · 1026 W ≈ 4,3 · 109 kg s–1 274 m s–2 25,38 d 27,275 d etwa 1,6 · 105 kg m–3 etwa 16 · 106 K etwa 1016 Pa

Daten der Erde Äquatorradius Oberfläche

6 378,140 km 510100933 km2

91

2.6 Gravitation

√e TR Tsid Tsyn e a b n a

2. kosmische Geschwindigkeit Rotationsdauer des Planeten um die Eigenachse siderische Umlaufzeit synodische Umlaufzeit numerische Exzentrizität der Bahn (Mittelwert) Neigung der Bahn gegen die Ekliptik Neigung des Äquators gegen die Bahnebene Anzahl der Satelliten (große Monde) Albedo (Mittelwert)

Zei√e TR –––– –– ––– chen km s–1 h

Tsid ––– a

4,2 1407,6014 0,2408 10,3 5831,5258 0,6152 11 ,2 23,9344 1,0000 5,0 24,6583 1,8809 61 9,925**) 11,8622 37 10,65**) 29,4577 22 17,3 84,0153 24 16,1 164,7883 153,5 247,7

m s–1, km s–1 s s, a s, d 1 ° ° 1 1

a –– °

Tsyn ––– – d

e

115,9 583,9 – 779,9 398,1 378,1 369,7 367,5 366,7

0,2056 7,0 0,0068 3,4 0,0167 0 0,0934 1,49 0,0484 1,31 0,0542 2,49 0,047 0,77 0,049 1,77 0,249 17,1

b –– °

2,6 23,45 25,17 3,12 26,7 98 29

**) bei ≈ 40° Breite

Polradius Volumen Radius einer volumengleichen Kugel Bahngeschwindigkeit eines Äquatorpunktes Dichte der Erdkruste Winkelgeschwindigkeit der Eigenrotation Solarkonstante

6356,766 km 1,08332 · 1012 km3 6371,211 3 km 465 m s–1 2,60 · 103 kg m–3 7,29 · 10–5 s–1 1,367 kW m–2

Einige Daten des Mondes Abstand von der Erde (Mittelwert) 3,844 · 105 km mittlere Bahngeschwindigkeit 1,02 · 103 m s–1 Mondradius 1738 km Volumen 2,199 · 1010 km3 Masse 7,348 · 1022 kg Dichte (Mittelwert) 3,35 · 103 kg m–3 Schwerebeschleunigung an der Oberfläche 1,62 m s–2 siderische Umlaufzeit um die Erde 27,322 d Albedo 0,07 Temperatur Tagseite + 120 °C Nachtseite –150 °C

FK

n

a

0 0 1 2 66 62 29 13 5

0,06 0,77 0,43 0,17 0,70 0,75 0,90 0,82 0,5

92


Einige Daten des Milchstraßensystems etwa 2,2 · 1011 Sonnenmassen etwa 2 · 1011 in grober Näherung ein stark abgeplattetes Rotationsellipsoid etwa 30 000 pc etwa 5000 pc etwa 10 000 pc

Gesamtmasse Anzahl der Fixsterne im System Gestalt

Durchmesser Dicke Abstand der Sonne vom Kern des Systems Abstand der Sonne von der Mittelebene (Milchstraßenebene) Umlaufzeit der Sonne im Milchstraßensystem Bahngeschwindigkeit der Sonne mittlere Dichte

etwa 15 pc etwa 2,3 · 108 a etwa 270 km s–1 etwa 7 · 10 –21 kg m–3

Die größten Monde der Planeten r T d m

mittlerer Abstand des Mondes vom Planeten Umlaufzeit des Mondes um den Planeten Durchmesser des Mondes Masse

m, km s, d m, km kg

Planet

Mond

r ––––––– 103 km

T –– d

m ––– kg

d –––– km

Erde Mars

Mond Phobos Deimos Io Europa Ganymed Kallisto Tethys Dione Rhea Titan Japetus Titania Triton

384,4 9,4 23,5 421,6 670,9 1070 1880 295 377 527 1222 3560 440 350

27,322 0,318 1,250 1,770 3,551 7,155 16,689 1,885 2,733 4,508 15,947 79,1 8,71 5,88

7,35 · 1022 9,6 · 1015 2,0 · 1015 8,92 · 1022 4,87 · 1022 4,19 · 1023 1,06 · 1023 6,25 · 1020 1,05 · 1021 2,28 · 1021 1,36 · 1023 2 · 1021 2,7 · 1021 3,7 · 1022

3 476 ≈ 22 ≈ 13 3 632 3 138 5 262 4 800 1 060 1 120 1 530 5 150 1 460 1 610 2 710

Jupiter

Saturn

Uranus Neptun

3

Mechanik der Flüssigkeiten und Gase

3.1

Allgemeine Eigenschaften der Flüssigkeiten und Gase

Kompressibilität und Kompressionsmodul V, p → Benutzungshinweise k Kompressibilität Pa–1 K Kompressionsmodul Pa dV DV ● k = – ––––– , k = – ––––– V dp V Dp 1 ● K = –– Die Kompressibilität ist temperatur- und druckabhängig. k Kompressibilität und Kompressionsmodul einiger Flüssigkeiten Flüssigkeit

k –––––– GPa–1

Wasser

0,535 0,50 0,525 0,485 0,502 0,477 0,41 0,372

1,87 2,0 1,9 2,06 1,98 2,1 2,44 2,68

0,972 0,652 1,84 1,17 0,945 1,22 1,47 1,27

1,03 1,53 0,64 0,855 1,06 0,82 0,404 0,787

Benzen (Benzol) Brom Diethylether Ethanol Kohlenstoffdisulfid Methanol Pentan Propanon (Aceton) Propantriol (Glyzerin, Glycerol) Quecksilber Terpentin Tetrachlormethan

0,221 0,0388 0,0418 0,805 1,13

K ––––– GPa

4,51 25,7 23,9 1,24 0,88

Druckbereich in MPa 0,1 … 2,5 2,5 … 5,0 10 … 20 50 … 60 90 … 100

t ––– °C 0 20 0 20 0 20 20 20

bis 10 bis 10 bis 10 bis 10 bis 10 bis 10 bis 10 bis 10

18 18 20 18 180 18 18 18

bis 10 0,1 … 50 0,1 … 50 bis 10 bis 10

18 28 110 18 18

FG

94


Oberflächenspannung (spezifische Oberflächenenergie) s DE DA F l ●

Oberflächenspannung Energiezunahme Oberflächenzunahme am Rande angreifende Kraft Randlänge DE F s = –––– , s = –– DA l

N m–1 J m2 N m

Oberflächenspannung einiger Flüssigkeiten Flüssigkeit

Angrenzendes Gas

––t– °C

s –––––– N m–1

Benzen (Benzol) Ethanol Kochsalzlösung (10 %) Petroleum Propanon Propantriol (Glycerol) Ouecksilber

Luft Alkoholdampf Luft Luft Luft Luft Luft Wasser (Flüssigkeit) Luft Luft eigener Dampf Luft Luft Luft Luft Luft Luft Luft

20 20 18 0 20 30 20 20 20 18 20 0 10 20 40 60 80 100

0,028 8 0,022 0 0,075 5 0,028 9 0,023 7 0,064 7 0,5 0,375 0,073 0,0268 0,025 7 0,0756 0,0742 0,0725 0,0696 0,0662 0,0626 0,0588

Salzsäure (10 %) Terpentinöl Tetrachlormethan Wasser

Drucksprung an einer gewölbten Oberfläche Dp s r1, r2 r

Überdruck im Innern einer Flüssigkeit (Drucksprung) Oberflächenspannung Hauptkrümmungsradien der Oberfläche Radius der Kugel (positiv, wenn der Krümmungsmittelpunkt in der Flüssigkeit ist)

(

)

1 1 Dp = s –– + –– r1 r2

Pa N m–1 m m

95

3.2 Ruhende Flüssigkeiten und Gase

Für eine Kugel erhält man einen Überdruck im Innern 2s Dp = ––– r Haftspannung und Randwinkel s Oberflächenspannung f Randwinkel s13 – s23 Haftspannung

N m–1 ° N m–1

s13 – s23 = s12 cos f Für s13 – s23 < s12 wird f < 90° (benetzende Flüssigkeit) Für s13 – s23 > s12 wird f > 90° (nichtbenetzende Flüssigkeit) Steighöhe einer vollständig benetzenden Flüssigkeit in einer Kapillare

fester Körper 3

σ 12 cos ϕ

h s r g r f

Steighöhe Oberflächenspannung Innenradius der Kapillare Fallbeschleunigung Dichte der Flüssigkeit Randwinkel

m N m–1 m m s–2 kg m–3 °

●

2s h = –––– , rgr

2s cos f h = –––––––– rgr

bei vollständiger Benetzung

3.2

Ruhende Flüssigkeiten und Gase

g

Druck Dichte Höhe der Flüssigkeit über der betrachteten Stelle Fallbeschleunigung

●

p = rgh

Pa kg m–3 m m s–2

Kraft einer ruhenden Flüssigkeit gegen eine Wand F, p → Benutzungshinweise A ebene Fläche der Wand r Dichte

σ 13 ϕ

Dampf 1

m2 kg m–3

σ 12

2 Flüssigkeit

bei unvollständiger Benetzung

Schweredruck p r h

FG

σ 23

96 g pm ys ym Ix


Fallbeschleunigung mittlerer Druck Abstand des Schwerpunktes S von der x-Achse Abstand des Druckmittelpunktes von der x-Achse Flächen(trägheits)moment, bezogen auf die x-Achse

m s–2 Pa m m m4

F = ∫ p dA Lage des Druckmittelpunktes

F

Ix ym = ––– ys A

x ys

y

dA

F = pmA

ym

F = rgysA ,

S M

y

Grundgesetz der Hydraulik (Hydraulische Presse) F1 F2 A1 A2

Kraft des Pumpenkolbens Kraft des Presskolbens Fläche des Pumpenkolbens Fläche des Presskolbens

●

F1 A1 ––– = ––– F2 A2

N N m2 m2

Auftrieb

rFl g V FG FA1

Auftriebskraft eines vollständig eingetauchten Körpers Dichte der Flüssigkeit Fallbeschleunigung Volumen des eingetauchten Körpers Gewichtskraft (Gewicht) des eingetauchten Körpers Auftriebskraft des eingetauchten Teiles des Körpers

●

FA = rFl gV

FA

FG Der Körper steigt, wenn ––– < 1 FA FG Der Körper schwebt, wenn ––– = 1 FA

N kg m–3 m s–2 m3 N N

FG Der Körper sinkt, wenn ––– > 1 FA

FG Wenn der Körper schwimmt, dann ist –––– = 1 FA1

97

3.2 Ruhende Flüssigkeiten und Gase

Dichtebestimmung mit Hilfe des Auftriebs r Dichte des festen Körpers rFl Dichte der Flüssigkeit FG Gewichtskraft (Gewicht) des Körpers FG′ scheinbare Gewichtskraft (Gewicht) des vollständig eingetauchten Körpers FG ● r = –––––––– rFl FG – F′G

kg m–3 kg m–3 N N

Luftdruck p Luftdruck in der Höhe h Pa Luftdruck in der Höhe 0 Pa p0 r Dichte der Luft in der Höhe h kg m–3 r0 Dichte der Luft bei 0 °C und 101,325 kPa kg m–3 g Fallbeschleunigung m s–2 h Höhe m DT Temperaturdifferenz K r0 ● p = p0 exp – ––– gh , p0 = 101,3 kPa , r0 = 1,225 kg m–3 p0 Barometrische Höhenformel, gültig für die Normalatmosphäre bis h 11 km (Troposphäre) 6,5 h/km 4,256 6,5 h/km 5,256 p = p0 1 – –––––––– , r = r0 1 – –––––––– 288 288 Temperaturänderung in der Troposphäre (Mittelwert, gültig bis 10 km) DT K ––– ≈ – 6,5 ––– Dh km

(

)

(

)

(

)

Zusammenhang zwischen Höhe und Luftdruck in der Normalatmosphäre h –– m

p –––– kPa

p –––– kPa

h –– m

0 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 4 000 5 000 6 000 8 000

101,325 95,45 89,88 84,56 79,40 74,69 70,12 61,66 54,04 47,21 35,65

101,325 100 98 96 94 90 80 70 60 50 40

0 111 280 450 630 990 1 950 3 010 4 210 5 570 7 180

FG

98


Normalatmosphäre Es gelten folgende Bodenwerte: p0 = 1013,25 hPa (= 1013,25 mbar), t0 = 288,15 K = 15 °C, r0 = 1,225 kg m–3 Mittlere Jahreswerte für Druck, Temperatur und Dichte

8 0

1,28 1,23 1,25 101,86 101,46 101,59 1,026 0,996 1,008 79,06 79,86 79,46

Jahresmittel

16 7

Juli

Januar

0 –3

Januar

Jahresmittel

Luftdruck p/kPa

Jahresmittel

Juli

0 2000

Juli

Januar

Lufttemperatur t/°C

Dichte r/kg m–3

Höhe über dem Meeresspiegel h/m

Zusammensetzung der Luft (gültig bis etwa 20 km Höhe) Gas

Anteil in Vol.-%

Gas

Anteil in Vol.-%

Stickstoff Sauerstoff Argon Kohlenstoffdioxid

78 21 0,9 0,03

Neon Wasserstoff Helium

0,001 2 0,001 0,000 4

3.3

Strömende Flüssigkeiten und Gase

Volumenstrom V˙ V A t

√ ●

Volumenstrom (in der Technik häufig als Durchflussmenge bezeichnet) Volumen der strömenden Flüssigkeit Querschnittsfläche Zeit Strömungsgeschwindigkeit dV V˙ = ––– , dt

m3 s–1 m3 m2 s m s–1

DV V˙ = ––– Dt

Wenn die Strömungsgeschwindigkeit über die ganze Querschnittsfläche konstant ist, gilt ●

V˙ = A√

99

3.3 Strömende Flüssigkeiten und Gase

Kontinuitätsgleichung m2 m s–1 s kg m–3

A1, A2 Querschnittsflächen Strömungsgeschwindigkeit √ t Zeit r Dichte des strömenden Stoffes

Wenn bei stationären Strömungen die vorkommenden Strömungsgeschwindigkeiten klein gegenüber der Schallgeschwindigkeit in der strömenden Flüssigkeit oder im Gas bleiben, können diese als inkompressibel (r = const) A2 betrachtet werden. Es gilt dann A 1

div √៬ = 0 ●

dr für ––– = 0 dt

v2

v1

A1√1 = A2 √2

Ausströmgeschwindigkeit unter Wirkung der Schwerkraft

√ h g m d

Ausströmgeschwindigkeit Höhe des Flüssigkeitsspiegels über der Öffnung Fallbeschleunigung Ausflusszahl Durchmesser der Öffnung

m s–1 m m s–2 1 m

Theoretischer Wert der Ausströmgeschwindigkeit (Reibung wird vernachlässigt) √ = 2gh Praktischer Wert der Ausströmgeschwindigkeit √ = m 2gh Ausflusszahl m bei scharfkantiger Öffnung in einer dünnen Wand m (bei h = 0,6 m)

m (bei h = 0,25 m)

10 20 30 40

0,628 0,621 0,614 0,607

0,637 0,629 0,622 0,614

k

β d

d –––– mm

k

Mittelwert mm = 0,62 ≈ 3d

FG

100


Ausflusszahl m bei Öffnungen mit konischer Strahlführung ( b s. Bild S. 99) m für b = 0° 6°

Kantenform

Kante k scharf 0,83 Kante k stark abgerundet 0,97

12°

45°

60°

80°

0,94

0,92

0,75

0,7

0,64

0,95

0,92

0,75

0,7

0,64

Ausflusszahl m bei Öffnungen mit gerader Strahlführung Kantenform

m

Kante k scharf Kante k schwach abgerundet Kante k stark abgerundet

0,82 0,90 0,97

d

k k

≈ 3d...5d

Ausströmgeschwindigkeit unter Wirkung eines Kolbendruckes

√ Dp r m

Theoretischer Wert ●

m s–1

Ausströmgeschwindigkeit durch den Kolben hervorgerufener Überdruck Dichte Ausflusszahl

√=

Pa kg m–3 1

Praktischer Wert

2Dp –––– r

2Dp –––– r

√=m

Kraft gegen eine ebene Fläche und gegen eine hohle Schaufel F V r A √ V˙

Kraft eines Flüssigkeits- oder Gasstrahls Volumen des strömenden Mediums Dichte des strömenden Mediums Strahlfläche Strömungsgeschwindigkeit Volumenstrom

Kraft gegen eine ebene Wandfläche F = rV˙√ , ●

F = rA√2

F = rV˙√ sin a ,

N m3 kg m–3 m2 m s–1 m3 s–1

A

A v

2

F = rA√ sin a

v F

α

F

101


Kraft gegen eine hohle Schaufel F = rV˙√ (1 + cos a) ●

α

A

F = rA√2 (1 + cos a)

v

Für a < 10° gilt F = 2rV˙√ ,

F = 2rA√ 2

FG

Gleichung von Bernoulli p r

√ g h h1 h√ hg ●

statischer Druck Dichte des strömenden Stoffes Strömungsgeschwindigkeit Fallbeschleunigung Höhe der betrachteten Stelle (Lagenhöhe) statische Druckhöhe Geschwindigkeitshöhe Gesamtdruckhöhe 1 rgh1 + rgh + – r√2 = const , 2 h1 + h + h√ = hg

√2

Pa kg m–3 m s–1 m s–2 m m m m

1 p + rgh + – r√2 = const 2

mit h√ = –– 2g

v h

Man bezeichnet p als statischen Druck rgh als Schweredruck 1 2 – r√ als Staudruck (dynamischer Druck) 2

h1

Die Gleichung von Bernoulli gilt streng nur h bei vernachlässigbarer Reibung.

Niveaulinie bzw. Nulllinie x

Die Konstante auf der rechten Seite der Gleichungen wird Gesamtdruck genannt.

1 1 p1 + – r √ 21 = p2 + – r √ 22 2 2

h1

1 p + – r√ 2 = const 2

h2

Für eine horizontale Rohrleitung gilt

v1

v2

102


Bestimmung des Volumenstroms mit dem Venturi-Rohr V˙ A1, A2 r Dp d1, d2

Volumenstrom Querschnittsflächen Dichte des strömenden Stoffes Unterschied der statischen Drücke Durchmesser 2Dp –––––––––– , A22 r 1 – ––2– A1

V˙ = A2

(

)

V˙ = A1

m3 s–1 m2 kg m–3 Pa m 2Dp –––––––––– A12 r –––2 – 1 A2

( )

Für kreisförmige Querschnitte ist

()

d2 = –– d1

A1

4

A2 v1

v2

∆p

A22 –––2 A1

Newton’sches Reibungsgesetz

√, A → F d x h

Benutzungshinweise Reibungskraft Abstand Koordinate dynamische Viskosität

●

d√ F = hA ––– , dx

●

F = hA –– d

D√ F = hA –––– Dx

N m m Pa s x

v

F

d

√

A

SI-fremde, nicht mehr gesetzliche Einheit der dynamischen Viskosität: Poise (P) 1 P = 0,1 Pa s Kinematische Viskosität n h r ●

kinematische Viskosität dynamische Viskosität Dichte h n = –– r

m2 s–1 Pa s kg m–3

103


SI-fremde, nicht mehr gesetzliche Einheit der kinematischen Viskosität: Stokes (St) 1 St = 10–4 m2 s–1 Dynamische und kinematische Viskosität von Flüssigkeiten und Gasen (bei 1013 hPa) Stoff Aminobenzol (Anilin, Aminobenzen)

t ––– °C

0 20 Ammoniak 0 20 Argon 20 Benzen (Benzol) 20 Diethylether (Äther, Ether) 20 Ethanol 20 Ethin (Azetylen) 20 Geräteglas 700 1000 Helium 20 Kohlenstoffdioxid 20 Luft 0 20 100 –194 Methan 20 Methanol 20 Motorenöl 20 Neon 20 Pech 20 100 Propantriol (Glyzerin, Glycerol) 20 Quecksilber –20 0 20 50 100 200 300 Rizinusöl 20 Salpetersäure (konzentriert) 20 Salzsäure (20%ig) 20

h – –––– mPa s 10,2 4,4 0,0093 0,0102 0,0223 0,649 0,235 1,16 0,0102 ≈ 108 ≈ 104 0,0220 0,0147 0,0172 0,0182 0,0218 0,162 0,0108 0,59 20 … 10 000 0,031 3 · 1010 119 1470 1,85 1,685 1,554 1,407 1,24 1,01 0,92 950 0,89 1,36

n ––––––– mm2 s–1 10 4,3 12,1 13,2 12,3 0,74 0,33 1,47 8,7 ≈ 0,4 · 108 ≈ 0,4 · 104 123,2 7,44 13 15 23 0,17 15,1 1,52 20 … 10 000 34,4 2,5 · 1010 108 1 200 0,1155

1 090 0,59 1,18

FG

104


Stoff

t ––– °C

Sauerstoff

0 20 100 –182,97 Schwefelsäure (konzentriert) 20 Schweres Wasser 20 Siliconöle (gerundete Werte) NM 3–50 20 NM 3–100 20 NM 3–200 20 80 120 NM 5–400 20 NM 5–500 20 NM 5–1000 20 NM 15 – 40 0 20 50 100 Stickstoff 20 –195,81 Terpentinöl 20 Tetrachlormethan 20 Trichlormethan (Chloroform) 0 20 Wasserstoff 0 20 100 Wasserdampf 100 250 Wasser 0 20 50 100

h – –––– mPa s 0,019 2 0,0203 0,024 4 0,183 29 1,26 50 100 200 60 40 400 500 1000 80 25 17 10 5 0,017 5 0,155 1,46 0,97 0,70 0,57 0,008 4 0,0088 0,010 3 0,0172 0,018 4 1,792 1,005 0,549 0,284

Laminare Strömung durch ein Rohr (Hagen-Poiseuille’sche Gleichung) V˙ r

Volumenstrom Radius des Rohres

m3 s–1 m

n ––––––– mm2 s–1 15,4

0,17 16 1,14 50 100 200 60 40 400 500 1 000 80 25 17 10 5 14 0,19 1,71 0,606 0,47 0,38 94 13 29 44 1,794 1,007 0,556 0,296

105


h Dp l ●

dynamische Viskosität der hindurchströmenden Flüssigkeit Druckdifferenz zwischen den Rohrenden Länge des Rohres

Pa s Pa m

p r 4 Dp V˙ = –– –– ––– 8 h l

Laminare Strömung um eine Kugel (Stokes’sche Gleichung)

r

Kraft auf die umströmte Kugel dynamische Viskosität Relativgeschwindigkeit zwischen Kugel und Strömung Radius der Kugel

●

F = 6ph√r

F h

√

N Pa s m s–1 m

für Re < 1

Sinkgeschwindigkeit kleiner Kugeln in einer Flüssigkeit oder in einem Gas

√ r1 r2 g r h

Sinkgeschwindigkeit Dichte der Kugel Dichte der Flüssigkeit bzw. des Gases Fallbeschleunigung Radius der Kugel dynamische Viskosität der Flüssigkeit bzw. des Gases 2 (r1 – r2) gr2 √ = –––––––––––– 9h

m s–1 kg m–3 kg m–3 m s–2 m Pa s

für Re < 1

Kennzahlen bei Strömungen Re Nu Pe Pr Gr n a l g c

DT

Reynolds-Zahl 1 Nusselt-Zahl 1 Péclet-Zahl 1 Prandtl-Zahl 1 Grashof-Zahl 1 kinematische Viskosität m2 s–1 Temperaturleitfähigkeit m2 s–1 Wärmeleitfähigkeit des strömenden Stoffes W m–1 K–1 Raumausdehnungskoeffizient des strömenden Stoffes K–1 spezifische Wärmekapazität des strömenden Stoffes, bei Gasen ist cp zu setzen J kg–1 K–1 Temperaturdifferenz zwischen strömendem Stoff und Gefäßwand K

FG

106 a g l r h

√ ●


Wärmeübergangskoeffizient zwischen strömendem Stoff und Gefäßwand Fallbeschleunigung charakteristische Länge (eine die Körpergröße bestimmende Länge) Dichte der Flüssigkeit bzw. des Gases dynamische Viskosität Relativgeschwindigkeit des strömenden Stoffes zum Körper

W m–2 K–1 m s–2 m kg m–3 Pa s m s–1

l√r l√ Re = ––– = –– h n

Strömungen um oder in geometrisch ähnlichen Körpern sind ähnlich, wenn die Reynolds-Zahlen gleich sind. Das bedeutet: Zwei Strömungen um oder in geometrisch ähnlichen Körpern haben die gleiche Widerstandszahl c, wenn die Reynolds-Zahlen gleich sind. Die Widerstandszahl ist nur eine Funktion der Reynolds-Zahl. Für große Geschwindigkeiten (Trägheitskräfte überwiegen die Reibungskräfte) wird die Widerstandszahl konstant. Für kleine Reynolds-Zahlen herrscht laminare, für große turbulente Strömung. Überschreitet Re einen bestimmten Wert Rekrit (der für geometrisch ähnliche Körper mit glatter Oberfläche gleich ist), so ist die laminare Strömung nicht mehr stabil. Für Rohre mit Kreisquerschnitt (Radius r als charakteristische Länge) gilt Rekrit ≈ 1 160 Die Gleichung von Stokes gilt nur für Re < 1. al – Nu = –– l

√l √crl Pe = –– = –––– a l n hc Pr = – = ––– , a l

Pe Pr = ––– Re

gl 3 DTg gr2l 3 DTg – Gr = ––––––– = –––––––– n2 h2 Kraft auf einen umströmten Körper F A

Kraft N Projektionsfläche des umströmten Körpers auf eine Ebene senkrecht zur Strömungsgeschwindigkeit m2

107


r

√ c ●

kg m–3 m s–1 1

Dichte des strömenden Stoffes Strömungsgeschwindigkeit Widerstandszahl 1 F = –– c wAr√ 2 2

Widerstandszahlen Körper Halbkugel

Re

cw

Boden { mit ohne Boden mit Boden konkav { ohne Boden

0,4 0,34 1,17 1,33

> 1,5 · 105 … 4,05 · 105 < 1,5 · 105 … 4,05 · 105

0,09 … 0,18 0,47

konvex

Kugel

Kreisplatte

1,11

d2 d1

Kreisring

Rechteckplatte

d1 –– = 2 d2

b

a

a – = b

Kreiskegel mit Boden

α

{

1,22

1 2 4 10

a = 30° a = 60°

1,10 1,15 1,19 1,29

0,34 0,51

FG

108


Körper

Re

cw

Kreiszylinder

≈ 4,4 · 104

0,63 0,68 0,74 0,82 0,98

2 4 8 14

≈ 4,4 · 10

4

0,91 0,85 0,87 0,99

a 1 –– = –––– b 0,75

< 2,5 · 105 > 2,5 · 105

0,6 0,21

a 1,8 –– = ––– b 1

> 105 < 105

0,05 … 0,1 stetiger Übergang zu größeren Werten

h

h –= r

h –= r r

h

{

2 4 10 20 80

r

{

a

Rotationsellipsoid

b

b

a

d

Profilstrebe

Kraftfahrzeuge PKW geschlossen offen LKW

l –– = d

{

2 3 5 10 20

> 106

0,2 0,1 0,06 0,083 0,094

0,25 … 0,5 meistens ≈ 0,35 ≈ 0,9 ≈ 0,9

109


Leistung bei Bewegung eines Körpers gegen eine Strömung mit konstanter Geschwindigkeit P A

r

√ c ●

Leistung Projektionsfläche des Körpers auf eine Ebene senkrecht zur Strömungsgeschwindigkeit Dichte des strömenden Stoffes Strömungsgeschwindigkeit Widerstandszahl 1 P = – cAr √ 3 2

W m2 kg m–3 m s–1 1

FG

Druckverluste in Rohrleitungen und Krümmern Dp l l r rik r

√ k p

Druckverlust Druckverlustfaktor Länge der Leitung Radius der Leitung innerer Krümmungsradius Dichte des strömenden Mediums Geschwindigkeit der Strömung Wanderhebung bei rauen Rohren Druck (Index 1 bezieht sich auf den Anfang, Index 2 auf das Ende des Rohres)

Pa 1 m m m kg m–3 m s–1 m Pa

Druckabfall in einer geraden Rohrleitung l Dp = l ––– r √ 2 4r Bei der Expansion eines Gases gilt l p1 Dp = l ––– r 1√ 12 ––––––– 2r p1 + p2 64 Bis Rekrit ≈ 1160 ist l ≈ ––– . Re 0,316 –––– bei glattem Rohr. Bis Re ≈ 100000 ist l ≈ –– 4 Re k Bei rauem Rohr ist l von der relativen Wanderhebung –– abhängig: 2r 2r/k

10

40

60

100

1 000

l

0,1005

0,053

0,046

0,038

0,02

110


Druckverlust in einem Krümmer 1 Dp = –– lr √ 2 2

r ik

d=2r

Für raue Rohre gilt rik/2r

1

2

4

6

10

l

0,5

0,3

0,23

0,18

0,2

Der Druckverlust in einem Krümmer wird sehr klein, wenn das strömende Medium beschleunigt wird, d.h., wenn der Ausgangsquerschnitt kleiner als der Eintrittsquerschnitt ist. Bei günstiger Anordnung kann l ≈ 0,03 werden. Für scharfkantige Kniestücke gilt näherungsweise a a l ≈ sin2 –– + 2 sin4 –– 2 2

α

4

Thermodynamik

4.1

Temperatur

Temperaturskalen T, t → Benutzungshinweise DT Temperaturdifferenzen Dt

}

K

●

Die Temperatur ist eine Basisgröße. Die Einheit der Temperatur ist das Kelvin. Das Kelvin ist der 273,16te Teil der (thermodynamischen) Temperatur des Tripelpunktes von Wasser.

●

t/°C = T/K –273,15

Temperaturdifferenzen haben in der Kelvin-Skala und in der Celsius-Skala gleiche Beträge: ●

DT = Dt

Temperaturfestpunkte (bei p0 = 101,325 kPa) Temperaturfestpunkte 1. Ordnung Stoff

Festpunkt

––t– °C

Sauerstoff Eis Wasser

Siedepunkt Erstarrungspunkt Tripelpunkt Siedepunkt Erstarrungspunkt Siedepunkt Erstarrungspunkt Erstarrungspunkt

– 182,97 0 + 0,01 + 100 + 419,527 + 444,60 + 960,78 +1 064,18

Zink Schwefel Silber Gold

T

112

4 Thermodynamik

Temperaturfestpunkte 2.Ordnung t ––– °C

Stoff

Festpunkt

Kohlenstoffdioxid Quecksilber Diphenylether Natriumsulfat Benzoesäure (Benzolcarbonsäure) Indium Naphthalin (Naphthalen) Zinn Benzoephenon Cadmium Blei Quecksilber Aluminium Kupfer

Sublimationspunkt Erstarrungspunkt Tripelpunkt Umwandlungspunkt Tripelpunkt

Nickel Cobalt Palladium Platin Rhodium Iridium Wolfram

4.2

Erstarrungspunkt Siedepunkt Erstarrungspunkt Siedepunkt Erstarrungspunkt Erstarrungspunkt Siedepunkt Erstarrungspunkt Erstarrungspunkt in reduzierender Atmosphäre Erstarrungspunkt Erstarrungspunkt Erstarrungspunkt Erstarrungspunkt Erstarrungspunkt Erstarrungspunkt Schmelzpunkt

– – + +

78,51 38,87 26,88 32,38

+ + + + + + + + +

122,36 156,60 218,0 231,93 305,9 321,03 327,3 356,58 660,32

+1 083 +1 453 +1 492 +1 552 +1 769 +1 960 +2 443 +3 380

Thermische Ausdehnung der festen Körper und Flüssigkeiten

Längenausdehnung Dt l1 l2 Dl a

Temperaturdifferenz Ausgangslänge Endlänge Längenänderung Längenausdehnungskoeffizient

●

Dl = al1 Dt,

l2 = l1 (1 + a Dt)

K m m m K–1

113

4.2 Thermische Ausdehnung der festen Körper und Flüssigkeiten

Längenausdehnungskoeffizienten fester Stoffe zwischen 0 und 100 °C Stoff

a ––––––– 10–6 K–1

Stoff

Acetylcelloid Aluminium Antimon Bergkristall ⊥ Achse || Achse Beryllium Beton Bismut Blei Bronze Cadmium Cäsium Celluloid Chrom Cobalt Diamant Eisen Elektron Gallium Germanium Glas, Jena 16 III Jena 59 III Labortherm S QuarzRasotherm Gold Granit Graphit Gusseisen Invar Iod Iridium Kalium Kaliumchlorid Kaliumnitrat Konstantan Kupfer Lithium Magnesium Mangan

111 23,8 10,9 16 9,6 12,3 ≈ 12 13,5 31,3 17,5 29,4 97 101 6,6 13 1,3 12 24 18 6 7,9 4,7 3,3 0,55 3,3 14,3 ≈6 7,9 9,7 1,5 83 6,6 84 32 78 15,2 16,8 58 26 23

Messing Molybdän Natrium Natriumchlorid Neusilber Nickel Osmium Palladium Phenol Phenolharz Phosphor, weiß Platin Platin-Iridium (10 Ir) Polyethylen Polyamide Polystyrol (Polystyren) III, IV, V, EF EH, EN Polyvinylchlorid Porzellan Rhodium Rubidium Ruthenium Schwefel, monoklin Selen Silber Silicium Stahl, V2a Chromstahl Tantal Tellur Thallium Thorium Titan Vulkanfiber Wolfram Ziegel Zink Zinn Zirconium

a ––––––– 10–6 K–1 18,4 5,2 71 40 18 12,8 6,6 11 290 80 124 9,0 8,9 20 110 80 60 80 3 8,5 90 9,6 90 37 19,7 7,6 16,0 10,0 6,5 17,2 29 11 9 25 4,3 ≈8 26,3 27 4,8

T

114

4 Thermodynamik

Volumenausdehnung Dt V1 V2 DV g a

Temperaturdifferenz Anfangsvolumen Endvolumen Volumenänderung Raumausdehnungskoeffizient Längenausdehnungskoeffizient

●

DV = gV1 Dt ,

K m3 m3 m3 K–1 K–1

V2 = V1 (1 + g Dt),

g = 3a (bei festen Stoffen)

Raumausdehnungskoeffizienten von Flüssigkeiten bei 20 °C Flüssigkeit Aminobenzol (Anilin, Aminobenzen) Benzen (Benzol) Brom Bromethan Brombenzol (Brombenzen) Chlorethan Chlorbenzol (Chlorbenzen) Cyanwasserstoff Diethylether Ethanol Ethansäure (Essigsäure) Ethansäureethylester Ethansäuremethylester Ethylacetat Hexan Iodbenzol (Iodbenzen) Kohlenstoffdisulfid (Schwefelkohlenstoff) Methanol Methansäure (Ameisensäure) Methylbenzol (Toluol, Toluen)

g ––––––– –5 10 K–1

84 123 113 142 92 117 98 193 162 110 107 137 14 138 135 83 118 120 102 111

Flüssigkeit Nitrobenzol (Nitrobenzen) Olivenöl Pentan, nPentanol (Amylalkohol) Petroleum Propanon (Aceton) Propantriol (Glyzerin, Glycerol) Pyridin Quecksilber Salpetersäure Schwefelsäure Siliconöl NM 15 Terpentinöl Tetrachlormethan Tetrahydronaphthalin (Tetralin, Tetrahydronaphthalen) Tribrommethan (Bromoform) Trichlorethen Trichlormethan (Chloroform) Wasser Xylol

g ––––––– –5 10 K–1

83 72 161 90 96 149 50 112 18,2 124 57 100 97 123

78 91 119 128 21 98

4.2 Thermische Ausdehnung der festen Körper und Flüssigkeiten

115

Dichteänderung Dt r1 r2 g

Temperaturdifferenz Dichte bei der Anfangstemperatur Dichte bei der Endtemperatur Raumausdehnungskoeffizient

●

r1 r2 = –––––––– 1 + g Dt

K kg m–3 kg m–3 K–1

Abhängigkeit der Dichte des Wassers von der Temperatur (bei 101,325 kPa) t ––– °C

r ––––––– g cm–3

t ––– °C

r ––––––– g cm–3

t ––– °C

r ––––––– g cm–3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,999840 0,999899 0,999940 0,999964 0,999972 0,999964 0,999940 0,999902 0,999849 0,999781 0,999700

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

0,999 605 0,999 498 0,999 378 0,999 245 0,999 101 0,998 944 0,998 776 0,998 597 0,998 407 0,998 206 0,997 994

22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

0,997 772 0,997 540 0,997 299 0,997 047 0,996 786 0,996 516 0,996 236 0,995 948 0,995 650 0,995 344 0,995 030

Scheinbare Ausdehnung von Flüssigkeiten in Gefäßen Dt V1 DVsch gsch gFl aGef

Temperaturdifferenz Anfangsvolumen scheinbare Volumenänderung scheinbarer Raumausdehnungskoeffizient Raumausdehnungskoeffizient der Flüssigkeit Längenausdehnungskoeffizient des Gefäßmaterials DVsch = gsch V1Dt gsch = gFl – 3aGef

K m3 m3 K–1 K–1 K–1

T

116

4 Thermodynamik

Scheinbare Raumausdehnungskoeffizienten von Flüssigkeiten in Gefäßen Kombination

gsch ––––––– 10 –6 K–1

Wasser in Jenaer Glas 16 III Quecksilber in Jenaer Glas 16 III Quecksilber in Quarzglas Pentan in Jenaer Glas 16 III Ethanol in Jenaer Glas 16 III

186 158 180 1 586 1 076

4.3

Zustandsgleichung des idealen Gases

Ausdehnung der Gase bei konstantem Druck (1. Gleichung von Gay-Lussac) T, t → V0 V V1 V2 g

Benutzungshinweise Volumen des Gases bei 0 °C Volumen des Gases bei der Temperatur t Volumen des Gases bei der Temperatur T1 Volumen des Gases bei der Temperatur T2 Raumausdehnungskoeffizient

●

V = V0 (1 + gt)

m3 m3 m3 m3 K–1

Raumausdehnungskoeffizienten der Gase zwischen 0 und 100 °C bei 101,325 kPa Gas

g ––––––– –4 –1 10 K

Gas

g ––––––– – 4 –1 10 K

Ammoniak Argon Helium Kohlenstoffdioxid Kohlenstoffmonooxid Luft

37,70 36,76 36,60 37,26 36,67 36,65

Neon Sauerstoff Schwefeldioxid Stickstoff(II)-oxid Stickstoff Wasserstoff

36,61 36,72 38,45 36,80 36,72 36,64

Für das ideale Gas gilt 1 g = –––––– K–1 = 0,003661 K–1 273,15 V2 T2 ––– = ––– ● V1 T1

117

4.3 Zustandsgleichung des idealen Gases

Druckänderung der Gase bei konstantem Volumen (2. Gleichung von Gay-Lussac) T, t → p0 p p1 p2 g

Benutzungshinweise Druck des Gases bei 0 °C Druck des Gases bei der Temperatur t Druck des Gases bei der Temperatur T1 Druck des Gases bei der Temperatur T2 Druckkoeffizient = Raumausdehnungskoeffizient

●

p = p0 (1+ gt)

●

p 2 T2 ––– = ––– p1 T1

Pa Pa Pa Pa K–1

T

Erste Form der Zustandsgleichung p1 V1 T1 p2 V2 T2

Druck Volumen Temperatur Druck Volumen Temperatur

●

p1V1 p2V2 ––––– = –––––– T2 T1

} }

des Gases im Zustand 1

des Gases im Zustand 2

{ {

Pa m3 K Pa m3 K

Stoffmenge Die Stoffmenge ist eine Basisgröße. Die Einheit der Stoffmenge ist das Mol (mol). Das Mol ist die Stoffmenge eines Systems, das aus so vielen gleichartigen elementaren Teilchen besteht, wie Atome in 0,012 kg des Kohlenstoffs 12 enthalten sind. n m M

Stoffmenge Masse molare Masse

●

m M = –– n

mol kg kg mol–1

Zweite Form der Zustandsgleichung m, V, p, T → Benutzungshinweise n Stoffmenge

mol

118

4 Thermodynamik

M R Rs

molare Masse Gaskonstante (molare Gaskonstante) spezielle Gaskonstante

●

pV = nRT ,

R = 8,314 461 J K–1 mol–1

kg mol –1 J K–1 mol –1 J K–1 kg–1

m pV = ––– RT M R Rs = –– M

mittlere spezielle Gaskonstante bei Gasgemischen i =n

∑ miRsi i =1 R¯ s = ––––––––– m Für Luft ist Rs = 287,07 J kg–1 K–1 und für Wasserdampf 462 J kg–1 K–1 Molares Normvolumen V n Vm Vm0 R T0 p0

Volumen Stoffmenge molares Volumen molares Normvolumen Gaskonstante (molare Gaskonstante) Normtemperatur Normdruck

●

V Vm = –– , n

m3 mol m3 mol –1 m3 mol –1 J K–1 mol–1 K Pa

RT0 Vm0 = –––– p0

Unter Normbedingungen (p0 = 101,325 kPa, T0 = 273,15 K) beträgt das molare Normvolumen des idealen Gases

Vm0 = 22,413997 · 10–3 m3 mol–1

Abhängigkeit der Gasdichte von Druck und Temperatur p, T, t → Benutzungshinweise r0 T0 p0 r

Dichte unter Normbedingungen Normtemperatur (273,15 K) Normdruck (101,325 kPa) Dichte

●

pT0 r = r0 –––– Tp0

Für trockene Luft gilt r 1,293 p/kPa ––––––– = ––––––––––––––––––––––––– –3 101,325 (1 + 0,00367 t/°C) kg m

kg m–3 K Pa kg m–3

119

4.3 Zustandsgleichung des idealen Gases

Dichte der trockenen Luft in Abhängigkeit von Druck und Temperatur ––t– °C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

r in kg m–3 bei p in kPa 94

96

98

100

101,325 102

104

1,200 1,195 1,191 1,186 1,182 1,178 1,174 1,169 1,165 1,161 1,157 1,153 1,149 1,145 1,141 1,137 1,133 1,129 1,125 1,121 1,118 1,114 1,110 1,106 1,102 1,099 1,095 1,091 1,088 1,084 1,081

1,225 1,220 1,216 1,212 1,207 1,203 1,199 1,194 1,190 1,186 1,182 1,177 1,173 1,169 1,165 1,161 1,157 1,153 1,149 1,145 1,141 1,137 1,134 1,130 1,126 1,122 1,118 1,115 1,111 1,107 1,104

1,251 1,246 1,241 1,237 1,232 1,228 1,224 1,219 1,215 1,210 1,206 1,202 1,198 1,194 1,189 1,185 1,181 1,177 1,173 1,169 1,165 1,161 1,157 1,153 1,149 1,146 1,142 1,138 1,134 1,130 1,127

1,276 1,271 1,267 1,262 1,257 1,253 1,248 1,244 1,240 1,235 1,231 1,227 1,222 1,218 1,214 1,209 1,205 1,201 1,197 1,193 1,189 1,185 1,181 1,177 1,173 1,169 1,165 1,161 1,157 1,153 1,150

1,293 1,288 1,283 1,279 1,274 1,270 1,265 1,260 1,256 1,252 1,247 1,243 1,238 1,234 1,230 1,226 1,221 1,217 1,213 1,209 1,205 1,201 1,196 1,192 1,188 1,184 1,180 1,177 1,173 1,169 1,165

1,327 1,322 1,317 1,313 1,308 1,303 1,298 1,294 1,289 1,285 1,280 1,276 1,271 1,267 1,262 1,258 1,254 1,249 1,245 1,241 1,237 1,232 1,228 1,224 1,220 1,216 1,212 1,208 1,204 1,200 1,196

1,302 1,297 1,292 1,287 1,283 1,278 1,273 1,269 1,264 1,260 1,255 1,251 1,247 1,242 1,238 1,234 1,229 1,225 1,221 1,217 1,213 1,208 1,204 1,200 1,196 1,192 1,188 1,184 1,180 1,176 1,173

Spezifisches Volumen m,V → Benutzungshinweise spezifisches Volumen √ r Dichte V 1 ● √ = –– , √ = –– m r

m3 kg–1 kg m–3

T

120

4.4

4 Thermodynamik

Wärmemenge

Wärmekapazität m, V → Benutzungshinweise Q Wärme(menge) Dt Temperaturdifferenz C Wärmekapazität c spezifische Wärmekapazität CV volumenbezogene Wärmekapazität Cm molare Wärmekapazität n Stoffmenge M molare Masse r Dichte R Gaskonstante (molare Gaskonstante)

● ●

dQ = C dt , C c = –– , m C CV = –– , V CV = cr

J K J K–1 J kg–1 K–1 J m–3 K–1 J K–1 mol–1 mol kg mol–1 kg m–3 J K–1 mol–1

Q = C Dt dQ = cm dt ,

Q = cm Dt

dQ = CVV dt ,

Q = CVV Dt

Die Wärmemenge kann in allen Energieeinheiten gemessen werden. Früher war die Kalorie gebräuchlich: 1 cal = 4,1868 J Spezifische und volumenbezogene Wärmekapazität fester Körper zwischen 0 und 100 °C Stoff

c –––––––––– kJ kg–1 K–1

Aluminium Antimon Arsen Asbest Asphalt Bakelit Barium Basalt Baumwolle Beryllium Beton Bismut Blei Bor

0,896 0,208 0,335 0,80 0,92 1,59 0,192 ≈ 0,84 ≈ 1,30 1,59 ≈ 0,88 0,124 0,129 1,043

CV ––––––––––– MJ m–3 K–1 2,45 1,40 1,92 1,47 1,84 0,67 ≈ 2,5 3,05 ≈ 1,8 1,23 1,48 2,4

121

4.4 Wärmemenge

Stoff

c –––––––––– kJ kg–1 K–1

CV –––––––––– – MJ m–3 K–1

Cadmium Calcium Cäsium Cer Chrom Cobalt Dolomit Eis (bei 0°C) Eisen Gallium Germanium Glas, Jena 16 III Jena 59 III Kronglas Flintglas Glimmer Gold Granit Graphit Hafnium Hartgummi Holz (trocken) Indium Iod Iridium Kalium Kalkstein Konstantan Kork Kupfer Lithium Magnesium Mangan Marmor Messing Molybdän Natrium Neusilber Nickel Osmium Palladium

0,231 0,654 0,236 0,205 0,440 0,422 ≈ 0,88 2,09 0,450 0,372 0,315 0,779 0,791 0,666 0,481 0,84 0,129 ≈ 0,84 0,75 0,146 1,42 ≈ 2,5 0,235 0,225 0,130 0,750 ≈ 0,88 0,410 ≈ 1,88 0,383 3,45 1,017 0,476 ≈ 0,80 0,385 0,251 1,22 0,398 0,448 0,130 0,247

2,02 1,02 0,45 1,29 3,13 3,54 ≈ 2,4 1,92 3,58 2,24 1,69 1,98 1,89

2,59 ≈ 2,5 1,69 1,94

1,72 1,11 3,00 0,65 ≈ 2,3 3,61 3,43 1,84 1,78 3,46 ≈ 2,1 ≈ 3,3 2,62 1,18 ≈ 3,4 4,00 2,94 2,96

T

122

4 Thermodynamik

Stoff

c –––––––––– kJ kg–1 K–1

CV –––––––––– – MJ m–3 K–1

Phosphor, weiß Platin Porzellan Rhenium Rhodium Sandstein Schamotte Schlacke Schwefel, rhombisch monoklin Selen Silber Silicium Stahl Tantal Tellur Thallium Thorium Titan Uran Vanadium Wolfram Zement (trocken) Ziegel Zink Zinn Zirconium

0,75 0,133 ≈ 0,84 0,137 0,248 ≈ 0,84 ≈ 0,80 ≈ 0,84 0,716 0,733 0,32 0,235 0,703 ≈ 0,50 0,138 0,200 0,132 0,118 0,520 0,115 0,490 0,134 ≈ 0,75 ≈ 0,92 0,385 0,227 0,275

1,37 2,87 ≈ 2,0 2,83 3,09 ≈ 1,8 ≈ 1,6 1,48 1,44 1,54 2,46 1,68 ≈ 3,7 2,30 1,25 1,54 1,37 2,37 2,22 3,03 2,59 ≈ 1,8 2,77 1,65 1,75

C Cm = –– , Cm = cM , dQ = Cmn dt , Q = Cmn Dt n Die molare Wärmekapazität aller chemisch einfachen, festen kristallinen Stoffe beträgt Cm ≈ 6R/2 ≈ 25 J K–1 mol–1 (Regel von Dulong und Petit).

●

Spezifische und volumenbezogene Wärmekapazität von Flüssigkeiten bei 20°C Flüssigkeit Aminobenzol (Anilin, Aminobenzen) Benzen (Benzol) Brom

c –––––––––– kJ kg–1 K–1 2,05 1,72 0,46

CV ––––––––––– MJ m–3 K–1 2,10 1,52 1,44

123

4.4 Wärmemenge

Stoff

c –––––––––– kJ kg–1 K–1

Bromethan (Ethylbromid) 0,88 Butanol (Butylalkohol) 2,43 Chlorbenzol (Chlorbenzen) 1,33 Cyanwasserstoff 2,63 Diethylether 2,31 Ethanal (Acetaldehyd) 1,41 Ethanol 2,43 Ethansäure (Essigsäure) 2,05 Ethansäureethylester 1,97 Ethansäuremethylester 2,14 Ethylacetat 1,92 Heptan 2,20 Hexan, n2,25 Kohlenstoffdisulfid (Schwefelkohlenstoff) 1,00 Methanol 2,49 Methansäure (Ameisensäure) 2,15 Methylacetat 2,14 Methylbenzol (Toluol, Toluen) 1,69 Nitrobenzol (Nitrobenzen) 1,47 Olivenöl 1,97 Pentan 2,26 Pentanol (Amylalkohol) 2,24 Petroleum 2,10 Propanol 2,49 Propanon (Aceton) 2,16 Propantriol (Glyzerin, Glycerol) 2,39 Pyridin 1,72 Rizinusöl 1,80 Quecksilber 0,14 Salpetersäure 1,72 Schwefelsäure 1,38 Siliconöl NM 15 1,63 Terpentinöl 1,70 Tetrachlormethan 0,86 Tetrahydronaphthalin (Tetralin, Tetrahydronaphthalen) 1,67 Tribrommethan (Bromoform) 0,54 Trichlorethen 0,96 Trichlormethan (Chloroform) 0,96 Wasser 4,18 Xylol 1,73

CV –––––––––– – MJ m–3 K–1 1,28 1,95 1,47 1,81 1,65 1,11 1,92 2,15 1,78 2,01

1,24 1,26 1,98 2,62 1,46 1,77 1,80 1,40 1,81 1,79 1,96 1,71 3,01 1,69 1,73 1,88 2,60 2,53 1,48 1,37 1,62 1,56 1,42 1,43 4,17 1,52

T

124

4 Thermodynamik

Spezifische Wärmekapazitäten der Gase cp cV k ●

spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck J kg–1 K–1 spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen J kg–1 K–1 Adiabatenexponent (Isentropenexponent) 1 cp k = ––– cV

Spezifische Wärmekapazitäten der Gase bei 20 °C und 101,325 kPa Gas

cp –––––––––– kJ kg–1 K–1

cV ––––––––––– kJ kg–1 K–1

k

Ammoniak Argon Chlor Chlorethan Chlormethan Chlorwasserstoff Ethan Ethen (Ethylen) Ethin (Acetylen) Helium Iodwasserstoff Kohlenstoffdioxid Kohlenstoffmonooxid Luft Methan Neon Ozon Sauerstoff Schwefeldioxid Schwefelwasserstoff Stickstoff Stickstoff(I)-oxid Stickstoff(II)-oxid Wasserstoff

2,160 0,523 0,745 1,151 0,762 0,803 1,729 1,549 1,683 5,23 0,226 0,837 1,042 1,005 2,219 1,030 0,795 0,917 0,640 1,047 1,038 0,883 0,996 14,32

1,655 0,317 0,552 0,967 0,593 0,578 1,455 1,249 1,368 3,209 0,161 0,647 0,744 0,717 1,696 0,628 0,568 0,657 0,504 0,799 0,741 0,690 0,717 10,19

1,305 1,648 1,35 1,19 1,285 1,39 1,188 1,24 1,23 1,63 1,40 1,293 1,40 1,402 1,308 1,64 1,40 1,398 1,27 1,31 1,401 1,28 1,39 1,408

Die spezifische Wärmekapazität hängt von der Temperatur ab T2

Q = m ∫ c(T) dT T1

125

4.4 Wärmemenge

Spezifische Wärmekapazitäten cp wichtiger Gase in Abhängigkeit von der Temperatur cp ––––––– –––– kJ kg–1 K–1

t ––– °C

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 000 1 200 1 400 1 600 1 800

Luft

O2

N2

H2

CO

CO2

H2O

CH4

C2H2

1,005 1,009 1,026 1,047 1,068 1,093 1,114 1,135 1,156 1,168 1,185 1,210 1,227 1,243 1,256

0,913 0,934 0,963 0,996 1,026 1,051 1,076 1,089 1,101 1,114 1,122 1,143 1,156 1,172 1,189

1,038 1,047 1,055 1,068 1,093 1,118 1,139 1,164 1,181 1,202 1,214 1,243 1,260 1,277 1,290

14,24 14,44 14,53 14,57 14,61 14,70 14,78 14,95 15,11 15,32 15,53 15,99 16,37 16,79 17,08

1,038 1,047 1,059 1,080 1,105 1,130 1,160 1,181 1,202 1,218 1,231 1,256 1,273 1,290 1,298

0,826 0,921 0,996 1,068 1,122 1,164 1,202 1,231 1,255 1,277 1,294 1,319 1,340 1,357 1,365

1,855 1,880 1,934 1,989 2,056 2,119 2,186 2,257 2,328 2,395 2,458 2,575 2,675 2,759 2,830

2,156 2,453 2,797 3,174 3,500 3,815 4,086 4,333 4,551 4,760 4,945

1,629 1,892 2,089 2,206 2,315 2,412 2,500 2,579 2,650 2,717 2,776

Ermittlung von cV : Luft: O2: N2 und CO: H2: CO2: CH4: H2O: C2H2:

cV = cp – 0,289 kJ kg–1 K–1; cV = cp – 0,260 kJ kg–1 K–1; cV = cp – 0,297 kJ kg–1 K–1; cV = cp – 4,124 kJ kg–1 K–1; cV = cp – 0,188 kJ kg–1 K–1; cV = cp – 0,519 kJ kg–1 K–1; cV = cp – 0,461 kJ kg–1 K–1; cV = cp – 0,318 kJ kg–1 K–1

Molare Wärmekapazitäten der Gase Cp CV Cmp CmV cp cV

Wärmekapazität bei konstantem Druck Wärmekapazität bei konstantem Volumen molare Wärmekapazität bei konstantem Druck molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen

J K–1 J K–1 J K–1 mol–1 J K–1 mol–1 J kg–1 K–1 J kg–1 K–1

T

126 k M n R ●

●

4 Thermodynamik

Adiabatenexponent molare Masse Stoffmenge Gaskonstante (molare Gaskonstante) Cp Cmp = ––– , n Cmp cp = –––– , M R = Cmp – CmV ,

1 kg mol–1 mol J K–1 mol–1

CV Cmp CmV = –––– , k = ––––– n CmV CmV cV = ––––– M R = M (cp – cV)

Molare Wärmekapazitäten der Gase bei 0 °C und 101,325 kPa Gas

M ––––––– g mol–1

Cmp ––––––––––– J K–1 mol–1

CmV –––––––––– – J K–1 mol–1

Ammoniak Argon Chlor Chlormethan Chlorwasserstoff Ethan Ethen (Ethylen) Ethin (Acetylen) Helium Iodwasserstoff Kohlenstoffdioxid Kohlenstoffmonooxid Luft Methan Neon Sauerstoff Schwefeldioxid Schwefelwasserstoff Stickstoff Stickstoff(I)-oxid Stickstoff(II)-oxid Wasserstoff

17,031 39,948 70,906 50,488 36,461 30,070 28,054 26,038 4,003 127,912 44,010 28,011 28,96 16,043 20,183 31,999 64,063 34,080 28,013 44,013 30,006 2,016

34,86 20,91 33,25 37,20 29,16 51,99 41,81 42,41 20,97 29,45 36,12 29,20 29,24 34,52 20,79 29,20 38,89 37,66 29,09 39,25 29,90 28,70

26,52 12,71 24,94 28,96 20,76 43,68 33,47 33,80 12,65 20,89 27,83 20,88 20,83 26,19 12,51 20,90 30,58 29,39 20,76 30,96 21,61 20,38

Volumenbezogene Wärmekapazitäten der Gase Cp CVp

Wärmekapazität bei konstantem Druck volumenbezogene Wärmekapazität bei konstantem Druck

J K–1 J m–3 K–1

127

4.4 Wärmemenge

V CV CVV Cmp CmV Vm0 R

Volumen m3 Wärmekapazität bei konstantem Volumen J K–1 volumenbezogene Wärmekapazität bei konstantem Volumen J m–3 K–1 molare Wärmekapazität bei konstantem Druck J K–1 mol–1 molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen J K–1 mol–1 molares Normvolumen m3 mol–1 Gaskonstante (molare Gaskonstante) J K–1 mol–1 Cp Cmp CV CmV CVp = ––– , CVp = –––– , CVV = –––– , CVV = ––––– V Vm0 V Vm0 R = Vm0 (CVp – CVV)

Volumenbezogene Wärmekapazitäten der Gase bei 0 °C und 101,325 kPa Gas

CVp –––––––––– kJ m–3 K–1

CVV –––––––––– – kJ m–3 K–1

Ammoniak Argon Chlor Chlormethan Chlorwasserstoff Ethan Ethen (Ethylen) Ethin (Acetylen) Helium Iodwasserstoff Kohlenstoffdioxid Kohlenstoffmonooxid Luft Methan Neon Sauerstoff Schwefeldioxid Schwefelwasserstoff Stickstoff Stickstoff(I)-oxid Stickstoff(II)-oxid Wasserstoff

1,56 0,93 1,48 1,66 1,30 2,32 1,86 1,89 0,93 1,31 1,61 1,30 1,30 1,54 0,93 1,30 1,74 1,68 1,30 1,75 1,33 1,28

1,18 0,57 1,11 1,29 0,93 1,95 1,49 1,51 0,56 0,93 1,24 0,93 0,93 1,17 0,56 0,93 1,36 1,31 0,93 1,38 0,96 0,91

Mischungstemperatur c1 spezifische Wärmekapazität m1 Masse t1 Temperatur

}

des Körpers 1

{

J kg–1 K–1 kg °C

T

128

4 Thermodynamik

spezifische Wärmekapazität J kg–1 K–1 Masse des Körpers 2 kg Temperatur °C Mischungstemperatur °C Die vom Körper höherer Temperatur abgegebene Wärmemenge ist gleich der vom Körper tieferer Temperatur aufgenommenen Wärmemenge (wenn keine Wärmeverluste auftreten): Qab = Qauf c1m1t1 + c2 m2t2 ● c1m1 (t1 – tm) = c2 m2 (tm – t2) , tm = ––––––––––––– c1m1 + c2 m2 Mischungstemperatur bei n Körpern

}

c2 m2 t2 tm ●

{

n

∑ ci miti

i =1

tm = ––––––– n

∑ ci mi

i =1

Heizwert und Brennwert Q beim Verbrennen eines Heizstoffs frei werdende Wärme(menge) m Masse H spezifischer Heizwert H′ Heizwert (gasförmiger Brennstoffe) V Volumen (im Normzustand) eines gasförmigen Brennstoffs Hu spezifischer Heizwert: durch Oxidation des Wasserstoffs gebildetes Wasser liegt dampfförmig vor Ho spezifischer Brennwert: durch Oxidation des Wasserstoffs gebildetes Wasser liegt flüssig vor ● Q = Hm, Q = H′V

J kg J kg–1 J m–3 m3 J kg–1 J kg–1

Spezifischer Heizwert fester und flüssiger Brennstoffe (Durchschnittswerte) Brennstoff

Hu –––––––– MJ kg–1

Brennstoff

Hu –––––––– MJ kg–1

Anthrazit Braunkohle Braunkohlenbriketts Holz Magerkohle Steinkohle Torf Zechenkoks

32 12 20 12 33 30 15 30

Benzin, Dieselöl Benzol (Benzen) Erdöl, Gasöl Ethanol Methanol Naphthalin (Naphthalen) Paraffinöl, Petroleum Steinkohlenteer

42 40 42 27 20 39 42 36

129

4.5 Wärmeübertragung

Spezifischer Heizwert gasförmiger Brennstoffe Brennstoff

H′u –––––––– MJ m–3

Ammoniak 14 Butan 124 Ethan 64 Ethen 60 Ethin 57 Kohlenstoffmonooxid 13

4.5

Brennstoff

H′u –––––––– MJ m–3

Methan Propan Propen Schwefelwasserstoff Stadtgas Wasserstoff

36 94 88 24 20 11

T

Wärmeübertragung

Wärmeleitung Q A l da di DT T t l Rthl 1/L = RD F q

transportierte Wärmemenge Querschnittsfläche des Wärmestromes Länge (Wanddicke) Außendurchmesser Innendurchmesser Temperaturdifferenz zwischen den Wandflächen Temperatur Zeit Wärmeleitfähigkeit Wärme(leit)widerstand Wärmedurchlasswiderstand (Bauwesen) Wärmestrom Wärmestromdichte

J m2 m m m K K s W m–1 K–1 K W–1 m2 K W–1 W W m–2

Differenzialgleichung der Wärmeleitung ∂Q d –––– = – l grad T dA ∂t Im stationären Zustand gilt für Körper von der Länge l und überall gleichem Querschnitt A At DT ● Q = l ––––––– l Wärmestrom und Wärmestromdichte dQ Q dF F –– , –– , ● F = –– F = –– , q = –– q = –– dt t dA A Wärme(leit)widerstand und Wärmedurchlasswiderstand einer ebenen Wand 1 l DT 1 l A DT –– = RD = –– , F = –––– , F = –––––– ● Rthl = –– –– , l A Rthl L l 1/L

●

( )

130

4 Thermodynamik

Im Bauwesen wird l/l Wärmedurchlasswiderstand genannt. Wärmeleitwiderstand bzw. Wärmedurchlasswiderstand einer ebenen mehrschichtigen Wand j =n j =n l j =n l j j 1 1 –– = RD = ∑ ––– Rthl = ∑ Rthlj = –– ∑ ––– , A j =1 lj L j =1 j =1 lj

()

()

Wärmestrom durch eine dreischichtige ebene Wand (s. Bild) Ta – Ti F = A ––––––––––– l1 l2 l3 –– + –– + –– l1 l2 l3 Temperaturunterschiede zwischen den Grenzflächen Ta – T1 Rthl1 RD1 –––––– = ––––– = –––– , RD Ta – Ti Rthl

T1 – T2 Rthl2 RD2 –––––– = ––––– = –––– , Ta – Ti Rthl RD

T2 – Ti Rthl3 RD3 –––––– = ––––– = –––– Ta – Ti Rthl RD Wärmestrom durch die Wand eines Rohres 2pl DT F = l –––––– da ln –– di l ist die Rohrlänge.

T

T

λ1 λ2

λ3 ∆T

Ta T1 T2 Ti

1

2

α

3

Wärmeleitfähigkeit bei 20 °C und 300 °C Stoff

20 °C 300 °C l l ––––––––– ––––––––– W m–1 K–1 W m–1 K–1

Aluminium 230 Antimon 17,5 Argon 0,017 Asbest 0,7

230

Stoff

Asbestwolle Beton Blei Bronze

20 °C 300 °C l l ––––––––– ––––––––– W m–1 K–1 W m–1 K–1 0,156 0,14 … 2,1 34,8 30 42

131


Stoff

20 °C 300 °C l l ––––––––– ––––––––– W m–1 K–1 W m–1 K–1

Cobalt 70 0,016 CO2 Eisen 60 … 80 56 Gipsplatten 0,2 … 0,6 Glas Jena 16 III 1,00 Jena 59 III 1,17 Quarz1,34 Rasotherm 1,12 Glaswolle 0,042 0,097 Glimmer 0,5 Gold 312 305 Granit ≈ 2,9 Gummi 0,15 Helium 0,15 Hochlochziegel 0,1 … 0,2 Holz 0,14 … 0,21 Invar 12 Kalkspat 5 Kork 0,036 Kupfer 384 369 Leder 0,15 Luft ≈ 0,025 Magnesia 0,041 Magnesium 171 135 Messing 112 148 Mineralwolleplatten 0,030 … 0,040 Molybdän 132 120 Nickel 81 63 Papier 0,12 … 0,35 Paraffin 0,26 Petroleum 0,15 Temperaturleitfähigkeit T, t → Benutzungshinweise c spezifische Wärmekapazität r Dichte l Wärmeleitfähigkeit

Stoff

20 °C 300 °C l l ––––––––– ––––––––– W m–1 K–1 W m–1 K–1

Phenolharz 0,16 Platin 70 73 Polyamide 0,34 Polystyrol 0,15 … 0,16 Polystyrolplatten 0,030 … 0,045 Polyvinylchlorid 0,16 Porzellan ≈ 1,4 ≈ 1,6 Quarz 13 Quecksilber 8 13 Rhodium 84 Sand, trocken 0,33 Sandstein ≈ 1,9 Sauerstoff 0,026 Schamotte ≈ 1,0 ≈ 0,59 Schilf 0,040 … 0,060 Silber 428 407 Stahl 47 47 Stahlbeton ≈ 1,8 Stickstoff 0,025 Terpentin 0,14 Torfmull ≈ 0,07 Vulkanfiber 0,30 Wärmedämmstoffe 0,03 … 0,09 Wasser 0,60 0,665 Wasserstoff 0,14 Watte ≈ 0,035 Wolfram 177 142 0,035…0,05 Wolle Ziegel 0,16 …1,3 ≈ 0,58 Zink 112 102 Zinn 65 58

J kg–1 K–1 kg m–3 W m–1 K–1

T

132

4 Thermodynamik

m2 s–1 m–2

Temperaturleitfähigkeit Laplace-Operator ∂T l ––– = a DT, a = ––– ∂t cr

a D ●

Temperaturleitfähigkeit einiger Metalle bei 20 °C Metall

a –––––– –––– 10–6 m2 s–1

Metall

a –––––––––– 10–6 m2 s–1

Aluminium Blei Eisen, Stahl Gold Kupfer Molybdän

95 24 18 … 23 125 112 52

Nickel Platin Silber Wolfram Zink Zinn

20 25 174 68 41 39

Wärmeübergang Q übergehende Wärmemenge J A Übergangsfläche m2 DT Temperaturdifferenz (Wandoberfläche – Gas, Flüssigkeit) K t Zeit s a Wärmeübergangskoeffizient Wm–2 K–1 Rtha Wärme(übergangs)widerstand K W–1 F Wärmestrom W √ Strömungsgeschwindigkeit m s–1 q Wärmestromdichte W m–2 1 DT ● Q = aAt DT, Rtha = –––– , F = ––––– , q = a DT aA Rtha Im Bauwesen wird Rü = 1/a Wärmeübergangswiderstand genannt. Beispiele für Wärmeübergangskoeffizienten (Richtwerte) Kombination Wasser um Rohre (Rohr → Wasser) Wasser, ruhend Wasser, bewegt Wasser, gerührt siedendes Wasser an Metallflächen siedendes Wasser in Rohren Luft, Gase an glatten Flächen (√ < 5 m/s)

a –––––– –––– W m–2 K–1 350 …

600

600 + 2 100 2300 … 4 700 3500 … 6 000 7000 … 14 000 6+4

√

––– m/s

√ ––– m/s

133


a –––––– –––– W m–2 K–1

Kombination kondensierender Wasserdampf Innenseite geschlossener Räume Wandflächen, Innenfenster Fußböden und Decken von unten nach oben von oben nach unten Außenfenster Außenseite geschlossener Räume

12000 ≈8 ≈8 ≈6 ≈ 12 ≈ 23

T

Wärmedurchgang Q DT t l A F l Rthl a Rtha k, U Rthk RU di da q

Wärmemenge Temperaturdifferenz Zeit Länge (Wanddicke) (s. Bild) Querschnittsfläche Wärmestrom Wärmeleitfähigkeit Wärme(leit)widerstand Wärmeübergangskoeffizient Wärme(übergangs)widerstand Wärmedurchgangskoeffizient Wärme(durchgangs)widerstand Wärmedurchgangswiderstand (Bauwesen) Innendurchmesser Außendurchmesser Wärmestromdichte

●

Q = kAt DT,

1 Rthk = –––– , kA

Einschichtige Wand

J K s m m2 W W m–1 K–1 K W–1 W m–2 K–1 K W–1 W m–2 K–1 K W–1 m2 K W–1 m m W m–2

DT F = ––––– , Rthk

q = k DT T

α1

1 1 1 l –– = –– + –– + –– k a1 a2 l 1 1 1 Falls –– –– + –– , dann gilt l a1 a2 a1a2 k ≈ ––––––– a1 + a2

∆T

Rthk = Rtha1 + Rtha2 + Rthl

λ

α2

134

4 Thermodynamik

Mehrschichtige Wand n

Rthk = Rtha1 + Rtha2 + ∑ Rthlv v =1

1 1 1 – = –– + –– + k a1 a2

●

n

∑

v =1

lv ––– lv

Im Bauwesen wird der Wärmedurchgangskoeffizient mit U bezeichnet. 1 RU = –– heißt Wärmedurchgangswiderstand. Die WärmeübergangswiderU 1 stände erhalten im Innenraum das Symbol R ai = –– und im Außenraum ai 1 R ae = –– , die Wanddicken bezeichnet man mit s oder d. ae T

RU = Rai + Rae + RD

α1 λ1 λ2

αa

λ3 α2

∆T

T

α i λ1 λ 2

1

2

di 2

3

d1 2

n

RD =

s ∑ ––v Wärmedurchlasswiderstand

v =1

lv

da 2

Zweischichtiges Rohr ●

1 Rthk = –– pl

(

da d1 ln –– ln –– d1 di 1 1 –––– + ––––– + ––––– + ––––– ai di 2 l1 2l2 aa d a

)

Falls die Wärme(leit)widerstände vernachlässigbar klein gegen die Wärme(übergangs)widerstände sind, gilt

(

1 1 1 Rthk ≈ –– –––– + ––––– pl ai di aa d a

)

ai aa d i d a F = pl –––––––––– DT ai d i + aa d a

135

4.6 Erster Hauptsatz der Thermodynamik

4.6

Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Definition der inneren Energie des idealen Gases m, T → Benutzungshinweise U innere Energie spezifische Wärmekapazität bei cV konstantem Volumen u spezifische innere Energie ●

dU = cV m dT,

J J kg–1 K–1 J kg–1 U u = –– , m

U = cV mT ,

u = cVT

T

Äußere Arbeit (Volumenänderungsarbeit) V, p → Benutzungshinweise W äußere Arbeit (Ausdehnungsarbeit)

J

V2

●

dW = –p dV,

W = – ∫ p dV V1

V2 > V1: W < 0 (Expansion) V2 > V1: W > 0 (Kompression) Formulierung des ersten Hauptsatzes V, p → Q W U

Benutzungshinweise zugeführte Wärme(menge) abgegebene mechanische Arbeit innere Energie

●

dU = dQ + dW,

DU = Q + W

●

dU = dQ – p dV,

DU = Q –

J J J

V2

∫ p dV

V1

●

Die Änderung der inneren Energie U eines Körpers ist gleich der Summe der zugeführten Wärme Q und der verrichteten äußeren Arbeit W.

Vorzeichenregel: Zugeführte Wärme, dem System zugeführte Arbeit und Zunahme der inneren Energie sind positiv. Abgegebene Wärme, vom System verrichtete Arbeit und Abnahme der inneren Energie sind negativ.

136

4 Thermodynamik

Definition der Entropie des idealen Gases m, V, p, T → Benutzungshinweise S Entropie J K–1 Q Wärme(menge) (reversibel zugeführt) J U innere Energie J spezifische Wärmekapazität bei cV konstantem Volumen J kg–1 K–1 R Gaskonstante (molare Gaskonstante) J K–1 mol–1 s spezifische Entropie J kg–1 K–1 M molare Masse kg mol–1 dQ dU + p dV S ● dS = ––– , dS = –––––––––– , s = –– T T m dT m dV  ● dS = cV m ––– + –– R –––  T M V  gültig für das ideale Gas V2 T2 m DS = cV m ln –– + –– R ln –––  T1 M V1  Definition der Enthalpie m, V, p, T → Benutzungshinweise H Enthalpie U innere Energie spezifische Wärmekapazität bei cp konstantem Druck h spezifische Enthalpie ●

H = U + pV,

J J J kg–1 K–1 J kg–1

H h = –– m

Für das ideale Gas gilt ●

H = cp mT ,

h = cp T

1. Hauptsatz p2

●

dH = dQ + V dp ,

DH = Q + ∫ V dp p1

4.7

Zustandsänderungen des idealen Gases

Isotherme Zustandsänderung m, V, p, T → Benutzungshinweise R Gaskonstante (molare Gaskonstante)

J K–1 mol–1

137

4.7 Zustandsänderungen des idealen Gases

M Q U W S

kg mol–1 J J J J K–1

molare Masse Wärme(menge), -(energie) innere Energie mechanische Arbeit Entropie

Kennzeichen der isothermen Zustandsänderung ●

T = const,

dT = 0,

p

dU = 0

1. Hauptsatz ●

dQ = –dW,

Q = –W V

Zustandsgleichung ●

p1V1 = p2V2 (Gesetz von Boyle-Mariotte)

Wärme dQ = p dV ●

m dV dQ = –– RT ––– , M V

m V2 Q = –– RT ln ––– M V1

dQ = –V dp ●

m dp dQ = – –– RT ––– , M p

●

V2 Q = p1V1 ln –– , V1

m p1 Q = –– RT ln ––– M p2 p1 Q = p1V1 ln ––– p2

Arbeit ●

dW = – dQ ,

W = –Q

Entropieänderung ●

m dV dS = –– R –––– , M V m dp dS = – –– R ––– , M p

m V2 DS = –– R ln ––– M V1 m p1 DS = –– R ln ––– M p2

Isochore Zustandsänderung m, V, p, T → Benutzungshinweise cV spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen

J kg–1 K–1

T

138 Q U W S

4 Thermodynamik

Wärme(menge), -(energie) innere Energie mechanische Arbeit Entropie

J J J J K–1

Kennzeichen der isochoren Zustandsänderung ●

V = const ,

dV = 0 ,

dW = 0

p

1. Hauptsatz ●

dU = dQ ,

DU = Q V


p1 p2 –– = –– T 1 T2

(Gesetz von Gay-Lussac)

Wärme ●

dQ = cV m dT ,

Q = cV m (T2 – T1)

Arbeit ●

dW = 0 ,

W=0


dT dS = cV m –––– , T

T2 DS = cV m ln ––– T1

●

dp dS = cV m ––– , p

p2 DS = cV m ln ––– p1

Isobare Zustandsänderung m, V, p, T → Benutzungshinweise cp spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck R Gaskonstante (molare Gaskonstante) M molare Masse Q Wärme(menge), -(energie) U innere Energie W mechanische Arbeit S Entropie Kennzeichen der isobaren Zustandsänderung ●

p = const ,

dp = 0

J kg–1 K–1 J kg–1 mol–1 kg mol –1 J J J J K–1

139


1. Hauptsatz ●

dU = dQ + dW ,

DU = Q + W


V1 V2 –– = –– T1 T 2

p

(Gesetz von Gay-Lussac)

Wärme ●

V

dQ = cp m dT ,

Q = cp m (T2 – T1)

●

dW = – p dV ,

W = p (V1 – V2)

●

m dW = – –– R dT , M

m W = –– R (T1 – T2) M

Arbeit

T


dT –– , dS = cp m –– T

T2 DS = cp m ln –––– T1

●

dV –– , dS = cp m –– V

V2 DS = cp m ln –––– V1

Adiabatische (isentrope) Zustandsänderung m, V, p, T → Benutzungshinweise cV spezifische Wärmekapazität bei konstantem Vohlmen R Gaskonstante (molare Gaskonstante) M molare Masse k Adiabatenexponent (Isentropenexponent) Q Wärme(menge), -(energie) U innere Energie W mechanische Arbeit S Entropie Kennzeichen der adiabatischen Zustandsänderung ●

dQ = 0 ,

Q=0

1. Hauptsatz ●

dU = dW ,

Fortsetzung → S. 142

DU = W

J kg–1 K–1 J K–1 mol–1 kg mol–1 1 J J J J K–1

140

4 Thermodynamik

Zusammenfassende Übersicht über die Zustandsänderungen Zustandsänderung Exponent Kennzeichen

Isochore k→∞ dV = 0 dW = 0 dU = dQ T1 p1 –– = –– T 2 p2

Isobare k=0 dp = 0

Änderung der inneren Energie

DU = cV m (T2 – T1) DU = Q

DU = cV m (T2 – T1) DU = Q + W

Wärme(menge)

Q = cV m (T2 – T1) McV V Q = –––––– (p2 – p1) R

Q = cp m (T2 – T1) Mcp p Q = ––––– (V2 – V1) R

Arbeit

W=0

Entropieänderung

T2 DS = cV m ln –– T1 p2 DS = cV m ln –– p1

W = p (V1 – V2) m W = –– R (T1 – T2) M pV1 W = –––– (T1 – T2) T1 T2 DS = cp m ln –– T1 V2 DS = cp m ln –– V1

p, V-Diagramm

p

p

1. Hauptsatz Beziehungen zwischen den Zustandsgrößen p, V und T

dU = dQ + dW T1 V1 –– = –– T2 V2

V

T, S-Diagramm

T

V T

S

S

141


Isotherme k=1 dT = 0 dU = 0 dQ = –dW

Adiabate (Isentrope) k=k dQ = 0

Polytrope 1
dU = dW

dU = dQ + dW

p1 V2 –– = –– p2 V1

p1 V2 k –– = –– p2 V1 T1/T2 = (V2 /V1)k–1 k–1 k T /T = (p /p ) –––

()

p1 V2 –– = –– p2 V1

2

T1/T2 = (V2 /V1) k–1 k –1 T /T = (p /p ) ––– k

1

DU = 0

1

()

2

1

DU = cV m (T2 – T1) DU = W

m Q = –– RT ln V2/V1 M Q = p1V1 ln V2/V1 m Q = –– RT ln p1/p2 M Q = p1V1 ln p1/p2

k

2

1

2

DU = cV m (T2 – T1) DU = Q + W k–k Q = cV m ––––– (T2 – T1) k–1

Q=0

W = –Q

W = cV m (T2 – T1) mR W = –––––––– (T2 – T1) mR M (k – 1) W = –––––––– R (T2 – T1) M (k – 1)

m V2 DS = –– R ln –– M V1 m p1 DS = –– R ln –– M p2

DS = 0

p

k – k T2 DS = cV m ––––– ln –– k – 1 T1

p

V T

p

V T

S

V T

S

S

T

142

4 Thermodynamik

Poisson’sche Gleichungen (Zustandsgleichungen) ●

p1V 1k = p2V 2k ,

T1 V2 –– = –– T2 V1

k –1

()

,

–1 T1 p1 k–– – –– = –– k T2 p2

()

Wärme ●

p

dQ = 0 ,

Q=0

Arbeit ●

dW = cV m dT ,

●

mR dW = –––––––– dT , M (k – 1)

V

W = cV m (T2 – T1) mR W = –––––––– (T2 – T1) M (k – 1)


dS = 0 ,

DS = 0

Polytrope Zustandsänderung m, V, p, T → Benutzungshinweise cV spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen R Gaskonstante (molare Gaskonstante) M molare Masse k Adiabatenexponent (Isentropenexponent) k Polytropenexponent Q Wärme(menge), -(energie) U innere Energie W mechanische Arbeit S Entropie

J kg–1 K–1 J K–1 mol–1 kg mol–1 1 1 J J J J K–1

Kennzeichen der polytropen Zustandsänderung: 1 < k < k 1. Hauptsatz ●

dU = dQ + dW ,

DU = Q + W

Zustandsgleichungen ●

p1V 1k = p2V 2k

●

T1 V2 –– = –– T2 V1

●

k–1 T1 p1 –– – –– = –– k T2 p2

() ()

k–1

p

V

143

4.8 Carnot’scher Kreisprozess

Wärme ●

k–k dQ = cV m –––––– dT , k–1

k–k Q = cV m –––––– (T2 – T1) k–1

Arbeit ●

mR dW = ––––––– dT , M(k –1)

mR W = ––––––– (T2 – T1) M(k –1)


k – k dT –– –––– , dS = cV m –––– 1–k T

k–k T –– ln –––2 DS = cV m –––– k–1 T1

4.8

Carnot’scher Kreisprozess

T

m, V, T → Benutzungshinweise Q h R M

Wärme(menge), -(energie) thermodynamischer Wirkungsgrad Gaskonstante (molare Gaskonstante) molare Masse

J 1 J K–1 mol–1 kg mol–1

Der Carnot-Prozess besteht aus 4 Zustandsänderungen des idealen Gases: AB: BC: CD: DA:

isotherme Expansion bei der Temperatur T1 adiabatische Expansion (Temperatur fällt von T1 auf T2) isotherme Kompression bei der Temperatur T2 adiabatische Kompression (Temperatur steigt von T2 auf T1)

Zwischen den 4 verschiedenen Volumina besteht die Gleichung VC VD ––– = ––– VB VA Bei der Temperatur T1 aufgenommene Wärme (Q1 > 0) m VB Q1 = –– RT1 ln ––– M VA Bei der Temperatur T2 abgegebene Wärme (Q2 < 0) m VD Q2 = –– RT2 ln ––– M VC

p

A T1 D

p

B

A

W T2

T1

B

Q C

D V

T2

C S

144

4 Thermodynamik

Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses

T1 oberer Wärmebehälter

Q1 + Q2 |W | h = –––––––– = –––– Q1 Q1

Q1 >0

oder Wärme- W <0 kraftmaschine

T 1 – T2 h = –––––––– T1

Q2 <0 unterer Wärmebehälter T2

Linksläufiger Carnot-Prozess T1 T2 Q1 Q2 W e

höhere Temperatur tiefere Temperatur bei der Temperatur T1 abgegebene Wärme(menge) bei der Temperatur T2 aufgenommene Wärme(menge) mechanische Arbeit Leistungszahl

Leistungszahl der Kältemaschine T2 Q2 e K = ––– = –––––––– W T 1 – T2

| |

T1 Umgebung Q1 <0 Kälte- W >0 maschine Q2 >0 Kühlraum T2

K K J J J 1

Leistungszahl der Wärmepumpe Q1 T1 e W = ––– = –––––––– W T1 – T2 T1 Heizungsanlage Q1 <0 Wärme- W >0 pumpe Q2 >0 Umgebung (Fluss, See) T2

145

4.11 Änderungen des Aggregatzustandes

4.9

Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik

Die Entropie eines abgeschlossenen Systems kann niemals abnehmen. Sie wächst bei allen irreversiblen Vorgängen; bei reversiblen Vorgängen bleibt sie konstant. Oder: Es ist unmöglich, eine periodisch arbeitende Maschine zu konstruieren, die nichts weiter leistet, als einem Wärmebehälter Wärme zu entziehen und diese in mechanische Arbeit umzusetzen.

4.10

Exergie und Anergie

E Energie EE Exergie Anergie EA DS Entropieänderung Exergie ist vollständig umwandelbare Energie. Anergie ist nichtumwandelbare Energie. ●

J J J J K–1

T

E = EE + E A

1. Hauptsatz der Thermodynamik Bei allen Prozessen ist die Summe aus Exergie und Anergie konstant. 2. Hauptsatz der Thermodynamik Bei reversiblen Prozessen bleiben Exergie und Anergie konstant (DS = 0); bei irreversiblen Prozessen verwandelt sich Exergie in Anergie (DS > 0).

4.11

Änderungen des Aggregatzustandes

Schmelzpunkt und spezifische Schmelzwärme

m

Schmelzpunkt bei 101,325 kPa spezifische Schmelzwärme zum Schmelzen erforderliche Wärme (-energie) Masse

●

Q = qm

tsm q Q

°C J kg–1 J kg

Schmelzpunkt und spezifische Schmelzwärme Stoff

tsm ––– °C

q –––––– kJ kg–1

Aluminium Aluminiumoxid Aminobenzol (Anilin, Aminobenzen)

660 2050 – 6,1

397 1 100 113

146

4 Thermodynamik

Stoff

tsm ––– °C

Ammoniak Antimon Argon Arsen Barium Bariumchlorid Bariumoxid Benzen (Benzol) Beryllium Bismut Blei Bleioxid Bor Brom Bromwasserstoff Butan Cadmium Calcium Calciumoxid Cäsium Cer Chlor Chlorethan (Ethylchlorid) Chlormethan (Methylchlorid) Chlorwasserstoff Chrom Chromoxid Cobalt Diethylether Dimethylether 1,3-Dimethylbenzol (Xylol, Xylen, Dimethylbenzen) Eisen Eisenoxid Ethan Ethanol Ethansäure (Essigsäure) Ethansäureethylester Ethansäuremethylester Ethen (Ethylen) Ethin (Acetylen) Fluor

– 77,7 630,5 – 189,38 830 710 955 1923 5,53 1283 271,3 327,4 880 2 300 – 7,2 – 86,86 – 138,3 320,9 850 2 572 28,64 785 – 101 – 138,3 – 96,71 – 114,2 1 900 2 275 1492 – 116,3 – 141,5 – 47,8 1535 1370 – 183,3 –114,5 16,63 – 83,6 – 98 –169,2 – 80,8 –219,6

q –––––– kJ kg–1 359 166 56 116 128 1 390 52,2 23 42 67,8 29,3 56 216 16,4 92 90,4 56 280 272

109 277 93 108 192 107 105 96 37,7

147


Stoff

tsm ––– °C

Fluorwasserstoff Gallium Germanium Gold Iod Iodwasserstoff Iridium Kalium Kaliumchlorid Kaliumhydroxid Kohlensäuredichlorid (Phosgen) Kohlenstoff Kohlenstoffdioxid Kohlenstoffdisulfid Kohlenstoffmonooxid Krypton Kupfer Lithium Magnesium Magnesiumoxid Mangan Methan Methanol Methansäure (Ameisensäure) Methylbenzol (Toluol, Toluen) 3-Methylbutanol-(1) (Amylalkohol) 2-Methylpropanol-(1) (Butylalkohol) Molybdän Natrium Neon Nickel Nitrobenzol (Nitrobenzen) Osmium Ozon Palladium Pentan Phosphor Phosphorwasserstoff Platin Propan Propanol-(1) Propanon (Aceton)

– 83,37 29,78 959 1 063,0 113,6 – 50,8 2450 63,3 770 360 –126 3500 – 56,57 –111,6 – 205,07 –157,17 1 083 180 650 2800 1244 – 183 – 97,7 8,40 – 95,0 –117,2 –108 2620 97,8 – 248,6 1453 5,7 3045 –192,5 1555 –129,7 44,2 –133,8 1769,3 – 187,7 –126,2 – 94,86

q –––––– kJ kg–1 196,3 80,1 410 65,7 124 117 59,6 342

184 57,6 30,1 19,7 205 603 368 l017 266 58,6 92 276 72 125 290 113 16,7 303 94,2 147 162 116 21 111 80 86,5 98

T

148

4 Thermodynamik

Stoff

tsm ––– °C

Propantriol (Glyzerin, Glycerol) Pyridin Quecksilber Rhenium Rhodium Rubidium Ruthenium Sauerstoff Schwefel, rhombisch monoklin Schwefeldioxid Schwefelsäure Schwefelwasserstoff Selen Silber Silicium Stickstoff Stickstoff(I)-oxid Stickstoff(II)-oxid Tantal Tetrachlormethan Thallium Titan Tribrommethan (Bromoform) Trichlormethan (Chloroform) Vanadium Wasser schweres Wasserstoff schwerer Wolfram Xenon Zink Zinn Zirconium

18,4 – 41,6 – 38,87 3180 1960 38,7 2300 – 218,79 112,8 119 – 75,5 10,5 – 85,7 217,4 960,8 1420 – 210,0 – 90,81 –163,6 3000 – 23,0 303,5 1670 8,3 – 63,5 1890 0,00 3,802 – 259,2 – 254,6 3 380 –111,8 419,5 231,9 1855

Siedepunkt und spezifische Verdampfungswärme Schmelzpunkt bei 101,325 kPa tsd r spezifische Verdampfungswärme Q zum Sieden erforderliche Wärme(energie) m Masse

°C J kg–1 J kg

q –––––– kJ kg–1 201 105 11,8 178 218 25,7 193 13,8 39 42 116,8 109 69,5 68,6 104,5 164 25,8 148,6 77 174 21,3 20,6 324 46 75 452 333,7 317,8 59 192 17,6 111 59,6 219

149


●

Q = rm

Siedepunkt und spezifische Verdampfungswärme Stoff

tsd ––– °C

Aluminium 2450 Aluminiumoxid 2980 Aminobenzol (Anilin, Aminobenzen) 184,4 Ammoniak – 33,4 Antimon 1637 Argon – 185,88 Arsen 625 Barium 1637 Bariumchlorid 1560 Bariumoxid ≈ 2 000 Benzen (Benzol) 80,1 Beryllium 2480 Bismut 1560 Blei 1750 Bleioxid 1480 Brom 58,78 Bromwasserstoff – 66,72 Butan 0,5 Cadmium 765 Calcium 1487 Calciumoxid 2 850 Cäsium 685 Chlor – 34,1 Chlorethan (Ethylchlorid) 12,3 Chlormethan (Methylchlorid) – 23,76 Chlorwasserstoff – 85,0 Chrom 2 640 Cobalt 2880 Diethylether 34,5 Dichlordifluormethan (Fri-dohna 12) – 29,8 Dimethylether – 24,82 1,3-Dimethylbenzol (Xylol, Xylen, Dimethylbenzen) 139,1 Eisen 2735 Ethan – 88,6 Ethanol 78,33 Ethansäure (Essigsäure) 118,1 Ethansäureethylester 77,2 Ethansäuremethylester 57

r –––––– kJ kg–1 10 900 4 730 485 1 370 1 050 163 1 675 1100 1 210 2 470 394 32 600 725 8 600 960 183 218 385 890 3 750 496 290 382 428 443 6 700 6 500 384 167 467 343 6340 489 840 406 368 410

T

150

4 Thermodynamik

Stoff

tsd ––– °C

Ethen (Ethylen) Ethin (Acetylen) Fluor Fluorwasserstoff Gallium Gold Helium Iridium Iod Iodwasserstoff Kalium Kaliumchlorid Kaliumhydroxid Kohlensäuredichlorid (Phosgen) Kohlenstoff Kohlenstoffdioxid Kohlenstoffdisulfid Kohlenstoffmonooxid Krypton Kupfer Lithium Magnesium Mangan Methan Methanol Methansäure (Ameisensäure) Methylbenzol (Toluol, Toluen, Methylbenzen) 3-Methylbutanol-(1) (Amylalkohol) 2-Methylpropanol-(1) (Butylalkohol) Molybdän Monochlordifluormethan (Fri-dohna 22) Natrium Neon Nickel Nitrobenzol (Nitrobenzen) Ozon Pentan Phosphor Phosphorwasserstoff Platin Propan Propanol-(1)

– 103,8 – 84,03 – 188,1 19,51 2230 2700 – 268,9 4350 182,8 – 35,4 754 1 410 1 320 8,2 4300 – 78,45 46,3 – 191,55 – 153,4 2590 1330 1120 2090 – 161,5 64,6 100,8 110,62 132 108 4800 – 40,8 890 – 246,06 2 800 210,9 – 111,3 36,07 280 – 87,77 4 300 – 42,1 97,2

r –––––– kJ kg–1 483 687 172 375 3640 1 650 20,6 3 900 172 154 1 980 2 510 2 300 255 50 250 136,8 352 216 108 4 790 20 500 5420 4 190 510 1 100 432 364 502 616 5 610 234 91,2 6 480 397 316 360 430 2 290 426 750

151


Stoff

tsd ––– °C

Propanon (Aceton) Propantriol (Glyzerin, Glycerol) Pyridin Quecksilber Rubidium Sauerstoff Schwefel Schwefeldioxid Schwefelwasserstoff Silber Silicium Stickstoff Stickstoff(I)-oxid Stickstoff(II)-oxid Tantal Tetrachlormethan Thallium Trichlormethan (Chloroform) Trichlormonofluormethan (Fri-dohna 11) Trichlortrifluorethan (Fri-dohna 113) Wasser schweres Wasserstoff schwerer Wolfram Xenon Zink Zinn

56,25 290,5 115,4 356,58 700 – 182,97 444,6 – 10,02 – 60,2 2 200 2355 – 195,82 – 88,47 – 151,8 5400 76,6 1460 61,3 23,8 47,6 100,00 101,42 – 252,77 – 249,66 5 500 – 108,12 907 2690

Gefrierpunktserniedrigung m Masse des gelösten Stoffes relative Molekülmasse des gelösten Stoffes Mr mL Masse des Lösungsmittels DT Gefrierpunktserniedrigung K kryoskopische Konstante z Anzahl der Ionen, die bei der Dissoziation eines Moleküls entstehen a Dissoziationsgrad

r –––––– kJ kg–1 525 450 285 880 213 290 390 548 2 350 14 050 198 376 460 4 160 195 795 279 182 145 2 256 2 072 454 314 4 350 99,2 1 755 2 450

kg 1 kg K K 1 1

Die Gefrierpunktserniedrigung hängt nicht von der chemischen Natur des gelösten Stoffes ab, sondern nur von der molaren Konzentration und der Art des Lösungsmittels.

T

152

4 Thermodynamik

m DT = K ––––– Mr m L m DT = K ––––– [1 + (z – 1) a] Mr mL

(für Nichtelektrolyte) (für Elektrolyte)

Kryoskopische Konstanten für einige Lösungsmittel Lösungsmittel Ammoniak Aminobenzol (Aminobenzen) Benzen (Benzol) Brom Chlorwasserstoff Cyclohexanol Diethylether 1,3-Dimethylbenzol (-benzen) Ethansäure Fluorwasserstoff Iod Iodwasserstoff Kaliumchlorid Kampfer

K ––––– 103 K 1,32 5,87 5,12 8,31 4,98 38,2 1,79 4,3 3,9 1,31 20,4 20,26 25,2 40,0

Lösungsmittel

K ––––– 103 K

Kohlensäurediamid Menthol Methansäure Naphthalin (Naphthalen) Natronlauge Nitrobenzol (Nitrobenzen) Phenol Pyridin Salzsäure Schwefelsäure Schwefelwasserstoff Tetrachlormethan Tribrommethan Trichlormethan Wasser

21,5 12,4 2,77 6,9 20,8 8,1 7,10 4,97 4,98 6,17 3,83 29,8 14,4 4,90 1,86

Siedepunktserhöhung m Mr mL DT E z a

Masse des gelösten Stoffes relative Molekülmasse des gelösten Stoffes Masse des Lösungsmittels Siedepunktserhöhung ebullioskopische Konstante Anzahl der Ionen, die bei der Dissoziation eines Moleküls entstehen Dissoziationsgrad

kg 1 kg K K 1 1

Die Siedepunktserhöhung hängt nicht von der chemischen Natur des gelösten Stoffes ab, sondern nur von der molaren Konzentration und der Art des Lösungsmittels. m DT = E ––––– (für Nichtelektrolyte) Mr m L m DT = E ––––– [1 + (z – 1) a] (für Elektrolyte) Mr mL

153


Ebullioskopische Konstanten für einige Lösungsmittel Lösungsmittel Aminobenzol (Aminobenzen) Ammoniak Benzen (Benzol) Brom Chloroform Chlorwasserstoff Cyclohexan Diethylether Ethanol Ethansäure Fluorwasserstoff Iodwasserstoff Kampfer Kohlenstoffdisulfid

E ––––– 103 K 3,69 0,34 2,64 5,2 3,80 0,64 2,75 1,83 1,07 3,08 1,90 2,83 6,09 2,29

Lösungsmittel

E ––––– 103 K

Menthol 6,15 Methanol 0,84 Methansäure 2,4 Naphthalin (Naphthalen) 5,80 Nitrobenzol (Nitrobenzen) 5,27 Phenol 3,60 Propanon (Aceton) 1,69 Pyridin 2,69 Quecksilber 11,4 Schwefelsäure 5,33 Schwefelwasserstoff 0,63 Tetrachlormethan 5,07 Trichlormethan 3,80 Wasser 0,515

Druckabhängigkeit des Siedepunktes DT p y

Siedepunktserhöhung Druck Druckkoeffizient der Siedetemperatur

K Pa K Pa–1

DT = y (p – 101,325 kPa) Druckkoeffizienten der Siedetemperatur Flüssigkeit Aminobenzol (Aminobenzen) Benzol (Benzen) Diethylether 1,3-Dimethylbenzol (Xylol, Xylen, Dimethylbenzen) Ethanol Ethansäure Kohlenstoffdisulfid Methanol Methansäure

y ––––––– K kPa–1 0,38 0,32 0,28

0,37 0,26 0,32 0,32 0,26 0,30

Flüssigkeit Methylbenzol (Methylbenzen) Nitrobenzol (Nitrobenzen) Propanol Propanon (Aceton) Pyridin Quecksilber Tetrachlormethan Trichlormethan Wasser

y ––––––– K kPa–1 0,34 0,36 0,29 0,29 0,34 0,56 0,33 0,30 0,29

T

154

4 Thermodynamik

Abhängigkeit der Siedetemperatur des Wassers vom Druck p –––– kPa

tsd ––– °C

p –––– kPa

tsd ––– °C

p ––––– MPa

tsd ––– °C

91 92 93 94 95 96 97 98 99 99,5 100

97,01 97,32 97,62 97,91 98,20 98,49 98,78 99,07 99,35 99,49 99,63

100,5 101 101,325 102 102,5 103 103,5 104 105 106 107

99,77 99,91 100,00 100,18 100,32 100,46 100,59 100,73 101,00 101,27 101,53

0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 1,0 2,0 5,0 10,0

120,2 133,5 143,6 151,8 158,8 164,9 170,4 180,0 212,7 264,4 311,4

Dampfdruck p tsd

Dampfdruck Siedetemperatur

Pa K, °C

Abhängigkeit des Dampfdrucks von der Temperatur Flüssigkeit

tsd p ––– –––– °C kPa –––––––––––––––––––––––––––––––––––– 20 °C 40 °C 80 °C

Benzen (Benzol) Diethylether Ethanol Hexan Kohlenstoffdisulfid Methanol Pentan Propanol Propanon (Aceton) Tetrachlormethan Trichlormethan Wasser

80 34,5 78,4 71 46,3 64,5 36,1 97,2 56,2 76,7 61,2 100,00

Luftfeuchtigkeit f absolute Luftfeuchte fmax maximale absolute Luftfeuchte (Sättigungsmenge)

10,0 58,4 5,87 16,0 39,7 12,8 56,0 2,0 24,0 12,1 21,3 2,33

24,3 121,9 17,9 36,9 82,3 34,7 116,4 7,2 56,0 28,7 7,37

kg m–3 kg m–3

101,3 401,3 108,3 141,6 271,0 178,7 364,6 52,0 214,8 112,4 47,3

155

4.12 Reale Gase

mD VL p f t ●

Masse des in der Luft enthaltenen Wasserdampfes Luftvolumen Partialdruck des Wasserdampfes relative Luftfeuchte Celsius-Temperatur f p mD – f = –––– , f = –––––– , f = –– fmax ps VL

kg m3 Pa 1 °C

Sättigungsmenge und Sättigungsdruck des Wasserdampfes in der Luft t ––– °C

fmax ––––– g m–3

ps –––– kPa

t ––– °C

fmax ––––– g m–3

ps –––– kPa

– 20 – 16 – 12 – 10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,90 1,30 1,81 2,14 2,33 2,54 2,76 2,99 3,24 3,51 3,81 4,13 4,47 4,84 5,2 5,6 6,0 6,4 6,8 7,3 7,8 8,3 8,8

0,103 0,150 0,217 0,260 0,283 0,309 0,337 0,368 0,401 0,437 0,476 0,517 0,563 0,611 0,653 0,707 0,760 0,813 0,867 0,933 1,000 1,067 1,147

10 11 12 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 32 36 40

9,4 10,0 10,7 12,1 12,8 13,6 14,5 15,4 16,3 17,3 18,3 19,4 20,6 21,8 23,0 24,4 25,8 27,2 28,7 30,3 33,9 41,7 50,2

1,227 1,307 1,400 1,600 1,707 1,813 1,933 2,066 2,200 2,333 2,480 2,640 2,813 2,986 3,173 3,360 3,560 3,773 4,000 4,240 4,756 5,942 7,378

4.12

Reale Gase

Van-der-Waals’sche Zustandsgleichung m, V, p, T → Benutzungshinweise R Gaskonstante (molare Gaskonstante) n Stoffmenge

J K–1 mol –1 mol

T

156 M a b

4 Thermodynamik

molare Masse

}

●

van-der-Waals’sche Konstanten

kg mol–1 Pa m6 mol–2 m3 mol–1

n2 p + a –––2 (V – nb) = nRT V

( (

)

m2 p + a –––––– M 2V 2

)(

)

m m V – –– b = –– RT M M

nRT an2 abn3 V 3 – nb + ––––– V 2 + ––– V – –––– = 0 p p p

(

)

Van-der-Waals’sche Konstanten Stoff

a –––––––––––– – kPa m6 kmol–2

b ––––––––– m3 kmol–1

Ammoniak Argon Bromwasserstoff Butan Chlor Chlorethan Chlormethan Chlorwasserstoff Ethan Ethen Ethin Helium Kohlenstoffdioxid Kohlenstoffmonooxid Krypton Methan Neon Phosphorwasserstoff Propan Sauerstoff Schwefeldioxid Schwefelwasserstoff Stickstoff Stickstoff(I)-oxid Stickstoff(II)-oxid Wasserstoff Xenon

423 136 451 1 386 659 1173 758 372 546 459 445 3,43 365 148 235 228 21,5 476 93,7 138 687 449 136 383 145 24,8 417

0,0372 0,032 2 0,044 0 0,1162 0,056 0 0,090 8 0,0644 0,040 6 0,0641 0,057 9 0,050 8 0,0235 0,042 5 0,039 5 0,039 4 0,0427 0,0174 0,052 2 0,090 0 0,031 6 0,056 8 0,042 8 0,038 5 0,044 0 0,028 7 0,026 7 0,0512

157

4.12 Reale Gase

Kritische Daten der realen Gase pkr kritischer Druck Pa Tkr kritische Temperatur K tkr kritische Celsius-Temperatur °C Vkr kritisches Volumen m3 n Stoffmenge mol R Gaskonstante (molare Gaskonstante) J K–1 mol–1 M molare Masse kg mol–1 a Pa m6 mol–2 van-der-Waals’sche Konstanten b m3 mol–1 a 8a ● pkr = –––––2 , Tkr = –––––– , Vkr = 3nb 27b 27bR

}

T

Kritische Daten der realen Gase Gas bzw. Dampf

pkr –––– MPa

Tkr ––– K

tkr ––– °C

Ammoniak Argon Bromwasserstoff Butan Chlor Chlorethan (Ethylchlorid) Chlormethan (Methylchlorid) Chlorwasserstoff Diethylether Dichlordifluormethan (Fri-dohna 12) Dimethylether Ethan Ethanol Ethen (Ethylen) Ethin (Acetylen) Fluor Helium Kohlenstoffdioxid Kohlenstoffmonooxid Krypton Methan Methanol Monochlordifluormethan (Fri-dohna 22) Neon Phosphorwasserstoff Propan

11,30 4,90 8,53 3,80 7,70 5,27 6,67 8,31 3,63 4,01 5,37 4,98 6,38 5,07 6,26 5,59 0,23 7,38 3,50 5,49 4,64 7,95

405,6 150,86 363,1 425 417 460,4 416 324,7 466,8 384,7 400,1 305 516 282,4 309,09 144 5,20 304 133,1 209,40 190,9 513

132,4 – 122,29 89,9 152 144 187,2 143 51,5 193,6 111,5 126,9 32 243 9,25 35,94 – 129 – 267,95 31 – 140,1 – 63,75 – 82,3 240

4,93 2,65 6,47 4,26

369,2 44,4 325,1 370,0

96,0 – 228,75 51,9 96,8

158

4 Thermodynamik

Gas bzw. Dampf

pkr –––– MPa

Propanon (Aceton) Propen (Propylen) Sauerstoff Schwefeldioxid Schwefelwasserstoff Stickstoff Stickstoff(I)-oxid Stickstoff(II)-oxid Trichlormonofluormethan (Fri-dohna 11) Trichlortrifluorethan (Fri-dohna 113) Wasser Wasserstoff Xenon

Tkr ––– K

tkr ––– °C

4,72 4,62 5,08 7,88 9,01 3,39 7,27 6,54

508,8 364,91 154,77 430,7 373,53 126,3 309,58 180,3

235,6 91,76 – 118,38 157,5 100,38 – 146,9 36,43 – 92,9

4,37 3,41 22,12 1,30 5,90

471,2 487,3 647,4 33,24 289,74

198,0 214,1 374,2 – 239,91 16,59

Gleichung von Clausius und Clapeyron p, T, t → Benutzungshinweise R Gaskonstante (molare Gaskonstante) M molare Masse spezifisches Volumen der Flüssigkeit √′ √ ′′ spezifisches Volumen des gesättigten Dampfes h′ spezifische Enthalpie der Flüssigkeit h′′ spezifische Enthalpie des gesättigten Dampfes s′ spezifische Entropie der Flüssigkeit s′′ spezifische Entropie des gesättigten Dampfes r spezifische Verdampfungswärme u′ spezifische innere Energie der Flüssigkeit u′′ spezifische innere Energie des gesättigten Dampfes c spezifische Wärmekapazität Gleichung von Clausius und Clapeyron dp r r –––– = –––––––––––– ––– = s′′ – s′ ● T dT T (√ ′′ – √ ′) Für Wasser (flüssig) gilt bei t = 0 °C: u′ = 0 und h′ = 0. Ist t > 0 °C, folgt h′ = c (t – 0 °C), h′′ = h′ + r. Bei niedrigem Druck gilt R M

dp p

Mr dT R T

√ ′ √ ′′ und p√ ′′ = –– T , daher – – = ––– ––––2 Dampftafel → S. 160/161.

J K–1 mol–1 kg mol–1 m3 kg–1 m3 kg–1 J kg–1 J kg–1 J kg–1 K–1 J kg–1 K–1 J kg–1 J kg–1 J kg–1 J kg–1 K–1

159

4.13 Kinetische Theorie der Wärme Ausschnitt aus dem Mollier-(h,s)-Diagramm 7,5

8,0

8,4 4,0 973 K

1M Pa

7,1

Pa 8M P 6M a P 5M a 4 MPa P 3M a 2 M Pa Pa

Pa

3,8

6,7

10 M

6,3

50 M Pa 40 M 30 MPa 20 MPa Pa

5,9 100 M

5,4 4,0

3,8

3,6 3,4 Heißdampf

M Pa 0, 1

3,6 773 K

3,4 673 K

3,2 573 K

3,0

M

Pa

3,0

0, 05

spezifische Enthalpie h in MJ/kg

3,2

0,5 0,2 0,3 M MP M a Pa Pa

873 K

2,8

473 K

2,8

Sattdampf

2,6

Pa 373 K 1M

2,6

0

0,

x = 0,9

5

2,4

2,4

0,90

Nassdampf

2,2

0,85

0,80

2,0

0,7 5

0,7

1,8

2,2 2,0

Wasserdampf 1,8 bis 1273 K 5 und 100 MPa 1,6 5,9 6,3 6,7 7,1 7,5 8,0 8,4 spezifische Entropie s in kJ/(kg·K) 0

0,6

1,6 5,4

4.13

Kinetische Theorie der Wärme

Molare Größen, Avogadro-Konstante N Anzahl der Moleküle n Stoffmenge m Gesamtmasse µ Masse eines einzelnen Moleküls V Gesamtvolumen Vm molares Volumen √ spezifisches Volumen

1 mol kg kg m3 m3 mol–1 m3 kg–1

T

160

4 Thermodynamik

Dampftafel für Wasser und gesättigten Wasserdampf t ––– °C

p ––– kPa

√′ ––––––– – 3 dm kg–1

√′′ –––––– – 3 m kg–1

s′ –––––––––– kJ kg–1 K–1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100 120 140 160 180 200 250 300 350 374,2

0,611 0,872 1,23 1,70 2,34 3,17 4,24 5,62 7,37 9,58 12,33 19,92 31,16 47,36 70,11 101,325 198,5 361,4 618 1003 1555 3980 8590 16540 22110

1,0002 1,0000 1,0004 1,0010 1,0018 1,0030 1,0044 1,0061 1,0079 1,0099 1,0101 1,0171 1,0228 1,0290 1,0359 1,0435 1,0603 1,0798 1,1021 1,1275 1,1505 1,2512 1,4036 1,747 3,14

206,3 147,2 106,4 77,99 57,84 43,41 32,93 25,25 19,55 15,28 12,05 7,682 5,049 3,410 2,361 1,673 0,891 4 0,508 4 0,3068 0,1939 0,1273 0,05006 0,02163 0,008803 0,003 14

0 0,0762 0,1511 0,2244 0,2964 0,3668 0,4362 0,5045 0,5719 0,6381 0,7030 0,8307 0,9548 1,0748 1,1924 1,3067 1,526 9 1,737 5 1,941 4 2,138 2 2,328 7 2,791 3 3,251 9 3,774 4 4,38

Vm0 NA n0 M

molares Normvolumen Avogadro-Konstante Loschmidt-Konstante molare Masse

●

m M = –– , n V m

√ = –– ,

m3 mol–1 mol–1 m–3 kg mol–1

V Vm = –– n V M

m , √ = –––

N NA = –– n

NA = 6,02214129 · 1023 mol–1 m m = –– , N

M m = ––– NA

161

4.13 Kinetische Theorie der Wärme

s′′ –––––––––– kJ kg–1 K–1

h′ ––––––– MJ kg–1

h′′ ––––––– MJ kg–1

r ––––––– MJ kg–1

u′ ––––––– MJ kg–1

u′′ ––––––– MJ kg–1

9,1536 9,0230 8,8982 8,7797 8,6654 8,5561 8,4519 8,3514 8,2555 8,1634 8,0751 7,9093 7,7548 7,6108 7,4768 7,3524 7,1251 6,9245 6,7458 6,5821 6,4301 6,0704 5,6995 5,2054 4,4380

0 0,02106 0,04204 0,06297 0,08386 0,10475 0,12560 0,14650 0,16739 0,18824 0,20913 0,25096 0,29278 0,33473 0,37673 0,41885 0,50367 0,58825 0,67533 0,76283 0,85201 1,08522 1,34396 1,67011 2,1018

2,5004 2,5096 2,5188 2,5280 2,5372 2,5464 2,5556 2,5644 2,5736 2,5824 2,5916 2,6092 2,6264 2,6431 2,6590 2,6749 2,7047 2,7319 2,7562 2,7767 2,7926 2,8010 2,7470 2,5619 2,1018

2,5004 2,4886 2,4769 2,4652 2,4535 2,4417 2,4300 2,4175 2,4062 2,3940 2,3823 2,3584 2,3337 2,3082 2,2822 2,2563 2,2010 2,1432 2,0808 2,0139 1,9406 1,7158 1,4030 0,8918 0

0 0,010 6 0,042 35 0,062 97 0,084 99 0,104 75 0,125 60 0,146 50 0,167 30 0,188 23 0,209 13 0,250 96 0,292 74 0,334 69 0,376 64 0,418 76 0,503 25 0,588 25 0,674 49 0,761 58 0,850 34 1,080 19 1,3 31 8 1,614 2 2,043 2

2,3743 2,381 5 2,388 2 2,395 3 2,402 0 2,409 1 2,415 8 2,422 5 2,429 6 2,435 9 2,443 0 2,456 4 2,469 0 2,481 1 2,493 7 2,505 4 2,527 6 2,548 1 2,566 5 2,582 0 2,595 0 2,602 5 2,561 1 2,416 2 2,043 2

Für das ideale Gas unter Normbedingungen (t0 = 0,0 °C, p0 = 101325 Pa) gilt NA n0 = ––– Vm0

n0 = 2,6867805 · 1025 m–3 Vm0 = 22,413997 · 10–3 m3 mol–1

Gesetz von Boyle und Mariotte m, V, p → Benutzungshinweise –– √2 mittleres Geschwindigkeitsquadrat 1 –– ● pV = – m √2 3

m2 s–2

T

162

4 Thermodynamik

Wurzel aus dem mittleren Geschwindigkeitsquadrat –– √2 Wurzel aus dem mittleren Geschwindigkeitsquadrat m s–1 R Gaskonstante (molare Gaskonstante) J K–1 mol–1 T Temperatur K M molare Masse kg mol–1 ●

––

√2 =

R 3—T M

Wurzeln aus den mittleren Geschwindigkeitsquadraten –– √2 –––– – m s–1 –––––––––––––––––––––––––––––––––––– 200 K 273 K 300 K 400 K

Gas

Ammoniak Argon Chlor Ethin (Acetylen) Helium Kohlenstoffdioxid Kohlenstoffmonooxid Krypton Methan Neon Sauerstoff Stickstoff Wasserstoff Xenon

541 353 265 438 1116 337 422 244 558 497 395 422 1574 195

632 412 310 512 1304 394 493 285 652 581 461 493 1839 228

Mittlere kinetische Energie der Moleküle –– Ek mittlere kinetische Energie der Moleküle T Temperatur Avogadro-Konstante NA R Gaskonstante (molare Gaskonstante) k Boltzmann-Konstante ●

R k = ––– NA

k = 1,3806488 · 10–23 J K–1 –– 3 Ek = –– kT 2

●

663 432 324 536 1 367 413 517 299 683 609 484 517 1 928 239

J K mol–1 J K–1 mol–1 J K–1

765 499 375 619 1 578 477 597 345 789 703 559 597 2 226 276

163


Mittlere kinetische Energien der Moleküle –– –– T Ek Ek T –– –––––– –– ––– –– –21 K 10 J meV K 0 100 200

0 2,07 4,14

0 12,92 25,85

300 400 500

–– Ek –––––– 10–21 J

–– Ek ––––– meV

6,21 8,28 10,35

38,77 51,70 64,62

Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung dN ––– N

Anteil an der Gesamtzahl der Moleküle (Atome)

1

√

Geschwindigkeit

m s–1

d√ m T R k M

Geschwindigkeitsbereich Masse des einzelnen Moleküls Temperatur Gaskonstante (molare Gaskonstante) Boltzmann-Konstante molare Masse

m s–1 kg K J K–1 mol–1 J K–1 kg mol–1

√ˆ √¯

wahrscheinlichste Geschwindigkeit

m s–1

mittlerer Geschwindigkeitsbetrag

m s–1

––2

√

Wurzel aus dem mittleren

Geschwindigkeitsquadrat e

m s–1

Basis der natürlichen Logarithmen (e = 2,718 28 …) 0,42

vˆ = 244 m/s v = 274 m/s v 2 = 297 m/s

0,38

0,40 0,36

0,34

0,32

0,30

100 K

0,26 dN/N in % m/s dv

T

0,28 vˆ = 415 m/s v = 467 m/s v 2 = 506 m/s

0,22 0,18

290 K

0,14

vˆ = 689 m/s v = 776 m/s v 2 = 841 m/s

0,10

800 K

0,06

0,24 0,20 0,16 0,12 0,08 0,04

0,02 0

200

400

600

0 800 1000 1200 1400 1600 1800 v in m/s

164

4 Thermodynamik

Folgender Bruchteil dN/N der insgesamt vorhandenen Moleküle hat Geschwindigkeiten zwischen √ und √ + d√: ●

dN 4 √2 m ––– = ––– –––– N p 2kT

3/2

( )

√ˆ =

m√ – ––– e 2kT d √ 2

R 2 ––– T M

Wahrscheinlichste Geschwindigkeiten

√ˆ

Gas

–––– – m s–1 –––––––––––––––––––––––––––––––––––– 200 K 273 K 300 K 400 K


442 288 216 358 911 275 345 199 456 406 323 345 1285 159

516 336 252 418 1064 321 403 232 533 474 377 403 1501 186

541 353 265 438 1 116 337 422 244 558 497 395 422 1 574 195

Mittlerer Geschwindigkeitsbetrag

√¯ T R M

mittlerer Geschwindigkeitsbetrag Temperatur Gaskonstante (molare Gaskonstante) molare Masse

√¯ =

8RT –––– pM

m s–1 K J K–1 mol–1 kg mol–1

625 408 306 506 1 289 389 487 282 644 574 456 487 1 817 225

165


Mittlere Geschwindigkeitsbeträge

√¯

Gas

–––– – m s–1 –––––––––––––––––––––––––––––––––––– 200 K 273 K 300 K 400 K


498 325 244 404 1028 310 389 225 515 458 364 389 1450 179

582 380 286 472 1201 362 455 262 601 535 425 455 1694 210

611 398 299 494 1 259 380 476 275 630 561 446 476 1 776 220

705 460 345 570 1 454 439 550 318 727 648 515 550 2 051 254

Beziehungen zwischen den statistischen Mittelwerten der Geschwindigkeit

√ˆ √¯

––

√2

wahrscheinlichste Geschwindigkeit mittlerer Geschwindigkeitsbetrag

m s–1 m s–1

Wurzel aus dem mittleren Geschwindigkeitsquadrat

m s–1

2

√¯ = ––– √ˆ = 1,128 √ˆ , p

p

√ˆ = ––– √¯ = 0,886 √¯ , 2

––

√2 =

√¯ =

–– 8 –– —– √2 = 0,921 √2 3p

√ˆ =

–– 2 –– –– √2 = 0,816 √2 3

3p –– √¯ = 1,085 √¯ , 8

––

√2 =

3 –– √ˆ = 1,225 √ˆ 2

Stoßzahl und Stoßquerschnitt der Moleküle des idealen Gases p, T → Benutzungshinweise dN ––– Stoßzahl eines Moleküls dt As Stoßquerschnitt

s–1 m2

T

166 r r NA

√ R M

4 Thermodynamik

Radius der Moleküle Dichte Avogadro-Konstante Geschwindigkeit Gaskonstante (molare Gaskonstante) molare Masse

m kg m–3 mol–1 m s–1 J K–1 mol–1 kg mol–1

As = 4pr 2 dN NA ––– = 4p 2 r2 r ––– √, dt M

dN 4p 2 r2NA √p ––– = ––––––––––– dt RT

dN 4p 6 r2NA p ––– = –––––––––– – dt MRT Stoßzahlen bei 0 °C und 101,325 kPa Gas

dN/dt –––––– 109 s–1

Ammoniak Argon Chlor Helium Kohlenstoffdioxid Kohlenstoffmonooxid Krypton

14,02 6,06 10,69 6,91 9,37 7,78 5,50

Gas

dN/dt –––––– 109 s–1

Luft Methan Neon Sauerstoff Stickstoff Wasserstoff

Mittlere freie Weglänge p, T → Benutzungshinweise L mittlere freie Weglänge dN ––– Stoßzahl dt r Radius der Moleküle r Dichte NA Avogadro-Konstante k Boltzmann-Konstante h dynamische Viskosität √ Geschwindigkeit M molare Masse M kT L = ––––––––––– , L = ––––––––– , 4p 2 r2rNA 4p 2 r2p h L = –––––––– 0,499 √ r

m s–1 m kg m–3 mol–1 J K–1 Pa s m s–1 kg mol–1

√

L = –––––– , dN/dt

7,64 12,67 4,31 6,71 7,78 15,32

167


Mittlere freie Weglänge bei 0 °C und 101,325 kPa Gas

L ––– nm

Ammoniak Argon Chlor Helium Kohlenstoffdioxid Kohlenstoffmonooxid Krypton

41,5 62,7 26,8 173,9 38,6 58,5 47,7

Gas

Luft Methan Neon Sauerstoff Stickstoff Wasserstoff

m, T → Benutzungshinweise U innere Energie N Anzahl der Moleküle k Boltzmann-Konstante n Stoffmenge M molare Masse R Gaskonstante (molare Gaskonstante)

J 1 J K–1 mol kg mol–1 J K–1 mol–1

Für einatomige Gase gilt 3 U = –– nRT , 2

3 m U = –– –– RT , 2M

58,9 47,4 124,0 63,3 58,5 110,6

T

Innere Energie des idealen Gases

●

L ––– nm

3 U = –– NkT 2

Gleichverteilungssatz m, T → Benutzungshinweise kinetische Energie des Moleküls Ek U innere Energie des gesamten Körpers cV spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen cp spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck R Gaskonstante (molare Gaskonstante) k Boltzmann-Konstante n Stoffmenge M molare Masse Cmp molare Wärmekapazität bei konstantem Druck CmV molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen

J J J kg–1 K–1 J kg–1 K–1 J mol–1 K–1 J K–1 mol kg mol–1 J K–1 mol–1 J K–1 mol–1

168 f k

4 Thermodynamik

Anzahl der Freiheitsgrade 1 Adiabatenexponent (Isentropenexponent) 1 1 Ek = f –– kT 2

(Auf jeden Freiheitsgrad eines Moleküls entfällt im Mittel eine Energie 1 von –– kT) 2 ●

1 U = f –– nRT , 2

1 m U = f –– ––– RT 2 M

1 CmV = f –– R , 2

1 R cV = f –– ––– 2 M

(

)

1 Cmp = –– f + 1 R , 2

(

)

1 R cp = –– f + 1 ––– 2 M

Molare Wärmekapazität nach dem Gleichverteilungssatz Cmp –––––––––– J K–1 mol–1

k

5 –– R 2

20,8

1,67

20,8

7 –– R 2

29,1

1,40

24,9 *)

–

–

–

J K–1

k

Entropie thermodynamische Wahrscheinlichkeit des Zustandes Boltzmann-Konstante

●

S = k ln w

Art des Körpers

f

CmV

einatomiges ideales Gas

3

3 –– R 2

12,5

zweiatomiges ideales Gas

5

5 –– R 2 3R

feste Elemente 6

CmV –––––––––– J K–1 mol–1

Cmp

*) Regel von Dulong und Petit

Boltzmann-Gleichung S w

1 J K–1

5

Elektrik

5.1

Gleichstrom

Elektrische Stromstärke ● Die elektrische Stromstärke ist eine Basisgröße. Die Einheit ist das Ampere (A). Das Ampere ist die Stärke des zeitlich unveränderlichen elektrischen Stromes durch zwei geradlinige, parallele, unendlich lange Leiter mit der Permeabilitätszahl 1 und von vernachlässigbarem Querschnitt, die den Abstand 1 m haben und zwischen denen die durch den Strom elektrodynamisch hervorgerufene Kraft im leeren Raum je 1 m Länge der Doppelleitung 2 · 10–7 N beträgt. Elektrische Ladung und elektrische Spannung I, U → Benutzungshinweise Q elektrische Ladung (Elektrizitätsmenge) zugeführte Energie zur Ladungstrennung Ezu abgegebene Energie im Verbraucher (Widerstand) Eab t Zeit

C=As J J s

Ladung ●

t Q = ∫ I dt, 0

●

Q = It

dQ I = ––– dt bei konstanter elektrischer Stromstärke

Elektrische Spannung (Spannungsabfall) Eab ● U = ––– Q

Quellenspannung Ezu ● Uq = ––– Q

Elektrische Stromdichte J elektrische Stromdichte A m–2 t Zeit s A Querschnittsfläche des Leiters m2 dI DI ● J = ––– , J = ––– dA DA Bei konstanter elektrischer Stromstärke über den Leiterquerschnitt gilt I J = –– A

E

170

5 Elektrik

Die elektrische Stromdichte ist ein Vektor in der Bewegungsrichtung positiver Ladungsträger. Elektronentheoretische Deutung des elektrischen Stromes I elektrische Stromstärke A t Zeit s N Anzahl der Ladungsträger, die in der Zeit t durch den Leiterquerschnitt fließen 1 e Elementarladung C Elementarladung Ne I = –– e = 1,602 176 565 · 10–19 C t Die Elementarladung ist die kleinste in der Natur vorkommende elektrische Ladung. Sie ist die Ladung des Positrons und mit negativem Vorzeichen die Ladung des Elektrons. Elektrischer Widerstand U, I → Benutzungshinweise R elektrischer Widerstand r spezifischer elektrischer Widerstand l Länge des Leiters A Querschnittsfläche des Leiters g elektrische Leitfähigkeit G elektrischer Leitwert l Wärmeleitfähigkeit T Temperatur c Faktor im Wiedemann-Franz’schen Gesetz r1 Radius der äußeren Zylinderelektrode r2 Radius der inneren Zylinderelektrode

W Wm m m2 S m–1 = W–1 m–1 S = W–1 W m–1 K–1 K V2 K–2 m m

Definition des elektrischen Widerstandes U ● R = –– I Widerstand eines homogenen Leiters mit konstantem Querschnitt l ● R = r –– A Widerstand eines homogenen Stoffes zwischen zwei koaxialen Zylindern r r1 ● R = –––– ln ––– 2pl r2 Elektrische Leitfähigkeit 1 ● g = –– r

171

5.1 Gleichstrom

Elektrischer Leitwert 1 ● G = –– R Wiedemann-Franz’sches Gesetz Für T > 200 K gilt l = cTg c = (2,2 … 2,6) · 10–8 V2 K–2 für alle Metalle Spezifischer elektrischer Widerstand und elektrische Leitfähigkeit von Metallen bei 20 °C 1 W mm2 m–1 = 10–6 W m ;

1 S m mm–2 = 106 S m–1

Metall

r g Metall ––––––––– –––––––– W mm2 m–1 S m mm–2

Aluminium LeitungsBlei Chrom Cobalt Eisen Gold Iridium Kupfer LeitungsMagnesium

0,027 0,0286 0,21 0,13 0,056 0,098 0,022 0,046 0,017 2 0,0178 0,044

37 35 4,75 7,7 17,9 10,2 45,2 21,7 58,1 56,2 22,7

r g ––––––––– –––––––– W mm2 m–1 S m mm–2

Molybdän 0,054 Natrium 0,046 Nickel 0,087 Palladium 0,11 Platin 0,105 Quecksilber 0,96 Silber 0,016 3 Stahl ≈ 0,13 Wolfram 0,055 Zink 0,059 Zinn 0,115

18,5 21,7 11,5 9,1 9,52 1,04 62,5 ≈ 7,7 18,2 17 8,7

Spezifischer elektrischer Widerstand von Widerstandslegierungen und Kohle bei 20 °C Stoff

Zusammensetzung

Cronix (Chromnickel) 80 % Ni, 20 % Cr Cronifer 65 % Ni, 20 % Fe, 15 % Cr Eisen, spez. 97 % Fe, 2 % Si, 0,3 % Mn Konstantan 54 % Cu, 45 % Ni, 1 % Mn Manganin 86 % Cu, 2 % Ni, 12 % Mn Neusilber 60 % Cu, 17 % Ni, 23 % Zn Nickelin 54 % Cu, 26 % Ni, 20 % Zn ISA 13 97 % Ni, 2 % Mn, 1 % Al Bürstenkohle Kupferkohle

r g ––––––––– –––––––– W mm2 m–1 S m mm–2 1,12 1,13 0,35 0,50 0,43 0,3 0,43 0,125 40 … 100 0,12 … 45

0,89 0,88 2,86 2,0 2,32 3,33 2,32 8,0 0,01 … 0,025 0,022 … 8,34

E

172

5 Elektrik

Spezifischer elektrischer Widerstand von Elektrolyten (10 %ige Lösung) bei 20 °C (Es handelt sich um Masseprozente, die Salze sind wasserfrei gerechnet.) Lösung

r –––––––––––– 104 W mm2 m–1

Lösung

Salzsäure Schwefelsäure Natronlauge Natriumchloridlösung

1,5 2,5 3,1

Silbernitratlösung Kupfersulfatlösung

r ––––––––––––– 104 W mm2 m–1 21 30

7,9

Spezifischer elektrischer Widerstand von Isolierstoffen bei 20 °C (Richtwerte) Stoff

r –––– Wm

Stoff

r –––– Wm

Benzol (Benzen) Bernstein Buna (Neopren) Celluloid Ethoxylenharze Glas Glimmer Hartgummi Holz (trocken) Keramische Sondermassen Marmor Papier Paraffin Paraffinöl Petroleum Phenolharze Plexiglas

1015 … 1016 > 1016 ≈ 1015 2 · 1010 > 1016 1011 … 1012 1013 … 1015 1013 … 1016 109 … 1013

Polyethylen Polystyrol (Trolitul, Polystyren) Polytetrafluorethylen Polyvinylchlorid (Vinidur) Porzellan Quarz Quarzglas Schellack Schiefer Schwefel Siliconöl Siegellack Transformatorenöl Vaseline Wachs

1010 … 1013

1010 … 1013 107 … 109 1015 … 1016 1014 … 1016 1014 1010 … 1012 bis 1015 bis 1013

bis 1016 > 1016 bis 1013 bis 5 · 1012 1011 … 1012 1013 … 1015 ≈ 1014 ≈ 106 ≈ 1017 1012 … 1013 8 · 1013 1010 … 1013 1010 … 5 · 1013 ≈ 1012

Spezifischer elektrischer Widerstand von Wasser bei 20 °C Stoff

r –––– Wm

Stoff

r –––– Wm

Seewasser Flusswasser

≈ 0,3 10 … 100

destilliertes Wasser 104 … 4 · 104 reinstes Wasser im Vakuum 2,5 · 105

173

5.1 Gleichstrom

Elektrische Leitfähigkeit von Flüssigkeiten Flüssigkeit

t ––– °C

g ––––– S m–1

Ammoniak Benzol (Benzen) Diethylether (Ether) Ethanol Ethansäure (Essigsäure) Methanol Propanon (Aceton) Propantriol (Glyzerin, Glycerol) Salpetersäure Schwefelsäure Tetrachlormethan

18 20 25 0 0 18 20 25 18 18 18

≈ 10–5 ≈ 10–16 ≈ 4 · 10–11 ≈ 1,5 · 10–5 5 · 10 –7 4,4 · 10 –5 1,2 · 10 –5 4 · 10–7 1,5 1 4 · 10–16

Elektrische Leitfähigkeit von Halbleitern bei 20 °C (Die Zahlenangaben sind Richtwerte, es treten große Schwankungen je nach Zusammensetzung und Reinheitsgrad auf.) Halbleiter

g ––––– S m–1

Halbleiter

g –––––1 – Sm

CuI Cu2O CoO Ge Si

0,1 … 104 10–8 … 2 10–6 … 1 0,02 … 0,3 0,5 · 10–4 … 0,02

Fe2O3 UO2 ZnO TiO2 WO3

10–10 … 300 6 · 10–4 … 103 10–10 … 20 10–10 … 200 5,5 · 10–4 … 550

Belastbarkeit von Leitungen (Umgebungstemperatur 25 °C, Leitergrenztemperatur 60 °C) Die folgende Tabelle gilt für plast-, silicongummi- oder glasseidenisolierte Leitungen. A –––– mm2

Anzahl der betriebsmäßig stromführenden Adern

0,5 0,75 1 1,5 2,5

12 16 20 26 36

Kupfer Aluminium ––––––––––––––––––––––– ––––––––––––––––––––––– 1 2 3 1 2 3 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– I in A 10 13 17 22 31

9 12 15 20 27

– – – – 27

– – – – 23

– – – – 20

E

174

5 Elektrik

A –––– mm2

Anzahl der betriebsmäßig stromführenden Adern

4 6 10 16 25 35 50

50 63 86 117 155 192 240

Kupfer Aluminium ––––––––––––––––––––––– ––––––––––––––––––––––– 1 2 3 1 2 3 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– I in A 43 54 74 101 133 165 206

38 50 64 87 116 144 180

37 50 67 90 120 148 187

32 43 57 77 103 127 161

28 37 50 67 90 111 140

Bei anderen Umgebungstemperaturen müssen die angegebenen Stromstärken mit folgenden Faktoren multipliziert werden: Umgebungstemperatur in °C

Belastbarkeitsfaktor

Umgebungstemperatur in °C

Belastbarkeitsfaktor

10 15 20

1,19 1,13 1,07

30 40 50

0,93 0,74 0,51

Temperaturabhängigkeit des spezifischen elektrischen Widerstandes r1

Ausgangswert des spezifischen elektrischen Widerstandes spezifischer elektrischer Widerstand r2 bei der Temperatur t Dt Temperaturänderung a bzw. b Temperaturkoeffizienten R1 Ausgangswert des elektrischen Widerstandes R2 elektrischer Widerstand bei der Temperatur t ●

Wm Wm K K–1 bzw. K–2 W W

r2 = r1 [1 + a Dt + b (Dt)2]

Für kleine Temperaturdifferenzen gilt ●

r2 = r1 (1 + a Dt)

Da die Werte für den spezifischen elektrischen Widerstand bei 20 °C gegeben sind, verwendet man folgende zugeschnittene Größengleichung (r1 ist der spezifische elektrische Widerstand bei 20 °C): r2 r1 a t b t –––– = –––– 1 + ––– ––– – 20 + ––– ––– – 20 –1 Wm Wm K °C K–2 °C

[

(

)

(

2

)]

175

5.1 Gleichstrom

Für kleine Temperaturdifferenzen gilt r2 r1 a t –––– = –––– 1 + ––– ––– – 20 Wm Wm K–1 °C

[

(

)]

In den Gleichungen dieses Abschnittes kann r1 durch R1 und r2 durch R2 ersetzt werden. Temperaturkoeffizienten von Metallen bei 20 °C Metall

a ––– K–1

b ––––––– –6 10 K–2

Metall

a ––– K–1

b ––––––– –6 10 K–2

Aluminium LeitungsBlei Chrom Cobalt Eisen Gold Iridium Kupfer, Leitungskupfer

0,0043 0,0037 0,004 0,059 0,0066 0,0066 0,0039 0,0041

1,3 1,3 – – – 6,0 – –

Magnesium Molybdän Natrium Nickel Platin Quecksilber Silber Wolfram Zink Zinn

0,004 – 0,0047 – 0,0055 – 0,006 2 9,0 0,002 98 – 0,59 0,00092 1,2 0,003 8 0,7 0,004 1 1,0 0,003 7 2,0 0,004 6 –

0,0039

0,6

Temperaturkoeffizienten von Widerstandslegierungen bei 20 °C (Die Zusammensetzung der Legierungen ist in der Tabelle des spezifischen elektrischen Widerstandes angegeben → S. 171) Legierung

a ––––––– – 10–3 K–1

Legierung

a –––––––– 10–3 K–1

Chromnickel Eisen, spez. Kanthal A Konstantan

– 0,2 1,5 0,049 – 0,0035

Manganin Megapyr Neusilber Nickelin

0,02 0,04 0,35 0,17

Ohm’sches Gesetz E r g J U Uq

elektrische Feldstärke spezifischer elektrischer Widerstand elektrische Leitfähigkeit elektrische Stromdichte elektrische Spannung (Spannungsabfall) Quellenspannung einer Spannungsquelle

V m–1 Wm S m–1 A m–2 V V

E

176 I Ik R Ri L

√¯ me n P

5 Elektrik

elektrische Stromstärke Kurzschlussstrom einer Spannungsquelle elektrischer Widerstand eines Verbrauchers Innenwiderstand einer Spannungsquelle mittlere freie Weglänge mittlere Geschwindigkeit der Elektronen Ruhemasse des Elektrons Konzentration der Elektronen elektrische Leistung im Verbraucher

A A W W m m s–1 kg m–3 W

Ohm’sches Gesetz in differenzialer Form E៬ = rJ៬ , E = rJ J៬ = gE៬ , J = gE ne 2L J = ––––– E me√¯ Ohm’sches Gesetz in integraler Form, Spannungsabfall an einem stromdurchflossenen Widerstand ●

U = RI,

R = const

Das Ohm’sche Gesetz in dieser Form gilt nur für einen konstanten Widerstand. Es ist ein Spezialfall des allgemeinen funktionalen Zusammenhanges U(I) und gültig für metallische und elektrolytische Leiter. Ohm’sches Gesetz in integraler Form für einen geschlossenen Kreis ●

Uq = I (R + Ri)

I

Strom-Spannungs-Kennlinie einer Spannungsquelle mit konstantem Ri. U = Uq – IRi

Ik

Elektrische Leistung im Verbraucher U20 R P = –––––––––2 (R + Ri) Ist I = 0 (Leerlauf, R → ∞), wird U = U0 und P = 0.

Uq

U

Uq Ist I = Ik = ––– (Kurzschluss, R → 0), wird U = 0 und P = 0. Ri Uq Ik Uq Uq2 Ist R = Ri, wird U = ––– , I = –– = –––– und P = Pmax = –––– (Leistungsanpas2 2 2Ri 4Ri sung). Reihenschaltung von Widerständen I, U, R → Benutzungshinweise U1, …, Un Teilspannungen R1, …, Rn Teilwiderstände

V W

177

5.1 Gleichstrom

Teilspannungen ●

U1 = R1 I,

U2 = R2 I, …, Un = Rn I

Gesamtspannung

R1

R2

Rn

U1

U2

Un

n

●

U = ∑ Ui

U = U1 + U2 + … + Un ,

i =1

Ersatzwiderstand (Gesamtwiderstand) n

●

R = ∑ Ri

R = R1 + R2 + … + Rn ,

i =1

Teilspannungen und Teilwiderstände ●

U1 : U2 : … : Un = R1 : R2 : … : Rn ,

E

Un : Um = Rn : Rm

Parallelschaltung von Widerständen I, U, R → Benutzungshinweise I1, …, In Teilstromstärken R1, …, Rn Teilwiderstände G Ersatzleitwert G1, ..., Gn Teilleitwerte

A W S S

Teilstromstärken ●

U I1 = ––– R1

●

U U I2 = –– , …, In = ––– R2 Rn

R1

Gesamtstromstärke n

●

I = I1 + I2 + … + In ,

I=

∑ Ii

i =1

Ersatzwiderstand aus ●

1 1 1 1 –– = –– + –– + … + –– , R R1 R2 Rn

n

1 1 –– = ∑ –– R i =1 R i

Ersatzleitwert (Gesamtleitwert) n

●

G = G1 + G2 + … + Gn ,

G=

∑ Gi

i =1

R2

Rn

178

5 Elektrik

Teilstromstärken und Teilwiderstände ●

Ik : Im = Rm : Rk

Kirchhoff ’sche Regeln in allgemeiner Form Ik J A Rk Uq j E s

Teilstromstärken elektrische Stromdichte Fläche Teilwiderstände Quellenspannungen elektrische Feldstärke Weg

A A m–2 m2 W V V m–1 m

1. Kirchhoff’sche Regel (Knotenpunktregel)

I5

Für jeden Verzweigungspunkt (Knotenpunkt) ist die Summe der zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme. n

●

I1

I4

I2 I3

J៬ dA៬ = 0

∑ Ik = 0,

k=1

2. Kirchhoff’sche Regel (Maschenregel)

Uq1

Uq2

I1

Für jeden geschlossenen Kreis (Masche) I1–I4 eines Netzes von linearen Leitern ist die I4 Summe der Spannungsabfälle und der U q4 Quellenspannungen gleich null. R4 I3 + I4 I3

●

n

m

k=1

j =1

∑ IkRk + ∑ Uq j = 0,

R1

R2 R3

R6

R5

I2

I1 – I2 Uq3

I2 – I3

E៬ ds៬ = 0

Beispiel (→ Bild) –Uq1 – Uq2 – Uq3 + Uq4 + I1 (R1 + R2) – I2R3 – I3 (R5 + R6) + I4R4 = 0 Es muss ein Umlaufsinn festgelegt werden, in dem die Masche durchlaufen wird. Ströme, die in diesem festgelegten Sinn gleichsinnig fließen, und Spannungen, die gleichsinnige Ströme hervorrufen, sind positiv zu zählen.

179

5.1 Gleichstrom

Messbereichserweiterung von Strom- und Spannungsmessern Ri Rn Rv n

Innenwiderstand des Messgerätes Nebenwiderstand Vorwiderstand Erweiterungsfaktor

W W W 1

Nebenwiderstand bei n-fachem Messbereich eines Strommessers Ri A

Ri Rn = –––– n–1

Rn

Vorwiderstand bei n-fachem Messbereich eines Spannungsmessers Rv = Ri (n – 1) Widerstandsmessung I, U, R → Benutzungshinweise Rk elektrische Widerstände RiA Innenwiderstand des Strommessgerätes Innenwiderstand des Spannungsmessgerätes RiV

V Ri

Rv

W W W

Spannungsrichtige Schaltung ●

U R = –––––– U I – ––– RiV

U für RiV R ist R ≈ –– I

V

RiV

U A

R

I

Stromstärkerichtige Schaltung U R = –– – RiA I U für RiA R ist R ≈ –– I

●

Wheatstone’sche Brückenschaltung ●

R1 R3 ––– = ––– R2 R4

wenn durch das Instrument kein elektrischer Strom fließt

V U A

RiA R

I R1 R2

R3 A

R4

E

180

5 Elektrik

Spannungsteiler U R R1, R2 R3 U1, U2 I3 I3m

elektrische Spannung Gesamtwiderstand des Spannungsteilers Teilwiderstände des Spannungsteilers Widerstand des Verbrauchers Teilspannungen am Spannungsteiler elektrische Stromstärke durch den Verbraucher maximal mögliche elektrische Stromstärke durch den Verbraucher

V W W W V A A

Unbelasteter Spannungsteiler ●

U R –– = –– , U1 R1

U

U R ––– = ––– U2 R2

R R1

Belasteter Spannungsteiler

●

●

(

R R1

)

U1

U1 1 1 ––– = R1 –– + –– U2 R2 R3

(

)

Quellenspannung einer Spannungsquelle Innenwiderstand einer Spannungsquelle Außenwiderstand (Verbraucher) Anzahl der Spannungsquellen elektrische Stromstärke

Parallelschaltung

V W W 1 A

Reihenschaltung

Gesamtinnenwiderstand ●

Ri R i ges = –– n

●

Ri ges = nRi

Stromstärke durch den Außenwiderstand ●

Uq I = ––––––– Ri Ra + –– – n

●

R2 U2 I3 R3

Schaltung von gleichen Spannungsquellen Uq Ri Ra n I

U2 U

R2 ––– I3 U2 R ––– = ––– = ––––––––––––––– R R R2 I3m U ––– –––2 – –––22 + 1 R3 R R U I3m = ––– , R3

R2

U1

nUq I = –––––––– Ra + nRi

181

5.2 Elektrisches Feld

Elektrische Energie und Leistung U, R →Benutzungshinweise E Energie P Leistung Ri Innenwiderstand der Spannungsquelle Quellenspannung der Spannungsquelle Uq h Wirkungsgrad t Zeit

J W W V l s

Vom elektrischen Strom erzeugte Wärmeenergie ●

E = UIt

Wärmeleistung des elektrischen Stromes (Wirkleistung) ●

P = UI

E

Umformungen mit dem Ohm’schen Gesetz ●

2

P=I R,

U2 P = ––– R

Leistungsanpassung (s. S. 176) Bei R = R i wird die maximale Leistung aus einer Spannungsquelle entnommen. U q2 I 2Ri Pm = –––– = ––––– 4Ri 4 Wirkungsgrad des Grundstromkreises ●

1 h = –––––– Ri 1 + –– R

5.2

Elektrisches Feld

Elektrische Feldstärke E F Q′ U s Q c

elektrische Feldstärke Kraft Ladung, auf die die Kraft einwirkt elektrische Spannung Plattenabstand felderzeugende elektrische Ladung Lichtgeschwindigkeit im Vakuum

V m–1 N C V m C m s–1

182

5 Elektrik

Abstand des betrachteten Raumpunktes von der Ladung m m0 Magnetische Feldkonstante H m–1 e0 elektrische Feldkonstante (Influenzkonstante) F m–1 r1 Radius der inneren Zylinderelektrode m Radius der äußeren Zylinderelektrode m r2 Definition der elektrischen Feldstärke F៬ F ● E៬ = ––– , E = ––– Q′ Q′ Elektrische Feldstärke im homogenen Feld (Plattenkondensator) U ● E = –– s Elektrische Feldstärke in der Umgebung einer einzelnen Punktladung im Vakuum 1 r៬ Q ● E៬ = ––––– Q ––3 , E = ––––––2 4pe0r 4pe0 r Elektrische Feldkonstante (Influenzkonstante) 1 e0 = 8,854187817 … · 10–12 F m–1 , e0 = –––––2 m0 c Elektrische Feldstärke zwischen zwei konzentrischen Zylinderelektroden Die maximale Feldstärke ist an der inneren Zylinderelektrode vorhanden. U Em = ––––––– r2 r1 ln –– r1 r

Elektrostatisches Potenzial und elektrische Spannung f elektrostatisches Potenzial V W Arbeit J F Kraft N s Weg, Abstand m E elektrische Feldstärke V m–1 U elektrische Spannung V a Winkel zwischen der Verbindungslinie zweier Feldpunkte und der Richtung des elektrischen Feldes ° r Abstand eines Feldpunktes von einer Punktladung m Das elektrostatische Potenzial in irgendeinem Feldpunkt in Bezug auf einen willkürlich, aber fest gewählten Nullpunkt P0 ist der Quotient aus der

183


Arbeit W, die gegen die Feldkraft aufgewendet werden muss, um eine positive Ladung Q vom Punkt P0 an die betreffende Feldstelle zu bringen, und der Ladung Q. W f = –– , Q

P1

W=–

∫ F៬ ds៬

P1

P0

+

P1

●

f=–

∫ E៬ ds៬

P2

P0

P0

Wählt man als Bezugspunkt die Erde und setzt ihr Potenzial gleich null, so ist das Potenzial eines beliebigen Punktes zur Erde gleich der elektrischen Spannung zwischen diesem Punkt und der Erde. Allgemein gilt ●

U = f1 – f 2

Im inhomogenen Feld gilt P2

●

U = ∫ E៬ ds៬

Potenzial einer Punktladung (r → ∞, f∞ = 0) Q f = ––––– 4pe0r

E

P1

Im homogenen Feld gilt für die Spannung zwischen P1 und P2 ● U = E៬s៬, U = Es cos a s P1

α

P2 E

Elektrische Flussdichte D elektrische Flussdichte E elektrische Feldstärke e0 elektrische Feldkonstante er Permittivitätszahl Q elektrische Ladung A Fläche s Dicke des Isolierstoffes Für das elektrische Feld im Vakuum gilt D = e0E ● D៬ = e0E៬ ,

C m–2 V m–1 F m–1 1 C m2 m

Für das elektrische Feld in einem beliebigen Stoff gilt ● D៬ = er e0E៬ , D = er e0E Auf der Oberfläche eines Leiters ist der Betrag der elektrischen Flussdichte gleich der Flächendichte. Für konstante Ladungsverteilung ist Q ● D = –– A

184

5 Elektrik

Permittivitätszahlen und Durchschlagfestigkeiten Ueff /s (Richtwerte) von Isolierstoffen bei 18 °C Stoff

er

Ueff –––– s –––––––– kV mm–1

Bakelit Benzol (Benzen) Bernstein Calit Condensa C und F Condensa N Ethanol Glas Jena 16 III Rasothermglas Glimmer Gips (trocken) Gummi Hartgummi Holz Kerafar R Keramische Sondermassen Luft bei 101,325 kPa und 0°C Marmor Methanol Methylbenzol (Toluol, Methylbenzen) Papier (trocken) Paraffin Paraffinöl Pertinax Petroleum Polyethylen Polystyrol (Polystyren) Porzellan Propanon (Aceton) Quarz Quarzglas Schellack Schiefer Siliconöl Tempa S Tempa X Titandioxid

3…5 2,3 2,6 … 2,9 6,5 85 46 26 5 … 16 8,1 4,6 4,8 … 9,3 2,65 2,5 … 2,8 2,5 … 3,5 2,5 … 10 80 >1 000 1,000592 8,5 … 14 32 2,4 1,2 … 3,0 2,0 … 2,3 2,0 … 2,3 3,5 … 5,5 2,0 … 2,2 2,2 2,5 … 2,7 5 … 6,5 21,5 3,8 … 4,7 3,8 … 4,2 3,6 … 4 6 … 10 2,2 … 2,8 14 30 40 … 80

– 30 30 … 80 – – – – 15 … 45 >15 >15 25 … 100 – – 30 … 50 4 … 10 – – 3,2 1…5 – – ≈ 10 20 … 30 25 – 10 30 … 50 15 … 25 10 … 20 – – 25 … 40 15 … 25 0,2 … 2,5 10 … 30 – – 10 … 20

185


Stoff

er

Ueff –––– s –––––––– kV mm–1

Transformatorenöl Vaseline Wasser Zement (trocken) Ziegel (trocken)

2,2 … 2,5 2,1 … 2,3 80,8 ≈ 2,1 2…3

20 … 30 5 … 20 – – –

Allgemeine Formulierung der Grundgesetze des zeitlich konstanten elektrischen Feldes im Vakuum E D f r A s Q e0 D

elektrische Feldstärke elektrische Flussdichte elektrisches Potenzial Raumladungsdichte Fläche Weg elektrische Ladung elektrische Feldkonstante Delta-Operator

V m–1 C m–2 V C m–3 m2 m C F m–1 m–2

E

Integralschreibweise ●

E៬ ds៬ = 0 ,

D៬ dA៬ = Q

Differenzialschreibweise ●

E៬ = – grad f ,

div D៬ = r

●

rot E៬ = 0 ,

D៬ = e0 E៬

Poisson’sche Differenzialgleichung ●

e0 Df = – r

Elektrischer Fluss (Elektrischer Verschiebungsfluss) Y D A a

elektrischer Fluss elektrische Flussdichte Fläche Winkel zwischen dem Vektor der Flussdichte und dem Flächenvektor

●

Y = ∫ D៬ dA៬

C C m–2 m2 °

dA

α

D

dA

186

5 Elektrik

Für konstante elektrische Flussdichte durch eine Fläche gilt Y = D៬A៬ ,

Y = DA cos a

Gauss’scher Satz: Für eine geschlossene Oberfläche ist i =n

Y = D៬ dA៬ = ∑ Qi i=1

Elektrische Polarisation des Dielektrikums P D E e0 ce a p er

elektrische Polarisation elektrische Flussdichte elektrische Feldstärke elektrische Feldkonstante elektrische Suszeptibilität elektrische Polarisierbarkeit elektrisches Dipolmoment Permittivitätszahl

●

P៬ = D៬ – e0E៬ ,

●

P៬ = ce e0E៬ ,

C m–2 C m–2 V m–1 F m–1 1 F m2 Cm 1

P = D – e0E P = cee0 E

Elektrische Suszeptibilität ce = er – 1

Elektrische Polarisierbarkeit p a = –– E

Elektrisches Dipolmoment (Elektrisches Moment) p Q V s P

elektrisches Dipolmoment elektrische Ladung Volumen Abstand zweier Dipolladungen elektrische Polarisation

●

p៬ = ∫ P៬ dV,

Cm C m3 m C m–2

p = PV

Elektrisches Moment eines Dipols (elektrisches Dipolmoment) ●

p៬ = Qs៬,

p = Qs

Der Vektor s៬ hat die Richtung von der negativen zur positiven Ladung. Kraftmoment (Drehmoment) auf einen elektrischen Dipol in einem homogenen elektrischen Feld M p

Kraftmoment (Drehmoment) elektrisches Dipolmoment

Nm Cm

187


E a

●

elektrische Feldstärke Winkel zwischen der Dipolachse und der Richtung des elektrischen Feldes ៬ = p៬ × E៬ , M

V m–1

+Q

α

°

M = pE sin a

–Q

Elektrische Kapazität eines Kondensators C Q U e0 er

elektrische Kapazität elektrische Ladung elektrische Spannung elektrische Feldkonstante Permittivitätszahl

F C V F m–1 1

Definition der Kapazität ●

E

Q C = –– U

Kapazität einiger Kondensatoren Kondensator

Kapazität

Kugel (Kugelkonduktor) r Radius der Kugel

C = 4per e0 r

Plattenkondensator A C = ere0 –– s

A Plattenfläche s Plattenabstand

2per e0 l C = ––––––– r2 ln –– r1

r2

r1

Zylinderkondensator

r1

r2

Kugelkondensator

4pere0r1r2 C = ––––––––– r2 – r1

188

5 Elektrik

Kondensator

Kapazität per e0 l C = –––––– für r a a ln – r

Doppelleitung 2r a

per e0 l C = ––––––––––––––– a + a 2 – 4r2 ln –––––––––––– 2r

Einfachleitung über der Erde r h l

l C = 2pere0 ––––––– 2h ln –– r

Radius des Leiters Höhe über der Erde Länge des Leiters

zwei Kugeln (Kugelkondensator)

r

r a

r (a2 – r2) C = 2pere0r 1 + –––––2–––––––– a (a – ar – r2)

[

Schaltung von Kondensatoren C Ci U Ui Q Qi

Ersatzkapazität (Gesamtkapazität) Einzelkapazitäten Gesamtspannung Einzelspannungen elektrische Ladung Einzelladungen

F F V V C C

Reihenschaltung Jeder Kondensator erhält die gleiche Ladung. ●

Q = Ci Ui = const

Ersatzkapazität (Gesamtkapazität) aus ●

1 1 1 1 1 –– = –– + –– + –– + … + –– , C C1 C2 C3 Cn

n

1 1 ––– = ∑ –– C i =1 Ci

Zusammenhang zwischen Teilspannungen und Teilkapazitäten ●

Um : Un = Cn : Cm

]

189


Parallelschaltung An jedem Kondensator liegt die gleiche Spannung ●

Qi U = –– Ci

Ersatzkapazität (Gesamtkapazität) n

●

C = C1 + C2 + C3 + … + Cn ,

C = ∑ Ci i =1

Zusammenhang zwischen Einzelladungen und Einzelkapazitäten ●

Qm : Qn = Cm : Cn

Kraft zwischen zwei Punktladungen (Coulomb’sches Gesetz) Q1, Q2 r F e0 er

elektrische Ladungen Abstand der beiden Ladungen Kraft elektrische Feldkonstante Permittivitätszahl

●

1 r៬ F៬ = –––––– Q1Q2 ––3 , 4pere0 r

C m N F m–1 1

Q1Q2 1 F = –––––– ––––– 4pere0 r2

Kraft zwischen zwei Platten (Plattenkondensator) E D A F er e0 s

elektrische Feldstärke elektrische Flussdichte Plattenfläche Kraft Permittivitätszahl elektrische Feldkonstante Plattenabstand 1 F = – EDA , 2

V m–1 C m–2 m2 N 1 F m–1 m

1 e0 er A 2 –U F = – –––– 2 s2

Energie des geladenen Kondensators W Q U C

Energie Ladung des Kondensators elektrische Spannung elektrische Kapazität

●

1 W = – QU , 2

1 Q2 W = – ––– , 2 C

J C V F 1 W = – CU 2 2

E

190

5 Elektrik

Energiedichte des elektrischen Feldes W w V E D e0 er

Energie Energiedichte Volumen elektrische Feldstärke elektrische Flussdichte elektrische Feldkonstante Permittivitätszahl

●

dW w = ––– , dV

W w = ––– V

1 w = – E៬D៬ , 2

1 w = – ere0E៬ 2 2

1 w = – ED , 2

1 w = – ere0E 2 2

J J m–3 m3 V m–1 C m–2 F m–1 1

Gesamte Feldenergie eines Raumes V W=

∫ 2– E៬D៬ dV , 1

W = ∫ w dV

Ladevorgänge in einem Stromkreis mit Kondensator U uC uR C R i I0 t t UZ UL

Ladespannung bei Aufladung bzw. Anfangsspannung bei Entladung eines Kondensators Spannung am Kondensator Spannung am Widerstand elektrische Kapazität ohmscher Widerstand elektrische Stromstärke Anfangsstromstärke Zeit Zeitkonstante Zündspannung der Glimmröhre Löschspannung der Glimmröhre

V V V F W A A s s V V

Aufladung des Kondensators (→ Bild Schalterstellung 1) 1

Differenzialgleichung Bei U = const folgt aus U = uC + uR i di –– + R –– = 0 C dt

i(t)

S

A

2

C

U R

191

5.2 Elektrisches Feld uc

Spannung und Stromstärke während der Aufladung

( )] ( )

●

t i = I0 exp – –––– RC

●

U I0 = –– R

t i I0

t uC = U 1 – exp – –––– RC

U

[

●

Aufladung

t

Entladung des Kondensators (→ Bild Schalterstellung 2) uc

Differenzialgleichung (→ Aufladung)

U

Spannung und Stromstärke während der Entladung

●

U I0 = –– R

t –––– RC

i t

– I0

●

t i = – I0 exp – –––– RC

E t

( ) ( )

●

t uC = U exp – –––– RC

Entladung

0

1

2

3

4

5

t exp – –––– RC

1

0,368

0,135

0,0498

0,018 3

0,006 74

t 1 – exp – –––– RC

0

0,632

0,865

0,9502

0,981 7

0,993 3

( ) ( )

Zeitkonstante ●

t = RC

Bei Entladung eines Kondensators über eine Glimmröhre und Wiederaufladen über einen hinreichend großen Widerstand entsteht eine Kipp-

R

U UZ UL

U T

t

C

G

192

5 Elektrik

schwingung mit der Periodendauer U – UL T = RC ln ––––––– U – UZ

5.3

Magnetisches Feld

Magnetische Feldstärke F F H I l N rw r

rs ●

Kraft magnetischer Fluss (Polstärke) des Magnets, auf den die Kraft einwirkt magnetische Feldstärke elektrische Stromstärke Länge der Spule Windungszahl Windungsradius Abstand des betrachteten Feldpunktes vom Leiter in einer zum Leiter senkrechten Ebene Radius des Ringstromes F៬ H៬ = –– , F

N Wb A m–1 A m 1 m

m m

F H = –– F

Magnetische Feldstärke im Innern einer langgestreckten Zylinderspule oder Ringspule (homogenes Feld) I ● H=N– l Magnetische Feldstärke in einer kurzen Zylinderspule in der Mitte I H = N –––––––– 4rw2 + l 2

an den Enden I H = N –––––––––– 2 4rw2 + l 2

Magnetische Feldstärke in der Umgebung eines geraden stromführenden Leiters I ● H = –––– 2pr Magnetische Feldstärke im Mittelpunkt eines einzelnen stromführenden Kreisringes I H = –––– 2rs

193

5.3 Magnetisches Feld

Durchflutungsgesetz H s I J

magnetische Feldstärke Randlänge einer Fläche elektrische Stromstärke elektrische Durchflutung

A m–1 m A A

Die Summe aller durch eine Fläche hindurchtretenden Ströme bezeichnet man als elektrische Durchflutung. Umschließt die mit einem Umlaufsinn zu versehende Randkurve einen Strom im Sinne einer Rechtsschraube, so ist er positiv zu zählen, im umgekehrten Falle ist er negativ. Für konstante magnetische Feldstärke längs des Randes einer Fläche gilt ●

Hs = ∑ I = J

Für veränderliche Feldstärke längs des Randes gilt J = H៬ ds៬ = ∑ I ,

J = ∑ Hs Ds = ∑ I

E

Magnetische Spannung V H s N l I

magnetische Spannung magnetische Feldstärke Weg Windungszahl Spulenlänge elektrische Stromstärke

A A m–1 m 1 m A

Magnetische Spannung im inhomogenen Feld P2

●

V = ∫ H៬ ds៬ P1

i =n

V = ∑ H៬i Ds៬i

P2

i =1

ds

Magnetische Spannung im homogenen Feld V = H៬s៬,

H

P1

V = Hs cos a

P2 s P1

Magnetische Spannung in einer Zylinderspule V = Hl = NI Magnetischer Fluss (Magnetische Polstärke) F B

magnetischer Fluss magnetische Flussdichte

Wb T

α

H

194 H A F

5 Elektrik

magnetische Feldstärke A m–1 Fläche, die von den Induktionslinien durchsetzt wird m2 Kraft, die durch die Feldstärke H auf einen Magnetpol der Stärke F ausgeübt wird N

Kraft auf einen Magnetpol ● F៬ = FH៬ , F = FH Magnetischer Fluss F = ∫ B៬ dA៬

α

Bei konstanter magnetischer Flussdichte gilt ● F = B៬A៬ , F = BA cos a

B

A

Magnetische Flussdichte F B H A N m0 mr t Q

√

Kraft auf die bewegte Ladung magnetische Flussdichte magnetische Feldstärke Windungsfläche Windungszahl der Induktionsspule magnetische Feldkonstante Permeabilitätszahl Zeit Ladung Geschwindigkeit der Ladung

N T A m–1 m2 1 H m–1 1 s C m s–1

Betrag der Flussdichte aus dem Lorentz-Kraftgesetz (S. 228) ●

F B = –––– √Q

Induktionsspule Feldspule

Induzierter Spannungsstoß in der Induktionsspule mit N Windungen bei einer Feldstärkeänderung DH (Vakuum)

U ∫U dt

V

t

t

∫ U dt = m0NA DH

mit

A = A0 cos a

0

Magnetische Feldkonstante

m0 = 4p · 10–7 H m–1 = 12,566370 614 … · 10–7 H m–1

Magnetische Flussdichte im Vakuum ● B៬ = m0 H៬ , B = m0 H

A0 A

α

H

195


Für DH = H gilt für den Betrag der magnetischen Flussdichte t

∫ U dt

0

B = ––––––– NA Magnetische Flussdichte in stofflicher Materie B = mr m0 H ● B៬ = mrm0H៬ , Permeabilitätszahl mr < 1 diamagnetische Stoffe (→ S. 202) mr > 1 paramagnetische Stoffe (→ S. 202) mr 1 ferromagnetische Stoffe Die Werte für mr von diamagnetischen und paramagnetischen Stoffen erhält man aus der magnetischen Suszeptibilität. Die Permeabilitätszahl ist bei diesen Stoffen unabhängig von der magnetischen Feldstärke. Bei ferromagnetischen Stoffen hingegen besteht eine starke Abhängigkeit der Permeabilitätszahl von der magnetischen Feldstärke: mr = f (H). Man erhält den zu dem betreffenden Feldstärkewert gehörigen Wert der Permeabilitätszahl eines ferromagnetischen Stoffes aus der Magnetisierungskurve des betreffenden Stoffes, indem man die der magnetischen Feldstärke entsprechende magnetische Flussdichte aus der Kurve entnimmt und aus B = mr m0H dann mr errechnet. Magnetisierungskurven → S. 196 Curie-Punkte ferromagnetischer Stoffe Der Curie-Punkt ist die Temperatur, bei der ein Stoff seine ferromagnetischen Eigenschaften verliert und paramagnetisch wird. Stoff

Curie-Punkt in °C

Eisen Eisencarbid Heusler’sche Legierung Cobalt Magnetit Manifer (Mangan-Zink- und Nickel-Zink-Ferrite) Maniperm (Bariumferrit) Nickel

770 215 60 … 380 (je nach Zusammensetzung) 1123 525 100 … 500 450 358

Weichmagnetische Stoffe Geringe Koerzitivfeldstärke HK < 500 A m–1 Große Permeabilitätszahl bei geringen magnetischen Feldstärken Geringe Hysteresisverluste (Magnetisierungsverluste)

E

B in T

B in T

B in T

196 2,3 2,2 Elektro-Blech und Stahlguss 2,1 2,0 1,9 0 20 40 60

2,0 1,9 1,8 Elektro-Blech 1,7 und Stahlguss 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0 2 4 6

1,6 1,5 1,4 Elektro-Blech 1,3 und Stahlguss 1,2 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 0,2 0,4 0,6

5 Elektrik

Leg. Blech 80 100 120 140 160 180 200 220 H in kA/m

Leg. Blech

Grauguss

8 10 12 H in kA/m

14

16

18

20

22

1,6

1,8

2,0

2,2

Leg. Blech

Grauguss

0,8 1,0 1,2 H in kA/m

1,4

197


Einige Werte aus Magnetisierungskurven (Durchschnittswerte) H –– ––––––– 102 A m–1

B –– T ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Eisen (rein) Grauguss ElektroCobalt Nickel blech

1 5 10 20 100 300

1,0 1,4 1,5 1,58 1,78 2,02

0,02 0,1 0,3 0,6 0,97 1,35

0,4 1,2 1,37 1,51 1,74 2,0

0,005 0,01 0,17 0,32 0,70 0,90

0,01 0,07 0,30 0,39 0,50 0,62

Abhängigkeit der Permeabilitätszahl von der magnetischen Feldstärke bei verschiedenen Stoffen (gerundete Werte) H ––––––––– 102 A m–1

mr ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Eisen (rein) Grauguss ElektroCobalt Nickel blech

1 5 10 20 100 300

7900 2200 1200 630 140 60

100 160 240 230 80 40

3200 1900 1100 600 140 60

40 80 140 130 60 30

80 110 240 160 40 20

Hartmagnetische Stoffe Große Koerzitivfeldstärke HK > 4 kA m–1 Große Remanenzflussdichte Br > 0,2 T Große Hysteresisverluste (Magnetisierungsverluste) Stoff

HK –––––– kA m–1

Br –– T

(BH)max ––––––– kJ m–3

Pt Co 60/40 FeCoVG 4/1 AlNiCo 9/5 AlNiCo 35/5 AlNiCo 7/8p Maniperm 830 Maniperm 860

400 5 47 48 84 140 … 190 150 … 240

0,6 1,0 0,55 1,12 0,34 0,22 … 0,26 0,37 … 0,41

60 4 9 35 8 11 30

Die Energiedichte (BH)max ist das Maximum der durch die Entmagnetisierungskurve zugeordneten B- und H-Werte. (Die Entmagnetisierungskurve ist der im II. bzw. IV. Quadranten verlaufende Teil der Hysteresis.)

E

200 2 000 … 4 000

2,15

0,7 … 1,0

mra mrm

Bs ––– T

HK ––––––––– 2 10 A m–1

5 … 20

≈2,0

100 800 … 2 000

0,002 0,03 0,80 1,6

1,5 … 20

≈1,6

50 ≈ 600

0,001 0,01 0,35 1,2

Gusseisen (2 … 4 % C)

0,2 … 0,7

1,92 … 2,1

500 … 800 10 000 … 20 000

0,03 1,05 1,5 1,7

Trafoblech

HK Koerzitivfeldstärke Bs Sättigungsflussdichte Br Remanenzflussdichte

Baustahl (0,2 … 0,4 % C)

* für Hyperm 50 ** für Permalloy gelten etwa die gleichen Werte

0,01 0,2 1,3 1,7

Flussstahl (< 0,1 % C)

–B – T

0,1 1 10 100

H –– ––––––– 102 A m–1

mra Anfangspermeabilitätszahl für H = 0 mrm maximale Permeabilitätszahl

0,005 … 0,1

≈1,5

< 0,03

≈0,6

≈6000 5 · 104 … 8 · 104

≈0,6 ≈0,61 ≈0,61 ≈0,61

≈ 0,1 ≈1,2 ≈1,5 ≈1,55 2 000 … 4 000 15 000 … 40 000

Muniperm ** Fe–NiLegierung

HK

Magnetisierungskurve

Nifemax * Fe–NiLegierung

Br

Hysteresis

B

Bs

Wichtige Materialwerte weichmagnetischer Stoffe

198 5 Elektrik

199


Kenngrößen von Ferriten Weichmagnetische Ferrite Ferritart

Bezeichnung

Anfangspermeabilitätszahl mra

Sättigungsflussdichte Bs in T

Magnetische Feldstärke bei Bs Hs in kA m–1

Mn –Zn

4000 NM 1 100 N 22 Manifer 163 Manifer 140 Ni 3 000 2 000 T 7 Manifer 173 Manifer 250

4 000 1300 ± 250 1000 ± 200 400 ± 80 3000 ± 600 2000 ± 400 1500 ± 300 240 ± 40

0,35 0,38 0,28 … 0,38 0,2 … 0,3 0,16 0,30 0,36 … 0,42 0,26 … 0,36

3 3 0,8 1,6 2 3 0,8 2

Koerzitivfeldstärke HK in kA m–1

Remanenzflussdichte Br in T

Energiedichte (BH)max in kJ m–3

96 … 144 160 80 90 140 … 230 70 100

0,16 … 0,22 0,3 0,28 … 0,4 0,39 0,32 … 0,4 0,16 0,25

6,8 … 8,8 16 16 … 22 22 22 … 26 4…5 12

Ni –Zn

Hartmagnetische Ferrite Ferritart

Bezeichnung

Bariumferrit Maniperm 820 Ferroxdure III Maniperm 840 Ferroxdure II Maniperm 850 Cobaltferrit Vectolit Fercolit 5202

Magnetischer Kreis V Rm L A F l m0

magnetische Spannung magnetischer Widerstand magnetischer Leitwert Fläche magnetischer Fluss Länge magnetische Feldkonstante

A H–1 H m2 Wb m H m–1

E

200 mr N I

5 Elektrik

Permeabilitätszahl Windungszahl elektrische Stromstärke

1 1 A

Ohm’sches Gesetz des magnetischen Kreises ●

V = FRm ,

V = NI

Einfacher magnetischer Kreis mit konstantem Querschnitt Magnetischer Widerstand ●

I

l Rm = ––––––– m0 m rA

Magnetischer Leitwert 1 L = –––– Rm Magnetischer Kreis mit unterschiedlichem Querschnitt und Luftspalt (Reihenschaltung magnetischer Widerstände) Magnetischer Fluss ●

F = const

Magnetische Widerstände l1 Rm1 = ––––––– m0 mr1A1

l2 Rm2 = –––––––– m0 mr2A2

l3 Rm3 = ––––––– m0 mr3A3

Gesamter magnetischer Widerstand (magnetischer Ersatzwiderstand) ●

Rm = Rm1 + Rm2 + Rm3

1

I

Magnetische Spannung ●

V = V1 + V2 + V3 = NI V = H1l1 + H2l2 + H3l3

3 2

Allgemeine Formulierung der Grundgesetze des magnetischen Feldes eines stationären Stromes im Vakuum H B S A I

magnetische Feldstärke magnetische Flussdichte Fläche magnetisches Vektorpotenzial elektrische Stromstärke

A m–1 T m2 Wb m–1 A

201


J m0 D

A m–2 H m–1 m–2

elektrische Stromdichte magnetische Feldkonstante Delta-Operator

Integralschreibweise ●

H៬ ds៬ = I,

B៬ dS៬ = 0

Differenzialschreibweise ●

rot H៬ = J,

B៬ = rot A៬

●

div B៬ = 0,

B៬ = m0H៬

Poisson’sche Differenzialgleichung ●

DA៬ = – m0 J៬

Magnetische Polarisation M J B H m0 mr cm r x b j

Magnetisierung magnetische Polarisation magnetische Flussdichte magnetische Feldstärke magnetische Feldkonstante Permeabilitätszahl magnetische Suszeptibilität Dichte spezifische magnetische Suszeptibilität magnetische Polarisierbarkeit magnetisches Moment nach Coulomb (Dipolmoment) J៬ = B៬ – m0H៬ ,

J = B – m0H,

Magnetische Suszeptibilität cm = mr – 1 Magnetisierung J៬ ៬ = cm · H៬ = –– – M m0 Magnetische Polarisierbarkeit j b = ––– H

E

A m–1 T T A m–1 H m–1 1 1 kg m–3 m3 kg–1 H m2 Wb m

J៬ = cm m0H៬ ,

J = cm m0H

Spezifische magnetische Suszeptibilität cm x = ––– r

202

5 Elektrik

Spezifische magnetische Suszeptibilität und Permeabilitätszahl einiger paramagnetischer Elemente Elet ment ––– °C

x mr –––––––––– –9 3 –1 10 m kg

Al Ba

20 7,7 20 1,9 400 5,1 Fe 800 18900 1 200 330 1 500 400 Ca 20 13,8 Co 1200 3800 1 400 880 Mg 20 10

1,000 021 1,000 006 6 1,000 017 1,15 1,003 6 1,003 5 1,000 02 1,033 1,007 1,000017

x mr ––––––– ––– –9 3 –1 10 m kg

Elet ment ––– °C Mn

Ni

Pt O2 Ti

20 121 600 113 1200 150 400 2400 500 630 800 151 20 15 1000 7 20 1300 20 40

1,000 21 1,000 2 1,000 3 1,02 1,005 4 1,0013 1,000 26 1,000 15 1,000 001 86 1,000 18

Spezifische magnetische Suszeptibilität und Permeabilitätszahl paramagnetischer anorganischer Verbindungen bei 20 °C Verbinx –––––––––– dung –9 3 10 m kg–1

mr

Verbinx –––––––––– dung –9 3 10 m kg–1

mr

CoCl2 HCl

1,0025 1,0011

FeS NO

1,000 36 1,000 000 8

1280 9500

180 60

Spezifische magnetische Suszeptibilität diamagnetischer Elemente Element

t ––– °C

x –––––––––– 10–9 m3 kg–1

Element

t ––– °C

x –––––––––– 10–9 m3 kg–1

Ar B Cl2 He Cu

20 20 20 20 –259 20 500

–6,1 – 7,8 –7,4 –5,9 – 1,22 –1,08 –1,09

Ne Si N2 H2 Bi Yb Zn

20 20 20 20 20 20 20

– 4,5 – 1,2 – 5,4 –25,0 –16,0 –19 – 1,9

203


Spezifische magnetische Suszeptibilität diamagnetischer anorganischer Verbindungen bei 20 °C Stoff

x ––––––––––– –9 3 10 m kg–1

Stoff

x ––––––––––– –9 3 10 m kg–1

Al2O3 CaO CaSO4 CaCO3 CO2 Cu2O

– 3,5 – 3,4 – 4,8 – 4,4 – 6,0 – 2,5

D2O HNO3 H2O H2SO4 NH3 SO2

– 7,9 – 3,9 – 9,05 – 5,0 –12,3 – 3,0

Spezifische magnetische Suszeptibilität organischer Verbindungen bei 20 °C Aminobenzol (-benzen, Anilin) Benzol (Benzen) Ethanol (Ethylalkohol) Kohlensäurediamid (Harnstoff)

–9,3 –8,9 –9,2 –7,0

Methanol (Methylalkohol) Petroleum Propanon (Aceton) Propantriol (Glyzerin, Glycerol) Tetrachlormethan

– 8,8 – 11,4 – 7,3 – 7,8 – 5,5

Die Permeabilitätszahlen aller genannten diamagnetischen Stoffe liegen zwischen 0,99999 und 1. Magnetisches Moment j m F s N I A m0 B V J

magnetisches Moment nach Coulomb (Dipolmoment) magnetisches Moment nach Ampère magnetischer Fluss Abstand der beiden Magnetpole Windungszahl elektrische Stromstärke Windungsfläche magnetische Feldkonstante magnetische Flussdichte Volumen magnetische Polarisation j៬ = ∫ J៬ dV , j = JV, j = m0 m

Wb m J T–1 Wb m 1 A m2 H m–1 T m3 T

Magnetisches Moment eines Magnets ● j៬ = Fs៬ , j = Fs, j = BV Die Richtung des magnetischen Moments ist Südpol – Nordpol.

E

204

5 Elektrik

Magnetisches Moment (Dipolmoment) einer stromdurchflossenen Spule ●

j = m0 NIA

Kraftmoment (Drehmoment) auf einen Magnet bzw. auf eine durchflossene Spule in einem homogenen Magnetfeld

P RA t

Kraftmoment (Drehmoment) magnetische Feldstärke magnetisches Moment des Magnets bzw. der Spule (Dipolmoment) Winkel zwischen Feldrichtung und magnetischem Moment Windungsfläche Windungszahl elektrische Stromstärke Drehfrequenz (Drehzahl) Kreisfrequenz magnetische Flussdichte Ankerspannung induzierte Gegenquellenspannung magnetischer Fluss Motorenkonstante (vom Aufbau des Motors abhängig) Leistung Ankerwiderstand Zeit

●

៬ = j៬ × H៬ , M

M H j a A N I f w B UA UqG F c

Nm A m–1 Wb m ° m2 1 A Hz = s–1 s–1 T V V Wb 1 W W s

M = jH sin a

Kraftmoment auf eine Spule (Grundgleichung des Elektromotors) ●

M = NIAB sin wt mit

a = wt

Für mehrere gegeneinander versetzte Spulen gilt ●

M = cFI

Leistung ●

F

α

P = NIABw sin wt

Ankerstromstärke ●

UA – UqG IA = –––––––– RA

Drehfrequenz (Drehzahl) UA – IRA f = –––––––– cF

Drehachse j F B

205


Kräfte im Magnetfeld F B I l I1, I2 a m0 mr Q

√

Kraft magnetische Flussdichte elektrische Stromstärke Länge des Leiters im Magnetfeld elektrische Stromstärken in den parallelen Leitern 1 und 2 Abstand der Leiterachsen magnetische Feldkonstante Permeabilitätszahl elektrische Ladung eines Teilchens, das sich in einem Magnetfeld bewegt Geschwindigkeit des Teilchens

N T A m A m H m–1 1 C m s–1

Kraft auf eine bewegte Ladung im Magnetfeld

E

●

F៬ = Q √៬ × B៬

●

F = Q √B sin (√៬, B៬) ,

F = Q √B

wenn √៬ ⊥ B៬

Kraft auf einen geraden Stromleiter (Vektor l៬ zeigt in Stromrichtung) F៬ = Il៬ × B៬ ●

N

F = IlB sin (l៬, B៬), F = IlB wenn

l៬ ⊥ B៬

F H

I

Kraft zwischen zwei geraden parallelen stromführenden Leitern m0 mrI1I2l ––– F = –––––– 2pa

bei

S

al

Tragkraft eines Magnets F H B A m0 F

Kraft magnetische Feldstärke magnetische Flussdichte im Luftspalt Querschnittsfläche eines Magnetpols magnetische Feldkonstante magnetischer Fluss

●

1 F = – HBA, 2

1 F = – m0H 2A 2

1 B2A F = – –––– , 2 m0

1 F = – FH 2

N A m–1 T m2 H m–1 Wb

A

I

F

206

5 Elektrik

Induktionsgesetz U F N B A a E s t f c l

√

induzierte elektrische Spannung magnetischer Fluss Windungszahl der Induktionsspule magnetische Flussdichte Windungsfläche Winkel zwischen Feldrichtung und Flächennormalen der Windungsfläche elektrische Feldstärke Weg Zeit Drehfrequenz Generatorkonstante (vom Aufbau des Generators abhängig) Länge eines geraden Leiters im Magnetfeld Geschwindigkeit des Leiters

V Wb 1 T m2 ° V m–1 m s Hz 1 m m s–1

Induzierte elektrische Spannung ●

d U = –N –– ∫ B៬ dA៬ , dt

●

dF U = –N ––– , dt

d U = –N –– ∫ B cos a dA dt

DF U = –N –––– Dt

Elektrische Feldstärke und induzierte elektrische Spannung in einem geraden bewegten Leiter im Magnetfeld ●

E៬ = √៬ × B៬ ,


E = √B

E = √B sin (√៬, B៬) , ●

U = l√B sin (√៬, B៬) ,

U = l√B


Für eine rotierende Spule im Magnetfeld (→ Bild S. 204) erhält man die Grundgleichung des Generators ●

U = –NABw sin wt mit

a = wt

Für mehrere gegeneinander versetzte Spulen gilt ●

U = –cFf

207


Allgemeine Formulierung des Induktionsgesetzes Integralform

Differenzialform

∂ ∂t

E៬ ds៬ = – — ∫ B៬ dA៬ ,

∂B៬ rot E៬ = – —– ∂t

Selbstinduktion U L I t m0 mr N A

durch Selbstinduktion hervorgerufene elektrische Spannung Induktivität (Selbstinduktivität) elektrische Stromstärke Zeit magnetische Feldkonstante Permeabilitätszahl Windungszahl Windungsfläche

V H A s H m–1 1 1 m2

E

Selbstinduktionsspannung ●

dI U = –L –– , dt

DI U = –L ––– Dt

mit

NF L = ––– I

Induktivitäten A L = m0 mrN 2 –– l

Ringspule, langgestreckte Zylinderspule l Spulenlänge Einfachleitung in Luft (mr ≈ 1)

m0 l 2l 3 L = –––– ln –– – – 2p r 4

(

l Länge der Leitung r Radius des Drahtes

)

Doppeldrahtleitung in Luft (mr ≈ 1) (→ Bild Doppelleitung S. 188) l Länge der Doppelleitung r Radius des Drahtes a Abstand der Drahtachsen

(

Einlagige Zylinderspule in Luft K Korrekturfaktor r Radius einer Windung 2r –– 0,2 0,5 l K

2,5

7,6

0,64 10

)

a 1 m0 l L = –––– ln – + – p r 4

m0 L = K –––– N 2r 4p 1 14

1,5 18

2

3

20,5

26

208

5 Elektrik

Schaltung von Induktivitäten L Li

Gesamtinduktivität Einzelinduktivitäten

H H

Wenn keine magnetische Kopplung zwischen den Spulen vorhanden ist, gilt: Reihenschaltung n

●

L = L 1 + L2 + L 3 + … + L n ,

L = ∑ Li i =1

Parallelschaltung ●

1 1 1 1 1 –– = ––– + ––– + ––– + … + ––– , Ln L L1 L 2 L3

n

1 1 –– = ∑ –– L i =1 L i

Es gelten die gleichen Gesetze wie bei Schaltung von Widerständen (→ S. 176/177) R muss durch L ersetzt werden. Energie des magnetischen Feldes einer Spule E L I B H A l V m0 mr F

Energie Induktivität elektrische Stromstärke magnetische Flussdichte magnetische Feldstärke Windungsfläche Länge der Spule Volumen des Feldes magnetische Feldkonstante Permeabilitätszahl magnetischer Fluss

●

1 E = –– LI 2 , 2

1 E = – BHV, 2

J H A T A m–1 m2 m m3 H m–1 1 Wb 1 E = – mr m0 lAH 2 , 2

Energiedichte des magnetischen Feldes E w V

Energie Energiedichte Volumen

J J m–3 m3

1 E = – NFI 2

209


H B m0 mr

magnetische Feldstärke magnetische Flussdichte magnetische Feldkonstante Permeabilitätszahl

●

dE w = – –– , dV

A m–1 T H m–1 1

E w = ––– V

1 w = – H៬ B៬ , 2

1 w = –– mr m0H៬ 2, 2

1 w = – HB , 2

1 w = –– mr m0 H2 2

Gesamte Feldenergie eines Raumes V 1 E = –– ∫ H៬ B៬ dV 2

E = ∫ w dV,

E

Schaltvorgänge in einem Stromkreis mit Induktivität U uL uR i I0 L R t t

Klemmenspannung der Spannungsquelle Spannung an der Induktivität Spannung am Widerstand elektrische Stromstärke Anfangsstromstärke Induktivität ohmscher Widerstand Zeit Zeitkonstante

V V V A A H W s s

Einschaltvorgang (Schalterstellung 1) Differenzialgleichung 1

Bei U = const folgt aus

i(t)

S

A

2

U = uR + uL

L

U R

di U = L –– + Ri dt Spannung und Stromstärke nach dem Einschalten ●

( )

R uL = U exp – –– t L

U

uL

t

210

[

( )]

R i = I0 1 – exp – –– t L

i

,

Einschaltvorgang

I0

●

5 Elektrik

U I0 = –– R

t

Ausschaltvorgang (Schalterstellung 2, beim Umschalten des Schalters von 1 nach 2 schließt S den Kontakt 2, kurz bevor er den Kontakt 1 öffnet)

Differenzialgleichung Aus uR + uL = 0 folgt

Ausschaltvorgang t

–U

●

uL

di L ––– + Ri = 0 dt

Spannung und Stromstärke nach dem Ausschalten

( ) ( )

R uL = –U exp – –– t L

●

R i = I0 exp – –– t , L

i

I0

●

U I0 = –– R

t

Zeitkonstante ●

L t = –– R

R –– t L

0

1

2

3

4

5

R exp – –– t L

1

0,368

0,135

0,0498

0,018 3

0,006 74

R 1 – exp – –– t L

0

0,632

0,865

0,9502

0,981 7

0,993 3

( ) ( )

211


Zusammenfassung Folgende Vorgänge entsprechen einander: Elektrisches Feld

Magnetisches Feld

Aufladung eines Kondensators

Einschaltvorgang einer Induktivität

[

( )]

t uC = U 1 – exp – ––– RC uc

( )

R uL = U exp – –– t L

U

U

uL

t

t

( )

[

t i = I0 exp – ––– RC

( )]

R i = I0 1 – exp – –– t L i

I0

I0

i

t

t

Entladung eines Kondensators

( )

Ausschaltvorgang einer Induktivität

( )

t uC = U exp – ––– RC

R uL = –U exp – –– t L

uc

uL

U

–U

t

t

( )

( )

t i = –I0 exp – ––– RC

R i = I0 exp – –– t L i

i

I0

– I0

t

t

E

212

5.4

5 Elektrik

Zusammenfassung der wichtigsten Gesetze des elektrischen und

Folgende Größen entsprechen einander: Elektrisches Feld Größe

Formelzeichen

Einheit

Kraft Energie des elektrischen Feldes Energiedichte Drahtquerschnitt Fläche des Plattenkondensators Plattenabstand elektrische Spannung elektrische Ladung elektrische Feldstärke elektrische Flussdichte elektrische Polarisation elektrische Feldkonstante Permittivitätszahl elektrische Suszeptibilität elektrische Kapazität elektrische Polarisierbarkeit elektrisches Dipolmoment elektrischer Widerstand elektrischer Leitwert spezifischer elektrischer Widerstand elektrische Leitfähigkeit

F W, E w A A s U Q E D P e0 er ce C a p R G r g

N J J m–3 m2 m2 m V C V m–1 C m–2 C m–2 F m–1 1 1 F F m2 Cm W S Wm S m–1

Folgende Gleichungen entsprechen einander: Elektrisches Feld

Magnetisches Feld

Elektrische Spannung

Magnetische Spannung

U = ∫ E ds U = Es U = RI

V = ∫ H ds V = Hl = IN V = Rm F

Elektrische Feldstärke

Magnetische Feldstärke

F E = –– Q

F H = –– F

U E = –– s

NI H = ––– l

213

5.4 Zusammenfassung der wichtigsten Gesetze des Feldes

magnetischen Feldes (formale Analogie)

Magnetisches Feld Größe

Formelzeichen

Einheit

Kraft Energie des magnetischen Feldes Energiedichte Windungsfläche

F E w A

N J J m–3 m2

Spulenlänge magnetische Spannung magnetischer Fluss (Polstärke) magnetische Feldstärke magnetische Flussdichte magnetische Polarisation magnetische Feldkonstante Permeabilitätszahl magnetische Suszeptibilität Induktivität magnetische Polarisierbarkeit magnetisches Dipolmoment magnetischer Widerstand magnetischer Leitwert spezifischer magnetischer Widerstand magnetische Leitfähigkeit

l V F H B J m0 mr cm L b j Rm L rm km

m A Wb A m–1 T T H m–1 1 1 H H m2 Wb m H–1 H S m s–1 W s m–1

Elektrisches Feld

Magnetisches Feld

Elektrische Flussdichte (Vakuum): Magnetische Flussdichte (Vakuum): D = e0E

B = m0H

(beliebiger Stoff):

(beliebiger Stoff):

D = er e0 E

B = mr m0 H

Elektrische Ladung

Magnetischer Fluss (Polstärke)

Q = DA

F = BA

Elektrischer Widerstand

Magnetischer Widerstand

l R = r –– A

l Rm = rm –– A

E

214

5 Elektrik

Elektrisches Feld

Magnetisches Feld

Elektrischer Leitwert

Magnetischer Leitwert

A G = g –– l

A L = km –– l

Kapazität

Induktivität

Q C = –– U

NF L = –––– I

Kapazität des Plattenkondensators

Induktivität einer langen Zylinderspule

A C = er e0 –– s

A L = mr m0N 2 –– l

Elektrische Polarisation

Magnetische Polarisation

P = D – e0E

J = B – m0H

P = cee0E

J = cm m0H

Elektrische Suszeptibilität

Magnetische Suszeptibilität

ce = er – 1

cm = mr – 1

Elektrisches Moment eines Dipols

Magnetisches Moment eines Magnets (nach Coulomb)

p = Qs

j = Fs

Elektrische Polarisierbarkeit

Magnetische Polarisierbarkeit

p a = –– E

j b = –– H

Energie des elektrischen Feldes

Energie des magnetischen Feldes

1 W = – QU 2

1 E = – NFI 2

1 W = – CU 2 2

1 E = – LI 2 2

Energiedichte des elektrischen Feldes

Energiedichte des magnetischen Feldes

1 w = – ED 2

1 w = – HB 2

1 w = – er e0E 2 2

1 w = – mr m0H 2 2

215

5.5 Leitungsvorgänge in Festkörpern und Flüssigkeiten

Zusammenhang zwischen den Feldkonstanten und der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum 1 c = –––––– e0 m0

5.5

Leitungsvorgänge in Festkörpern und Flüssigkeiten

Leitungsarten in festen Körpern Leitung durch Elektronen Ionenleitung oder Defektelektronen

Mischleitung

Metalle Verbindungen, die entweder zu den metallischen Leitern oder zu den Halbleitern gehören, vor allem Carbide, Nitride, Oxide, Selenide, Sulfuride, Telluride der meisten Schwermetalle

Halbleiter bei hohen Temperaturen, Halogenide der Alkalien mit Ionenüberschuss

Gläser Salze, besonders Halogenide, Nitrate und Sulfate der Alkalien, Erdalkalien und leicht ionisierenden Schwermetalle

Hall-Effekt W V m3 C–1 A m–1 A m H m–1 C

RH UH AH H I d m0 e n

m–3 G B

A I

Magnetfeld

d

Hall-Widerstand Hall-Spannung Hall-Koeffizient magnetische Feldstärke elektrische Stromstärke Plattendicke magnetische Feldkonstante Elementarladung Konzentration der Ladungsträger (Elektronen oder Defektelektronen) Hall-Spannung (Spannung zwischen den Punkten A und B) für nichtferromagnetische Stoffe mit überwiegender Elektronenoder Defektelektronenleitung (von Versuchsbedingungen abhängig) I I UH = AH m0 H –– = AHB –– d d Hall-Koeffizient Hall-Widerstand UH 3p – –– – – AH = RH = ––– 8en I

b

B – +

E

216

5 Elektrik

Bei ferromagnetischen Stoffen ist die Hall-Spannung von der Magnetisierung abhängig. Sie wird mit zunehmender Magnetisierung größer. Hall-Koeffizienten von Metallen bei 20 °C (Richtwerte) Metall

AH –––––––––– 10–11 m3 C–1

Metall

AH –––––––––– 10–11 m3 C–1

Aluminium Antimon Bismut Blei Cadmium Gold Indiumarsenid

–3,5 +(2,0 … 2,3) · 103 –(5,3 … 6,8) · 104 +0,9 +5,9 –7,2 +(5 … 15) · 106

Kupfer Palladium Platin Silber Wolfram Zink Zinn

–5,2 –8,6 –2,0 –8,9 +1,15 +6,4 –0,3

Hall-Widerstand einer dünnen Schicht (Quanten-Hall-Effekt) RK RH = ––– n

h mit n = 1, 2, 3 … und RK = ––2 = 25812,807 W e

RK ist die Von-Klitzing-Konstante (Quanten-Hall-Widerstand). Wärmebewegung von Elektronen in Leitern (Rauschen) U k T R P Df

Rauschspannung Boltzmann-Konstante Temperatur elektrischer Widerstand Leistung Frequenzbandbreite (Bandbreite)

V J K–1 K W W Hz

Effektivwert der an einem Widerstand R bei der Temperatur T im Frequenzintervall Df vorhandenen Rauschspannung U = 2 kTR Df Rauschleistung P = 4kT Df Kennwerte wichtiger Halbleiter n p N a g Ts

Konzentration der Elektronen Konzentration der Defektelektronen Eigenleitungskoeffizient Konzentration der Atome im Kristallgitter Gitterkonstante maximale Sperrschichttemperatur

m–3 m–3 m–3 m–3 m K

217


Bei 300 K gelten folgende Werte: Halbleiter

N –––– cm–3

a –––– cm–3

g ––– nm

Ts –– K

Ge Si GaAs

8,3 · 1012 1,1 · 1010 9,2 · 106

4,2 · 1022 4,99 · 1022 4,43 · 1022

0,565 754 0,543 072 0,564 460

373 523 723

Eigenleitung bei chemisch reinen Halbleitern (stark temperaturabhängig) ●

n=p=N

Störstellenleitung Entsteht durch Dotierung des reinen Halbleiters mit Fremdatomen anderer Wertigkeit. n-Leitung: Dotierung erfolgt mit einem Element höherer Wertigkeit. (Elektronenspendendes Element wird Donator genannt.) Majoritätsträger sind die Elektronen, Minoritätsträger sind die Defektelektronen. p-Leitung: Dotierung erfolgt mit einem Element niederer Wertigkeit. (Elektronen aufnehmendes bzw. Defektelektronen spendendes Element wird Akzeptor genannt.) Majoritätsträger sind die Defektelektronen, Minoritätsträger sind die Elektronen. Für die Störstellenleitung gilt ●

pn = N 2

p, n und N sind temperaturabhängig. Grenzschicht <1 µm p n

p +

n p

p –

n +

–

n p,n in cm –3 + + + ++ –– – – – ++ –– +– –– ++ – – ++ + + + + – – – – 10 10

1016 1013

++++ –– ––

x

L V

erhöhte Trägerp,n + + + + ++– – – – – – dichte 1016 + ++ ++ ––– –– ++ + ++ ––– –– + 13 ++ –– 10 + – +– x x –– +++ ––+ +++ + + – –– –– 1010 – – – – – –– ++ + + + + verminderte Trägerdichte L –– –– – p,n

1016 1013 1010

+ + + ++

V

+ + ++– –– –

++ ++ +– – –

L V

E

218

5 Elektrik

Vorgänge bei unterschiedlicher Polung des pn-Übergangs Verhalten

Positiver Pol am p-Leiter

Negativer Pol am p-Leiter

Verhalten der Elektronen und DefektMajoritätsträger elektronen werden in die Grenzschicht getrieben

Elektronen und Defektelektronen entfernen sich aus der Grenzschicht

Trägerdichte in wird erhöht, die Grenzder Grenzschicht schicht wird abgebaut

wird vermindert, die Grenzschicht wird verbreitert

Elektrisches Ver- niederohmig, der pnhalten des pnÜbergang ist in DurchÜberganges lassrichtung gepolt

hochohmig, der pnÜbergang ist in Sperrrichtung gepolt

Supraleitung

TS

Sprungtemperatur

K

Sprungtemperaturen von Metallen Unterhalb der Sprungtemperatur sind die Stoffe supraleitend. Metall

TS –– K

Metall

TS –– K

Aluminium Blei Cadmium Gallium Hafnium Indium Lanthan Niobium Osmium a-Quecksilber Rhenium

1,18 7,26 0,52 1,09 0,35 3,40 ≈5 9,46 0,65 4,17 0,95

Ruthenium Tantal Technetium Thallium Thorium Titan Uran Wolfram Zink Zinn Zirconium

0,47 4,48 7,8 2,38 1,32 0,53 1,20 0,011 0,90 3,72 0,70

219


Legierungen und Verbindungen mit hoch liegender Sprungtemperatur Legierung

TS –– K

Verbindung

TS –– K

AsPb AgPb AuPb BiPb CaPb LiPb PPb SbPb Nb3Ge

8,4 7,2 7,0 8,8 7,0 7,2 7,8 6,6 23,2

NbN NbH NbC Nb2N MoN TaC V3Si Y1Ba2Cu3O7 Te2Ca2Ba2Cu3O5

16 13 … 14 10,1 9,5 12,0 9,2 17 95 135

Thermoelektrizität UTh Thermospannung Dt Temperaturdifferenz a Materialwerte des betreffenden b Thermoelements

}

{

E

V K K–1 V K–2 V

Thermospannung Für mittlere und höhere Temperaturen gilt mit guter Näherung ●

UTh = a Dt + b Dt 2

Für einen kleinen Temperaturbereich gilt UTh ≈ a Dt Die Materialwerte a und b können aus den experimentell ermittelten Thermospannungen für die einzelnen Elemente berechnet werden. Thermospannungen von Thermoelementen (Das erstgenannte Material ist der Pluspol des Elements.) t ––– °C

–200 –100 0 20 100 200 300

UTh –––– mV CuKonstantan –5,70 –3,40 0 0,80 4,25 9,20 14,89

FeKonstantan – 4,60 0 1,05 5,37 10,95 16,55

NiCr10Konstantan –6,15 0 1,31 6,88 14,59 20,88

NiCr10Ni95

0 0,80 4,10 8,13 12,21

220 t ––– °C

400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200

0 20 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 000 1 100 1 200 1 300 1 350 1 400 1 500 1 600 1 700 1 800

5 Elektrik

UTh –––– mV CuKonstantan 20,98 27,39 34,29

FeKonstantan 22,15 27,83 33,65 39,60 46,14 53,08

NiCr10Konstantan 31,49 40,28 49,11 57,85 66,47 75,07

NiCr10Ni95 16,39 20,64 24,89 29,12 33,28 37,32 41,26 45,08 48,79

Chromel PtRe-Pt (Ni90, Cr10)– Alumel (Ni94, A12, Si, Mn)

PtRh10-Pt

PtRh30 PtRh6

0 0,80 4,10 8,13 12,21 16,39 20,64 24,90 29,14 33,31 37,36 41,31 45,14 48,85

0 0,113 0,645 1,440 2,323 3,260 4,234 5,237 6,274 7,345 8,448 9,585 10,754 11,947 13,155 13,761 14,368 15,576 16,771

0 0 0,033 0,178 0,431 0,786 1,242 1,791 2,431 3,145 3,957 4,833 5,777 6,783 7,845 8,393 8,952 10,094 11,257 12,426 13,585

0 0,31 1,56 3,46 5,51 7,66 9,96 12,41 14,96 17,61 20,31 23,11 26,06 28,91 31,86 33,38

Empfindlichkeit eines Thermoelements dUTh ––––– = a + 2b Dt dt

221


Thermoelektrische Spannungsreihe, bezogen auf Platin (Bezugstemperatur 0 °C, Temperaturdifferenz 100 K) Stoff

UTh –––– mV

Stoff

UTh –––– mV

Tellur Silicium Antimon Nickelchrom Eisen Molybdän Cadmium Kupfer Silber Wolfram Iridium Rhodium Zink

+50 +44,8 + 4,7 … +4,86 + 2,2 + 1,87 … +1,89 + 1,16 … +1,31 + 0,85 … +0,92 + 0,72 … +0,77 + 0,67 … +0,79 + 0,65 … +0,9 + 0,65 … +0,68 + 0,65 + 0,6 … +0,79

Manganin Gold Zinn Blei Magnesium Aluminium Platin Natrium Kalium Nickel Cobalt Konstantan Bismut

+0,57 … +0,82 +0,56 … +0,8 +0,41 … +0,46 +0,40 … +0,44 +0,40 … +0,43 +0,37 … +0,41 ±0,0 – 0,21 – 0,94 – 1,94 … –1,2 – 1,99 … –1,52 – 3,47 … –3,04 –7

Beweglichkeit von Ladungsträgern u

√ E ●

Beweglichkeit der Ladungsträger Geschwindigkeit der Ladungsträger elektrische Feldstärke

m2 Wb–1 m s–1 V m–1

√

u = –– E

Elektronentheoretische Deutung der Leitfähigkeit g n e z uA uK

elektrische Leitfähigkeit Konzentration der Ladungsträger Elementarladung Wertigkeit der Kationen und Anionen (Wertigkeiten sind gleich) Beweglichkeit der Anionen Beweglichkeit der Kationen

S m–1 m–3 C 1 m2 Wb–1 m2 Wb–1

Leitfähigkeit bei unipolarer Leitung (Elektronenleitung) g = neu Leitfähigkeit bei bipolarer Leitung (Ionenleitung) g = zne (uA + uK)

E

222

5 Elektrik

Beweglichkeit von Ionen in wässriger Lösung bei 18 °C und unendlicher Verdünnung Kationen

uK ––––––––––– –8 2 10 m Wb–1

Anionen

uA ––––––––––– –8 2 10 m Wb–1

H+ Li+ Na+ K+ Ag+ NH+4 Zn2+ Fe3+

33 3,5 4,6 6,75 5,7 6,7 4,8 4,8

OH– Cl– Br– I– NO3– MnO4– SO2– 4 CO22–

18,2 6,85 7,0 6,95 6,5 5,6 6,1 6,2

Faraday’sche Gesetze und Faraday-Konstante m n N M z F I t k NA e Mr

Masse des elektrolytisch abgeschiedenen Stoffes elektrolytisch abgeschiedene Stoffmenge abgeschiedene Ionenzahl molare Masse Wertigkeit Faraday-Konstante elektrische Stromstärke Zeit elektrochemisches Äquivalent Avogadro-Konstante Elementarladung relative Molekülmasse

kg mol 1 kg mol–1 1 C mol–1 A s kg C–1 mol–1 C 1

1. Faraday’sches Gesetz ●

m = kIt , kIt n = ––– , M

MIt m = —–– zF It n = ––– zF

2. Faraday’sches Gesetz M1 M2 ● k1 :k2 = ––– : ––– , z2 z1

( )( )

Faraday-Konstante ● F = NAe

N = nNA ,

It N = ––– ze

M Mr · 10–3 kg mol–1 k = —– = ––––––––––––––– , zF zF

m k = –– It

F = 9,648 533 65 · 104 C mol–1

223


Elektrochemische Äquivalente Stoff

z

k –––––– mg C –1

Stoff

z

k –––––– mg C –1

Aluminium Barium Blei Brom Cadmium Calcium Chlor Chrom Cobalt Eisen Fluor Gold Iod Kalium Knallgas Kupfer Kupfer

3 2 2 1 2 2 1 3 3 3 1 3 1 1 – 1 2

0,093 2 0,7117 1,0736 0,828 3 0,582 4 0,207 6 0,3675 0,179 7 0,203 6 0,192 9 0,1969 0,6813 1,131 6 0,4053 0,09337 0,6876 0,22945

Lithium Magnesium Mangan Natrium Nickel Nickel OH-Gruppe Platin Quecksilber Sauerstoff Schwefel Silber Strontium Wasserstoff Wolfram Zink Zinn

1 2 3 1 2 3 1 4 1 2 2 1 2 1 6 2 2

0,071 9 0,1260 0,189 7 0,238 3 0,304 15 0,202 7 0,176 3 0,505 9 2,079 2 0,082 88 0,166 2 1,117 93 0,454 2 0,010 45 0,317 8 0,338 8 0,615 1

Elektrochemische Spannungsreihe z UN

Wertigkeit Normalpotenzial

l V

In der folgenden Tabelle sind die Spannungen der Metalle (Normalpotenziale) gegenüber den 1-normalen Lösungen ihrer Ionen, bezogen auf die Wasserstoff-Normalelektrode, angegeben. Metall

z

UN ––– V

Metall

z

UN ––– V

Lithium Kalium Natrium Magnesium Zink Chrom Chrom Eisen Cadmium Cobalt

1 1 1 2 2 2 3 2 2 2

–3,02 – 2,92 –2,71 – 2,35 –0,762 – 0,56 – 0,51 –0,44 –0,402 –0,268

Nickel Blei Zinn Eisen Wasserstoff Kupfer Kupfer Silber Quecksilber Gold

2 2 2 3 1 2 3 1 2 1

– 0,25 –0,126 – 0,14 – 0,04 ± 0,0 + 0,34 + 0,52 + 0,81 + 0,85 + 1,5

E

224

5.6

5 Elektrik

Leitungsvorgänge in Gasen und im Vakuum

Ionisierung von Gasen und Dämpfen durch Elektronenstoß Masse des Elektrons Geschwindigkeit des Elektrons e Elementarladung UI Ionisierungsspannung 1 –– me√ 2 = eUI ● 2 Ionisierungsspannungen von Gasen und Dämpfen me

√

kg m s–1 C V

Gas

U ––I V

Gas

UI –– V

Argon Brom Chlor Helium Kalium-Dampf Krypton Methan

15,7 11,84 13,01 24,6 4,34 14,0 15,1

Natrium-Dampf Neon Quecksilber-Dampf Sauerstoff Stickstoff Wasserstoff Xenon

5,14 21,56 10,4 13,6 14,5 13,6 12,1

Glimmentladung Farben der Glimmentladung in verschiedenen Gasen Gas

Katodenlicht

negatives Glimmlicht

Dunkelraum

positive Säule (Plasma)

Argon Brom Chlor Helium Krypton Luft Neon Quecksilber Sauerstoff Stickstoff Wasserstoff Xenon

rosa – – rot – rosa gelb grün rot rosa braunrosa –

bläulich gelbgrün grünlich blassgrün grün blau rotorange grün gelblich weiß blau blaurosa blauweiß

violett – – smaragdgrün gelbgrün violett dunkelrot – violett violett – olivgrün

tiefrot rötlich hellgrün violettrot – rosa rotorange grünlich blau zitronengelb gelb rosa –

Funkenentladung d Kugeldurchmesser s Funkenschlagweite U Überschlagspannung in Luft

m m V

225

5.6 Leitungsvorgänge in Gasen und im Vakuum

Überschlagspannungen von Kugelfunkenstrecken bei 20 °C und 101,325 kPa (eine Kugel ist geerdet) d –––– mm

20

50

100

150

200

s –––– mm

U ––– kV

U ––– kV

U ––– kV

U ––– kV

U ––– kV

1 2 4 5 6 8 10 15 20 30 40 50 60 70 80 90 100

4,4 8,2 14,8 18,0 21,0 26,6 31,2 40,2 48 58 – – – – – – –

–

– – – 16,9 – – 31,6 45,6 59,1 84,1 105 123 138 150 – – –

– – –

– – – – – – 31 45 59 86 112 137 161 184 205 225 275

8,0 14,3 – 20,4 26,3 32,0 46,1 57,4 75,4 – – – – – – –

16,5 – – 31,3 45,5 59,2 85,5 110 132 152 162 185 198 209

Elektronenemission aus Metallen J WA k T me

√ h f l c

Stromdichte der emittierten Elektronen Austrittsarbeit Boltzmann-Konstante Temperatur Masse des Elektrons Geschwindigkeit des Elektrons Planck’sches Wirkungsquantum Frequenz des auftreffenden Lichtes Wellenlänge des auftreffenden Lichtes Lichtgeschwindigkeit

A m–2 J, eV J K–1 K kg m s–1 Js Hz m m s–1

Feldemission Die Feldemission tritt ab Feldstärken von 109 V m–1 auf. Sekundärelektronenemission Bei der Sekundärelektronenemission wird die Austrittsarbeit von auftreffenden Ladungsträgern aufgebracht.

E

226

5 Elektrik

Thermische Elektronenemission (Richardson’sche Gleichung) ●

WA J = aT 2 exp – –––– kT

a = 1,204 · 106 A m–2 K–2

( )

Dies ist ein theoretischer Maximalwert. Da die aktive Katodenfläche kleiner als die geometrische ist und ein Teil der Elektronen trotz hinreichender Energie an der Oberfläche reflektiert wird, liegen die praktischen Werte meist zwischen 60 und 100 A cm–2 K–2. Wolfram Thoriumfilm auf Wolfram

a = 0,6 ·106 A m–2 K–2 a = 0,75 ·106 A m–2 K–2

Austrittsarbeit von Metallen und Metalloxiden Stoff

WA –––– eV

Stoff

WA –––– eV

Aluminium Barium Bariumoxid auf Platinnickel Bariumfilm auf Wolfram bzw. Wolframoxid Blei Cadmium Calcium Cäsium Cäsiumfilm auf Wolfram bzw. Wolframoxid Cobalt Eisen

4,20 2,52

Gold Kalium Kupfer Magnesium Molybdän Natrium Nickel Platin Rhodium Silber Thorium Thoriumfilm auf Wolfram Wolfram Zink Zinn

4,71 2,25 4,48 3,70 4,24 2,28 4,91 5,36 4,65 4,70 3,3

1,0

1,5 4,04 4,04 3,20 1,94

1,4 4,25 4,63

1 eV = 1,602 · 10–19 J Äußerer lichtelektrischer Effekt (Fotoeffekt) ●

1 hf = WA + –– me√2 2

Für die langwellige Grenze (lm) gilt hc lm = ––– , WA

lm 1 239 ––– = ––––– nm WA ––– eV

2,63 4,54 4,27 4,39

227

5.6 Leitungsvorgänge in Gasen und im Vakuum

Planck’sches Wirkungsquantum

h = 6,62606857 · 10–34 J s

Bewegung elektrisch geladener Teilchen in einem homogenen elektrischen Feld Q m UA E

√ dA l s b x, y a UB sB a

elektrische Ladung des Teilchens (bei Elektronen ist es die Elementarladung) Masse des geladenen Teilchens Spannung zwischen den Platten des Ablenkkondensators elektrische Feldstärke Geschwindigkeit der geladenen Teilchen Plattenabstand der Ablenkplatten Plattenlänge Abstand des Auffängers von der Mitte des Kondensators Ablenkung des Teilchenstrahles Koordinaten Beschleunigung der Teilchen Beschleunigungsspannung Länge des Beschleunigungsfeldes Ablenkwinkel

C kg V V m–1 m s–1 m m m m m m s–2 V m °

E

Bewegung der Teilchen in Feldrichtung Beschleunigung ●

Q a = –– E , m

QUB a = –––– msB

Geschwindigkeit nach Durchlaufen der Spannung UB ●

√=

Q 2 –– UB , m

für Elektronen gilt

√

–––––– = 593 km s–1

UB ––– V

Die relativistische Massenänderung (→ S. 330) ist nicht berücksichtigt. Bewegung der Teilchen senkrecht zur Feldrichtung Gleichung der Bahnkurve im Innern des Kondensatorfeldes

Bei Elektronen und einwertigen Ionen ist Q = e.

v

dA

α

y

b

QUA y = –––––––2 x 2 2mdA√

s

x

228

5 Elektrik

Ablenkung auf dem Auffangschirm QUAl b = ––––––2 s dAm√ Ablenkwinkel aus UAl tan a = –––––– 2UBdA Ablenkempfindlichkeit b ls –––– = –––––– UA 2UBdA Bewegung elektrisch geladener Teilchen in einem homogenen Magnetfeld F Q m

√ B r a l

Kraft auf die bewegte Ladung (Lorentz-Kraft) Ladung des Teilchens Masse des geladenen Teilchens Geschwindigkeit, mit der die Teilchen senkrecht zu den Feldlinien in das Feld eintreten magnetische Flussdichte des Magnetfeldes Radius der entstehenden Kreisbahn Ablenkwinkel Länge

N C kg m s–1 T m ° m

Lorentz-Kraft ●

F៬ = Q √៬ × B៬ ,

F = Q √B

für √៬ ⊥ B៬

Radius der entstehenden Kreisbahn m√ r = ––– QB

v

Ablenkwinkel aus

r

QBl sin a = –––– m√

M

Spezifische Ladung von Ladungsträgern e m me mp

Elementarladung Masse des Teilchens Ruhemasse des Elektrons Ruhemasse des Protons

α r

C kg kg kg

229

5.7 Wichtige Bauelemente der Elektronik

U B r Q

elektrische Spannung magnetische Flussdichte Radius der Kreisbahn elektrische Ladung

V T m C

Bei geeigneter Anordnung eines elektrischen und anschließend eines magnetischen Feldes lässt sich die spezifische Ladung von Ladungsträgern bestimmen (Massenspektroskopie) Q 2U –– = –––– m r2B 2 Aus der spezifischen Ladung ermittelt man die Masse der Teilchen, insbesondere die Masse der Elementarteilchen. Spezifische Ladung des ruhenden Elektrons

E

e –– = – 1,758820033 · 1011 C kg–1 me

Spezifische Ladung des ruhenden Protons

e ––– = 9,57883358 · 107 C kg –1 mp

5.7

Wichtige Bauelemente der Elektronik

Vakuumgleichrichterröhre (Diode) I0 I Ua Ak k T e K US IA IS IR a

Stromstärke bei der Anodenspannung null elektrische Stromstärke Anodenspannung Katodenfläche Boltzmann-Konstante Temperatur Elementarladung Raumladungskonstante Sättigungsspannung Anlaufstromstärke Sättigungsstromstärke Raumladungsstromstärke Koeffizient bei thermischer Emission (→ S. 226)

A A V m2 J K–1 K C A V–3/2 V A A A A K–2 m–2

230

5 Elektrik Ia

A A

Sättigungsgebiet

+ V – K

Raumladungsgebiet Anlaufgebiet Ua1 Ua2

US

Anlaufstromstärke eUa IA = I0 exp –––– kT

( )

bei

Ua < 0

Raumladungsstromstärke IR = KU a3/2

bei 0 < Ua < US

Sättigungsstromstärke eUa IS = AkaT 2 exp – –––– kT

( )

bei

Ua > US

Triode Ua Ug Ust Ia Ri S D

√u √um K′ US

Anodenspannung Gitterspannung Steuerspannung Anodenstromstärke innerer Widerstand Steilheit Durchgriff Spannungsverstärkung maximaler Verstärkungsfaktor Raumladungskonstante Sättigungsspannung

Steilheit: Bei konstanter Anodenspannung ist ●

dIa S = –––– , dUg

DIa S = –––– DUg

Durchgriff: Bei konstanter Anodenstromstärke ist ●

dUg D = – –––– , dUa

DUg D = – –––– DUa

V V V A W A V–1 1 1 1 A V–3/2 V

Ua

231


Innerer Widerstand der Röhre: Bei konstanter Gitterspannung ist DUa dUa ● Ri = –––– , Ri = –––– dIa DIa

Ia

A V

– Ug +

+ Ua –

K

V

Pamax

Ia

Ua1

A

G

Ug1

Ua2

0 > Ug1> Ug2 > Ug3 > Ug4 Ug2

Ua3 Ug3

Ua1> Ua2 > Ua3

∆Ug A

∆Ug Ug3

∆ Ia

∆ Ia

A

Ug4 Ug5

∆Ua

Ia

∆Ua Ug

Ua2

Ua

Barkhausen-Gleichung ●

SR i D = 1

Steuerspannung Ust = Ug + DUa Das Arbeitsgebiet der Triode liegt im Gebiet der Raumladungsstromstärke Ug – 1 V,

Ia = K′ (Ug + DUa)3/2 ,

0 < Ust < US

Spannungsverstärkung (DUa ist die Änderung des Spannungsabfalls am Arbeitswiderstand Ra im Anodenkreis) ●

DUa

√u = – –––– , DUg

SR

1

R

a a √ = – –––––––– = – –– –––––––

1 + DSRa

D Ra + Ri

Maximaler Verstärkungsfaktor 1 D

√um = –– = SR i Pentode Ua Ust Ug1, Ug2, Ug3

Anodenspannung Steuerspannung Gitterspannungen an den einzelnen Gittern

V V V

E

232

5 Elektrik

D1, D2, D3 K′ Ia Ik Ig2

Durchgriffe Raumladungskonstante Anodenstromstärke Katodenstromstärke Gitterstrom zum Gitter G2

1 A V–3/2 A A A

Steilheit, Durchgriff und innerer Widerstand (→ Triode) Steuerspannung Ust = Ug1 + D1Ug2 + D1D2Ug3 + D1D2D3Ua Wegen D1, D2 und D3 1 ist Ust ≈ Ug1 + D1Ug2 Rg1 , Rg2 Ra Ub A K G1 G2 G3

Gitterwiderstände Arbeitswiderstand Betriebsspannung Anode Katode Gitter 1 (Steuergitter) Gitter 2 (Schirmgitter) Gitter 3 (Bremsgitter)

A

Ua G3 G2

Ra

G1 K

Rg1 – + Ug1

Rg2 – + Ug2

– + Ub

Im Raumladungsgebiet gilt Ia ≈ K′ (Ug1 + D1Ug2)

Ia

0 = Ug11> Ug12 >Ug13 > Ug14 >Ug15 > Ug16 Pamax Ug11

Katodenstromstärke Ug12 Ug13 Ug14 U Ug16 g15

Ik = Ia + Ig2

Ua

Halbleiterwiderstände I, U, R → Benutzungshinweise R1, R2 Widerstände bei den Temperaturen T1 und T2 T Temperatur b Temperaturkoeffizient (Energiekonstante)

W K K

233


a b C

von der Form des Widerstandes abhängiger Faktor (Mengenkonstante) vom Halbleiterstoff abhängiger Koeffizient (Nichtlinearitätskoeffizient) von den Abmessungen des Widerstandes abhängiger Faktor

W 1 V A–1

Temperaturabhängige Halbleiterwiderstände (Thermistoren) Abhängigkeit des Widerstandes von der Temperatur ●

b R = a exp –– T

(

)

b b R1 = R2 exp ––– – ––– T1 T 2

I

R

t

E

U

Temperaturkoeffizient (in der Halbleitertechnik Energiekonstante genannt) R1 1 b = ––––––– ln ––– 1 1 R2 –– – –– T1 T2 Spannungsabhängige Halbleiterwiderstände (Varistoren) I Abhängigkeit der Spannung von der Stromstärke ●

U ≈ CI b ,

b ≈ 0,2 U

Die Spannungsabhängigkeit des Widerstandes ist aus den Kennlinien des betreffenden Widerstandes zu entnehmen. Die Strom-Spannungs-Kennlinien sind temperatur- und frequenzabhängig. Bei Kenntnis von C erhält man Abhängigkeit des Widerstandes von der Spannung UC 1/b C 1/b R ≈ ––––– = ––––– 1/b U1/b–1 U

234

5 Elektrik

Abhängigkeit des Widerstandes von der Stromstärke C R ≈ –––– I 1– b Halbleiterdioden I, U → Benutzungshinweise J elektrische Stromdichte

A m–2

Strom-Spannungs-Kennlinien wichtiger Halbleiterdioden Flächendiode und Spitzendiode Kupfer(I)-oxid und Selen

J in mA cm–2

I in mA

Germanium und Silicium

Ge Si 103

–200 –100

1

– 20

Z-Diode

100

–10

U in V

–0,1 –0,2

Cu2O Se

1 – 0,1 – 0,2

U in V

Tunneldiode

I in mA

I in mA

1,0

200 100 –6 –4 –2 Uz

0,8 0,6 0,4

2 U in V

0,2

–10 200 400 600 800 U in V

–20

Transistor IC IB

Kollektorstromstärke Basisstromstärke

A A

235


IE i1 u1 i2 u2 b R1 1– –– R2 m

√i √u re ra RiS yjk h11  h12   h21  h22  UBE UCE

Emitterstromstärke Eingangswechselstromstärke Eingangswechselspannung Ausgangswechselstromstärke Ausgangswechselspannung Kurzschlussstromverstärkung Kurzschlusseingangswiderstand

A A V A V 1 W

Leerlaufausgangsleitwert

S

Leerlaufspannungsrückwirkung Stromverstärkung Spannungsverstärkung Eingangswiderstand der Verstärkerstufe Ausgangswiderstand der Verstärkerstufe Innenwiderstand der Signalquelle Leitwert-Parameter

1 1 1 W W W S W 1 Hybridparameter 1 S Spannung zwischen Basis und Emitter V Spannung zwischen Kollektor und Emitter V

E

pnp-Transistor in Emitterschaltung IE = IC + IB ≈ IE

IC

IB

C B E

bei IE IB

Rb

UBE

Ra

UCE IE

U1

U2

Darstellung des Transistors als Vierpol i1

Vierpolgleichungen ●

u1 = h11i1 + h12 u2

●

i2 = h21i1 + h22 u2

h11 u1

Dh = h11h22 – h12 h21 i1 = y11u1 + y12u2, i2 = y21u1 + y22u2 Dy = y11y22 – y12y21

i2

h11u1

h22 h21

u2

236

5 Elektrik

Umrechnung der h-Parameter in die y-Parameter 1 h11 = ––– , y11

Dy h22 = ––– y11

y21 h21 = – ––– , y11

y12 h12 = – ––– , y11

Bedeutung der Hybridparameter bei Emitterschaltung ●

DUBE DUBE h11 = R1 = ––––– bei UBE = const, h12 = m = ––––– bei IB = const DUCE DIB

●

DIC DIC 1 h21 = b = ––– bei UCE = const, h22 = –– = ––––– bei IB = const DIB R2 DUCE

Ermittlung der Hybridparameter aus dem Kennlinienfeld

Kennlinienfeld eines Transistors

–UCE = const – I C – IC –UCE = const

– I B = const

∆ IC ∆ IB

∆ IC ∆UCE

Pc max – IB1 > – IB2 > – IB3 > . . . – I B6 – I B5 – I B4 – I B3 – I B2 – I B1

–I B

–UCE

–I B

∆ UCE ∆ UBE

∆ IB ∆ UBE –UCE = const

– I B = const

–UBE

– I B2 – – I B4I B3 – I B5

–UCE = const –UBE

i2

i1

i2

u2

u1

u2

i2 i1

i1 u1 Emitterschaltung

–UCE

u2 u1

Basisschaltung

Kollektorschaltung

– I B1

237


Kennzeichen der Transistorgrundschaltungen Schaltung Eingangswiderstand Emitter- mittel schaltung 10 … 104 W

Ausgangswiderstand

Strom-

Spannungs- Leistungsverstärkung

groß 10 … 200 102 …104 einige Kiloohm

103 … 104

102 … 103

102 … 103

Basisklein sehr groß schaltung 10 … 100 W einige 100 W

<1

Kollektor- groß klein schaltung einige 100 kW 100 W

10 … 200 < 1

10 … 200

Ermittlung der Hybridparameter in Basis- und in Kollektorschaltung aus den Hybridparametern in Emitterschaltung Basisschaltung h11 h11b = –––––– 1 + h21 h11h22 h12b = –––––– – h12 1 + h21 – h21 h21b = –––––– 1 + h21 h22 h22b = –––––– 1 + h21

Kollektorschaltung h11c = h11 h12c = 1 – h12 h21c = –1 – h21 h22c = h22

Ermittlung der Kenngrößen einer Transistorverstärkerstufe in Emitterschaltung u1 h11 + Ra Dh Eingangswiderstand re = –– = ––––––––––– i1 1 + h22Ra u2 h11 + RiS Ausgangswiderstand ra = –– = –––––––––– i2 Dh + h22RiS i2 h21 Stromverstärkung √i = –– = –––––––– i1 1 + h22 Ra u2 –h 21Ra Spannungsverstärkung √u = –– = –––––––––– u1 h11 + Ra Dh p2 h221Ra √P = –– = –––––––––––––––––––– Leistungsverstärkung p1 (1+ h22Ra) (h11 + Ra Dh) 2 h21 √P opt = ––––––––––––– Optimale Leistungsverstärkung Dh + h11h22

(

)

E

238

5 Elektrik

Optimal angepasster Eingangs- und Ausgangswiderstand RiS opt =

h11 Dh –––––– , h22

h11 –––––– h22 Dh

Ra opt =

Übersicht über Kennlinien weiterer wichtiger elektronischer Bauelemente I UBr UZ Fv If Ev UL Ik Ic UCE ID

Ugs

elektrische Stromstärke Brennspannung Zündspannung Lichtstrom Fotostromstärke Beleuchtungsstärke Leerlaufspannung Kurzschlussstromstärke Kollektorstromstärke Spannung zwischen Kollektor und Emitter Stärke des Driftelektronenstroms (Drainstromstärke) von der Quelle (source s) durch den Kanal des Feldeffekttransistors (fet) zum Kollektor (Senke, drain d) Tor-Senke-Spannung (gate-source-Spannung)

A V V lm A lx V A A V

A V

Kaltkatodenröhren Stabilisatorröhre

Vakuumfotozelle

I

I 4Φ v

I max

3Φ v

I min

Φv 1Φ 2 v

2Φ v

UBr UZ

U

U

Lichtempfindliche Halbleiterbauelemente Fotowiderstand

Sperrschichtfotoelement (Fotodiode)

Fototransistor (pnp)

If

UL , I K

I c= I f UL

Φv

IK

Φv = 0 Ev

Ev

–Uc

239

5.8 Grundlagen der Schaltalgebra

Sperrschicht-Feldeffekttransistor (fet oder FET) n-Kanal-fet p-Kanal-fet – ID

ID

Ugs

–Ugs

Feldeffekttransistor mit isoliertem Tor (igfet oder MOSFET) n-Kanal-igfet n-Kanal-igfet p-Kanal-igfet (Verarmungstyp) (Anreicherungstyp) ID

ID

Ugs

5.8

ID

Ugs –Ugs

Grundlagen der Schaltalgebra

Gesetze der Schaltalgebra Kommutatives Gesetz (Vertauschungsgesetz) x1 · x2 = x2 · x1 ,

x1 ∨ x2 = x2 ∨ x1

Assoziatives Gesetz (Verbindungsgesetz) x1 · x2 · x3 = x1 · (x2 · x3) = x2 · (x1 · x3) = x3 · (x1 · x2) x1 ∨ x2 ∨ x3 = x1 ∨ (x2 ∨ x3) = x2 ∨ (x1 ∨ x3) = x3 ∨ (x1 ∨ x2) Distributives Gesetz (Verteilungsgesetz) x1 · x2 ∨ x1 · x3 = x1 · (x2 ∨ x3) (x1 ∨ x2) · (x1 ∨ x3) = x1 ∨ x2 · x3 Umkehrungsgesetz Einfache Negation y = x1 · x2 , y = x1 ∨ x2 , Fortsetzung S. 242

– –– –– (NAND) y– = x––––– 1 · x2 = x1 ∨ x2 –y = x –––– – –– – – 1 ∨ x2 = x1 · x2 (NOR)

E

Funktion, Beschreibung

yi = x1

yN = x¯ 1 yN = ¬ x1

yU = x1 ∧ x2

yO = x1 ∨ x2

Funktion, Bezeichnung

IDENTITÄT (Schließer)

NICHT (NOT) (Negation, Öffner)

UND (AND) (Konjunktion, Schließer in Reihe)

ODER (OR) (Disjunktion, Schließer parallel)

Logische Funktionen mit zwei Variablen

x

x1

x1

x2

x1

Kontaktschaltung

x2

yN

yi

yO

yU

yO | L L L O

yU | L O O O

yN | O O L L

yi | L L O O

x1 | L L O O x2 | L O L O

Schaltbelegungstafel

x2

x1

x2

x1

x1

x1

≥1

&

1

1

yO

yU

yN

yi

Symbol, Schaltzeichen

240 5 Elektrik

x1

x2

yIN = x2 ∧ x¯1

INHIBITION (Schließer und Öffner in Reihe)

x2

yIM = x¯ 1 ∨ x2 = x1 → x2

IMPLIKATION (Schließer und Öffner parallel) x1

x2

x1

yAQ = (x1 ∧ x2) ∨ (x¯ 1 ∧ x¯ 2) = x1 ↔ x2

ÄQUIVALENZ (XNOR) (Wechsler gleichgesetzt)

x2

x2

x1

x1

yNO = x1 ∨ x2 = x¯1 ∨ x¯2 = x1 ↓ x2 –x) = x1 ∨ 2 = ¬ (x1 ∨ x2)

NOR (Öffner in Reihe)

x2

x1

ANTIVALENZ (XOR) yAN = (x¯ 1 ∨ x2) ∨ (x1 ∨ x¯ 2) (Wechsler entgegengesetzt) = x1 ←w x2

yNA = x1 ∧ x2 = x¯1 ∨ x¯2 = x1 ↑ x2 –x) = x1 ∧ 2 = ¬ (x1 ∧ x2)

NAND (Öffner parallel)

y IN

y IM

yAQ

yAN

y NO

y NA

yIN | O L O O

yIM | L O L L

yAQ | L O O L

yAN | O L L O

yNO | O O O L

yNA | O L L L

x2

x1

x2

x1

x2

x1

x2

x1

x2

x1

x2

x1

&

1

=

=1

≥1

&

y IN

y IM

yAQ

yAN

y NO

y NA

5.8 Grundlagen der Schaltalgebra

241

E

242

5 Elektrik

Doppelte Negation y = –––––– x ∧ x– , 1

–––––– –––––– y– = x1 ∧ x–2 = x1 ∧ x–2 = x1 ∧ x2 –––––– –– = x–––––– y– = x ––– ∨x ∧ x– = x ∨ x

2

–– y = x––––– 1 ∨ x2 ,

1

2

1

2

1

2

Rechenregeln x∧x=x,

x∨x=x,

O∧O=O,

L∧L=L,

L∨L=L,

x∨O=x,

x∨L=L,

x∧O=O, x ∧ x¯ = O ,

O∨O=O x∧L=x x ∨ x– = L

Kürzungsregeln x1 ∨ (x1 ∧ x2) = x1 x1 ∧ (x1 ∨ x2) = x1 x1 ∨ (x¯1 ∧ x2) = x1 ∨ x2 x1 ∧ (x¯1 ∨ x2) = x1 ∧ x2 (x1 ∧ x2) ∨ (x1 ∧ x¯2) = x1 Umwandlung der logischen Grundfunktionen UND, ODER und NICHT in NAND UND in NAND x1

x1 &

x2

yU

=

&

&

x2

yU

ODER in NAND x1

ODER in NAND

&

x1 ≥1 x2

yO

=

& y2

&

NICHT in NAND x1 x1

1

yN

=

&

yN

yO

6

Schwingungen

6.1

Mechanische Schwingungen

Differenzialgleichung der ungedämpften harmonischen Schwingung F k y m t E ●

Rückstellkraft Richtgröße (Federkonstante) Elongation (Auslenkung) Masse des schwingenden Körpers Zeit Energie d2y m –––2 + ky = 0 , my¨ + ky = 0 , dt 1 1 – my˙ + – ky = Ek + Ep = E = const 2 2

N N m–1 m kg s J F k = – –– y

Eigenfrequenz der ungedämpften harmonischen Schwingung T, f, w → Benutzungshinweise k Richtgröße (Federkonstante) m Masse des schwingenden Körpers ●

1 f = –– 2p

N m–1 kg

1 f = –– T

k –– , m

Kreisfrequenz der Eigenschwingung ●

w = 2pf ,

w=

k –– m

Bewegungsgesetze der ungedämpften harmonischen Schwingung t, w → Benutzungshinweise y Elongation Amplitude ym √ Geschwindigkeit maximale Geschwindigkeit (Geschwindig√m keitsamplitude) a Beschleunigung am maximale Beschleunigung (Beschleunigungsamplitude) f0 Nullphasenwinkel

m m m s–1 m s–1 m s–2 m s–2 rad 1

S

244

6 Schwingungen

Weg-Zeit-Gesetz ●

y

y = ym sin (wt + f0) t

Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz ●

√ = √m cos (wt + f0) ,

√ m = ym w

v ω t

Beschleunigung-Zeit-Gesetz ●

a = –am sin (wt + f0)

●

a = –w2y ,

v ω2 t

am = w 2ym

Weg-Zeit-Gesetz für eine beliebige ungedämpfte periodische Schwingung t, w → Benutzungshinweise y Elongation yzm Amplitude der z-ten Teilschwingung f0z Nullphasenwinkel der z-ten Teilschwingung

m m rad 1

∞

y = ∑ yzm sin (zwt + f0z) z=1

Differenzialgleichung der freien gedämpften Schwingung y k m t a FR

Elongation Richtgröße (Federkonstante) Masse des schwingenden Körpers Zeit Dämpfungskoeffizient die Dämpfung hervorrufende Reibungskraft

m N m–1 kg s N s m–1 = kg s–1 N

2

●

dy dy m ––– + a ––– + ky = 0 , dt2 dt FR a = ––– dy ––– dt

my¨ + ay˙ + ky = 0

Abklingkoeffizient t, T → Benutzungshinweise d Abklingkoeffizient yn Verhältnis zweier aufeinander folgender –––– yn+1 Amplituden in der gleichen Richtung

s–1 1

245

6.1 Mechanische Schwingungen

m a L

Masse des schwingenden Körpers Dämpfungskoeffizient logarithmisches Dekrement

●

y y(t) –––n– = ––––––– = edT yn+1 y (t + T)

mit

kg kg s–1 1

a d = ––– 2m

Logarithmisches Dekrement yn L = ln –––– = dT yn +l Kreisfrequenz der freien gedämpften Schwingung w k m a

Kreisfrequenz Richtgröße (Federkonstante) Masse des schwingenden Körpers Dämpfungskoeffizient

●

w=

s–1 N m–1 kg kg s–1

k a2 –– – ––––2 m 4m

a2 < 4mk a2 = 4mk a2 > 4mk a=0

S

gedämpfte Schwingung aperiodischer Grenzfall Kriechvorgang ungedämpfte Schwingung

Weg-Zeit-Gesetz der freien gedämpften Schwingung Benutzungshinweise Elongation Masse des schwingenden Körpers Abklingkoeffizient Dämpfungskoeffizient Nullphasenwinkel a d = ––– 2m y y0 e – δ t y1

± y0e–dt ist die Hüllkurve an die WegZeit-Kurve der gedämpften Schwingung.

y0

y = y0e–dt sin (wt + f0) mit

m kg s–1 kg s–1 rad 1

y2 t

y0

t, w → y m d a f0

– y0

e –δ t

246

6 Schwingungen

Differenzialgleichung der erzwungenen Schwingung bei periodischer Erregerkraft y k a Fm w t m

Elongation Richtgröße (Federkonstante) Dämpfungskoeffizient Maximalwert der Erregerkraft Kreisfrequenz der Erregerkraft Zeit Masse des schwingenden Körpers

●

d2y dy m –––2 + a –– + ky = Fm cos wt, dt dt

m N m–1 kg s–1 N s–1 s kg

my¨ + ay˙ + ky = Fm cos wt

Weg-Zeit-Gesetz des eingeschwungenen Zustandes der erzwungenen Schwingung y y0 = y0 (w) w w0 Fm m f0 a k t

Elongation Amplitudenresonanzfunktion Kreisfrequenz der Erregerkraft Kreisfrequenz der ungedämpften Eigenschwingung Maximalwert der Erregerkraft Masse des schwingenden Körpers Nullphasenwinkel Dämpfungskoeffizient Richtgröße (Federkonstante) Zeit

m m s–1 s–1 N kg rad 1 kg s–1 N m–1 s

y = y0 cos (wt – f0) Amplitudenresonanzfunktion Fm y0 = ––––––––––––––––––– 2 2 m (w0 – w2)2 + a2w2 Phasenverschiebung zwischen erzwungener Schwingung und Erregerkraft aw tan f0 = –––––––––– m (w20 – w2) Kreisfrequenz der ungedämpften Eigenschwingung w0 =

k –– m

247


Resonanz yr yst k m Fm wr w0 w a d T f

Maximum der Resonanzkurve statische Auslenkung Richtgröße (Federkonstante) Masse des schwingenden Körpers Maximalwert der Erregerkraft Resonanzkreisfrequenz Kreisfrequenz der ungedämpften Eigenschwingung Kreisfrequenz der Erregerkraft Dämpfungskoeffizient Abklingkoeffizient Periodendauer Phasenverschiebungswinkel zwischen erzwungener Schwingung und Erregerkraft

Resonanzkreisfrequenz a2 w2r = w 20 – ––––2 2m

s–1 s–1 kg s–1 s–1 s rad, ° ohne Dämpfung y

mit Dämpfung

yr

ϕ

ωr

ω

ωr

ω

180° 90°

w=0

Resonanzüberhöhung yr pw20 –– = ––––––––––– –– yst k a2 dT –– – ––––2 m 4m

(

)

Amplitudenmodulation yM ym y1m w w1 M t

S

yst

Maximum der Resonanzkurve Fm yr = –––––––––––– für w = wr a2 a w20 – ––––2 4m Statische Auslenkung Fm yst = ––––2 für mw 0

m m N m–1 kg N s–1

Elongation der amplitudenmodulierten Schwingung Amplitude der nichtmodulierten Trägerschwingung Amplitude der aufmodulierten Schwingung (Amplitudenhub) Kreisfrequenz der nichtmodulierten Schwingung Kreisfrequenz der aufmodulierten Schwingung Modulationsgrad Zeit

m m m s–1 s–1 1 s

248

6 Schwingungen

Amplitudenmodulierte Schwingung yM = (ym + y1m cos w1t) cos wt

Modulationsgrad y1m M = ––– ym

y1m ym

1 1 yM = ym cos wt + – y1m cos (w + w1) t + – y1m cos (w – w1) t 2 2

t

Überlagerung harmonischer Schwingungen gleicher Frequenz und Schwingungsrichtung, verschiedener Amplituden und verschiedener Schwingungsphasen t, w → Benutzungshinweise y Elongation der Überlagerungsschwingung Elongationen der Einzelschwingung y1, y2 y1m, y2m Amplituden der Einzelschwingungen g Phasenverschiebung der Einzelschwingungen untereinander y Phasenverschiebung zwischen Überlagerungsschwingung und Einzelschwingung

m m m rad 1 rad 1

Einzelschwingungen (Ausgangsschwingungen) y

y1 = y1m sin wt

ym

y1

y2 = y2m sin (wt + g)

y = y1 + y2

γ y1

●

y2

y

y2m

Überlagerungsschwingung

Auffinden der Überlagerungsschwingung aus dem Zeigerdiagramm

ω ψ

y 1m ω ·t t

Die Projektion eines mit der Winkelgeschwindigkeit w rotierenden Zeigers auf die y-Achse ergibt die Augenblickswerte der Elongation in Abhängigkeit von der Zeit. Durch vektorielle Addition zweier Zeiger erhält man den Zeiger der Überlagerungsschwingung. Entsprechend kann man für mehr als zwei Schwingungen vorgehen. Man erhält dann ein Zeigervieleck.

249


Für die Amplitude der Überlagerungsschwingung erhält man 2 2 ym = y 1m + y 22m + 2y1m y2m cos g

y2m sin g tan y = ––––––––––––– y1m + y2m cos g Überlagerungsschwingung ●

y = ym sin (wt + y)

Überlagerung von harmonischen Schwingungen wenig verschiedener Frequenz, gleicher Amplitude und gleicher Schwingungsrichtung (Schwebungen) f1, f2 fs T 1 , T2 Ts

Frequenzen der Einzelschwingungen Schwebungsfrequenz Periodendauer der Einzelschwingungen Schwebungsperiodendauer

Hz Hz s s

Schwebungsfrequenz ●

S

fs = f2 – f1

Schwebungsperiode T1 T 2 Ts = –––––– T1 – T2 Überlagerung zweier Schwingungen, deren Schwingungsrichtungen aufeinander senkrecht stehen (Die Schwingungsrichtungen sollen mit den Achsen eines rechtwinkligen Koordinatensystems zusammenfallen.) x, y xm, ym wx , wy t f0

Elongationen der Einzelschwingungen Amplituden der Einzelschwingungen Kreisfrequenzen der Einzelschwingungen Zeit Phasenverschiebung

m m s–1 s rad 1

Parameterdarstellung der Überlagerungsschwingung x = xm sin wx t ,

y = ym sin (wy t + f0)

Sind nx und ny ganze Zahlen und gilt wx /wy = nx /ny , ergibt die Überlagerung der Schwingungen eine Lissajous-Figur.

250

6 Schwingungen

Einige Lissajous-Figuren Ellipse

Kreis

f0 = 0; wx = wy = w

p f0 = –– ; wx = wy = w 2

p f0 = –– ; wx = wy = w 2

ym y = ––– x xm

x2 y2 ––– + ––– = 1 2 xm y 2m

ym = x m = r x2 + y2 = r2 2 x2 + y = 1 x2m y2m

x = x(t)

x2 + y 2 = r2 y = y(t)

y = y (t)

ym x y = xm

y = y (t)

Gerade

x = x (t)

x = x(t)

Federschwingungen t, f, w → Benutzungshinweise F Kraft k Richtgröße (Federkonstante) y durch die Kraft hervorgerufene Verlängerung ym Amplitude der Federschwingung Ep potenzielle Energie Ek kinetische Energie Nullphasenwinkel f0 m Masse des schwingenden Körpers √ Geschwindigkeit des schwingenden Körpers maximale Geschwindigkeit √m

N N m–1 m m J J rad 1 kg m s–1 m s–1

Richtgröße (Federkonstante) ●

F k = – –– y

Kreisfrequenz und Eigenfrequenz des Masse-Feder-Systems ●

k –– , m

w=

1 f = ––– 2p

k –– m

Federkonstante parallel geschalteter Federn, die alle durch Einwirkung der Kraft F die gleiche Längenänderung y erhalten n

k = ∑ ki i=1

251


Federkonstante hintereinander geschalteter Federn aus n 1 1 – = ∑ –– k i =1 ki

Potenzielle Energie Beliebige Elongation ●

1 1 Ep = –– ky 2 = –– ky 2m sin2 (wt + f0) 2 2

Maximale potenzielle Energie ●

1 Ep max = – ky 2m 2

Kinetische Energie Beliebige Elongation ●

1 1 Ek = –– m √ 2 = –– mw 2y 2m cos 2 (wt + f0) 2 2

S

1 = –– ky 2m cos 2 (wt + f0) 2 Maximale kinetische Energie ●

1 1 Ek max = – ky 2m = – m√ 2m 2 2

Gesamtenergie bei beliebiger Elongation ●

1 E = – ky 2m 2

Eigenfrequenz eines longitudinal schwingenden Stabes fn l E r

Frequenz der n-ten Eigenschwingung Länge des Stabes Elastizitätsmodul Dichte

Beide Enden sind frei oder fest eingespannt n fn = –– 2l

E –– r

Hz m Pa kg m–3

252

6 Schwingungen

n=1

Grundschwingung

n=2

1. Oberschwingung

n=3

2. Oberschwingung

Ein Ende ist frei, ein Ende ist fest eingespannt 2n + 1 fn = –––––– 2l

E –– r

n=1

Grundschwingung

n=2

1. Oberschwingung

n=3

2. Oberschwingung

Eigenfrequenzen einer transversal schwingenden Saite fn F r l A

Frequenz der n-ten Eigenschwingung Kraft, mit der die Saite gespannt wird Dichte Länge der Saite Querschnittsfläche der Saite n fn = –– 2l

Hz N kg m–3 m m2

F ––– rA

Eigenfrequenzen von Biegeschwingungen fn d l E r m F k y I a, b z

Eigenfrequenz der n-ten Schwingung Durchmesser Länge Elastizitätsmodul Dichte Masse des schwingenden Körpers Kraft (Belastung) Richtgröße (Federkonstante) durch die Kraft F hervorgerufene Durchbiegung Flächen(trägheits)moment, bezogen auf die Biegeachse des Querschnitts Abmessungen (→ Bild S. 254) durch die Ordnung der Schwingung bestimmte Größe

Zylindrischer Stab mit kreisförmigem Querschnitt dz 2 f = ––––2 8pl

E –– r

Hz m m Pa kg m–3 kg N N m–1 m m4 m 1

253

6.1 Mechanische Schwingungen Grundschwingung 1. Oberschwingung 2. Oberschwingung

Freier zylindrischer Stab

Grundschwingung 1. Oberschwingung 2. Oberschwingung

z

Knotenabstände am Ende

4,730 7,853 11,00

0,224 l 0,5 l und 0,132 l 0,356 l und 0,0944 l

z

Knotenabstände vom freien Ende

Einseitig eingespannter Stab

Grundschwingung 1. Oberschwingung 2. Oberschwingung

1,875 4,6941 7,8551

S

0,226 l 0,4499 l und 0,1321 l

Zweiseitig gestützter Stab (Welle auf zwei Lagern) z Grundschwingung 1. Oberschwingung 2. Oberschwingung

p 2p 3p

m y

Einseitig eingespannter Träger mit einer Masse am freien Ende (ohne Berücksichtigung der Trägermasse) 1 f = ––– 2p

k –– , m

3EI F k = –––– = –– y l3

Bei angenäherter Berücksichtigung der gleichmäßig verteilten Eigenmasse kann man ein Viertel der Eigenmasse zur Masse m addieren.

254

6 Schwingungen m y

Träger auf zwei Stützen mit einer Einzelmasse an beliebiger Stelle (ohne Berücksichtigung der Trägermasse) a

1 f = ––– 2p

b

3EIl F k = ––2–––2 = –– y a b

k –– , m

Bei angenäherter Berücksichtigung der gleichmäßig verteilten Eigenmasse kann man die Hälfte der Eigenmasse zur Masse m addieren. Differenzialgleichung der ungedämpften harmonischen Drehschwingung M f D J t

Kraftmoment (Drehmoment) durch das Drehmoment hervorgerufener Drehwinkel Winkelrichtgröße (Direktionsmoment) Massenträgheitsmoment, bezogen auf die Drehachse Zeit

●

d2f J ––––2 + Df = 0 , dt

Jf¨ + Df = 0 ,

Nm rad 1 N m rad–1 kg m2 s

M D = – ––– f

Eigenfrequenz der ungedämpften harmonischen Drehschwingung T, f → Benutzungshinweise D Winkelrichtgröße (Direktionsmoment) J Massenträgheitsmoment wD Kreisfrequenz der Drehschwingung ●

1 f = ––– 2p

D –– , J

N m rad–1 kg m2 s–1

1 – f = –– T

Kreisfrequenz der Drehschwingung ●

wD = 2pf ,

wD =

D –– – J

Bewegungsgesetze der ungedämpften harmonischen Drehschwingung f fm w wm a am

Drehwinkel maximaler Drehwinkel Winkelgeschwindigkeit des schwingenden Körpers maximale Winkelgeschwindigkeit Winkelbeschleunigung des schwingenden Körpers maximale Winkelbeschleunigung

rad 1 rad 1 rad s–1 s–1 rad s–1 s–1 rad s–2 s–2 rad s–2 s–2

255


f0 wD t

von der Wahl des Nullpunktes der Zeitskala abhängige Phasenkonstante, Nullphasenwinkel Kreisfrequenz der Drehschwingung Zeit

rad 1 s–1 s

Drehwinkel-Zeit-Gesetz ●

f = fm sin (wDt + f0)

Winkelgeschwindigkeit-Zeit-Gesetz ●

w = wm cos (wDt + f0),

wm = fm wD

Winkelbeschleunigung-Zeit-Gesetz ●

a = – am sin (wDt + f0),

am = fm w 2D ,

a = – w 2D f

Pendelschwingungen f m g a J l l′

Eigenfrequenz Masse des Pendels Fallbeschleunigung Abstand des Schwerpunktes S vom Aufhängepunkt A Massenträgheitsmoment, bezogen auf den Aufhängepunkt Länge des mathematischen Pendels reduzierte Pendellänge

S

Hz kg m s–2 m kg m2 m m

Eigenfrequenz des physikalischen Pendels Für kleine Drehwinkel (< 5°) gilt 1 –– f = –– 2p

mga –– ––– J

1 –– f = –– 2p

g –– , l′

A a

●

J ––– l′ = –– ma

Eigenfrequenz des mathematischen Pendels Für kleine Drehwinkel (<5°) gilt ●

1 –– f = –– 2p

g –– l

S B

256

6.2

6 Schwingungen

Elektrische Schwingungen

Ungedämpfte elektrische Schwingungen t, T, w → Benutzungshinweise C elektrische Kapazität L Induktivität q elektrische Ladung i elektrische Stromstärke Maximalwert der Stromstärke Im Maximalwert der Spannung Um uC Spannung am Kondensator uL Spannung an der Spule Nullphasenwinkel f0 Em magnetische Energie der elektrischen Schwingung Ee elektrische Energie der elektrischen Schwingung E gesamte Schwingungsenergie

F H C A A V V V rad 1 J J J

Differenzialgleichung der ungedämpften elektrischen Schwingung ●

d –– (uC + uL) = 0 , dt

d2i 1 L –––2 + –– i = 0 dt C

C

L

Elektrische Stromstärke (Lösung der Differenzialgleichung) ●

i = Im sin (wt + f0)

Thomson’sche Gleichung ●

T = 2p LC

Magnetische Energie der elektrischen Schwingung 1 Em = – Li 2 , 2

1 Em = – LI 2m sin2 (wt + f0) 2

Elektrische Energie der elektrischen Schwingung 1 q2 Ee = – –– , 2C

1 Ee = – CU 2m cos2 (wt + f0) 2

Gesamte Energie der elektrischen Schwingung ●

1 1 E = Ee + Em = – CU 2m = – LI 2m 2 2

257

6.2 Elektrische Schwingungen

Gedämpfte elektrische Schwingungen t, T, w → Benutzungshinweise R ohmscher Widerstand L Induktivität C elektrische Kapazität i elektrische Stromstärke Maximalwert der Stromstärke Im uR Spannung am ohmschen Widerstand Spannung an der Spule uL uC Spannung am Kondensator d Abklingkoeffizient f0 Nullphasenwinkel L logarithmisches Dekrement

W H F A A V V V s–1 rad 1 1

Differenzialgleichung der gedämpften elektrischen Schwingung ●

d –– (uR + uL + uC) = 0 dt

●

d2i di 1 L –––2 + R –– + –– i = 0 dt dt C

C

S

R L

Elektrische Stromstärke (Lösung der Differenzialgleichung) ●

i = Ime–dt sin (wt + f0)

Abklingkoeffizient ●

i(t) ––––––––– = edT , i (t + T )

R d = ––– 2L

Logarithmisches Dekrement i(t) R L = ln –––––––– = ––– T i (t + T ) 2L Kreisfrequenz und Periodendauer der gedämpften elektrischen Schwingung ●

w=

1 R2 –––– – –––– , LC 4L2

T = 2p

1 ––––––––– 1 R2 ––– – –––– LC 4L2

258

6.3

6 Schwingungen

Wechselstrom

Wechselspannung und Wechselstrom t, T, f, w → Benutzungshinweise u Augenblickswert der elektrischen Spannung Maximalwert der elektrischen Spannung Um (Scheitelspannung) U Effektivwert der elektrischen Spannung i Augenblickswert der elektrischen Stromstärke Maximalwert der elektrischen Stromstärke Im (Scheitelstromstärke) I Effektivwert der elektrischen Stromstärke a, b Nullphasenwinkel für Spannung bzw. Stromstärke Wechselspannung

A A rad 1

u

u = Um sin (wt + a)

Wechselstromstärke ●

V V A

i = Im sin (wt + b)

Um

●

V

αT 2π

t T

Effektivwerte von Stromstärke und Spannung ●

Im I = ––– , 2

Um U = –––– 2

Periodendauer und Kreisfrequenz ●

1 T = –– , f

w = 2pf

Addition phasenverschobener Spannungen bzw. Ströme gleicher Frequenz Es gelten die gleichen Beziehungen wie bei den mechanischen Schwingungen → S. 248. An Stelle der Elongation y und der Amplitude ym sind u und Um bzw. i und Im zu setzen. Wechselstromkreis mit reinem Leitungswiderstand (ohmscher Widerstand) t, T, w → Benutzungshinweise i Augenblickswert der elektrischen Stromstärke Maximalwert der elektrischen Stromstärke Im uR Augenblicksspannung am ohmschen Widerstand U, I Effektivwerte von elektrischer Spannung und Stromstärke

A A V V, A

259

6.3 Wechselstrom

URm R pR P

Scheitelspannung am ohmschen Widerstand ohmscher Widerstand Augenblicksleistung am ohmschen Widerstand Durchschnittsleistung (Wirkleistung)

W W W W

Elektrische Stromstärke und elektrische Spannung Zwischen Stromstärke und Spannung besteht keine Phasenverschiebung ●

i = Im sin wt,

R

uR = URm sin wt URm

Ohmscher Widerstand ●

uR R = ––– , i

ω

Im

URm R = ––––– , Im

U R = –– I

i t

Augenblicksleistung am ohmschen Widerstand

uR

pR = ImURm sin2 wt

t

Wirkleistung ●

1 P = –– T

pR T

∫ pR dt ,

0

1 P = – I 2m R = I 2R 2

t

T

Wechselstromkreis mit induktivem Widerstand t, T, w → Benutzungshinweise i Augenblickswert der elektrischen Stromstärke Im Maximalwert der elektrischen Stromstärke uL Augenblicksspannung am induktiven Widerstand ULm Scheitelspannung am induktiven Widerstand L Induktivität Augenblicksleistung am induktiven Widerstand pL P Wirkleistung Wechselstromwiderstand der Spule XL (induktiver Blindwiderstand) BL Blindleitwert der Spule U, I Effektivwerte von elektrischer Spannung und Stromstärke induktive Blindleistung QL

A A V V H W W W S V, A var = W

S

260

6 Schwingungen

Elektrische Stromstärke und elektrische Spannung Zwischen Stromstärke und Spannung besteht eine Phasenverschiebung von p/2. Die Spannung eilt der Stromstärke voraus. ●

(

p uL = ULm sin wt + –– 2

i = Im sin wt,

)

Wechselstromwiderstand der Spule (induktiver Blindwiderstand) ●

XL = wL ,

uL ULm UL XL = ––– = ––––– = ––– I i Im

Blindleitwert ●

L

1 BL = ––– , wL

1 BL = ––– XL

ULm

ω

Augenblicksleistung am induktiven Widerstand

(

p pL = ImULm sin wt sin wt + –– 2

)

1 P = –– T

T

∫ pL dt = 0 ,

t

P=0

0

Induktive Blindleistung ●

t uL

Wirkleistung ●

Im

i

pL

QL = ULI = I 2XL

t T

Wechselstromkreis mit kapazitivem Widerstand t, T, w → Benutzungshinweise i Augenblickswert der elektrischen Stromstärke Maximalwert der elektrischen Stromstärke Im uC Augenblicksspannung am Kondensator UCm Scheitelspannung am Kondensator C elektrische Kapazität pC Augenblicksleistung am Kondensator P Wirkleistung Wechselstromwiderstand des Kondensators XC (kapazitiver Blindwiderstand) BC Blindleitwert des Kondensators U, I Effektivwerte von Spannung und Stromstärke kapazitive Blindleistung QC

A A V V F W W W S V, A var = W

261

6.3 Wechselstrom

Elektrische Stromstärke und elektrische Spannung Zwischen Stromstärke und Spannung besteht eine Phasenverschiebung von – p/2. Die Stromstärke eilt der Spannung voraus. ●

(

p uC = UCm sin wt – –– 2

i = Im sin wt,

) C

Wechselstromwiderstand des Kondensators (kapazitiver Blindwiderstand) ●

1 XC = –––– , wC

UCm

ω

i

Blindleitwert ●

Im

uC UCm UC XC = ––– = –––––– = –––– I i Im

BC = wC ,

1 BC = ––– XC

t uC

Augenblicksleistung am kapazitivenWiderstand

(

p pC = ImUCm sin wt sin wt – –– 2

)

t

S

pC

Wirkleistung ●

1 P = –– T

T

∫ pC dt = 0 ,

t

P=0

T

0

Kapazitive Blindleistung ●

QC = UC I = I 2XC

Reihenschaltung von ohmschem Widerstand, induktivem Widerstand und kapazitivem Widerstand t, T, w → Benutzungshinweise i Augenblickswert der elektrischen Stromstärke Im Maximalwert der elektrischen Stromstärke R ohmscher Widerstand (Wirkwiderstand) L Induktivität C elektrische Kapazität Augenblicksspannungen an R, L und C uR, uL, uC URm, ULm, UCm Scheitelspannungen an R, L und C u Augenblickswert der Gesamtspannung Um Maximalwert der Gesamtspannung Augenblicksleistung pA P Wirkleistung

A A W H F V V V V W W

262

6 Schwingungen

Blindwiderstand induktiver Blindwiderstand kapazitiver Blindwiderstand Scheinwiderstand Phasenverschiebung zwischen Stromstärke und Spannung Scheinleitwert Effektivwerte der Spannungen an R, L und C Resonanzgüte (Gütezahl bei Resonanz) Resonanzfrequenz

X XL XC Z f Y UR, UL, UC Q fR

W W W W rad 1 S V 1 Hz

j = –1 Elektrische Stromstärke und elektrische Spannung

●

i = Im sin wt ,

u = Um sin (wt + f)

UmC

ϕ UmC

Gesamtspannung

L R

UmL

Zwischen Stromstärke und Spannung besteht eine Phasenverschiebung f, deren Größe durch R, L, C und w bestimmt wird.

C

Um

ω

UmR

Um = UR2 + (UL – UC)2

●

Um = Im Z ,

XL

●

XC

2 Um = URm + (ULm – UCm)2

ϕ

Z R

XC

U = IZ

Scheinwiderstand ●

Z=

(

1 R 2 + wL + ––– wC

)

2

i t

Z ist von der Zeit unabhängig, die Widerstandszeiger rotieren nicht.

u

Komplexer Scheinwiderstand ●

t

Z _ = R + j (XL + XC)

Scheinleitwert ●

1 Y = –– Z

pA

T

t

263

6.3 Wechselstrom

Phasenverschiebung zwischen Stromstärke und Spannung aus

●

1 wL – ––– wC – tan f = –––––––– R

Bedingung für Reihenresonanz ●

w 2LC = 1

1 fR = –––– 2p

1 ––– LC

Elektrische Spannung am Kondensator und an der Spule bei Resonanz 1 U UL = UC = I ––––– = IwL = –– wC R

L –– C

Gütezahl bei Resonanz (Kreisgüte des Reihenschwingkreises) wL 1 Q = ––––– = –– R R

L –– C

S

Wirkwiderstand (ohmscher Widerstand) und Blindwiderstand ●

R = Z cos f ,

X = XL – XC = Z sin f

Augenblicksleistung pA = ImUm sin wt sin (wt + f) Wirkleistung ●

1 P = –– T

T

∫ pA dt ,

0

1 P = – I m Um cos f = UI cos f 2

Parallelschaltung von ohmschem Widerstand, induktivem Widerstand und kapazitivem Widerstand t, T, w → Benutzungshinweise i Augenblickswert der Gesamtstromstärke Im Maximalwert der Gesamtstromstärke iR, iL, iC elektrische Stromstärken durch R, L, C IRm, ILm, ICm Scheitelstromstärken der Ströme durch R, L, C Effektivwerte der Ströme durch R, L, C IR, IL, IC

A A A A A

264

6 Schwingungen

Augenblickswert der elektrischen Spannung Scheitelspannung ohmscher Widerstand Induktivität elektrische Kapazität Wirkleitwert Scheinleitwert Blindleitwert induktiver Blindleitwert kapazitiver Blindleitwert Augenblicksleistung Wirkleistung Scheinwiderstand Phasenverschiebung zwischen Stromstärke und Spannung Resonanzgüte (Gütezahl bei Resonanz) Resonanzfrequenz

u Um R L C G Y B BL BC pA P Z f Q fR j = –1

Elektrische Stromstärke und elektrische Spannung ●

u = Um sin wt,

i = Im sin (wt + f)

Gesamtstromstärke ●

2 Im = I Rm + (ICm – ILm)2 ,

●

Im = YUm ,

I = I R2 + (IC – IL)2

I = UY

Scheinleitwert ●

1 Y = –– = Z

(

1 1 –– + wC – ––– R2 wL

)

Y ist wie Z von der Zeit unabhängig. Komplexer Scheinleitwert ●

Y _ = G + j (BC – BL )

2

V V W H F S S S S S W W W rad 1 Hz

265

6.3 Wechselstrom

Phasenverschiebung zwischen Stromstärke und Spannung aus ●

(

1 tan f = R wC – ––– wL

)

C

R

L

1 ––––– LC

Elektrische Stromstärke durch die Spule und den Kondensator bei Resonanz

I mL

1 fR = ––– 2p

w 2LC = 1

ϕ

ω

BC

BL

R IL = IC = I ––– wL

Im

I mR

I mL

●

I mC

Bedingung für Parallelresonanz

R Q = ––– = R wL

C –– L

ϕ

t

1 G = –– , R

G = Y cos f

i t

Blindleitwert ●

B = BC – BL = Y sin f

pA

Augenblicksleistung T

pA = ImUm sin wt sin (wt + f) Wirkleistung ● ●

1 P = –– T

S

u

Wirkleitwert ●

Y 1 R

BL

Gütezahl bei Resonanz (Kreisgüte bei Parallelresonanz)

T

∫ pA dt

0

1 P = – ImUm cos f = UI cos f 2

t

266

6 Schwingungen

Ohm’sches Gesetz des Wechselstromkreises Z Um , Im U, I Y

Scheinwiderstand Maximalwerte von Spannung und Stromstärke Effektivwerte von Spannung und Stromstärke Scheinleitwert

●

U Z = –– , I

Um Z = –––– , Im

W V, A V, A S

1 Z = –– Y

Leistung im Wechselstromkreis P S Q U I f C w

Wirkleistung Scheinleistung Blindleistung Effektivwert der elektrischen Spannung Effektivwert der elektrischen Stromstärke Phasenverschiebung zwischen Stromstärke und Spannung elektrische Kapazität des Kondensators, der die Phasenverschiebung f1 auf f2 verringert Kreisfrequenz

Scheinleistung ●

W VA = W var = W V A ° F s–1

Q

S

S = UI ϕ

Wirkleistung

P

●

P = S cos f

Blindleistung ●

Q = S sin f R

Kapazität des erforderlichen Phasenschieberkondensators ●

P C = –––– (tan f1 – tan f2) U 2w

Kompensierte Blindleistung ●

DQ = P (tan f1 – tan f2)

L C

∆Q

Q1 Q2

S1

ϕ1

ϕ2

S2 P

267

6.3 Wechselstrom

Grundgesetz des Transformators U I f Z N

elektrische Spannung, Effektivwert der Spannung elektrische Stromstärke, Effektivwert der Stromstärke Phasenverschiebung zwischen elektrischer Stromstärke und elektrischer Spannung Scheinwiderstand Windungszahl

V A ° W 1

Index 1 bezieht sich auf die Primärspule, Index 2 bezieht sich auf die Sekundärspule.

Übersetzungsverhältnis Bei gleicher Änderung des magnetischen Flusses in der Primär- und in der Sekundärspule gilt ●

U1 N1 ––– = ––– U2 N2

S

Wirkleistung Unter Vernachlässigung der Wicklungs-(Kupfer-) und Kernverluste (Eisenverluste) gilt ●

P = U1 I1 cos f1 = U2 I2 cos f2

Für den idealen Transformator (verlust- und streuungslos) gelten folgende Gleichungen ●

U1 I2 N1 ––– = –– = ––– , U2 I1 N2

Z1 N 12 ––– = ––– Z2 N 22

Grundgesetze des Drehstromkreises US UL IS

Effektivwert der Strangspannung Effektivwert der Leiterspannung Effektivwert der Strangstromstärke

V V A

268

Effektivwert der Leiterstromstärke Phasenverschiebung zwischen Stromstärke und Spannung Scheinleistung Wirkleistung

UL

L1 Z1 US

IL Z2

IL US US

Sternschaltung ●

A ° VA W

IL

UL

Für symmetrische Belastung (gleiche Belastung der drei Phasen) gelten folgende Gleichungen:

UL

IL f S P

6 Schwingungen

Z3

UL = 3US

L2 L3 N

IL = IS Dreieckschaltung

UL = US

UL

●

UL

IL = 3IS UL

●

IL IS IL IL

L1 Z1 Z2 IS L2 Z3 IS L3

Leistung im Drehstromkreis Scheinleistung und Wirkleistung ●

S = 3UL IL ,

P = S cos f

Umrechnung einer Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen in eine äquivalente Parallelschaltung und umgekehrt Rr, Rp ohmscher Widerstand bei Reihen- bzw. Parallelschaltung Xr, Xp Blindwiderstand bei Reihen- bzw. Parallelschaltung

W W

269

6.3 Wechselstrom

Reihenschaltung in Parallelschaltung 1 Rp = –– (R 2r + X 2r ) Rr

Rp Rr

1 Xp = –– (R 2r + X 2r ) Xr

Xr Xp

Parallelschaltung in Reihenschaltung Rp X p2 Rr = –––––––– , R p2 + X p2

XpR p2 Xr = –––––––– R p2 + X p2

Skineffekt s f g mr m0 ●

Eindringtiefe des elektrischen Stromes (wirksame Leitschichtdicke) Frequenz elektrische Leitfähigkeit Permeabilitätszahl magnetische Feldkonstante

m Hz S m–1 1 H m–1

S

1 s = ––––––––––– pfgm 0 m r

Darstellung von nichtsinusförmigen Wechselgrößen (Impulsfolgen) durch periodische Funktionen t, w → w Wm f0

Benutzungshinweise Augenblickswert der Wechselgrößen Maximalwert der Wechselgröße Nullphasenwinkel

Folge von Rechteckimpulsen

V bzw. A V bzw. A rad 1

W

2 π rad

(

2Wm f0 sin f0 w(wt) = ––––– –– + ––––– cos wt p 2 1 sin 2f0 sin 3f0 + ––––––– cos 2wt + ––––––– cos 3wt + … 2 3

)

2ϕ

ωt

270

6 Schwingungen

Rechteckschwingung

2 π rad

W

(

4Wm 1 w(wt) = ––––– cos wt – – cos 3wt p 3 ωt

)

1 1 + – cos 5wt – – cos 7wt + – … 5 7

Übersicht über Widerstände und wichtige Widerstandskombinationen sowie die durch sie hervorgerufenen Phasenverschiebungen zwischen Spannung und Stromstärke Schaltung R

L

C

L

R

R

Z _=

Z=

R

R

jXL = jwL

XL = wL

j – jXC = – ––– wC

1 XC = ––– wC

C

R 2 + (XL – XC)2

R + j (XL – XC)

( (

) )

1 1 1 – Rj ––– – ––– XC XL R ––––––––––––––– 1 1 2 1 + R 2 ––– – ––– XC XL

L C

R

L C

1 –––––––––––––––– 1 1 1 2 ––2 + ––– – ––– R XC XL

(

)

RXC – j [R 2 + XL (XL – XC)] XC R 2 + X L2 XC –––––––––––––––––––––––– ––––––––––––––––––––––– 2 2 R + (XL – XC) XC2 + (R 2 + X L2) – 2XLXC

271

6.3 Wechselstrom

Kippschwingungen

W

(

2Wm 1 w(wt) = – ––––– sin wt + – sin 2wt p 2 1 + – sin 3wt 3

2 π rad

)

ωt

Y _=

Y=

tan f =

1 G = –– R

1 G = –– R

0

j j – ––– = – ––– XL wL

1 1 BL = ––– = ––– XL wL

→+∞

j ––– = jwC XC

1 BC = ––– = wC XC

→–∞

R + j (XC – XL) –––––––––––––– R 2 + (XC – XL)2

1 ––––––––––––––– 2 R + (XC – XL)2

XL – XC –––––––– R

(

1 1 1 –– + j ––– – ––– R XC XL

)

(

1 1 1 ––– + ––– – ––– R2 XC XL

)

2

XC + j [R 2 + XL (XL – XC)] X C2 + (R 2 + X L2) – 2XCXL ––––––––––––––––––––––– ––––––––––––––––––––––– 2 2 XC (R + X L ) XC R 2 + X L2

(

1 1 R ––– – ––– XL XC

S

)

XL (XC – XL) – R 2 ––––––––––––––– RXC

7

Wellen

7.1

Allgemeine Wellenlehre

Mathematische Darstellung einer harmonischen Welle l, t, T, f, w → Benutzungshinweise x Ort (Abszisse) y Elongation Amplitude ym c Ausbreitungsgeschwindigkeit r Entfernung vom Sender (bei Kugelwellen) Elongation in der Entfernung r0 y0

m m m m s–1 m m

Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle, Kreisfrequenz und Periodendauer ●

c = lf,

w = 2p f,

1 T = –– f

Differenzialgleichung der nach rechts oder nach links laufenden ebenen Wellen ●

∂ 2y ∂ 2y c 2 ––– = ––– ∂x 2 ∂t 2

Differenzialgleichung der in Richtung der positiven x-Achse (also nach rechts) laufenden ebenen Welle (– -Zeichen) und der in Richtung der negativen x-Achse (also nach links) laufenden ebenen Welle (+ -Zeichen) ●

∂y – ∂y ––– c ––– = + ∂x ∂t

Lösung der Differenzialgleichung: Wellengleichung der nach rechts laufenden ebenen Welle (–-Zeichen) und der nach links laufenden ebenen Welle (+ -Zeichen) – –x– , – –x– y = ym sin 2p ft + ● y = ym sin w t + c l t –x ● y = ym sin 2p –– + –– T l

( ) ( )

(

)

273

7.1 Allgemeine Wellenlehre

Die harmonische Welle kann auch durch Kosinusfunktionen beschrieben werden. Differenzialgleichung der Kugelwelle (gilt für Longitudinalwellen und Wellen skalarer Größen) ●

∂ 2(ry) ∂ 2(ry) c 2 ––––– = –––––– ∂r 2 ∂t 2

Lösung der Differenzialgleichung der Kugelwelle ●

r0 r y = y0 –– sin w t – – , r c

●

r0 t r y = y0 –– sin 2p –– – – r T l

( ) ( )

r0 r y = y0 –– sin 2p ft – – r l

( )

Interferenz l, t, w → Benutzungshinweise x Ort (Abszisse) y Elongation Amplitude ym c Ausbreitungsgeschwindigkeit f Phasendifferenz Ds Gangunterschied s1, s2 Entfernungen von der Quelle

m m m m s–1 rad ≡ 1 m m

W

Für zwei Wellen gleicher Frequenz und gleicher Amplitude, zwischen denen eine Phasendifferenz f besteht:

( )

x y1 = ym sin w t – –– c

[( ) ]

x und y2 = ym sin w t – – + f , c

tritt

maximale Verstärkung

Auslöschung

●

|y | = |y1| + |y2 | für f = 2kp

y=0

für f = (2k + 1) p

(k = 0, 1, 2, …) ein. Gangunterschied zweier gleichphasig erzeugter Wellen am Punkt P, der von den Quellen die Entfernungen s1 bzw. s2 hat Ds = s2 – s1

P

Maximale Verstärkung tritt ein für ●

Ds = kl

Auslöschung bei ●

S1

(k = 0, 1, 2, …)

( )

1 Ds = k + – l (k = 0, 1, 2, …) 2

Quelle 1 Quelle 2

S2

274

7 Wellen

Beziehung zwischen Phasenverschiebung und Gangunterschied 2p f = ––– Ds l Stehende Wellen l, t, w → Benutzungshinweise x Ort (Abzisse) y Elongation Amplitude ym c Ausbreitungsgeschwindigkeit

m m m m s–1

( )

x Durch Interferenz der nach rechts laufenden Welle y1 = ym sin w t – – c x und der nach links laufenden Welle y2 = ym sin w t + –– ergibt sich die c stehende Welle

( )

●

x y = 2ym cos w – sin wt c

Diese stehende Welle kann durch Reflexion am freien Ende bzw. am dünneren Medium (Phasensprung 0) an der Stelle y = 0 erzeugt werden.

( )

x Besteht zwischen der nach rechts laufenden Welle y1 = ym sin w t – – c wx und der nach links laufenden Welle y2 = ym sin wt + ––– + p eine Phasenc differenz p, so ergibt sich die stehende Welle

(

●

)

x y = –2ym sin w – cos wt c

Diese stehende Welle kann durch Reflexion am festen Ende bzw. am dichteren Medium (Phasensprung p) an der Stelle x = 0 erzeugt werden. Werden hin- und rücklaufende Welle durch Kosinusfunktionen beschrieben, so gilt für die stehende Welle bei Phasensprung 0:

Phasensprung p:

x y = 2ym cos w –– cos wt c

x y = 2ym sin w –– sin wt c

Reflexion a b

Einfallwinkel Reflexionswinkel

●

b=a

° °

275

7.2 Wellenfeld

Die Wellennormalen der einfallenden und der reflektierten Welle liegen mit dem Einfall-Lot in einer Ebene. Brechung a b c1 c2

Einfallwinkel Brechungswinkel Ausbreitungsgeschwindigkeit im Medium 1 Ausbreitungsgeschwindigkeit im Medium 2

●

sin a c1 –––– = –– sin b c2

° ° m s–1 m s–1

Beugung b g l a

Spaltbreite Abstand der Spaltmitten zweier Spalte (Gitterkonstante) Wellenlänge Beugungswinkel

m m m °

Beugung am Spalt Bedingung für Interferenzminima: ●

b

l sin amin = k – b

W

Bedingung für Nebenmaxima: ●

α

( )

1 l sin amax = k + – – 2 b

Beugung am Doppelspalt Bedingung für Interferenzminima: ●

( )

1 l sin amin = k + – – 2 g

Interferenzmaxima: l sin amax = k – g

(k = 1, 2, 3, …)

7.2

Wellenfeld

Kinematische Größen des Wellenfeldes am Ort x = 0 t, w → Benutzungshinweise y Elongation Amplitude ym

m m

276

7 Wellen

a am aeff

Effektivwert der Elongation Geschwindigkeit Geschwindigkeitsamplitude Effektivwert der Geschwindigkeit Beschleunigung Beschleunigungsamplitude Effektivwert der Beschleunigung

●

y = ym sin wt ,

ym yeff = ––– 2

●

√ = √m cos wt,

√m = wym ,

●

a = – am sin wt,

yeff

√ √m √eff

am = w 2ym ,

m m s–1 m s–1 m s–1 m s–2 m s–2 m s–2

√m √eff = ––– 2

am aeff = ––– 2

Strahlungsenergiedichte w Qe V r w ym

Strahlungsenergiedichte Strahlungsenergie Volumen Dichte Kreisfrequenz Amplitude

●

dQe w = –––– , dV

J m–3 J m3 kg m–3 s–1 m

Qe w = ––– V

Für Schallwellen gilt ●

1 2 w = – rw 2y m 2

Strahlungsfluss (Strahlungsleistung) Qe t Fe

Strahlungsenergie Zeit Strahlungsfluss

●

dQe Fe = ––––, dt

J s W

Qe Fe = ––– t

Strahlungsflussdichte Fe A⊥ f

Strahlungsfluss Querschnittsfläche des Strahlungsflusses Strahlungsflussdichte

W m2 W m–2

277

7.2 Wellenfeld

w c

Strahlungsenergiedichte Lichtgeschwindigkeit

●

dFe f = –––– , dA⊥

J m–3 m s–1

Fe f = ––– A⊥

Für elektromagnetische Strahlung gilt f = wc Strahlungsdruck p w f c

Strahlungsdruck Strahlungsenergiedichte Strahlungsflussdichte Lichtgeschwindigkeit

Pa J m–3 W m–2 m s–1

Bei vollständiger Absorption gilt ●

p=w

Für elektromagnetische Strahlung gilt f p = –– c

W

Bei vollständiger Reflexion gilt ●

p = 2w

Strahlungsflussdichte (Solarkonstante), Strahlungsenergiedichte und Strahlungsdruck bei vollständiger Absorption der Sonnenstrahlung auf der Erde (bei völliger Durchlässigkeit der Atmosphäre)

f = 1,367 kW m–2 ,

w = 4,65 mJ m–3 ,

p = 4,65 mPa

Die Solarkonstante schwankt um 0,1 % in Phase mit den Sonnenflecken. Strahlstärke Fe Ie W1 W2 A1 A2

Strahlungsfluss Strahlstärke des Senders Raumwinkel, unter dem der Empfänger vom Sender aus erscheint Raumwinkel, unter dem der Sender vom Empfänger aus erscheint Senderfläche Empfängerfläche

W W sr–1 = W sr = 1 sr = 1 m2 m2

278 a1 a2 r

●

7 Wellen

Winkel zwischen der Richtung des Strahlungsflusses und der Flächennormalen der Senderfläche ° Winkel zwischen der Richtung des Strahlungsflusses und der Flächennormalen der Empfängerfläche ° Kugelradius (Abstand des Empfängers vom Sender) m dA2 cos a2 dW1 = –––––––––– , r2

A2 cos a2 W1 = –––––––– r2

dA1 cos a1 dW2 = –––––––––– , r2

A1 cos a1 W2 = –––––––– r2

dFe Ie = –––– , dW1

Fe Ie = ––– W1

Strahldichte Le Fe A1 a1 W1 Ie

Strahldichte des Senders Strahlungsfluss Senderfläche Winkel zwischen der Richtung des Strahlungsflusses und der Flächennormalen der Senderfläche Raumwinkel, unter dem der Empfänger vom Sender aus erscheint Strahlstärke des Senders d2Fe Le = ––––––––––––– , cos a1 dA1 dW1

●

dIe Le = ––––––––– , cos a1 dA1

W m–2 sr –1 = W m–2 W m2

° sr = 1 W sr–1 = W

Fe Le = ––––––––––– A1W1 cos a1 Ie Le = –––––––– A1 cos a1

Bestrahlungsstärke Ee A2 A⊥ Fe

Bestrahlungsstärke Empfängerfläche Querschnittsfläche des Strahlungsflusses Strahlungsfluss

W m–2 m2 m2 W

279

7.3 Schallwellen

a2 f Le Ie W2 r r c w ym ●

Winkel zwischen der Richtung des Strahlungsflusses und der Flächennormalen der Empfängerfläche Strahlungsflussdichte Strahldichte des Senders Strahlstärke des Senders Raumwinkel, unter dem der Sender vom Empfänger aus erscheint Abstand des Empfängers vom Sender Dichte Ausbreitungsgeschwindigkeit Kreisfrequenz Amplitude dFe Ee = –––– , dA2

° W m–2 W m–2 sr–1 = W m–2 W sr–1 = W sr = 1 m kg m–3 m s–1 s–1 m

Fe Ee = ––– A2

dFe Ee = –––– cos a2 , dA⊥

Fe Ee = ––– cos a2 , A⊥

Ee = f cos a2

Ee = ∫ Le cos a2 dW2 ●

cos a2 –– Ie Ee = –––– r2

W

Für Schallwellen gilt 1 2 Ee = – rcw 2ym 2

7.3

Schallwellen

Schallarten f

Frequenz

Infraschall: Hörschall: Ultraschall: Hyperschall:

Hz f < 16 Hz 16 Hz f 20 kHz 20 kHz < f < 1 GHz 1 GHz < f < 1 THz

Schallquellen f l A

Frequenz Länge (der Saite, des Stabes, der Pfeife) Querschnittsfläche

Hz m m2

280 r F E c

7 Wellen

kg m–3 N Pa m s–1

Dichte Kraft Elastizitätsmodul Schallgeschwindigkeit Grundfrequenz der schwingenden Saite

des longitudinal schwingenden Stabes

1 f = –– 2l

1 f = –– 2l

F ––– Ar

Grundfrequenz der offenen Pfeife

E –– r

der gedeckten Pfeife

c f = –– 2l

c f = –– 4l

Tonskalen Diatonische Durskala in reiner Stimmung (a1 = 440 Hz) (Werte in Hz)

c d e f g a h c

f ––– fc

C2

C1

C

c

c1

1 10/9 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2

16,5 18,3 20,6 22 24,8 27,7 30,9 33

33 36,7 41,3 44 49,5 55 61,9 66

66 73,3 82,5 88 99 110 123,8 132

132 146,7 165 176 198 220 247,5 264

264 528 293,3 586,7 330 660 352 704 396 792 440 880 495 990 528 1056

c2

c3

c4

1 056 1173,3 1 320 1 408 1 584 1 760 1 980 2 112

2 112 2346,7 2 640 2 816 3 168 3 520 3 960 4 224

c3

c4

1 056 1173,3 1267,2 1 408 1 584 1689,6 1900,8 2 112

2 112 2346,7 2534,4 2 816 3 168 3379,2 3801,6 4 224

Diatonische Mollskala in reiner Stimmung (Werte in Hz)

c d es f g as b c

f ––– fe

C2

C1

C

c

c1

1 10/9 6/5 4/3 3/2 8/5 9/5 2

16,5 18,3 19,8 22 24,8 26,4 29,7 33

33 36,7 39,6 44 49,5 52,8 59,4 66

66 73,3 79,2 88 99 105,6 118,8 132

132 146,7 158,4 176 198 211,2 237,6 264

264 528 293,3 586,7 316,8 633,6 352 704 396 792 422,4 844,8 475,2 950,4 528 1056

c2

281

7.3 Schallwellen

Gleichmäßig temperierte Tonskala (12-stufig) (a1 = 440 Hz) Das Verhältnis der Frequenzen zweier aufeinander folgender Stufen ist 12 2 = 1,059 46. (Werte in Hz)

c cis, des d dis, es e f fis, ges g gis, as a ais, b h c

f –– fc

C2

C1

C

c

c1

c2

c3

c4

1,00000 1,05946 1,12246 1,18921 1,25992 1,33484 1,41421 1,49831 1,58740 1,68179 1,78180 1,88775 2,00000

16,35 17,32 18,35 19,45 20,60 21,83 23,13 24,50 25,96 27,50 29,14 30,86 32,70

32,70 34,64 36,71 38,89 41,20 43,65 46,25 49,00 51,92 55,00 58,27 61,74 65,41

65,4 69,3 73,4 77,8 82,4 87,3 92,5 98,0 103,8 110,0 116,5 123,5 130,8

130,8 138,6 146,8 155,6 164,8 174,6 185,0 196,0 207,7 220,0 233,1 246,9 261,6

261,6 277,2 293,7 311,1 329,6 349,2 370,0 392,0 415,3 440,0 466,2 493,9 523,3

523,3 554,4 587,3 622,3 659,3 698,5 740,0 784,0 830,6 880,0 932,3 987,8 1046,5

1046,5 1 108,7 1174,7 1244,5 1318,5 1396,9 1 480,0 1568,0 1661,2 1760,0 1864,7 1975,5 2093,0

2093,0 2 217,5 2349,3 2489,0 2637,0 2793,8 2 960,0 3136,0 3322,4 3520,0 3729,3 3951,1 4186,0

Schallgeschwindigkeit in festen Körpern c r E K G F m A I l

Schallgeschwindigkeit Dichte Elastizitätsmodul Kompressionsmodul Schubmodul Spannkraft Poisson-Zahl Querschnittsfläche Flächen(trägheits)moment Wellenlänge

m s–1 kg m–3 Pa Pa Pa N 1 m2 m4 m

Geschwindigkeit von Longitudinalwellen in elastischen allseitig unbegrenzten isotropen Festkörpern

c=

●

c=

4 K+–G 3 ––––––– r E 1–m –– –––––––––––––– r (1 + m) (1 – 2m)

W

282

7 Wellen

Geschwindigkeit von elastischen Transversalwellen ●

c=

G –– r

Geschwindigkeit von Biegungswellen in Stäben und Platten ●

2p c = ––– l

E I –– –– r A

Geschwindigkeit von Transversalwellen in Saiten ●

c=

F ––– Ar

Geschwindigkeit von Longitudinalwellen in langen Stäben (Schallgeschwindigkeit) ●

c=

E –– r

Schallgeschwindigkeit in festen Stoffen bei 20 °C (gerundete Werte) Stoff

c ––––– m s–1

Stoff

c ––––– m s–1

Aluminium Antimon Bismut Blei Cadmium Eis (–4 °C) Eisen Elfenbein Glas Gold Granit Gummi Holz Buche Eiche Tanne Iridium

5100 3400 1 800 1300 2300 3 200 5200 3000 5000 2100 4 000 50

Kork Kupfer Magnesium Manganin Marmor Messing Nickel Palladium Paraffin Platin Rhodium Silber Stahl Wolfram Ziegel Zink Zinn

500 3 800 4800 3 900 3 800 3 300 4 900 3 000 1 300 2 800 4 900 2 700 5 000 4 300 3600 3 700 2 600

3400 3 400 4 500 4900

283

7.3 Schallwellen

Schallgeschwindigkeit in Flüssigkeiten c k r

Schallgeschwindigkeit Kompressibilität Dichte

●

c=

m s–1 Pa–1 kg m–3

1 ––– kr

Schallgeschwindigkeit in Flüssigkeiten bei 20 °C Flüssigkeit

c ––––– m s–1

Aminobenzol (Anilin, Aminobenzen) Benzol (Benzen) Chlorbenzol (Chlorbenzen) Diethylether Ethanol Methanol Methylbenzol (Toluol, Toluen, Methylbenzen) Nitrobenzol (Nitrobenzen) Pentan

1 650 1320 1285 1005 1170 1120 1350 1460 1050

Flüssigkeit

c ––––– m s–1

Propanol-(1) Propanon (Aceton) Propantriol (Glyzerin, Glycerol) Pyridin Quecksilber Tetrachlormethan Tribrommethan Trichlormethan Wasser Wasser, schweres (25 °C)

1 250 1 190

Schallgeschwindigkeit in Gasen c R M T p r k a b t

}

Schallgeschwindigkeit Gaskonstante (molare Gaskonstante) molare Masse Temperatur Druck Dichte Adiabatenexponent van-der-Waals’sche Konstanten Celsius-Temperatur

m s–1 J K–1 mol–1 kg mol–1 K Pa kg m–3 1 Pa m6 mol–2 m3 mol–1 °C

Geschwindigkeit der Longitudinalwellen im idealen Gas ●

c=

R k –– T , M

c=

p k –– r

1 920 1 450 1 430 940 930 1 000 1 485 1 400

W

284

7 Wellen

Geschwindigkeit der Longitudinalwellen in realen Gasen ●

c=

[

(

)]

R 2p a k –– T + ––– b – ––– M M RT

Schallgeschwindigkeit in Gasen bei 0 °C und 101,325 kPa Gas

c ––––– m s–1

Gas

c ––––– m s–1

Ammoniak Argon Brom Bromwasserstoff Chlor Chlorwasserstoff Ethan Ethen Ethin (Acetylen) Helium Iodwasserstoff Kohlenstoffdioxid Kohlenstoffmonooxid

415 308 135 200 206 296 305 317 327 971 157 258 337

Krypton Luft Methan Neon Sauerstoff Schwefeldioxid Schwefelwasserstoff Stickstoff Stickstoff(I)-oxid Stickstoff(II)-oxid Wasserdampf (100 °C) Wasserstoff Xenon

213 331 430 433 315 212 290 337 257 326 472 1 280 170

Schallgeschwindigkeit in trockener Luft c t ● ––––– = 331,4 + 0,6 ––– m s–1 °C t ––– °C

c ––––– m s–1

t ––– °C

c –––––1 – ms

t ––– °C

c –––––1 – ms

–100 – 90 – 80 – 70 – 60 – 50 – 40

264 271 278 286 292 299 306

–30 –20 –10 0 +10 +20 +30

312 319 325 331 337 343 349

+ 40 + 50 + 60 + 70 + 80 + 90 +100

354 360 366 371 376 382 387

Schwebung f1, f2 fs

Frequenzen ( f1 ≈ f2) Schwebungsfrequenz

●

fs = f2 – f1

Hz Hz

285

7.4 Schallfeldgrößen

Doppler-Effekt f c

√s √e

f′

Frequenz des Senders Schallgeschwindigkeit Geschwindigkeit des Senders Geschwindigkeit des Empfängers vom Empfänger aufgenommene Frequenz

Hz m s–1 m s–1 m s–1 Hz

Ruhender Sender, bewegter Empfänger ●

( √) e

f ′ = f 1 ± –– c

Ruhender Empfänger, bewegter Sender ●

1 – f ′ = f ––––– – ––√s 1+ c

Bewegter Sender, bewegter Empfänger ●

c ± √e f′ = f ––––– – √– c+ s

Oberes Zeichen gilt für Annäherung, unteres für Entfernungszunahme.

7.4

Schallfeldgrößen

Schallausschlag t, w → Benutzungshinweise x Schallausschlag (Elongation) xm Amplitude (maximaler Schallausschlag) xeff Effektivwert des Schallausschlags ●

x = xm sin wt ,

m m m

xm xeff = –– 2

Schallschnelle t, w → Benutzungshinweise x Schallausschlag (Elongation) xm Amplitude

m m

W

286

√ √m

7 Wellen

√eff

Schallschnelle Geschwindigkeitsamplitude (maximale Schallschnelle) Effektivwert der Schallschnelle

●

√ = wx ,

√ = wxm cos wt ,

m s–1 m s–1 m s–1

√m = wxm ,

√m √eff = –– 2

Schalldruck (Schallwechseldruck) t, w → Benutzungshinweise p Schalldruck pm Schalldruckamplitude peff Effektivwert des Schalldrucks c Schallgeschwindigkeit r Dichte √ Schallschnelle xm maximaler Schallausschlag ●

p = rc √ ,

p = rcwxm cos wt,

Pa Pa Pa m s–1 kg m–3 m s–1 m pm = rcwxm ,

pm peff = ––– 2

Schalldrücke liegen gewöhnlich zwischen 10–5 Pa und 102 Pa. Schalldruck in Luft bei 1000 Hz (Richtwerte) Geräusch

peff ––– Pa

Geräusch

peff ––– Pa

Hörschwelle Gesang Klavier

2 · 10–5 0,02 0,2

Orgel Großlautsprecher Alarmsirene

2 12 35

Schallfluss (Volumenschnelle) q qeff

√ √eff A

Schallfluss Effektivwert des Schallflusses Schallschnelle Effektivwert der Schallschnelle Strömungsquerschnitt q = ∫ √ dA , qeff = ∫ √eff dA,

q = √A qeff = √eff A

m3 s–1 m3 s–1 m s–1 m s–1 m2

287


Schall-Leistung P Schall-Leistung Effektivwert des Schalldrucks p eff Effektivwert der Schallschnelle √ eff A Fläche E Energie t Zeit dE E ● P = ––– , P = –– , P = ∫ peff √eff dA, dt t

W Pa m s–1 m2 J s P = peff √eff A

Schall-Leistungen (Richtwerte) Art der Schallerzeugung

P ––– W

menschliche Stimme Klavier Orgel Pauke großes Orchester Großlautsprecher Sirene

10 –9 … 2 · 10–3 2 · 10 –9 … 0,2 bis 1 bis 10 bis 70 bis 100 bis 1000

Schallintensität (Schall-Leistungsdichte, Schallstärke) J Schallintensität W m–2 P Schall-Leistung W A Fläche m2 c Schallgeschwindigkeit m s–1 xm maximaler Schallausschlag m xeff Effektivwert des Schallausschlags m maximale Schallschnelle m s–1 √m √eff Effektivwert der Schallschnelle m s–1 pm maximaler Schalldruck Pa peff Effektivwert des Schalldrucks Pa r Dichte kg m–3 w Kreisfrequenz s–1 w Schallenergiedichte J m–3 ● ● ● ●

J = wc dP P J = ––– , J = –– dA A 1 1 J = – rcw 2 x 2m , J = – rc √ 2m , 2 2 J = rcw 2 x 2eff ,

J = rc √ 2eff ,

2 1 pm 1 J = – ––– , J = – pm √ m 2 rc 2 2 p eff J = ––– , J = peff √eff rc

W

288

7 Wellen

Schallenergiedichte E V w r J

√m √eff

Energie Volumen Schallenergiedichte Dichte Schallintensität maximale Schallschnelle Effektivwert der Schallschnelle

●

dE w = ––– , dV

●

1 2 , w = – r√ m 2

E w = –– , V

J m3 J m–3 kg m–3 W m–2 m s–1 m s–1

J w = –– c

w = r √ 2eff

Schalldruckpegel J Lp p r

W m–2 dB = 1 Pa m

Schallintensität Schalldruckpegel Schalldruck Abstand von der Schallquelle

Relativer Schalldruckpegel ●

J1 L prel = 10 lg –– , J2

p1 L prel = 20 lg –– p2

Absoluter Schalldruckpegel ●

J L pabs = 10 lg –– , J0 J0 = 1 pW m–2 ,

p L pabs = 20 lg –– p0 p0 = 2 · 10–5 Pa = 20 mPa

Schalldruckpegel mehrerer Schallquellen (z ist die Anzahl der Quellen)

(

)

(

)

i =z 1 i =z L pabs = 10 lg –– ∑ Ji = 10 lg ∑ 100,1L i J0 i =1 i =1

Für z gleiche Schallquellen mit dem Schalldruckpegel Lpabs1 ist L pabs = L pabs1 + 10 lg z. Schallpegel bei Punktquellen r2 L pabs2 = L pabs1 – 20 lg –– r1

Schallpegel bei Linienquellen r2 L pabs2 = L pabs1 – 10 lg –– r1

289


Immissionsgrenzen (Richtwerte, die Messung erfolgt frequenzbewertet (A) und zeitbewertet (F), s. S. 291) Tätigkeit bzw. Ort der Einwirkung

bewerteter äquivalenter Dauerschallpegel (Maximalwert) L eqAF ––––– dB

Geistige Arbeit (schöpferisch) (schematisch) Medizinische Behandlungsräume Arbeitsräume mit Büromaschinen Krankenzimmer, Sanatorien Unterrichtsräume Konzertsäle Lärmeinwirkung Leseräume von außen Sitzungszimmer Versammlungsräume Kurgebiete, Kranken- und Pflegehäuser Wohngebiete (ausschließlich Wohnungen) Mischgebiete (vorwiegend Wohnungen, nichtstörendes Gewerbe) Gewerbegebiete

40 50 40 bis 70 tags 35 40 30 35 40 55 tags 45 tags 50

}

tags 55 70

nachts 30

nachts 35 nachts 35 nachts 40

Die Richtwerte dürfen kurzzeitig um nicht mehr als 30 dB überschritten werden. Schallabsorption E0 Er a a– S A ●

auftretende Schallenergie reflektierte Schallenergie Schallabsorptionsgrad mittlerer Schallabsorptionsgrad Fläche äquivalente Schallabsorptionsfläche E0 – Er a = ––––––– , A = aS E0 ∑ aS a– = ––––– ∑S

J J 1 1 m2 m2

Schallabsorptionsgrade bei verschiedenen Frequenzen Material

128 Hz

512 HZ

2048 Hz

Beton, Stein Ziegelmauer mit Zementputz Glas

0,01 0,01 0,04

0,01 0,02 0,03

0,02 0,02 0,02

W

290

7 Wellen

Material

128 Hz

512 Hz

2048 Hz

Holzfaserplatte in 5 cm Wandabstand Schlackenwolle, mit Pappe abgedeckt Kokosläufer Teppich (5 mm) Haarfilz, weich (5 mm) mit Teppichauflage

0,47 0,74 0,08 0,04 0,09 0,07

0,30 0,36 0,17 0,15 0,18 0,57

0,33 0,30 0,30 0,52 0,55 0,81

Schalldämmung J1 J2 R d Lp ●

Schallintensität vor der Wand Schallintensität hinter der Wand Schalldämm-Maß Wanddicke Schalldruckpegel

W m–2 W m–2 dB = 1 m dB = 1

J1 R = 10 lg –– J2 R = Lp1 – Lp2

Schalldämm-Maß einiger Baustoffe Baustoff

d ––– cm

R ––– dB

Ziegelmauer

25 12 2,5 16

50 45 35 48 bis 20 bis 25 bis 35 bis 40 bis 50 bis 45

Leichtbauplatten Betonwand Tür Einfachfenster Doppelfenster Doppeltür Spezielle Schallschutztüren Spezielle Schallschutzfenster

Vorgeschriebene Mindestdämm-Maße (je nach Verwendung) Baustoff

R ––– dB

Außenwände Trennwände zwischen Wohnungen Türen und Fenster

50 … 55 45 … 50 27 … 45

291

7.5 Physiologische Akustik

7.5

Physiologische Akustik

Gesetz von Weber und Fechner Die Schallempfindung wächst mit dem Logarithmus der Schallstärke. Lautstärkepegel Lautstärkepegel Schallintensität Schalldruck Schallintensität eines Tones von 1000 Hz an der Hörschwelle p0 Schalldruck eines Tones von 1000 Hz an der Hörschwelle J0 = 1 pW m–2 , p0 = 20 mPa Für den Ton von 1000 Hz gilt J p LS = 20 lg –– ● LS = 10 lg –– , J0 p0

LS J p J0

phon = 1 W m–2 Pa W m–2 Pa

Für unterschiedliche Frequenzen ist die Hörschwelle verschieden (siehe Bild auf S. 293). Daher wird bei Messungen der Schall bewertet (Frequenzbewertung, im täglichen Leben A-Bewertung, und Zeitbewertung, im täglichen Leben F-Bewertung). Der AF-bewertete Schallpegel LAF in dB stimmt recht gut (sehr gut bei mittleren Lautstärken, etwa 30 bis 90 phon) zwischen 100 und 1300 Hz mit dem Lautstärkepegel LS in Phon überein. Lautstärkepegel bzw. AF-bewerteter Schallpegel einiger Geräusche (Richtwerte) Geräusch

LS LAF ––––– ≈ ––– phon dB

Hörschwelle Leises Flüstern Blätterrauschen, Uhrticken Flüstern Leise Unterhaltung Unterhaltung Schreibmaschine, Nadeldrucker Laute Sprache Lautes Schreien Hupe, Druckluftbohrer Motorrad ohne Schalldämpfer Kesselschmiede, Niethammer Flugzeuge in 3 m Entfernung Schmerzgrenze

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130

W

292

7 Wellen

Lautstärkepegel, Schalldruck und Schallintensität bei 1 000 Hz in Luft bei 0 °C und 101,325 kPa LS ––––– phon 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55 60

p –––––– –5 10 Pa 2,00 2,24 2,52 2,83 3,17 3,56 3,99 4,48 5,02 5,64 6,32 7,10 7,96 8,93 10,02 11,25 12,61 14,16 15,89 17,82 20,00 35,6 63,2 112,5 200,0 356 632 1125 2000

J ––––––––––– 10–12 W m–2 1,00 1,26 1,59 2,00 2,51 3,17 3,98 5,02 6,30 7,95 10,00 12,6 15,9 20,0 25,1 31,7 39,8 50,2 63,0 79,5 100,0 317 1000 3170 10000 31700 100000 317000 1000000

293

7.6 Elektromagnetische Wellen

LS ––––– phon

p –––––– 10–1 Pa

J ––––––––– – 10–6 W m–2

LS ––––– phon

p –––––– 10 Pa

J –––––––––– 10–2 W m–2

65 70 75 80 85 90 95 100

0,356 0,632 1,125 2,000 3,56 6,32 11,25 20,00

3,17 10,00 31,7 100,0 317 1000 3170 10000

105 110 115 120 125 130 135 140

0,356 0,632 1,125 2,000 3,56 6,32 11,25 20,00

3,17 10,00 31,7 100,0 317 1 000 3 170 10 000

Kurven gleichen Lautstärkepegels Ls=120phon

120

110 100 90 80 70 60 50 40 30 20

100

60 40 20

10 0

W

300 400 600 800 1000 1500 2000 3000 4000 6000 8000 10000

60 80 100 150 200

40

0

f in Hz

15000

Lp in dB

80

Bei einer Frequenz von 1000 Hz stimmen Lautstärkepegel (gemessen in Phon) und Schalldruckpegel (gemessen in Dezibel) überein. Lautstärkepegel mehrere Schallquellen (LS bzw. LSi sind die Pegel einer Quelle, z ist die Anzahl der Quellen) Gleiche Schallquellen

Ungleiche Schallquellen

L Sges = LS + 10 lg z

L Sges = 10 lg ∑ 100,1L Si .

7.6

(

i =z

i =1

Elektromagnetische Wellen

Maxwell’sche Gleichungen (allgemeine Schreibweise) E H s

elektrische Feldstärke magnetische Feldstärke Weg

V m–1 A m–1 m

)

294 A I D B Q r J e0 er m0 mr

7 Wellen

m2 A C m–2 T C C m–3 A m–2 F m–1 1 H m–1 1

Fläche elektrische Stromstärke elektrische Flussdichte magnetische Flussdichte elektrische Ladung Raumladungsdichte elektrische Stromdichte elektrische Feldkonstante Permittivitätszahl magnetische Feldkonstante Permeabilitätszahl

Integralform der Maxwell’schen Gleichungen d dt

●

E៬ ds៬ = – –– B៬ dA៬ ,

●

D៬ dA៬ = Q ,

d dt

H៬ ds៬ = J៬ dA៬ + –– D៬ dA៬

B៬ dA៬ = 0

Differenzialform der Maxwell’schen Gleichungen ● rot E៬ = – B˙៬ , div D៬ = r ●

˙៬ , rot H៬ = J៬ + D

div B៬ = 0

Verknüpfung zwischen den Feldgrößen ●

D៬ = er e0E៬ ,

B៬ = mr m0H៬

Elektromagnetische Wellen im Vakuum E elektrische Feldstärke Em Maximalwert der elektrischen Feldstärke Ex, Ey, Ez Komponenten der elektrischen Feldstärke in Richtung der Achsen des Koordinatensystems H magnetische Feldstärke Hm Maximalwert der magnetischen Feldstärke Hx, Hy, Hz Komponenten der magnetischen Feldstärke in Richtung der Achsen des Koordinatensystems s Weg A Fläche D elektrische Flussdichte B magnetische Flussdichte e0 elektrische Feldkonstante

V m–1 V m–1 V m–1 A m–1 A m–1 A m–1 m m2 C m–2 T F m–1

295


m0 x, y, z w c D

magnetische Feldkonstante Koordinaten Kreisfrequenz Geschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen im Vakuum (Lichtgeschwindigkeit) Laplace-Operator

H m–1 m s–1 m s–1 m–2

Maxwell’sche Gleichungen in Integralform d dt

●

E៬ ds៬ = – –– B៬ dA៬ ,

●

D៬ dA៬ = 0 ,

d dt

H៬ ds៬ = –– D៬ dA៬

B៬ dA៬ = 0

Maxwell’schen Gleichungen in Differenzialform ● rot E៬ = – B˙៬ , div D៬ = 0, ●

˙៬ , rot H៬ = D

div B៬ = 0

Differenzialgleichung der elektromagnetischen Wellen (Wellengleichung) ●

1 E˙˙៬ = –––– DE៬ , e0 m0

1 ˙˙៬ = ––– – DH៬ H e0 m0

Differenzialgleichung der in Richtung der x-Achse sich ausbreitenden ebenen Welle; die Vektoren E៬ und H៬ liegen in der y, z-Ebene d2Ey 1 ∂ 2 Ey –––– = –––– –––– , 2 e0 m0 ∂ x 2 dt

d2Ez 1 ∂ 2 Ez –––– = –––– –––– 2 dt e0 m0 ∂ x2

d2Hy 1 ∂ 2Hy ––––– = –––– –––– , e0 m0 ∂ x 2 dt 2

d2Hz 1 ∂ 2Hz ––––– = –––– –––– dt2 e0 m0 ∂ x2 y

Em

Darstellung einer in der x-Richtung mit der Geschwindigkeit c sich ausbreitenden ebenen Welle, deren elektrischer Vektor in der x, y-Ebene liegt ●

( )

x Ey = Em sin w t – –– , c

x Hm z

c

( )

x Hz = Hm sin w t – –– c

W

296

7 Wellen

Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen c e0 er m0 mr

m s–1 F m–1 1 H m–1 1

Ausbreitungsgeschwindigkeit elektrische Feldkonstante Permittivitätszahl magnetische Feldkonstante Permeabilitätszahl

Ausbreitungsgeschwindigkeit in einem beliebigen isotropen in einem Dielektrikum Stoff ohne Absorption ●

1 c = ––––––––– , e0 e r m0 mr

1 c = –––––– , e0 er m0

c0 = 2,99792458 · 108 m s–1

1 c0 = –––––– e0 m0

Energiedichte des elektromagnetischen Wellenfeldes w E H e0 m0 er mr

J m–3 V m–1 A m–1 F m–1 H m–1 1 1

Energiedichte elektrische Feldstärke magnetische Feldstärke elektrische Feldkonstante magnetische Feldkonstante Permittivitätszahl Permeabilitätszahl

Energiedichte des Wellenfeldes in einem beliebigen Stoff ●

1 w = – (e0 er E៬ 2 + m0 mrH៬ 2) , 2

1 w = – (e0 er E 2 + m0 mrH 2) 2

Energiedichte des Wellenfeldes im Vakuum w = e0E៬ 2 = m0H៬ 2 ,

w = e0E 2 = m0H2

Leistung des elektromagnetischen Wellenfeldes t, T, w → Benutzungshinweise P Leistung – Durchschnittsleistung P E elektrische Feldstärke Em Maximalwert der elektrischen Feldstärke H magnetische Feldstärke Hm Maximalwert der magnetischen Feldstärke

im Vakuum

W W V m–1 V m–1 A m–1 A m–1

297


S A x c w

elektromagnetische Strahlungsflussdichte Fläche Koordinate Ausbreitungsgeschwindigkeit Energiedichte

W m–2 m2 m m s–1 J m–3

Leistung in Richtung der x-Achse durch eine Fläche A P = wcA ,

P = EHA ,

( )

x P = Em Hm A sin2 w t – – c

Durchschnittsleistung T

– 1 P = –– ∫ P dt , T0

– 1 P = – Em Hm A 2

Poynting’scher Vektor (Vektor der elektromagnetischen Strahlungsflussdichte) ●

S៬ = E៬ × H៬

für E៬ ⊥ H៬ gilt ●

S = EH

Strahlungsdruck p E H e0 m0 w

Strahlungsdruck elektrische Feldstärke magnetische Feldstärke elektrische Feldkonstante magnetische Feldkonstante Energiedichte

Pa V m–1 A m–1 F m–1 H m–1 J m–3

Strahlungsdruck einer elektromagnetischen Welle im Vakuum bei vollständiger Reflexion p = 2e0 E 2 ,

p = 2m0H 2,

p = 2w

Strahlungsdruck einer elektromagnetischen Welle im Vakuum bei vollständiger Absorption p = e0E 2 ,

p = m0 H 2,

p=w

Wellenwiderstand G e0 c0

Wellenwiderstand elektrische Feldkonstante Lichtgeschwindigkeit im Vakuum

W F m–1 m s–1

W

298

7 Wellen

er Permittivitätszahl 1 magnetische Feldkonstante H m–1 m0 mr Permeabilitätszahl 1 r Radius des Drahtes m a Abstand der Achsen der beiden Drähte m Wellenwiderstand einer Doppeldrahtleitung in beliebigem Stoff ●

1 G = –– p

mr m0 a –––– ln – er e0 r

Wellenwiderstand einer Doppeldrahtleitung in einem Dielektrikum im Vakuum 1 G = –– p

a m0 ––– ln – , r er e0

1 G = –– p

m a ––0 ln – e0 r

Wellenwiderstand eines Nichtleiters G=

mr m0 –––– er e0

Wellenwiderstand des Vakuums m –––0 = m0 c0 e0

●

G=

G = 376,730 313 461 … W

7.7

Lichtausbreitung

Lichtgeschwindigkeit c0 c

Lichtgeschwindigkeit im Vakuum Lichtgeschwindigkeit im Stoff

c0 = 2,997 924 58 · 108 m s–1

m s–1 m s–1

Lichtgeschwindigkeit in festen, flüssigen und gasförmigen Stoffen Stoff

c ––––––– – 108 m s–1

Stoff

c –––––––– 108 m s–1

Aluminiumoxid Ammoniak Bariumfluorid Bariumoxid Benzol (Benzen) Berylliumoxid

1,80 2,26 2,04 1,52 2,00 1,74

Brom Calciumoxid Chlor Chrom(III)-oxid Diamant Ethanol

1,81 1,65 2,20 1,20 1,22 2,20

299

7.7 Lichtausbreitung

Stoff

c ––––––– – 108 m s–1

Stoff

c ––––––– – 108 m s–1

Flintglas Gips Kohlenstoffdioxid Kohlenstoffdisulfid Kronglas Kupfer(I)-oxid

1,86 1,97 2,66 1,84 1,97 1,11

Magnesiumoxid Propanon Quarz Steinsalz Sylvin Wasser

1,73 2,21 1,94 1,94 2,02 2,24

Reflexion a b

Einfallwinkel Reflexionswinkel

●

b=a

° °

Einfallender Strahl, Einfall-Lot und reflektierter Strahl liegen in einer Ebene. Brechung a b c0 c c1 c2 n0 n1 n2 n1 2

Einfallwinkel Brechungswinkel Lichtgeschwindigkeit im Vakuum Lichtgeschwindigkeit im Stoff Lichtgeschwindigkeit im Medium 1 Lichtgeschwindigkeit im Medium 2 Brechzahl (bezogen auf Vakuum) Brechzahl des Mediums 1 (bezogen auf Vakuum) Brechzahl des Mediums 2 (bezogen auf Vakuum) Brechzahl für den Übergang vom Medium 1 in das Medium 2

° ° m s–1 m s–1 m s–1 m s–1 1 1 1

W

1

Übergang des Lichtstrahls vom Vakuum in den Stoff ●

sin a c0 ––––– = –– = n0 sin b c

Übergang des Lichtstrahls vom Medium 1 in das Medium 2 ●

sin a c1 n2 ––––– = –– = –– = n1 2 sin b c2 n1

α

n1 n2 > n 1, c2 < c 1 n2

β

(Snellius’sches Brechungsgesetz) Aus praktischen Gründen bezieht man die Brechzahlen meist nicht auf das Vakuum, sondern auf Luft. Fortsetzung S. 302.

300

7 Wellen

Übersicht über elektromagnetische Wellen (elektromagnetisches Spektrum) l, f → Benutzungshinweise l- und f-Bereiche überlappen sich. Em

größte Quantenenergie der kürzesten Wellenlänge

J, eV

Wellenart (Bezeichnung) Besondere Anwendung (Beispiele)

Erzeugung (Beispiele)

Wechselströme

technischer Wechselstrom

Maschinengeneratoren

Tonfrequente Wechselströme

Telegrafie

Maschinen- und Röhrengeneratoren

Langwellen Mittelwellen Kurzwellen Ultrakurzwellen

technische Hochfrequenz, Rundfunk

Röhrensender

Dezimeterwellen Mikrowellen

Radioastronomie

Röhrensender mit Spezialröhren für besonders hohe Frequenzen

THz-Strahlung

Spektroskopie Sicherheitstechnik

Synchrotron, lineare Teilchenbeschleuniger

Ultrarot (Infrarot)

Medizin, Spektroskopie

besondere Lichtquellen

Sichtbares Licht

Beleuchtung, Spektroskopie

Lichtquellen

Ultraviolett

Medizin

Lichtquellen, Funken-, Bogen-, Gasentladung

Röntgenstrahlen

Medizin, Materialprüfung

Röntgenröhre, Betatron

Gammastrahlen

Medizin, Materialprüfung

Kernprozesse

Photonen der kosmischen Strahlung

Kernphysik

Kernprozesse im Weltall

Fernsehen, Vielfach telefonie, Radar

301


Nachweis (Beispiele)

l –– m

f ––– Hz

Em ––– eV

Wechselstrominstrumente

106 … → ∞

3 · 102 … → 0

–

Wechselstrominstrumente, Oszillograf

104 … 107

3 · 104 … 3 · 10

–

abgestimmte Empfänger

103 … 104 102 … 103 10 … 102 1 … 10

3 · 105 … 3 · 104 3 · 106 … 3 · 105 3 · 107 … 3 · 106 3 · 108 … 3 · 107

1,24 · 10–9 1,24 · 10–8 1,24 · 10–7 1,24 · 10–6

abgestimmte Empfänger

10–1 … 1 10–2 … 10–1 10–4 … 10–2

3 · 109 … 3 · 108 3 · 1010 … 3 · 109 3 · 1012 … 3 · 1010

1,24 · 10–5 1,24 · 10–4 1,24 · 10–2

Spezielle IR-Sensoren

10–4 … 10–7

3 · 1012 … 3 · 1014

Thermoelement, Bolometer, Fotoplatte

7,7 · 10–7 … 10–3

4 · 1014 … 3 · 1011

1,656

Auge, Fotoplatte, Fotozelle

3,9 · 10–7 … 7,7 · 10–7

7,7 · 1014 … 4 · 1014

3,184

Fotoplatte, Fotozelle

10–9 … 3,9 · 10–7

3 · 1017 … 7,7 · 1014

1,24 · 103

Fotoplatte, Fluoreszenz, Ionisation

10–13 … 10–8

3 · 1021 … 3 · 1016

1,24 · 107

Fotoplatte, Ionisation

10–15 … 10–10

3 · 1023 … 3 · 1018

1,24 · 109

Ionisation

10–16 … 10–13

3 · 1024 … 3 · 1021

1,24 · 1010

12,4

W

302

7 Wellen

Brechzahlen fester, flüssiger und gasförmiger Stoffe (bezogen auf Luft von 20 °C und 101,325 kPa bei einer Wellenlänge von 589,3 nm, für Vakuum – Luft ist n = 1,0002724) Stoff

n

Stoff

Aluminiumoxid Aminobenzol (Aminobenzen) Ammoniak Bariumoxid Benzol (Benzen) Bleinitrat Bleisulfid Calciumfluorid Calciumoxid Calciumsulfid Chlorbenzol Chrom(III)-oxid Chrom(III)-sulfat Diamant Diethylether Eis (0 °C) Ethanol Flintglas F3 F 624/361 (F 2) SF 746/280 (SF 3) Fluor Flussspat Hexan Kalkspat, o Kalkspat, ao Kanadabalsam Kassiaöl Kohlenstoffdisulfid

1,64

Kronglas ´ 13) K 524/588 (K BK 518/639 (BK 7) BaK 571/557 (BaK 4) Magnesiumoxid Methanol Monobromnaphthalin (-naphthalen) Phenolharz Polyethylen Polystyrol (Polystyren) Propanol Propantriol Pyridin Quarz, ⊥ Achse, o Quarz, ⊥ Achse, ao Quarzglas Schwefelkohlenstoff Silberchlorid Steinsalz Strontiumnitrat Strontiumoxid Sylvin Terpentinöl Tetrachlormethan Wasser Wasserstoffperoxid Zedernholzöl Zinn(IV)-chlorid

1,58616 1,325 1,980 1,50132 1,782 3,912 1,434 1,83 2,137 1,526 8 2,5 1,564 2,4173 1,35259 1,31 1,36170 1,613 1,61990 1,73976 1,0002 1,43383 1,3754 1,65836 1,48643 1,542 1,604 1,62769

n 1,522 38 1,516 61 1,568 75 1,736 1,329 3 1,658 1,63 1,51 1,59 1,385 8 1,469 49 1,509 64 1,54422 1,55332 1,458 86 1,638 2,071 1,544 26 1,567 1,870 1,490 29 1,47230 1,460 7 1,33299 1,406 1,505 1,511 2

Totalreflexion g n

Grenzwinkel der Totalreflexion Brechzahl

° 1

Totalreflexion tritt ein, wenn beim Übergang des Lichtes vom optisch dichteren in das optisch dünnere Medium der Grenzwinkel der Totalreflexion überschritten wird. 1 ● sin g = – n

303


Grenzwinkel der Totalreflexion für einige Stoffkombinationen Stoffkombination

g

Diamant – Luft Ethanol – Luft Fintglas F 624/361 – Luft Flintglas SF 746/280 – Luft Kassiaöl – Luft Kohlenstoffdisulfid – Luft Kronglas BK 518/639 – Luft Kronglas BaK 571/557 – Luft Methanol – Luft Quarzglas – Luft Tetrachlormethan – Luft Wasser – Luft Flintglas F 624/361 – Wasser Flintglas SF 746/280 – Wasser Kronglas BK 518/639 – Wasser Kronglas BaK 571/557 – Wasser Quarzglas – Wasser

24°26′ 47°15′ 38°07′ 35°05′ 38°34′ 37°54′ 41°15′ 39°36′ 48°47′ 43°16′ 43°12′ 48°36′ 55°22′ 50°01′ 61°21′ 58°11′ 66°01′

Planparallele Platte

●

sin (a – b) cos b d d′ = –– n

W

m 1 ° ° m m

√ = d –––––––––

α d

√ d′

Dicke der Platte Brechzahl Einfallwinkel Brechungswinkel Parallelverschiebung des Strahles scheinbare Dicke der Platte

d

d n a b

β v

Prisma a e w

Einfallwinkel Ausfallwinkel brechender Winkel

° ° °

304

7 Wellen

f n d

Gesamtablenkungswinkel Brechzahl Winkel der minimalen Ablenkung

●

f=a+e–w

° 1 ° ω

Für kleinen brechenden Winkel gilt α

f = (n – 1) w

ϕ

ε

Bestimmung der Brechzahl aus der minimalen Ablenkung Der Gesamtablenkungswinkel f hat ein Minimum d, wenn der Strahl das Prisma symmetrisch durchsetzt. w+d sin ––––– 2 n = –––––––– w sin ––– 2 Dispersion nC nF nD qH

Brechzahl für 656,3 nm Brechzahl für 486,1 nm Brechzahl für 589,3 nm Hauptdispersion (Grunddispersion)

1 1 1 1

qm ne nF′ nC′ n

mittlere Dispersion Brechzahl für546,1 nm Brechzahl für 480,0 nm Brechzahl für 643,8 nm Abbe’sche Zahl

1 1 1 1 1

Farbbereiche Ultraviolett – Violett – Blau – Grün – Gelb – Orange – Rot – Infrarot 390 430 490 570 600 610 770 nm Wichtige Spektrallinien (Bezeichnung, Wellenlänge in nm, Element) A′ C C′ d D e F F′ g h 768,2 656,3 643,8 587,6 589,3 546,1 486,1 480,0 435,8 404,7 Cd He Na Hg H2 Cd Hg Hg K H2 qm = nF – nC ,

qH = nF ′ – nC′

nD – 1 nD = ––––––– , nF – nC

ne – 1 ne = ––––––– nF′ – nC′

305


Mittlere Dispersion und Abbe’sche Zahl bei 20 °C Stoff

nC

nD

nF

qm

nD

Benzol (Benzen) Brombenzol Diamant Diethylether Flussspat Kalkspat, o Kalkspat, ao Kohlenstoffdisulfid Methansäure Propantriol Quarz, o ⊥ Achse Quarz, ao Quarzglas Steinsalz Sylvin Terpentinöl Wasser

1,49633

1,50132 1,5598 2,417 3 1,35259 1,43383 1,65838 1,48643 1,62796 1,3714 1,46949 1,54422 1,55332 1,45886 1,54426 1,49029 1,47230 1,33299

1,51338

0,017 05 0,019 2

29,403 29,156

1,3572 1,43704 1,66786 1,49080 1,65230

0,006 4 0,004 56 0,013 45 0,006 18 0,034 14 0,007 2 0,007 71 0,007 79 0,008 07 0,006 76 0,012 71 0,011 11 0,010 03 0,005 97

55,092 95,138 48,950 78,710 18,386 51,583 60,894 69,861 68,565 67,879 42,821 44,131 47,089 55,777

1,3508 1,43248 1,65441 1,48462 1,61816 1,46719 1,54187 1,55089 1,45682 1,54062 1,48709 1,46941 1,33115

1,47490 1,54966 1,55896 1,46358 1,55333 1,49820 1,47944 1,33712

Hauptdispersion und Abbe’sche Zahl für Gläser bei 20 °C

W

Stoff

ne

nF′

nC′

qH

ne

BK 518/639 (BK 7) K 524/588 (K 13) BaK 571/557 (BaK 4) F 624/361 (F 2) SF 746/280 (SF 3)

1,51859 1,52457

1,52272 1,52912

1,51460 1,52020

0,008 12 0,008 92

63,9 58,8

1,57126 1,62410 1,74618

1,57649 1,63312 1,76027

1,56624 1,61583 1,73357

0,01025 0,017 29 0,026 70

55,8 36,1 28,0

Interferenz a d l d u dB n

Phasenunterschied Gangunterschied Wellenlänge Durchmesser der Lichtquelle Aperturwinkel Blättchendicke Brechzahl

rad = 1 m m m ° m 1

306 r amax amin

7 Wellen

Krümmungsradius der Linse Radius der Interferenzmaxima Radius der Interferenzminima

m m m

Interferenzmaxima entstehen für ● ●

a = 2kp d = kl

}

(k = 0, 1, 2, …)

Interferenzminima entstehen für ● ●

a = (2k + 1) p 1 d= k+– l 2

( )

}

(k = 0, 1, 2, …)

Kohärenzbedingung 2d sin u l Interferenz an dünnen Blättchen (senkrechter Einfall; bei Beobachtung im reflektierten Licht) Auslöschung für

Verstärkung für

2ndB l = ––––– k

2ndB l = –––––– 1 k + –– 2

(k = 1, 2, 3, …)

(k = 0, 1, 2, 3, …)

Newton’sche Ringe

( )

1 2 = k + – lr a max 2 2 a min = klr

}

(k = 0, 1, 2, …)

Beugung l b amin amax r d g

Wellenlänge Spaltbreite Beugungswinkel, unter dem Minima beobachtet werden Beugungswinkel, unter dem Maxima beobachtet werden Radius der Öffnung Abstand der beiden Spalte Gitterkonstante

m m ° ° m m m

307


Beugung am einfachen Spalt (Fraunhofer’sche Beugung) ● ●

l sin amin = k –– b

( )

1 l sin amax = k + – –– 2 b

}

(k = 1, 2, 3, …)

Beugung an kreisrunder Öffnung (Fraunhofer’sche Beugung) l sin amin1 = 0,610 –– , r

l sin amin2 = 1,116 –– , r

l sin amin3 = 1,619 –– r

Beugung am Doppelspalt

( )

1 l sin amin = k + – –– 2 d l sin amax = k –– d

}

(k = 1, 2, 3, …)

Beugung am Gitter (Fraunhofer’sche Beugung) ●

l sin amax = k –– (k = 0, 1, 2, …) g

W

Polarisation n f t l as a l r m mL

Brechzahl Polarisationswinkel Celsius-Temperatur Wellenlänge spezifische Drehung Drehwinkel Länge der Flüssigkeitssäule Dichte der Lösung Masse der aktiven Substanz Masse der Lösung

1 ° °C m ° ° m kg m–3 kg kg

Polarisation bei Reflexion und Brechung Beim Auftreffen eines Lichtstrahls natürliches Licht unter dem Polarisationswinkel auf die Grenzfläche stehen reflektierter und gebrochener Strahl aufeinander senkrecht. Der reflektierte Strahl ist vollkommen linear polarisiert. Brewster’sches Gesetz ●

tan f = n

308

7 Wellen

Polarisationswinkel einiger Stoffe (t = 20 °C, l = 589,3 nm) Stoff

n

f –– °

Ammoniak Diamant Ethanol Glas Flintglas F 624/361 Flintglas SF 746/280 Kronglas BK 518/639 Kronglas K 524/588 Kronglas BaK 571/557 Flussspat Kalkspat, o Kalkspat, ao Kanadabalsam Kassiaöl Kohlenstoffdisulfid Quarz, o Quarz, ao Quarzglas Steinsalz Wasser

1,325 2,4173 1,3617

52,96 67,53 53,71

1,6199 1,7398 1,5166 1,5224 1,5688 1,4338 1,6584 1,4864 1,542 1,604 1,6277 1,5442 1,5533 1,458 9 1,5443 1,3330

58,31 60,11 56,60 56,70 57,48 55,11 58,91 56,07 57,04 58,06 58,43 57,07 57,23 55,57 57,07 53,12

Drehung der Polarisationsebene beim Durchgang durch eine aktive Flüssigkeit (bzw. eine aktive Substanz in Lösung) l r m · —– a = as ––– · –––––– dm g cm–3 mL Bei aktiven Flüssigkeiten ist m/mL = 1. Spezifische Drehung von Lösungen (t = 20 °C, l = 589,3 nm, wässrige Lösung) Stoff

a –––s °

Stoff

a –––s °

Fruchtzucker Laktose

–91,90 +52,4

Rohrzucker Traubenzucker

+66,45 +52,50

309

7.8 Optische Abbildung

7.8

Optische Abbildung

Spiegel g, (a) Gegenstandsweite b, (a ′) Bildweite G, (y) Gegenstandsgröße, Dinggröße B, (y ′) Bildgröße r Radius von Konkav- bzw. Konvexspiegel f, (f ′) Brennweite (in Klammern gespiegelte Brennweite) b Abbildungsmaßstab (In Klammern Bezeichnungen der Technischen Optik) Ebener Spiegel ● b = –g,

B = G,

a = a′,

m m m m m m 1

y = y′

Sphärische Spiegel Abbildungsgleichung 1 1 1 1 1 1 –– = –– + –– , –– = –– – –– mit f ′ = – f ● f b g f ′ a′ a B b y′ a′ ● b = –– = – –– , b = –– = –– G g y a Sphärischer Hohlspiegel (Konkavspiegel) r r r f=– , in der Technischen Optik f = – –– , f ′ = –– 2 2 2 Sphärischer Wölbspiegel (Konvexspiegel oder erhabener Spiegel) r r r f = – –– , in der Technischen Optik f = – , f′ = – – 2 2 2 Vorzeichenregeln (Das Licht trifft von links auf den Spiegel.) Technische Optik f > 0, f < 0, G > 0, G < 0,

g > 0, b > 0 b<0 B>0 B<0

Konkavspiegel

f f y y

< 0, > 0, > 0, < 0,

Lage der Größen

a < 0, a′ > 0 f ′ > 0, a′ < 0 y′ > 0 y′ < 0

vor dem Spiegel hinter dem Spiegel über der optischen Achse unter der optischen Achse

Konvexspiegel

G

G B

F B f g

g

b

b f

r b < 0, f < 0

r

W

310

7 Wellen

Dünne Linsen f Brennweite m D, (D′) Brechwert dpt = m–1 fd, (f) Brennweite auf Lichteintrittsseite (dingseitige Brennweite) m fb, (f′) Brennweite auf Lichtaustrittsseite (bildseitige Brennweite) m m r1, r2 Krümmungsradien der Linse n Brechzahl der Linse 1 n0 Brechzahl außerhalb der Linse 1 nd Brechzahl auf Lichteintrittsseite (im Dingraum) 1 Brechzahl auf Lichtaustrittsseite nb (im Bildraum) 1 g, (a) Gegenstandsweite m b, (a′) Bildweite m G, (y) Gegenstandsgröße m B, (y′) Bildgröße m b Abbildungsmaßstab 1 (In Klammern stehen die Bezeichnungen der Technischen Optik.) Brechwert (Einheit: 1 dpt = 1 Dioptrie = 1/m) ●

1 D = –– , f

1 D′ = –D = –– f′

Abbildungsgleichung ●

1 1 1 –– = –– + –– , f b g

1 1 1 –– = –– – –– f ′ a′ a

●

B b b = –– = – –– , G g

y′ a′ b = –– = –– y a

mit

f ′ = –f

Außerhalb der Linse liegt die gleiche Brechzahl nd = nb = n0 = 1 vor:

(

)

(

)

●

1 1 1 –– = (n – 1) –– – –– , f r1 r2

1 1 1 –– = (n – 1) –– – –– f′ r1 r2

●

f = fd = fb ,

f ′ = –f

Vorzeichenregeln (Das Licht trifft von links auf die Linse.) Technische Optik Lage der Größen bzw. Bildart r2 < 0

r2 < 0

r1 > 0

r1 > 0

Mittelpunkt M2 auf Lichteintrittsseite (s. Bild S. 311) Mittelpunkt M1 auf Lichtaustrittsseite

311

7.8 Optische Abbildung

Technische Optik Lage der Größen bzw. Bildart f >0 fd > 0 fb > 0 g >0

f <0 f′ > 0 a <0

bei Konvexlinsen

f <0 fd < 0 fb < 0 g >0

f >0 f′ < 0 a <0

bei Konkavlinsen

b>0

a′ > 0

b<0

a′ < 0

Bild auf Lichtaustrittsseite (Bild ist reell) Bild auf Lichteintrittsseite (Bild ist virtuell)

G > 0, B > 0

y > 0, y′ > 0

G < 0, B < 0

y < 0, y′ < 0

Gegenstand (Ding) und Bild über der optischen Achse Gegenstand (Ding) und Bild unter der optischen Achse nd

B2

M2 G2 G1 F g

r2 < 0

r1 > 0

M1

Fb B1

g2 fd

fb

g1 b2 < 0

b1 > 0

Im Ding- und Bildraum liegt die Brechzahl nd = nb = n0 1 vor. ●

W

nb

( )(

1 n –– = –– – 1 f n0

)

1 1 –– – –– r1 r2

In der Technischen Optik muss 1 1 –– statt –– gesetzt werden. f′ f

G1

G2 Fd B1

B2

b2<0 g2 b1 < 0 fd < 0 g1

Fb

fb < 0

312

7 Wellen

Immersionslinse (nd nb) ●

nd nb 1 1 –– = ––– = (n – nd) –– – (n – nb) –– fd fb r1 r2 fd fb –– + —– = 1, g b

fd b nd b b = – —– –– = – ––– –– fb g nb g

Dicke Linsen f, (f ′) n r1, r2 d, (d ′) g, (a) b, (a′) G, (y) B, (y′) b

Brennweite Brechzahl der Linse Krümmungsradien der Linse Abstand der beiden Linsenscheitel Gegenstandsweite Bildweite Gegenstandsgröße Bildgröße Abbildungsmaßstab

●

1 1 1 (n – 1)2 d –– = (n – 1) –– – –– + ––––––– –––– f r1 r2 n r1r2

(

m 1 m m m m m m 1

)

1 1 In der Technischen Optik –– durch –– und d durch d′ > 0 ersetzen. f f′ Hd und Hb sind die Hauptebenen. 1 1 1 –– = –– + ––, f b g

1 1 1 –– = –– – –– f ′ a′ a

B b b = –– = – –– , G g

y′ a′ b = –– = –– y a

Hd G

Fd

Fb B

(Vorzeichenregeln S. 310, 311 beachten.)

fd

fb

g

b

Linsensysteme f1, (f 1′ ) Brennweite der ersten Linse f2, (f 2′ ) Brennweite der zweiten Linse f, (f ′) Brennweite des Linsensystems

Hb

m m m

313

7.9 Optische Geräte

D, (e′) Abstand der beiden einander zugekehrten Hauptebenen g, (a) Gegenstandsweite b, (a′) Bildweite G, (y) Gegenstandsgröße B, (y′) Bildgröße b Abbildungsmaßstab

m m m m m 1

(In Klammern Bezeichnungen der Technischen Optik, Vorzeichenregeln auf Seite 310, 311 beachten. D > 0, e′ > 0) ●

1 1 1 D –– = –– + –– – –––– , f f1 f2 f1 f2 1 1 1 e′ –– = –– + –– – –––– , f ′ f1′ f 2′ f 1′ f 2′ 1 1 1 –– = –– + –– , f b g

1 1 1 –– = –– – –– f ′ a a′

B b b = –– = – –– , G g

y ′ a′ b = –– = –– y a

H1 H1

H2 H2

G f1 g

f1

f2

f2

D

W 7.9

Optische Geräte

Lupe V em eo s f

Normalvergrößerung der Lupe Sehwinkel mit Instrument Sehwinkel ohne Instrument konventionelle Sehweite (25 cm) Brennweite

1 rad = 1 rad = 1 m m

Definition der Vergrößerung ●

tan em em V = –––––– ≈ ––– tan eo eo

Normalvergrößerung der Lupe (Auge und Gegenstand jeweils im Brennpunkt) s V = –– f

314

7 Wellen

Mikroskop V t s fob fok Vob Vok ●

Normalvergrößerung des Mikroskops optische Tubuslänge (Abstand der einander zugekehrten Brennpunkte) konventionelle Sehweite (25 cm) Brennweite des Objektivs Brennweite des Okulars Vergrößerung des Objektivs Vergrößerung des Okulars ts V = ––––– , fob fok

1 m m m m 1 1

V = VobVok

Kamera 1 –– k k d f ●

relative Öffnung (Öffnungsverhältnis)

1

Öffnungszahl Durchmesser der Eintrittsöffnung Brennweite

1 m m

1 d –– = –– k f

Fernrohre V eo em fob fok

Normalvergrößerung des Fernrohrs Sehwinkel ohne Instrument Sehwinkel mit Instrument Brennweite des Objektivs Brennweite des Okulars

1 rad = 1 rad = 1 m m

em V = ––– eo

●

Kepler’sches Fernrohr

Galilei’sches Fernrohr

fob V = ––– fok

●

fob V = – ––– fok

315

7.10 Fotometrie

Auflösungsvermögen optischer Instrumente e

l r A u n d

kleinster Winkel, unter dem zwei Punkte erscheinen dürfen, wenn sie noch getrennt wahrgenommen werden sollen Wellenlänge Radius der Blende, an der Beugung auftritt numerische Apertur Aperturwinkel (halber Öffnungswinkel) Brechzahl Auflösungsgrenze (Abstand zweier Punkte, die noch aufgelöst werden können)

rad = 1 m m 1 ° 1 m

Auge und Fernrohr ●

l e = 0,61 –– r

Mikroskop ●

A = n sin u ,

7.10

Fotometrie

l d = 0,61 –––––– n sin u

Spektrale Hellempfindlichkeit des Auges l Wellenlänge V(l) spektrale Hellempfindlichkeit des Auges V(l)max maximale Hellempfindlichkeit des Auges

W

m 1 1

Die Hellempfindlichkeit des Auges am Tage ist am größten für die Wellenlänge 555 nm: ●

V(l)max = 1

für l = 555 nm

Spektrale Hellempfindlichkeit (für Tagessehen) (bezogen auf V(l)max = 1 bei l = 555 nm) l ––– nm

V(l)

l ––– nm

V(l)

l ––– nm

V(l)

400 410 420 430 440 450 460

0,0004 0,0012 0,0040 0,0116 0,023 0,038 0,060

470 480 490 500 510 520 530

0,091 0,139 0,208 0,323 0,503 0,710 0,862

540 550 555 560 570 580 590

0,954 0,995 1,000 0,995 0,952 0,870 0,757

316

7 Wellen

l ––– nm

V(l)

l ––– nm

V(l)

l ––– nm

V(l)

600 610 620 630 640 650

0,631 0,503 0,381 0,265 0,175 0,107

660 670 680 690 700 710

0,061 0,032 0,017 0,008 2 0,004 1 0,002 1

720 730 740 750 760

0,00105 0,00052 0,00025 0,000 12 0,000 06

Lichtstärke Iv

Lichtstärke

cd

●

Die Lichtstärke ist eine Basisgröße. Die Einheit der Lichtstärke ist die Candela (cd): Die Candela ist die in einer Richtung gegebene Lichtstärke einer Strahlungsquelle, die eine monochromatische Strahlung der Frequenz 540 THz ausstrahlt und deren Strahlstärke in dieser Richtung 1/683 W sr –1 beträgt.

Leuchtdichte Leuchtdichte cd m–2 Lichtstärke cd Senderfläche m2 Winkel zwischen der Strahlrichtung und der Flächennormalen der Senderfläche ° Iv dIv Lv = ––––––––– , Lv = –––––––– dA1 cos a1 A1 cos a1 SI-fremde, nicht mehr gesetzliche Einheit der Leuchtdichte: Stilb (sb) 1 sb = 10 4 cd m–2 (= 1 cd cm–2) Lv Iv A1 a1

Leuchtdichten (Richtwerte) Lichtquelle

Lv –––––– cd m–2

Fluoreszenz Nachthimmel Vollmond Opalglasglühlampe Wolframwendel Leuchtstofflampen Hg-Hochdrucklampe Sonne Xenon-Hochdrucklampe

10 –4 … 102 10–3 5 · 103 10 4 … 105 107 … 2 · 107 0,5 · 104 … 1,5 · 104 2,5 · 108 … 109 109 … 1,5 · 109 109 … 1010

317

7.10 Fotometrie

Lichtstrom Iv Lichtstärke cd A2 Empfängerfläche (Kugelfläche) m2 W Raumwinkel sr = 1 r Abstand des Empfängers vom Sender m Fv Lichtstrom lm = cd sr h Lichtausbeute lm W–1 Fv = ∫ Iv dW , Fv = Iv W für Iv = const dA2 A2 –, dW = ––– W = ––2– 2 r r Lichtstrom einiger Lampen Lampe

F –––v lm

h –––––– lm W–1

15 W (Vakuumlampe) 25 W (Vakuumlampe) 40 W (Einfachwendel) 60 W (Einfachwendel) 100 W (Einfachwendel) 200 W (Einfachwendel) 300 W (Einfachwendel 55 W (Natriumdampf-Niederdrucklampe) 200 W (Hg-Hochdrucklampe) Leuchtstofflampen Energiesparlampen

122 230 340 600 1220 3020 4900 8000 8500 600 … 7 000 500 … 2 000

8,2 9,2 8,6 10,1 12,2 15,1 16,3 145 42,5 26 … 49 55 … 70

Strahlungsäquivalent K(l) fotometrisches Strahlungsäquivalent lm W–1 Kmax maximales fotometrisches Strahlungsäquivalent lm W–1 Fe Strahlungsfluss W Lichtstrom lm Fv V(l) spektrale Hellempfindlichkeit des Auges l l Wellenlänge m Leuchtdichte cd m–2 Lv Lel dl Strahldichte im Wellenlängenbereich zwischen l und l + dl W m–2 sr–1 Fv K(l) = ––– Fe Das fotometrische Strahlungsäquivalent für Tagessehen hat ein Maximum bei l = 555 nm: K(l) = V(l)K(l)max ● Kmax = 683 lm W –1 bei l = 555 nm , Lv = Kmax ∫ Lel V(l) dl

W

318

7 Wellen

Fotometrisches Strahlungsäquivalent l ––– nm

K(l) ––––––– lm W–1

l ––– nm

K(l) ––––––– lm W–1

l ––– nm

K(l) ––––––– lm W–1

400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520

0,273 0,820 2,73 7,92 15,7 26,0 41,0 62,2 94,9 142,1 220,6 343,4 484,9

530 540 550 555 560 570 580 590 600 610 620 630 640

588,7 651,6 679,6 683,0 679,6 650,2 594,2 517,0 431 344 260 181 120

650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760

73,1 41,7 21,9 11,6 5,60 2,80 1,43 0,717 0,355 0,171 0,082 0 0,041 0

Maximum des fotometrischen Strahlungsäquivalents für Nachtsehen ist K′max = 1699 lm W–1 bei l = 507 nm. Beleuchtungsstärke Fv A2 Ev A⊥ a2 Lv W2 Iv r ●

Lichtstrom Empfängerfläche Beleuchtungsstärke Querschnittsfläche des Lichtstroms Winkel zwischen der Richtung des Lichtstroms und der Flächennormalen der Empfängerfläche Leuchtdichte Raumwinkel, unter dem der Sender vom Empfänger aus erscheint Lichtstärke Abstand des Empfängers vom Sender dFv Ev = –––– , dA2

cos a2 – Ev = Iv ––––– r2

° cd m–2 sr = 1 cd m

Fv Ev = ––– A2

dFv Ev = –––– cos a2 , dA⊥ ●

lm m2 lx = lm m–2 m2

Fv Ev = ––– cos a2 , A⊥

Ev = ∫ Lv cos a2 dW2

319

7.10 Fotometrie

Beleuchtungsstärken (Richtwerte) Beleuchtung

E –––v lx

Sonnenlicht im Sommer Sonnenlicht im Winter Vollmondnacht Mondlose Nacht Wohnräume Arbeitsräume Arbeitsplatzbeleuchtung Fußwege, Straßen Parkplätze Lagerräume Büro- und Unterrichtsräume Messplätze

100000 10000 0,2 0,0003 40 … 150 40 … 300 100 … 4 000 5 … 20 3 50 … 200 300 … 500 750

Lichtausbeute h Fv P

Lichtausbeute Lichtstrom aufgewendete (elektrische) Leistung

●

Fv h = ––– P

lm W–1 lm W

W

Lichtausbeute einiger Lampen (Richtwerte) Lampe

h ––––––– lm W–1

Lampe

h –––––– – lm W–1

Glüh-L. 15 W Glüh-L. 25 W Glüh-L. 60 W Glüh-L. 100 W Halogen-L. Leuchtstoff-L.

8,2 9,2 10,1 12,1 30 … 50 50 … 60

Kompaktleuchtstoff-L. (Energiespar-L.) LED-L. Hg-Hochdruck-L. Na-Hochdruck-L. Na-Niederdruck-L.

Lichtmenge Qv Fv t

Lichtmenge Lichtstrom Zeit

●

Qv = ∫ Fv dt ,

lm s lm s Qv = Fv t

60 … 80 60 … 100 ≈ 60 ≈ 130 ≈ 180

320

7 Wellen

Belichtung Ev t Hv

Beleuchtungsstärke Zeit Belichtung Hv = ∫ Ev dt ,

lx s lx s

Hv = Ev t

Gegenüberstellung von Strahlungsfeldgrößen und fotometrischen Größen Strahlungsfeldgröße Strahlungsenergie Strahlungsfluss Strahlstärke Bestrahlungsstärke Strahldichte Bestrahlung

7.11

Einheit

Fotometrische Größe

Qe , W Fe , P Ie

J W W sr–1

Ee Le He

W m–2 W m–2 sr–1 J m–2

Lichtmenge Lichtstrom Lichtstärke Beleuchtungsstärke Leuchtdichte Belichtung

Lichtabsorption

Transmission, Reflexion, Absorption Fv0 Fvtr Fvr Fva t (l) r (l) a(l) l T

auftreffender Lichtstrom transmittierter Lichtstrom reflektierter Lichtstrom absorbierter Lichtstrom Transmissionsgrad Reflexionsgrad Absorptionsgrad Wellenlänge Temperatur Fvtr t(l) = ––– , Fv0

●

Fvr r(l) = –––– , Fv0

lm lm lm lm 1 1 1 m K Fva a(l) = –––– Fv0

t + r + a =1

Für undurchlässige Körper ist t = 0. Reflexion r Fv0

Reflexionsgrad auftreffender Lichtstrom

1 lm

Einheit Qv Fv Iv

lm s lm cd

Ev Lv Hv

lx cd m–2 lx s

321

7.11 Lichtabsorption

Fvtr n0 n1

transmittierter Lichtstrom Brechzahl des umgebenden Mediums Brechzahl des Plattenmaterials

lm 1 1

Reflexion an einer planparallelen Platte bei senkrechtem Lichteinfall (nach Fresnel) ●

(

n1 – n0 r = –––––– n1 + n0

)

2

Bei vernachlässigbarer Extinktion gilt für die planparallele Platte Fvtr –––– = (1 – r)2 Fv0 Absorption (Extinktion) Fvi Fve ai an a En E d

eindringender Lichtstrom austretender Lichtstrom Reinabsorptionsgrad natürlicher Absorptionskoeffizient dekadischer Absorptionskoeffizient natürliches Absorptionsmaß (Extinktion) dekadisches Absorptionsmaß (Extinktion) Schichtdicke

lm lm 1 m–1 m–1 1 1 m

W

Definition des Reinabsorptionsgrades ●

Fve Fvi – Fve ai = –––––––– = 1 – ––– Fvi Fvi Φve

Absorptionsgesetz dFv = – anFv dx ,

●

Fve = Fvie–an d ,

Fve ln ––– = –an d Fvi Fve = Fvi10 –ad ,

Φ vi

an a = –––– 2,30

Definition des natürlichen Absorptionsmaßes: En = and Definition des dekadischen Absorptionsmaßes: E = ad

Φ ve =Φ vi e–and d

322

7 Wellen

Reintransmission Fvi Fve q r a d Fv0 Fvtr

eindringender Lichtstrom austretender Lichtstrom Reintransmissionsgrad Reflexionsgrad dekadischer Absorptionskoeffizient Plattendicke auftreffender Lichtstrom transmittierter Lichtstrom

lm lm 1 1 m–1 m lm lm

Definition des Reintransmissionsgrades ●

Fve q = ––– Fvi

Für die planparallele Platte gilt Fvtr –––– = (1 – r)2 q , Fv0 q = 10–md 1 Fv0 m = –– 2 lg (1 – r) + lg –––– d Fvtr

[

7.12

Φ v0

]

Φ vi= (1– r ) Φ v0

Φve = ϑ Φ vi Φ vtr = (1– r ) 2ϑ Φv0 r Φ v0 = (1– r )ϑ Φ v0 r (1– r )ϑ Φ v0

Temperaturstrahlung

Schwarzer Körper l, T → Benutzungshinweise a(l, T) Absorptionsgrad

1

a(l, T) = 1 Kirchhoff ’sches Strahlungsgesetz es(l, T) Emissionsgrad des schwarzen Körpers e(l, T) Emissionsgrad eines nichtschwarzen Körpers a(l, T) Absorptionsgrad eines nichtschwarzen Körpers e(l, T) = a(l, T) ,

e(l, T) ––––––– = es(l, T) = 1 a(l, T)

1 1 1

323

7.12 Temperaturstrahlung

Emissionsgrad verschiedener Stoffe (Richtwerte) Stoff

t ––– °C

e

Aluminium, poliert rau Asbestpappe Blei, grau oxidiert Dachpappe Eichenholz Eisen, poliert Gips Gold, poliert Grauguss, poliert Hartgummi Kupfer, poliert Lacke, Emaille Mauerwerk, Putz Messing, poliert Quecksilber Ruß Silber, poliert Stahl, poliert Walzhaut stark verrostet Wasser Ziegel Zink, grau oxidiert Zinn, poliert

20 20 20 20 20 20 175 … 225 20 20 200 20 20 20 20

0,04 0,055 0,96 0,28 0,93 0,895 0,052 … 0,074 0,8 … 0,9 0,02 … 0,03 0,21 0,95 0,03 0,85 ≈ 0,93 0,038 … 0,053 0,09 … 0,12 0,95 0,02 … 0,03 0,286 0,77 0,85 0,95 … 0,96 0,93 0,23 … 0,28 0,06

0 … 100 100 … 300 20 20 20 20 0 … 100 20 20 20

Stefan-Boltzmann’sches Strahlungsgesetz Fe A T Tu s h k c e

Strahlungsfluss (Strahlungsleistung) Senderfläche Temperatur des Strahlers Temperatur der Umgebung Stefan-Boltzmann-Konstante Planck’sches Wirkungsquantum Boltzmann-Konstante Lichtgeschwindigkeit im Vakuum Emissionsgrad (integraler)

●

dFe = esT 4 dA,

s = 5,670373 · 10 –8 W m–2 K–4

Fe = esT 4A ,

W m2 K K W m–2 K–4 Js J K–1 m s–1 1 2p5k4 p2k4 – = –––––– s = ––––– _ 15c 2h3 60c2 h3

W

324

7 Wellen

k = 1,3806488 · 10–23 J K–1

h = 6,62606857 · 10–34 J s ,

h _ h = ––– = 1,054 571726 · 10–34 J s 2p

Wird noch die dem Strahler von der Umgebung zugestrahlte Leistung berücksichtigt, so gilt ●

Fe = esA (T 4 – T u4)

Planck’sches Strahlungsgesetz l, T, f → Benutzungshinweise Les Strahldichte des schwarzen Strahlers h Planck’sches Wirkungsquantum c Lichtgeschwindigkeit im Vakuum k Boltzmann-Konstante c1 Planck’sche Strahlungskonstanten c2

}

●

dLes c1 1 –––– = –––5 ––––– – dl pl –c––2 lT e –1

c1 = 2phc 2 = 3,74177153 · 10–16 W m2

hc c2 = ––– = 0,014 387 770 m K k

●

dLes 2hf 3 1 –––– ––––– – = –––– hf df c2 – kT e –1

{

W m–2 sr–1 Js m s–1 J K–1 W m2 mK

Les

Bereich des sichtbaren Lichtes 1650 K

1460 K 1260 K 1100 K 1000 K 900 K

hf Für ––– 1 folgt das Wien’sche Strahlungsgesetz kT c dLes c1 ––2 –––– = ––––5 e – lT dl pl

dLes 2hf 3 – –hf– –––– = –––– e kT df c2

1 2 3 4 5 6 λ in µm

hf Für ––– 1 folgt das Rayleigh-Jeans’sche Strahlungsgesetz kT dLes c1 T –––– = ––––– –––4 , dl 2pc2 l

dLes f2 –––– = ––2– · 2kT df c

325

7.12 Temperaturstrahlung

Wien’sches Verschiebungsgesetz lmax T b

Wellenlänge, für die die spektrale Energieverteilung ein Maximum besitzt Temperatur Wien’sche Konstante

●

lmaxT = b

b = 2,8977721 · 10–3 m K

m K mK

Temperaturstrahlung nichtschwarzer Körper l, T → Benutzungshinweise Le(l, T) spektrale Strahldichte eines nichtschwarzen Körpers bei der Wellenlänge l und der Temperatur T Les (l, T) spektrale Strahldichte eines schwarzen Körpers bei der Wellenlänge l und der Temperatur T e(l, T) spektraler Emissionsgrad Les(l, Ts) spektrale Strahldichte eines schwarzen Körpers bei der Wellenlänge l und der Temperatur Ts Ts schwarze Temperatur (Schwarzkörpertemperatur) des Strahlers bei der Wellenlänge l

W m–2 sr–1 W m–2 sr–1 1 W m–2 sr–1 K

Le(l, T) = e(l, T) Les(l, T) Le(l, T) = Les(l, Ts) Les(l, Ts) = e(l, T) Les(l, T) Der nichtschwarze Körper strahlt bei der Temperatur T mit der gleichen Strahldichte wie der schwarze Körper bei der Temperatur Ts .

W

8

Spezielle Relativitätstheorie

Lorentz-Transformation x, y, z x′, y′, z′ t t′ c

√ b

Ortskoordinaten im System S Ortskoordinaten im System S′ Zeit, gemessen im System S Zeit, gemessen im System S′ Lichtgeschwindigkeit im Vakuum Geschwindigkeit des Systems S′ in Richtung der x-Achsen beider Systeme, gemessen in S = √/c

m m s s m s–1 m s–1 1

Ortskoordinaten eines Ereignisses, beschrieben in zwei Inertialsystemen S und S′ ●

x – √t x′ = –––––– , 1 – b2 y′ = y,

x′ + √t x = –––––– 1 – b2

S

z′ = z

Zeitkoordinaten eines Ereignisses in S und S′

√

●

y

z

y vt

S x

z

√

t – ––2 x c t′ = ––––––– , 1 – b2

t′ + ––2 x′ c t = –––––––– 1 – b2

√

Galilei-Transformation für –– 1 c ●

x′ = x – √t , y′ = y ,

x = x′ + √t z′ = z ,

t′ = t

Additionsgesetz der Geschwindigkeiten

√ c √៬1

Geschwindigkeit des Systems S′ in Richtung der x-Achsen beider Systeme, gemessen in S Lichtgeschwindigkeit im Vakuum Geschwindigkeit eines Körpers, gemessen in S

m s–1 m s–1 m s–1

x

327


√៬1′ Geschwindigkeit eines Körpers, gemessen in S′ √1x , √1y , √1z Komponenten von √៬1 √1′x , √1′y , √1′z Komponenten von √៬′1 b = √ /c ●

√1′x + √ √1x = –––––––– , √1′x√ 1 + –––– c2

√1′y 1 – b2 √1y = ––––––––– , √1′y√ 1 + –––– c2

m s–1 m s–1 m s–1 1

√1′z 1 – b2 √1z = ––––––––– √1′z√ – 1 + ––– c2

√

Nichtrelativistisches Geschwindigkeitstheorem für –– 1 c

√1x = √1′x + √ ,

√1y = √1′y ,

√1z = √1′z

Zeitdilatation

√ c x1′, x′2 t′1 t′2 Dt′ = t′2 – t′1 x1, x2 t1 t2 Dt = t2 – t1 b g ●

Geschwindigkeit des Systems S′ in Richtung der x-Achsen beider Systeme, gemessen in S Lichtgeschwindigkeit im Vakuum Ortskoordinaten in S′ Zeitpunkt eines Ereignisses am Ort x′1 Zeitpunkt eines Ereignisses am Ort x′2 Zeitdifferenz, gemessen im System S′ Ortskoordinaten in S Zeitpunkt eines Ereignisses am Ort x1 Zeitpunkt eines Ereignisses am Ort x2 Zeitdifferenz, gemessen im System S = √ /c = 1/ 1 – b 2

[

m s–1 m s–1 m s s s m s s s

]

√ x′2 – x′1 √ Dt′ Dt = ––––––– + –– ––––––– = g Dt′ + –– (x′2 – x′1) 2 2 2 1– b c 1– b c2

Die beiden Ereignisse finden, gemessen in S′, gleichzeitig statt (t′1 = t′2), aber an verschiedenen Orten (x′2 x′1)

√ x′2 – x′1 – Dt = –– –––––– c2 1 – b2 Die beiden Ereignisse finden, gemessen in S′, am gleichen Ort statt (x′2 = x′1), aber zu verschiedenen Zeiten (t′2 t′1) Dt′ Dt = –––––– 1 – b2

R

328


Längenkontraktion

√ c Dx Dx′ b

Geschwindigkeit des Systems S′ in Richtung der x-Achsen beider Systeme, gemessen in S Lichtgeschwindigkeit im Vakuum Länge, gemessen im System S Länge, gemessen im System S′ = √ /c

●

Dx = Dx′ 1 – b2

m s–1 m s–1 m m 1

Masse eines bewegten Körpers

√ c m0 m b ●

m s–1 m s–1 kg kg 1

Geschwindigkeit des Körpers Lichtgeschwindigkeit im Vakuum Ruhmasse des Körpers Masse des bewegten Körpers = √ /c m0 m = –––––– 1– b2

In der klassischen Mechanik ist für b = √ /c → 0 (d. h. √ c): m = m0 Dynamisches Grundgesetz und Impuls F

√ c p m0 t b

Kraft Geschwindigkeit des Körpers Lichtgeschwindigkeit im Vakuum Impuls des Körpers Ruhemasse des Körpers Zeit = √/c

N m s–1 m s–1 Ns kg s 1

Dynamisches Grundgesetz ●

(

)

d m0 F៬ = ––– ––––––– √៬ , dt 1– b2

(

d m0 F = ––– ––––––– √ dt 1– b2

)

Impuls ●

m0 √៬ p៬ = –––––– , 1 – b2

m0 √ p = –––––– 1 – b2

√ d(m√) Für –– 1 gelten F = –––––– und p = m√ mit m = m0. c dt

329


Energie eines bewegten Körpers

√ c m0 E0 E m p b Ek

Geschwindigkeit des Körpers Lichtgeschwindigkeit im Vakuum Ruhemasse des Körpers Ruheenergie des Körpers Energie des bewegten Körpers Masse des bewegten Körpers Impuls des Teilchens = √ /c kinetische Energie des bewegten Körpers

●

E = mc2 ,

m0c2 E = –––––– , 1 – b2

m s–1 m s–1 kg J J kg Ns 1 J

Ek = mc 2 – mc 20

Ruheenergie (Einstein’sche Masse-Energie-Beziehung) ●

E0 = m0c2

Zusammenhang zwischen Energie und Impuls eines Teilchens E 2 = E 20 + c2p2

√

Für –– 1 gilt für die Energie eines bewegten Körpers c ●

1 E = m0c2 + –– m0 √2 mit 2

1 Ek = –– m0√2 2

R

Optischer Doppler-Effekt f′ f

√ c

Frequenz des Lichtes einer im System S′ ruhenden Lichtquelle Frequenz des Lichtes, gemessen im System S Geschwindigkeit des Systems S′ und damit auch Geschwindigkeit der Lichtquelle, gemessen in S Lichtgeschwindigkeit im Vakuum f=f′

Hz Hz m s–1 m s–1

–√ c+ ––––– c±√

Das obere Vorzeichen gilt, wenn sich der Abstand zwischen Sender und Empfänger vergrößert, das untere Vorzeichen gilt, wenn der Abstand abnimmt.

330


Geschwindigkeit eines elektrisch geladenen Teilchens in einem elektrischen Feld Bewegung erfolgt in Feldrichtung.

√E

elektrische Ladung des Teilchens elektrische Spannung, die vom Teilchen durchlaufen wird Ruhemasse des Teilchens Lichtgeschwindigkeit im Vakuum Endgeschwindigkeit des Teilchens

●

√E = c

Q U m0 c

C V kg m s–1 m s–1

1 1 – ––––––––––––2 |QU | –––––2 + 1 m0c

(

)

Für √E c, d. h. |QU| m0c 2, gilt (→ S. 227)

√E =

2 |QU | –––––– m0

Raumladungsdichte, Volumentransformation und Gesamtladung Q r r′ V V′ c

√ √1x b

elektrische Ladung des Teilchens Raumladungsdichte im System S Raumladungsdichte im System S′ Volumen des Teilchens im System S Volumen des Teilchens im System S′ Lichtgeschwindigkeit im Vakuum Geschwindigkeit des Systems S′ relativ zum System S in Richtung der x-Achse Geschwindigkeit des Teilchens im System S in Richtung der x-Achse = √/c

C C m–3 C m–3 m3 m3 m s–1 m s–1 m s–1 1

Raumladungsdichte und Volumen im System S′

√√1x

●

1 – –––– c2 r′ = ––––––– r , 1 – b2

1 – b2 V′ = ––––––– V

√√1x

– 1 – ––– c2

Die Gesamtladung hängt nicht von der Wahl des Bezugssystems ab. ●

Q = rV = r′V′

Für √ c ist r = r′ und V = V′.

9

Quantentheorie und Atombau

9.1

Atom

Avogadro-Konstante NA Avogadro-Konstante mol–1 R Gaskonstante J K–1 mol–1 k Boltzmann-Konstante J K–1 F Faraday-Konstante C mol–1 e elektrische Elementarladung C Ar relative Atommasse 1 N Anzahl der Atome im Körper 1 m Masse des Körpers kg In jedem Mol eines Stoffes sind 6,02214129 · 1023 Moleküle enthalten: NA = 6,02214129 · 1023 mol–1 Zusammenhänge mit anderen Naturkonstanten: R F NA = –– ● NA = ––, k e m Anzahl der Atome in einem Körper N = ––––––– Ar · l u Masse und relative Atommasse des Atoms NA Avogadro-Konstante mA Masse des Atoms bzw. Moleküls M molare Masse Ar relative Atommasse M 12 mA ● mA = ––– = Ar · 1u Ar = –––––– NA mC12

mol–1 kg kg mol–1 1

Masse einiger Atome Element

Symbol

mA –––––– – 10–27 kg

Element

Symbol

mA ––––––– 10–27 kg

Wasserstoff Helium Kohlenstoff Stickstoff Sauerstoff Natrium Aluminium Schwefel Kalium Eisen

H He C N O Na Al S K Fe

1,674 6,647 19,945 23,259 26,568 38,176 44,805 53,245 64,932 92,738

Kupfer Molybdän Silber Zinn Iod Wolfram Gold Quecksilber Blei Uran

Cu Mo Ag Sn I W Au Hg Pb U

105,52 159,32 179,12 197,09 210,73 305,30 327,08 333,09 344,05 395,27

Q

332


Scheinbares Atomvolumen und Atomradius r NA V′ r L M mu m(12C)

Dichte Avogadro-Konstante scheinbares Atomvolumen Atomradius mittlere freie Weglänge molare Masse Atommassenkonstante (atomare Masseneinheit) Masse des Kohlenstoffatoms 126C

kg m–3 mol–1 m3 m m kg mol–1 kg kg

M Ar · 1u V′ = –––– = ––––––– rNA r

mu = m (12C)/12 = 1u = 1,660 538 921 · 10–27 kg

●

r≈

3M ––––––– 4prNA (Festkörper und Flüssigkeiten)

1 M ––––––––– r ≈ –– 2 2pNALr (Gase)

3

Übersicht über die Atomradien 0,5 nm

H

r

0,4 0,3 Na

0,2

Li

0,1

9.2

0

F 10

I

Br

Cl 0

Fr

Cs

Rb

K

20

30

40

50 Z

60

70

Dualismus Welle – Korpuskel

De-Broglie-Wellenlänge l p h m

De-Broglie-Wellenlänge (Materiewellenlänge) Impuls des Elementarteilchens bzw. Atoms Planck’sches Wirkungsquantum Masse des Teilchens

m Ns Js kg

80

90

333

9.2 Dualismus Welle – Korpuskel

U

√ e k T ●

elektrische Spannung Geschwindigkeit des Teilchens Elementarladung Boltzmann-Konstante Temperatur h l = –– , p

V m s–1 C J K–1 K

h – l = ––– m√

Materiewellenlänge und Impuls für ein Teilchen mit der Ladung e, welches die Spannung U durchlaufen hat ●

h l = ––––––– , 2emU

p = 2meU

Wellenlänge für Elektronen, Positronen und Protonen U in V

l in m –––––––––––––––––––––––––––––––––– Elektron, Positron Proton

10 102 103 106 1010 1012

3,88 · 10–10 1,23 · 10–10 3,88 · 10–11 8,72 · 10–13 1,24 · 10–16 1,24 · 10–18

9,05 · 10–12 2,86 · 10–12 9,05 · 10–13 2,86 · 10–14 1,14 · 10–16 1,24 · 10–18

Mittlere Wellenlänge und Impuls für ein Gasatom ●

h l = ––––––– , 3kTm

p = 3kTm

Q

Energie, Impuls und Masse eines Strahlungsquants E p m l f h c

Energie des Strahlungsquants Impuls des Strahlungsquants Masse des Strahlungsquants Wellenlänge des Strahlungsquants im Vakuum Frequenz des Strahlungsquants Planck’sches Wirkungsquantum Lichtgeschwindigkeit im Vakuum

●

E = hf,

hc E = ––– , l

●

h p = –– , l

hf p = –– c

h m = –– , cl

hf m = ––2 c

J Ns kg m Hz Js m s–1

334


Energie, Impuls und Masse einiger Strahlungsquanten l in m

f in Hz

E in J

p in N s

m in kg

10–6 8 · 10–7 6 · 10–7 4 · 10–7 5 · 10–8 10–10 10–12 10–15

3 · 1014 3,75 · 1014 5 · 1014 7,5 · 1014 6 · 1015 3 · 1018 3 · 1020 3 · 1023

1,99 · 10–19 2,48 · 10–19 3,31 · 10–19 4,97 · 10–19 3,97 · 10–18 1,99 · 10–15 1,99 · 10–13 1,99 · 10–10

6,63 · 10–28 8,28 · 10–28 1,10 · 10–27 1,66 · 10–27 1,33 · 10–26 6,63 · 10–24 6,63 · 10–22 6,63 · 10–19

2,11 · 10–36 2,75 · 10–36 3,67 · 10–36 5,51 · 10–36 4,41 · 10–35 2,11 · 10–32 2,11 · 10–30 2,11 · 10–27

Heisenberg’sche Unschärferelation Unbestimmtheit der x-, y- bzw. z-Koordinate des Ortes m Dpx , Dpy , Dpz Unbestimmtheit der x-, y- bzw. z-Komponente des Impulses Ns DE Unbestimmtheit der Energie J Dt Unbestimmtheit der Zeit s _ Drehimpulsquantum Js h _ _ _ h h h ● Dx · Dpx –– , Dy · Dpy –– , Dz · Dpz –– 2 2 2 _ h ● DE · Dt –– 2 Dx, Dy, Dz

Es ist unmöglich, Zeitpunkt und Energie eines Vorgangs bzw. Ort und Impuls eines Teilchens genau zu bestimmen.

9.3

Atomhülle

Bohr’sche Postulate me

√ r e e0 Z h _ h E f

(Ruhe-)Masse des Elektrons Bahngeschwindigkeit des Elektrons Bahnradius elektrische Elementarladung elektrische Feldkonstante Kernladungszahl, Ordnungszahl Planck’sches Wirkungsquantum Drehimpulsquantum Energie des Elektrons Frequenz

kg m s–1 m C F m–1 1 Js Js J, eV Hz

335

9.3 Atomhülle

1. Postulat: Die Elektronen laufen im Atom strahlungslos um auf Bahnen, die durch Quantenbedingungen festgelegt sind: ●

h _ rme√ = n ––– = nh (n = 1, 2, 3, …) 2p

●

h _ ––– = h 2p

me = 9,109 382 91 · 10–31 kg

_ h = 1,054571726 · 10–34 J s

Die Radialkraft ist gleich der Coulomb-Anziehungskraft: me√2 1 Ze2 –––– – = –––– ––– r 4pe0 r2 2. Postulat: Jeder Quantenbahn entspricht ein bestimmter Energiezustand des Atoms. Beim Übergang des Elektrons von einem höheren auf ein niedrigeres Energieniveau wird ein Strahlungsquant emittiert, dessen Energie gleich dem Energieverlust des Elektrons ist: ●

DE = hf

Radius der Bohr’schen Bahnen rn me h e Z e0 n

Radius der n-ten Bohr’schen Bahn Masse des Elektrons Planck’sches Wirkungsquantum elektrische Elementarladung Kernladungszahl, Ordnungszahl elektrische Feldkonstante Hauptquantenzahl

m kg Js C 1 F m–1 1

e0n2h2 rn = –––––––2 pme Ze Bahnradien des Wasserstoffatoms n

rn –––––– – 10–10 m

n

rn –––––– – 10–10 m

1 2 3

0,5292 2,1167 4,7627

4 5 6

8,467 0 13,229 6 19,050 7

Q

336


Bahngeschwindigkeit der Elektronen im Atom

√n e0 e h Z n

m s–1 F m–1 C Js 1 1

Bahngeschwindigkeit auf der n-ten Bahn elektrische Feldkonstante elektrische Elementarladung Planck’sches Wirkungsquantum Kernladungszahl, Ordnungszahl Hauptquantenzahl

Wenn nur 1 Elektron im Feld des Kerns mit der Ladung Ze umläuft, gilt Ze2

– √n = ––––– 2e0nh

Bahngeschwindigkeiten des Elektrons im Wasserstoffatom n

1 2 3

√n

–––––––– 106 m s–1 2,1876 1,0938 0,7292

√n

n

–––––––– 106 m s–1

4 5 6

0,5469 0,4375 0,3646

Energie der Elektronen Energie des Elektrons Masse des Elektrons elektrische Elementarladung elektrische Feldkonstante Planck’sches Wirkungsquantum Kernladungszahl, Ordnungszahl Hauptquantenzahl

J, eV kg C F m–1 Js 1 1

Energie des Elektrons im Feld des Kern mit der Ladung Ze 1 meZ 2e4 – E = – – –––––– 8 e 20 n 2h2 E in eV

●

0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –10 –11 –12 –13

–0,85 –1,51

6 45 3

–3,40

2

–13,60

1

n

E me e e0 h Z n

Energieniveaus des Wasserstoffatoms

337

9.3 Atomhülle

Lichtemission der Atome

m, n

Energie Planck’sches Wirkungsquantum Lichtgeschwindigkeit im Vakuum Frequenz Wellenlänge Masse des Atomkerns Masse des Elektrons elektrische Feldkonstante elektrische Elementarladung Kernladungszahl, Ordnungszahl Rydberg-Frequenz Rydberg-Konstante (für unendliche große Kernmasse) Rydberg-Konstante (für endlich große Kernmasse) Laufzahlen

●

DE = hf ,

E h c f l mK me e0 e Z R′∞ R∞ R

J Js m s–1 Hz m kg kg F m–1 C 1 Hz m–1 m–1 1

hc DE = ––– l

Für wasserstoffähnliche Atome und Ionen gilt ●

(

)

1 1 f = R′∞ –––2 – –––2 n m me e4 2 R′∞ = ––––– Z , 8e 20 h3

m > n, ganz, positiv R′∞ R∞ = ––– c

Für Z = 1 gelten folgende Werte:

R′∞ = 3,289 841960364 · 1015 Hz

R∞ = 1,097 373156 8539 · 107 m–1

Rydberg-Konstante für endliche Kernmasse ●

R∞ R = ––––––– me 1 + ––– mK

Für Wasserstoff gilt

RH = 1,096 775 8 · 107 m–1

Q

338


Wasserstoffspektrum RH n l

Rydberg-Konstante für das Wasserstoffatom m–1 Wellenzahl m–1 Wellenlänge m

●

1 n = –– , l

(

)

1 1 n = RH –––2 – –––2 , m n

n = 1, 2, 3, … ;

1 l = –––––––––––– 1 1 RH –––2 – –––2 n m

(

m = 2, 3, 4, …;

)

m>n

Spektralserien des Wasserstoffatoms

( ( ( (

1 1. n = RH 1 – –––2 m

)

m = 2, 3, 4, … (Lyman-Serie)

) ) )

1 1 2. n = RH ––2 – –––2 2 m

m = 3, 4, 5, … (Balmer-Serie)

1 1 3. n = RH ––2 – –––2 3 m

m = 4, 5, 6, … (Paschen-Serie)

1 1 4. n = RH ––2 – –––2 4 m

67 45 3

(

) n

5. n = RH

1 1 –– – ––– 52 m2

2

PASCHEN

BALMER 121,6 nm 102,6 nm 97,3 nm

m = 6, 7, 8, … (Pfund-Serie)

656,3 nm 486,1 nm 434,0 nm 410,2 nm 397,0 nm

m = 5, 6, 7, … (Brackett-Serie)

PFUND BRACKETT

1

LYMAN

Einige Spektrallinien verschiedener Elemente Element

l ––– nm

Element

l ––– nm

Element

l ––– nm

Ag

328,068 338,289 520,9079 564,5487

Al

236,705 257,509 309,271 394,4025 396,153

Ar

404,4 41 9 420,068 425,9362 434,806 811,5308

339

9.3 Atomhülle

Element

l ––– nm

Au

242,798 267,595

Ba

455,403 7 493,410 553,553

Cu

324,754 327,396 5 521,8202

C

247,853

Fe

Ca

393,367 0 396,847 5 422,672 8

238,204 239,562 240,488 241,052 241,331 371,993 373,487 373,713 404,582 406,359 427,176 430,791 432,577 438,355 440,475

Cd

Co

298,062 2 308,082 8 313,3167 325,252 5 340,365 3 346,620 1 346,765 6 361,051 0 361,287 5 466,235 2 467,815 0 479,991 4 508,582 2 515,465 9 643,847 0 238,890

Element

l ––– nm

Element

l ––– nm

340,512 345,351

Hg

253,652 360,515 365,483 366,328 435,835

K

404,414 404,720 766,491 769,898

Kr

557,029 587,092 605,61253

Na

588,996 5 589,5932

Ne

540,056 585,249 640,225

Ni

230,297 231,604 241,614 341,477 352,454 576,0843

Zn

202,549

H

656,279 486,133 434,046

He

388,864 468,575 587,562

Schrödinger-Gleichung für ein Teilchen der Masse m in einem ortsabhängigen Potenzial U(x, y, z) Y Y* y Ep h

orts- und zeitabhängige Wellenfunktion (komplex) konjugiert komplexe Wellenfunktion ortsabhängige Wellenfunktion potenzielle Energie Planck’sches Wirkungsquantum

m–3/2 m–3/2 m–3/2 J Js

Q

340 _ h t m D p E Ek


Drehimpulsquantum Zeit Masse Laplace-Operator Impuls Gesamtenergie kinetische Energie

Js s kg m–2 kg m s–1 J J

j2 = – 1 Vollständige, zeitabhängige Schrödinger-Gleichung ● ●

h ∂Y h2 – ––– –––– = – ––––– DY + EpY 2pj ∂t 8p2m _ _ h ∂Y h2 – –– –––– = – ––– DY + EpY j ∂t 2m

Sie liefert für beliebig vorgegebenen Anfangszustand Y(x, y, z, 0) als Lösung den Zustand Y(x, y, z, t) zu jeder späteren Zeit t. Für stationäre Zustände gilt für die Gesamtenergie E = Ep + Ek = const und außerdem

(

)

E Y(x, y, z, t) = y(x, y, z) exp – j –– _ t h

(

)

E E E exp – j –_– t = cos –– _ t – j sin –– _ t h h h Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung ●

8p2m Dy = – ––––– (E – Ep) y h2

●

2m Dy = – ––– _ (E – Ep) y h2

Bedeutung der Wellenfunktion y y* x, y, z dV w

komplexe Wellenfunktion konjugiert komplexe Wellenfunktion Koordinaten Volumenelement Wahrscheinlichkeit (Aufenthaltswahrscheinlichkeit) dw ~ y*(x, y, z) y (x, y, z) dV

m–3/2 m–3/2 m m3 1

341

9.3 Atomhülle

Für gebundene Zustände kann y normiert werden, sodass ●

∫ yy* dV = 1 oder ∫ |y|2 dV = 1

V

V

Dann ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Volumen dV anzutreffen, dw = |y|2 dV Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen irgendwo im Raum anzutreffen, ist gleich eins. y*y stellt eine Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung dar. Quantenmechanische Ausdrücke für beobachtbare physikalische Größen G G G¯ gn r៬ r p៬ p V m Y Y* Yn _ h L៬ L Ep Ep Ek Ek E E grad D U

physikalische Größe Operator der physikalischen Größe quantenmechanischer Erwartungswert der physikalischen Größe Eigenwerte der Größe G Radiusvektor Operator des Radiusvektors Impuls Operator des Impulses Volumen Masse komplexe Wellenfunktion konjugiert komplexe Wellenfunktion Eigenfunktion der physikalischen Größe Drehimpulsquantum Drehimpuls Operator des Drehimpulses potenzielle Energie Operator der potenziellen Energie kinetische Energie Operator der kinetischen Energie Gesamtenergie Operator der Gesamtenergie Gradient Laplace-Operator Operator des ortsabhängigen Potenzials

m m Ns Ns m3 kg m–3/2 m–3/2 Js Js Js J J J J J J m–1 m–2 J

Jeder physikalischen Größe G ist ein Operator G zugeordnet. Die Eigenfunktionen Yn dieser Größe G erhält man, indem man den betreffenden Operator G auf eine Y-Funktion anwendet und fordert, dass sie sich dabei bis auf einen Faktor gn reproduziert. Die Faktoren gn sind die Eigenwerte der Größe G.

Q

342


Den quantenmechanischen Erwartungswert G¯ der Größe G in einem beliebigen, durch Y(r៬, t) gekennzeichneten Zustand erhält man, indem man den zugehörigen Operator G auf die Y-Funktion anwendet, mit Y* multipliziert und über das Volumen integriert. Kennt man aus der klassischen Physik die Funktion G(p៬, r៬), so erhält man den Operator aus ●

G = G(p៬, r៬)

Die Eigenwerte folgen aus ●

GYn = gnYn

und der quantenmechanische Erwartungswert aus – ● G = ∫ Y*GY dV V

Speziell gelten folgende Gleichungen: Operatoren Ortsoperator:

Operator der potenziellen Energie:

r = r៬

Ep = Ep(r៬)

Impulsoperator: _ h p = –– grad j

Operator der kinetischen Energie: _ h2 Ek = – ––– D 2m

Drehimpulsoperator: _ h L = –– r៬ × grad j

Operator der Gesamtenergie: _ h ∂ p2 E = – –– ––– = –––– + U j ∂t 2m

Quantenmechanische Erwartungswerte Aufenthaltsort:

Impuls:

– r៬ = ∫ Y*rY dV

_ h – p៬ = ∫ Y* –– grad Y dV j V

V

Drehimpuls: _ – h L៬ = ∫ Y* –– r៬ × grad Y dV j V

343

9.3 Atomhülle

Kinetische Energie:

Gesamtenergie:

_ – h2 E៬k = – ∫ Y* –––– DY dV 2m V

_ – h ∂ E៬ = ∫ Y* – –– ––– Y dV j ∂t V

(

)

Schrödinger-Gleichung in Operatorschreibweise Aus dem Energiesatz der klassischen Mechanik E = Ek + Ep erhält man ●

E = E k + Ep

Einsetzen der Operatoren ergibt ●

_ _ h ∂ h2 – –– ––– = – ––– D + Ep j ∂t 2m

Linearer harmonischer Oszillator E Ep k m f w h _ h x

Gesamtenergie potenzielle Energie Richtgröße Masse des Teilchens Frequenz Kreisfrequenz Planck’sches Wirkungsquantum Drehimpulsquantum Koordinate

J J N m–1 kg Hz s–1 Js Js m

Potenzielle Energie 1 1 Ep = – kx2 = – mw2x2 2 2

Q

Einsetzen in die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung ergibt die Schrödinger-Gleichung des linearen, harmonischen Oszillators: ●

d2y 2m 1 2 2 ––––– = – –– _–2– E – – mw x y 2 dx h 2

(

)

Da der harmonische Oszillator nur in Richtung der x-Achse schwingt, tritt an Stelle des Laplace-Operators die Ableitung d2/dx2. Energieeigenwerte

( )

1 _ En = h w n + – 2

( )

1 bzw. En = hf n + – , 2

n = 0, 1, 2, 3, …

344


Anwendung der Schrödinger-Gleichung auf das Wasserstoffatom E Ep me e r e0 y h _ h n

Gesamtenergie potenzielle Energie Masse des Elektrons elektrische Elementarladung Radius elektrische Feldkonstante Wellenfunktion Planck’sches Wirkungsquantum Drehimpulsquantum Hauptquantenzahl

J J kg C m F m–1 m–3/2 Js Js 1

Potenzielle Energie e2 Ep = – ––––– 4pe0r Schrödinger-Gleichung ●

2me e2 Dy + ––– _ 2– E + –––––– y = 0 h 4pe0r

(

)

Energieeigenwerte des Wasserstoffatoms mee4 En = – ––––––––– _ –, 32p2e 20 h2n2

me e 4 – En = – –––––– 8e 20 h2 n2

(n = 1, 2, 3, …)

Quantenzahlen n li mi si

Hauptquantenzahl Bahndrehimpuls-Quantenzahl, Nebenquantenzahl magnetische Quantenzahl Spindrehimpuls-Quantenzahl, Spinquantenzahl

●

n = 1, 2, 3, …

●

li = 0, 1, 2, …, n – 1

0 li n – 1

●

mi = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …, ±li

0 |mi | li

●

1 si = ± – 2

1 1 1 1

345

9.3 Atomhülle

Pauli-Prinzip und Unterscheidung der Elektronen n li mi si z

Hauptquantenzahl Bahndrehimpuls-Quantenzahl, Nebenquantenzahl magnetische Quantenzahl Spindrehimpuls-Quantenzahl, Spinquantenzahl maximale Besetzungszahl

1 1 1 1 1

Pauli-Prinzip In jedem Atom unterscheiden sich sämtliche Elektronen in mindestens einer ihrer Quantenzahlen. Unterscheidung der Elektronen Es werden bezeichnet mit s: alle Elektronen mit li = 0 (mi = 0) mit p: alle Elektronen mit li = 1 (mi = 1, 0, + 1) mit d: alle Elektronen mit li = 2 (mi = – 2, – 1, 0, + 1, + 2) mit f: alle Elektronen mit li = 3 (mi = – 3, – 2, – 1, 0, + 1, + 2, + 3) Für alle Elektronen sind 2 Spineinstellungen möglich. Anzahl der möglichen untereinander verschiedenen Elektronen Bezeichnung

n

li

Anzahl der verschiedenen mi -Werte si -Werte

Anzahl der verschiedenen Elektronen

1s 2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p 4d 4f 5s 5p 5d 5f

1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5

0 0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 4

1 1 3 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 9

2 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2 6 10 14 18

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

}

8

}

18

}

32

}

50

Q

346


Zu einer Hauptquantenzahl n gibt es ●

z = 2n2

verschiedene Zustände. Da jeder Zustand höchstens mit einem Elektron besetzt sein kann, enthält die n-te Elektronenschale im Atom maximal z Elektronen. Periodensystem der Elemente Z s p d f K L M N O P Q

Kernladungszahl, Ordnungszahl Bezeichnung für Elektronen mit Bahndrehimpuls-Quantenzahl li = 0 Bezeichnung für Elektronen mit Bahndrehimpuls-Quantenzahl li = 1 Bezeichnung für Elektronen mit Bahndrehimpuls-Quantenzahl li = 2 Bezeichnung für Elektronen mit Bahndrehimpuls-Quantenzahl li = 3 Bezeichnung für die 1. Elektronenschale Bezeichnung für die 2. Elektronenschale Bezeichnung für die 3. Elektronenschale Bezeichnung für die 4. Elektronenschale Bezeichnung für die 5. Elektronenschale Bezeichnung für die 6. Elektronenschale Bezeichnung für die 7. Elektronenschale

Elektronenanordnung der Elemente Z

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Element

H He Li Be B C N O F Ne Na Mg Al Si P S Cl Ar

K 1s

L 2s

2p

M 3s

3p

1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 3 4 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6

1 2 2 2 2 2 2 2

1 2 3 4 5 6

3d

347

9.3 Atomhülle

Z

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54

Element

K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe

K

L

wie Ar „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „

M 3s

3p 3d

2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 wie Kr „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „

1 2 3 5 5 6 7 8 10 10 10 10 10 10 10 10

N 4s

4p

1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 3 4 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6

4d

1 2 4 5 6 7 8 10 10 10 10 10 10 10 10 10

4f

O 5s

5p

1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2

Q 1 2 3 4 5 6

348 Z 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80


Element Cs Ba La Ce*) Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg

K

L

M

wie Xe „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „

N 4s

4p

2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 wie Hf „ „ „ „ „ „ „

4d 4f 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

2 3 4 5 6 7 7 9 10 11 12 13 14 14 14

O 5s

P 5p 5d 5f 6s

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6

1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2

1

1

1 2 3 4 5 6 7 9 10 10

*) Die Elektronenanordnung einiger Lanthaniden ist nicht ganz sicher und deshalb im Periodensystem abweichend von dieser Tabelle angegeben.

Z 81 82 83 84 85 86 87 88 89

Element Tl Pb Bi Po At Rn Fr Ra Ac

K

L

wie Hf „ „ „ „ „ „ „ „

M

N

O 5s

5p 5d 5f

P 6s

Q 6p 6d 7s

2 2 2 2 2 2 2 2 2

6 6 6 6 6 6 6 6 6

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 3 4 5 6 6 6 6

10 10 10 10 10 10 10 10 10

1

1 2 2

349

9.3 Atomhülle

Z 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111

Element Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr Rf Db Sg Bh Hs Mt Ds Rg

K

L

M

wie Hf „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „

N

O 5s

5p 5d 5f

P 6s

Q 6p 6d 7s

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

2 3 4 6 7 7 9 10 11 12 13 14 14 14 14

2 1 1 1 1

1 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3

Chemische Elemente, geordnet nach Symbolen Symbol

Name

Ordnungszahl

Relative Atommasse

Ac Ag Al Am Ar As At Au B Ba Be Bh Bi Bk

Actinium Silber Aluminium Americium Argon Arsen Astat Gold Bor Barium Beryllium Bohrium Bismut (Wismut) Berkelium

89 47 13 95 18 33 85 79 5 56 4 107 83 97

(227,027) 107,868 26,981 5 (243,061) 39,948 74,921 6 (209,987) 196,967 10,811 137,33 9,0122 (262) 208,980 (247,07)

Q

350


Symbol

Name

Ordnungszahl

Relative Atommasse

Br C Ca Cd Ce Cf Cl Cm Cn Co Cr Cs Cu Db Ds Dy Er Es Eu F Fe Fl Fm Fr Ga Gd Ge H He Hf Hg Ho Hs I In Ir K Kr La Li Lu Lr

Brom Kohlenstoff Calcium Cadmium Cer Californium Chlor Curium Copernicium Cobalt Chrom Cäsium Kupfer Dubnium Darmstadtium Dysprosium Erbium Einsteinium Europium Fluor Eisen Flerovium Fermium Francium Gallium Gadolinium Germanium Wasserstoff Helium Hafnium Quecksilber Holmium Hassium Iod Indium Iridium Kalium Krypton Lanthan Lithium Lutetium Lawrenzium

35 6 20 48 58 98 17 96 112 27 24 55 29 105 110 66 68 99 63 9 26 114 100 87 31 64 32 1 2 72 80 67 108 53 49 77 19 36 57 3 71 103

79,904 12,011 40,08 112,41 140,12 (250,076) 35,453 (245,07) (277) 58,933 2 51,996 132,905 63,546 (262) 162,50 167,26 (254,088) 151,96 18,998 4 55,847 (289) (255) (223,02) 69,72 157,25 72,59 1,007 9 4,002 6 178,49 200,59 164,930 (265) 126,904 5 114,82 192,2 39,098 83,80 138,91 6,941 174,97 (257)

351

9.3 Atomhülle

Symbol

Name

Ordnungszahl

Relative Atommasse

Lv Md Mg Mn Mo Mt N Na Nb Nd Ne Ni No Np O Os P Pa Pb Pd Pm Po Pr Pt Pu Ra Rb Re Rf Rg Rh Rn Ru S Sb Sc Se Sg Si Sm Sn Sr

Livermorium Mendelevium Magnesium Mangan Molybdän Meitnerium Stickstoff Natrium Niobium Neodym Neon Nickel Nobelium Neptunium Sauerstoff Osmium Phosphor Protactinium Blei Palladium Promethium Polonium Praseodym Platin Plutonium Radium Rubidium Rhenium Rutherfordium Roentgenium Rhodium Radon Ruthenium Schwefel Antimon Scandium Selen Seaborgium Silicium Samarium Zinn Strontium

116 101 12 25 42 109 7 11 41 60 10 28 102 93 8 76 15 91 82 46 61 84 59 78 94 88 37 75 104 111 45 86 44 16 51 21 34 106 14 62 50 38

(289) (255,09) 24,305 54,9380 95,94 (266) 14,006 7 22,989 8 92,906 144,24 20,179 58,69 (254) (237) 15,999 4 190,2 30,973 8 (231) 207,2 106,4 146,915 (210) 140,907 7 195,08 (242) 226,025 85,47 186,2 (258) 102,905 (222) 101,07 32,066 121,75 44,956 78,96 (263) 28,086 150,36 118,71 87,62

Q

H

Ia

Y

Ac

(227)

180,9479

178,49

95,94

W

183,84

74

2-8-18-22-8-2

144,24

Nd

60

2-8-18-13-1

186,207

Re

75

2-8-18-23-8-2

(145)

Pm

61

2-8-18-13-2

(98)

Tc

43

42

Mo

2-8-13-2

54,938049

Mn

25

VIIa

2-8-13-1

51,9961

Cr

24

VIa

190,23

Os

76

2-8-18-24-8-2

150,36

Sm

62

2-8-18-15-1

101,07

Ru

44

2-8-14-2

55,845

Fe

26

2-8-14-2

55,845

Fe

26

Legende:

Ir 192,217

77

2-8-18-25-8-2

151,964

Eu

63

2-8-18-16-1

102,90550

Rh

45

2-8-15-2

58,933200

Co

27

VIIIa Ni

Pt 195,078

78

2-8-18-25-9-2

157,25

Gd

64

2-8-18-18-0

106,42

Pd

46

2-8-16-2

58,6934

28

196,96655

Au

79

2-8-18-27-8-2

158,92534

Tb

65

2-8-18-18-1

107,8682

Ag

47

2-8-18-1

63,546

Cu

29

Ib

Bei nicht in der Natur vorkommenden radioaktiven Elementen ist die Masse des stabilsten Isotops angegeben.

200,59

Hg

80

2-8-18-28-8-2

162,500

Dy

66

2-8-18-18-2

112,411

Cd

48

2-8-18-2

65,409

Zn

30

IIb

B

In

Tl 204,3833

81

2-8-18-29-8-2

164,93032

Ho

67

2-8-18-18-3

114,818

49

2-8-18-3

69,723

Ga

31

2-8-3

26,981538

13

Al

10,811 2-3

5

IIIb

Si

207,2

Pb

82

2-8-18-30-8-2

167,259

Er

68

2-8-18-18-4

118,710

Sn

50

2-8-18-4

72,64

Ge

32

2-8-4

28,0855

14

2-4

P

Bi 208,98038

83

2-8-18-31-8-2

168,93421

Tm

69

2-8-18-18-5

121,760

Sb

51

2-8-18-5

74,92160

As

33

2-8-5

30,973761

15

2-5

N 14,0067

7

C

Vb

12,0107

6

IVb O

9

F

VIIb

Ne

10

2

4,002602

He

0

S Se

(209)

Po

84

2-8-18-32-8-2

173,04

Yb

70

2-8-18-18-6

127,60

Te

52

2-8-18-6

78,96

34

2-8-6

32,065

16

2-6

Cl

I

(210)

At

85

2-8-18-32-9-2

174,967

Lu

71

2-8-18-18-7

126,90447

53

2-8-18-7

79,904

Br

35

2-8-7

35,453

17

2-7

(222)

Rn

86

2-8-18-18-8

131,293

Xe

54

2-8-18-8

83,798

Kr

36

2-8-8

39,948

Ar

18

2-8

15,9994 18,9984032 20,1797

8

VIb

2

Pa

91

92

U

(262)

(263)

Sg

106

-18-32-21-9-2

Hs (265)

Bh

108

-18-32-24-8-2

(244)

Pu

94

(262)

107

-18-32-22-9-2

(237)

Np

93

(266)

Mt

109

-18-32-25-8-2

(243)

Am

95 (247)

Bk

97

(269)

Ds

110

(272)

Rg

111

-18-32-25-9-2 -18-32-25-10-2

(247)

Cm

96

(277)

Cn

112

-18-32-28-8-2

(251)

Cf

98

(284)

Uut

113

-18-32-29-8-2

(254)

Es

99

(289)

Fl

114

-18-32-30-8-2

(257)

Fm

100

(288)

Uup

115

-18-32-31-8-2

(258)

Md

101

(289)

Lv

116

-18-32-32-8-2

(259)

No

102

(293)

Uus

117

-18-32-32-9-2

(260)

Lr

103

(293)

Uuo

118

Die in Klammern gesetzten relativen Atommassen beziehen sich auf ein wichtiges Isotop des betreffenden Elementes.

-18-32-32-10-2 -18-32-32-11-2 -18-32-32-12-2 -18-32-32-13-2 -18-32-32-14-2 -18-32-32-15-2 -18-32-32-16-1 -18-32-32-18-1 -18-32-32-18-2 -18-32-32-18-3 -18-32-32-18-4 -18-32-32-18-5 -18-32-32-18-6 -18-32-32-18-7 -18-32-32-18-8

Db

105

Rf

(261)

104

-18-32-20-9-2

232,0381 231,03588 238,02891

Th

90

2-8-18-32-10-2 2-8-18-32-11-2 2-8-18-32-12-2 2-8-18-32-13-2 2-8-18-32-14-2 2-8-18-32-15-2 2-8-18-32-17-1 2-8-18-32-18-1 2-8-18-32-18-2 2-8-18-32-18-3 2-8-18-32-18-4 2-8-18-32-18-5 2-8-18-32-18-6 2-8-18-32-18-7 2-8-18-32-18-8

Ta

73

Hf

72

140,90765

2-8-18-21-8-2

140,116

Pr

59

2-8-18-19-9-2

-18-32-18-9-2 -18-32-18-10-2

Ra

(226)

-18-32-18-8-2

(223)

-18-32-18-8-1

89

88

87

138,9055

2-8-18-18-9-2

137,327

2-8-18-18-8-2

132,90545

2-8-18-18-8-1

Ce

58

57

92,90638

91,224

2-8-18-12-1

Nb

41

Zr

40

2-8-18-10-2

La

Fr

50,9415

2-8-11-2

47,867

2-8-10-2

V

23

Va

Ti

22

2-8-18-9-2

88,90585

39

2-8-9-2

Ba

56

Sc

IVa

Ordnungszahl Symbol relative Atommasse (IUPAC, 2003) Elektronenkonfiguration

44,955910

21

IIIa

Cs

55

87,62

2-8-18-8-2

85,4678

2-8-18-8-1

Sr

38

Rb

37

40,078

2-8-8-2

39,0983

2-8-8-1

Ca

20

19

K

2-8-2

2-8-1

Mg

24,3050

12

Na

11

22,989770

2-2

2-1

Be

9,012182

4

Li

IIa

6,941

1,00794

3

1

1

352 9 Quantentheorie und Atombau

353

9.3 Atomhülle

Symbol

Name

Ta Tb Tc Te Th Ti Tl Tm U V W Xe Y Yb Zn Zr

Tantal Terbium Technetium Tellur Thorium Titan Thallium Thulium Uran Vanadium Wolfram Xenon Yttrium Ytterbium Zink Zirconium

Ordnungszahl 73 65 43 52 90 22 81 69 92 23 74 54 39 70 30 40

Relative Atommasse 180,948 158,925 (99) 127,60 232,038 47,88 204,38 168,934 238,03 50,942 183,85 131,29 88,906 173,04 65,39 91,22

Absorption und Emission, Laser n2 n1 Dn T f l m E w p h k c

Teilchenzahldichte des absorbierenden bzw. emittierenden Stoffes im energetisch angeregten Zustand Teilchenzahldichte im energetischen Grundzustand Teilchenzahldichtedifferenz (Besetzungszahldifferenz, Besetzungsdifferenz) Temperatur Frequenz Wellenlänge Masse Energie Energiedichte des Strahlungsfeldes (frequenzabhängig) Impuls Planck’sches Wirkungsquantum Boltzmann-Konstante Lichtgeschwindigkeit im Vakuum

m–3 m–3 m–3 K Hz = s–1 m kg J J m–3 N s= kg m s–1 Js J K–1 m s–1

Q

354 n˙ A B


m–3 s–1 s–1 m3 J–1 s–1

Zeitliche Änderung der Teilchenzahldichte

}

Einstein-Koeffizienten

Energie, Masse und Impuls des Photons (Strahlungsquant) hc hf E hf h E = hf = — , m = —–2 = ––2 , p = mc = —– = –– l c c c l Boltzmann-Verteilung im thermischen Gleichgewicht ●

●

n 2 = n 1e

E – –––– kT

= n 1e

hf – –––– kT ,

n2 < n1

Zeitliche Änderung der Teilzahldichte im Grundzustand bei Absorption n˙ a = Bwn1 Zeitliche Änderung der Teilchenzahldichte im angeregten Zustand bei spontaner Emission n˙ esp = An2 Zeitliche Änderung der Teilchenzahldichte im angeregten Zustand bei induzierter (stimulierter) Emission n˙ ei = Bwn2 E1

E

E hf

hf

E2

E1 spontane Emission

E2 Absorption

E

hf

E2 2hf

E1 induzierte Emission

Bei Strahlungsgleichgewicht gilt n˙ a = n˙ esp + n˙ ei ,

Bwn1 = An2 + Bwn2 ,

hf – –––– kT

Bw = (A + Bw)e

Quotient aus den Einstein-Koeffizienten

(

hf

––– A 8 p hf 3 –– = –––––– = w e kT – 1 3 B c

)

Umformungen führen zum Planck’schen Strahlungsgesetz (S. 324) Teilchenzahldichtedifferenz (Besetzungszahldifferenz, Besetzungsdifferenz) ●

Dn = n2 – n1 Dn < 0 ,

d. h. n1 > n2

Strahlungsfelder werden absorbiert (entspricht thermischer Anregung)

355

9.3 Atomhülle

Laser Die Bezeichnung „Laser“ ist ein Akronym von Light Amplification by Stimuleted Emission of Radiation (Lichtverstärkung durch stimulierte (induzierte) Emission von Strahlung) Laserbedingungen 1. Laserbedingung Dn > 0, d. h n2 > n1 Der energetisch angeregte Zustand der Atome eines Stoffes ist mehr besetzt als der Grundzustand (Inversion). Geeignete Lasermaterialien haben metastabile Zustände, wo die Verweildauer der Elektronen (im Mittel etwa 10–3 s) wesentlich größer ist als die Verweildauer im angeregten Zustand bei spontaner Emission (im Mittel 10–8 s). 2. Laserbedingung Es müssen genügend stimulierte Strahlungsquanten mit der gleichen Frequenz wie die Laserstrahlung zur Verfügung stehen. Energiezufuhr (Pumpen) Sp1 Sp2 optischer Resonator Laserstrahl optischer Resonator

E

Laseraktives Material spontane induzierte Emission Emission

E3

spontane induzierte Emission Emission E3 n2 >n1 E E2

E2

E1

Absorption (Pumpen)

≈10 –8s

≈10 –3s

n1 t

3-Niveau-Laser

n2 >n1

E4 E1

Pumpen spontane Emission ≈10 –3s

≈10 –3s

≈10 –8s t

4-Niveau-Laser

Einige laseraktive Materialien Ionen in Kristallen oder Gläsern Ionen in gasförmiger Phase Gasatome Gasmoleküle Moleküle im angeregten Zustand Halbleiterkristalle

(Nd+++, Cr+++, Tm+++ u. a.) (Ne+, Kr++, Ar++ u. a.) (He, Ne, Cu-Dampf u. a.) (CO, CO2, O2 u. a.) (KrF*, XeCr*) In, GaAs, InGaPAs u. a.)

Q

optisch (Blitzlampe)

optisch (Blitzlampe)

elektrisch (Stoßionisation)

optisch (UV-Laser)

elektrisch (Stoßionisation)

elektrisch

Rubinlaser

Neodym

Gaslaser

Farbstofflaser durchstimmbar

Excimerlaser durchstimmbar

Halbleiterlaser

kontinuierlich

1,3 · 103

InGaPAs

pulsierend

157 … 351

KrF+

kontinuierlich

315 … 1 000

kontinuierlich kontinuierlich pulsierend kontinuierlich

kontinuierlich pulsierend

kontinuierlich pulsierend

Betrieb

Rhodaminlösung

333,3

Ar+

1,06 · 103 1,06 · 103

Nd+++: YAG Nd+++: Glas 632,8 9,2 … 10,8 · 103

694,3

Cr+++: Al2O3

He-Ne CO2

Wellenlänge l/nm

Stoff

50 · 10–3

1012

1

5 · 10–3 20 · 103 1014 1,06 · 103

103 1010

1 109

maximal mögliche Leistung Pm /W

Einige typische Eigenschaften der Laserstrahlung Geringe Frequenzbandbreite (Gaslaser Df ≈ 1 Hz, sonst bis einige kHz) Große Energie pro Puls möglich bei pulsierend arbeitenden Lasern (Excimerlaser EP ≈ 1 J) Extrem kurze Pulszeiten möglich (Nd+++: Gaslaser tP ≈ 3 ... 4 fs, jedoch nur EP ≈ 12 nJ) Große Kohärenzlänge der Wellenzüge (bis mehrere km) Sehr geringe Strahldivergenz (Öffnungswinkel des Strahls im Bereich von mrad, mit zusätzlicher Fokussierung bis zum Mond und zurück von einigen mm auf wenige m Durchmesser) Große Bestrahlungsstärken (bei Pulsen und zusätzlicher Fokussierung bis 1022 W/m2 möglich)

Anregung (Pumpvorgang)

Typ

Einige Lasertypen


357

9.3 Atomhülle

Röntgenbremsstrahlung e m0 U Umax

√ h c f lmin

Elementarladung (Ruhe-)Masse des Elektrons Spannung an der Röntgenröhre Maximalwert der Spannung Geschwindigkeit der Elektronen Planck’sches Wirkungsquantum Lichtgeschwindigkeit im Vakuum Frequenz der Röntgenstrahlung kürzeste im Bremsspektrum auftretende Wellenlänge

C kg V V m s–1 Js m s–1 Hz m

Energiegleichung der Röntgenbremsstrahlung hfmax = eU,

1 1 hfmax = ––––––––– – 1 m0c 2 ≈ – m0 √2 2 2 √ 1 – –– c (für niedrige Spannungen)

(

()

)

Der Wirkungsgrad einer Röntgenröhre mit Wolframanode ist bei einer Röhrenspannung von 100 kV 7,4‰, d. h., über 99% der auftreffenden Energie der Elektronen wird in Wärmeenergie umgewandelt. Kurzwellige Grenze im Röntgenbremsspektrum hc lmin = –––––– eUmax lmin 1,239 –––– = ––––– nm Umax ––––– kV

Ionisierungsstrom

●

13 50 kV 12 11 10 40 kV 9 8 7 35 kV 6 5 30 kV 4 3 25 kV 2 20 kV 1 0 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Wellenlänge in pm

Die Wellenlängen der Röntgenstrahlung wurden früher auch in der X-Einheit (Einheitenzeichen XE) angegeben: 1 XE = 1,00202 · 10–13 m

Q

358


Charakteristische Röntgenstrahlung l Z R Ua v mK

Wellenlänge der Röntgenstrahlung Ordnungszahl des Anodenstoffes Rydberg-Konstante Anregungsspannung Wellenzahl Kernmasse des Anodenstoffes

m 1 m–1 V m–1 kg

Moseley’sches Gesetz

( )

1 1 v = – = R (Z – 1)2 1 – ––2 l n

mit

n = 2, 3, …

Rydberg-Konstante für mK → ∞

R∞ = 1,097 373156 853 9 · 107 m–1

Dieses Gesetz gilt mit guter Näherung für die Ka-Strahlung. Intensivste Wellenlänge der Ka-Strahlung der wichtigsten Anodenstoffe Anodenstoff

l ––– nm

Ua ––– kV

Aluminium Chrom Cobalt Eisen Kohlenstoff Kupfer Molybdän Silber Uran Wolfram

0,8210 0,228 5 0,1785 0,1932 4,45 0,1537 0,0708 0,0559 0,0126 0,020 9

1,5 6 8 7 0,3 9 20 25 115 69,3

Schwächung von Röntgenstrahlung y0 y d d1/2 m t s r l

Strahlungsflussdichte vor dem Absorber Strahlungsflussdichte hinter dem Absorber Dicke des Absorbers Halbwertsdicke Schwächungskoeffizient Absorptionskoeffizient Streukoeffizient Dichte des Absorbers Wellenlänge der Röntgenstrahlung

W m–2 W m–2 m m m–1 m–1 m–1 kg m–3 m

359

9.3 Atomhülle

Schwächungsgesetz ●

y = y0 exp (– md)

Schwächungskoeffizient m = t+ s m, t und s sind wellenlängenabhängig. Massenschwächungskoeffizienten m/r einiger Stoffe bei verschiedenen Wellenlängen l m/r ––––– cm2 g

Stoff

l=

0,006 nm

0,02 nm

0,05 nm

0,1 nm

0,154 nm

Aluminium Blei Eisen Kupfer Sauerstoff Silber Zink

0,121 0,90 – 0,160 – 0,283 –

0,272 5,0 1,12 1,50 – 5,45 1,70

1,92 55 14,2 19,1 0,52 9,7 21

14,1 77 101 129 3,15 73 147

49 230 328 49 11,2 115 59

Halbwertsdicke ●

ln 2 d1/2 = ––– , m

0,693 d1/2 = ––––– m

Q

Halbwertsdicken einiger Stoffe bei verschiedenen Wellenlängen Stoff

l ––– nm

d1/2 –––– mm

Stoff

l ––– nm

d1/2 –––– mm

Aluminium

0,012 0,02 0,03 0,05 0,1 0,02 0,05

14 9,2 4,6 1,33 0,18 0,125 0,011

Blei Eisen

0,1 0,02 0,05 0,1 0,15 0,2

0,007 0,795 0,062 0,007 620 260

Blei

Luft

360


Halbwertsdicken von Blei für verschiedene Röhrenspannungen U ––– kV

100

200

400

1 000

2 000

d1/2 –––– mm

0,25

0,5

2,2

8,0

12,0

Erforderliche Dicken von Schutzwänden für eine Strahlung bei 200 kV Röhrenspannung, die die gleiche Schutzwirkung wie eine Bleischicht von 1 mm Dicke haben Stoff

d –––– mm

Bleigummi Bleiglas Barytplatten Beton (r = 2,2 g cm–3) Mauerziegel

2,5 4 15 75 110

Gleichung von Bragg (Grundgleichung der Röntgen-Spektroskopie und Kristallografie) l d g a

n

Wellenlänge Netzebenenabstand Gitterkonstante Winkel zwischen auftreffendem Strahl bzw. reflektiertem Strahl und der reflektierenden Netzebene Ordnung der Interferenz

m m m

° 1

nl = 2d sin a, n = 1, 2, … Gitterkonstanten bei 18 °C Stoff

g ––– nm

Stoff

g ––– nm

Aluminium Eisen Gips Glimmer Kalkspat

0,40325 0,2854 0,7564 0,9907 0,302293

Kupfer Magnesium Quarz Silber Steinsalz

0,359 9 0,3195 0,179423 0,406 82 0,280 732

361

9.4 Physik der Atomkerne

9.4

Physik der Atomkerne

Aufbau der Atomkerne A Z N K

Massenzahl (Anzahl der Nukleonen) Ordnungszahl (Anzahl der Protonen) Neutronenzahl Symbol für eine Kernart (Nuklid)

●

A=Z+N

1 1 1

Kennzeichnung eines Nuklids A ZK,

Beispiele: 126 C, 168 O, 238 92U

Wichtige Eigenschaften von Elektron, Proton und Neutron e h _ h m me mp mn m mB mN m0 Ar s a c e0

Elementarladung Planck’sches Wirkungsquantum Drehimpulsquantum (Ruhe-)Masse des Elementarteilchens (Ruhe-)Masse des Elektrons (Ruhe-)Masse des Protons (Ruhe-)Masse des Neutrons magnetisches Moment nach Ampère Bohr’sches Magneton Kernmagneton magnetische Feldkonstante relative Atommasse Spin (Eigendrehimpuls) Feinstrukturkonstante Lichtgeschwindigkeit im Vakuum elektrische Feldkonstante

Betrag der Elementarladung

C Js Js kg kg kg kg J T–1 J T–1 J T–1 H m–1 1 Js 1 m s–1 F m–1

Q

e = 1,602176 565 · 10–19 C

Massen und relative Atommassen Elementarteilchen Ar

Elektron Proton Neutron

0,54857990964 · 10–3 1,007276 466012 1,008664 91600

m ––– kg

Q –– e

9,109 382 91 · 10–31 1,672 621 777 · 10–27 1,674 927 351 · 10–27

–1 +1 0

362


Eigendrehimpuls (Spin) ●

1_ 1 h s = – h = – ––– 2 2 2p

s = 0,527 285 863 · 10–34 J s

mB = 9,274 009 68 · 10–24 J T –1

Bohr’sches Magneton eh mB = ––––– 4pme

Magnetisches Moment des Elektrons

( )

a me = – 1 + ––– mB 2p

me = –9,284 76764 · 10–24 J T –1

a = 7,297 352 569 8 · 10–3 1 –– = 137,035 999 874 a

mN = 5,050 783 53 · 10–27 J T–1

Feinstrukturkonstante m0ce 2 e2 a = –––––– = ––––– 2h 2e0 hc Kernmagneton me eh mN = –––– mB = ––––– mp 4pmp

Magnetisches Moment des Protons und des Neutrons mp = 2,792 847 356 mN

mp = 1,410 606 743 · 10–26 J T–1

mn = –1,913 042 72 mN

mn = – 0,966 236 417 · 10–26 J T–1

Größe und Dichte der Kerne rK r A

Radius des Atomkernes Dichte des Atomkernes Massenzahl (Anzahl der Nukleonen)

m kg m–3 1

Radius der Atomkerne 3

rK ≈ r0 A ,

r0 = (1,3 ± 0,1) · 1015 m

Die Dichte der Atomkerne ist in erster Näherung konstant r ≈ 2 · 1017 kg m–3


363

Quantenzahlen der Elementarteilchen Quanten- Bedeutung zahl

Größe der Quantenzahl für die einzelnen Elementarteilchen

Q

Ladungsquantenzahl (Anzahl der Elementarladungen)

→ Tabelle Elementarteilchen Q = 0, +1, – 1

B

Baryonenzahl (Bei Kernen ist die Baryonenzahl gleich der Kernladungszahl.)

→ Tabelle Elementarteilchen

L

Leptonenzahl


si , s

Spindrehimpuls-Quantenzahl _ (ergibt mit h multipliziert den Drehimpuls des Teilchens) Anzahl der Spineinstellungen: 2si + 1

→ Tabelle Elementarteilchen si = 0, 1/2, 1

I

Isospin (dient zur Ladungscharakterisierung der Teilchen. Teilchen nahezu gleicher Masse erscheinen in verschiedenen Ladungszuständen.) Anzahl der Ladungszustände: 2I + 1 (nicht bei Leptonen!)


S

Strangeness (Seltsamkeit) (charakterisiert die Tatsache, dass Hyperonen nur zusammen mit K-Mesonen entstehen. Teilchen mit S = 0 [strange particles] entstehen nur paarweise.)


Y

Hyperladung Y=S+B


P

Parität (kennzeichnet den Symmetriecharakter der Wellenfunktion des Teilchens bezüglich der Spiegelung an den Raumkoordinaten)

Ändert die Wellenfunktion bei Spiegelung ihr Vorzeichen, ist P = – 1; bleibt das Vorzeichen erhalten ist P = +1.

Q

Ξ

–

Ω

–

Σ

0

0

Λ

0

n

η

Σ

+

p

+1

+1

+1

+1

+1

0

0

K+

K0

0

0

π+

0

0

π0

–

Ξ

Σ

µ–

e–

0

0

0

0

0

0

1/

0

0

1/2

1

0

1 /2

0

2

1

0

+1

+1

Teilc Q/e hen 0 + 1 B L γ I 0 0 ve 0 +1 vµ 0 +1 S

0

0

0

0

0

0

–2

–1

0

0

–1

–3

–2

–1

0 –1

–1 +1 0 0

0

0

0

0

0

0

Y

Hadronen Q e m me s h

Leptonen Mesonen Hyperonen

B L I Y S

2183

Lambda-Hyperon

Omega-Hyperon

Xi-Hyperon

3

1

1

1

1

0

+2

+1

+1

2 +3

2

2

2

2

0

+2

+1

0

0

+1

0

0

0

0

0

0

0

0

0 0 –1 +1

2

2

0

0

0

Y

0

1

1

2

2

0

1

1

S

0

1

s h

Baryonenzahl Leptonenzahl Isospin Hyperladung Strangeness

3272

2577

2335

1837

Nukleonen Sigma-Hyperon

1074

966

Eta-Meson

264

K-Meson (Kaon)

1

Elektron Pi-Meson (Pion)

0

Myon-Neutrino 207

0

Elektron-Neutrino

Myon (µ-Meson)

0

m me

Photon (Quant)

Teilchentyp

Elementarteilchen

elektrische Ladung des Teilchens Elementarladung Ruhemasse des Teilchens Ruhemasse des Elektrons Spin des Teilchens Drehimpulsquantum

Baryonen

–1

Übersicht über die wichtigsten Elementarteilchen (Ohne Mesonen- und Baryonenresonanzen, Massenangaben sind Mittelwerte. Stabile Teilchen sind unterstrichen, bei γ, π 0 und η sind Teilchen und Antiteilchen identisch).

0

/2

1

1

0

1/ 2

0

1/ 2

1

I

0

0

0

0

0

0

0

0

–1

–1

–1

–1

0

L

–1

–1

–1

–1

–1

0

0

0

0

0

0

0

0

B

n che iteil t n A

Σ–

p

K–

π–

Ξ0

Σ0

Λ0

η0

η0

K0

π0

vµ

ve

Ω+

Ξ+

Σ+

µ+

e+

Q/e +1 –1 0 γ


365


Elementarteilchen und ihre wichtigsten Eigenschaften m me Q e h _ h c

Ruhemasse der Teilchen Ruhemasse des Elektrons elektrische Ladung des Teilchens Elementarladung Planck’sches Wirkungsquantum Drehimpulsquantum Lichtgeschwindigkeit im Vakuum

kg kg C C Js Js m s–1

Bezeichnung der Quantenzahlen s. S. 363. Für die Quantenzahlen B, L, Q und s gelten wie für den Energiesatz, den Impulssatz und den Drehimpulssatz uneingeschränkt Erhaltungssätze. Antiteilchen erhalten einen Querstrich über dem Teilchensymbol oder sind an der entgegengesetzten Ladung erkennbar. Ihre Quantenzahlen stehen hinter der Quantenzahl des Teilchen in Klammern. Quarks werden auch mit q1 … q6 (Antiquarks mit q–1 … q–6) bezeichnet. Die Ruhemasse wird bei Elementarteilchen in MeV/c 2 oder GeV/c2 angegeben, hier auch in Vielfachen der Elektronenmasse me. 1 MeV/c 2 = 1,782 661758 · 10–30 kg = 1,956 951 337 me = 1,073 544 188 · 10 –3 · 1u 1 MeV/c 2 ist ungefähr gleich zwei Ruhmassen des Elektrons. Nach heutiger Kenntnis sind nur drei Gruppen Elementarteilchen wirklich elementar und oft nicht als Teilchen vorstellbar: Fundamentale Elementarteilchen. Alle andern sind aus diesen zusammengesetzt. Übersicht Standardmodell der Elementarteilchen (schematisch) Fundamentale Elementarteilchen Fermionen

(Feldquanten vermitteln Kräfte)

Leptonen

Eichbosonen (Feldquanten)

Quarks (Quarks bilden Hadronen)

Hadronen

Mesonen

Baryonen

(aus Quarks und Antiquarks)

(aus drei Quarks)

Q

366


Quarks Bezeichnungen q1 = u q2 = d q3 = s q4 = c q5 = b q6 = t B Q I S s C By mq Eq

Up-Quarks Down-Quarks Strange-Quarks Charm-Quarks Beauty-Quarks (Bottom-Quarks) Top-Quarks Baryonenzahl  Ladungsquantenzahl  Isospin  Strangeness (Seltsamkeit)  Quantenzahlen Spinquantenzahl  Charme  Beauty  Masse der Quarks kg der Masse entsprechende Energie J, GeV

Wesentliche Eigenschaften der Quarks Quarks haben Bruchteile der Elementarladung (entweder ± 1/3e oder ± 2/3e). Bei den Quarks traten gegenüber den bisher bekannten Elementarteilchen neue Eigenschaften auf, die durch die Quantenzahlen „Charme“ und „Beauty“ gekennzeichnet werden. Alle Quarks werden durch eine zusätzliche Quantenzahl „Colour“ gekennzeichnet, d. h., jedes der Quarks kann in drei Colourzuständen existieren, die symbolisch mit „Rot“, „Grün“ und „Blau“ bezeichnet werden. Zu jedem der Quarks gibt es Antiquarks in den Colourzuständen „Antirot“, „Antigrün“ und „Antiblau“. Die aus Quarks und Antiquarks zusammengesetzten Hadronen (Mesonen und Baryonen) haben die Colourquantenzahl null (symbolisch als Farbladung oder Farbfeld „Weiß“ bezeichnet). Je zwei der Quarks bilden ein Meson, je drei ein Baryon. Quarks sind bisher nur im gebundenen Zustand nachgewiesen. Die Entdeckung anderer Teilchen lässt sich jedoch nur aus ihrer Existenz erklären. Quantenzahlen und ungefähre Massen der Quarks Die Antiquarks haben die gleichen Quantenzahlen wie die entsprechenden Quarks mit entgegengesetztem Vorzeichen. Wie auch bei den Elementarteilchen üblich, erhalten sie das gleiche Symbol mit einem darüber gesetzten Querstrich.

367


QuarksSymbol

Quantenzahlen B Q s

I

u d s c b t

1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3

1/2 0 –1/2 0 0 –1 0 0 0 0 0 0

2/3 –1/3 –1/3 2/3 –1/3 2/3

1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2

S

C

By

mq ––––––– –27 10 kg

Eq –––– GeV

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

≈ 0,004 ≈ 0,01 ≈ 0,2 ≈ 2,5 ≈8 ≈ 340

≈ 0,002 ≈ 0,005 ≈ 0,095 ≈ 1,3 ≈ 4,2 ≈ 170

Quantenzahlen: B = +1/3 (–1/3), L = 0, s = 1/2, I = 0 (außer u-Quarks I = +1/2 (–1/2), d-Quarks I = –1/2 (+1/2)), S = 0 (außer s-Quarks S = –1 (+1)), Charm C = 0 (außer c-Quarks C = +1 (–1)), Beauty By = 0 (außer b-Quarks By = +1 (–1)). Farbladungszahlen „Rot“ („Antirot“), „Grün“ („Antigrün“), „Blau“ („Antiblau“). In Klammern die Quantenzahlen der Antiquarks. Quarks und ihre wichtigsten Eigenschaften Gruppe

Zeichen

m in GeV/c 2 m in me

Q in e

t in s

I

u d c s t b

≈0,002 ≈0,005 ≈1,3 ≈0,095 ≈170 ≈4,2

2/3 (–2/3) –1/3 (1/3) 2/3 (–2/3) –1/3 (1/3) 2/3 (–2/3) –1/3 (1/3)

∞ ∞ 5 · 10–10 3 · 10–10 ? 5 · 10–14

Up Down II Charm Strange III Top Bottom (Beauty)

u¯ d¯ c¯ s¯ ¯t ¯ b

≈4 ≈10 ≈ 2 500 ≈ 200 ≈ 340000 ≈ 8 400

Bosonen Bosonen (Feldquanten) und ihre wichtigsten Eigenschaften _ Bezeichm in GeV/c2 m in me Q in e s in h Wechselwirkung nung Photon (Quant) g 0 0 0 157250 ±1 W-Boson W± 80,356 Z-Boson Z0 91,186 178450 0 Gluon G 0 0 0 Graviton G 0 0 0 Higgs H 125 245000 0 Higgs-Boson und Graviton sind hypothetisch.

1 1 1 1 2 1

elektromagnetisch schwach schwach stark Gravitation bewirkt Masse

Q

368


Leptonen Leptonen und ihre wichtigsten Eigenschaften Bezeichnung

Zeichen m inMeV/c 2 m in me Q in e t in s

I Elektron ElektronNeutrino II Myon MyonNeutrino III Tau (Tauon) Tau-Neutrino

e– e+

0,511

ne n– e m– m+

<0,0000045 ≈0 ? 106 207

0 ∞ 1(–1) 2,2 ·10 –6 e–, nm, n– e

<0,170 1780 <0,24

0 ∞? 1(–1) 3 ·10–13 m–, n– m, ne 0 ∞?

nm t– nt

n– m t+ n– t

Umwandl.

1(–1) ∞

1

<0,3 3483 <0,4

Quantenzahlen: L = +1 (–1), B = 0, s = 1/2 Einige aus Quarkskombinationen gebildete Elementarteilchen Mesonen Mesonen werden aus einer Quarks-Antiquarks-Kombination (qq¯) gebildet. Die Antiquarks q¯ haben den Antifarbzustand, der dem Farbzustand der Quarks q entspricht. Mesonen haben den Farbzustand „Weiß“. Mesonen (Auswahl) und ihre wichtigsten Eigenschaften Name Pion

Zeichen m in GeV/c 2 m in me t in s 0

p p+ , p– – Kaon K0, K0 K+, K– Eta-Meson h0

0,135 0,139 0,498 0,494 0,549

264 272 975 967 1 074

–17

Bsp. Umwandlung

8 ·10 2,5 ·10–8 ≈10–10 1,24 ·10–8 ≈10–18

g+g m+ + n m, m– + n– m p+ + p– + p0 p+ + p0, p– + p0 g+g

Weiterhin gibt es D-, F-, w-Mesonen mit Q = 0, +1 oder –1 sowie zahlreiche Resonanzen. Quantenzahlen: B = 0, L = 0, Q = 0, +1 oder –1 (am Symbol hochgestellt), s = 0 (wenige Ausnahmen s = 1). Mesonen sind „farblos“, sie bestehen aus Quarkskombinationen qq¯ einer „Farbe“ und „Antifarbe“. Mesonen zerfallen in Feldquanten und Leptonen. Die Myonen (Leptonen) zerfallen weiter: m+ → n– e + e+ + nm und m– → ne + e– + n– m Beispiele für die Bildung von Mesonen aus Quarkskombinationen qq¯ : Pion u + d¯ = p+ oder u d¯ = p+ u¯ + d = p– oder u¯ d = p–

Baryonenzahl B = +1/3 + (–1/3) = 0 B = –1/3 + 1/3 = 0

Ladung Q = +1/3 + 2/3 = +1 Q = –2/3 + (–1/3) = –1

369


Weitere Beispiele Meson Quarkskombination

K+ u s¯

K– u¯ s

K0 d s¯

– K0 d¯ s

h0 s s¯

p+ u d¯

p– u¯ d

p0 d d¯

Baryonen Baryonen werden aus drei Quarks (qqq) gebildet, von denen jeweils je eines den Farbzustand „Rot“, „Grün“ und „Blau“ hat. Baryonen haben den Farbzustand „Weiß“. Einige Baryonen und ihre wichtigsten Eigenschaften Bezeichnung Zeichen m in MeV/c 2 m in me

Q in e

t in s

Bsp. Umwandl.

Nukleonen Proton p p¯ 938,272 1836,15 +1 (–1) ∞ Neutron n n¯ 939,565 1838,68 0 ≈930 p + e– + n– e Das Neutron ist nur im gebundenen Zustand im Atomkern stabil (s. S. 373). Hyperonen (Auswahl) – 2183 0 2,6·10–10 p + p–; n + p0 Lambda L0 L0 1 116 – –+ Sigma S S 1 193 2335 –1 (+1) 1,6·10–10 n + p– Xi X – X+ 1 317 2577 –1 (+1) 1,9·10–10 L0 + p– Omega W– W+ 1 672 3272 –1 (+1) 1,3·10–10 X0 + p– Quantenzahlen: B = 1 (–1), L = 0, s = 1/2 (bei einigen Hyperonenzuständen auch 3/2), I = 1/2 bei p, n und X, I = 0 bei L, I = 1 bei S, Charm C = 0, S = 0 bei p und n, S = –1 bei L und S, S = –2 bei X. Baryonen werden aus drei Quarks unterschiedlicher Farbladung gebildet und sind „farblos“. Beispiele für die Bildung von Baryonen aus Quarkskombinationen qqq: Nukleon

Baryonenzahl B

Ladungsquantenzahl Q

u + u + d = p oder u u d = p d + d + u = n oder d d u = n u¯ + u¯ + d¯ = p¯ oder u¯ u¯ d¯ = p¯ d¯ + d¯ + u¯ = n¯ oder d¯ d¯ u¯ = n¯

1/3 + 1/3 + 1/3 = 1 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1 –1/3 + (–1/3) + (–1/3)= –1 –1/3 + (–1/3) + (–1/3) = –1

2/3 + 2/3 + (–1/3) = 1 –1/3 + (–1/3) + 2/3 = 0 –2/3 + (–2/3) + 1/3 = –1 1/3 + 1/3 + (–2/3) = 0

Weitere Beispiele Baryon Quarkskombination

p

n

L0

D–

S–

S+

X0

X–

W–

uud

ddu

dus

ddd

dds

uus

uss

dss

sss

Q

sehr groß

sehr klein <10–15 m

sehr groß

10–2

10–13

10 –40

Elektromagnetische Wechselwirkungen

Schwache Wechselwirkung

Gravitation

Kräfte zwischen Massen; spielen in der Teilchenphysik kaum eine Rolle

b-Zerfall; charakteristisch für Leptonen sowie für Wechselwirkungen zwischen Leptonen und Kernen

Wechselwirkungen zwischen elektrischen und magnetischen Feldern; Coulomb-Kräfte zwischen geladenen Teilchen; Paarbildungsprozesse

Kernkräfte; Prozesse, die sich im Beisein von Nukleonen, Hyperonen sowie K- und p-Mesonen abspielen

Beispiele

–

10–10 … 10–3 s

10–20 … 10–16 s

10–23 … 10–22 s

Dauer

Starke W. Eletromagnetische W.

G, Pion p+, p–, p0

g

Gluon

Photon

Gravitations-W.

Schwache W.

Graviton

Weakonen

G (hypothetisch)

W±, Zeton Z0

Bisher ist es gelungen, die schwache und die elektromagnetische Wechselwirkung zur elektroschwachen Wechselwirkung zu vereinen. Austauschteilchen (Feldquanten) sind:

Ziel der modernen Physik ist es, alle vier Wechselwirkungen durch eine einheitliche Theorie zu beschreiben.

klein ≈ 10–15 m

1

Starke Wechselwirkung

Reichweite

Relative Stärke

Bezeichnung

Wechselwirkungen


Photonen

Elektromagnetische Wechselwirkung →

Hadronen

Leptonen

Quarks

Schwache Wechselwirkung →

Starke Wechselwirkung →

Einteilung der Elementarteilchen nach der Wechselwirkung

Elektronen

Myonen

Neutrinos

Mesonen

Bayronen

p-Mesonen

K-Mesonen (strange particles)

Nukleonen

Hyperonen (strange particles)


371

Q

372


Massendefekt und Kernbindungsenergie B, Br mp mn mK Arp Arn ArK Z N E c

Massendefekt (Ruhe-)Masse des Protons (Ruhe-)Masse des Neutrons (Ruhe-)Masse des Atomkernes relative Atommasse des Protons relative Atommasse des Neutrons relative Atommasse des Kernes Ordnungszahl (Anzahl der Protonen) Neutronenzahl Bindungsenergie Lichtgeschwindigkeit

kg, 1 kg kg kg 1 1 1 1 1 J m s–1

Massendefekt ●

B = Zmp + Nmn – mK ,

Br = ZArp + NArn – ArK

B = Br · 1 u Bindungsenergie E = Bc 2 = Brc 2 · 1 u , c 2 · 1 u = 149,241795 4 pJ = 931,494061 MeV E B ––––– = 931,494061 –– , MeV u

E B ––––– = 0,560958912 · 1030 –– MeV kg

Atomare Masseneinheit (Atommassenkonstante)

1 u = 1,660538 921 · 10–27 kg

Die atomare Masseneinheit ist der 12te Teil der Masse des Kohlenstoffisotops 12C: 1 1 u = –– mC12 12 Grundarten der Radioaktivität A Z EK

Massenzahl des Ausgangskernes Ordnungszahl des Ausgangskernes Kernenergie

1 1 J

373


Art der KernladungsRadioaktivität zahl des Endkernes

Massenzahl Bemerkungen des Endkernes

a-Zerfall

Z–2

A–4

Emission eines a-Teilchens, He-Kern (S. 374)

b-Zerfall

Z±1

A

Umwandlung eines Neutrons in ein Proton bzw. umgekehrt innerhalb des Kernes

b–-Zerfall

Z+1

A

n → p + (e– + n– e)

b+-Zerfall

Z–1

A

p → n + (e+ + ne)*)

Elektroneneinfang

Z–1

A

p + e– → n + (ne) Eingeklammerte Teilchen werden emittiert.

Protonenaktivität

Z–1 Z–2

A–1 A–2

Kern emittiert ein Proton bzw. zwei Protonen

Spaltung

1 ≈ Z––Z 2

(

)

(

)

Kern wird meistens in zwei etwa gleiche Teile gespaltet

1 ≈ A––A 2

*) Die Umwandlung beim b+-Zerfall geschieht genauer nach folgender Beziehung: p + E → p + e+ + e– + n + n– → n + (e+ + n ) K

p e– ne n– e

e

e

e

Proton, n Neutron Elektron, e+ Antielektron (Positon) Elektron-Neutrino Anti-Elektron-Neutrino

Jede Art von Radioaktivität kann mit der Aussendung von g-Quanten verbunden sein. Die Wellenlänge dieser Strahlung liegt meistens zwischen 10–11 und 10–13 m. Zerfallende Kerne heißen Mutterkerne, die entstehenden nennt man Tochterkerne.

Q

374


Natürliche radioaktive Strahlung s smax Ea Emax E h r f

Reichweite maximale Reichweite Anfangsenergie maximale Energie Energie Planck’sches Wirkungsquantum Dichte des Stoffes, durch den die Strahlung hindurchgeht Frequenz

m m J J J Js kg m–3 Hz

Eigenschaften der a-Strahlung a-Strahlen sind Heliumkerne. Ruhemasse: 6,644656 20 · 10–27 kg = 4,001 50618 · 1u Bindungsenergie: 28,3 MeV Massendefekt: 0,030 38 u Anfangsenergie: 4 … 10 MeV Geschwindigkeit: 1,5 · 107 … 2,5 · 107 m s–1 erzeugte Ionenzahl je cm Bahnlänge: 20000 … 40000 Reichweite bei 15°C und 101,325 kPa in Luft 1,5

( )

s Ea –– ≈ 0,0031 ––––– m MeV

für

Ea > 2,0 MeV

Die Anfangsenergien sind aus den Zerfallsreihen oder aus der Isotopentabelle zu entnehmen (→ S. 374 ff., 383 ff.). Eigenschaften der b-Strahlung b-Strahlen sind Elektronen. Erzeugte Ionenzahl je cm Bahnlänge: 50 … 100 Bei den b-Strahlen ist keine einheitliche Reichweite vorhanden, da jeder b-Strahler ein kontinuierliches Energiespektrum besitzt. Für die maximale Reichweite gelten folgende Näherungsgleichungen: 1,38

( )

Emax smax 1 –––– ≈ ––––––––3 – 0,407 ––––– cm r/g cm MeV

(

für Emax < 0,8 MeV

)

smax Emax 1 –––– ≈ ––––––––3 – 0,542 ––––– – 0,133 cm r/g cm MeV

für Emax > 0,8 MeV

Für Ea ≈ 5 MeV ist die Reichweite in Wasser oder organischem Gewebe etwa 40 µm. Für Emax ≈ 1 MeV ist die Reichweite in Wasser oder organischem Gewebe etwa 7 mm.

375


Eigenschaften der g-Strahlung g-Strahlen sind elektromagnetische Wellen. Die Wellenlänge liegt etwa zwischen 10–12 m und 10–15 m. Die Energie eines Strahlungsquants berechnet sich nach der Gleichung ●

E = hf

Weitere Eigenschaften der g-Strahlung → Abschnitt 9.5. Zerfallsgesetz A A0 l t T1/2 m NA M Ar

Aktivität Anfangsaktivität Zerfallskonstante Zeit Halbwertszeit Masse des strahlenden Stoffes Avogadro-Konstante molare Masse relative Atommasse

●

A = A0 exp (–lt) , lmNA A = ––––––– , M

Bq = s–1 Bq s–1 s s kg mol–1 kg mol–1 1

A = A0 2– t/T1/2

A = A0 exp (–t ln 2/T1/2)

lm A = ––––––– Ar · 1 u

Halbwertszeit T1/2 l t

Halbwertszeit Zerfallskonstante mittlere Lebensdauer

●

ln 2 T1/2 = –––– , l

s s–1 s

0,693 T1/2 = ––––– , l

1 t=– l

Q

Zerfallsreihen A T1/2 E

Massenzahl (Anzahl der Nukleonen) Halbwertszeit des Ausgangskernes Energie der jeweils energiereichsten Komponente der betreffenden Strahlung

1 s J

Massenzahl Thorium-Reihe Neptunium-Reihe Uran-Radium-Reihe Uran-Actinium-Reihe

A = 4n A = 4n + 1 A = 4n + 2 A = 4n + 3

n = 58 … 52 n = 60 … 52 n = 59 … 51 n = 58 … 51

376


Thorium-Reihe Ausgangs- Zerfalls- Zerfallskern art produkt 232 90Th 228 88Ra 228 89Ac 228 90Th 224 88Ra 220 86Rn 216 84Po 212 82Pb 212 83Bi 212 84Po 208 81Tl 208 82Pb

a b– b– a a a a b– b– a a b– stabil

228 88Ra 228 89Ac 228 90Th 224 88Ra 220 86Ra 216 84Po 212 82Pb 212 83Bi 212 84Po 208 81Tl 208 82Pb 208 82Pb

= MsTh1 = MsTh2 = RdTh = ThX = Tn = ThA = ThB = ThC = ThC′ = ThC ″ = ThD = ThD

–

T1/2

E ––––– MeV a b

g

1,41 ·1010 a 6,7 a 6,13 h 1,91 a 3,64 d 54,5 s 0,158 s 10,6 h 60,5 min 60,5 min 3· 10–7 s 3,1 min ∞

4,2 – – 5,42 5,68 6,28 6,78 – – 6,05 8,78 – –

0,06 – – 0,82 0,24 0,54 – 0,4 2,2 2,2 – 2,62 –

T1/2


g

– 5,5 4,9 – 4,82 5,0 – 5,8 6,3 7,02 – 5,86 8,34 – – –

0,1 0,37 0,2 0,42 0,1 – – – – – 0,44 0,44 – 0,12 – –

– 0,053 1,5 – – – – 0,58 2,25 – – 1,82 –

Neptunium-Reihe Ausgangs- Zerfalls- Zerfallskern art produkt 241 94Pu 241 95Am 237 93Np 233 91Pa 233 92U 229 90 Th 225 88Ra 225 89Ac 221 87Fr 217 85 At 213 83Bi 213 84Po 209 81Tl 209 82Pb 209 83Bi

–

b a a b– a a b– a a a b– a a b– b– stabil

241 95Am 237 93Np 233 91Pa 233 92U 229 90Th 225 88Ra 225 89Ac 221 87Fr 217 85At 213 83Bi 213 84Po 209 81Tl 209 82Pb 209 82Pb 209 83Bi

–

13 a 460 a 2,2·106 a 27,4 d 1,62 ·105 a 7,3·103 a 14,8 a 10 d 4,8 min 2,1·10–2 s 47 min 47 min 4,2 ·10–3 s 2,2 min 3,3 h ∞

0,02 – – 0,57 – – 0,2 – – – 1,25 – – 1,8 0,64 –

377


Uran-Radium-Reihe Ausgangs- Zerfalls- Zerfallskern art produkt 238 92U = 234 90Th 234 91Pa 234 92U 230 90 Th 226 88Ra 222 86Rn 218 84Po 214 82Pb 214 83Bi 214 84Po 210 81Tl 210 82Pb 210 83Bi 210 84Po 206 82Pb

UI a b– b– a a a a a b– b– a a b– b– b– a stabil

234 90Th 234 91Pa 234 92U 230 90Th 226 88Ra 222 86 Rn 218 84Po 214 82Pb 214 83Bi 214 84Po 210 81Tl 210 82Pb 210 82Pb 210 83Bi 210 84Po 206 82Pb

= UX1 = UX2 = UII = Io

= RaA = RaB = RaC = RaC′ = RaC″ = RaD = RaD = RaE = RaF = RaG

–

T1/2


g

4,5·109 a 24,1 d 1,14 min 2,48 ·105 a 7,8·104 a 1580 a 3,825 d 3,05 min 26,8 min 19,7 min 19,7 min 1,6·10–4 s 1,32 min 22,2 a 5,04 d 139 d ∞

4,19 – – 4,77 4,68 4,78 5,48 6,0 – – 5,4 7,68 – – – 5,3 –

0,048 0,09 1,8 0,1 0,25 0,19 0,51 – 0,8 2,4 2,4 – 2,4 0,047 – 0,8 –

T1/2


g

4,56 – 5,05 – 5,42 5,87 6,82 7,38 – – 6,6 7,44 – –

0,18 0,3 0,4 – 0,3 0,45 0,4 – 0,8 0,35 0,35 0,9 0,87 –

– 0,19 2,3 – – – – – 0,58 3,2 – – 1,9 0,06 1,17 – –

Uran-Actinium-Reihe Ausgangs- Zerfalls- Zerfallskern art produkt 235 92U=AcU 231 90Th 231 91Pa 227 89Ac 227 90Th 223 88Ra 219 86Rn 215 84Po 211 82Pb 211 83Bi 211 84Po 207 81Tl 207 82Pb

a b– a b– a a a a b– b– a a b– stabil

231 90Th 231 91Pa 227 89Ac 227 90Th 223 88Ra 219 86Rn 215 84Po 211 82Pb 211 83Bi 211 84Po 207 81Tl 207 82Pb 207 82Pb

–

= UY

= RdAc = AcX = An = AcA = AcB = AcC = AcC′ = AcC″ = AcD = AcD

7,04 ·108 a 25,6 h 3,43 ·104 a 22 a 18,9 d 11,7 d 3,92 s 1,8·10–3 s 36,1 min 2,16 min 2,16 min 0,6 s 4,79 min ∞

– 0,3 – 0,046 – – – – 1,39 2,25 – – 1,44 –

Q

378


Wirkungsquerschnitt bei Kernreaktionen s m

mikroskopischer Wirkungsquerschnitt makroskopischer Wirkungsquerschnitt (linearer Schwächungskoeffizient) sn mikroskopischer Wirkungsquerschnitt für Neutronen sna Absorptionsquerschnitt für Neutronen (Einfangquerschnitt) sns Streuquerschnitt für Neutronen rK Kernradius V Volumen N Anzahl der Atome, die im Volumen V enthalten sind z Anzahl der Teilchen, die auf das Volumen V auftreffen dx, Dx Schichtdicke, in der bestimmte Reaktionen ausgelöst werden dz, Dz Anzahl der Teilchen, die in einer Schicht der Dicke dx bzw. Dx bestimmte Reaktionen auslösen r Dichte des durchstrahlten Stoffes NA Avogadro-Konstante n Anzahl aller Kerne durch Volumen (Teilchenzahldichte) Ar relative Atommasse des durchstrahlten Stoffes M molare Masse des durchstrahlten Stoffes

m2 m–1 m2 m2 m2 m m3 1 1 m 1 kg m–3 mol–1 m–3 1 kg mol–1

Mikroskopischer Wirkungsquerschnitt ●

V dz s = –––– ––– , Nz dx

V Dz s = –––– ––– Nz Dx

Der Wirkungsquerschnitt ist die fiktive Querschnittsfläche, die ein Teilchen (Atom, Molekül, Kern) einem Teilchen- oder Quantenstrahl darbietet. Man unterscheidet Streu-, Anregungs-, Einfang-, Spaltquerschnitte u. a. SI-fremde Einheit des Wirkungsquerschnittes: Barn (b) 1 b = 10–28 m2 = 100 fm2 Werden mehrere Reaktionen mit den Wirkungsquerschnitten si von den auftreffenden Teilchen ausgelöst, so erhält man den totalen Wirkungsquerschnitt s aus der Summe der einzelnen Wirkungsquerschnitte. Mikroskopischer Wirkungsquerschnitt für Neutronen Für thermische Neutronen, die bei Zimmertemperatur eine Energie von etwa 0,035 eV haben, gilt sn = sna + sns

379


Der mikroskopische Wirkungsquerschnitt für schnelle Neutronen mit einer Energie von etwa 10 MeV ist für verschiedene Stoffe in der folgenden Tabelle enthalten. Für sehr hohe Neutronenenergien gilt näherungsweise 2 sn ≈ 2prK

Stoff

Schnelle Thermische Neutronen Neutronen E ≈ 10 MeV –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– sn sna sns ––– ––– ––– fm2 fm2 fm2

Aluminium Beryllium Blei Bor Cadmium Cobalt Deuterium Eisen Gadolinium Helium Kohlenstoff Kupfer Sauerstoff Silicium Silber Uran (235) Uran (238) Wasserstoff Wolfram Zink

170 170 470 140 430 320 100 300 – 140 130 340 130 180 440 – 180 90 490 350

24,1 1 17 75500 245000 3800 0,06 262 4600000 0,7 0,36 385 <0,02 16 6200 58800 280 33,2 1900 110

140 750 1 140 440 700 600 700 1 140 – 80 500 780 420 200 600 – – 4 000 600 400

Makroskopischer Wirkungsquerschnitt (linearer Schwächungskoeffizient) ●

m = ns ,

rNA m = ––––– s ArM

Übersicht über die wichtigsten Kernreaktionen a d t p

a-Teilchen (Heliumkerne) Deuteronen (Kerne des Deuteriums) Tritonen (Kerne des Tritiums) Protonen

Q

380 n g f s (a, b) K1 K2


Neutronen g-Quanten Kernspaltung Kernzersplitterung a ist einfallendes Teilchen (Kerngeschoss), b ist emittiertes Teilchen nach der Kernreaktion Targetkern (Ausgangskern) Endkern

Wichtige Kernreaktionen Elastische Streuung K1 (a, a)K2 (emittiertes Teilchen gleich einfallendes Teilchen) Unelastische Streuung K1 (a, a′)K2 (emittiertes Teilchen gleich einfallendes Teilchen, a′ hat geringere Energie als a, Endkern ist im angeregten Zustand) Austauschreaktionen K1 (a, b) K2 (→ folgende Tabelle) (Emittiertes Teilchen sowie Endkern sind verschieden vom einfallenden Teilchen bzw. Targetkern.) Kernfotoeffekt K1 (g, b)K2 (→ folgende Tabelle) (Durch Absorption eines g-Quants wandelt sich der Targetkern unter Aussendung eines Teilchens in den Endkern um.) Einfangreaktionen K1 (a, g)K2 (→ folgende Tabelle) (Umkehrung des Kernfotoeffekts) Mehrfachprozesse K1 (a, b1, b2, …)K2 (Absorption des einfallenden Teilchens führt zur Aussendung mehrerer Teilchen; oft entstehen mehrere Endkerne.) Kernspaltung K1 (n, 2 … 3n)K′2K2″ (Das einfallende Neutron spaltet den Targetkern meist in zwei etwa gleich große Endkerne, oft unter Emission weiterer Neutronen.) KernBei der Kernreaktion entstehen geschoss a t p 2n n a t d p n g

– – (d, a) (p, a) (n, a) –

– – – (p, t) (n, t) –

(a, p) (t, p) (d, p) – (n, p) (g, p)

– – (d, 2n) – (n, 2n) –

(a, n) (t, n) (d, n) (p, n) – (g, n)

d

g

f

s

(a, d) – – – – –

– – – (p, g) (n, g) –

(a, f) – (d, f) – (n, f) –

(a, s) – (d, s) – (n, s) –

381


Mögliche Kernumwandlungen eines Nuklids der Massenzahl A und Ordnungszahl Z A+3

( α ,p) (t,p) (n, γ ) (d,p)

(d,n) (p, γ )

A+2 A +1

(K-Einfang)

A A –1

A –3 Z–2

(p,n) (d,2n)

(n,p) (γ ,p)

(n,2n) (γ ,n)

(d,α) (n,t)

A–2 (n, α)

( α ,n) (t,n) ( α ,d)

(p,t)

(p,α) Z–1

Z

Z +1

Reaktionsenergie bei Kernreaktionen mK1 Masse des Ausgangskerns K1 Masse des Ausgangsatoms mA1 ma Masse des stoßenden Teilchens a mK2 Masse des Endkerns K2 Masse des Endatoms mA2 mb Masse des emittierten Teilchens b E1 kinetische Energie von K1 und a (vor der Reaktion) E2 kinetische Energie von K2 und b einschließlich Strahlungsenergie (nach der Reaktion) c Lichtgeschwindigkeit im Vakuum Q Reaktionsenergie Masse des a-Teilchens ma mAHe Masse des Heliumatoms me Ruhemasse des Elektrons Masse des Neutrons mn mS1, mS2 Masse der Kerne der Spaltprodukte mD Masse des Deuteriumatoms z Zahl der bei Kernspaltung frei werdenden Neutronen Massenbilanz bei Kernreaktionen E2 E1 ● mK1 + ma + –––2 = mK2 + mb + –––2 c c

Z+2

kg kg kg kg kg kg J J m s–1 J kg kg kg kg kg kg 1

Q

382


Energiebilanz bei Kernreaktionen ● (mK1 + ma)c 2 = (mK2 + mb)c 2 + Q Reaktionsenergie ● Q = E2 – E1 = [(mK1 + ma) – (mK2 + mb)]c 2 Q>0 Reaktion verläuft exotherm Q<0 Reaktion verläuft endothem Reaktionsenergie bei a-Umwandlung (Qa > 0) Qa = (mK1 – mK2 – ma)c 2 Qa= (mA1 – mA2 – mAHe)c 2 Reaktionsenergie bei b-Umwandlung (Qb > 0) b –-Umwandlung Qb – = (mK1 – mK2)c 2 Qb – = (mA1 – mA2)c 2 + b -Umwandlung Qb + = (mK1 – mK2 – 2me)c 2 Qb + = (mA1 – mA2 – 2me)c 2 Reaktionsenergie bei Kernspaltung (QS > 0) QS = [(mK1 – mn) – (mS1 – mS2 – zmn)]c 2 Reaktionsenergie bei Fusion von Deuterium zu Helium (QF > 0) QF = (2mD – mHe)c 2 Energiebilanzen bei Kernspaltung und Kernfusion Spaltung

1 0n 1 0n 1 0n

0

94 140 1 + 235 92 U → 40 Zr + 58 Ce + 20n + 6 –1 e 0 235 95 139 + 92 U → 39Y + 57 La + 210n + 4 –1 e 235 90 143 1 + 92 U → 35 Br + 57 La + 30n

Massendefekt B –– u

Frei werdende Energie E ––––– MeV

0,233 0,217 0,207

217 202 193

Bei allen möglichen Spaltungen des Urans 235 wird im Mittel eine Energie von 200 MeV freigesetzt. Energieverteilung (Richtwerte): Kinetische Energie der Spaltprodukte: Kinetische Energie der Neutronen: Energie der g-Quanten: Energie der g- und b-Strahlung der Spaltprodukte: Energie der Neutrinos:

168 MeV 5 MeV 5 MeV 13 MeV 9 MeV

Bei vollständiger Spaltung von 1 kg Uran 235 entstehen rund 20 GWh.

383


Fusion

1 1p 211p

+ 10 n → 21d + 210n → 42 He

Massendefekt B –– u

Frei werdende Energie E ––––– MeV

0,002385 0,030281

2,2204 28,191 6

Bei der Fusion von Wasserstoff zu Helium entstehen je Kilogramm Helium rund 200 GWh. Tabelle der wichtigsten Nuklide Ordnungszahl Massenzahl relative Atommasse Häufigkeit des Isotops Halbwertszeit Energie der Strahlung (maximale Energiekomponente)

Z

Element

Z A Ar H T1/2 E

1

H D T He

2 3 4 5 6

7 8

Ar

1,007825 2,014102 3,016049 3,016 030 4,002603 Li 6,01512 7,01600 Be 9,01218 B 10,01294 11,00931 C 11,01143 12,00000 13,00335 14,00324 N 14,00307 15,00011 O 15,99492 16,99913 17,99916

A

1 2 3 3 4 6 7 9 10 11 11 12 13 14 14 15 16 17 18

H

99,985 0,015 – – ≈ 100 7,42 92,58 ≈ 100 19,6 80,4 – 98,89 1,11 – 99,64 0,36 99,76 0,037 0,203

1 1 1 % s, min, h, d, a J, MeV

Zer- T1/2 fallsart

E ––––– MeV –––––––––– –– a b–, b+ g

– – b– – – – – – – – b+ – – b– – – – – –

– – – – – – – – – – – – – – – – – – –

– – 12,3 a – – – – – – – 20,3 min – – 5 570 a – – – – –

– – 0,018 – – – – – – – 0,96 – – 0,156 – – – – –

– – – – – – – – – – – – – – – – – –

Q

384 Element

Z


Ar

A

9 F 18,99840 19 10 Ne 19,99244 20 21,99138 22 11 Na 21,99440 22 22,98977 23 23,99097 24 12 Mg 23,98504 24 24,98584 25 25,98259 26 13 Al 26,98154 27 14 Si 27,97693 28 28,97650 29 29,97377 30 15 P 30,97376 31 31,97391 32 16 S 31,97207 32 32,97146 33 33,96786 34 34,96903 35 17 Cl 34,96885 35 36,96590 37 18 Ar 39,96238 40 19 K 38,96371 39 39,96401 40 40,96183 41 20 Ca 39,96259 40 43,95549 44 44,95619 45 21 Sc 44,95592 45 22 Ti 47,94795 48 23 V 50,94396 51 24 Cr 51,94051 52 52,94065 53 25 Mn 54,93805 55 26 Fe 53,9396 54 55,9349 56 58,9348 59 27 Co 58,93319 59 59,93381 60 28 Ni 57,9353 58 59,9308 60 62,9296 63

H

Zer- T1/2 fallsart

E ––––– MeV –––––––––– –– a b–, b+ g

100 90,92 8,82 – 100 – 78,7 10,1 11,2 100 92,2 4,70 3,1 100 – 95,0 0,76 4,22 – 75,5 24,5 99,6 93,1 – 6,8 96,97 2,1 – 100 73,94 99,76 83,76 9,55 100 5,82 91,66 – 100 – 67,9 26,2 –

– – – b+ – b– – – – – – – – – b– – – – b– – – – – b– – – – b– – – – – – – – – b– – b– – – b–

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

– – – 2,6 a – 15 h – – – – – – – – 14,5 d – – – 87,1 d – – – – 1,35·109 a – – – 163 d – – – – – – – – 45,1 d – 5,26 a – – 92 a

– – – 0,55 – 1,4 – – – – – – – – 1,71 – – – 0,168 – – – – 1,31 – – – 0,26 – – – – – – – – 0,47 – 0,32 – – 0,066

– – – 1,28 – 2,75 – – – – – – – – – – – – – – – – – 1,46 – – – – – – – – – – – – 1,3 – 1,33 – – –

385

Z

Element


29 Cu 30 Zn

31 Ga 32 Ge 33 As 34 Se 35 Br 36 Kr

37 Rb 38 Sr 39 Y 40 Zr 41 Nb 42 Mo

43 44 45 46 47 47 48

Tc Ru Rh Pd Ag Ag Cd

Ar

A

H

Zer- T1/2 fallsart

E ––––– MeV –––––––––– –– a b–, b+ g

62,9296 64,9278 63,9292 64,9292 65,926 0 67,9248 68,9257 70,9248 69,9243 71,9221 73,9212 74,9216 77,9173 79,9165 78,9184 80,9163 81,9168 81,9135 82,9141 83,9116 84,9125 84,9118 86,9092 86,9089 87,9056 89,9077 88,9059 89,9072 89,9047 92,9064 91,9068 94,9058 95,905 97,906 98,906 101,903 102,906 105,903 106,905 108,905 111,903 113,903

63 65 64 65 66 68 69 71 70 72 74 75 78 80 79 81 82 82 83 84 85 85 87 87 88 90 89 90 90 93 92 95 96 98 99 102 103 106 107 109 112 114

69,1 30,9 48,89 – 27,81 18,57 60,4 39,6 20,5 27,4 36,5 100 23,5 49,8 50,54 49,46 – 11,56 11,55 56,9 – 72,15 27,85 9,9 82,6 – 100 – 51,5 100 15,8 15,7 16,5 23,8 – 31,6 100 27,3 51,82 48,18 24,07 28,86

– – – b+ – – – – – – – – – – – – b– – – – b– – b– – – b– – b– – – – – – – b– – – – – – – –

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

– – – 245 d – – – – – – – – – – – – 35 h – – – 10,7 a – 4,7·1010 a – – 28a – 64,4 h – – – – – – 2,1·105 a – – – – – – –

– – – 0,33 – – – – – – – – – – – – 0,44 – – – 0,67 – 0,27 – – 0,55 – 2,27 – – – – – – 0,29 – – – – – – –

– – – 1,12 – – – – – – – – – – – – 0,73 – – – 0,51 – – – – – – 1,8 – – – – – – – – – – – – – –

Q

386 Element

Z


Ar

49 In 114,904 50 Sn 117,902 119,902 51 Sb 120,904 122,906 52 Te 125,903 127,904 129,906 53 I 126,9043 130,9061 54 Xe 128,9048 130,9051 131,9042 55 Cs 132,905 133,907 136,907 56 Ba 136,906 137,905 57 La 138,906 139,909 58 Ce 139,905 141,909 143,914 59 Pr 140,908 60 Nd 141,908 143,910 145,913 61 Pm 146,915 62 Sm 146,915 151,919 153,922 63 Eu 150,919 152,921 153,922 64 Gd 157,924 65 Tb 158,925 66 Dy 163,929 67 Ho 164,930 68 Er 165,930 69 Tm 168,934 70 Yb 173,939 71 Lu 174,941

A

H

Zer- T1/2 fallsart

E ––––– MeV –––––––––– –– a b–, b+ g

115 118 120 121 123 126 128 130 127 131 129 131 132 133 134 137 137 138 139 140 140 142 144 141 142 144 146 147 147 152 154 151 153 154 158 159 164 165 166 169 174 175

95,7 24,03 32,85 57,25 42,75 18,7 31,8 34,5 100 – 26,44 21,18 26,89 100 – – 11,32 71,66 99,91 – 88,5 11,1 – 100 27,1 23,8 17,2 – 15,0 26,7 22,7 47,8 52,2 – 24,9 100 28,2 100 33,4 100 31,8 97,4

b– – – – – – – – – b– – – – – b– b– – – – b– – a b– – – a – b– a – – – – b– – – – – – – – –

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – 1,5 – – – 1,8 – – 2,23 – – – – – – – – – – – – –

6·1014 a – – – – – – – – 8,04 d – – – – 2,1 a 30 a – – – 40,3 h – 5·1015 a 284 d – – 2,1·1015 a – 2,62 a 1,1·1011 a – – – – 8a – – – – – – – –

0,5 – – – – – – – – 0,61 – – – – 1,5 1,2 – – – 2,2 – – 0,32 – – – – 0,22 – – – – – 1,86 – – – – – – – –

– – – – – – – – – 0,7 – – – – 0,8 0,63 – – – 2,9 – – 0,13 – – – – 0,12 – – – – – 1,6 – – – – – – – –

387

Z

Element


Ar

72 Hf 179,946 73 Ta 180,948 181,950 74 W 181,948 183,951 185,954 75 Re 184,953 186,956 76 Os 189,958 191,961 77 Ir 190,960 191,963 192,963 78 Pt 193,963 194,965 195,965 197,968 79 Au 196,966 80 Hg 199,968 201,970 81 Tl 202,972 204,974 82 Pb 205,974 206,976 207,976 83 Bi 208,980 84 Po 208,982 85 At 209,987 86 Rn 222,017 87 Fr 223,019 88 Ra 226,025 89 Ac 227,028 90 Th 232,038 91 Pa 231,036 233,040 92 U 234,041 235,044 238,051 93 Np 239,053 94 Pu 239,052 95 Am 243,061 96 Cm 245,066

A

H

Zer- T1/2 fallsart

180 181 182 182 184 186 185 187 190 192 191 192 193 194 195 196 198 197 200 202 203 205 206 207 208 209 209 210 222 223 226 227 232 231 233 234 235 238 239 239 243 245

35,2 99,9 – 26,4 30,6 28,4 37,1 62,9 26,4 41,0 38,5 – 61,5 32,9 33,8 25,3 7,2 100 23,1 29,8 29,5 70,5 25,1 21,7 52,3 100 – – – – – – 100 – – 0,0056 0,72 99,27 – – – –

– – b– – – – – b– – – – b– – – – – – – – – – – – – – – a a a a, b– a a, b– a a b– a a a b– a a a

E ––––– MeV –––––––––– –– a b–, b+ g

– – – – 115 d – – – – – – – – – 8·1010 a – – – – – – – 74,3 d – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – 102 a 4,88 8,3 h 5,63 3,825 d 5,48 22 min 5,3 1 580 a 4,78 22 a 4,9 1,41·1010 a 4,01 3,4·104 a 5,05 27,4 d – 2,5·105 a 4,77 7,1·108 a 4,56 4,5·109 a 4,19 2,36 d – 2,4·104 a 5,15 7,4·103 a 5,27 8,7·103 a 5,36

– – 0,51 – – – – 0,003 – – – 0,67 – – – – – – – – – – – – – – – – – 1,2 – 0,046 – – 0,57 – – – 0,72 – – –

– – 1,5 – – – – – – – – 1,4 – – – – – – – – – – – – – – – 1,6 0,51 0,3 0,19 – 0,06 0,4 0,42 0,1 0,4 0,048 0,3 0,52 0,075 –

Q

388 Z

Element


97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 114 116

Bk Cf Es Fm Md No Lr Rf Db Sg Bh Hs Mt Ds Rg Cn Fl Lv

9.5

Ar

247,070 250,076 254,088 255,090 255,091 254,091 256,098 261,109 262,114 263,118 262,123

A

H

Zer- T1/2 fallsart

247 250 254 255 255 254 256 261 262 263 262

– – – – – – – – – – –

a a a a a a a a a a a

E ––––– MeV –––––––––– –– a b–, b+ g

1,4·103 a 13 a 276 d 21 h 28 min 3 min 40 s 65 s 34 s 0,8 s 0,1 s

5,68 6,03 6,52 7,2 7,3 8,1 8,4

– – – – – – –

Dosimetrie und Strahlenschwächung

Aktivität A a N dN, DN t T1/2 l m M NA

Aktivität spezifische (massenbezogene) Aktivität Anzahl der Kerne Anzahl der in der Zeit dt bzw. Dt zerfallenden Kerne Zeit Halbwertszeit Zerfallskonstante Masse des radioaktiven Stoffes molare Masse Avogadro-Konstante

Bq = s–1 Bq kg–1 1 1 s s s–1 kg kg mol–1 mol–1

dN DN N A = ––– , A = ––– , A = lN, A = 0,693 ––– dt Dt T1/2 SI-fremde, nicht mehr gesetzliche Einheit der Aktivität: Curie (Ci) ●

1 Ci = 3,7 · 1010 Bq = 37 GBq

– – – – – – –

389

9.5 Dosimetrie und Strahlenschwächung

Spezifische Aktivität A lNA ● a = –– , a = –––– , m M

ln 2 l = ––– T1/2

Spezifische Aktivität einiger radioaktiver Substanzen Isotop des Elements

Massenzahl

a ––––––– Bq kg–1

Uran

238 234 234 230 234 226 222 218 214 214

1,22 · 107 2,1 · 1011 0,85 · 1018 0,07 · 1013 2,63 · 1022 3,7 · 1013 0,57 · 1019 1,05 · 1022 1,2 · 1021 1,7 · 1021

Thorium Protactinium Radium Radon Polonium Blei Bismut

Grammäquivalente des Radiums einiger Strahler 1 mg Ra entspricht: 2,41 · 107 Bq Co-60 1,67 · 107 Bq Na-24 8,81 · 107 Bq Cs-137 3,98 · 107 Bq Cs-134 5,7 · 107 Bq Ir-192 4,48 · 107 Bq Th-228

1,80 · 109 Bq Ce-144 5,07 · 107 Bq Ta-182 9,25 · 109 Bq Tm-170 5 · 107 Bq Eu-154 1,1 · 109 Bq Eu-155 5,8 · 108 Bq Zn-65

Strahlungsflussdichte (Energieflussdichte) y F A⊥ z ET ETi pi h f ●

Strahlungsflussdichte W m–2 Strahlungsfluss W Fläche senkrecht zur Strahlrichtung m2 Anzahl der Quanten oder Teilchen 1 Energie eines Teilchens oder Quants J Energie von Teilchen oder Quanten einer Art J prozentualer Anteil der Teilchen oder Quanten einer Art an der Gesamtstrahlung 1 Planck’sches Wirkungsquantum Js Frequenz der Gammastrahlung Hz dF d y = –––– mit F = –– (zE T) dA⊥ dt

Q

390


F zET zhf y = ––– mit F = –––– bzw. F = ––– t t A⊥ Für Quanten bzw. Teilchen verschiedener Energie gilt n n d z F = –– z ∑ pi ETi , F = – ∑ pi ETi dt i =1 t i =1

(

)

Kerma und Kermaleistung K Kerma (Kinetic Energy Released in Material) K˙ Kermaleistung (Kermarate) E Energie, die durch indirekt ionisierende Strahlung in einem homogenen Körper freigesetzt wird m Masse t Zeit Kerma dE E –, ● K = ––– K = –– dm m Kermaleistung (Kermarate) dK K ● K˙ = –––– , K˙ = –– dt t

J kg–1 = Gy W kg–1 = Gy s–1 J kg s

Energiedosis und Energiedosisleistung Energiedosis Energiedosisleistung (Energiedosisrate) Energie, die durch ionisierende Strahlung einem homogenen Körper zugeführt wird m Masse t Zeit Energiedosis dE E ● D = –––– , D = –– dm m

D D˙ E

Gy = J kg–1 Gy s–1 = W kg–1 J kg s

SI-fremde, nicht mehr gesetzliche Einheit der Energiedosis: Rad (rd) 1 rd = 10–2 Gy Energiedosisleistung (Energiedosisrate) dD D –, ● D˙ = ––– D˙ = –– dt t 1 rd h–1 = 2,777 8 · 10–6 Gy s–1 Ionendosis und Ionendosisleistung J Ionendosis der g- oder Röntgenstrahlung Q durch Ionisation hervorgerufene Ladung eines Vorzeichens in Luft von 0 °C und 101,325 kPa

C kg–1 C

391


m J˙ t l J˙0 f

Masse der durchstrahlten Luft Ionendosisleistung Zeit Zerfallskonstante Ionendosisleistung zur Zeit t0 Ionisationsäquivalent

kg A kg–1 s s–1 A kg–1 Gy kg C–1

Ionendosis ●

dQ J = –––– , dm

Q J = –– m

SI-fremde, nicht mehr gesetzliche Einheit der Ionendosis: Röntgen (R) 1 R = 2,58 · 10–4 C kg–1 Von der Ionendosis 1 R werden in trockener Luft von 0 °C und 101,325 kPa 2,08 · 109 Ionenpaare/cm3 oder 1,61·1012 Ionenpaare/g erzeugt. Einer Röntgenstrahlung oder g-Strahlung mit der Ionendosis 1 R entspricht in trockener Luft von 0 °C und 101,325 kPa eine Energiedosis von 87,7·10–4 Gy, in Wasser oder weichem tierischem Gewebe eine Energiedosis von 102 ·10–4 Gy. Ionendosisleistung ●

dJ J˙ = ––– , dt

J J˙ = –– t

Zusammenhang zwischen Energiedosis D und Ionendosis J D = fJ , D˙ = fJ˙ f ist das von der Energie der g-Strahlung oder Röntgenstrahlung und vom absorbierenden Stoff abhängige Ionisationsäquivalent. Es beträgt bei Quantenenergien zwischen 0,02 und 2,0 MeV etwa 34 Gy kg C –1 für Luft, 40 Gy kg C –1 für Wasser und weiches tierisches Gewebe, 150 Gy kg C –1 für Knochen. Zeitabhängigkeit der Ionendosisleistung bei bekannter Strahlungsquelle j ● J˙ = J˙0 exp (–lt)

Q

Integralionendosis t2

J = ∫ J˙0 exp (–lt) dt t1

J J˙0 J = –– [exp (–lt1) – exp (–lt2)] t0 t1 t2 l Bei einem Gemisch verschiedener Strahlenquellen gilt näherungsweise

●

t n J˙ ≈ J˙0 –– , t0

()

t2

t

t n J = ∫ J˙0 –– dt t0 t1

()

Der Exponent n < 0 ist vom Strahlengemisch abhängig. J˙0 ist die zur Zeit t0 gemessene Ionendosisleistung, die Zeiten t2 und t1 werden von t0 an gezählt. t1 ist die Zeit am Beginn der Strahleneinwirkung, t2 die am Ende.

392


Äquivalentdosis, Äquivalentdosisleistung H ˙ H D ˙ D q t

Äquivalentdosis (bewertete Dosis) Äquivalentdosisleistung Energiedosis Energiedosisleistung Qualitätsfaktor Zeit

Sv Sv s–1 Gy Gy s–1 1 s

Bei unterschiedlichen Strahlungen ist bei gleicher vom Menschen aufgenommener Energiedosis D die biologische Wirkung unterschiedlich. Dies wird ausgedrückt durch die Äquivalentdosis H = qD Der Qualitätsfaktor q ist außer von der Strahlenart auch von dem Organ des Menschen abhängig, welches bestrahlt wird. Für den praktischen Strahlenschutz genügt nach Empfehlungen der ICPR (Internationale Strahlenschutzkommission) und der Verordnung über den Schutz vor Schäden durch ionisierende Strahlung (Strahlenschutzverordnung – StrlSchV), mit folgenden Werten zu rechnen: Qualitätsfaktoren (Bewertungsfaktoren) Art der Strahlung

q

Röntgenstrahlung, g-Strahlung (Photonen aller Energien) Elektronen und Myonen, alle Energien Neutronen, Energie E < 10 keV und E > 20 MeV 10 keV ≤ E ≤ 100 keV, 2 MeV ≤ E ≤ 20 MeV 100 keV ≤ E ≤ 2 MeV Protonen, außer Rückstoßprotonen, E > 2 MeV a-Teilchen, Spaltprodukte, schwere Kerne

1 1 5 10 20 5 20

Rein rechnerisch erhält die Äquivalentdosis die Einheit Gy, sie wird dennoch in Sv angegeben. Es wird damit darauf verwiesen, dass oft (für q 1) die Zahlenwerte für H und D nicht übereinstimmen. Nur für q = 1 ist 1 Sv = 1 Gy. SI-fremde, nicht mehr gesetzliche Einheit der Äquivalentdosis 1 rem = 10–2 Sv Äquivalentdosisleistung H D ˙ = dH ˙ = –– ˙ ––– , H H = q –– = qD dt t t SI-fremde, nicht mehr gesetzliche Einheiten der Äquivalentdosisleistung 1 rem h–1 = 2,778 mSv s–1 1 rem s–1 = 10–2 Sv s–1,

393


Mittlere Äquivalentdosisleistungen in Deutschland Strahlung

H˙ –––––––1 – mSv a

Kosmische Strahlung Terrestrische Strahlung Durch Inhalation und Ingestion aufgenommene natürliche Radioaktivität Zivilisatorische Strahleneinwirkung

0,3 0,5 1,6 2,0

Grenzwerte für Äquivalentdosisleistungen bei zusätzlicher Belastung nach StrlSchV (Auswahl) H˙ –––––––1 – mSv a Beschäftigte

Anwendung

Bevölkerung

Ganzer Körper, effektive Dosisleistung 20 (Mittel über 5 a) 1 Augenlinse 150 15 Haut, Hände und Füße 500 50 ˙ Ti sind Dosisleistungen und wTi WichEffektive Äquivalentdosisleistung (H tungsfaktoren für Organe Ti , z. B. wT für Keimdrüsen 0,2; für die Haut 0,01) i=n

i=n

j=m

i =1

i =1

j =1

˙T= H˙ eff = ∑ wTi H

∑ wTi ∑ q Tj D˙ Ti, j

Dosisleistungskonstante GH A r H H˙ t

Dosisleistungskonstante (für Strahlenschutz) Aktivität einer punktförmigen Strahlenquelle Abstand des Messpunktes von der Strahlenquelle Äquivalentdosis Äquivalentdosisleistung Zeit

Sv m2 s–1 Bq–1 Bq m Sv Sv s–1 s

Bei Vernachlässigung der Luftabsorption und konstanter Aktivität gilt A A ˙ = GH –– H = GH ––2 t , H r r2 Die Dosisleistungskonstante GH lässt sich theoretisch nur schwierig erfassen, da sie bei ein und demselben Radionuklid von dem prozentualen Anteil der Energien der Quanten abhängt, die von diesem ausgehen, und von der Energie der Quanten selbst. Sie wird experimentell bestimmt und löst die früher verwendete spezifische Gammastrahlenkonstante G mit der SI-Einheit C m2 kg–1 und der SI-fremden, nicht mehr gesetzlichen Einheit R m2 h–1 Ci–1 ab. Es entsprechen 1 C m2 kg–1 G 1,394 · 105 Sv m2 h–1Bq–1 = 38,72 Sv m2 s–1 Bq–1 und 1 R m2 h–1 Ci–1 G 0,270 mSv m2 h–1 GBq–1 = 7,5 · 10–17 Sv m2 s–1 Bq

Q

394


Dosisleistungskonstante einiger g-Strahler Nuklid

Massenzahl

Natrium

22 24 42 40 59 60 64 65 75 82 131 130 134 137 140 144 152 154 155 170 182 192 198 226 228 238

Kalium Eisen Cobalt Kupfer Zink Selen Brom Iod Cäsium Lanthan Cer Europium Thulium Tantal Iridium Gold Radium Thorium Uran

Schwächung von b-Strahlung y0 Strahlungsflussdichte (Energieflussdichte) der Strahlung vor dem Absorber y Strahlungsflussdichte (Energieflussdichte) der Strahlung hinter dem Absorber Rmax maximale Reichweite d1/2 Halbwertsdicke d Dicke des Absorbers m linearer Schwächungskoeffizient r Dichte des Absorbers Emax maximale Energie der b-Strahlung (→ Isotopentabelle und Zerfallsreihen) Schwächungsgesetz ● y = y0 exp (–md )

GH ––––––––––––––– mSv m2 h–1 GBq–1 0,31 0,48 0,037 0,50 0 17 0,34 0,31 0,73 0,04 0,38 0,056 0,32 0,31 0,081 0,31 0,005 0,13 0,16 0,009 0,000 7 0,16 0,13 0,06 0,22 0,18 0,002 4

W m–2 W m–2 m m m m kg m–3 J

395


Schwächungskoeffizient für Elektronenenergien Emax > 0,5 MeV r –––––– m kg m–3 –––– ≈ 0,022 ––––––––– – cm–1 Emax 1,333 ––––– MeV

( )

Halbwertsdicken und maximale Reichweiten einiger b-Strahler, gemessen in Aluminium Nuklid

d1/2 ––– mm

Rmax ––– mm

Sr-90 und Y-90 Kr-85 S-35 C-14

0,59 0,093 0,01 0,007

4,06 1 0,11 0,1

Schwächung von g-Strahlung Übersicht über die Arten der Wechselwirkung von g-Strahlen mit stofflicher Materie Wechselwirkung des Quants

Bezeichnung der Wechselwirkung

Wechselwirkung tritt auf bei folgenden Energien

Wechselwirkung bestimmt die Absorption bei folgenden Energien (Richtwerte)

Mit Elektron der Hülle

klassische Streuung (RayleighStreuung) Fotoeffekt

E < 0,1 MeV

–

E < 2 MeV

für Elemente mit niederer Ordnungszahl Z E < 0,2 MeV bei höherer Ordnungszahl E < 0,8 MeV bei niederem Z 0,2 MeV < E < 10 MeV bei höherem Z 0,8 MeV < E < 5 MeV bei niederem Z E > 10 MeV bei höherem Z E > 5 MeV –

ComptonEffekt

Im Paarbildung CoulombFeld des Kernes Mit einem KernfotoKern effekt

E < 15 MeV

E > 1,02 MeV

E > 10 MeV

Q

396


Fotoeffekt E WA m

√ Z s f ●

Energie des auftreffenden Quants Bindungsenergie des Elektrons (Austrittsarbeit) Masse des Elektrons Geschwindigkeit des abgelösten Elektrons Ordnungszahl Wirkungsquerschnitt Frequenz 1 E = WA + – m√ 2 , 2

J J kg m s–1 1 m2 Hz

E = hf

Etwa 80 % des Fotoeffektes finden in der K-Schale statt. Mikroskopischer Wirkungsquerschnitt für den Fotoeffekt s 100Z 5 ––– ≈ –––––––– für 0,3 MeV < E < 2 MeV 2 fm E 2 ––––– MeV

( )

s 100Z 5 ––– ≈ –––––– für E > 2 MeV fm2 E ––––– MeV Compton-Effekt Dl lC me c h q E E0 f0 f WA

√e

Wellenlängenänderung des g-Quants Compton-Wellenlänge Ruhemasse des Elektrons Lichtgeschwindigkeit im Vakuum Planck’sches Wirkungsquantum Streuwinkel Energie des gestreuten g-Quants Energie des primären g-Quants Frequenz des auftreffenden Quants Frequenz des gestreuten Quants Austrittsarbeit Geschwindigkeit des Elektrons

Energiebilanz ●

1 hf 0 = WA + – me √ e2 + hf 2

m m kg m s–1 Js ° J, MeV J, MeV Hz Hz J m s–1

397


Wellenlängenänderung

gestreutes γ -Quant hf0 hf ϑ c c

h Dl = ––– (1 – cos q) mec

auftreffendes γ -Quant Elektron

Dl ––– = 2,4263102 · 10–12 (1 – cos q) m

mev

Compton-Wellenlänge des Elektrons ●

h lC = –––– mec

lC = 2,426 310 238 · 10–12 m

Energie des gestreuten g-Quants E 0,51 ––––– = –––––––––––––––– MeV 0,51 1 – cos q + ––––– E0 –––– – MeV Wirkungsquerschnitt für den Compton-Effekt

[ (

) ]

s 300 E ––– ≈ –––––– ln 2,92 ––––– + 0,5 2 fm E MeV 8 ––––– MeV Paarbildung E me m c

√e – √e + Z s h f

Energie des g-Quants Ruhemasse des Elektrons Masse des bewegten Elektrons Lichtgeschwindigkeit im Vakuum Geschwindigkeit des Elektrons Geschwindigkeit des Positrons Ordnungszahl mikroskopischer Wirkungsquerschnitt Planck’sches Wirkungsquantum Frequenz des g-Quants

●

1 E = 2mec + – m (√ 2e– + √ 2e+) 2

●

E = hf

2

J kg kg m s–1 m s–1 m s–1 1 m2 Js Hz

Q

K

e+

γ -Quant e– Kernkraftfeld

398


Für die Paarbildung ist ein g-Quant mit der Mindestenergie 2me c2 = 1,637 · 10–13 J = 1,02 MeV erforderlich. Die Paarbildung erfolgt im Kernkraftfeld eines Atomkernes hoher Ordnungszahl. Wirkungsquerschnitt bei Paarbildung E ––––– – 1,02 s MeV ––– ≈ 0,18Z 2 ––––––––––– fm2 0,51 Schwächungsgesetz für g-Strahlung y0

E

Strahlungsflussdichte (Energieflussdichte) der Strahlung vor dem Absorber Strahlungsflussdichte (Energieflussdichte) der Strahlung hinter dem Absorber Dicke des Absorbers Halbwertsdicke Schwächungskoeffizient Schwächungskoeffizient für Fotoeffekt Schwächungskoeffizient für Compton-Effekt Schwächungskoeffizient für Paarbildung Relaxationslänge Dichte des Absorberstoffes prozentualer Anteil eines Stoffes an einem Stoffgemisch Energie der Strahlung

●

y = y0 exp (– md) für monochromatische Strahlung

y d d1/2 m mF mC mP lR r p

W m–2 W m–2 m m m–1 m–1 m–1 m–1 m kg m–3 % J, MeV

Schwächungskoeffizient ●

m = mF + mC + mP

Massenschwächungskoeffizient für Gemische oder chemische Verbindungen m –– = r

n

∑ ––r p mi

i =1

i

Relaxationslänge 1 lR = –– m Halbwertsdicke ●

0,693 d1/2 = ––––– m

i

399


Bei praktischen Berechnungen ist es besonders bei nichtmonochromatischer Strahlung zweckmäßig, mit experimentell ermittelten Halbwertsdicken zu arbeiten und folgende Gleichung zu verwenden: ●

y = y0 2

d – –––– d1/2

Man bezeichnet d – –––– d1/2

k=2

als Schwächungsfaktor. Bei mehreren Schichten mit unterschiedlichen Halbwertsdicken und damit verschiedenen Schwächungsfaktoren k1, …, kn ist k = k1k2k3 … kn Schwächungskoeffizienten einiger Stoffe für die g-Strahlung des Cobalts 60 Stoff

r ––––––––– 10 3 kg m–3

m –––––– 10 2 m–1

Blei Stahl Gusseisen Beton

11,34 7,7 7,4 3,2 2,7 2,4 2,05 1,7 1,45

0,53 0,34 0,3 0,14 0,12 0,1 0,09 0,075 0,065

Ziegel

Q

Halbwertsdicken für g-Strahlung bei einigen Stoffen E ––––– MeV 0,25 0,5 1,0 2,0 3,0 5,0 10,0

d1/2 ––– cm Aluminium

Kupfer

Eisen

Blei

2,4 3,1 4,3 6,1 7,1 9,25 11,35

0,76 1 1,4 1,96 2,17 2,57 2,24

– 1 1,5 2,23 2,28 2,84 3,24

– 0,41 0,87 1,39 1,57 1,45 1,14

400


Schwächungskoeffizienten einiger Stoffe für verschiedene Quantenenergien E m ––––– ––––––– 2 MeV 10 m–1

0,25 0,50 0,75 1,0 1,25 1,50 1,75 2,0 2,25 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00

Blei Wasser

Luft

Koh- Alu- Eisen Kup- Beton ––––––––––––––– len- mifer I II III stoff nium

– 1,7 1,05 0,8 0,66 0,58 0,54 0,5 0,48 0,44 0,44 0,44 0,44 0,46 0,48 0,51 0,53 0,55 0,58 0,61 0,7 0,8 0,9 1,02

3,8 ·10–5 3,8 ·10–5 – 3,6 ·10–5 – 3,4 ·10–5 – 3,2 ·10–5 – – 2,7 · 10–5 – – – 2,4 · 10–5 – – – – 1,7 · 10–5 – – – –

0,26 0,20 0,17 0,15 0,13 0,12 0,114 0,106 – 0,087 0,083 0,078 0,069 – – – – – – – – – – –

0,12 0,095 – 0,069 – 0,057 – 0,048 – 0,043 0,038 – – – 0,030 – – – – 0,022 0,017 – – 0,015

Beton I: r = 2,3 · 103 kg m–3 Beton II: r = 3,5 · 103 kg m–3 Beton III: r = 4,5 · 103 kg m–3

0,29 0,22 0,19 0,16 0,146 0,132 0,122 0,115 – 0,105 0,098 0,095 0,086 0,078 0,075 0,071 0,068 0,065 0,063 0,061 0,054 0,058 – 0,061

– 0,665 0,544 0,469 0,413 0,370 0,337 0,313 – 0,280 – – – – 0,244 – 0,229 – – 0,214 – – – –

0,91 0,70 0,58 0,50 0,45 0,41 0,38 0,35 – 0,33 0,32 0,31 0,30 0,28 0,27 0,28 0,30 0,30 0,31 0,31 0,32 0,34 0,36 0,38

0,25 0,20 0,17 0,15 – 0,122 – 0,105 – – 0,085 – – – 0,067 – 0,057 – – 0,05 0,046 0,046 – 0,048

– 0,30 – 0,23 – 0,18 – 0,14 – – – – – – – – – – – – – – – –

– 0,37 – 0,29 – 0,23 – 0,17 – – – – – – – – – – – – – – – –

401


Halbwertsdicken bei mittleren Quantenenergien von 2,5 MeV Stoff

d1/2 ––– cm

Stoff

d1/2 ––– cm

Blei Kupfer Stahl Aluminium Beton

1,6 2,1 2,8 6,5 10

Erde Wasser Holz lockerer Schnee Luft

15 20 15 50 25 000

Schwächung von Neutronenstrahlung E A y0 y d1/2

Energie der Neutronen Massenzahl Strahlungsflussdichte vor dem Absorber Strahlungsflussdichte hinter dem Absorber Halbwertsdicke

J, eV 1 W m–2 W m–2 m

Übersicht über die wichtigsten Wechselwirkungen von Neutronen mit Atomkernen Massenzahl der Wechselwirkung Kerne des Absorberstoffes

Wechselwirkung tritt auf für folgende Energien (Richtwerte)

A < 25

elastische Streuung

E < 1 MeV

unelastische Streuung

E > 1 MeV

elastische Streuung

E < 1 MeV

Strahlungseinfang (Neutroneneinfang), (n, g)-Reaktion

E < 1 MeV


E > 1 MeV

Absorption; (n, p)-, (n, a)und (n, n)-Reaktionen

E > 1 MeV

Absorption, Spaltung

E < 1 keV

elastische Streuung

1 keV < E < 1 MeV


E > 1 MeV

Absorption; (n, p)-, (n, a)und (n, 2n)-Reaktionen

E > 1 MeV

25 < A < 100

A > 100

Q

402


Wirkungsquerschnitt von Neutronen → S. 378/379 Näherungsgleichung zur Berechnung der Schwächung von Neutronenstrahlung d– – ––– d1/2

y ≈ y0 2

Halbwertsdicken (Richtwerte) für Neutronenstrahlung (Neutronenenergie > 0,1 MeV) Stoff

d1/2 ––– cm

Stoff

d1/2 ––– cm

Wasser Stahl Blei

3 4,5 9

Holz Erde Beton

10 12 12

10

Häufig benötigte physikalische Konstanten (Fundamentalkonstanten) nach CODATA 2010

Hinweis: Die Ziffern in Klammern hinter dem Zahlenwert sind die Standardmessunsicherheiten der letzten Stellen des Wertes der Konstanten. Die angegebenen Konstanten sind wie die folgenden Beispiele zu lesen: F = NAe = (96485,336 5 ± 0,002 1) C mol–1; NA = (6,022 14129 ± 0,00000027) · 1023 mol–1 Atommassenkonstante (atomare Masseneinheit) mu = m(12C)/12 = 1 u = 1,660538921(73) · 10–27 kg Energieäquivalent der Atommassenkonstante c2 · 1 u = 931,494061(21) MeV = 1,492 417954(66) · 10–10 J Avogadro-Konstante NA = F/e = 6,02214129(27) · 1023 mol–1 Bohr-Magneton _ mB = eh/(2me) = 9,27400968(20) · 10–24 J T–1 Bohr-Radius a0 = a/(4pR∞) = 0,529177 21096(17) · 10–10 m Boltzmann-Konstante k = R/NA = 1,380648 8(13) · 10–23 J K–1 = 8,617332 4(75) eV K–1 Compton-Wellenlänge – des Elektrons lC = h/(mec0) = 2,4263102389(16) · 10–12 m – des Neutrons lC, n = h/(mnc0) = 1,3195909068(11) · 10–15 m – des Protons lC, p = h/(mpc0) = 1,32140985623(94) · 10–15 m

K

404

10 Häufig benötigte physikalische Konstanten

Drehimpulsquantum _ h = h/(2p) = 1,054 571726(47) · 10–34 J s = 6,58211928(15) · 10–16 eV s Elementarladung (elektrische Ladung des Protons (bzw. mit negativem Vorzeichen des Elektrons)) e = 1,602176565(35) · 10–19 C e – = 2,417989348(53) · 1014 A J–1 h Elektrische Feldkonstante e0 = 1/(m0 c 2) = 8,8541878176 … · 10–12 F m–1 Elektronenradius (klassischer) re = a2a0 = 2,8179403267(27) · 10–15 m Elektronvolt 1 eV = 1,602176 565(35) · 10–19 J Faraday-Konstante F = NAe = 96 485,3365(21) C mol–1 Feinstrukturkonstante (Sommerfeld-Feinstrukturkonstante) a = m0 ce 2/(2h) = 7,2973525698(24) · 10–3 a–1 = 137,035999874(44) Flussquant (magnetisches) F0 = h/(2e) = 2,067833758(46) · 10–15 Wb g-Faktor des Elektrons ge = – 2,002319304 36153(33) Gaskonstante, universelle (molare) R = 8,314 4612(75) J mol–1 K–1 Gravitationskonstante G = 6,67384(80) · 10–11 m3 kg–1 s–2

(exakt)


405

Gyromagnetisches Verhältnis des Protons _ gp = 2mp /h = 2,675222005(63) · 108 s–1 T–1 Josephson-Konstante KJ = 2e/h = 483,597870(11) · 1012 Hz V–1 Kernmagneton _ mN = eh/(2mp) = 5,05078353(11) · 10–27 J T–1 = 3,152 4512605(22) · 10–8 eV T–1 Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c = c0 = 2,99792458 · 108 m s–1

(exakt)

Loschmidt-Konstante (101,325 kPa, 273,15 K) n0 = NA/Vm = 2,6867805(24) · 1025 m–3 Magnetische Feldkonstante m0 = 4p · 10–7 N A–2 = 12,566370614 … · 10–7 N A–2 (1 N A–2 = 1 H m–1)

(exakt)

Magnetisches Moment – des Elektrons me = – 9,284 76764(30) · 10–24 J T–1 me/mB = – 1,00115965218076(21) me/mN = – 1,83828197090(75) · 103 – des Neutrons mn = – 0,966236417(23) · 10–26 J T–1 mn/mB = – 1,04187563(25) · 10–3 mn/mN = – 1,913 04272(45) – des Protons mp = 1,410606743(33) · 10–26 J T–1 mp/mB = 1,521032210(12) · 10–3 mp/mN = 2,792 847 356(23) – des Myons mm = – 4,490 44807(15) · 10–26 J T–1 – des Deuterons md = 0,433073 489(39) · 10–26 J T–1

K

406


Molare Masse des Kohlenstoffisotops C-12 M(126C) = 0,012 kg/mol

(exakt)

Molares (stoffmengenbezogenes) Volumen des idealen Gases Vm = V0 = 22,4139968(20) · 10–3 m3 mol–1 für 273,15 K und 101,325 kPa Vm = 22,7109953(21) · 10–3 m3 mol–1 für 273,15 K und 100 kPa Normfallbeschleunigung gn = 9,80665 m s–2

(exakt, international festgelegt)

Planck’sche Strahlungskonstanten 1. Strahlungskonstante c1 = 2phc 2 = 3,74177153(24) · 10–16 W m2 2. Strahlungskonstante c2 = hc/k = 1,4387770(13) · 10–2 m K Planck’sches Wirkungsquantum (Planck-Konstante) h = 6,62606857(29) · 10–34 J s = 4,135667516(91) · 10–15 eV s Quanten-Hall-Widerstand (Von-Klitzing-Konstante) RK = h/e 2 = 25,8128074434(84) · 103 W Quotient aus Ruhemassen – des Deuterons und des Protons md/mp = 1,999007500 97(10) – des Neutrons und des Protons mn/mp = 1,001378 41917(45) – des Neutrons und des Elektrons mn/me = 1838,683 6605(11) – des Protons und des Elektrons mp/me = 1836,152 672 45(41) – des Alpha-Teilchens und des Protons ma/mp = 3,97259968933(36) – des Myons und des Elektrons mm/me = 206,7682843(52)


407

Relative Atommasse – des Deuterons Ard = 2,013553212712(77) – des Elektrons Are = 0,54857990964(22) · 10–3 – des Neutrons Arn = 1,00866491600(43) – des Protons Arp = 1,007276 466012(90) – des Alpha-Teilchens Ara = 4,001506179125(62) – des Myons Arµ = 0,113 4289267(29) Ruhemasse und ihr Energieäquivalent – des Deuterons md = 3,34358348(15) · 10–27 kg, mdc2 = 1875,612 859(41) MeV – des Elektrons me = 9,109 38291(40) · 10–31 kg,

mec2 = 0,510998 928(11) MeV

– des Neutrons mn = 1,674927351(74) · 10–27 kg, mnc2 = 939,565 379(21) MeV – des Protons mp = 1,672621777(74) · 10–27 kg, mpc2 = 938,272 046(21) MeV – des Wasserstoffatoms (H) mH = 1,673 5340(10) · 10–27 kg,

mHc2 = 938,783 826(40) MeV

– des Alpha-Teilchens ma = 6,64465675(22) · 10–27 kg, mac2 = 3 727,379240(82) MeV – des Myons mm = 1,883531475(56) · 10–28 kg, mmc2 = 105,658 371 5(35) MeV Rydberg-Frequenz R′∞ = R ∞ c = 3,289841960364(17) · 1015 Hz Rydberg-Konstante R ∞ = a2mec/(2h) = 1,0973731568539(55) · 107 m–1

K

408


Spezifische elektrische Elektronenladung –e/me = – 1,758820033(39) · 1011 C kg–1 Spezifische elektrische Protonenladung e/mp = 9,57883358(21) · 107 C kg–1 Standard-Atmosphäre (Normalluftdruck) pn = pst = 101325 Pa

(exakt, international festgelegt)

Stefan-Boltzmann-Konstante s = 2p5k 4/(15c 2h3) = 5,670373(21) · 10–8 W m–2 K–4 Wellenwiderstand des Vakuums G = m0 c = 376,730313461 … W Wien-Konstante b = 2,8977721(26) · 10–3 m K Zirkulationsquant h/(2me) = 3,6369475520(24) · 10–4 m2 s–1

(exakt)

11

Grundlagen der Vektorrechnung

11.1

Vektoralgebra

Komponentendarstellung des Vektors in einem rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem A៬ Vektor Ax, Ay, Az i៬, j៬, k៬ ●

skalare Komponenten des Vektors A៬ in Richtung der x-, y- und z-Achse Einheitsvektoren in Richtung der x-, y- und z-Achse

A៬ = Axi៬ + Ay j៬ + Az k៬

Betrag des Vektors A Ax, Ay, Az

●

Betrag des Vektors A៬ skalare Komponenten des Vektors A៬ in Richtung der x-, y- und z-Achse

z

Az A

A= A x2 + A y2 + A 2z k i

Ay

Ax

y

j

x z

Radiusvektor x, y, z i៬, j៬, k៬ r៬ r

Koordinaten des Punktes P Einheitsvektoren in Richtung der x-, y- und z-Achse Radiusvektor Betrag des Radiusvektors

●

r៬ = xi៬ + yj៬ + zk៬

●

r = x2 + y2 + z2

P

V

r k i j x

y

410


Addition und Subtraktion von Vektoren A៬, B៬ S៬ D៬

Vektoren Summenvektor Differenzvektor

●

S៬ = A៬ + B៬ ,

D

S

A

D៬ = A៬ – B៬

B

Kommutatives Gesetz A៬, B៬ ●

Vektoren A៬ + B៬ = B៬ + A៬

Assoziatives Gesetz A៬, B៬, C៬ Vektoren ●

(A៬ + B៬) + C៬ = (B៬ + C៬) + A៬ = (C៬ + A៬) + B៬

Produkt eines Vektors mit einem Skalar A៬ A A៬0 n C៬

Vektor Betrag des Vektors A៬ Einheitsvektor in Richtung des Vektors A៬ Skalar Vektor (Produkt des Vektors A៬ mit dem Skalar n)

●

C៬ = nA៬,

A៬ = AA៬0

A៬

➤

C៬

➤

Skalares Produkt zweier Vektoren A៬, B៬ A B (A៬, B៬) Ax, Ay, Az Bx, By, Bz i៬, j៬, k៬

Vektoren Betrag des Vektors A៬ Betrag des Vektors B៬ Winkel zwischen den Vektoren A៬ und B៬ skalare Komponenten des Vektors A៬ in Richtung der x-, yund z-Achse skalare Komponenten des Vektors B៬ in Richtung der x-, y- und z-Achse Einheitsvektoren in Richtung der x-, y- und z-Achse

Das skalare Produkt A៬ · B៬ ist definiert als ●

A៬ · B៬ = AB cos (A៬, B៬)

411

11.1 Vektoralgebra

Komponentendarstellung A៬ · B៬ = Ax Bx + Ay By + Az Bz Eigenschaften A៬ · B៬ = B៬ · A៬ , A៬ · A៬ = A2 ,

i៬ 2 = j៬ 2 = k៬ 2 = 1 i៬ · j៬ = j៬ · k៬ = k៬ · i៬ = 0

Vektorielles Produkt zweier Vektoren A៬, B៬ A B (A៬, B៬) Ax, Ay, Az Bx, By, Bz i៬, j៬, k៬ P៬ P

Vektoren Betrag des Vektors A៬ Betrag des Vektors B៬ Winkel zwischen den Vektoren A៬ und B៬ skalare Komponenten des Vektors A៬ in Richtung der x-, yund z-Achse skalare Komponenten des Vektors B៬ in Richtung der x-, yund z-Achse Einheitsvektoren in Richtung der x-, y- und z-Achse Produktvektor Betrag des Produktvektors

Das Vektorprodukt A៬ × B៬ zweier Vektoren A៬ und B៬ ist ein Vektor P៬, dessen Betrag gleich dem Betrag des Flächeninhaltes AB sin (A៬, B៬) des von den Vektoren A៬ und B៬ aufgespannten Parallelogramms ist, der auf diesem senkrecht steht und so gerichtet ist, dass die drei Vektoren A៬, B៬ und P៬ in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden. Komponentendarstellung ●

i៬ P៬ = A៬ × B៬ = Ax Bx

|

j៬ Ay By

k៬ Az Bz

P

|

B

P = AB sin (A៬, B៬)

A×B (A,B) A

Eigenschaften A៬ × B៬ = – B៬ × A៬, A៬ × A៬ = 0 i៬ × i៬ = 0, i៬ × j៬ = k៬, i៬ × k៬ = – j៬,

A៬ × (B៬ + C៬ ) = A៬ × B៬ + A៬ × C៬

j៬ × i៬ = – k៬, j៬ × j៬ = 0, j៬ × k៬ = i៬,

k៬ × i៬ = j៬ k៬ × j៬ = – i៬ k៬ × k៬ = 0

V

412


Spatprodukt (skalares Produkt eines Vektors mit einem Vektorprodukt) A៬, B៬, C៬ Ax, Ay, Az Bx, By, Bz Cx, Cy, Cz

Vektoren skalare Komponenten des Vektors A៬ in Richtung der x-, y- und z-Achse skalare Komponenten des Vektors B៬ in Richtung der x-, y- und z-Achse skalare Komponenten des Vektors C៬ in Richtung der x-, y- und z-Achse

Das Spatprodukt ist ein Skalar und gleich dem Volumen des von den drei Vektoren A៬, B៬ und C៬ aufgespannten Spates C

ABC B A

●

A៬B៬ C៬ = A៬ · (B៬ × C៬ ) A៬ · (B៬ × C៬ ) = B៬ · (C៬ × A៬) = C៬ · (A៬ × B៬)

●

|

|

Ax Ay Az Das Spatprodukt ist gleich null, falls die VekA៬B៬ C៬ = Bx By Bz toren A៬, B៬ und C៬ in einer Ebene liegen. Cx Cy Cz

Vektorprodukt eines Vektors mit einem Vektorprodukt A៬, B៬, C៬

Vektoren

Entwicklungssatz A៬ × (B៬ × C៬ ) = (A៬ · C៬ )B៬ – (A៬ · B៬)C៬ Skalares Produkt zweier Vektorprodukte A៬, B៬, C៬, D៬ Vektoren (A៬ × B៬) · (C៬ × D៬) = (B៬ · D៬) (A៬ · C៬ ) – (B៬ · C៬ ) (A៬ · D៬) Vektorielles Produkt zweier Vektorprodukte A៬, B៬, C៬, D៬ Vektoren (A៬ × B៬) × (C៬ × D៬) = B៬ (C៬D៬ A៬) – A៬(C៬D៬ B៬)

11.2 Vektoranalysis (Differenzialoperationen)

11.2

413

Vektoranalysis (Differenzialoperationen)

Gradient skalare Ortsfunktion, V = V(x, y, z) Ortsvektor Gradient der skalaren Ortsfunktion V

V r៬ grad V ●

∂V ∂V ∂V grad V = – – i៬ + – – j៬ + –––– k៬ ∂x ∂y ∂z

●

∂ ∂ ∂ ∂ grad V = –––– i៬ + ––– j៬ + – – k៬ V = – – V ∂x ∂y ∂z ∂r៬

(

)

Der Gradient ist ein Vektor. Divergenz A៬ r៬ Ax, Ay, Az div A៬

vektorielle Ortsfunktion, A៬ = A៬(x, y, z) Ortsvektor skalare Komponenten des Vektors A៬ in Richtung der x-, yund z-Achse Divergenz des Vektors A៬

●

∂Ax ∂Ay ∂Az div A៬ = – –– + – –– + – –– ∂x ∂y ∂z

●

∂ ∂ ∂ ៬ ៬ ∂ – k · A = ––– ·A៬ div A៬ = – – i៬ + – – j៬ + ––– ∂x ∂y ∂z ∂r៬

(

)

Die Divergenz ist ein Skalar. Rotation A៬ r៬ Ax, Ay, Az rot A៬

vektorielle Ortsfunktion, A៬ = A៬(x, y, z) Ortsvektor skalare Komponenten des Vektors A៬ in Richtung der x-, yund z-Achse Rotation des Vektors A៬

(

)

●

∂ ∂ ៬ ∂ ∂ – j + – – k៬ × A៬ = –––– ·A៬ rot A៬ = –––– i៬ + ––– ∂x ∂y ∂z ∂r៬

●

i៬ ∂ rot A៬ = –– ∂x Ax

j៬ ∂ ––– ∂y Ay

k៬ ∂ –– ∂z Az

| |

Die Rotation ist ein Vektor.

V

414


Nabla-Operator und Laplace-Operator (Delta-Operator) D r៬ V A៬ grad div rot i៬, j៬, k៬

Nabla-Operator Laplace-Operator (Delta-Operator) Ortsvektor skalare Ortsfunktion vektorielle Ortsfunktion Gradient Divergenz Rotation Einheitsvektoren

●

∂ ∂ ∂ ៬ ∂ – k = –– = – – i៬ + – – j៬ + ––– ∂x ∂y ∂z ∂r៬

●

∂2 ∂2 ∂2 D = ––––2 + ––––2 + ––––2 ∂y ∂z ∂x

Gradient, Divergenz, Rotation und Delta-Operator lassen sich mit Hilfe des Nabla-Operators darstellen: ●

grad V = V,

D =

●

div A៬ = · A៬,

DV = div grad V

●

rot A៬ = × A៬,

DA៬ = grad div A៬ – rot rot A៬

Differenzialoperationen mit Produkten U, V A៬, B៬ grad div rot

skalare Ortsfunktionen Vektoren Gradient Divergenz Rotation

●

grad (UV) = U grad V + V grad U

●

div (UA៬) = A៬ · grad U + U div A៬

●

rot (UA៬) = grad U × A៬ + U rot A៬

●

div (A៬ × B៬) = B៬ · rot A៬ – A៬ · rot B៬

Zweite Ableitungen U A៬

skalare Ortsfunktion vektorielle Ortsfunktion

11.2 Vektoranalysis (Differenzialoperationen)

D grad div rot

Laplace-Operator Gradient Divergenz Rotation

●

div grad U = DU,

div rot A៬ = 0

●

rot grad U = 0,

rot rot A៬ = grad div A៬ – DA៬

415

Integralsatz von Gauß D៬ dA៬ V div

Vektor Flächenelement Volumen Divergenz

●

D៬ · dA៬ = ∫ ∫ ∫ div D៬ dV

Integralsatz von Stokes E៬ s៬ dA៬ rot

Vektor Weg Flächenelement Rotation

●

E៬ · ds៬ = ∫∫

rot E៬ · dA៬

V

12

Grundlagen der Fehlerrechnung

Messabweichungen Dx Dxs Dxz x xE

Größtabweichung (absoluter Größtfehler) systematische Messabweichung (systematischer absoluter Fehler) zufällige (statistische) Messabweichung (zufälliger absoluter Fehler) Messwert Messergebnis (Erwartungswert der Messgröße)

Die mögliche Größtabweichung Dx ist die Summe der Beträge von Dxs und Dxz Dx = Dxs + Dxz Die Messabweichung wird in der Literatur auch Messunsicherheit oder absoluter Fehler genannt. Dx –––– ist die relative Messabweichung (der relative Fehler), er wird meistens in x % angegeben. Die systematische Messabweichung Dxs wird entweder angegeben oder durch einen Vergleich mit einem sehr viel genauerem Gerät näherungsweise ermittelt. Eine experimentelle Bestimmung ist aufwändig und erfordert Erfahrung in der Messtechnik. Oft muss Dxs sinvoll abgeschätzt werden. Die zufällige Messabweichung Dxz kann durch Messreihen erfasst werden. Wird die Messgröße nur einmal gemessen, muss Dxz ebenfalls abgeschätzt werden. Messergebnis (Erwartungswert der Messgröße) bei einmaliger Messung: xE = x ± Dx

(

)

Dx xE = x 1 ± –––– x

Auswertung von Messreihen xi n x¯ s xE t Dx¯z Dxs Dx

Messwerte Anzahl der Messwerte Mittelwert (arithmetisches Mittel) der Messwerte Standardabweichung Messergebnis (Erwartungswert der Messreihe) Student-Faktor zufällige Messabweichung des Mittelwertes, Streubreite des Mittelwertes systematische Abweichung Größtabweichung

417


Mittelwert einer Messreihe 1 x¯ = –– (x1 + x2 + x3 + … xn ) n

1 x¯ = –– n

i =n

∑ xi

i =1

Standardabweichung einer Messreihe bei Normalverteilung der Messwerte s=

1 –––– [(x1 – x¯ )2 + (x2 – x¯ )2 + (x3 – x¯ )2 + … + (xn – x¯ )2] n –1

s=

1 i =n –––– ∑ (xi – x¯ )2 n – 1 i =1

s=

1 –––– n –1

(∑

)

i =n

x2i – nx¯ 2

i=1

Zufällige Messabweichung (Streubreite des Mittelwertes) bei Normalverteilung der Messwerte s Dx¯ z = t ––– n Der Student-Faktor richtet sich nach der Anzahl der Messungen und der statistischen Sicherheit, die für das betreffende Messergebnis gefordert wird. Statistische Sicherheit(Vertrauensniveau)für den gewünschtenVertrauensbereich Vertrauensniveau

Anwendung

Vertrauensbereich

68,3 % 95,4 % 99,7

physikalische Messtechnik industrielle Messtechnik biologische Messtechnik

x¯ – s ≤ xE ≤ x¯ + s x¯ – 2s ≤ xE ≤ x¯ + 2s x¯ – 3s ≤ xE ≤ x¯ + 3s

Student-Faktor Anzahl der Messungen n

Statistische Sicherheit (Vertrauensniveau) 68,3 % 95,4 % 99,73 % 99,994 %

5 10 20 50 100

1,11 1,05 1,03 1,01 1,00

2,65 2,28 2,13 2,05 2,02

5,51 3,96 3,42 3,16 3,08

12,28 6,57 5,04 4,37 4,18

Messergebnis (Erwartungswert) bei dominierender zufälliger Messabweichung xE = x¯ ± Dx¯ z

F

418


Die Berücksichtigung der systematischen Messabweichung ergibt mit der Größtabweichung Dx = Dx¯ z + Dxs als Messergebnis xE = x¯ ± Dx Gauss- oder Normalverteilung bei Messreihen (x–x¯ )2

––––2–– 1 f(x) = –––––– e 2s s 2p Fehlerfortpflanzung xi x¯i Dxi Dx¯ zi k sxi y y¯ sy yE Dy Dy¯ z ai ni ∂f ––– – ∂xi

direkte Messgrößen Mittelwerte der direkten Messgrößen Messabweichungen der direkten Messgrößen zufällige Messabweichungen des Mittelwertes der direkten Messgrößen Anzahl der direkten Messgrößen Standardabweichungen der direkten Messgrößen indirekte Messgröße Mittelwert der indirekten Messgröße Standardabweichung der indirekten Messgröße Messergebnis (Erwartungswert) der indirekten Messgröße Messabweichung der indirekten Messgröße zufällige Messabweichung des Mittelwertes der indirekten Messgröße Konstanten, positiv oder negativ konstante Exponenten, positiv oder negativ partielle Ableitungen der Funktion y = f(xi ) nach den einzelnen Variablen xi

Werden für die direkten Messgrößen Messreihen ermittelt und wird beachtet, dass sich die zufälligen Messabweichungen des Mittelwertes Dx¯zi der direkten Messgrößen zumindest teilweise ausgleichen, erhält man nach Gauss für die indirekte Messgröße y = f(x1, x2 , x3 , …, xk) = f(xi )

419


die Standardabweichung aus dem quadratischen Fehlerfortpflanzungsgesetz 2 2 2 ∂f ∂f ∂f ∂f –––– sx1 + –––– sx2 + –––– sx3 + … + –––– sxk ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂xk

( ) ( ∑( )

sy =

i =k

sy =

i =1

∂f –––– sxi ∂x1

) (

)

(

)

2

2

Bei einem Vertrauensniveau von 68,3 % ergibt sich der Erwartungswert der indirekten Messgröße aus yE = y¯ ± Dy¯z

mit

Dy¯z = sy

und y¯ = f(x¯i)

In diesem Fall kann die zufällige Abweichung des Mittelwertes der indirekten Messgröße nach Dy¯z =

2 2 2 ∂f ∂f ∂f ∂f –––– Dx¯1 + –––– Dx¯2 + –––– Dx¯3 + … + –––– Dx¯k ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂xk

(

) ( ∑( )

i =k

Dy¯z =

i =1

∂f ––– Dx¯i ∂x

) (

)

(

2

)

2

ermittelt werden. Wurden die direkten Messgrößen xi nur einmal gemessen (statistische Auswertung entfällt) und ihre Größtabweichungen Dxi abgeschätzt, oder wenn angenommen werden muss, dass bei Mehrfachmessungen der direkten Messgrößen alle Fehler gleichsinnig wirken, erhält man die Größtabweichung der indirekten Messgröße mit dem linearen Fehlerfortpflanzungsgesetz: ∂f ∂f ∂f ∂f Dy = –––– |Dx1| + –––– |Dx2| + –––– |Dx3 | + … + –––– |Dxk| ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂xk

| | | | ∑| |

i =k

Dy =

i =1

| |

| |

∂f –––– |Dx | i ∂xi

Sonderfälle für die Ermittlung der Größtabweichung (größter absoluter Fehler) Summen und Differenzen: y = f(xi) = a1x1 + a2x2 + … + akxk a1, a2, …, ak konstant, positiv oder negativ Dy = |a1 ||Dx1 | + |a2 ||Dx2 | + |a3 ||Dx3 | + … + |ak ||Dxk |

F

420


Bei Summen und Differenzen ist die Größtabweichung (der größte absolute Fehler) der indirekten Messgröße gleich der Summe der mit den absoluten Beträgen der Koeffizienten multiplizierten absoluten Größtabweichungen der einzelnen Messgrößen. Produkte, Quotienten, Potenzen: n

n

n

y = f(xi) = ax1 1x2 2 … xk k a, n1, n2 , …, nk konstant, positiv oder negativ Dy Dx1 Dx2 Dx3 Dxk ––– = |n1| –––– + |n2 | –––– + |n3 | –––– + … + |nk | –––– y x1 x2 x3 xk Bei Produkten, Quotienten und Potenzen ist die relative Größtabweichung (der größte relative Fehler) der indirekten Messgröße gleich der Summe der mit den Beträgen der Exponenten multiplizierten relativen Abweichungen (relativen Einzelfehler) der direkten Messgrößen. Lineare Regression xi , yi n x¯ y¯ a b r

Messwerte der Messpunkte Anzahl der Messpunkte (xi , yi ) Mittelwert der x-Werte Mittelwert der y-Werte Schnittpunkt der Regressionsgeraden mit der y-Achse Anstieg der Regressionsgeraden Korrelationskoeffizient

Die Forderung für die beste Annäherung einer Funktion y = f(x) wird nach Gauss mit der Methode der kleinsten Quadrate erfüllt: i=n

∑ [yi – f (xi )] 2 = Minimum

i=1

Häufig liegt eine lineare Abhängigkeit vor oder es ist zulässig, eine stückweise geradlinie Näherung vorzunehmen. Gleichung der Regressionsgeraden y = bx + a Die Parameter a und b ergeben sich aus den Mittelwerten x¯ und y¯ sowie i=n –– = –1– x y xy ∑ i i n i =1 –– – x– y– xy b = ––––––– ––2 – 2 x – (x )

–– 1 i=n 2 x 2 = – ∑ xi n i =1 a = y– – bx–


421

Mit ––2 1 y = –– n

i=n

∑ yi2

i =1

erhält man den Korrelationskoeffizienten –– – x– y– xy r = –––––––––––––––––– [x2 – (x¯)2] [y2 – (y¯)2] Beurteilung der linearen Regression r = ±1 r = +1 bzw. > 0 r = – 1 bzw. < 0 0,8 ≤ | r | ≤ 1 0 ≤ |r | ≤ 0,5

strenge lineare Abhängigkeit zwischen y und x positiver Anstieg der Geraden negativer Anstieg der Geraden große Wahrscheinlichkeit für lineare Abhängigkeit zwischen y und x lineare Abhängigkeit ist ausgeschlossen bis unwahrscheinlich

F

13

Umrechnung von Einheiten des angelsächsischen Systems in das Internationale Einheitensystem (SI)

Allgemeines Die nichtmetrischen Einheiten des angelsächsischen Systems sind in Großbritannien und seinen ehemaligen Kolonien sowie in den USA teilweise noch in Anwendung. Basisgrößen sowie Basiseinheiten des angelsächsischen Systems sind: Basisgröße

Basiseinheit

Kurzzeichen

Länge Masse Zeit Temperatur Elektrische Stromstärke

yard pound second degree Rankine ampere

yd lb s o R A

Die abgeleiteten Einheiten sind zahlreich und haben häufig eigene Namen. Die aus Eigennamen hergeleiteten Einheitennamen werden klein geschrieben, ihre Kurzzeichen entsprechend dem internationalen Brauch jedoch groß (Beispiel: volt, Kurzzeichen V). Dies gilt besonders für die Einheiten von Elektromagnetismus und Photometrie, da hier die SI-Einheiten benutzt werden. Ausnahme ist British thermal unit (Btu oder auch BTU). Die Winkeleinheiten sind wie im SI (radian und steradian, Kurzzeichen rad und sr). Stimmen gleichnamige Einheiten in Großbritannien und seinen ehemaligen Kolonien mit denen in den USA nicht überein, fügt man der Einheit (UK) für United Kingdom oder (US) für die Gültigkeit in den USA an. Wichtig: Als Dezimalzeichen gilt der Punkt, während Dreiergruppen von Zahlen durch Komma getrennt werden (Beispiel: 150 ltn = 5,370,000.0 oz = 5.370 · 106 oz statt 5370000,0 oz bzw. 5.370.000,0 oz = 5,370 .106 oz). In den folgenden Tabellen wird die in Deutschland und in den meisten anderen Staaten übliche Schreibweise verwendet: Das Dezimalzeichen ist das Komma.

423


Umrechnung einiger Längeneinheiten in die SI-Einheit m Einheit

Kurzzeichen

Umrechnungsfaktor in m

1 yard 1 foot 1 inch 1 mile 1 nautical mile

1 yd 1 ft 1 in 1 mile 1 n mile (UK) 1 n mile (US)

0,914 4 0,304 8 0,025 4 1 609,344 1 853,181 1 852

Bemerkung

Landvermessung Seefahrt UK Seefahrt USA

1 mile = 1 760 yd = 5 280 ft = 63 360 in 1 yd = 3 ft = 36 in 1 ft = 12 in Umrechung einiger Flächeneinheiten in die SI-Einheit m2 Einheit

Kurzzeichen

Umrechnungsfaktor in m2

1 square yard 1 square foot 1 square inch 1 square mile

1 yd2 1 ft2 1 in2 1 mile2

0,836 127 0,092 903 6,451 6 · 10–4 2,589 988 · 106

Bemerkung

Landvermessung

1 mile2 = 3,097 6 · 106 yd2 1 yd2 = 9 ft2 = 1 296 in2 1 ft2 = 144 in2 Umrechnung einiger Volumeneinheiten in die SI-Einheit m3 Einheit

Kurzzeichen

Umrechnungs- Bemerkung faktor in m3

1 cubic yard 1 cubic foot 1 cubic inch 1 fluid ounce (UK) 1 fluid ounce (US) 1 barrel 1 gallon (UK) 1 gallon (US) 1 bushel (UK) 1 bushel (US)

1 yd3 1 ft3 1 in3 1 fl oz (UK) 1 fl oz (US) 1 barrel 1 gal (UK) 1 gal (US) 1 bu (UK) 1 bu (US)

0,764 555 0,028 317 1,638 71 · 10–5 28,413 · 10–6 29,573 7 · 10–6 0,158 9 0,004 546 0,003 785 0,036 37 0,035 239

Flüssigkeiten Flüssigkeiten Erdöl, Benzin (USA) UK USA fest, flüssig (UK) trocken fest (USA)

UE

424


Einheit

Kurzzeichen

Umrechnungs- Bemerkung faktor in m3

1 quarter 1 quart (UK) 1 quart (US) 1 fluid dram (US)

1 quarter 1 qt (UK) 1 qt (US) 1 fl dr (US)

0,290 95 1,136 · 10–3 0,946 · 10–3 3,697 · 10–6

UK USA flüssig, USA

1 yd3 = 168,18 gal (UK) = 27 ft3 1 quarter = 8 bu (UK) = 64 gal (UK) = 256 qt (UK) 1 bu (UK) = 8 gal (UK) = 32 qt (UK) 1 gal (UK) = 4 quart (UK) = 0,160 5 ft3 = 277,5 in3 Umrechnung einiger Masseeinheiten in die SI-Einheit kg Einheit

Kurzzeichen

Umrechnungsfaktor in kg

1 pound 1 short ton 1 long ton

1 lb 1 sh tn 1 ltn

1 hundredweight 1 quarter 1 stone 1 ounce 1 dram

1 cwt 1 quarter 1 sn 1 oz 1 dr

0,453 592 37 907,184 74 USA 1 016,046 91 USA, in UK ton (tn) genannt 50,802 35 12,70 6,35 0,028 3495 1,771 845 2 · 10–3

1 ltn = 20 cwt = 2 240 lb = 35 840 oz = 573 440 dr 1 cwt = 8 sn = 2 quarter = 112 lb 1 lb = 16 oz = 256 dr 1 oz = 16 dr

Bemerkung

425


Umrechnung einiger Krafteinheiten in die SI-Einheit N Einheit

Kurzzeichen

Umrechnungsfaktor in N

1 poundal 1 ounce-force 1 pound-force (UK) 1 pound-weight (US) 1 ton force (UK) 1 long ton weight (US) 1 short ton weight (US)

1 pdl = 1 lb ft/s2 1 ozf 1 lbf (UK) 1 lbwt (US) 1 tonf (UK) 1 ltnwt (US) 1 shtnwt (US)

0,138 255 0,278 4,448 222 4,448 222 9,964 · 103 9,964 · 103 8,896 · 103

Bemerkung

UK USA UK USA USA

1 tonf = 1 ltnwt = 2 240 lbf = 7,207 · 104 pdl 1 shtnwt = 2 000 lbf = 6,435 · 104 pdl 1 lbf (UK) = 1 lbwt (US) = 32,175 pdl Umrechnung von Temperatureinheiten in die SI-Einheit K (und in oC) Symbol

Einheit

Zeichen Umrechnung

t (q)

Grad Celsius

o

C

tF

Grad Fahrenheit

o

F

T t –– = –– – + 273,15 K oC

(

)

T tF –– = 0,5556 –– – – 32 + 273,15 ; o K F t tF ––– = 0,5556 –– – – 32 o °C F

(

TR

Grad Rankine

o

R

)

T TR –– = 0,5556 –– –; o K R t TR ––– = 0,5556 –– – – 491,67 o °C R

(

)

Temperaturdifferenzen DT = Dt in K, 1 Fahrenheit degree = 1 degF = 1 Rankine degree = 1degR = 5/9 K

UE

426


Umrechnung weiterer Einheiten in die entsprechenden SI-Einheiten Größe

Name der Einheit

Kurzzeichen Umrechnung in SI

Geschwindigkeit

yard/second mile/hour yard/second2 ounce/square foot pound/square yard yard3/second lb/second pound/gallon

yd/s mile/h yd/s2 oz/ft2 lb/yd2 yd3/s lb/s lb/gal

British thermal unit/ Fahrenheit degree

Btu/degF

Beschleunigung Flächenbelegung Volumenstrom Massestrom Dichte

Druck, Spannung

Drehmoment

Arbeit, Energie

Leistung

Impuls Drehimpuls Massenträgheitsmoment Dynamische Viskosität

Ausdehnungskoeffizient Wärmekapazität

1 yd/s = 0,914 4 m/s 1 mile/h = 0,447 m/s 1 yd/s2 = 0,914 4 m/s2 1 oz/ft2 = 0,305 2 kg/m2 1 lb/yd2 = 0,545 3 kg/m2 1 yd3/s = 0,764 222 m3/s 1 lb/s = 0,435 923 7 kg/s 1 lb/gal (UK) = 99,78 kg/m3 1 lb/gal (US) = 119,84 kg/m3 pound/cubic yard lb/yd3 1 lb/yd3 = 0,593 28 kg/m3 pound/cubic inch lb/in3 1 lb/in3 = 27,68 · 103 kg/m3 poundal/square foot pdl/ft2 1 pdl/ft2 = 1,488 16 Pa pound-force/square yard lbf/yd2 1 lbf/yd2 = 5,320 Pa pound-force/square foot lbf/ft2 1 lbf/ft2 = 47,880 3 Pa pound-force/square inch lbf/in2 = psi 1 psi = 7,410 6 . 103 Pa ton-force/square inch tonf/in2 1 tonf/in2 = 16,60 · 106 Pa ton-force/square foot tonf/ft2 1 ton/ft2 = 107,251 6 · 103 Pa foot-poundal ft pdl 1 ft pdl = 0,042 14 Nm yard pound-force yd lbf 1 yd lbf = 4,067 45 Nm foot pound-force ft lbf 1 ft lbf = 1,355 82 Nm foot-poundal ft pdl 1 ft pdl = 0,042 14 J yard pound-force yd lbf 1 yd lbf = 4,067 45 J foot pound-force ft lbf 1 ft lbf = 1,355 82 J British thermal unit Btu 1 Btu = 1,055 06 · 103 J horse-power hour hp h 1 hp h = 2,684 52 · 106 J ounce-force inch ozf in 1 ozf in = 7,061 57 · 10–3 J foot-poundal/second ft pdl/s 1 ft pdl/s = 4,214 · 10–2 W foot pound-force/ ft lbf/s 1 ft lbf/s = 1,355 82 W second yard pound-force/ yd lbf/s 1 yd lbf/s = 4,067 45 W second British thermal unit/ Btu/s 1 Btu/s = 1,055 06 · 103 W second horse-power hp 1 hp = 745,70 W pound-yard/second lb yd/s 1 lb yd/s = 0,414 765 kg m/s pound-(yard)2/second lb yd2/s 1 lb yd2/s = 0,379 261 kg m2/s pound-(yard)2 lb yd2 1 lb yd2 = 0,379 261 kg m2 pound-(foot)2 lb ft2 1 lb ft2 = 0,042 140 kg m2 poundal second/ pdl s/ft2 1 pdl s/ft2 = 1,48818 Pa s square foot pound-force second/ lbf s/ft2 1 lbf s/ft2 = 47,880 Pa s square foot (Fahrenheit degree)–1 degF–1 1 degF–1 = 1,8 K–1 1 Btu/degF = 1,899 10 · 103 J/K

427

13 Umrechnung von Einheiten Größe

Name der Einheit

Entropie

British thermal unit/ Fahrenheit degree Spezifische Btu/(pound FahrenWärmekapazität heit degree) Spezifische Btu/(pound FahrenEntropie heit degree) Spezifischer Heiz- (Feste Brennstoffe): wert Btu/pound (Flüssige u. gasförmige Brennstoffe): Btu/foot3 Spezifische Btu/pound Enthalpie Wärmeleitfähigkeit Btu/(foot hour Fahrenheit degree) Btu/(in hour Fahrenheit degree) Btu/(foot second Fahrenheit degree) Wärmeübergangs- Btu/(foot2 second koeffizient Fahrenheit degree) Btu/(in2 second Fahrenheit degree) Wärmedurchgangs- Btu/(foot2 second koeffizient Fahrenheit degree) Btu/(in2 second Fahrenheit degree) Wärmestrom Btu/hour Wärmestromdichte Btu/(foot2 hour) Btu/(yard2 second) Leuchtdichte

Lambert Stilb

Kurzzeichen Umrechnung in SI Btu/degF

1 Btu/degF = 1,899 10 · 103 J/K Btu/ 1 Btu/(lb degF) (lb degF) = 4,186 799 . 103 J/(kg K) Btu/ 1 Btu/(lb degF) (lb degF) = 4,186 799 · 103 J/(kg K) Btu/lb 1 Btu/lb = 2,326 · 103 J/kg Btu/ft3

1 Btu/ft3 = 3,726 · 104 J/m3

Btu/pound

1 Btu/lb = 2,326 · 103 J/kg

Btu/ 1 Btu/(ft h degF) (ft h degF) = 1,731 W/(m K) Btu/ 1 Btu/(in h degF) (in h degF) = 20,772 W/(m K) Btu/ 1 Btu/(ft s degF) (ft s degF) = 6,230 67 · 103 W/(m K) Btu/ 1 Btu/(ft2 s degF) (ft2 s degF) = 20,441 84 · 103 W/(m2 K) Btu/(in2 1 Btu/(in2 s degF) s degF) = 2,94362 · 106 W/(m2 K) Btu/(ft2 1 Btu/(ft2 s degF) s degF) = 20,441 84 · 103 W/(m2 K) Btu/(in2 1 Btu/(in2 s degF) s degF) = 2,94362 . 106 W/(m2 K) Btu/h 1 Btu/h = 0,293 072 W Btu/(ft2 h) 1 Btu/(ft2 h) = 3,154 60 W/m2 Btu/(yd2 s) 1 Btu/(yd2 s) = 1,261842 .103 W/m2 L 1 L = 0,3183 cd/m2 st 1 st = 104 cd/m2

1 Btu = 778,169 ft lbf = 3,930 2 · 10–4 hp h = 239,39 yd lbf 1 Btu/s = 1,414859 hp

UE

14

Sachwortverzeichnis

Abbe’sche Zahl 304 f. Abbildung, optische 309 ff. Abbildungsgleichung 309 ff. Abbildungsmaßstab 309 ff. Abklingkoeffizient 244, 257 Ablenkempfindlichkeit 228 Ablenkung auf dem Auffangschirm 228 –, minimale 304 Ablenkwinkel 228 Abplattung 90 Absolutbeschleunigung 31 f. absoluter Fehler 416 Absolutgeschwindigkeit 31 Absorber 398, 401 Absorption 277, 297, 320 f., 353, 401 Absorptionsgesetz 321 Absorptionsgrad 320, 322 Absorptionskoeffizient 321 Absorptionsmaß, dekadisches 321 –, natürliches 321 Addition 410 – phasenverschobener Spannungen 258 – – Ströme 258 – von Kräften 40 – zweier Kräfte 39 Additionsgesetz der Geschwindigkeiten 326 Adiabate 141 Adiabatenexponent 124 adiabatische Zustandsänderung 139 Aggregatzustandsänderungen 145 Aktivität 375, 388 –, spezifische 389 Akustik, physiologische 291 ff. Akzeptor 217 Albedo 91

a-Strahlung 374 a-Teilchen 407 a-Zerfall 373 Ampere 15, 17, 169 Amplitude der Überlagerungsschwingung 249 Amplitudenmodulation 247 Amplitudenresonanzfunktion 246 Anergie 145 Ångström 17 f. Ankerstromstärke 204 Anlaufstromstärke 230 Anodenstoffe 358 Anregung, thermische 354 Antiquarks 365 Antiteilchen 365 Antivalenz 241 Anzahl der Atome 331 aperiodischer Grenzfall 245 Apertur, numerische 315 Äquivalent, elektrochemisches 222 f. Äquivalentdosis 392 Äquivalentdosisleistung 392 f. –, effektive 393 Äquivalenz 241 Arbeit 72 f., 85, 137 ff., 142 f. – bei Rotation 81 – im Gravitationsfeld 87 –, äußere 135 –, mechanische 72 Arbeitsfähigkeit 74 Arbeitsgebiet der Triode 231 assoziatives Gesetz 239, 410 astronomische Einheit 18 Atmosphäre, physikalische 16, 19 –, technische 16, 19 Atom 331 ff. atomare Masseneinheit 332, 372, 403

14 Sachwortverzeichnis

Atombau 331 ff. Atomhülle 334 ff. Atomkerne 361 ff. Atommasse, relative 331, 349 ff., 353, 406 –, – des Alpha-Teilchens 407 –, – – Deuterons 406 –, – – Elektrons 406 –, – – Myons 407 –, – – Neutrons 407 –, – – Protons 407 Atommassen, relative 361 Atommassenkonstante 332, 403 Atomradius, scheinbarer 332 Atomvolumen, scheinbares 332 Atto 16 Aufbau der Atomkerne 361 Aufenthaltsort 342 Aufenthaltswahrscheinlichkeit 340 Aufladung eines Kondensators 190, 211 Auflagerkräfte 64, 66 Auflösungsvermögen optischer Instrumente 315 Auftrieb 96 Augenblicksbeschleunigung 29 Augenblicksgeschwindigkeit 26, 28 Augenblicksleistung 75, 82, 259 ff., 263, 265 Augenblickswinkelbeschleunigung 31 Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle 272 – elektromagnetischer Wellen 296 Ausdehnung der Gase 116 –, scheinbare 115 –, thermische 112 Ausdehnungsarbeit 135 Ausflusszahl 99 f. Ausgangswiderstand 237 Auslenkung, statische 247 Auslöschung 273, 306 Ausschaltvorgang 210 – einer Induktivität 211

429 Ausströmungsgeschwindigkeit unter Wirkung der Schwerkraft 99 – – – eines Kolbendruckes 100 Austauschreaktionen 380 Austauschteilchen 370 Austrittsarbeit 225 f., 396 Avogadro-Konstante 159 f., 331, 403 Bahnbeschleunigung 29 Bahndrehimpuls-Quantenzahl 344 Bahngeschwindigkeit 26 – auf gerader Bahn 26 – bei Kreisbewegung 27 – der Elektronen 336 Bahnkurve 227 Balmer-Serie 338 Bandbreite 216 Bar 19 Barkhausen-Gleichung 231 Barn 378 barometrische Höhenformel 97 Baryonen 365, 369, 371 Baryonenzahl 363, 369 Basiseinheiten 15 Basisschaltung 237 Bauelemente der Elektronik 229 ff., 238 Beauty 366 Becquerel 17 Belastbarkeit von Leitungen 173 Beleuchtungsstärke 318 f. Belichtung 320 benetzende Flüssigkeit 95 Bernoulli, Gleichung von 101 Beschleunigung 84, 227 – bei Relativbewegung 31 Beschleunigungsarbeit 73 Besetzungsdifferenz 354 Bestrahlungsstärke 278 b-Strahlung 374, 394 b-Zerfall 373 Betrag des Vektors 409

430 Beugung 275, 306 f. – am Doppelspalt 307 – – Gitter 307 –, Fraunhofer’sche 307 Beweglichkeit von Ionen 222 – – Ladungsträgern 221 Bewegung elektrisch geladener Teilchen 227 f. –, beschleunigte geradlinige 32 –, gleichmäßig beschleunigte geradlinige 32 Bewegungsgesetz der Drehschwingung 254 – der ungedämpften harmonischen Schwingung 243 Bewertungsfaktoren 392 Bezugssysteme 71 Biegebeanspruchung 62 Biegelinie 63 f., 66 Biegemoment 63 f., 66 Biegeschwingungen 252 Biegespannung 63 Biegungswellen 282 Bildgröße 309 ff. Bildweite 309 ff. Bindungsenergie 372 Biot 17 Blindleistung 266 –, induktive 260 –, kapazitive 261 –, kompensierte 266 Blindleitwert 260 f., 265 Blindwiderstand 263 –, induktiver 260 –, kapazitiver 261 Bohr’sche Postulate 334 Bohr’sches Magneton 362, 403 Bohr-Radius 403 Boltzmann-Gleichung 168 Boltzmann-Konstante 162, 323, 403 Boltzmann-Verteilung 354 Böschungswinkel 71 Bosonen 367


Boyle und Mariotte, Gesetz von 137, 161 Brackett-Serie 338 Bragg, Gleichung von 360 Brechung 275, 299 Brechungsgesetz 299 Brechwert 310 Brechzahl 299, 302 Breite, geografische 33 Brennschluss 89 Brennweite 309 ff. Brennwert 128 –, spezifischer 128 Brewster’sches Gesetz 307 Brückenschaltung, Wheatstone’sche 179 Candela 15, 316 Carnot’scher Kreisprozess 143 Carnot-Prozess 143 –, linksläufiger 144 Celsius-Skala 111 Celsius-Temperatur, kritische 157 Charme 366 chemische Elemente 349 Clausius 17 Clausius und Clapeyron, Gleichung von 158 Colour 366 Compton-Effekt 395 ff. Compton-Wellenlänge 397, 403 – des Elektrons 403 – – Neutrons 403 – – Protons 403 Coriolis-Beschleunigung 31 f. Coriolis-Kraft 72 Coulomb 17 Coulomb’sches Gesetz 189 Coulomb-Anziehungskraft 335 Curie 17, 388 Curie-Punkt 195 d’Alembert, Prinzip von 72


Dampfdruck 154 Dampftafel 160 de-Broglie-Wellenlänge 332 Debye 17 Defektelektronen 215, 217 f. Dehnung 60 Dehnzahl 60 Deka 16 Dekrement, logarithmisches 245, 257 Delta-Operator 414 Deuteron 379 f., 406 Dezi 16 diamagnetische Stoffe 195, 202 f. diatonische Durskalen 280 – Mollskalen 280 Dichte 47 – der Atomkerne 362 – – Elemente 48 – – Gase 58 – – trockenen Luft 119 – des Wassers 115 – fester Stoffe 51 – verflüssigter Gase 57 – von Flüssigkeiten 56 f. –, mittlere 48 Dichteänderung 115 Dichtebestimmung 97 Dielektrikum 186 Differenzialgleichung der Drehschwingung 254 – – ebenen Wellen 272 – – elektrischen Schwingung 256 f. – – elektromagnetischen Wellen 295 – – erzwungenen Schwingung 246 – – freien gedämpften Schwingung 244 – – Kugelwelle 273 – – ungedämpften harmonischen Schwingung 243 – – Wärmeleitung 129 –, Poisson’sche 185, 201 Differenzialoperationen 413 ff.

431 Differenzvektor 410 Dimensionen 20 ff. Diode 229 Dioptrie 310 Dipol, elektrischer 186 f. Dipolmoment 203 f. –, elektrisches 186 Direktionsmoment 86, 254 Dispersion 304 –, mittlere 305 Dissoziationsgrad 151 f. distributives Gesetz 239 Divergenz 413 f. Donator 217 Doppelleitung 188, 207 Doppelspalt 275 Doppler-Effekt 285 –, optischer 329 Dosimetrie 388 ff. Dosis, bewertete 392 Dosisleistungskonstante 393 f. Dotierung 217 drain 238 Drainstromstärke 238 Drall 83 Drehfrequenz 28 f., 204 Drehimpuls 83, 86, 342 Drehimpulserhaltungssatz 83 Drehimpulsoperator 342 Drehimpulsquantum 404 Drehmoment 40, 81, 85 Drehschwingung 254 –, elastische 86 Drehstoß 83, 86 Drehstromkreis 267 f. Drehung, spezifische 308 Drehwinkel 28, 84 Drehwinkel-Zeit-Gesetz 36 f., 255 Drehzahl 28 f., 204 Dreieckschaltung 268 Driftelektronenstrom 238 Druck 58 –, dynamischer 101 –, kritischer 157

432 –, statischer 101 Druckabfall 109 Druckabhängigkeit des Siedepunktes 153 Druckänderung der Gase 117 Druckeinheiten 19 Druckfestigkeit 59 Druckkoeffizient 117 – der Siedetemperatur 153 Druckmittelpunkt 96 Drucksprung 94 Druckverluste in Rohrleistungen und Krümmern 109 f. Druckverlustfaktor 109 Dualismus Welle-Korpuskel 332 f. Dulong und Petit, Regel von 122, 168 Durchbiegung, maximale 64, 66 Durchflussmenge 98 Durchflutung, elektrische 193 Durchflutungsgesetz 193 Durchgriff 230 Durchlassrichtung 218 Durchschlagfestigkeiten 184 Durchschnittsbeschleunigung 29 Durchschnittsgeschwindigkeit 27 Durchschnittsleistung 75, 85, 297 Durchschnittswinkelbeschleunigung 31 Durchschnittswinkelgeschwindigkeit 28 Durskalen, diatonische 280 Dyn 18 Dynamik 66 ff. dynamische Viskosität 102 f. dynamisches Grundgesetz 67, 81, 85, 328 Ebene, geneigte 34, 73 ebullioskopische Konstante 152 f. Effekt, äußerer lichtelektrischer 226 Effektivwerte von Spannung und Stromstärke 258 Eichbosonen 365


Eigendrehimpuls 362 Eigenfrequenz 86, 250 ff., 254 f. – der ungedämpften harmonischen Schwingung 243 Eigenfunktionen 341 Eigenleitung 217 Eigenleitungskoeffizient 216 Eigenschwingung 243, 246 Eigenwerte 341 f. Eindringtiefe 269 Einfachleitung 188, 207 Einfangquerschnitt 378 Einfangreaktionen 380 Eingangswiderstand 237 eingeschwungener Zustand 246 Einheit 11 Einheiten 15 –, kohärente 15 –, SI-fremde 16 –, Vielfache und Teile 16 Einheitsvektoren 409 Einschaltvorgang 209 – einer Induktivität 211 Einstein’sche Masse-EnergieBeziehung 329 Einstein-Koeffizient 354 Einzelkapazitäten 189 Einzelladungen 189 elastische Linie 63 Elastizitätsmodul 59, 61 Elektrik 169 ff. elektrochemische Spannungsreihe 223 elektrochemisches Äquivalent 222f. Elektrolyte 172 Elektromotor 204 Elektron 229, 361 f., 368, 403 ff. Elektronen 217 f., 227, 345, 371 Elektronenanordnung der Elemente 346 Elektroneneinfang 373 Elektronenemission aus Metallen 225 –, thermische 226


Elektronenladung, spezifische elektrische 407 Elektronenleitung 221 Elektronenradius, klassischer 404 Elektronenschale 346 Elektronenstoß 224 elektronentheoretische Deutung der Leitfähigkeit 221 – – des Stromes 170 Elektronik 229 f. Elektronvolt 19, 404 Elementarladung 170, 361, 404 Elementarteilchen 365 ff. –, fundamentale 365 Elemente, chemische 349 Elongation 285 Emission 353 –, induzierte 354 f. –, spontane 354 f. –, stimulierte 354 Emissionsgrad 322 f. Emitterschaltung 235 ff. Emitterstromstärke 235 Empfindlichkeit eines Thermoelements 220 Energie 74, 145, 333, 353 – bei Rotation, kinetische 82 – der Bewegung 74 – – Elektronen 336 – – Lage 74 – des geladenen Kondensators 189 – – gestreuten g-Quants 397 – – idealen Gases, innere 167 – – magnetischen Feldes 208 – eines bewegten Körpers 329 – – Strahlungsquants 375 –, elektrische 181 –, –, der elektrischen Schwingung 256 –, innere 135 –, kinetische 74, 85, 251, 343 –, mittlere kinetische 162 f. –, potenzielle 74, 251, 343 f. –, spezifische innere 135, 158

433 Energieäquivalent 403, 407 – des Alpha-Teilchens 407 – – Deuterons 407 – – Elektrons 407 – – Myons 407 – – Neutrons 407 – – Protons 407 – – Wasserstoffatoms 407 Energiebilanz 382, 396 – bei Kernfusion und bei Kernspaltung 382 Energiedichte 197 – des elektrischen Feldes 190 – – elektromagnetischen Wellenfeldes 296 – – magnetischen Feldes 208 Energiedosis 390 f. Energiedosisleistung 390 Energieeigenwerte 343 f. Energieeinheiten 19 Energieerhaltungssatz der Mechanik 74 Energieflussdichte 389, 394 Energiegleichung 357 Energiekonstante 232 f. Energieniveau 335 Energieniveaus des Wasserstoffatoms 336 Energieoperatoren 342 Energiesatz 343 Energiespektrum 374 Energieverteilung 382 Enthalpie 136 –, spezifische 136, 158 Entladung eines Kondensators 191, 211 Entmagnetisierungskurve 197 Entropie 135, 168 –, spezifische 136, 158 Entropieänderung 137 ff., 142 f. Entwicklungssatz 412 Erde 90 Erg 19 Erhaltungssätze 86, 365

434 Ersatzkapazität 188 f. Ersatzleitwert 177 Ersatzwiderstand 177 –, magnetischer 200 Erwartungswert 416ff. Erwartungswerte, quantenmechanische 342 Eta-Meson 368 Exa 16 Exergie 145 Eximerlaser 356 Expansion 135 Extinktion 321 Exzentrizität 91 Fahrwiderstand 70 Fahrwiderstandszahlen 70 Fall, freier 33 Fallbeschleunigung 33 f., 87 Fallhöhe 33 Farad 17 Faraday’sche Gesetze 222 Faraday-Konstante 222, 404 Farbbereich 304 Farben der Glimmentladung 224 Farbstofflaser 356 Federkonstante 69, 86, 250 Federschwingungen 250 Fehler, absoluter und relativer 416 Fehlerfortpflanzung 418 Fehlerfortpflanzungsgesetz 419 Fehlerrechnung 416ff. Feinstrukturkonstante 362, 404 Feld, elektrisches 181 ff., 212 f., 227 –, –, Grundgesetze 185 –, magnetisches 192 ff., 208, 212 f. –, –, Grundgesetze 200 Feldeffekttransistor 238 Feldemission 225 Feldenergie 190, 209 Feldgrößen 212 Feldkonstante, elektrische 182, 404


–, magnetische 194, 405 Feldkonstanten 215 Feldquanten 365, 370 Feldstärke, elektrische 175, 181, 206 –, magnetische 192 Femto 16 Fermionen 365 Fernrohr 314 Ferrite 199 ferromagnetische Stoffe 195, 216 Festigkeitslehre 47 ff. fet 238 f. FET 239 Flächen(trägheits)moment 45 f. –, axiales 45 –, polares 47 –, zentrifugales 47 Flächendichte 183 Flächendiode 234 Flächenmoment 45 ff. Flächenschwerpunkte 41 Fluchtgeschwindigkeit 87 Fluss, elektrischer 185 –, magnetischer 193 f., 200 Flussdichte, elektrische 183 –, magnetische 194 Flüssigkeit, benetzende 95 Flüssigkeiten 93 –, ruhende 95 –, strömende 98 Flussquant, magnetisches 404 Formelzeichen 11, 25 Fotodiode 238 Fotoeffekt 226, 395 f. Fotometrie 315 ff. fotometrisches Strahlungsäquivalent 317 f. Fototransistor 238 Fotowiderstand 238 Franklin 17 Fraunhofer’sche Beugung 307 Freiheitsgrad 168 Führungsbeschleunigung 31


Führungsgeschwindigkeit 31 Fundamentalsystem 72 Funkenentladung 224 Fusion 383 Gal 17 Galilei’sches Fernrohr 314 Galilei-Transformation 326 g-Quanten 373, 397 Gammastrahlenkonstante 393 g-Strahlung 375, 395, 398 Gangunterschied 273 Gas, ideales 116, 136, 161, 167 Gasdichte 118 Gase 93 –, reale 155 ff. –, ruhende 95 –, strömende 98 Gaskonstante 118 –, molare 118, 404 –, spezielle 118 –, universelle 404 Gaslaser 356 gate-source-Spannung 238 Gauß 17 Gauß’scher Satz 186 Gauß-Verteilung 418 Gay-Lussac, 1. Gleichung von 116 –, 2. Gleichung von 117 –, Gesetz von 138 f. Gefrierpunktserniedrigung 151 Gegenstandsgröße 309 ff. Gegenstandsweite 309 ff. Generator 206 Generatorkonstante 206 Geräte, optische 313 ff. Gesamtdruck 101 Gesamtenergie 251, 342 f. Gesamtinnenwiderstand 180 Gesamtkapazität 188 f. Gesamtladung 330 Gesamtleitwert 177 Gesamtspannung 177, 262

435 Gesamtstromstärke 177, 264 Gesamtwiderstand 177 Geschwindigkeit 35, 84, 326 – bei Relativbewegung 31 – eines geladenen Teilchens 330 – – Satelliten 87 – nach Durchlaufen der Spannung 227 –, 1. kosmische 87 –, 2. kosmische 87 –, wahrscheinlichste 163 ff. Geschwindigkeitsbetrag, mittlerer 163 ff. Geschwindigkeitsquadrat, mittleres 161 ff., 165 Geschwindigkeitstheorem, nichtrelativistisches 327 Geschwindigkeitsverteilung, Maxwell’sche 163 Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz 32 f. Gewicht 68 Gewichtskraft 68 g-Faktor des Elektrons 404 Giga 16 Gilbert 17 Gitterkonstante 216, 360 Glaslaser 356 Gleichgewicht im ebenen Kraftsystem 40 Gleichgewichtsbedingungen 41 Gleichstrom 169 ff. Gleichungen, physikalische 25 ff. Gleichverteilungssatz 167 Gleitreibungskraft 69 Gleitreibungszahlen 70 Glimmentladung 224 Glimmröhre 191 Gluon 370 Gon 19 Grad 19 – Celsius 17 Gradient 413 f. Grammäquivalente 389 Grashof-Zahl 105

436 Gravitation 86 ff,, 370 Gravitationsbeschleunigung 86 f. Gravitationsfeldstärke 86 Gravitationsgesetz 86 Gravitationskonstante 86, 404 Gravitationskraft 86 Gravitationspotenzial 86 f. Graviton 367, 370 Gray 17 Grenze, kurzwellige 357 –, langwellige 226 Grenzschicht 217 f. Grenzwinkel der Totalreflexion 302 f. Größen des Wellenfeldes, kinematische 275 –, fotometrische 320 –, molare 159 –, physikalische 11 Größengleichungen 25 –, zugeschnittene 25 Größenwert 11 Größtabweichung 416, 418ff. Grunddispersion 304 Grundgesetz bei Rotation, dynamisches 81 – des Transformators 267 –, dynamisches 67, 85, 328 Grundgesetze des Drehstromkreises 267 – – elektrischen Feldes 185 – – magnetischen Feldes 200 Grundgleichung des Elektromotors 204 – – Generators 206 Grundschwingung 252 Gütezahl 263, 265 gyromagnetisches Verhältnis des Protons 405 Hadronen 365, 371 Haftreibungskraft 69 Haftreibungszahlen 69 Haftspannung 95


Hagen-Poiseuille’sche Gleichung 104 Halbleiter 173, 216 Halbleiterlaser 356 Halbleiterdioden 234 Halbleiterwiderstände 232 –, spannungsabhängige 233 –, temperaturabhängige 233 Halbwertsdicke 359 f., 395, 398 f., 401 – für Neutronenstrahlung 402 Halbwertszeit 375 Hall-Effekt 215 Hall-Koeffizient 215 f. Hall-Spannung 215 f. Hall-Widerstand 215 f. Hangabtriebskraft 68 hartmagnetische Stoffe 197 Hauptdispersion 304 f. Hauptebenen 312 Hauptquantenzahl 344, 346 Hauptsatz der Thermodynamik, erster 135 ff., 142, 145 –, zweiter 145 Hebelgesetz 41 Heisenberg’sche Unschärferelation 334 Heizwert 128 –, spezifischer 128 f. Hekto 16 Hellempfindlichkeit, spektrale 315 Henry 17 Hertz 17 Höhenformel, barometrische 97 Hohlspiegel, sphärischer 309 Hooke’sches Gesetz 58, 61 Hörschall 279 Hörschwelle 291 Hubarbeit 73 Hybridparameter 235 ff. Hydraulik 96 Hyperladung 363 Hyperonen 369, 371 Hyperschall 279


437

Hysteresis 198 Hysteresisverluste 195

Isospin 363 Isotherme 141 isotherme Zustandsänderung 136 f.

Identität 240 igfet 239 Immersionslinse 312 Immissionsgrenzen 289 Implikation 241 Impuls 75, 86, 328 f., 333, 342, 353 Impulsänderung 76 Impulserhaltungssatz 76 Impulsfolgen 269 Impulsoperator 342 Induktionsgesetz 206 f. Induktivität 207 f. Inertialsystem 72 Influenzkonstante 182 Infraschall 279 Inhibition 241 inkompressibel 99 Innenwiderstand 179 – einer Spannungsquelle 180 Integralionendosis 391 Integralsatz von Gauss 415 – – Stokes 415 Interferenz 273 f., 305 Interferenzmaxima 275, 306 Interferenzminima 275, 306 Internationales Einheitensystem (SI) 15 Ionendosis 391 Ionendosisleistung 391 Ionenleitung 215, 221 Ionisationsäquivalent 391 Ionisierung 224 Ionisierungsspannungen 224 Isentrope 141 isentrope Zustandsänderung 139 Isentropenexponent 124 Isobare 140 isobare Zustandsänderung 138 Isochore 140 isochore Zustandsänderung 137 f. Isolierstoffe 172, 184

Jahr 18 Josephson-Konstante 405 Joule 15, 17, 19 Kalorie 16, 120 Kältemaschine 144 Kaltkatodenröhren 238 Kamera 314 Kaon 368 Kapazität des Phasenschieberkondensators 266 –, elektrische 187 Kapillare 95 Katodenstromstärke 232 Kelvin 15, 17, 111 Kelvin-Skala 111 Kennlinien elektronischer Bauelemente 238 Kennlinienfeld eines Transistors 236 Kennzahlen bei Strömungen 105 Kepler’sche Gesetze 88 Kepler’sches Fernrohr 314 Kerma 390 Kermaleistung 390 Kernbindungsenergie 372 Kernfotoeffekt 380, 395 Kernmagneton 362, 405 Kernreaktionen 379 ff. Kernspaltung 380 Kilo 16 Kilogramm 15 Kilokalorie 19 Kilometer 16 Kilopond 16, 18 Kilopondmeter 19 Kilowatt 20 Kilowattstunde 19 Kinematik 26 ff. kinematische Viskosität 102 f. kinetische Theorie der Wärme 159ff.

438 Kippschwingung 191 f., 271 Kirchhoff’sche Regeln 178 Kirchhoff’sches Strahlungsgesetz 322 Klemmenspannung 209 K-Mesonen 371 Knotenpunktregel 178 Koerzitivfeldstärke 195, 198 Kohärenzbedingung 306 Kohärenzlänge 356 Kollektor 238 Kollektorschaltung 237 kommutatives Gesetz 239, 410 Komponentendarstellung 409, 411 Kompressibilität 62, 93 Kompression 135 Kompressionsmodul 62, 93 Kondensator 187 ff. –, Aufladung 190, 211 –, Entladung 191, 211 Konkavspiegel 309 Konstante, ebullioskopische 152 f. –, kryoskopische 151 f. –, physikalische 403 ff. Kontinuitätsgleichung 99 Konvexspiegel 309 Körper, nichtschwarzer 325 –, schwarzer 322 Korrelationskoeffizient 421 kosmische Geschwindigkeit, 1. und 2. 87 Kraft 39, 85 – auf eine bewegte Ladung 205 – – einen geraden Stromleiter 205 – – – Magnetpol 194 – – – umströmten Körper 106 – einer ruhenden Flüssigkeit gegen eine Wand 95 – gegen eine ebene Fläche 100 – – – hohle Schaufel 101 – zwischen zwei geraden parallelen Leitern 205 – – – Platten 189 – – – Punktladungen 189


Kräfte im Magnetfeld 205 – in beschleunigten Bezugssystemen 71 Krafteinheiten 18 Kräftepaar 40 Kraftgesetz, lineares 69 Kraftmoment 40, 81 ff., 85 – auf einen elektrischen Dipol 186 – – – Magnet 204 – – eine Spule 204 Kraftmomentensatz 41 Kraftstoß 76, 86 Kraftsystem, ebenes zentrales 39 Kreis, magnetischer 199 Kreisbewegung, beschleunigte 36 –, gleichmäßig beschleunigte 36 Kreisfrequenz 250, 257 f., 272 – der Drehschwingung 254 – – Eigenschwingung 243 – – freien gedämpften Schwingung 245 – – ungedämpften Eigenschwingung 246 Kreisgüte 263, 265 Kriechvorgang 245 Kristallografie 360 kritische Daten 157 kryoskopische Konstante 151 f. Kugelfunkenstrecken 225 Kugelkondensator 187 f. Kugelkonduktor 187 Kurzschluss 176 Ladevorgänge 190 Ladung des Elektrons, spezifische 229 – – Protons, spezifische 229 –, elektrische 169 –, spezifische 228 f. Ladungsquantenzahl 363, 369 Lagerreibung 70 Lambda 369 Länge 20, 26 –, charakteristische 106

439


Längenausdehnung 112 Längeneinheiten 18 Längenkontraktion 328 Lanthaniden 348 Laplace-Operator 295, 343, 414 Laser 353, 355 f. Laserbedingungen 355 Laserstrahlung 356 Lasertypen 356 Lautstärkepegel 291, 293 Lebensdauer, mittlere 375 Leerlauf 176 Leistung 74 f., 85, 176, 204 – bei Bewegung gegen eine Strömung 109 – – Rotation 82 – des elektromagnetischen Wellenfeldes 296 – im Drehstromkreis 268 – – Wechselstromkreis 266 –, elektrische 176, 181 –, mittlere 75, 82 Leistungsanpassung 176, 181 Leistungseinheiten 20 Leistungsverstärkung 237 Leistungszahl 144 Leitfähigkeit 221 –, elektrische 170 f., 173 Leitung durch Defektelektronen und Elektronen 215 Leitungsarten in festen Körpern 215 Leitungsvorgänge im Vakuum 224 ff. – in Festkörpern 215 ff. – – Flüssigkeiten 215 ff. – – Gasen 224 ff. Leitwert, elektrischer 171 –, magnetischer 200 Leitwert-Parameter 235 Leptonen 365, 368, 371 Leptonenzahl 363 Leuchtdichte 316 Lichtabsorption 320 ff.

Lichtausbeute 317, 319 Lichtausbreitung 298 f. lichtelektrischer Effekt 226 Lichtemission der Atome 337 Lichtgeschwindigkeit 215, 298 – im Vakuum 405 Lichtjahr 18 Lichtmenge 319 Lichtstärke 20, 316 Lichtstrom 317 lineare Regression 420 f. Linie, elastische 63 Linienschwerpunkte 41 Linsen, dicke 312 –, dünne 310 Linsensysteme 312 Lissajous-Figur 249 f. logarithmisches Dekrement 245, 257 logische Funktionen 240 Longitudinalwellen 281 – im idealen Gas 283 – in langen Stäben 282 – – realen Gasen 284 Lorentz-Kraft 228 Lorentz-Kraftgesetz 194 Lorentz-Transformation 326 Loschmidt-Konstante 160, 405 Luft, Zusammensetzung 98 Luftdruck 97 Luftfeuchte, absolute 154 –, relative 155 Luftfeuchtigkeit 154 Luftspalt 200 Lupe 313 Lyman-Serie 338 Magnet, Tragkraft 205 Magnetfeld 228 magnetische Energie der elektrischen Schwingung 256 magnetisches Moment des Deuterons 405 – – – Elektrons 362, 405

440 – – – Myons 405 – – – Neutrons 362, 405 – – – Protons 362, 405 Magnetisierung 201 Magnetisierungskurve 195, 197 f. Magnetisierungsverluste 195 Magneton, Bohr’sches 362, 403 Magnetpol 194, 203 Majoritätsträger 217 f. Maschenregel 178 Masse 20, 85, 353 – des Atoms 331 – – Elektrons 335 – eines bewegten Körpers 328 – – Strahlungsquants 333 –, molare 117, 160 –, reduzierte 80 Masse-Energie-Beziehung, Einstein’sche 329 Massenbilanz 381 Massendefekt 372 Masseneinheit, atomare 332, 372, 403 Massenmittelpunkt 41 Massenschwächungskoeffizient 359, 398 Massenspektroskopie 229 Massenträgheitsmoment 77 ff., 85 –, zentrifugales 80 Massenverhältnis 89 Massenzahl 361, 375 Materie 395 Materiewellenlänge 332 f. Maxwell 17 Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung 163 – Gleichung 293 Mechanik der Flüssigkeiten und Gase 93 ff. – fester Körper 26 ff. Mega 16 Megapond 18 Mehrfachprozesse 380 Mengenkonstante 233


Mesonen 365, 368, 371 Messabweichungen 416 Messbereichserweiterung von Spannungs- und Strommessern 179 Messergebnis 416 f. Messreihe 416 f. Messunsicherheit 416 Meter 15, 26 Methode der kleinsten Quadrate 420 Metrologie 11 ff. Mikro 16 Mikrobar 19 Mikroskop 314 Milchstraßensystem 92 Milli 16 Millimeter Wassersäule 19 Minoritätsträger 217 Minute 18 f. Mischleitung 215 Mischungstemperatur 127 f. Mittelwert einer Messreihe 417 Mittelwerte der Geschwindigkeit, statistische 165 Modulationsgrad 248 Mol 15, 117, 331 Mollier-(h,s)-Diagramm 159 Mollskalen, diatonische 280 Moment nach Ampère, magnetisches 203 – – Coulomb, magnetisches 203 –, elektrisches 186 –, magnetisches 203 f., 405 Mond 91 Monde der Planeten 92 Moseley’sches Gesetz 358 Mosfet 239 Mutterkerne 373 Myon 368, 371, 407 Nabla-Operator 414 NAND 239, 241 f. Nano 6


Nebenmaxima 275 Nebenquantenzahl 344 Nebenwiderstand 179 Negation 239 Neodymlaser 356 Neptunium-Reihe 376 Netzebenenabstand 360 Neutrino 368, 371 Neutron 361 f., 369, 402 ff., 407 Neutronen, schnelle 379 –, thermische 378 Neutroneneinfang 401 Neutronenstrahlung 401 f. Neutronenzahl 361 Newton 15, 17 f. Newton’sche Ringe 306 Newton’sches Reibungsgesetz 102 NICHT 240, 242 Nichtlinearitätskoeffizient 233 n-Leitung 217 NOR 239, 241 Normalatmosphäre 97 f. Normalkraft 68 f. Normalluftdruck 408 Normalpotenzial 223 Normalvergrößerung 314 Normbedingungen 118, 161 Normdruck 118 Normfallbeschleunigung 406 Normgewichtskraft 68 Normtemperatur 118 Normvolumen, molares 118, 160 Nukleonen 369, 371 Nuklide 383 numerische Apertur 315 Nusselt-Zahl 105 Oberflächenenergie, spezifische 94 Oberflächenspannung 94 Oberschwingung 252 ODER 240, 242 Oersted 17 Öffnung, relative 314 Öffnungsverhältnis 314

441 Ohm 15, 17 Ohm’sches Gesetz 175 f. – – des magnetischen Kreises 200 – – – Wechselstromkreises 266 Omega 369 Operator der Gesamtenergie 342 – – kinetischen und potenziellen Energie 342 Operatoren 342 optische Abbildung 309 ff. – Geräte 313 ff. Ordnungszahl 361 Ortsfunktion 413 Ortskoordinaten 326 Ortsoperator 342 Ortsvektor 414 Oszillator, harmonischer 343 –, linear harmonischer 343 Paarbildung 395, 397 f. Parallelresonanz 265 Parallelschaltung 180, 189, 208, 263 – von Widerständen 177 paramagnetische Stoffe 195, 202 Parität 363 Parsec 18 Pascal 15, 17, 19 Paschen-Serie 338 Pauli-Prinzip 345 Péclet-Zahl 105 Pendel, mathematisches 255 –, physikalisches 255 Pendelschwingungen 255 Pentode 231 Periodendauer 192, 257 f., 272 – (Umlaufzeit) 28 Periodensystem der Elemente 346, 352 Permeabilitätszahl 195, 197 f., 202 Permittivitätszahl 184 Peta 16 Pfeife, gedeckte 280 –, offene 280

442 Pferdestärke 20 Pfund-Serie 338 Phasenschieberkondensator 266 Phasenverschiebung 246, 263, 265, 270, 274 Photon 364, 367, 370 f. physikalische Gleichungen 25 ff. – Größen 11 – Konstanten 403 ff. Piko 16 p-Mesonen 371 Pion 368, 370 Planck’sche Strahlungskonstanten 324, 406 Planck’sches Strahlungsgesetz 324, 354 – Wirkungsquantum 227, 323, 335, 406 Planck-Konstante 406 Planeten 90 Platte, planparallele 303 Plattenkondensator 182, 187, 189 p-Leitung 217 pnp-Transistor 235 pn-Übergang 218 Poise 17, 102 Poisson’sche Differenzialgleichung 185, 201 – Gleichungen 142 Poisson-Zahl 60 f. Polarisation 307 –, elektrische 186 Polarisationswinkel 308 Polarisierbarkeit, elektrische 186 –, magnetische 201 Polstärke 193 Polytrope 141 polytrope Zustandsänderung 142 Postulate 335 Potenzial einer Punktladung 183 –, elektrostatisches 182 Poynting’scher Vektor 297 Prandtl-Zahl 105 Presse, hydraulische 96


Prinzip von d’Alembert 72 Prisma 303 Produkt, skalares 410, 412 –, vektorielles 411 Proton 229, 361 f., 369, 403 ff., 407 Protonenaktivität 373 Protonenladung, spezifische elektrische 407 Punktladung 182 f. Qualitätsfaktor 392 Quantenbedingungen 335 Quanten-Hall-Effekt 216 Quanten-Hall-Widerstand 406 quantenmechanische Ausdrücke 341 – Erwartungswerte 342 Quantentheorie 331 ff. Quantenzahl, magnetische 344 Quantenzahlen 344, 366 – der Elementarteilchen 363 Quarks 365 ff., 371 Quarkskombinationen 367 Quellenspannung 176 Querkürzung 60 Rad 390 Radialbeschleunigung 30, 68 Radialkraft 68, 335 Radiant 15, 19 Radioaktivität 372 ff. Radius der Atomkerne 362 – – Kreisbahn 228 Radiusvektor 409 Raketenantrieb 88 f. Randwinkel 95 Raumausdehnungskoeffizient 114, 116 Raumausdehnungskoeffizienten, scheinbare 116 Raumladungsdichte 330 Raumladungsstromstärke 230 Rauschen 216 Rauschleistung 216


Rauschspannung 216 Rayleigh-Jeans’sches Strahlungsgesetz 324 Rayleigh-Streuung 395 Reaktionsenergie 381 reale Gase 155 ff. Rechteckimpulse 269 Rechteckschwingung 270 Rechter 19 Reflexion 274, 277, 297, 299, 320 Reflexionsgrad 320 Regression, lineare 420f. Regressionsgerade 420 Reibung 69 Reibungsarbeit 73 Reibungsgesetz, Newton’sches 102 Reibungskraft 69 Reichweite 374 –, maximale 395 Reihenresonanz 263 Reihenschaltung 180, 188, 208, 261 – magnetischer Widerstände 200 – von Widerständen 176 –, Umrechnung in eine Parallelschaltung 268 Reinabsorptionsgrad 321 Reintransmission 322 Reintransmissionsgrad 322 Relativbeschleunigung 31 Relativbewegung 31 relative Messabweichung 416 relativer Fehler 416 Relativgeschwindigkeit 31 Relativitätsprinzip 72 Relativitätstheorie, spezielle 326 ff. Relaxationslänge 398 rem 392 Remanenzflussdichte 197 f. Resonanz 247, 263 Resonanzen 368 Resonanzkreisfrequenz 247 Resonanzkurve 247 Resonanzüberhöhung 247

443 Resonator, optischer 355 Resultierende 39 Reynolds-Zahl 105 f. Richardson’sche Gleichung 226 Richtgröße 69, 86, 250 Ringspule 207 Rohdichte 51 Rohrleitung 109 Rollreibung 70 Rollreibungswiderstand 70 Röntgen 17, 391 Röntgenbremsspektrum 357 Röntgenbremsstrahlung 357 Röntgen-Spektroskopie 360 Röntgenstrahlung, charakteristische 357 Rotation 37 f., 83 ff., 413 f. –, dynamisches Grundgesetz 81 Rotationsenergie 82, 85 Rubinlaser 356 Rückstellkraft 69 Ruheenergie 329 Ruhemasse 365, 407 – des Alpha-Teilchens 407 – – Deuterons 407 – – Elektrons 407 – – Myons 407 – – Neutrons 407 – – Protons 407 – – Wasserstoffatoms 407 Rydberg-Frequenz 337, 407 Rydberg-Konstante 337, 358, 407 Saite, schwingende 252, 280 Satellit 87 Sättigungsdruck des Wasserdampfes 155 Sättigungsflussdichte 198 Sättigungsmenge 155 Sättigungsstromstärke 230 Satz von Steiner 47, 81 Schallabsorption 289 Schallabsorptionsgrad 289 Schallarten 279

444 Schallausschlag 285 Schalldämm-Maß 290 Schalldämmung 290 Schalldruck 286 – in Luft 286 Schalldruckpegel 288 –, absoluter 288 –, relativer 288 Schallenergiedichte 288 Schallfeldgrößen 285 ff. Schallfluss 286 Schallgeschwindigkeit 282 – in festen Körpern 281 – – Flüssigkeiten 283 – – Gasen 283 f. – – Luft 284 Schallintensität 287 Schall-Leistung 287 Schall-Leistungsdichte 287 Schallpegel 288 –, AF-bewerteter 291 Schallquellen 279 Schallschnelle 285 Schallstärke 287 Schallwechseldruck 286 Schallwellen 276 ff. Schaltalgebra 239 ff. Schaltung von gleichen Spannungsquellen 180 – – Induktivitäten 208 – – Kondensatoren 188 –, spannungsrichtige 179 –, stromstärkerichtige 179 Schaltvorgänge in einem Stromkreis 209 Scheinleistung 266, 268 Scheinleitwert 262, 264 –, komplexer 264 Scheinwiderstand 262, 266 –, komplexer 262 Scherung 61 Schiebung 61 Schmelzpunkt 145 Schmelzwärme, spezifische 145


Schrödinger-Gleichung 339f., 343f. – in Operatorschreibweise 343 Schub 89 Schubkoeffizient 61 Schubkraft 89 Schubmodul 61 Schüttdichte 55 Schutzwände 360 Schwächung der Röntgenstrahlung 358 – von b-Strahlung 394 – – g-Strahlung 395 – – Neutronenstrahlung 401 f. Schwächungsfaktor 399 Schwächungsgesetz 359, 394 – für g-Strahlung 398 Schwächungskoeffizient 359, 395, 398 f. –, linearer 379 schwarzer Körper 322 Schwarzkörpertemperatur 325 Schwebung 249, 284 Schwebungsfrequenz 249, 284 Schwebungsperiode 249 Schweredruck 95, 101 Schwerpunkt 41 Schwerpunkte von Flächen 42 f. – – Körpern 44 f. – – Linien 42 Schwingung, amplitudenmodulierte 248 –, elastische 86 Schwingungen 243 ff. –, elektrische 256 ff. –, gedämpfte elektrische 257 –, harmonische 243 ff. –, mechanische 243 ff. –, ungedämpfte elektrische 256 Seemeile 18 Sehweite, konventionelle 313 Sekundärelektronenemission 225 Sekunde 15, 18 f., 26 Selbstinduktion 207 Selbstinduktionsspannung 207


Selbstinduktivität 207 Senke 238 SI (Internationales Einheitensystem) 15 Sicherheit, statistische 417 Siedepunkt 148 f., 153 Siedepunktserhöhung 152 f. Siedetemperatur 154 SI-Einheiten, abgeleitete 15 Siemens 17 Sievert 17, 392 SI-fremde Einheiten 16 Sigma 369 Sinkgeschwindigkeit 105 Skalar 410 Skalarprodukt 410, 412 Skineffekt 269 Snellius’sches Brechungsgesetz 299 Solarkonstante 91, 277 Sommerfeld-Feinstrukturkonstante 404 Sonne 90 Sonnenstrahlung 277 source 238 Spalt 275, 307 Spaltung 373, 401 Spannarbeit 73 Spannung bei Resonanz, elektrische 263 –, elektrische 169, 182, 259 ff., 264 –, induzierte elektrische 206 –, magnetische 193, 200 Spannungsabfall 169, 176 Spannungsabhängigkeit des Widerstandes 233 Spannungsreihe, elektrochemische 223 –, thermoelektrische 221 Spannungsstoß 194 Spannungsteiler 180 Spannungsverstärkung 231, 237 Spatprodukt 412 Spektrallinien 304, 338

445 Spektralserien des Wasserstoffatoms 338 Spektrum, elektromagnetisches 300 Sperrrichtung 218 Sperrschicht-Feldeffekttransistor 239 Sperrschichtfotoelement 238 Sperrschichttemperatur 216 spezifische Drehung 308 Spiegel 309 –, ebener 309 –, sphärischer 309 Spin 362 Spindrehimpuls-Quantenzahl 344, 363 Spinquantenzahl 344 Spitzendiode 234 Sprungtemperatur 218 f. Stab, longitudinal schwingender 280 Stabilisatorröhre 238 Standardabweichung 417, 419 Standard-Atmosphäre 408 Standardmodell der Elementarteilchen 365 Statik starrer Körper 39 ff. statistische Sicherheit 417 Staudruck 101 Stefan-Boltzmann’sches Strahlungsgesetz 323 Stefan-Boltzmann-Konstante 323, 408 Steighöhe 34, 36, 95 Steigzeit 34, 36 Steilheit 230 Steiner, Satz von 47, 84 Steradiant 15 Sternschaltung 268 Steuerspannung 231 f. Stilb 316 Stoffe, diamagnetische 195, 202 f. –, ferromagnetische 195, 216 –, hartmagnetische 197

446 –, paramagnetische 195, 202 –, weichmagnetische 195, 198 Stoffmenge 20, 117 Stokes 17, 103 Stokes’sche Gleichung 105 f. Störstellenleitung 217 Stoß, gerader zentraler 76 Stoßgesetz 76 Stoßparameter 76 f. Stoßquerschnitt 165 Stoßzahl 165 f. Strahldichte 278 –, spektrale 325 Strahlenschutz 392 Strahlenschwächung 388 ff. Strahlstärke 277 Strahlung, natürliche radioaktive 374 Strahlungsäquivalent, fotometrisches 317 f. Strahlungsdruck 277, 297 Strahlungsenergiedichte 276 Strahlungsfeldgrößen 320 Strahlungsfluss 276, 323, 389 Strahlungsflussdichte 276, 389, 394 –, elektromagnetische 297 Strahlungsgesetz, Kirchhoff’sches 322 –, Planck’sches 324, 354 –, Rayleigh-Jeans’sches 324 –, Stefan-Boltzmann’sches 323 –, Wien’sches 324 Strahlungsgleichgewicht 354 Strahlungskonstanten, Planck’sche 324, 406 Strahlungsleistung 276 Strahlungsquant 333, 353, 375 strange particles 371 Strangeness 363 Streuung 401 –, elastische 380 –, klassische 395 –, unelastische 380 Stromdichte, elektrische 169, 175


Strom-Spannungs-Kennlinie 176, 233 f. Stromstärke 20 – bei Resonanz, elektrische 265 –, elektrische 169, 256 ff. Strömung durch ein Rohr, laminare 104 – um eine Kugel, laminare 105 Strömungen, laminare 106 –, stationäre 99 –, turbulente 106 Strömungsgeschwindigkeit 98 Stromverstärkung 237 Student-Faktor 417 Stunde 16, 18 Subtraktion 410 Summenvektor 410 Supraleitung 218 Suszeptibilität 195 –, elektrische 186 –, magnetische 201 –, spezifische magnetische 201 ff. systematische Messabweichung 416, 418 Tag 18 Tangentialbeschleunigung 29 Tauon 368 Teilkapazitäten 188 Teilspannungen 177, 188 Teilstromstärken 177 f. Teilwiderstände 177 f. Teilzahldichte 354 Temperatur 20, 111 –, kritische 157 Temperaturabhängigkeit des Dampfdrucks 154 – – spezifischen Widerstandes 174 Temperaturdifferenzen 111 Temperaturfestpunkte 111 f. Temperaturkoeffizient 175, 233 Temperaturleitfähigkeit 131 f. Temperaturskalen 111 Temperaturstrahlung 322 ff.


Tera 16 Tesla 17 thermische Anregung 354 Thermistoren 233 Thermodynamik 111 ff. thermodynamische Wahrscheinlichkeit 168 thermoelektrische Spannungsreihe 221 Thermoelektrizität 219 Thermoelemente 219 f. Thermospannung 219 Thomson’sche Gleichung 256 Thorium-Reihe 376 Tochterkerne 373 Tonne 16 Tonskalen 280 –, gleichmäßig temperierte 281 Torr 17, 19 Tor-Senke-Spannung 238 Totalreflexion 302 f. Trägerdichte 218 Trägheitsarm 81 Trägheitshalbmesser 81 Trägheitskraft 72 Trägheitsmoment 77 ff., 85 –, zentrifugales 80 Trägheitsradius 47, 81 Tragkraft eines Magnets 205 Transformator 267 Transistor 234 ff. Transistorgrundschaltungen 237 Translation 37 f., 83 ff. Transmission 320 Transmissionsgrad 320 Transversalwellen 282 Triode 230 Triton 379 f. Troposphäre 97 Tunneldiode 234 Überdruck 94 f. Überlagerung harmonischer Schwingungen 248 f.

447 Überlagerungsschwingung 248 f. Überschlagspannungen 225 Übersetzungsverhältnis 267 Ultraschall 279 Umkehrungsgesetz 239 Umlaufzeit 28, 88, 91 Umrechnung einer Reihenschaltung in eine Parallelschaltung 268 UND 240, 242 Unschärferelation, Heisenberg’sche 334 Unterscheidung 345 Uran-Actinium-Reihe 377 Uran-Radium-Reihe 377 Vakuumfotozelle 238 Vakuumgleichrichterröhre 229 van-der-Waals’sche Konstanten 156 – Zustandsgleichung 155 Varistoren 233 Vektoralgebra 409 ff. Vektoranalysis 413 ff. Vektorprodukt 411 f. Vektorrechnung 409 ff. Venturi-Rohr 102 Verdampfungswärme, spezifische 148 f., 158 Vergrößerung 313 Verlustleistung 75 Verschiebungsfluss, elektrischer 185 Verschiebungsgesetz, Wien’sches 325 Verstärkung 273, 306 Verstärkungsfaktor 231 Vertrauensbereich 417 Vertrauensniveau 417 Vielfache und Teile der Einheiten 16 Vierpol 235 Vierpolgleichungen 235 Viskosität, dynamische 102 f. –, kinematische 102 f. Volt 15, 17

448 Volumen des idealen Gases, molares 406 –, kritisches 157 –, spezifisches 119, 158 Volumenänderungsarbeit 135 Volumenausdehnung 114 Volumenschnelle 286 Volumenstrom 98, 102, 104 Volumentransformation 330 Von-Klitzing-Konstante 216, 406 Vorsätze 16 Wahrscheinlichkeit, thermodynamische 168 Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung 341 Wanderhebung 109 Wärme 137 ff., 142 f. Wärmebewegung von Elektronen 216 Wärmedurchgang 133 Wärmedurchgangskoeffizient 133f. Wärmedurchgangswiderstand 133 f. Wärmedurchlasswiderstand 129 f. Wärmeenergie 181 Wärmekapazität 120 –, molare 122, 125 f., 168 –, spezifische 120, 122, 124 f. –, volumenbezogene 120, 122, 126 f. Wärmeleistung des elektrischen Stromes 181 Wärmeleitfähigkeit 130 Wärmeleitung 129 Wärmeleitwiderstand 129 f., 133 Wärmemenge 120 ff. Wärmepumpe 144 Wärmestrom 129 f. Wärmestromdichte 129 Wärmeübergang 132 Wärmeübergangskoeffizient 132 Wärmeübergangswiderstand 132 Wärmeübertragung 129 ff. Wärmewiderstand 129, 133


Wasserstoffatom 336, 338, 407 Wasserstoff-Normalelektrode 223 Wasserstoffspektrum 338 Watt 15, 17, 20 Weakon 370 Weber 17 Weber und Fechner, Gesetz von 291 Wechselgrößen, nichtsinusförmige 269 Wechselspannung 258 Wechselstrom 258 ff. Wechselstromkreis 258 ff. – mit induktivem Widerstand 259 – – kapazitivem Widerstand 260 Wechselstromwiderstand der Spule 260 – des Kondensators 261 Wechselwirkung 371 – von g-Strahlung 395 –, elektromagnetische 370 f. –, elektroschwache 370 –, schwache 370 f. –, starke 370 f. Wechselwirkungen 370 – von Neutronen 401 Weg 84 Weglänge, mittlere freie 166 f. Weg-Zeit-Gesetz 32 f., 244 – der freien gedämpften Schwingung 245 – des eingeschwungenen Zustandes 246 weichmagnetische Stoffe 195, 198 Welle, harmonische 272 Wellen 272 ff. –, elektromagnetische 293 ff., 300 –, stehende 274 Wellenfeld 275 ff. –, kinematische Größen 275 Wellenfunktion 340 Wellengleichung 272, 295 Wellenlänge, mittlere 333

449


Wellenlängen der Röntgenstrahlung 357 Wellenlängenänderung 397 Wellenlehre 272 ff. Wellenwiderstand 297 – des Vakuums 298, 408 Wellenzahl 338, 357 Wert der physikalischen Größe 11 Wheatstone’sche Brückenschaltung 179 Wichtungsfaktoren 393 Widerstand 233 –, elektrischer 170 –, induktiver 259 –, innerer 231 –, kapazitiver 260 –, magnetischer 200 –, ohmscher 258 f., 263 –, spezifischer elektrischer 170 ff. Widerstandskombinationen 270 Widerstandslegierungen 171, 175 Widerstandsmessung 179 Widerstandsmoment 63 Widerstandszahl 106 f. Wiedemann-Franz’sches Gesetz 171 Wien’sche Konstante 325 Wien’sches Strahlungsgesetz 324 – Verschiebungsgesetz 325 Wien-Konstante 408 Winkelbeschleunigung 30, 84 Winkelbeschleunigungs-ZeitGesetz 255 Winkeleinheiten 19 Winkelgeschwindigkeit 28, 84 – bei Kreisbewegung 28 Winkelgeschwindigkeit-Zeit-Gesetz 36 f., 255 Winkelrichtgröße 86, 254 Wirkleistung 181, 259 ff. Wirkleitwert 265 Wirkungsgrad 75, 144 – des Grundstromkreises 181

Wirkungsquantum 227, 323, 335, 406 Wirkungsquerschnitt 378 – bei Paarbildung 398 – für den Compton-Effekt 397 – von Neutronen 402 –, makroskopischer 379 –, mikroskopischer 378, 396 Wirkwiderstand 263 Wölbspiegel, sphärischer 309 Wurf, horizontaler 35 –, schiefer 35 –, senkrechter 34 Wurfparabel 35 Wurfweite 35 f. X-Einheit 18, 357 Xi 269 Yocto 16 Yotta 16 Zahlenwert 11, 25 Zahlenwertgleichungen 25 Z-Diode 234 Zeigerdiagramm 248 Zeit 20, 26 Zeitdilatation 327 Zeiteinheiten 18 Zeitkonstante 191, 210 Zeitkoordinaten 326 Zenti 16 Zentralkraft 68 Zentrifugalbeschleunigung 87 Zentripetalkraft 68 Zepto 16 Zerfallsgesetz 375 Zerfallskonstante 375 Zerfallsreihen 375 Zerlegung einer Kraft 39 Zeton 370 Zetta 16 Ziolkowski-Gleichung 89 Zirkulationsquant 408

450 zufällige Messabweichung 416 ff. zugeschnittene Größengleichungen 25 Zugfestigkeit 59 Zusammensetzung der Luft 98 Zustand 346 –, angeregter 354 Zustandsänderung 140 –, adiabatische 139 –, isentrope 139 –, isobare 138


–, isochore 137 f. –, isotherme 136 f. –, polytrope 142 Zustandsänderungen des idealen Gases 136 ff., 143 Zustandsgleichung 117, 137 ff. – des idealen Gases 116 –, van-der-Waal’sche 155 Zustandsgleichungen 142 Zylinderkondensator 187 Zylinderspule 192 f., 207

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