DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO
TEORÍA DE CONJUNTOS Noción de Conjunto. Es un concepto no definido del cual se tiene una idea subjetiva y se le asocian ciertos sinónimos tales como colección, agrupación o reunión de objetos abstractos o concretos denominados “integrantes” o elementos susceptibles de ser comparados. Un conjunto en forma intuitiva es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre sí, que se llaman elementos del mismo.
Ejemplos.
Los meses del año.
Los países del continente europeo.
Los jugadores de un equipo de béisbol.
Las personas caritativas de Trujillo. (no es conjunto)
Notación. Generalmente a un conjunto se denota con símbolos que indiquen superioridad superioridad o letras mayúsculas, y a sus elementos mediante variables o letras minúsculas separados por comas y encerrados entre llaves.
Ejemplos.
= los meses del año año, = a,e,i,o,u ∈ RELACIÓN DE PERTENENCIA
. Se establece esta relación sólo de
“elemento” a conjunto y expresa si el elemento indicado forma parte o no del conjunto considerado.
∈
“… pertenece a …:
“… no pertenece a …:
∉
Esto quiere decir que dado un “elemento” y un conjunto Elemento
∈
conjunto
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO
∉ = 1,2, 1,2,5,16
O elemento
Ejemplo. Sea
conjunto.
2∈ 8∉ 1,21, 2 ∈ 5 ∉
DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO Consiste en precisar en precisar correctamente correctamente que “elementos” “elementos” forman forman parte del conjunto. conjunto. Puede hacerse de dos formas:
a) Por Extensión o forma tabular. Cuando se indica a todos y cada uno de los elementos.
Ejemplo.
= a,e,i,o,u, = 2,4,6,8 Es evidente que el orden en el cual son listados los “elementos” del conjunto no afecta el hecho de que pertenece a él. De este modo en el conjunto
= a,e,i,o,u = a,o,u,i,e No todos los conjuntos conjuntos pueden pueden ser expresados por extensión, extensión, entonces entonces se se recurre a otra forma de determinación.
b) Por Comprensión o forma constructiva Cuando se enuncia una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto, de tal manera que cada objeto que goza de la propiedad pertenece al conjunto conjunto y todo elemento elemento del conjunto conjunto goza de la propiedad mencionada.
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO Esquema:
= R⏟ ⁄. ……………….. ú í = ⁄ es una vocal, = −1⁄ ∈ℤ, 1≤ ≤7 CONJUNTOS NUMÉRICOS 1.
Conjunto de los Números Naturales
ℕ= 1,∗2,3,4,… ℕ =ℕ = 0,1,2,3,…
0 ℤ=…,−3,−2,−1,0,1,2,3,… 38 ∉ℤ, −24∈ℤ ℚ= ∈ℤ ∧ ∈ℤ ∧ ≠0 3∈ ℚ, porque:3= 31 0,5 ∈ℚ, porque:0,5 = 105 0,333∈ℚ, porque:0,333= 13 =3,14159∉ℚ, porque:≠
Observación. El número cero ( ) es natural. 2.
3.
4.
Conjunto de los Números Enteros
Conjunto de los Números Racionales
Conjunto de los Números Irracionales
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO Un número irracional es un número que no es un número racional, es decir, un número que no se puede escribir en forma de una fracción; el número
decimal sigue para siempre indefinidamente. Se denota con el símbolo .
=…,−√ 2,√ 3,,,… = 1,, ,2, 1, 1,2,3 ∗ ∈, ∗ 1 ∈, ∗ 1∈, ∗ 3∉, ∗ 1,2∈, ∗ ∉ =2,6,12,20,…,10100, =3+1⁄ ∈ℤ∧−3<<3 Aplicación I. Dado el conjunto
Indicar que proposiciones son verdaderas o falsas
Aplicación II. Determinar por extensión y comprensión los conjuntos DIAGRAMAS DE VENN-EULER
Es la representación geométrica de un conjunto mediante una región del plano limitado por una figura geométrica cerrada en cuyo interior se indican los “elementos” que forman el conjunto.
Un conjunto (un color)
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO Dos conjuntos (tres colores)
Tres conjuntos (siete colores)
⊂
RELACIÓN DE INCLUSIÓN.
⊂ ⊂
Subconjunto……
Conjunto
Conjunto…… Conjunto Se dice que un conjunto está incluido en un segundo conjunto, cuando todos los “elementos” del primer conjunto forman parte del segundo conjunto.
Notación.
⊂ ⊂
: “incluido o contenido” : “ está contenido en
”, o “ es un subconjunto de
”, o “ contiene
a ”,
CONJUNTOS ESPECIALES 1. Vacío o Nulo. Es aquel conjunto que carece de “elementos”.
∅, =⁄0 <<5 ∧ =100= =∅
Notación.
Ejemplo.
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO Observación.
∀ : ∅⊂ ∅≠∅ ∅≠ =⁄ >0 ∧ =9=3 =2+,, =2−7,5+2 ++
2. Unitario o Singular. Es aquel conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplo. Si los siguientes conjuntos son unitarios e iguales Calcular
.
3. Universal. Es el conjunto referencial para el estudio de una situación particular, que contiene a todos los conjuntos considerados. No existe un conjunto universal absoluto y se le denota generalmente por
Ejemplo.
.
=2,6,10,12, = + 3⁄ es impar ∧0< <10 = ⁄ ∈ℕ∧<13 =0,2,4,6,8 El conjunto universal para el conjunto puede ser:
El conjunto universal para el conjunto
puede ser:
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO 4. Conjunto de Conjuntos. También se le denomina familia de conjuntos o clase de conjuntos y es aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos.
Ejemplo.
=2,3,3,a,6,b,∅, =a,b,c,2,3,6,6,c,8 = , ⟹ = ∅, , , , ( )=4 ∅,, ° =( )= ° = − =⁄ es número primo y <10 = 2,3,5,7 ⟹ =4 N° subconjuntos de =2 =16. N° subconjuntos propios de =2 −1=15. Se observa que:
es familia de conjuntos, pero
no es familia de conjuntos.
5. Potencia.
El Conjunto de Potencia de un conjunto de Partes de
, llamado también “Conjunto
, es aquel que está formado por todos los subconjuntos
posibles que posee el conjunto .
Notación. Ejemplo.
Los subconjuntos
son denominados propios.
Ejemplo.
Observación. El conjunto vacío está incluido en cualquier conjunto.
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO
OPERACIONES CON CONJUNTOS
, , ̅, ′ = = ⁄ ∈ ∧ ∉ =−
Complemento de .
El complemento del conjunto
es el conjunto formado por los elementos que
pertenecen al conjunto universal
pero no al conjunto “ ”.
′, ̅, , ′=⁄ ∈ ∧ ∉=− ′′= ∅′=, ′=∅ = ⁄ ∈ℕ, <8, =1,3,4 ∴ = 0,2,5,6,7 ∪ ∪= ⁄ ∈ ∨ ∈ Notación:
Simbólicamente:
Propiedades. 1.
:
Involución
2.
Ejemplo.
Unión
. La unión de dos conjuntos y
es el conjunto conformado por la
agrupación de todos los elementos del conjunto conjunto .
con los elementos del
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO
Observación.
∨
equivale a o: Unión.
⊂⟹∪= ∪=∪ ∪∪= ∪∪ ∪= ∪ = ∪∅= = 2,3,5, = 1,7,5 ∴∪= 2,3,5,1,7 ∩ Si
Propiedades.
:
:
Ley Conmutativa Ley Asociativa
:
Ley de Idempotencia
:
Elemento Neutro.
Ejemplo.
Intersección.
. La intersección de dos conjuntos
y
es el conjunto
formado por todos los elementos que pertenecen a los conjuntos “ ” y “ ” a la vez.
∩=⁄ ∈ ∧ ∈
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO
Observación.
∧
equivale a y: Intersección
⊂⟹∩= ∩=∩ ∩∩= ∩∩ ∩= ∩ = ∩∅=∅ Si
Si y
son dos conjuntos disjuntos entonces
∩=∅
Propiedades.
:
Ley Conmutativa :
Ley Asociativa
:
Ley de Idempotencia
:
Elemento Neutro.
Propiedades Complementarias Ley Distributiva
∪∩= ∪∩ ∪ ∩∪= ∩∪ ∩ ∪ ∩= ∩ ∪ = ∪ ′∩=∪
Ley de Absorción
.
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∩ ′∪ =∩ ∪⊂ ⟺⊂, ∧ ⊂ Si: ⊂, ∧ ⊂⟹ ∪ ⊂ ∪ =2,3,4,5,6, =4,6,7,9 ∴∩= 4,6 − −= ⁄ ∈ ∧ ∉
Ejemplo.
Diferencia
. El conjunto diferencia de dos conjuntos
y
(en ese orden)
es el conjunto formado únicamente por los elementos que pertenecen al conjunto pero no pertenecen al conjunto
Notación.
.
−
≠ −≠− = −=−=∅ ⊂ −=∅
Se lee: “ pero no
” (solo )
Observación. Si
entonces
Si
entonces
Si
entonces
Si y
.
.
son conjuntos disjuntos entonces
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO
−=, −= = 2,4,5,6,7,8, = 1,3,6,7,9 ∴−=2,4,5,8, −=1,3,9 △ △ △=⁄ ∈ ∪ ∧ ∉ ∩ △ =⁄ ∈ ∨ ∈, ∧ ∉ ∩ Ejemplo.
Diferencia Simétrica
. La diferencia simétrica de dos conjuntos
y
es el
conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto
o al
conjunto pero no a ambos.
Notación:
o
Observación.
⊂ ∆ =− ∆ =∪ ∆ = −∪− ∆ = ∪ − ∩ ∆ =∅ Si
Si y
Propiedades.
entonces
son conjuntos disjuntos entonces
.
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO
∆ ∅= = 8,7,6,5,4,2, = 9,7,6,3,1 ∴△= 2,4,5,8,1,3,9 , , ̅, ′ −=∩′ ∪ =, ∩ =∅ ∪′=′∩′, ∩′=′∪′ ′∪ ∩=′∪, ′∩ ∪=′∩ .
Ejemplo.
Complemento de .
Propiedades adicionales 1. 2.
3. Leyes de De Morgan
4. Caso particular de la ley de la Absorción
LEYES DEL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS 1. Idempotencia
∪= ∩= ∪=∪ ∩=∩ ∪ ∪=∪ ∪ ∩ ∩=∩ ∩ ∪ ∩ = ∪ ∩ ∪
2. Conmutativa,
3. Asociativa.
4. Distributiva.
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO
∩∪= ∩∪ ∩ ∪′=′∩′, ∩′=′∪′
5. De Morgan.
6. Del Complemento.
∪′= ∩′=∅ ′′= ∪ =, ∩ = ∪∅=, ∩∅=∅ ∪ ∩= ∩ ∪=
7. De la Unidad.
8. De Absorción
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO
∪ ′∩=∪ ∩ ′∪ =∩ −=∩′ ′=∅ ∅′=
9. Diferencia. 10. Adicional.
CONJUNTOS COMPARABLES Dos conjuntos son comparables cuando por lo menos uno de ellos está incluido en el otro.
⊆⟺ ⊂ ∧ ≠, ⊆⟺ ⊂ ∧ ≠ = 3,5, = 1,2,3,4,5,6,7, = 2,4,6,7, = 4,7 y , y , y , y Ejemplo. Dados los conjuntos: Son conjuntos comparables:
CONJUNTOS IGUALES. Se dice que dos conjuntos son iguales cuando ambos poseen los mismos “elementos”.
=⟺⊂ ∧ ⊂ = 3+2⁄ ∈ℤ, 1≤≤4, = 5,14,8,11 = Ejemplo. Dados los conjuntos: Se observa que:
.
CONJUNTOS DISJUNTOS O AJENOS. Dos conjuntos se denominan disjuntos cuando no poseen ningún elemento en común
Ejemplo. Dados los conjuntos:
=⁄ es un varón, =⁄ es una mujer
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO
∴ y
son disjuntos.
Observación. Si dos conjuntos son disjuntos, entonces ambos son diferentes. Si dos conjuntos son diferentes, entonces no siempre serán disjuntos.
Ejemplo. Dados los conjuntos:
= 5,2,,, = 4,3,, y ⟹≠ = 1,3,,,7, = 2,8,, ≠ y son disjuntos
Ejemplo. Dados los conjuntos: pero
no son disjuntos
CONJUNTOS COORDINABLES O EQUIPOTENTES Dos
conjuntos
son
coordinables
cuando
se
pueda
establecer
una
correspondencia uno a uno entre todos y cada uno de los elementos del primer conjunto con los del segundo conjunto. A dicha correspondencia se le denomina biunívoca y como consecuencia de estos se tiene que las cardinales de estos conjuntos son iguales (si son finitos).
Ejemplo. Dados los conjuntos:
= Lima,Caracas,Bogotá,Santiago = Perú,Venezuela,Colombia,Chile Se observa que es posible establecer la correspondencia biunívoca: “… es capital de …”
y
Entonces
son conjuntos coordinables, luego:
=
.
CLASES DE CONJUNTOS Los conjuntos se clasifican teniendo en cuenta la cantidad de elementos diferentes que poseen, según esto se tiene:
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO Finito. Si posee una cantidad limitada de “elementos”, es decir, el proceso de contar sus diferentes elementos termina en algún momento.
Ejemplo. Dados los conjuntos:
= 3+2⁄ ∈ℤ ∧ 1≤ ≤4 =4 =⁄ es un día de la semana =7 = ∈ ℚ⁄1 <≤2 =? es finito porque
es finito porque
Infinito. Si posee una cantidad ilimitada de “elementos”.
es infinito porque
CARDINAL DE UN CONJUNTO Se llama número cardinal de un conjunto
a la clase de los conjuntos
coordinables con (es decir el número cardinal es una clase de equivalencia). Vulgarmente se acostumbra a señalar que el número cardinal, es el número de
elementos del conjunto y se denota como
card
Observación.
o
.
∅=0 ∪= +− ∩ ∪ = + ∪∪= ++− ∩− ∩− ∩+ ∩∩ =3,6,9,12,15, entonces =5 = 2,2,3,3,3,5,7, entonces =4 1. 2.
3. Si y
son conjuntos disjuntos entonces
4.
Ejemplo.
NÚMERO ORDINAL.
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO Teniendo en cuenta una disposición de los elementos dentro del conjunto del cual forman parte, cada uno determina su número ordinal como el lugar que ocupa en el orden establecido.
Notación.
ord:número ordinal de = 7, ,△,13 ⟹ord =2, ord△ =3 "∀" "∀ ∈; " ∈ = 2,4,6,8 = =3−2>4 ∀ ∈: es un número par ∀ ∈: 3−2>4 “∃” "∃ ∈∕" =7,5,3,1 = = −4 =4 ∃ ∈: es unnúmero impar ∃ ∈: −4 =4 CUANTIFICADORES.
a) Universal: se denota por Si
y se lee “para todo” o “para cualquier”.
es una función proposicional,
es una
proposición que será verdadera cuando para todos los valores de se cumpla
.
Ejemplo. Si
es un número par
Luego
(V)
(F)
b) Existencial. Se denota por
y se lee “existe al menos un”. Si
una función proposicional,
es
es una proposición que será
verdadera si existe por lo menos un elemento de , que cumple
Ejemplo. Si
es un número impar
Luego
c) Negación de los Cuantificadores
(V) (F)
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO
~(∀ ∈∶)≡∃ ∈⁄∼ ∼∃ ∈⁄≡∀ ∈: ~ PAR ORDENADO Es un conjunto que tiene dos elementos (no necesariamente diferentes), en el cual interesa el ordenamiento de estos elementos llamados también componentes.
:
es la primera componente
:
es la segunda componente
,
Propiedad. Dos pares ordenados son iguales si y solo sí sus respectivas componentes son iguales. Es decir:
, = , ⟺ = ∧ = Si +,13 = 31,−. Hallar. +,13 = 31,− 31+13 31−13 ⟹ = =22, = =9 +=31 −=13 2 2 Luego: = 229 Ejemplo.
Solución. Si
PRODUCTO CARTESIANO
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO
× , ×=,⁄ ∈ ∧ ∈ =a,b, =c,d × × ×=a,c,a,d,b,cb,d ×= c,a, c,b, d,ad,b ×≠× ×=×⟺= × = ×, y × − × = × − × ∩ × × ∩ = × ∩ × × ∪ = × ∪ × ×−= ×− × ⊂ × ⊂ ×, ∀ ×∅=∅×=∅ ××≠ ×× Dados dos conjuntos
y
denotado por
ordenados
no nulos, se denomina producto cartesiano de
en ese orden, al conjunto formado por todos los pares
tal que las primeras componentes pertenecen al conjunto
las segundas componentes pertenecen al conjunto
.
Ejemplo. Dados los conjuntos y Hallar
y
.
Solución.
Observación.
en general.
son conjuntos finitos.
Propiedades. 1. 2. 3.
4. Si
entonces
5.
6. En general
EJERCICIOS.
y
y
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO 1. Dados los conjuntos unitarios
=90,ab, =a+b,23 = 0,1,1,2,3,5,8,…,55 =5,3,3,7,9,11,14 I 5∈, II3⊂ , III 7,14 ∈ IV 3 ⊂, V 9,11 ⊂, VI ∅⊂ = a = 3a−8,44, = 10,b,−20 =⁄ ∈ ℤ, −7 <4+1 <21 = a, a, ∅,∅ I a ∈ ∧ a ⊂, II a ⊂ ∧ a∈ III ∅ ⊂ ∧ ∅∈, IV ∅⊂ ∧ ∅∈ V a,∅ ⊂ ∧ a, ∅⊂ 100 40 10 1024 6 Hallar la diferencia entre
y .
2. Hallar el cardinal de si 3. Dado el conjunto
¿Cuántas proposiciones son verdaderas?
4. Si
. Calcular
5. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto
?
6. Dados el conjunto
7. En un salón de clase de hay
alumnos, hay diez hombres provincianos,
mujeres limeñas y el número de mujeres provincianas excede en
al número de hombres limeños. ¿Cuántos hombres hay en el aula?
8. Un conjunto tiene
elementos tendrá?
9. Dados los conjuntos
subconjuntos en total. ¿Cuántos subconjuntos de
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO
=6,2,∅, =∅,∅,2,6 ∩ =1,2,2,1,2 I1,2⊂, II 1, 2∈( ), III∅,2∈ 100 49 53 27 15 10 85 Hallar
10.Dado el conjunto
Indicar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
11.De un grupo de
alumnos,
llevan el curso de Lógica y
no llevan el curso de Análisis,
no
no llevan ni Análisis ni Lógica. ¿Cuántos
alumnos llevan uno de los cursos?
12.Durante un examen se observó en un aula que techo y no usaban lentes,
alumnos miraban al
usaban lentes y resolvían el examen. El
número de alumnos que usaban lentes y miraban al techo era el doble de los que resolvían el examen y no usaban lentes. Si en el salón había
alumnos. ¿Cuántos resolvían su examen? (considere que los que no resolvían su examen miraban al techo).
13.Dados los conjuntos:
=1,2,3,4,5,6,…,21,22 = ∈ ⁄ es un número primo = ∈ ⁄ es un número impar ∆ = 1,2,9,15,21 ∩ 7 −−−=2 − ∪ =9
..
¿Qué proposiciones son verdaderas? I.
II.
III.
IV.
tiene “ ” elementos
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO
= es impar∕6< ≤11 =3−1 2 ∈ℤ⁄0 <<7 [ × − ×] 308 13 14 17 13 16 112
14.Si
Calcular
15.De
personas interrogadas, se determinó que el número de los que
leen solamente “El Comercio” y “La Industria” es: de los que leen solo “El Comercio” de los que leen solo “La República” de los que leen solo “La Industria” de los que leen “El Comercio” y “La Industria” de los que leen “La Industria” y “La República” solamente de los que leen “El Comercio” o “La República” pero no “La
Industria” Si todas las personas interrogadas leen al menos uno de estos diarios. ¿Cuántas de estas personas leen o bien “El Comercio” o bien “La Industria”?
=5,6,5,6,8 5 ∈, b6∈, c 6∈, d 7∈, e5∈ f6⊄, g 5,6 ∈, h6,8∈, i 8 ⊂ j ∅∈A =1,2,1,2,3, =2,1,1,3,3 − ∩ ∪ −
16.Si
17.Dados los conjuntos: Hallar el conjunto;
. ¿Cuántas proposiciones son verdadera?
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO 18.De un grupo de estudian Inglés;
100 30 10
estudiantes se obtuvo la siguiente información:
estudian Alemán,
Inglés y Alemán;
3
42
estudian Francés;
estudian Inglés y Francés;
5
8
28
estudian
estudian Alemán y
Francés; estudian los tres idiomas. ¿Cuántos estudiantes no estudian ningún idioma?
19.Una persona come pan con mantequilla o mermelada cada mañana durante el mes de mayo; si
22
días comió pan con mermelada y
12
días
con mantequilla. ¿Cuántos días comió pan con mantequilla y mermelada?
20.En una competencia atlética con
4
12 7
pruebas participaron
42
atletas,
siendo los resultados: conquistaron medalla de oro, plata y bronce;
8
6
de oro y plata; de plata y bronce; de oro y bronce. ¿Cuántos atletas no conquistaron medalla?
100 10
21.De una reunión de
60
son varones,
personas se sabe de ellas que
son mujeres casadas,
25
40
no tienen hijos,
personas casadas tienen
5 − =∩′ ∪ = ∆ ∪ ∩ ∪′=′∩′ −= − ∩′= ∪ − ∩ ∩ 128 − 64 × 182 ∆
hijos, hay madres solteras. ¿Cuántos varones son padres solteros?
22.¿Cuántas de las siguientes proposiciones, para conjunto, son correctas?
23.Para los conjuntos tiene
el cardinal de
y
se tienen que
subconjuntos y .
tiene
tiene
subconjuntos,
elementos. Determinar
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO 24.Durante el mes de mayo, José visitó a su novia, fue a la Universidad o al trabajo. Si no hubo día en que se dedicara a solo dos actividades y además visitó
12
días a su novia, fue a la Universidad
¿Durante cuántos días solo trabajó?
18
días y trabajó
20
días .
25.Considere tres conjuntos , y contenidos en , tales que:
∩= − =50 ∩ =2 − ∩ −==90 150
Hallar
26.En una reunión hay
314
personas. Un grupo de ellos se retiran con sus
respectivas parejas, de los que quedan los
29
son mujeres y los
son
varones solteros. ¿Cuántas mujeres asistieron en total?
27. En una tienda se observó que el total de personas era
6 4 32 8 9
50
, de las cuales:
vendedores usaban bigotes vendedores usan mandil vendedores no usan mandil
personas usan bigotes personas usan mandil.
¿Cuántos no son vendedores, ni usan mandil, ni bigotes?
140
28.En el distrito de Salaverry se realizó una encuesta a
familias sobre
el uso de algunos de los siguientes artefactos: televisor, radio, refrigeradora. Se obtuvo la siguiente información:
85
familias tienen por
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO lo menos
2
artefactos y
10
familias no dispone de ningún artefacto.
¿Cuántas familias tienen exactamente un solo artefacto?
∪ =12, ∩ =7, = +1 −= ∪ 1600 600 650 250 350 200 950 150
29. y son dos conjuntos tales que: Sabiendo que
Calcular ¿cuántos subconjuntos propios tiene ?
30. ¿Cuántos de los sabiendo que: y baile,
alumnos están inscritos en teatro pero no en canto,
están inscritos en teatro,
en canto y baile,
en canto,
en teatro y canto;
en teatro
en baile,
llevan los tres cursos?
31. Simplificar la expresión conjuntista:
∩ ∆ ∪ ∩ ∩ ∪ ∪ ∩ 41 21 16 5 2 8 10 19
32.En un vagón de tren se realiza una encuesta sobre el uso del cigarrillo. De los
pasajeros,
total; de los que fuman
personas están sentadas y hay
mujeres en
varones están sentados y
mujeres están
paradas; de los que no fuman mujeres están sentadas y
varones están
parados. Hallar cuántas mujeres que están paradas no fuman si los que fuman en el total suman
.
