1. Hallar el estimador máximo verosímil de υ (tasa promedio) de una población que distribuye Poisson. Considere el procedimiento descrito en los contenidos de la semana. Se valorará el proceso en detalle. Interprete su resultado.
La Distribución de Poisson es una distribución de variable discreta, que se aplica principalmente en situaciones que buscan medir el número de hechos de cierto tipo que se pueden producir en un intervalo de tiempo o de espacio, bajo supuestos de aleatoriedad y ciertas restricciones, especializándose en la probabilidad de ocurrencia de sucesos con posibilidades muy pequeñas . La función de probabilidad se representa como:
𝑃(𝑋 = 𝑥) =
𝑒 −𝑣 ∗ 𝑣 𝑥 𝑥!
Donde υ es la tasa de incidencia media del evento, o tasa promedio, es decir un parámetro que representa el número de veces que ocurra un fenómeno en un determinado período de tiempo. Por su parte x es el número de ocurrencias del evento, por lo que esta función nos entrega la probabilidad de que un acontecimiento suceda precisamente x veces.
El ejercicio planteado pide encontrar el Estimador de Máxima Verosimilitud de la tasa promedio v, por lo que se debe utilizar el Método de Máxima Verosimilitud. En este sentido cabe recordar que la Función de Verosimilitud para una muestra de tamaño n de variables aleatorias x, que definen a una población con parámetro θ, a través de una función de probabilidad 𝑓(𝑥; 𝜃), se estructura como: 𝑛
𝐿(𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 ; 𝜃) = ∏ 𝑓(𝑥𝑖 ; 𝜃) 𝑖=1
Por lo que para encontrar el Estimador de Máxima Verosimilitud, lo primero es tomar esta Función de Verosimilitud y transformarla en una función monótona a través de logaritmo natural, para luego derivar y luego igualando a 0. Por lo tanto se tiene: 𝑛
𝐿(𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 ; 𝑣) = ∏ 𝑖=1
𝑒 −𝑣 ∗ 𝑣 𝑥𝑖 𝑥𝑖 !
𝐿(𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 ; 𝑣) =
𝑒 −𝑣 ∗ 𝑣 𝑥1 𝑒 −𝑣 ∗ 𝑣 𝑥3 𝑒 −𝑣 ∗ 𝑣 𝑥𝑛 ∗ ∗ ⋯∗ 𝑥1 ! 𝑥2 ! 𝑥𝑛 !
𝐿(𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 ; 𝑣) =
𝑒 −𝑛𝑣 ∗ 𝑣 ∑ 𝑥𝑖 ∏ 𝑥𝑖 !
Donde ∏ 𝑥𝑖 ! es una constante que se puede denotar por k, por lo que al aplicar logaritmo natural a la función queda de la siguiente forma: 𝑙𝑛(𝐿(𝑥; 𝜐) ) =
𝑙𝑛(𝑒 −𝑛𝑣 ∗ 𝑣 ∑ 𝑥𝑖 ) ∏ 𝑥𝑖 !
Dado que por propiedades de los logaritmos se tiene que 𝑙𝑛(𝑎 ∗ 𝑏) = 𝑙𝑛(𝑎) + 𝑙𝑛(𝑏), y en paralelo que 𝑙𝑛(𝑎/𝑏) = 𝑙𝑛(𝑎) − 𝑙𝑛(𝑏), y además que 𝑙𝑛(𝑎𝑛 ) = 𝑛 ∗ 𝑙𝑛(𝑎)𝑦 𝑙𝑛(𝑒) = 1, la expresión queda: 𝑛
𝑙𝑛(𝐿(𝑥; 𝜐) ) = −𝑛𝑣 + ∑ 𝑥𝑖 𝑙𝑛(𝑣) − 𝑙𝑛(𝑘) 𝑖=1
Que es la fórmula que hay que maximizar a través de la derivada del parámetro, lo que resulta en lo siguiente: 𝜕𝑙𝑛(𝐿(𝑥; 𝜐) ) ∑ 𝑥𝑖 = −𝑛 + 𝜕𝜐 𝑣 Que es lo que hay que igualar a 0, por lo tanto: ∑ 𝑥𝑖 =0 𝑣 ∑ 𝑥𝑖 =𝑛 𝑣 ∑ 𝑥𝑖 =𝜐 𝑛
−𝑛 +
Luego el Estimador de Máximo Verosimilitud de la Tasa Promedio υ es la media de la muestra: 𝑣̂=𝑥̅
Esto es correcto ya que, la tasa promedio es igual a la media en la distribución de Poisson.
2. Si x es una variable aleatoria con la siguiente distribución de probabilidad:
𝑓(𝑥) = {
0<𝑥<1 (𝑎 + 1) ∗ 𝑥 𝑎 ; 0 ; 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
Encontrar el estimador máximo verosímil de , basado en una muestra de tamaño n.
Suponga una muestra aleatoria 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 con 𝑋~𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖 (𝑎): 𝐿(𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 ; 𝑎) = 𝑎(𝑋1 = 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 ; 𝑎) Por independencia: 𝑛
𝑛
∏ 𝑎(𝑋𝑖 = 𝑋𝑖 ) = ∏(𝑎 + 1) ∗ 𝑥𝑎 𝑖=1
𝑖=1 𝑛
= (𝑎 + 1)𝑛 ∗ ∏ 𝑥 𝑎 𝑖=1
𝑛
= (𝑎 + 1) ∗ 𝑛!𝑎 Se aplica logaritmo: 𝑛
ln 𝐿(𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 ; 𝑎) = ln[(𝑎 + 1) ∗ 𝑛!𝑎 ] Se aplican propiedades de los logaritmos:
𝑛
= ln(𝑎 + 1) + ln 𝑛!𝑎
= 𝑛 ∗ ln(𝑎 + 1) + 𝑎 ∗ ln 𝑛! 𝑛
= 𝑛 ∗ ln(𝑎 + 1) + 𝑎 ∗ ∑ ln 𝑥 𝑖=1
Se deriva respecto del parámetro a:
𝑛
𝜕 𝑛 ln 𝐿(𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 ; 𝑎) = + ∑ ln 𝑥 𝜕𝑎 𝑎+1 𝑖=1
Se iguala a cero para hallar el máximo: 𝑛
𝑛 + ∑ ln 𝑥 = 0 𝑎+1 𝑖=1
𝑎+1= 𝑎=
−𝑛 ∑𝑛𝑖=1 ln 𝑥
−𝑛 ∑𝑛𝑖=1 ln 𝑥
−1
