Diseño mecánico 1 Diseño de ejes – velocidad crítica de ejes José Alberto Zavala Bustos
VELOCIDAD CRÍTICA DE EJES. Todos los ejes, aún sin la presencia de cargas externas, se deforman durante la rotación. La magnitud de la deformación depende de la rigidez del eje y de sus soportes, de la masa total del eje y de las partes que se le adicionan, del desequilibrio de la masa con respecto al eje de rotación y del amortiguamiento presente en el sistema. La deformación, considerada como una función de la velocidad, presenta sus valores máximos en las llamadas velocidades críticas, pero sólo la más baja (primera) y ocasionalmente la segunda tienen importancia para el diseñador. Las otras, son generalmente tan altas que están muy alejadas de las velocidades de operación. En la primera velocidad crítica, la flexión del eje sigue la forma más sencilla posible. En la segunda, la flexión sigue la segunda forma más sencilla, etc. por ejemplo, un eje soportado en sus extremos y con dos masas relativamente grandes (en comparación con la del eje), se deforma según la configuración mostrada en las figuras 1.a y 1.b, cuando rota en la primera y segunda velocidad crítica, respectivamente. respectivamente.
Figura 1.a
Figura 1.b
La frecuencia natural de un eje en flexión es prácticamente igual a la velocidad crítica y, generalmente se toman como iguales. Existe una diferencia, normalmente muy pequeña, debida a la acción giroscópica de las masas.
Para un eje que lleva unida una sola masa (figura 2.a y 2.b y 2.c), si su masa es pequeña en comparación con la masa que lleva unida, la primera velocidad crítica puede calcularse aproximadamente por:
n
k
-----------------------1
m
Figura 2.b
Figura 2.a
Figura 2.c
resorte del eje (fuerza requerida para producir una deformación unitaria en el punto Donde m es la masa y k, la constante de resorte de localización de la masa). Esta relación es independiente de la inclinación del eje (horizontal, vertical o intermedio). El símbolo X, en la figura 2.b, representa la deformación del eje durante la rotación, en el punto de localización de la masa.
1
Diseño mecánico 1 Diseño de ejes – velocidad crítica de ejes José Alberto Zavala Bustos
Además:
n
g ----------------------2
Donde , es la deformación estática (deformación producida por una fuerza mg W , en el punto de localización de la masa y
g , es la constante de la gravedad.
Para un eje de sección transversal constante, simplemente apoyado en sus extremos, sin otra masa fuera de la propia, la velocidad crítica (primera), es muy cercana a:
c
5
g ------------------------3
4
max
Donde max , es la deformación estática máxima producida por una carga distribuida uniformemente sobre el eje e igual a su propio peso.
Para un eje de masa despreciable con varias masas concentradas unidas a él, (Figura 3), la primera velocidad crítica es aproximadamente: j
W c
g
n
n
i j
W n
--------------------4
2
n
i
Donde
W n , es el peso de la masa n-ésima, n , es la d eformación estática en la masa n-ésima, j , número total de masas.
Figura 3
La ecuación 4, se le conoce como ecuación de Rayleigh –Ritz. La cual, también puede usarse para calcular la primera velocidad crítica de un eje que tiene una masa distribuida (figura 4). Se divide la masa distribuida en un número de partes: m1, m2, m3, etc. se considera la masa de cada parte como si estuviera concentrada en su propio centro de gravedad. La experiencia da el número de subdivisiones que debe usarse, pero, puede verse, que con una partición no muy refinada puede obtenerse una buena aproximación.
Figura 4 2
Diseño mecánico 1 Diseño de ejes – velocidad crítica de ejes José Alberto Zavala Bustos
La ecuación de Dunkerley (Ec. 5), pr oporciona otra aproximación para la primera velocidad crítica de un sistema de masas múltiples: 1
2
1 2
2
1
c
1
1 2
... --------------------------------------------5
2
3
Donde n , es la primera velocidad crítica del sistema de masas múltiples, 1 , es la velocidad crítica que existiría con la presencia aislada de la masa 1, 2 , es la velocidad crítica que existiría con la presencia aislada de la masa 2, etc. Es importante recordar que las ecuaciones de Rayleigh-Ritz y Dunkerley, son aproximaciones a la primera frecuencia natural de vibración, la cual se supone igual a la velocidad crítica de rotación. En general, la ecuación de Raylegh-Ritz, sobreestima la frecuencia natural, mientras que la de Dunkerley la subestima.
Las velocidades críticas más altas para sistemas con masas múltiples, requieren cálculos mucho más extensos que los necesarios para determinar la velocidad crítica más baja (primera). Existen muchos métodos para dicho efecto. Para un sistema de dos masas: 1
a m a m 11
4
1
22
2
1 2
a a a a m m 0 -----------------------6 11
22
12
21
1
2
1
1
Esta es una ecuación bicuadrática con dos raíces positivas
1
y
2
, en la cual 1 y 2 son la primera y segunda
velocidades críticas (o frecuencias naturales de vibración). Las dos masas son m 1 y m2. Las constantes de influencia,
a son coeficientes
a12 es la deformación en el punto de localización de la masa No. 1, producida por una carga unitaria
localizada en el punto de la masa No. 2,
a11 es la deformación en el punto de la masa No. 1, producida por una carga
unitaria en el punto 1, etc. el teorema de reciprocidad de Maxwell, establece que
a12 a21 .
Para un sistema de masas múltiples, la ecuación de frecuencias se o btiene igualando a cero el siguiente determinante:
1 a m a m a m 1 a m a m a m 1 a m a m a m ... ... ... 11
3
1
12
2
21
1
31
1
22
2
2
32
13
23
2
2
33
3
3
3
2
...
... --------------------------7 ... ...
