ARMADURAS ESPACIALES
ESTÁTICA
INTRODUCCIÓN
Las armaduras, las cuales están diseñadas para soportar cargas y por lo general son estructuras estacionarias que están totalmente restringidas. Las armaduras consisten exclusivamente de elementos rectos que están conectados en nodos localizados en los extremos de cada elemento. Este tipo de sistemas tienen la característica de ser muy livianos y con una gran capacidad de soportar cargas. Se utilizan principalmente en construcciones con luces grandes. Como techos de bodegas, almacenes, iglesias y en general edificaciones con grandes espacios en su interior. En el presente informe, estaremos tratando especialmente de armaduras espaciales. Las estructuras espaciales son sistemas estructurales compuestos por elementos lineales unidos de tal modo que las fuerzas son transferidas de forma tridimensional. Pueden tomar cualquier tipo de forma tanto plana como curva. Sus elementos son prefabricados y no precisan para el montaje de medios de unión distintos de los puramente mecánicos. Este tipo de solución constructiva puede ser utilizada ut ilizada en diferentes aplicaciones, aunque la principal es la de estructura de cubierta, siendo la solución más competitiva cuanto mayores son las cargas a soportar y mayor es la luz que se ha de salvar. Por este motivo su uso es ideal en espacios donde no se pueden colocar pilares, como polideportivos, grandes recintos feriales, cubrición de plazas de toros, hangares, etc. Además se trata de estructuras muy rígidas y ligeras que reparten la carga de forma homogénea sobre los pilares, que permiten una instalación muy sencilla a posteriori de las distintas instalaciones y son de una gran robustez y resistencia al colapso.
UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO”
1
ARMADURAS ESPACIALES
ESTÁTICA
ARMADURAS ESPACIALES Una armadura espacial consiste en elementos unidos en sus extremos para formar una estructura estable tridimensional. La forma más simple de una armadura espacial es un tetraedro, formado al conectar seis elementos entre sí. Cualquier elemento adicional agregado a este elemento básico sería redundante en el soporte de la fuerza “F”.
Una armadura espacial simple puede constituirse a partir de este
tetraedro básico agregando tres elementos adicionales y un nodo, y continuar de esta manera hasta formar un sistema de tetraedros multiconectados. Los elementos de una armadura espacial se pueden tratar como elementos de dos fuerzas siempre que la carga externa esté aplicada en los nodos y éstos consistan en conexiones de rótula esférica. Estos supuestos se justifican cuando las conexiones, soldadas o empernadas, de los elementos unidos se intersecan en un punto común y el peso de los elementos puede ser ignorado. En casos donde debe incluirse el peso de un elemento en el análisis, por lo general resulta satisfactorio aplicarlo como una fuerza vertical, la mitad de su magnitud aplicada en cada extremo del elemento.
UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO”
2
ARMADURAS ESPACIALES
ESTÁTICA
En Ingeniería, las principales estructuras no están en un plano, sino que son de tres dimensiones. Las armaduras en el espacio son aquellas que forman un armazón estable y no está en un solo plano. A diferencia de las armaduras planas, las armaduras en el espacio requieren de un elemento básico diferente al triangulo. En este caso, se agregan otras barras fuera del plano del triángulo principal, formando un tetraedro básico. Al igual que en las armaduras planas, las armaduras en el espacio también tienen una relación definida entre las barras y el número de nodos, para lograr estabilidad. En número de barras es el triple del número de nodos menos cuatro. La ecuación tiene la siguiente forma:
= 3 − 4 + 6 = 3 − 6
, donde n= número total de nodos.
Estas relaciones de los números de nodos y barras son necesarias para afirmar que una estructura es estable, pero no es suficiente.
UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO”
3
ARMADURAS ESPACIALES
ESTÁTICA
ANÁLISIS DE ARMADURAS Las armaduras son analizadas con la finalidad de determinar los esfuerzos que actúan sobre las barras que la componen. Con dichos esfuerzos son calculadas las dimensiones que tendrán las secciones transversales. Lo primero que se debe de hacer es aplicar las condiciones de equilibrio externos a la estructura, y así proceder a buscar el equilibrio en cada barra y cada nodo. Por lo general, los elementos de las estructuras se unen mediante soldadura, juntas remachadas, y en menor grado, juntas de pasador. Normalmente las aristas superior e inferior de una armadura son continuas. Para simplificar los problemas, la armadura real es sustituida por una idealizada, en la que existen ciertas condiciones ideales. Estas condiciones son:
Las barras están unidas en sus extremos por pasadores lisos.
Las cargas únicamente actúan sobre los nodos.
El peso de los miembros individuales es despreciable.
Cuando las juntas son remachadas, los ángulos entre los miembros se conservan durante las cargas. Así, cuando se aplican las cargas a los nodos las juntas tienden a transmitir fuerzas axiales y transversales a cada miembro, y como consecuencia las barras tienden a doblarse y deformarse. Con la suposición de la primera condición, solo se permite la transmisión de una fuerza axial a cada barra, y las fuerzas que actúan sobre ellas no tienen componentes normales. Esta suposición se satisface cuando las líneas centrales de los miembros de cada nodo se cortan en un punto en común. Para la mayoría de las armaduras es válida la suposición de la segunda condición. Las cargas que son aplicadas en las barras se transmiten a los nodos de la estructura. Cuando esto sucede, se induce una fuerza en cada uno de los miembros de la armadura. La fuerza puede hacer que se acorte o estire la barra, y son llamadas fuerzas de compresión y tensión respectivamente. En cuanto a la tercera condición, la armadura física se sustituye por una ideal, que consiste en miembros de peso despreciable, unidos por pasadores lisos en los que se aplican las fuerzas externas. Para diseñar la armadura se deben conocer las fuerzas que actúan sobre cada miembro, antes de elegir el material y
UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO”
4
ARMADURAS ESPACIALES
ESTÁTICA
la forma estructural. Son dos los métodos utilizados para analizar las armaduras planas: método de los nodos y por secciones. 1)
Método de los nodos para armaduras
El equilibrio es uno de los requisitos que debe cumplir una estructura, por lo que la sumatoria de fuerzas aplicadas debe ser igual a cero. Al descomponer cada fuerza en un plano en sus componentes rectangulares, aparecen las condiciones necesarias para el equilibrio, de forma que:
∑ = 0, ∑ = 0 ∑ = 0. Para estructuras estáticas sólo es necesario plantear las ecuaciones de equilibrio para encontrar fuerzas de reacción y que éstas no sobrepasen en número a las ecuaciones de equilibrio. Al considerar un diagrama de cuerpo libre de toda la armadura, las fuerzas de sus miembros serían fuerzas internas y no podrían obtenerse a partir de un análisis de equilibrio. Cada barra puede ser considerada como un sólido sometido a cargas equivalentes en sus extremos. Este método consiste en dibujar por separado los diagramas de cuerpo libre de las barras y los nodos y aplicar las condiciones de equilibrio a cada una. Como los miembros de la armadura son rectos y las fuerzas en están en un mismo plano, el sistema de fuerzas que actúa en cada nudo es coplanar y concurrente. El análisis siempre comienza por un nodo del que se conozca por lo menos una fuerza y no tenga más de dos fuerzas desconocidas. De esta manera, de las fuerzas descompuestas en sus componentes resultan ecuaciones algebraicas que pueden ser resueltas paras las dos incógnitas. Como ya mencionamos, lo primero que se debe hacer es trazar el diagrama de cuerpo libre. Luego utilizar el método para establecer el sentido de la fuerza desconocida. Orientar los ejes de manera que se puedan resolver las ecuaciones de equilibrio de las fuerzas. Después se continúa con el análisis de los demás
UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO”
5
ARMADURAS ESPACIALES
ESTÁTICA
nodos. El tipo de fuerza en las barras se establece según el sentido de las mismas obtenidas por el cálculo en los nodos 2)
Método de las secciones para armaduras
El método de las secciones se usa para determinar las cargas que actúan dentro de un cuerpo. Este método se basa en el principio de que si un cuerpo está en equilibrio, entonces cualquier parte del cuerpo está también en equilibrio. Para analizar las armaduras por el método de las secciones lo primero es chequear la estabilidad y la rigidez y proceder a realizar el diagrama de cuerpo libre. Luego se determinan las reacciones en los apoyos para equilibrio externo. Después de esto se secciona la armadura, cortando imaginariamente tres barras desconocidas. Se toma uno de los lados como un sólido rígido, cuyas fuerzas no son concurrentes ni paralelas y las barras seccionadas se toman como cargas externas desconocidas. Entonces se aplican las ecuaciones de equilibrio:
∑ = 0, ∑ = 0, ∑ = 0
y
∑ = 0, ∑ = 0, ∑ = 0
UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO”
6
ARMADURAS ESPACIALES
ESTÁTICA
E jercicio Nº 01 La armadura espacial soporta una fuerza
= {−500+600+400} . Determine la
fuerza en cada elemento y establezca si los elementos están en tensión o en compresión.
Nodo “C”
= () − = = . = () − () + =
= −.() − () − () = Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) obtenemos:
= −. = . UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO”
7
ARMADURAS ESPACIALES
ESTÁTICA
Nodo “A”
= °− ° = = = = °+°−.() = = . Como:
= = = = . = .() − = = .
Nodo “D”
= +.()−.° = = = − .° = = = .() − = = .
UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO”
8
ARMADURAS ESPACIALES
ESTÁTICA
E jercicio Nº 02
= { + − }
La armadura espacial soporta una fuerza . Determine la fuerza en cada elemento y establezca si los elementos están en tensión o en compresión.
Nodo “C”
= 0
+ () = = − = () − ()+ = = − () − − − () − = Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) obtenemos:
= . = −. UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO”
9
ARMADURAS ESPACIALES
ESTÁTICA
Nodo “A”
= °− ° = = = = () − ° − ℉ = = . Como:
= = = = . = − () = =
Nodo “D”
= .()+.°− = = . = .°− = = = .() − = =
UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO”
10
ARMADURAS ESPACIALES
ESTÁTICA
E jercicio Nº 03 Determine la fuerza en cada elemento de la armadura espacial y establezca si los elementos están en tensión o en compresión. La armadura está soportada por rótulas esféricas en A, B y E . Considere
= {}
Nodo “D”
= + = − + √ . √ . = . + = − + √ . − . √ . = + = − − √ . √ . Resolviendo las tres ecuaciones anteriores obtenemos:
= . = UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO”
11
ARMADURAS ESPACIALES
ESTÁTICA
= .
Nodo “C”
= − √ . . = = . = . . − = √ . = . = − √ . . = = .
UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO”
12
ARMADURAS ESPACIALES
ESTÁTICA
E jercicio Nº 04 Determine la fuerza en cada elemento de la armadura espacial y establezca si los elementos están en tensión o en compresión. La armadura está soportada por rótulas esféricas en A, B y E . Considere
= {−+ }
Nodo “D”
= + − = − + √ . √ . = . + = − + √ . − . √ . = + = − − √ . √ . Resolviendo las tres ecuaciones anteriores obtenemos:
= . = . UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO”
13
ARMADURAS ESPACIALES
ESTÁTICA
= .
Nodo “C”
= − √ . . = = . = . . − = √ . = . = − √ . . = = .
UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO”
14
ARMADURAS ESPACIALES
ESTÁTICA
E jercicio Nº 05 Determine la fuerza en los elementos BE , DF y BC de la armadura espacial, y establezca si los elementos están en tensión o en compresión.
Nodo “C”
= °− = = . = .°− = = .
Nodo “D”
Analizando el gráfico tenemos que:
= = (√ ) − .° = = .
UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO”
15
ARMADURAS ESPACIALES
ESTÁTICA
Nodo “B”
= (. √ ) − = = . E jercicio Nº 06 Determine la fuerza en los elementos AB,
CD, ED
y
CF de
la armadura espacial, y
establezca si los elementos están en tensión o en compresión.
Nodo “C”
Analizando el gráfico obtenemos:
= = °− = = . = .°− = = .
UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO”
16
ARMADURAS ESPACIALES
ESTÁTICA
Nodo “D”
Analizando el gráfico tenemos que:
= ∑ = (√ )−.° = = . = .(√ ) − = = .
Nodo “B”
= (. ) − = √ = . = − .(√ ) = = .
UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO”
17
ARMADURAS ESPACIALES
ESTÁTICA
E jercicio Nº 07 Determine la fuerza en los elementos AB, AE , BC , BF , BD y BE de la armadura espacial, y establezca si los elementos están en tensión o en compresión.
Nodo “A”
= () − = = = 0 −() − (√ ) = = . = −.(√ )−() = =
UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO”
18
ARMADURAS ESPACIALES
ESTÁTICA
Nodo “C”
= (√ ) = =
Nodo “B”
=
− () − (√ ) − (√ ) = = () − (√ ) − (√ )− = = (√ ) + () − = Resolviendo las ecuaciones anteriores obtenemos:
= = . = −.
UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO”
19
ARMADURAS ESPACIALES
ESTÁTICA
E jercicio Nº 08 Determine la fuerza en los elementos EF , DF ,
CF
y
CD de
la armadura espacial, y
establezca si los elementos están en tensión o en compresión.
Primero se calculan las reacciones en los soportes:
′ = + − − = = ′ = + − = = ′ = + − = = = 0
− + + − = UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO”
20
ARMADURAS ESPACIALES
ESTÁTICA
= = − = = = − − = =
Nodo “C”
= 0
(√ ) = = = − = = = =
Nodo “F”
= − = =
= −() − (√ ) = = . = UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO”
21
ARMADURAS ESPACIALES
ESTÁTICA
+ − ()−.(√ ) = =
UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO”
22
ARMADURAS ESPACIALES
ESTÁTICA
E jercicio Nº 09 Si la armadura soporta una fuerza de
= , determine la fuerza en cada elemento
y establezca si los elementos están en tensión o en compresión.
Nodo “A”
∑ = . ) = (√ . ) − ( . √ . = . . (√ . ) − ( ) − ( . √ . √ .) = = . . (√ . ) + ( ) − ( . √ . √ .) + = Resolviendo las ecuaciones anteriores obtenemos:
= = . = .
UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO”
23
ARMADURAS ESPACIALES
ESTÁTICA
Nodo “B”
= .(√ . .) − ° = = . = °−° = = = = .°−.(√ . .)−° = = . Como:
= =
= = .
UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO”
24
ARMADURAS ESPACIALES
ESTÁTICA
E jercicio Nº 10 Determine la fuerza desarrollada en cada elemento de la armadura espacial y establezca si los elementos están en tensión o en compresión. La caja tiene un peso de 150 lb.
Primer análisis
= (−++° ) √ = −.+. +. = . + . + . = − ̅ = − = −. + . = = . + . − = = . + . − = Resolviendo las ecuaciones obtenemos: UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO”
25
ARMADURAS ESPACIALES
ESTÁTICA
= = . = .
Segundo análisis
= = °+° = .−.−. −. = −. − . − = + ° − . = = ° − = Resolviendo:
= . =
Tercer análisis
= .. −. − . = °−.. = = .
UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO”
26
