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1 EJERCICIOS DE ECUACIONES, INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO UNIDAD 1: TAREA 3

TRABAJO COLABORATIVO No. 1 ALGEBRA, TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA

PRESENTADO POR: EDWIN RAMIRO GALINDEZ VALENCIA DIANA LORENA MUÑOZ JUAN CARLOS JANSASOY

TUTOR: ARMANDO PERDOMO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – (UNAD) 2017

2 INTRODUCCION Se estarán abordando ejercicios de acerca de ecuaciones, inecuaciones y valor absoluto, ecuaciones de primer, segundo y tercer de grado, inecuaciones lineales, racionales, cuadráticas, mixtas y ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto.

3 Problema 2. Determine el valor de “x” que satisface la siguiente ecuación racional y compruebe su solución con Geogebra. (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑥 − 𝑎)2 4𝑎𝑏 + 2 =0 (𝑥 − 𝑎)(𝑎 − 𝑏) 𝑎 − 𝑏2 (𝑥 − 𝑎)2 (𝑥 − 𝑎)2 4𝑎𝑏 + + 2 =0 (𝑥 − 𝑎) (𝑥 − 𝑏) 𝑎 − 𝑏 2 2(𝑥 − 𝑎)2 4𝑎𝑏 + 2 =0 (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏) 𝑎 − 𝑏 2 2(𝑥 − 𝑎) 4𝑎𝑏 + 2 =0 (𝑥 − 𝑏) 𝑎 − 𝑏 2 2(𝑥 − 𝑎) −4𝑎𝑏 = 2 (𝑥 − 𝑏) 𝑎 − 𝑏2 −4𝑎𝑏 2(𝑥 − 𝑎) = 2 (𝑥 − 𝑏) 𝑎 − 𝑏2 2(𝑥 − 𝑎)(𝑎2 − 𝑏 2 ) = −4𝑎𝑏(𝑥 − 𝑏) (𝑥 − 𝑎)(𝑎2 − 𝑏 2 ) = −2𝑎𝑏(𝑥 − 𝑏) 𝑥𝑎2 − 𝑥𝑏 2 − 𝑎3 + 𝑎𝑏 2 = −2𝑎𝑏𝑥 + 2𝑎𝑏 2 𝑥𝑎2 − 𝑥𝑏 2 + 2𝑎𝑏𝑥 = 2𝑎𝑏 2 − 𝑎𝑏 2 +𝑎3 𝑥𝑎2 − 𝑥𝑏 2 + 2𝑎𝑏𝑥 = 𝑎𝑏 2 − 𝑎3 𝑥(𝑎2 − 𝑏 2 + 2𝑎𝑏) = 𝑎𝑏 2 − 𝑎3 𝑎𝑏 2 − 𝑎3 𝑥= 2 (𝑎 − 𝑏 2 + 2𝑎𝑏)

Problema 3. Hallar la solución de la siguiente ecuación y compruebe su solución con Geogebra. 𝑥21 + 3 𝑥 −1 2 +2=0 3 √𝑥 + √𝑥 + 2 = 0 √𝑥

X + 3 √𝑥+ 2 √x = 0

4 X + 2 √x + 3 = 0 2 √x = -3 – x 2 (2 √x) = (-3 - x)2 4 x = 9 + 6x + 𝑥 2 0

= 𝑥 2 + 2x + 9

a=1

x=

b=2

x=

c=9

x=

−𝑏±√𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 −2±√4−36

Cuadrática

2 −2±√−32 2

Esta ecuación no tiene solución porque no pasa por 0, son numeros imaginarios.

Gráfica y comprobación en GeoGebra (problema 3)

5 Problema 4. Hallar la solución de la siguiente ecuación con radicales y comprobar su solución con Geogebra. √4𝑥 2 − 𝑥 − 8 − √4𝑥 2 + 3𝑥 + 4 + 2 = 0 Desarrollamos √4𝑥 2 − 𝑥 − 8 − √4𝑥 2 + 3𝑥 + 4 + 2 = 0 Igualamos √4𝑥 2 − 𝑥 − 8 = −2 + √4𝑥 2 + 3𝑥 + 4 Eliminamos las raíces elevando al cuadrado a ambos lados de la ecuación, y aplicamos la siguiente propiedad (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 2

2

(√4𝑥 2 − 𝑥 − 8) = (−2 + √4𝑥 2 + 3𝑥 + 4)

4𝑥 2 − 𝑥 − 8 = −22 + 2 ∗ (−2) (√4𝑥 2 + 3𝑥 + 4) + 4𝑥 2 + 3𝑥 + 4 Simplificamos 4𝑥 2 − 4𝑥 2 − 𝑥 − 3𝑥 − 8 − 4 − 4 = (−4√4𝑥 2 + 3𝑥 + 4) −4𝑥 − 16 = (−4√4𝑥 2 + 3𝑥 + 4) Nuevamente eliminamos la raíz elevando al cuadrado en ambos lados de la ecuación 2

(−4𝑥 − 16)2 = (−4√4𝑥 2 + 3𝑥 + 4)

2

16𝑥 2 + 128𝑥 + 256 = (4√4𝑥 2 + 3𝑥 + 4)

16𝑥 2 + 128𝑥 + 256 = 42 (√4𝑥 2 + 3𝑥 + 4) 16𝑥 2 + 128𝑥 + 256 = 16(4𝑥 2 + 3𝑥 + 4) 16𝑥 2 + 128𝑥 + 256 = 64𝑥 2 + 48𝑥 + 64

2

Simplificamos 16𝑥 2 − 64𝑥 2 + 128𝑥 − 48𝑥 + 256 − 64 = 0 −48𝑥 2 + 80𝑥 + 192 = 0 Tenemos una ecuación cuadrática por lo tanto resolvemos por medio de la siguiente propiedad −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑥= 2𝑎 Reemplazamos −80 + √802 − 4(−48)(192) 4 𝑥= =− 2(−48) 3 𝑥= Verificamos en software

−80 + √802 − 4(−48)(192) =3 2(−48)

6

Problema 6. Expresar como fracción parcial la siguiente función racional y compruebe su solución con Geogebra. (4𝑥 − 3) (𝑥 + 1)(𝑥 + 2)3 Resolvemos ^ Representamos en forma de fracciones parciales 4𝑥 − 3 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 = + + + 3 2 3 (𝑥 + 2) (𝑥 + 1) 𝑥 + 2 (𝑥 + 2) (𝑥 + 2) 𝑥+1 Multiplicamos la ecuación por su denominador (4𝑥 − 3)((𝑥 + 2)3 (𝑥 + 1)) 𝐴(𝑥 + 2)3 (𝑥 + 1) 𝐵(𝑥 + 2)3 (𝑥 + 1) 𝐶(𝑥 + 2)3 (𝑥 + 1) 𝐷(𝑥 + 2)3 (𝑥 + 1) = + + + (𝑥 + 2)3 (𝑥 + 1) (𝑥 + 2)2 (𝑥 + 3)3 𝑥+2 𝑥+1

Simplificamos (4𝑥 − 3)((𝑥 + 2)3 (𝑥 + 1)) 𝐴(𝑥 + 2)3 (𝑥 + 1) 𝐵(𝑥 + 2)3 (𝑥 + 1) 𝐶(𝑥 + 2)3 (𝑥 + 1) 𝐷(𝑥 + 2)3 (𝑥 + 1) = + + + (𝑥 + 2)3 (𝑥 + 1) (𝑥 + 2)2 (𝑥 + 3)3 𝑥+2 𝑥+1

4𝑥 − 3 = 𝐴(𝑥 + 2)2 (𝑥 + 1) + 𝐵(𝑥 + 2)(𝑥 + 1) + 𝐶(𝑥 + 1) + 𝐷(𝑥 + 2)3 Calculamos las raicees reales del denominador 𝑥 = −2

;

𝑥 = −1

7 Reemplazamos -2 en la ecuacion 4(−2) − 3 = 𝐴((−2) + 2)2 ((−2) + 1) + 𝐵((−2) + 2)((−2) + 1) + 𝐶((−2) + 1) + 𝐷((−2) + 2)3 𝐶 = 11 Para la raiz del denominador -1 4(−1) − 3 = 𝐴((−1) + 2)2 ((−1) + 1) + 𝐵((−1) + 2)((−1) + 1) + 𝐶((−1) + 1) + 𝐷((−1) + 2)3 𝐷 = −7 Reempalzamos los valores calculados en la ecuacion 4𝑥 − 3 = 𝐴(𝑥 + 2)2 (𝑥 + 1) + 𝐵(𝑥 + 2)(𝑥 + 1) + 11(𝑥 + 1) − 7(𝑥 + 2)3 Desarrollamos 4𝑥 − 3 = 𝑥 3 (𝐴 − 7) + 𝑥 2 (5𝐴 + 𝐵 − 42) + 𝑥(8𝐴 + 3𝐵 − 73) + (4𝐴 + 2𝐵 − 45) Igualamos los coeficientes de términos similares 4𝐴 + 2𝐵 − 45 = −3 8𝐴 + 3𝐵 − 73 = 4 5𝐴𝐵 − 42 = 0 𝐴−7 =0 Por lo tanto A=7 Ahora despejamos B 4(7) + 2𝐵 − 45 = −3 8𝐴 + 3𝐵 − 73 = 4 5𝐴𝐵 − 42 = 0 𝐴−7 =0 𝑩=𝟕 Por tanto 7 7 11 (−7) 7 7 11 7 + + + = + + − 2 3 2 3 (𝑥 + 2) (𝑥 + 2) 𝑥 + 2 (𝑥 + 2) 𝑥 + 1 𝑥 + 2 (𝑥 + 2) 𝑥+1 Por Lo tanto 𝟕 𝟕 𝟏𝟏 𝟕 + + − 𝒙 + 𝟐 (𝒙 + 𝟐)𝟐 (𝒙 + 𝟐)𝟑 𝒙 + 𝟏

Comprobación en geogebra

8

Problema 7. Hallar la solución de la siguiente ecuación racional con valor absoluto y comprobar su solución con Geogebra.

|

2𝑥 3 + |=4 3 5

Multiplicamos el numerador 2x con el denominador 5, luego multiplicamos el numerador 3 por el denominador 3 y por ultimo multiplicamos los denominadores 3 y 5 quedando una ecuación así:

|

10𝑥+9 15

|=4

v

|

10𝑥+9 15

| = −4

Después el número 15 que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar así:

10x + 9 = 4 ∗ 15

v

10x + 9 = −4 ∗ 15

la multiplicación dará como resultado 60

9

10x + 9 = 60

v

10x + 9 = −60

El 9 que está sumando pasa al otro lado a restar asi:

10x = 60 − 9

v

10x = −60 − 9

El 10 que multiplicando pasa al otro lado a dividir y así despejamos X

𝑥=

60−9 10

v

𝑥=

−60−9 10

Se resta los denominadores dando como resultado la siguiente ecuación:

𝑥=

51 10

v

𝑥=

−69 10

Problema 10. Hallar la solución de la siguiente inecuación cuadrática y comprobar con Geogebra. 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐 > 𝟎 Para solucionar buscamos dos números que multiplicados nos den -2 y que al sumarlos o restarlos nos den 1, y esos números son +2 y -1 procedemos a colocar

10 dos paréntesis porque la raíz cuadrada de 𝒙𝟐 𝒆𝒔 𝒙, entonces queda una x en cada paréntesis, multiplicamos los signos de +𝒙𝟐 + 𝒙 = + que va al primer paréntesis y +x-2=- que va al segundo paréntesis. (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) > 0 Puntos críticos para igualar a 0 X+2=0 V X-1=0 Despejamos en la primera ecuación donde el 2 que está sumando pasa al otro lado a restar y en la segunda ecuación el 1 que está restando pasa al otro lado a sumar dando por resultado las siguientes ecuaciones. X=-2 V X=1 a. X+2> 0, 𝑥 > −2 ˄ X-1> 0, 𝑥 > 1

-2

0 0

1

b. X+2˂0, x˂-2 ˄

-2

0

X-1˂0, x˂1 0

1

0

1

Solución: (-∞, -2) U (1, ∞) -2

11 CONCLUSIONES

En esta actividad se estuvieron resolviendo ejercicios acerca de las ecuaciones, inecuaciones y valor absoluto, ejercicios que más adelante nos serán de mucha ayuda para futuras actividades puesto que las matemáticas son una ciencia muy amplia y muy extensa.