2SEMINARIO

CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2010-I

GEOMETRÍA CUADRILÁTEROS 01. Indicar la (s) proposición (es) verdadera (s). I. Todo paralelogramo equilátero es un cuadrado. II. Si las diagonales de un cuadrilátero son perpendiculares entre si, el cuadrilátero es un rombo. III. Si un paralelogramo es un rectángulo, entonces el rectángulo es un paralelogramo. A) Solo I y II B) Solo II y III C) Solo I D) Solo III E) I, II y III 02. Se tiene el trapecio ABCD, AB//CD , en CD se ubica el punto medio F, AF ∩ BD = {E} , además BC ∩ AF = {G} . Si AE = 4 , EF = 3 . Calcule FG. A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) 28 03. En un paralelogramo ABCD, AB = a , BC = b , sea M un punto de AC , se trazan ME ⊥ AB , MF ⊥ AD ( E ∈ AB y F ∈ AD ) siendo ME = c . Halle MF. A) ac B) bc C) ab b a c 2 2 2 a + b + c E) a + b − c D) 3 04. Se tiene el cuadrado ABCD, se ubica R punto medio de AD , AF es

perpendicular a BR (F ∈ BR) , calcule la distancia del centro del cuadrado al segmento BR. 1 1 2 B) AF C) AF A) AF 3 4 3 1 3 E) AF D) AF 2 4 CEPRE-UNI

SEMINARIO Nº 02

05. En un trapecio ABCD, BC // AD , BC < AD . Se ubica M punto medio de AB . Las distancias de B y D a CA son 8 y 10. Calcule la distancia del punto medio de MD a AC . A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 7 06. En un paralelogramo ABCD, por el vértice A se traza una recta que intersecta a la prolongación del lado DC en el punto N. La altura DH (H ∈ AB) del paralelogramo intersecta en el punto M. Si a AN m∠DAN = 2m∠BAN y BC = 18 u , entonces la longitud (en u) de MN es A) 18 B) 27 C) 36 D) 48 E) 56 07. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si las diagonales de un cuadrilátero convexo son perpendiculares y congruentes, entonces el cuadrilátero es un cuadrado. II. Si las diagonales de un trapecio son congruentes, entonces el trapecio es isósceles. III. Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. A) VVV B) VFV C) FVF D) FVV E) FFF 08. En un trapecio ABCD (AB // CD) , las bisectrices interiores de los ángulos A y D se intersectan en el punto P y las bisectrices interiores de los ángulos C y B se intersectan en el punto Q. Si AD + BC = 15 u y AB + CD = 12 u , entonces la longitud (en u) de PQ es A) 0,5 B) 1 C) 1,5 D) 2 E) 3

GEOMETRÍA

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09. En un trapecio ABCD (AB / /CD) , M y

N son puntos medios BD y AC . Si AB + CD = A , entonces la longitud del segmento que une los puntos medios de AM y BN es A A A A) B) C) 2 3 4 A A E) D) 5 6

10. Indique el valor verdad de las siguientes proposiciones: I. Si los lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. II. Si las diagonales de un cuadrilátero son perpendiculares y congruentes a la vez, entonces el cuadrilátero es un cuadrado. III. Ningún polígono tiene 3 vértices colineales. A) FFF B) VFV C) VFF D) FVV E) VVV 11. En un triángulo ABC, sus lados miden AB = 13u , BC=12u y AC=7u. Desde el vértice B, se trazan las perpendiculares BP y BQ a las bisectrices de los ángulos BAC y BCA, respectivamente. Entonces, la longitud (en u) de PQ es A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 12. Indique el valor verdad de las siguientes proposiciones: I. Un cuadrilátero convexo es un trapecio isósceles si y solo sí sus diagonales son congruentes. II. Un cuadrilátero convexo no es un paralelogramo si y solo sí sus diagonales no se bisecan.

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SEMINARIO Nº 02

III. Un cuadrilátero convexo es un trapezoide simétrico. A) VVV B) FVV C) FVF D) VFV E) FFF 13. Indique el valor verdad de las siguientes proposiciones: I. Un trapezoide simétrico es un polígono convexo. II. Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan, entonces dicho cuadrilátero es un paralelogramo. III. Si en un trapezoide convexo se unen los puntos medios de dos lados opuestos con los puntos medios de las diagonales, se forma un paralelogramo. IV. Al unir en forma consecutiva los puntos medios de los cuatro lados de un trapecio isósceles se forma un rombo. A) FVFV B) VVVV C) FVVV D) FFVV E) VVFF 14. Indicar la (s) proposición (es) verdadera (s). I. Un trapecio es inscriptible. II. El cuadrilátero cuyos vértices son 2 vértices de un triángulo y los pies de las alturas trazadas desde dichos vértices, es un cuadrilátero inscriptible. III. Si en una circunferencia se trazan 2 cuerdas congruentes y secantes, entonces los extremos de dichas cuerdas son los vértices de un trapecio isósceles. A) I, II y III B) II y III C) I y II D) I y III E) Solo III 15. Indique el valor verdad de las siguientes proposiciones: I. Las diagonales del rombo son bisectrices de sus ángulos. II. Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. GEOMETRÍA

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III. La diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos congruentes. IV. Las diagonales de un rectángulo son congruentes. A) VVVV B) VVVF C) VVFF D) VFFF E) FFFF 16. Indique el valor verdad de las siguientes proposiciones: I. Si en un cuadrilátero las bisectrices de los ángulos opuestos son paralelos, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. II. En un trapecio una diagonal puede bisecar a la otra diagonal. III. Si en un polígono regular todas sus diagonales son congruentes, entonces el polígono es un cuadrado. A) FFF B) VVV C) VFF D) VFV E) FFV 17. En el cuadrilátero convexo ABCD, , AB = BC, m∠ABC = 90 m∠CAD = 30 y la mediatriz de BC contiene a D. Calcular m∠ACD . A) 10 B) 12 C) 15 D) 17,5 E) 18 18. Sea ABCD un cuadrado y L una recta exterior que contiene al vértice D, las distancias de A y C a la recta son a y c. Se ubican M y N puntos medios de AB y BC. Hallar la distancia del punto medio de MN a la recta L. 3( 3( a + c) a + c) A) B) 8 4 3( a + c) D) a + c C) 2 2( E) a + c) 3

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SEMINARIO Nº 02

19. En un rectángulo KLMN, se traza KH perpendicular a NL . Las bisectrices de los ángulos HKL y NLM se interceptan en Q, luego se traza QR perpendicular a NM . Si LM = 18 y QR = 5, entonces la longitud de HL es A) 18 B) 20 C) 22 D) 24 E) 26

tiene un trapecio ABCD 20. Se HG (BC // AD ) y una recta L no secante al trapecio. Se trazan las perpendiculares AAHG' , BB ' , CC ' y DD ' hacia L tal que AA '+ BB '+ CC '+ DD ' = k ; entonces la distancia del punto medio del segmento que une los puntos medios de las diagonales del trapecio ABCD es k k k B) C) A) 8 6 4 k k D) E) 3 2 21. Sea el trapecio ABCD ( BC // AD ) P ∈ BD tal que AB ≅ PD , ( θ > 90 ) , m∠BAD = m∠CPD = θ m∠PCD 1 = . Halle m∠PCD . m∠PCB 2 A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75 22. En un cuadrilátero convexo ABCD, la recta que pasa por los puntos medios M y N de AC y BD intercepta a la prolongación de DA en E, a la paralela de AD trazada por C en F y a AB en P. Si CF = 8 y EP = PN, entonces la longitud de ED es A) 12 B) 16 C) 18 D) 24 E) 32

GEOMETRÍA

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23. En la figura AF = a, AD = b; calcule PE. A

M

N E

F

D

Q

P

A) a + b

B)

a+b 2

E)

D)

ab

2ab C) a+b

3( a + b) 2

24. En un paralelogramo ABCD, AB = a y BC = b (a > b). Determine la longitud de la diagonal del cuadrilátero que se obtiene trazando las bisectrices. A) 2a – b B) 2b – a

C) a – b E)

2b + a 2

D)

2a + b 2

25. Los lados consecutivos de un romboide miden a y b (a > b). Se trazan las bisectrices exteriores formando un nuevo cuadrilátero, calcule la longitud de una de las diagonales del nuevo cuadrilátero.

A)

a+b 2

C) 2 (a + b) E) ( a + b ) 2

B) a + b D) a + 2b

26. Demostrar que en todo rombo la longitud del lado es la media aritmética de las longitudes de las proyecciones de las diagonales sobre uno de sus lados. CIRCUNFERENCIA 27. Se tiene el rectángulo ABCD, en AD se ubica un punto F de manera que en el cuadrilátero ABCF se encuentra inscrita una circunferencia de CEPRE-UNI

SEMINARIO Nº 02

diámetro cuya longitud es 2R, en el triángulo FDC se inscribe la circunferencia de diámetro con longitud 2r. Calcule E = 2R – r. 1 3 4 B) AF C) AF A) AF 2 4 5 3 D) AF E) AF 2 28. ABCD es un cuadrilátero de perímetro 2p circunscrito a una circunferencia. Se construyen los triángulos rectángulos BFC y AGD rectos en F y G, respectivamente, y exteriores al cuadrilátero. Si BF+FC+AG+GD=K, calcule la suma de longitudes de los radios de las circunferencias inscritas en los triángulos rectángulos. K −p K +p B) K − p C) A) 2 2 K p E) K + D) p − 2 2 29. Desde un punto P exterior a una circunferencia de centro O se trazan las tangentes PA y PB, y además una recta PQ exterior a la circunferencia. Se traza OF perpendicular a PQ (F ∈ PQ ) que interseca a BA en E; OE = a y EF = b . Calcule la longitud del radio de la circunferencia. ab a (a + b) B) A) a+b C) ab D) b(a + b)

E) 2 ab 30. En un triángulo ABC recto en B, se trazan la altura BH y la mediana BM relativo a la hipotenusa. Si AC = ( 3 + 1)u m∠BCA = 15 y entonces la longitud (en u) del radio de la circunferencia inscrita al triángulo BHM es A) 0,45 B) 0,75 C) 0,15 D) 0,35 E) 0,25 GEOMETRÍA

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31. Dos circunferencias congruentes contenidas en el mismo plano, no pueden tener solamente el siguiente número de tangentes comunes: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 32. En una circunferencia de centro A y radio R, se ubica un punto B. Luego con centro en B se traza una circunferencia secante a la primera circunferencia. Una cuerda EF de la primera circunferencia al prolongarse es tangente en Q a la otra circunferencia. Si (BE ) (BF ) = K , calcule el radio de la circunferencia de centro B. K K K A) B) C) 4R 2R R 2K 4K D) E) R R

SEMINARIO Nº 02

A)

A 4

D) A

35. Halle la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuya suma de las longitudes de los exradios relativos a los catetos es A. CEPRE-UNI

C)

A 2

36. En un rombo ABCD se inscribe una circunferencia C y en las

prolongaciones de CB y CD se ubican los puntos E y F respectivamente de manera que EF sea tangente a C. EF intercepta a AB y AD en M y N en ese orden. Si la diferencia de los semiperímetros de los triángulos EFC y AMN es 8u, entonces EF (en u) es A) 7 B) 7,1 C) 8 D) 8,1 E) 9

37. A, B, C, D, E, y F son puntos de tangencia. Halle x + y + z. B

33. Dos circunferencias congruentes de centros A y B son tangentes exteriores, hallar la medida del ángulo que forman las tangentes trazadas desde A y B a las circunferencias. A) 90 B) 95 C) 100 D) 110 E) 120 34. Se tiene un triángulo isósceles KLM (LK ≅ LM) , se ubican los puntos P y Q en los lados LK y LM de modo que m∠KPQ = 90 . Si el radio de la circunferencia inscrita al triángulo PLQ es r, además KQ = A y A 2 PQ = , entonces QM es 2 3 1 2 A) r B) r C) r 2 3 3 D) 2r E) 3r

A 3 3A E) 2 B)

A xº

C

yº F

zº D E

A) 360 D) 180

B) 300 E) 120

C) 240

38. En un triángulo ABC recto en B, se traza la circunferencia inscrita que determina los puntos de tangencia M, N y Q en AB, AC y BC respecti-

vamente. Se traza QS ⊥ MN , siendo m ∠BAC = 50 . Halle m ∠MBS . A) 10 B) 20 C) 25 D) 30 E) 40

GEOMETRÍA

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39. En una circunferencia se inscriben los triángulos ABC y EBF m ∠ABC > m ∠EBF , de manera que EF // AC . Sea P ∈ BE , se trazan PM ⊥ AB , M ∈ AB PN ⊥ BC , N ∈ BC

(

)

(

)

MN ∩ BF = φ . Entonces, es verdadero que I. los ángulos ABE y FBC, son congruentes. II. m∠MPB = m ∠MNB III. BF y MN son perpendiculares entre sí. A) Solo I y II B) Solo I y III C) Solo II y III D) I, II y III E) Solo I

40. Las circunferencias de centros O1 y O2 son secantes; P y Q son puntos de m ∠AMB = α . Halle tangencia m∠ENF . M P Q B

N

E

A

O1

A) 90 D) 180 − α

F

B) 90 − α 2 E) 90 + α 2

C) α

41. En la figura A y B son puntos de tangencia, EB // AP , AF // PB y p. m ∠APB = α . Halle mEF αº

Q

E

F CEPRE-UNI

B

A) 90 − α C) 2α − 90 E) α

B) 3α − 180 D) α 2

42. En una circunferencia se trazan dos cuerdas AB y CD perpendiculares entre sí. Las tangentes trazadas a la circunferencia en B y C se intersecan en F; m∠BFC = θ . Calcule: m∠ABD θ A) 90 − B) 180 − θ 2 θ C) D) θ − 90 2 E) θ 43. En un triángulo ABC, se traza la circunferencia ζ que contiene los puntos medios de los tres lados. Si B ∈ ζ , entonces la m∠ABC es A) 75 B) 80 C) 90 D) 120 E) 135 44. Dos circunferencias ζ1 y ζ 2 son congruentes y secantes, siendo los puntos de intersección A y B. Los puntos O1 y O2 son sus respectivos

centros y O1 O2 es el radio de cada

O2

A

SEMINARIO Nº 02

P

una de las circunferencias. En la circunferencia ζ 2 se traza el radio O2 M perpendicular a O2 O1 (M está más cerca de A que de B). La prolongación MO1 intercepta a la circunferencia ζ1 en el punto P. Entonces, la medida del ángulo que forman las prolongaciones de PB y AO2 es A) 30 B) 36 C) 45 D) 60 E) 52,5

45. En dos circunferencias congruentes, tangentes exteriores, L1 es una recta tangente a una de ellas y contiene al GEOMETRÍA

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centro de la otra. Si L2 es una recta tangente común exterior a las circunferencias, entonces el ángulo agudo determinado por L1 y L2 mide A) 9 B) 15 C) 22,5 D) 30 E) 45 46. En un triángulo ABC se traza la circunferencia inscrita y otra circunferencia menor secante a la primera y tangente a los lados BC y AC sea m∠ABC = α , entonces la medida del menor ángulo formado por la bisectriz del ángulo A y la recta que contiene a la cuerda común a las circunferencias es α α B) 45 − α C) A) 90 − 2 2 α E) α D) 90 + 2 47. En un triángulo rectángulo KLM recto en L, se traza la bisectriz interior LN , luego, por el punto N se traza una perpendicular al lado KM que intercepta a la prolongación de KL en P, entonces m∠NPM es A) 15 B) 30 C) 35 D) 40 E) 45 48. En la figura se muestra una circunferencia de centro O. Si la medida del arco APD es 150 y la medida del ángulo AQB es 20, calcular m∠ABP . A

P

xº O

20º D Q

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B

SEMINARIO Nº 02

A) 30 B) 40 C) 45 D) 50 E) 60 49. La circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo ABC es tangente a los catetos AB y BC en los puntos D y E, y a la hipotenusa AC en el punto F. Si m∠BAC = 70 , halle la medida del ángulo FDE. A) 30 B) 40 C) 60 D) 70 E) 80 50. Dos circunferencias C1 y C2 (C1 > C2) son tangente exteriores en T, y la recta que pasa por los centros intercepta a C1 en M y a C2 en N. Si PQ es la tangente común exterior (P ∈ C1 y Q ∈ C2 ) . Calcule la medida JJJG JJJG del ángulo que determinan MP y NQ . A) 75 B) 80 C) 85 D) 90 E) 100

51. Una circunferencia de centro O inscrita en un triángulo ABC determina los puntos de tangencia P, Q y R en AB , BC y AC respectivamente, la prolongación de AO intercepta a QR en T. Si m∠ATR = β , entonces la m∠ABC es B) 60 + β C) β A) 45 + β D) 2β E) 90 − β 52. Dos circunferencias C1 y C2 son tangentes interiores en el punto T. En la circunferencia mayor C2 se traza la cuerda MN tangente a C1 en el punto p = α y mTN p = θ . Entonces P. Si mMT m∠MPT es α−θ α−θ B) 90 + A) 90 − 2 4 α−θ α−θ C) 45 − D) 45 + 2 2 α−θ E) 90 + 3 GEOMETRÍA

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53. Se tiene dos circunferencias C1 y C2 tangentes exteriores en N, por un punto L exterior a las dos circunferencias se JJJG trazan los rayos JJJG LK LM tangentes y (K ∈ C1 y M ∈ L2 ) . Si m∠KLM = θ , entonces la menor medida que determinan KN y NM es 3φ 2φ B) C) φ A) 4 3 φ φ D) E) 2 3 54. Una circunferencia C intercepta a una semicircunferencia de centro O y diámetro AB en A y P, por un punto p , se trazan las rectas Q del arco PB secantes a la circunferencia QPM y QEN (E y N ∈ C ) , la cuerda AF de la HJJG HJJG circunferencia y las rectas OM y QN se interceptan en un punto de la p N = 60 y semicircunferencia. Si mM p = 80 , entonces la mFE p es mNA A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) 100 55. Una circunferencia de centro O está inscrita en un triángulo ABC y es tangente a los lados AB y BC en los puntos P y Q. La prolongación de AO intercepta a PQ en el punto M. Si m∠BAC = 54 entonces la m∠ACM es A) 45 B) 47 C) 53 D) 57 E) 63 56. En un triángulo ABC recto en B de incentro I, M es el punto medio de AC . Si el cuadrilátero BIMA es inscriptible, entonces la m∠BAI es A) 15 B) 30 C) 37 53 D) E) 60 2 CEPRE-UNI

SEMINARIO Nº 02

57. Desde un punto P se trazan la tangente PA y la secante PCD a una circunferencia C de centro O, donde A es el punto de tangencia, C y D los puntos de intersección de la secante C. Si PO ∩ C = {N} , con

PN = NO y M es punto medio de CD ; calcule m∠PMA . A) 30 B) 45 C) 60 D) 75 E) 80 58. Indicar la (s) proposición (es) verdadera (s). I. En una circunferencia, si el diámetro es perpendicular a una cuerda, entonces divide a la cuerda y al arco que subtiende en partes congruentes respectivamente. II. En una circunferencia, si dos cuerdas son paralelas, entonces los arcos comprendidos entre las cuerdas son congruentes. III. Todo trapecio es inscriptible en una circunferencia. A) Solo I y III B) Solo I y II C) I, II y III D) Solo II y III E) Solo III 59. Los diámetros de dos circunferencias situados en un mismo plano miden 2 y 3− 2

4 respectivamente, 5+ 3

el segmento que une los centros de las circunferencias mide 5 + 2 + 1 . Entonces, las circunferencias son A) exteriores. B) tangentes exteriores. C) secantes. D) tangentes interiores. E) interiores.

GEOMETRÍA

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60. Se tiene el pentágono convexo AMNCD, en la diagonal AC se ubica el punto B y se trazan dos circunferencias de diámetros AB y BC de manera que MN es una tangente común exterior a dichas circunferencias (M y N son puntos de tangencia). Si la medida del ángulo exterior en A es el triple de la medida del ángulo DAC y la medida del ángulo exterior en C es el triple de la medida del ángulo DCA, entonces la m ∠ ADC es A) 100 B) 112,5 C) 120 D) 122,5 E) 125 61. Indicar la (s) proposición (es) verdadera (s) I. En AB y BC no colineales ( AB > BC) se ubican los puntos P y Q respectivamente de manera que AP = CQ ; entonces PQ es paralelo a CA . II. Una circunferencia está inscrita en un triángulo ABC, tangente a los lados AB , BC y AC en los puntos P, Q y R respectivamente; entonces las cevianas AQ , BR y CP concurren en un punto. III. Sean las cuerdas AB y CD no paralelas de una circunferencia. Entonces las mediatrices de AB y CD pasan por el centro de la circunferencia. A) Solo I B) Solo II y III C) Solo I y III D) I, II y III E) Ninguno 62. Dos circunferencias de radios r u y 2r u son tangentes exteriores, una tangente común exterior a dichas circunferencias determina los puntos de tangencia P y Q. Halle (en u) PQ.

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SEMINARIO Nº 02

A) r 2 D) 6r

B) 3r E) r 5

C) 2 2r

63. ABCD es un cuadrilátero inscrito en una circunferencia de manera que AD es diámetro. Si AB = a , BC = b , CD = c y AD = d , entonces d(d2 − a2 − b2 − c2 ) es igual a abc abc B) C) abc A) 4 2 D) 2abc E) 4abc

64. Indique el valor verdad de las siguientes proposiciones: I. En una circunferencia, a arcos congruentes le corresponden cuerdas congruentes. II. En una circunferencia, todo diámetro que biseca a una cuerda, es perpendicular a dicha cuerda. III. En una circunferencia, si las distancias del centro a dos cuerdas de la circunferencia son iguales, entonces dichas cuerdas son paralelas. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I, II y III E) Solo I y II 65. Se tiene el pentágono ABCDE inscrito en una circunferencia, AC es p = 100º . perpendicular a BD , mAB Calcule m∠CED . A) 20º B) 25º C) 40º D) 50º E) 75º 66. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si A, B, C y D son puntos consecutivos de una circunferencia, tal que AB ≅ CD y BC < AD, entonces ABCD es un trapecio isósceles. II. Si C1 y C2 son dos circunferencias congruentes en donde C1 ∩ C2 = {A , B} , P ∈ C1 , Q ∈ C2 , GEOMETRÍA

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tal que P y Q no pertenecen a una p p misma JJJG circunferencia, AP ≅ AQ y , entonces T ∈ BA m∠PAT = m∠QAT . III. Si ABCD es un cuadrilátero convexo y m∠CAD ≠ m ∠CBD, entonces ABCD no es un cuadrilátero inscriptible. A) VFV B) VVF C) FVV D) VVV E) FVF

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70. Se tiene el triángulo ABC, AB > BC , AB = c , BC = a , se traza la bisectriz JJJG exterior BP, P ∈ AC , luego se traza

( JJJG )

PQ // BC (Q ∈ AB) . Halle: PQ 2ac ac B) C) A) ac c −a a+c ac 2ac D) E) c −a c+a

67. En un triángulo ABC se trazan las alturas BH y CF , sea M punto medio de BC . Si m∠BAC = 40, entonces la m∠FMH es A) 60 B) 80 C) 90 D) 100 E) 110

71. En un triángulo ABC se trazan las bisectrices interiores AD , BE y CF concurrentes en I. Entonces BF + BD = x donde x ∈ \+ , luego: AF CD A) x > 1 B) x < 1 C) x = 1 D) x = 0 E) 1 < x < 3 2 4

68. Se tienen dos circunferencias de radios r y R tangentes exteriormente en el punto T (r < R). Desde un punto exterior BJJJJJ seG trazan JJJJJG las tangentes comunes BQA y BPE (Q, A, P y E puntos de tangencia). La prolongación de PT interseca a la circunferencia mayor en M. Si m∠ABE = 40 , hallar m∠MEA . A) 15 B) 18 C) 20 D) 22 E) 32

72. Se tiene el triángulo ABC, AB = 9 , BC = 4 , AC = 6 ; en la prolongación de CB se ubica un punto E; en la prolongación de AB se ubica un punto D; las prolongaciones de ED y AC se intersecan en Q; BD = 6 y BE = 8 . Halle CQ. 32 A) B) 2 C) 3 9 D) 9 E) 11

PROPORCIONALIDAD

73. Indique el valor verdad de las siguientes proposiciones: JJJG I. Si en un triángulo ABC, BD es una bisectriz exterior (D en la prolongación de AC ), entonces BC < AB. II. Existe un triángulo en el cual su incentro biseca a una bisectriz interior. III. Si en un triángulo ABC la mediana BM y las cevianas AP y CQ son

69. En la figura, BR = RP y QM = MC. Hallar x B Q

A

xº

M

40º

A) 60 D) 30

CEPRE-UNI

R

C

P

B) 40 E) 35

C) 50

concurrentes, entonces QP // AC . A) VFF B) FFV C) VVV D) VFV E) VVF GEOMETRÍA

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74. En un triángulo MNP, I es el incentro y E es el excentro relativo al lado NP. Si MN = a unidades, IE = d unidades, MI = b unidades, entonces MP (en unidades) es d (d + b) d (d + b) b ( b + d) B) C) A) 2b b 2a b ( b + d) a ( b + d) E) D) a b

DEFG son cuadrados 75. ABCD, MC = 2u, CF = 6u. Hallar QM G

B

F

C

M Q

A) 0,5u D) 2u

A

E

D

B) 1u E) 2,5u

C) 1,5u

76. En un triángulo ABC, se ubican los puntos P y Q en el lado AC y el punto M en el lado AB tal que BQ // MP y MQ // BC si PC = 9u y AP = 3u. Entonces la longitud de AQ es A) 3u B) 4u C) 5u D) 6u E) 7u 77. En un triángulo ABC se trazan cevianas interiores AM , CN y concurrentes. La prolongación NM , intercepta a la prolongación lado AC en el punto Q. ( AP ) ( CQ ) es Entonces ( AQ ) (PC ) 1 1 1 A) B) C) 4 3 2 3 D) 1 E) 2 CEPRE-UNI

las BP de del

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78. Se tiene el triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BF de manera que AF = BC, si AB = c y CF = b. Calcule BC bc B) 2 bc C) A) bc b+c 2bc 2bc D) E) b−c b+c 79. Dado el paralelogramo ABCD, se ubica el punto R en la prolongación del lado DC ; AR ∩ BC = {Q} , AR ∩ BD = {P} . Si AP = 4u y PQ = 3u, halle QR (en u). 2 7 5 B) C) A) 3 3 3 8 10 E) D) 3 3 80. Se tiene el triángulo ABC, se traza la bisectriz interior CM, si BC=a, AC=b y AB=c. Calcule BM 2ac ab a+b B) C) A) a+b a+c bc a+c ac E) D) ac a+b 81. En un triángulo ABC, BD es bisectriz interior, BM es mediana e I AI ∩ BM = {P} , es incentro BI 3 , BP = 6, CI ∩ BM = {Q} , = ID 2 QM = 4. Halle PQ A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 82. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BP , se traza la bisectriz exterior BQ, ( Q ∈ AC ) F ∈ AB , FC // BQ , BP ∩ FC = {R} hallar AP.BR. B) AQ . PR A) 2AQ . PR D) AQ . BA C) 3AQ . PR E) 2AQ . AB GEOMETRÍA

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83. En la figura: L1 // L2 // L3 y L4 // L5, AB = DE = 3, IG = 5, EF = 6, HG = 3IE. Calcule CD – BC

B

P C

B

Q

A

I

D E

L2

L3

G L5

B) 1,5 E) 2,2

C) 2,4

84. Si: MN = p y NP = m, entonces el perímetro del cuadrado sombreado es M

P

N

4pm p+m 4pm D) m + 2p

A)

4pm pm C) p + 2m 4 (p + m ) pm E) p+m

B)

85. Sea el triángulo ABC, D ∈ AC tal que AD JJJ = G DC, E ∈ AD tal que EF // DB , F ∈ CB , AB ∩ EF : {T} . Si BF = 6, AT = 4 y BC = 9. Halle BT. A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10 86. En el gráfico mostrado: ABCD es un paralelogramo, PQ = 3u, QR = 4u y RD = 3AR. Calcule RS ( en m). CEPRE-UNI

S

A) 5,4 D) 6,0

F

A) 2 D) 1,8

D

R

H L4

A

L1

C

B) 5,6 E) 6,2

C) 5,8

SEMEJANZA 87. Se tiene el triángulo ABC, AB = c , BC = a , AC = b . Por el incentro I se traza IQ paralela al lado AB , que interseca al lado AC en Q. Calcule: QC. (a + b)a (a + c)b B) A) a+b+c a+b+c (a + c)c b (b + c ) D) C) a+b+c a+b+c b(a + b) E) a+b+c 88. En un triángulo ABC, se trazan las bisectrices interiores AD , BE y CF . Si I es el incentro del triángulo, ID IE IF es igual a entonces + + AD BE CF 2 A) 1 B) 2 C) 3 3 D) E) 3 4 89. Dado el triángulo ABC, H es el ortocentro y M es el punto medio de AC , el circunradio del triángulo ABC mide R. Encuentre la distancia de M al punto medio del segmento BH.

A)

5 R 6

D) R

3 R 4 1 E) R 2

B)

GEOMETRÍA

3 2

C) R

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90. En un triángulo ABC; la m ∠ A CB = 20 ; la m ∠ ABC = 40 ; sean: H el ortocentro y O el circuncentro del triángulo ABC. Halle: m ∠ HBO A) 50 B) 60 C) 70 D) 100 E) 120 91. Indique el valor verdad de las siguientes proposiciones: I. Sean A y B dos puntos deHJGuna circunferencia de centro O; L es la recta que contiene a los puntos medios de la cuerda AB y el arco HJG AB, luego: O ∈ L . II. En todo triángulo: el ortocentro, incentro y baricentro son puntos de una misma recta. III. Todo trapecio es inscriptible. A) Sólo I B) Sólo II C) I y II D) I y III E) Sólo III 92. En un triángulo ABC, H es el ortocentro; BH = AC = b . Halle la longitud del radio de la circunferencia de Euler (circunferencia de los nueve puntos) b 2 4 b 3 D) 2

A)

b 2 2 b 6 E) 6

B)

C)

b 2

93. Diga el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo congruente. II. Una recta secante a un triángulo y paralela a uno de los lados, determina un triángulo semejante al anterior. III. Toda recta perpendicular a la hipotenusa de un triángulo determina dos triángulos semejantes. A) VFF B) VFV C) FVV D) FFV E) VVF CEPRE-UNI

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94. BCA es un triángulo rectángulo, BC=a y AC=b, BCFJ y ACDE son cuadrados. Calcular MN. B

J M F

C

N

D

A)

a 2 + b2 4

D)

a 2 + b2

A

E

ab 2 a+b 2ab E) a+b

B)

C) ab

95. Un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia de radio R desde M, un punto interior al triángulo, se traza ME y MF perpendiculares a AB y BC . Demostrar que AC.BM=2R.EF 96. En un sector circular AOB de centro O y radio R, se inscribe una circunferencia de radio r. Calcular la longitud de la cuerda AB . 2Rr Rr 3Rr A) B) C) R −r R −r R−r 4Rr R+r E) D) R −r R−r 97. En un triángulo ABC, por el baricentro G se traza una recta secante que intersecta a los lados AB y BC , si las distancias trazadas desde los vértices A y C a dicha recta son 16cm y 9cm. Calcule la distancia (en cm) trazada desde el vértice B a dicha recta. A) 16 B) 18 C) 24 D) 25 E) 34 98. Dos circunferencias secantes C1 y C2 de centros O y A cuyos radios miden R y r (R > r) respectivamente, están GEOMETRÍA

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ubicadas de modo que A ∈ C1 . En la circunferencia C1 se HJJG traza la cuerda MN, tal que la recta MN es tangente en B a la circunferencia C2. Calcule el valor de (AM)(AN) Rr 4 C) Rr A) 2Rr B) 3 3 5 7 D) Rr E) Rr 3 3

medios E y F respectivamente, los segmentos AF y BE se intersectan QE . en el punto Q. Calcule BQ 1 1 1 B) C) A) 3 2 5 1 1 E) D) 4 8

99. En un triángulo ABC, I es el incentro y E es el excentro relativo a BC . Si AB = 6u y AC = 10u y AI = 5u, calcular IE A) 9u B) 8u C) 7u D) 10u E) 12u

103. En un triángulo acutángulo ABC el lado AC mide 48cm y el radio de la circunferencia circunscrita 25cm, sea F un punto de AB , BF = 6cm. Halle la distancia de F a BC (en cm). A) 5,76 B) 5,72 C) 5,48 D) 5,92 E) 5,84

100. Dos circunferencias congruentes y 104. Desde un punto P exterior a una tangentes exteriores cuyos radios circunferencia se trazan las miden 2cm, están inscritas en un secantes PMA y PQS además el triángulo ABC de modo que ambas diámetro AB . Si PM = a y circunferencias son tangentes al lado MA = b. Indique cuáles de los AC y a los lados AB y BC siguientes datos son suficientes para respectivamente. Si AC = 16u. hallar la longitud de AS . Calcule la longitud del inradio del I. Longitud del radio de la triángulo ABC. (en u) circunferencia. 5 8 B) 3 C) A) II. AB es perpendicular a QS . 2 3 A) Solo I B) Solo II C) I y II 7 9 E) D) D) I ó II E) No hay datos 2 2 Suficientes 101. En una circunferencia se tiene el ángulo ABC inscrito, por el vértice B 105. Sea P y Q punto de los catetos AB y I BC de un triángulo rectángulo ABC, se traza la recta tangente L a la circunferencia por el punto medio M , PQ // AC , AP ∩ CQ = {0} de PQ ∩ BO = {M} , PQ=1u y AC=10u, I BC se traza una recta paralela a halle OM. L que intersecta a AB en N. 6 2 4 Si BN = 3m y NA = 8m. Calcular BC B) C) A) (en m) 7 3 9 B) 66 C) 55 A) 65 3 3 E) D) E) 63 D) 67 5 4 102. Se tiene el paralelogramo ABCD, en 106. Dado el triángulo ABC la bisectriz exterior del ángulo B intersecta a la AD y CD se ubican los puntos CEPRE-UNI

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prolongación de AC en R, la mediatriz 111. En un trapecio ABCD sus bases miden AD = a y BC = b. Sean F y J de BR intersecta a CR en Q, si: puntos de AB y CD tales que: AC = 5u y CQ = 4u, halle QR (en u). FJ // AD . Si: FB = m; FA = n. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 ma + nb Demostrar: FJ = m+n 107. Por un punto T, exterior a una circunferencia, se traza la tangente 112. En un rectángulo ABCD, AB = 40u y TA y la secante TBC, si AB = 6u, BC = 20u. En el lado CD se ubica el BC = 7u y AC = 8u, calcule la longitud punto M, ¿a qué distancia del vértice de la tangente TA . D debe estar el punto M para que la A) 8 B) 10 C) 12 diagonal AC sea la bisectriz del D) 15 E) 18 ∠BAM ? A) 25u B) 15u C) 20u el triángulo ABC, 108. Dado D) 10u E) 30u m∠BAC = 2m∠BCA , AB = c, BC = a y AC = b. Demostrar que a2 = c2 + bc 113. En un triángulo ABC, se ubica el incentro I, por I se traza una recta 109. En un paralelogramo PQRS, el punto secante que interseca a los lados AB N es el punto medio de RS y y AC en M y N respectivamente. Si QN ∩ PR = {M} . Luego se traza m∠INA = 60 , MI / IN = 3 . Halle la MT // PS ( T ∈ RS ) . Si PS = 18u, medida del ángulo BAC. entonces la longitud de MT es A) 60 B) 75 C) 90 A) 4u B) 5u C) 6u D) 120 E) Hay dos respuestas D) 4,5u E) 7u 114. Indique el valor de verdad de las 110. En la figura mostrada: P, Q y T son siguientes proposiciones: puntos de tangencia y los segmentos I. Dos cuadriláteros convexos, de AT y TB son los diámetros de las ángulos congruentes, son semicircunferencias. Si AT = 2a y semejantes. TB = 2b, entonces la distancia del II. Si en un cuadrilátero convexo dos punto T al segmento PQ es ángulos opuestos miden 90º, cada uno. Entonces, una de las diagonales es el diámetro de la P Q circunferencia circunscrita al cuadrilátero. III. Si en un cuadrilátero convexo, la suma de las longitudes de dos A B T O O’ lados opuestos, es igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados, entonces las bisectrices interiores del cuadrilátero son 2ab ab B) C) A) 2 ab concurrentes. a+b a+b A) I, II y III B) Sólo III C) I y II E) 3 ab D) ab D) II y III E) Sólo I CEPRE-UNI

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