UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DEL PERU Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas PRACTICA DIRIGIDA 02
1.- Una Una plac placa a cond conduc ucto tora ra infin infinit ita a tien tiene e de dens nsid idad ad supe superf rfic icia iall de carg carga a uniforme σ . Demostrar que la mitad del campo eléctrico E en un punto situado a d metros de la superficie de la placa se debe a la carga ubicada en la placa dentro de un círculo de radio 3 d 2.- Calcular el campo eléctrico que un cilindro de radio R y altura H produce en un punto P , como indica en la figura. El cilindro tiene una densidad de carga volumétrica, ρ , cte. Z H H 2
2
R y
X
3.- Calcul Calcular ar el campo campo eléctr eléctric ico o de un cascar cascaron on esféri esférico, co, en su centr centro o geométrico, si dos semicascarones tienen densidades superficiales cte. de σ y 2σ . El radio de la esfera es R . Sugerencia: Considerar los cascarones como superposiciones de anillos de radios r . 4.- Aplicar el teorema de Gauss a un alambre infinitamente largo con carga por unidad de longitud λ , para calcular el campo eléctrico a una distancia perpendicular perpendicular r de la línea de carga. 5.5.- Una carga eléctrica Q se encuentra distribuida uniformemente por toda una esfera no conductora de radio r (ver Fig. adjunta). Determine el campo eléctrico (a) en puntos fuera de de la esfera ( r > r 0 ) y (b) en puntos dentro de la esfera ( r < r 0 ) .
r 0
0
6.- Un cascarón esférico delgado de radio r posee una carga total neta Q distribuida uniformemente sobre él (ver Fig. adjunta). Determine el campo eléctrico en puntos ( a ) fuera del cascarón , ( b ) dentro del cascarón. 0
r
0
7.- Se distribuye carga de manera uniforme, con una densidad de carga superficial, σ , sobre la superficie de un plano no conductor infinito, (ver Fig. adjunta) determine el campo eléctrico en puntos fuera del plano.
8. Un dipolo eléctrico consiste de dos cargas puntuales Q y Q de cargas +12 nC y −12 nC , respectivamente están situados a 0.10 m de distancia entre ellas (ver Fig. 4.5). Calcule el potencial eléctrico causado por Q , el potencial eléctrico causado por la carga Q y el potencial eléctrico total: producido por las cargas eléctricas a) en el punto a b) en el punto b. c) en el punto c
1
2
1
2
9.
En una región del espacio hay un potencial dado por V ( r ) = V 0
e −ur r
donde u = cte. Halle:
a) E en el interior de la región b) La densidad de carga (P) que da lugar a esta potencial SUG: Usar coordenadas esféricas → Er = −
1 ∂V 1 ∂V ∂V ; E θ = − ; E φ = − r ∂θ rsenθ ∂φ ∂r
→V 0 E = −ρ / E 0 (Ec. De Poisson) ∂ 2 1 ( r Senθ Er ) + ∂ ( rSenθ 0 ) + ∂ ( rE φ ) →V 0 E = 2 ∂φ 2θ r Senθ ∂r
10. Una gota de aceite de carga (90 > 0), masa y radio r 0 se mueve entre 2 placas horizontales con una diferencia de potencial V 0 y separadas una distancia d0 manteniéndose la placa superior negativa. Si la densidad del aire ρa del aceite es ρ y la viscosidad del aire na, calcule la velocidad terminal de la carga en función de tales cantidades físicas. Evalúe para q0 = 6,4 x 10-19 C; V 0 = 400 V ; r 0 = 1,5 x 10-6 m; d 0 = 2,5 cm; 3 3 -5 2 ρa = 1,29 kg/m ; ρ = 800 kg/m ; na = 7,8 x 10 N s/m .
11. Calcular el valor del potencial en el centro de una lámina cuadrada con carga uniforme σ y lado a considérese el potencial cero en el infinito.
y
y a
y=x 0
x y= -xπ
dy y dx
dxdy 2 r = x 2 + y 2 r
σ
V 0 = ∫ ∂V 01 = ∫
12. Sobre una línea recta se colocan N → ∞ cargas /q0/positivas y negativas alternadas. La separación entre dos cargas consecutivas es la misma e igual a r 0. Demuestre que la energía potencial de una carga es: U = −( q 02 / 2π t 0 r 0 ) ln 2. AYUDA:
ln (1 + x )
=
x −
x 2 2
+
x 3 3
+
x 4 4
+
x 5 5
a
k1 a L k2 b
13. En el condensador cilíndrico se tienen los dieléctricos de constantes k1 y k2 que ocupan la mitad del volumen cada uno. Halle la capacitancia equivalente. 14. De acuerdo a la teoría de la relatividad una masa m0 posee una energía m0C2. Supongamos que la energía de la masa del electrón está contenida completamente en su campo eléctrico. Si imaginamos que el electrón es una superficie esférica cargada. ¿Cuál sería el radio del electrón? Si imaginamos que el electrón es una superficie esférica cargada. ¿Cuál sería el radio del electrón? (Este es el llamado el radio clásico del electrón). AYUDA: Considere que la masa m 0 y la carga que esta contenida en una esfera de radio a y calcule la energía potencial electrostática e iguale a la energía relativista. Q = 1,6 x 10-19C; m0 = 9,1 x 10-31 kg ; C = 3 x 108 m/s 15. Una carga puntual q0 se encuentra en el centro de un cascarón dieléctrico esféricos de radios a y b (b > a)
y
D z k
a) Halle el campo eléctrico para todos los puntos del espacio b) La densidad de carga inducida en la superficie interior y exterior. SUG: Usar la ley de gauss en la forma ∫ D • ds = q0
x
16. Dado D = 2 jˆ − 4 jˆ +
3 ˆ k c / cm 2 2
en la región x > 0, que es el vacío.
Halle P en la región x < 0, donde se encuentra un dieléctrico de constante k = 5. 17. Considere una alambre de área circular constante de radio R, largo y recto que lleva una densidad de corriente J = α r 2, donde r es la distancia al eje del alambre y α = constante. Calcule la corriente que fluye a través del alambre. 18. Hallar la resistencia del bloque mostrado si J =
α
r
ˆ y σ = 6,7 x10 st − m − r 7
1
1
z j j
5° r
Z = 0,05
5°
0,2 m r
19. (xx-12) ¿Qué diferencia de potencial existe entre dos esferas conductoras,
la una solida y la otra hueca de espesor despreciable, que se sitúan concéntricas, si sus radios son R1 y R2 y sus cargas son Q1 y Q2 respectivamente? 20. Concéntricas con una esfera solida no conductora de radio a, colocamos otra hueca
conductora de radios interior y exterior b y c, respectivamente. La esfera aislante tiene una densidad uniforme de carga
y la esfera hueca no tiene
carga neta. Hallar: a) Las densidades superficiales de carga inducida en las superficies interior y exterior de la esfera hueca. b) La intensidad de campo y el potencial eléctrico a una distancia r del centro de las esferas cuando r >c, c > r >b, b > r > a , y en r >a. c) ¿Cómo se modifican estos resultados si la esfera hueca se conecta a tierra?
21. Un conductor esférico de radio a tiene una densidad superficial de carga
, se encuentra en el interior de una esfera también conductora y hueca de radios interior y exterior b y c respectivamente, estando esta ultima conectada a tierra a través de una batería de tensión V 0 como indicamos en la figura. Hallar: a) Las densidades superficiales de carga sobre las superficies exterior e interior de la esfera hueca. b) La expresión del campo y el potencial a una distancia r del centro de las esferas cuando: r >c, c > r >b, b > r > a , y en r >a. c) Resolver el problema conectado la esfera hueca directamente a tierra. d) Resolver el problema cuando el conductor hueco se encuentra aislado y su carga neta es nula. 22. Un condensador de 100
está cargado al potencial de 2500 V.
a) Calcular la carga del condensador y su energía. b) Determinar el peso del hielo a 0 ºC que podría fundir con el calor que desprendiese las descarga del condensador, suponiendo que en
esta descarga toda la energía se transformase en calor . c) Determinar el volumen que tomaría 1g de oxigeno, primitivamente en condiciones normales, si manteniendo la presión constante se le hiciese absorber el calor producido en la descarga precedente. Calor especifico del oxigeno a presión constante: 0,237 cal/g . ºC. M m (O2) = 32 g/mol 23. Un lago circular de 1000 km2 tiene exactamente encima, a una altura de 500 m, una nube tormentosa, también circular, de la misma área. El lago de 2m de profundidad, está lleno de agua . Calcular la energía disipada en el agua en forma de calor, si la nube se descarga totalmente sobre ella, perdiendo toda su carga eléctrica y todo el calor fuera absorbido por el agua ¿Seria apreciable la elevación de la temperatura experimentada por el agua? El campo eléctrico existente entre la nube y estanque es de 100 V/m 24. Un condensador plano consta de dos placas metálicas circulares de 5 cm de radio y separadas 1 cm, les aplicamos una diferencia de potencial de 200 V. Hallar: a)
Su capacidad
b) La densidad entre las placas
c) La energía por unidad de volumen entre las placas d) La energía total almacenada en el condensador.
25. La molécula de agua puede representarse, como un triangulo isósceles en el que se colocan dos electrones con carga -2e, en el vértice que une los lados iguales, que forman un ángulo de 105º, y una carga positiva +e en cada uno de los otros dos vértices. Siendo las longitudes de los lados
iguales del triangulo 1 , determinar el momento dipolar de la molécula de agua. 26.Un condesador esta formado por dos laminas paralelas de 150cm2 de su superficie cada una y separadas entre si 2 nm. Se carga el condensador con una diferencia de potencial de 1kV. Se pide: a) La carga del condensador y energía almacenada. b) Si una vez cargado y aislado de la tensión de carga se llena el espacio entre las armaduras con una sustancia constante dieléctrica 3, ¿Cuál es la nueva capacidad del condensador? c) En las condiciones de la pregunta 2, cual es la nueva diferencia de potencial entre las armaduras?¿Cual es su nueva energía? 27. Un conductor esférico macizo de radio a cargado con
, se encuentra
encerrado dentro de una corteza esférica dieléctrica de radio exterior b y constante dieléctrica
. determinar :
a) Las expresiones de los vectores campo eléctrico, desplazamiento y polarización dentro y fuera del dieléctrico. b) Las densidades superficiales de carga inducida en el
dieléctrico.
