Capítulo 4 Ernest Rutherford (1871-1937) ….Y Rutherford exclamó: “Es como si un cañón disparara una bala sobre una hoja de papel y por cualquier circunstancia desconocida, la bala rebot a siguiendo la misma trayectoria.”
4.1 La estructura atómica – El El modelo de J.J. Thomson El hecho de que la materia presentaba una estructura microscópica se conocía desde la antigüedad.Hace aproximadamente un poco más de siglo y medio se demostró la existencia plena de las partículas que estructuran la materia en sus formas mas comunes, a saber, los átomos rodeados de nubes electrónicas, y los protones y neutrones que conforman el núcleo y agregados de átomos que conforman las moléculas. Las características de estos componentes en la materia con sus diferentes propiedades se ha estudiado en detalle desde entonces. Las investigaciones que condujeron al descubrimiento del electrón por J.J Thomson comenzaron con un intento por explicar la discrepancia que existe en el modo como se desvían los rayos catódicos según que actúen sobre ellos fuerzas magnéticas o fuerzas eléctricas . Lo anterior proporcionó los primeros indicios sobre la estructura atómica. En este capítulo se estudiarán los modelos clásicos que dieron cuenta a finales del siglo XIX y comienzos del siglo XX de cómo la carga y la masa se distribuían en el átomo. Para el año de 1898 Sir J.J. Thomson había descubierto el electrón y propuso un modelo conocido como el “pudín de ciruela”. El átomo como él lo describía era un pastel de ciruela con carga positiva distribuida en todo el volumen con cargas negativas localizadas en el mismo de modo que el conjunto presentaba neutralidad eléctrica. Este modelo se ilustra en la figura 4.1.1 a).
4.2 El modelo de Rutherford Para 1911 Ernest Rutherford y dos de sus estudiantes, Hans Geiger y Ernest ariden, realizaron una serie de experimentos sobre la dispersión de partículas alfa (una partícula alfa es un átomo de helio doblemente ionizado) a través de una delgada hoja de oro. Los resultados de dichos experimentos descartaron de plano el modelo propuesto por Thomson y se inclinaron a favor del nuevo modelo propuesto por Rutherford actualmente aceptado.
En el modelo de Rutherford el átomo consiste de un núcleo muy pequeño (del orden de 1010 m) que contiene la carga positiva y concentra la mayoría de la masa del átomo y de una nube de carga eléctrica negativa ( los electrones) que rodean al núcleo tal y como se ilustra en la figura 4.1.1 b).
Figura 4.1.1 a) Modelo de J.J. Thomson . b) Modelo de Rutherford Rutherford
Rutherford realizó un estudio teórico del ángulo θ de dispersión por partículas α muy energéticas en los modelos de Thomson y en su modelo y luego llevó a cabo una comparación de los resultados obtenidos en los dos modelos. En la figura 4.1.1 c) y d) se muestra el comportamiento del campo eléctrico esperado según cada modelo. Una partícula α que penetre un modelo como el propuesto por Thomson experimentará pequeñas desviaciones debido a que el campo eléctrico es débil.
Figura 4.1.1 c) Campo eléctrico en función de la distancia. E
Modelo de Thomson
r 0
R=
Radio del átomo
Figura 4.1.1 d) Campo eléctrico en función de la distancia
Modelo de Rutherford E
0
R
= Radio del átomo
r
En el modelo de Rutherford en cambio, las desviaciones son más pronunciadas para el mismo parámetro de impacto porque el campo eléctrico es más fuerte ya que toda la carga positiva +Ze se concentra en la pequeña región del núcleo y en consecuencia el ángulo de dispersión resulta mayor. El montaje experimental propuesto por Geiger y Marsden para verificar la validez del modelo de Rutherford se muestra en la figura 4.1.2.
Figura 4.1.2 Montaje experimental utilizado por Geiger y Marsden para verificar el modelo del átomo propuesto por Rutherford.
La fuente de Polonio 208 es una fuente monoenergética de partículas α de 7.68 MeV. La delgada hoja de oro de espesor 6x10-7 m utilizada permite que la mayoría de las partículas atraviesen la hoja sin sufrir desviación alguna, sin embargo algunas de ellas son dispersadas a ángulos θ que pueden ser detectadas a través de un microscopio amplificador. El resultado consiste en contar el número de partículas dispersadas en un ángulo comprendido entre θ y θ+ dθ y comparar estos resultados para los dos modelos. Muchas de las partículas dispersadas regresaban por la misma trayectoria de incidencia. Según Rutherford “ es como si un cañón disparara una bala sobre una hoja de papel y por cualquier circunstancia la bala rebotaba siguiendo la misma trayectoria.” Los resultados
obtenidos corroboraron en forma definitiva la validez del modelo de Rutherford sobre el de Thomson.
4.3 Dispersión de partícilas α- Ángulo de dispersión y parámetro de impacto. Considérese una partícula α que es dispersada por un núcleo de un átomo tal y como muestran las figuras 4.3.1 a) y b). Se define el parámetro de impacto b en un proceso de dispersión como la distancia mínima de aproximación de una partícula “proyectil” hacia el núcleo de un átomo que hace las veces de “blanco” si no existiera entre ellas fuerzas de interacción. El parámetro de impacto no debe confundirse con la distancia D de máximo acercamiento del proyectil hacia el
blanco. En la figura 4.3.1 a) la partícula α sigue la trayectoria mostrada debido a la interacción coulombiana entre la partícula proyectil y el núcleo del átomo de carga Ze.
Figura 4.3.1 a) Partícula dispersada por un núcleo atómico.
. La fuerza repulsiva de Coulomb se expresa como F = kZe2 / r 2
(4.1)
con k la constante de fuerza = 1/ 4πεo Esta ley sigue un comportamiento como el inverso del cuadrado de la distancia. Si la colisión fuera frontal es evidente que el parámetro de impacto es igual a cero (b=0) De hecho se supone al núcleo Ze en reposo y en el origen de un sistema de coordenadas x,y,z. Para determinar la distancia D de máximo acercamiento frontal de una partícula α moviéndose con energía cinética Kα a gran distancia del núcleo, esta se detendrá momentáneamente y regresará por la misma trayectoria con una energía potencial igual a la energía cinética con la que traía, de modo que:
K α = k 2Ze2 / D
(4.2)
La distancia de máximo acercamiento será D = k 2Ze2 / K α
(4.3)
Si la colisión no es de frente la distancia de máximo acercamiento será NC como se aprecia en la figura 4.3.1 b). Obsérvese de la figura 4.3.1 b) que el parámetro de impacto b es aproximadamente igual a: b NC sen [ π - ] /2 = NC cos /2
(4.4)
Figura 4.3.1 b) Dispersión por un núcleo atómico. Parámetro de impacto y distancia de máximo acercamiento D.
Para una colisión frontal b=0 = NC, con = 180° como era de esperarse. Para encontrar la relación entre b y se supondrá que: El núcleo del átomo es lo suficientemente masivo comparado con la partícula α y se encuentra en reposo. El núcleo y el proyectil se consideran partículas puntuales. La dispersión se debe solo a fuerzas coulombianas. No se tienen en cuenta interacciones de tipo nuclear en el proceso de dispersión.
En la figura 4.3.1 b) si p1 y p2 son los momentos lineales de la partícula α antes y después de interactuar con el núcleo, debe cumplirse que: p12 / 2m = p22 /2m
(4.5)
entonces se cumple que p1 = p 2 pues la partícula α se mueve bajo la acción de una fuerza central de la forma F = k( 2Ze2 /r 2 ) dirigida a lo largo del radio vector, por lo tanto el momento angular se conserva ya que de acuerdo con las leyes de Newton rxF = dL/dt = 0 pues r y F son vectores paralelos.
El cambio en la cantidad de movimiento lineal viene dado entonces por:
p p 2 p1 F .dt
(4.6)
0
También de la figura 4.3.1 b) se puede escribir en magnitud que p 2 p sen / 2 . El cambio en la cantidad de movimiento lineal tiene carácter vectorial y se dirige en la dirección NC . Dado que la fuerza de impulso se dirige a lo largo del eje Nz puede escribirse entonces que : 1
p 2 p1 sen / 2 =
F [cos( ) / 2 ]dt
(4.7)
0
haciendo el cambio de variable a:
d / dt ,
la velocidad angular de la partícula α, se llega
p 2 p1 sen / 2 =
F / w[ sen( / 2)d
(4.8)
0
Así mismo, de la conservación del momentum angular se escribe que mv1b = mvθ r en donde vθ = wr es la componente transversal de la velocidad de la partícula de modo que se llega a que v1b = wr 2 con b el parámetro de impacto. Cuando el valor de la fuerza central F y w se reemplazan en la ecuación (4.8) y se realiza la integración entre sus límites se llega a la expresión final que relaciona el parámetro de impacto b y el ángulo de dispersión , esto es b = [Ze2 cot /2 ] ]/ K α 4πεo
(4.9)
En la expresión (4.20) K α = ½ mαV 1 2 es la energía cinética de la partícula α y εo corresponde a la constante dieléctrica del vacío. El parámetro de impacto también puede escribirse en términos de la distancia de máximo acercamiento D, quedando b= D/2 cot / 2
(4.10)
4.4 Fórmula de dispersión de Rutherford Debido a que no es posible medir experimentalmente el parámetro de impacto b, no hay como comprobar experimentalmente la ecuación (4.10). Lo que realmente se mide es el número dN de partículas con ángulos de dispersión comprendido entre y +d o el número de partículas dispersadas por ángulo sólido d Ω = dS/r 2
La figura 4.4.1 muestra que el elemento de área del sector sombreado en donde chocan las partículas α es igual a dS = 2πr 2 sen d .
Figura 4.4.1 Definición del ángulo sólido dΩ
Por lo tanto, el ángulo sólido en el cual quedan “encerradas” estas dN partículas es dΩ = 2π sen d . De este modo todas las partículas alfa que se aproximan al núcleo con un parámetro de impacto b serán dispersadas a través de un ángulo . El área alrededor de cada núcleo con un radio igual al parámetro de impacto b es llamada sección transversal integral y se escribe como σ = πb2 La figura 4.4.2 muestra una sección en forma de rectángulo de una hoja de oro de área A y espesor muy delgado ( t= 6x10-7 m). de tal modo que las secciones transversales de los diferentes núcleos de la hoja de oro no se superponen.
Figura 4.4.2 Sección transversal integral y sección de una hoja de oro de área A que es atravesada por partículas α
Si n es el número de núcleos por unidad de volumen, la hoja de oro contendrá n(At) núcleos y por lo tanto el área T del blanco que presentan estos núcleos a fin de tener ángulos de dispersión mayores que y parámetros de impacto menores que b será T = nσ(At) Si f es la fracción de partículas alfa que sufren dispersiones mayores que las dadas por , entonces: f = Area blanco ofrecida por los núcleos en la hoja de oro / Area total del blanco = n(At) / A de modo que f = nσt = nπb2t
(4.11)
La ecuación anterior puede escribirse como la fracción entre N/N o en donde N es el número de partículas que son dispersadas y N o corresponde al número total de partículas α que se dirigen al blanco de área A, de modo que se llega finalmente a la ecuación f = N/N o ={ (nπ t D2 ) /4 }cot 2 / 2
(4.12)
Para calcular el número de partículas por ángulo sólido diferenciamos la ecuación anterior con respecto a y se divide por dΩ para obtener df / d Ω = dN/N o d Ω = - nπ tcot( / 2 )( cosec2 / 2 ) d
el signo - implica que df y d tienen signo opuesto. Tomando el valor absoluto de la relación anterior y sabiendo que sen = 2 sen( / 2 )cos( / 2 ) se llega a
Idf / d ΩI = [dN/ Nod Ω] = nD2t / 16sen4 / 2
(4.13)
ya que d Ω = dS/r 2 por definición. Se obtiene finalmente una expresión para el número de partículas α que golpean la pantalla dentro de una sección de área dS = 2πr 2 sen d . Esto es: dN / dS
2
2
N o nD t / 16r sen
/ 2
4
(4.14)
La ecuación anterior se conoce como la fórmula de dispersión de Rutherford y ha sido plenamente verificada en forma experimental. El número de núcleos por unidad de volumen se escribe como n = ρN A / M
(4.15)
con ρ(Kg/m3 ) la densidad del material bombardeado, N A es el número de Avogadro = 6.02 x1026 átomos/Kg.mol y M es el peso atómico expresado en Kg/Kg.mol
Ejemplo 4.4.1 Partículas α de energía 7.68 MeV se dirigen contra una hoja de oro de 3x10-7 m de espesor. a) Encontrar la fracción de partículas α cuyos ángulos de dispersión están entre 10° y 12°. b) Si el número total de partículas α que se dirigen contra la hoja de oro es de106 ¿Cuántas partículas serán dispersadas entre 10° y 12°? Solución a) Haciendo uso de la ecuación (4.23), escribimos: f = N/N o ={ (nπ t D2 ) /4 }cot 2 / 2
con D = k 2Ze2 / K α = 2.96x10-14m o D2=8.78 x10-28m2 Para el ángulo de 10° se obtiene, reemplazando valores numéricos N = N o[1.22 x10-5 cot 2 (5°)]. Para el ángulo de 12° se obtiene N= N o[1.22 x10-5 cot 2 (6°)]
Reemplazando el valor de N o =106 que corresponde al número de partículas dirigidas contra la hoja de oro se obtiene finalmente el número de partículas dispersadas entre los dos ángulos, esto es: 1593-1104 = 489 partículas.
Ejemplo 4.4.2 Determinar la velocidad de una partícula α con una energía cinética asociada igual a 7.68 MeV.
Solución Frecuentemente se utiliza la unidad electrón voltio (eV ) como unidad de energía en Física Atómica y Nuclear. Se define el eV como la diferencia de energía potencial eléctrica asociada a una carga eléctrica entre dos puntos con una diferencia de potencial igual a un voltio. 1eV =1.6x10-19 coulomb x voltio = 1,6x10-19 Julios
para la partícula α se tiene 7.68MeV = 7.68x106 eV( 1.6x10-19 J)/ 1 eV = 12.3 x10-13 J
esta energía potencial es igual a la energía cinética de la partícula α, esto es 12.3x10-13 J = ½ mαV α2
Despejando la velocidad se obtiene para la partícula α una velocidad de V α = 1.9x107 m/s = 0,06c y por lo tanto no es necesario hacer cálculos relativistas.
Ejemplo 4.4.3 Geiger y Marsden utilizaron partículas α en la comprobación experimental del modelo de Rutherford con una energía cinética de 7.68 MeV. Calcular la distancia de máximo acercamiento D a un núcleo de oro ( Z=79). Solución Toda la energía cinética de la partícula se transforma en la energía del sistema a la distancia de máximo acercamiento D. Usando la ecuación (4.13) podemos calcular el valor D, esto es K α = k 2Ze2 / D D = k2Ze2 /K α
Reemplazando valores se obtiene D = 2.96x10-14m que es del orden del radio del núcleo del átomo de oro. Recuérdese que k = 1/4πεo es la constante de fuerzas y vale 9x109 N.m2 /coul 2
4.5 Modelo de Rutherford para el átomo de hidrógeno Similarmente a un modelo planetario, el átomo cuyo modelo propuesto por Rutherford se muestra en la figura 4.5 consta de electrones de masa m = 9.1x10-31 Kg que giran alrededor del núcleo más masivo y en reposo, de dimensiones del orden de 10 -14m y carga eléctrica + Ze. A una distancia r del núcleo giran los electrones con movimiento circular uniforme. Este modelo por lo tanto se considera un modelo dinámico.
Figura 4.5 Modelo planetario de Rutherford
El modelo de ser estático colapsaría debido a que los electrones son atraídos hacia el núcleo debido a las fuerzas coulombianas. Sin embargo esto no sucede. Estudiemos el caso mas sencillo de estructura atómica, el átomo de hidrógeno, tal y como muestra la figura 4.5. La atracción electrostática entre el protón y el electrón provee la fuerza centrípeta o normal necesaria para que el electrón gire alrededor del núcleo. Tal fuerza, de conformidad con la Ley de Coulomb se escribe como F
2
2
ke / r
(4.16)
con r la distancia desde el núcleo al electrón. De acuerdo con la segunda ley de Newton dicha fuerza es igual a la masa electrónica multiplicada por aceleración normal V 2 /r , esto es F
2
2
ke / r
= mV 2 /r
(4.17)
De la ecuación (4.17) la energía cinética del electrón puede escribirse como K e = ½ mV 2 = (1/8πεo ) e2 /r
(4.18)
La energía potencial eléctrica del sistema se escribe como E p = - (1/4πεo ) e2 / r
(4.19)
El signo menos nos indica que la fuerza eléctrica sobre el sistema es de atracción y no de repulsión. La energía mecánica total del sistema es la suma de las ecuaciones (4.18) y (4.19), esto es E = K e + E p = - (1/8πεo ) e2 /r (4.20)
Igual a la energía cinética del electrón pero con signo negativo. La energía de enlace de un electrón se define como la mínima energía necesaria para ionizar el átomo esto es, la energía requerida para remover el electrón del átomo. Experimentalmente se ha encontrado que la energía de enlace del átomo de hidrógeno es de 13.6 eV. Llevando este valor a la ecuación (4.20) se encuentra para r el valor de r = r o = 0.53 x 10-10m
(4.21)
Este valor de r o que ha sido obtenido por otras técnicas experimentales se conoce como el radio de Bohr . La velocidad lineal del electrón en su órbita y la frecuencia v se relacionan mediante la expresión V = wr = 2πvr . Llevando este valor a la ecuación (4.18) se obtiene para la frecuencia de giro del electrón alrededor del núcleo el valor v
1 / 2 [
e
2
/ 4
3
o
mr
]
(4.22)
Llevando los valores de r, e y m conocidos para el electrón se obtiene una frecuencia de giro de v = 7x1015 Hz El modelo planetario para explicar la estructura del átomo debió sin embargo abandonarse muy pronto ya que de acuerdo con la electrodinámica clásica se sabía que
Toda carga acelerada debe radiar energía electromagnética en forma continua. La frecuencia de la radiación emitida por la carga acelerada debe ser igual a la frecuencia de giro.
En efecto, de acuerdo con el modelo planetario la energía total del átomo debería disminuir ( debe hacerse mas negativa) mientras que la frecuencia de rotación debe aumentar. Lo anterior implica que el electrón debe colapsar hacia el núcleo en un tiempo del orden de 106 s. Lo anterior no ocurre. Una prueba experimental en contra del modelo planetario de Rutherford lo constituye el espectro que se observa a través de tubos de descarga que contiene gases de diferente naturaleza. Tales espectros son discretos o de líneas y no continuos como predice el modelo.
4.6 El espectro atómico Experimentalmente es posible obtener mediante un espectrómetro de prisma el espectro de un gas monoatómico confinado en un tubo de descarga a baja presión. El espectro consiste de un conjunto de líneas visibles denominado espectro de líneas característico del gas utilizado.
En el caso del hidrógeno se obtiene un conjunto de series de líneas de las cuales una de ellas cae en la región visible del espectro electromagnético y se le denomina serie de Balmer en honor a J.J. Balmer quien la descubrió en 1885. En el caso de un gas como el nitrógeno se obtiene un espectro de bandas muy diferente al del hidrógeno y al espectro de la luz blanca proveniente de una fuente incandescente que emite un espectro continuo de longitudes de onda. Los espectros de absorción se obtienen cuando la luz de un espectro coniínuo se hace pasar a través de un gas monoatómico como el hidrógeno. La tabla 4.6.1 muestra las diferentes series espectrales para el hidrógeno, la región donde cae en el espectro, la ecuación de la serie y el límite de la serie. Para calcular la longitud de onda de cada una de las series el espectroscopista J.R. Rydberg propuso una ecuación empírica de la forma k = 1/ λ = R H ( 1 / 22 – 1 / n2 ) para n = 3,4,5,…….
(4.23)
con la cual podía calcularse las longitudes de onda para la serie visible de Balmer del átomo de hidrógeno. R H denominada la constante de Rydberg toma el valor de 1.0973731 x10-3 ( A °)-1.
Cuando n= 3, λ = 6563 A ° (línea H α de color rojo para la serie de Balmer). Cuando n = 4, λ = 4681 A ° (línea H β de color azúl ). Para valores de n= 5,6…. se obtiene la línea H , H δ y así sucesivamente.
Tabla 4.6.1 Series espectrales para el átomo de hidrógeno.
Cuando n =
se obtiene el límite de la serie para un valor de λ = 3645 A °.
4.7 Postulados de Bohr El físico alemán Niels Bohr propuso en 1913 su modelo basado en una serie de enunciados o postulados con los que quedaban saldadas las inconsistencias que presentaba el modelo planetario de Rutherford y con el cual explicaba satisfactoriamente la estructura del átomo. Bohr basó su modelo en los siguientes enunciados:
El electrón gira alrededor del protón en el átomo de hidrógeno con movimiento circular uniforme debido a la interacción de Coulomb y siguiendo las leyes de Newton de la mecánica. Las únicas órbitas permitidas son aquellas para las cuales el momentum angular del electrón en su órbita es un múltiplo entero de h/2π , es decir L = mV r = nh/2π con n un número entero y h la constante de Planck. Cuando un electrón orbita en una órbita permitida, el átomo no radía energía. ( La teoría electromagnética clásica predice que cualquier carga acelerada irradia energía en forma continua). Si el electrón salta desde una órbita de energía inicial a otra final se emite un fotón de energía igual a v = (E i - E f ) / h
(4.24)
Lo anterior explica las frecuencias discretas obtenidas en los espectros de emisión o de absorción en los átomos. El modelo del átomo de Bohr aunque ha sido reemplazado por los modelos cuánticos de Heisenberg, Schrödinger, Dirac y otros físicos, sigue siendo válido para explicar de manera satisfactoria el concepto de estados estacionarios de energía en el átomo
4.8 El modelo de Bohr y los estados de energía para el átomo de hidrógeno. Bohr toma como punto de partida para su modelo el modelo planetario de Rutherford. Según el primer postulado, el electrón gira alrededor del núcleo conforme a las leyes de Newton y a la fuerza de interacción coulombiana obteniéndose para la energía total del sistema un valor dado por la ecuación (4.20). Con relación al segundo postulado se presenta una inconsistencia con la física clásica, pues el espectro de valores para el momento angular debe ser continuo, es decir, todos los valores para L son posibles en contradicción al segundo enunciado del modelo de Bohr que predice que el momentum angular solo puede tomar valores discretos, es decir, L debe estar cuantizado. Tal situación se asimila a la cuantización de la carga eléctrica en la física clásica.
En relación con el tercer postulado, el electrón no radia energía mientras el momentum angular L tome valores discretos. A tales estados no radiantes se les llama estados estacionarios. Así por ejemplo, al estado de menor energía ( n=1) se le llama estado base. En este estado el átomo se encuentra la mayoría del tiempo. Para otros valores de n=, 2,3,4…, a estos estados se les denomina excitados. La velocidad del electrón en una órbita mecánicamente estable es V=n(h/2π)/mr y la energía cinética será (1/ 2m)[n(h / 2 ) / mr ]2
(e 2 / 8 o ) / r
Ecuación que da r el valor r = r n = 4πεon2h2 / ( 2π )2 m e2
(4.25)
Con la expresión anterior se calculan los valores de los radios de las órbitas no radiantes en el átomo de hidrógeno. Para el estado base n=1, r 1 = 0.53 A ° que se conoce como el radio de Bohr valor que concuerda con el obtenido en el modelo planetario de Rutherford. La ecuación (4.25) también puede ser escrita en términos del radio de Bohr de la forma r n = n2 r 1 que implica que los radios de las órbitas en este modelo están cuantizados. Llevando los valores de r a la ecuación (4.20) se obtienen los correspondientes valores para la energía en función del número cuantico principal n. Se llega a E = E n = -{( me4 ) / [ 32π 2εo2 (h/2π )2 ] }. (1/n2 )
(4.26)
Que conduce a los estados cuantizados de la energía Reemplazando los valores numéricos en la ecuación anterior podemos escribir para E finalmente E = - (13.6/ n2 ) eV
n = 1,2,3,4….
Cuando n=1, el estado de menor energía o estado base ,
(4.27) E = - 13.6 eV.
Un diagrama de estados de energía discretos para el átomo de hidrógeno se ilustra en la figura 4.8.1 En el diagrama de niveles de energía mostrado en la figura 4.8.1 las transiciones desde n= 2,3,4 etc. al estado base (n=1) dan lugar a la serie de Lyman. La serie de Balmer (visible) se da para transiciones desde n= 3,4,5 al estado n=2. La serie de Parchen se obtiene para transiciones hacia el estado n=3 desde los niveles n=4,5,6 y así sucesivamente.
Figura 4.8.1 Diagrama de niveles de energía para el átomo de hidrógeno en donde se muestran las transiciones que dan origen a las series del espectro.
Resumiendo:
El primer postulado del átomo de Bohr se basa en la existencia del núcleo atómico (modelo de Rutherford). El segundo postulado introduce el concepto de cuantización. El tercer postulado elimina el problema de la inestabilidad de un electrón debido a la emisión de energía electromagnética. El cuarto enunciado del modelo de Bohr se relaciona con el postulado de Planck de la radiación del cuerpo negro asociada a la energía de un fotón de valor E = hv
4.9 Principio de correspondencia Algunas de las contribuciones de Niels Bohr al desarrollo de la física atómica surgen en los años de 1913 a 1923 durante los cuales trabajó inicialmente en Manchester y
posteriormente en Copenhague. El influjo y la importancia de las ideas que el desarrolló en este periodo, y de sus aplicaciones, se pueden ilustrar a través de dos hechos importantes: El primero se desarrolla en el tercer Congreso Solvay, realizado en Bruselas en 1921. Allí se discute sobre el tema de los "Electrones y Átomos", una de cuyas discusiones principales se centró en torno a su principio de correspondencia, y el segundo, en 1922 cuando le otorgó el premio Nobel por sus contribuciones al entendimiento de la estructura atómica y la radiación. El principio consta de dos enunciados: Las predicciones que hace la teoría cuántica para el comportamiento de cualquier sistema físico deben corresponder a las predicciones de la teoría clásica para valores grandes de los números cuánticos que especifican el sistema. Toda regla de selección (por ejemplo: Una transición entre niveles de energía) es válida para cualquier valor del número cuántico correspondiente. De modo que toda regla de selección que se aplique en el límite clásico ( valores grandes de n ) deberá aplicarse en el límite cuántico ( valores pequeños de n ). Para ilustrar el principio de correspondencia compararemos la frecuencia de la radiación electromagnética de los fotones emitidos según el modelo de Bohr aplicado al mundo macroscópico con la frecuencia de revolución del modelo planetario. De acuerdo con la teoría clásica v
1 / 2 [
e
2
/ 4
o
3
mr
]
los radios de las órbitas se escriben como r = r n = 4πεon2h2 / ( 2π )2 m e2
reemplazando los valores de r en los de la frecuencia se llega: v = me4
2 / 64π 3εo2(h/2π)3 n3
según el átomo de Bohr la frecuencia del fotón emitido en una transición desde ni a n f es v = me4 / 64π 3εo2(h/2π)3 [ 1/ n f 2 – 1/ ni2 ]
Si ni y n f son grandes y próximos entonces puede escribirse en buena aproximación que: ni - n f = Δn ni + n f = 2 ni = 2n ni 2 n f 2 = n4
sustituyendo se encuentra para la frecuencia del fotón emitido el valor de v = me4 2Δn / 64π 3εo2(h/2π )3 n3
si hacemos Δn = 1 entonces los dos valores de la frecuencia coinciden. Para valores de Δn = 2,3,4…., se obtienen valores armónicos de la frecuencia principal. Se concluye que cuando se aplica el modelo de Bohr (escala microscópica) se encuentran resultados idénticos obtenidos con métodos clásicos (escala macroscópica). Tal es la filosofía del principio de correspondencia.
Regla de cuantización de Wilson – Sommerfeld Lo sorprendente de la teoría de Bohr es que pudo explicar el espectro del átomo de hidrógeno postulando la cuantización del momentum angular L = nh/2π mientras que Max Planck postuló la cuantización de la enrgía E = nhv para obtener la distribución espectral de la radiación del cuerpo negro. Es claro que debe existir cierta correlación entre ambos postulados. En 1916 Wilson y Sommerfeld enunciaron una regla general para la cuantización que dice: “ Toda coordenada de un sistema físico que varíe periódicamente en el tiempo debe
satisfacer la condición cuántica
pdq nh
(4.28)
en donde q es una coordenada periódica , p es el momentum asociado con q, y la integral debe hacerse sobre un período de la coordenada q “
Ejemplo 4.10.1 Analizar la situación de una partícula moviéndose en una trayectoria circular bajo la influencia de un campo central. Solución La condición implícita para el enunciado de este ejemplo es que debe cumplirse la condición dada por la ecuación (4.28), esto es
Ld nh L = nh/2π (condición de Bohr) es el momentum angular de la partícula en su trayectoria. La variable angular se extiende desde 0 hasta 2π cuando se realiza la integración
cerrada.
Ejemplo 4.10.2 Encontrar los valores de la energía para un sistema mecánico que describe un M.A.S ( sistema masa resorte).
Solución Para una partícula de masa m suspendida del extremo de un resorte de constante elástica k , la ley de Newton establece que m d 2 x/dt 2 + k x = 0
cuya solución es armónica de la forma x= Asen wt con w = 2πv = (k/m)1/2
Para el sistema masa resorte, la energía total del sistema es la suma de la energía cinética de la masa m o E k = p2 /2m y la energía potencial elástica asociada con el resorte de constante k, esto es E = p2 /2m + ½ k x2
esta energía es constante e igual al valor máximo de una de ellas, esto es E= ½ k A2 = ½ mw2 A2
por derivación directa de la solución respecto del tiempo t se obtiene la velocidad, se llega a dx/dt = Awcoswt
de modo que la cantidad de movimiento p se escribe como p = mdx/dt = m Awcos(wt)
y de la condición de cuantización de Wilson y Sommerfeld se llega a:
pdx nh = mw A 2
2
cos( wt )dt nh
si hacemos θ =wt que equivale a integrar en todo un ciclo de oscilación se obtiene la siguiente expresión en términos de la energía E 2
( 2E/w ) cos 2θ dθ = 2E π /w = nh 0
y despejando los valores para la energía del oscilador se llega a E = nhw/2π = nhv
condición utilizada por Planck para la condición de cuantización de los osciladores de las paredes de la cavidad.
Ejemplo 4.10.3 Analizar el movimiento de una partícula de masa m que se mueve entre las paredes de una caja unidimensional de longitud l y encontrar los valores de la energía. Solución Suponemos que sobre la partícula no actúan fuerzas externas excepto la fuerza impulsiva elástica sobre ella cuando choca contra las paredes de la caja. En efecto debe cumplirse que l
o
pdx nh = (mV )dx (mV )dx 2mVl 0
que conduce a
l
mV = nh/2l = p
si la partícula no es relativista, entonces E = ½ mV 2 = p2 /2m = n2h2 / 8ml 2
Problemas propuestos 1. Una partícula α de 5MeV alcanza a um núcleo de oro con un parámetro de impacto de 2.6x10-13m. ¿Bajo qué ángulo será dispersada? Para el oro: ρ = 1.93x104 Kg/m3 Z = 79 M = 197 Kg/mol A = 197 2. ¿Qué fracción de un haz de partículas α de energía 7.7MeV que incide sobre una lámina de oro de 3x10-7 m de espesor se dispersa con un ángulo menor de 1° ?
3. Encontrar la distancia de máximo acercamiento de los protones con energía de 1MeV que inciden sobre los núcleos de oro. 4. Si sobre un blanco de sodio ( Z=11, A= 23 ) se dispara 104 partículas en una
dirección dada: a) ¿Cuántas partículas serán dispersadas a través del mismo ángulo si el blanco de sodio se reemplaza por una hoja de oro del mismo espesor? b) ¿Cuántas partículas serán dispersadas en la misma dirección si el espesor del blanco de sodio se reduce a la mitad de su valor inicial?. Para el sodio ρ = 0.93x104 Kg/m3. 5. Encontrar la longitud de onda del fotón emitido por un átomo de hidrógeno al pasar del estado n=10 al estado fundamental. 6. Un haz de electrones bombardea una muestra de hidrógeno. ¿A qué diferencia de potencial se deben acelerar los electrones si se desea que se emita la primera línea de la serie de Balmer?.
7. La luz de un tubo de descarga de hidrógeno usada en un espectroscopio incide normalmente sobre una red de difracción de 15.000 líneas/cm. Si el espectro de primer orden de la serie de Balmer muestra la línea difractada a 23°, calcular: a) La
longitud de onda de la línea (línea roja de la serie de Balmer). b) La constante de Rydberg en metros recíprocos (m-1 ). 8. Calcular la frecuencia de la línea con la longitud de onda mas larga en la serie de Balmer del hidrógeno. ¿Cuál es la longitud de onda de esta línea?. 9. Calcular la frecuencia y la longitud de onda de las líneas con longitud de onda mas corta y mas larga para cada una de las series de Balmer. 10. Mostrar que los niveles de energía E n (Z) de un átomo de hidrógeno cuyo núcleo tiene una carga Ze es E n(Z) = Z 2 E n en donde E n es la energía correspondiente al estado n del hidrógeno ordinario. 11.
Determinar la energía de enlace del electrón en a) Hidrógeno. b) He+ c) Li2+
12. Mostrar que la velocidad del electrón en el estado de energía n en el hidrógeno es V n = 2πKe2 /hn. 13. Tomando el resultado del enunciado anterior calcular el tiempo que necesita un electrón para describir una órbita completa cuando se encuentra en un estado permitido.
Bibliografía recomendada Eisberg, M. Robert, Fundamentos de Física Moderna, Ed. Limusa, 1995 Finn, E, Alonso, M, Fundamentos Cuánticos y Estadísticos, Ed. Fondo educativo interamericano, 2003. Eisberg, R. Resnick R, Física Cuántica, Ed. Limusa S.A. 1996. Cohen-Tannoudji,C.C.Diu, Laloe,F, Quantum Mechanics Vol I. Ed. Willey and Son, NY. 1997. Acosta, V. Cowan, L. Clide, Gram.,B.J. Curso de Física Moderna, Ed. Harper and Row, México, 1995
