2_Examen_de_Metodos_1_1.docx

Universidad Veracruzana

Métodos Numéricos Segundo Examen Parcial Docente M. en C Francisco Alejandro Alaffita Alaffita Hernández

Alumnos Elizabeth Martinez Martinez David Velázquez Flores Candy a!ady "onzález #$rez

Fecha de entrega % de Mayo del &'%(

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1.- )as ar!azones son estructuras li*eras ca+aces de so+ortar car*as +esadas. En el dise,o de +uentes- los !ie!bros de la estructura están conectados con juntas rotatorias de +asador que +er!iten transferir la fuerza de un !ie!bro a otro. )a fi*ura si*uiente !uestra una estructura que se !antiene estacionaria en el etre!o inferior de la izquierda /%0- que se des+laza horizontal!ente en el etre!o inferior derecho /(0 y que tiene juntas de +asador en /%0- /&0- /10 y /(0. e coloca una car*a de %'''' ne2ton /30 en la junta /10 y las fuerzas resultantes sobre las juntas de la estructura tienen !a*nitudes dadas +or f%- f&- f1- f( y f4 co!o se observa en la fi*ura. Cuando son +ositivas- estas fuerzas indican tensi5n en los ele!entos de la estructura y cuando son ne*ativas indican co!+resi5n. El !ie!bro de so+orte estacionario tiene una fuerza horizontal F% y una fuerza vertical F&- +ero el !ie!bro de so+orte !ovible tiene 6nica!ente la fuerza vertical F1.

i la estructura está en equilibrio estático- las fuerzas en cada junta deben a*re*arse al vector cero- de !odo que la su!a de las co!+onentes horizontal y vertical en cada junta debe ser cero. En resu!en7

Calcular las fuerzas f%- f&- f1- f(- f4- F%- F& y F1- +or !edio de la re*la de 8ra!er- Matriz inversa- "auss9:ordan- "auss9:ordan con +ivoteo y a !ano. Co!+arar los resultados.

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•

#or la re*la de Cra!er

•

2) Matriz inversa7

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•

#or el !$todo de *auss

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•

oluci5n del siste!a a !ano

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2.- ;n in*eniero industrial su+ervisa la +roducci5n de cuatro ti+os de co!+utadoras. e requieren cuatro clases de recursos9 Horas9ho!bre- !etales- +lásticos y co!+onentes

Co!+utadoras % & 1 ( electr5nicos.

Mano Metales de bra 1 &' ( &4 = (' &' 4'

#lásticos

Co!+onentes

%' %4 &' &&

%'  %' %4

En este cuadro se resu!en las cantidades necesarias +ara cada uno de estos recursos en la +roducci5n de cada ti+o de co!+utadoras. i se dis+one diaria!ente de 4'( horas- ho!bre%<='>* de !etal- <=' >* de +lástico y ?'% co!+onentes electr5nicos. @Cuantas co!+utadoras de cada ti+o se +ueden construir +or daB

•

•

#ri!ero sabe!os que hay ( ti+os de co!+utadoras y necesita!os saber cuántas de cada ti+o se +ueden construir +or lo que le asi*na!os a cada co!+utadora una inc5*nita. Hace!os nuestras ecuaciones en la cual se+arare!os cada secci5n !ano de obra!etales- +lásticos y co!+onentes asi*nando la inc5*nita d el ti+o de ordenador7 %. &. 1. (.

•

1  (y  =z  &'2 &'&4y('z4'2 %'%4y&'z&&2 %'y%'z%42

*uala!os a la cantidad que es necesaria en cada uno +or da7 %. 1  (y  =z  &'2G4'( &. &'&4y('z4'2G%<=' 1. %'%4y&'z&&2G<=' (. %'y%'z%42G?'%

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•

Ahora resolviendo el siste!a de ecuaciones con el !$todo de cra!er en MAI)AJ .

•

)os resultados son7 K%G%' K&G%& K1G% K(G%4

•

)o que si*nifica que7 e +ueden construir %' co!+utadoras del ti+o % e +ueden construir %& co!+utadoras del ti+o & e +ueden construir % co!+utadoras del ti+o 1 e +ueden construir %4 co!+utadoras del ti+o (

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3.-#ara decidir que co!+utador co!+rar- si el E3C%=( o el M"L%%- una co!+a,a ha decidido evaluar la +recisi5n con la que cada uno de estos !odelos resuelve el siste!a

34 x + 55 y −21=0 55 x + 80 y −34 =0

El co!+utador E3C%=( da co!o soluci5n

x =− 0.11

e

y =0.45 y- +ara co!+robar

su eactitud se sustituye en el siste!a y se obtiene7

34 (−0.11 )+ 55 ( 0.45)− 21=0.01

55 (−0.11 )+ 80 ( 0.45 )− 34= 0.00

El co!+utador M"L%% da co!o resultado x =−0.99 e

y =1.01 y- +ara co!+robar su

eactitud se sustituye en el siste!a y se obtiene7

34 (−0.99 )+ 55 ( 1.01 )−21= 0.89 55 (−0.99 )+ 80 ( 1.01 ) − 34 =1.44

@u$ co!+utador da !ejor res+uestaB @#or qu$B El co!+utador E3C%=(- +orque su+oniendo que a!bas soluciones / x

y

y

0 son

correctas- este co!+utador +resenta una !ejor res+uesta debido a que tiene una !ayor +recisi5n.

NOA! )as soluciones +resentadas no satisfacen las ecuaciones.

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".- Calcule la soluci5n de Ax = B siendo la !atriz de Hilbert de (( dada +or7

;tilizando la re*la de cra!er en MAI)A#

se introducen los datos y se obtiene el vector soluci5n

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#ara co!+robar que nuestro resultado es correcto- !ulti+lica!os ANK +ara obtener el vector soluci5n.

#.- )a distancia D = D ( t ) recorrida +or un auto!5vil se !uestra en la si*uiente tabla7

a)

Deter!ine

abiendo que

la

velocidad

V ( t )=

dx dt

t

D (t )

$ % 1& 11 12

%=.(41 &%.(?' &4.=4& 1'.1'% 14.'(

V/%'0

+ode!os usar las diferencias centrales con los datos

+ro+orcionados +ara obtener la velocidad en el +unto tG%'

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O obtene!os co!o resultado con V/%'0 G (.(&'4.

b0 Co!+are su res+uesta con la que se obtiene sabiendo que la e+resi5n de D (t )

es

−t / 10

D (t )=−70 + 7 t + 70 e

#ara calcular analtica!ente la velocidad en tG%' deriva!os D (t ) y tene!os evalua!os en %'.

V ( t )=

d D (t ) −t / 10 =7 −7 e dt

V ( 10 )=

d ( D ( 10 ) ) =7 −7 e−(10)/ 10 dt

V ( 10 )=4.424 8

O co!+ara!os a!bos resultados. 'esultado num(rico "."2&#

'esultados analtico (.(&(

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y


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*. ea

xy f ( x , y ) = x + y . Calcule a+roi!aciones a

derivada de con

f con res+ecto a x y

h =0.1 - 0.01 y

f x ( 2,3 )

f y es la derivada de

y

f y ( 2,3 )

/ f x es la

f con res+ecto de y 0

0.001 . Co!+are con los resultados reales.

%0 )as derivadas +arciales son7 2

2

y x f x = f = 2 y ( x + y ) ( x + y )2 &0 O al evaluar las derivadas +arciales en los +untos /&-10 obtene!os

f x ( 2,3 )=

2

3

(2 + 3 )

= 0.36 f y ( 2,3 )= 2

2

2

( 2 + 3 )2

= 0.16

10 Ahora realizando el !$todo nu!$rico +ara las derivadas +arciales con una h es+ecfica en MAI)AJ.

(0 bteniendo los resultados +ara cada una de las h es+ecficas.

40 O trasladando cada uno de los resultados a la si*uiente tabla +ara co!+ararlos.

+alor real de la deri,ada en 23)

+alor de la deri,ada en 23) con h/&.1


f x ( 2,3 )=0.36

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f y ( 2,3 ) =0.16

0.- Ha*a lo !is!o que el ejercicio anterior +ero con

f ( x , y ) =arctan

() x y

%0 )as derivadas +arciales son7

f x =

1

1

()

x 1+ y

2

⋅

y

f y =

()

x 1+ y

( ) − x

1 2

⋅

y

2

&0 Al evaluar las derivadas +arciales en los +untos /&-10 obtene!os 1

f x ( 2,3 )= 1+

1

() 2

2

⋅

3

3

1+

() 2

( )=− −2

1

=0.2308 f y ( 2,3 ) =

2

⋅

3

2

0.1538

3

10 Ahora utilizando el !$todo nu!$rico anterior +ara derivadas +arciales con una h es+ecfica y ca!biando la funci5n *enera

(0 bteniendo los resultados +ara cada una de las h es+ecficas.

40 Irasladando cada uno de los resultados a la si*uiente tabla + ara co!+ararlos. Valor real de la derivada en (2,3)



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f x ( 2,3 )=0.2308 f y ( 2,3 ) =−0.1538

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