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GU Í A DI DÁC T IC A

U N I DA D

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ESO

Expresiones algebraicas

2 CONTENIDO

1 Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 *Esta programación y la concreción curricular de tu Comunidad Autónoma podrás encontrarlas en el CD Programación y en www.smconectados.com.


Unidad 5

Programación de aula


Unidad 5

El lenguaje algebraico es una de las grandes herramientas matemáticas sin las cuales sería imposible concebir la matemática moderna. El lenguaje en el que se desarrollan las grandes ramas, desde el análisis hasta la geometría, es sin duda el lenguaje de los objetos designados a través de letras. Para los alumnos de segundo de ESO, este es el primer acercamiento al lenguaje algebraico propiamente dicho. Aunque en primero se han visto algunas nociones básicas de las operaciones con monomios, las justas para iniciar el estudio de ecuaciones de primer grado, es ahora cuando se introducen el concepto de polinomio y las operaciones con polinomios. El nuevo lenguaje no resulta habitualmente sencillo para los alumnos, pues en ocasiones no es muy intuitivo. Es importante que se trate cada nuevo contenido con el suficiente detenimiento, especialmente aquellos que se refieren a las operaciones con polinomios. También es importante que se estudie con detenimiento cómo en muchas circunstancias de la vida ordinaria o en otras materias se usan letras para designar cantidades que a priori se desconocen o que pueden ser variables. Esta idea es básica para el tratamiento en unidades posteriores tanto de ecuaciones o sistemas de ecuaciones como del concepto de función. Como ocurre con otros muchos contenidos de la materia, la destreza en el uso del lenguaje algebraico y de las operaciones con polinomios en particular se adquiere con la práctica.

OBJETIVOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

1. Utilizar las expresiones algebraicas para manejar cantidades desconocidas o variables y expresar condiciones o relaciones sobre ellas.

1.1 Reconocer expresiones algebraicas y utilizarlas para expresar relaciones entre diferentes magnitudes, calculando el valor numérico de dichas expresiones en caso de que sea necesario.

COMPETENCIAS BÁSICAS

• Lingüística • Matemática

1.2 Identificar en un polinomio el grado, el número de términos y el coeficiente y parte literal de cada término. 2. Operar con agilidad y corrección polinomios, simplificando los resultados siempre que sea posible.

2.1 Calcular sumas, restas, productos y cocientes de monomios. 2.2 Calcular sumas, restas, productos de polinomios y cocientes de un polinomio por un monomio.

• Interacción con el mundo físico • Social y ciudadana • Cultural y artística • Tratamiento de la información y competencia digital • Aprender a aprender

2.3 Desarrollar igualdades notables y potencias de polinomios de exponente 2 o 3.

CONTENIDOS • Expresión algebraica

• Operaciones con polinomios: suma, resta, producto y cociente entre un monomio

• Valor numérico de una expresión algebraica

• Extracción de factor común

• Monomios

• Potencia de un polinomio

• El lenguaje algebraico

• Coeficiente y parte literal de un monomio • Grado de un monomio • Monomios semejantes • Operaciones con monomios: suma, resta, producto y cociente • Polinomios. Coeficiente principal • Grado absoluto de un polinomio • Términos de un polinomio 2

Unidad 5


• Igualdades notables: cuadrado de una suma, cuadrado de una resta, suma por diferencia • Perseverancia en la búsqueda de soluciones en ejercicios con expresiones algebraicas superando las dificultades que un primer acercamiento puede plantear • Valoración de la necesidad y utilidad del uso del lenguaje algebraico en la resolución de problemas de la vida ordinaria o de otras materias


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Para que los alumnos puedan operar con facilidad monomios y polinomios es necesario que dominen las operaciones con enteros, la utilización de paréntesis y las operaciones con potencias.

2. Previsión de dificultades Los alumnos tenderán a automatizar el trabajo con las expresiones algebraicas. Para evitarlo propondremos numerosas actividades que les permitan expresar distintas situaciones de la vida cotidiana y de su entorno inmediato mediante expresiones algebraicas, y viceversa; es decir, dada una expresión algebraica, enunciar una situación o fenómeno al que dé significado. A la hora de multiplicar, los alumnos suelen confundirse en la reducción de términos semejantes, una vez multiplicados los polinomios, y escriben, por ejemplo, x2 ⋅ x2 = 2x2. Para que apliquen con soltura las identidades notables deberemos hacer múltiples ejemplos para evitar que cometan el típico error de expresar el cuadrado de una suma (o diferencia) como el cuadrado del primero más (menos) el cuadrado del segundo.

3. Vinculación con otras áreas El álgebra se utiliza en muchas disciplinas para representar relaciones existentes entre magnitudes mediante fórmulas: velocidad de un móvil en función del tiempo, propiedades de las operaciones, etc.

4. Esquema general de la unidad Esta unidad puede considerarse la primera introducción al lenguaje algebraico y a las operaciones con polinomios, que serán importantes a partir de ahora en la formación matemática de los alumnos. Comienza la unidad con la introducción del concepto de expresión algebraica. Esta introducción se realiza de forma gradual, presentando variados ejemplos de cómo se pueden usar letras para simbolizar valores numéricos de diferente tipo. Una vez se han tratado las expresiones algebraicas en general, la unidad se centra en el estudio de polinomios y las operaciones sobre ellos definidas. Se definen primero la suma, la resta, el producto y el cociente de monomios, para después extender esta definición al caso de los polinomios. Para finalizar, se define la potencia de un polinomio, y a continuación se introducen las igualdades notables: cuadrado de una suma, cuadrado de una resta y suma por diferencia. Es importante que los alumnos se familiaricen cuanto antes con estas expresiones que tantas veces aparecerán a lo largo de cursos posteriores.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS Valor numérico

Monomios

Polinomios Elementos Grado Operaciones

Identidades notables

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en nueve sesiones: 1.ª Introducción: desarrolla tus competencias 2.ª Expresiones algebraicas 3.ª Monomios. Operaciones 4.ª Polinomios. Sumas y restas 5.ª Producto de polinomios. Cociente de un polinomio entre un monomio 6.ª Potencia de un polinomio 7.ª Identidades notables 8.ª Actividades de consolidación 9.ª Pon a prueba tus competencias En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto que el contexto de la clase es también un factor determinante en cuanto al número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.


Unidad 5

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CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, las secciones “Desarrolla tus competencias” y “Pon a prueba tus competencias”, y, en general, los problemas con enunciado contextualizado, desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en todas las subcompetencias Asimismo, dado que en esta unidad se trabaja con el lenguaje algebraico para expresar con ayuda de este situaciones del mundo que nos rodea de una forma más abreviada, se desarrolla específicamente el descriptor de la subcompetencia reflexión sobre el lenguaje de ser consciente de que el lenguaje es una herramienta de interpretación y comprensión de la realidad.

Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. En esta unidad, como sucede en todas las de álgebra, se puede considerar que se trabajan aspectos de las tres subcompetencias matemáticas: razonamiento y argumentación, resolución de problemas y uso de elementos y herramientas matemáticos.

Competencia para la interacción con el mundo físico A lo largo de todas las unidades se presentan numerosas referencias a la aplicación de los contenidos matemáticos expuestos a situaciones y problemas de la vida real. En esta unidad en concreto, al tratar las expresiones algebraicas, se trabaja a lo largo de toda ella la subcompetencia aplicación del método científico en diferentes contextos. Con el conocimiento y utilización del código braille también podemos trabajar la subcompetencia conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico.

Competencia social y ciudadana Esta competencia se trabaja especialmente en la sección “Pon a prueba tus competencias”, en particular la subcompetencia compromiso solidario con la realidad personal y social en las actividades dedicadas al lenguaje braille, ya que les hará recapacitar sobre las dificultades que tienen los discapacitados en el mundo que les rodea.

Competencia cultural y artística El tema de entrada de la unidad permite trabajar la subcompetencia sensibilidad artística, en concreto el descriptor comprender y valorar críticamente diferentes manifestaciones culturales y artísticas, al abordar la cultura egipcia.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital A lo largo de la unidad aparecen en “Librosvivos” y “En la red” varias referencias para realizar actividades interactivas y buscar información con el fin de desarrollar y ampliar los contenidos en ella tratados, desarrollando la subcompetencia obtención, transformación y comunicación de la información. Al tener que realizar cálculos con porcentajes, también trabajaremos la subcompetencia uso de las herramientas tecnológicas.

Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de la sección “Autoevaluación” planteadas en las páginas finales de la unidad, se puede indagar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje. También podemos trabajar la subcompetencia construcción del conocimiento con las actividades de de “Un nuevo lenguaje. El braille”.

Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno este ejercicio reflexivo y crítico. En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunos temas de reflexión y debate en relación con las actividades señaladas.

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Unidad 5



TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

1.er nivel de concreción 2.º nivel de concreción

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO

3.er nivel de concreción

4.º nivel de concreción

Aplicar de forma efectiva habilidades lingüísticas y estrategias no lingüísticas para interactuar y producir textos escritos adecuados a la situación comunicativa, con intenciones comunicativas o creativas diversas.

– Utiliza el lenguaje braille. Pon a prueba tus competencias: Investiga y deduce, 2 – Traduce al lenguaje algebraico. En toda la unidad

Tomar el lenguaje como objeto de observación y análisis.

– Busca la etimología de palabras. Desarrolla tus competencias, III

Ser consciente de que el lenguaje es una herramienta de interpretación y comprensión de la realidad.

– Describe la realidad mediante lenguaje algebraico. Actividades 3, 38, 39, 64, 65, 68 y 72

Poner en práctica procesos de razonamiento que llevan a la solución de los problemas o a la obtención de la información.

– Busca un método para descomponer una fracción en fracciones unitarias. Pon a prueba tus competencias: Interpreta y resuelve

Aplicar estrategias de resolución de problemas adecuadas a cada situación.

– Resuelve un problema a partir de casos más sencillos. Pon a prueba tus competencias: Aprende y descubre, 2

Seleccionar las técnicas adecuadas para calcular resultados, y representar e interpretar la realidad a partir de la información disponible.

– Utiliza otro sistema de numeración. Pon a prueba tus competencias: Investiga y deduce Aprende y descubre

Uso de elementos y herramientas matemáticos

Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana.

– Opera con soltura polinomios. En toda la unidad

Interacción con el mundo físico.

Conocimiento y valoración del desarrollo científicotecnológico

Conocer y valorar la aportación del desarrollo de la ciencia y la tecnología a la sociedad.

– Conoce el código braille. Pon a prueba tus competencias: Aprende y descubre

Social y ciudadana

Compromiso solidario con la realidad personal y social

Comprometerse con la mejora de la sociedad y de la defensa de los desfavorecidos.

– Muestra solidaridad por los invidentes Pon a prueba tus competencias: Aprende y descubre

Cultural y artística

Sensibilidad artística

Comprender y valorar críticamente diferentes manifestaciones culturales y artísticas.

– Aprecia las aportaciones de las diferentes culturas. Pon a prueba tus competencias: Interpreta y resuelve

Tratamiento de la información y competencia digital

Obtención, transformación y comunicación de la información

Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.

– Visita la página librosvivos.net. Actividades 6, 13, 31 y 36. Paso a paso – Hace actividades en Internet. En la red

Construcción del conocimiento

Mostrar curiosidad y gusto por aprender.

– Escribe su nombre en jeroglíficos. Pon a prueba tus competencias: Investiga y deduce

Manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar conocimiento

Desarrollar experiencias de aprendizaje basadas en estrategias de aprendizaje cooperativo.

– Realiza actividades con los compañeros. Pon a prueba tus competencias: Aprende y descubre, 3

Comunicación escrita

Lingüística

Reflexión sobre el lenguaje

Razonamiento y argumentación

Matemática

Aprender a aprender

Resolución de problemas. Relacionar y aplicar el conocimiento matemático a la realidad


Unidad 5

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EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo específico de las competencias que se citan en la tabla de la página anterior nos permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educación en valores: • Educación medioambiental: actividad 64

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Hay que recordar que los ejercicios resueltos y propuestos en el libro de texto están clasificados por un código de colores según su dificultad: verde, nivel básico; naranja, nivel medio, y rojo, de alguna dificultad. De esta forma, el profesor podrá adaptar el contenido de la unidad bien a las características particulares de la clase, bien a las específicas de cada grupo de alumnos dentro de la misma. Además, en este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno: • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores • Cuadernos de refuerzo de Matemáticas. 1.º de ESO. “Aprende y aprueba” – Unidad II. Álgebra Bibliográficos

Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso SM

• Cuaderno de refuerzo de Matemáticas. 2.º de ESO. “Aprende y aprueba” – Unidad 6. Expresiones algebraicas y ecuaciones de primer grado • Cuadernos de Matemáticas. 2.º de ESO. N.º 3. Ecuaciones y sistemas – Unidad I. Expresiones algebraicas • Cuadernos de resolución de problemas I y II

Otros

Internet

SM

• GRUPO AZARQUIEL: Ideas y actividades para enseñar álgebra, Síntesis, Madrid, 1999. Libro que aborda las principales dificultades que surgen en la iniciación del álgebra. www.smconectados.com www.librosvivos.net Unidad sobre expresiones del libro digital de educación a distancia:

Otros

www.e-sm.net/2esomatprd07 En este blog encontrarás actividades para tus alumnos:

Otros materiales

www.e-sm.net/2esomatprd08

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Unidad 5

• Juego Pistas de álgebra. Materiales para construir las matemáticas de Proyecto Sur • Juegos de dominó en los que intervengan expresiones algebraicas, monomios y polinomios • Herramientas informáticas como WIRIS o el buscador matemático WolframAlpha


Sugerencias didácticas Entrada Ya que el lenguaje algebraico puede ser interpretado como un código, presentamos esta unidad con una codificación conocida mundialmente: los jeroglíficos. En la fotografía de entrada pueden verse enormes columnas en las que se describen diversas secuencias de la historia de Egipto, lo que nos servirá para introducir de una forma motivadora el árido lenguaje algebraico. Para poder descifrar e interpretar cualquier código son necesarias unas reglas básicas, al igual que sucederá con el lenguaje algebraico. En el caso de los jeroglíficos hubo que esperar hasta finales del siglo XVIII para encontrar estas reglas básicas en la piedra Rosetta. Los alumnos deben ser conscientes de la importancia que tuvo para las matemáticas el descubrimiento de la piedra Rosetta, ya que permitió traducir una enorme cantidad de textos matemáticos egipcios y conocer de este modo el gran desarrollo que tenía dicha civilización en cuestiones científicas. En las actividades finales de “Pon a prueba tus competencias” se desarrollan algunos de los contenidos del pápiro de Rhind, lo que permitirá ilustrar la variedad de disciplinas matemáticas que ya se trabajaban en Egipto.

Desarrolla tus competencias

A medida que vamos describiendo detenidamente los ejemplos, sería conveniente pedir a los alumnos ejemplos propios de situaciones cotidianas que relacionen diferentes datos mediante fórmulas. • Para finalizar el epígrafe, se introduce el valor numérico de una expresión algebraica. Para ilustrar esta idea podemos utilizar fórmulas para calcular áreas de figuras geométricas, tal y como se hace en el ejemplo 4.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

2 a 4, 37 a 38, 42 a 44, 64 y 65

Medio

5, 40 y 41

Alto

73 y 74

2. Monomios. Operaciones con monomios • Es conveniente introducir el concepto de monomio como una expresión algebraica en la que solo hay productos de números por potencias de exponente natural de las variables. • Es importante que los alumnos identifiquen la parte literal y el coeficiente de un monomio y sepan indicar su grado. Conviene poner varios ejemplos de monomios: con una, dos o más variables y coeficiente entero o fraccionario.

III. La actividad I está estrechamente relacionada con la segunda actividad de la sección de “Pon a prueba tus competencias”. En ella se indica una de las principales diferencias que existen entre el sistema de numeración egipcio y el actual. Este tema ya se trató en el curso anterior, por lo que podríamos pedir a los alumnos que buscasen la información que en su día pudieron recopilar sobre los diferentes sistemas de numeración.

• Es fundamental insistir en que para que dos monomios sean semejantes, han de ser iguales las letras que intervienen y el grado con el que aparecen.

III. La actividad II nos servirá para averiguar lo que los alumnos recuerdan de transcribir al lenguaje algebraico.

• A la hora de multiplicar y dividir monomios no encontraremos muchas dificultades, ya que no es necesario que estos sean semejantes, e indicaremos a los alumnos que basta con aplicar las propiedades de las potencias para multiplicar o dividir las partes literales.

III. Con la realización de esta última actividad estaremos trabajando la competencia cultural y artística, ya que los alumnos deberán buscar información sobre la cultura egipcia.

1. Expresiones algebraicas • El lenguaje algebraico es uno de los contenidos de mayor dificultad para los alumnos. Para motivarles en su estudio podemos introducirlo como un código que sirve para expresar de forma abreviada situaciones de la realidad y es entendible en cualquier lugar del mundo. • Una vez que se ha introducido la idea de que las letras pueden usarse para expresar cantidades, el siguiente paso es relacionar esas cantidades a través de las operaciones aritméticas. Para que los alumnos comprendan el uso del lenguaje algebraico se presentan en el epígrafe varios ejemplos de su utilización: – Situaciones cotidianas, como el importe del recibo del teléfono

• Hay que hacer hincapié en que solo se pueden sumar y restar monomios semejantes. Haremos ejemplos de reducción de expresiones algebraicas, agrupando los monomios semejantes que aparecen en ellas y realizando las sumas y restas indicadas.


7 a 10, 45 y 47

Medio

11, 12, 51, 52 y 67

3. Polinomios • Antes de adentrarnos en el desarrollo de las operaciones con polinomios es importante que los alumnos dominen los conceptos básicos sobre los mismos. • Conviene hacer numerosos ejemplos para que identifiquen en un polinomio el término independiente, el coeficiente principal y el grado absoluto. • Pondremos ejemplos de polinomios de una sola variable ordenados, dedicando especial interés en distinguir binomios, trinomios y cuatrinomios.

ACTIVIDADES POR NIVEL

– Propiedades matemáticas

Básico

15, 46 y 48

– Fórmulas de física

Medio

16, 17, 66 y 68 a 70

– Fórmulas geométricas

Alto

71 y 72


Unidad 5

7

Sugerencias didácticas

4. Suma y resta de polinomios

6. Identidades notables

• Si los alumnos han conseguido asimilar bien las operaciones con monomios, la suma y la resta de polinomios no debe presentar dificultades, pues en realidad es una generalización del caso anterior. De hecho, los alumnos ya han aplicado la suma y resta de polinomios en algunos ejercicios del epígrafe 2 a la hora de reducir expresiones algebraicas.

• Las igualdades notables resultan un punto tan básico en la formación matemática del alumno, que es importante que se traten cuanto antes.

• Nos centraremos sobre todo en sumas y restas de polinomios en una sola variable. Antes de colocar los polinomios para sumarlos y restarlos conviene que los alumnos los ordenen y se den cuenta de si falta algún término en alguno de los sumandos. • Una vez colocados los polinomios, la suma y resta de estos se reduce a aplicar correctamente la suma de números enteros.


19 y 20

Medio

75

5. Producto, cociente y potencia de polinomios

• Conviene recordarles que al elevar al cuadrado un término, se eleva no solo la parte literal, sino también el coeficiente. • En el caso del cuadrado de una suma y de una diferencia es muy útil detenernos en el enfoque geométrico que viene en el margen. Para ver una demostración similar para la suma por diferencia podemos indicar a los alumnos que la pueden encontrar en el enlace del margen. • Es importante que sepan interpretar las identidades notables en los dos sentidos, es decir, tanto saber desarrollar la identidad notable correspondiente como, ante una expresión algebraica desarrollada que sospechamos sea una identidad notable, saber a cuál de ellas corresponde.

• En el caso del producto de polinomios no podemos decir lo mismo que planteamos en la suma y resta, pues la multiplicación de polinomios presenta un grado de dificultad mayor que el producto de monomios. Es importante que se trate con detenimiento, aunque algunos alumnos no lleguen a dominar esta operación. A estos alumnos les resultará más asequible el método descrito en el ejemplo 19.

ACTIVIDADES POR NIVEL

• Es importante detenernos en el enfoque geométrico detallado en el margen del epígrafe para describir la propiedad distributiva.

Organiza tus ideas

• A la hora de extraer factor común conviene indicar a los alumnos que es una aplicación inmediata de la propiedad distributiva. • Como ocurría con el producto de polinomios, el cociente de un polinomio entre un monomio presenta ciertas dificultades. Sin embargo, es fundamental que los alumnos adquieran por lo menos un dominio relativo de esta operación, pues en el siguiente curso se introducirá el cociente de polinomios, y es necesario que tengan una base suficientemente sólida. • Si las operaciones con polinomios resultaban complicadas para algunos alumnos, las potencias de polinomios lo serán con mayor motivo. En este epígrafe nos detendremos a aplicar la definición de potencia como producto de factores iguales, aplicando la multiplicación de polinomios. • Una vez explicadas todas las operaciones con polinomios conviene detenernos en realizar actividades combinadas con ellas, empezando por el ejercicio resuelto 21.


22 a 27, 49 y 50

Medio

28 a 30 y 53 a 58

Alto

8

• Una vez introducidos el cuadrado de la suma y de la diferencia, comprobaremos las fórmulas realizando la operación como el producto de un binomio por sí mismo. De esta forma, si el alumno olvida la fórmula, tendrá los recursos necesarios para poder calcular el cuadrado de un binomio.

Unidad 5

77 a 79


Básico

34 y 59

Medio

35 y 60 a 63

Alto

76

• Se presenta un resumen que recoge perfectamente todas las ideas fundamentales de la unidad que el alumno debe memorizar para poder resolver los ejercicios. • Todos los puntos del resumen son esenciales y, por tanto, es imprescindible que se memoricen. Si el alumno no sabe alguno de ellos, no podrá realizar correctamente los ejercicios. • Para completar el resumen se puede pedir a los alumnos que añadan en los puntos que falte un ejemplo de la operación o la definición correspondiente.

Actividades de ampliación Con estas actividades desarrollamos las competencias de aprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades. Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias para resolverlos, dado que no son problemas guiados ni se ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo que puede resultarles muy estimulante, aunque al comienzo les asuste un poco.

Sugerencias didácticas

Pon a prueba tus competencias INTERPRETA Y RESUELVE. EL PAPIRO DE RHIND En el texto se describen brevemente los seis primeros problemas que aparecen en el papiro de Rhind y se propone como actividades completarlos. Podemos aprovechar el texto para indicar que en el papiro no solo vienen problemas sobre fracciones. En el aparecen cálculos de áreas y volúmenes, problemas sobre reglas de tres y repartos proporcionales, ecuaciones lineales y trigonometría básica. A la hora de resolver las actividades sería interesante pedir a los alumnos que lo hagan con los conocimientos matemáticos que tenían, es decir, con las fracciones que manejaban. Para que las resuelvan basta con que les indiquen mos que tienen que descomponer las fracciones en 10 2 3 suma de fracciones unitarias y las fracciones y . 3 4 Las actividades se podrían realizar por grupos. Les daríamos un tiempo limitado y, una vez transcurrido, veríamos qué equipo ha realizado el mayor número de repartos.

INVESTIGA Y REDUCE. NÚMEROS Y OPERACIONES EN EGIPTO El sistema de numeración egipcio ya se trató en las páginas finales de “Pon a prueba tus competencias” de la uni-

dad de “Números naturales y divisibilidad” de 1.º Aquí se recuerda brevemente, se introducen los símbolos de la suma y la resta y se indica cómo realizaban estas operaciones los egipcios. La actividad 1 está preparada para que los alumnos valoren la sencillez del sistema de numeración decimal y lo fácil que resulta operar con él.

APRENDE Y DESCUBRE. UN NUEVO LENGUAJE: EL BRAILLE En el texto se describe el lenguaje braille, necesario para que los invidentes puedan leer. Al leer el texto, los alumnos se darán cuenta de la sencillez del sistema. Debemos hacer hincapié en que la numeración de los seis puntos es por columnas, y que es muy importante para identificar los diferentes símbolos. En la pregunta 1 trabajaremos la competencia social y ciudadana recordando acontecimientos históricos relevantes y situándolos en el tiempo. Con la actividad 3, los alumnos se pondrán en la piel de un invidente y comprobarán lo difícil que es aprender un lenguaje sin poder visionar sus símbolos. Para la actividad 4 podemos decir a los alumnos que, siempre que sea posible, traigan al aula los textos que encuentren.

En la página 16 presentamos una matriz de evaluación que el profesor puede utilizar para evaluar el grado de consecución de las competencias básicas trabajadas a lo largo de esta unidad. Además, en www.smconectados.com puede descargar una aplicación informática que le facilitará esta tarea.


Unidad 5

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Actividades de refuerzo Unidad 5


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Al finalizar esta unidad es necesario que los alumnos: • Reconozcan relaciones algebraicas. • Calculen el valor numérico de expresiones algebraicas. • Operen monomios y polinomios. • Identifiquen y desarrollen identidades notables. Se propone dentro de esta sección un enfoque diferente para trabajar los mismos ejercicios que se han presentado en el texto, en particular las operaciones con polinomios. Se trata de que aquellos alumnos que tengan más dificultades dispongan de un método alternativo que les permita realizar estas operaciones, sin duda con mucha menos agilidad, pero, posiblemente, también de forma más asequible. Es muy importante que se insista en la necesidad de colocar ceros en el lugar correspondiente cuando falta un término. Por otro lado, se presenta una actividad de grupo dirigida en el mismo sentido a la práctica de las operaciones con polinomios desde un punto de vista lúdico. Puesto que este es un punto en que los alumnos encuentran más dificultades por tratarse de un lenguaje nuevo para ellos, siempre es bueno reforzarlo con actividades que se desmarquen de alguna manera de la rutina habitual del aula.

ACTIVIDAD DE GRUPO Dados de polinomios Se organizan grupos de cuatro o cinco personas que competirán unos con otros. Antes de comenzar el campeonato, cada grupo debe fabricarse un dado de polinomios: con cartulina se construye un dado en cuyas caras figuren los siguientes monomios: x 3 , x 2 , − x 2 , x, − x, 1. Por turnos, cada grupo lanza el “dado de polinomios” tres veces y un dado ordinario también 3 veces. Con los valores obtenidos por los dos dados se formará un polinomio: las puntuaciones obtenidas con el dado ordinario serán los coeficientes que multiplicarán los valores obtenidos con el otro dado. Una vez se ha obtenido un primer polinomio, se repite la operación y se obtiene un segundo. Los distintos grupos se intercambian los polinomios obtenidos y deben calcular la suma, la resta y el producto de ambos. Se trata de ver qué grupo es más rápido en estos cálculos. Se puede variar el nivel de dificultad de la actividad simplificando o complicando los monomios del dado.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. a) y = 5 + x b) y =

x − 20 2

2. P(1) = 3 y P(−1) = −1 3. a) 3 x 3 + 6 x −9

c) 2n + 1 o 2n − 1 d) A =

b⋅ h 2

4. a) x 3 −10 x 2 + x −10 b) 2 x 2 + x −1 c) 15 x 3 + 7 x 2 + x + 2 d) 3 x 4 + 2 x 3 −5 x 2 + 5 x −2 5. a) x 2 + 2 x +1

b) −x 3 + 2 x 2 − 4 x +11

b) 25 x 2 −10 x +1

c) 3 x 3 + 3 x 2 + 3 x −14

c) 9 x 2 − 4

d) 3 x 3 −13 x 2 + 9 x −10

d) x 2 + 4 x + 4

e) x 5 + 4 x 3 +11x 2 + x −6

e) x 2 − 4 x + 4

f) x 5 −8 x 3 +11x 2 −3 x +10

f) x 2 − 4

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.

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Unidad 5


Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de REFUERZO Unidad 5


1. Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados. a) Juan mide 5 centímetros más que yo. b) Alicia tiene 20 euros menos que la mitad de lo que tiene Luis. c) Un número impar. d) El área del triángulo es la mitad del producto de la longitud de la base por la altura. 2. ¿Cuál es el valor numérico de la siguiente expresión algebraica cuando x vale 1? ¿Y cuando vale −1? P(x) = 2x4 − x3 + x2 + 3x − 2 3. Si tenemos que sumar o restar dos polinomios, por ejemplo, x 4 + 3 x 3 − 4 x 2 + 8 y x 3 + 6 x 2 −7 x +10, colocaremos dos filas, una debajo de otra, con los coeficientes de cada uno, empezando a colocar los coeficientes por la derecha, como si sumáramos dos números naturales. Es importante que si falta algún término (como en el caso del primer polinomio, no hay ningún término con x), debemos colocar un cero en su lugar. Una vez colocadas las filas de coeficientes, solo hay que sumar y buscar el polinomio correspondiente a los valores que hemos obtenido: 1

3

−4

0

8

1

3

−4

0

8

+

1

6

−7

10

−

1

6

−7

10

1

4

2

−7

18

1

2

−10

7

−2

x 4 + 4 x 3 + 2 x 2 −7 x +18

x 4 + 2 x 3 −10 x 2 + 7 x −2

Usando este método, calcula las siguientes sumas y restas de polinomios. a) (x 3 + x 2 + x +1)+ (2 x 3 − x 2 + 5 x −10)

d) (3 x 3 − 4 x 2 + 6 x −12)−(7 x 2 − 3 x −2)

b) (x 3 + x 2 + x +1)−(2 x 3 − x 2 + 5 x −10)

e) ( x 5 −2 x 3 +11x 2 − x + 2)+ (6 x 3 + 2 x − 8)

c) (3 x 3 − 4 x 2 + 6 x −12)+ (7 x 2 − 3 x −2)

f) (x 5 −2 x 3 +11x 2 − x + 2)−(6 x 3 + 2 x − 8)

4. Para multiplicar polinomios te proponemos un método parecido al del ejercicio anterior. Esta vez colocaremos las filas con los coeficientes de los dos polinomios que queremos multiplicar cruzadas: una en vertical y otra en horizontal. Formaremos una pequeña tabla con los productos de cada elemento de la fila por cada elemento de la columna. Fíjate en este ejemplo: ( x + 2)⋅( x 2 + 3 x −8) → (1, 2)⋅(1, 3,−8). 1

2

1

1 · 1=1

1 · 2=2

Para calcular los coeficientes del producto debemos sumar los valores obtenidos en la tabla siguiendo las flechas, es decir, en diagonal. Obtenemos así:

3

3 · 1=3

3 · 2=6

(1, 2 + 3, 6 + (−8), −16) = (1, 5, −2, −16)

−8

−8 · 1 = −8

−8 · 2= −16

El producto pedido es x 3 + 5 x 2 −2 x −16.

a) (x 2 +1)⋅( x −10)

c) (3 x + 2)⋅(5 x 2 − x +1)

b) (x +1)⋅(2 x −1)

d) (3 x 3 − 4 x 2 + 3 x −1)⋅( x + 2)

5. Calcula los siguientes productos por el método del ejercicio anterior y comprueba que el resultado es el mismo que si aplicamos la fórmula de las igualdades notables. a) (x +1)2 = (x +1)⋅(x +1)

d) (x + 2)2 = (x + 2)⋅(x + 2)

b) (5 x −1)2 = (5 x −1)⋅(5 x −1)

e) ( x −2)2 = (x −2)⋅(x −2)

c) (3 x + 2)⋅(3 x −2)

f) ( x + 2)⋅( x −2)


Unidad 5

Página fotocopiable

Utilizando este método, calcula los siguientes productos:

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Actividades de ampliación Unidad 5


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Cada año se profundiza en el estudio del lenguaje algebraico, puesto que es una herramienta matemática imprescindible. Por ello hay muchas posibilidades para trabajar esta unidad con los alumnos con un nivel más avanzado, se pueden plantear ejercicios análogos a los vistos en el libro, pero con polinomios con más términos o con términos más complicados o mayor número de variables. La actividad en grupo propuesta tiene como objetivo que se mejore la agilidad en el cálculo de polinomios, destreza que les resultará de gran utilidad. Por otro lado, como actividad de ampliación se pueden proponer también ejercicios de cálculo mental con polinomios sencillos (monomios o binomios). Este tipo de ejercicios contribuyen a que el alumno se familiarice con el nuevo lenguaje y, en particular, suponen una buena preparación para el estudio de ecuaciones de las unidades posteriores.

ACTIVIDAD DE GRUPO Compitiendo con polinomios Se organiza la clase en grupos de cinco o seis personas. El profesor propone dos polinomios y cada grupo debe realizar con él las siguientes operaciones: sumar los dos polinomios, restarlos, multiplicarlos, calcular su cuadrado, calcular su cubo, y encontrar el valor numérico para los valores que indique el profesor. Gana el grupo que realice más rápidamente todos los cálculos. Los polinomios propuestos deben graduarse por su nivel de dificultad: al principio se propondrán binomios; después, trinomios, y si el nivel del grupo es muy alto, pueden plantearse incluso polinomios con más de tres términos. Igualmente se pueden proponer polinomios con más de una variable.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. La fórmula general es a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac, es decir, la suma de los cuadrados de cada término más todos los posibles dobles productos. a) x 4 + 9 x 2 +16 + 6 x 3 + 8 x 2 + 24 x

b) x 6 + 4 x 2 +1+ 4 x 4 + 2 x 3 + 4 x

2. La fórmula general es a2 + b2 + c 2 + d 2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd, es decir, la suma de los cuadrados de cada término más todos los posibles dobles productos. a) x 4 + 9 x 2 + y 2 +16 + 6 x 3 + 2 x 2 y + 8 x 2 + 6 xy + 24 x + 8 y b) x 2 y 2 + 4 y 2 + 9 x 2 +1+ 4 xy 2 + 6 x 2 y + 2 xy +12 xy + 4 y + 6 x 3. a)

(a + b)2 −(a −b)2 a2 + b2 + 2ab − a2 −b2 + 2ab = = ab 4 4

b) 3 611 903 4. a) 1

b) 3249

c) 961

d) Si tomamos b = a + 1, obtenemos a + 2a + 3a + 2a +1= (a + a +1)2. 4

5. a) (x +1)3 = x 3 + 3 x 2 + 3 x +1 b) (x +1) = x + 4 x + 6 x + 4 x +1 4

4

3

2

3

2

2

c) (x +1)5 = x 5 + 5 x 4 +10 x 3 +10 x 2 + 5 x +1 d) (x +1)6 = x 6 + 6 x 5 +15 x 4 + 20 x 3 +15 x 2 + 6 x +1

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.

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Unidad 5


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ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN Unidad 5


1. Vamos a buscar una fórmula para encontrar el cuadrado de un trinomio: desarrolla la expresión (a + b + c)2, encontrando una fórmula general para este tipo de expresiones. Aplica dicha fórmula para calcular los siguientes cuadrados. a) (x 2 + 3 x + 4)2

b) (x 3 + 2 x +1)2

2. Desarrolla la expresión (a + b + c + d )2, encontrando una fórmula general para este tipo de expresiones. Aplica dicha fórmula para calcular los siguientes cuadrados. a) (x 2 + 3 x + y + 4)2

b) (xy + 2 y + 3 x +1)2

3. En 1856 se editó en Francia un libro muy curioso: Tabla de los cuadrados de los números 1 al 1000 millones, con ayuda de la cual se halla el producto exacto de números… Compuesta por Alejandro Cossar. Desde nuestro punto de vista resulta bastante ridícula semejante publicación, ¿verdad? Sin embargo, no se trata de una original forma de pasatiempos, pues la utilidad de este tipo de tablas consistía en que permitían transformar productos en sumas y realizar productos de valores grandes más ágilmente. Evidentemente, en aquella época no había calculadoras. El mecanismo consistía en utilizar igualdades (a + b)2 −(a + b)2 como esta: ab = 4 a) ¿Sabrías demostrar esta igualdad? b) Utiliza la igualdad para calcular 2479 · 1457 empleando los datos: (2479 + 1457)2 = 15 492 096 y (2479 − 1457)2 = 1 044 484 Realiza la misma operación directamente. ¿Cómo te ha resultado más corto? 4. Se considera la expresión algebraica a2 + b2 + (ab)2. a) Calcula el valor numérico de esta expresión para a = 0, b = 1. b) Calcula el valor numérico de esta expresión para a = 7, b = 8. c) Calcula el valor numérico de esta expresión para a = 5, b = 6. d) Demuestra que la expresión dada resulta siempre un cuadrado perfecto si a y b son dos valores consecutivos. (Indicación: intenta expresarla como el cuadrado de un trinomio).

5. El binomio de Newton es una fórmula general que nos permite desarrollar potencias de cualquier exponente de un binomio. Empecemos tanteando los casos más sencillos. a) Ya conoces la fórmula del cuadrado de una suma: (x + y )2 = x 2 + y 2 + 2 xy . ¿Podrías encontrar una fórmula para desarrollar el cubo de una suma, (x + y )3? b) ¿Podrías encontrar a qué es igual (x + y )4 ? c) La fórmula del binomio de Newton es la siguiente:

( x + y ) =( 0n )x y n

0

n

()

()

( )

()

()

+ n x1y n−1 + n x 2 y n−2 + ...+ n x n−1y 1 + n x n y 0, donde los coeficientes n se calcuk 1 2 n−1 n

n(n−1)(n−2)⋅...⋅ 3⋅ 2⋅1 lan con la fórmula n = . k (n−k)(n−k −1)(n−k −2)⋅....⋅ 3⋅2⋅1 ⋅ k(k −1)(k −2)⋅...⋅ 3⋅2⋅1

)(

)


() (

Aplica la fórmula del binomio de Newton para calcular (x +1)5 , (x +1)6 .


Unidad 5

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PROPUESTA de EVALUACIÓN


Unidad 5 APELLIDOS: FECHA:

NOMBRE: CURSO:

GRUPO:

1. Una compañía de teléfonos lanza la siguiente oferta: las llamadas desde las ocho de la mañana hasta las cuatro de la tarde cuestan 6 céntimos por minuto, y las llamadas a partir de las cuatro de la tarde hasta el día siguiente cuestan 3 céntimos por minuto. a) Expresa en lenguaje algebraico cuánto pagará cada cliente en función de los minutos que hable antes de las cuatro (x) y después de las cuatro (y). b) Calcula cuánto pagará Pedro si a final de mes ha hablado 32 minutos en horario de mañana (antes de las cuatro) y 102 minutos en horario de tarde (después de las cuatro). 2. En los siguientes polinomios, indica el grado del polinomio, el número de términos y el coeficiente de cada término. a) x 3 − 4 x 2 + 5 x − 3

c) xy 3 −6 x 2 + 5 x 2 y − 3

b) x 5 −6 x 4 + 3 x 2 −2 x +10

1 d) x 3 y 3 − x 3 y + 7 xy 4 − 3 xy +1 2

3. Calcula el valor numérico de la siguiente expresión algebraica cuando x vale –2 e y vale 3. P(x, y) = x2y − 2xy2 + xy + 3x − 2y 4. Efectúa las siguientes operaciones con monomios. a) 3 x 3 + 8 x 3

e) −6 x 2 y + 8 x 2 y

b) 10 x 2 −7 x 2

f) 5 x 2 y 2 − 3 x 2 y 2

c) (7 x 5 )⋅(5 x 4 )

1 g) (6 x 5 y 3 )⋅( x 3 y 4 z 5 ) 2

d) (20 x 3 ): (5 x 2 )

h) (6 x12 y 3 z 5 ): (3 x10 y 3 z)

5. Se tienen los polinomios p( x )= x 3 −3 x 2 + 2 x y q( x )= x 2 + 2 x −5. Calcula: a) p(x) + q(x)

c) q(x) · (x + 1)

b) p(x) − q(x)

d) p(x) : x

6. Calcula: a) (2 x 3 −6 x 2 + 5 x −1)+ (x 2 + 4 x + 3)

c) (x 3 + 2 x 2 − 4 x + 5)(x +1)

b) (xy 2 − xy +1)−(2 xy 2 + 3 x 2 y + xy − 4)

d) (x 2 y 3 + x 2 y 2 −2 xy ): xy

7. Desarrolla las siguientes expresiones. a) (x +1)

⎛ 1 ⎞⎟ d) ⎜⎜⎜2 x− ⎟⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎠

b) (x−2)2

e) (x + y +2)2

c) (2 x + 3)2

f) (2 x + y −5)(2 x + y + 5)


2

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Unidad 5


2

Propuesta de evaluación Unidad 5


SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. a) 6x + 3y b) P = 6 · 32 + 3 · 102 = 498 céntimos = 4,98 euros 2. a) Grado 3, 4 términos con coeficientes 1, −4, 5, −3 b) Grado 5, 5 términos con coeficientes 1, −6, 3, −2, 10 c) Grado 4, 4 términos con coeficientes 1, −6, 5, −3 1 d) Grado 6, 5 términos con coeficientes 1, − , 7, −3, 1 2 3. P(−2, 3) = (−2)2 · 3 − 2(−2) · 32 + (−2) · 3 + 3 · (−2) − 2 · 3 = 30 4. a) 11x3

e) 2x2y

b) 3x2

f) 2x2y2

c) 35x9

g) 3x8y7z5

d) 4x

h) 2x2z4

5. a) x3 − 2x2 + 4x − 5 b) x3 − 4x2 + 5 6. a) 2x3 − 5x2 + 9x + 2 b) −xy2 − 2xy − 3x2y + 5

c) x3 + 3x2 − 3x − 5 d) x2 − 3x + 2 c) x4 + 3x3 − 2x2 + x + 5 d) xy2 + xy − 2

b) x2 + 4 − 4x

1 − 2x 4 e) x2 + x2 + 4 + 2xy + 4x + 4y

c) 4x2 + 9 + 12x

f) (2x + y)2 − 25

7. a) x2 + 2x + 1

d) 4x2 +


Unidad 5

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Unidad 5 Expresiones algebraicas

DESCRIPTOR

Lingüística Comunicación escrita

Aplicar habilidades lingüísticas y estrategias no lingüísticas para interactuar y producir textos escritos adecuados a la situación comunicativa.

– Utiliza el lenguaje braille. Investiga y deduce, 2 – Traduce al lenguaje algebraico. En toda la unidad

Tomar el lenguaje como objeto de observación y análisis.

– Busca la etimología de palabras. Desarrolla tus competencias, III

Ser consciente de que el lenguaje es una herramienta de interpretación y comprensión de la realidad.

– Describe la realidad mediante lenguaje algebraico. Actividades 3, 38, 39, 64, 65, 68 y 72

Poner en práctica procesos de razonamiento que llevan a la solución de los problemas o a la obtención de la información.

– Busca un método para descomponer una fracción en fracciones unitarias. Interpreta y resuelve

Aplicar estrategias de resolución de problemas adecuadas a cada situación.

– Resuelve un problema a partir de casos más sencillos. Aprende y descubre, 2

Seleccionar las técnicas adecuadas para calcular resultados, y representar e interpretar la realidad a partir de la información disponible.

– Utiliza otro sistema de numeración. Investiga y deduce Aprende y descubre

Conocer y valorar la aportación del desarrollo de la ciencia y la tecnología a la sociedad.

– Conoce el código braille. Aprende y descubre

Comprometerse con la mejora de la sociedad y la defensa de los desfavorecidos.

– Muestra solidaridad por los invidentes. Aprende y descubre

Comprender y valorar diferentes manifestaciones culturales y artísticas.

– Aprecia las aportaciones de las diferentes culturas. Interpreta y resuelve

Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.

– Visita la página librosvivos.net. Actividades 6, 13, 31 y 36. Paso a paso – Hace actividades en internet. En la red

Mostrar curiosidad y gusto por aprender.

– Escribe su nombre en jeroglíficos. Investiga y deduce

Desarrollar experiencias de aprendizaje basadas en estrategias de aprendizaje cooperativo.

– Realiza actividades con los compañeros. Aprende y descubre, 3

Lingüística Reflexión sobre el lenguaje

Matemática Razonamiento y argumentación

Matemática Resolución de problemas. Relacionar y aplicar el conocimiento matemático a la realidad Interacción con el mundo físico Conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico Social y ciudadana Compromiso solidario con la realidad personal y social Cultural y artística Sensibilidad artística Tratamiento de la información y competencia digital Obtención, transformación y comunicación de la información Aprender a aprender Construcción del conocimiento Aprender a aprender Manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades

DESEMPEÑO

LO CONSIGUE (4 puntos)

NO CON TOTALMENTE DIFICULTAD (3 puntos) (2 puntos)

NO LO CONSIGUE (1 punto)

Matriz de evaluación de competencias

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COMPETENCIA Y SUBCOMPETENCIA

ESO

SOLUCIONARIO

2

2ESOMAPI_GD_ESU05.pdf

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