PENERAPAN DERET HITUNG DAN DERET UKUR DALAM BIDANG EKONOMI
Prinsi Prin sipp de dere rett se seriring ng di dite tera rapk pkan an da dala lam m ka kasu suss ya yang ng me meny nyan angk gkut ut perkembangan dan pertumbuhan yang mempunyai pola tertentu. Pola tersebut antara lain adalah: (1). Model Perkembangan Usaha (2). Model Bunga Majemuk (3). Model Pertumbuhan Penduduk 1. MODEL PERKEMBANGAN USAHA
Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha, misalnya misal nya produk produksi, si, biaya biaya,, penda pendapatan, patan, penggunaan penggunaan tenaga kerja, atau penanaman modal berpola seperti deret hitung, maka prinsip-prinsip deret de ret hi hitu tung ng da dapa patt di digu guna naka kann un untu tukk men menga gana nalilisi siss pe perk rkemb emban anga gann variabel tsb. Contoh Kasus 1
Perusahaa Perusa haann gen genten tengg “Ta “Tangg ngguh” uh” men mengha ghasil silkan kan 300 30000 bua buahh gen genteng teng pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dann pe da peni ning ngka kata tann pr prod oduk uktitivi vita tas, s, pe peru rusa saha haan an ma mamp mpuu me mena namb mbah ah produk pro duksin sinya ya seb sebany anyak ak 500 bua buahh seti setiap ap bul bulan. an. Jik Jikaa per perkem kemban bangan gan produksinya konstan, berapa buah genteng yang dihasilkannya pada bulan ke lima ? Berapa buah yang telah dihasilkan sampai dengan bulan tersebut ?
Jawab: Diketahui: a = 3000; b = 500; dan n = 5 Ditanyakan: S5 = ? dan J5 = ? Sn = a + (n – 1) b S5 = 3000 + (5 – 1) 500 = 5000 Jn = n/2 ( a + Sn ) J5 = 5/2 (3000 + 5000) = 20.000 Bagaimana dengan: S10 = ? dan J10 = ?
18
Jumlah produksi genteng pada bulan ke lima adalah 5.000 buah, sedangkan jumlah seluruh genteng yang dihasilkan sampai bulan tersebut adalah 20.000 buah. Kasus 2
Besarnya penerimaan PT Cemerlang dari hasil penjualan barangnya Rp 720 juta pada tahun kelima dan Rp 980 juta pada tahun ketujuh. Apabila perkembangan penerimaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitung, berapa perkembangan penerimaannya per tahun? Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa peneri maannya sebesar Rp 460 juta ?
Jawab:
Diketahui: S5 = Rp.720 jt dan S7 = Rp.980 jt Ditanyakan: b = ?; a = ?; dan n = ? S n
=
Dlm jt
a
+
( n − 1)b
S7 = 980 a + 6b S5 = 720 a + 4b 2b
= 980 = 720 = 260 b = 130 juta
Jd perkembangan penerimaan per tahun sebesar Rp 130 juta. a + 4b = 720 a = 720 – 4b = 720 – 4(130) = 200 Penerimaan pada tahun pertama sebesar Rp 200 juta 460 = 200 + ( n – 1) 130 460 = 200 + 130 n - 130 390 = 130 n n=3 Penerimaan sebesar Rp 460 juta diterima pada tahun ke-3 S n
=
a
+
( n − 1)b
2. MODEL BUNGA MAJEMUK
Model bunga majemuk merupakan penerapan deret ukur dalam kasus simpan pinjam dan kasus investasi. Dengan model ini dapat dihitung, misalnya:
19
Besarnya pengembalian kredit dimasa datang berdasarkan tingkat bunganya. - Untuk mengukur nilai sekarang dari suatu jumlah hasil investasi yang akan diterima dimasa datang. -
Jumlah dimasa datang dari suatu jumlah sekarang adalah: F n
P : jumlah sekarang i : tingkat bunga per tahun n : jumlah tahun F : jumlah yad
(1 + i ) n
= P
Rumus di atas mengandung anggapan bahwa bunga diperhitungkan dibayarkan satu kali dalam setahun Apabila bunga diperhitungkan dibayarkan lebih dari satu kali (misalnya m kali, masing-masing i/m per termin) dalam setahun, maka jumlah di masa mendatang menjadi : F n
(1 +
= P
i m
) mn
m: frekuensi pembayaran bunga dalam setahun.
Suku (1+i)n dan (1+1/m)mn dalam dunia bisnis disebut “factor bunga majemuk”, Yaitu suatu bilangan lebih besar dari 1 yang dapat digunakan untuk menghitung jumlah dimasa datang dari suatu jumlah sekarang. Nilai sekarang dari suatu jumlah uang tertentu dimasa datang adalah: P =
1 (1 + i ) n
F
atau
P =
1
(1
+i
/ m)
mn
)
.F
Suku 1/(1+i)n dan (1+1/m)mn dalam dunia bisnis disebut “factor diskonto”, Yaitu suatu bilangan lebih kecil dari 1 yang dapat digunakan untuk menghitung nilai sekarang dari dari suatu jumlah dimasa datang.
Contoh Seorang nasabah meminjam uang di Bank sebanyak 5 juta rupiah untuk jangka waktu 3 tahun dengan tingkat bunga 2% pertahun. Berapa
20
jumlah seluruh uang yang akan dikembalikan pada saat pelunasan? Seandainya perhitungan pembayan bunga .bukan tiap tahun, melainkan tiap semester, berapa jumlah yang harus dikembalikan ?
Jawab : p = 5.000.000, n = 3, i = 2% = 0,02 F n
(1 + i ) n
= P
F 3
=
5.000.000(1 + 0,02) 3
= 5.000.000 ( 1,061208) = 5.306.040 Jadi setelah 3 tahun nasabah harus mengembalikan uang sebesar Rp 5.306.040,- yaitu pada saat pelunasan. Apabila bunga diperhitungkan dibayarkan tiap semester (m =2), maka: F n
(1 +
= P
i m
) mn
F 3
=
5.000.000(1 + 0,01) 6
= 5.000.000 (1,06152) = 5.307.800 Jumlah yang harus dikembalikan menjadi lebih banyak. Contoh Tabungan seorang mahasiswa akan menjadi sebesar Rp 532.400,tiga tahun yang akan datang. Jika tingkat bunga bank yang berlaku sebesar 10% per tahun. Berapa tabungan mahasiswa tsb. pada saat sekarang?.
Jawab: F = 532.400,n= 3 i = 10% = 0,1 P =
1
(1 + i ) =
n
.F
1
(1 + 0,1) 3
.532.400 = 400000
Jadi besarnya tabungan sekarang adalah Rp 400.000,-
21
3. MODEL PERTUMBUHAN PENDUDUK
Menurut Malthus : penduduk dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur. Secara Matematik dapat dirumuskan: Rumus awal: Sn = apn-1
Pt = P1 R t-1
dimana:
R = 1+r P1 : Jumlah pada tahun pertama (basis) Pt : Jumlah pada tahun ke t r : % pertumbuhan per tahun t : indeks waktu (tahun)
Kasus: 5. Penduduk suatu kota berjumlah 1.000.000 jiwa pada tahun 1991. Tingkat pertumbuhan 4%/thn. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2006. Jika mulai tahun 2006 pertumbuhannya menurun menjadi 2,5%, berapa jumlahnya 11 tahun kemudian? Jawab : P1 : 1 juta r : 0,04 R : 1,04
Pada Tahun 2006
P1 : 1.800.943 Pada 11 tahun kemudian r : 0,025 R : 1,025 Dengan memanfaatkan kaidah logaritma : P11 = 1.800.943 (1,025)10 Log P11 = Log 1.800.943 (1,025)10 Log P11 = Log 1.800.943 + 10 Log 1,025 Log P11 = 6,255499+0,107239 Log P11 = 6,362738 P11 =2.305.359 Kasus 2
= P16 = 1 juta (1,04)15 = 1.000.000 (1,800943) = 1.800.943 jiwa = P11=1.800.943 (1,025)10 = 2.305.359 jiwa
22
Keuntungan dari suatu perusahaan telah menunjukkan kenaikan 4 persen pertahun. Asumsi bahwa keadaan pasar saat ini kontinu, berapa keuntungan perusahaan di tahun ke-5, jika telah diketahui bahwa keuntungan tahun pertama adalah Rp 20.000. Tentukanlah juga total keuntungan pada 5 tahun pertama ? Jawab:
Diketahui a = Rp 20 000 dan n = 5, karena profit meningkat dengan 4 persen pertahun, kita peroleh p = 0,04, jadi profit tahun ke 5 adalah: S5 = = = =
20 000 (1.04)n-1 20 000 (1.04)5-1 20 000 (1.04)4 Rp 23 397,20
Keuntungan total untuk periode 5 tahun pertama: Rumus awal: a (1- pn) Jn = --------------1–p
D5
a(pn-1) atau Jn = ----------p–1
1 – (1.04)5 = 20 000 │ __________ │ 1 – 1.04 = Rp 108 325
Prinsip deret hitung banyak diterapkan dalam menganalisis perilaku perkembangan, sedangkan prinsip deret ukur bersama-sama dengan konsep logaritma,sering digunakan untuk menganalisis perilaku pertumbuhan.
23
LATIHAN 1. Nita memulai suatu perkiraan tabungan dengan mendepositokan Rp 200.000 pada minggu pertama, dan pada setiap minggu berikutnya dia mendepositokan lebih dari Rp 50.000 dibandingkan minggu sebelumnya. Berapakah uang yang akan dia peroleh dari perkiraannya setelah 10 minggu? (tanpa bunga)
2. Seorang penjual di suatu departemen store telah menjual produknya seharga Rp 200.000 pada hari pertamanya. Pada setiap hari kerja berikutnya dia menjual lebih dari Rp 20.000 dibandingkan dengan hari sebelumnya. Berapakah jumlah penjualannya selama 15 hari? 3. Besarnya penerimaan PT Cemerlang dari hasil penjualan barangnya Rp 24 juta pada tahun keenam dan Rp 18 juta pada tahun ketujuh. Apabila perkembangan penerimaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitung, berapa perkembangan penerimaannya per tahun? Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa penerimaannya sebesar Rp 0?
4. Suatu kebun mangga mulai menghasilkan. Panen perdana hasil panennya 25 ton. Pemeliharaan tanaman dilakukan dengan seksama. Tahun ke-8 hasilnya 39 ton. Jika hasil panen kebun tersebut mengikuti deret hitung, berapa peningkatan pr o duksi per tahun? Pada tahun ke-10 tanaman terserang penyakit, sehingga hasil panen tahun ke-12 adalah 37 ton dan tahun ke 15 28 ton. Berapa besar penurunan produksi per tahun akibat penyakit tersebut? Pada tahun ke berapa kebun tidak lagi menghasilkan?
5. Keuntungan dari suatu perusahaan telah menunjukkan kenaikan 4 persen pertahun. Asumsi bahwa keadaan pasar saat ini kontinu, berapa keuntungan perusahaan di tahun ke-5, jika telah diketahui bahwa keuntungan tahun pertama adalah Rp 20.000. Tentukanlah juga total keuntungan pada 5 tahun pertama ?
6. Seorang mahasiswa mempunyai uang sebesar Rp 1 juta. BNI’46 memberikan bunga deposito berjangka 1 bulan sebesar 10% sedangkan Taplus memberikan bunga harian 8%. Jika selama 1 tahun ke depan uang tesebut akan ditabung, sebaiknya mahasiswa tersebut membuka deposito atau Taplus?
7. Seorang nasabah meminjam uang di bank sebanyak Rp 15 juta untuk jangka waktu 4 tahun dengan bunga 2% per tahun. Berapa jumlah uang yang harus dikembalikan pada saat pelunasan? Seandainya perhitungan pembayaran bunga tiap 4 bulan, berapa jumlah yang harus dikembalikan?.
8. Tabungan seorang mahasiswa sebesar Rp 500.000 akan menjadi Rp 901.000 apabila ditabung selama 5 tahun. Berapa tingkat bunganya? Berapa jumlah tabungannya jika ditabung selama 10 tahun?
9. Seorang petani membayar Rp 4.000.000 atas pinjaman sebesar Rp 250.000,beberapa tahun lalu kepada seorang rentenir. Jumlah sebanyak itu sebagai konsekuensi dari tingkat bunga 100% yang ditetapkan si pelepas uang. Berapa tahun petani tersebut meminjam uang?
10.
Seorang alumni mencoba berwirausaha. Total investasi yang dia keluarkan pada awal usaha adalah Rp 50.000.000,- Diperkirakan dalam 5 tahun investasi tersebut telah kembali. Penerimaan tahun pertama, kedua, ketiga, keempat, dan kelima berturut-turut adalah Rp 11juta, Rp 12juta, Rp 14juta, Rp 11, dan Rp 11,5juta. Jika tingkat bunga bank yang berlaku adalah 10%, apakah usaha tersebut dapat mengembalikan investasi yang ditanam? Berapa besar keuntungan atau kerugian atas investasi selama 5 tahun tersebut? Seandainya
24
alumni tersebut menargetkan penerimaan atas investasinya sama dengan jika ditabung di bank, berapakah penerimaaan tahun pertama hingga ke lima?
-oOo-
