14
INTEGRAL DEFINIDA
En este tema se estudian la integral definida y sus aplicacio n nes. ó i En geometría se estudia cómo calcular el área de una figura c plana elemental aplicando un conjunto de fórmulas conocidas. c u Cuando la figura plana está limitada por una curva cualquiera, d no se dispone de ninguna fórmula para calcular su área. Este o r problema se resuelve gracias al concepto de integral definida t n y viene dado por la regla de Barrow, profesor de Newton, que I permite calcular el área de un recinto comprendido entre el eje X y una función f(x) que es continua y acotada en en un intervalo inter valo [a, b] La primera aplicación que se estudia de la integral definida es el cálculo de áreas en casos concretos: • El área comprendida entre el eje X y una función f(x) en el intervalo [a, b] • El área comprendida comprendida entre entre dos funciones, func iones, f(x) f( x) y g(x) g( x) • El área comprendida entre el eje X y una función como caso particular del anterior. Posteriormente se estudian algunas aplicaciones aplicaciones a la Física, a la Economía y a la Ecología. El tema concluye con el estudio del cálculo de volúmenes. Se aborda, en primer lugar, el cálculo de volúmenes de cuerpos por secciones, y se sigue con el cálculo cálcul o de volúmenes de cuerpos de revolución que se obtienen al girar una función f(x) sobre el eje X. Se aplican estos métodos para par a deducir el volumen de los cuerpos elementales: prisma, pirámide, cilindro, cono y esfera.
Organiza tus ideas
Integral definida se expresa mediante la
tiene aplicaciones a todas las
permite calcular
regla de Barrow
áreas de conocimiento • Física • Medio ambiente • Economía • etcétera
volúmenes de: • un cuerpo por secciones • cuerpos de revolución
que calcula
a d i n i f e d l a r g e t n I : 4 1
áreas comprendidas entre: • el eje X y f(x) en [a, b] • las funciones f(x) y g(x) • el eje X y f(x)
a m e T
273
1. INTEGRAL DEFINIDA
Piensa y calcula Halla, contando, el área de la 2ª figura del margen, la que tiene un signo + dentro. Cada cuadradito es una unidad cuadrada.
1.1. Integral definida El símbolo
∫
La integral definida de una función f(x) continua y acotada en el intervalo [a, b] viene dada por la siguiente regla de Barrow : b
∫ a f(x) dx = F(b) – F(a) siendo F(x) una primitiva de f(x)
b
∫ a f(x) dx se lee “la integral de f(x) entre a y b ”, el número a es el límite inferior y b es el límite superior.
El área verde es la suma de las áreas de todos los rectángulos cuando el ancho dx tiende a cero y la altura es el valor de la función. El símbolo
∫ es una s alargada y
simboliza la palabra suma de las áreas de los rectángulos para hallar el área bajo la curva.
La interpretación geométrica de la regla de Barrow es que calcula el área comprendida entre el eje X y la función f(x) en el intervalo [a, b]; pero considerando que si el área está en la parte superior es positiva y si está en la parte inferior es negativa. 1.2. Procedimiento para aplicar la regla de Barrow
a) Dada la función f(x) se halla una primitiva F(x) sin constante. b) Se calcula F(a) y F(b) c) Se halla la diferencia F(b) – F(a)
Ejemplo Calcula la siguiente integral definida aplicando la regla de Barrow. 5
∫ 2 (x – 1) dx
2 a) F(x) = (x – 1) dx = x – x 2 b) F(2) = 0, F(5) = 15 2
∫
5
c) (x – 1) dx = F(5) – F(2) = 15 – 0 = 15 = 7,5 u 2 2 2 2 El resultado es positivo porque el área está encima del eje X
∫
Observa que la figura es un trapecio que tiene de área 7,5 u2. Se puede obtener contando los cuadraditos del dibujo.
Ejemplo Calcula la siguiente integral definida aplicando la regla de Barrow. 4
∫ 1 (x 2 – 6x + 4) dx 3 a) F(x) = (x 2 – 6x + 4) dx = x – 3x 2 + 4x 3 b) F(1) = 4 , F(4) = – 32 3 3 4 c) (x 2 – 6x + 4) dx = F(4) – F(1) = – 32 – 4 = –12 u 2 3 3 1 El resultado es negativo porque el área está debajo del eje X
∫
∫
274
TEMA 14
1.3. Propiedades de la integral definida
Las propiedades más importantes de la integral definida son: 1. Si f(x) es continua y está acotada en el intervalo [a, c] y a < b < c, entonces c
∫ a
se verifica que: f(x) dx =
b
c
∫ a f(x) dx + ∫ bf(x) dx
Este resultado se desprende de la interpretación geométrica de la integral definida. 2. Si f(x) y g(x) son funciones continuas y están acotadas en el intervalo [a, c] y además f(x) ≤ g(x), se verifica que:
b
b
∫ a
∫ a g(x) dx
f(x) dx ≤
Este resultado se desprende de la interpretación geométrica de la integral definida.
Ejemplo Calcula:
4
∫ –4|x| dx
Aplicando las propiedades de la integral definida se tiene: 4
∫ –4
∫
|x| dx =
0
∫ –4
4
∫ 0 G(x) = ∫ x dx
(–x) dx + x dx
Sean F(x) = (–x) dx 2
–x si x ≤ 0 f(x) = |x| = x si x > 0 Observa que las figuras son dos triángulos y que cada uno tiene de área 8 u2
2 G(x) = x 2 G(0) = 0, G(4) = 8
a) F(x) = – x 2 b) F(–4) = –8, F(0) = 0 c) 4
0
∫ –4
∫ –4
4
∫ 0 x dx = G(4) – G(0)= 8 u2
(–x) dx = F(0) – F(–4)= 8 u2
|x| dx =
0
∫ –4
4
∫ 0
(–x) dx + x dx = 8 + 8 = 16 u 2 1.4. Derivada de una integral
La derivada de una integral con límites variables F(x) = viene dada por: F'(x) = f[h(x)] · h'(x) – f[g(x)] · g'(x)
Ejemplo Calcula la derivada de la función F(x) =
h(x)
∫ g(x) f(t) dt
x 3
∫ x L t dt 2
F'(x) = (L x 3) 3x 2 – (L x 2) 2x = 9x 2 L x – 4x L x = (9x 2 – 4x) L x a d i n i f e d l a r g e t n I : 4 1
Aplica la teoría x2
2
1.
∫ (5 – dx Calcula (–2x + 1) dx ∫ x2)
Calcula
4.
Calcula la derivada de F(x) =
–1
3x
3
2.
1
3.
2
5.
Calcula
∫ L x dx 1
Siendo |x| el valor absoluto o módulo de x, calcula la in2
tegral definida
∫ cos t dt
∫
–1
|x| dx
1
6.
Calcula el valor de
∫ 0
a m e T
x dx 2 ex
275
2. CÁLCULO DE ÁREAS
Piensa y calcula Halla por aproximación el área de las dos regiones, la amarilla y la verde, del primer dibujo del margen. Cada cuadradito es una unidad cuadrada.
2.1. Área comprendida entre el eje X y la función f(x) en el intervalo [a, b]
a) Se calculan las raíces de la ecuación f(x) = 0 y se toman aquellas que están en el intervalo [a, b] b) Se descompone el intervalo [a, b] en los intervalos necesarios: [a, c], [c, d], [d, b] c) Dada la función f(x), se halla la primitiva F(x) sin constante. d) Se calculan F(a), F(c), F(d) y F(b) e) Se calcula cada una de las áreas aplicando la regla de Barrow y tomando el valor absoluto. f) Se suman todas las áreas obtenidas.
Ejemplo Calcula el área del recinto limitado por el eje X y la función f(x) = x 2 – 2x – 3 en el intervalo [1, 4] a) x 2 – 2x – 3 = 0 ⇒ x 1 = –1, x 2 = 3 Sólo se toma x 2 = 3 que está en el intervalo [1, 4] b) Se descompone el intervalo [1, 4] en los intervalos: [1, 3] y [3, 4] 3 a) F(x) = (x 2 – 2x – 3) dx = x – x 2 – 3x 3
∫
b) F(1) = – 11 , F(3) = –9, F(4) = – 20 3 3 3
(x 2 – 2x – 3) dx = |F(3) – F(1)| = –9 + 11 = 16 u 2 ∫ | 14 | | 20 3 | 73 A 2 = ∫ (x 2 – 2x – 3) dx = |F(4) – F(3)| = – + 9 = u2 3 |3 | | |3
c) A 1 =
d) El área es: A = A 1 + A 2 = 16 + 7 = 23 = 7,67 u 2 3 3 3
2.2. Área comprendida entre dos funciones Diferencia de funciones
Es lo mismo tomar: f(x) – g(x) que g(x) – f(x) Si se toma como primera función la que está arriba, el valor de la regla de Barrow es positivo; si no, es negativo. Como se toma el valor absoluto, no importa el orden.
276
a) Se calculan las abscisas de los puntos de corte de las dos funciones resolviendo la ecuación f(x) = g(x) b) Se halla la función diferencia de las dos funciones: f(x) – g(x) c) Dada la función f(x) – g(x), se halla la primitiva F(x) sin constante. d) Se calcula F(a), F(b), F(c), ... e) Se calcula cada una de las áreas aplicando la regla de Barrow y tomando el valor absoluto. f) Se suman todas las áreas obtenidas.
TEMA 14
Ejemplo Calcula el área comprendida entre las siguientes funciones: f(x) = 4 – x 2 g(x) = 2x + 1 a) Se calculan las abscisas de los puntos de corte resolviendo la ecuación: 4 – x 2 = 2x + 1 ⇒ x 2 + 2x – 3 = 0 ⇒ x 1 = 1, x 2 = –3 b) Función diferencia: f(x) – g(x) = 4 – x 2 – (2x + 1) = –x 2 – 2x + 3 3 c) F(x) = (–x 2 – 2x + 3) dx = – x – x 2 + 3x 3 d) F(– 3) = –9, F(1) = 5 3 1 e) Área = (–x 2 – 2x + 3) dx = |F(1) – F(– 3)| = 5 + 9 = 32 = 10,67 u 2 3 3 –3
∫
|∫
|
| |
2.3. Área comprendida entre el eje X y una curva f(x)
Este problema es un caso particular del área comprendida entre dos curvas. En este caso, se calculan los puntos de corte de la curva f(x) con el eje X resolviendo la ecuación f(x) = 0, y se aplica la regla de Barrow a los intervalos que se obtienen con dos raíces consecutivas y se toma el valor absoluto.
Ejemplo Calcula el área comprendida entre el eje X y la siguiente función: f(x) = –x 3 + x 2 + 2x a) Se calculan los puntos de corte de f(x) con el eje X: x 3 – x 2 – 2x = 0 ⇒ x(x 2 – x – 2) = 0 ⇒ x 1 = –1, x 2 = 0 y x 3 = 2 4 3 b) F(x) = (–x 3 + x 2 + 2x) dx = – x + x + x2 4 3 c) F(–1) = 5 , F(0) = 0, F(2) = 8 12 3
∫ 0
(–x 3 + x 2 + 2x) dx = |F(0) – F(–1)| = 0 – 5 = 5 u 2 12 12 –1
|∫ | |8 |8 A = ∫ (–x + x + 2x) dx = |F(2) – F(0)| = –0 = u 3 | | 5 8 37 | | 3
d) A 1 =
2
2
3
2
2
0
El área total es A = A 1 + A 2 =
12
+
3
=
12
= 3,08 u 2
Aplica la teoría 7.
Halla el área de la región plana limitada por la gráfica de f(x) = x3 – 3x2 – x + 3, el eje de abscisas y las rectas x = 0, x = 3
8.
Halla el área del recinto limitado por la recta y = 3 – 2x y la parábola y = 2x – x2
9.
Halla el área de la región plana limitada por la gráfica de y = x3 – 4x y el eje X
10.
Calcula el área de la región limitada por la curva x2 y= 3 y las rectas y = 0, x = 2, x = 3 x – 2
11.
12.
Resuelve las siguientes cuestiones: a) Dibuja el recinto limitado por las curvas: y = ex + 2, y = e –x , y = 0 b) Halla el área del recinto considerado en el apartado anterior. Dada la función, definida en los números reales salvo en x=0 2 f(x) = 3 – x – x Calcula el área de la región plana limitada por la gráfica de f(x) y el semieje positivo X
277
a d i n i f e d l a r g e t n I : 4 1 a m e T
3. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Piensa y calcula Escribe las fórmulas del espacio y de la velocidad de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.)
3.1. Aplicaciones a la física
a) El espacio es la integral de la velocidad. b) La velocidad es la integral de la aceleración.
Ejemplo Deduce las fórmulas del m.r.u.a. (movimiento rectilíneo uniformemente acelerado) Un m.r.u.a. se caracteriza por que tiene aceleración constante, a
∫ s(t) = ∫ (at + v 0) dt = 1 at2 + v 0t + s0 2 v(t) = a dt = at + v 0
Ejemplo Un objeto se deja caer en el vacío. Suponiendo que la gravedad es de 9,8 m/s 2, cuál es la velocidad, v, y el espacio, s, recorrido al cabo de 4 s v(t) = at + v 0
⇒
v(4) = 9,8 · 4 + 0 = 39,2 m/s
s(t) = 1 at2 + v 0t + s0 2
⇒
s(4) = 1 9,8 · 42 + 0 · 4 + 0 = 78,4 m 2 3.2. Aplicaciones al medio ambiente
Observa que al partir del reposo v0 = 0, s0 = 0
Se llama caudal a la velocidad que lleva el agua de un río. Por lo general, el caudal es función de los meses del año, en invierno llevan más agua y en verano menos. La cantidad de agua que pasa por un río durante un período de tiempo es igual al área encerrada por el eje X y la curva en el intervalo de tiempo correspondiente.
Ejemplo La función que mide el caudal de un río en función de los meses del año viene dado por: f(x) = 3 + 2 cos πx 6 donde f(x) está dado en miles de hectolitros por segundo, y x , en meses. ¿Qué cantidad de agua pasa por el río en un año? 12 a) Volumen = 3 + 2 cos πx dx 6 0
∫ (
b)
)
∫ ( 3 + 2 cos π6x ) dx = 3x + 12π sen π6x
c) F(12) = 36, F(0) = 0 d) Volumen = |F(12) – F(0)| = |36 – 0| = 36 miles de hectolitros. 278
TEMA 14
3.3. Aplicaciones a la economía
Si los ingresos, los costes y los beneficios de una empresa, en función de x unidades de producto fabricadas y vendidas, se llaman I(x), C(x) y B(x) se tiene:
Ingreso marginal: es el ingreso adicional que se consigue al vender una unidad más de un producto, y es la derivada de los ingresos: i(x) = I'(x) Coste marginal: es el coste adicional necesario para producir una unidad más de producto, y es la derivada de los costes: c(x) = C'(x) Beneficio marginal: es el beneficio que se consigue al producir y vender una unidad más de un producto, y es la derivada del beneficio: b(x) = B'(x) Si se da una función de ingresos, costes o beneficios marginales, el área que hay bajo estas funciones es el ingreso, el coste o el beneficio.
Ejemplo Una fábrica produce chips para ordenadores. La función de ingreso marginal, viene dada por: i(x) = 3 + 2 x+1 donde x es el número de chips vendidos e i(x) viene dado en euros. Si vende 10000 unidades, ¿cuáles son los ingresos obtenidos? La fórmula del ingreso es: 10000
2 3 + dx ( ∫ x+1) 0
a) I(x) =
(∫ 3 + x +2 1 ) dx = 3x + 2 L |x + 1|
b) I(0) = 0; I(10000) = 30 018 c)
10000
2 3 + dx = I(10 000) – I(0) = 30 018 ( ∫ x+1)
E
0
Aplica la teoría 13.
14.
Un móvil lleva una velocidad en m/s, en función del tiempo, según la función: v(t) = 2t + 1 donde t se mide en segundos.Calcula el espacio que recorre el móvil entre los segundos 2 y 5 del movimiento.
15.
Una fábrica produce objetos de decoración. La función de ingreso marginal viene dada por: 3 x+2 donde x es el número de objetos vendidos e i(x) viene dado en euros. ¿Cuál es el incremento de los ingresos obtenidos cuando se pasa de vender 100 a vender 200 objetos? i(x) = 5 +
16.
La función que mide el caudal que sale de un depósito es: f(x) = 10 – x donde f(x) está dado en litros por segundo, y x segundos. ¿Qué cantidad de agua sale del depósito entre el segundo 4 y el segundo 8? Una moto cuando arranca lleva un movimiento uniformemente acelerado, en el que la aceleración es de 2 m/s2 a) Calcula la velocidad al cabo de 30 segundos. b) Calcula el espacio que habrá recorrido en esos 30 segundos.
279
a d i n i f e d l a r g e t n I : 4 1 a m e T
4. CÁLCULO DE VOLÚMENES
Piensa y calcula Escribe las fórmulas del volumen de un prisma, de una pirámide, de un cilindro, de un cono y de una esfera.
4.1. Volumen de un cuerpo por secciones
Para hallar el volumen de un cuerpo por secciones de área A(x) perpendiculares al eje X en el intervalo [a, b], se aplica la fórmula: b
∫ a
V = A(x) dx
Ejemplo Deduce la fórmula del volumen de una pirámide. Se dibuja una pirámide que tenga el vértice en el origen de coordenadas y la altura sobre el eje X. El intervalo de integración es [0, H], siendo H la altura de la pirámide. La sección A(x) es paralela a la base B, por tanto, se tiene: A(x) = x 2 ⇒ A(x) = B x 2 B H2 H2 H B x 2 dx Volumen = 2 0 H F(x) = B2 x 2 dx = B 2 x 3 F(0) = 0, F(H) = 1 BH 3 H 3H
∫
∫
Volumen = |F(H) – F(0)| = 1 BH = 1 BH 3 3
| |
4.2. Volumen de un cuerpo de revolución
Para hallar el volumen de un cuerpo de revolución que se obtiene al girar la función f(x) sobre el eje X en el intervalo [a, b], se aplica la fórmula: b
∫ a
V = π [f(x)]2 dx
Ejemplo Calcula el volumen generado por la función f(x) = x cuando gira alrededor 3 del eje X en el intervalo [3, 9] Cuando el trapecio gira alrededor del eje X genera un tronco de cono. 9 x 2 dx = π 9 x 2 dx Volumen = π 3 3 3 9 2 3 F(x) = x dx = x 9 27 F(3) = 1, F(9) = 27 |F(9) – F(3)| = |27 – 1| = 26 Volumen = 26 π u3
∫ ( )
∫
∫
280
TEMA 14
4.3. Volumen generado entre dos curvas
Para hallar el volumen del cuerpo de revolución que se obtiene al girar la superficie comprendida entre dos curvas sobre el eje X en el intervalo [a, b] se sigue el procedimiento: a) Se calculan las abscisas de los puntos de corte de las dos funciones, resolviendo la ecuación f(x) = g(x) b) En cada uno de los intervalos resultantes [a, b] se aplica la fórmula: V=π
b
([f(x)]2 – [g(x)]2) dx ∫ | a |
Ejemplo Calcula el volumen generado por la superficie comprendida entre las siguientes funciones cuando giran alrededor del eje X: f(x) = 6 g(x) = – x + 4 x 2 Es la superficie comprendida entre una hipérbola y una recta. a) Se calculan las abscisas de los puntos de corte de f(x) con g(x): 6 = – x + 4 ⇒ x 2 – 8x + 12 = 0 ⇒ x = 2, x = 6 1 2 x 2 Volumen = π
6
6 2 – – x + 4 x 2
|∫ 2 [ ( ) (
2
) ] dx |
6 2 – – x + 4 2 = 36 – x 2 + 4x – 16 x 2 x 2 4 2 3 F(x) = 362 – x + 4x – 16 dx = – 36 – x + 2x 2 – 16x 4 x 12 x
( ) ( ∫ (
)
)
F(2) = – 128 , F(6) = – 48 3 |F(6) – F(2)| = –48 + 128 = 16 3 3 Volumen =
| 16π 3
|
= 16,76 u 3
Aplica la teoría 17.
18.
Deduce la fórmula del volumen del prisma.
19.
Calcula el volumen generado por la superficie comprendida entre las siguientes funciones cuando giran alrededor del eje X: f(x) = √ x g(x) = x
20.
Deduce la fórmula del volumen de un cono.
a d i n i f e d l a r g e t n I : 4 1
Calcula el volumen generado por la función: f(x) = √ x cuando gira alrededor del eje X en el intervalo [0, 4]
a m e T
281
P r o f u n d i z a c ió n : d e m o s t r a c i o n e s 1. Integral de Riemann Dada una función f(x) continua en [a, b] y positiva, se puede hacer una aproximación del área comprendida entre el eje X y la gráfica de la función en el intervalo [a, b] del siguiente modo: a) Partimos el intervalo [a, b] en n partes iguales: a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n – 1 < x n = b b) La función f(x) es continua en los intervalos [x i , x i + 1] ya que lo es en [a, b]. Por el teorema de Weierstrass, se puede garantizar que la función alcanza un valor máximo, Mi, y un valor mínimo, mi, en cada intervalo [x i , x i + 1] c) Se dibuja los rectángulos inferiores de base x i + 1 – x i y de altura mi d) Se dibuja los rectángulos superiores de base x i + 1 – x i y de altura Mi
e) Se suma el área de los rectángulos inferiores y se obtiene una aproximación del área por defecto. Área por defecto = (x 1 – x 0)m1 + (x 2 – x 1)m2 + (x 3 – x 2)m3 + … +(x n – x n – 1)mn Se llaman sumas inferiores a las distintas aproximaciones del área por defecto que se puede calcular del recinto según el número de intervalos que se tomen. Se representan por: sn =
n
Σ
i=0
mi + 1(x i + 1 – x i)
f ) Se suma el área de los rectángulos superiores y se obtiene una aproximación del área por exceso. Área por exceso = (x 1 – x 0)M1 + (x 2 – x 1)M2 + (x 3 – x 2)M3 + … +(x n – x n – 1)Mn Se llaman sumas superiores a las distintas aproximaciones del área por exceso que se puede calcular del recinto según el número de intervalos que se tomen. Se representan por: Sn =
n
Σ Mi + 1(x i + 1 – x i) i=0
Las sumas inferiores y superiores dependen de n, es decir, del número de intervalos que se tomen en [a, b] y se tiene entonces que: g) Las sumas inferiores son una sucesión s1, s2, s3 …, sn … que corresponderán a las distintas divisiones que se hagan del intervalo [a, b] h) Las sumas superiores son una sucesión S1, S2, S3 …, Sn … que corresponderán a las distintas divisiones que se haga del intervalo [a, b] Se puede asegurar que el área del recinto está comprendida entre estas dos aproximaciones. sn =
282
n
n
Σ mi + 1(x i – 1 – x i) ≤ Área del recinto ≤ sn = iΣ= 0 Mi + 1(x i – 1 – x i) i=0
T EM A 1 4
Si se hacen cada vez más intervalos en [a, b], es decir, que n tienda a infinito; entonces, los valores Mi y mi de cada intervalo se aproximarán lím (Sn – sn) = 0 n →∞
y entonces tendremos que el área será: Área = lím sn = lím Sn n →∞
n →∞
Se define la integral definida en el intervalo [a, b] y se representa por: b
∫ a f(x) dx =
lím s n →∞ n
= lím Sn n →∞
al límite, cuando n tiende a infinito, de las sumas inferiores o superiores:
2. Teorema del valor medio del cálculo integral Si f(x) es una función continua y acotada en el intervalo [a, b], existe un punto c ∈[a, b], tal que: b
∫ a f(x) dx = (b – a) · f(c)
Demostración Como f(x) es continua y está acotada en el intervalo cerrado [a, b], se puede garantizar, por el teorema de Weierstrass, que la función alcanza su valor máximo, M, y su valor mínimo, m en dicho intervalo cerrado [a, b] Por tanto, la integral: b f(x) dx
∫ a
estará comprendida entre las áreas de los rectángulos de base b – a y alturas m y M respectivamente:
(b – a) · m ≤ Dividiendo por b – a, se tiene:
b
∫ a f(x) dx ≤ (b – a) · M
b 1 f(x) dx ≤ M b – a a Por el teorema de los valores intermedios, existirá un c ∈ (a, b), tal que: b 1 f(c) = f(x) dx b – a a De donde se deduce que:
a d i n i f e d l a r g e t n I : 4 1
∫ a
a m e T
m≤
∫
∫
b
f(x) dx = (b – a) · f(c)
283
P r o f u n d i z a c ió n : d e m o s t r a c i o n e s Interpretación geométrica El área del recinto limitado por el eje X y la gráfica de f(x) en el intervalo cerrado [a, b] es igual al área del rectángulo de base b – a y altura f(c)
3. La función área Sea f(x) una función continua y acotada en el intervalo cerrado [a, b]. Se llama función área o función integral a la función: F(x) =
x
∫ a f(t) dt
que está definida en el intervalo cerrado [a, b]
Interpretación geométrica Esta función calcula el área del recinto limitado por la función f(x) en todo intervalo cerrado [a, x], siendo x ∈ [a, b] Si en la función F(x) aparece la x en el límite de integración, no se puede poner en el integrando. Por esta razón, aparece otra letra que es la t y que recorre los valores desde a hasta x
4. Teorema fundamental del cálculo integral Si f es una función continua y acotada en el intervalo cerrado [a, b], entonces la función: F(x) =
x
∫ a f(t) dt para todo x ∈[a, b]
es derivable y su derivada es F'(x) = f(x)
Demostración
x+h
F'(x) = lím F(x + h) – F(x) = lím h h → 0 h → 0
∫ a
f(t) dt – h
x
x+h
∫ a f(t) dt = lím ∫ x h → 0
f(t) dt h
Por el teorema del valor medio del cálculo integral existe un c ∈ [x, x + h] tal que: x+h
Por tanto, se tiene:
∫ x
f(t) dt = f(c)(x + h – x) = f(c) · h
F'(x) = lím F(x + h) – F(x) = lím h h → 0 h → 0
x+h
∫ x
f(t) dt h
= lím f (c) · h = lím f(c) h h → 0 h → 0
Como c ∈ [x, x + h] y f(t) es función continua, cuando h → 0, f(c) tiende a f(x) De donde se deduce que: F'(x) = f(x)
284
T EM A 1 4
5. Volumen de un cuerpo de revolución Demostración Un cuerpo de revolución es el que se obtiene al girar un recinto plano alrededor de una recta. Se considera una función continua y = f(x) en el intervalo [a, b]. La gráfica de esta función determina con las rectas x = a y x = b un recinto que se llama R
Si se hace girar el recinto R alrededor del eje X, se obtiene un cuerpo de revolución.
Cálculo del volumen Una aproximación del volumen del cuerpo de revolución que se obtiene al hacer girar sobre el eje X el recinto R engendrado por la función f(x) y las rectas x = a y x = b, se puede obtener siguiendo el procedimiento: a) Se hace una partición del intervalo [a, b]: a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x i < x i + 1 < … < x n = b b) Tomamos un punto ci ∈ [x i, x i + 1] y se calcula f(c i ) c) Se construyen los cilindros con altura, x i + 1 – x i, y radio de la base, f(c i) y cuyo volumen es: V i = π(x i + 1 – x i) f 2(ci ) d) Se suman todos los volúmenes así conseguidos y se tiene una aproximación del volumen total: Volumen aproximado =
a d i n i f e d l a r g e t n I : 4 1
n
Σ
π(x i + 1 – x i ) f 2(ci ) i=1
Si se hace que el número de intervalos tienda a infinito, se puede definir el volumen como el límite de una suma de volúmenes cuya altura tiende a cero: V = lím
n
Σ π(x i + 1 – x i) f 2(ci)
n →∞ i = 1
Se define:
b
∫ a
a m e T
V = π [f(x)]2 dx
285
Ejercicios y problemas 1. Integral definida 5
21.
Calcula
3. Aplicaciones de la integral definida
∫ ( 2 + 1) dx x
33.
2
3
22.
Calcula
∫ (x – 2x – 4) dx 2
g(x) = –x2 + 2x + c
1
23.
Sea f : R →
R
a) Halla el valor de c sabiendo que ambas trayectorias coinciden en el punto en el que la función g(x) tiene un máximo local.
la función definida por f(x) = |x 2 – 1|
a) Esboza la gráfica de f 2
b) Calcula
La recta de ecuación y = –4x + 2 representa la trayectoria de un móvil A. Otro móvil B se desplaza según la trayectoria dada por la curva de ecuación y = g(x) donde g : R → R es la función definida por:
b) ¿Coinciden ambas trayectorias en algún otro punto? En tal caso, dibuja la región limitada por ambas trayectorias y calcula su área.
∫
f(x) dx
0
x2 + 1
24.
Calcula la derivada de F(x) =
∫
L t dt
2
34.
e
25.
Calcula
La velocidad de un móvil que parte del origen viene dada en m/s por la gráfica siguiente:
∫ x L x dx 2
1
26.
Considera la función f(x) definida para x ≠ –2 por la relación: f(x) =
4x2 + 3x – 9 x+2
6
Calcula
∫ f(x) dx
a) Calcula la función espacio recorrido.
2
b) Dibuja la gráfica de la función espacio recorrido. c) Prueba que el área bajo la curva que da la velocidad coincide con el espacio total recorrido.
2. Cálculo de áreas 27.
28.
Halla el área de la región plana limitada por la gráfica de f(x) = x3 – 4x, el eje de abscisas y las rectas x = –1,x = 2
35.
Halla el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones y = 2 – x4
Calcula el área de la parcela.
y = x2
29.
Dada la función f(x) = 4 – x2, calcula el área encerrada entre la gráfica f(x) y el eje de abscisas.
30.
Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función f(x) = – 4x3 + 5, el eje de abscisas, la recta x = –1 y la recta x = 1
31.
Calcula el área de la región limitada por las curvas
4. Cálculo de volúmenes 36.
y= 32.
286
Dos hermanos heredan una parcela que han de repartirse. La parcela es la región plana limitada por la 1 curva y = √ x – 1 y la recta y = (x – 1) 2
Deduce la fórmula del volumen de un cilindro.
x2 1 , y= 2 2 x +1
Dada la función f(x) = x √ 5 – x2 , calcula el área encerrada entre la gráfica f(x) y el eje de abscisas.
T EM A 1 4
37.
Calcula el volumen generado por la función:
38.
f(x) = √ 3x cuando gira alrededor del eje X en el intervalo [0, 3]
Calcula el volumen generado por la función: x f(x) = +1 2 cuando gira alrededor del eje X en el intervalo [2, 6]
39.
Deduce la fórmula del volumen de una esfera.
Para ampliar 3
40.
Calcula
∫ 0
41.
42.
43.
44.
45.
a) Esboza la gráfica de f(x)
1 dx x+1
Sea la función f(x) = 2x3 + bx2 + ax – 5 a) Halla los valores de a y b, de forma que f(x) tenga un máximo en x = 1 y un mínimo en x = 2 b) Halla el área de la región limitada por la gráfica f(x) y el eje X entre x = 0, x = 3 Sea la función f(x) = 3x – x3 Halla el área de la región limitada por el eje X y dicha función. Considera las funciones f, g : R → R definidas por: f(x) = 6 – x2, g(x) = | x|, x ∈ R a) Dibuja el recinto limitado por las gráficas f y g b) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.
b) Halla el área del recinto limitado por la gráfica de f(x) y el eje de abscisas. 46.
Calcula el valor de a, positivo, para que el área encerrada entre la curva y = ax – x2 y el eje de abscisas sea 36. Representa la curva que se obtienen para dicho valor de a
47.
Resuelve las siguientes cuestiones: a) Dibuja la región limitada por la curva de ecuación y = x(3 – x), y la recta de ecuación y = 2x – 2 b) Halla el área de la región descrita en el apartado anterior.
48.
Resuelve las siguientes cuestiones: a) Esboza la gráfica de la función f : R → R dada por:
la función definida por:
2x + 2 si x ≤ –1 f(x) = 3 x – 2 si x > – 1
5x + 10 si x ≤ – 1 f(x) = 2 x – 2x + 2 si x > –1
b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica f(x), el eje X y las rectas de ecuaciones x + 2 = 0 y 2x – 1 = 0
Sea f : R →
R
a) Esboza la gráfica de f(x) b) Calcula el área de la región limitada por la grafica f(x), el eje de abscisas y la recta x = 3
49.
Halla los valores de m para que el área de la región limitada por la parábola y2 = x y la recta y = mx sea 1
Considera la función f : [0, 4] → R definida por:
50.
Sea la función f(x) = x cos x. Calcula la integral de f entre x = 0 y el primer cero positivo que tiene la función.
4x si 0 ≤ x ≤ 1 16 si 1 < x < 3 f(x) = (x + 1)2 4–x si 3 ≤ x ≤ 4
—
Nota: se llaman ceros de una función a los valores para los que ésta se anula.
287
a d i n i f e d l a r g e t n I : 4 1 a m e T
Ejercicios y problemas
51.
Se tiene la función f(x) definida para todo número real no negativo y dada por:
1 si 0 ≤ x ≤ 1 1 f(x) = — x2 si x > 1
55.
b
∫ f(x) dx = 0? Razona la respuesta con un ejemplo. a
x
∫ f(x) dx 0
Sea f(x) =
57.
Mediante argumentos geométricos, demuestra que si f(x) y g(x) son funciones positivas en el intervalo [a, b] y f(x) ≤ g(x) para todo x de dicho intervalo, entonces se cumple que:
Interpreta geométricamente el resultado. 52.
53.
Calcula el área de la región limitada por la curva y = L x y las rectas y = 0,y = L 3, x = 0 Halla el valor del parámetro a sabiendo que el área limitada por la gráfica de la parábola y = x2 – ax y el 32 eje X es 3
∫
1 dt, y sean a, b ∈ R +. Demuestra que t 1 f(a · b) = f(a) · f(b)
56.
3
Halla
Si f es una función continua en [a, b], ¿puede ser
b
b
a
a
∫ f(x) dx ≤ ∫ g(x) dx 58.
Si f(x) en una función continua positiva en el intervalo [a, b], justifica, mediante argumentos geométricos, si la siguiente afirmación es cierta. b
54.
∫ f(x) dx ≥ 0
Dibuja la figura limitada por las curvas cuyas ecuaciones son:
y = 2 – x2 y = |x|
a
Si es falsa pon un contraejemplo. 59.
y halla el área de la misma.
Encuentra el área de la región determinada por la x2 curva y = , el eje X y las rectas x = 1 y x = –1 4 – x2
Problemas 60.
Se considera la función real de variable real definida por: x f(x) = 2 x +3 a) Halla la ecuación cartesiana de la recta tangente en el punto de inflexión de abscisa positiva de la gráfica f(x)
64.
(2 – x)3 si x ≤ 1 2 si x > 1 x
f(x) =
Determina el área encerrada por la gráfica f(x) y por las rectas y = 8, x = 0, x = 2 65.
Se consideran las funciones f(x) = x2 – 2x + 3, g(x) = ax2 + b a) Calcula a y b para que las gráficas f(x) y g(x) sean tangentes en el punto de abscisa x = 2 b) Para los mismos valores de a y b, halla el área limitada por las graficas de las funciones y el eje vertical Y
66.
Sean las funciones f(x) = x2 + ax + b, g(x) = –x2 + c a) Determínense a, b y c sabiendo que las gráficas de ambas funciones se cortan en los puntos (–2,– 3) y (1, 0) b) Calcula el área de la región limitada por las gráficas f(x) y g(x)
67.
Halla el área del recinto delimitado por la curva y = x2 + 4x + 5 y la recta y = 5
b) Calcula el área del recinto plano acotado por la gráfica f(x), la recta anterior y el eje x = 0 61.
Se considera la función real de variable real definida por: x f(x) = 2 x +1 Calcula el valor de a > 0 para el cual se verifica la a
igualdad
∫
f(x) dx = 1
0
a
62.
Calcula el valor de a > 0, para que
∫ 0
63.
288
1 dx = 3 x+1
Sea la función f(x) = sen x. Calcula a > 0 tal que el área encerrada por la gráfica f(x), el eje y = 0, y la 1 recta x = a, sea 2
Sea la función real de variable real definida por:
T EM A 1 4
68.
a) Determina m sabiendo que f(x) es derivable.
–2x si x ≤ 0 Sea la función f(x) = x – 1 si 0 < x ≤ 2 3x – 5 si x > 2
1
b) Calcula
0
Halla el área de la región plana limitada por la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas x = –1 yx=3 69.
77.
Resuelve las siguientes cuestiones: a) Dibuja el recinto limitado por los semiejes positivos de coordenadas y las curvas: 2 y = x2 + 1, y = ey=x–1 x b) Halla el área del recinto considerado en el apartado anterior.
78.
Resuelve las siguientes cuestiones:
Sea la función f(x) = x4 – 4x3 + x2 + 6x Calcula el área determinada por la gráfica f(x), el eje horizontal y las rectas x = –1 y x = 2 2π
70.
Calcula el valor de la integral
∫ |x| sen x dx – π
9 – x2 , 4 la recta tangente a esta curva en el punto de abscisa x = 1 y el eje de abscisas. b) Calcula el área del recinto considerado en el apartado anterior. a) Dibuja el recinto limitado por la curva y =
3
71.
Calcula el valor de la integral
∫ (x + 5) e 2
–x
dx
0
72.
73.
∫ f(x) dx
Se quiere dividir la región plana encerrada entre la parábola y = x2 y la recta y = 1 en dos regiones de igual área mediante una recta y = a. Halla el valor de a
79.
Halla el área del recinto coloreado que aparece en la figura adjunta sabiendo que la parte curva tiene 2x + 2 como ecuación y = 1–x
De la función f : R → R definida por: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d se sabe que tienen un máximo relativo en x = 1, un 4 5 punto de inflexión en (0, 0) y que: f(x) dx = 4 0 Calcula a, b, c y d
∫
80.
Considera la función f : R → R definida por: f(x) = xe2x Determina el valor de la integral: 1/2
74.
∫ (1 + f(x)) dx
Sabiendo que L x es el logaritmo neperiano de x, considera la función f : (–1, + ∞) → R definida por
a(x – 1) si –1 < x ≤ 1 f(x) = x L x si x > 1
0
81.
a) Determina el valor de a sabiendo que f(x) es derivable. 2
b) Calcula
∫ f(x) dx 0
75.
Sea f : R →
la función definida por: f(x) = –2x3 – 9x2 – 12x Determina los extremos relativos α y β de f(x) con R
β
α < β y calcula 76.
Sea f : R →
R
∫ f(x) dx
82.
La recta de ecuación 3x – y + 2 = 0 es tangente a la parábola de ecuación y = ax2 + c en el punto P(1, 5) a) Calcula las constantes a y c de la ecuación de la parábola describiendo el procedimiento que sigas. b) Dibuja la región plana limitada por el eje Y, la parábola y la recta tangente. c) Calcula el área de la región descrita en el apartado anterior. Calcula el área de la región coloreada en la figura y justifica el procedimiento empleado (L x es el logaritmo neperiano de x)
α
la función definida por:
1 — si x < 0 f(x) = 1 – x 1 – mx – x2 si x ≥ 0
a d i n i f e d l a r g e t n I : 4 1 a m e T
289
Ejercicios y problemas
83.
Dibuja el recinto limitado por las curvas de ecuaciones y = sen x, y = cos x, x = 0, x = π/3
90.
Representa gráficamente el recinto plano limitado por la curva y = x3 – x y su recta tangente en el punto de abscisa x = 1. Calcula su área.
91.
Calcula
Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior. 84.
La figura siguiente representa la gráfica de una función f : [0, 7] → R
√3
∫ x √1 + x
2
dx
0
92.
Calcula el área determinada por la curva y = tg x, el eje X y la recta x =
93.
π 3
Sin hacer ningún cálculo, di cuál de las siguientes integrales es mayor: 1
∫
F(x) =
∫
94.
f(t) dt
0
a) Calcula F(4) y F(7)
95.
b) Dibuja la gráfica F(x) explicando cómo lo haces. 85.
Halla la recta tangente a la curva de ecuación y = x3 – 3x en el punto de abscisa x = – 1
96.
Dibuja el recinto limitado por dicha recta tangente y la curva dada y calcula su área. 97. 86.
87.
Calcula el área de la región limitada por las curvas y = ex, y = e –x y la recta x = 1 En la figura aparece una curva que representa a una función polinómica de grado 2. Los puntos de intersección de la curva con el eje X son el A(1, 0) y el B(3, 0). Además, el área limitada por la curva y los dos ejes coordenados vale 4/3. Halla la expresión de dicha función
1
sen2
∫ x sen x dx 2
x dx
0
Sea F : [0, 7] → R la función definida por: x
x2
0
Calcula el área determinada por la curva y = L x, el eje X y la recta x = e 1 Calcula el área determinada por la curva y = , 1 – x2 1 1 el eje X y las rectas x = – , x = 2 2 Encuentra el área del recinto determinado por las curvas: y = |x – 2| y = – x2 + 4x – 2 Demuestra que 0 ≤
π/2
∫ 0
sen x dx ≤ 1 1 + x2
98.
Calcula el área del recinto determinado por la curva 1 y= , las rectas x = 2, x = –2 y el eje de abscisas. 1 + x2
99.
Si f(x) y g(x) son dos funciones continuas positivas en el intervalo [a, b], justifica, mediante argumentos geométricos si la siguiente afirmación es cierta. b
b
b
a
a
a
∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx Si es falsa, pon un contraejemplo.
88.
89.
Determina el área comprendida entre las curvas y = x 2, y = √ x y la recta que pasa por los puntos A(2, 4) y B(4, 2)
101.
Demuestra que si m es un número cualquiera mayor que 1, y k un número natural cualquiera mayor que uno, se cumple que: m xk + 1 dx < m k+1 + 1 l x
Dibujar, con la mayor exactitud posible las gráficas de las funciones f(x) = 3x2 – 6x y g(x) = –x2 + 6x – 8. Representa el recinto limitado por ambas funciones y obtén su área. Calcula una primitiva de la función: f(x) = x L (1 + x2) Determina el área encerrada por la gráfica de la función anterior, el eje X y la recta x = 1
290
100.
∫
102.
x L x si x > 0 Dada la función f(x) = si x = 0 0 calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función y el eje X, desde x = 0 hasta x = b, siendo b la abscisa del mínimo de la función.
T EM A 1 4
π/2
103.
104.
105.
Calcula la integral definida
∫
π/4
Resuelve las siguientes cuestiones: a) Obtén el área de la superficie S, limitada por el eje X, la curva y = x2, con 0 ≤ x ≤ 2, y la recta x=2 b) Calcula el volumen generado por la superficie S al dar una vuelta completa alrededor del eje X y2 x2 + = 1 alrededor del eje X, 25 9 ésta genera una superficie parecida a un huevo, que se llama elipsoide. Halla el volumen de dicho elipsoide. Al girar la elipse
Para profundizar 106.
Calcula el valor de a > 0, para que: 3
∫
1 dx = 5 0x+a
107.
Sea la función f(x) = sen x a) Calcula la ecuación de la tangente a la gráfica f(x) en el punto de abscisa x =
Sea la función f(t) =
111.
1 + cos x, 2 los ejes de coordenadas y la recta x = π b) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior. Considera la función f : R → R definida por f(x) = 2 + x – x 2. Calcula a, a < 2, de forma que 2 9 f(x) dx = 2 a 113. Calcula la siguiente integral definida: 2 dx f(x) dx = 2 x + 4x + 3 0 ¿Qué representa geométricamente? Representa el área comprendida entre el eje X y la curva en el intervalo [0, 2] 112.
∫
∫
114.
2
115.
De la gráfica de la función polinómica f : R → R dada por: f(x) = x3 + ax2 + bx + c se conocen los siguientes datos: que pasa por el origen de coordenadas y que en los puntos de abscisas 1 y –3 tiene tangentes paralelas a la bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes. a) Calcula a, b y c b) Dibuja el recinto limitado por la gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas y calcula su área.
116.
Determina una constante positiva a sabiendo que la figura plana limitada por la parábola y = 3ax2 + 2x, la recta y = 0 y la recta x = a tiene área (a2 – 1) 2
1 1 + et
∫ f(t) dt
g(x) x →0 x
Calcula lím
110.
Se consideran las curvas y = x2 e y = a, donde a es un número real comprendido entre 0 y 1(0 < a < 1). Ambas curvas se cortan en el punto (x0, y0) con abscisa positiva. Halla a sabiendo que el área encerrada entre ambas curvas desde x = 0 hasta x = x 0 es igual a la encerrada entre ellas desde x = x0 hasta x = 1
–x – 2 si x < –1 Sea la función f(x) = a – 2x2 si –1 ≤ x ≤ 1 b/x si x > 1 a) Determina los valores de a y b para que f(x) sea continua en toda la recta real.
∫ f(x) dx –1
0
109.
Considera la función f : R → R definida en la forma f(x) = 1 + x |x| Calcula
x
Se define: g(x) =
Resuelve las siguientes cuestiones: a) Dibuja el recinto limitado por y =
π
4 b) Calcula el área de la superficie encerrada por la tangente anterior, la gráfica de la función f(x) y 3π π las rectas x = , x = 4 4 108.
b) Con los valores de a y b determinados en el apartado anterior, calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f(x) y el eje de abscisas, en el intervalo [0, 2]
x sen x dx
117. Justifica geométricamente que
si f(x) es una función positiva definida en el intervalo [a, b] y c ∈ [a, b], entonces se cumple: c
b
b
a
c
a
∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx 118.
Halla el área del recinto limitado por la curva y = xex, el eje X y la recta paralela al eje Y que pasa por el punto donde la curva tiene un mínimo relativo.
291
a d i n i f e d l a r g e t n I : 4 1 a m e T
Derive
Paso a paso
119. Dibuja y calcula el recinto limitado por el eje
X y la función:
f(x) = x 2 – 2x – 3 en el intervalo [1, 4] Solución: a) Representa las rectas x = 1, x = 4 que limitan el intervalo. b) Representa la función. c) Resuelve la ecuación correspondiente para hallar las abscisas de los puntos de corte con el eje X x = 3 ∨ x = –1 d) Rellena la 1ª región: En la Entrada de Expresiones escribe: 1 < x < 3 ∧ x^2 – 2x – 3 < y < 0 Introducir Expresión. Elige Activa la ventana Gráficos-2D y haz clic en Representar Expresión. e) Rellena la 2ª región: 3 < x < 4 ∧ 0 < y < x^2 – 2x – 3
f ) Calcula el área correspondiente a la 1ª región: Selecciona en la ventana Álgebra la función: x^2 – 2x – 3 Integrales. Activa el botón de opción g) Elige Definida , en Límite inferior escribe 1, en Límite superior escribe 3 y haz clic en el botón Simplificar. 3 (x 2 – 2x – 3) dx = – 16 3 1
∫
292
h) Calcula el área correspondiente a la 2ª región: 4 (x 2 – 2x – 3) dx = 7 3 3 i) Suma los valores absolutos obtenidos y aproxima el resultado: |– 16/3| + |7/3| Área = 23 = 7,6666666 3
∫
120. Dibuja el recinto limitado por las siguientes
funciones y calcula el volumen que genera dicho recinto cuando gira alrededor del eje X: y= 6 y = – x + 4 x 2 Solución: a) Resuelve el sistema formado por ambas funciones. [x = 2 ∧ y = 3, x = 6 ∧ y = 1] b) Representa las dos funciones. c) Rellena la región limitada por las dos funciones. 2 < x < 6 ∧ 6 < y < – x + 4 x 2
d) Calcula la siguiente integral y aproxima el resultado. 6 6 2 – – x + 4 2 dx π x 2 2
∫ ( ( ) (
))
Volumen = 16π = 16,76 u 3 3
121. Internet. Abre la página web: www.algaida.es y elige Matemáticas, curso y tema .
T EM A 1 4
Así funciona Integral definida Integrales. Se activa el botón de opción Definida , en Límite inferior y en LímiSe elige te superior se escriben los valores correspondientes y se hace clic en el botón Simplificar. Representar funciones Si la función es y = f(x), no es necesario escribir y =; por el contrario, si es una recta vertical de la forma x = k, es obligatorio escribir el x = Hallar puntos de corte de dos funciones Se resuelve el sistema correspondiente a las dos funciones Rellenar regiones Se rellena trozo por trozo. Para cada uno de los trozos se escriben las desigualdades correspondientes a las abscisas y a las ordenadas, unidas por el signo de conjunción lógica y que es ∧
Practica
122. Dibuja el recinto correspondiente y calcula la siguiente integral definida: 5
∫ 2 (x – 1) dx Observa y justifica el signo del valor obtenido.
123. Dibuja el recinto correspondiente y calcula la siguiente integral definida: 4
∫ 1 (x 2 – 6x + 4) dx Observa y justifica el signo del valor obtenido.
124. Dibuja el recinto correspondiente y calcula la siguiente integral definida: 4
∫ –4|x| dx 125. Dibuja el recinto limitado por las siguientes funciones y calcula su área: f(x) = 4 – x 2 g(x) = 2x + 1
126. Dibuja el recinto limitado por el eje X y la función:
f(x) = –x 3 + x 2 + 2x
127. Un objeto se deja caer en el vacío. Suponiendo
que la gravedad es de 9,8 m/s 2, calcula la velocidad que lleva al cabo de 4 s, y el espacio recorrido. Dibu ja las funciones correspondientes a la velocidad y a la aceleración.
128. La función que mide el caudal de un río en fun-
ción de los meses del año, viene dada por: f(x) = 3 + 2 cos πx 6 donde f(x) está dado en miles de hectolitros por segundo, y x en meses. ¿Qué cantidad de agua pasa por el río en un año? Dibuja la región correspondiente a la cantidad de agua que lleva el río.
129. Una fábrica produce chips para ordenadores. La función de ingreso marginal viene dada por: i(x) = 3 + 2 x+1 donde x es el número de chips vendidos e i(x) viene dado en euros. Si vende 10000 unidades, ¿cuáles son los ingresos obtenidos? Dibuja la región correspondiente a los ingresos obtenidos.
130. Deduce la fórmula del volumen de una pirámide.
131. Representa la región comprendido entre el eje
X y la función:
f(x) = x 3
en el intervalo [3, 9] Calcula el volumen generado por dicha región cuando gira alrededor del eje X
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a d i n i f e d l a r g e t n I : 4 1 a m e T
