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3. Vibrações livres sem amortecimento Assim, pode-se observar a partir da figura, como funciona uma vibração livre, onde está representado o sistema massa/mola. Considerando que a mola (constante k) está presa a um suporte superior e a sua extremidade inferior atinge a posição L. Após é colocada a massa na extremidade da mola. Como esta massa possui um peso devido a ação da gravidade e este exerce uma força sobre a mola, esta é alongada de uma distância y0. Esta é a posição de equilíbrio do sistema massa/mola. Logo, conhecendo-se a constante de mola k, e a força exercida pelo peso, que será a força exercida sobre a mola ( Fm), pode-se calcular o deslocamento inicial y0. F m = k y 0
y 0 =
k
k
k m
m
y
y -
F m k
m
Figura – Sistema massa/mola em perturbação. O ciclo é o movimento que a massa móvel completa, saindo de um ponto de referência e retornando a este ponto após percorrer uma trajetória.
L
k
k k
m
m
0 y
Figura 1 – Sistema massa/mola.
Figura – Ciclo.
Considerando agora o sistema em equilíbrio, a partir de uma perturbação na direção vertical, e considerando que deslocamentos laterais não ocorrem no sistema, pode-se observar uma vibração livre sem amortecimento. Assim, estando a massa m em repouso, dando um impulso para baixo na massa, esta desloca-se de uma distância –y, no momento da máxima elongação da mola. Após inicia o movimento contrário, passando pelo ponto de equilíbrio e realizando um deslocamento contrário y.
A freqüência ( f ) é o número de ciclos executados na unidade de tempo. 1 número ciclos n freqüência =
tempo
f =
t
s = Hertz = Hz
O período (T) é o tempo gasto para realizar um ciclo. 1 t 1 logo, f = T = = [s ] n
f
T
A amplitude [Y] é a máxima distância que o móvel em movimento vibratório alcança, em relação a posição inicial de equilíbrio.
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k
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k
L
k
k
Y
m
Y -
m
k
t s y
m
m
y -
m Fst
Figura – Amplitude (Y). Elongação é a distância de um ponto qualquer da trajetória, no qual o móvel se encontra, em relação a posição de equilíbrio. A freqüência natural ( f n) é a freqüência própria do sistema, ou seja, quando o sistema vibra livre de forças de excitação. É a freqüência de uma vibração livre. Quando a um corpo ou um sistema de corpos interligados é imposto um deslocamento inicial em relação à posição de equilíbrio e em seguida ele é abandonado, ele vibrará com uma freqüência conhecida como freqüência natural. Freqüência natural amortecida ( f na) é a freqüência própria do sistema, com a presença de atrito. Sempre que a freqüência natural de vibração de uma máquina ou estrutura coincide com a freqüência da força externa atuante, ocorre o fenômeno conhecido como ressonância que resulta em grandes deformações e falhas mecânicas.
Fst = k y
P=mg
Em equilíbrio estático tem-se:
∑ F = 0
Equações do movimento e da freqüência natural O sistema considerado possui uma massa m, presa a uma mola suspensa de constante k.
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yst =
F st = P
P k
Em condições dinâmicas:
∑ F = m a
− F = m a
2
2
dt
+
k m
P − Fst − F = m a
m a + k y = 0
− k y = m a d y
3.1 Vibrações livres não amortecidas longitudinais (vlna) Este tipo de vibração considera que o sistema sofre apenas uma perturbação inicial, possui deslocamento longitudinal, neste caso na direção vertical e não possui atrito no sistema que resulta no amortecimento da vibração.
F st − P = 0
y=0
&& + y
k m
a+
P − P − F = m a k m
y =0
&& + y
k m
y= 0
y =0
A solução geral desta equação diferencial é: k k t + C 2 cos t m m
y = C 1 sen
k t + C 4 m
y = C 3 cos
Onde C1, C2, C3 e C4 são constantes arbitrárias que dependem das condições iniciais do movimento. Esta solução é considerada geral porque representa todas as possíveis soluções que se particularizarão pelos valores assumidos pelas constantes arbitrárias.
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3.2 Soluções particulares para equação diferencial das Vibrações Livres não Amortecidas Longitudinais (VLNAL) Com deslocamento inicial Condições iniciais: A massa é liberada de uma posição afastada do ponto de equilíbrio (y = y0), com velocidade inicial nula ( y&& = 0 ), no instante inicial com t = 0. y
Ponto de partitda t=0 k
y0
y
Y
wt
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3.3 Freqüência natural e velocidade angular natural na VLNAL Wn é a freqüência circular natural do sistema vibrante (ou a velocidade angular de um ponto em MCU cuja projeção executa um movimento idêntico ao do sistema vibrante). Para uma vibração onde t = t n e θ = 2π 2π
W n =
T n =
T n
2π
Wn =
W n
k
f n =
m
1 T n
=
1 k 2π m
3.4 Método prático para a determinação da freqüência natural Considerando a deformação estática da mola com a colocação da massa de peso P, tem-se:
Y
m
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y 0
π/2
π
3π/2
2π
yst =
k k y = C 1 sen t + C 2 cos t m m
W n =
F st k
=
g yst
mg
onde
k
e
m k
=
f n =
yst g
como
m k
= W n 2
1 g 2π yst
EXERCÍCIOS. Exercício 1: Um ponto material está em movimento harmônico simples com uma amplitude de 0,1 m e um período de 0,6 s. Encontre a velocidade máxima e a aceleração máxima. Exercício 2: A análise do movimento de um ponto material mostra uma aceleração máxima de 30 m/s 2 e uma freqüência de 120 ciclos por minuto. Supondo que o movimento é harmônico simples, determine: a) a amplitude; b) a velocidade máxima.
k m t + C 4
y = C 3 sen
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Exercício 3: O colar A está preso à mola ilustrada e pode deslizar sem atrito na barra horizontal. Se o colar for afastado 75 mm de sua posição de equilíbrio e liberado, determine o período, a velocidade máxima e a aceleração máxima do movimento resultante.
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Exercício 4: Um colar de 5 kg está preso a uma mola de constante k = 800 N/m. Se ao colar é dado um deslocamento de 50 mm de sua posição de equilíbrio e liberado, determine o movimento que se segue: a) o período; b) a velocidade máxima do colar; c) a aceleração máxima do colar.
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COM VELOCIDADE INICIAL Situação inicial: a massa m é impulsionada com uma velocidade inicial y& 0 a partir da posição de equilíbrio (y = 0) no momento em que se inicia a contagem dos tempos. y
Ponto de partitda t=0 k
Y
m wt
y
Y
y 0
t = 0
Exercício 5: Com os dados do problema 19.6, determinar a posição, velocidade e aceleração do colar 0,20 s após ter sido liberado.
π/2
π
3π/2
2π
y& = y& 0 y = 0
k k t + C 2 cos t m m
y = C 1 sen
Exercício 6: Um colar de 40 N está preso a uma mola de constante k = 1000 N/m. Se ao colar é dado um deslocamento de 0,05 m para baixo de sua posição de equilíbrio e liberado da sua posição de equilíbrio, determine: a) o tempo necessário para o colar mover-se 0,075 m para cima; b) velocidade e aceleração correspondentes do colar.
k t + C 4 m
y = C 3 cos
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COM DESLOCAMENTO E VELOCIDADE INICIAIS Situação inicial: A massa m será impulsionada com uma velocidade inicial y& 0 a partir de uma posição afastada do equilíbrio de um vetor y 0. 0 yn/Wn
π
π/2
3π/2
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k t + C 4 m
y = C 3 cos
2π
Y y0
θ
w2Y
A equação demonstra que a elongação y, é o resultado da soma das projeções de dois fasores de módulos y& 0 / w e y0 defasados de θ0= 2π, ou ainda graficamente pode ser obtida, pela projeção do fasor resultante y. sen wt y0 wt
yn Wn
y = Y cos(W nt − θ 0)
Y =
Y
( y& 0 / W n)2 + y 0 2
e
tg θ 0 =
y& 0 W n y 0
wt wt
yo cos wt
y0
Situação inicial: t = 0 y = y 0 y& = y& 0 k k t + C 2 cos t m m
y = C 1 sen
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Obs.: a máxima elongação ocorre quando (W n - θ0) = 0 t n =
θ 0 W n
Observa-se ainda, que as equações deste caso, servem também para os dois primeiros, bastando para isso considerar igual a zero a velocidade inicial no primeiro caso, e no segundo caso, o deslocamento inicial.
EXERCÍCIOS Exercício 1: Um bloco de 50 kg de massa move-se entre guias verticais. O bloco é puxado de 40 mm para baixo de sua posição de equilíbrio e liberado. Para cada combinação de molas determinar o período de vibração, a velocidade máxima e a aceleração máxima do bloco.
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Exercício 4: O período de vibração do sistema ilustrado é de 0,8 s. Se o bloco A é removido, o período é de 0,7 s. Determine: a) o peso do bloco C; b) o período de vibração quando ambos os blocos A e B tiverem sido removidos. ‘
Exercício 2: Um bloco de 35 kg de massa está suspenso pelo arranjo de molas. Se o bloco é deslocado verticalmente para baixo de sua posição de equilíbrio e liberado, determine: a) o período e a freqüência do movimento resultante; b) a máxima velocidade e aceleração do bloco se a amplitude do movimento é de 20 mm.
Exercício 5: O bloco mostrado na figura foi deslocado verticalmente para cima sua posição de equilíbrio e liberado. Determine: a) o período e a freqüência do movimento resultante; b) a velocidade e a aceleração máximas para um movimento com amplitude de 25 mm.
Exercício 3: Um bloco de 35 kg de massa está suspenso pelo arranjo de molas. Se o bloco é deslocado verticalmente para baixo de sua posição de equilíbrio e liberado, determine: a) o período e a freqüência do movimento resultante; b) a máxima velocidade e aceleração do bloco se a amplitude do movimento é de 20 mm. Exercício 6: O bloco mostrado na figura foi deslocado verticalmente para cima sua posição de equilíbrio e liberado. Determine: a) o período e a freqüência do movimento resultante; b) a velocidade e a aceleração máximas para um movimento com amplitude de 25 mm.
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∑ Fy = m &y&
que deve resultar numa equação da forma y&& + wn 2 y = 0
∑ M = I ϕ &&
&& + wn 2 ϕ = 0 que deve resultar numa equação da forma ϕ
y
Para determinar o período de pequenas vibrações de uma placa plana que oscila em torno de um ponto, tem-se:
b
VIBRAÇÕES LIVRES DE CORPOS RÍGIDOS Método da equação diferencial Deve-se estabelecer a equação diferencial do movimento. A freqüência circular natural wn, será a raiz quadrada do coeficiente da variável dependente. Assim, se C for este coeficiente, a equação diferencial será: 2
d y 2
dt
onde: wn = C
+ C y = 0
logo,
CG
CG
f n =
wn
=
θ
b
P
2b
C
2 π 2 π
A equação diferencial pode ser obtida a partir de vários modos.
A PARTIR DA SEGUNDA LEI DE NEWTON A análise de vibrações de um corpo rígido ou de um sistema de corpos rígidos que possui um único grau de liberdade é análoga à das vibrações de um ponto material. Uma variável apropriada tal como uma distância x ou um ângulo θ, é escolhida para descrever a posição de um corpo ou de um sistema de corpos. O objetivo final é obter uma equação do tipo: && + y
k m
y =0
ou
&& + ϕ
Kt I y
ϕ = 0
sendo possível deduzir a freqüência circular natural. A partir da segunda lei de Newton é possível escrever: 38
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Exercício 1: Um cilindro de peso P e raio r está suspenso por um laço de corda. Uma extremidade da corda está presa diretamente a um suporte rígido, enquanto a outra extremidade está presa a uma mola de constante k. Determine o período e a freqüência de vibração do cilindro.
Exercício 2: A barra uniforme ilustrada pesa 40 N e está presa a uma mola de constante elástica k = 500 N/m. Se a extremidade A da barra é abaixada 0,05 m e liberada, determine: a) o período de vibração; b) a máxima velocidade da extremidade A.
Exercício 3: Uma correia é colocada na borda de um disco de 15 kg de massa, e em seguida presa a um cilindro de 5 kg e a uma mola de constante k = 600 N/m. SE o cilindro é deslocado 50 mm para baixo de sua posição de equilíbrio e liberado, determine: a) período de vibração; b) a máxima velocidade do cilindro. Suponha que o atrito é suficiente para impedir a correia de deslizar sobre a borda da polia.
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Exercício 4: Uma placa quadrada uniforme de massa m é mantida num plano horizontal por um pino B e está presa em A a uma mola de constante k. Se ao canto A é dado um pequeno deslocamento e liberado, determine o período do movimento resultante.
Exercício 5: Um orifício de 75 mm de raio é aberto num disco uniforme de 200 mm de raio, que está preso a um pino sem atrito em seu centro geométrico O. Determine o período de pequenas oscilações do disco.
Exercício 6: Uma biela é suportada por m gume no ponto A; o pe´riodo das pequenas oscilações, observado, é de 0,945 s. A biela é então invertida e suportada pelo gume no ponto B, e o período das pequenas oscilações observado é de 0,850 s. Sabendo que ra + rb = 0,2875 m, determine a localização do centro de massa.
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Exercício 7: Um volante de 3 kN tem um diâmetro de 1,2 m e um raio de giração de 0,5 m. Uma correia é colocada ao redor da borda e presa a duas molas, cada uma com constante k = 15 kN/m. A tensão inicial na correia é suficiente para impedir o escorregamento. Se a extremidade C da correia é puxada 0,025 m para baixo e liberada, determine: a) o período de vibração; b) a máxima velocidade angular do volante.
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T n =
2 π W n
= 2 π
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I y Kt
f n =
1 Kt 2 π 2 π I y
W n
=
Exercício 1: Um disco circular, pesando 100 N e de raio 0,20 m, está suspenso por um arame. O disco é girado e em seguida liberado; o período de vibração de torção observado é de 1,13 s. Uma engrenagem é então suspensa do mesmo arame e o período de vibração observado é de 1,93 s. Supondo que o momento do binário exercido pelo arame é proporcional ao ângulo de torção, determine: a) a constante de torção do arame; b) o momento de inércia baricêntrico da engrenagem; c) a velocidade angular máxima alcançada pela engrenagem quando é girada de 90 ° e liberada.
Vibrações torcionais Estando um disco rigidamente preso a um eixo, se este disco for girado de um ângulo ϕ através de um momento torçor Mt e Kt a constante elástica.
Exercício 2: Um disco uniforme de 200 mm de raio e 4 kg de massa está preso a um eixo vertical que é rigidamente preso em B. Sabe-se que o disco gira de 3° quando um momento estático de 4 Nm é aplicado. Se o disco é girado de 6° e em seguida liberado, determine: a) o período de vibração resultante; b) a velocidade máxima de um ponto na borda do disco.
ϕ
Mt = − Kt ϕ
∑ Mt = I ϕ &&
&& − Kt ϕ = I y ϕ
que se transforma em:
&& + ϕ
Kt I y
y
2 d ϕ
ϕ = 0
onde
2
dt
wn =
+
Kt I y
sendo Iy o momento de inércia.
ϕ = 0
&& + Kt ϕ = 0 I y ϕ
ou ainda
Kt
&& + wn 2 ϕ = 0 ϕ
Como é necessário determinar o momento de inércia do corpo sujeito a rotação, tem-se a seguinte tabela para fornecer as informações.
I y
Kt = Momento por um ângulo de torção θ 42
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A PARTIR DO PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DE ENERGIA Neste Caso, a equação diferencial obtida é levando-se em consideração que a energia mecânica do sistema (Em) permanece constante. Ou seja, somando-se a energia potencial elástica (Epe), energia cinética de translação (Ect) e a energia cinética de rotação (Ecr), o resultado é uma constante no tempo. Devido a esta constância, a derivada da Em em relação ao tempo resultará nula. Assim: Em = Epe + Ect + Ecr
e
dEm dt
=0=
d dt
( Epe + Ect + Ecr )
Após a substituição de cada um dos tipos de energia pelas respectivas equações e algumas operações, obtém-se a equação diferencial do movimento na forma: 2
d y 2
dt
+ C y = 0
assim, o procedimento é semelhante ao caso anterior. wn = C
f n =
wn
2π
=
C
2π
Assim, para resolver o problema, devem-se considerar duas posições particulares do sistema. Figura – Momento de inércia de massa.
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1 – O deslocamento do sistema é máximo: Ec 1 = 0 e Ep1 é expressa em função da amplitude; 2 – O sistema passa por uma posição de equilíbrio: Ep 2 = 0 e Ec2 é expressa em função da velocidade. Engenharia Mecânica - UPF - Prof. Nilson L. Maziero
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Em seguida o sistema é expresso como: Ep1 + Ec1 = Ep 2 + Ec 2
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EXERCÍCIOS Exercício 1: Determinar o período de pequenas oscilações de um cilindro de raio r que rola sem escorregar no interior de uma superfície curva de raio R.
θ
b
CG θ
P
CG b
2b
Exercício 2: O movimento da barra uniforma AB é guiado pela corda BC e pelo pequeno rolete A. Determine a freqüência de oscilação quando a extremidade B da barra recebe um pequeno deslocamento horizontal e, em seguida, é liberada.
Exercício 3: A barra AB de 8 kg de massa está aparafusada no disco de 12 kg. Sabendo que o disco rola sem escorregar, determine o período de pequenas oscilações do sistema.
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