2
2
2
Determine f (x,y).¿cual es el dominio dominio U de esta 1.- la función f :U→R :U→R →R, es tal que f(x-y,y/x)=y -x . Determine función.
Solución: Podemos expresar f expresar f en : x′ = x –y ^ y′=x/y→ x=x′+y ^ xy^ = y x = x′+ y ^ x y′= y→ x=x′+xy′ → (1-y′) x= x′ → x= x′/(1-y′) →y= x′y′ / (1-y′)
[ ][[ ]]
2
2
2
+ x y xy x x − +¿ f ( ( x , y ) = 2 − 2 → f ( ( x , y )= 1− y ! 1− y ! ( 1− y ) 2 ! ! ( 1− y ) 2 ! ! 2
][
2
x ( y −1)( y + 1 ) x ( y + 1 ) f ( ( x , y ) + → f ( ( x x , y )= ,luego ,luego el domin dominio io sera sera + ¿ ( 1 − y ) ! ( 1 − y ) ! ( y −1) ! ! ominio de
2.-
f ( ( x x , y ) =( x x , y ) / y ≠ 1 ¿
f ( ( x x , y ) =√ x . √ y
Solución:
f es"ar# de$inida si:
!l dominio de
% & ' ^ y & ' donde es"o en el plano xy ser# represen"ado por:
f
!l dom
ser# el el primer cuadran"e cuadran"e cuya cuya ecuación ecuación es % & ' ^ y & '
ue*o se "endr#: ominio de
,-
f ( ( x x , y ) =[ ( x x , y ) / X ≥ 0 ≥ 0 ] y
f ( ( x x , y ) =arctan
[
1 + x 2 1 + y 2 !
]
+¿
Solución:
f es"a de$inida si:
!l dominio de
f ( ( x x , y ) =arctan
Se sae .ue 1+y Por lo "an"o
2
1 + x 2
2
1+ y ! !
= x → tan ( x x ) =
1 + x 2
2
1 + y ! !
,donde : + ¿
' ya .ue y 2 siempre "oma 0alores posi"i0os y no ne*a"i0os dica condición,
f ( ( x x , y ) =g ( x x , y ) no soniguale sonigualess .
4.-
f ( ( x x , y ) =
1 ln ( 1 + 2 x 2 ! ! + 4 y 2 ! ) ! √ ! √ ln
Solución
f es"a di$inida si:
!l dominio de
ln (1 + 2 x
2
+ 4 y 2 ) ¿ > 0 → 1 + 2 x 2+ 4 y 2 > ⱸ 0
^
1 + 2 x
2
+4 y 2
¿0
2 2 1 + 2 x
2
¿
+ 4 y 2 ¿ > 1 4 y 2 ¿ >−1 → 2 x + 4 y > 0¿ 4 y ¿ >−1
2
2
2
2
2
→ 2 x + 4 y > 0 El dom de
f ( ( x x , y ) ={ x , y / x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 }
dom de
5.-
f ( ( x x , y ) sera :
f ( ( x , y ) =
√
√
x x . g ( x , y )= y y Solución:
Para que
f ( ( x x , y ) =¿
g ( x x , y ) coincidan, coincidan, primer primero o hallare hallaremos mosel el dom de cadafuncion paraf ( x , y ) =¿ estará defnida si:
x ❑ ≥ 0 y ≠ 0 → [ x x ≥ 0 ∧ Y > 0 ] V [ [ x x ≤ 0 ∧ y < 0 ] y
domf ( ( x x , y )={( x , y )/ [ x x ≥ 0 ∧ Y > 0 ] V [ [ x x ≤ 0 ∧ y < 0 ] } para g ( x x , y ) esta esta defini definida da si: x ≥ 0 ∧ Y > 0 →domg ( x x , y ) ={( x , y )/ x ≥ 0 ∧ Y > 0 } Como el d
om g ( x x , y ) esta esta inclu incluidoen idoen el domf domf ( ( x x , y ) , no se se puedeafirmar puedeafirmarue ue f ( x , y ) conincidan ( x , y )= g ( x ∴ ue
( x , y )= g ( x , y ) no soniguales.
6.- f ( x , y ) =|sgn ( x + y )|, g ( x , y )=sign ∨ x + y ∨¿ Solución Se sabe que:
Sgn
−1, x < 0 0, x =0 →sgn ( x + y ) =¿ 1, x > 0 ¿ ¿ −1, x + y < 0 estoimplicaue icaue : 0, x + y =0 , estoimpl 1, x + y > ¿ ( x ) =¿
x + y )|tomael tomael alo alorr de x + y < 0 ˅ x + y > 0 toma siempre siempre : |sgn ( x x + y )|=1, para x + y < 0 ˅ x + y > 0 y |sgn x ( x + y )|=0, para x + y = 0 |sgn ( x
{
0, x + y =0 ( x , y )= x 1, x + y < 0 ˅ x + y > 0
hacien haciendolo dolo mismo mismo para g ( x , y ) , se tien tienee :
Sgn
−1,|( x + y )|<0 0,| x + y|=0 →sgn| x + y|=¿ 1,| x + y|> 0 ¿ |( x + y )|= ¿
{
→ g ( x , y ) = 0,| x + y|=0 1,| x + y|> 0 Como el dominio g(x,! es igual al dom (x,!, se "uede afrmar afrmar que (x,!#g(x,!, si coinsidan$
( (
∴ uef x ,
7.-
y ) #g(x,! si son iguales$
f ( ( x , y , " ) =sen(x+y+z) ,
g(x,y,z) g(x,y,z) =2cos(x+y+z).
Solución Calculando(%g!(x,,&!#(x,,&!%g(x,,&!
(%g!(x,,&!#sen(x%%&! %'cos(x%%&!$ tal que dom(%g!(x,,&!
#
3
2
Calculando ($g!(x,,&!#(x,,&!$g(x,,&! ($g!(x,,&!#(x,,&!$g(x,,&! (%g!(x,,&!#sen(x%%&!$'cos(x%%&! # sen('x%'%'&!$ tal que dom($g!(x,,&!
#
3
2
calculando
()
()
sen ( x + y + " ) 1 f f = tang ( x ( x ( x , y , " ) ∈ x , y , " )= x + y + " ) ,tal ueel dom dom g g 2cos ( x + y + " ) 2
+¿ ¿ 2 $ + 1 {( x , y , " ) / x + y + " ≠ % , $ ∈ " 2
8.- descriva la curva de nivel de una función lineal f(x,y)=ax+y+c. Solución$ Sea (x,!# ), es una cur*a de ni*el "ara cada )
∈ " .
+uego )#ax%b%c ax%b%c-)#., ax%b%c-)#., es una amilia de rectas rectas con con "endiente m#-
& a /#. . # ax%b%c /#0 0 # ax%b%c /#' ' # ax%b%c /#1 1 # ax%b%c Son rectas "aralelas con "endiente m#-
& en el pla plano no xy a
