PROBABILIDAD APLICACIONES A LA INGENIERIA .
1. Verificar que para los eventos A y B cualesquiera: a) P (A – B) = P(A) – P(AB) b) P(ABC U AC B) =P(A) P(B) – !P(AB) A
B
Solución:
a) P(A–B)=P(A)–P(AB) #i:
B
A"BA
A =(A – B) U (A B) P(A – B) P(AB) – P $(A"B) (AB)% & Por: P(A U B) =P(A) P(B) – P(A B): 'espeano: P(A – B) = P(A) – P(A B)
b) P(ABC U AC B) =P(A) P(B) – !P(AB) A
B
Verificano: ABC AB ACB P (A U B – A B) = P $(A U B) – (A B)% = P (A U B) – P $(A U B) (A B)% = P (A U B) – P(A B) = P(A) P(B) – P(A B) – P(A B) P $(A U B) – (A B)% = P(A) P(B) – !P (A B) * #i la probabilia e que ocurra un evento A es + y que ocurra un evento B es ,- eterine los posibles valores e P = P (A B) Solución:
P(A) = + P(B) ,= P = P (AB
Haciendopara3casos:
A !) )
1) A B = P =& B = P(A) = + A*) B = / 0 P 0 1
1. Caso: A B = : 1
P=&
!. Caso: A B:
= P (A B) P =P(A) P=+
*. Caso: A B: P(A U B) = P(A) P(B) – P (A B) 1 = 1 * " P ( A B) ! 1 " 2 = "P (A B) P (A B) = 1 ==3
1 0 P (A B) 0 1
2 Un lote e proucci4n e construcci4n contiene n obetos. 5a probabilia e que al enos uno sea efectuoso es &.&6- ientras que la probabilia e que al enos os sean efectuosos es &.&. Calcular la probabilia e que: a. 7oos los obetos sea no efectuosos. b. 89actaente un obeto sea efectuoso. Solución:
#i:
#ea
9=eefectuoso
n 9 = &- 1- !- *- ... n– P(9 3 1) = &.&6 P(9 3 !) = &.& a. P (9 = &) = 1 – P (9 3 1) = 1 – &.&6
!
P (9 =&)
= &.; 931 93!
b. P (9 = 1) = P(9 3 1) – P(9 3 !) =&.&6–&.& P(9=1) =&.&!
& 1 ! * ..... 1efectuoso
< Coo resultao e la ea na e pasaes- las lneas a>reas nacionales se ?an visto obli@aas a auentar el nero e vuelos. Una copaa eterinaa tiene por el oento 2 vuelos: 5ia – quitos- os e ellos en la aana y los otros en la tare. a. DCuEl es la probabilia e que no ?aya nin@n vuelo en la aanaF b. #i se cancelan al aGar os e estos vuelos- DcuEl es la probabilia e que si@an ?abieno un vuelo en la aana y os en la tareF Solución:
n = 2 vuelos A- B ! vuelos en la aana H- I- J vuelos en la tare #ea el evento = ?ay vuelo en la aana. a) P(A) A =no=1?ay – Pnin@n () vuelo en la aana. =1–! 2 P(A) = * 2 b) 5a probabilia e: 1 vuelo e la aana (! vuelos) ! vuelos e la tare (* vuelos) !
*
C . C 1
=
!
1K
!K 9 *K ! 9 6 !K 1K = 1 ! = 6 = *
2
C
2K *
1!& 1!
*K!K
!
1&
2
*
CC.
*
1
!
=
2
C
2 *
; Un n@eniero pro@raaor e coputaoras ebe esco@er tres trabaos e entre cinco que esperan atenci4n el pro@raaor. Aunque el pro@raaor no lo sabe-
*
los trabaos varan en cuanto al tiepo e pro@raaci4n que requieren. 'efina un espacio uestral para este e9periento enuerano sus eleentos. 'ar una asi@naci4n e probabiliaes aecuaa y calcular la probabilia e que el pro@raaor escoa los os trabaos que requieran el enor tiepo. Solución:
'os trabaos e enor tiepo *
1!*
1!
2
1!2
1*
2
1*2
2
12
!*
2
!*2
2
!2
2
*2
!
1
* n(2!) = 1& *
!
* #ea:
A = 'os trabaos e enor tiepo: A = L1!*- 1!- 1!2M n(A) = *
P(A) = n(A) = * n(2!) 1&
1&." en una fEbrica e prouctos un lote contiene N artculos buenos y efectuosos- si se e9traen al aGar * artculos a la veG- calcular la probabilia e obtener por lo enos un efectuoso.
Solución:
n =1! NB ' #ea el evento:
A = Por lo enos un efectuoso. B = * artculos e los 1! que e9isten. AO = Un efectuoso.
P(A) = 1 – P(AO) P(B)
N
P(A) = 1 – C
C
&
* 1!
C *
P(A) = 1 – 26 !!& PNA) = &.<2 1* un in@eniero civil tiene 1! uniaes e cierto artculo e losetas e los cuales tienen al@n tipo e efecto. Un cliente pie para coprar * e tales artculos pero que no ten@an efectos. #i el coerciante esco@e al aGar y e una sola veG e tales artculos- DCuEl es la probabilia e que con las uniaes esco@ias satisfa@a el peio el clienteF Solución:
1! ' NB #ea el evento:
2
A = 8l coerciante esco@e artculos. N
P(A) = C
C *
N
C
1
C &
1!
C
N
P(A) = C
C *
N
C
1
= 1*& = &.!6* ;2
1!
C
P(A) = &.!6* 12 un urao e < in@enieros civiles van a eciir la inocencia o culpabilia e un in@eniero en una obra #upon@a que votan por inoc encia y los otros tres por culpabilia. #i se seleccionan al aGar * ueces- y se pre@unta por su voto. DCuEl es la probabilia e que la ayora e los uraos e la uestra est>n a favor e la inocencia el in@eniero F Solución:
<
see9traen*ueces
*C #ea el evento:
A = la ayora e los ueces estEn a favor e la inocencia el reo.
P(A) = C
*
C !
C
1
*
*
C &
<
C *
K 9 P(A) = !K !K
*K K 1K !K *K 1K
P(A) = 1N *2 P(A) = &.6!;
6
1< Una caa contiene 16 pernos e los cuales N no tienen efectos. 2 tienen efectos leves- y * tienen efectos @raves. #i se eli@en * pernos al aGar y e una sola veG. Calcular la probabilia e que los tres no ten@an efectos leves. 16
ay
C = 26& aneras e esco@er * pernos entre 16. * 2
C = 1& aneras e obtener pernos con efectos leves *
P(A) = casos posibles e obtener * pernos con efectos leves casos posibles e esco@er * pernos P(A) = 1& 26& 5a probabilia e que los tres no ten@an efectos leves es el copleento el evento. P(9) = 1 – P(A) P(9) = 1 " 1& 26& P(9) = &.;N
!1 Cien in@enieros civiles e obra fueron encuestaas a cerca e sus preferencias sobre tres prouctos A- B y C. #e encontr4 que 2& prefieren el A- *< el B y *& el C aeEs 1! prefieren A y B- N s4lo A y C- 2 s4lo B y C- y 12 s4lo C. 'e 2 personas encuestas ele@ias al aGar- calcular la probabilia e que ! e ellas prefieran solo A y B y una prefiere los tres prouctos. U = 1&& 2&= A
=N< B a *& 1 & N !=b
!& 2
12 c = *& a b =1!
<
N b 2 12 = *& b = ! a =1& n (B C) = < n (s4lo A y B) = n (A B – C ) = 1& n (A B C) = ! #ea el evento 9 = ! prefieren A- B- CQ ! prefieren solo A y B y uno prefiere A- B y C.
<
P(9) =
1&
C
1&
C !
C !
1 1&&
C 2
P(9) = !1 9 2 9 1& = .1N 9 1&"2 !!2N6!26& !* Un ao noral se tira cinco veces- calcular la probabilia e obtener: a) toos los resultaos iferentes- b) al enos os resultaos i@uales. Solución:
a.
#ea: A = 7oos los resultaos son iferentes: R n =6
S=2 n
= S
nK (n"S)K
6
2= (6 –6K2)K = 6K K =
R
= nS S
62 = <<<6
P(A) = e casos a favor e casos posibles
N
P(A) =
P(A) = &.&;!2
Tbtener al enos os resultaos i@uales es el copleento el anterior (PA) P(9) = 1 – P(A) P(9) = 1 – &.&;!2 P(9)= &.;&<
!2 #e selecciona al aGar un nero- &- 1- !- ... ;;;. Calcula r la probabilia e que el nero no sea ivisible ni por * ni por <. Solución:
eros ltiplos e *: *- 6- ;- 1!- ... ;;;
1
= ***
<- 1- !1- ... ;;; eros ltiplos e * y <: !1- !- 6*- ... ;;;
!
= 1!
eros ltiplos e <: * =2
1 ! – * = n(A) *** 1! – 2 = n(A) *& = n (A) P(A) = *& = &.* ;;; Para calcular que no sea ivisible ni por * ni por < es i@ual al copleento e P(A). P() = 1 – P(A) P() = 1 – &.* P() = &.2< !< Una caa contiene * barras e acero nueraas e 1 a *. 5as barras se saca al aGar a una sin repos ici4n. #i se consiera un e9isto cuano la bola S sale en e9tracci4n S- S = 1- !- *. a. b.
'escriba el espacio uestral. Calcular la probabilia e obtener al enos un >9ito.
Solución:
;
8
8
888
8
8
8
88
8
8
*1 Un lote contiene & artculos e accesorios e servicios el>ctricos e los cuales son efectuosos y *6 no efectuosos. #e ivie el lote en sub"lotes e 1& artculos caa uno- calcular la probabilia que caa sub lote ?aya un artculo efectuoso. Solución:
' = & B = *6 #ea el evento A = en caa lote ?ay un artculo efectuoso.
Wue los artculos en caa lote se puee realiGar e K foras y los restantes e *6K ora- tabi>n en caa sub"lote los ; que no son efectuosos se pueen colocar e ;K oras coo ?ay sub"lotes serE: ;K H ;K H ;K H ;K = ;K
n(A) = K *6K ;K
& artculos pueen colocarse e & foras y esto ivien en sub"lotes e 1& esto ocurre para caa lote 1&K 9 1&K 9 1&K 9 1&K = 1&K
P(A) =
K *6K ;K = 1 &K 1&K
*< 5a eana e caa uno e os artculos A y B vara aleatoriaente e inistintaente en un ran@o e !&&& a 1&&&& tn. #e acuera baar el precio e venta e abos artculos- si la sua e sus eanas supera las 2&&& tn..- pero no es ayor a <&&& tn. DCuEl sera la probabilia e que el precio e venta e abos artculos baeF 1&
Solución:
9 = 'eana el artculo A I = 'eana el artculo B Ω
= L(9- y) X !&&& 0 9 0 1& &&&- !&&& 0 y 0 1& &&&M
Ω
= L(9- y) X ! 0 9 0 1&- ! 0 y 0 1&M
#ea el evento: A = 5a sua e sus eanas superen los 2&&& tonelaas pero que no sea ayo r a <&&& tonelaas. A = L(9- y) Ω X 2 0 9 y 0
n (A) =
n Ω = 1& – ! = N 1& – ! = N
9 9
n (Ω) = N 9 N = 6
P(A) = = 1 6 16
1.
Si: P(A) = 5/8, P (B) = ¾ y P (A/B) = 2/3, Calcular P(A/B c) Solucion: C C P(A/Bc) = 1 - P(Ac/Bc) = 1 P A C B 1 1 P AC B
P B
P B
1 P A P B P A B ….. (1) P BC
= 1
Lu!o: "allan#o
P A B
11
P(A/B) =
P A B P(A/B) P (B) = P A B P B
P A B
=
! *
*
1 !
1 P A B
=
!
$%&la'an#o n la cuacin (1) 1 P A P B P A B P BC
1
P (A/Bc) = 2.
1 !
Si P (B) = 3/, P (B/A) = 1/5 y
P A B
= 1/15, Calcular P A B C
Sol:
P A BC
= P (A B) = P (A) - P A B
Calcula%o* P (A) P (A) =
P A B P B X A
=
….. (1) 1 X 12 1X 2
1/3 P (A) = 1/3
Lu!o $%&la'an#o n (1):
P A BC
= &(A) = P A B 1
=
*
P A BC
3.
1 12
12
+n una %u*ra # 12 caa%aruino*, * n conr u l 0 *ur al!una nr%#a#, l 3 in al %no* 3 ao* y l 2 *on %nor* # 3 ao* y *ano*. Si uno # al*
caa%aruino* *
*co!i#o al a'ar, 4Cul * la &ro6a6ili#a#7
1!
a) u *ura al!una nr%#a# y n!a al %no* 30 ao*7 6) u *ura al!una nr%#a# *i in al %no* 3 ao*7 Sol:
9(
)=12
0 *urn al!una nr%#a#
2
3 3 ao*
30
2 ; 3 ao* y *ano*
2<
Con*rui%o* una a6la # #o6l nra#a:
0*&*&TOTAL6&1!
:
OTALN*61!&
a) P ( 6) <.
#ufrenal@una
enferea 1
:
A B
: 0*&aos : *&aos
o sufren enferea
F B 1! X 1!& 1 X 1& )
P F X B
P F B P( B)
1! X 1!& *6 X 1!&
1! *6
1 *
2 clin* # cr#io # una in#a co%rcial $uo,(an-21<), 1 inn cr#io* %nor* u S/. 2, 15 inn cr#io* # la %no* S/. 5, y 11 inn cr#io* %nor* # < ao*. A#%* 3 clin* inn cr#io* # al %no* < ao* y # 2 a %no* # S/. 5 y 1 clin* inn cr#io* # al %no* 5 y %no* # < ao*. a) Si * li! un clin al a'ar, 4Cul * la &ro6a6ili#a# # u n!a cr#io %no* # < ao* *i in *al#o # cr#io # %no* # 27
1*
6) Si * li!n #o* clin* al a'ar y r*ulan # al %no* # < ao* # cr#io 4Cul * la &ro6a6ili#a# # u uno n!a *al#o # cr#io # S/. 5 o %*7 Sol: 1
Clin*
15 Clin* 11 3
Cr#io ; S/. 5
Clin*
Con*rui%o*
Cr#io > < ao* y ; 2, 5>
Cr#io ; S/. 5 y ; < ao*
una a6la # #o6l nra#a: 0 #X.!&&
aos 0 aos 3
Cr#io ; < ao*
Clin* 1 Clin*
Cr#io ; S/. 2
2 22
TOTAL
a) P (;< ao*/; S/. 2) =
!&& 2&& 22 *&
1&&
> 500
1& 2 N2
TO TAL
11& ;& !&&
12
P años S X .!&& P !&&
=
2 X !&& 1&& X !&&
=
2 1&&
=
; !&
6) P (uno n!a >S/. 5/>< ao*) =
P uno tenga S X .2&& años
P años
=
=
C12 C1N2 X C !!&& C !;& X C !!&& C12 C1N2 C !2&
= .12
1
La &ro6a6ili#a# # u uno n!a *al#o # cr#io # S/. 5 a %* * .12
5.
+n una ncu*a # o&inin n Ca a%arca (21<) * nconr u l 25 # lo* lcor* ?oar@an &or l can#i#ao +. lo* u no ?oar@an &or + l 2 *on %ur* y l r*o *on o%6r*. A#%* la &ro6a6ili#a# # u un lcor l!i#o al a'ar *a o%6r * .. *i * li! un lcor l!i#o al a'ar y r*ula *r %ur 4Cul * la &ro6a6ili#a# # u no ?o &or +7 Sol: 25 oan &or l can#i#ao + 2 9o ?oan &or l can#i#ao + Son %ur*
= obre Y = Yuer
a)
81 = Votar por 8 8 = o votar por 8
P() = 1- P (") = 1- (.) P() = .3 6) P (+ 1/) = =
P E 1 P( M X E 1 ) P( M )
&.<2 &.!& &.*
P (+1/) = .5
0.
La &ro6a6ili#a# # u no ?o &or + * .5
Dn co%rcian # E an rci6 &ara *u ?na 8 o 6o*, 2/5 #l &ro?#or A y l r*o #l &ro?#or B. +l 12.5 # o6o* # ca#a
12
&ro?#or *on #cuo*o*. Si * ac una in*&ccin # cuaro o6o* *co!i#o* al a'ar a la ?' y *i r*ulan: a) Sr # B, 4cul * la &ro6a6ili#a# # u al %n o* uno * a #cuo*o7 6) Fr* #cuo*o*, 4cul * la &ro6a6ili#a# # u #o* # lo* #cuo*o* &ro?n!an # A7 Sol: " Foal # o6o* = 8 ! 2 * 2
': 'efectuosos
#l Pro?#or A
'1: o efectuoso
#l Pro?#or B
" 12.5 *on #cuo*o* # A y B A = 9 N& = *! A = *! B = 9 N& = N B = N A(') = *! 9 1!.2 Z = A('1) = *! 9 N<.2 Z = !N B(') = N 9 1!.2 Z = 6 B('1) = N 9 N<.2 Z = !
a. P (B) = 1- P(B c) =1-
C ! N
C
La &ro6a6ili#a# # u al %no* uno *a #cuo*o * 1-
C ! C N
16
6. P(#o* # lo* #cuo*o* &ro?n!an # A) = C ! C16 C1<& 1& *
<& 1
C C
La
C ! C16 C *1&
&ro6a6ili#a# # u #o* # lo* #cuo*o*
&ro?n!an * 1.
C ! C16 C*1&
+n ora* # r a6ao (cr?cr@a Fruillo ) una cr?cr@a u ili'a #o* %uina* %6olla#ora* 1 y 2, &ro no o&ran *i%ulna%n. La &ro6a6ili#a# # u la &ri%ra %uina * #*co%&on!a * .2. *i la &ri%ra %uina * #*co%&on * ncin# la *!un#a, la cual in &ro6a6ili#a# # #*co%&onr* # .3 4Gu &ro6a6ili#a# ay u l *i*%a %6olla#or no * uncionan#o n la* ora* # ra6ao7 Sol: 1 * #*co%&on!a * P ( 1) = .2 2 * #*co%&on!a * P (2) = .3 Y1 = Y! =
1 ! 1 !
= &.2 = &.2
P (Y1
Y!) = P(Y1) P(Y! X Y1)
P (Y1
Y!) = &.6
= (&.!) (&.*)
La &ro6a6ili#a# # u l *i*%a %6olla#or no * uncionan#o n la* ora* # ra6ao * .0
8.
+n un lo # 5 ar@culo*, ay 1 # i&o A y < # i&o B, * Hran #l lo 5 ar@culo* al a'ar uno &or uno *i r&o*icin, 4Cul * la &ro6a6ili#a# # u al %no* uno # *o* *a # i&o A7 Sol:
1<
5 Ar@culo* 1 #l Fi&o A
#e e9trae
< #l Fi&o B
2 artculos
Sa: 9 : #l Fi&o A 91: 9in!uno #l Fi&o A n ( ) = C !2& Lu!o: P (91) =
C 2&
= .31
C22&
P(91) = 1 P(9) P(9) = 1-P(91) P(9) = 1 .31 P(9) = .0I
I.
La &ro6a6ili#a# # u al %no* *a #l Fi&o una &ro6a6ili#a# # .0I Slo una # la* 1 lla?* u ll?a una &r*ona a6r la crra#ura # *u &ura. +l &ru6a la* lla?* una &or una *co!in#o al a'ar ca#a ?' una # la* lla?* no &ro6a#a*. Calcular la &ro6a6ili#a# # u la lla? u a6r la crra#ura *a *co!i#a n l uino inno. Sol: A 1 Lla?*
A = Abre A1 = o abre
A1 1A
9A 1 A # ; # N # < # 6 # 1 ! ! ! ! ) " 1& " ; " N " < " 6
P(A) = !
1N
1 P(A) 1&
1.
+n una urna ay r* 6aloa* nu%ra#a* # 1 a 3 . la* 6aloa* * *acan al a'ar una a una y *in r%&la'o. Si la 6aloa nu%ra#a con r * *aca n la r-*i%a Hraccin * con*i#ra un Hio. "allar a &ro6a6ili#a# # o6nr un Hio. Sol: #acaUnaaUna
8=89to 81 = racas
123=+++ 13 2 = 21 3 = 2 3 1 = 3 1 2 = 32
P (+) = 3/0 11.
+ +
1 = +
P (+)= J
S &ru6a un lo # <8 o co* uno &o r uno (* in r&o*icin). Si l lo conin #o* #cuo*o*, 4cul * la &ro6a6ili#a# # u l Kli%o #cuo*o * #c n la rcra &ru6a7 Sol:
': 'efectuoso
#: #ano
1;
<8 MCMS
P(B1 H 2 H 3) N P(B2 H 2 H 3) ! 1 # ! 6 1 # 6 X X X ! X " N < 6 " N < 6
=!
= .18 12.
La urna 1 conin #o* 6ola* roa* y #o* 6ola* a'ul*, %inra* u la ranura 2 conin una 6ola roa y r* a'ul*. Dna 6ola * *lcciona#a alaoria%n # la urna 1 y coloca#a n la urna 2. Lu!o una 6ola * *lcciona#a al a'ar # la urna 2 y coloca#a n la urna 1. Si aora una 6ola * *lcciona#a al a'ar # la urna 1, 4cul * la &ro6a6ili#a# # u *a *a roa7 Sol: 2$
1$
2O
3O !&
![
*[ *A
![
1[ !A
*A
1[
![ A
# 1 # * " " 2
# * # ! " " 2
P($)= ! ! ! ! =
13.
!A
*A
* 6 !& !&
P($) = I/2
Dna urna conin 5 ica* roa* y al!una* ica* 6lanca*. S Hra al a'ar una ica # la urna y * r%&la'a &or una #l oro i&o. Lu!o * *aca # la urna una *!un#a [: ic?asica. [oas r%inar l nK%ro # ica* B: ic?as Blancas 2[ 6lanca* n la urna *i * *a6 u la &ro6a6ili#a# # u la *!un#a ica 9B *a roa * .5.
[ H1
2[ 9B
Sol:
6[ H"1 !1
!&
=
6 X !&
6
X 2 X 2 X 2 !
!
!
1
!
12Q N < - (Q N 5) 2 = Q2 - 2Q - 15 =
1<.
Q1 = 5
Para #ci#ir *i * ac&a o no u n lo # 12 o6o* n #on# Hi*n 3 #cuo*o*, * o%an #o* o6o* al a'ar y a la ?'. Si lo* #o* *on #cuo*o*, * rca'a l loR *i lo* #o* *on 6uno* * ac&a l loR y *i *olo uno * 6uno * o%a oro* #o* o6o* al a'ar y a la ?' # !!
lo* 1 u u#an. +*a ?', *i al!uno * 6uno * ac&a l lo, # oro %o#o * rca'a. Calcular la &ro6a6ili#a# # ac&ar l lo. Sol: I 9o cuo*o*
n ( ) = C !1!
n ( ) = C !1&
3 cuo*o* - S *co!n: C!; C&* C
1! !
C1; C1* C
1! !
C&; C1* C!1!
*6 66
!< 66
* 66
!< C! C&
N ! C1NC1! C&NC!! 1& 1& 1& 66 C! C! C!
!< # !N 16 !< # 1 ! ! 66 " 2 2 66 " 2
*6 !< X 2 66 66
!*
15.
Si: P(A) = 1/3, y P (A
B) = 11/21, Calcular P(B)
a) Si lo* ?no* A y B *on Hcluyn* 6) Si lo* ?no* A y B *on in#&n#in* Sol: a) P (A B) = P (A B) = P (A) N P (B) =
11 P ( A) P ( B) !1 *
P(B) =
P(B) =
11 !1
1 *
!1
6) P( A B ) = (A) N P(B) P(A) P(B) = P(A)NP(B) 1-P(A)T 11 1 #! P ( B )! !1 * "*
$ P( B )
10.
!1 !*
6 !1
* <
Sa l *&acio %u*ral: % w1- w!- w*- w& donde.P % w1& % 1 - P %W *& 1 - P % w& 1 ,* an lo* ?no*: A=UV1,V2W B=UV1,V3W C=UV1,V
C, in#&n#in*7 Sol: % w1- w!- w*- w&
!
P(UV1W)=1/<
P(UV3W)=1/<
P(UV2W)=1/<
P(UV
A#%*: A=UV1,V2W B=UV1,V3W C=UV1,V
ABC no *on in#&n#in* 1.
Pru6 u: a) Si l ? no B * in# &n#in #l ? no A, n onc*, A * in#&n#in # B. 6) A y B *on ?no* in#&n#in*, *i *olo *i, P(A c)
B) = P(A) P(B)
Si A y B *on in#&n#in*, nonc* P(B/A)=P(B/A c)
Sol: a)
A
B
1. $ co%o
a%6o*
*on
Hcluyn*
a%6o* *on in#&n#in*
!2
b) P(A B)=P(A) P(B)
A
B
1X
1X
P(A)=1/
A
B
P(A B)=P(A) P(B) c.- $ la &ro6a6ili#a# # u ocurra l ?no B #a#o a u l ?no XAY a ocurri#o, #a#o u la &ro6a6ili#a# # B *a con#iciona#a &or
la
&ro6a6ili#a# # la no ocurrncia # A.
P(B/A)=P(B/Ac)
'
A y B
?no* in#&n#in*. 18.
Dn n!ocio * al u *u &ro6a6ili#a# # Hio * P. l n!ocio * rali'a #o* ?c* # %anra in#&n#in. 4Gu ?alor # P ac %Hi%a la &ro6a6ili#a#. a) o6nr Hio una *ola ?'7 6) o6nr al %no* una ?'7 Sol: 1ra veG
9!ocio
8
8
P
P e@ocio 1"
P
a)
!a veG
Al enos una veG
8O o6nr Hio una *ola ?'.
1"
P 8O
P(1-P)NP(1-P)
2P(1-P)
!6
b)
o6nr al %no* una ?' P(1-P)NP(1-P)NPHP
2P(1-P)NP2 1I.
Pru6 u o#o ?no # &ro6a6ili#a# cro o uno * in#&n#in # cualuir oro ?no. Sol: Ca*o 1
P(A)=
Sa A un ?no Ca*o2
P(A)=1
Ca*o 1: P(A)= (A B) A P(A)
P(A B) P(A) P(B)
Ca*o 2: P(A B)NP(Ac B) P(A) P(A B)=P(A) P(B)
' P(Ac C) ( P(Ac)
!<
2.
Su&on!a u una co%&a@a # 'a &ao* Mrco
21< uili'a un
&roc#i%ino # &ru6a u * conia6l n I8 * #cir i#niica corrca%n a un o6o co%o #cuo*o o no #cuo*o con una &ro6a6ili#a# # .I8. n un *ur'o &or r#ucir la &ro6a6ili#a# # rror a ca#a o6o * co% a #o* &ru6a* in#&n#in*. 4Cul * la &ro6a6ili#a# # u un o6o no #cuo*o no &a*
a)
a%6a* &ru6a*7 4Cul * la &ro6a6ili#a# # u * #c a un o6o #cuo*o,
b)
* #cir # u no &a* lo %no* una # la* &ru6a*7 Sol: Conia6l : I8
: cuo*o
9o conia6l: 2
Z: 9o #cuo*o
P()=.I8
' C ' ' CO '
a) (.2) (.2) = .< 6) P()=(.<8H.2N.2H.I8N.I8H.I8) P()=.III0
!N
21.
Dna urna conin 1 o6o* nu%ra#o* # uno a 1. un u!o con*i* n *acar al* o6o* y r%ina cuan#o *al l nu%ra#o uno. 4Cul * la &ro6a6ili#a# # u l u!o r%in *i * *aca al a'ar 5 o6o*7 a)
A la ?'7
b)
Dno a uno *in r&o*icin7
c)
Dno a uno con r&o*icin7
Sol: #acan 2 obetos #ea A: solo en \ 1
a)
A la ?'7 P(A)=5/1 $ P(A)=.5
b)
Dno a uno *in r&o*icin: P(A)=1/1 $ P(A)=.1
P(A)=.1 c)
Dno a uno con r&o*icin: P(A)=
=
1& 1 1& ;
2 1
2
1&
2
P ( A)
;
1&
2
!;
22.
S a #r%ina#o u l &orcna # l?i#n* n Caa%arca u ?n lo* &ro!ra%a* A, B y C *on r*&ci?a%n .<, .5 y .3 ca#a l?i#n ? lo* &ro!ra%a* in#&n#in%n uno #l oro. Si * li! al a'ar a uno # al* l?i#n* 4Gu &ro6a6ili#a# ay # u ?a. a)
o* # lo* r* &ro!ra%a*7
b)
Al %no* uno # lo* r* &ro!ra%a*7
Sol: c
c
c
A B C A B C &. &.2 &.* &.6 &.2 &.<
a)
P(Ac BC)NP(ABc C)NP(ABCc) =P(.0H.5H.3)NP(.
b)
P(Ac
BC)NP(ABc
C)NP(ABCc)NP(ABcCc)NP(AcBCc)NP(AcBcC)
NP(ABC) =(.0H.5H.3)NP(.
+n una oicina # una %&r*a %inra # ual!ayoc caa%arca ay #o* co%&ua#ora* A y B u ra6aan # %anra in#&n#in, *i n un %o%no cualuira la &ro6a6ili#a# # u la %auina B * n %al *a#o * [ y la &ro6a6ili#a# # u *olo la %auina A * n %al *a#o * 3/1 4Cul * la &ro6a6ili#a# # u *olo la %auina B * n %ala* con#icion*7 Sol:
*&
B A Y B B Y
Si *olo B *a %al 2<.
P(B)=(1/2)(1/<)=1/8
+n lo* circuio* # la* i!ura* u *i!un, la &ro6a6ili#a# # u ca#a lla? * cirr (&a* co%n) * P, ;P;1, *i o#a la* lla?* * cirran o a6rn n or%a in#&n#in, calcular la &ro6a6ili#a# # u la co%n &a* # + * S n a) y 6).
+
a)
Sol: +
#
1 !
a)
#
+ 6)
*
!
*
2
!
*
2
#
1
*
1 !
+ 6)
1
#
P(1)=P P(2)=P
P(1)NP(1)TP(2)P(5)-P(1)P(2)P(3)P(<)P(5)
P(3)=P
(2P(1))P(2)P(3)-P(1)P(2)P(3)P(<)P(5) 2P3.P2-P.P.P.P.P.
2P3 P5 Sa a: la corrin &a*a # + a S P(1)NP(1O2)-P(1y2) P(1)NP(1O2)-P(1y2)
PH1NP-P2T *1
25.
Dn H&ri%no * r ali'a ana* ?c* n o %a in#&n#in a*a o6nr l &ri%r Hio. Su&on!a u n ca#a inno la &ro6a6ili#a# # u * n!a Hio, * # .I5 *i * *i!un corrca%n la* in*ruccion*R y * # .2 *i no * *i!un corrca%n la* in*ruccion*. Calcular la &ro6a6ili#a# # alcan'ar l Hio n r* inno* a lo %*. a)
Si * *i!un corrca%n la* in*ruccion* ca#a ?'.
b)
Si no * *i!un corrca%n la* in*ruccion* ca#a ?'.
Sol: Si!ula*r!la*:
9o**i!ula*r!la*:
A=.I5 $ Hio
B=.2 $ Hio
AZ=.5 $ noHi*o
BZ=.8 $ 9o Hi*o 2
2
a) (A)NAZ(A)N(AZ) (A)=(.I5)N(.5)(.I5)N(.5) (.I5) = .III85 6) (B)N(BZ)BN(BZ)2(B)=(.2)N(.8)(.2)N(.8)2(.2)=.<88 20.
Calcular la &ro6a6ili#a# # u un % n*a # n(n 1) #@!io* 6inario* ( y 1) *a incorrco, *i la &ro6a6ili#a# # rci6ir un #i!io incorrco * P y *i lo* #@!io* * rci6n n o%a in#&n#in. Sol:
&
9(9 1)
Sa: AR l %n*a * incorrco 1
P(A)=P(-2)-P(Ac)
P(A)=-1-(1-P)
n
Correcto
i!io ncorrecto
*!
2.
Su&on!a u un *i*%a unciona *i al %no* una # *u* co%&onn* unciona. Si la* co%&onn* ra6aan in#&n#in y *i la &ro6a6ili#a# u all ca#a uno * # .1 4Cuna* co%&onn* #6r@a nr l *i*%a &ara u no all con &ro6a6ili#a# # .IIII7 Sol: Z: 9o alla = .II
O
: alla = .1
$ H(.1)(.II)N(.II)2=.IIII Q(.1)(.II)=.1I8 Q(.II)=.1I8 Q=
&.&1;N &.&&;;
Q=2 28.
Dn &r*ona * H&u*a a 1 ri*!o n 1 o ca*ion* in#&n#in* *i la &ro6a6ili#a# # u ocurra un acci#n * 1/1 ca#a ?'. "allar la &ro6a6ili#a# # u un acci#n ocurra n una o %a* oca*ion*. Sol: 1
"
Mcurra un acci#n *
"
Gu no ocurra un acci#n * 1-
"
Gu no ocurra un acci#n n una o %* oca*ion* = #!
1&& 1 1&&
=
;; 1&& ;; " 1&&
1&&
**
"
Gu ocurra un acci#n n una o %a* oca*ion* =1- #!
;; " 1&&
$ 1- #!
;; " 1&&
2I.
1&&
1&&
=1-.300=.03<
Dn H&ri%no alaorio * r &i *uc*i?a%n 1 ?c * n o r%a in#&n#in. +n ca#a &ru6a la &ro6a6ili#a# # Hio * [. Calcular la &ro6a6ili#a# # u ocurran 3 Hio* *i l uli%o inno #6 *r un Hio. Sol: 1 ?c* 8
1& Veces
+: \Hio +Z: 9o Hio
8O
3.
1& Veces
; !
&.!2 * &.<2
<
Su&on!a u n cira r!in #l &a@* la &ro6a6ili#a# # u un a#ulo %ayor # < ao* n!a cncr * .5. la &ro6a6ili#a# # u l #ia!no*ico *a corrco * .8 y # u *a rra#o * .2. *i * li! al a'ar a una # *a* &r*ona*, calcular la &ro6a6ili#a# # u. a)
Si * l #ia!no*iu cncr.
b)
Si * l #ia!no*iu cncr, n!a ral%n al nr%#a#.
Sol: A = Fn!a Cncr AZ= 9o n!a cncr
*
C = ia!no*ico Corrco CZ = ia!no*ico no corrco a) P(A)=(.5)(.8)N(.I5)(.2) C
P(A)=.23
A CO 3& C
6) P(B/A)=
&.&2 &.N& &.!*
P(B/A)=.13I
AO CO
31.
An una &r!una # o&cin %Kli&l # 5 al rnai?a* #on# *olo una * la r*&u*a corrca, un Ha%ina#o &u# *a6r la r*&u*a o no *a6rla o nr #u#a*. Si no *a6 %arca al a'ar. Si #u#a, r#uc la* alrnai?a* a 3 # la* cual* una * la corrca y lu!o, r*&on# al a'ar. Si la &ro6a6ili#a# # u cono'ca la r*&u*a * .5, # u cono'ca * .2 y # u #u# * .3. a)
"allar la &ro6a6ili#a# # u acir la &r!una.
b)
Si acr la &r!una 4Gu &ro6a6ili#a# ay # u no aya *a6i#o la r*&u*a7.
*2
Sol: #]]]..1(&.2) 1
S = Sa6
! *
SZ = 9o *a6
2
= u#a
1 '
! *
a)
(.5)N(.2)1/3N(.3)1/3 =.0<
b)
32.
&.!1 X 2 &.6
&.& &.6
Solo l 0 # la %rca#r@a u rci6 un co%rcian #l a6rican A * la cali#a# Hc&cional, %inra* u l I # la %rca#r@a u rci6 #l a6rican B * # Hc&cional. Sin %6ar!o la ca&aci#a# # a6ricacin #l a6rican B * li%ia#a, y &or *a ra'n *olo l 3 # %rca#r@a l * &r%ii#o a#uirir al a6rican B, l la a#uir # A. * in*&cciona un %6aru u aca6a # ll!ar y * ncunra * la cali#a# Hc&cional. 4Cul * la &ro6a6ili#a# # u &ro?n!a #l a6rican A7 Sol: P(C)=()(0)N(3)(I) =(.)(.0)N(.3)(.I) P(c)=.0I
*6
B A Y B B Y
P(A/C)=
=
P(A/C)= 33.
P(A)(P(CXA))
P (c ) (&.<)(&.6) &.6; &.! &.6;
+n un &roc*o # &ro#uccin l &orcna # o6o* no #cuo*o* a6rica#o* * con &ro6a6ili#a# .35, I con &ro6a6ili#a# .25 y 0 con &ro6a6ili#a# .<. *i * *lcciona al a'ar uno # al* o6o* y *i r*ula no #cuo*o, calcular la &ro6a6ili#a# # u * # cali#a# #l I no #cuo*o. Sol:
'
P(Z)=(.35)(.)N(.25)(.I)N(.<)(.0)
A ' ' B ' '
P(Z)=.1 P(B/Z)=
=
P(B)P('^XB) P('^ )
&.!2 &.; &.<1 &.!!2
C '
P(PB/Z)=
&.<1
*<
3<.
+l 1 # un a &o6lacin # l cor* * #i?i# n r * * rao* *ocial* Hcluyn*: 6aa, %#ia y alaR # %anra u la cla* 6aa o %#ia *on l I #l oal, y la cla* %#ia o ala l < #l oal. lo* &ri%ro* *on#o* rali'a#o* &ara la* &rHi%a* lccion*, * air%a u l &orcna # lcor* u ?oar@an &or l can#i#ao &u# *r: 3 # cla* 6aa, 5 # cla* %#ia # cla* ala. a)
Si * li! un lcor al a'ar y * ncunra u ?oa &or , 4Cul * la &ro6a6ili#a# # u &rn'ca a la cla* ala7
b)
Si * *co!n #o* lcor* al a'ar 4Gu &ro6a6ili#a# ay # u uno # llo* ?o &or 7
Sol: Baa=0
P(B)=I
$ P(B)NP()
#ia=3
P(A)=<
$ P(A)NP()
Ala = 1
P(A)NP(B)N2P()=13…………. 1
Lu!o: P(A)NP(B)NP()=1...................
$ 1]
!
! = P() = 3
' A ' ' Y ' ' B ' *N
a)
&.1& &.<
P(A/)= (&.1)(&.<) (&.*)(&.2) (&.6)(&.*)
&.&< &.
&.1<2
P(A/)=.15 b)
P(Z Z)=2(P(Z)) =2(.<)(.0)T=.<8
35.
Dna %auina &ro#uc un i&o # o 6o n #i*ino* &rio#o*. Si la %auina * 6in au*a#a n un &rio#o, l 8 # lo* o6o* &ro#uci#o* &a*an l conrol # cali#a# # oro %o#o *olo &a*an l 0. S a #r%ina#o u l I # lo* &rio#o* la %auina *a 6in au*a#o # lo* 25 o6o* &ro#uci#o* n un *olo &rio#o * *co!n 3 al a'ar y a la ?' &ara l conrol # cali#a#. a)
4Gu &ro6a6ili#a# ay u *olo 2 &a*n l conrol # cali#a#7
b)
Si *olo a &a*n l conrol # cali#a# 4Gu &ro6a6ili#a# * in u aya *i#o &ro#uci#o cuan#o la %auina ra6aa n un &rio#o # 6un au*7.
Sol: Pro#uccin: Dn &rio#o ) 8 &a*a l conrol # cali#a# 6in au*a#o # lo conrario *olo l 0 ) %al au*a#o Bin au*a#o ) I # lo* &rio#o* 25 o6o* ) *co!n 3 al a'ar a)
P(P)=(.I)(.8)N(.1)(.0) P(P)=.8 $ La ca&aci#a# # u *olo 2 &a*n l conrol # cali#a# * # .8
*;
b)
P(2P1PZ) $ P(P) P(P) P(PZ) =(.8)2(1-.8)
P(2P1PZ)=.1338<8 30.
+l #&ara%no # cr#io* # una in#a co%rcial air%a u *!Kn *u* H&rincia* &a*a#a* la &ro6a6ili#a# # u l 2 # lo* clin* u co%&ran &or %a* # S/.5 * i!ual a .3 y u la &ro6a6ili#a# # u l 0 # lo* clin* co%&rn %a* # S/.5 * i!ual a .. Sin %6ar!o al nr?i*ar a #o* clin* al a'ar * ncunra u lo* #o* co%&raron &or %a* # S/.5. n 6a* * r*ula#o 4Gu %o#iicacin acrca # la* &ro6a6ili#a#* .3 y . #6r acr la in#a co%rcial7 Sol: P()=(.2)(.2)(.3)N(.0)(.0)(.) P()=.20< Lu!o: n 2 y 0 !&Z 0 2X2&
P(2/)=
P(!&Z)P( D X !&Z) P ( D)
C
=
!&Z 32& CO
P(0/)=
&.!6
&.&2
P(6&Z) P( D X 6&Z) &.!6
C 6&Z 32X2& CO
(&.!)(&.!)(&.*)
=
(&.<)(&.6)(&.6) &.!6
&.;22
&
3.
Dna a! on@a # &u6lici#a# o6 *r?a u l 2 # lo* co%&ra#or* &oncial* # &ro#uco ? *u &ro&a!an#a &or &rio#o, l 2 # #ica &ro&a!an#a &or l?i*in y l 1 ? lo* i&o* # &ro&a!an#a. A #%* # ca#a r* u ?n la &ro&a!an#a uno co%&ra #ico &ro#uco y l .I co%&ran y no ?n la &ro&a!an#a. 4Cul * la &ro6a6ili#a# # u l co%&ra#or &oncial co%&r
a)
#ico &ro#uco *i no ?io la &ro&a!an#a7 Si un co%&ra#or &oncial co%&ra l &ro#uco 4Cul * la
b)
&ro6a6ili#a# # u no aya ?i*o la &ro&a!an#a7 Solucion a) (.21)1/3N(.I)(1/1)
C ) &.&& * *
P
=.1
CO C ) &.&6 *
6)
7 (&.
&.&<; &.1;
&.1 CO
C P*7 CO ) &.&&< 7
C ) &.&<; CO ) &.<11
1
38.
Dn !rn * a la *&ra # la lla%a#a lnica # 3 # *u* clin* &ara rali'ar un n!ocio. La &ro6a6ili#a# # u lo lla%n cualuira # *u* 3 clin* n o%a in#&n#in * .3 a#%* la &ro6a6ili#a# # rali'ar n n!ocio * # .2 *i lla%a un clin, * # .< *i lla%an #o* clin* y * # .8 *i lla%an lo* 3 clin*, *i nin!uno # lo* 3 l lla%an. 9o * rali'a l n!ocio. a)
Calcular la &ro6a6ili#a# # u ralic l n!ocio.
b)
4Cuna* lla%a#a* # clin* * %* &ro6a6l u aya rci6i#o
l !rn *u6in#o u rali'o n n!ocio7 Sol: P ( A1 ) &. *
P ( A! ) &.*
P ( A* ) &. *
i = ,1,2,3 ==> P (A o) = A = 1 9in!Kn clin lla%a ==> P(A ) = A1 = 1 Clin lla%a ==> P (A1) = .2 A2 = 2 Clin* lla%an ==> P (A 2) = .< A3 = 3 Clin* lla%an ==> P (A 3) = .8 B: +l a!n rali'a l n!ocio:
P(A) =
C &* (&) & (1) *
&
&
P(A1) = C1* (&.*)1 (&.<) *1 &.1 P(A2) = C !* (&.*) ! (&.< ) * ! &.1N; P(A3) =
C ** (&.*) * (&.<) & &.!<
!
P(B) = P(B/A) N P(B/A1) N P(B/A2) N P(B/A3)
, (.2) N (.<) N (.8)
P(B) = P(A1) N P(B/A1) N P(A2)(B/A2) N P(A3) P(B/A3) P(B) = (.<<1) (.2) N (.18I) (.<) N (.2) (.8) P(B) = .882 N .50 N .210
a) 1 &u* *
P ( A1 ) P ( B X A1 ) P ( A1 ) P ( B X A1 ) P ( A! ) P ( B X A! ) P ( A* ) P ( B X A* )
$
&.&NN! 1N2
&.&&&&<2
*
VARIABLES ALEATORIAS 3I. 8l nero e ?ios por failia en una eterinaa re@i4n es una variable aleatoria H cuya funci4n e probabilia es.
Q123< P Q=HT
1/10 a)
^
1/10
Calcular l ?alor # la con*an ^
b) Si
una a%ilia in al %no* #o* io* 4Cul* la &ro6a6ili#a# #
u n!a 3 io*7 Solucin a) + Pi x &
1 6
16
1& 16
k
16
1 16
1
k 1 $ k 1
1& 16
6
k 16
La &ro6a6ili#a# # u n!a al %no* #o* io* *r:
P
P ! �X � ! P*
b)
P ! �X �
P ! �X �
6
P 1
16 16 16 11 16
La &ro6a6ili#a# # u n!a r* io* #a#o u in al %no* #o* io* *:
P X * P ! ( X (
=
X 16 X 11 11 X 16
<.
Dna urna conin 1 ic a* # la* c ual* < *on roa* y 0 6lanca*, * Hran 3 ica* al a'ar r%in la #i*ri6ucin # &ro6a6ili#a# #l nK%ro # ica* roa*. Si * *co!n: a) Lo* 3 a la ?' 6) Dna &or una *in r*iucin
c) Dna &or una con r*iucin Solucin a) Ca*o* u &u#n *alir al!una # la* ica* # color roo $H= ,1,2,3 C *1&
Ca*o* u &u#n *alir la* 3 ica* roa* a la ?' C k C *6 k
6
f (k ) P x k Ck C1&* k C*
f ()o P X &
f (1) P X 1
C&C*6 &.&1< C*1&
1
C C &.&1< C*1&
C!C16 &.* C!1&
! f (!) P X * f (*) P X
6 !
C* C&6 &.&* C!1&
Q12 PQ=HT
.1
.1
.3
6) Dna &or una *in r*iucin $H = ,1,2,3
CkC*6 k C!1&
CkC*6 k C!1&
P X k P X k
c) 1 ica* < roa* 0 6lanca* La #i*ri6ucin # &ro6a6ili#a# #l nK%ro # ica* roa*:
2
p
1&
-q
6 1&
$ p q 1
P X 1 C1* p 1 q *1 P X ! C * p ! q * ! !
P X * C ** p 1 q * *
P X k C <1.
* k
p k q * k
S ?n#n 5 6olo* # una ria u con*i* n un &r%io # _ 2, < &r%io* # _ 5, y 1 &r%io* # _ 5. Si ca#a 6olo cu*a _ 1, y *i u*# a#uir un 6olo a) "allar la uncin # &ro6a6ili#a# # la uili#a# 6) Gu &ro6a6ili#a# ay # !anar al!Kn &r%io
Solucion a)
Base 1 < 1 <85 5
Precios S/. 2 S/. 15 S/. 5 --
Utilidad S/. 1II S/.
P X x 1/5
6) P (Q=1II) N P(Q=
1 2&&
2&&
1& 2&&
12 2&&
&.&*
Dna urna conin 3 ica* roa* y 5 a'ul* un u!o con*i* n Hrar una ica *uc*i?a%n con r&o*icin *i #o* &r*ona* A y B u!an alrna#a%n Hrayn#o la ica, a*a u ocurra una ica a'ul 4cul * la &ro6a6ili#a# # u A !an l u!o *i l *al &ri%ro7
Solucion.
6
$: ica* roa* A: ica* A'ul* C: u !an l Eu!a#or A *[ 2A N ic?as
2
P (A)= N P (B)= *XN
Sa H: +l nK%ro # Hraccion* a*a o6nr la &ri%ra ica A'ul. Sin#o (^-1) l nK%ro # Hraccion* # la* ica* roa*
2 * P (Q-`) = #! #!
K 1
`=1,2…. +c.
" N " N
P(c) = P(Q=1) P(Q=3) P(Q=5) ... c.
!
# 2 # 2 # * # 2 # * ! ! ! ! ! ... " N " N " N " N " N
; !< ; # 2 # 6 # 2 # 2 ! 1 ... ! 1 X 1 ! ! N X 11 6 " N " 62 " N 6 *1! " N
<3 .
Dna urna conin *i* 6ola* nu%ra#a* #l 1 al 0, * Hran al a'ar #o* 6ola*, una #*&u* # la ora con r&o*icin Sa Q l %nor # lo* #o* nK%ro* o6ni#o* H1!*26 a) +ncunr # &ro6a6ili#a# 1 la11uncin 1! 1* 1 12 16 # Q
f(1)= P X 1 11 X *6
f(!)= P X ! ; X *6 ! la!1#i*ri6ucin !! !* acu%ula#a ! !2 !6 # Q calcular P 2;H;< T 6) a &arir # f(*)= P X * < X *6 * *1 *! ** * *2 *6 Solucion: P X 2 X *6 nf()= ( )=696=*6 1 ! * 2 6 f(2)= P X 2 * X *6 2 21 2! 2* 2 22 26 f(6)= P X 6 1 X *6 6 61 6! 6* 6 62 66 <
Por in#uccin %a%ica * in u: (H)= P x k
1* ! k *6
a) P ! ( X ( ) P X ( P
1.6
X ! P ! X (
(1)= 11/30 (2)= 11/30NI/30=2/30 (3)= 11/30NI/30N/30=2/30 (<)= 11/30NI/30N/30N0/30=32/30 P !
( X ( = 32/30-2/30= 12/30
<3. a) H: nero e >9itos n ( )= % 1-!-* - 1-*-! -
!-1-* - !-*-1 - *-!-1 *-1-! &
n ( )= 6 H
P(9)
1
!X6
!
1X6
*
*X6
N
6) P (H 1) = P(H=1) N P(H=3) = 1/0 N 3/0 =
a) A: con &ro6a6ili#a# P(A) = .< B: con &ro6a6ili#a# P(B) = .8 C: con &ro6a6ili#a# P(C) = .5 P(A B) = P(A) N P(B) N P(C) - P(A C) - P(B C) - P(B A) N P(A B C) = P(A)NP(B)NP(C) - P(A)P( C) - P(B)P(C) - P(B)P(A) N P(A) P(B) P(C) = (.<)(1-.8) (1.5) N (1-.<)(1-.8)(.5) N (1-.<) (.8) (1-.5) =.1-.I2-.10 = .10I0 H = & 'efectuosos 6) PH=
% &-1-!-*&
Q = R P(H = ) = 1 - .10I0 = .83I< Q = 1R P(H = 1) = ABZCZ N AZBZC N AZBCZ = (.<)(1-.8)(1-.5)N(1-.<)(1-.8)(.5) N (1-.<)(.8)(1-.5) = .1528 Q = 2R P(H = 2) = ABCZ N ABZC N AZBC = (.<) (.8) (1-.5) N (.<) (1-.8) N (1-.<) (.8) (.<) = .82 Q = 3R P(H = 3) = ABC ;
= (.<)(.8)(.I) = .10 <5. H: \ e Ventas H
P(9)
&
2X6&
2&& 1X6& 1&&& 1X6& ! 2
* 2 2
1&
2 !
2 6 6
*&
P(H=)= , , , ! 1
* 2 1
12 *6
!
2 6&
6
1
P(H=5)= 2 , 6 ! , 2 , 6 , 6 *& *6 6& P(H=1)=
*# 1
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!
2 " 1&
#ia = +(H) =
(H) = + (H2) -
* 1N&
1 6&
# 2
# 1
# 1&&& N&&& 6& 6&
+ xP( x) ) E ( x) &!" && 2&&!" 6& !"
E ( x ! ) 8(9) 1!2&&&& !
16&&&& 11&;&&& ; ;
<0. a) 0 "o%6r* < ur*
cu%&ln rui*io* < 5 %
2&
P = (&.6)(&.) (&.) (&.2)
P = &.! &.! = &.
21
6) P x k C k* p k q * k P x k C k* p k q * k = C1* (& . )(1 & . ) ! & .1
<.
Si * *co!n uno &or r&o*icin nonc*: R x %1-!-*-...etc& *i
+l ran!o H * l conuno
^ + $H nonc*
Hraccin con &ro6a6ili#a# 1/n. Lu!o: +n la* (^-1) Hraccion* r*an ocurr la ora &ro6a6ili#a# 1/n y ocurr (^-2) 6ola* in#&n#in* con &ro6a6ili#a# (1-1/n)
La &ro6a6ili#a# # H=^ * #a#a &or:
L(H)= P x k C1k 1 q k ! P P C1k 1 q k ! P ! on#: # "
1 n
= !1 ,
P
# "
P x k C1k 1 !1
1
n
1
^=1,2,… c
n k !
#1 ! "n
!
^=1,2,… c
2!
<8.
_rea = _reas = = = = =
k-puntos
S-k
5
Área=kS ! k 1 S 1/25
-
Pro"# 1/25 -
2*
1
<
3/25 -
2
3
I/25 - -
5/25 -
3
2
10/25 - - I/25 - = 3/25
-
/25 -
-
<
1
I/25 -
10/25
-
=
-
a) D: Dili#a# (S-^) = = 5,<,3,2,1
^= ,1,2,3,<
6) Pro6. 1/25 - , 3/25 - , 5/25 - , /25 - , I/25 -
.
2 &
cdx c x s 2
"allan#o (H) n
2 &
c 1
&-2
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x
/ odc
&
x(x(s
2) $ F ( x)
.
/ odc x
. & 1 dc . x odc x
x
2
1 = 2t x &
x 2
2
xs
3) $ F ( x) .
&
/ odc
1 2
. 2& dc . sx odc
1
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Lu!o:
3 & x& 0 (H) = 2 x X 2 & ( x ( 2 0 1 x2 1 6) P X
N 1 P X !
1 ! X 2 *X 2
c)
.
F ( X ) dx * X 2 )
MAX
4
.
a9
4
dx * X 2 2
1/5%aH=3/5 $ a9 * #) P(H=2)= . N!
dx 2
& Por un *olo &uno
P(H=2)= 51. a) La cuacin # la rca * y=%HN6, #on# % * la &n#in
c Nc
1 X N y 6 * l &uno # inr*ccin n l y 6=c
x
P( x) c- a ( x ( Nc N x
$.
f ( x) 1 $
&
(N xc
1
N.
Nc
&
(Nc x )dx 1
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acur#o a la !raica no o%o C=-1/2
22
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N
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1
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6) P (& ( x 1) .& ! !
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12/10
* # x dx 16 " N
15/10
P (6 ( x 1) .1 ! *
P ( ! ( x !) .! !
# x dx 1 X 16 " N
P * ( x ( .* !
1
(H)=77 S *a6 u (H)=
df ( x) $ dx
. f ( x)dx f ( x)
# x! # x 1 X N k dx ) f ( x ) !! x ! " N "
(H)= . !
&ro ^=77
&roH 1=1
$ (H1)=/10
# x1! 1 < ! 1 (H )= "! x ! N k 16 1
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1k
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# x f ( x) 1 ! "
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k
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&
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k# k 1; . ! dx & !& " N N x x ! k 1; Nk k ! 1; X& $
16
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7& k 2k ! <6
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k *.1&6 1
52. .& c(! x 1)dx 1 a)
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26
3
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X
x! x
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Z X x !2 Z P x ( &.<2 X x &.!2 P x ( <2
P x ( * X X x 1X
P x ( * X nx 1 X
P x 1X
]]]]..(9) ]]]]..
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.
*X
1X
( ! x 1)dx
1 !
*X
( x ! x ) X1 X 1 X !
n (HH) 1
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1 !
P x ( * X X x 1 X
Lu!o
1
( x ! x ) X1 X !< X 1! 1X ! !< X *!
16 !<
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53. a) (H)=1 1
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1
1
2
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) k !& k 1!k 1 1! k 1 ) k 1 X !
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# 12 # ; $ P (& ( x ( !) ! ! 2 X N " ! " 1! 2 X N x1&& Z 6! .2Z
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onotrocaso 1
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1
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3! x & ( x 1 0* 00 f ( x)2( x *) 1 ( x ( * 0 0& en caso 10 f ( x ) P x ( x
6) i) H; ii) & ( x 1
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iii) 1 ( x ( *
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e 1&& *u uncin #n*i#a# o uncin # &ro6a6ili#a# #
&ro6a6ili#a#* * :
P x 1&&
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x e 1&& dx !! e 1&& X1&& e 1 X ! &.6&62
1&&
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x
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x
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1&& !&&
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!&&&&" ; !&& docenas do%a"es
P
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p k q nk $ P
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(&.2) ! (1 &.2) ! &.*<2
0. 1 ( x ( ( x ( 16 1 ( ; ( 1* 1 ( x * ( 1*
#on# I(I) *r
61
3C 1 ( ; ( 1* 0 '(;) 2 0D en ot"o caso 1 "allan#o l ?alor # C 1*
.
&
Cdx 1 ) c
1*
.
1
1*
dx cx X1 1!c 1 ) c 1 X 1!
31 X 1! 0 ' ( ;) 2 0& 1
1 ( ; ( 1*
en ot"o caso
01. 3& x ! 0 0 0 x( x 1) ! ( x ( 1 0 0 1( x ( & f ( x)2&
! xx #
0 ax x & ( x 1 0 0 x! 0& 1
x)
.
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# au x ; #; u a du &!! au X & ! ! " ! " !
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xxx)
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. (; X !u a)du . &
x
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6!
3 x ! 0& 0 0 ! 0 ax ax ! ( x 1 0 ! 0 00 a f ( x) 2 ax ! X ; x 1 ( x & 0! 0 02a ; x & ( x 1 0 ! 0 0 x! 01 10
$O%ELO BI&O$IAL 1.- Si Q b B(n, &) al u +(Q) = 3 y (Q) 2.< , calcular: PQ 3T. SMLDC9: +(H) = n& (H) = n& +(H) = n& = 3 ............... (1) (H) = n& = 2.< ............ (2) $%&la'an#o 1 n 2
1 & = .8
3 = 2.< q
!.
& = 1 .8
*
=.8
&=.2
n& = 3 *
$ $ n &.! n(.2) = 3 n = 15 &(H 3) = 1 & (H ; 3) = .02
a6la.
P(H 3) = 1 &(H = ) N &(H = 1) N &(H = 2)T & 12 1 1 ! 1* C12 C12 = 1 - C12 & ( & .! ) ( & . N) 1 ( & .! ) ( & .N) ! ( & . ! ) ( & .N)
= 1 1(.3518<) N 15 (.8I0) N 15 (.2<8)T = 1 .3I8232 6*
= .01III 6)
Solucin: alor %* &ro6a6l. n (&) = 1 5 (c/*2) = 1 1=1
$1
2.- Dn * u#ian con*a al a'ar (o *a *in *a6r na#a) a I &r!una*, *in#o ca#a una # < r*&u*a* # la* cual* *lo una * la corrca. a) r%inar la #i*ri6ucin # &ro6a6ili#a#* #l nK%ro # &r!una* con*a#a* corrca%n. 6) Si &ara a&ro6ar al Ha%n #6 con*ar corrca%n al %no* 0 &r!una*, 4Cul * la &ro6a6ili#a# # a&ro6ar l Ha%n7.
SOLU'I(&) n = I &r!una* con < o&cion*: = [ = .25 = & & = &ro6a6ili#a# # conraar corrca%n. a)
Q : 9 # &r!una* con*a#o* corrca%n. Q $ Bino%ial (I, .25) +* #cir # < o&cion* una corrca $ & = 1/<
6)
Para a&ro6ar #6 con*ar corrca%n al %no* 0 &r!una* * la &ro6a6ili#a# # con*ar corrca%n. H ) B(I, .25) P (H 0) = P(H = 0) N &(H=) N &(H = 8) N &(H = I) =
;
C6
(.25)0 (.5)3 N
C < (.25) ;
(.5)2 N
;
CN
(.25)8 (.5)
N ;
C;
(.25)I (.5)
= 8< (.25)0 (.5)3 N 30 (.25) (.5)2 N I(.25)8 (.5) N (.25)I (.5) = .II<508 = .11
$#on#an#o.
6
3.- +n una &ro #uccin, la &ro6a6ili#a# # u un o6o *a # cuo*o * .2. Si n una %u*ra # n # al* o6o* *co!i#o* al a'ar uno &or uno, * *&ra u aya un #cuo*o, a) calcular la &ro6a6ili#a# # u aya un o6o #cuo*o. 6) 4Cuno* o6o* #cuo*o* * %* &ro6a6l u ocurra7
SOLU'I(&) Q: 9 # o6o* #cuo*o* P(H = 1) = .2 9 + = (H) = n& = 1 n(.2) = 1 n = 1/.2 $ n = 5 &(H = 1) =
2
C1
(.2) (.8)<
= .<I0
<.- +l 5 # la %rca#r@a u rci6 un co%rcian #l a6rican A * # cali#a# Hc&cional, %inra* u l 8 # la %rca#r@a u rci6 #l a6rican B * # cali#a# Hc&cional, +l 0 #l oal # la %rca#r@a lo a#uir # A y l r*o # B. Si * *lccionan < uni#a#* # la %rca#r@a, 4u &ro6a6ili#a# ay # u * ncunrn 2 uni#a#* u *an # cali#a# Hc&cional7.
SOLU'I(& A 5 +Hc&cional ) 0 a#. A B 8 +Hc&cional ) < a#. B Q : 9 # o6o* # cali#a# Hc&cional. PA = .0 (.5) = .<5 &B = .< (.8) = .32 . & = &A N &B = .
& = .
$ H ) Bino%ial (<, &) & (H =2) = C ! (.)2 (.23)2 62
= 0(.)2 (.23)2 = .188180< 5.- +n una %&r*a # con*ruccin ci?il #on# lo* %&la#o* *on 8 o%6r* y 2 %ur* *n a&o* &ara u6ilar* l 1 # la* %ur* y l 1 # lo* o%6r*. cinco *oliciu#* &ara u6ilar*, 4cul * la &ro6a6ili#a# # u al %no* #o* *n a&o* &ara u6ilar*7. .-
SMLDC9:
8 - "o%6r* ) Eu6ilacin 1 ". 2 - ur* ) Eu6ilacin 1 . n=5 Q : 9 # ra6aa#or* a&o* &ara u6ilar* P (H 2) P = .8 H .1 N .2 H .1 = .1
Q Bino%ial (5R .1)
P(H 2) = 1 & (H ; 2) = 1 &(H = ) N &(H = 1)T
12 &.1 &.; = 1 - C 2& &.1 & &.; 2 C
= 1 (.I) 5 N 5(.1) (.I)
5a proucci4n e cu atro E quinas es rec o@ia en caas e 2 uniaes. 5a e9periencia periti4 establecer la si@uiente istribuci4n e las caas- se@n el nero e uniaes efectuosas que contienenQ
d#uni#a#*#cuo*a* Porcna#caa*
1 2 3 < 5 . .15 .8 .5 .2 .
La in*&ccin #iaria con*i* n Ha%inar la* 5 uni#a#* # ca#a caa. S ac&a una caa, cuan#o conin %no* # #o* uni#a#* #cuo*a*. +n ca*o conrario * rca'a.
66
a) 4Cul * la &ro6a6ili#a# # rca'ar una caa u no conn!a uni#a#* #cuo*a*7 6)
4Cul * la &ro 6a6ili#a# # ac&ar una caa u conn!a r* uni#a#* #cuo*a*7
SOLU'I(&) < %uina* n = 2 uniaes. d#uni#a#*#cuo*a* Porcna # caa*
1 2 3 < 5 . .15 .8 .5 .2 .
Ac&a la caa *i ay %no* # 2 uni#a#* #cuo*a*. +n ca*o conrario * rca'a. a) Q : 9 # uni#a#* #cuo*a*. P(H 2) Q ------- Bino%ial (5, .) P(H 2) = 1 &(H 2) = 1 P(H = ) N &(H = 1)T & 2 12 2 C &.< &.* C 1&.< &.* =1- � �& = 1 (.5) 5 N 5 (.) (.3)
P(H 2) Q ------ Bino%ial (5, .5) P(H 2) = 1 &(H ; 2) = 1 &(H = ) N &(H = 1)T & 2 2 C &.&2 & .;2 C 112 &.&2 &.;2 =1- � � &
= 1 (.I5) 5 N 5(.5) (.I5)< T = 1 .I<5 = .225I25
6<
.- Dn ?n##or a #o%icilio co%&ra #iaria%n 1 uni#a#* # un &ro# uco lcrico &ara ?i?in#a* 6*ica* a _2 ca#a una. Por ca#a uno, !ana 13_ *i ?n# o &ir# 1_ *i no ?n# n l #@a . Si la &ro6a6ili#a# # ?na # ca#a uni#a# * .2 y *i la* ?na* *on in#&n#in*. a) allar la #i*ri6ucin # &ro6a6ili#a# # la* uni#a#* ?n#i#a*. 6) calcular la uili#a# *&ra#a #( ?n##or. SOLU'I(&) n = 1
S/. 2.
Por ca#a ?n#i#o !ana S/. 3 Por ca#a no ?n#i#o &ir# S/. 1 P (?na # c/uni#a#) = .2, y la ?na* *on in#&n#in*. a)
Q : 9 # uni#a#* ?n#i#a*: Q ) Bino%ial (1, .2)
6)
+(H) = n & = 1 (.2) = S/. 2.
8.- Dna co%&ua#ora uili'a#a &or un *i*%a 6ancario # 2< ora* a*i!na ca#a ran*accin al a'ar y con i!ual &ro6a6ili#a#, a una # cinco &o*icion* # %%oria:
1, 2, 3, <, 5. Si al r%inar l &rio#o nocurno
# un #@a * an r!i*ra#o 15 ran*accion*, 4cul * la &ro6a6ili#a# # u l nK%ro # ran*accion* cua#a* a la* &o*icion* # %%oria &ar *a %ayor u 37
SOLU'I(&) 1, 2, 3, <, 5 $
&(H) = 1/5
n = 15 ) ran*accion* &((nK%ro &ar) = 2/5 = &(Hio) Q : 9e # ran*accion* a 9e &ar Q ) Bino%ial (15, 2/5)
&(H > 3) = 1 &(H ( 3) = 1 &(H = ) N &(H= 1 ) N &(H = 2) N &(H = 3)T = C12 . & &
&
&.6
12
C12
&.
1
&.6
1
C12 ! &.
!
&. 6
1*
C12 * & .
1 *
& .6
-
1!
6N
= .II
SOLU'I(&) #6 ll!ar a la* 8: 2 # la* ?c* * rra'a 15Z $ 8.15 +l !rn lla%a a la oicina nr lo* 8 y 8.15 Q : 9e # #@a* u ll!a ar# n=5 $ Hio, no *a n la oicina # 8 a 8.15 &(H > 3) = 1 &(H ( 3)
H Bino%ial (5, .2)
&(Hio) = 1/5 &(H 1) = 1 &(H ; 1) = 1 &(H = ) =1-
&.N
C 2& &.!
&
2
= 1 .3208 = .0232 1.- Al rali'ar un H&ri%no, la &ro6a6ili#a# # lo!rar l o6i?o * .<. Si * rali'a l H&ri%no 2 ?c* 6ao la* %i*%a* con#icion* y a*u%in#o r*ula#o* in#&n#in* a) Calcular la &ro6a6ili#a# # lo!rar l o6i?o &or lo % no* n r* # la* 2 ?c* 6) +l co* o # rali'ar l fH&ri%no * # S/. 15, *i * lo!ra l o6i?oR y # S/. 3 *i no * lo!ra. Calcular l co*o *&ra#o &ara rali'ar l H&ri%no.
6;
.
SOLU'I(&) &(\QFM) = .< n = 2 a)
Q : 9 # ?c* u * lo!ra l o6i?o. H ) Bino%ial (2, .<) &(H 3) = 1 &(H ; 3) = 1 &(H = ) N &(H = 1) N &(H = 2)T ! 1N &.6 = 1 - C &!& & . & &.6 !& C 1!& &. 1 &.6 1; C !& ! &.
= 1 .3011<21 = .II038852I 6)
+(H) = n& = 2(.<) = 8 Co*o = 15H N 3 (2 H) +(co*o) = +(15H N 3 (2 H) = 15 +(H) N 0 3 +(H) = 15 (8) N 0 3 (8) +(co*o) = <8.
11.- Dna &ru6a # a&iu# con*a # lo &r!una* con cinco alrnai?a* ca#a una, # la* cual* *lo una * la corrca. La caliicacin * rali'a # la *i!uin %anra: Ca#a &r!una corrca%n con*a#a ?al 2 &uno*. Por ca#a &r!una %al con*a#a * #*cuna ^ &uno*, a) r%in l ?al or # ^ # al %a nra u la no a * &ra#a # un alu%no u r*&on# al a'ar la* 1 &r!una* *a cro. 6) 4Cul * la &ro6a6ili#a# # u un alu%no u r*&on# al a'ar la* 1 &r!una*, n!a una noa %ayor o i!ual a 117
SOLU'I(&) n = 1 con cinco alrnai?a* ca#a una # la* cual* *lo una * corrca. Ca#a &r!una corrca = 2 &uno*. Ca#a &r!una incorrca = -^ &uno*. a)
^=7 Q : 9e # r*&u*a* corrca* <&
H --------Bino%ial (1, .2) 8(9) = n(p) = &
* P+,
1/5
1 1/5
+(H) = N 1/5 = 1/5 +(H) = n (1/5) = 1(1/5) = 2 9oa = 2H ^ (1 H) 2H ----- &or ca#a r*&u*a corrca 2 &uno*. `(1-H) --------&or ca#a r*&u*a incorrca -^ &uno*. Por lo ano: +(9oa) = +2H ^(1 H)T + (9oa) = 2+(H) 1^ N ^+(H) Pro la +(9oa) = 2+(H) 1^ N ^ +(H) = 2(2) 1^ N ^(2) = < 8^ = ^ =
P(9oa
11) = C<1& &.! &.N <
*
&(H 0) = .<0
SOLU'I(&) 2 no * ci?i'an 2 %* # lo* 15 cu&on* u &o*, .2(15) = 3. # clin* u a6in#o co* *u* r*r?a* * u#an *in ?iaar.
<1
Q : 9e # cu&on* cu6iro*. 9 = 18 = 15 N .2(15) P(H > 15) -------------Q Bino%ial (18, .8) P(H > 15) = &(H = 10) N &(H = 1) N &(H = 18) =
12
C16 &.N
16
&.!
C
!
1N 1<
&.N
&.!
1<
1
1N &.! C1N 1N &.N
&
= .213<185 13.- +l i%&o # #uracin Q, n %**, # un i&o # r*i*ncia lcrica in uncin # #n*i#a# # &ro6a6ili#a#:
3&.2e&.29 - si 9 & f (9 ) 2 1&- en otro caso a) 4Cul * la &ro6a6ili#a# # u una # al* r*i*ncia* lcrica* #ur %* # < %**7. 6) Si * &ru6an lo r*i*ncia* lcrica*, 4cul * la &ro6a6ili#a# # u nin!una #ur %* # < %**7. c) 4Cuna* r*i*ncia* * &ro6ar@an &ara u con &ro6a6ili#a# i!ual a .I * n!a al %no* uno u #ur %* # < %**7 #) Si l co*o # &ro#uccin # una r*i*ncia *: C = 2 N (3 - Q)2 4Cuno * l ?alor *&ra#o #l co*o7
SOLU'I(&) Q : i%&o # #uracin n %** � &.2e&.2 x - si 9 � & f ( x) � &en otro caso �
a)
&(H > <) =
&.2e �
&.2 x
&.2 x
e
� �
= -1/2(<) = -2 = .135 6)
n=1 H
B(1, &)
&(H = ) = c)
H
1&
C&
(.135) (.805)1 = (.805)1
B(n, &)
&(H 1) = .I 1 .I = &(H = ) .1 =
n
C&
(.135) (.805)n
(.805)n = .1 n lo! (.805) = lo! (.1) n
lo@ (&.1) lo@ (&.N62)
= 15.8
n = 10
.odelo /iper0eo.1trica) 21.- Dna caa conin 2 ci&*, # lo* cual* l 2 no *n a&o* &ara *u ?na y l r*o *i. S *co!n 5 ci&* al a'ar uno a uno *in r&o*icin. a) r%in la #i*ri6ucin # &ro6a6ili#a# #l nK%ro # ci&* *coci#o* u *an no a&o* &ara *u ?na. 6) Calcular la &ro6a6ili#a# # u al %no* uno *a no a&o &ara *u ?na.
SOLU'I(&) (H) = &(H = ^) =
C rS C nUSr C nU
, ^ = , 1, 2, .............
+(H) = n& (Q) = 9PG
U"n U 1
9 = 2 2 no *n a&o* &ara *u ?na, y l r*o *i. n = 5 R 2 (2) = < = r , 9 r = 10 C S C16 2"S
a)
&H = ^T =
6)
&H 1T = 1 &(H ; 1)
C 2!&
, ^ = , 1, 2, 3, <.
= 1 &(H = )
<*
=1-
C & C16 2 C 2!& 16
=1-
C2
!&
C2
= .18200.
22.- Dn #r%ina#o &ro#uco in#u*rial * %6arca#o n lo* # 2 uni#a#*. S *co!n 5 @%* al a'ar # un lo y * rca'a l lo *i * ncunra #o* o %* #cuo*o*R n ca*o conrario * ac&a l lo. Calcular la &ro6a6ili#a# # ac&ar un lo u in 3 #cuo*o* *i lo* @%* * *co!n uno &or uno, a) con r&o*icin, 6) *in r&o*icin.
SOLU'I(&) 9=2
&=1/5=.2
n=5 a)
Con *u*iucin. Q : 9e # ar@culo* #cuo*o*. Q ) Bino%ial (5, , 2) &(H ( 1) =
2
C&
(.2) (.8)5 N
C1 (.2 2
(.8)<
= .32 6)
Sin *u*iucin: 9 n r ) Q " (2, 3, 5)
&(H ( 1) =
C 2& C12 C 2 C12 ! N 1 !& ! = .85I0
= 2#34 23.- Dna n*a%6la#ora # co%&ua#ora* rci6 lo* # 1 ara* ca#a uno # un i&o *&c@ico, n la &ro&orcin, 3 # %arca A y # %arca B. S *a6 u l &orcna # &ro#uccin #cuo*a * # < &ara la %arca A y # 1 &ara la %arca B. Si * &ru6an 3 ara* Hra@#a* al
<
a'ar una a una y *in r&o*icin # un lo l!i#o al a'ar, calcular la &ro6a6ili#a# # no nconrar ara* #cuo*a*,
SOLU'I(&) 9 = 1 3 ) A ) B &ro#uccin #cuo*a * < ) A &ro#uccin #cuo*a * 1 ) B n=3 Q : 9e # ara* #cuo*a*. P(H = )
6
1
* C& C*
;
< C & C*
N 1& C
1& *
1& *
1& C
p(9 &) e A
p(9 &) e B
2<.- Dn ura#o # I uc* ?a a #ci#ir la inocncia o cul&a6ili#a# # un ro. Su&on!a u 0 ?oan &or inoc ncia y l r*o &or cul&a6ili#a#. Si * *lccionan al a'ar 3 uc* y * &r!una &or *u ?oo, a) Calcular la %#ia y la ?ari an'a #l nK%ro # uc* # la *l ccin u ?oan &or la inocncia. 6) 4cul * la &ro6a6ili#a# # u nin!Kn u' *lcciona#o * a a?or # la inocncia #l ro7.
SOLU'I(&) Q : 9e # uc* u ?oaron a a?or. a)
& = 0/I
< = n& = + (H) # 6
=3 ! =2 ";
= = n& !
Un U 1
# 6 # * # 1& * "; "; " ;
=3 ! ! ! =
6 #< ! ; ";
=
! N1
= .518518518
<2
6)
Q : 9e # uc* u ?oarn a a?or. P(H = ) =
C 6& C ;*
= .11I
C ;*
25.- Dn lo !ran# # 9 o6o* %anuacura#o* conin l 1 # uni#a#* #cuo*a*, *in#o l r*o no #cuo* o*. l lo * *lccionan al a'ar 1 uni#a#* una a una *in r&o*icin. a) r%in la #i*ri6ucin # &ro6a6ili#a# #l Hra@#o*, 4cuno* o6o* #cuo*o* * r&i l H&ri%no ruca* ?c*7. 6) Si 9 = 1,, calcular a&roHi%a#a%n la o6ni#o a lo %* un o6o #cuo*o.
$&. a) "(9, .1 9, 1). +*&ra#o = 1, 6)
.301. 20.- Dna co%&a@a rci6 un n?@o # 2 &i'a* # un &roc*o # %anuacura. +l conrol # cali# a# # la C@a. con*i* n o%ar una %u*ra # 3 &i'a* al a'ar *in r&o*icin # * n?@o. Si n la %u*ra * ncunra al %no* una #cuo*a, * rca'a l loR n ca*o conrario * li!n al a'ar 2 &i'a* a#icional*. Si n la *!un#a %u*ra * ncunra al %no* una #cuo*a, * rca'a l loR n ca*o conrario * ac&a l lo. Calcular la &ro6a6ili#a# # rca'ar l n?@o *i conin 25 # &i'a* #cuo*a*.
SOLU'I(&) 9 = 2 n=3 Si * ncunra al %nor #cuo*o. 25 ) 2(.25) = 5 Q : 9e # ar@culo* #cuo*o*. &(H 1) =
12 C12 1 C!
C
!& *
N
C 2! C12 1 C
!& *
N
C 2* C12 & C *!&
C2 C12 P(H ; 1) = 1 - & !& * C*
= .08.
<6
2.-
+n una 6rica la &ro#uccin *%anal # ciro i&o # ar@culo * # 1 uni#a#*.
Ca#a *%ana * rali'a un conrol # cali#a#
*lccionan#o una %u*ra # 2 uni#a#* #l ar@culo, *coci#o* al a'ar y *in r&o*icin # la &ro#uccin # la *%ana (1 ar@culo*) y a#o&an#o la *i!uin r!la # #ci*in: ac&ar u l &or cna # &ro#uccin #cuo*a * 2 *i n la %u*ra * ncunra a lo %* un #cuo*o, o rca'ar u l &orcna # &ro#uccin #cuo*a * 2 n ca*o conrario, 4cul * la &ro6a6ili#a# # u * aya #ci#i#o ac&ar u l &orcna # &ro#uccin #cuo*a # una *%ana * 2 cuan#o n rali#a# u 5 # lo* 1 &ro#uci#o*7
SOLU'I(&) 9 = 1 n = 2 r = < = 2 (.2). ac&ar *i a lo %* uno #cuo*o. 1 (.5) = 5 Q : 9e # ar@culo* #cuo*o*. Q ) 1 N (1 . 5, 2) &(ac&ar) = &(H ( 1/&=.5 =
!2& 2& ;2& C2& & C !& C1 C1;
C1&&& !&
=
28.- riicar u: >
Sq
+ S 1
S 1
1 (1 q) !
$&. ri? r*&co a a%6o* la#o* #
>
+q S &
S
1 1 q
<<
$O%ELO POISSO& 2I.- +l nK%ro %#io # auo%?il* u ll!an a una !aria # &a * # 12 &or ora. a) Calcular la &ro6a6ili#a# # u n un %inuo cualuira no ll!u auo%?il al!uno. 6) Calcular la &ro6a6ili#a# # u n l &r@o#o # 3 %inuo* ll!un %* # 5 auo%?il*. ) Si al !a ria &u # an#r a un % Hi%o # 3 auo%?il* n 3 *!un#o*, calcular la &ro6a6ili#a# # u n un %#io %inuo #a#o ll!un %* auo%?il* # lo u &u# an#r.
SOLU'I(&)
< = 12 &or ora < n un %inuo ll!arn: 12 ? 0 = 2 @ =2 Q : 9e # auo%?il* u ll!an a la !aria # &a. @
P(H = H) = a)
e
9
H = , 1, 2, ........
(9) 9K
e ! ( !) &
&(H = ) =
= -2 = .135
&K
6)
Pr@o#o # 3 %inuo* ll!an %* # 5 auo%?il*. @ Z = @ = 2(3) = 0.
P(H = )
@ = 2(3) = 0 &(H = ) =
e 6 (6) & &K
= .2<8
@ Z = @ = 2(3) = 0. P(H > 5) = 1 &(H ( <) e 6 (6) & e6 (6)1 e 6 (6) ! e 6 (6)* e 6 (6) =1-
&K
1K
*6e
!
= 1 - e 6 6e 6
!K
6
!16 e 6
*K
6
1!;6e
K
6
!
= 1 -0 N 0 -0 N 18 -0 N 30 -0 N 5< -0 T
= 1 115 -0 = 1 .28550 = .<
SOLU'I(&) Q=3 a)
@ Z = @ = 1/3(3) = 1 &(H = ) =
6)
e
1
1
(&)
&K
= .308I
@ Z = @ = 2(3) = 0 &(H 1) = 1 & (H = ) e 6 (&) 6 &K
=1-
= 1 .2<8521 = .II521 31.- Su&on!a u l nK%ro # acci#n* # ra6ao u * &ro#ucn &or *%ana n una 6rica *i!u la ly # Poi**on # %anra u la &ro6a6ili#a# # u ocurran 2 acci#n* * i!ual a 3/2 # la &ro6a6ili#a# # u ocurra un acci#n. Calcular la &ro6a6ili#a# # u no ocurra n acci#n*
n
2
*%ana*
con*cui?a*.
. SOLU'I(&) Q : 9e # acci#n* &or *%ana &(H = 2) = 3/2 P(H = 1) &(H = ) n 2 *%ana* &(H = 2) =
* !
& (H = 1) <;
e
@
@!
!K
!e
@
@!
!
e
@
@
* e@ @1
=
! 1K
=
*e @ @ 1
= 3 e@ @
@
!
!
e @ @ e @
=3
@ =5 &(H = ) = 7
@ Z = @ = 2(3) = 0 &(H = ) =
e
@
@9
9K
e (6) 6
=
&K
&
= .2<8
32.- Dn 6anco ain# o#o* lo* #@a* # 8a%. a <&%. y * *a6 u l nK% ro # clin* &or #@a u ?an a *oliciar un &r*a%o &or %* # _1, in una #i*ri6ucin # Poi**on con una %#ia # 3 clin* &or #@a. a) 4Cul * la &ro6a6ili#a# # u a*a l %#io#@a no * aya &ro#uci#o una *oliciu# # &r*a%o &or %* # _ 1,7 6) +n cuaro #@a*, 4cul * la &ro6a6ili#a# # u n #o* # lo* #@a* a*a l %#io#@a no * aya &ro#uci#o una *oliciu# # &r*a%o &or %* # _ 1,7
SOLU'I(&) Por %* # S/. 1. ) Poi**on con @ = 3 a)
&(H = ) = 7 Q : 9e # clin u *olician &r*a%o &or %* # 1.
@ Z = @ () = 3(1/2) = 3/2 &(H = ) = 6)
e * X ! *& &K
= -1.5 = .2231310
n=< $ Poi**on con a&roHi%acin a la 6ino%ial. & = .223 &(H = 2) = C ! (.223)2 (.)2 = .1813
33.- La #%an#a *%anag # ciro &ro#uco in una #i*ri6ucin # Poi**on Acual%n *u %#ia * 3 &or *%ana. S *i%a u #*&u* # una ca%&aa &u6liciaria, l ?alor *&ra#o # la #%an#a * #u&licar con N&
&ro6a6ili#a# .8 y * ri&licar con &ro6a6ili#a# .2. 4cul * la &ro6a6ili#a# # u #*&u* # la ca%&aa la #%an#a *a i!ual a <7.
SOLU'I(&)
@ = 3 &or *%ana. @ = 0 con &(.8) @ = I con &(.2) Q : #%an#a #*&u* # la ca%&aa &(#%an#a = <, #*&u* # la ca%&aa &.Ne (6) 6
&(H = <) = = =
N
K 1&*6.Ne
;
&.!e
;
(;)
K
1*1!.!e
;
! !.26;;< &.161;*N !
= .11382I
3<.- +l nK%ro # &r*ona* u ca#a #@a * aloa n un o l * una ?aria6l alaoria Q u in #i*ri6ucin # Poi**on con &ar%ro @ , u &u# *r: i!ual a 2 con &ro6a6ili#a# .5, i!ual a 15 con &ro6a6ili#a# .3, i!ual a 1 con &ro6a6ili#a# .2 a) r%inar PQ = ^T , #on# ^ = 1, 2, ..., c.. 6) Calcular l ?alor *&ra#o # Q.
SOLU'I(&) @ = 3 &or *%ana.
@ = 0 con &(.8) @ = I con &(.2) Q : #%an#a #*&u* # la ca%&aa &(#%an#a = <, #*&u* # la ca%&aa &(H = <) =
&.Ne
6
(6)
K
&.!e (;) ;
N
K
N1
= =
1&*6.Ne ; 1*1!.!e ; ! !.26;;< &.161;*N !
= .11382I Q ) Poi**on Par%ro @ 2 con &ro6. .5 15 con &ro6. .3 1 con &ro6. .2 a)
&(H = ^) R ^ = 1, 2, 3, ...... e
&(H = ^) =
!&
(!&) S
SK
e
N
12
e !& (!&) S SK
S
SK
e
1&
N
&.*
&.2
&(H = ^) =
(12)
(1&)
S
SK &.!
= .5
-2 (2)^ = .5 ^h e
!&
(!&)
S
2
= ^h
<.1223 H 1-I (2)^ = ^h +(H) = @ 1 &(1) N @ ! &(2) N @ * &(3) = 2(.5) N 15(.3) N 1(.2) = 10.5 35.- Ciro i&o # loca &u# nr un nK%ro Q # &uno* #cuo*o* u *i!u una #i*ri6ucin # Poi**on con una %#ia # 3 &uno* #cuo*o* &or loca. +l &rcio # la lo*a * _1 *i Q = , # _. *i Q = 1 o 2, y # _.1 *i Q>2. Calcular l &rcio *&ra#o &or lo*a.
SOLU'I(&) Q : 9e # &uno* #cuo*o*. Q
Poi**on
@
=3
N!
Prcio = S/. 1,
Si: H =
. Si H = 1 2 .1 Si H > 2 +(H) =
@
=7
P(H = ) =
e@
@
&
= -3 = .
&K
P(H = 1) &(H = 2) =
e
* 1
* N 1K
= 3 -3 N
e
* !
* !K
;e * !
= .5 -3 = .33< &(H > 2) = 1 &(H 2) = 1 &(H = ) N &(H = 1) N &(H = 2)T = 1 .
Q Prcio
1 1 .
2 .
3 .
.1
30.- +l nK%ro # u*uario* u acu#n a cira 6a* # #ao* con i#ncial *i!u una #i*ri6ucin # Poi**on con una %#ia # #o* u*uario* &or ora. a) Calcular la &ro6 a6ili#a# # u n r la* 8 a%. y l %#io #@a (1 2.% ) acu#an %* # #o* u*uario*. 6) Si un o&ra#or # la 6a* # #a o* ra6aa o#o* lo* #@a * # 8 a%. a*a l %#io#@a (12.%), 4cul * la &ro6a6ili#a# # u * o&ra#or n!a u *&rar %* # #@a* a*a o6*r?ar l &ri%r #@a n l cual acc#n %* # #o* u*uario*f7.
SOLU'I(&)
N*
= 2 &or ora. @ f = @ = 2(<) = 8 H ) Poi**on @
Q : 9e # u*uario* u acu#n a ciro 6a* # #ao* coni#ncial. P(H > 2) = 1 &(H ( 2) = 1 &(H = ) N &(H = 1) N &(H = 2) e * N&
=1-
&
e
N
1
N
1K
e
N
! N
!K
= 1 -8 N 8 -8 N 32 -8T = 1 <1 -8T = 1 .1353I0< = .I802<0 6)
Q ) o%rica (&) #on#: & = .I80 &(H > ) = a = (1 .I80) = (.1<)
= 1.5<1< H 1 -13 3.- Cira &ana#r@a #i*&on # una %a*a con rua * concia#a* &ara acr 2 &anon*. A!r!a 2, &a*a* # u?a* a la %a*a y la %'cla 6in. Su&on!a u l nK%ro # &a*a* * una ?aria6l alaoria # Poi**on con un &ro%#io 1 &a*a* &or &ann. a) Calcular la &ro6a6ili#a# # u un &ann l!i#o al a'ar no conn!a nin!una &a*a. 6) 4Cuno* &anon* * *&ra u conn!an 0 &a*a*7 c)
Su&on!a u n a l &ro#uccin ay 15 &a non* con a 1e %* 0 &a*a*, *i un clin a#uir 5 &anon*, 4cul * la &ro6a6ili#a# # u #o* n!an %* # 0 &a*a*7.
SOLU'I(&) 9 = 2 &anon* Q : 9 # &a*a* &or &ann:
N
Q ) Poi**on a)
&(H = ) =
6)
&(H = 0) =
@ = 1 e
1&
1& &
= -1 = <.5< H 1-5
&
e 1& 1&6
= .0355
6K
n& = 2 (.0355) = 12.01 ; 65 r = 15 con a lo %* 0 &a*a* 9 = 2 5=n
2=^
&(2 conn!an 0 &a*a*) Q : ) i*ri6ucin "i&r!o%rica P(H = 0) =
1N2 C12 * C!
C 2!&&
38.- Dna co%&a@a # *!uro* ncunra u l . 1 # lo* a6i an* # una !ran ciu#a# allc ca#a ao n acci#n* # rn*io. Calcular la &ro6a6ili#a# u la co%&a@a n!a u &a!ar n un ao a %* # 1 # *u* 3, a*!ura#o* conra al* acci#n*.
SOLU'I(&) .1 # lo* a6ian* allcn ca#a ao. P(H > 1) R @ = .1 (3) Q : 9e # clin* a*!ura#o* conra acci#n* # rn*io. P(H > 1) = 1 &(H ( 1) @
=1-
9
1&
+ e 9K@ 9&
@ = .1 (3) = 3 1&
*
&(H > 1) = 1 - + e 9*K
9
9 &
=1-
& .;;;<1 7abla
N2
= .2I 3I.- Su&on!a u la &ro6a6ili#a# # u * a!a una *ol#a#ura #cuo*a n un conHin #a#a * .1. Calcular la &ro6a6ili#a# # u * &r*nn a lo %* 2 #co* n un *i*%a u in 5, conHion* *ol#a#a* in#&n#in%n. SOLU'I(&) &(H = *ol#a#ura #cuo*a) = .1 Q : 9e # *ol#a#ura* #cuo*a*. P(H ( 2), 9 = 5. conHion* Q ) Bino%ial (5 , .1) Si a&roHi%a%o* a la Poi**on.
@ = 5 (.1) = 5 &(H ( 2) = &(H = ) N &(H = 1) N &(H = 2) =
e
2
2
&
&K
N
e 2 21 1K
N
e
2
2
!
!K
= -5 N 5 -5 N 12.5 -5 = 18.5 -5 = .12<052 <.- Dn li6ro # n &!ina* conin n &ro% #io ^ rror* # i%&r*in &or &!ina. Calcular la &ro6a6ili#a# u &or lo %no* una & !ina conn!a &or lo %no* ^ N l rror*.
SOLU'I(&) n &!ina*
@ +rror* n &ro%#io. &(una &!ina conn!a &or lo %no* ^ N 1 rror*) &(H ( ^N1) = 7
H Poi**on,
@
H1 : 9 # &!ina* con &or lo %no* ^ N 1 rror*.
H1 ) Bino%ial (n, &) & = &(H 1 (
^N1)
La &ro6a6ili#a# # u &or lo %no* una &!ina conn!a ^ N 1 rror* *:
N6
P(H1 1) = 1 & (H ; 1) = 1 &(H = ) n &
= 1 - C p&q n = 1 - C &n q n
N<
