01. Los vectores A , B y C pertenecen a un mismo
plano y miden 1, 2 y 1 respectivamente. Calcular el modulo de la suma de vectores. vec tores.
A)
Trabajamos primero dos vectores en este caso trabajamos 80 N y 60 N y luego con el de 50 N.
2
B)
3
C)
5
5K
A
D)
7
E)
10
37º
4K
53º
105º
C
3K
15º B
R
100 80 53º
Nos damos cuenta que el vector A y B forman 120º y tienen modulos iguales entonces por propiedad.
60 7º 50
R = 50 1
2
+ 2 2 + 2 ´ 1´ 2cos60º æ 1 ö ÷ è 2 ø
R = 50 1 + 4 + 4ç
R 1
60º
1
E 03. Determine el modulo de la resultante si el radio del cuarto de circunferencia es: 2 - 3 .
2
45º 105º
R = 50 7 N
15º 1
A) 1 B) 2
a
60º
Ahora por ultimo trabajamos vector resultante entre A y B con el vector C .
a 60º
C) 3 D) 4
qq q
E) 5
a
R = 12
2
+ 2 + 2 ´ 1 ´ 2cos45º æ 2 ö ÷ ç 2 ÷ è ø
Recordando el Metodo del Triangulo se tiene.
R = 1 + 2 + 2 2 ç
R
R = 5 r
C 02. Los vectores mostrados. Hallar el modulo del vector resultante F1 = 80 N, F2 = 60 N y F3= 50 N.
A) 50 3 N
qq q
q
q
F1
R = r 12
B) 50 5 N
+ 12 + 2 ´ 1 ´ 1cos30º æ 3 ö ÷ ç 2 ÷ è ø
R = r 2 + 2ç
C) 100 7 N
R
F2
D) 50 2 N E) 50 7 N
r
30º
A
7º
R = A+ B
F3
1
B
R = r 2 + 3 R = æ ç 2 - 3 ö÷æ ç 2 + 3 ö÷
è
øè R = 1
ø
A
04. Se tiene dos vectores A y B que forman entre si un angulo de 53º, si A = 75 cm y el modulo de la resultante es 300 cm. Hallar el seno del angulo formado entre el vector B y la resultante.
5
m
=
sen30º sen53º 5 m = 1 4
A) 0,4
2 5 m=8
B) 0,1
E
C) 0,3 D) 0,2
06. Hallar el valor de la resultante del conjunto de vectores.
E) 1,0
5K
A) a
37º
4K
53º
B) 2a
2a
C) a 3
3K
a
D) 2a 3
75
53º
75
q se n θ se n θ
=
=
a
4K 75 = 5K K=15 A cada vector colocamos una letra y luego por método del triangulo y polígono reducimos los vectores entonces se tiene.
53º 3K
B
a
E) a 5
37º
300
3a
a
4K
R = a + b + c + d + m + n
300 4 ´ 15
n m
R = d + d + m + n
300 se n θ = 0,2
d a
m
c
R = d + 2m
b
D
Ahora nos damos cuenta como están graficados los vectores deducidos que son vector d y vector m.
05. Se tiene dos vectores cuyos modulos son 5 y “m”
unidades, las cuales forman entre si un angulo de 83º. Hallar “m” si el vector resultante forma un angulo de 53º con el vector de 5 unidades. A) B) C) D) E)
m
60º d
5 6 7 9 8
Pero la resultante que nosotros queremos es dos veces m y d.
Aplicamos Ley de Senos
R
2m
5
2a
53º R
m
30º 30º
60º m
2a 3
d
2a
R = d + 2m
30º 83º 53º
R = 2a 3
D
5
2
07. Si el modulo de la suma de dos vectores de igual
modulo es el triple del modulo de su diferencia. Halle el angulo comprendido entre dichos vectores disminuido en 7º.
Por metodo del poligono reducimos los vectores mostrados. B
A) 23º B) 46º C) 37 D) 30º E) 44º
m
q
p n
o
A
R = A + B + m + n + q + o + p
Por definicion de suma y resta para dos vectores formando un angulo se tiene.
R = A + A + A A
A
R = 3A
D =A - B
R = A+ B
q
R = 3A
q B
R = 30cm B
B 09. Dado los vectores. Hallar la resultante .
R = A2 + B2 + 2ABcosθ
D = A2
+ B2 - 2ABcosθ
b A) - d
Según el problema R = 3D, ademas tiene igual modulo A = B entonces tenemos que:
B)
R = 3D
2
θ
2
f
E) 3 d
θ
d
2 + 2cosθ = 18 -18cosθ cosθ =
c
e
D) -2 d
( ) A + A + 2AAcos = 9(A + A - 2AAcos ) A2 + B2 + 2ABcosθ = 9 A2 + B2 - 2ABcosθ 2
a
C) 2 d
A2 + B2 + 2ABcosθ = 3 A2 + B2 - 2ABcosθ 2
d
4
Recordando para el metodo del poligono cerrado resultante CERO.
5 θ = 37º
Pero disminuido en 7º tenemos
R = a + b + c + d + e + f Rpta: 37º - 7º =30º
R = 0 +
30º
(- d )
e
f
D
d
R = - d
08. Hallar la magnitud de la resultante en el c onjunto de
d + e + f = 0 e + f = - d
vectores, siendo A = 10 cm; B = 5 cm . B
A
A) 5 cm 10. Se tiene 2 vectores compuestos
B) 30 cm
(A + 3 B )
y
C) 15 cm
(. A + 2 B ) que forman entre si un angulo de 37º, si
D) 10 cm
ademas se sabe que sus modulos son 40 u y 14 u.
E) 40 cm
Calcular B .
A
3
A) 10 R = 2E + A
B) 20
Ahora nos damos cuenta como están graficados los vectores E y el vector A entonces se tiene .
C) 40 D) 30 E) 50
R
A
Por teoría de vector diferencia nos damos cuenta y tenemos lo siguiente.
2E Ahora por Teorema de Pitágoras
(A + 3 B ) - (A + 2 B )
D
(A + 3 B )
R =
B
A2
+ B2
R = 5 2
+ 12 2
37º
R = 13u
(A + 2 B )
E
Nos damos cuenta que la diferencia de los dos vectores nos da precisamente lo que nos pide osea el vector B. D D
=
= 40 2
D
=
A2
12. Si se cumple que A + B + C = 0 .
Siendo: A = 3; B = 5; C = 7. Hallar “q”
+ B 2 - 2ABcosθ
+ 14 2 - 2 ´ 40 ´ 14cos37º A2
A) B) C) D) E)
+ B 2 - 2ABcosθ D
= 30 u
30º 60º 37º 53º 45º
A
q
B C
B = 30 u
D La resultante sera cero cuando un vector esta tras otro y forma un polígono cerrado entonces se tiene.
11. A partir del grafico, determine el modulo de la
resultante de vectores mostrados siendo A = 5u; y E = 6u. B C A) 10 G B) 12 C) 15 A D D) 20 F E) 13 E
A -C -C A
q
q
B
A+ B + C = 0
B
A+ B = - C
El vector C es la resultante del vector A y B de donde nos resulta.
B
C
C = A 2 + B2 + 2ABcosθ
G
7 = 32 + 52 + 2 ´ 3 ´ 5cosθ
A
49 = 9 + 25 + 30cosθ
D
15 = 30cosθ
F E
cosθ =
1
2 θ = 60º
R = A + B + C + D + E + F + G
B
R = E + E + A
4
13. Para el conjunto de vectores mostrados. Calcular el
C) 4
modulo de su resultante, sabiendo que tiene
D) 3
direccion horizontal. Ademas P = 30.
E) 5
y A) 10
Por teoria de resultante máxima y por teoria cuando forman un angulo se tiene.
Q
B) 12
37º
C) 13 P
D) 14
x
B
R
B
37º
A
E) 15
60º
Rmax = A + B R max
Nos dan dos vectores tales que al descomponerlos se tiene que. y
y
3 Q 5
Q
3 Q 5
18
37º
18
30 37º 24
x
4 Q 5
A
R =
+ B2 + 2ABcos60º 132 = A 2 + B2 + 2ABcos60º 169 = A 2 + B2 + AB....ii
= A+ B
15 = A + B..................i
A2
En la ecuación ii aumentamos AB y restamos AB y luego reemplazamos la ecuacion i entonces se tiene. 169
24
4 Q 5
x
= A 2 + B 2 + AB + AB - AB 2 169 = (A + B ) - AB 169 = 225 - AB AB = 56
\A = 7;B = 8 5K
Q
37º
4K
53º
B
3 Q 5
A
37º
Rmin = B - A
4 Q 5
53º
3K
=8-7 R min = 1
R min
Si la resultante tiene dirección horizontal entonces en el eje Y los vectores deben anularse , anularemos tan solo igualando de donde se tiene. 3
Q
5 Q
A 15. Si la magnitud de la resultante de los vectores
mostrados es A 34 .Hallar la medida del angulo a. y
= 24
= 40
A) 16º
Ahora la resultante es:
B) 18,5º
4 R = Q -18 5 4 ´ 40 R = -18 5 R = 14
5A
A/3
a
C) 26.5º D) 37º
a a
x 4A/3
E) 30º
D 14. La resultante maxima de dos vectores es 15, pero si ambos vectores forman un angulo de 60º, la nueva resultante seria 13. Calcular la resultante mínima.
Restamos modulos de los vectores opuestos paralelos de donde se tiene. A/3
a
A) 1
a
B) 2
5
a 4A/3
A
y
C) 12 D) 6
5A
E) 14 A 34
a a
x A
(A
R =
A2
30
Aplicamos Ley de Senos
16º
+ B 2 + 2ABcos2α
) = (5A ) + A 2
+ 2.5A.Acos2α 34A 2 = 25A 2 + A 2 + 10 A 2 cos2 α 34 = 26 + 10cos2 α 8 = 10cos2 α 34
2
4
α
B
2
37º 53º 16º 30 B
= cos2 α
5 2α
R
B
sen16º B 7
= 37 º
= 18.5º
sen37º 30 = 3
25
B
B=
16. Hallar la magnitud de la resultante , si es horizontal. y
30
=
5 7
´ 50
25 B = 14
30
A) 2 B) 4
E
a
C) 5
18. Hallar la medida del angulo a , para que la resultante del sistema tenga una direccion de 53º, b = 37º. y
x
20
D) 6 24
E) 12
50
A) 0º B) 37º
30sen α 30
a
se n α 30sena
30cosa
α
20 24
=
b
a
C) 45º
Primero descomponesmos en el eje “x” y eje “y” para luego igualar los vectores en el eje “y” ya que la resultante debe estar en el eje horizontal. y
40
x
D) 53º 48
E) 74º
= 24
=
4
5 53 º
Descomponiendo 40 con ángulo de 37º se tiene que.
x Luego tenemos que:
y 5K
R = 20 - 30cosα R = 20 - 30.
50
3
24
5
R = 2
4K
37º 32
A
48
17. Al sumar un vector A de magnitud 30 con otro vector B. que forman con A un angulo de 53º se observa que la resultante forma un angulo de 37º con B . Hallar la magnitud de B .
3K
37º
40
a
53º
x
Restando 48 y 24 se tiene: y 50
a
32 x
A) 12 24
B) 10
6
Luego resultante entre 32 y 24 obtenemos:
20. En el cubo mostrado. Hallar la magnitud de la resultante.
y
y 50
50
A) 1
a
a
32 x
37º
1
C) 3
40
40
24
B) 2
x
37º
D) 4 E) 5
Como la resultante
de los vectores tiene una
dirección de 53º entonces graficamos y se tiene que: y
40
R
50
a
Descomponiendo primero dos vectores tenemos que. y
y
53º 37º
x
50
16º 37º
a
40
x
x Del triangulo sombreado: α
+ 16º = 90º α
z Luego descomponemos el ultimo vector y se tiene.
= 74º
E
y
19. En el cubo mostrado. Hallar la magnitud de la resultante de los vectores. La arista del cubo es a.
A) B) C) D) E)
6 a/2 6a 5a 3 a/2 a
x z Luego sumamos los modulos de los vectores descompuestos en los tres ejes y tenemos.
Descomponiendo en los tres ejes el vector que se encuentra en la diagonal del cubo y se tiene que. y
* åVx =1+1= 2 * åVy =1+1-1=1
a
* åVz =1+1= 2
åV = 2 +1 åV = 3 2
2
+ 22
a a
x
21. En el grafico se muestran dos vectores dipuestos
a
Del gráfico:
* å V x = 2a
C
a
z
* å Vy = a * å Vz = a - a = 0
å
V
=
(2a )
2
åV = a
sobre un cubo. Determine en que relacion se
+ a 2 + 02
encuentran los modulos de los vectores A + B
5
.A - B .
C 7
y
A) 1 2 B) 2
22. En la figura ABC, es un triángulo rectá ngulo, recto en B. Determinar la magnitud de la resultante. B
B A
2 C) 3 D) 3 2 E) 3
A) a B) 2a C) 3a D) 4a E) 5a A
a
a
a
C
a
La relación entre el modulo de la suma y resta es.
K =
A+B
........................I
A-B
Representando cada vector dado mediante una letra y proyecatando nuestra grafica se tiene: B
Primero hallaremos A + B . Descomponemos los vectores en los lados del cubo. y
m
* åVx = a B
a
A a
* å V y = 2a
a
a
a
2
n
b
a
a
2
C
Propiedad
å V = (a ) + (2a ) + (2a ) å V = 3a
z
a
c
* å V z = 2a
x
a
A
a
2
R = a + b + c + m
+n
® A + B = 3a R = 2c + c - 2c
Ahora el módulo de A - B . y
R = c
a -B A a
åV
a
a
a z
Entonces por propiedad de diagonales de un rctangulo se tiene:
x
R = 2a
x
a
B
= 0; å V y = a; å V z = 0 0
2
23. Dados los vectores mostrados en la figura, determinar el modulo de su vector resultante. El radio de la circunferencia es de 25 unidades. y
+a +0 =a 2
2
® A-B =a
A) 3
Reemplazando en la ecuación I K =
A+B A-B
=
K = 3
3a a
B) 9
=a
C) 3 D) 9 10
E
E) 3 10
8
42° 21°
0
x
Para utilizar el método de los componentes rectangulares y trabajar con ángulos notables giramos los vectores en 5° de forma horaria.
Nos preguntan por
K =
y
A+B A-B
Condición
=
A 20
Ÿ
B
=m
Para la suma
37°
m
7
16°
mcos(q/2)
x
24
15
m
Sumamos las componentes del eje “x” y eje “y” tenemos:
å Vx = 24 - 15 = 9 å Vy = 20 + 7 = 27
mcos(q/2)
m
Del grafico
A+B
2
q /
q/2
Ÿ
θ ö = 2mcosæ ç ÷.....I è 2 ø
A+B
m
Para la diferencia
Ahora la resultante es:
R =
(å V ) + (å V ) 2
x
Del grafico
2
msen(q/2)
x
()
R = 9 1
+ (3)
2
m
A-B
2
msen(q/2)
2
q /
q/2
R = 9 10
m
æ θ ö ÷ 2 è ø K = æ θ ö 2msen ç ÷ è 2 ø æ θ ö K = co t ç ÷ è 2 ø 2mcosç
Recordando 37º
4K
53º
25K
74º
7K
16º
3K
24.
θ ö = 2msenæ ç ÷.....II è 2 ø
Eluego (I) entre (II).
D
5K
A-B
24K
Dos vectores A y B
de igual modulo forman un
D
ángulo q. ¿En que relacion están los módulos de los
25. Los puntos A; B; C; y D determinan un cuadrado.
vectores A + B y A - B ?
Escribir el vector x en funcion de los vectores a y b. A B
æ θ ö A) sen ç ÷ è 2 ø
æ θ ö B) cosç ÷ è 2 ø æ θ ö C) tanç ÷
A)
2 a + b 2
B)
2 a + b
(
)
(
)
a + b C) 2
è 2 ø æ θ ö D) cotç ÷ è 2 ø æ θ ö E) secç ÷ è 2 ø
D) E)
9
( ) 3 (a + b)
a
x
3 a + b 2
D
b
C
a + b L
A
B
x
a
1
L
1 Sumando vectores paralelos horizontalmente y verticalmente
C b Comparando los dos vectores. El vector x es D
paralelo con el vector (a + b) x Tamaño x
a+b Tamaño (a + b)
=
4
5 3 R=5
x L
=
a + b
C
L 2 27. Halle el vector x en función de A
x
=
2 a + b 2
(
) A
A
Recordando
x
Para un cuadrado
a + b a
L b
L 2 L
5 A) 2 5 A
5 B) 5 2 A
3 D) 3 5 A
5 E) 4 5 A
5 C) 2 A
26. Hallar la magnitud del vector resultante del sistema
mostrado. Observando el grafico nos damos cuenta lo siguiente:
A) 4 B) 3
K
C) 5
A
D) 6 E) 7
1 1
K 5
x 2K K 5
53° 2
Descomponiendo empezado de cola a cabeza en ele. Comparando los dos vectores. El vector x es paralelo con el vector A
10
A x = K 5 2K x =
A)
C)
2 5 A 5
E)
A
æ 3 ®i - j®- ®k ö ç ÷ 11 è ø ® ® ® æ ö 11ç i + j + k ÷ è ø 1 æ ® ® ® ö ç 3 i - j + k ÷ 11 è ø 1
æ ®i + 3 j®+ ®k ö ç ÷ 11 è ø 1 æ ® ® ® ö ç i + j + 3 k ÷ 11 è ø
1
B)
D)
28. Los puntos A; B; C y D determinan un cuadrado.
Escribir el vector y en función de los vectores a y b.
Graficando en los tres ejes los puntos dados: y
a
PQ P = (2,3,-1)
b
y
Q = (3,4,2)
2 4 a+b
B) 3 2 a + b 2
D) 2 a + b 2
2 E) 2 3 a + b
A)
C)
2 a+b 6
x z
PQ = Q - P = (3,4,2) - (2,3,-1) = (1,1,3) Prolongando la gráfica para buscar vector suma de ayb
Por teoria de vector unitario se tiene:
a + b 2 PQ = a
K
y K 45°
PQ
mPQ =
2
2
2
1 +1 +3 =
mPQ =
b
K 2
PQ
11
(1,1,3) 11
mPQ = 1 i + j + 3 k 11
y = K
a+b
D
2
K 2
.
.
Recordando
y = 2 a+b 4
B
A = (a i + b j + c k ) B = (m i + n j + p k )
A
AB A
29. Hallar el vector unitario dirigido del punto,
P = (2, 3, -1) hacia Q = (3, 4, 2)
11
AB = B - A = (m - a) i; (n - b) j; (p - c) k
31. Considerando que “M” es punto medio del
30. En el sistema de vectores sobre el hexágono de 4m de lado mostrado en la figura, determine el módulo de la resultante.
paralelogramo mostrado, expresar el vector en función de los vectores A y B
A
E
A) 20
M
B
B) 24
D
C
C) 32
x
A
D) 16
B
E) 8 A) B - A
B) B - A
D) B - A
E)
2
Primero por resultante se tiene que:
3
5
R=A+B+C+D+E
C) B - A 6
B - A 4
Por método del triangulo reducimos y tendremos que: Por propiedad se tiene que:
B
A
D
C
B
x
x = nA + mB m+n
n
m
A
E
C=B+E
Dandole forma al gráfico que nos dan se tiene que:
C=D+A
B
Reemplazando se tiene que:
2x
R=A+B+C+D+E R=C+C+C
m
x
-A m
R = 3C La resultante es tres veces el tamaño del vector “C” entonces: 60°
4m
( ) 3x = m -A + m B m+m
4m
3x = -A + B 2
60° 60°
4m
x= B A 6
4m
C
Recordando
R = 3C R = 3(8)
G = baricentro 2k k
R = 24m
B 12
