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Estadística y muestreo, 12ª.edición (Segunda reimpresión) - CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007

Cap.1 Conceptos generales

1 Conceptos generales EJERCICIOS RESUELTOS 1. Solución: • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Estadística Estadísticas Estadística descriptiva Indiferencia estadística Población Muestra Variable discreta Variable continua Investigación parcial Investigación total Elemento Unidad Parámetro Estimador Muestreo aleatorio Muestreo no aleatorio Estadísticas primarias Estadísticas secundarias Estadísticas externas Estadísticas internas Error de muestreo Dominio de estudio Marco muestral Marco defectuoso Sustitución de unidades o elementos Finalidad de la estadística Preguntas de control Preguntas abiertas Preguntas filtro


• • • • • • • •


Muestreo aleatorio simple Muestreo aleatorio estratificado Muestreo doble Muestreo por conglomerado Error ajeno al muestreo Características Características cualitativas Características cuantitativas

2. Solución: •

Estadística: método aplicado en la recolección, organización, análisis y descripción numérica de la información y en la realización de inferencias.

•

Estadísticas: se refiere a un ordenamiento sistemático de datos presentados en forma de cuadros y gráficas, que permiten visualizar la información.

•

Estadística descriptiva: parte de lo general a lo particular, describiendo mediante cuadros, gráficas y medidas el comportamiento de un conjunto de datos.

•

Inferencia estadística: parte de lo particular a lo general. A través de una muestra se obtiene información para toda una población.

•

Población: objeto de la investigación. Es un conjunto de medidas o el recuento de todos los elementos que presentan una característica común.

•

Muestra: recuento de una parte de los elementos pertenecientes a una población. Los elementos se seleccionan aleatoriamente.

•

Variable discreta: son aquellas que admiten únicamente valores enteros.

•

Variable continua: son aquellas que admiten valores fraccionarios.

•

Investigación mayor: Se selecciona una muestra de la población cuyo resultado es generalizado a un grupo mayor.

•

Investigación total: es aquella, en la cual se selecciona la totalidad de elementos de una población.

•

Elemento: puede ser una entidad simple o compleja. Es indivisible.

•

Unidad: conjunto de elementos. Es divisible, como por ejemplo la familia, una empresa etc., se puede descomponer en personas, trabajadores… 2

Estadística y muestreo, 12ª.edición (Segunda reimpresión) Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007


•

Parámetro: son medidas que describen numéricamente la característica de los elementos de una población.

•

Estimador: la descripción de una característica correspondiente a los elementos de una muestra, a través de la aplicación de medidas.

•

Muestreo aleatorio: cuando todos los elementos que constituyen una población, tienen las mismas posibilidades de ser seleccionadas. Se realiza al azar.

•

Muestreo no aleatorio: cuando los elementos son elegidos por métodos no aleatorios, es decir, a juicio o voluntad, generalmente a juicio del investigador o en forma caprichosa o por conveniencia.

•

Estadísticas primarias: son aquellas que las personas o las empresas realizan directamente a fin de obtener información.

•

Estadísticas secundarias: son informaciones que fueron producidas por otras personas o entidades y que en un estudio o en algún momento son utilizadas.

•

Estadística externas: registros originados fuera de la empresa. Encuestas sobre la opinión que tienen los consumidores sobre un producto.

•

Estadísticas internas: registros originados dentro de la empresa. El departamento de producción; de Recursos Humanos, etc., producen información.

•

Error de muestreo: error que se puede cometer al realizar una investigación por muestreo. Es la diferencia que hay entre parámetro y estimador. Generalmente lo establece el investigador.

•

Dominio de estudio: manejo inadecuado de la estadística. Cuando no se tiene la totalidad de los informantes y se trabaja con la información suministrada por un número de informantes, menores al tamaño de la muestra. Cuando está mal diseñada la muestra. Por ejemplo se establece un número óptimo de alumnos matriculados en la universidad y finalmente se analizan únicamente aquellas que trabajan. En cada caso la población y la muestra deben corresponder a alumnos matriculados que trabajan.

•

Marco muestral: la lista o mapa completamente actualizada, que contenga las unidades o los elementos perfectamente identificadas de la cual se selecciona la muestra.

3



•

Marco defectuoso: cuando contiene elementos que no corresponden a la población que se va a investigar.

•

Sustitución de unidades o elementos que no informaron: - Seleccionar un número de elementos superior al tamaño de la muestra. - Seleccionar del número total que informaron, un número igual a aquellos que no informaron y duplicamos la información. - Sustituir el elemento que no informó por el siguiente que si informó, y que estaba en la lista de los seleccionados. - De la población que no fue seleccionada, se extrae un número de elementos igual a los que no informaron.

•

Finalidad de la estadística: suministrar información, y su utilidad dependerá en gran parte del fin que se propongan y de la forma como se obtengan los datos.

•

Preguntas de control: determinan la veracidad de la información.

•

Preguntas cerradas: cuando se responde únicamente si o no.

•

Preguntas abiertas: cuando se pide una opinión.

•

Preguntas filtro: determinar si se debe dar por terminada la entrevista o si hay necesidad de pasar a otras preguntas del formulario.

•

Muestreo aleatorio simple: cuando la población no es numerosa, las unidades se concentran en un área pequeña, la característica investigada presenta muy poca variabilidad, además, es fácil la elaboración del marco de elementos.

•

Muestreo aleatorio estratificado: implica una división de la población en grupos denominados estratos, en tal forma que el elemento presente una característica tan definida que solo le permitirá pertenecer a un único estrato.

•

Muestreo sistemático: se aplica, cuando la característica a investigar se encuentra ordenada de mayor a menor o de menor a mayor de acuerdo al valor, tiempo o cantidad. La selección se hace a intervalos regulares

•

Muestreo doble: es aplicado de preferencia, cuando no existe información auxiliar que permita conocer los tamaños proporcionales de los estratos y hay dificultad para llegar al elemento o unidad que debe informar.

•

Error ajeno al muestreo: errores o fallas que se cometen durante todo el proceso de investigación.

4


•

Características: lo que se estudia en cada elemento o unidad.

•

Características cualitativas: se expresan mediante palabras.

•

Características cuantitativas: se expresan mediante números.


3. Solución: a. Población: supongamos que nos situamos en un departamento del país: Cundinamarca y se desea hacer una investigación sobre el consumo de un determinado artículo, la población podría estar constituida por todas las amas de casa del departamento. También se podría hacer investigación sobre la totalidad de empresas; sobre los vehículos de transporte, particular o de servicio público o intermunicipal que operan en el departamento. b. Población finita: cuando la población está constituida por un número limitado de elementos, por ejemplo la totalidad de trabajadores del sector industrial textilero del país. c. Muestra: se investiga una parte de la población, en este caso sería extraer una muestra aleatorio, de los trabajadores del sector textilero del país. d. Características: tanto en la población como en la muestra, el ejemplo dado correspondería al trabajador (como elemento) del sector textilero del país, donde las características a estudiar son múltiples, algunas de ellas podrían ser: sexo, edad, tiempo de servicio, estado civil, composición familiar, propietario de vivienda, salario, etc.

4. Solución: Estadística descriptiva: un ejemplo podría ser, la investigación sobre rendimiento académico de los estudiantes de una facultad, en una de las universidades de la capital del país. Para ello, recolectamos información sobre la totalidad de los alumnos de la facultad luego, la procesamos para la elaboración de cuadros y gráficas, con la aplicación de algunas medidas, que puede estar acompañada de comentarios y conclusiones. Estadística inductiva: solamente se obtiene información para una parte de los estudiantes, cuyos resultados son considerados como válidos para el total de alumnos matriculados en esa facultad, de esa universidad.

5



5. Solución: Tener la información diaria, semanal o mensual, sobre la producción de un artículo en la empresa donde trabajó, además de otros factores que el proceso involucra. La lectura e interpretación de ese mundo de información, que constantemente se produce, a todo nivel, en cada área del saber, obliga el conocimiento y uso de la estadística.

6. Solución: Conocer la realidad de la producción de un artículo específico, en una empresa. Determinar los cambios que presentan la demanda, la producción, las ventas y los precios en una empresa ya que estos originan cambios constantemente. Determinar las causas que han llevado a la empresa a exportar un artículo; puede estar dado por un mejoramiento del precio en el mercado interno, por un volumen superior a la demanda interna, etc.

7. Solución: Hechos no repetitivos o aislados. La caída de un meteorito en una zona del país. Los hechos cualitativos que no se pueden cuantificar, como el amor a la patria; el grado de religiosidad, etc. Hechos individuales, aquellos que le ocurren a una sola persona, a una empresa, a una entidad, etc.

8. Solución: La estadística se preocupa únicamente por el estado de grupos de personas, cosas, animales, empresas, etc., de ahí que rechaza los estudios individuales, ya que no es propiamente su campo de acción.

9. Solución: 9.1 9.2 9.3

c a d

(verdadero) (verdadero) (verdadero)

6



10. Solución: 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5

Falso Verdadero Falso Cierto Falso

11. Solución: 11.1

d

11.2

a

11.3

b

11.4

Falso 12.7 Falso

Falso

c

12. Solución: 12.1 12.2

Falso 12.3 Falso 12.4

Verdadero Verdadero

12.5 12.6

13. Solución: A Planeamiento B Recolección C Procesamiento, análisis y publicación A. Planeamiento - Objetivo o finalidad - Definición del elemento o unidad - Formulación de hipótesis - Método de investigación (censo o muestra) - Método de recolección - Elaboración del presupuesto - Selección y preparación del personal - Actualización o preparación del marco - Examen de la documentación y metodología - Elaboración del cuestionario - Encuesta preliminar B. Recolección - Distribución de los formularios - Recolección propiamente dicha 7



- Revisión de las informaciones - Control sobre el número de formularios recolectados C. Procesamiento – análisis y publicación - Proceso de crítica de la información recibida - Elaboración de cuadros de salida y cruce de información - Procesamiento - Revisión de los cuadros y gráficos - Análisis de la información - Publicación

14. Solución: Aspectos materiales - Tamaño del papel utilizado - Color del mismo - Tipo de impresión - Calidad del papel Aspectos técnicos: - Incluir únicamente las preguntas necesarias - No incluir preguntas que no van a ser contestadas - Comenzar por las preguntas fáciles hasta llegar a las más difíciles - No hacer preguntas que conlleve engorrosos cálculos - Evitar preguntas de difícil recordatorio - Utilizar el lenguaje del informante - No usar abreviaturas

15. Solución: (d)

Ocupación

16. Solución: (e)

Que todas tengan la misma posibilidad de ser seleccionados

17. Solución: (d)

Un conjunto de medidas o el recuento de todos los elementos que tiene una característica común. 8



18. Solución: (a)

Parámetro

19. Solución: (d)

Los individuales

20. Solución: (e)

Efectuar comparaciones sin sacar conclusiones

21. Solución: a. Verdadero

b. Cualitativo

c. Inferencial

d. Igual

e. Descriptiva

22. Solución: Objetivo o finalidad a) Costos b) Tiempo c) Recursos humanos

d) e) f) g)

Grado de homogeneidad Destrucción del elemento Población infinita Población demasiado grande

b) Es un listado o puede ser un croquis, donde aparezcan todos los elementos o unidades que constituyen la población que va a ser objeto de la investigación, por lo tanto deben estar plenamente identificados y actualizados. a) b) c) d) e)

Los colectivos Los que se registran Se repiten Distinta frecuencia Cualitativos cuantificables

f) g) h) i) j)

Individuales No registrados Aislados Constantes Los que no son cuantificables

23. Solución: a) Población: hogares de clase media de la ciudad Bellavista 9



Muestra: 350 hogares de clase media de dicha ciudad Unidad: hogares de clase media de dicha ciudad Característica: tipo de aceite o grasa usada en la cocina Característica: cualitativa Característica: ninguna de las dos, dado que es un atributo b) Población: plantas infestadas de un jardín Muestra: 50 plantas infestadas de dicho jardín Elemento: planta infestada en dicho jardín Característica: tiempo Característica: cuantitativa Característica: variable continua c) Población: 800 alumnos de un plantel de ambos sexos de 5 a 12 años Muestra: 20 alumnos de ese plantel, de ambos sexos, de 5 a 12 años Elemento: alumnos de ese plantel, de ambos sexos, de 5 a 12 años Característica: escala de medición, de 0 a 10 puntos Característica: cuantitativa Característica: discreta 24. Solución: a) Parámetro: medidas aplicadas a las características de los elementos o unidades en una población. Estimador: lo mismo, pero aplicado a la muestra. b) Población: conjunto de medidas o recuento de todos los elementos que constituyen la población que es objeto de investigación. Muestra: lo mismo, pero solo es una parte de los elementos de la población. c) Atributo: la característica cualitativa, se expresa mediante palabras y se cuantifica mediante el conteo. Variable: característica cuantitativa se expresa numéricamente, ya sea por conteo, como sucede con la variable discreta o mediante la medición, como ocurre con la variable continua. d) Muestreo aleatorio: todos los elementos que constituyen la población a investigar, todos los elementos o unidades que lo conforman, tiene la misma posibilidad de ser seleccionados. También todas las muestras posibles que se pueden obtener de una población, tiene la misma posibilidad de ser seleccionados. Muestreo no aleatorio: los elementos o unidades son seleccionados caprichosamente, por conveniencia, en forma voluntaria o a juicio del investigador.

10



25. Solución: El alumno podrá contribuir en la solución de este punto, consultando otros autores, con lo cual va a tener una mejor visión sobre estos términos, aun en muchos casos, encontrar definiciones diferentes a las dadas en este libro.

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Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007

Cap.2 Elaboración de cuadros

2 Elaboración de cuadros de frecuencias EJERCICIOS RESUELTOS 1. Solución: Tabla de frecuencias yi

ni

hi

Ni

Hi

0 2 4 6 7 Σ

2 3 7 4 4 20

0,10 0,15 0,35 0,20 0,20 1,00

2 5 12 16 20 -

0,10 0,25 0,60 0,80 1,00 -

Xi

fi

fi

Fi

Fi

n

2. Solución:

a. b. c. d. e. f.

Cierto ( ) (X) ( ) (X) ( ) ( )

Falso (X) ( ) (X) ( ) (X) (X)

n



3. Solución: yi

ni

Ni

hi

Hi

10 20 30 40 50 Σ

6 10 18 10 6 50

6 16 34 44 50 -

Xi

fi

Fi

0,12 0,20 0,36 0,20 0,12 1,00 fi n

0,12 0,32 0,68 0,88 1,00 Fi n

hi =

ni n

h1 =

n1 n

n2 = n(h2 ) = 50(0,20) = 10

n=

n1 = 6 = 50 h1 0,12

h2 = H 2 − H1 h2 = 0,32 − 0,12 = 0,20

f  f 2 = n  2  = 50(0,20) = 10  n 

n=

f1 f1

n

=

6 = 50 0,12

f 2 F2 F1 = − n n n

f2 = 0,32 − 0,12 = 0,20 n

4. Solución: a. b. c. d. e. f. g. h.

Hogares de clase media en la ciudad de Guayaquil 150 hogares de clase media en esta ciudad Atributo Tipo de aceite y grasas usados en la cocina 7 clases. Hábitos de consumo de aceites y grasas Manteca de cerdo Algunos hogares informaron que usaban más de un tipo de aceite o grasa.

Tipo

No. de hogares

2


Aceite de maíz Aceite de soya Aceite de ajonjolí Aceite sin especificar Manteca de cerdo Grasas de origen vegetal Aceite de oliva


14 65 21 17 21 6 13

5. Solución: a. Niños de 5 a 12 años de edad de ambos sexos, residentes en el barrio de San Eduardo de la ciudad de Maracaibo; b. 15 niños y 15 niñas de 5 a 12 años; c. Es cuantitativa; d. Puntos de aceptación del nuevo sabor; e. Discreta; f. Numérica (puntuación de 0 a 10); g. Test de aceptación

h. 8 clases

Puntos 2 3 4 5 6 7 8 10

No. de niños 3 1 2 3 7 9 4 1

Total

30

yi

ni

hi

Ni

Hi

2 3 4 5 6 7 8 10 Σ

3 1 2 3 7 9 4 1 30

3 4 6 9 16 25 29 30 -

Xi

fi

0,10 0,03 0,07 0,10 0,23 0,30 0,14 0,03 1,00 fi n

0,10 0,13 0,20 0,30 0,53 0,83 0,97 1,00 Fi n

Fi

6. Solución: a.

(h1 + h2 + h3 ) + (h1 + h2 + h3 + h4 ) = 1,9

h3 = 0,25

∑ hi > 1 Falso

(0,2 + 0,4 + h3 ) + (0,2 + 0,4 + h3 + 0,2) = 1,9 b. Verdadero

h2 = 0,20 = 16 80

c. Falso

n = 50 ≠ 60

7. Solución:

3



a. Cualitativo b. Cuantitativo – discreta d. Cualitativo e. Cuantitativo – continua g. Cuantitativo - continua

c. Cualitativo f. Cualitativo

8. Solución: Se deja al alumno para que investigue en otros libros a fin de determinar una definición apropiada, diferente a la dada en este libro. 9. Solución: yi

Tabulación

ni

Ni

hi

Hi

3 4 5 7 8 10 12 Σ

III IIII IIII II II IIII II IIII II -

3 4 7 2 7 5 2 30

3 7 14 16 23 28 30 -

Xi

-

fi

Fi

0,10 0,13 0,23 0,07 0,23 0,17 0,07 1,00 fi n

0,10 0,23 0,46 0,53 0,76 0,93 1,00 Fi n

10. Solución: se deja al estudiante 11. Solución: a. Falso, es atributo

b. Falso

c. Cierto

12. Solución: yi,−1 − yi,

yi

ni

Ni

hi

Hi

y i ni

5,1 – 15 15,1 – 25 25,1 – 35 35,1 – 45 45,1 – 55 55,1 – 65 65,1 – 75 Σ

10 20 30 40 50 60 70 -

8 20 42 60 42 20 8 200

8 28 70 130 172 192 200 -

0,04 0,10 0,21 0,30 0,21 0,10 0,04 1,00

0,04 0,14 0,35 0,65 0,86 0,96 1,00 -

80 400 1.260 2.400 2.100 1.200 560 8.000

X i'−1 − X i'

Xi

fi

Fi

fi / n

Fi / n

X i fi

4



Proceso a seguir: hi =

a.

ni n

→ 0,04 =

8 8 → n= = 200 n 0,04

b. H 7 = H 6 + h7 → 1,00 = 0,96 + h7 → h7 = 1,00 − 0,96 = 0,04 c. h3 =

n3 n

→ h3n = n3 → 0,21( 200) = 42

d. n2 + n5 = 62 → n2 + 42 = 62 → n2 = 62 − 42 = 20 e.

y3 n3 = 1.260 → y3 (42) = 1.260 → y 3 =

f.

y 0, = y1 −

c ; 2

y0, = 10 − 10 = 10 − 5 = 5 ; 2

1.260 = 30 42 y1, = y2 −

c ; 2

y1, = 20 −

10 = 20 − 5 = 15 2

13. Solución: xmax = 160

c=

xmin = 122

38 38 c= = 6,33 m 6

rango = xmax − xmin 38 = 160 − 122

c=7

7 = 42 Se incrementó el rango en 4 unidades y el nuevo recorrido será: 42 = xmax − xmin 6 42 = 162 − 120 yi' −1 − yi'

ni

yi

Ni

hi

Hi

120,1 – 127 127,1 – 134 134,1 – 141 141,1 – 148 148,1 – 155 155,1 – 162 Σ

4 9 13 15 5 4 50

123,5 130,5 137,5 144,5 151,5 158,5 -

4 13 26 41 46 50 -

X i'−1 − X i'

fi

Xi

Fi

0,08 0,18 0,26 0,30 0,10 0,08 1,00 fi n

0,08 0,26 0,52 0,82 0,92 1,00 Fi n

5



14. Solución: yi' −1 − yi'

yi

ni

Ni

hi

Hi

2,75 – 4,25

3,5

4

4

0,08

0,08

4,25 – 5,75

5,0

16

20

0,32

0,40

5,75 – 7,25

6,5

25

45

0,50

0,90

7,25 – 8,75 Σ

8,0 -

5 50

50 -

0,10 1,00

1,00 -

− X i'

Xi

fi

Fi

fi / n

Fi / n

X i'−1

y o' +

1 c = y1 2

X o' + 4i = X 4'

y o' + 4c = y 4'

Reemplazando tenemos: y o' + 0,5c = 3,5 y o' + 4c = −

y o'

X o' + 4i = 8,75

y o' + 4c = 8,75 8,75

− 0,5c = − 3,50 3,5 c = 5,25

c=

5,25 = 1,5 = i 3,5

15. Solución: a. Amas de casa del barrio El recuerdo c. Tiempo d. Cuantitativa yi : ni :

3 3

4 7

5 10

6 16

b. 50 amas de casa del barrio El Recuerdo e. Continua. 7 9

8 5

=

50

16. Solución: a. Personal de una empresa

b. Tiempo

c. Continua

d. m = 7

6


e.


y3 = 5

n2 = 7

H 5 = 0,90

h4 = 0,32

X3 = 5

f2 = 7

F5 / n = 0,90

f 4 / n = 0,32

17. Solución: b. rango = 84 − 31 = 53

xmax = 84 xmin = 31

a.

d. amplitud = 53 ≅ 9

c. m = 1 + 3,3 log 40 = 6,29 ≅ 6

6

y i' −1 − y i'

ni

Ni

hi

Hi

yi

30,1 – 39

4

4

0,10

0,10

34,5

39,1 – 48

4

8

0,10

0,20

43,5

48,1 – 57

5

13

0,12

0,32

52,5

57,1 – 66

7

20

0,18

0,50

61,5

66,1 – 75

12

32

0,30

0,80

70,5

75,1 – 84

8 40

40 -

0,20 1,00

1,00 -

79,5 -

fi

Fi

fi / n

Fi / n

Xi

Σ X i'−1

− X i'

' y3' = X 3 = 57

X 5 = Y5 = 70,5 F4

n = H 4 = 0,50

F5 = N 5 = 32

i=c=9

7




yi

ni

hi

Ni

Hi

10,1 – 18

14

20

0,13

20

0,13

18,1 – 26

22

25

0,17

45

0,30

26,1 – 34

30

30

0,20

75

0,50

34,1 – 42

38

30

0,20

105

0,70

42,1 – 50

46

25

0,17

130

0,87

50,1 – 58

54 -

20 150

150 -

Xi

fi

0,13 1,00 fi n

1,00 Fi n

Σ X i'−1

− X i'

Fi

Primera parte: n1 + n2 + n3 + n4 + n5 + n6 = 150

f1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 + f 6 = 150

n1 + (n1 + 5) + 30 + 30 + (n1 + 5) + n1 = 150 4 f1 + 70 = 150

4n1 + 70 = 150 n1 = 150 − 70 = 20 4

Segunda parte: (1) y 2' + 0,5c = 22 (2) y 2' + 4c = 50 (2) y 2' + 4 c = 50 (1) − y 2' − 0,5c = − 22 3,5c = 28

c=

28 =8 3,5

Luego se le va sumando este valor a partir del 22. Siendo: 22 + 8 = 30; 30 + 8 = 38, etc.

8



Tercera parte: c = 8 = 4 Ahora le restamos a y y tenemos el límite inferior por ejemplo 10 y si le i 2 2

sumamos formamos el límite superior que sería 18. Luego: 22-4 = 18 y 22 + 4 = 26, etc.

19. Solución: a. m = 7

b. m = 9

c. m = 11

d. Si

20. Solución: a. No se debe utilizar este número de marcas de clase, pues la información quedaría muy concentrada en dos intervalos, cuando lo recomendado son 5 como mínimo. b. Tampoco es aconsejable un número mayor a 16, pues la amplitud se reduce y nos quedaría casi igual a una variable discreta, además, una distribución en su presentación es larga. c. Está dentro de las recomendaciones.

21. Solución: a. Falso

b. Falso

c. Falso

d. Cierto

22. Solución: a.

(h1 + h2 ( f1 / n

+ h3 ) + (h1 + h2 + h3 + h4 ) = 1,9 + f2 / n + f3 / n ) +

( f1 / n + f 2 / n +

f 3 / n + f 4 / n ) = 1,9

(0,2 + 0,4 + h3 ) + (0,2 + 0,4 + h3 + 0,2) = 1,9 1,4 + 2 h3 = 1,9 ⇒ 2h3 = 0,5 ⇒ h3 = 0,25

Cierto h3 = 0,25 b. La frecuencia relativa no puede tener signo negativo (falso). c. Falso

m = no puede ser 4, a lo sumo igual a 6.

9



23. Solución: a. El 30% de las observaciones

b. El 50%

c. El 74%

c. Falso

d. Falso

24. Solución: a. Verdadero

b. Cierto

25. Solución: ni

Ni

3 4 5 7 8 10 12 Σ Xi

3 4 7 2 7 5 2 30

3 7 14 16 23 28 30 -

fi

Fi

Diagramas de frecuencias absolutas y acumuladas

ni 7 6

Frecuencias

yi

5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

8

9 10 11 12

Variable

Ni 30

Frecuencias

25 20 15 10 5

0

1

2

3

4

5

6

7

Variable

26. Solución:

10



Histógrama y polígono de frecuencias

Ojiva

ni

Ni

15

50

Frecuencias

Frecuencias

40 10

5

30 20

10

0

120

127

134

141

148

Estaturas (cm)

155

0

162

y 'i −1 − y'i

120

127

134

141

148

155

Estatura (cm)

27. Solución:

162

y'i −1 − y'i

Diagrama de frecuencias absolutas acumuladas

ni

Ni

3 4 5 6 7 8 Σ Xi

3 7 10 16 9 5 50

3 10 20 36 45 50 -

fi

Fi

ni 16 14

Frecuencias

yi

12 10 8 6 4 2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Variable

Diagrama de frecuencias absolutas acumuladas Ni

Frecuencias

50 40 30 20 10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Variable

28. Solución:

11


yi' −1 − yi' 10,1 – 18 18,1 – 26 26,1 – 34 34,1 – 42 42,1 – 50 50,1 – 58 Σ

ni

Ni

20 25 30 30 25 20 150

20 45 75 105 130 150 -

X i'−1 − X i'

fi

Fi



Ojiva

ni

Ni

30

150

Frecuencias

Frecuencias

25 20 15 10

100

50

5

0

10

18

26

34

42

50

Variable

58

0

y'i−1 − y'i

10

18

26

34

42

50

58

Variable

y'i−1 − y'i

29. Solución: Histógrama y polígono de frecuencias

ni

Ni

ci

ni ci

4,1 – 20 20,1 – 24 24,1 – 32 32,1 – 40 40,1 – 52 Σ

30 16 20 10 24 100

30 46 66 76 100 -

1,88 4,00 2,50 1,25 2,00 -

X i'−1 − X i'

fi

Fi

16 4 8 8 12 i

fi / i

ni

ci

4

Frecuencias

y i' −1 − y i'

3

2

1

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52

Variable

y'i−1 − y'i

30. Solución: a. Es el promedio que se obtiene entre el límite inferior y el límite superior de cada intervalo.

12



b. Variable que toma valores fraccionarios, se trabaja con decimales. c. La diferencia que hay entre el límite superior y el inferior en cada intervalo. d. Es una gráfica de áreas representado por medio de rectángulos cuando la amplitud es constante, en una variable continua. e. Es otra gráfica de línea poligonal, utilizando marcas de clase y las frecuencias. f. Es el mismo intervalo de clase.

31. Solución: a) yi' −1 − yi'

hi

Hi

ni

Ni

ci

ni ci

8,1 – 18 18,1 – 48 48,1 – 98 98,1 – 148 148,1 – 198 Σ

0,30 0,25 0,18 0,14 0,13 1,00 fi n

0,30 0,55 0,73 0,87 1,00 Fi n

240 200 144 112 104 800

240 440 584 696 800 -

10 30 50 50 50 -

fi

Fi

i

24,00 6,67 2,88 2,24 2,08 fi n

X i'−1 − X i'

b. El 73% de las empresas venden menos de 98 millones de pesos. ni

ci 25

Frecuencias

20

15

10

5

0

8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 108 118 128 138 148 158 168 178 188 198

Variable

13



32. Solución: Rango = 190 − 151 = 39

m = 1 + 3,3 log 50 = 6,6

Amplitud = 39 = 7 6

Redefinición del rango = 192 − 150 = 42

(6 ó 7)

yi' −1 − yi'

ni

hi

Ni

Hi

yi

150,1 – 157

4

0,08

4

0,08

153,5

157,1 – 164

13

0,26

17

0,34

160,5

164,1 – 171

19

0,38

36

0,72

167,5

171,1 – 178

9

0,18

45

0,90

174,5

178,1 – 185

3

0,06

48

0,96

181,5

185,1 – 192

2 50

0,04 1,00 fi n

50 -

1,00 Fi n

188,5 -

Σ − X i'

fi

Fi

Xi

Histógrama y polígono 20 18

Frecuencias

X i'−1

16 14 12 10 8 6 4 2 0 150

157

164

171

178

185

192

14



Ojiva ascendente 60

Frecuencia

50

40 30

20 10

y'i −1 − y'i

0 150

157

164

171

178

185

192

Estatura (cm)

33. Solución: Rango = 84 − 31 = 53

m = 1 + 3,3 log 40 ≅ 7 (no importa si trabajamos con 7 o 6)

Amplitud = 53 = 8 7

Redefinición del rango = 56 ⇒ 86 − 30 = 56

yi' −1 − yi'

ni

hi

30,1 – 38

4

0,100

38,1 – 46

2

46,1 – 54

Ni

Hi

yi

4

0,100

34

0,050

6

0,150

42

5

0,125

11

0,275

50

54,1 – 62

5

0,125

16

0,400

58

62,1 – 70

12

0,300

28

0,700

66

70,1 – 78

9

0,225

37

0,925

74

78,1 – 86 Σ

3 40

40 -

fi

1,000 Fi n

82 -

X i'−1 − X i'

0,075 1,000 fi n

Fi

Xi

15



Ojiva ascendente Ni 40

Frecuencias

35 30 25 20 15 10 5 0

30

38

46

54

62

70

78

86

y'i −1 − y'i

Rangos

34. Solución: a) Falso (Gráfica)

b) Falso (Cualitativo)

c) Falso

d) Cierto

(Cartagena)

e) Falso (Continua)

f) Falso (Muestra)

35. Solución: Costo estimado (Cientos de $)

2,22% 2,27% 5,10%

12 ,71% CONVENCIONES

63 ,55%

14 ,15%

depreciación mantenimiento gasolina seguros esta cionamiento impuesto

36. Solución: Además de ser un complemento del cuadro, tiene la virtud de visualizar mejor la información.

16



Ventas

Ventas

(mill de $)

(mill de $)

9.000

9.000

8.000

8.000

7.000

7.000

Millones $

Millones $

37. Solución:

6.000 5.000 4.000

6.000 5.000 4.000

3.000

3.000

2.000

2.000

1.000

1.000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2001

2002

Años

2003

2004

2005

2006

Años

(Gráfica lineal)

(Gráfica de barras)

38. Solución: Costos y ventas

Costos y ventas

(mill de $)

(mill de $)

250

200 200

Millones $

Millones $

250

150

100

50

150

100

50

2002

2003

2004

2005

Años

(Gráfica lineal)

2006

2001

ventas costos

2002

2003

2004

2005

Años

ventas costos

(Gráfica de barras dobles)

17



39. Solución: Opinión porcentual de posibles votos (positivos y negativos) para congreso y presidente

Negativo 77,76%

Positivo 22,24%

Negativo 51,68%

Positivo 48,32% CONVENCIONES

voto negativo voto positivo

Congreso

Presidente

40. Solución: Valor producción y ventas

Valor producción y ventas

(mill Tons)

(mill Tons)

800

Millones de toneladas


800

700 600 500 400 300 200 100

700 600 500 400 300 200 100

2001

2002

2003

Años

2004

2005

2001

producción ventas

2002

2003

Años

2004

2005 producción ventas

18



41. Solución: y i' −1 − y i'

ni

ci

ni ci

yi

4,1 – 24 24,1 – 32 32,1 – 36 36,1 – 48 48,1 – 52 Σ

36 20 18 22 14 110

20 8 4 12 4 -

14 28 34 42 50 -

X i'−1 − X i'

fi

i

1,8 2,5 4,5 1,83 3,50 fi i

Xi

Histógrama y polígono ni

ci

4,5

Frecuencias

4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52

Variable

y'i −1 − y'i

42. Solución: % 40 30 20 10 0

CONVENCIONES Taxis

-10 -20

Computadores Betamax Teléfono celular

-30 Automóvil particular -40

19



43. Solución: Encuesta realizada para conocer la opinión sobre contratación de un supervisor

RESULTADOS DE LA ENCUESTA SOBRE LA CONTRATACIÓN DE UN SUPERVISOR

a)

b) 250

25,64% No está seguro

Votos

200

23,7% Si

150

14 ,78% No

100

35 ,88% No responde

50

No

No está seguro

No respondió

CONVENCIONES

Si No No esta seguro No respo nde

c. Resultados: 35,88% no respondió; Respondió afirmativamente el 23,7%; No está seguro, el 25,64%; 14,78% Respondió negativamente. TOTAL: 100%

44. Solución: a. Tiempo que se gasta en una transacción bancaria y i' −1 − y i'

ni

hi

Ni

Hi

14,0 – 22 22,1 – 30 30,1 – 38 38,1 – 46 46,1 – 54 54,1 – 62 Σ

9 5 5 5 4 2 30

9 14 19 24 28 30 -

Xi

fi

0,30 0,17 0,17 0,17 0,13 0,06 1,00 fi n

0,30 0,47 0,64 0,81 0,94 1,00 Fi n

Fi

Rango = 62 − 14 = 48

m = 1 + 3,3 log 30 = 6 Amplitud = 48 = 8 6

20



b. Histógrama y Polígono de frecuencias

ni 9 8

Frecuencias

7 6 5 4 3 2 1

y'i −1 − y'i 0

14

22

30

38

46

54

62

Variable

45. Solución: a. Ventas y costos compañía x (mil mill $)

Años

Ventas netas

Costos ventas

2001 2002 2003 2004 2005 2006

19.116 15.586 13.534 21.344 27.342 30.620

15.776 12.895 18.287 18.476 20.698 25.382

21



Ventas y costos compañía x

Ventas y costos compañía x

2001 - 2006

2001 - 2006

30.000

30.000

25.000

25.000

Miles de millones $

Miles de millones $

b.

20.000 15.000 10.000 5.000

20.000 15.000 10.000 5.000 0

0

2001

2002

2003

2004

2005

2001

2006

2002

2004

2005

2006 ventas costos

Años

ventas costos

Años

2003

46. Solución: yi

ni

Ni

2 4 6 8 10 12 Σ Xi

7 15 8 10 16 4 60

7 22 30 40 56 60 -

fi

Fi

Diagrama frecuencias absolutas

ni

Diagrama frecuencias absolutas acumuladas

20

Ni 60

15

50 40

10 30 20

5 10

y'i −1 − y'i

yi 0

2

4

6

8

Variable

10

12

0

2

4

6

8

10

12

Variable

22



47. Solución:

Artículos Camisas Corbatas Calcetines Pantalones Otros Total

Porcentajes 42 8 5 34 11 100

Ventas porcentuales Almacén x (agosto 2006)

Ventas Porcentuales almacén x (agosto 2006)

Porcentajes

50

42%

11% CONVENCIONES

5%

42%

40

34% 30 20

8%

10

11% 5%

camisas

34%

Otros

Pantalo nes

otro

Calcetines

calcetines

0

Corb atas

pantalones corbata s

Camisas

8%

Artículos

23



48. Solución: yi

ni

Ni

hi

Hi

0 1 2 3 4 5 6 7 8 Σ

7 3 10 9 5 3 1 1 1 40

7 10 20 29 34 37 38 39 40 -

Xi

fi

Fi

0,18 0,07 0,25 0,22 0,12 0,07 0,03 0,03 0,03 1,00 fi n

0,18 0,25 0,50 0,72 0,84 0,91 0,94 0,97 1,00 Fi n

Diagrama de frecuencias absolutas acumuladas

ni

Diagrama de frecuencias absolutas

10

Ni

9

40

8 7

30

6 5 4

20

3 2

10

1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Variable

Variable

49. Solución: Rango : 94 − 39 = 55 Amplitud = (10 × 6 = 6)

m = 1 + 3,3 log 30 = 6

55 ≅ 60 Se aproximó a 60, por lo tanto se incrementó el nuevo rango en 5; 6

24



yi' −1 − yi'

ni

Ni

hi

Hi

yi

36,1 – 46

5

5

0,17

0,17

41

46,1 – 56

4

9

0,13

0,30

51

56,1 – 66

7

16

0,23

0,53

61

66,1 – 76

6

22

0,20

0,73

71

76,1 – 86

5

27

0,17

0,90

81

86,1 – 96

3 30

30 -

0,10 1,00

1,00 -

91 -

fi

Fi

fi / n

Fi / n

Xi

Σ X i'−1

− X i'

Ojiva ascendente

ni

Ni

7

30

6

25

Frecuencias

Frecuencias


5 4 3 2

20 15 10 5

1

36

46

56

66

Variable

76

86

96

y'i −1 − y'i

y'i −1 − y'i 36

46

56

66

76

86

96

Variable

25



50. Solución:

a. Gráfica circular

Ventas porcentuales por almacenes y jornadas

33,67% Vivero 16,33% Carulla 21,99% Exito

15,29% Carrefour

20,81% Vivero

19,89% Vivero

28,01% Carrefour

28,81% Carrefour

Jornada mañana de 9 a 11 am

Jornada tarde de 1 a 5 pm

Ventas porcentuales Jornada 9 a 11 am

Ventas porcentuales Jornada 5 a 10 pm

30

22,5 20

40

36,8 32,8

30

20

% Ventas (valor)

30,3

50

45,4 42,6

% Ventas (valor)

38,6

Carrulla Exito Carrefour Vivero

Jornada noche de 5 a 10 pm

50

46,4 40

CO NVEN CION ES

31,45% Exito

Ventas porcentuales Jornada 1 a 5 pm

50

% Ventas (valor)

33,37% Carulla

27,03% Carulla 23,36% Exito

40

34,9

32,9

30

20,8 20

16,0 10

10

Vivero

Exito

Carreofo ur

Carulla

Almacenes

Vivero

Exito

Carreofour

Carulla

Vivero

Exito

Carreofo ur

Carulla

Almacenes

10

Almacenes

51. Solución:

26



a. Producción y ventas (miles mill $) 2002 - 2006 800 700

Valores

600 500 400 300 200 100 0 2002

2003

2004

2005

2006 producción ventas

b. Producción y ventas (miles mill $) 2002 - 2006


800 700 600 500 400 300 200 100

2002

2003

2004

Años

2005

2006 ventas producción

52. Solución:

27



La mayoría, equivocadamente realiza una gráfica circular, sin darse cuenta que un alumno puede practicar más de un deporte y el porcentaje se obtiene sobre el número de alumnos encuestados en este caso son 120.

Deportes Ajedrez Baloncesto Balompie Natación Ciclismo Tenis

No. de alumnos 13 47 62 34 20 8

% 10,83 39,17 51,67 28,33 16,67 6,67

13 = 0,1083 = 10,83% 120 47 = 0,3917 = 39,17% 120 etc.

Porcentaje de alumnos que practican un determinado deporte 60

51,67

Porcentajes

50

39,17

40

28,33

30 20

16,67

10,83 10

6,67

0

Tenis

Ciclismo

Natación

Balompie

Baloncesto

Ajedrez

Deportes

Gráfica mal elaborada Si la distribución de alumnos por práctica deportiva, se hace mediante una gráfica circular, queda mal elaborada, ya que la sumatoria de alumnos no es igual al tamaño de la muestra.

28



Distribución de alumnos por deporte Tenis 4,35%

Balompié 33,7 0

Ajedrez 7,0 7%

Natación 10,48 % CONVENCIONES

ajedrez baloncesto balompié

Ciclis mo 10,87%

ciclismo nata ción tenis

Baloncesto 25,54 %

53. Solución:

(h1 + h2 + h3 ) + (h1 + h2 + h3 + h4 ) = 0,95 (0,10 + 0,15 + h3 ) + (0,10 + 0,15 + h3 + 0,20) = 0,95 2 h3 + 0,70 = 0,95 ⇒ 2h3 = 0,25

⇒ h3 = 0,125

yi' −1 − yi'

yi

hi

ni

35,1 – 45 45,1 – 55 55,1 – 65 65,1 – 75 75,1 – 85 85,5 – 95 Σ

40 50 60 70 80 90 -

4 6 5 8 9 8 40

X i'−1 − X i'

Xi

0,100 0,150 0,125 0,200 0,225 0,200 1,000 fi n

fi

H 2 = h1 + h2 = 0,25 → H 2 = 0,10 + h2 ⇒ h2 = 0,15 h6 = 2 (0,10 ) = 0,20

0,10 =

4 4 = 40 ⇒ n = 0,10 n

n2 = 0,15 (40) = 6

n3 = 0,125 ( 40) = 5

n5 = 0,225 (40) = 9

Histograma y polígono

29



ni 10

Frecuencias

8

6

4

2

y'i −1 − y'i 0

35

45

55

65

75

85

95

Variable

30


Cap.3 Medidas de posición o de tendencia central

3 Medidas de posición o de tendencia central EJERCICIOS RESUELTOS MEDIA ARITMÉTICA 1. Solución:

6 10 18 10 6 50

Z i'' -2 -1 0 1 2 -

Z i'' ni -12 -10 0 10 12 0

fi

di '

di ' fi

Yi

ni

10 20 y → 30 40 50 Σ Xi ''

Z '' =

∑Zi

d i' =

C

∑ Z i ni

Xi − A i

''

y = Ot + C

n

 ∑ d 'i f i  X = A+i  = 30 n   

Ot = A = 30

y = 30 + 10 (0) = 30

NOTA: en una distribución SIMÉTRICA como la del ejercicio, la Media se localiza en el centro de la distribución



2. Solución: 2.1 x =

Σx i = 7.063 = 141.26 n 50

2.2 m = 1 + 3,3 log 50 = 6,61 (6 o 7); C = 160 − 123 = 6,17 ≅ 7 6

yi' −1 − yi'

ni

yi

y i ni

hi

y i hi

Zi

Z i ni

120,1 – 127 127,1 – 134 134,1 – 141 141,1 – 148 148,1 – 155 155,1 – 162 Σ

4 9 13 15 5 4 50

123,5 130,5 137,5 144,5 151,5 158,5 -

494,0 1.174,5 1.787,5 2.167,5 757,5 634,0 7.015,0

9,88 23,49 35,75 43,35 15,15 12,68 140,30

-16,8 -9,8 -2,8 4,2 11,2 18,2 -

-67,2 -88,2 -36,4 63,0 56,0 72,8 0

X i'−1 − X i'

fi

Xi

X i fi

0,08 0,18 0,26 0,30 0,10 0,08 1,00 fi n

f X i  i   ni 

di

di fi

Nuevo rango = 162 – 120 = 42 2.3 Σ y i ni n

ΣX i f i n

y = 7.015 = 140,3 50

(a)

y=

(b)

y = Σy i hi

X = ΣX i ( f i / n )

y = 140,3

(c)

ΣZ i ni = Σ ( y i − y )ni = 0

Σ di fi = 0

(Ver última columna)

(d)

y = Ot + C

X =

∑ Z i ni ''

n

X = A+

∑ d i fi

Z i' = y i − Ot

di = X i − A

Ot = 150

A = 150

y = 150 +  − 485   50 

n

Z i' -26,5 -19,5 -12,5 -5,5 1,5 8,5 Σ Xi − A

4 9 13 15 5 4 50

Z i' ni -106,0 -175,5 -162,5 -82,5 7,5 34,0 -485,0

fi

di fi

ni

2



X = 140,3

y = 150 − 9,7 = 140,3

Ot = 134 = A

Cuando:

y = 134 +  315   50 

y = 134 + 6,3 = 140,3 X = 140,3

yi − ot

ni

-10,5 -3,5 3,5 10,5 17,5 24,5 Σ Xi − A

4 9 13 15 5 4 50 fi

( yi − ot ) ni

-42,0 -31,5 45,5 157,5 87,5 98,0 315,0 di fi

2.4 Z i' 3,5 10,5 17,5 24,5 31,5 38,5 Σ Xi − A

Z i'' 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 -

ni

4 9 13 15 5 4 50

Z i'' ni 2,0 13,5 32,5 52,5 22,5 22,0 145,0

di '

fi

di ' fi

∑ Z i ni y = Ot + c ''

n

Z i'' =

Z i' c

Z i' = y i − Ot

 ∑ d i' f i  X = A+i   n 

d i' =

Xi − A i

di = X i − A

Cuando: Ot = 120

A = 120

y = 120 + 7  145   50 

X = 140,3

3



y = 120 + 7 (2,9) = 140,3 Z i' -38,5 -31,0 -24,5 -17,5 -10,5 -3,5 Σ Xi − A

Ot = 162

Cuando

∑ Z i ni ''

y = Ot + c

n

y = 162 + 7  − 155   50  y = 162 + 7(− 3,1)

Z i'' -5,5 -4,5 -3,5 -2,5 -1,5 -0,5 -

ni

4 9 13 15 5 4 50

Z i'' ni -22,0 -40,5 -45,5 -37,5 -7,5 -2,0 -155,0

di '

fi

di ' fi

A = 162

y = 162 − 21,7 = 140,3

 ∑ d i' f i  X = A+i  n    X = 140,3

2.5 Este punto se deja para que sea solucionado por el estudiante

3. Solución: a) Primera submuestra

b) Segunda submuestra

yi

ni

y i ni

yi

123,5 130,5 137,5 Σ Xi

4 9 13 26

494,0 1.174,5 1.787,5 3.456,0

fi

X i fi

144,5 151,5 158,5 Σ Xi

ni

y i ni

15 5 4 24

2.167,5 757,5 634,0 3.559,0

fi

X i fi

Σ y i ni = 132,923 n

y2 =

Σ y i ni = 148,291 n2

y1 = 3.456 = 132,923 26

y2 =

3.559,0 = 148,29 24

y1 =

4


X1 =

X =

X 1 w1 + Xw2 ∑ wi

X =

X 1 f1 + X 2 f 2 n


Σ X i fi = 132,923 n X2 =

y=

Σ X i fi = 148,291 n

132,923(26) + 148,291(24) y1 n1 + y2 n2 = = 140,3 26 + 24 n1 + n2

b) M [KX ] = Kx M [KX ] = 2(140,3) = 280,6 La propiedad se refiere a: “La media aritmética del producto de una constante por una variable es igual a la media de la variable, multiplicado por la constante”. yi

yi K

ni

Ky i ni

123,5 130,5 137,5 144,5 151,5 158,5 Σ Xi

247 261 275 289 303 317 -

4 9 13 15 5 4 50

988 2.349 3.575 4.335 1.515 1.268 14.030

KX i

fi

KX i f i

M [KY ] = KM [Y ] ⇒

M [KX ] = KM [ X ]

M [KY ] = Ky

M [KX ] = KX

⇒

M [KY ] = 2 (140,30) = 280,60

M [KY ] = 14.030 = 280,60 50

5



4. Solución 7

7

i =1

i =1

' ∑ d i = ∑ Z i' = 7

Ot = 55

C = 10

A = 55

i = 10

7 40 ∑ hi = h5 + h6 + h7 =

110

i=5

7

∑

i=5

=

f5 f f + 6 + 7 = 40 n n n 110

7 40 ∑ hi = h5 + h6 + h7 =

110

i=5

7

∑

i=5

=

n5 n6 n7 + + = 40 n n n 110

n = 110

n5 + n6 + n7 = 40

n5 + 15 + 1 = 40

n5 = 40 − 16 = 24

Otra solución posible: 7

∑ hi = 1

i =1

h1 + h2 + h3 = 40  110   h5 + h6 + h7 = 40  110 

h1 + h2 + h3 + h4 = 70 = H 4 110

h4 = 30 110

H4 =

N4 n

n=

H4 = 70 = 110 N 4 0,6363

Por este método permite encontrar, que n puede ser cualquier valor diferente a 110.

6


yi' −1 − yi' 30,1 – 40 40,1 – 50 50,1 – 60 60,1 – 70 70,1 – 80 80,1 – 90 90,1 – 100 Σ

yi

ni

Ni

y i ni

35 45 55 65 75 85 95 -

1 15 24 30 24 15 1 110

1 16 40 70 94 109 110 -

X i'−1 − X i'

Xi

fi

Ni


35 675 1.320 1.950 1.800 1.275 95 7.150

Z i'' -2 -1 0 1 2 3 4 7

Z i' -20 -10 0 10 20 30 40 -

X i fi

di '

di

Z i' ni -20 -150 − 170

1.270

Z i'' ni -2 -15 − 17

127

300 480 450 40 1.100

30 48 45 4 110

di fi

di ' fi

Calculamos la media aritmética, aplicando algunas fórmulas ya vistas a) y =

Σ y i ni n

7.150 = 65 110

=

∑ Z i ni '

b) y = Ot +

n

∑ Z i ni ''

c) y = Ot + c

n

= 55 +

X=

1.100 = 55 + 10 = 65 110

X = A+

110  = 55 + 10   = 55 + 10 = 65 110 

Σ X i fi = 65 n

∑ d i fi n

= 65

 ∑ d i' f i  X = A+i  = 65 n   

NOTA: Como la distribución es SIMETRICA, la media ubica en la mitad de la variable (marcas de clase) 5. Solución: yi' −1 − yi' 6,1 – 12 12,1 – 18 18,1 – 24 24,1 – 30 30,1 – 36 36,1 – 42 Σ

Ni

yi

ni

8 12 40 70 90 100 -

9 15 21 27 33 39 -

8 4 28 30 20 10 100

X i'−1 − X i'

Ni

Xi

fi

72 60 588 810 660 390 2.580

Z i'' -3 -2 -1 0 1 2 -

X i fi

di '

y i ni

Z i'' ni -24 -8 -28 − 60

40

20 20 -20 di ' fi

Z i' -21 -15 -9 -3 3 9 0

Z i'' -3,5 -2,5 -1,5 -0,5 0,5 1,5 0

Z i'' ni -28,0 -10,0 -42,0 -15,0 10,0 15,0 -70,0

di

di '

di ' fi

7


a) y =

Σ y i ni n

=

2.580 = 25,80 100

∑ Z i ni ''

y = Ot + c

X=


 − 20   120  = 27 + 6   = 27 −   = 25,80  100   100 

n

 ∑ d i' f i  X = A+i  = 25,80  n 

Σ X i fi = 25,80 n

b) y = 30 + 6  − 70  = 30 −  420  = 25,80

y = 25,80

 100 

 100 

A = 27

Ot = A = 30

6. Solución: n = 100

n1 = 75

x=

x1 = 52,6

n2 = 25

x 2 = 48,4

52,6 (75) + 48,4 (25) = 51,55 galones 100

7. Solución: n = 500 x =

n1 = 150

x1 n1 + x 2 n 2 n

1,57 =

n2 = 350

x = 1,57

1,52 (150) + x 2 (350) 500

x1 = 1,52

X=

x1 w1 + x 2 w2 ∑ wi

1,57(500) = 228 + 350 x 2 785 − 228 = x 2 = 1,59 Mts de estatura media 350


n1 = ?

n2 = ?

n1 + n2 = 200

n1 = 200 − n2

8


x = 160,96 160,96 =

x1 = 163,4


x 2 = 157,3

163,4n1 + 157,3n 2 ; 32.192 = 163,4(200 − n2 ) + 157,3n2 200 32.192 = 32.680 − 163,4n 2 + 157,3n 2 6,1 n2 = 488

n 2 = 488 = 80 Estudiantes 6,1 n1 = 200 − 80 = 120 Estudiantes

9. Solución: n=?

n1 = 27

n2 = ?

x = 60,98 60,98 =

x1 = 57,30

x2 = 65,30

57,3 (27 ) + 65,3n2 27 + n2

1.646,46 + 60,98n2 = 1.547,1 + 65,3n2

99,36 = 4,32n2 n2 = 23 Estudiantes


n1 = 20

n2 = 25

x = 55

x1 = 48,4

x2 = ?

48,4 (20) + x 2 (25) 45 2.475 = 968 + 25 x 2

55 =

x2 = 60,28 Puntos

9




n1 = 40

n2 = 60

x =186,3

x1 = ?

x 2 = x1 − 10

186,3 =

x1 (40) + 60 ( x1 − 10) 100

186,3 =

x1 (40) + 60 x1 − 600 100

18.630 = 40 x1 + 60 x1 − 600 19.230 = x = 192,30 1 100 x 2 = 192,30 − 10 = 182,30 Libras


n1 = n2

n3 = n1 − 5

x = 69,3

x1 = 70,4

x 2 = 64,2

x3 = ?

n1 + n2 + n3 = 91 2n1 + (n1 − 5) = 91 3n1 − 5 = 91

3n1 = 96 69,3 =

n1 = 96 = 32 3

70,4 (32) + 64,2 (32) + 27 x3 ; 91

n2 = 32 x3 =

n3 = 27

1.999,1 = 74,04 Promedio de calificación 27

13. Solución: x = 920.000

x1 = 970.000

x 2 = 840.000

h1 = ?

h2 = ?

10


x=

x1n1 + x2 n2 n


x = x1 h1 + x2 h2

x = x1 (1 − h2 ) + x2 h2

1 = h1 + h2

h1 = 1 − h2

920.000 = 970.000 (1 − h2 ) + 840.000h2 920.000 = 970.000 − 970.000h2 + 840.000h2

130.000h2 = 50.000

h2 = 50.000 = 0,3846 = 38,46% Hombres 130.000

h1 = 80.000 = 0,6154 = 61,54% Mujeres 130.000

14. Solución: x = 938.000

M [K + X ] = K + x

K = 78.000

K + x = 78.000 + 938.000 = 1.016.000 Salario promedio

15. Solución: x = 70,0

70 =

x1 = 68,4

68,4n1 + 71,2n2 n1 + n2

x 2 = 71,2

→

n1 = ?

n2 = ?

70n1 + 70n2 = 68,4n1 + 71,2 n2

70n1 − 68,4n1 = 71,2n2 − 70n2 1,6n1 = 1,2n 2

n1 1,2 = = 0,75 Es la relación n2 1,6

16. Solución: n1 = 35

n2 = 15

n = 50

x =?

11


17,5 × 22 = 3,85 100

x1 = 17,5


x 2 = x1 − 22% x1 ;

x 2 = 17,5 − 3,85 = 13,65

x=

x1n1 + x2 n2 n

x=

17,5 (35) + 13,65 (15) 612,5 + 204,75 = = 16,345 Edad media del curso 50 50


n1 = ?

x = 18.750 18.750 =

n2 = ?

x1 = 17.580

n1 + n2 = 100

n1 = 100 − n2

x 2 = 19.780

17.580n1 + 19.780n2 100

18.750 (100 ) = 17.580 (100 − n 2 ) + 19.780n 2 1.875.000 = 1.758.000 − 17.580n 2 + 19.780n 2

n 2 = 117.000 = 53 Artículos 2.200

n1 = 47 Artículos

18. Solución: y = Σyi hi = 18,15 x = Σxi ( f i / n ) =18,15

Promedio de empleados por sucursal

yi

hi

17 18 19 Σ Xi

0,10 0,65 0,25 1,00

fi / n

yi hi

1,70 11,70 4,75 18,15

X i ( fi n)

12


19. Solución: a)

x=

xi

560 640 380 600 420 280 550 700 420 630 5.180

y=

c)

Σ xi n


b) x = 83.000

x = 5.180 = 518 10 $51.800 x = 51.800 + 83.000 + 180.000 = $314.800 Costo total promedio mensual

1.800 = 180 10

$180.000

y i' −1 − y i' 80,1 – 120 120,1 – 160 160,1 – 200 200,1 – 240 240,1 – 280 Σ

ni

yi

y i ni

1 3 2 3 1 10

100 140 180 220 260 -

100 420 360 660 260 1.800

X i'−1 − X i'

fi

Xi

X i fi

20. Solución: yi

500 600 700 800 900 Σ Xi

ni

y i ni

10 16 35 26 13 100

5.000 9.600 24.500 20.800 11.700 71.600

fi

X i fi

yi + 7%

yi +49

535

549

642 749 ←igual → 856 favorable 963

favorable

649 749 849

13



949

21. Solución: a) Falso

b) Falso

c) Falso

d) Falso

(no puede ser mayor a 1)

Se le deja al alumno investigar el por qué

22. Solución: a)

5,8 =

25(3,8) + 6,4n2 25 + n2

5,8 (25) + 5,8n2 = 25(3,8) + 6,4n2 145 + 5,8n2 = 95 + 6,4 n2

145 − 95 = 6,4n2 − 5,8n2 50 = 0,6n2

n2 = 50 = 83 (Redondeamos) 0,6 n 2 + n1 = 83 + 25 = 108

Cierto, el curso tiene más de 90 alumnos.

yi

ni

Hi

– – –

– – – –

– – –

y4

0,3 _ 

=

14



– b)

H 6 = 0,7

y6

H 4 = 0,3

– –

– – – –

Xi

Xi

– –

R / cierto 40% H 6 − H 4 = 0,7 − 0,3 = 0,4

c) Siendo: n1 = n2 = n3 x=

f1 = f 2 = f 3

es falso

635.000 + 754.000 + 864.000 = 751.000 3

751.000 ≠ 754.000

Siendo: n1 ≠ n2 ≠ n3 puede ser posible. Cuando n1 = n2 = n3 no es posible. x =

635.000n1 + 754.000n 2 + 864.000n3 = 254.000 n

(Procedimiento válido cuando

n1 ≠ n2 ≠ n3

f1 ≠ f 2 ≠ f 3 )

d) Falso. En el cálculo de la media geométrica no se necesita de la amplitud. e) 75% Hombres empleados públicos 25% Mujeres empleados públicos 100%

81% Hombres sector privado 19% Mujeres sector privado 100%

x = 25 + 19 = 44 = 22% Mujeres en ambos sectores 2 2

(Cierto)

15



f) Cierto. Si normalmente ∑ hi = 1 o 100% , al multiplicar la frecuencia relativa por 2 nos por lo tanto la media se duplica. queda: ∑ 2hi = 2 ; ∑ hi = 2,00 = 200%

23. Solución: a) Cierto

b) Falso

c) Cierto

24. Solución: a) El total de apartamentos de esa urbanización b) Los 50 apartamentos de esa urbanización c) Tiempo de permanencia del aroma d) Tiempo: horas, minutos, segundos, corresponde a una variable continua. e) yi

ni

yi ni

3 4 5 6 8 10 Σ Xi

3 7 10 16 9 5 50

9 28 50 96 72 50 305

fi

X i fi

y=

Σ y i ni n

X=

Σ X i fi = 6,1 Horas n

y = 305 = 6,1 Horas 50

f) Se le deja al estudiante la elaboración de la gráfica.

25. Solución: x = 655.000

Para el conjunto de personal se tiene: a) Un aumento de 8% ⇒ x = 655.000 (1,08) = $707.400 También se puede resolver: M [K + X ] = 52.400 + 655.000 = $707.400

16



655.000 × 0,08 = $52.400 correspondiente al aumento del 8%

b) Un aumento del 5% ⇒ x = 655.000 (1,05) = $ 687.750 M [K + X ] = K + x = 32.750 + 655.000 = $687.750

Para el grupo es más conveniente la primera alternativa del 8% de aumento.

26. Solución: x = 662.000 + (30 × 3.000) = 662.000 + 90.000 = $752.000

Será el nuevo promedio de salario mensual.

27. Solución: Σx

a) x = n i

x=

12,6 + 5,8 + 9,3 + 4,6 = 8,075% Es el margen de utilidad 4

b) yi

ni

y i ni

y=

0,126 0,058 0,093 0,046 Σ Xi

214.000 90.000 183.000 75.000 562.000

26.964 5.220 17.019 3.450 52.653

Σ y i ni n

X=

Σ X i fi = 0,0937 n

fi

X i fi

⇒ y = 52.653 = 0,0937 562.000

El margen de utilidad es del 9,37%

c) La más representativa es 9,37% y no de 8,075% dado que es ponderada, teniendo en cuenta la totalidad de las ventas por cada línea de producto.

28. Solución: a)

x=

Σ xi n

⇒ x=

0,8 + 1,1 + 2,6 + 1,4 5,9 = = 1,475% 4 4

17



Porcentaje de artículos defectuosos. Este cálculo se hace para que el alumno note la diferencia con la media ponderada

b) yi

ni

y i ni

y=

0,008 0,011 0,026 0,014 Σ Xi

8.300 12.600 24.300 15.800 61.000

66,4 138,6 631,8 221,2 1.058,0

Σ y i ni n

X=

Σ X i fi n

fi

X i fi

y = 1.058 = 0,0173 = 1,73% 61.000

Son 1.058 (miles de unidades) producidas en forma defectuosa, para un porcentaje de 1,73% de la producción.


n2 = 120

f1 = 80

f 2 = 120

620.000 =

x = 620.000

(x2 + 58.500)80 +

x1 = x 2 + 58.500

x 2 (120)

200

200 (620.000) = 80 x 2 + (58.500 × 80) + 120 x 2 124.000.000 − 4.680.000 = 200 x 2 119.320.000 = 200 x 2

x 2 = 119.320.000 = 596.600 Promedio salarial mensual 200 x1 = 596.600 + 58.500 x1 = 655.100 Promedio mensual de salario

18




x = 980.600

n1 = f1 = ? 980.600 =

x1 = 725.730

x 2 = 1.076.500

n2 = f 2 = ?

725.730 (400 − n2 ) + 1.076.500 n2 400

980.600 (400) = 725.730 (400 ) − 725.730 n2 + 1.076.500 n2 392.240.000 = 290.292.000 − 725.730 n2 + 1.076.500 n2

392.240.000 − 290.292.000 = 1.076.500 n2 − 725.730 n2

101.948.000 = 350.770 n2

⇒

n2 = 101.948.000 = 291 Operarios 350.770

n1 = 400 − 291 = 109 Técnicos


x1 = 925.000

n1 + n2 + n3 = 80

⇒

x 2 = 870.000

x3 = ?

n1 + n1 + n1 − 10 = 80

f1 + f 2 + f 3 = 80 f1 = 30

3n1 − 10 = 80

f 2 = 30

90 = 3n1

f 3 = 20

n1 = 30

890.000 =

n2 = 30

n3 = 20 empleados

925.000 (30) + 870.000 (30) + x3 (20) 80

19



890.000 (80) = 27.750.000 + 26.100.000 + 20 x3 x3 =

71.200.00 0 − 27.750.000 − 26.100.000 = $867.500 promedio salarial mensual 20

32. Solución: x=

Σ xi ⇒ x = 5.770 = 641.111,11 (miles) n 9

a) x = 641.111,11 (1,15) = $737.277,78 b) x = 641.111,11(1,10) = $705.222.22 + 20.000 = $725.222,22 Para el obrero la mejor decisión es la primera; para el empresario es la segunda alternativa.

33. Solución: a) Promedio, intenta resumir o representar las características de un conjunto de valores. Es un valor típico o representativo. b) Ventajas: más fácil de calcular, conocido, entendido por todos, el más utilizado. Desventajas: se ve afectado por valores extremos grandes; sensibles a cualquier cambio que se haga en sus datos. c) En datos sin agrupar no hay ponderación; en tablas de frecuencias se hace con el fin de abreviar los cálculos, y se le denomina media ponderada.

34. Solución: yi

ni

y i ni

2.500 5.800 10.000 800 Σ Xi

500 1.200 600 2.500 4.800

1.250.000 6.960.000 6.000.000 2.000.000 16.210.000

fi

X i fi

a) Inversión total

Σ y i ni

= $16.210.000

X = Σ X i f i = 16.210.000

b) y = 16.210.000 = $3.377,083 4.800

El valor promedio por acción.

20



35. Solución: a) x =

3,6 + 4,1 + 3,2 + 3,8 + 4,6 = 3,86 Es la calificación promedio de los 5 cursos o 5

grupos, cuando cada uno de ellos tiene el mismo número de alumnos.

b) yi

ni

y i ni

y=

3,2 3,6 3,8 4,1 4,6 Σ Xi

26 32 34 40 15 147

83,2 115,2 129,2 164,0 69,0 560,6

Σ y i ni n

X=

Σ X i fi n

fi

X i fi

y= X =

560,6 = 3,81 calificación ponderada 147

36. Solución:

20 30 40

y i' −1 − y i' 15,1 – 25 25,1 – 35 35,1 – 45

2 12 37

50

45,1 – 55

62 → N j

Z i'' 1 2 3

Z i'' ni 2 20 75

ni

yi

2 10 25 → n j −1

4

100

25 → n j

Ni

→ N j −1

21


5 6 Σ di '

15 → n j +1

75 18 290 di ' fi

60 70 − Xi

3 80 fi


55,1 – 65 65,1 – 75 -

77 80 -

X i'−1 − X i'

Fi

NOTA: Para Z i'' =

0, le corresponderá el valor de Ot a y0 en este caso será 10. Ahora a 10 le agregamos el valor de c, siendo y1 = 20 .

Mediana =

y 'j −1

n − N j −1  +c2 nj  

    

n = 80 = 40 2 2

M e = 45 + 10  40 − 37  = 45 + 10  3  = 45 + 30 = 45 + 1,20 = 46,20  25   25  25 Modo = y J' −1 + c

n J +1 n J +1 + n J −1

M d = 45 + 10  15  45 + 150 = 48,75 40  15 + 25 

37. Solución: yi

ni

y i ni

0 2

2 3

0 6

4 6 7 Σ

7 4 4 20

28 24 28 86

Ni

2 5 → N j −1 12 → N j 16 20 -

22


Xi

fi

X i fi

Fi


y = 86 = 4,3 20

a) Media aritmética:

X = 4,3

b) La mediana: N j −1 < n

Me = yj = 4

2

c) El modo: M d = y j = 4

38. Solución: yi' −1 − yi' 2,75 – 4,25 4,25 – 5,75

5,75 – 7,25 7,25 – 8,75 Σ X i'−1

−

X i'

yi

ni

y i ni

Ni

3,5 5,0

4 16

14,00 80,00

4 20 → N j −1

6,5 8,0 − Xi

25 5 50

162,50 40,00 296,50

fi

X i fi

45 → N j 50 -

a) Media aritmética y=

296,50 = 5,93 50

b) La mediana: N j −1 < n

2

Fi M e = y j = 6,5

c) El modo: M d = y j = 6,5

b) M e =

y 'j −1

n − N j −1  + c 2 nj 

   

M e = 5,75 + 1,5  25 − 20  = 5,75 + 0,30 = 6,05  25  (Trabajando con intervalos iguales)

39. Solución: a) La media aritmética: 8.675 b) La mediana: 3.625

x = 86.750 = 8.675 10

M e = 3.250 + 4.000 = 3.625 2

23



M d = 3.000 , ya que se repite dos veces el valor de 3.000

c) La moda: 3.000 d) El valor de 50.000

e) Mediana, ya que no se afecta por valores extremos 40. Solución: yi

ni

y i ni

a) Media = 56.278.000 = 803.971,43

Ni

642.000 751.000 758.000 794.000

2 12 8 10

1.284.000 9.012.000 6.064.000 7.940.000

801.000 911.000 Σ Xi

24 14 70

19.224.000 12.754.000 56.278.000

70 -

fi

X i fi

Fi

70

2 14 22 32 → N j −1

Salario promedio mensual b) Mediana ⇒ n 2 = 35

56 → N j

M e = y J = 801.000

Salario promedio mensual c) Modo → M d = 801.000 Salario promedio mensual

41. Solución: yi' −1 − yi' 10,1 – 20 20,1 – 30

hi

yi

y i hi

0,20 0,28

15 25

3,00 7,00

30,1 – 40 40,1 – 50 Σ

0,40 0,12 1,00

35 45 -

fi

Xi

X i'−1

−

X i'

n

14,00 5,40 29,40 f X i  i   n

Hi

y2 h2 + y3h3 = 29,4 − 8,40

0,20 0,48 → H j −1

25h2 + 35h3 = 21

0,88 → H j

25 (0,68 − h3 ) + 35 h3 = 21

1,00 Fi

17 − 25h3 + 35h3 = 21

n

h3 =

4 = 0,40 10

h2 + h3 = 1 − 0,32 h2 + h3 = 0,68 h2 = 0,68 − h3

h2 = 0,28

24


Mediana:

∑ hi

= 1 = 0,5 2

2

H j −1 < 0,5

a) M e = y j = 35 Kgrs/mm

b) M e =

y J' −1


2

1 − h  j −1   + c 2  hj   2

c) M d = y j = 35 Kgrs/mm

2 1 / 2 − 0,48  0,02  M e = 30 + 10  = 30 + 10  = 30,5 Kgrs/mm    0,4   0,40 

42. Solución:

yi' −1 − yi' Menos de 600 600,1 – 800 800,1 – 1.000 1.000,1 – 1.200 1.200,1 y más Σ Xi

ni

30 60

Ni

30 90 → N j −1

n = 200 = 100 2 2

45 15 50 200

135 → N j

N j −1 < n 2

150 200 -

Me =

fi

Fi

y J' −1

n − N  j −1   + c 2  nj  

M e = 800 + 200 100 − 90 = 844,44 = 45

$844.444 Moda = y j = 700 . Se toma la marca de clase o sea

Salario mensual

600 + 800 = 700 ⇒ $700.000 2 Salario mensual

Media aritmética. No es recomendable su cálculo en este ejercicio, dado que las frecuencias absolutas localizadas en los extremos de la variable no definidas, tienen un peso o importancia que no se puede desechar, estas ponderaciones son 30 y 50 respectivamente.

25



En el caso de que obligatoriamente se requiera calcular, deberá prescindirse de los valores extremos, es decir:

y i' −1 − y i' 600,1 – 800 800,1 – 1.000 1.000,1 – 1.200 Σ

60 45 15 120

700 900 1.100 -

42.000 40.500 16.500 99.000

X i'−1 − X i'

fi

Xi

X i fi

ni

yi

y i ni

X=

Σ X i fi = 825 n

y=

Σ y i ni 120

=

99.000 = 825 120

$825.000 Salario mensual

43. Solución: yi' −1 − yi' 648.000,1 – 668.000 668.000,1 – 688.000 688.000,1 – 708.000 708.000,1 – 728.000 728.000,1 – 748.000 748.000,1 – 768.000 Σ X i'−1 − X i'

ni

Ni

120 38 22 10 6 4 200

120 158 180 190 196 200 -

fi

Fi

yi

658.000 678.000 698.000 718.000 738.000 758.000 Xi

a) M d = y J = 658.000 n J = 120 n J +1 = 38 n J −1 = 0

 38  b) M d = 648.000 + 20.000   = 668.000  0 + 38  

c) M d = 648.000 + 20.000 

120 − 38



  (120 − 0) + (120 − 38) 

= 656.118,18

 38 − 0  = 652.634,15  2(120 − 0 − 38)  

d) M d = 648.000 + 20.000 

 0 − 38   = 647.951,19 120 + 0 + 38 

e) M d = 648.000 + 20.000 

26


(b) M d = 668.000 *

(c) M d = 656.118,18


(d) M d = 652.634,15

(e) 647.951,19

Esta fórmula no es aplicable en este ejercicio, ya que el promedio debe localizarse entre el límite inferior y límite superior del recorrido.

44. Solución: a) 68 < 74 < 80 Asimetría negativa;

b) 80 > 74 > 68 Asimetría positiva

c) 74 = 74 = 74 Simétrica

d) 74 = 74 > 60 Ligeramente asimétrica positiva

45. Solución: a) x = 61,67

M e = 62,5

M d = 65

b) x = 60,67

M e = 62

M d = No hay

c) x = 49

M e = 38

M d = 35

d) En (a) y (b) la Media y en (c) la Mediana

46. Solución: a) 4

4

6

6 6 6

7

10

15

x =

64 = 7,11 ; 9

Me = 6 ;

Md = 6

Me = 6

8

10 10 12 18

20

x = 78 = 13,0 ; M e = 11 ; 6

M d = 10

M e = 11

b) x =

7,1111(9 ) + 6 (13) 64 + 78 = = 9,47 15 15

47. Solución:

27



y i' −1 − y i' 3,1 – 8 8,1 – 10 10,1 – 16 16,1 – 24 24,1 – 30 30,1 – 32 Σ

ni

yi

Ni

ci

8 8 14 16 18 10 74

5,5 9,0 13,0 20,0 27,0 31,0 -

8 16 30 46 64 74 -

5 2 6 8 6 2 -

1,60 4,00 2,33 2,00 3,00 5,00 -

44 72 182 320 486 310 1.414

X i'−1 − X i'

fi

Xi

Fi

i

fi / i

X i fi

Mediana ⇒ n = 74 = 37 2 2

N J −1 = 30

ni ci

y i ni

N J = 46

M e = 16 + 8  37 − 30  = 16 + 3,5 = 19,5  16  Modo ⇒ Como la amplitud de los intervalos no es constante, lo recomendable es no n f calcularlo, pero si lo exigen se debe establecer el mayor valor de i = i y al frente en y i ci i n se obtendrá el valor del Modo. M d = 31 dado que i = 5,0 el valor más alto. c Media ⇒ 1.414 = 19,11 74

48. Solución: 720

720

720

720

Media = 11.310 = 942,5 ; 12

750

810

M d = 720 ;

810

840

840

900

1.680

1.800

M e = 810 + 810 = 810 2

El mejor promedio es la mediana, por ser el centro, eliminando los extremos, correspondiente al salario más bajo y al más alto. Media = $942.500

Modo = $720.000

Mediana = $810.000

28



49. Solución: a) y = 41

M e = 37

M d = 28

b) y = 432

M e = 384

a) x = 36 + 5 = 41

M e = 32 + 5 = 37

M d = 23 + 5 = 28

b) x = 36(12) = 432

M e = 32(12 ) = 384

M d = 23 (12) = 276 meses

M d = 276

50. Solución: Media =

7,9 + 8,3 + 6,1 + 6,8 + 7,4 + 8,6 + 8,2 + 7,6 + 8,0 68,9 = = 7,66% 9 9

Mediana:

6,1

6,8

7,6 7,9 8,0

7,4

8,2

8,3

8,6

Me

Mediana = 7,9 %

Modo ⇒ No hay, ningún valor se repite

51. Solución: Media =

− 15 = − 1,875 minutos 8

Mediana ⇒ -18 -12 -8

(1 minuto y 52 segundos)

-8 -6

M e = − 14 = − 7 minutos 2

10 12 15;

Me = − 7 Moda = − 8 (8 minutos de anticipación)

52. Solución: y i' −1 − y i' 2,1 – 5

ni

yi

y i ni

Ni

ci

120

3,5

420,0

120

3

ni ci

40,0

29



5,1 – 9 9,1 – 16 16,1 – 20 20,1 – 28 28,1 – 36 Σ

15 8 6 6 5 160

7,0 12,5 18,0 24,0 32,0 -

105,0 100,0 108,0 144,0 160,0 1.037,0

135 143 149 155 160 -

4 7 4 8 8 -

3,75 1,14 1,50 0,75 0,63 -

X i'−1 − X i'

fi

Xi

X i fi

Fi

i

fi / i

Media = 1.037 = 6,48 160 Modo = 3,5

Mediana = N J −1 = 0

N J = 120

n = 80 2

M e = 2 + 3  80 − 0  = 2 + 2 = 4  120 

53. Solución: n1 + n2 + n3 + n4 + n5 + n6 = n

f1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 + f 6 = n

→

n1 + (n1 + 5) + 30 + 30 + (n1 + 5) + n1 = 150 4n1 + 70 = 150

4n1 = 80 → n1 = 80 = 20 4

20

ni

20

n2 = 25

n3 = 30

n4 = 30

n5 = 25

n6 = 20

 ∑ Z i'' ni  y = Ot + c    n 

Sabiendo que:

yi

n1 = 20

Z i'' -4

⇒

 ∑ d i' f i  X = A + i   n 

Z i'' ni -80

30


30 40 50 60 70 Σ Xi

25 30 30 25 20 150

-3 -2 -1 0 1

-75 -60 -30 0 20 -225

fi

di '

di ' fi


(1)

Se toma como Ot = A = 60

(2)

De acuerdo a lo visto en la teoría al frente de Ot se coloca cero, cuando c = i es constante para Z i'' = d i'

(3)

Luego hacia arriba se colocará − 1 ; − 2 etc., y hacia abajo 1, 2, etc.

(4)

Reemplazamos en la fórmula inicial 45 = 60 + c  − 225 

(5)

Despejamos el valor de la amplitud c = i , siendo 45 − 60 = − 15 ⇒ c =

(6)

Ahora completamos la columna de X i

 150 

yi

ni

20 30 40 50 60 70 Σ

20 25 30 30 25 20 150

Xi

fi

ni

yi 1,00 0,83 0,75 0,60 0,42 0,29 3,89

fi

Xi

− 15 = 10 − 1,5

= yi

log yi

ni log y i

1,30103 1,47712 1,60206 1,69897 1,77815 1,84510 -

26,02060 36,92803 48,06180 50,96910 44,45375 36,90196 243,33524

log X i

f i Σ log X i

M H = M −1 (Media armónica)

MH =

150 = 38,56 3,89

M g = G = Mo (M. Geométrica) log M g =

243,33524 = 1,622234933 150

M g = antilog (1,622234933)

M g = 41,90

31



54. Solución: Media = 29,83

Mediana =

13 + 22 = 17,5 2

M d = No hay

Media geométrica = 6 3 × 6 × 13 × 22 × 46 × 89 = 16,62

La mediana es el valor central, el que mejor representa a ese conjunto de observaciones.

55. Solución: a) Media = 47 = 9,4 5

Media geométrica =

Media armónica =

9,4 > 7,19 > 5,22

b) Media = 9,4 9,4 > 8 > No hay

5

2 × 5 × 8 × 12 × 20 = 7,19

5 5 = = 5,22 1 + 1 + 1 + 1 + 1 0,958333 2 5 8 12 20

Se cumple la relación ⇒ M 1 > M o > M −1 Mediana = 8

Modo = No hay

⇒ M1 > M e > M d

Se cumple la relación

56. Solución: m

yi' −1 − yi'

(1) (2) (3) (4)

−

3,75 – 4,25 4,25 – 5,75 5,75 – 7,25 7,25 – 8,75 Σ

-

X i'−1 − X i'

yi

ni

Ni

3,5 5,0 6,5 8,0 − Xi

4 16 25 5 50

4 20 45 50 -

fi

Fi

Se observa que m = 4 número de intervalos

(1)

Sombreado aparecen los datos del problema

(2)

Determinamos la 1ª ecuación, recordando las propiedades de las frecuencias y marcas de clases.

(3)

32


y o' + c = 3,5 2 ' b) y o + 4c = 8,75 a)

b)

y o' + 4c = −

y o'


  '  Eliminamos a y o 

8,75

− 0,5c = − 3,50 ⇒c= i =

3,5 c = 5,25

(4) Dividimos a la amplitud entre 2 ⇒

5,25 = 1,5 Completamos la columna yi = X i 3,5

1,5 = 0,75 , restándolo a la marca de clase formamos 2

el límite inferior del intervalo y sumándolos, el límite superior.

y i ni

log yi

ni log y i

14,0 80,0 162,5 40,0 296,5 X i fi

0,54407 0,69897 0,81291 0,90309 log X i

2,17627 11,18352 20,32283 4,51545 38,19807 f i log X i

Media =

296,5 = 5,93 50

log Media geométrica =

38,19807 = 0,7639614 50

Media geométrica = anti log (0,7639614) Media geométrica = 5,81

57. Solución: Vm =

∑ Si S ∑ Vi i

70 =

400 120 + 120 + 100 + 60 60 100 80 V4

V4 = 47,457 k . p.h.

58. Solución: Vm =

900 = 264,706 300 300 300 + + 250 250 300

Vm = 264,706 k . p.h.

33



59. Solución: Vm =

800 = 53,44 200 + 200 + 200 + 200 50 55 60 50

Vm = 53,44 k . p.h.

60. Solución: Vm =

2 = 48 1 + 1 40 60

Vm = 48 k . p.m.

61. Solución: A

C

B

Vm =

3 = 3 = 38,30 k . p.h.  1  +  1  +  1  0,078  30   40   50 

62. Solución: ni

Z i''

Z i'' N i

Ni

ni

yi

3 4 5 6 7 8 Σ di '

15 80 225 450 665 800 -

5 20 45 75 95 100 -

5 15 25 30 20 5 100

28 34 40 46 52 58 -

yi 0,18 0,44 0,63 0,65 0,38 0,09 2,37

di ' fi

Fi

fi

Xi

X i fi

A = Ot = 10

M −1 =

n n ∑ yi i

i =c=6

MH =

n f ∑ Xi i

M H = 100 = 42,194 2,37

34



63. Solución:

xi: 4,824

10,184

x = 26,8

20,502

32,830

M e = 20,502

M −1 =12,501

65,660 M o =18,507

64. Solución: MH =

2 = 44,44 Minutos 1 + 1 50 40

65. Solución: MH =

x = 14 + 10 = 12 Papeleras diarias 2

2 = 11,67 Papeleras diarias 1 + 1 14 10

66. Solución: a) Media = 2.250 + 2.830 + 2.570 = $2.550 Promedio por paquete 3

b) M . armónica =

3 = $2.527,58 Valor promedio por paquete 1 + 1 + 1 2.250 2.830 2.570

67. Solución:

4 20 45 50 -

Z i'' -1 0 1 2 -

Z i'' ni -4 0 25 10 31

0,1333 0,3200 0,3571 0,0555 0,8659

Fi

di '

di ' fi

-

m

yi

ni

Ni

(1) (2) (3) (4)

30 50 70 90 Σ Xi

4 16 25 5 50 fi

−

-

ni / y i

35


 Σ Z '' n  y = Ot + c  i i   n 

⇒

Σd ' f  X = A +i  i i   n 

y = 62,4 = 50 + c  31   50 

12,4 = 0,62c

c=

Mediana ⇒

12,4 = 20 0,62

n 50 = = 25 ⇒ N J −1 = 20 2 2

Mediana = y J = X J Media armónica =


y

N J = 45 (No aparece n ) 2

= 70

50 = 57,74 0,8659

68. Solución: Media armónica =

2 = 144,83 1 + 1 150 140

69. Solución: Media armónica =

3 = $1.800 1 + 1 + 1 1.200 1.800 3.600

Precio promedio pagado por el fabricante

36




10,1 – 15 15,1 – 20 20,1 – 25 25,1 – 30 30,1 – 35 Σ X i'−1 − X i'

ni

ni

yi

3 7 15 25 10 60 fi

12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 Xi

Mediana ⇒ 60 = 30 2

Ni

yi 0,240 0,400 0,667 0,909 0,308 2,524

3 10 25 50 60 -

fi / X i

Fi

N J −1 = 25

N J = 50

Mediana (V .C.) = 25 + 5  30 − 25  = 25 + 1 = 26  25 

Mediana (VD) = 27,5 Media armónica =

60 = 23,77 2,524

71. Solución: Media, mediana y moda a) Media → x =

143 = 14,3 minutos de retardo 10

Mediana → −4 − 3 − 1

2 Me =

Moda → M d = xJ = 4 minutos

4

4

6

10

124

6 = 3 minutos de retardo 2

La más representativa es la moda, la que más se repite. b) En este caso se utilizó la mediana, por ser el menor valor de los tres, de esta manera se muestra que hay un buen servicio. Para mostrar un mal servicio, se utilizó la media aritmética por ser el de mayor valor.

37



72. Solución: d) Cuando la distribución es simétrica. x = M e = M d Los puntos a), b) y c) se le dejan al estudiante. 73. Solución: y ' i −1 − y 'i

ni

NJ

6,1 - 12 12,1 - 15 15,1 - 20 20,1 - 28 28,1 - 36 36,1 - 40 40,1 - 50 Σ

2 14 5 3 7 16 3 50

2 16 21 NJ −1 24 NJ 31 47 50 -

a) Media:

y=

ni / ci

0,33 4,67 1,00 0,38 0,88 4,00 0,30 -

yi

9,0 13,5 17,5 24,0 32,0 38,0 45,0 -

y i ni

18,0 189,0 87,5 72,0 224,0 608,0 135,0 1.333,5

1.333,5 = 26,67 50  25 − 24   = 28 + 1,14 = 29,14  7 

b) Mediana: M e = 28 + 8  N 50 = = 25 2 2

c) Moda:

N J −1 = 24 N J = 31

M d = y J = 13,5

(ni / ci ) = 4,67 Es el de mayor valor

d) Tercer decil:

3n 3 ( 50) = = 15 10 10

N J −1 = 2

N J = 16

15 − 2  D3 = 12 + 3   = 12 + 2,79 = 14,79  14 

e) Segundo cuartil: N J −1 = 24 y

2n = 2 ( 50) = 25 ⇒ Q = M = 29,14 2 e 4 4 N J = 31

38



f) Percentil sesenta: 60n 60 ( 50) = = 30 100 100

N J −1 = 24

N J = 31

 30 − 24  P60 = 28 + 8   = 28 + 6,86 = 34,86  7 

74. Solución: 1.260.960 =

857.300 (400 − n2 ) + 1.320.856n2 400

504.384.000 = 857.300 (400) − 857.300n2 + 1.320.856n2 504.384.000 − 342.920.000 = 1.320.856n2 − 857.300n2

161.464.000 = 463.556n2 n2 = 161.464.000 = 348 Operarios 463.556

n1 = 400 − 348 = 52 Técnicos

75. Solución: Lo debe investigar el estudiante.

76. Solución: Con los datos del ejercicio No. 47, se pide calcular la media cuadrática, cúbica y el séptimo decil.

39


yi' −1 − yi' 3,1 – 8 8,1 – 10 10,1 – 16 16,1 – 24 24,1 – 30 30,1 – 32 Σ

yi

ni

5,5 9,0 13,0 20,0 27,0 31,0 −

X i'−1 − X i'

Xi

Media cuadrática =

Media cúbica =

3


8 8 14 16 18 10 74

y i2 ni 242 648 2.366 6.400 13.122 9.610 32.388

y i3 ni 1.331 5.832 30.758 128.000 354.294 297.910 818.125

8 16 30 46 64 74 -

fi

X i2 f i

X i3 f i

Fi

Ni

32.388 = 20,92 74

818.125 = 22,28 74

Séptimo decil = D7 ⇒

7(74) = 51,8 10

N J −1 = 46

N J = 64

 51,8 − 46  D7 = 24 + 6   = 24 + 1,93 = 25,93 18  

77. Solución: x=

40 = 6,67 6

Md = 4

4

4

6

10

12

Me = 5

Media Cuadrática ⇒ M 2 =

Media Cúbica ⇒ M 3 =

Me ⇒ 4

3

Media Armónica ⇒ M −1 =

42 + 102 + 62 + 42 + 42 + 122 = 54,67 = 7,39 6

43 + 103 + 63 + 43 + 43 + 123 3 = 522,67 = 8,06 6 6 6 = = 5,45 1 / 4 + 1 / 10 + 1 / 6 + 1 / 4 + 1 / 4 + 1 / 12 1,1

40


Media Geométrica ⇒ M o =

a)

6


4 . 10 . 6 . 4 . 4 . 12 = 6 46.080 = 5,99

M −1 < M o < M 1 < M 2 < M 3 5,45 < 5,99 < 6,67 < 7,39 < 8,06

Se cumple la propiedad b) M 1 = 6,67

Md = 4

Me = 5

4 < 5 < 6,67 M d < M e < M1

Asimétrica positiva

78. Solución: yi

1.930.000 1.510.000 1.370.000 1.350.000 646.000 590.000 Σ Xi

ni

y i ni

Ni

2 4 6 4 26 110 152

3.860.000 6.040.000 8.220.000 5.400.000 16.796.000 64.900.000 105.216.000

2 6 12 16 42 152 -

fi

X i fi

Fi

a) Media = 105.216.000 = $692.210,53 152

Modo = $590.000

Mediana ⇒ n = 152 = 76 2 2

N J −1 = 42

N J = 152

Mediana = $590.000 = y J

b) Tanto la Mediana como la Moda, podrían ser representativas, sin embargo al escoger una de ellas, como mejor promedio nos inclinamos por la última.


x = 240

n2 = 180

x2 = 216

226,7 =

x = 226,7 días n3 = ?

x3 = 230

120 (240) + 180 (216) + n3 (230) 300 + n3

226,7 (300) + 226,7 n3 = 28.800 + 38.880 + 230 n3 68.010 − 28.800 − 38.880 = 230 n3 − 226,7 n3 330 = 3,3 n3 ⇒ n3 = 100 (sección c)

41



80. Solución: => Número de vehículos vendidos en 10 días es de 34 => Valor total de las ventas: 34(18.500.000) = $629.000.000 => el 0,5% = 0,005 gana por cada vehículo 629.000.000 (0,005) = $3.145.000 + 270.000 = $3.415.000 sería el sueldo promedio en los 10 días.

81. Solución: Se le deja al estudiante para su solución.

82. Solución: M o = 873.374 (1.083.998) = 973.003 M o = 322.867 (240.776) = 278.816 Mo =

204.903 (267.358) = 234.057

M o = 345.604 (575.864) = 446.118

83. Solución: yi' −1 − 800,1 1.000,1 1.200,1 1.400,1 1.600,1 Σ

yi' 1.000 1.200 1.400 1.600 1.800

ni

Ni

5 13 17 8 7 50

5 18 35 43 50 -

yi

900 1.100 1.300 1.500 1.700 -

yi ni

4.500 14.300 22.100 12.000 11.900 64.800

42


2

3

yi ni

yi ni

4.050.000

3.645.000.000

15.730.000

17.303.000.000

28.730.000

37.349.000.000

18.000.000

27.000.000.000

20.230.000

34.391.000.000

86.740.000

119.688.000.000

a) Media: Moda:


⇒ y=

64.800 = 1.296 50

⇒ M d = 1.300 n 50 = = 25 2 2 N J −1 = 18

Mediana: ⇒

N J = 35

 25 − 18  M e = 1.200 + 200   = 1.200 + 82,35 = 1.282,35  17 

b) Media cuadrática: ⇒ M 2

M2 =

⇒ M3

M3 =

Media cúbica:

ni

yi

0,005556 0,011818 0,013077 0,005333 0,004118 0,039902

log yi

2,95424 3,04139 3,11394 3,17609 3,17609 -

86.740.000 = 1.317,12 50 3

119.688.000.000 = 50

3

2.393.760.000 = 1.337,70

ni log yi

14,77121 39,53810 52,93704 25,40873 22,61314 155,26822

43


Media Armónica:

M −1 =


50 = 1.250,07 0,039902

Media Geométrica: log M o =

155,26822 = 3,1053644 50

M o = anti log 3,1053644 = 1.274,57

84. Solución: a) La mediana

b) La media geométrica

c) Verdadero

d) Verdadero

e) Población

85. Solución: se le deja al estudiante. 86. Solución: x1 + x2 2

= 5 =x

x1 + x2 = 10 x1 x 2 = 4 = M o x1 x2 = 16 x1 =

16 x2

Reemplazamos en

x1 + x2 = 5

16 + x2 − 10 = 0 x2

16 + x 22 − 10 x 2 = 0 x 22 − 10 x 2 + 16 = 0

44


x1 = 2 M3 =

3


x2 = 8 2 3 + 83 = 6,38 2

87. Solución: a) 169.000 (1,06) = $179.140, es el salario semanal b) 169.000 (1,04) = $175.760 + 5.800 = $181.560 La mayor es (b) con salario semanal de $181.560 89. Solución: x2 = 4,2

x1 = 3,4

x

= 3,4 (1 − h2 ) + 4,2 h2 = 3,7

3,7 = 3,4 − 3,4 h2 + 4,2 h2 0,3 0,3 = 0,8 h2 ⇒ h2 = = 0,375; h2 = 37,5% ; h1 = 62,5% 0,8

1 = h1 + h2 h1 = 1 − h2

90. Solución: yi' −1 − yi' 10,1 - 18 18,1 - 26 26,1 - 34 34,1 - 42 42,1 - 50 50,1 - 58 Σ

yi

ni

14 22 30 38 46 54 −

8 7 17 8 2 8 50

yi3 ni 21.952 74.536 459.000 438.976 194.672 1.259.712 2.448.848

ni / yi

0,5714 0,3182 0,5667 0,2105 0,0435 0,1481 1,8584

n = n1 + n2 + n3 + n4 + n5 + n6 = 50 8

+ 7

+ 17 + 8 + 2 + 8 = 50

n1 + n3 = 25 8 + n3 = 25 n6 + 2 = 10 n3 = 17 n6 = 8

45



n2 + n4 = 15 7 + n4 = 15 n4 = 8

y 2 + 4 C = 50 − y 2 − 0,5 C = − 22

y 2 + 0,5 C = 22 y 2 + 4 C = 50

C =

3,5 C =

28

28 =8 3,5

Media cúbica ⇒ M 3 =

3

2.448.844 = 50

Media armónica ⇒ M −1 =

3

48.976,88

≅ 36,59

50 = 26,90 1,8584

91. Solución: a) Falso ya que: x > M e > M d

y se da 68 como M d , que debe ser menor o igual a 62

68 > 62 > ?

b) M3 >

M2

> x >

76,8 > 72,50 > 70 >

Mo

> M −1

65

> 63

Se cumple la relación.

92. Solución: M g = 13,24

x = 14

a) Media armónica =

M 3 = 15,30

4 1 1 1 1 + + + 8 12 16 20

M 2 = 14,70

=

4 = 12,47 0,3208

46



93. Solución: a) Verdadero e) Verdadero

b) Sólo una f) Mediana

c) Geométrica g) Verdadero

d) Media aritmética

94. Solución: 1.026.328 =

200 x1 + 300 ( x1 − 86.400) 500

513.164.000 = 200 x1 + 300 x1 − 300 (86.400) 513.164.000 = 500 x1 − 25.920.000

x1 = 539.084.000 = 1.078.168 500

x 2 = 991.768

y

95. Solución: a) Media aritmética

Ot = 50 =

A

yi' −1 − yi'

ni

hi

yi

y i ni

Z i'

Z i' ni

15,1 – 25 25,1 – 35 35,1 – 45

8 20 42

0,04 0,10 0,21

20 30 40

160 600 1.680

-30 -20 -10

45,1 – 55

60

0,30

50

3.000

0

55,1 – 65 65,1 – 75 75,1 – 85 Σ

42 20 8 200

0,21 0,10 0,04 1,00

60 70 80 -

2.520 1.400 640 10.000

10 20 30 -

-240 -400 -420 − 1060 1060 420 400 240 0

fi

fi / n

Xi

X i fi

di

di fi

X i'−1 − X i'

47



(Primer método abreviado)

y=

Σ y i ni n

y = Ot +

10.000 = 50 200

=

Σ Z i' ni n

X=

Σ X i fi = 50 n X = A+

= 50 + 0 = 50

Σ d i' f i = 50 n

Ot = 50 = A

(Segundo método abreviado)

Z i'' -3 -2 -1 0 1 2 3 Σ di '

Z i'' ni -24 -40 -42 0 42 40 24 0

 Σ Z i' ni  y = Ot + c    n 

Σ d ' f  X = A + i  i i  = 50  n 

y = 50 + 10 (0 ) = 50

di ' fi

B) yi' −1 − yi'

ni

Ni

yi

y i ni

15,1 – 25 25,1 – 35 35,1 – 45 45,1 – 55 55,1 – 65 65,1 – 75 75,1 – 85 Σ

6 17 34 53 42 38 10 200

6 23 57 110 152 190 200 -

20 30 40 50 60 70 80 -

120 510 1.360 2.650 2.520 2.660 800 10.620

fi

Fi

Xi

X i fi

X i'−1 − X i'

Z i'

Z i' ni

-30 -20 -10 0 10 20 30 0

-180 -340 -340 0 420 760 300 620

di

di fi

A = Ot = 50

48


X=

Σ X i fi = 53,1 n


y = 50 +  620  = 50 + 3,10 = 53,1  200 

Σ d ' f  X = A + i  i i  = 53,1  n 

Z i'' -3 -2 -1 0 1 2 3 Σ di '

Ot = 50

Z i'' ni -18 -34 -34 0 42 76 30 62

y=

Σ y i ni n

=

10.620 = 53,1 200

 Σ Z '' n  y = Ot + c  i i   n 

 62  y = 50 + 10   = 53,1  200 

di ' fi

b) Mediana A) y i' −1 − y i' 15,1 – 25 25,1 – 35 35,1 – 45

ni

8 20 42 60

Ni

8 28 70 → N j −1 130 → N j

45,1 – 55 55,1 – 65 65,1 – 75 75,1 – 85 Σ

42 20 8 200

172 192 200 -

X i'−1 − X i'

fi

Fi

N j −1 < n 2

Me =

y 'j −1

70 < 100

n   2 − N j −1  + C   nj   

n −F  j −1   M e = Li + i  2 fj    100 − 70  M e = 45 + 10    60 

M e = 45 + 300 60

49



M e = 45 + 5 = 50

B) y i' −1 − y i' 15,1 – 25 25,1 – 35 35,1 – 45

45,1 – 55 55,1 – 65 65,1 – 75 75,1 – 85 Σ X i'−1

−

ni

Ni

6 17 34

6 23 57 → N J −1 110 → N J 152 190 200 -

53 → n J 42 38 18 200

X i'

fi

M e = 45 + 10 100 − 57 53 M e = 45 + 10 43 53 M e = 45 + 430 53 M e = 45 + 8,11 = 53,11

Fi

A) yj

nj

Nj

20 30 40

8 20 42

8 28 70 → N j −1

50 → y j 60 70 80 Σ XJ

130 → N j

60 42 20 8 200 fJ

172 192 200 FJ

nj

Nj

6 17 34

6 23 57 → N j −1

N j −1 < n 2 70 < 100

Me = yj = X j M e = 50

B) yj

20 30 40 50 → y j 60 70 80 Σ

53 42 38 10 200

110 → N j 152 190 200 -

50


XJ

fJ


N j −1 < n 2

FJ

57 < 100

Me = yj M e = 50

M e = y j = 50 (En ambos casos)

A) yi' −1 − yi' 15,1 – 25 25,1 – 35 35,1 – 45

8 20 42 → n j −1

45,1 – 55

60 → n j

55,1 – 65

42 → n j +1

65,1 – 75 75,1 – 85 Σ

20 8 200 fj

X i'−1 − X i'

c) Modo:

nj

 n j −1  M e = y 'j −1 + c    n j +1 + n j −1 

  A) M e = 45 + 10  42  = 45 + 420 = 50 42 + 42 84  

B) M d = 45 + 10  42  = 45 + 420 = 50,53 76  34 + 42 

(

)

n j − n j −1   M d = y 'j −1 + c   n − n + n − n j −1 j j +1   j

(

) (

)

51






60 − 42 180 A) M d = 45 + 10   = 45 + 36 = 50 ( 60 − 42 ) + ( 60 − 42 )  


f J −1   M d = Li + i   f  J +1 + f J −1 

 53 − 34 = 45 + 190 = 51,33 30  (53 − 34) + (53 − 42) 

B) M d = 45 + 10 

( f J − f J −1 )   M d = Li + i   ( ) ( ) f − f + f − f J −1 J J +1   J B) yi

20 30 40 50 60 70 80 Σ Xi

ni

log yi

ni log y i

6 17 34 53 42 38 10 200

1,20103 1,47712 1,60206 1,69897 1,77815 1,84510 1,90309 -

7,20618 25,11104 54,47004 90,04541 74,68230 70,11380 19,03090 340,65967

fi

log X i

d) Media geométrica:

f i log X i

log M g =

340,65967 = 1,70329835 200

M g = antilog 1,70329835 = 50,5 log M g =

Σ ni log y i n

e) A) M d = 3M e − 2M 1

 Σ f log X i  M o = antilog  i  n  

B) M d = 3M e − 2M 1

M d = 3 (50) − 2 (50)

M d = 3 (53,1) − 2 (53,1)

M d = 50

M d = 53,1

f) A) yi

ni

ni / y i

20 30 40

8 20 42

0,40 0,67 1,05

52


50 60 70 80 Σ Xi

60 42 20 8 200 fi


Media armónica

1,20 0,70 0,29 0,10 4,41

MH =

n n ∑ yi i

MH =

200 = 45,35 4,41

MH =

n n ∑ yi i

MH =

200 = 48,426 4,13

fi / X i

M H = 45,35

MH =

n = 45,35 f ∑ Xi i

B) yi 20 30 40 50 60 70 80 Σ Xi

ni

ni / y i

6 17 34 53 42 38 10 200

0,30 0,56 0,85 1,06 0,70 0,54 0,12 4,13

fi

fi / X i

M H = 48,426

B) ni

6 17 34 53 42 38 10 200 fi

y i2 ni 2.400 15.300 54.400 132.500 151.200 186.200 64.000 606.000

y i3 ni 48.000 459.000 2.176.000 6.625.000 9.072.000 13.034.000 5.120.000 36.534.000

X i2 f i

X i3 f i

Media cuadrática y cúbica M2 =

Σ yi2 ni n

M2 =

M3 = 3

Σ yi3 ni n

M3 =

606.000 = 55,04 200

3

36.534.000 200

M 3 = 3 182.670 = 56,74 M2 =

Σ xi2 f i = 55,04 n

M3 = 3

Σ X i3 f i = 56,74 n

53



97. Solución: M1 = 7

Siendo: 7=

x1 + x 2 + x3 3

M3 =

3

657 =

M 3 = 3 657

Me = 6 21 = x1 + 6 + x3

15 = x1 + x3

x1 = 15 − x3

x13 + 6 3 + x33 3

3

3 (657 ) = x13 + 216 + x33 1.971 − 216 = x13 + x33 1.755 = x13 + x33 1.755 = (15 − x3 ) + x33 3

1.755 = 3.375 − 675 x3 + 45 x32 − x33 + x33 1.755 = 3.375 − 675 x3 + 45 x32 1.620 − 675 x3 + 45 x32 = 0

(

)

45 36 − 15 x3 + x32 = 0

Dos números que sumados den 15 y multiplicados sean igual a 36, serán: 3 y 12. x1 = 3

Siendo:

x2 = 6

x3 = 12

98. Solución: 5=

x1 + x 2 2

Mo =

x1 . x2

→ →

10 = x1 + x 2 4=

x1 x 2

→

x1 = 10 − x 2

→ 16 = x1 x 2

→

x1 = 16 x2

54


x1 = 10 − x 2

→

16 = 10 − x 2 x2 x1 = 2

x 22 − 10 x 2 + 16 = 0

M −1 =


→ 16 = 10 x 2 − x 22

x2 = 8

n = 2 = 2 = 3,2 1 1  +  1  0,625  ∑x      2 8 1

99. Solución:

∑ xi2 = 64 + 4 + 36 + 100 + 4 + 36 + 64 + 100 + 4 + 36 = 448 M2 =

∑ xi2 = 448 = 44,8 = 6,69 n

10

100. Solución: yi

ni

4 8 12 16 20 Σ Xi

3 7 10 6 4 30

y i2 ni 48 448 1.440 1.536 1.600 5.072

fi

X i2 f i

M2 =

5.072 = 169,07 = 13,00 30

101. Solución: Variable discreta yi'

ni

Nj

55


2 4 6 8 10 12 14 Σ Xi

3 6 15 8 2 6 10 50

3 9 24 32 34 40 50 -

fi

Fi

Tercer cuartil ⇒


Primer cuartil = Q1 n = 50 = 12,5 Como no aparece N J −1 será 9 y 4 4 N J = 24

Q1 = y J = 6

→

Q3

3n 3 (50) 150 = = = 37,5 (Posición) 4 4 4

Como no aparece 37,5 se toma como N J −1 = 34 y N J = 40 Q3 = yJ = 12

6n = 6 (50) = 300 = 30 10 10 10

Sexto decil ⇒ D6 ⇒ Percentil 80

⇒

P80 ⇒

D6 = y J = 8

80 (n ) 80 (50) 4.000 = = = 40 100 100 100

Como aparece, se tendrá que: N j −1 = 40 P80 =

No aparece, por lo tanto

y

N j = 50

y J −1 + y j 12 + 14 = = 13 2 2

b) Variable continua y i' −1 − y i' 3,1 – 8 8,1 – 13 13,1 – 18 18,1 – 23 23,1 - 28 28,1 - 33 Σ

ni

14 15 8 6 7 10 60

Nj

14 29 37 43 50 60 -

56


X i'−1 − X i'

fi

60 = 15 no está ; 4

Fi


Primer cuartil

siendo: N J −1 = 14

N J = 29

Q1 = 8 + 5 15 − 14  = 8,33  15 

Tercer cuartil Q3 ⇒

3 (60) 180 = = 45 no está 4 4

; siendo: N J −1 = 43 y N J = 50

Q3 = 23 + 5  45 − 43  = 24,43  7 

Sexto decil D6 ⇒

6n = 6 (60) = 36 no está, por lo tanto N = 29 y N = 37 J −1 J 10 10 D6 = 13 + 5  36 − 29  = 17,38  8 

Percentil 80 ⇒

80n 80 (60) = = 48 no está, por lo tanto N J −1 = 43 y N J = 50 100 100 P60 = 23 + 5  48 − 43  = 26,57  7 

Veamos algunos modelos, cuando N J −1 < n / 2 FJ −1 < n / 2 El segundo cuartil (Mediana), es aquel valor de la variable que supera al 50% de las observaciones y es superado por el 50%.

Q2 =

y 'j −1

 2n − N  j −1   +c 4  nj  

Cuando N j −1 < 2n 4

57



El tercer cuartil, es aquel valor de la variable que supera al 75% y es superado por el 25% de las observaciones. Variable continua Q3 =

y 'j −1

 3n − N  j −1  + c  4  nj  

Cuando N j −1 < 3n 4

El quinto decil y el 50 percentil corresponden a la mediana.  5n − N  j −1   + c  10  nj  

(Quinto decil)

D5 =

(50 percentil)

C 50 = P50 =

y 'j −1

y 'j −1

 50n − N  j −1   + c  100  nj  

El cuarto decil, es aquel valor de la variable que supera al 40% de las observaciones y es superado por el 60% de las observaciones.

D4 =

y 'j −1

 4n − N  j −1   + c  10  nj  

variable continua, cuando N j −1 < 4n 10

El 60 percentil, es aquel valor de la variable que supera al 60% de las observaciones y es superado por el 40% de las observaciones

P60 =

y 'j −1

 60n − N  j −1   + c  100  nj  

variable continua, cuando N j −1 < 60n 100

58


Cap.4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento.

4 Medidas de dispersión, de deformación y apuntamiento Varianza y desviación típica o estándar EJERCICIOS RESUELTOS 1. Solución: M 1 = 3,04 = x

M2 =

S

S

2

2

=

∑ xi2 n

∑ x i2 n

= 8,906

− x2

M 2 = 4,26 (Media cuadrática)

⇒

4,26 2 =

⇒

S

S

S

∑ xi2 = 18,1476 n

2

= 18,1476 − 3,04 2

2

= 18,1476 − 9,2416 = 8,906

= + S2 =

8,906 = 2,984



2. Solución: yi

ni

105 110 115 120 125 130 135 140 Σ Xi

37 90 95 85 60 400 fi

X=

Σ X i fi n

120 =

y=

∑ yi ni n

Σ y i ni 400

48.000 = Σ y i ni

48.000 = Σ X i f i

48.000 = 44.245 + 33 y 2

n = 400 − 367 = 33

48.000 − 44.245 = 33 y 2 3.755 = y = 113,78 2 33

X = 113,78

a) yi

ni

y i ni

105 110 115 120 125 130 135 140 − Xi

37 90 95 85 60 400

4.070 10.350 11.400 10.625 7.800 48.000

fi

X i fi

    

44.245

44.245 = Σ y i ni

n = 367

 105 113,78  135  140

120 se encuentra dentro del recorrido, por lo tanto si puede ser posible.

b)

2



yi

ni

Zi

Z i ni

Z i2 ni

105 110 115 120 125 130 135 140 Σ Xi

37 90 95 85 60 400

-15 -10 -5 0 5 10 15 20 -

-370 -450 0 425 600 -

3.700 2.250 0 2.125 6.000 14.075

fi

di

d i2

di fi

S

2

=

Σ Z i2 ni n

S2 =

Σ d i2 f i n

nS 2 = Σ Z i2 ni nS 2 = Σ d i2 f i

400 = (25) = 10.000 10.000 < 14.075 (No puede ser posible)

fi

3. Solución: V[ y ] = V[1 / 8 X

− 8]

⇒ V[1 / 8 X ] − V [8]

2 V[ y ] = 1 V[ x ] = 1 (8) = 64 = 1 64 64 64

2

Sy

=1

4. Solución: y = (1 / 4 ) (8 x − 2 )

M [ y ] = 2M [x ] − 0,5 = 8 − 0,5 = 7,5 = y ; V[ y ] = 4V[ X ] → 4(4) = 16

x=4 Siendo S x = 2 2 Sx = 4

y = 8 x − 2 = 2 x − 0,5 4 4

⇒

V[ y ] = V[2 x ] − V[0,5] 2

Sy

= 16 ⇒

Sy

=4

5. Solución: x1 n1 + x 2 n 2 120 (70) + 125 (30) = = 121,5 n 100

x =

S

2

=

2

S1 n1

(x − x ) n1 + (x 2 − x ) n2 + S 22 n 2 + 1 n n 2

2

3



(120 − 121,5) 70 + (125 − 121,5) 30 36 (70) + 25 (30) + 100 100 2

S

S

2

2

=

2

2,25 (70) + 12,25 (30) = 3.270 + = 32,70 + 5,25 = 37,95 100 100

S

=

37,95 = 6,16

6. Solución: Siendo:

2

SA

= 14.400

SA

= 120

2

SB

= 3.600

SB

= 60

< SA 60 < 120 SB

Hubo mayor estabilidad en B, porque la varianza o la desviación estándar es menor que la de A.

7. Solución: x =

x1 + x 2 2

S

2

=

(x1

− x ) + (x 2 − x ) 2 2

2

2 x = x1 + x 2

2S 2 = ( x1 − x ) + ( x2 − x )

2(8) = x1 + x2

2(1) = ( x1 − 8) + ( x 2 − 8)

16 = x1 + x 2

2 = x12 − 16 x1 + 64 + x 22 − 16 x 2 + 64

x1 = 16 − x 2

x12 − 16 x1 + x 22 − 16 x 2 + 126 = 0

Reemplazamos x1 = 16 − x 2

2

2

2

2

en x1 :

(16 − x 2 )2

− 16 (16 − x 2 ) + x 22 − 16 x 2 + 126 = 0

256 − 32 x 2 + x 22 − 256 + 16 x 2 + x 22 − 16 x 2 + 126 = 0 2 x 22 − 32 x 2 + 126 = 0

(

)

2 x 22 − 16 x 2 + 63 = 0

⇒

x2 = 9

y

x1 = 7

4



8. Solución: S

2

=

∑ xi

2

n

− x2

25 = 260 −  10  n n

2

  25n = 260 − n  100   n2 

25n = 260 − 100 n 25n 2 = 260n − 100 5n 2 = 52n − 20 n 2 − 10,4n + 4 = 0

n=

⇒

− b ± b 2 − 4ac 2a

n será igual a 10, siendo:

n=

10,4 ± 108,16 − 16 2

n=

10,4 ± 9,6 = 10 2

9. Solución: x =3

S

2

=

n = 10

∑ x i2 = 100

∑ xi2 − x 2 = 100 − 3 2 = 10 − 9 = 1 n

10

S

2

=1

S

= 1 =1

5



10. Solución: xi

xi + 4

2 6 5 9 1 23

6 10 9 13 5 43

(x

xi2 4 36 25 81 1 147

i

+4

)

2

36 100 81 169 25 411

x1 =

Σx i = 23 = 4,6 n 5

x2 =

Σ ( xi + 4) 43 = = 8,6 5 5

x1 ≠ x 2

Σ (xi + 4) − x 22 = 411 − 8,6 2 = 8,24 n 5 2

=

2

S2

= S 22

2

S1

2

S1

=

4,6 ≠ 8,6

Σx12 − x12 = 147 − 4,6 2 = 8,24 n 5

8,24 = 8,24

11. Solución: S

=?

x =

n=2

x1 + x 2 2

→

M g = 7, 2

x =9

x1 + x 2 = 18

M g = x1 x 2

→

7, 2 =

51,84 + x 2 = 18 x2

→

51,84 + x 22 = 18 x 2

x1 = 14,4

x 2 = 3,6

S

2

=

y

14,4 2 + 3,6 2 − 92 2

⇒

x1 x 2

→

51,84 = x1 x 2

→

→

x1 =

51,84 x2

x 22 − 18 x 2 + 51,84 = 0

220,32 − 81 ⇒ 110,16 − 81 ⇒ 29,16 2

S

= 5,4

6



12. Solución: x =

71 (30) + 78 (25) + 89 (15) 70

x=

2.130 + 1.950 + 1.335 5.415 = = 77,35 70 70

S

2

=

2

=

2

(x − x ) n1 + (x 2 − x ) n 2 + (x3 − x ) n3 + S 22 n 2 + S 32 n3 + 1 n1 + n 2 + n 3 n1 + n 2 + n3 2

S1 n1

2

2

81 (30) + 64 (25) + 49 (15) (71 − 77,35) 30 + (78 − 77,35) 25 + (89 − 77,35) 15 + 70 70 2

S

S

S

S

2

2

2

2

3.255,96 = 4.765 + = 68,07 + 46,51 = 114,58 70 70 = 114,58

= 10,70

Si se considera que todos los cursos tienen el mismo número de estudiantes, los estadígrafos serían: x = 71 + 78 + 89 = 79,33 3 2

(71 − 79,33) + (78 − 79,33) + (89 − 79,33) = 81 + 64 + 49 + 3 3

2

(− 8,33) + (− 1,33) + (9,67) = 64,66 +  69,38 + 1,76 + 93,50  = 194 +   3 3 3

2

= 64,66 +

2

S

2

S

S

S

2

2

2

2

164,64 = 64,66 + 54,88 = 119,54 3

= 10,93

7



13. Solución: y i' −1 − y i' 0 – 10 10,1 – 20 20,1 – 30 30,1 – 40 40,1 – 50 50,1 – 60 60,1 – 70 70,1 – 80 80,1 – 90 Σ

yi

ni

y i ni

5 15 25 35 45 55 65 75 85 -

640 684 863 876 753 663 414 154 13 5.060

X i'−1 − X i'

Xi

fi

a) y = 175.610 = 34,70 5.060

S

2

3.200 10.260 21.575 30.660 33.885 36.465 26.910 11.550 1.105 175.610

Z i'' -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -

Z i'' ni -2.560 -2.052 -1.726 -876 0 663 828 462 52 -5.209

Z i''2 ni 10.240 6.156 3.452 876 0 663 1.656 1.386 208 24.637

X i fi

di '

di ' fi

d i'2 f i

X = 34,70

S

2

= 375

2   = 100  24.637 −  − 5.209   = 100 { 4,81 − 1,06 } = 375  5.060  5.060  

CV =

S

= 19,36

19,36 = 0,5579 = 55,79% 34,70

b) M [x + k ] = x + 15 = 34,70 + 15 = 49,70 V[x + k ] = V[x ] + V[15] = 375 + 0 = 375 S

= 19,36

CV =

19,36 = 0,3895 = 38,95% 49,70

Dos distribuciones con diferentes medias aritméticas y con igual varianza o desviación típica, presentan coeficientes de variación diferentes.

8


c) Y ± Z S


X ±Z S

c1) 34,70 ± 1,5 (19,36)

c2) 34,70 ± 2,5 (19,36)

63,74 = LS 34,70 ± 29,04 =   5,66 = Li

 83,10 = Ls 34,70 ± 48,40 =  − 13,70 = Li

14. Solución: Σxi2 = 1.360

nS 2 = Σxi2 − nx 2

Σx i = 40

1.280 = 1.360 − n  40   n 

nS 2 = 1.280

1.280 = 1.360 − 1.600 n

S

2

=

Σxi2 −x2 n

2

1.280n = 1.360n − 1.600

1.600 = 80n n = 1.600 = 20 80

15. Solución: x = 170

S

2

= 7,4 cms

2

M [ X − K ] = x − K = 170 − 9 = 161 cms

V[ X − K ] = V[ X ] = 7,4 cms 2

9



16. Solución: x =

x : 3, 2, 8, 1

S

2

=

Σxi2 − x2 n

y = 2x + 5

2

Sx

Σx i n

x =

14 = 3,5 4

= 78 − 3,5 2 = 19,5 − 12,25 = 7,25 4

M [Y ] = 2 M [ X ] + 5

M [Y ] = 2 (3,5) + 5 = 12

V[Y ] = 4 V[ X ] + 0

V[Y ] = 4 (7,25) = 29

2

SY

2

Sx

= 7,25

y = 12

= 4 S X2 = 4 (7,25) = 29


b) Falso

c) Cierto

18. Solución: No es cierto, dado que el peso promedio está dado en kilos, mientras que su desviación típica se da en centímetros.

19. Solución: Como están dadas en las mismas unidades de medida, se pueden comparar sus varianzas o 2 2 sus desviaciones típicas. En este caso SB > SA ⇒ (25 > 16) .

20. Solución: No se puede contestar en cuanto a la variabilidad absoluta. Se puede utilizar, en este caso, el coeficiente de variación =

S

x

100

10



21. Solución: V[KX ] = K 2 S X2 S

2

⇒

60 2 (4) = 3.600(4) = 14.400 minutos2

= 14.400

22. Solución: S

2

=

2

=

2

S1 n1

( x − x ) ni + ( x 2 − x ) n 2 + S 22 n 2 + 1 n n 2

2

28,2 (20) + 14,6 (30) (12 − 10,2) 20 + (9 − 10,2) 30 + 50 50 2

S

x =

S

S

2

2

x1 n1 + x 2 n 2 12 (20) + 9 (30) = = 10,2 n 50

= 20,04 + 108 = 20,04 + 2,16 = 22,2 50

=

22,2 = 4,71

23. Solución: No es posible. La variabilidad se está elevando al cuadrado, por lo tanto cualquier valor negativo, pasa a ser positivo.

24. Solución: x =

S

x1 n1 + x 2 n 2 n

= 10

x =

50 (20) + 30 (20) 50 + 30 = = 40 40 2

CV = 10 = 0,25 = 25% 40

11



25. Solución: yi

10 20 30 40 50 Σ Xi

yi

ni

Hi

fi

0,12 0,32 Fi n

6 -

yi − y ( yi − y)2 ( yi − y)2 ni

ni 10 20 30 40 50 Σ

6 10 18 10 6 50

-20 -10 0 10 20 -

yi

ni

10 20 30 40 50 Σ

6 10 18 10 6 50

Xi

fi

hi =

f ni = i n n

400 100 0 100 400 -

2.400 1.000 0 1.000 2.400 6.800

Hi

hi

0,12 0,32 0,68 0,88 1,00 Fi n

0,12 0,20 0,36 0,20 0,12 1,00 fi n

h1 =

f n1 = 1 n n

Z i'' -2 -1 0 1 2 -

Z i'' ni -12 -10 0 10 12 0

Z i''2 ni 24 10 0 10 24 68

di '

di ' fi

d i'2 f i

n=

n1 = 6 = 50 h1 0,12

n2 = n(h2 ) = 50 (0,20) = 10

y = Ot + c

Σ Z i'' ni n

y = 30 + 10 (0 ) = 30

Σ d ' f  X = A+i  i i  n 

Y = 30

12


'  Σ Z '' 2 n  i i  Σ Z i ni S = c  −  n  n 2

S

2

2

 68  = 100  − (0)   50 

S

= 136 = 11,66

S

= 11,66

   

2

   

2  Σ d ' 2 f  Σ d ' f   S 2 = i 2  i i −  i i    n    n

= 100 (1,36) = 136

11,66 = 0,3886 CV = S = 30 y


S2 =

∑ ( yi − y ) 2 ni n

= 6.800 = S 2 = 136 50

CV = 38,86%

26. Solución:

x1 = 10 − x 2

→

4=

x1 = 16 x2

→

16 = 10 − x 2 x2

x 22 − 10 x 2 + 16 = 0

S

2

=

x1 + x 2 =5 2

x =

x1 + x 2 = 10

x1 x 2

x1 = 8

Mg =

→

16 = x1 x 2

→

→

16 = 10 x 2 − x 22

→

x1 x 2 = 4

x2 = 2

82 + 22 64 + 4 − 52 = − 25 = 68 − 25 = 9 2 2 2

S

2

=9

S

=3

CV = 3 = 0,6 = 60% 5

27. Solución:

x =

120 (70) + 125 (30) = 121,5 100

13



36 (70) + 9 (30) (120 − 121,5) (70) + (125 − 121,5) (30) + 100 100 2

S

S

S S

2

2

=

2

= 2.790 + 525 = 27,90 + 5,25 = 33,15 100 100

2

= 33,15

= 5,76

CV =

5,76 = 0,0474 = 4,74% 121,5

28. Solución: Siendo:

x = 10

SX

M [Y ] = 4M [ X ] + M [2 ]

→

V[Y ] = 16V[ X ] + V[2 ]

→

=3

2

SX

=9

M [Y ] = 4 (10) + 2 − = 42 V[Y ] = 16 (9) = 144

CV X = d X = 12 = 0,2857 = 28,57% 42

M [Y ] = 42 = y 2

sY

= 144

CV =

sY = 12

SY

y

29. Solución: Z i'' ni -4 0 25 10 31

Z i'' 2 ni

4 20 45 50 -

Z i'' -1 0 1 2 -

Fi

di '

di ' fi

d i'2 f i

yi

ni

Ni

30 50 70 90 Σ Xi

4 16 25 5 50 fi

 ΣZ '' n  y = Ot + C  i i   n 

X = A+i

y i ni

4 0 25 20 49

Σd i' f i n

120 800 1.750 450 3.120 X i fi

y=

y i2 ni 3.600 40.000 122.500 40.500 206.600 X i2 f i

3 .120 = 62 , 4 50

14



62,4 = 50 + C 31 50

S

62,4 − 50 = 0,62 C

S

2

n

2

S

12,4 = 20 0,62

S

2

S

=

= 15,44

i = 20

''  Σ Z '' 2 n  i i  Σ Z i ni S = C  −  n  n 2

2

206.600 − 50(62,4) 2 n 2 S = 238,24

12,4 = 0,62 C

C=

Yi 2 ni − n y ∑ =

2

   

2

   

2  Σ d ' 2 f  Σ d i' f i   i i   S =i  −    n    n 2

2

{

}

2   2 = 20 2  49 −  31   = 400 0,98 − (0,62) = 238,24 50 50    

=

238,24 = 15,44

CV =

15,44 = 0,2474 = 24,74% 62,4

CV = 24,74%

30. Solución: a)

SA

= 96.000

b) CVA =

SA

CVB =

SB

xA

xB

SB

= 97.000

SB

> SA

97.000 > 96.000

= 96.000 = 0,1032 = 10,32% 930.000 = 97.000 = 0,0951 = 9,51% 1.020.00

10,32% > 9,51%

CV A > CVB

31. Solución: M [k + x ] = K + x = 13 + 1.740 = 1.753 millones de $

V[k + x ] = V[x ] = 8.100 millones de $ 2

15


S

= 8.100 = 90


CV = S = 90 = 0,0513 = 5,13% x 1.753

32. Solución: M [4 x ] = 4 M [ X ] = 4 x = 11,2

x =

S

= M [X 2 ] − x 2

2

11,2 = 2,8 4

M [ X + 2] = M [X 2 + 4 X + 4 ] = M [X 2 ] + 4 M [ X ] + 4 = 30,25 2

S

S

2

2

S

S

= 15,05 − 2,8 2

= 15,05 − 7,84

M [ X + 2] = 15,05 + 4 (2,8) + 4 = 30,25 M [X 2 ] = 30,25 − 4 − 11,2 = 15,05

2

=

CV =

2

= 7,21

7,21 = 2,69

2,69 = 0,9607 2,80

CV = 96,07%

33. Solución: Como las dos variables están dadas en unidades diferentes (hectáreas y pesos), se debe usar el coeficiente de variación. CV = S x

CV A =

19,33 = 0,5460 = 54,60% 35,40

CVB = 74.708 = 0,0790 = 7,90% 945.750

CV A > CV B

34. Solución: a) El tipo A tiene mayor variabilidad absoluta.

S A2 > S B2

7.800 > 5.400

16



En cuanto a la variabilidad tenemos que: CV A =

SA

xA

CV B =

=

88,31 = 0,1104 = 11,04% 800

SB

xB

CVB > CV A

=

73,48 = 0,1130 = 11,30% 650

11,30% > 11,04%

700 − 800 = −1,13 88,31 630 − 650 Z2 = = −0,27 73,48 Z1 =

b)

- 0,27 > -1,13

Z 2 > Z1

c) x =

800 + 650 = 725 horas 2

x=

x1w1 + x2 w2 w1 + w2

Suponiendo las mismas cantidades

s2 =

n1 y n2

7.800 + 5400 (800 − 725) 2 + (650 − 725) 2 + 2 2

s 2 = 6.600 + 5.625 = 12.225 s = 110,57

; CV =

110,57 100 = 15,25% 725

35. Solución: 3

y1n1 × y 2n2 × y 3n3 = π y ini = 233.280 i =1

3

y1 n1 + y 2 n 2 + y 3 n3 = Σ y1 n1 = 60 i =1

Como la distribución es Simétrica n1 = n3

17



f1 + f 2 + f 3 = 5

n1 + n2 + n3 = 5 = 1 + 3 + 1

Además siendo:

y=

Σ y i ni = 60 = 12 n 5

X=

Σ X i fi n

X 1 + 36 + X 3 = 60

y1 + 36 + y 3 = 60 y1 + y 3 = 60 − 36 = 24

y1 y 2 y 3 = 233.280 y1 (1.728) y 3 = 233.280

y1 y 3 = 233.280 = 135 1.728

yi

12 Σ Xi

ni

y1 y 3 = 135

y i ni

1 3 1 5

y ini

36

1.728

60

233.280

X i fi

X if i

yi

ni

y i ni

9 12 15 Σ Xi

1 3 1 5

9 36 15 60

y i2 ni 81 432 225 738

fi

X i fi

X i2 f i

fi

Se tienen dos ecuaciones con dos incógnitas y1 y 3 = 135

y1 + y 3 = 24

y1 = 135 y3

X 1 = 135 X3

135 + y = 24 3 y3

135 + y 32 = 24 y 3 y 32 − 24 y 3 + 135 = 0

18



y1 = 9 = X 1 y 3 = 15 = X 3

Σ X i2 f i −X2 n

S2 =

S

2

S

=

=

Σ y i2 ni − y 2 = 738 − 12 2 = 3,6 n 5

3,6 = 1,9

1,9 CV = S = = 0,1583 = 15,83% y 12

36. Solución: 3.000.000 (0,10) = 300.000 y le queda $ 2.700.000 (Cientos de $)

a)

2

S[ X −K ]

= S X2 = no cambia, por lo tanto S 2 = 30.000 2

(Cientos de $)g

b) Utilidad = ingresos – gastos = 3.000.000 − 2.450.000 = $550.000 2

S [X − K ]

(Cientos de pesos)

= S X2 = no cambia, por lo tanto S = 30.000 cientos de $

CV = S 100 = 30.000 = 5,45% x 550.000

37. Solución: yi

ni

y i ni

2 4 6 8 10 Σ

6 18 16 12 8 60

12 72 96 96 80 356

y i2 ni 24 288 576 768 800 2.456

NJ

yi − M e

6 24 40 52 60 -

4 2 0 2 4

y i − M e ni

24 36 0 24 32 116

19


Xi

fi

X i2 f i

X i fi

y=

Σ y i ni n

y=

356 = 5,93 cuartos por habitación 60

S

2

=

2

=

Xi − Me

FJ

X=

Σ y i2 ni − n y 2 n


X i − M e fi

Σ X i fi n

S2 =

Σ X i2 f i − n X 2 n

2.456 − 60 (5,93) = 5,7328 60 5,7328 = 2,3943 2

S

S

=

n 60 = = 30 2 2

N J −1 = 24

N J = 40

FJ −1 = 24

FJ = 40

De =

Σ y i − M e ni n

De =

Σ X i − M e fi n

⇒

De =

M e = yJ = 6

116 = 1,93 60

La desviación mediana debe ser menor que la desviación típica De < S ⇒ 1,93 < 2,17 queda comprobado 2,39 CV = S 100 ⇒ CV = 100 = 40,30% 5,93 X

38. Solución: M [Y ] = M [1,13 X i

+ 10, 750 ]

= M [1,13 X ] + M [10.750]

a) M [Y ] = y = 1,13x + 10.750 ⇒ y = 1,13 (120.000) + 10.750

20



y = 135.600 + 10.750 = $146.350 Semanal

b) 0,38 =

S

120.000

⇒

S

= 120.000(0,38) = $45.600 V[1,132 X ] = 1,132 (45.600) =

V[Y ] = V[1,132 X + 10.750 ] ⇒ SY

2

= 1,132 (45.600) = 1,13 (45.600) = 51.528 pesos semanales

CV =

2

51.528 100 = 35,21% 146.350

39. Solución: y = 1.500 = 15 100 40.000 − 100 (15) = 175 100 2

S

2

=

a)

S

= 175 = 13,23

b) CV = c) Z =

13,23 100 = 88,2% 15

X −x S

=

24 − 15 = 0,68 13,23

40A. NOTA: Hay en el libro dos (2) ejercicios diferentes con el mismo consecutivo M [ x +k ] = x + k

x = 36 + 5 = 41

V[ x+ k ] = V[ X ]

s x2 = 64

VC = s 100 x

8 100 = 19,51% 41

x = 41 sx = 8

19,51% ≠ 22%(cambia)

21



40B. Solución: x1 = 64 = 7,11 9

x 2 = 78 = 13 6

550 − 9 (7,11) = 10,56 9

=

S1

= 3,25

2

S2

=

S2

= 4,44

2

8 − 7,11 = 0,27 3,25

b) Z1 =

1.132 − 6 (13) = 19,67 6 2

2

S1

Z2 =

15 − 13 = 0,45 4,44

Z 2 > Z1

0,45 > 0,27

c) x =

7,11 (9) + 6 (13) 64 + 78 = = 9,47 15 15 10,56 (9) + 19,67 (6) (7,11 − 9,47 ) 9 + (13 − 9,47 ) 6 + 15 15 2

S

S S

2

=

2

= 14,204 + 8,3261 = 22,53

2

= 4,75

CV =

4,75 100 = 50,16% 9,47

41. Solución: y i' −1 − y i' 8,1 – 16 16,1 – 24 24,1 – 32 32,1 – 40 40,1 – 48 48,1 – 56 Σ

3 6 10 15 4 2 40

X i'−1 − X i'

fi

ni

yi

y i ni

12 20 28 36 44 52 -

36 120 280 540 176 104 1.256

y i2 ni 432 2.400 7.840 19.440 7.744 5.408 43.264

X i fi

X i2 f i

Xi

22


b) x 2 = 235 = 29,375


(Datos sin agrupar)

8

10.291 − 8 (29,375) = 423,48 8 2

2

S2

=

a) x1 = 1.256 = 31,40

S2

= 20,58

(Datos agrupados)

40

43.264 − 40 (31,4) = 95,64 40 2

2

S1

=

2

1)

S1

< S 22

2

S1

= 95,64 ⇒

S1

= 9,78

9,78 100 = 31,15% 31,40

3) Z 1 =

20,58 100 = 70,06% 29,375

Z2 =

2) CV1 =

33 − 31,40 = 0,16 9,78

95,64 < 423,48

CV2 = Hay una mayor Variabilidad

CV1 < CV2 31,15% < 70,06%

en la segunda

33 − 29,38 = 0,18 20,58 Z 2 > Z1 0,18 > 0,16


30 (27.000) + 40 (32.000) = $29.857,14 Salario diario promedio para los 70 primeros 70

0,35 =

b)

S

29.857,14

⇒

S

= 0,35 (29.857,14 ) = 10.449,999 = $ 10.450,00

S 2 = 109.202.500

43. Solución: S

S

S

Σ xi2 − x2 n

2

=

2

= 490 − 5,7 2 = 16,51 10

= 4,06

23



4,06 100 = 71,23% es el coeficiente de variación. 5,7

CV =

EJERCICIOS DE PUNTAJE TÍPICO, COEFICIENTES DE DESVIACIÓN MEDIA, DESVIACIÓN MEDIANA

44. Solución: y i' −1 − y i' 2,75 – 4,25 4,25 – 5,75 5,75 – 7,25 7,25 – 8,75 Σ

yi

ni

Ni

y i ni

3,5 5,0 6,5 8,0 -

4 16 25 5 50

4 20 45 50 -

14,00 80,00 162,50 40,00 296,50

X i'−1 − X i'

Xi

fi

Fi

X i fi

Reemplazando tenemos:

y i2 ni 49,00 400,00 1.056,25 320,00 1.825,25

X i2 f i

y o' + 1 C = y1 2

y o' + 4 C = y 4'

y o' + 0,5 C = 3,5

y o' + 4 C = 8,5

y o' + 4 C = 8,75

Si eliminamos a y o' se obtendrá el valor de C

− y o' − 1 C = − 3,50 2 3,5C = 5,25

C =

5,25 = 1,50 3,50

a) Coeficiente de variación y=

S

S

2

2

Σ y i ni 296,50 = = 5,93 n 50

X=

=

Σ y i2 ni − y2 n

S2 =

=

1.825,25 − 5,93 2 = 36,51 − 35,16 = 1,35 50

S

Σ X i fi n

Σ X i2 f i −X2 n

= 1,16 = 1,35

24


CV = S y


CV =

1,16 = 0,1956 = 19,56% 5,93

b) Desviación media yi

( yi

3,5 5,0 6,5 8,0 Σ Xi Da =

− y)

yi − y

y i − y ni

ni

-2,43 -0,93 0,57 2,07 -

2,43 0,93 0,57 2,07 -

9,72 14,88 14,25 10,35 49,20

4 16 25 5 50

di

di

di

Σ y i − y ni 49,20 = = 0,98 n 50

fi

fi

Da =

Σ di fi n

c) Desviación mediana yi

ni

Ni

3,5 5,0

4 16

6,5 8,0 − Xi

25 5 50

4 20 → N J −1 45 → N j

fi

50 Fi

yi − M e

y i − M e ni

3,0 1,5

12,0 24,0

0 1,5 -

7,5 43,5

Xi − Me

X i − M e fi

De =

Σ y i − M e ni n

De =

Σ X i − M e fi n

De =

43,5 = 0,87 50

M e = y J = 6,5

N j −1 < n 2

n = 50 = 25 2 2

25



45. Solución: y i' −1 − y i' 10,1 – 16 16,1 – 22 22,1 – 28 28,1 – 34 34,1 – 40 40,1 – 46 Σ

yi

Ni

ni

y i ni

13 19 25 31 37 43 -

4 12 25 35 44 50 -

4 8 13 10 9 6 50

52 152 325 310 333 258 1.430

y i2 ni 676 2.888 8.125 9.610 12.321 11.094 44.714

X i'−1 − X i'

Xi

Fi

fi

X i fi

X i2 f i

2

a)

S

2

= 44.714 −  1.430  = 894,28 − 817,96 = 76,32 ; 50  50 

S

y=

1.430 = 28,6 50

= 8,736

b) Desviación media Zi

Zi

ni

-15,6 -9,6 -3,6 2,4 8,4 14,4 Σ di

15,6 9,6 3,6 2,4 8,4 14,4 -

4 8 13 10 9 6 50

di

fi

Z i ni

62,4 76,8 46,8 24,0 75,6 86,4 372,0 di fi

Ni

4 12 25 35 44 50 -

y = 28,6 Da =

Σ Z i ni 372 = = 7,44 n 50

Da =

Σ di f i n

Fi

c) Desviación mediana ni

yi − M e

4 8 13 10 9 6 50

-15 -9 -3 3 9 15 -

fi

Xi − Me

yi − M e

15 9 3 3 9 15 Xi − Me

y i − M e ni

60 72 39 30 81 90 372 X i − M e fi

De =

De =

Σ y i − M e ni n Σ X i − M e fi n

De = 372 = 7,44 50 n = 50 = 25; N = 25; N = 35 J −1 J 2 2

26


Me =

y j −1 + y j 2

M e = 25 + 31 = 56 = 28 2 2 (marcas de clase)


M e = y 'j −1 = 28 (variable continua)

8,736 d) CV = S = = 0,305 = 30,5% x 28,6


hi

yi

y i hi

10 – 20 20 – 30 30 – 40 40 – 50 Σ

0,20 0,28 0,40 0,12 1,00

15 25 35 45 -

X i' −1 − X i'

fi / n

Xi

3,0 7,0 14,0 5,4 29,4  f  Xi  i  n

y = 29,4 = Σ y i hi  f  X = 29,4 = Σ X i  i  n

∑ y i hi = 29,4 ; y i hi = 3,0

y 2 h2 + y 3 h3 = 29,4 − 8,4 = 21

y i hi = 5,4 suma = 8,4

h2 + h3 = 1 − 0,32 = 0,68 h2 = 0,68 − h3

y 2 h2 + y 3 h3 = 21 25 (0,68 − h3 ) + 35 h3 = 21

17 − 25 h3 + 35 h3 = 21 10h3 = 4

h3 = 0,4

h2 = 0,28 =

f2 n

27



yi

hi

Hi

yi − M e

yi − M e

15 25 35 45 Σ

0,20 0,28 0,40 0,12 1,00

0,20 0,48 0,88 1,00 -

-20 -10 0 10 -

20 10 0 10 -

Xi

fi / n

Fi

Xi − Me

Xi − Me

n

y i − M e hi

4,0 2,8 0 1,2 8,0  f  Xi − Me  i  n

H j −1 < n 2 De =

Σ y i − M e ni n

De =

Σ X i − M e fi n

M e = y J = 35

De = Σ X i − M e

fi

D e = Σ yi − M e hi = 8

⇒

n

47. Solución: yi

ni

Ni

yi − M e

130 148 160 220 280 320 400 Σ Xi

3 6 5 3 2 4 7 30

3 9 14 17 19 23 70 -

90 72 60 0 60 100 180 -

fi

Fi

Xi − Me

y i − M e ni

yi

y i ni

270 432 300 0 120 400 1.260 2.782

260 296 320 440 560 640 800 -

780 1.776 1.600 1.320 1.120 2.560 5.600 14.756

y i2 ni 202.800 525.696 512.000 580.800 627.200 1.638.400 4.480.000 8.566.896

X i − M e fi

Xi

X i fi

X i2 f i

a) n = 30 = 15 2

2

N J −1 = 14 ;

N J =17

M e = y J = 220

28



De = 2.782 = 92,73 30 De 92,73 100 = 100 = 42,15% 220 Me

b) CDe =

c) y = 14.756 = 491,87 30

8.566.896 − 30 (491,87 ) = 43.627,10 30 2

S

2

=

La nueva varianza es de 43.627,10 y la El coeficiente de variación es:

CV =

S

= 208,87

208,87 100 = 42,46% 491,87

48. Solución: y i' −1 − y i' 8,1 – 16 16,1 – 24 24,1 – 32 32,1 – 40 40,1 – 48 48,1 – 56 Σ

ni

yi

yi − y

3 6 10 15 4 2 40

12 20 28 36 44 52

19,4 11,4 3,4 4,6 12,6 20,6

X i'−1 − X i'

fi

Xi

Xi − X

y i − y ni

58,2 68,4 34,0 69,0 50,4 41,2 321,2

X i − X fi

Nota: de acuerdo al ejercicio No. 41, se obtuvo: y = X 1 = 31,40

S1

x2 = 29,38

S2

n1 = 40

n2 = 8

a) x =

2

= 95,64

S1

= 9,78

2

= 423,48

S2

= 20,58

31,40 (40) + 29,38 (8) = 31,06 48

29



95,64 (40) + 423,48 (8) (31,4 − 31,06) 40 + (29,38 − 31,06) 8 + 48 48 2

S

S

2

=

2

= 150,28 + 0,57 = 150,85

S

= 12,28

CV =

b) Da =

12,28 100 = 39,54% 31,06 Σ y i − y ni 321,2 = = 8,03 n 40

yi

ni

Ni

yi − M e

y i − M e ni

12 20 28 36 44 52 Σ Xi

3 6 10 15 4 2 40

3 9 19 34 38 40 -

fi

Fi

24 16 8 0 8 16 Xi − Me

72 96 80 0 32 32 312 X i − M e fi

e) n = 40 = 20

d)

2

2

2

De =

Σ X i − M e fi n

S

= 9,78

N J −1 = 19

De =

N J = 34

M e = y J = 36

Σ y i − M e ni = 312 = 7,8 n 40

Da = 8,03

Se cumple la relación: De < Da <

De = 7,8

7,8 < 8,03 < 9,78

S

30



49. Solución: xi

xi − x

2 5 8 12 20 47

7,4 4,4 1,4 2,6 10,6 26,4

xi − M e

6 3 0 4 12 25

x = 47 = 9,4 5

xi2

4 25 64 144 400 637

Me = 8

Da = Σ xi − M e = 25 = 5,0 n 5

De =

S

S

2

=

=

Σ xi − x 26,4 = = 5,28 n 5

Σ xi2 − x2 n

⇒

637 − 9,4 2 = 39,04 5

39,04 = 6,25

6,25 > 5,28 > 5,0

S

> D a > De

Se cumple la relación

50. Coeficiente de desviación media: yi

ni

y i ni

yi − y

y i − y ni

130 148 160 220 280 320 400 Σ

3 6 5 3 2 4 7 30

390 888 800 660 560 1.280 2.800 7.378

115,93 97,93 85,93 25,93 34,07 74,07 154,07 -

347,79 587,59 429,65 77,79 68,14 296,28 1.078,49 2.885,73

Xi

fi

X i fi

Xi − X

Xi − X

CD X =

Da 100 x

fi

Resultados con los datos de los ejercicios 47, 48, 49. ( 47) y = 7.378 = 245,93 30

31


Da =


2.885,73 = 96,191 30

CDa =

96,191 100 = 39,11% 245,93

( 48) CD =

8,03 100 = 25,57% 31,40

( 49) CD =

5,28 100 = 56,17 9,40

51. Solución: Cálculo de los coeficientes de desviación mediana con los datos de los ejercicios 47, 48, 49. ( 47) CDe =

92,73 100 = 42,15% 220

( 48) CDe =

7,8 100 = 21,67% 36

( 49) CDe =

5,0 100 = 62,50% 8,0

52. Solución: a) CIERTO: con estos datos se calcula la varianza y ésta deberá ser mayor o igual a 0. b) CIERTO: es fácil la justificación c) FALSO: no hay confirmación alguna respecto a esta relación d) CIERTO: V[KX ] = K 2 S X2 = 8 2

2

SX

e) FALSO: Las mismas unidades pero elevadas al cuadrado.

32



53. Solución: a) FALSO: se expresa en términos relativos o porcentuales b) FALSO: debe ser dividida por la media aritmética (relativo) o el resultado multiplicado por 100 (porcentual). c) CIERTO: en una distribución normal, ocurre la aplicación del teorema d) FALSO: esa es la virtud de esta medida

54. Solución: AS =

3 ( x − M e ) 3 (9.725 − 9.672) = = 0,13 Ligeramente asimétrica positiva S 1.217,50

55. Solución: a) y i ni

Ni

yi − y

( yi − y )2 ni

3 39 10 8 7 3 70

15 273 90 88 91 45 602

3 42 52 60 67 70 -

-3,6 -1,6 0,4 2,4 4,4 6,4 -

38,88 99,84 1,60 46,08 135,52 122,88 444,80

fi

X i fi

Fi

di

d i2 f i

yi

ni

5 7 9 11 13 15 Σ Xi

y = X =

( y i − y )3

ni

-139,968 -159,744 0,640 110,592 596,288 786,432 1.194,24 d i3 f i

602 = 8,6 70

33


m3 =

Σ ( y i − y ) 3 ni n

m3 =

1.194,24 = 17,06 70

S

2

=

3

m3 =

444,8 = 6,35 70

→

n = 70 = 35 2 2

(1) AS =

m3 S

3

=

Σd i f i n


S

(momento de orden tres)

= 2,52

N J −1 = 3

N J = 42

Md = 7

Me = 7

17,06 = 1,07 2,52 3

(2) AS =

8,6 − 7 = 0,63 2,52

(3) AS =

3 (8,6 − 7 ) = 1,90 2,52

Hay una asimetría positiva

b) y i ni

Ni

yi − y

3 7 8 9 30 3 60

15 49 72 99 390 45 670

3 10 18 27 57 60 -

-6,17 -4,17 -2,17 -0,17 1,83 3,83 -

fi

X i fi

Fi

yi

ni

5 7 9 11 13 15 Σ Xi

y = X =

di

( y − y )2 ni 114,2067 121,7223 37,6712 0,2601 100,4670 44,0067 418,3340 d i2 f i

( y i − y )3

ni

-704,6553 -507,5820 -81,7465 -0,0442 183,8546 168,5457 -941,6277 d i3 f i

670 = 11,17 60

34


m3 =

S

2

=

− 941,6277 = − 15,69 60 418,334 = 6,97 60

M d = 13

→



S

= 2,64

n = 60 = 30 2 2

M e = 13

N J −1 = 27

(1) AS =

− 15,69 = − 0,85 2,643

(2) AS =

11,17 − 13 = − 0,69 2,64

M d = 13

3 (11,17 − 13) = − 2,07 2,64

M e = 13

(3) AS =

N J = 57

Asimetría negativa

c)

y i ni

Ni

yi − y

( yi − y )2 ni

5 10 20 20 10 5 70

25 70 180 220 130 75 700

5 15 35 55 65 70

-5 -3 -1 1 3 5 0

125 90 20 20 90 125 470

fi

X i fi

Fi

di

d i2 f i

yi

ni

5 7 9 11 13 15 Σ Xi y= X =

( y i − y )3

ni

-625 -270 -20 20 270 625 0 d i3 f i

700 = 10 70

m3 = 0

35


S

2


= 470 = 6,71 70

(1) AS = 0 (simétrico)

M d = 11

M e = 9 + 11 = 10 2

Md = 9

Promedio = 10 NOTA: Los histogramas se dejan para ser elaborados por usted. n = 70 = 35 2 2

N J −1 = 35

N J = 55

(2) AS = 0 (3) AS = 0

Es simétrica

56. Solución: a) n = 20

x = 958 = 47,9 20

50.630 − 20 (47,9) = 237,09 20 2

S

2

=

•

Desviación típica →

•

Coeficiente de variación

•

Mediana:

S

→

S

= 15,40

= 15,40 →

15,40 CV = S 100 = 100 = 32,15 x 47,90

25 28 28 32 34 36 38 40 40 42 46 51 56 58 62 64 64 68 70 76 Me =

•

42 + 46 = 44 2

Desviación mediana:

Σ xi − M e = 19 + 16 + 16 + 12 + 10 + 8 + 6 + 4 + 4 +

36



2 + 2 + 7 + 12 + 14 + 18 + 20 + 20 + 24 + 26 + 32 = 272 DM e =

b) Rango = 76 − 25 = 51 y i' −1 − y i' 23,1 – 32 32,1 – 41 41,1 – 50 50,1 – 59 59,1 – 68 68,1 – 77 Σ X i'−1

−

X i'

C=

ni

yi

4 5 2 3 4 2 20

27,5 36,5 45,5 54,5 63,5 72,5 -

fi

Σ xi − M e = 272 = 13,6 n 20

Xi

Rango 51 = ≅9 m 6

y i2 ni 3.025,00 6.661,25 4.140,50 8.910,75 16.129,00 10.512,50 49.379,00

y i ni

110,0 182,5 91,0 163,5 254,0 145,0 946,0

X i2

X i fi

fi

y = X =

S

S

S

946 = 47,3 20

49.379 − 20 (47,3) 20

2

=

2

= 231,66

2

= 15,22

CV =

15,22 100 = 32,18% 47,30

57. Solución: a)

2

S1

= 36 ;

2

S2

= 231,66

⇒

2

S2

> S12

231,66 > 36 Mayor variabilidad en el segundo caso

b) CV1 =

6 100 = 15,58% 38,5

CV2 = 32,18%

CV2 > CV1

37



32,18 % > 15,58% Mayor variabilidad relativa en la segunda distribución

c) Z1 =

48 − 38,5 = 1,58 6

Z2 =

50 − 47,3 = 0,18 15,22

Z1 > Z 2

⇒

(yi

1,58 > 0,18

58. Solución: y i' −1 − y i' 23,1 – 32 32,1 – 41 41,1 – 50 50,1 – 59 59,1 – 68 68,1 – 77 Σ

yi

ni

y i ni

yi − y

27,5 36,5 45,5 54,5 63,5 72,5 -

4 5 2 3 4 2 20

110,0 182,5 91,0 163,5 254,0 145,0 946,0

-19,8 -10,8 -1,8 7,2 16,2 25,2

X i'−1 − X i'

Xi

fi

X i fi

Xi − X

y = X

S

2

=

=

( yi

− y ) ni -31.049,568 -6.298,560 -11,664 1.119,744 17.006,112 32.006,016 12.772,08

− y ) ni 2

1.568,16 583,20 6,48 155,52 1.049,76 1.270,08 4.633,20

(X i − X ) 2

3

(X i − X ) 3

fi

fi

( y i − y )4

ni 614.781,4464 68.024,4480 20,9952 8.062,1568 275.499,1440 806.551,6032 1.772.939,7936

(X i − X ) 4

fi

946 = 47,3 20

4.633,20 = 231,66 20

→

S

= 15,22

m3 =

12.772,08 = 638,604 20


m4 =

1.772.939,7936 = 88.646,99 20

(momento de orden cuatro)

a) Se trata de una distribución asimétrica positiva AS =

m3 S

3

=

638,604 = 0,18 15,22 3

Ligeramente asimétrica, casi normal. b) A p =

m4 S

4

=

88.646,99 = 1,65 15,22 4

⇒

1,65 < 3,0

Es achatada

38



59. Solución: n = n1 + n2 + n3 + n4 + n5 + n6 150 = n1 + (n1 + 5) + 30 + 30 + n1 + 5 + n1 4n1 = 8

n1 = 20 ;

⇒

n2 = 25 ;

20 25 30 30 25 20 150

Z i'' -4 -3 -2 -1 0 1 -9

Z i'' ni -80 -75 -60 -30 0 20 -225

fi

di '

di ' fi

yi

ni

26 32 38 44 50 56 Σ Xi

⇒ 150 = 4n1 + 70 n3 = 30 ;

n4 = 30 ;

n5 = 25 ;

n6 = 20

 Σ Z i'' ni  y = Ot + C    n 

Σd ' f  X = A+i  i i  n  y = 50 + C  − 225  = 41  150 

41 − 50 = − 1,5C C = −9 = 6 − 1,5

yi − y

(yi

− y ) ni 2

-15 -9 -3 3 9 15 0

4.500 2.025 270 270 2.025 4.500 13.590

di

d i2 f i

(yi

− y ) ni 3

-67.500 -18.225 -810 810 18.225 67.500 0 d i3 f i

(yi

− y ) ni 4

1.012.500 164.025 2.430 2.430 164.025 1.012.500 2.357.910 d i4 f i

y i − y ni

300 225 90 90 225 300 1.230 di fi

y i − M e ni

300 225 90 90 225 300 1.230 X i − M e fi

Ni

20 45 75 105 130 150 Fi

39



a) y = x = 41 S

S

2

= 13.590 = 90,6 150

S

2

= 90,6

9,52 = S

CV =

9,52 100 = 23,22% 41

M e = 41

AS =

3 (41 − 41) =0 9,52

b) AS = AS =

m3 S

3

=0

Mi −Md S

= 41 − 41 = 0 9,52

c) m4 = 2.357.910 = 15.719,4 150

= 9,52

La distribución es simétrica

Ap =

15.719,4 = 1,92 < 3 90,6 2

Achatada

60. Solución: a) yi

y i ni

yi − y

y i − y ni

yi − M e

yi − Me ni

9,0 13,5 17,5 24,0 32,0 38,0 45,0

27 135 105 96 256 608 135 1.362

18,24 13,74 9,74 3,24 4,76 10,76 17,76 Σ

54,72 137,40 58,44 12,96 38,08 172,16 53,28 527,04

19,75 15,25 11,25 4,75 3,25 9,25 16,25 -

59,25 152,50 67,50 19,00 26,00 148,00 48,75 520,50

yi − y

2

ni

998,0928 1.887,8760 569,2056 41,9904 181,2608 1.852,4416 946,2528 6.504,1200

y = 1.362 = 27,24 50

a) varianza ⇒ S2 = 6.504,12 = 130,0824 50

b) S = 130,0824 = 11,41

40


c) CV =


11,41 100 = 41,89% 27,24

d) Desviación media

Da =

527,04 = 10,54 50

e) Desviación mediana

De =

520,5 = 10,41 50

n = 50 = 25 N I −1 = 23 ; 2 2  25 − 23  M e = 28 + 6  = 28 + 0,75 = 28,75  8 

Me ⇒

Mediana

De ≤ Da < S

⇔

N I = 31

10,41 ≤ 10,54 < 11,41

61. Solución: a) Asimetría As =

m3 =

m4 =

m3 S

3

=

− 244,48 = − 0,17 (Ligera asimetría negativa) 1.474,62

∑ ( yi

− y ) ni − 12.224,22 = = − 244,48 (Momento de orden tres) n 50

∑ ( yi

− y ) ni 1.305.799,88 = = 26.115,99 (Momento de orden cuatro) n 50

3

4

b) Apuntamiento Ap =

m4 S

4

=

m4 2 2

(S )

=

26.115,99 = 1,55 16.780,61

Achatada (platicúrtica) ⇒ 1,55 < 3

62. Solución: 1) y i' −1 − y i'

ni

yi

41


2,1 – 6 6,1 – 10 10,1 – 14 14,1 – 18 18,1 – 22 22,1 – 26 Σ

22 14 10 8 4 2 60

4 8 12 16 20 24 -

X i'−1 − X i'

fi

Xi

> SA 6,71 > 5,71

a)

SB

b) CV A =


x = 120 = 12 10

y A = 9,6 SA

= 32,64

S B2 = 44,99

SA

= 5,71

S B = 6,71

2

> S A2 44,99 > 32,62 2

SB

5,71 100 = 59,48% ; 9,6

CVB =

6,71 100 = 55,92% 12

CVB < CVA 55,92% < 59,48%

c) Puntaje típico:

ZA =

18 − 9,6 = 1,47 7,71

ZB =

18 − 12 = 0,89 6,71

Z A > ZB

2) x B = 120 = 12 10

1.890 − 10(12) = 44,99 10 2

SB

=

SB

= 6,71

2

63. Solución: x =

x1 n1 + x 2 n 2 n

x=

9,6 (60) + 12 (10) = 9,94 70 32,64 (60) + 44,99 (10) (9,6 − 9,94) 60 + (12 − 9,94) 10 + = 34,40 + 0,7 = 70 70 2

S

S

2

=

2

= 35,10 ⇒ S = 5,92

2

42



5,92 CV = S 100 = 100 = 59,59% x 9,94

a) x = 5(9,6) = 48 S

2

= 5 2 (32,64) = 816

CV =

S

= 816 = 28,57

28,57 100 = 59,52% 48

Anteriormente nos había dado 59,56% ahora nos da casi igual: 59,52%, diferencia sin importancia por los decimales. Se puede concluir que no cambia. b) x = 10 + 9,6 = 19,6 S

S S

= V[K + X ]

2

2

= 32,64

= 5,71

CV =

5,71 100 = 29,13% 19,60

Cambia el resultado

64. Solución: y i' −1 − y i' 2,1 – 6 6,1 – 10 10,1 – 14 14,1 – 18 18,1 – 22 22,1 – 26 Σ

yi

ni

Ni

4 8 12 16 20 24

22 14 10 8 4 2 60

22 36 46 54 58 60 -

X i'−1 − X i'

Xi

fi

Fi

Asimetría: AS =

AS =

M1 − M d S

=

3 (M 1 − M e ) S

9,6 − 4 = 0,98 5,71 =

3 (9,6 − 8,29) = 0,69 5,71

60 = 30 2

43


y = 9,6

(y

 30 − 22  Me = 6 + 4   = 6 + 2,29 = 8,29  14 

Md = 4

)

3

− y ni -3.863,55 57,34 138,24 2.097,15 4.499,46 5.971,97 8.900,61 ( X i − X )3 fi i

(y


)

4

− y ni 21.635,89 91,75 331,78 13.421,77 46.794,34 85.996,34 168.271,87 ( X i − X ) 4 fi i

Hay una ligera asimetría positiva

m3 = As =

8.900,61 = 148,34 60 148,34 148,34 = = 0,80 186,17 5,713

Asimétrico positivo m4 =

168.271,87 = 2.804,53 60

Ap =

2.804,53 2.084,53 = = 2,63 1.065,37 32,642

Como 2,63 < 3,00 se dice que la curva es achatada. 65. Solución: a) 851.600 < 962.600 b) CV I =

CV II =

⇒

Hay una mayor variabilidad absoluta en el turno II

S 922,82 851.600 100 = 1 100 = 100 = 0,00094 = 0,094% 978.000 x1 978.000 S 981,12 962.600 100 = 2 100 = 100 = 0,00082 = 0,082% 1.203.500 x2 1.203.500

CV1 > CV 2

Hay mayor variabilidad relativa en el primer turno.

44



922,82 100 = 0,092% 1.000.000

CV1 =

c) x1 + K = 978.000 + 22.000 = $1.000.000

CV 2 =

x 2 + K = 1.203.500 + 84.245 = $1.287.745

981,12 100 = 0,076% 1.287.745

CV1 > CV 2

0,092% > 0,076%

66. Solución: yi − y

y i' −1 − y i' 2,1 – 6 6,1 – 10 10,1 – 14 14,1 – 18 18,1 – 22 22,1 – 26 Σ

yi

ni

y i ni

4 8 12 16 20 24 -

3 12 25 11 7 2 60

12 96 300 176 140 48 772

X i'−1 − X i'

Xi

fi

X i fi

y=

772 = 12,87 60

S

AS =

Asimetría:

m3 S

3

=

-8,87 -4,87 -0,87 3,13 7,13 11,13 -

( yi

− y) 78,6769 23,7169 0,7569 9,7969 50,8369 123,8769 d i2

di

2

=

2

(yi

− y ) ni 2

236,0307 284,6028 18,9225 107,7669 355,8583 247,7538 1.250,9350 d i2 f i

1.250,935 = 20,85 60

35,60 = 0,37 4,57 3

m3 =

S

∑ Z i3

=

( yi

− y ) ni -2.093,5923 -1386,0156 -16,4626 337,3073 2.537,2697 2.757,4998 2.136,0063 3

( y i − y )4

d i3 f i

d i4 f i

20,85 = 4,57

ni

=

2.136,0063 = 35,60 60

ni

=

75.171,86 = 1.252,86 60

n

ni 18.570,1638 6.749,8961 14,3224 1.055,7717 18.090,7328 30.690,9727 75.171,8595

Hay poca asimetría y es positiva

Apuntamiento: A p =

m4

(S )

2 2

=

1.252,86

(20,85)

2

= 2,88

m4 =

∑ Z i4 n

2,88 < 3 Luego se concluye que es ligeramente achatada

a) CV = b) Z =

S

y

100 =

yi − y S

=

4,57 100 = 35,51% 12,87

12 − 12,87 = − 0,12 4,57

c)

45


yi

ni

yi − y

4 8 12 16 20 24 Σ Xi

3 12 25 11 7 2 60

8,87 4,87 0,87 3,13 7,13 11,13 -

fi

di

yi − M e

yi − M e ni

8,4 4,4 0,4 3,6 7,6 11,6 -

-

Variable continua:

De =

y i − y ni

Ni

26,61 58,44 21,75 34,43 49,91 22,26 213,40 di

Da =

25,20 52,80 10,00 39,60 53,20 23,20 204,00 X i − M e fi


3 15 ← N J −1 40 ← N J 51 58 60 -

fi

Fi

∑ y i − y ni n

Mediana = 10 + 4

n = 30 2

∑ yi

=

213,40 = 3,56 60

(Desviación media)

30 − 15 = 12,4 25

N J −1 = 15

N J = 40

− M e ni 204,0 = = 3,41 n 60

67. Solución: x + ( x k ) = 810.000 + (810.000 × 0,042) + 8.000 = 852.020

x = 810.000 + 34.020 + 8.000 = $ 852.020 nueva media aritmética S CV = S 100 ⇒ 0,36 = x 852.020

a)

S

2

⇒ S = 852.020 (0,36) = $306.727,2

= 306.727,2 2 y su desviación será $306.727,2 pesos

b) La varianza no cambia, cuando utilizamos la propiedad que dice:

46


V[ X

+K ]


= V[ X ] + V[K ] = S X2

68. Solución: xi

xi − x

( x i − x )2

xi − x

xi − M e

6 4 8 2 10 Σ

0 -2 2 -4 4 0

0 4 4 16 16 40

0 2 2 4 4 12

0 2 2 4 4 12

Mediana:

2

4

6 Me

a) Da =

12 = 2,4 5

Da =

b) De =

12 = 2,4 5

De =

c)

S

2

= 40 = 8 5

d) De ≤ Da < e) CV =

S

2,83 100 = 47,17% 6

S

8

10

∑ xi − x n

∑ xi − M e n

= 8 = 2,83

2,4 = 2,4 < 2,83

x = 30 = 6 5

CV = S 100 x

69. Solución:

47


M [ X ] = M  96  8

Y + 96  8 

⇒

M [ X ] = M [12Y


+ 12 ]

x = 12 y + 12

x = 12(5) + 12 = 72 CV[Y ] =

SY

= 0,40

y

V[ X ] = V[12 Y 2

Sx

= 576

+ 12 ]

x = 72

⇒

0,40 (5) = SY = 2

= V[12Y ] = 144S Y2 = 144 (4) = 576

⇒ SX =

576 = 24

CV X = 24 100 = 33,33% 72

CV =

Sx 100 x

70. Solución: y = 6 − 10 x V[Y ] = V[6 ] − V[10 X ] = 0 + V[10 X ] = 100V[ X ] 2

Sy

= 100(8) = 800

V[4 X

− Y]

= V[4 X ] − V[Y ] = 16 V[ X ] − V[Y ]

S

2 x

= 128

S

2 y

= 800

16(8) − 800 = 128 − 800 V[ X ] < V[Y ]

128 ≠ 800

Podemos concluir que hay una diferencia entre las dos varianzas de 672.

71. Solución: Debido a que M 1 = M e = M d ; por lo tanto la diferencia entre dos de ellos es cero.

48



72. Solución: a) El más regular en el desarrollo de su trabajo es B dado que, tiene la menor dispersión; sería totalmente parejo si S 2 = 0 b) El más rápido en terminar el trabajo es B, ya que tiene el mayor promedio.

73. Solución: a) Observemos de mayor a menor las calificaciones Derecho > Economía >

4,2

4,0

> Inglés > Matemáticas

>

3,6

>

3,3

Se nota fortaleza en las dos primeras y debilidades especialmente en las matemáticas. b) Si calculamos los puntajes típicos observemos Z Eco =

4 − 4,3 = − 0,5 0,6

Z Mat =

3,3 − 2,8 = 0,67 0,75

Z Ing =

3,6 − 3,2 = 0,4 0,8

Z Der =

4,2 − 4,6 = − 0,67 0,6

Matemáticas > Inglés > Economía > Derecho Z ⇒

0,67

>

0,4

>

− 0,5

>

− 0,67

La conclusión con respecto al grupo es todo lo contrario, al resultado obtenido en el punto a.

49



74. Solución: yi

ni

y i ni

0 1 2 3 4 5 6 7 Σ Xi

26 10 8 6 4 3 2 1 60

0 10 16 18 16 15 12 7 94

y i2 ni 0 10 32 54 64 75 72 49 356

X i fi

X i2 f i

fi

a) y = X =

94 = 1,57 60

Casi en promedio dos reclamaciones en los últimos años. b)

S

S

2

=

=

c) CV =

356 − 60(1,57 ) = 3,47 60 2

3,47 = 1,86 S

x

100 =

1,86 100 = 118,47% 1,57

Estos resultados nos indican que el promedio de 1,57 es poco representativo, para aceptar la afirmación que en promedio 1,57 sea el número de reclamaciones por usuario.

50


Cap.5 Nociones elementales de probabilidad

5 Nociones elementales de probabilidad EJERCICIOS RESUELTOS ESPACIO MUESTRAL – ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES – ESPERANZA MATEMÁTICA 1. Solución: a) Los pares son:

[2, 4, 6]

P = 3 = 1 = 0,50 6 2

b) Mayor que 2:

[3, 4, 5, 6]

P = 4 = 2 = 0,66 6 3

a) Que sea 3:

(1, 2) (2, 1)

P = 2 = 1 = 0,055 36 18

b) Que sea 4:

(2, 2) (3, 1) (1, 3)

P = 3 = 1 = 0,083 36 12

2. Solución:

3. Solución: a) Que todas sean caras:

(ccc)

P = 1 = 0,125 8



b) Que dos sean caras:

(ccs) (csc) (scc)

P = 3 = 0,375 8

c) Que dos sean sellos:

(ssc) (scs) (css)

P = 3 = 0,375 8

4. Solución: Todos varones:

P = 1 = 0,125 8

VVV;

23 = 8

casos posibles

5. Solución: a)

11 21 31 41 51 61

12 22 32 42 52 62

13 23 33 43 53 63

14 24 34 44 54 64

15 25 35 45 55 65

16 26 36 46 56 66

b) (4, 1)

(4, 2)

(4, 3)

(3, 4) (2, 4)

(1, 4)

P =

6 1 = = 0,1667 36 6

c) (1, 4)

(1, 5)

(1, 6)

(2, 4) (2, 5)

(2, 6)

P =

6 1 = = 0,1667 36 6

(3, 3)

P =

5 = 0,1389 36

(6, 2) (4, 4)

P =

5 = 0,1389 36

Que sea 7: (5, 2) (2, 5) (4, 3) (3, 4) (6, 1) (1, 6)

P =

6 1 = = 0,1667 36 6

Más de 9:

P =

6 1 = = 0,1667 36 6

d) Que sea 6:

(5, 1) (1, 5)

Que sea 8: (5, 3)

(2, 4) (4, 2)

(3, 5) (2, 6)

(5, 5) (5, 6) (6, 5) (6, 6) (4, 6) (6, 4)

2



6. Solución: a)

11 21 31 41

12 22 32 42

13 23 33 43

14 24 34 44

b) (1, 2)

(1, 4)

(3, 2)

c) (1, 3)

(3, 1)

(2, 2)

P = 4 = 1 = 0,25 16 4

(3, 4)

P = 3 = 0,1875 16

d) (1, 1) (3, 1) (1, 3) (2, 2) (2,4) (3, 3) (4, 2) (4, 4)

P = 8 = 1 = 0,5 16 2

7. Solución: 111 121 131 141

211 221 231 241

311 321 331 341

411 421 431 441

112 122 132 142

212 222 232 242

312 322 332 342

412 422 432 442

113 123 133 143

213 223 233 243

313 323 333 343

413 423 433 443

114 124 134 144

214 224 234 244

314 324 334 344

414 424 434 444

a)

(121) (112) (123) (124)

(211) (132) (213) (214)

(231) (142) (233) (234)

(321) (332) (323) (324)

(421) (412) (342) (432) (423) (442) (424)

(241) (312) (243) (244)

P = 27 = 0,4218 = 42,18% 64

b)

(221) (232) (422) (122) (212) (322) (224) (242) (223)

3



P = 9 = 0,1406 = 14,06% 64

c)

(222) P = 1 = 0,0156 = 1,56% 64

8. Solución: a) U = [ A

B 60 30 100 100

b)

C 10 100

]

c)

B C P = 30 + 10 = 40 = 0,40 100 100 100

9. Solución: U = [menores de 20,   

21 a 35, 36 a 50, 51 a 65, mayores de 65 ]

35 100

25 100

20 100

15 100

5 100

  

P = 20 + 15 + 5 = 40 = 0,40 100 100 100 100

10. Solución: a)

[

b)  

c)

800 B

800 2.000

500 A

500 2.000

300 R

300 2.000

300 V

300 2.000

]

100 Az

100 2.000

 

R B Az P = 300 + 800 + 100 = 1.200 = 0,60 2.000 2.000 2.000 2.000

4



11. Solución: 1/3

½ ½

N

H

V

1/3

½

S

½

1/3

S

F C N

H

C

½

F C N

1/3

½

C

F C N

P = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1 2 2 3 12

F

VHC = 1 12

CHC = 1 12

VHN = 1 12

CHN = 1 12

VHF = 1 12

CHF = 1 12

VSC = 1 12

CSC = 1 12

VSN = 1 12

CSN = 1 12

VSF = 1 12

CSF = 1 12

P = 1 = 0,0833 = 8,33% 12

5



12. Solución: a) Espacio muestral:

[

b) Probabilidades:

B

B B

B

R R

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

]

1 6

c) Probabilidad de sacar una bola roja: P = 1 + 1 = 2 = 1 = 0,33 6

6

6

3

13. Solución: a) (4, 4, 4)

P =

1 = 0,0046 = 0,46% 216

63 = 216

b) (1, 1, 1) (2, 2, 2) (3, 3, 3) (4, 4, 4) (5, 5, 5) (6, 6, 6);  441

c) 414 144

d) P =

442 424 244

443 434 344

445 454 544

446 464 644

P=

6 = 1 216 36

P = 15 = 5 = 0,0694 = 6,94% 216 72

90 5 = = 0,4167 216 12

14. Solución: Posibilidades:

3 + 2 + 6 + 5 = 16

Probabilidad favorable:

P = 3 + 2 = 5 = 0,3125 16 16 16

Probabilidad adversa:

Q = 6 + 5 = 11 = 0,6875 16 16 16

Probabilidad total:

P + Q = 5 + 11 = 1 16 16

15. Solución:

6



a) Si

e) No

b) No

c) Si

d) Si

f) Si

16. Solución: a)

ABC ABD ABE ABF ACD

C36 =

ACE ACF ADE ADF AEF

BCD BCE BCF BDE BDF

BEF CDE CDF CEF DEF

6! 6× 5× 4 = = 20 3! 3! 6

La probabilidad de cada suceso es

1 = p = 0,05 20

b) ABC – ABD – ABE – ABF – ACD ACE – ACF – ADE – ADF – AEF

c) ABC – ABD – ABE – ABF d) ACD AEF BDE

ADE BCE BEF

ACE BCD BDF

ADF BCF ACF

e)

p = 10 = 0,5 20

f)

p = 4 = 1 = 0,20 20 5

p = 10 = 0,5 20

p = 4 = 1 = 0,20 20 5

p = 12 = 3 = 0,60 20 5

17. Solución: p = 4 = 1 = 0,33 12 3

o

33%

7



18. Solución: HM - MH - HH - MM

La probabilidad de cada suceso es 1

4

19. Solución: a) HHH

HHM HMM MMM HMH

MHM MHH

MMH

b) Tendrá 8 puntos c) HHM - HMH - MHH = 3 puntos d) MHH - MHM - MMH - MMM = 4 puntos

20. Solución: a) MMH

p = 1 = 0,125 8

b) MMH – MHM – HMM

p = 3 = 0,375 8

21. Solución: (50; 100)

(50; 200)

(50; 500)

(100; 200)

(100; 500)

(200; 500)

(100; 50)

(200; 50)

(500; 50)

(200; 100)

(500, 100)

(500; 200)

22. Solución: Sabemos que hay 36 casos posibles ⇒ 6 2 = 36 Que la suma sea 4 sólo se tiene: (3; 1) (1; 3) y (2; 2) = 3/36 Por lo tanto que no sea 4, será igual a 36 − 3 = 33 = 0,9167 36

36

36

8



23. Solución: a) OROS BASTOS COPAS ESPADAS

AS AS AS AS

b)

CCCCCS CCCCSC CCCSCC CCSCCC CSCCCC SCCCCC

CCCCCC

2 2 2 2

3 3 3 3

4 4 4 4

5 5 5 5

6 6 6 6

CCCCSS CCCSCS CCCSSC CCSCSC CCSSCC CSCSCC CSSCCC SCSCCC SSCCCC ………... ………... ………...

7 7 7 7

ZOTA ZOTA ZOTA ZOTA

CCCSSS CCSCSS CCSSCS CCSSSC CSCSSC CSSCSC CSSSCC SCSSCC SSCSCC SSSCCC ………… …………

CABALLO CABALLO CABALLO CABALLO

REY REY REY REY

CC……. ……….. ………..

……….

↓

↓

↓

↓

↓

↓

1/64

6/64

15/64

28/64

15/64

1/64

Son 64 sucesos, los cuales se distribuyen así: 6 caras, un caso 5 caras, 6 casos 4 caras, 15 casos c) (100; 200) (200; 100) (1.000; 100) (10.000; 100) d) ABC ABD ABE

ACD ACE ACF

3 caras, 28 casos 2 caras, 15 casos 1 cara, 6 casos

(100; 1.000) (200; 1.000) (1.000; 200) (10.000; 200) ADF BCD BCE

BDE BDF CDE

0 caras, un caso

(100; 10.000) (200; 10.000) (1.000; 10.000) (10.000; 1.000) DEF

9


ABF

ADE

BCF

CDF


24. Solución: a)

111 211 311 411

121 221 321 421

131 231 331 431

141 241 341 441

112 212 312 412

122 222 322 422

132 232 332 432

142 242 342 442

113 213 313 413

123 223 323 423

133 233 333 433

143 243 343 443

114 214 314 414

124 224 324 424

134 234 334 434

144 244 344 444

b) 43 = 64 casos posibles, tal como se puede observar en la pregunta (a) c) Exactamente un dos:

121 123 112 412 244

211 213 132 432 324

231 233 142 442 424

241 243 312 124

321 323 332 214

421 423 342 234

212 224

232

242

322

p = 27 64

Exactamente dos dos:

221 422

122 223

p = 9 64

Exactamente tres dos:

222 p = 1 64

25. Solución: P = 0,20 = 20% que llueva;

P = 0,80 = 80% que no llueva

10



26. Solución: a)

{3,3 }

⇒ P = 1 36

b) {1,1} {1,3} {1,5} {3,1} {3,3} {3,5} {5,1} {5,3} {5,5} P = 9 36

c) {1,2} {2,1} {3,2} {4,1} {5,2} {6,1}

{1,4} {2,3} {3,4} {4,3} {5,4} {6,3}

{1,6} {2,5} {3,6} {4,5} {5,6} {6,5} P = 18 36

d) {3,6} {6,3}

P = 2 = 1 36 18

e) {3,6}

P = 1 36

27. Solución: Par: 2, 4, 6

P = 3 = 1 6 2

Impar: 1, 3, 5

P = 3 = 1 6 2

Mayor que 0: 1, 2, 3, 4, 5, 6 P = 6 = 1 6

11


Menor que 5: 4, 3, 2, 1,


P = 4 = 2 6 3

28. Solución: (a)

CSS

SCS

SSC

(b)

CCS

CSC

SCC

(c)

CCS

CSC

SCC

(d)

CSS SCS SSC

CCS CSC SCC

CCC SSS

p = 3/8 CCC

p = 4/8 = ½ p = 3/8

p = 8/8 = 1

29. Solución: a) Evento es un conjunto de uno o más puntos muestrales b) El conjunto de las 52 cartas de la baraja sacar una K Diamantes: Trébol: Corazón: Picas: c) P =

AS AS AS AS

2 2 2 2

3 3 3 3

4 4 4 4

5 5 5 5

6 6 6 6

7 7 7 7

8 8 8 8

9 9 9 9

10 10 10 10

J J J J

Q Q Q Q

K K K K

4 4 4 12 3 + + = = 52 52 52 52 13

30. Solución: a) υ = {AAA AAB ABA ABB BAA BAB BBA BBB} b) BBB c) Exactamente 2 trabajan

31. Solución:

12



a) Se determina la probabilidad sin necesidad de realizar el experimento. b) Se requiere la realización del experimento para determinar la probabilidad de un suceso c) La lista de todos los resultados posibles de un experimento se denomina espacio muestral. d) Posibilidad es el resultado que se obtiene al dividir el número de resultados favorables por el número de resultados no favorables. Probabilidad es el resultado que se obtiene al dividir el número de resultados favorables por el total de casos posibles. e) Probabilidad subjetiva, se considera cuando la elección de las probabilidades es fundamentalmente intuitiva. f) Experimento: es un conjunto definido de resultados posibles g) Prueba es la realización de un acto. h) Frecuencias relativas: cuando la elección de las probabilidades se basa en las experiencias previas.

32. Solución: Considerar que el equipo profesional queda dentro de los 4 primeros puestos, con una probabilidad del 56%. Me baso en los jugadores y entrenador, además, de sus últimas actuaciones. Lo anterior es una probabilidad subjetiva.

33. Solución: Un aficionado bogotano ha visto jugar dos de los tres equipos capitalinos contra los restantes 16 equipos del campeonato, aunque nunca el uno contra el otro. Tiene la impresión que uno de ellos es mejor que el otro y que tiene mayores posibilidades de ganar, por lo tanto asigna las siguientes probabilidades de la siguiente manera: El equipo A gana 0,7 = 70% El equipo B gana 0,3 = 30% Lo anterior corresponde a una probabilidad subjetiva.

13



Se tiene una baraja de 40 cartas y se va a extraer una sola carta, la probabilidad de obtener un AS o un rey de copas es: P=

4 1 5 Lo anterior es una probabilidad objetiva + = 40 40 40


b) Cierto

35. Solución: Esperanza de ganar, si sale el uno =

1 (5000) = 5000 = 833,33 pesos 6 6

Esperanza de perder, si sale 2, 3, 4, 5 y 6 =

5 (1000) = 5000 = 833,33 pesos 6 6

Sí debo aceptar, es equitativo no gano ni pierdo ya que: 833,33 – 833,33 = 0

36. Solución: 10 (5.000) = 1.000 50

p1 = 10 50

E1 = p1 n =

p2 = 10 50

E2 = p2 n = 10 (1.000) = 200 50

p3 = 30 50

E3 = p3 n = 30 × 0 = 0 50 E = E1 + E2 + E3 = 1.000 + 200 + 0 = 1.200

37. Solución: P = p1 ⋅ p2 ⋅ p3

p1 = 16 24

p2 = 15 23

p3 = 14 22

14



p = 16 × 15 × 14 = 3.360 = 0,277 24 23 22 12.144 E = 5.000 ( p ) E = 5.000 (0,277 ) = 1.385

38. Solución: 7! a)  7  = = 35 3! 4!  3

b) E = np = 35  3  = 15 7

NOTA: se trata de combinaciones (forma parte de los ejercicios del 70 al 86) 39. Solución: a) Esperanza (número de accidentes) = 0 (0,90) + 1(0,04) + 2 (0,03) + 3 (0,02) + 4 (0,01) = 0,2 b) Durante 200 períodos

→

E = 200 (0,2 ) = 40 accidentes esperados

40. Solución: E = 250.000 (0,04 ) = $32.000

Nota: el libro debería decir $18.500.000, por lo tanto la prima debe ser $740.000

41. Solución: pn = n !

P5 = 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120

42. Solución: P7 = 7 ! = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 5.040

43. Solución: P8 = 8! = 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 40.320

15



44. Solución: P4 = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

45. Solución: P9 = 9! = 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 362.880

46. Solución: P4 = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

47. Solución: P5 = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

48. Solución: P3 = 3! = 3 × 2 × 1 = 6

(ABC)

(ACB)

(BAC)

(BCA) (CBA)

(CAB)

49. Solución: P11(r: 2, 4, 4 ) =

11! = 34.650 2! 4! 4!

50. Solución: a) P10 (r: 3, 2 ) =

10! = 302.400 3! 2!

b) P8 (r: 2 ) =

8! = 40.320 = 20.160 2! 2

51. Solución: P5 (r: 2 ) =

5! 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = = 60 2! 2

16



52. Solución: P5 (r: 2, 3 ) =

5! 5 × 4 × 3! 5 × 4 = = 2 ! 3! 2 × 3! 2

= 10

53. Solución: Es un caso especial de permutaciones: P5 = 4 ! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

P3 = 21! = 2 × 1 = 2

Número de permutaciones con los dos grupos P2 = 2! = 2 El número total de permutaciones = 24 (2) (2) = 96

54. Solución: Vrn =

n! (n − r )!

9 P5

= V59 =

(9

9! 9! 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4! = = = 15.120 − 5)! 4! 4!

55. Solución: V46 =

(6

6! 6! = = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 = − 4)! 2!

6 P4


27! 27 ! = (27 − 5)! 22! = 27 × 26 × 25 × 24 × 23 = 9.687.600 =

27 P5

57. Solución:

17


V35 =

5! = 5 × 4 × 3 = 60 = 2!

5 P3


= 60

58. Solución: V310 + V410 + V510 + V610 =

10! 10! 10! 10! + + + = 187.200 7! 6! 5! 4!


5! = 5 × 4 × 3 = 60 = 2!

5 P3

60. Solución: P10 (r: 2, 3) =

10! = 302.400 2! 3!

61. Solución: a) 6 ! = 720

b) 10 ! = 3.628.800

c) 3! = 6

d) 0 ! = 1

62. Solución: a) 8 P3 = 336

b) 8 P4 =

8! = 1.680 4!

c) 8 P5 = 6.720

63. Solución: P12 (r : 3, 2 ) =

12! 479.001.600 = = 39.916.800 3! 2! 12

64. Solución: a)

26

P3 =

26 ! = 15.600 23!

b) 263 = 17.576

18



65. Solución: a)

ABCD ABDC ACBA ACAB ADBC ADCB

BACD BADC BCAD BCDA BDAC BDCA

CBAD CBDA CABD CADB CDAB CDBA

DABC DACB DBAC DBCA DCAB DCBA

b) P4 = 4! = 24

66. Solución: a) P16 = 16! = 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9! = 2.092.278.989.898 b)

16

P4 =

Formas de clasificación

16 ! = 43.680 Formas de clasificación 4!

67. Solución: 3! = libros de matemáticas; grupos

2! = Libros de estadística;

2! = Con los dos

3! ⋅ 2! ⋅ 2! = 24 Maneras

68. Solución: P6 = 6 ! = 720 Maneras de sentarse

69. Solución: a) 6 P2 =

6! = 30 4!

d) P6 = 6! = 720

b) 4 P1 =

4! =4 3!

c)

12 P5

= 95.040

e) P8 = 8! = 40.320

19



70. Solución: 8

8!

b)   = = 10  3  2! 3!

8

8!

e)   = = 210  4  6! 4!

a)   = = 28  6  2 ! 6! d)   = = 28  2  6! 2!

5

5!

10 

10!

 5

5!

c)   = = 10  2  3! 2 ! 10 

10!

f)   = = 210  6  6! 4!

71. Solución: 30 C11

=

30 ! = 54.627.300 Maneras 19 ! 11!

72. Solución: MMVVV VMVVM VVMMV

MVMVV VVMVM VMMVV

MVVMV MVVVM VVVMM VMVMV 10 posibilidades

73. Solución: 10  10! 10 × 9 × 8 × 7 × 6!   = = = 210 Comisiones  6  4! 6! 4 × 3 × 2 × 1 × 6!

74. Solución:  5

5!

5 × 4 × 3!

a)   = = = 10 Comités  3  2 ! 3! 2 × 1 × 3 ! b) 7 comités

75. Solución:

20


a)

210 = 210

b) 56 = 56

10  10    =   6 4


c) 21 = 21

8 8   =    3  5

7 7   =    2  5

76. Solución: 12  12 !   = = 495 Maneras 8! 4! 4

77. Solución:  4  8

a)     = × = 4 (56) = 224 Comités 3! !! 3!5!  1   3 b) Se deja al estudiante, su solución. 4!

8!

78. Solución:  40  40 !   = = 18.643.560 Grupos de 7 cartas 33! 7 ! 7

79. Solución: n! n = r ( n − r )! r !    7    3

 4   +  2

 7    4

7! 4! a)  7   4  = ⋅ = 35 (6) = 210 Comités 3 2 4 ! 3! 2 ! 2 !      4   + 1

7   = 210 + (35) 4 + 21 = 210 + 140 + 21 = 371 5

80. Solución: 6    4

8    3

 5   =  3

6! 8! 5! ⋅ ⋅ = 15 (56) (10) = 8.400 Comités 2! 4! 5 ! 3! 2 ! 3!

81. Solución:

21


 5    3


 5!   8!  8  ⋅   = 10 (56) = 560 Comités   =   5  2 ! 3!   3! 5 ! 

82. Solución: a) C 310 =

10 ! 10 × 9 × 8 720 = = = 120 Comisiones 3! 7 ! 7! × (3 × 2 × 1) 6

b) C710 =

10! 10 × 9 × 8 = = 720 = 120 Comisiones 7! 3! 6 6

Se puede notar que C310 = C710

83. Solución: C552 =

52! = 2.598.960 Grupos de 5 cartas 5! 47!


8! = 28 Maneras 2! 6!

85. Solución: 7! a)  7  = = 35 3! 4!  3

b)  6   4  +  6   4  +  6   4  +  6   4  = 120  3  0   2 1 1  2  0  3


4! = 4 3! 1!

(1, 2, 3) (1, 2, 4) (1, 3, 4) (2, 3, 4)

22



SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

87. Solución: P( A o B ) = P( A ) + P( B )

P( A ) = 12 40

P( B ) = 4 40

P( A o B ) =

12 4 16 2 + = = = 0,40 40 40 40 5

88. Solución: P( A ) = 1 4

P( B ) = 1 4

P(C ) = 1 4

P( A o B o C ) = 1 + 1 + 1 = 3 = 0,75 4 4 4 4

89. Solución: P( A ) = 4 obtener una J 52 P( A o B ) =

P( B ) = 13 obtener un corazón 52

4 13 1 16 + − = = 0,3077 52 52 52 52

P( A y B ) = 1 52

= obtener J y corazón

(Sucesos compatibles) P( A o B ) = P( A ) + P( B ) − P( A y B )

90. Solución: P( A ) = 13 sea diamante 52

P( B ) = 13 sea trébol 52

23


P( A o B ) =


13 13 26 13 + = = = 0,5 52 52 52 26

91. Solución: P( A ) = 0,60

P( B ) = 0,30

P( A y B ) = 0,25

(Sucesos compatibles) P( A o B ) = P( A ) + P( B ) − P( A y B )

; P( A ó B ) = 0,60 + 0,30 − 0,25 = 0,65

92. Solución: a) P( A ) =

5 1 = = 0,1667 = 16,67% 30 6

b) P( A ) = 5

P( B ) = 10 30

30

P( A ó B ) =

5 10 15 1 + = = = 0,5 30 30 30 2

c) P( A ) = 15

P( B ) = 10 30

30

P( A o B ) =

15 10 25 + = = 0,8333 = 83,33% 30 30 30

93. Solución: P( A ) = 12 40

P( B ) = 10 40

P( A y B ) = 4 40

(Sucesos compatibles) P( A o B ) =

12 10 4 18 9 + − = = = 0,45 = 45% 40 40 40 40 20

24



94. Solución: P( A ) = 0,2

P( B ) = 0,5

P( A y B ) = 0,05

(Sucesos compatibles) P( A o B ) = 0,2 + 0,5 − 0,05 = 0,65

95. Solución: a) P( A o B ) =

4 4 + 40 40

=

8 1 = = 0,20 40 5

b) P( A o B ) =

1 4 + 40 40

=

5 1 = = 0,125 40 8

c) P( A o B ) = 12 + 10 − 3 = 19

(Sucesos compatibles)

d) P( A o B ) = 10 + 4 − 1 = 13

(Sucesos compatibles)

40

40

e) P( A o B ) = f)

P( A o B ) =

40

40

1 12 + 40 40

40

40 =

40

40

13 = 0,325 40

4 12 16 2 + = = = 0,40 40 40 40 5

96. Solución: a) P( N ) = c) P( R ) =

8 2 = = 0,4 20 5 7 = 0,35 20

b) P( B ) =

15 3 = = 0,75 20 4

P( A o N ) =

5 8 13 + = = 0,65 20 20 20

25



97. Solución: a) No, son sucesos compatibles b) P( A o B ) = 0,20 + 0,70 − 0,10 = 0,80 c) No

98. Solución: P( A o B ) =

13 4 1 16 4 + − = = = 0,3077 52 52 52 52 13

99. Solución: a) Los sucesos impares son {1, 3, 5 } ⇒ Divisibles por dos son { 2, 4, 6 } = 3 ; 6

3 = 0,50 6

Por lo tanto P( A o B ) = 3 + 3 = 6 = 1 6

6

6

2 b) Par { 2, 4, 6 } ⇒ 3 , divisible por 3 = { 3; 6 } ⇒ = 0,33 6

P( A y B ) = 1 6

6

Siendo

P( A o B ) =

3 2 1 4 2 + − = = = 0,6667 6 6 6 6 3

100. Solución: P( A o B ) = 0,70 + 0,40 − 0,30 = 0,8 (Sucesos compatibles)

101. Solución:

26



P( A o B ) = 0,60 + 0,20 − 0,03 = 0,77

102. Solución: Que en un 80% es la posibilidad de que ello ocurra, pero no necesariamente debe ocurrir.

103. Solución: a) P( A ) =

12 4 2 = = = 0,40 30 10 5

b) P( A o B ) =

12 8 20 2 + = = = 0,6667 30 30 30 3

c) P( A o B ) =

8 10 18 3 + = = = 0,60 30 30 30 5

104. Solución: P( E ) = 6 ; 16

P( A ) = 4 16

P( A o B ) =

6 4 10 + = 16 16 16

=

5 = 0,625 8

SUCESOS INDEPENDIENTES

105. Solución: P( A y B ) = P( A ) P( B ) P( A ) = 4 = 1 40 10

P( B ) = 4 = 1 40 10

P( A y B ) = 1 × 1 = 1 10 10 100

Consideremos barajas de 40 cartas

106. Solución:

27


P( A y B ) = P( A ) P( B )

P( A y B ) =


1 1 1 × = = 0,0278 6 6 36

107. Solución: a) P( A ) = 0,8

P( B ) = 0,9

P( A y B ) = 0,8 (0,9 ) = 0,72

b) P( J ) = 0,2

P(G ) = 0,90

P( J

c) P( J

y G)

y G)

= 0,2 (0,9 ) = 0,18

= 0,2 (0,10) = 0,20

108. Solución: P( A ) = 4 40

P( B ) = 4 40

Rey

P( A y B

P(C ) = 1 40

As

y C)

= P( A ) P( B ) P(C ) =

6 de copas

4 4 1 16 × × = = 40 40 40 64.000

1 = 0,00025 4.000

109. Solución: P( A y B ) = 0,015 × 0,03 = 0,0004

(Hay 4 posibilidades en 10.000)

110. Solución: P( A ) = 1 ; 2 P( A y B

P( B ) = 1 ; 2

y C y D y E)

=

P(C ) = 1 ; 2

1 1 1 1 1 × × × × 2 2 2 2 2

P( D ) = 1 ; 2 =

P( E ) = 1 2

1 = 0,03125 32

111. Solución:

28


P(C ) = 1 2 P(C

y C y C)

P(C ) = 1 2


P(C ) = 1 2

1 1 1 1 ⋅ ⋅ = = 0,125 2 2 2 8

=

112. Solución: a) P( A y B y C

y D)

= 0,8 (0,85) (0,75) (0,9 ) = 0,459 = 45,9% que ninguno sufra dificultades

b) P( A y B y C y D ) = 0,2 (0,15) (0,25) (0,10) = 0,00075 = 0,075% que los cuatro sufran accidentes c) P( A y B y C y D ) = 0,2 (0,15) (0,75) (0,90) = 0,02025 los dos primeros sufran accidentes

113. Solución: P( A y B ) = P( A ) P( B )

a) P( A ) = 13

P( A y B ) = 13 × 13 = 169 = 0,0625 52 52 2704

P( B ) = 13 52

52

b) P( A y B ) =

4 4 16 × = = 0,0059 = 0,59% 52 52 2704

c) P( A y B ) =

13 13 169 × = = 0,0625 = 6,25% 52 52 2704

114. Solución: Serían sucesos dependientes

P( A y B ) =

4 4 16 × = = 0,0060 = 0,60% 52 51 2.652

115. Solución: a) P( A y B ) = 0,08 (0,14) = 0,0112 = 1,12% b) P( A y B ) = 0,92 (0,86) = 0,7912 = 79,12%

29



116. Solución: P( A y B

y C)

4 1 1  4  1 =       = = = 0,0064 = 0,64% 624 156  2   52   6 

117. Solución: P( A ) = 4 40

P( A y B

y C)

P( B ) = 4 40

=

P(C ) = 1 40

4 4 1 16 1 × × = = = 0,00025 40 40 40 64.000 4.000

118. Solución: a) P( A' y B ' y C ' y D ') = 0,88 (0,93) (0,98) (0,99) = 0,7490 = 74,90% b) P( A y B y C

y D)

= (0,12) (0,07 ) (0,02) (0,01) = 0,00000168

119. Solución: a) P( A y B ) = (0,03) (0,03) = 0,0009 b) P( A' y B ') = 0,97 (0,97 ) = 0,9409 = 94,09% c) P( A' y B ') = 0,03 (0,97 ) = 0,0291 = 2,91% d) P( A' y B ' y C ') = 0,97 (0,97 ) (0,97 ) = 0,9127 = 91,27%

120. Solución: P( A y B

y C)

=

1 1 1 1 × × = = 0,125 = 12,5% 2 2 2 8

121. Solución:

30



60 1  5   12  P( A y B ) =     = = = 0,20 = 20% 300 5  15   20 

122. Solución: a) P( A y B y C

y D)

=

3 3 3 2 54 × × × = = 0,042 = 4,2% 6 6 6 6 1.296

b) P( A y B y C ) =

2 2 2 4 32 × × × = = 0,025 = 2,5% 6 6 6 6 1.296

c) P( A y B y C ) =

1 1 1 1 × × = = 0,046 = 4,6% 6 6 6 216

SUCESOS DEPENDIENTES

123. Solución: P = 52 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 1 = 6.864 = 0,02588 52 51 50 2 265.200

124. Solución: 9 P = 1 ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ 3 = = 0,0000041 40 39 38 37 2.193.360

125. Solución: B

A

B A

B A

B A B A B

86.400 P = 6 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅1 = 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 39.916.800

31


P =


1 = 0,00216 = 0,216% 462

126. Solución: a) P( A ∩ B ∩ C ) = p ( A ) ⋅ p ( B / A ) ⋅ p (C / A y B ) = 4 ⋅ 47 ⋅ 46 = 8.648 52

51

50

132.600

= 0,0652

b) P( A ∩ B ∩ C ) = P( A ) ⋅ p( B / A ) ⋅ p(C / A y B ) = 48 × 47 × 4 = 9.024 = 0,06805 52

51

50

132.600

127. Solución: P( A ∩ B ) = p( A ) ⋅ p( B / A ) ⋅ p(C / A y B ) = 4 × 3 × 2 = 24 = 0,0004 40 39 38 59.280

128. Solución: a) P( A ∩ B ∩ C ) = P( A ) ⋅ P( B / A ) ⋅ P(C / A y B ) = 5 ⋅ 8 ⋅ 7 = 280 = 0,0409 20

19

18

6.840

b) P( A ∩ B ∩ C ) = P( A ) ⋅ P( B ) ⋅ P(C ) = 5 ⋅ 8 ⋅ 7 = 280 = 0,035 20

20

20

8.000

129. Solución: a) P( A y B y C ) =

4 3 2 24 × × = = 0,0004 40 39 38 59.280

b) P( A y B y C ) =

10 9 8 720 × × = = 0,0121 40 39 38 59.280

130. Solución:

32



30.240 P = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = = 0,00038 40 39 38 37 36 78.960.960

131. Solución: P(V ∩ A ) = P(V ) × P( A B ) = 11 × 10 = 110 22 21 462

= 0,2381

132. Solución: P( A ∩ B ) = P( A ) × P( A

B

) =

2 × 1 = 2 = 10 9 90

1 = 0,0222 45

Nota: P( A B )

La raya vertical significa “dado que”. La probabilidad de que ocurra A dado que ha ocurrido B.

P( A B )

También se llama probabilidad condicional de A dado B

P( A ∩ B )

Probabilidad de que ocurran tanto A como B en un experimento

P( A ∩ B )

Probabilidad de intersección de A y B o la probabilidad conjunta de A y B

P( A ∪ B )

Probabilidad de que ocurra A, o bien B, o ambos, en un experimento.

P( A ∪ B )

Se llama probabilidad de la unión de A y B

P( A )

Probabilidad de que ocurra el evento A

P( A' ) = P( A )

Probabilidad de que no ocurra el evento, se llama también la probabilidad del complemento de A

133. Solución:

33


P( A 1 ) = 0,40 P(B

A1

P( A 1

) = 0,40

B

P( A 2 ) = 0,18 P(B

A2

) = 0,30


P( A 3 ) = 0,42 P(B

A3

) = 0,10

0,40 (0,40) ) = 0,40 (0,40) + 0,18 (0,30) + 0,42 (0,10) = 0,625 = 62,5%

Es la probabilidad de que el primer grupo crezca por encima del promedio

134. Solución: P( B

D

0,50 (0,40 ) ) = 0,15 (0,72 ) + 0,5 (0,4 ) + 0,35 (0,6 ) = 0,3861 38,61%

135. Solución: P( A 1 ) = 0,50 P(B

A1

P( A 3

) = 0,62

B

P( A 2 ) = 0,30 P(B

A2

) = 0,80

P( A 3 ) = 0,10 P(B

A3

) = 0,54

0,10 (0,54) ) = 0,50 (0,62) + 0,30 (0,8) + 0,10 (0,54) = 0,0894 ( 8,94% )

136. Solución: P( A 1 ) = 0,6 P(B

A1

P( A 2

) = 0,09

B

P( A 2 ) = 0,25 P(B

A2

) = 0,12

P( A 3 ) = 0,15 P(B

A3

) = 0,18

0,25 (0,12) ) = 0,6 (0,09) + 0,25 (0,12) + 0,15 (0,18) = 0,2703 = 27,03%

137. Solución:

34


P( A 1 ) = 0,75 P(B

A1

P( A 1

P( A 2 ) = 0,30

) = 0,92

)

B

=


P(B

A2

) = 0,40

0,75 (0,92) = 0,8519 = 85,19% 0,7 5(0,92) + 0,3 (0,4)

138. Solución: P( A 1 ) = 0,18 P(B

A1

P( A 3

P( A 2 ) = 0,46

) = 0,21

B

P(B

A2

) = 0,08

P( A 3 ) = 0,36 P(B

A3

) = 0,14

0,36 (0,14) 0,0504 ) = 0,18 (0,21) + 0,46 (0,08) + 0,36 (0,14) = 0,125 = 0,4032 = 40,32%

139. Solución: P( A 1

B

) = P( A 1 ) P(B

A1

P( A 2

B

) = P( A 2 ) P(B

A2

P( A 1

B

) + P( A 2

B

16  1   16  ) =  2   26  = 52 = 0,3077     20  1   20  ) =  2   26  = 52 = 0,3846    

16 20 36 ) = 52 + 52 = 52 = P( B ) = 0,6923

140. Solución:

P( A 2

16 P( A 1 B ) 16 = 52 = 0,4444 ⇒ B) = 36 P( B ) 36 52

141. Solución:

35


P( A 2


20 P( A 2 B ) 20 = 52 = 0,5556 ⇒ B) = 36 P( B ) 36 52

La suma será: P( A 1

B

) + P( A 2

B

) = 0,4444 + 0,5556 = 1,00 = 100%

142. Solución:

(6,3) (3,6) (5,4) (4,5) (6,4) (4,6) (5,5) (6,5) (5,6) (6,6)

p = 10 36

143. Solución: P( A ) = 4 (Rey) 40

P( B ) = 10 (Copas) 40

P( A y B ) = 1 (Rey de copas) 40

P( A o B ) = P( A ) + P( B ) − P( A y B )

P( A o B ) = 4 + 10 − 1 = 13 40 40 40 40

144. Solución:  52  52 !   = = 270.725 Combinaciones  4  4 ! 48!

145. Solución: a) La apuesta corresponde a una permutación cuando corresponde a un orden de llagada 1°, 2° y 3° en esa forma se listarían los nombres de los caballos. b) En este caso se seleccionaran 3 caballos que lleguen a la meta en los primeros lugares, sin importar el orden de llegada.

146. Solución:

36


a) (5,6)

p= 1 36

b) (2,4) (2,3) (2,2) (2,1)

p= 4 =1 36 9

c) (3,4) (2,5) (1,6)

p= 3 = 1 36 12


147. Solución:

a)

288 P= 4 × 3 × 2 × 4 × 3 = = 0,0000036 40 39 38 37 36 78.960.960 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ As As As Zota Zota

b) P = 4 × 3 × 2 × 1 × 4 = 40

39

38

37

36

96 = 0,0000012 = 0,00012% 78.960.960

148. Solución: a) P = 1 8

b) P = 2 = 1 8

4

Solo se tiene

(SSC)

Se tiene

(CSC) (SCC)

149. Solución:  9  = 9 ! = 126 Comités conformados por 5 personas  5 5 ! 4 !  

150. Solución: P5 = 5 ! = 120 números

151. Solución:

37


10 P3

=

10 !

(10 − 3)

=


10 ! 10 × 9 × 8 × 7 ! = = 720 números 7! 7!

152. solución: Son 27 letras de las cuales se toman dos

273 = 19.683

Se tiene 10 dígitos, del 0 al 9 y se van a formar cifras de 3 dígitos 103 = 1.000 Por lo tanto el total de placas será:

19.683 × 1.000 = 19.683.00

153. Solución: a) P5 (r : 2 ) =

5 ! 120 = = 60 palabras 2! 2

b) P3 = 3 ! = 6

(LBS)

(LSB)

(BLS)

(SBL)

(SLB)

154. Solución:  8  = 8 ! = 28 maneras  2  2 ! 6!  

28 maneras suponiendo que cada manzana está identificada y la selección se haga sin importar el orden de selección.

155. Solución: a) No lo es. El primero implica orden en la colocación de los elementos, en cambio, en el segundo no importa. b) Si, es un caso de combinación, ya queda lo mismo, cualquiera de los resultados c) Falso: primero está mal enunciado la variación. Debería escribirse V24 = 4 P2 =

4! = 12 2!

d) Cierto.  5  =  5  = = 10 8  2 3 ! 2 ! e) Cierto. 5!

38



f) Cierto 156. Solución:

11

P5 =

11 ! = 55.440 6!

Marcadores

157. Solución: a) P( aprobar ) = 0,30 (0,75) + 0,75 (0,40) = 0,225 + 0,30 = 0,525 = 52,5% b) P( est

aprob )

0,30 (0,75) 0,225 = = 0,4286 = 42,86% 0,30 (0,75) + 0,75 (0,40) 0,525

=

158. Solución: 20 P3

=

20 ! = 6.840 17 !

159. Solución: Jornada Juego

Cantidad

Día Noche P( A1

B

P( A1 ) P(B A1 ) )= P P ( A1 ) (B A1 ) + P( A 2 ) P( B

0,60 0,40

Porcentajes Ganado

Perdido

0,40 0,80

0,60 0,20

A2 )

(0,6) (0,6) 0,36 0,36 P( A1 B ) = = = = 0,8181 = 81,81% (0,6) (0,6) + (0,4) (0,2) 0,36 + 0,08 0,44

39



160. Solución: Primera inspección = 5%; segunda inspección y tercera = 2% De 100 unidades inspeccionadas por primera vez, pasaron 95 unidades En la segunda inspección se tiene: 95 × 0,97 = 92,15 En la tercera y última inspección: 92,15 × 0,98 = 90,31% La probabilidad de que una unidad pase por las tres inspecciones es del 90,31%

161. Solución: P = 0,8 × 0,6 × 0,5 = 0,24 = 24%

162. Solución:

Ciudades

Pereira Armenia Manizales

Probabilidad de ser escogida

Favorabilidad

No favorable

0,42 0,34 0,24

0,55 0,60 0,62

0,45 0,40 0,38

0,42 (0,55) 0,231 P( A1 B ) = = = 39,57% 0,42 (0,55) + 0,34 (0,60) + 0,24 (0,62) 0,5838 0,34 (0,60) 0,204 P( A2 B ) = = = 34,94% 0,42 (0,55) + 0,34 (0,60) + 0,24 (0,62) 0,5838 0,24 (0,62) 0,1488 P( A3 B ) = = = 25,49% 0,42 (0,55) + 0,34 (0,60) + 0,24 (0,62) 0,5838

La ciudad con mayor favorabilidad de ser escogida es Pereira

40



163. Solución: P( A ) = Visitan a Santa Marta = 240 = 0,60 =60% 400 P( B ) = Visitan a Cartagena =

100 = 0,25 = 25% 400

P( A Y B ) = 70 = 0,175 400 P( A o B ) = P( A ) + P( B ) − P( A Y B ) P( A o B ) = 0,60 + 0,25 − 0,175 = 0,675 = 67,5%

164. Solución:  Diurna = 35% Jornada =   Nocturna = 65%

 Diurno = 15% Trabajando =   Nocturno = 70%

a) La probabilidad de que el alumno seleccionado este trabajando P( A1 ) P( A1 B ) + P( A2 ) P( A2 B ) = 0,35 (0,15) + 0,65 (0,70) = 50,75%

b) Dado que el estudiante elegido esté trabajando y la probabilidad que sea del diurno, es: P( A1 B ) =

0,35 (0,15) 0,0525 = = 0,1034 = 10,34% 0,5075 0,5075

165. Solución: 0,5 (0,05) 0,025 P( A1 B ) = = = 0,50 = 50% 0,5 (0,05) + 0,3 (0,03) + 0,2 (0,08) 0,050

P( A1 B ) =

0,3 (0,03) 0,009 = = 0,18 = 18% 0,050 0,050

P( A1 B ) =

0,2 (0,08) 0,016 = = 0,32 = 32% 0,050 0,050

41



166. Solución: a) Probabilidades previas – son probabilidades a priori, es decir, se han determinado anteriormente, corresponde también a probabilidades iniciales del evento. b) Probabilidades posteriores, es obtenida de información adicional a las probabilidades iniciales. c) Diagrama de árbol, es una forma gráfica con ramificaciones que nos permiten establecer los puntos de un experimento ocurrido en varias etapas. d) Teorema de Bayes es un método o procedimiento para el cálculo de probabilidades posteriores, teniendo como base probabilidades a priori.

42


Cap.6 Distribuciones de probabilidad

6 Distribuciones de probabilidad Distribución binomial – de Poisson – Hipergeométrica y normal

EJERCICIOS RESUELTOS Se presenta el desarrollo de los 210 ejercicios que tiene este capítulo

1. Solución: 2

P( x = 2 ) = C 24  1   1  2 2

4− 2

= 6 = 0,375 = 37,5% 16

n=4 p =1 2 q =1 2 X =2

P( x = 2 ) = 37,5%

n=4 p =1 2 q =1 2 X =3

P( x =3 ) = 25,0%

(exactamente dos caras)

2. Solución: 3

P( x =3 ) = C 34  1   1  2 2

1

 4!   1   1  1 4      = 4   = P( x =3 ) =  = 0,25 = 25%  16  16  3! 1!   2   2 

(exactamente 3 caras)



3. Solución: 2 2   P( x = 2 ) = C 24  1   5  =  4!  6 6 2 ! 2 !      

 1     36 

 25     36 

150  4 ⋅ 3   25   25  P( x = 2 ) =  = 0,1157 = 11,57%  =6 =  2   1.296   1.296  1.296

n=4 p =1 6 q=5 6 X =2

P( x = 2 ) = 11,57%

(exactamente dos cincos)

4. Solución: P = 0,8 ( ganar )

a) n = 8 P( x = 2 ) =

( ) (0,8) (0,2)

6

X

P( x = 2 ) = ?

=2

= 0,001146 = 0,1146 %

P = 0,2 ( perder )

b) n = 8 P( x = 2 ) =

2

8 2

q = 0,2

P( x = 2 ) = 0,1146%

q = 0,8

X

P( x = 2 ) = ?

=2

( ) (0,2) (0,8) = 0,2936 = 29,36% 2

8 2

c) n = 8

P( x = 2 ) = 29,36%

6

P = 0,2 ( perder )

q = 0,8 P( x ≥ 2 ) = ?

x = mínimo ( 2) dos = 2, 3, 4, 5, 6, 7, y 8

[

P( x≥ 2 ) = P(2 ) + P(3) + P(4 ) + P(5 ) + P(6 ) + P(7 ) + P(8 ) = 1 − P(0 ) + P(1) P( x≥ 2 ) = 1 −

[( ) (0,2) 8 0

0

]

(0,8)8 + (18 ) (0,2)1 (0,8)7 ]

P( x ≥ 2 ) = 1− [0,1678 + 0,3355] = 1 − 0,5033 = 0,4967 = 49,67%

P( x ≥ 2 ) = 49,67%

2


P = 0,8 ( ganar )

d) n = 8


q = 0,2

X

= 0, 1, 2, 3, 4, 5, y 6

[

P( x≤6 ) = P(0 ) + P(1) + P(2 ) + P(3) + P(4 ) + P(5 ) + P(6 ) = 1 − P(7 ) + P(8 ) P( x≤6 ) = 1 −

[ ( ) (0,8)

]

(0,2)1 + (88 ) (0,8)8 + (0,2)0 ]

7

8 7

P( x ≤ 6 ) = 1 − [ 0,3355 + 0,1678 ] = 1 − 0,5033 = 0,4967 = 49,67% p = 0,2 ( perder )

e) n = 8 P( x=6 ) =

( ) (0,2)

6

8 6

P( x ≤ 6 ) = ?

(0,8)2

q = 0,8

P( x ≤ 6 ) = 49,67%

=6

X

P( x = 6 )

= 0,001147 = 0,1147 %

Observemos que decir: seis pierdan es lo mismo que dos ganen p = 0,8 (ganar )

n =8

P( x = 2 ) =

( ) (0,8) (0,2) 2

8 2

6

q = 0,2

X

=2

P( x = 2 )

= 0,001147 = 0,1147%

P( x = 2 ) = 0,1147%

5. Solución: p = 1 = 0,5 2

P = C xn p x q n − x

4

2

a) P( x = 4 ) = C46  1   1  = 6! 2! 4! 2 2 P( x = 4 ) =

q = 1 = 0,5 2

n=6

 1   1   16   4 

6×5  1   1  15 = 0,2344 = 23,44%   = 15   = 2  64   64  64

P( x = 4 ) = 23,44%

(exactamente 4 caras)

3



b) Como máximo 4 caras 0

6

1

5

2

4

3

3

4

P( x ≤ 4 ) = C06  1   1  + C16  1   1  + C26  1   1  + C36  1   1  + C46  1   1   2  2  2  2  2  2  2  2  2  2

2

P( x ≤ 4 ) = 1(1) 1  + 6  1   1  + 15  1   1  + 20  1   1  + 15  1   1   64   2   32   4   16   8  8   16   4 

P( x ≤ 4 ) =

1 6 15 20 15 57 + + + + = = 0,8906 = 89,06% 64 64 64 64 64 64

P( x≤ 4 ) = 89,06%

También se puede resolver de la siguiente forma:  P( x ≤ 4 ) =1− C56 

5 1 6 0  1   1  + C6  1   1       6      2  2 2  2 

57  1 6  64 7 P( x ≤ 4 ) =1 −  +  = − = = 0,8906 = 89,06% 64 64 64 64 64  

P( x≤ 4 ) = 89,06%

(máximo 4 caras)

6. Solución: Aparición de un cinco, la probabilidad es 1/6; Aparición de un seis, la probabilidad es 1/6 p = 1 + 1 = 2 =1 6 6 6 3

q = 1− p = 3 − 1 = 2 3 3 3

4 3 7!  1   8   8  = 280 = 0,1280 = 12,80% a) P(x =4) =  7   1   2  =     = 35   4

  3  3 

4 ! 3!  81   27 

 2.187 

2.187

P( x = 4 ) = 12,80%

(cuatro éxitos) 0

7

1

6

4

b) P( x ≤ 4 ) = C07  1   2  + C17  1   2  + .............. C47  1   2  3 3 3 3 3 3    

   

3

   

P( x ≤ 4 ) = 1(1)  128  + 7  1   64  + 21  1   32  + 35  1   16  + 35  1   8   2.187   3   729   9   243   27   81   81   27  P( x≤ 4 ) = 128 + 448 + 672 + 560 + 280 = 2.088 = 2.187 2.187 2.187 2.187 2.187 2.187 = 0,9547 = 95,47%

(máximo 4 éxitos)

P( x ≤ 4 ) = 95,47%

4



También puede resolverse así: P( x≤ 4 )

 7   1  5  2  2  7   1  6  2 1  7   1  7  2  0  = 1 −       +       +         6   3   3   7   3   3    5   3   3 

P( x ≤ 4 ) = 1 − 21  1   4  + 7  1   2  + 1  1  (1)  729   3   2.187     243   9 

P( x≤ 4 ) = 1 −  84 + 14 + 1  = 1 − 99 = 1 − 0,0453  2.187 2.187 2.187  2.187

= 0,9547 = 95,47%

P( x ≤ 4 ) = 95,47%

7. Solución: n=4

p = 0,10

q = 0,90

a) P( x = 0 ) = C04 (0,1)0 (0,9 )4 = 1 (1) (0,6561) = 0,6561 = 65,61%

P(x =0) = 65,61%

b) P( x =1) = C14 (0,1)1 (0,9)3 = 4 (0,1) (0,729) = 0,2916 = 29,16%

P(x =1) = 29,16%

c) P( x = 2 ) = C24 (0,1)2 (0,9 )2 = 6 (0,01) (0,81) = 0,0486 = 4,86%

P(x = 2) = 4,86%

d) P( x ≤ 2 ) = C04 (0,1)0 (0,9 )4 + C14 (0,1)1 (0,9 )3 + C24 (0,1)2 (0,9 )2 P( x ≤ 2 ) = 0,6561 + 0,2916 + 0,0486 = 0,9963 = 99,63%

P( x ≤ 2 ) = 99,36%

(no más de dos defectuosos)

8. Solución: a)

p = 0,40

q = 0,60

n =5

X

=2

P( x = 2 ) = C25 (0,4 ) (0,6) = 10 (0,16) (0,216) = 0,3456 = 34,56% 2

3

P( x = 2 ) = 34,56%

5



b) P( x≤1) = C 05 (0,4)0 (0,6)5 + C15 (0,4)1 (0,6)4 P( x ≤1) =

5! (1) (0,07776) + 15!4!! (0,4) (0,1296) 0 ! 5!

P( x≤1) = 1 (1) (0,07776) + 5 (0,4) (0,1296) = 0,07776 + 0,2592

= 0,3369 = 33,69%

P( x≤1) = 33,69%

(menos de 2 golpes)

9. Solución: n =8

p = 0,5

q = 0,5

X

= 0, 1, 2, 3, 4, 5,

P( x ≤ 5 ) = C08 (0,5) (0,5) + C18 (0,5) (0,5) + C28 (0,5) (0,5) + C38 (0,5) (0,5) 0

8

1

7

2

6

3

5

+ C48 (0,5) (0,5) + C58 (0,5) (0,5) = 0,85543 = 85,54% 4

4

5

3

P( x ≤ 5 ) = 85,54%

Es posible resolverlos de la siguiente forma:

[

P( x ≤5 ) = 1 − C68 (0,5) (0,5) + C78 (0,5) (0,5) + C88 (0,5) (0,5) 6

2

7

1

8

0

]

P( x ≤ 5 ) = 1 − [28 (0,015625) (0,25) + 8 (0,00781) (0,5) + 1 (0,00396) (1)] P( x ≤ 5 ) = 1 − [0,10937 + 0,03124 + 0,00396] = 1 − 0,14457 = 0,85543 = 85,54%

P( x ≤ 5 ) = 85,54%

(menos de 6 caras)

10. Solución: p = 0,05

q = 0,95

P( x≤ 2 ) = C 06 (0,05)

0

(0,95)6

n =6

X

= 0, 1, 2,

+ C16 (0,05) (0,95) + C 26 (0,05) 1

5

2

(0,95)4

P( x ≤ 2 ) = 1 (1) (0,735091) + 6 (0,05) (0,773780) + 15 (0,0025) (0,814506) P( x ≤ 2 ) = 0,735091 + 0,232134 + 0,030543 = 0,997768 = 99,78%

P( x ≤ 2 ) = 99,78%

6




q = 0,90

n =5

X

=0

a) P( x=0 ) = C 05 (0,1)0 (0,9)5 = C55 (0,9 )5 (0,1)0 =1 (1) (0,5905) = 0,5905 = 59,05% P( x =0 ) = 59,05% b) P( x≥3) = C 35 (0,1)3 (0,9)2 + C 45 (0,1)4 (0,9)1 + C55 (0,1)5 (0,9)0 = 0,00810 + 0,00045 + 0,00001 = 0,00856

c) P( x = 3) = C35 (0,1)3 (0,9 )2 = 0,00810 = 0,81%

P( x ≥ 3 ) = 0,856% P( x = 3 ) = 0,81%

(exactamente 3 mueran)


q = 0,8

n =4

a) P( x =1) = C14 (0,2 )1 (0,8)3 = 4 (0,2 ) (0,512) = 0,4096 = 40,96%

P( x =1) = 40,96%

b) P( x = 0 ) = C04 (0,2)0 (0,8)4 = 1(1) (0,4096) = 0,4096 = 40,96%

P( x = 0 ) = 40,96%

c) P( x ≤ 2 ) = C04 (0,2)0 (0,8)4 + C14 (0,2)1 (0,8)3 + C24 (0,2 )2 (0,8)2 P( x ≤ 2 ) = 0,4096 + 0,4096 + 0,1536 = 0,9728 = 97,28%

P( x ≤ 2 ) = 97,28%

(no más de dos cerrojos sean defectuosos)


q = 0,6

n =5

a) Que ninguno se gradué: P( x = 0 ) = C05 (0,4 ) (0,6 ) = 0,0778 = 7,78% 0

5

P( x = 0 ) = 7,78%

b) Que se gradué uno:

7



P( x =1) = C15 (0,4) (0,6) = 0,2592 = 25,92% 1

4

P( x =1) = 25,92%

c) Que se gradúe al menos uno: P( x ≥1) = 1 − C05 (0,4 ) (0,6 ) = 1 − 0,0778 = 0,9222 = 92,22% 0

5

P( x ≥1) = 99,22%

14. Solución: p =1 6

n =5

q =5 6 1 5 6 6

1

4

2

3

 1   625  3.125 = 0,4019 = 40,19% =  6   1.296  7.776

P( x =1) = 40,19%

1.250 b) P( x = 2 ) = C25  1   5  = 10  1   125  = = 0,1608 = 16,08% 6 6 36 216 7.776

P(x = 2) = 16,08%

a) P( x=1) = C15     = 5   

    3

2

4

1

0

5







250 c) P( x = 3) = C35  1   5  = 10  1   25  = = 0,0321 = 3,21% 6 6  216   36  7.776 25 d) P( x = 4 ) = C45  1   5  = 5  1   5  = = 0,0032 = 0,32% 6 6 1 . 296 6 7 . 776       

e) P( x = 0 ) = C05  1   5  = 1(1)  3.125  = 0,4019 = 40,19% (ninguna vez) 6 6 7.776    





P( x = 3) = 3,21% P( x = 4 ) = 0,32% P( x = 0 ) = 40,19%


q = 0,90

n =4

a) P( x = 0 ) = C04 (0,1)0 (0,9)4 = 0,6561 = 65,61%

P( x =0 ) = 65,61%

b) P( x ≥1) = 1 − C04 (0,1)0 (0,9 )4 = 0,3439 = 34,39%

P( x ≥1) = 34,39%

c) P( x≤1) = C 04 (0,1)0 (0,9)4 + C14 (0,1)1 (0,9)3 = 0,6561 + 0,2916 = 0,9477 = 94,77%

P( x ≤1) = 94,77%

16. Solución:

8


p = 0,2

q = 0,8


n =10

a) P( x = 2 ) = C210 (0,2)2 (0,8)8 = 0,3020 = 30,2% b)

[

P( x = 2 ) = 30,2%

P( x ≥3) = 1 − C010 (0,2 ) (0,8) + C110 (0,2 ) (0,8) + C210 (0,2 ) (0,8) 0

10

1

9

2

8

]

P( x≥3 ) = 1 − [0,1074 + 0,2684 + 0,3020] = 1 − 0,6778 = 0,3222 = 32,22%

P( x ≥ 3) = 32,22%

c) P( x ≥ 6 ) = C610 (0,2)6 (0,8)4 + C710 (0,2 )7 (0,8)3 + C810 (0,2)8 (0,8)2 + C910 (0,2)9 (0,8)1 + C1010 (0,2)10 (0,8)0 = 0,0055 + 0,0008 + 0,0000 + 0,0000 = 0,0063

P( x ≥6 ) = 0,63%

(Se usó la tabla para el cálculo)

d) P( x = 0 ) = C010 (0,2)0 (0,8)10 = 0,1074 = 10,74%

P( x = 0 ) = 10,74%


q = 0,5

n =10

X

= 3, 2, 1, 0

P( x ≤ 3) = C310 (0,5) (0,5) + C210 (0,5) (0,5) + C110 (0,5) (0,5) + C010 (0,5) (0,5) 3

7

2

8

1

9

0

10

= 0,1172 + 0,0439 + 0,0098 + 0,0010 = 0,1719 = 17,19%

P( x ≤ 3 ) = 17,19%

E = 100 (0,1719 ) ≅ 18 personas de 100

E = np


q = 0,5

n =10

X = 7, 8, 9 y 10

P( x≥7 ) = C 710 (0,5) (0,5) + C810 (0,5) (0,5) 2 + C910 (0,5) (0,5) + C1010 (0,5)10 (0,5) 0 7

3

8

9

1

P( x≥7 ) = 0,1172 + 0,0439 + 0,0098 + 0,0010 = 10,1719 = 17,19%

P( x ≥ 7 ) = 17,19%

19. Solución:

9


n =15

p = 0,10


q = 0,90

a) P( x = 5 ) = C515 (0,1)5 (0,9 )10 = 0,0105 = 1,05%

P(x =5) = 1,05%

15 (0,1)10 (0,9)5 + C1115 (0,1)11 (0,9)4 + C1215 (0,1)12 (0,9)3 + b) P( x ≥10 ) = C10

15 C13 (0,1)

13

(0,9)2

15 + C14 (0,1)

14

(0,9)1 + C1515 (0,1)15 (0,9)0 = 0,0000

P( x ≥10 ) = 0

(Como se trabaja con cuatro decimales, aproximamos a cero) (Se utilizó la tabla) A partir de x > 8 la probabilidad obtenida es demasiado pequeña, casi cero.

[

c) P( x≥5 ) = 1 − C 015 (0,1)0 (0,9)15 + C115 (0,1)1 (0,9)14 + C 215 (0,1)2 (0,9)13 + C315 (0,1) (0,9) + C415 (0,1) (0,9) 3

12

4

11

]

Utilizando la tabla se tiene:

P( x≥5 ) = 1 − [0,2059 + 0,3432 + 0.2669 + 0,1285 + 0,0428 = 0,9873 ]

P(x ≥5) = 1,27%

P( x≥5 ) = 1 − 0,9873 = 0,0127 =1,27 %


p = 0,25

q = 0,75

a) P( x =15 ) = C1520 (0,25)15 (0,75)5 = 0,0000 ............... = 0

(ver tabla)

P( x =15 ) = 0

b) P( x ≤ 4 ) = C020 (0,25)0 (0,75)20 + C120 (0,25)1 (0,75)19 + ........... C420 (0,25)4 (0,75)16 = 0,0032 + 0,0211 + 0,0669 + 0,1339 + 0,1897 = 0,4148 = 41,48%

P( x ≤ 4 ) = 41,48%

20 c) P( x ≥8 ) = C820 (0,25)8 (0,75)12 + C920 (0,25)9 (0,75)11 + ........... C20 (0,25)20 (0,75)0

Es más fácil resolverlo de la siguiente forma:

10


[

P( x ≥8 ) = 1 − C020 (0,25) (0,75) 0

20


+ C120 (0,25) (0,75) + ............C720 (0,25) (0,75) 1

19

7

13

]

= 1 − [0,0032 + 0,0211 + 0,0669 + 0,1339 + 0,1897 + 0,2023 + 0,1686 + 0,1124] =

= 1 − 0,8981 = 10,19%

P( x ≥ 8 ) = 10,19%

(por lo menos 8 defectuosas)


n=4

q = 0,5

a) P( x ≥1) = 1 − C04 (0,5)0 (0,5)4 = 1 − 0,0625 = 0,9375

P( x ≥1) = 93,75%

E = 2.000 (0,9375 ) = 1.875 familias

b) P( x=2 ) = C 24 (0,5)2 (0,5)2 = 0,3750

P( x = 2 ) = 37,50%

E = 2.000 (0,3750 ) = 750 familias

c) P( x=0 ) = C 04 (0,5)0 (0,5)4 = 0,0625

P( x = 0 ) = 6,25%

E = 2.000 (0,0625 ) = 125 familias (Se utilizaron las tablas)

22. Solución: P( x ≤ 2 ) = C015 (0,05) (0,95) + C115 (0,05) (0,95) + C215 (0,05) (0,95) 0

15

1

14

= 0,4633 + 0,3658 + 0,1348 = 0,9639 = 96,39%

2

13

P( x ≤ 2 ) = 96,39%

(Se utilizó la tabla)

23. Solución:

11


p = 0,40


n = 20

P( x ≥11) = C1120 (0,4) (0,6) + C1220 (0,40) 11

9

12

(0,6)8 + ........ + C2020 (0,4)20 (0,6)0

Utilizando la tabla se tendrá que: P( x ≥11) = 0,0710 + 0,0355 + 0,0146 + 0,0049 + 0,0013 + 0,0003 + 0 + 0 + 0 + 0 = = 0,1276 = 12,76%

P( x ≤11) = 12,76%

(mitad más uno)

(Se utilizó la tabla para el cálculo)


n = 18

q = 0,80

X

=8

P( x = 8 ) = C818 (0,20) (0,80) = 0,0120 = 1,20% 8

P( x = 8 ) = 1,20%

10

25. Solución: P(5 ≤ x ≤ 7 ) = C510 (0,5) (0,5) + C610 (0,5) (0,5) + C710 (0,5) (0,5) 5

5

6

4

7

3

P(5 ≤ x ≤ 7 ) = 0,2461 + 0,2051 + 0,1172 = 0,5684 = 56,84%

P(5 ≤ x ≤ 7 ) = 56,84%

26. Solución: n=5

P( x ≥ 3)

X

= 3, 4, 5

p = 0,5

q = 0,5

12



P( x ≥ 3) = P( x = 3) + P( x = 4 ) + P( x = 5 ) =

( ) (0,5)

3

5 3

(0,5)2

( ) (0,5)

+

4

5 4

(0,5)1

+

( ) (0,5)

5

5 5

(0,5)0

= 0,3125 + 0,15625 + 0,03125 = 0,5000 = 50%

P( x ≥ 3) = 50%

27. Solución: 9 = 0,90 con caries 10

sin caries = 0,10 = 10%

n=5

a) Cuatro tengan caries

n =5

X

P( x = 4 ) =

( ) (0,9) (0,1) 4

5 4

1

p = 0,90

=4

= 0,32805 = 32,81%

p = 0,90

b) Por lo menos dos tengan caries

P( x = 4 ) = 32,81%

X

= 2, 3, 4, 5

P( x ≥ 2 ) = P( x = 2 ) + P( x = 3) + P( x = 4 ) + P( x = 5 )

[

= 1 − P( x =0 ) + P( x =1) =1−

[( ) (0,9)

0

5 0

]

(0,1)5 + (15 ) (0,9)1 (0,1)4 ]

= 1 − [0,00001 + 0,00045 ] = 0,9995 ≅ 99,95%

p = 0,10

c) Por lo menos 2 no tengan caries:

P( x ≥ 2 ) = 99,95%

X

= 2, 3, 4, 5

P( x ≥ 2 ) = P( x = 2 ) + P( x = 3) + P( x = 4 ) + P( x = 5 )

[

= 1 − P( x =0 ) + P( x =1) =1−

[( ) (0,1) 5 0

0

]

(0,9)5

+

( ) (0,1) 5 1

1

(0,9)4 ]

= 1 − [0,59049 + 0,32805 ] = 1 − 0,9185 = 8,15%

P( x ≥ 2 ) = 8,15%

13



p = 0,90

d) Por lo menos una tenga caries

X

= 1, 2, 3, 4, 5

P( x ≥1) = 1 − P( x = 0 ) =1−

( ) (0,9)

0

5 0

(0,1)5 = 1 − 0,00001 = 0,99999 = 100%

P( x ≥1) = 100%

28. Solución: 20% pierden el 1ª año

80% no lo pierden

a) Máximo 2 aprueben :

X

n=6 p = 0,80

= 0 , 1, 2

P( x ≤ 2 ) = P( x = 0 ) + P( x =1) + P( x = 2 ) P( x≤ 2 ) =

( ) (0,8)

(0,2)6

0

6 0

+

( ) (0,8) 6 1

1

(0,2)5

+

( ) (0,8) 6 2

2

(0,2)4

= 0,000064 + 0,001536 + 0,01536 = 0,01696 = 1,70% p = 0,80

b) Todos aprueben: P( x =6 ) =

( ) (0,8)

6

6 6

( ) (0,8) 6 0

0

=6

(0,2)0 = 0,2621 = 26,21%

c) Ninguno apruebe P( x = 0 ) =

X

P( x ≤ 2 ) = 1,70%

p = 0,80

P( x = 6 ) = 26,21% X

=0

(0,2)6 = 0,000064 = 0,0064%

P( x =0 ) = 0,0064 %

29. Solución: 4.800 = 0,70 Transporte público 6.000

0,30 = 30% otro servicio

a) No más de 2 utilicen transporte público p = 0,7

X

= 0, 1, 2

n=8

14


P( x ≤ 2 ) =

( ) (0,7)

0

8 0

(0,3)8 + (18 ) (0,7 )1 (0,3)7

+


( ) (0,7) 8 2

2

(0,3)6

= 0,0000656 = 0,0012247 + 0,01000 = 0,01129 = 1,13%

p = 0, 30

b) Por lo menos 3 no lo utilicen

X

P( x≤ 2 ) = 1,13%

= 4, 5, 6, 7, 8

P( x ≥ 3) = P( x = 3) + P( x = 4 ) + P( x = 5 ) + P( x = 6 ) + P( x = 7 ) + P( x = 8 )

[

= 1 − P( x =0 ) + P( x =1) + P( x = 2 ) =1−

[( ) (0,3)

0

8 0

]

(0,7 )8 + (18 ) (0,3)1 (0,7)7 + (82 ) (0,3)2 (0,7 )6 ]

= 1 − [0,0576 + 0,1977 + 0,2965 ] = 0,4482 = 44, ,82%

c) Exactamente 2 no lo utilicen P( x = 2 ) =

( ) (0,3) 8 2

2

( ) (0,7) 8 2

2

X

=2

(0,7 )6 = 0,2965 = 29,65% p = 0, 70

d) Exactamente 2 lo utilicen P( x = 2 ) =

p = 0, 30

P( x ≥3) = 44,82%

(0,3)6

P( x = 2 ) = 29,65%

X

=2

= 0,0100 = 1%

P( x = 2 ) = 1%

30. Solución: 60% = 0,60 asisten

0,40 = 40% no asisten

a) Por lo menos 7 asistan

p = 0, 6

n=8 X

= 7, 8

15



P( x≥7 ) = P( x =7 ) + P( x =8 ) =

( ) (0,6)

7

8 7

(0,4)1 + (88 ) (0,6)8 (0,4)0

= 0,0896 + 0,0168 = 0,1064 = 10,64% n=8

b) Por lo menos 2 no asistan

P( x ≥7 ) = 10,64%

p = 0, 40

X

= 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

P( x ≥ 2 ) = P( x = 2 ) + P( x = 3 ) + .................... + P( x =8 )

[

= 1 − P( x = 0 ) + P( x =1) =1−

[( ) (0,4) 8 0

0

]

(0,6)8 + (18 ) (0,4)1 (0,6)7 ]

= 1 − [0,0168 + 0,0896] =1 − 0,1064 = 0,8936 = 89,36%

P( x≥ 2 ) = 89,36%

31. Solución: 800 = 0,4 usan gafas 2000

0,6 = no usan gafas

a) Por lo menos 2 usan gafas

p = 0,40

n =5 X

= 2, 3, 4, 5

P( x ≥ 2 ) = P( x = 2 ) + P( x = 3) + P( x = 4 ) + P( x = 5 )

[

= 1 − P( x = 0 ) + P( x =1) =1−

[( ) (0,4) 5 0

0

]

(0,6)5 + (15 ) (0,4)1 (0,6)4 ]

= 1 − [0,0778 + 0,2592] =1 − 0,3370 = 0,6630 = 66,3%

b) Por lo menos 2 no usan gafas

p = 0,60

X

P( x≥ 2 ) = 66,30%

= 2, 3, 4, 5

16


[

P( x ≥ 2 ) = 1 − P( x =0 ) + P( x =1) =1−

[( ) (0,6)

0

5 0


]

(0,4)5 + (15 ) (0,6)1 (0,4)4 ]

= 1 − [0,01024 + 0,0768] =1 − 0,08704 = 0,91296 = 91,30% P( x ≥ 2 ) = 91,30%

c) E = np

E = 2000 (0,60) = 1.200 alumnos, se espera no usen gafas

⇒

32. Solución: n=4

0,67 = no repitentes

1 3 = 0,33 son repitentes

p = 0,33

a) No mas de dos sean repitentes

X

= 0, 1, 2

P( x≤ 2 ) = P( x =0 ) + P( x =1) + P( x = 2 ) =

( ) (0,33)

(0,67 )4

0

4 0

+

( ) (0,33)

1

4 1

(0,67)3

+

( ) (0,33) 4 2

2

(0,67)2

= 0,2015 + 0,3970 + 0,2933 = 0,8918 = 89,18% P( x≤ 2 ) = 88,18% P( x ≤ 2 ) = 88,89%

Nota : Sí trabajamos con 1 3 y 2 3

p = 0,67

b) Al menos 1 no sea repitente

X

= 1, 2, 3, 4

P( x ≥1) = P( x =1) + P( x = 2 ) + P( x = 3) + P( x = 4 ) Nota : Sí trabajamos con 1 3 y 2 3

P( x ≥1) = 98,77%

P( x ≥1) = 1 − P( x = 0 ) =1−

( ) (0,67) 4 0

0

(0,33)4

= 1 − 0,0119 = 0,9881 = 98,81%

P( x ≥1) = 98,81%

33. Solución:

17


n = 16

p = 0,6

P( x≥10 ) =

( ) (0,6) (0,4) 10

16 10

+

6

+

14

= 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16

( ) (0,6) (0,4) 0 + ( ) (0,6) (0,4)

( ) (0,6) (0,4) 16 14

X


2

11

16 11

+

5

12

16 12

+

4

( ) (0,6) (0,4) + ( ) (0,6) (0,4) 15

16 15

1

16

16 16

0

( ) (0,6) (0,4) 16 13

13

3

=

= 0,1983 + 0,1623 + 0,1014 + 0,0468 + 0,0150

+ 0,0030 + 0,0003 = 52,71%

P( x ≥ 10 ) = 52,71%

(diez o más acontecimientos desfavorables)

34. Solución: 25% se accidentan

75% no se accidentan

Por lo menos 3 se accidentan

n=7

P( x ≥ 3) = P( x = 3) + P( x = 4 ) + P( x = 5 ) + P( x = 6 ) + P( x = 7 )

[

=1 − P( x =0 ) + P( x =1) + P( x = 2 ) =1−

[( ) (0,25)

0

7 0

(0,75)7

+

]

( ) (0,25)

1

7 1

(0,75)6 + (72 ) (0,25)2 (0,75)5 ]

= 1 − [0,1335 + 0,3115 + 0,3115] = 1 − 0,7565 = 0,2435 = 24,35%

P( x ≥ 3 ) = 24,35%

35. Solución: 3% son defectuosos

97% Buenos

n=7

a) Por lo menos 3 sean buenos P( x ≥ 3 ) = P( x = 3 ) + P( x = 4 ) + ....... + P( x = 7 )

[

= 1 − P( x =0 ) + P( x =1) + P( x = 2 ) =1−

[( ) (0,97) 7 0

0

(0,03)7

+

]

( ) (0,97) 7 1

1

(0,03)6

+

( ) (0,97) 7 2

2

(0,03)5 ]

18



= 1 − [0 + 0 + 0] = se aproxima a 1 = 100%

P( x ≥ 3 ) = 100%

b) Por lo menos 3 sean defectuosos

[

P( x ≥3) = 1 − P( x =0 ) + P( x =1) + P( x = 2 ) =1−

[( ) (0,03)

0

7 0

]

(0,97)7 + (17 ) (0,03)1 (0,97 )6 + (72 ) (0,03)2 (0,97 )5 ]

= 1 − [0,8080 + 0,1749 + 0,0162] = 1 − 0,9991 = 0,0009% = 0,09% P(x ≥ 3) = 0,09%

36. Solución: p = 0,01 = enferman

a)

X

n=5

q = 0,99 = no enferman

= 2 enfermos

P( x = 2 ) =

( ) (0,01)

2

5 2

(0,99)3 = 0,00097 = 0,097%

b) Por lo menos uno enfermo P( x≥1) = 1 − P( x =0 ) = 1 −

( ) (0,01) 5 0

c) Por lo menos 2 no enfermen

[

P( x ≥ 2 ) = 1 − P( x =0 ) + P( x =1) =1−

[( ) (0,99) 5 0

0

X 0

= 1, 2, 3, 4, 5

(0,99)5

X

P( x = 2 ) = 0,097%

= 1 − 0,9510 = 0,049 = 4,9%

P( x ≥1) = 4,9%

= 2 , 3, 4 , 5

]

(0,01)5 + (15 ) (0,99)1 (0,01)4 ]

= 1 − [0 + 0] = se aproxima a 1 = 100% P( x ≥ 2 ) = 100%

37. Solución:

19



20% de mortalidad

80% de sobrevivir

a) Ninguno sobreviva

X

P( x = 0 ) =

( ) (0,8) 5 0

0

(equivale a x = 5, todos mueran)

=0

(0,2)5 = (55 ) (0,2)5 (0,8)0

n=5

= 0,00032 = 0,032%

P( x = 0 ) = 0,032%

b) Todos sobrevivan P( x = 5 ) =

( ) (0,8) 5 5

5

(0,2)0

= 0,3277 = 32,77%

c) Al menos 1 sobrevivan P( x ≥1) = 1 − P( x = 0 ) = 1 −

X

( ) (0,8)

0

5 0

X

( ) (0,2) 5 0

= 1, 2, 3, 4 , 5

(0,2)5 = 1− 0,00032 = 99,968% = 99,97%

d) Al menos 1 no sobrevivan P( x ≥1) = 1 − P( x = 0 ) = 1 −

P( x = 5 ) = 32,77%

0

P( x ≥1) = 99,97%

= 1, 2, 3, 4 , 5

(0,8)5 = 1 − 0,32768 = 0,67232 = 67,23%

P( x ≥1) = 67,23%

38. Solución: 5 = 0,20 = 20% científicos 25

20 = 80% no científico 25

a) Por lo menos 1 sea científica P( x ≥1) = 1 − P( x = 0 ) = 1 −

X

( ) (0,2) 4 0

0

(0,8)4

n=4

= 1, 2, 3, 4

= 1 − 0,4096 = 0,5904 = 59,04%

P( x ≥1) = 59,04%

20


b) Por lo menos 2 no sean científicos

[

P( x ≥ 2 ) = 1 − P( x = 0 ) + P( x =1) =1−

[( ) (0,8)

0

4 0

X


= 2, 3, 4

]

(0,2)4

+

( ) (0,8)

1

4 1

(0,2)3 ]

= 1 − [0,0016 + 0,0256] = 1 − 0,0272 = 0,9728 = 97,28% P( x ≥ 2 ) = 97,28%

c) Una sea científica P( x =1) =

( ) (0,2)

(0,8)3

1

4 1

X

=1

= 0,4096 = 40,96%

P( x =1) = 40,96%

39. Solución: 30% posibles clientes

a) Tres o menos sean clientes P( x ≤ 3) =

( ) (0,3)

0

8 0

n=8

70% no sean clientes X

= 3, 2, 1, 0

(0,7)8 + (18 ) (0,3)1 (0,7 )7 + (82 ) (0,3)2 (0,7 )6 + (83 ) (0,3)3 (0,7 )5

= 0,0576 + 0,1977 + 0,2965 + 0,2541 = 0,8059 = 80,59%

b) Tres o más no sean clientes

[

P( x ≥ 3) = 1 − P( x = 0 ) + P( x =1) + P( x = 2 ) =1−

[( ) (0,7) 8 0

0

X

P( x ≤ 3 ) = 80,59%

= 3, 4, 5, 6, 7, 8

]

(0,3)8 + (18 ) (0,7 )1 (0,3)7 +

( ) (0,7) 8 2

2

(0,3)6 ]

= 1 − [0,00006 + 0,00122 + 0,01000] = 1 − 0,0113 = 0,9887 = 98,87%

P( x ≥ 3) = 98,87%

21



40. Solución: 2 = 0,40 = 40% Apoyan a A 5

0,60 = 60% No apoyan a A

x=5

a) Exactamente 5 apoyen a A P( x = 5 ) =

( ) (0,4)

5

7 5

(0,6)2

= 0,0774 = 7,74% x = 2,3,4,5,6,7

b) Por lo menos 2 apoyen a A

[

P( x≥ 2 ) = 1 − P( x =0 ) + P( x =1) =1−

[( ) (0,4)

]

(0,6)7

0

7 0

P( x = 5 ) = 7,74%

+

( ) (0,4)

1

7 1

(0,6)6 ]

= 1 − [0,0280 + 0,1306] = 1 − 0,1586 = 0,8414 = 84,14%

P( x ≥ 2 ) = 84,14%

c) Por lo menos dos no apoyen a A

[

P( x ≥ 2 ) = 1 − P( x = 0 ) + P( x =1) =1−

[( ) (0,6)

0

7 0

]

x = 2,3,4,5,6,7

(0,4)7 + (17 ) (0,6)1 (0,4)6 ]

= 1 − [0,00164 + 0,0172] = 1 − 0,01884 = 0,9812 = 98,12%

P( x ≥ 2 ) = 98,12%

41. Solución: 1 = 0,50 Verdadero 2

0,50 = falso

n =16

a) A lo más dos preguntas correctas P( x ≤ 2 ) =

( ) (0,5) (0,5) 16 0

0

16

+

( ) (0,5) (0,5) 16 1

1

15

X

= 0, 1, 2

+

( ) (0,5) (0,5) 16 2

2

= 0,000015 + 0,00024 + 0,00183 = 0,0021% = 0,21%

14

P( x ≤ 2) = 0,21%

22


b) Por lo menos 2 sean verdaderas

[

P( x≥ 2 ) = 1 − P( x =0 ) + P( x =1) =1−

[( ) (0,5)

X

= 2, 3, 4, ...... 16

]

(0,5)16

0

16 0


+

(0,5)15 ]

( ) (0,5)

1

16 1

= 1 − [0,000015 + 0,00024] = 1 − 0,000255 = 0,9997 = 99,97%

P( x ≥ 2 ) = 99,97%

c) Por lo menos 2 no sean verdaderas

[

P( x≥ 2 ) = 1 − P( x =0 ) + P( x =1) =1−

[( ) (0,5) 16 0

]

(0,5)16

0

( ) (0,5)

+

1

16 1

(0,5)15 ] = 99,97%

P( x ≥ 2 ) = 99,97%

42. Solución: 3 = 0,15 Defectuosos 20

0,85 = buenos

a) Por lo menos dos defectuosos

[

P( x≥ 2 ) = 1 − P( x =0 ) + P( x =1) P( x≥ 2 ) = 1 −

[( ) (0,15) 8 0

0

X

= 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8

]

(0,85)8

+

( ) (0,15) 8 1

1

(0,85)7 ]

= 1 − [0,2725 + 0,3847] =1 − 0,6572 = 0,3428 = 34,28%

b) Por lo menos 2 no sean defectuosos

[

P( x≥ 2 ) = 1 − P( x =0 ) + P( x =1) =1−

[( ) (0,85) 8 0

0

n =8

X

P( x ≥ 2 ) = 34,28%

= 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

]

(0,15)8

+

( ) (0,85) 8 1

1

(0,15)7 ]

= 1 − [0 + 0,00001] = 0,99999 = 99,99 ≅ 100%

P( x ≥ 2 ) = 100%

23



c) P( x = 2 ) = (82 ) (0,15)2 (0,85)6 = 0,2376 = 23,76% E = 2.000 (0,2376) = 475 Artículos

x=2

E = np

43. Solución: 30% = no fumadores

70% fumadores P( x =16 ) =

( ) (0,7)

16

18 16

(0,3)2

n =18

x = 16

= 0,04576 = 4,58%

P( x = 16 ) = 4,58%

44. Solución: 20% responden

80% no responden

a) La mayoría responden

X

n =10

= 6, 7, 8, 9, 10

(mitad más uno)

P( x ≥ 6 ) = P( x = 6 ) + P( x = 7 ) + P( x = 8 ) + P( x = 9 ) + P( x =10 ) =

( ) (0,2)

6

(0,8)4

+

( ) (0,2)

10

(0,8)0

= 0,0055 + 0,00079 + 0,000074 + 0 + 0 =

10 6

10 10

( ) (0,2)

7

10 7

(0,8)3

+

( ) (0,2)

8

10 8

(0,8)2

+

( ) (0,2) 10 9

= 0,00636 = 0,64%

9

(0,8)1 +

P( x ≥ 6 ) = 0,64%

0,30 (10 ) = 3

b) Menos del 30% no respondan

X

= 0, 1, 2

P(x ≤ 2) = P(x =0) + P( x =1) + P(x = 2) =

( ) (0,8) 10 0

0

(0,2)10

+

( ) (0,8)

1

10 1

(0,2)9

+

( ) (0,8) 10 2

2

(0,2)8

= 0,0000001 + 0,0000041 + 0,0000737 = 0,000078 = 0,0078%

c) Nadie responde P( x = 0 ) =

( ) (0,2) 10 0

0

P( x ≤ 2 ) = 0,0078% X

=0

(0,8)10 = 0,0000001 = 0,00001%

P( x =10 ) ≅ 0%

24



45. Solución: n =10

17% defectuoso

83% buenos

a) Ninguno defectuoso P( x = 0 ) =

( ) (0,17)

0

10 0

X

(0,83) 10 = 0,1552 = 15,52%

b) Por lo menos 2 no sean defectuosos

[

P( x ≥ 2 ) = 1 − P( x = 0 ) + P( x =1) =1−

[ ( ) (0,83)

0

10 0

=0

X

P( x = 0 ) = 15,52%

= 2,3,4.......10

]

(0,17 )10

+

( ) (0,83)

1

10 1

(0,17 )9 ]

P( x ≤ 2 ) = 100%

= 1 − [0 + 0] = se aproxima a 1 = 100% X = 0, 1, 2

c) Como máximo dos defectuosos P( x ≤ 2 ) = P( x = 0 ) + P( x =1) + P( x = 2 ) =

( ) (0,17)

0

10 0

(0,83)10

+

( ) (0,17) 10 1

1

(0,83)9

+

( ) (0,17) 10 2

2

(0,83)8

= 0,1552 + 0,3178 + 0,2929 = 0,7659 = 76,59%

P( x ≤ 2 ) = 76,59%

46. Solución: 80% adecuadamente

20% no adecuado

a) Todos adecuadamente

X

P( x = 4 ) =

( ) (0,8)

4

4 4

(0,2)0

P( x =1) =

( ) (0,2) 4 1

1

=4

= 0,4096 = 40,96%

b) Falla uno (no adecuado)

X

n =4

P( x = 4 ) = 40,96%

=1

(0,8)3 = 0,4096 = 40,96%

P( x =1) = 40,96%

25


c) Uno o más fallan

X


= 1, 2, 3, 4

P( x ≥1) = 1 − P( x = 0 ) =1−

( ) (0,2)

0

4 0

(0,8)4

= 1 − 0,4096 = 0,5904 = 59,04%

P( x ≥1) = 59,04%

47. Solución: 6 = 0,60 = 60% Detectados 10

40% no detectados

a) Por lo menos 5 veces sea detectado

X

= 5, 6, 7, 8

+

( ) (0,6)

n =8

P( x ≥ 5 ) = P( x = 5 ) + P( x = 6 ) + P( x = 7 ) + P( x = 8 )

P( x ≥ 5 ) =

( ) (0,60)

5

8 5

(0,40)3 + (86 ) (0,6)6 (0,4)2

8 7

7

(0,4)1 + (88 ) (0,6)8 (0,4)0

= 0,2787 + 0,2090 + 0,0896 + 0,0168 = 0,5941 = 59,41%

P( x ≥ 5 ) = 59,41%

b) Exactamente 2 no sea detectado P( x = 2 ) =

( ) (0,4)

2

8 2

(0,6)6

= 0,2090 = 20,90%

P( x = 2 ) = 20,90%

48. Solución: 9,9% toman jugo de naranja = 0,099

a) Por lo menos 2 toman jugo

[

P( x ≥ 2 ) = 1 − P( x = 0 ) + P( x =1) P( x ≥ 2 ) = 1 −

[ ( ) (0,099) 5 0

0

0,901 no lo toman = 90,1%

;

X

= 2, 3, 4, 5

]

(0,901)5 + (15 ) (0,099)1 (0,901)4 ]

= 1 − [ 0,5938 + 0,3262] = 1 − 0,9200 = 0,0800 = 8% P( x ≥ 2 ) = 8%

26


b) Como máximo 3 no lo toman

[

P( x ≤ 3) = 1 − P( x = 4 ) + P( x =1)5 =1−

[ ( ) (0,901)

4

5 4

X


= 0, 1, 2, 3

]

(0,099)1 + (55 ) (0,901)5 (0,099)0 ]

= 1 − [ 0,3262 + 0,5938] = 1 − 0,9200 = 0,0800 = 8% P( x ≤3) = 8%

49. Solución: 1 = 0,25 vende 4

n=5

0,75 = no vende

Por lo menos 3 compren

X

= 3, 4, 5

P( x≥3) = P(x =3) + P( x = 4) + P(x =5) =

( ) (0,25)

3

5 3

(0,75)2 + (54 ) (0,25)4 (0,75)1 + (55 ) (0,25)5 (0,75)0

= 0,0879 + 0,0146 + 0,00098 = 0,1035 = 10,35% P( x ≥ 3) = 10,35%

50. Solución: 0,84 = no lo pierden

0,16 lo pierden

n = 10

No mayor a 5 ni menor a tres no lo pierdan

X

= 3, 4, 5

P(3 ≤ x ≤5 ) = P( x =3) + P( x = 4 ) + P( x =5 ) =

( ) (0,84) 10 3

3

(0,16)7

+

( ) (0,84) 10 4

4

(0,16)6

+

( ) (0,84) 10 5

5

(0,16)5

= 0,00019 + 0,0018 + 0,0110 = 0,0130 =1,30% P(3 ≤x ≤5 ) = 1,30%

27



51. Solución: 80% = no se tardan

20% se tardan

a) Dos veces se retardan P( x = 2 ) =

( ) (0,2)

2

5 2

X

(0,8)3 = 0,2048

[

=1−

[ ( ) (0,8)

0

5 0

=2

= 20,48%

b) Por lo menos 2 no se retardan P( x ≥ 2 ) = 1 − P( x = 0 ) + P( x =1)

n=5

X

P( x = 2 ) = 20,84%

= 2, 3, 4, 5

]

(0,2)5 + (15 ) (0,8)1 (0,2)4 ]

= 1 − [ 0,00032 + 0,0064] = 1 − 0,00672 = 99,33% P( x ≥ 2 ) = 99,33%

52. Solución: 64% = menores de 65

36% mas de 65 años

Quince o más tengan más de 65 años P( x ≥15 ) =

( ) (0,36)

15

18 15

(0,64)3 + (1816 ) (0,36)16 (0,64)2

+

( ) (0,36) 18 17

17

(0,64)1 +

( ) (0,36) 18 18

18

(0,64)0 =

= 0,000047 + 0,0000049 + 0 + 0 = 0,0000519 = 0,00519 %

P( x ≥15 ) = 0,00519 %

53. Solución: 30% se retiran

n = 12

70% siguen

a) Por lo menos 9 sigan P( x ≥ 9 ) =

( ) (0,7) 12 9

9

(0,3)3 + (1210 ) (0,7 )10 (0,3)2 + (1211 ) (0,7 )11 (0,3)1 + (1212 ) (0,7)12 (0,3)0

= 0,2397 + 0,1678 + 0,0712 + 0,0138 = 0,4925 = 49,25%

P( x ≥ 9 ) = 49,25%

28


b) Como mínimo tres se retiren P( x ≥ 3) = 1 −

[( ) (0,3)

0

12 0

X


= 3, 4, ........ ....12

(0,7 )12 + (121 ) (0,3)1 (0,7 )11 + (122 ) (0,3)2 (0,7 )10 ]

= 1 − [0,0138 + 0,0712 + 0,1678] = 1 − 0,2528 = 74,72% P( x ≥ 3 ) = 74,72%

54. Solución: 1 = 0,10 éxitos 10

0,90 nada de éxitos

x = 2,3,4,5,6

Por lo menos 2 sean éxitos financieros

[

P( x ≥ 2 ) = 1 − P( x = 0 ) + P( x =1) =1−

[( ) (0,1) 6 0

0

n=6

]

(0,9)6

+

( ) (0,1)

1

6 1

(0,9)5 ]

= 1 − [0,5314 + 0,3543] = 1 − 0,8857 = 11,43% P( x ≥ 2 ) =11,43%

55. Solución: 5 = 0,20 Técnicos 25

a) Por lo menos 1 sea técnico P( x ≥1) = 1 − P( x = 0 ) = 1 −

n=4

0,80 No técnicos X

( ) (0,2) 4 0

0

= 1, 2 , 3, 4

(0,8)4 = 1 − 0,4096 = 59,04%

b) Por lo menos 2 no sean técnicos

X

P( x≥ 1) = 59,04%

= 2 , 3, 4

29


[

P( x≥ 2 ) = 1 − P( x =0 ) + P( x =1) =1−

[( ) (0,8)

0

4 0


] P( x ≥ 2 ) = 97,28%

(0,2)4 + (14 ) (0,8)1 (0,2)3 ]

= 1 − [0,0016 + 0,0256] = 1 − 0,0272 = 97,28%

DISTRIBUCIÓN DE POISSON


q = 0,90

n =10

X

=2

a) Distribución binomial P( x = 2 ) = C210 (0,1) (0,9) = 45 (0,01) (0,4305) = 0,1937 = 19,37% 2

8

P( x = 2 ) = 19,37%

b) Distribución Poisson p=

λx e −λ

X

X!

P( x = 2 ) =

=2

λ = n p = 10 (0,1) = 1

12 e −1 (1) (0,36788) = = 0,18394 = 18,39% 2! 2

P( x = 2 ) = 18,39%

57. Solución: λ = np

p = 0,001

a) P( x = 3) = b)

λx e − λ

P( x >2 ) = ?;

x!

=

q = 0,999

λ = 2.000 (0,001) = 2

23 e −2 8 (0,13534) = = 0,18045 = 18,04% 3! 6 X

n = 2.000 P(x =3) = 18,04%

= 3, 4, 5, .......... .......... .......... ..2.000

 20 (0,13534) 21 (0,13534) 2 2 (0,13534)  P( x > 2 ) = 1 −  + +  0! 1! 2!  

30



P( x ≥ 3) = 1 − (0,13534 + 0,27068 + 0,27068) =

= 1 − 0,67670 = 0,3233 = 32,33%

P( x ≥ 3 ) = 32,33%


q = 0,97

λ = 0,03 (100) = 3

n = 100

λ=np

a) P( x = 0 ) =

30 e −3 1 (0,04979) = = 0,04979 = 4,98% 0! 1

P( x = 0 ) = 4,98%

b) P( x =1) =

31 (0,04979) = 0,14937 = 14,94% 1!

P(x =1) = 14,94%

c) P( x = 2 ) =

32 (0,04979) = 0,22404 = 22,40% 2!

P( x = 2 ) = 22,40%

d) P( x = 3) =

33 (0,04979) = 0,22404 = 22,40% 3!

P( x = 3 ) = 22,40%

e) P( x = 4 ) =

34 (0,04979) = 0,16803 = 16,80% 4!

P( x = 4 ) = 16,80%

P( x = 5 ) =

35 (0,04979) = 0,10082 = 10,08% 5!

P( x = 5 ) = 10,08%

f)

59. Solución: p = 0,00003

λ = 0,00003 (200.000) = 6

n = 200.000

a) P( x = 0 ) =

6 0 e −6 1 (0,002479) = = 0,002479 = 0,25% 0! 1

P( x = 0 ) = 0,25%

b) P( x = 2 ) =

6 2 (0,002479) = 0,044622 = 4,46% 2!

P( x = 2 ) = 4,46%

31


c) P( x = 6 ) = =

d) P( x = 8 ) = =

e)

X


66 (0,002479) 46.656 (0,002479) = = 6! 720 115,66 = 0,1606 = 16,06% 720

P( x = 6 ) = 16,06%

68 (0,002479) 1.679.616 (0,002479) = = 8! 40.320 4.163,76 = 0,10326 = 10,33% 40.320

P( x = 8 ) = 10,33%

= 4, 5 , 6, 7, 8

P(4 ≤ x ≤ 8 ) =

6 4 (0,002479) 65 (0,002479) 66 (0,002479) 67 (0,002479) 68 (0,002479) + + + + 4! 5! 6! 7! 8!

P(4 ≤ x ≤ 8 ) =

1.296 (0,002479) 7.776 (0,002479) 46.656 (0,002479) + + + 24 120 720 +

P(4 ≤ x ≤ 8 ) =

29.936 (0,002479) 1.679.616 (0,002479) + = 5.040 40.320

3,21 19,28 115,66 693,96 4.163,79 + + + + = 24 120 720 5.040 40.320

P(4 ≤ x ≤ 8 ) = 0,1338 + 0,1606 + 0,1606 + 0,1377 + 0,1033 = P(4 ≤ x ≤ 8 ) = 0,6960 = 69,60%

f)

P( x ≤ 2 ) =

P(4 ≤ x ≤ 8 ) = 69,60%

60 (0,002479) 61 (0,002479) 6 2 (0,002479) + + = 0! 1! 2!

P( x ≤ 2 ) = 0,002479 + 0,014874 + 0,044622 = P( x ≤ 2 ) = 0,061975 = 6,20%

P( x ≤ 2 ) = 6,20%

60. Solución:

32


λ = (0,0066) (1.500) = 9,9

p = 1 = 0,0066 150

a)

X


n = 1.500

=3

P( x = 3 ) =

9,93 e −9,9 970,29 (0,00005) 0,04851 = = = 0,008085 = 0,81% 3! 6 6

P( x = 3 ) = 0,81%

Con calculadora programable el resultado es = 0,0081141 = 0,81% b)

X

= 4, 5, 6, 7 .......... ....1.500

 9,90 e −9,9 9,91 e −9,9 9,9 2 e −9,9 9,93 e −9,9  P( x ≥ 4 ) = 1 −  + + + 0! 1! 2! 3!   1 (0,00005) 9,9 (0,00005) 98,0 (0,00005)  P( x ≥ 4 ) = 1 −  + + + 0,008085 1 1 2   P( x ≥ 4 ) = 1 − [0,00005 + 0,00049 + 0,00245 + 0,00808] P( x ≥ 4 ) = 1 − [0,01107] = 0,98893 = 98,89%

P( x ≥ 4 ) = 98,89%

NOTA: ¿Menos de 5 vuelos se retrazaran más de una hora? c) P( x ≤ 4 ) =

9,90 e −9,9 9,91 e −9,9 9,9 2 e −9,9 9,93 e −9,9 9,9 4 e −9,9 + + + + 0! 1! 2! 3! 4!

P( x ≤ 4 ) = 0,00005 + 0,00049 + 0,00245 + 0,00808 +

0,480298 24

P( x ≤ 4 ) = 0,00005 + 0,00049 + 0,00245 + 0,00808 + 0,02001 = P( x ≤ 4 ) = 0,03108 = 3,11%

P( x ≤ 4 ) = 3,11%

61. Solución: p = 0,0001

n = 10.000

λ = 0,0001 (10.000) = 1

X

=5

33


P( x =5 ) =


15 e −1 1 (0,36788) = = 0,003065 = 0,31% 5! 120

P( x =5 ) = 0,31%

62. Solución: p = 0,001

q = 0,999

a) P( x = 3) = ?

P( x = 3 ) =

P=

λ = 0,001 (2.000) = 2

λx e − x X!

23 e −2 8 (0,13534) 1,0872 = = = 0,18045 =18,04% 3! 6 6

b) P( x ≥ 3) = ?

X

n = 2.000

= 3, 4, 5, 6, .......... ...2.000

P( x = 3 ) = 18,04%

También se puede plantear así:

 20 e −2 21 e −2 2 2 e −2  P( x ≥ 3) = 1 −  + + 1! 2!   0! 1 (0,13534) 2 (0,13534) 4 (0,13534)  P( x ≥ 3) = 1 −  + +  1 1 2 

P( x≥3) = 1 − [0,13534 + 0,27067 + 0,27067] = P( x ≥3) = 1 − 0,6767 = 0,3233 = 32,33%

P( x ≥ 3) = 32,33%

63. Solución: a) P( x = 0 ) =

0,720 (0,4868) = 0,4868 = 48,68% 0!

P( x = 0 ) = 48,68%

b) P( x =1) =

0,721 (0,4868) = 0,35049 = 35,05% 1!

P( x =1) = 35,05%

c) P( x = 2 ) =

0,72 2 (0,4868) 0,5184 (0,4868) = = 2! 2

P( x =2 ) = 0,2592 (0,4868) = 0,126178 = 12,62%

P( x = 2 ) = 12,62%

34


d) P( x =3 ) =


0,72 3 (0,4868) 0,3732 (0,4868) = = 3! 6 0,181673 = 0,030278 = 3,03% 6

P( x =3) =

P( x = 3) = 3,03%

64. Solución: λ = np = 2,5

P=

λx e −λ X!

a) P( x = 0 ) =

2,50 e −2,5 1 (0,08208) = = 0,08208 = 8,21% 0! 1

P( x = 0 ) = 8,21%

b) P( x =1) =

2,51 e −2,5 2,5 (0,08208) = = 0,2052 = 20,52% 1! 1

P( x =1) = 20,52%

c) P( x = 2 ) =

2,52 e −2,5 2,52 (0,08208) = = 0,2565 = 25,65% 2! 2

P( x = 2 ) = 25,65%

d) P( x = 3) =

2,53 e −2,5 2,53 (0,08208) = = 0,2137 = 21,37% 3! 6

P( x = 3) = 21,37%

65. Solución: p=

2 = 0,0004 5.000

λ = np = 1.000 (0,0004) = 0,4

Por lo menos 2 tengan problemas

X

= 2,3, .................. 1.000

35


[

P( x ≥ 2 ) = 1 − P( x = 0 ) + P( x = 1)


]

 0,40 e − 0, 4 0,41 e − 0, 4  = 1−  + 0! 1!   = 1 − [0,6703 + 0,2681] = 1 − 0,9384 = 0,0616 = 6,16% P( x ≥ 2 ) = 6,16%

66. Solución: p=

1 = 0,0005 2.000

a) Más de 3 se incendien

λ = 6.000 (0,0005) = 3 X

= 4 ,5,6, 7, ..............

[

P( x ≥ 4 ) = 1 − P( x = 0 ) + P( x = 1) + P( x = 2 ) + P( x = 3)

]

 30 e − 3 31 e − 3 32 e − 3 33 e − 3  = 1−  + + + 1! 2! 3!   0! = 1 − [0,0498 + 0,1494 + 0,2240 + 0,2240] = 1 − 0,6472 = 0,3528 = 35,28% P( x ≥ 4 ) = 35,28%

b) P( x = 2 ) =

32 e −3 = 0,2240 = 22,40 % 2!

P( x = 2 ) = 22,40%

67. Solución: λ=2

a) No más de 3 atracos

36



P( x ≤ 3) = P( x = 0 ) + P( x =1) + P( x = 2 ) + P( x = 3) =

20 e − 2 21 e − 2 2 2 e − 2 23 e − 2 + + + 0! 1! 2! 3!

= 0,1353 + 0,2707 + 0,2707 + 0,1804 = 0,8571 = 85,71% P( x≤ 3 ) = 85,71%

b) A lo más 2 atracos P( x≤ 2 ) = P( x =0 ) + P( x =1) + P( x = 2 ) =

2 0 e −2 21 e − 2 2 2 e −2 + + 0! 1! 2!

= 0,1353 + 0,2707 + 0,2707 = 0,6767 = 67,67%

P( x≤ 2 ) = 67,67%

68. Solución: p = 0,01% = 0,0001

λ = 10.000 (0,0001) = 1

Máximo 3 se accidentan P( x ≤3) = P( x =0 ) + P( x =1) + P( x = 2 ) + P( x =3) =

10 e −1 11 e −1 12 e −1 13 e −1 + + + 0! 1! 2! 3!

= 0,3679 + 0,3679 + 0,1839 + 0,0613 = 0,9810 = 98,10%

P( x ≤ 3) = 98,10%

69. Solución: p = 0,24% = 0,0024

λ = 1.500 (0,0024) = 3,6

37



a) Dos o menos defectuosos P( x≤ 2 ) = P( x =0 ) + P( x =1) + P( x = 2 ) =

3,6 0 e −3, 6 3,61 e −3, 6 3,6 2 e −3, 6 + + 0! 1! 2!

= 0,0273 + 0,0984 + 0,1771 = 0,3028 = 30,28%

P( x≤ 2 ) = 30,28%

b) Más de 2 defectuosos

[

P( x ≥3) = 1 − P( x =0 ) + P( x =1) + P( x = 2 )

]

 3,6 0 e −3, 6 3,61 e −3, 6 3,6 2 e −3, 6  =1−  + +  0! 1! 2!  

= 1 − [0,0273 + 0,0984 + 0,1771 ] = 1 − 0,3028 = 0,6972 = 69,72% P( x ≥ 3) = 69,72%

70. Solución: λ = 10 en un semestre

⇒

λ = 5 en un trimestre

P( x ≤ 2 ) = P( x = 0 ) + P( x =1) + P( x = 2 ) =

50 e − 5 51 e − 5 52 e − 5 + + 0! 1! 2!

= 0,0067 + 0,0337 + 0,0842 = 0,1246 = 12,46% P( x ≤ 2 ) = 12,46%

71. Solución:

38



λ=3

a) Ninguna demanda P( x =0) =

X

=0

30 e−3 = 0,0498 = 4,98% 0!

b) Por lo menos 2 demandas

[

P( x ≥ 2 ) = 1 − P( x = 0 ) + P( x =1)

P( x = 0 ) = 4,98%

X

= 2, 3, 4, 5, ..........

]

 30 e − 3 31 e − 3  =1−  + 1!   0! = 1 − [0,0498 + 0,1494] = 1 − 0,1992 = 0,8008 = 80,08% P( x ≥ 2 ) = 80,08%

72. Solución: λ = 800 (0,0005) = 0,4

p = 0,0005

a) Mínimo 3 equivocaciones

[

P( x ≥ 3) = 1 − P( x = 0 ) + P( x =1) + P( x = 2 )

X

= 3, 4, 5, 6..........

]

= 1 − [0,6703 + 0,2681 + 0,0536] = 1 − 0,9920 = 0,0080 = 0,80% P( x > 2 ) = 0,80%

b) Máximo 2 equivocaciones P( x ≤ 2 ) = P( x = 0 ) + P( x =1) + P( x = 2 ) = 99,20%

X

= 0,1,2 P( x ≤ 2 ) = 99,20%

(Ver ejercicio anterior)

39



73. Solución: λ = 500 (0,003) = 1,5

3 = 0,003 1.000

a) Más de 2 mueran

X

[

= 3, 4, 5, ...

P( x ≥ 3) = 1 − P( x = 0 ) + P( x =1) + P( x = 2 )

]

1,50 e −1,5 1,51 e −1,5 1,52 e −1,5  =1−  + + 1! 2!   0! = 1 − [0,2231 + 0,3347 + 0,2510] = 1 − 0,8088 = 19,12% P( x ≥ 3 ) = 19,12%

b) Como máximo dos mueran

X

= 0,1, 2

P( x ≤ 2 ) = P( x = 0 ) + P( x =1) + P( x = 2 ) = 0,8088 = 80,88%

P( x ≤ 2 ) = 80,88%

74. Solución: λ = 12 por hora

λ = 2 en diez minutos

a) Por lo menos 2 se acerquen

X

= 2, 3, 4....

40


[

P( x≥ 2 ) = 1 − P( x =0 ) + P( x =1)


]

 2 0 e −2 21 e − 2  =1−  +  = 1 − [0,1353 + 0,2707] = 1 − 0,4060 = 1!   0! = 0,5940 = 59,40% P( x ≥ 2 ) = 59,40%

b) No más de dos se acerquen al especialista P( x ≤ 2 ) = P( x = 0 ) + P( x =1) + P( x = 2 ) =

20 e − 2 21 e − 2 2 2 e − 2 + + 0! 1! 2!

= 0,1353 + 0,2707 + 0,2707 = 0,6767 = 67,67% P( x ≤ 2 ) = 67,67%

75. Solución: 1 = 0,0001 10.000

λ = 30.000 (0,0001) = 3

a) Por lo menos uno sufra reacción

X

= 1, 2, 3, 4,....

 30 e −3   = 1 − 0,0498 = 0,9502 = 95,02% P( x ≥1) = 1 − P( x = 0 ) = 1 −   0! 

b) Más de una sufra reacción

X

P( x ≥1) = 95,02%

= 2, 3, 4,....

41


[

P( x ≥ 2 ) = 1 − P( x = 0 ) + P( x =1)


]

 30 e − 3 31 e − 3  =1−  + 1!   0! = 1 − [0,0498 + 0,1494] = 1 − 0,1992 = 0,8008 = 80,08% P( x ≥ 2 ) = 80,08%

76. Solución: λ = 20 llamadas cada 2 minutos

a) Exactamente 4 llamadas en 30 segundos P( x = 4 ) =

λ =5

54 e −5 = 0,1755 = 17,55% 4!

b) Como máximo dos en 15 segundos

P( x = 4 ) = 17,55%

λ = 2,5

X

= 0, 1, 2

P( x ≤ 2 ) = P( x = 0 ) + P( x =1) + P( x = 2 ) =

2,50 e − 2,5 2,51 e − 2,5 2,52 e − 2,5 + + 0! 1! 2!

= 0,0821 + 0,2052 + 0,2565 = 0,5438 = 54,38 % P( x ≤ 2 ) = 54,38%

77. Solución: λ = 6,8 clientes por hora

a) Por lo menos uno en la primera media hora

X

= 1, 2, 3, 4....

42



P( x ≥1) = 1 − P( x =0 )  3,4 0 e −3, 4  =1−    0!  = 1 − 0,0334 = 0,9667 = 96,67% P( x ≥1) = 96,67%

λ = 1,7

b) Ninguno en el primer cuarto de hora

X

=0

1,7 0 e −1, 7 = 0,1827 = 18,27% 0! P( x = 0 ) = 18,27%

P( x = 0 ) =

c) Más de uno, en cualquier hora

[

P( x ≥ 2 ) = 1 − P( x = 0 ) + P( x =1)

λ = 6,8

X

= 2, 3, 4....

]

 6,80 e − 6,8 6,81 e − 6,8  =1−  +  1!  0!  = 1 − [0,0011 + 0,0076] = 1 − 0,0087 = 0,9913 = 99,13% P( x ≥ 2 ) = 99,13%

78. Solución: λ = 9 en 30 minutos

a) Por lo menos 4 en la primera media hora

X

= 4, 5, 6....

43


[

P( x ≥ 4 ) = 1 − P( x = 0 ) + P( x =1) + P( x = 2 ) + P( x = 3)


]

 90 e − 9 91 e − 9 92 e −9 93 e − 9  =1−  + + + 1! 2! 3!   0! = 1 − [0,0001 + 0,0011 + 0,0050 + 0,0150] = 1 − 0,0212 = 0,9788 = 97,88% P( x ≥ 4 ) = 97,88%

b) Ninguno en los 10 primeros minutos P( x = 0 ) =

X

=0

λ=3

30 e −3 = 0,0498 = 4,98 % 0!

P( x = 0 ) = 4,98%

79. Solución: λ = 5,7 año

a) Ninguno en los 4 meses P( x = 0 ) =

λ = 5,7 3

X

=0

1,90 e −1,9 = 0,1496 = 14,96% 0!

b) Por lo menos 1 en el semestre P( x ≥1) = 1 − P( x = 0 ) = 1 −

λ = 2,85

P( x = 0 ) = 14,96% X

2,850 e −2,85 = 1 − 0,0578 = 94,22% 0!

= 1, 2, 3, 4, ... P( x ≥1) = 94,22%

44



HIPERGEOMETRICA

80. Solución: a) N =15

A=6

P( x = 2 ) =

n=5

=2

( )( ) = 0,4196 = 41,96% ( ) 6 2

b) N =15

15 − 6 5− 2 15 5

A=9

P( x = 2 ) =

X

n=5

P( x = 2 ) = 41,96%

X

=2

( )( ) = 0,2398 = 23,98% ( ) 9 2

15 − 9 5− 2 15 5

P( x = 2 ) = 23,98%

81. Solución: N =12 P( x = 0 ) =

A=4

n=3

X

=0

( )( ) = 0,2545 = 25,45% ( ) 4 0

12 − 4 3− 0 12 3

P( x = 0 ) = 25,45%

82. Solución: N =15

A = 10

a) A dos les guste

X

P( x = 2 ) =

=2

( )( ) = 0,1499 = 14,99% ( ) 10 2

15 −10 5− 2 15 5

b) A dos no les guste N =15 P( x = 2

n=5

A=5

( )( ) = 0,3996 = 39,96% ) = ( ) 5 2

15 − 5 5− 2 15 5

P( x = 2 ) = 14,99% n=5

X

=2 P( x = 2 ) = 39,96%

45



83. Solución: N = 25 P( x = 2 ) =

A=6

n=4

X

=2

( )( ) = 0,2028 = 20,28% ( ) 6 2

25 − 6 4−2 25 4

P( x = 2 ) = 20,88%

(dos que no requieren ser ajustadas)

84. Solución: N = 40

A = 35

 P( x ≥1) = 1 − P( x =0 ) = 1 −  

n=5

X

= 1, 2, 3, 4, ....

( )( ) = 1 − 0,0000015 ( )  35 0

40−35 5−0 40 5

= 0,99999 ≅ 1 = 100% (por lo menos uno es economista)

P( x ≥1) = 100%

46


Cap.7 Distribuciones muestrales

Capítulo 7 Distribuciones muestrales EJERCICIOS RESUELTOS DISTRIBUCIONES DE MEDIAS MUESTRALES 1. Solución: µ = 72,1

Z =

σ = 3,1

x −µ

σ

n

=

n = 90

P( x < 71,7) = ?

71,7 − 72,1 − 0,4 ( 9,49) = = −1,22 3,1 3,1 90

Z = −1,22 → A(0,3888) P = 0,5000 − 0,3888 = 0,1112 =11,12%

P( x

< 71,7 )

= 11,12%



2. Solución µ = 659.320

Z =

σ = 18.000

n = 400

P( x > 660.000) = ?

660.000 − 659.320 680 ( 20) = = 0,76 18.000 18.000 400

Z = 0,76 → A( 0,2764) P = 0,5000 − 0,2764 = 0,2236

P( x

> 660.000 )

= 22,36%

3. Solución: µ = 864.500

Z =

σ = 15.000

n = 25

P( x < 857.500) = ?

857.500 − 864.500 − 7.00 0 ( 5) − 35.000 = = = − 2,33 15.000 15.000 15.000 25

Z = − 2.33 → A ( 0,4901) P = 0,5000 − 0,4901 = 0,0099

P( x

< 857.500 )

= 0,99%

2



4. Solución: µ = 167,42

Z =

σ = 2,58

n = 25

P( x ≥ 168) = ?

168 − 167,42 0,58 ( 5) 2,90 = = = 1,12 2,58 2,58 2,58 25

Z = 1,12 → A ( 0,3686) P = 0,5000 − 0,3686 = 0,1314

P( x

≥ 168)

= 13,14%

5. Solución: n1 = 36 2 σ σ = 3 n1 n

2 3

σ  = σ   6 n

σ = σ 9

n

n =9

n =81

6. Solución: K

σ = σ n1

n2

K

n1 =

K 2 n2 = n1

n2

7. Solución: µ = 23.000

P( x < 22.500 ) = 0,09

n = 25

σ =?

A ( 0,4100) → Z = −1,34 −1,34 σ = ( 22.500 − 23.000 )

σ =

( − 500) (5) −1,34

25

= 1.865,67

3



σ =1.865,67

8. Solución: 500

∑ xi

i =1

µ=

=

n ( n + 1) 500( 501) = = 125.250 2 2

Σ xi = 125.250 = 250,5 N 500

(Ver propiedades de la sumatoria) 500

∑ X i2 =

i =1

σ2 =

n ( n + 1) ( 2n + 1) 500( 501) (1.000 + 1) = = 41.791.750 6 6

Σ X i2 − µ 2 = 41.791.750 − 250,5 2 = 20.833,25 N 500

σ = 20.833,25 = 144,34

x = P( x

Σ xi 3.000 = = 187,50 n 16

> 187,50 )

Z =

=?

x −µ

σ

n

=

187,5 − 250,5 − 63,0 ( 4 ) = = −1,75 144,34 144,34 16

Z = −1,75 → A ( 0,4599 ) P = 0,5000 + 0,4599 = 0,9599

P( x

≥ 187 , 50 )

= 95,99%

OJO HACER CORRECCION EN LA GRÁFICA EN VEZ DE 251 ESCRIBIR 250,5

4



9. Solución: x =

Z =

5.700 = 70.37 81

70,37 − 68 2,37 ( 9) 21,33 = = = 6,09 3,5 3,5 3,5 81

Z = 6,09 → A ( 0,5000) (Muy pequeña la probabilidad, ya que tiende a cero )

P

( x >70,37 )

=0

10. Solución: µ = 170

Z =

σ = 18

n = 81

P ( x >175) = ?

175 − 170 5 ( 9) 45 = = = 2,5 18 18 18 81

Z = 2,5 → A ( 0,4938)

P ( x >175) = 0,62%

P = 0,5000 − 0,4938 = 0,0062

11. Solución: µ = 5,02

Z =

σ = 0,30

x −µ

σ

n

=

n = 100

P ( x > 5,10) = ?

5,10 − 5,02 = 2,67 0,30 100

Z = 2,67 → A ( 0,4962) P = 0,5000 − 0,4962 = 0,0038

P ( x >5,10 ) = 0,38%

5



12. Solución:

σ = 3 = 0,75

µ =6

n =9

4

Si 6,5 < x < 5,5 Se suspende el proceso Si 5,5 < x < 6,5 Se deja tal y como está a) Siendo µ = 6

¿Cuál es la probabilidad de detener el proceso?

Z =

6,5 − 6 0,5 ( 3) 1,5 = = =2 0,75 0,75 0,75 3

Z =

5,5 − 6 − 0,5 ( 3) −1,5 = = = −2 0,75 0,75 0,75 3

Z = 2 → A ( 0,4772) ;

Z = −2 → A ( 0,4772)

0,4772 + 0,4772 = 0,9544;

ó

A ( 0,4773)

P =1 − 0,9544 = 0,0456 = 4,56%

P( 6,5 ≤ x

≤ 5,5)

= 4,56%

b) Siendo µ = 6,18

¿Cuál es la probabilidad de detener el proceso?

Z =

6,5 − 6,18 0,32 ( 3) 0,96 = = = 1,28 0,75 0,75 0,75 3

Z =

5,5 − 6,18 − 0,68 ( 3) − 2,04 = = = − 2,72 0,75 0,75 0,75 3

Z =1,28 → A (0,3997) ; Z = −2,72 → A ( 0,4967) P = 0,3997 + 0,4967 = 0,8964

6



P =1 − 0,8964 = 0,1036 = 10,36%

P( 6,5 ≤ x

≤ 5,5)

= 10,36%

c) Siendo µ = 6,4 ¿Cuál es la probabilidad de continuar el proceso?

Z =

6,5 − 6,4 0,1( 3) 0,3 = = = 0,40 0,75 0,75 0,75 3

Z =

5,5 − 6,4 − 0,9 ( 3) − 2,7 = = = − 3,60 0,75 0,75 0,75 3

Z = 0,40 → A (0,1554) ; Z = −3,60 → A ( 0,4998) P = 0,1554 + 0,4998 = 0,6552 = 65,52%

P( 5,5 ≤ x

≤ 6,5)

= 65,52%

d) Siendo µ = 5,8

¿Cuál es la probabilidad de continuar el proceso?

Z =

6,5 − 5,8 0,7 ( 3) 2,1 = = = 2,80 0,75 0,75 0,75 3

Z =

5,5 − 5,8 − 0,3 ( 3) − 0,9 = = = −1,20 0,75 0,75 0,75 3

Z = 2,80 → A ( 0,4974) ; Z = −1,20 → A ( 0,3849) P = 0,4974 + 0,3849 = 0,8823 = 88,23%

P( 5,5 ≤ x

≤ 6,5)

= 88,23%

7




Z =

Z =

σ = 0,01

n=4

P ( 0,49 < x < 0,51) = ?

0,49 − 0,50 − 0,01 ( 2) = = −2 0,01 0,01 4 0,51 − 0,50 0,01 ( 2) = = 2 0,01 0,01 4

Z = 2 → A ( 0,4772) ; Z = − 2 → A ( 0,4772 ) ó A ( 0,4773)

P ( 0,49 < x < 0,51) = 95,44%

P = 0,4772 + 0,4772 = 0,9544


Z =

σ = 10

x −µ

σ

n

=

x = 115

n = 25

P ( x ≤ 115) = ?

115 − 120 − 5 ( 5) = = − 2,5 10 10 25

Z = − 2,5 → A ( 0,4938) P = 0,5000 − 0,4938 = 0,0062

P ( x ≤115 ) = 0,62%

15. Solución: µ−x =4

µ − x = −4

σ =?

n = 10

P ( x −µ >

4

) = 0,02

A ( 0,4900) → Z = 2,33

8


4 σ 10

2,33 =

σ=

⇒


2,33 σ = 4 (3,16)

4 ( 3,16) = 5,42 2,33

σ = 5,42


σ = 70

n = 36

P ( 870 < x < 925) = ?

Z =

870 − 900 − 30 ( 6 ) = = − 2,57 70 70 36

Z =

925 − 900 25 ( 6 ) = = 2,14 70 70 36

Z = − 2,57 → A ( 0,4949) ; Z = 2,14 → A ( 0,4838)

P ( 870 < x < 925) = 97,87%

P = 0,4949 + 0,4838 = 0,9787

17. Solución: µ = 32.900

Z =

x −µ

σ

n

σ = 1.500

=

n = 100

P ( x > 33.259 ,3 ) = ?

33.259,3 − 32.900 359,3 (10 ) 3.593 = = = 2,40 1.500 1.500 1.500 100

9



Z =2,40 → A ( 0,4918) P = 0,5000 − 0,4918 = 0,0082

P

( x >33.259 , 3 )

= 0,82%

E =np =50 (0,0082 ) =1 Aproximadamente un restaurante

E =1

18. Solución:

Z =

612,24 − 580 32,24 ( 7) = 80 80 49

= 2,82

Z = 2,82 → A ( 0,4976) P = 0,5000 − 0,4976 = 0,0024

P (x

> 612,24)

= 0,24%


Z =

σ =1

x −µ

σ

=

n

n = 36

P ( x > 3,7 ) = ?

3,7 − 3,5 0,2 ( 6) = = 1,20 1 1 36

Z = 1,20 → A ( 0,3849) P = 0,5000 − 0,3849 = 0,1151 P ( x >3,7 ) = 11,51%

20. Solución: µ = 25.900

Z =

x −µ

σ

n

σ = 1800

=

n = 200

P ( x > 26.100) = ?

26.100 − 25.900 200 (14,14) 2828 = = = 1,57 1800 1800 1800 200

10



Z = 1,57 → A ( 0,4418) P = 0,5000 − 0,4418 = 0,0582

P ( x ≥ 26.100) = 5,82%

21. Solución:

µ = 68 Z =

σ = 15

x = 2.700 = 75 36

n = 36

P ( x > 75 ) = ?

75 − 68 6 ( 7) = = 2,8 15 15 36

Z = 2,8 → A ( 0,4974) P = 0,5000 − 0,4974 = 0,0026

P ( x 〉 75) = 0,26% 22. Solución: n = 36

a) µ = 59 Z =

x = 60

σ =3

ó más se acepta

x < 60

se rechaza

P ( x > 60) = ?

60 − 59 = 2 3 36

Z = 2 → A ( 0,4773) P = 0,5000 − 0,4773 = 0,0227

P ( x ≥ 60 ) = 2,27%

11


b) µ = 60,5 Z =

σ =3


P ( x < 60) = ?

60 − 60,5 = −1 3 36

Z = −1 → A ( 0,3413) P = 0,5000 − 0,3413 = 0,1587

P ( x < 60 ) =15,87%

23. Solución: µ = 520.000

Z =

n = 36

P (x

> 630.000 )

=?

σ = 222.960

630.000 − 520.000 = 2,96 222.960 36

Z = 2,96 → A ( 0,4985) P = 0,5000 − 0,4985 = 0,0015

P ( x ≥630.000) = 0,15%


σ 2 = 441 ⇒ σ = 21

n = 36

P ( x < 60 ) = ?

σ 2 = 441 puntaje 2

Z =

60 − 68 = − 2,29 21 36

Z = −2,29 → A ( 0,4890) P = 0,5000 − 0,4890 = 0,0110

P (x

< 60 )

= 1,1%

12



25. Solución: µ = 400.000

Z =

σ = 78.600

n = 25

P ( x > 440.000) = ?

440.000 − 400.000 = 2,54 78.600 25

Z = 2,54 ⇒ A ( 0,4945) P = 0,5000 − 0,4945 = 0,0055

P (x

≥ 440.000 )

= 0,55%


Z =

Z =

σ = 16

n = 16

P ( 50 < x < 70) = ?

70 − 58 = 3,00 ⇒ A ( 0,4987) 16 16 50 − 58 = − 2 ⇒ A ( 0,4773) 16 16

P = 0,4987 + 0,4773 = 0,9760

P ( 50 ≤ x

≤ 70)

= 97,60%

27. Solución: µ = 240.000

Z =

σ = 8.200

n = 25

P ( x < 237.000) = ?

237.000 − 240.000 = −1,83 ⇒ A ( 0,4664) 8.200 25

P = 0,5000 − 0,4664 = 0,0336

P (x

≤ 237.000 )

= 3,36%

13



28. Solución: µ = 1,03 libras

Z =

σ = 0,05

n = 28

P ( x > 1,02) = ?

1,02 − 1,03 = −1,06 ⇒ A ( 0,3554) 0,05 28

P = 0,5000 + 0,3554 = 0,8554

P (x

> 1,02 )

= 85,54%

29. Solución: µ = 226.000

Z =

σ = 93.800

n = 49

P ( x < 206.000) = ?

206.000 − 226.000 = −1,49 ⇒ A ( 0,4319) 93.800 49

P = 0,5000 − 0,4319 = 0,0681

P (x

< 206.000)

= 6,81%

30. Solución: µ = 417.500

Z =

σ = 17.000

n = 0,08( 500) = 40

P ( x > 420.000) = ?

420.000 − 417.500 = 0,93 ⇒ A ( 0,3238) 17.000 40

P = 0,5000 − 0,3238 = 0,1762

P (x

≥ 420.000)

= 17,62%

14



31. Solución: µ = 112.000

a) P ( x Z =

σ = 5.500

> 113.500 )

n = 36

=?

113.500 − 112.000 = 1,64 ⇒ A ( 0,4495) 5.500 36

P = 0,5000 − 0,4495 = 0,0505

P (x

> 113.500 )

= 5,05%

b) P (111.500 > x

Z =

> 113.200)

=?

111.500 − 112.000 = − 0,55 ⇒ A ( 0,2088) 5.500 36

Z =

113.200 − 112.000 = 1,31 ⇒ A ( 0,4049) 5.500 36

= 1 − [0,2088 + 0,4049] = 0,3863 P (111.500 ≥ x ≥ 113.700) = 38,63%


σ = 3,5

n = 36

P ( x < 15,3) = ?

15


Z =


15,3 − 16 = −1,2 ⇒ A ( 0,3849) 3,5 36

P = 0,5000 − 0,3849 = 0,1151

P (x

≤ 15,3)

= 11,51%


Z =

σ = 20

n = 36

P ( x > 75) = ?

75 − 70 = 1,5 ⇒ A ( 0,4332) 20 36

P = 0,5000 − 0,4332 = 0,0668

P (x

≥ 75)

= 6,68%


Z =

σ 2 = 2.500

σ = 50

n = 25

x=

8.200 = 328 25

P ( x > 328 ) = ?

328 − 300 = 2,8 ⇒ A ( 0,4974) 50 25

P = 0,5000 − 0,4974 = 0,0026

P (x

≥ 328)

= 0,26%

35. Solución: σ =5

n = 100

P (x

−µ > 1

) =?

16


1 = 2 5 100

Z =


−2

y

Z = 2 ⇒ A ( 0,4773) P = 0,5000 − 0,4773 = 0,0227

0,0227 ( 2) = 0,0454 = 4,54%

P (x

−µ> 1

) = 4,54%

P (x

−µ> 4

) = 2,50%

36. Solución: σ =8

n = 20

4 = 2,24 8 20

Z =

P (x

y

−µ > 4

) =?

− 2,24

Z = 2,24 ⇒ A ( 0,4875) = 1 − [0,4875 + 0,4875] = 0,0250 = 2,50%


Z =

σ 2 = 14.400

⇒

σ = 120

n = 144

P ( x ≤ 680) = ?

680 − 700 = − 2 ⇒ A ( 0,4773) 120 144

P = 0,5000 − 0,4773 = 0,0227 = 2,27%

P (x

≤ 680)

= 2,27%


σ = 2 meses y 5 días

σ = 2,17 meses

n = 36

P (x

< 7,5)

=?

17


x = 7 meses y 15 días

Z =


x = 7,5 meses

7,5 − 8,10 = −1,66 ⇒ A ( 0,4515) 2,17 36

P = 0,5000 − 0,4515 = 0,0485 = 4,85%

P ( x < 7 , 5 ) = 4,85%

DISTRIBUCIONES DE MEDIAS PROPORCIONALES 39. Solución: p = 65%

n = 100

a) P( p < 68% ) = ?

Z =

p−P = PQ n

0,68 − 0,65 = ( 0,65) ( 0,35) 100

0,03 = 0,2275 100

0,03 = 0,63 0,002275

Z = 0,63 → A ( 0,2357) P = 0,5000 + 0,2357 = 0,7357

18



P( p < 68% ) = 73,57%

b) P( 65,5% < p < 66,5%) = ? Z =

Z =

( ya que P(

p = 66 )

= 0)

p −P 0,665 − 0,65 0,015 = = = 0,31 0,0477 PQ 0,002275 n

p −P 0,655 − 0,65 0,005 = = = 0,11 0,0477 PQ 0,002275 n

Z = 0,31 → A ( 0,1217) ; Z = 0,11 → A ( 0,0438) P = 0,1217 − 0,0438 = 0,0779

P( 65,5% <

p < 66,5% )

= 7,79%

40. Solución: P = 0,01

Z =

n = 400

P( p > 0 , 02 ) = ?

p−P 0,02 − 0,01 = = 2,01 PQ 0,01 ( 0,99) n 400

Z = 2,01 → A ( 0,4778)

P( p > 0,02) = 2,22%

P = 0,5000 − 0,4778 = 0,0222

41. Solución:  1   para una mejor  2n 

Nota: En variables discretas se puede aplicar el factor de corrección  aproximación a la normal.

19


P = 0,04

n = 400

Fórmula general: Z =


P( p ≥ 0,05) = ?

Fórmula corregida:

p − 1  − P   2n  Z = PQ n

p −P PQ n

1 1 = = 0,00125 2 ( 400) 800

Z =

( 0,05 − 0,00125) − 0,04 = 0,00875 = 0,00875 = 0,90 0,0097 ( 0,04) ( 0,96) 0,000096 400

Z = 0,90 → A ( 0,3159) P = 0,5000 − 0,3159 = 0,1841

P( p

≥ 0,05)

= 18,41%


n = 400

P( p > 0 ,50 ) = ?

a) Sin corregir:

Z =

p −P = PQ n

0,50 − 0,46 0,040 = = 1,14 ( 0,46) ( 0,54) 0,0352 200

Z = 1,14 → A ( 0,3729)

20



P = 0,5000 − 0,3729 = 0,1271 P( p > 0 , 50 ) =12,71%

b) Corregido:

p − 1  − P   ( 0,50 − 0,0025) − 0,46 = 1,06 2n   Z = = PQ ( 0,46) ( 0,54) n 200 Z = 1,06 → A ( 0,3554) P = 0,5000 − 0,3554 = 0,1446 = 14,46%

P( p ≥ 0 , 50 ) =14,46%


Z =

n = 200

P( p ≥ 0, 20 ) = ?

0,20 − 0,17 = ( 0,17) ( 0,83) 200

0,03 = 1,13 0,000705

Z = 1,13 → A ( 0,3708) P = 0,5000 − 0,3708 = 0,1292

P( p ≥ 0, 20 ) = 12,92%

44. Solución:

21



a) Planteamiento mediante la Distribución binomial P( 80 ≤ x ≤ 120) = ?

n = 200

200 P = C80 ( 0,5)

80

p = 0,50

q = 0,50

200 ( 0,5)120 .............. + C120 ( 0,5)120 ( 0,5) 80

b) Distribución normal µ = np = 200 ( 0,5) = 100

P( 79,5 < x < 120,5) = ?

σ = npq = 200 (0,5) (0,5) = 50 = 7,07

Z =

Z =

X −µ

σ

=

79,5 − 100 −20,5 = = −2,9 7,07 7,07

X −µ 120,5 − 100 20,5 = = = 2,9 7,07 7,07 7,07

Z = −2,9 → A ( 0,4981) ; Z = 2,9 → A ( 0,4981)

P( 79,5 < x P( 79,5 ≤ x

< 120,5)

≤ 120,5)

= 0,4981 + 0,4981 = 0,9962 = 99,62%

= 99,62%

c) Distribución de proporciones (corregido) P = 0,50

P( 0,4 <

p < 0,6)

=?

n = 200

p − 1  − P   ( 0,4 − 0,0025) − 0,50 = − 0,1025 = − 2,90 2n  Z = = 0,03535 PQ ( 0,5) ( 0,5) n 200 p − 1  − P   ( 0,6 + 0,0025) − 0,5 = 0,1025 = 2,90 2n  Z = = 0,03535 PQ ( 0,5) ( 0,5) n 200

22



Z = −2,90 → A ( 0,4981) Z = 2,90 → A (0,4981) P = 0,4981 + 0,4981 = 0,9962

P( 0,40 < p

< 0,60 )

= 99,62%

d) Sin corrección:

Z =

Z =

p−P 0,4 − 0,5 = = PQ ( 0,5) ( 0,5) n 200

p −P = PQ n

0,6 − 0,5 = ( 0,5) ( 0,5) 200

− 0,10 = − 2,83 0,00125

0,10 = 2,83 0,00125

Z = 2,83 → A ( 0,4977) P = 0,4977 + 0,4977 = 0,9954

P( 0,4 ≤ p

≤ 0,6)

= 99,54%


Z =

Q = 0,75

0,22 − 0,25

0,22 ( 0,78) 36

p=

8 = 0,22 36

P( p < 0 , 22 ) = ?

= − 0,43 ⇒ A ( 0,1664 )

P = 0,5000 − 0,1664 = 0,3336

P( p < 0 , 22 ) = 33,36%

23



46. Solución:

P = 0,9

Z =

Z =

Q = 0,10

n = 40

P( p

− P > 0,08

) =?

0,98 − 0,90 = 1,69 y −1,69 0,9 ( 0,1) 40 0,08 = 1,69 y −1,69 0,9 ( 0,1) 40

Z = −1,69 ⇒ A ( 0,4545) = 1 − [ 0,4545 + 0,4545] = 0,091 = 9,1% P( p

− P > 0,08

) = 9,1%


Z =

n = 64

P( p > 0,95) = ?

0,95 − 0,9 = 1,33 ⇒ A ( 0,4082) 0,9 ( 0,10) 64

P = 0,5000 − 0,4082 = 0,0918

P( p

≥ 0,95)

= 9,18%

48. Solución:

24


P = 0,20

Z =

n = 100


P( p < 0,25) = ?

0,25 − 0,20 = 1,25 ⇒ A ( 0,3944) 0,2 ( 0,8) 100

P = 0,5000 + 0,3944 = 0,8944

P( p

≤ 0,25)

= 89,44%


Z =

n = 36

P( p > 50%) = ?

0,5 − 0,7 = − 2,62 ⇒ A ( 0,4956) 0,7 ( 0,3) 36

P = 0,5000 + 0,4956 = 0,9956

P( p

≥ 0,50 )

= 99,56%

50. Solución:

P = 0,07

Z =

n = 40

p=

6 = 0,15 40

P( p > 0,15) = ?

0,15 − 0,07 = 1,98 ⇒ A ( 0,4762) 0,07 ( 0,93) 40

25



P = 0,5000 − 0,4762 = 0,0238

P( p ≥ 0,15) = 2,38%

51. Solución:

P = 0,25

n = 150

p=

42 = 0,28 150

P( p > 0,28) = ?

0,28 − 0,25 = 0,85 ⇒ A ( 0,3023) 0,25 ( 0,75) 150

Z =

P = 0,5000 − 0,3023 = 0,1977

P( p

≥ 0,28)

= 19,77%

52. Solución: P=

Z =

1 3

n = 150

p=

40 = 0,27 150

P( p < 0,27) = ?

0,27 − 0,33 = −1,56 ⇒ A ( 0,4406) 0,33 ( 0,67) 150

P = 0,5000 − 0,4406 = 0,0594

P( p

≤ 0,27 )

= 5,94%

26




Z =

n = 200

p=

16 = 0,08 200

P( p < 0,08) = ?

0,08 − 0,10 = − 0,94 ⇒ A ( 0,3264) 0,10 ( 0,90) 200

P = 0,5000 − 0,3264 = 0,1736

P( p

≤ 0,08)

= 17,36%

54. Solución: NOTA: Por equivocación se resolvió pensando que la pregunta era del 56% que usen menos la corbata. Sin embargo, de acuerdo con el enunciado se puede resolver de dos (2) formas diferentes: (1) P = 0,70 ; n = 64 y P(p≤0,44). La otra forma sería: (2) P = 0,30 ; n = 64 y P(p≤0,56). Por lo tanto las gráficas son diferentes y los resultados deben ser iguales. Si se quiere modificar todo el desarrollo quedaría así:

P = 0,30

Z =

n = 64

P( p < 0 ,56 )

0,56 − 0,30 = − 4,543 aprox. ⇒ A ( 0,5000 ) 0,6 ( 0,7 ) 64

P( p ≤ 0 , 56 ) =100% aproximadamente

27


P = 0,70

Z =

n = 64


P( p < 0,56) = ?

0,56 − 0,70 = − 2,44 ⇒ A ( 0,4927) 0,7 ( 0,3) 64

P = 0,5000 − 0,4927 = 0,0073

P( p

≤ 0,56 )

= 0,73%

55. Solución: P = 74%

Z =

n = 36

P( p > 82%) = ?

0,82 − 0,74 = 1,09 ⇒ A ( 0,3621) 0,74( 0,26) 36

P = 0,5000 − 0,3621 = 0,1379

P( p ≥0,82 ) = 13,79%


0,76

n = 36

P( p < ? ) = 22,5 %

A ( 0,2750 ) ⇒ Z = 0,76

0,1 ( 0,9) = p − 0,10 36

p = 0,10 + 0,76

0,1 ( 0,9) 36

p = 0,10 + 0,038 = 0,138

p = 13,8%

57. Solución:

28


P = 0,65

Z =

n = 100


P( p > 0,68) = ?

0,68 − 0,65 = 0,63 ⇒ A ( 0,2357) 0,65 ( 0,35) 100

P = 0,5000 − 0,2357 = 0,2643

P( p ≥ 0 , 68 ) = 26,43%


Z =

n = 400

P( p > 0,20) = ?

0,20 − 0,15 = 2,80 ⇒ A ( 0,4974) 0,15 ( 0,85) 400

P = 0,5000 − 0,4974 = 0,0026

P( p ≥ 0,20) = 0,26%


Z =

n = 80

P( p > 0,20) = ?

0,20 − 0,15 = 1,25 ⇒ A ( 0,3944) 0,15 ( 0,85) 80

P = 0,5000 − 0,3944 = 0,1056

P( p

> 0,20 )

= 10,56%

60. Solución:

29


P = 0,55

Z =

n = 100

0,49 − 0,55

0,55 ( 0,45) 100


P( p < 49%) = ?

= −1,20 ⇒ A ( 0,3849 )

P = 0,5000 − 0,3849 = 0,1151

P( p

≤ 0,49 )

= 11,51%

Nota: Podría haberse tomado a p = 0,4999 < 0,5000 61. Solución: P = 0,40

Z =

n = 50

P( p > 0,25) = ?

0,25 − 0,40 = − 2,17 ⇒ A ( 0,4846) 0,4 ( 0,6) 50

P = 0,5000 + 0,4846 = 0,9846

P( p

≥ 0,25)

= 98,46%


Z =

n = 1.000

p=

680 = 0,68 1.000

p=

730 = 0,73 1.000

P( 0,68 <

p < 0,73)

=?

0,73 − 0,70 = 2,07 ⇒ A ( 0,4808) 0,70 ( 0,30) 1.000

30


Z =


0,68 − 0,70 = −1,38 ⇒ A ( 0,4162) 0,7 ( 0,3) 1.000

P = 0,4162 + 0,4808 = 0,8970

P( 0, 68 ≤

p ≤ 0 , 73 )

= 89,70%

63. Solución: P=

Z =

7 = 0,14 50

n = 100

p=

12 = 0,12 100

P( p < 0,12) = ?

0,12 − 0,14 = − 0,58 ⇒ A ( 0,2190) 0,14 ( 0,86) 100

P = 0,5000 − 0,2190 = 0,2810

P( p

≤ 0,12 )

= 28,10%


0,31 =

n = 36

p − 0,10 0,1 ( 0,9) 36

p = 0,10 + 0,31 p = 11,55 % ≅ 12%

P( p < ?) = 62%

⇒

0,31

A ( 0,1200) → Z = 0,31

0,1 ( 0,9) = p − 0,10 36

0,1 ( 0,9) = 0,10 + 0,0155 = 0,1155 36 p = 0,12 =12%

31



65. Solución:

P = 0,03

Z =

n = 300

15 = 0,05 300

p=

P( p > 0,05) = ?

0,05 − 0,03 = 2,03 ⇒ A ( 0,4788) 0,03 ( 0,97) 300

P = 0,5000 − 0,4788 = 0,0212

P( p

≥ 0,05)

= 2,12%


Z =

n = 200

p=

16 = 0,08 200

P( p > 0,08) = ?

0,08 − 0,10 = − 0,94 ⇒ A ( 0,3264) 0,10 ( 0,9) 200

P = 0,3264 + 0,5000 = 0,8264

P( p

≥ 0,08)

= 82,64%

67. Solución:

32


P = 80%

Z =

n = 49


P( 0, 7 > p > 0,90 ) = ?

0,90 − 0,80 = 1,75 y −1,75 0,8 ( 0,20) 49

Z = 1,75 ⇒ A (0,4599) = 1 − [ 0,4599 + 0,4599] = 1 − 0,9198 = 0,0802

P( 0,7

> p > 0,90)

= 8,02%

P( p − p > 0 ,101 ) = 8,02%

DISTRIBUCIÓN DE DIFERENCIAS ENTRE DOS MEDIAS MUESTRALES 68. Solución: µx = µy

Z =

Z =

µx − µy = 0

σ x = 6,4

σ y = 7,2

n1 = 64

n2 = 64

P( x

− y > 0,6

) =?

0,6 − 0 0,6 0,6 = = = 0,50 1,204 40,96 51,84 1,45 + 64 64 − 0,6 − 0 − 0,6 = = − 0,50 40,96 51,84 1,45 + 64 64

Z = 0,50 → A ( 0,1915) ; P = 0,1915 + 0,1915 = 0,3830 Z = −0,50 → A ( 0,1915) ; P =1 − 0,3830 = 0,6170 P = 0,3085 + 0,3085 = 0,6170 ) = 61,70%

ó

P( x

− y > 0,6

69. Solución:

33


µx = 20

Z =

µy = 25

σx = 6

0 − ( 20 − 25) = 30,25 36 + 10 9

σ y = 5,5

5 = 3,6 + 3,36


n1 = 10

n2 = 9

P( x

− y > 0)

=?

5 = 1,90 6,96

Z = 1,90 → A ( 0,4713) P = 0,5000 − 0,4713 = 0,0287

P( x

− y > 0)

= 2,87%

70. Solución: µx = 50

Z =

µy = 60

σ x = 15

0 − ( 50 − 60) = 225 324 + 25 20

σ y = 18

10 = 9 + 16,2

n1 = 25

n2 = 20

P( x

− y > 0)

=?

10 = 1,99 25,2

Z = 1,99 → A ( 0,4767) P = 0,5000 − 0,4767 = 0,0233

P( x

− y > 0)

= 2,33%

34



71. Solución: µ x = 4.000

Z =

µ y = 4.300

σ x = 980

300 − ( − 300 ) = 960.400 + 722.500 70 40

σ y = 850

n1 = 70

n 2 = 40

P( x

− y ≥ 300 )

=?

600 = 3,37 178,28

Z = 3,37 → A ( 0,4996 )

P( x − y > 300 ) = 0,04% (Se aproxima a cero)

72. Solución: µ x = 920.000

Z =

µ y = 925.000

σ x = 31.500

−12.510 − ( 920.000 − 925.000 ) 992.250.000 2.756.250.000 + 100 100

=

σ y = 52.500

− 7.510 37.485.000

n1 = 100

n 2 = 100

= −1,22

Z = −1,22 → A ( 0,3888) P = 0,5000 − 0,3888 = 0,1112

P( x

− y > −12.510 )

= 11,12%

73. Solución: 35

P( x

− y > −12.510 )

=


µx = 1.500

Z =

µy = 1.450

40 − (1.500 − 1.450 ) 90 2 100 2 + 100 100

σ x = 90

=


σ y = 100

n1 = 100

n2 = 100

P( x

− y > 40 )

−10 = −0,74 13,45

Z =−0,74 ⇒ A ( 0,2704 ) P = 0,5000 + 0,2704 = 0,7704

P( x

− y ≥ 40 )

= 77,04%

74. Solución: µx = 1.400

µy = 1.200

σ x = 200

σ x = 100

a) P( x

=?

− y > 160 )

Z =

σ x2 = 40.000

n1 = 125

σ y2 = 10.000

n2 = 125

160 − 200 − 40 = = −2 20 40.000 10.000 + 125 125

Z = − 2 ⇒ A ( 0,4773) P = 0,5000 + 0,4773 = 0,9773

b) P( x

− y > 250 )

Z =

P( x

− y ≥ 160)

= 97,73%

=?

250 − 200 50 = = 2,5 20 40.000 10.000 + 125 125

Z = 2,5 ⇒ A ( 0,4938)

36

=?



P = 0,5000 − 0,4938 = 0,0062

P( x

− y ≥ 250)

= 0,62%

75. Solución:

σ x = 40 minutos

σx = 0,67 hora

n1 = 28

n2 = 30

σy = 0,53 horas

0 − ( 2 − 1,67)

Z =

µy =1,67 hora

µy =1 hora con 40 minutos

µx = 2 horas

=

0,67 2 0,532 + 28 30

σy = 32 minutos

P( x

− y > 0)

=?

− 0,33 = − 2,08 0,159

Z = − 2,08 ⇒ A ( 0,4812) P = 0,5000 + 0,4812 = 0,9812

P( x

− y ≥ 0)

= 98,12%


a) P( x

Z =

µ y = 50 − y > 0,6 )

σy = 6

n1 = 100

n2 = 100

=?

0,6 − ( 51 − 50) 2

σx = 8

2

8 6 + 100 100

=

− 0,4 = − 0,4 ⇒ A ( 0,1554) 1,0

37



P = 0,5000 + 0,1554 = 0,6554

P( x

b) P( x Z =

− y > −0,6 )

− y ≥ 0,6)

= 65,54%

=?

−0,6 − 1 −1,6 = = −1,6 1,0 1,0

⇒ A ( 0,4452)

P = 0,5000 − 0,4452 = 0,0548

P( x

− y ≥ −0,6 )

= 5,48%

77. Solución: µ x = 38,6

Z =

µ y = 35,5

σ x = 13,8

− 2 − ( 38,6 − 35,5) 13,8 2 14,12 + 18 18

=

σ y = 14,1

n1 = 18

n 2 = 18

P( x

− y > −2 )

− 5,10 = −1,10 4,65

Z = −1,10 ⇒ A ( 0,3643) P = 0,5000 − 0,3643 = 0,1357

P( x

− y ≥ −2 )

= 13,57%

78. Solución: µx = 2 horas

σx =

Z =

30 = 0,5 horas 60

0 − ( 2 − 1,75) 0,50 2 0,332 + 30 30

µ y = 1 hora con 45 minutos

σy =

=

20 = 0,33 horas 60

⇒ µ y = 1,75 horas

n1 = n2 = 30

P( x − y < 0) = ?

− 0,25 = − 2,29 0,109

38

=?



Z = − 2,29 ⇒ A ( 0,4890) P = 0,5000 − 0,4890 = 0,011

P( x

− y < 0)

= 1,1%


Z =

µy = 30

σx = 6

σy = 4

n1 = 20

n2 = 20

P( x

P( x

− y < 0)

− y < 0)

=?

0 − ( 34 − 30) −4 = = − 2,48 ⇒ A ( 0,4934) 1 ,61 36 16 + 20 20

P = 0,5000 − 0,4934 = 0,0066

= 0,66%

80. Solución: µ x = 2.600

µ y = 2.400

σ x = 200

σ y = 180

n1 = 125

n 2 = 100

P( x

− y > 150

39

) =?


Z =

Z =

150 − 200 200 2 180 2 + 125 100

=

− 50 = − 1,97 25,38


⇒ A ( 0,4756)

−150 − 200 = −13,79 ⇒ A ( 0,5000 ) 25,38

P = 0,5000 + 0,4796 + 0 = 0,9796 P( x − y > 150 ) = 97,96%

81. Solución: µx = 25 gramos

Z =

µx − µy = 25 − 25 = 0

σx = 5 gramos = σy

n1 = 100

n2 = 100

2 − ( 0) 2 = = 2,82 y − 2,82 0 , 71 25 25 + 100 100

Z = 2,82 ⇒ A ( 0,4976) 1 − [ 0,4976 + 0,4976 ] = 0,0048 P( x

− y > 2

) = 0,48%

DISTRIBUCIÓN DE DIFERENCIAS ENTRE DOS PROPORCIONES 82. Solución: P1 = 0,25

P2 = 0,33

n1 = 150

n2 = 100

P( p1 −

p2 ≥ 0 )

=?

40

P( x

− y > 2

) =


Z =

0 − ( 0,25 − 0,33)

0,25 ( 0,75) 0,33 ( 0,67 ) + 150 100


= 1,36 ⇒ A ( 0,4131)

P = 0,5000 − 0,4131 = 0,0869

P( p1 −

p2 ≥ 0 )

= 8,69%

83. Solución: P1 = 0,17

Z =

P2 = 0,15

n1 = 200

n2 = 200

P( p1 −

p2 > 0,03

) =?

0,03 − ( 0,17 − 0,15) 0,01 = = 0,27 0,037 0,17 ( 0,83) 0,15 ( 0,85) + 200 200

Z = 0,27 ⇒ A ( 0,1064)

Z =

−0,03 − 0,02 −0,05 = = −1,35 0,037 0,037

Z = −1,35 ⇒ A ( 0,4115) P = 0,0885 + 0,3936 = 0,4821

P( p1 −

p2 > 0,03

) = 48,21%

84. Solución: 41


P1 = 0,65

Z =

P2 = 0,65

n1 = 200

n2 = 200


P( p1 −

p2 > 0,10

) =?

0,10 − 0 = 2,10 y − 2,10 0,65 ( 0,35) 0,65 ( 0,35) + 200 200

Z = 2,10 ⇒ A (0,4821) = 1 − [0,4821 + 0,4821] = 0,0358

P( p1 −

p2 > 0,10

) = 3,58%

85. Solución: P1 = 28%

Z =

P2 = 38%

n1 = 150

n2 = 100

P( p1 > p2 ) = P( p1 − p2 > 0 ) = ?

0 − ( 0,28 − 0,38) = 1,64 0,28 ( 0,72) 0,38 ( 0,62) + 150 100

Z = 1,64 ⇒ A ( 0,4495) P = 0,5000 − 0,4495 = 0,0505

P( p1

− p2 ≥ 0 )

= 5,05%

86. Solución: P1 = 0,72

P2 = 0,72

n1 = 150

n2 = 150

42


a) P( p1 − p2

> 0,06


) =?

0,06 − 0 = 1,16 y −1,16 0,72 ( 0,28) 0,72 ( 0,28) + 150 150

Z =

Z =1,16 ⇒ A ( 0,3770) = 1 − [0,3770 + 0,3770] = 0,2460

P( p1 −

b) P( p1 < Z =

p2 )

= 0,05 = P( p1

− p 2 ≥ − 0, 05 )

p2 ≥ 0,06

) = 24,60%

=?

−0,05 − 0 = −0,97 0,0518

Z = −0,97 ⇒ A ( 0,3340) P = 0,5000 − 0,3340 = 0,1660

P( p1 −

p2 > −0,05)

= 16,60%

87. Solución: P1 = 0,12

a) P( p1

P2 = 0,15

− p2 > 0,03

n1 = 80

n2 = 100

) =?

43


0,03 − ( 0,12 − 0,15) 0,06 = = 1,18 0 , 0509 0,12 ( 0,88) 0,15 ( 0,85) + 80 100

Z =

Z =


− 0,03 − ( − 0,03) = 0 ⇒ A ( 0,5000) 0,0509

Z =1,18 ⇒ A (0,3810) A ( 0,5000 ) − A ( 0,3810) = 0,1190 P = 0,5000 + 0,1190 = 0,6190

P( p1

− p2 > 0,03

b) P( p1 > Z =

p2 )

) = 61,90%

= P( p1 −

p2 > 0)

=?

0 + 0,03 = 0,59 0,0509

Z = 0,59 ⇒ A ( 0,2224) P = 0,5000 − 0,2224 = 0,2776

= 27,76%

P( p1 −

p2 > 0)

P( p1 −

p2 ≥ − 0,03)

88. Solución: P1 = 0,25

P2 = 0,20

a) P( B > A) = P( p1 <

Z =

p2 )

n1 = 100

= P( p1 −

p2 > −0,03)

n2 = 100

=?

− 0,03 − ( 0,25 − 0,20) − 0,08 = = −1,36 0,0589 0,25 ( 0,75) 0,2 ( 0,8) + 100 100

Z = −1,36 ⇒ A ( 0,4131) P = 0,5000 − 0,4131 = 0,0869

= 8,69%

44


b) P( A > B ) = P( p1 −

p2 > 0,03)


=?

0,03 − ( 0,25 − 0,20) − 0,02 = = − 0,34 0,0589 0,0589

Z =

Z = −0,34 ⇒ A (0,1331) P = 0,5000 + 0,1331 = 0,6331

P( p1 −

p2 ≥ 0,03)

= 63,31%

89. Solución: P1 =

Z =

50 = 0,50 100

P2 = 0,50

n1 = 36

n2 = 36

P( p1 −

p2 > 0,22

) =?

0,22 − 0 0,22 = = 1,87 y −1,87 0,1179 0,5 ( 0,5) 0,5 ( 0,5) + 36 36

Z = 1,87 ⇒ A ( 0,4693) ;

Z = −1,87 ⇒ A (0,4693)

= 1 − [0,4693 − 0,4693] = 1 − 0,9386 = 0,0614

P( p1 −

p2 ≥ 0,22

) = 6,14%

90. Solución:

45



P1 = 0,08 P2 = 0,12 n1 = 40 n2 = 40 P( p1 − p2 〈 0,03 ) = ? 0,03 − ( 0,08 − 0,12) 0,070 = = 3,33 0,021 0,08 ( 0,5) 0,12 ( 0,88) + 400 400

Z =

Z =

− 0,03 − ( 0,08 − 0,12) 0,010 = = 0,48 0,021 0,021

Z = 3,33 ⇒ A ( 0,4996) ; Z = 0,48 ⇒ A ( 0,1844) P = 0,4996 − 0,1844 = 0,3152

P( p1

− p2 ≤ 0, 03

) = 31,52%

TAMAÑO DE MUESTRA M.A.S. 91. Solución: N = 10.000

n=

E = 5.000

P = 95%

σ = 30.000

n =?

N Z 2 σ2 ( N −1) E 2 + Z 2 σ 2

46


n =


10.000 (1,96 ) 2 ( 30.000 ) 2

(10.000 −1) 5.000 2

n =137 personas

+ 1,96 2 ( 30.000 )

2

= 136,42 ≅ 137 personas


E =Z

E =?

PQ n

E = 1,96

n = 300

Z = 1,96

N = 8.000

N −n N −1

0,36 ( 0,64 ) 300

8.000 − 300 8.000 − 1

E = 0,0532 (Error)

E = 5,32%

93. Solución: E = 3% P = 0,50

n=

N = 5.000

Z = 1,96

;

Como no se conoce P, se tiene que

N Z2 PQ ( N −1) E 2 + Z 2 PQ

5.000 (1,96) ( 0,50 ) ( 0,50 ) n = = 880 ( 5.000 − 1) 0,032 + 1,96 2 ( 0,5) ( 0,5) 2

mujeres casadas

n =880

mujeres casadas

94. Solución: σ =18.000

a) n = ?

E = 3.000

Z = 2,57

47



2

n=

Z 2 σ2 Zσ  =  E2  E 

2

 2,57 ×18.000  n =  = 237,78 ≅ 238 estudiantes universitarios 3.000  

b) Siendo N =12.000 ¿cuál es el valor de n?

n0 n= n 1+ 0 N n=

Z2 σ 2 n0 = = 237,78 E2

⇒

237,78 = 233,16 ≅ 234 estudiantes universitarios 237,78 1+ 12.000

c) El cálculo para totales, arroja un resultado, igual al anterior siendo de 234 estudiantes universitarios. 95. Solución: n

preliminar

= 70

a) n = ? Z = 1,96

n=

N = 3.600 trabajadores

x = 40 minutos → x = E = 5% de x

(

→

40 = 0,67 horas 60

σ 2 = 2,4 horas 2

E = 0,05 ( 0,67 ) = 0,0335

)

3.600 1,96 2 ( 2,4 ) = 2.503,35 ( 3.600 − 1) 0,03352 + 1,96 2 ( 2,4)

n = 2.504

trabajadores

44 = 0,63 b) P = 70

Z = 1,96

N = 3.600

E = 10%

48



n=

N Z 2 PQ ( N −1) E 2 + Z 2 PQ

n=

3.600 (1,96 ) ( 0,63) ( 0,37 ) = 87,40 ( 3.600 −1) 0,10 2 + 1,96 2 ( 0,63) ( 0,37 ) 2

n = 87,40 = 88 trabajadores

c) E = 0,05 ( 842,86 ) = 42,14

x = 59.000 = 842,86 70 n=

(

2

)(

2

)

Z = 1,96

N = 3.600

S = 325

3.600 1,96 325 = 214,92 ( 3.600 −1) 42,14 2 + 1,96 2 3252

(

)

n = 215 trabajadores

Se toma el mayor valor de los n calculados, es este caso el tamaño muestral para la investigación es de 215 trabajadores. 96. Solución: P = 0,60

a) n =

n=

E = 0,03

P = 95,5% = Z = 2

Z 2 PQ E2 22 ( 0,6) ( 0,4) = 1.066,67 ≅ 1.067 familias con vehículo propio 0,032

b) R/ aumenta el tamaño de la muestra (es el valor máximo de n) 49


n=


22 ( 0,5) ( 0,5) 22 ( 50) ( 50) = = 1.111,11 = 1.112 familias con carro propio 0,032 32

Si P = 90 el valor de n se reduce n=

c)

n=

22

( 0,9 ) ( 0,1) 0,032

n0 n 1+ 0 N

=

=

2 2 ( 90 ) (10 ) = 400 familias con carro propio 32

1.066,67 = 963,86 ≅ 964 familias con carro propio 1.066,67 1+ 10.000

97. Solución: E = 0,03

n=

P = 97,5 % ⇒ Z = 2,24

N = 20.000

P = 85%

20.000 ( 2,24 ) 2 ( 0,85) ( 0,15) = 686,46 = 687 artículos ( 20.000 −1) 0,032 + 2,24 2 ( 0,85) ( 0,15)


n=

n =?

E = 7%

Z = 2,57

2,57 2 ( 0,2 ) ( 0,8) 2,57 2 ( 20 ) ( 80 ) = = 215,67 ≅ 216 personas adultas 0,07 2 72


n=

σ = 12

n =?

E =2

Z = 1,64 ó 1,65

( )

1,64 2 ( 365) 12 2 = 76,69 = 77 días ( 365 −1) 2 2 + 1,642 (12) 2

50



100. Solución: E = 5.000

riesgo de 0,045 ⇒ 1 − 0,045 = 0,955 = 95,5% ⇒ Z = 2

σ = 28.000

n =?

n=

2 2 ( 28.000) 5.000 2

2

= 125,44 ≅ 126 familias de clase media de un barrio

101. Solución: E = 4%

n=

P = 95,5% ⇒ Z = 2

n =?

N = 3.200

( )

3.200 2 2 ( 0,50 ) ( 0,50 ) = 523,01 ≅ 524 estudiantes de cierta ( 3.200 − 1) 0,04 2 + 22 ( 0,5) ( 0,5)

universidad privada 102. Solución: Z = 2,57

n0 =

n=

E = 2%

N = 10.000

P = 0,50 (dado que no se conoce P)

2,57 2 ( 0,5) ( 0,5) 2,57 2 ( 50) ( 50) = = 4.128,06 0,02 2 22

n0 4.128,06 = = 2.921,89 ≅ 2.922 elementos n0 4.128,06 1+ 1+ 10.000 N

103. Solución: E = 0,10 litros

n=

Z =1,96

σ2 = 0,90 consumo de oxígeno, litros por minuto2

1,96 2 ( 0,90 ) = 345,74 ≅ 346 estudiantes entre 17 y 21 años 0,10 2

51



104. Solución: N = 1.500

Z = 2,57

E = 10

minutos

σ2 = 60 2 (3,25) =11.700

minutos2 1.500 ( 2,57 ) 2 (11.700) = 510,24 ≅ 511 empleados (1.500 −1) 102 + 2,57 2 (11.700)

n=

105. Solución: N = 12.500

s = 30.000

( )(

n =?

E = 3.000

Z =2

)

12.500 2 2 30.000 2 = 387,63 = 388 hogares en una ciudad (12.500 − 1) 3.0002 + 22 ( 30.000) 2

n=

106. Solución: n =?

n=

P = 0,72

E = 0,12

Z = 1,96

1,96 2 ( 0,72 ) ( 0,28) 1,96 2 ( 72 ) ( 28) = = 53,78 ≅ 54 ciudadanos 0,12 2 12 2

107. Solución: a) n = ? n=

b) n =

E = 0,05

Z = 1,96

P = 0,50

1,96 2 ( 0,5) ( 0,5) 1,96 2 ( 50 ) ( 50 ) = = 385 reses 0,052 52 1,96 2 ( 0,28) ( 0,72 ) 1,96 2 ( 28) ( 72 ) = = 309,79 ≅ 310 reses 0,052 52

52


c) N = 2.000 n=

E = 0,02


P = 0,50

2.000 (1,96 ) 2 ( 0,5) ( 0,5) = 1.091,36 ≅ 1.092 reses ( 2.000 − 1) 0,022 + 1,962 ( 0,5) ( 0,5) 2.000 (1,96 ) ( 0,28) ( 0,72) = 984,03 = 985 reses ( 2.000 − 1) 0,022 + 1,962 ( 0,5) ( 0,5) 2

n=


n=

E = 0,04

P = 0,90 ⇒ Z = 1,64

P = 0,30

1,64 2 ( 0,3) ( 0,7 ) 1,64 2 ( 30 ) ( 70 ) = = 353,01 ≅ 354 hogares 0,04 2 42


b)

n=

E = 0,03

Z = 1,96

P = 0,20

1,962 ( 0,2 ) ( 0,8) 1,96 2 ( 20 ) ( 80 ) = = 682,95 ≅ 683 alumnos 0,032 32

n0 682,95 = = 613,16 ≅ 614 alumnos n0 682,95 1+ 1+ 6.000 N

110. Solución: E = 3 horas

n=

Z = 1,96

s = 20 horas

N = 200

1,96 2 ( 200 ) ( 20 ) = 92,36 = 93 supervisores ( 200 − 1) 32 + 1,962 202

n = 93 supervisores

2

(

)

53



111. Solución:

a)

n =?

n=

b)

n=

E =$2.400

1,96 2 (13.000 ) 2.400 2

2

Z =1,96

s =$13.000

= 112,71 = 113 familias de un barrio de la ciudad

n0 112,71 = = 103,03 ≅ 104 familias de un barrio de la ciudad n0 112,71 1+ 1+ 1.200 N

n =113 familias

112. Solución: N = 2.000

n =

E = 30.000 ( 0,03) = 900

σ = 2.980

Z = 2,57

2.000 ( 2,57) ( 2.980) = 69,92 = 70 ( 2.000 − 1) 9002 + 2,572 ( 2.980) 2 2

2

n = 70 profesores universitarios

113. Solución: E = 22.000

Z =2

n =?

σ = 88.000

2 2 ( 88.000) 2 n= = 64 22.000 2 n = 64 familias

114. Solución:

54


yi

ni

1 2 3 4 5 6 7 Σ s2 =

n=

1 34 15 28 25 24 7 134

544 − 40(3,35) 40 −1

N = 4.000

yi2 ni

yi ni

1 17 5 7 5 4 1 40

2


y =

1 68 45 112 125 144 49 544

∑ yi ni = 134 = 3,35 n 40

= 2,44

Z = 1,96

E = 0,05( 3,35) = 0,17

E = 5%

4.000 (1,96 ) 2 ( 2,44 ) = 301 ( 4.000 − 1) 0,17 2 + 1,96 2 ( 2,44)

n = 301 explotaciones

115. Solución: yi

ni

0 1 2 3 4 5 6 7 Σ s2 =

10 9 5 2 2 0 1 1 30 164 − 30 (1,53) 30 − 1

N = 7.800

yi2 ni

yi ni

Z =2

0 9 10 6 8 0 6 7 46 2

0 9 20 18 32 0 36 49 164

y =

∑ yi ni = 46 = 1,53 n 30

= 3,22 piezas con caries2 E = 5%

a) Estimación del promedio E = 0,05 (1,53) = 0,08 55


n=


7.800 ( 2 ) ( 3,22 ) = 1.600 estudiantes matriculados ( 7.800 − 1) ( 0,08) 2 + 2 2 ( 3,22) 2

b) Proporción → son 20 estudiantes con caries 7.800 ( 2 ) ( 0,67 ) ( 0,33) = 338,45 = 339 p = 20 = 0,67 n = 30 ( 7.800 − 1) ( 0,05) 2 + 22 ( 0,67 ) ( 0,33) estudiantes 2

Nota: se toma como n el mayor valor, en este caso n =1.600 estudiantes matriculados

116. Solución: a) Promedio de personas por familia

s2 =

276 − 17 (3,76) 17 − 1

N = 1.200

n=

2

x =

Σ xi = 64 = 3,76 n 17

= 2,23

Z = 1,96

E = 5%

E = 0,05 ( x ) = 0,05 (3,76 ) = 0,188

1.200 (1,96 ) ( 2,23) = 201,79 = 202 familias (1.200 − 1) 0,1882 + 1,962 ( 2,23) 2

(

)

6 = 0,35 b) Proporción de familias con suscripción: son 6 ⇒ p = 17 n=

E = 5%

1.200 (1,96 ) ( 0,35) ( 0,65) = 270,89 = 271 familias (1.200 − 1) ( 0,05) 2 + 1,96 2 ( 0,35) ( 0,65) 2

56



117. Solución: P = 95% → Z = 1,96

E = 5%

n =?

n piloto = 30 cuentas

12 = 0,40 a) Proporción de cuentas que indican gastos de trabajo p = 30 n=

1,96 2 ( 0,4 ) ( 0,6 ) 1,96 2 ( 40 ) ( 60 ) = = 368,79 = 369 cuentas 0,052 52

5.400.000 = 180.000 30

b) x =

E = 180.000 ( 0,05) = 9.000

s 2 = 20.0002

pesos2

n=

1,96 ( 20.000) 9.0002 2

2

1,96 ( 20.000)  Cuentas =  = 19   9.000  2

Nota: se selecciona, el primer resultado (n = 369) por ser el más alto. En este ejercicio no se conoce el tamaño poblacional.

118. Solución: a) Promedio de alumnos por colegio s2 =

Σ xi = 44.988 = 499,88 n 100

36.248.004 − 499,88 2 = 112.600,03 100

N = 4.680

n=

x =

P = 95% → Z = 1,96

E = 0,08 ( 499,88) = 39,99

4.680 (1,96 ) (112.600,03) = 255,76 ≅ 256 planteles ( 4.680 − 1) ( 39,99) 2 + 1,962 (112.600,03) 2

46 = 0,46 b) Proporción de colegios privados p = 100 57


n=


4.680 (1,96 ) ( 0,46 ) ( 0,54 ) = 144,53 ≅ 145 planteles ( 4.680 − 1) ( 0,08) 2 + 1,962 ( 0,46) ( 0,54) 2

119. Solución: a)

s = $44.000

n =

b)

Z =1,96

(1,96) 2 ( 44.000) 2 ( 20.000) 2

s =$ 44.000

n=

n =?

= 19 cuentas

Z =1,96

(1,96) 2 ( 44.000 ) 2 ( 30.000) 2

E = $20.000

n =19 cuentas

E = $30.000

n =?

= 9 cuentas n = 9 cuentas

120. Solución: N = 30.000

E = 0,02

Z = 2,57

P = 0,50 ( se toma 0,5 ya que no se conoce)

n =?

n=

( 30.000) ( 2,57 ) 2 ( 0,50) ( 0,50) ( 30.000) ( 0,02) 2 + ( 2,57 ) 2 ( 0,50 ) ( 0,50 )

= 3.629

n = 3.629 amas de casa


E =3

σ 2 = 144 accidentes diarios 2

n =?

58


n=

(1,64) 2 ( 365) (144) ( 365) ( 3) 2 + (1,64) 2 (144)


= 39 días

n = 39 días

122. Solución: σ 2 = ( 20.500) 2 pesos 2

a) E = 2.400

n p = 80 Z = 1,96

 (1,96) 2 ( 20.500) 2 n =  ( 2.400) 2 

n = 288 familias

b) N = 2.000 n=

n =? n =?

 2   1 +  = 288 familias  80  

n =?

288 = 252 288 familias 1+ 2.000

n = 252 familias

123. Solución: E = 20.000

σ = 80.000

P =1 − 0,045 = 0,9550

n=

( 2) 2 ( 80.000) 2 ( 20.000) 2

Riesgo : nivel de significación

P = 95,5% ⇒ Z = 2

= 64

n = 64 familias de clase media

59



124. Solución: E = 0,05

n=

Riesgo = 0,045 ⇒ Z = 2

( 2) 2 ( 0,50) ( 0,50 ) ( 0,05) 2

P = 0,50 (no se conoce)

= 400

n =?

n = 400 estudiantes


n=

σ 2 = 25.000 ventas 2

E = 80

(1,96) 2 ( 628) ( 25.000) 2 628 (80 ) + 1,96 2 ( 25.000 )

Z = 1,96

n =?

= 15

n = 15 caminones repartidores

126. Solución: N = 4.000

a)

E = 0,02

n=

b)

P = 45% o 65% ⇒ se toma el más cercano a 0,5 en este caso P = 0,45

( 4000) (1,64) 2 ( 0,45) ( 0,55) ( 4000) ( 0,02) 2 + (1,64) 2 ( 0,45) ( 0,55)

E = 0,01

n=

Z = 1,64

= 1.176 viviendas

P = 5% o 10% ⇒ se toma el más cercano a 0,50 en este caso P = 0,10

( 4000) (1,64) 2 ( 0,10) ( 0,90) ( 4000) ( 0,01) 2 + (1,64) 2 ( 0,10) ( 0,90)

= 1.509 viviendas

Se toma n = 1.509 viviendas por ser el mayor valor obtenido para n. 127. Solución: a) E = 25 horas;

σ = 100 horas;

Z = 1,96

n =?

60


2 2 ( 1,96 ) (100 ) n= ( 25) 2


= 62 bombillas

b) N =1.000 n=

(1,96) 2 (1.000) (100) 2 (1.000) ( 25) 2 + (100) 2 (1,96) 2

= 58 bombillas


n=

Z = 1,64

E = 0,05

N = 5.000

( 5.000) (1,64) 2 ( 0,50 ) ( 0,50 ) ( 5.000) ( 0,05) 2 + (1,64) 2 ( 0,50 ) ( 0,50 )

P = 0,50 ( no se conoce)

= 256 títulos

129. Solución: a)

σ = 10

Z = 1,96

 (1,96 ) 2 (10 ) 2 n =  ( 3,6) 2 

b) P = 0,75 n=

E = 0,06 × 60 = 3,6

n p = 30

x = 1 hora = 60 minutos

   1 + 2  = 32 clientes   30  

Q = 0,25

(1,96) 2 ( 0,75) ( 0,25) ( 0,06) 2

Z = 1,96

E = 0,06

= 201 clientes

n = 201 clientes, se toma el mayor valor


n=

Z = 1,96

E = 0,08

N = 5.000

( 5000 ) (1,96) 2 ( 0,50 ) ( 0,50 ) ( 5000) ( 0,08) 2 + (1,96) 2 ( 0,50) ( 0,50)

P = 0,50

= 146 unidades

61




Z = 2,57 PQ N

E =Z

P=

E = 2,57

20 = 0,10 200

( 0,10 ) ( 0,90) 200

= 0,0545

E = 5,45%

132. Solución: n=?

n=

E = 0,02

Z = 1,96

(1,96) 2 ( 0,25) ( 0,75) ( 0,02) 2

P=

1 = 0,25 4

= 1.801 Conductores con experiencia de un año o menos


n=

E = 12.500

Z = 1,96

N = 7.000

σ = 95.000 pesos ($)

(1,96) 2 ( 7.000) ( 95.000) 2 = 216 cuentas de crédito ( 7.000) (12.500) 2 + (1,96) 2 ( 95.000) 2


Z = 1,96

N = 3.000

( 3.000) (1,96) 2 ( 0,50) ( 0,50) ( 3.000) ( 0,03) 2 + (1,96) 2 ( 0,50) ( 0,50 )

b) n = ? n=

E = 0,03

E = 0,03

Z = 1,96

= 788 tarjetas perforadas

N = 3.000

( 3.000) (1,96) 2 ( 0,72) ( 0,28) ( 3.000) ( 0,03) 2 + (1,96) 2 ( 0,72) ( 0,28)

P = 0,50 ( no se conoce P )

P = 0,72 ( el más cercano a 0,5)

= 669 tarjetas perforadas

62




n=

E = 0,005

Z = 1,96

N = 50.000

( 50.000) (1,96) 2 ( 0,10) ( 0,90) ( 50.000 ) ( 0,005) 2 + (1,96 ) 2 ( 0,10 ) ( 0,90)

P = 0,10

= 10.834 suscriptores

136. Solución: a) n = ?

E = 0,01

Z = 2,33

N = 5.000

2 ( 50.000 ) ( 2,33) (1 / 7 ) ( 6 / 7 ) n= ( 50.000 ) ( 0,01) 2 + ( 2,33) 2 (1 / 7 ) ( 6 / 7 )

P=1 7

= 2.854 vehículos

b) Los 5.000 vehículos que se van a producir. 137. solución: a) b) c) d) e)

Falso. Teóricamente no debe haber sustitución. Verdadero. Falso. Debe ser en un orden determinado. Falso. Pro el contrario disminuye el tamaño. Falso. Deben tener igual posibilidad de selección.

138. Solución: n=?

n=

E = 0,03 = 3%

Z = 1,96

N = 5.600

( 5.600) (1,96) 2 ( 0,50) ( 0,50 ) ( 5.600) ( 0,03) 2 + (1,96) 2 ( 0,50 ) ( 0,50)

P = 28 = 0,5 56

n p = 56

= 897 egresados (se cálculo sin corregir)


N = 500 supervisores

63


a)

Z = 1,96

n=

n=

σ 2 = 400 horas2

E =3

(1,96 ) 2 ( 500) ( 400) ( 500) ( 3) 2 + (1,96) 2 ( 400)

b) Z = 1,96


= 128 supervisores

E = 0,05

P = 0,6

( 500) (1,96) 2 ( 0,6) ( 0,4 ) ( 500) ( 0,05) 2 + (1,96) 2 ( 0,6) ( 0,4 )

= 213 supervisores

Se tiene el mayor valor de n, en este caso, n = 213 supervisores 140. Solución: n =?

E =2

Z = 1,64

N = 15

Σ X i2 − N X 2 640 − 15 ( 6 ) σ = = N 15 2

X = n=

σ2 = 6,67 valores2

2

= 6,67

ΣXi = 90 = 6 N 15

(1,64) 2 (15) ( 6,67 ) (15) ( 2) 2 + (1,64) 2 ( 6,67 )

= 4 unidades o valores


n=

E = 10.000

Z = 1,64

N = 1.500

σ = 20.000 pesos ($)

(1,64) 2 (1.500) ( 20.000) 2 = 11 cuentas (1.500) (10.000) 2 + (1,64) 2 ( 20.000) 2

142. Solución: n=?

E = 0,03

Z = 2,24

N = 20.000

P = 85 = 0,85 100

64


n=

( 20.000) ( 2,24) 2 ( 0,85) ( 0,15) ( 20.000) ( 0,03) 2 + ( 2,24 ) 2 ( 0,85) ( 0,15)


= 687 artículos

143. Solución: n=?

E = 0,05

Z = 1,64

N = 700

P = 14 = 0,35 40

1,642 ( 0,35) ( 0,65)   2  no =  1+   = 256,99 2   40   0 , 05  

no =

n=

256,99 = 188 256,99 hogares 1+ 700

(se realizó con corrección)

( 700) (1,64 ) 2 ( 0,35) ( 0,65) ( 700) ( 0,05) 2 + (1,64 ) 2 ( 0,35) ( 0,65)

= 182 hogares (se realizó sin corrección)


E = 1,96

E =?

Z = 1,96

( 0,4) ( 0,6) 225

N = 6.000

P = 0,4 = 90 225

6.000 − 225 = 0,0628 6.000

E = 6,28%

145. Solución: E = 12.000

Z = 1,96

N = 400

Rango = 70.000

Rango = X max − X min = 150.000 − 80.000 = 70.000

n=

( 400) (1,96) 2 ( 70.000) 2 ( 400) (12.000) 2 + (1,96 ) 2 ( 70.000) 2

= 99 clientes

65



NOTA: Se toma como varianza el rango, recorrido u oscilación. 146. Solución: E =5

Z = 1,96

N = 5.000

P = 1 − 0,05 = 0,95

⇒

Riesgo = 0,05

σ2 = 252

kgs2 n=

( 5.000) (1,96) 2 ( 25) 2 ( 5.000) ( 5) 2 + (1,96) 2 ( 25) 2

= 95 varillas de acero

147. Solución: E = 0,5

Z = 1,96

σ = 1,9 kpg.

n=

(1,96) (1,9 ) 2 0,52

= 56 viajes


E = 0,06

Z = 1,96

n p = 30

P = 12 = 0,4 30

 (1,96 ) 2 ( 0,6 ) ( 0,4 )    1 + 2  n =  = 274 cuentas 2   30  0 , 06  

b) x =

5.400.000 = 180.000 30

 (1,96 ) 2 ( 20.000) 2 n =  10.800 2 

E = 0,06 (180.000) = 10.800

Z = 1,96

  1 + 2   = 15 cuentas  30  

Se debe tomar como n = 274 cuentas por ser el mayor resultado. 149. Solución: n =?

n=

E = 0,09

Z =2

N = 360


360 ( 4 ) ( 0,5) ( 0,5) = 92 fábricas de helados 2 360 ( 0,09) + 4 ( 0,5) ( 0,5)

66



150. Solución: a)

E = 0,02 ( 750.000 ) =15.000

n =?

n=

Z =1,96

σ2 = $40.0002

N =10.000

10.000 ( 3,8416) ( 40.000) = 28 obreros 2 2 10.000 (15.000) + ( 3,8416) ( 40.000) 2

Z =1,962 = 3,8416

10.000 (1,96 ) ( 0,4 ) ( 0,6 ) = 143 obreros 2 10.000 ( 0,08) + 1,96 2 ( 0,4 ) ( 0,6 ) 2

b)

n=


E = 0,03

(1,96 ) 2 ( 0,21) ( 0,79) 0,032

b) n = ? n=

Z = 1,96

E = 0,03

P = 0,21

= 709 ejecutivos subalternos

Z = 1,96

N = 520


520 ( 3,8416 ) ( 0,5) ( 0,5) = 350 ejecutivos subalternos 2 520 ( 0,03) + ( 3,8416 ) ( 0,5) ( 0,5)

152. Solución: a)

x = 5,2 ( 30) = 156 días

Z = 1,64

n p = 25

s = 14 días

E = 0,015 (156 ) = 2,34

N = 620

n=

620 (1,64 ) (14 ) = 84 vendedores 2 2 2 620 ( 2,34 ) + (1,64 ) (14 )

b) n = ?

2

E = 0,12

2

Z = 1,64

N = 620

P = 0,62

n p = 25

67


n=


620 (1,64 ) ( 0,62) ( 0,38) = 42 vendedores 2 2 620 ( 0,12) + (1,64 ) ( 0,62 ) ( 0,38)

Se toma

2

n = 84 vendedores por ser el mayor valor de n.

153. Solución: N = 5.000

ETOTAL = 3.000

σ 2 = 36

E promedio =

3.000 = 0,60 gramos 5.000

5.000 (1,96) ( 36) = 357 pollitos 2 2 5.000 ( 0,6) + (1,96) ( 36) 2

n =

154. Solución: N = 4.000

y =

E = 0,6 ( prom )

156 = 1,95 80

s2 =

⇒ E = 0,12 ( prop )

1.036 − 80 (1,95) = 9,15 80 2

Z = 1,96

n p = 80

( a ) E = 0,06 (1,95) = 0,12 ( b) E = 0,12 = 12%

( proporción)

a) yi 0 1 2 4 5 8 10 12 Σ

n=

ni

yi ni 37 16 8 8 4 2 2 3 80

0 16 16 32 20 16 20 36 156

yi2 ni

0 16 32 128 100 128 200 432 1.036

(1,96) 2 ( 4.000) ( 9,15) 2 2 4.000 ( 0,12 ) + (1,96 ) ( 9,15)

n =1.516

= 1.516

cajas

68



4.000 (1,96) ( 0,54 ) ( 0,46 ) n= = 66 2 2 4.000 ( 0,12 ) + (1,96 ) ( 0,54 ) ( 0,46) 2

n = 66

cajas p = 43 = 0,54 80 Se toma el mayor valor:

1.516 cajas


E = 0,005

( Se toma el n=

N = 5.000

P = 0,10

% más cercano a 0,5 como p )

5.000 (1,96 ) ( 0,10 ) ( 0,90 ) = 3.673 clientes 2 2 5.000 ( 0,005) + (1,96 ) ( 0,10 ) ( 0,90 ) 2

E = 0,005 ( 23.000 ) =115

b) n = ? n=

Z = 1,96

Z =1,96

N = 5.000

σ =$1.500

5.000 (1,96 ) (1.500 ) = 579 clientes 2 2 2 5.000 (115) + (1,96) (1.500 ) 2

2

n = 3.673 (se toma el valor mayor como n)


P = 0,1

E = 1,96

Z = 1,96

( 0,1) ( 0,9) 200

E =?

p = 20 = 0,10 200

= 0,0415

E = 4,15%


E = 6%

Z = 1,96

N = 2.000

P = 0,04

69


n=


2.000 (1,96 ) ( 0,04 ) ( 0,96 ) = 41 cuentas 2 2 2.000 ( 0,06 ) + (1,96 ) ( 0,04 ) ( 0,96 ) 2

158. Solución: a. Los estimadores son medidas, aplicadas a las características de los elementos o unidades en una muestra, en cambio, los parámetros se aplican en la población. b. Población: es un conjunto de elementos o unidades y la Muestra corresponde a un conjunto de elementos o unidades de una parte de la población. c. Como su nombre lo indica, describe el comportamiento de las características de los elementos, a través de cuadros gráficas y medidas que le son aplicadas. La inferencia consiste en extraer una muestra, con la cual se obtienen unos resultados que son considerados como correspondiente al comportamiento de toda una población. d. Cuando todos los elementos de una población tienen la misma posibilidad de ser seleccionados. El no aleatorio, es una muestra resgada es decir, no tienen ninguna confiabilidad, dado que los elementos son seleccionados en forma caprichosa, por conveniencia, en forma voluntaria o en forma intencional. 159. Solución: a. Cuando la población no es normal, si se extrae muestras pequeñas (n < 30), la distribución que se obtienen con todas ellas, conforman una distribución no normal, por el contrario, si las muestras son grandes (n > 30), se establece con ellas una distribución normal, aunque la población de origen de esas muestras no lo sea. b. Son 4 condiciones de gran importancia: insesgado, consistente, eficiente y suficiente. c. Es aquella, en que todas las muestras pueden ser escogidas conforme a un esquema de muestras especificado, es decir, que implique selección al azar, correspondiente a un número fijo de variables aleatorios independientes EJERCICIOS MISCELÁNEOS 160. Solución: n1 = 150

x = 775.000

σx =20.000

n2 = 120

y = 780.000

σy = 20.000

µ x = µy

70


Z =

( 775.000 − 780.000) − ( 0 ) 20.000 150

2

+ 20.000 120

2


= − 5.000 = − 2,04 2.449,49

Z = − 2,04 → A ( 0,4793) 0,5000 − 0,4793 = 0,0207 = 2,07%

P( x

− y > −5.000 )

= 2,07%

161. Solución: µ = 4,8 mill. $

σ = 1,5 mill $

exceda en 0,3 mill . $

Z =

P ( x > 5,1) = ?

n = 100

⇒ 4,8 + 0,3 = 5,1 mill . $

5,1 − 4,8 0,3 100 = = 2 ⇒ A ( 0,4773) 1,5 1,5 100

A = 0,5000 − 0,4773 = 0,0227 = 2,27%

P( x

> 5.1)

= 2,27%


(a) Se detiene si es superior al punto crítico, pues se rebosa 71


σ = 2,5


(b) Se continua, en caso contrario, funcionamiento normal

A = ( 0,5000 − 0,0500 ) = 0,4500 ⇒Z = 1,64 o 1,65

1,65 =

x − 407,5 2,5 64

→

2,5  1,65   = x − 407,5  64 

x = 407,5 + 0,064 = 407,56

x = 407,56

gramos


Z =

P ( p − P > 0,03

) =?

0,23 − 0,20 0,03 = = 1,5 ⇒ A ( 0,4332 ) 0,02 0,2 ( 0,8) 400

72


Z =


0,17 − 0,20 − 0,03 = = −1,5 ⇒ A ( 0,4332 ) 0,02 0,02

P =1 − ( 0,4332 + 0,4332 ) = 0,1336 =13,36% P( p

−P >

0 , 03

) =13,36%

P(17

> p > 0 , 23 )

= 13,36%

164. Solución: N = 10.000

n=

σ = 3.000

E = 380

P = 95% ⇒ Z = 1,96

10.000 (1,96 ) ( 3.000 ) ≅ 234 Familias de clase media de la ciudad 2 2 10.000 ( 380) + 1,962 ( 3.000 ) 2

2

165. Solución: N = 3.600

n=

npreliminar = 0,01 ( 3.600 ) = 36

p = 28 = 0,78 36

3.600 (1,96 ) ( 0,78) ( 0,22 ) = 609 egresados 2 3.600 ( 0,03) + 1,96 2 ( 0,78) ( 0,22 ) 2

166. Solución: a. Consiste en recolectar la mayor información en el menor costo posible b. Es correcta la afirmación. c. Prácticamente se puede decir, que es la diferencia que puede haber entre el valor del parámetro y el del estimador. d. Se dice que es mejor, cuando la característica investigada en la muestra, tiene un alto grado de homogeneidad. 167. Solución:

73


p1 =

12 = 0.10 120

p2 =

16 = 0,13 120


P( p1 − p2

> 0 , 03

)

= ?

0,03 − 0,03 =0 ( 0,1) ( 0,9) + ( 0,13) ( 0,87 ) 120 120

Z =

Z =

− 0,03 − 0,03 − 0,06 = = −1,5 ⇒ A ( 0,4332 ) 0,04 0,04

P = 0,5000 + 0,0668 =0,5668 = 56,68%

P( p1

− p 2 > 0 , 03 )

= 56,68%


σ = 0,82

n = 25

x=?

A ( 0,4000 ) ⇒Z = 1,28

1,28 =

x −10 0,82 25

x = 10 + 1,28

0,82 25

x =10 + 0,21 =10,21

x =10,21

onzas

169. Solución: µ = 8 horas

a)

σ n

σ = 2 horas

n = 20

= error estándar de la media ⇒σ x =

2 20

= 0,45

b) P( 7 ≤ x ≤ 8,5 ) = ?

74


Z =

7 −8 = −1 = − 2,22 ⇒ A( 0,4868) 0,45 0,45

Z =

8,5 − 8 = 1,11 ⇒ A ( 0,3665) 0,45

P =0,4868 + 0,3665 = 0,8533 = 85,33%


P(7〈 x〈 8, )5 = 85,3 %

c) P ( x > 9 ) = ? Z =

9 −8 = 1 = 2,22 ⇒ A ( 0,4868) 0,45 0,45

P = 0,5000 − 0,4868 = 0,0132 =1,32%

P( x 〉 9) = 1,32% 170. Solución: P = 0,10

Z=

n = 30

P ( p > 0, 27 ) = ?

0,27 − 0,10 = 3,10 ⇒ A ( 0,4990 ) 0,1 ( 0,9 ) 30

P = 0,5000 − 0,4990 = 0,0010 = 0,10%

P( p > 0, 27 ) = 0,10%

75



171. Solución: P1 = 0,12

a) P( p1

P2 = 0,15

− p 2 > 0 , 03

n1 = 70

n2 = 90

) =?

P1 −P2 = 0,12 − 0,15 = −0,03

0,03 −( − 0,03) 0,06 = = 1,09 0,055 0,12 ( 0,08) 0,15 ( 0,85) + 70 90

Z =

− 0,03 − (− 0,03) 0 = =0 0,055 0,055 Z 〈 0 ⇒ A(0,5000) Z=

Z =1,09 ⇒A( 0,3621) A ( 0,5000 − 0,3621) = 0,1379 + 0,5000 = 0,6379 = 63,79%

P( p1 − p2

> 0 , 03

b) P( p1 − p2 Z =

) = 63,79%

> 0)

= P( p1 > p2 ) = ?

0 − ( − 0,03) 0,03 = = 0,55 ⇒ A ( 0,2088) 0,055 0,055

A = 0,5000 − 0,2088 = 0,2912 = 29,12%

76



P( p1 − p2

> 0)

= 29,12%

77


Cap.8 Prueba de hipótesis y límites de confianza

8 Prueba de hipótesis y límites de confianza EJERCICIOS RESUELTOS

DISTRIBUCIONES DE MEDIAS MUESTRALES (muestras grandes)


σ = 15

n = 25

1) H 0 : µ = 86 H a : µ ≠ 86

2) ∝= 0,05

3) σ = 15

4) Z = 82 − 86 = 15 25

− 4(5) − 20 = = −1,33 15 15

Aceptamos que µ = 86 ya que − 1,33 se ubica en la zona de aceptación.




s = 15

n = 100

1) H 0 : µ = 86 H a : µ ≠ 86

2) ∝= 0,05

3) s = 15

4) Z = 82 − 86 = 15 100

− 4(10) − 40 = = −2,67 15 15

Rechazamos la hipótesis de que µ = 86 ; por lo tanto aceptamos que µ ≠ 86 ; al nivel del 5%.


σ =8

1) H 0 : µ = 64 H a : µ > 64

2) ∝= 0,05

4) Z = 68 − 64 = 8

n = 64

64

x = 68

3) σ = 8

4(8) =4 8

Z = 4 Se ubica en la zona de rechazo (4 > 1,64) por lo tanto puede tenerse la certeza, con un nivel de significación del 5%, que los estudiantes de esta ciudad son superiores en inglés.


x = 27,3

1) H 0 : µ = 25 H a : µ ≠ 25

s = 6,1

2) ∝= 0,05

∝= 0,05

µ = 25

3) s = 2,1

4) Z = 27,3 − 25 = 23 = 3,77 6,1 100

6,1

La distancia media requerida es diferente a 25 metros, al nivel del 5%.

2


Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza


x = 86

1) H 0 : µ = 80 H a : µ ≠ 80

s = 16

2) ∝= 0,05

n = 100

∝= 0,05

3) s = 16

4) Z = 86 − 80 = 60 = 3,75 16

100

16

Se rechaza la hipótesis de que µ = 80 y se acepta la alternativa de que µ ≠ 80 .


s = 16

1) H 0 : µ = 74 H a : µ ≠ 74

n = 400

2) ∝= 0,01

3) s = 16

2(20) 4) Z = 76 − 74 = = 2,5 16

400

16

Se ubica en la zona de aceptación; aceptamos que µ = 74 , al nivel del 1%

7. Solución: σ = 3,2

x = 23,5

1) H 0 : µ = 22 H a : µ ≠ 22

n = 25

2) ∝= 0,05

3) σ = 3,2

4) Z = 23,5 − 22 = 7,5 = 2,34 3,2

25

3,2

3



Rechazamos la hipótesis de que µ = 22 y aceptamos de que µ ≠ 22 , al nivel del 5%. 8. Solución: n = 100

x = 12.500

1) H 0 : µ = 12.000 H a : µ > 12.000

s = 2.400

2) ∝= 0,05

3) s = 2.400

4) Z = 12.500 − 12.000 = 2,083 2.400 100

Rechazamos la hipótesis de que µ = 12.000 , luego aceptamos que los autos se condujeron en un promedio superior durante ese año, al nivel del 5%.


µ = 1,28

1) H 0 : µ = 1,28 H a : µ < 1,28

x = 1,08

s = 0,5

2) ∝= 0,05

3) s = 0,5

6,32(− 0,20) 4) Z = 1,08 − 1,28 = − 0,20 40 = = −2,528 0,5

0,5

40

0,5

Rechazamos que µ = 1,28 : Si hay razón para sostener que la disminución de la vida media de los zapatos se debe al uso en el desierto, al nivel 5%.


σ = 2,3

1) H 0 : µ = 15,9 H a : µ < 15,9 4) Z = 15 − 15,9 = 2,3

64

n = 64

2) ∝= 0,05 − 0,9(8) = −3,13 2,3

x = 15

s = 2,2

3) σ = 2,3

(Se trabaja con σ en vez de s)

4



Se ubica en la región de rechazo; por lo tanto aceptamos que el nuevo proceso tiene un efecto significativamente negativo, respecto a la resistencia de las cuerdas, al nivel del 5%. 11. Solución: µ = 5,5

n = 35

1) H 0 : µ = 5,5 H a : µ ≠ 5,5

x = 5,65

2) ∝= 0,01

s = 0,35

∝= 1%

3) s = 0,35

0,15(5,92) 4) Z = 5,65 − 5,5 = = 2,54 0,35

0,35

35

No debe dudarse de lo sustentado por la compañía, al nivel de significación del 1%.

12. Solución: µ = 23.200

σ = 2.500

1) H 0 : µ = 23.200 H a : µ < 23.200

n = 40

2) ∝= 0,01

x = 22.200

3) σ = 2.500

− 1.000(6,33) − 6.330 4) Z = 22.200 − 23.200 = = = −2,53 2.500

2.500

40

2.500

Se ubica en la región de rechazo, por lo tanto, se puede acusar a la compañía de pagar salarios inferiores, al nivel del 1%.

13. Solución: µ = 81.000

n = 100

1) H 0 : µ = 81.000 H a : µ ≠ 81.000

2) ∝= 0,05

4) Z = 80.600 − 81.000 = 1.100 100

x = 80.600

s = 1.100

3) s = 1.100

− 400(10) = −3,64 1.100

5



Se rechaza la hipótesis de que µ = 81.000 , es decir, que no podemos aceptar lo que dice el investigador, al nivel del 5%. 14. Solución: σ = 1,5

µ =8

1) H 0 : µ = 8 Ha : µ ≠ 8

n = 36

x = 8,33

3) σ = 1,5

2) ∝= 0,05

0,33(6) 1,98 4) Z = 8,33 − 8 = = = 1,32 1,5

1,5

36

1,50

Aceptamos que el fabricante tiene razón, al nivel del 5%.


n = 25

1) H 0 : µ = 14 H a : µ ≠ 14 4) Z =

x−µ

σ

x = 13,83

2) ∝= 0,05

=

σ = 0,5

∝= 0,05

3) σ = 0,5

13,83 − 14 − 0,17(5) = = −1,7 0,5 0,5

n

25

Al nivel del 5%, se puede aceptar lo ofrecido por la empresa de que el envase contiene 14 onzas de camarón.

16. Solución: σ = 100

µ = 1.000

1) H 0 : µ = 1.000 H a : µ < 1.000 4) Z =

∝= 0,05

2) ∝= 0,05

n = 100

x = 985

3) σ = 100

x−µ

= 985 − 1.000 = −1,5 100 n 100

σ

6



Se puede adquirir la bombilla de la nueva marca, ya que al nivel de 5% no se demuestra que su duración sea inferior a la marca anterior. 17. Solución: µ = 40

n = 36

1) H 0 : µ = 40 H a : µ > 40 4) Z =

x = 46

2) ∝= 0,05

σ =9

39 σ = 9

6(6 ) = 46 − 40 = = 4,0 9 9 n 36

x−µ

σ

Sí es posible que se compren las lámparas, pues al nivel del 5%, se acepta que tiene una duración superior a las 40 horas.


n = 60

1) H 0 : µ = 12 H a : µ > 12 4) Z =

x = 15

2) ∝= 0,01

s=5

3) s = 5

x − µ 15 − 12 3(7,75) = = = 4,65 s 5 5 n 60

Se puede concluir que la solución aumenta la productividad, al nivel del 1%.


1) H 0 : µ = 20 H a : µ ≠ 20

x = 20,8

s = 1,5

2) ∝= 0,01

n = 36

∝= 1%

3) s = 1,5

7


4) Z =


x − µ 20,8 − 20 4,8 = = = 3,2 s 1,5 1,5 n 36

Se ubica en la región crítica y se rechaza la hipótesis nula de que µ = 20 , es decir, que el fusible no cumple con las especificaciones. Al nivel del 1%. 20. Solución: µ = 400

x = 395

1) H 0 : µ = 400 H a : µ ≠ 400 4) Z =

s = 20

n = 64

2) ∝= 0,05

∝= 0,05

3) s = 20

x − µ 395 − 400 − 40 = = = −2 s 20 20 n 64

El proveedor no sostiene las especificaciones acordadas, al nivel del 5%.


σ =6

1) H 0 : µ = 78 H a : µ < 78 4) Z =

n = 16

x = 74

∝= 0,01

3) σ = 6

2) ∝= 0,01

x−µ

= 74 − 78 = − 16 = −2,67 6 6 n 16

σ

Sí se puede afirmar que este grupo fue inferior, ya que rechazamos la hipótesis nula, al nivel del 1%.


1) H 0 : µ = 3,6 H a : µ ≠ 3,6

µ = 3,6

x = 3,62

2) ∝= 0,05

3) s = 0,21

8


4) Z =


x−µ 3,62 − 3,6 = = 1,35 s n 0,21 200

Z = 1,35 se ubica en la zona de aceptación, por lo tanto se puede afirmar que el resultado de la muestra se ajusta a las especificaciones de producción, al nivel del 5%. 23. Solución: µ = 1 libra = 16 onzas

a) 1) H 0 : µ = 16 H a : µ < 16 4) Z =

n = 36

2) ∝= 0.05

x = 13 onzas

s = 8 onzas

∝= 0,05

3) s = 8

x − µ 13 − 16 = = −2,25 s n 8 36

A(0,4500) ⇒ Z = 1,64 ó 1,65

Z = − 2,25 Cae en la región crítica, por lo tanto, al nivel del 5% se puede afirmar que se está vendiendo un producto por debajo del peso, ya que aceptamos H a .

b) Se está rechazando algo verdadero, por lo tanto se comete un error de tipo I y no de tipo II (aceptar algo falso). 24. Solución: µ = 53 Minutos

σ 2 = 1,35 Horas 2 ⇒ σ = 1,35 = 1,16 Horas × 0,6 = 70 Minutos

n = 128 Artículos

x = 56 Minutos

a) 1) H 0 : µ = 53 H a : µ > 53

2) ∝= 0,05

3) σ = 0,70

4) Z = 56 − 53 = 0,48 70

128

Al nivel del 5%, no se puede afirmar que el producto requiere de un tiempo mayor de fabricación. Observar que Z = 0,48 cae en la ZA, con lo cual aceptamos H 0 . Unilateral derecha.

9



b) Si el trabajo real es de 50 minutos, estamos cometiendo un error de tipo II, ya que estamos aceptando a µ = 53 25. Solución: µ = 4,6 Kilos

n = 34

x = 4,1

1) H 0 : µ = 4,6 H a : µ < 4,6

2) ∝= 1%

3) s = 1,8

s = 1,8 Kilos

4) Z = 4,1 − 4,6 = −1,62 1,8

34

− 1,62 cae en la región de aceptación. Al nivel del 1%, no se debe creer lo anunciado por el gimnasio. Unilateral izquierda.

26. Solución: µ = 50 Kmts.

n = 35

1) H 0 : µ = 50 H a : µ < 50

s = 15

x = 43,8

2) ∝= 0,02

3) s = 15

4) Z = 43,8 − 50 = −2,4 15

35

− 2,4 cae en la RC, por lo tanto aceptamos H a , es decir se puede afirmar que el

concesionario ha exagerado, al nivel del 2%. Unilateral izquierda.

27. Solución: x = 24 años

n = 60

1) H 0 : µ = 22 H a : µ > 22

2) ∝= 0,05

µ = 22

σ = 8 años

3) σ = 8

4) Z = 24 − 22 = 1,94 8

60

10



Como 1,94 cae en la RC, al nivel del 5%, se puede aceptar H a , es decir, se acepta la afirmación del ejecutivo. Unilateral derecha.

28. Solución: µ = 8 horas n = 20 x = 8 horas y media = 8,5 horas σ = 1 hora y 45 min utos = 1,75 horas

1) H 0 : µ = 8 Ha : µ > 8

2) ∝= 0,05

3) σ = 1,75

A(0,4500) ⇒ Z = 1,64 o 1,65 Z=

8,5 − 8,0 = 1,28 1,75 20

Cae (1,28) en la zona de aceptación. Se acepta H 0 , es decir, que al nivel del 5%, no se acepta la aseveración. Unilateral derecha.

29. Solución: µ = 650 libras

n = 40

x = 700 libras

s 2 = 12.960 ⇒ s = 113,84  S 2 = 12.960 libras 2   

1) H 0 : µ = 650 H a : µ > 650

∝= 0,01

3) s = 113,84

4) Z = 700 − 650 = 2,78 113,84

40

Observemos que 2,78 cae en la RC, por lo tanto, al nivel del 1%, estamos aceptando H a , es decir, que la solución aumenta la producción de nitrato. Unilateral derecha.

11



30. Solución: x = 4.000 = 40 100

n = 100

a) 1) H 0 : µ = 43 H a: µ ≠ 43

s 2 = 9.900 = 99 ⇒ s = 9,95 100

2) ∝= 0,05

 S 2 

= 99 años

2

 

3) s = 9,95

4) Z = 40 − 43 = −3,02 9,95

100

El valor de − 3,02 cae en la RC; por lo tanto al nivel del 5% se puede afirmar que la edad promedio de los profesores es diferente a 43 años. Prueba unilateral. b) Si el promedio verdadero, se conoce (39 años), no se comete ERROR, pues estamos rechazando que sea de 43 años, (rechazamos algo falso).


n = 35

1) H 0 : µ = 78 H a : µ > 78

x = 82

2) ∝= 0,01

s = 21

3) s = 21

4) A(0,4900) ⇒ Z = 2,33 Z = 82 − 78 = 1,13 21 35

Observamos que 1,13 cae en la región de aceptación, es decir, aceptamos H 0 : µ = 78 , con lo cual al nivel del 1% no podemos concluir que sea un curso superior. Unilateral derecha.

12



DISTRIBUCIONES PROPORCIONALES 32. Solución: p = 48 = 0,13 360

P = 0,14

sp =

(0,13)(0,87 ) =

q = 1 − 0,13 = 0,87

0,1131 = 0,00031 = 0,0177 360

360

1) H 0 : P = 0,14

2) ∝= 0,05

3) s p = 0,0177

H a : P < 0,14

4) Z = 0,13 − 0,14 = − 0,01 = −0,56 0,0177

0,0177

Se acepta P = 0,14 , el proveedor no tiene razón, es decir, que el nuevo producto no reduce la fracción de defectuosos, al nivel del 5%.

33. Solución: P = µ p = 0,50

p = 180 = 0,45 400

n = 400

1) H 0 : P = 0,50 ó (µ p = 0,50)

(

H a : P ≠ 0,50 ó µ p ≠ 0,50

4) Z =

2) ∝= 0,05

)

∝= 0,05

3) s p =

pq n

p−P 0,45 − 0,50 − 0,05 = = = −2,00 pq (0,45)(0,55) 0,025 400 n

No es correcta la estimación hecha por el fabricante, al nivel del 5%.

13



34. Solución: µ p = P = 0,80

n = 400

1) H 0 : P = 0,80

2) ∝= 0,01

p = 300 = 0,75 400

∝= 0,01

H a : P < 0,80

4) z =

p−P 0,75 − 0,80 − 0,05 = = = −2,27 (0,75)(0,25) 0,022 pq 400 n

Este resultado sí puede ser considerado como evidencia de que la prueba estuvo bien elaborada, al nivel del 1%.

35. Solución: µ p = P = 0,10

p = 3 = 0,075 40

1) H 0 : µ p = 0,10

2) ∝= 0,05

∝= 0,05

3) s p =

n = 40

pq n

H a : µ p < 0,10

4) z =

p−P = pq n

0,075 − 0,10 − 0,025 = = −0,60 0 (0,075)(0,925) ,04164 40

Se puede comprar la máquina, ya que aceptamos la hipótesis nula ( P = 0,10 ), al nivel del 5%.

14



36. Solución: µ p = P = 0,20

p = 9 = 0,18 50

1) H 0 : P = 0,20

2) ∝= 0,05

n = 50

3) s p =

∝= 0,05

0,18(0,82) = 0,054 50

H a : P < 0,20

4) z =

p − P 0,18 − 0,20 − 0,02 = = = −0,37 sp 0,054 0,054

Al nivel del 5%, no se puede concluir que la nueva técnica es mejor y que disminuye la mortalidad postoperatoria.


p = 300 = 0,75 400

n = 400

1) H O : P = 0,80

2) ∝= 0,01

3) s p = pq

H a : P < 0,80

4) z = 0,75 − 0,80 = −2,31 0,75(0,25) 400

El − 2,31 cae en la ZA, al nivel del 1%, se puede afirmar que el tratamiento si estuvo bien administrado. Unilateral izquierda.

15



38. Solución: p = 5 = 0,10 50

n = 50

1) H 0 : P = 0,12

2) ∝= 0,05

P = 12%

3) s p = pq

H a : P < 0,12

4) z = 0,10 − 0,12 = −0,47 0,1(0,9 ) 50

Vemos que − 0,47 cae en la ZA. Aceptamos H 0 al nivel del 5%. El gerente no exagera el porcentaje. Unilateral izquierda.

39. Solución: P = 7 = 0,14 50

n = 100

p = 10 = 10% 100

1) H 0 : P = 0,14

2) ∝= 0,05

3) s p = pq

H a : P < 0,14

4) Z = 0,10 − 0,14 = −1,33 0,1(0,9) 100

Como − 1,33 cae en la ZA, al nivel del 5% aceptamos H 0 , por lo tanto el número de compradores al medio día no es inferior al anotado por el gerente. Unilateral izquierda.

16



40. Solución: p = 25 = 0,11 225

n = 225

1) H 0 : P = 0,15

P = 0,15

2) ∝= 0,05

∝= 0,05

3) s p = pq

H a : P < 0,15

4) Z = 0,11 − 0,15 = −1,92 0,11(0,89) 225

A = (0,5000) − 0,0500 = 0,4500 ⇒ 1,64 ó 1,65

Como − 1,92 cae en la Región Crítica H a , es decir, que al nivel del 5% se puede concluir, que menos del 15% de las familias tenían perro.


p = 15 ≅ 0,04 400

n = 400

1) H 0 : P = 0,02

2) ∝= 0,05

3) s p = pq

H a : P〉 0,02

4) Z = 0,04 − 0,02 = 2,04 0,04(0,96) 400

Se tiene que 2,04 cae en la Región Crítica, estamos aceptando H a , y rechazamos la afirmación del proveedor, al nivel del 5%. Prueba unilateral derecha.

17



42. Solución: p = 8 = 0,22 36

n = 36

P = 0,25

1) H 0 : P = 0,25

2) ∝ = 0,05

3) s p = pq

∝ = 0,05 A(0,4500) ⇒ z = 1,64 ó 1,65

H a : P < 0,25

4) Z = 0,22 − 0,25 = −0,43 0,22(0,78) 36

Se observa que − 0,43 cae en la Región de Aceptación. Al nivel del 5%, no se puede afirmar que el porcentaje es inferior. Unilateral izquierdo.


p = 570 = 0,88 650

n = 650

1) H 0 : P = 0,90

2) ∝ = 0,01

P = 99% ⇒ ∝ = 1%

3) s p = pq

H a : P < 0,90

4) Z = 0,88 − 0,90 = −1,57 0,88(0,12) 650

Al nivel del 1%, no se puede concluir que la popularidad del proyecto ha sido exagerada. Unilateral izquierda.

18




p=

n = 100

1) H 0 : P = 0,52

2) ∝ = 0,10

48 = 0,48 100

∝ = 0,10

3) s p = pq

H a : P < 0,52

4) Z = 0,48 − 0,52 = −0,80 0,48(0,52) 100

Observemos que Z = −1,28. Al nivel del 10%, es válida la afirmación. Unilateral izquierda.


p=

n = 300

1) H 0 : P = 0,15

2) ∝ = 1%

54 = 0,18 300

3) s p = pq

H a : P ≠ 0,15

4) Z = 0,18 − 0,15 = 1,35 0,18(0,82) 300

Al nivel del 1%, es válida la afirmación. Prueba bilateral.

19



DISTRIBUCIÓN DE DIFERENCIAS ENTRE DOS MEDIAS MUESTRALES


n2 = 90

1) H 0 : µ x = µ y

y = 103

x = 107

2) ∝ = 0,05

s x = 17

s y = 16

3) s x − y = 289 + 256 = 2,89 + 2,84 = 2,3947 100

90

H a : µx ≠ µ y

4) Z = 107 − 103 = 1,67 2,3947

Al nivel del 5%, no existe diferencia significativa entre las medias de los dos productos.


x = 1.070

s x2 =

21.000 2 = 456,52 horas 46

n2 = 64

y = 1.041

s 2y =

23.200 2 = 362,5 horas 64

1) H 0 : µ x = µ y

2) ∝ = 0,01

Ha : µx ≠ µy

3) s x − y = 456,52 + 362,5 = 15,58 = 3,9482 46

64

4) Z = 1.070 − 1.041 = 29 = 7,34 3,9482

3,95

Rechazamos la hipótesis de que µ x = µ y ; se acepta que la diferencia es significativa, al nivel del 1%.

20



48. Solución: 1) H 0 : µ x = µ y

2) ∝ = 0,01

3) s x − y

2 s x2 s y = + n1 n2

H a : µx < µ y

4) Z = 818.000 − 842.000 = −3,38 32.000 2 + 41.000 2 46 60

Sí existe una diferencia significativa, que permite concluir que los salarios en B son superiores a los de A, al nivel del 1%.


x = 15,6

s x2 =

167,52 2 = 3,80 cms 44

n2 = 36

y = 14,1

s 2y =

159,89 2 = 4,44 cms 36

1) H 0 : µ x = µ y

2) ∝ = 0,05

Ha : µx ≠ µ y

3) s x − y = 3,8 + 4,44 = 0,4579 44

36

4) Z = 15,6 − 14,1 = 1,5 0,4579

0,4579

= 3,28

Rechazamos la hipótesis de que µ x = µ y ; aceptamos que existe diferencia entre ambas medias, al nivel del 5%.

21



50. Solución: x2 =

x1 = 5.000

s12 =

490.000 = 4.900 (cientos de $) 100

2.500.200.000 − 5.0002 = 25.002.000 − 25.000.000 = 2.000 100

s22 = 24.011.000 − 4.9002 = 24.011.000 − 24.010.000 = 1.000

yi = 20 + 0,2(5.000) = 20 + 1.000 = $1.020 (cientos de $) y2 = 520 + 0,1(4.900) = 520 + 490 = 1.010 (cientos de $)

( )

s 2y1 = 0,04 s12 = 0,04(2.000) = 80 (cientos de pesos ) 2

s 2y2 = 0.01(1.000) = 10 (cientos de pesos ) 2

1) H 0 : µ x = µ y

2) ∝ = 0,05

H a : µx > µ y

3) s x − y =

80 10 + = 0,9487 100 100

4) Z = 1.020 − 1.010 = 10 0,9487

0,9487

= 10,54

Se rechaza que µ x = µ y ; por lo tanto, se puede aceptar, con un nivel de significación del 5%, que el ahorro promedio de la Cía. A es mayor que el de la Cía. B.

22



PRUEBA DE HIPÓTESIS DE DISTRIBUCIONES DE DIFERENCIAS ENTRE DOS MEDIAS MUESTRALES

51. Solución: σ x = 0,70

σ y = 0,86

x = 3,32

n1 = 20

n2 = 28

y = 3,50

1) H 0 : µ x = µ y

2) ∝ = 0,05

H a : µx < µ y

∝ = 5%

x1 = 3,32 ; σ 1 = 0,70 x2 = 3,50 ; σ 2 = 0,86

3) σ y = 0,86 σ x = 0,70

A = (0,4500) ⇒ Z = 1,64 ó 1,65

4) Z =

3,32 − 3,50 0,7 2 0,862 + 20 28

= −0,80

Al nivel del 5%, no se debe aceptar lo que generalmente se dice, que el rendimiento de A es inferior a B. Unilateral izquierdo. * Se trabaja con n1 y n 2 ≤ 30, dado que se dan las desviaciones típicas poblacionales.

52. Solución: n1 = 36 n 2 = 40

x = 95 mil $ y = 110 mil $

1) H 0 : µ x − µ y = 0

2) ∝ = 0,05

H a : µx − µ y ≠ 0

sx = 15 mil $ s y = 18 mil $

3) s x = 15

∝ = 5%

x1 = 95 ; S 1 = 15 x 2 = 110 ; S 2 = 18

s y = 18

4) Z = 95 − 110 = −3,96 152 182 + 36 40

Al nivel del 5%, se puede afirmar que existen diferencias en el comportamiento de estos planes. Prueba bilateral.

23



* Se trabaja con las desviaciones típicas muestrales, dado que n1 y n 2 > 30


x = 94,3

s x = 14

n2 = 60

y = 89,7

s y = 17

1) H 0 : µ x = µ y

2) ∝ = 0,05

H a : µx > µ y

∝ = 0,05

H 0 = µ1 = µ 2 H1 = µ1 〉 µ 2

3) s x = 14 s y = 17

A (0,4500) ⇒ 1,64 ó 1,65

4) Z = 94,3 − 89,7 = 1,71 142 17 2 + 80 60

Al nivel del 5%, se puede afirmar un mayor rendimiento en el turno diurno. Unilateral derecha.

54. Solución: n1 = 40 n2 = 34

x = 310 y = 292

1) H 0 : µ x = µ y

s x = 20 s y = 26

2) ∝ = 0,10

H a : µx > µ y

∝ = 0,10

3) s x = 20 s y = 26

4) Z = 310 − 292 = 3,29 202 262 + 40 34

Al nivel del 10%, se puede aceptar el aumento en las ventas. Unilateral derecha.

24



55. Solución: n1 = 36 n2 = 32

x = 86.000 y = 80.000

1) H 0 : µ x = µ y

s x = 6.200 s y = 4.800

2) ∝ = 1%

Ha : µx > µ y

∝ = 1%

3) s x = 6.200 s y = 4.800

4) Z = 86.000 − 80.000 = 4,49 6.2002 4.8002 + 36 32

Al nivel del 1%, se puede aceptar la afirmación del mayor precio al que se vende el producto conocido con respecto a la nueva marca. Unilateral derecha.

56. Solución: n1 = 46 n2 = 35

x = 10 y = 12

1) H 0 : µ x = µ y

s x = 2,4 s y = 3,0

2) ∝ = 0,05

Ha : µx ≠ µ y

4) Z =

10 − 12 2,42 3,0 2 + 46 35

∝ = 0,05

3) s x = 2,4 s y = 3,0

= −3,23

Al nivel del 5%, se puede decir que si hay una diferencia significativa, en los resultados. Prueba bilateral.

57. Solución:

25



n1 = 82

x=

4.100 = 50 82

s x2 =

282.210 − 502 = 941,59 82

n2 = 41

y=

2.225 = 54,27 41

s 2y =

213.284 − 54,27 2 = 2.256,82 41

1) H 0 : µ x = µ y

2) ∝ = 0,05

H a : µx < µ y

3) s x2 = 941,59 s 2y = 2.256,82

A(0,4500) ⇒ Z = 1,64 ó 1,65

4) Z =

50 − 54,27 941,59 2.256,82 + 82 41

= −0,52

Al nivel del 5%, no se puede concluir que la segunda variable, sea superior a la primera. Unilateral izquierda.

DISTRIBUCIÓN DE DIFERENCIAS ENTRE DOS PROPORCIONES MUESTRALES

58. Solución: p1 =

30 = 0,75 40

1) H 0 : P1 = P2

p2 =

22 = 0,55 40

2) ∝ = 0,05

H a : P1 > P2

4) Z =

p1 − p2 = p1q1 p2 q2 + n1 n2

0,75 − 0,55 = 1,92 0,75(0,25) 0,55(0,45) + 40 40

Z = 1,92 se ubica en la región crítica, luego rechazamos la hipótesis nula y aceptamos la hipótesis alternativa. Se dirá que, al nivel del 5%, se puede aceptar la información de que el equipo debe ganar más partidos cuando juega de local y no como visitante.

26



59. Solución: 128 = 0,64 200 106 p2 = = 0,71 150 p1 =

n1 = 200 n2 = 150

2) ∝ = 0,05

1) H 0 : P1 = P2

∝ = 0,05

3) s p1 = p1q1

H a : P1 ≠ P2

4) Z =

s p2 = p2 q2

Z=

p1 − p2 p1q1 p2 q2 + n1 n2

0,64 − 0,71 = −1,39 0,64(0,36) 0,71(0,29) + 200 150

Al nivel del 5%, se puede concluir que no hay diferencia en cuanto a los hábitos de tomar café. Prueba bilateral.

60. Solución: 12 = 0,20 60 10 p2 = = 0,17 60 p1 =

n1 = 60 n2 = 60

1) H 0 : P1 = P2

2) ∝ = 0,05

H a : P1 ≠ P2

4) Z =

∝ = 0,05

3) s p1 = p1q1 s p2 =

p2 q2

0,20 − 0,17 = 0,42 0,2(0,8) 0,17(0,83) + 60 60

Al nivel del 5%, se puede concluir que el estado civil no influye en el rendimiento. Prueba bilateral.

27



61. Solución: 7 = 0,18 40 12 p2 = = 0,24 50 p1 =

n1 = 40 n2 = 50

1) H 0 : P1 = P2

2) ∝ = 0,10

∝ = 10%

3) s p1 = p1q1 s p2 =

H a : P1 < P2

4) Z =

p2 q 2

0,18 − 0,24 = −0,70 0,18(0,82) 0,24(0,76) + 40 50

Los anteriores resultados no le dan la razón al jefe de personal, al nivel del 10%. Unilateral izquierda.

62. Solución: 38 = 0,76 50 50 p2 = = 0,71 70

p1 =

n1 = 50 n2 = 70

1) H 0 : P1 = P2

2) ∝ = 0,05

H a : P1 > P2

4) Z =

∝ = 0,05

3) s p1 = p1q1 s p2 = p2 q2

0,76 − 0,71 = 0,62 0,76(0,24) 0,71(0,29) + 50 70

Estos resultados, al nivel del 5%, no confirman la afirmación del distribuidor. Unilateral derecha.

28



63. Solución: 26 = 0,65 40 30 p2 = = 0,75 40 p1 =

n1 = 40 n2 = 40

1) H 0 : P1 = P2

2) ∝ = 0,05

∝ = 0,05

3) s p1 = p1q1 s p2 =

H a : P1 ≠ P2

4) Z =

p2 q 2

0.65 − 0,75 = −0.98 0,65(0,35) 0,75(0,25) + 40 40

Al nivel del 5%, se puede concluir que la proporción de aceptación es igual sin importar el sexo. Prueba bilateral.

64. Solución: 375 = 0,75 500 325 p2 = = 0,65 500 p1 =

n1 = 500 n2 = 500

1) H 0 : P1 = P2

2) ∝ = 0,05

H a : P1 > P2

∝ = 0,05

3) s p1 = p1q1 s p2 = p2 q2

A = (0,4500) ⇒ Z = 1,64 ó 1,65

4) Z =

0,75 − 0,65 = 3,47 0,75(0,25) 0,65(0,35) + 500 500

Al nivel del 5%, si puede concluir que la aplicación de la droga A es mejor que la B. Unilateral derecha.

29



65. Solución: n1 = 100 n2 = 100

p1 = 64% p2 = 70%

∝ = 1%

2) ∝ = 0,01

1) H 0 : P1 = P2

3) s p1 = p1q1 s p2 =

H a : P1 < P2

4) Z =

p2 q 2

0,64 − 0,70 = −0,90 0,64(0,36) 0,7(0,3) + 100 100

No hay efectividad en las reformas introducidas al nivel del 1%. Unilateral izquierda.

66. Solución: 8 = 8% 100 6 p2 = = 6% 100 p1 =

n1 = 100 n2 = 100

1) H 0 : P1 = P2

2) ∝ = 0,05

∝ = 0,05

3) s p1 = p1q1

H a : P1 ≠ P2

4) Z =

s p2 = p2 q2

0,08 − 0,06 = 0,55 0,08(0,92) 0,06(0,94) + 100 100

Al nivel del 5%, se puede decir que no hay ninguna diferencia. Prueba bilateral.

30



67. Solución: 80 = 0,62 130 96 p2 = = 0,96 100 p1 =

n1 = 130 n2 = 100

1) H 0 : P1 = P2

∝ = 0,05

2) ∝ = 0,05

3) s p1 = p1q1 s p2 =

H a : P1 < P2

p2 q 2

A = (0,4500) ⇒ Z = 1,64 ó 1,65

4) Z =

0,62 − 0,96 = −7,25 0,62 (0,38) 0,96 (0,04) + 130 100

Si se puede dar apoyo a la tesis del sociólogo, al nivel del 5%. Unilateral izquierda.

68. Solución: 42 = 42% 100 61 p2 = = 61% 100

n1 = 100

∝ = 0,01

p1 =

n2 = 100

1) H 0 : P1 = P2

2) ∝ = 0,01

3) s p1 = p1q1 s p2 = p2 q2

H a : P1 < P2

4) Z =

0,42 − 0,61

0,42(0,58) 0,61(0,39) + 100 100

= −2,88

Al nivel del 1%, si se puede aceptar la afirmación hecha por el líder sindical. Unilateral izquierda.

31



69. Solución: 37 = 0,74 50 23 p2 = = 0,46 50

p1 =

n1 = 50 n2 = 50

1) H 0 : P1 = P2

2) ∝ = 0,05

∝ = 0,05

3) s p1 = p1q1 s p2 =

H a : P1 > P2

p2 q 2

A = (0,4500) ⇒ 1,64 ó 1,65

4) Z =

0,74 − 0,46 = 2,98 0,74(0,26) 0,46(0,54) + 50 50

Sí influye utilizar una modelo al nivel del 5%. Unilateral derecha.

70. Solución: 12 = 0,10 120 16 p2 = = 0,13 120

p1 =

n1 = 120 n2 = 120

1) H 0 : P1 = P2

2) ∝ = 0,05

H a : P1 < P2

4) Z =

∝ = 0,05

3) s p1 = p1q1 s p2 = p2 q2

0,10 − 0,13 = −0,73 0,10(0,9) 0,13(0,87) + 120 120

Al nivel del 5%, no hay razón para hacer dicha afirmación, no es mayor. Unilateral izquierda.

32



71. Solución: n1 = 120 n2 = 150

∝ = 0,05

p1 = 0,25 p2 = 0,15

3) s p1 = p1q1

2) ∝ = 0,05

1) H 0 : P1 = P2

s p2 =

H a : P1 ≠ P2

4) Z =

p2 q 2

0,25 − 0,15 = 2,04 0,25(0,75) 0,15(0,85) + 120 150

Al nivel del 5%, se puede aceptar dicha afirmación. Si es diferente.

DISTRIBUCIÓN “t” DE STUDENT DISTRIBUCIÓN DE MEDIAS MUESTRALES (muestras pequeñas)


x = 808.000

1) H 0 : µ = 800.000 H a : µ ≠ 800.000

sˆ = 16.000

2) ∝ = 5%

3) sˆ = 16.000

4) t = 808.000 − 800.000 = 8.000 28 = 2,64 16.000

28

16.000

Se rechaza la hipótesis de que µ = 500.000 , por lo tanto aceptamos que el verdadero ingreso medio por familias en la ciudad es diferente de $800.000, al nivel del 5%. NOTA:

Observe que se toma el nivel del 5%, a lado y lado de la RC.

33




n = 16

x = 10,4

v = 16 − 1 = 15

υ = 15

t = 1,7530

1) H 0 : µ = 10 H a : µ > 10

2) ∝ = 5%

sˆ = 0,5

∝ = 0,05

3) sˆ = 0,5

0,4(3,87) = 3,10 4) t = 10,4 − 10 = 0,4 15 = 0,5 15

0,5

0,5

Al nivel del 5%, se puede concluir que el sedal de la marca G, ofrece garantía de resistencia superior a 10 libras. Unilateral a la derecha. NOTA:

Por ser unilateral se toma el doble del nivel de significación en la RC.

74. Solución: µ =1

∝ = 0,05

t = 2,1318

υ=4

1) H 0 : µ = 1 Ha : µ > 1

2) ∝ = 0,05

n=5

x=

∑ x1 = 2,2 n

s=

∑(x1 − x ) = 1,64 n −1 2

3) s = 1,64 (corregida)

4) t = 2,2 − 1 = 1,64 1,64 5

Se acepta la hipótesis nula, se puede contratar a la aspirante, al nivel del 5%. * En las pruebas unilaterales, en la región crítica, se toma el doble del nivel de significación.

34



75. Solución: µ = 0,5 x=

∑x =1 n

s=

1) H 0 : µ = 0,5 H a : µ ≠ 0,5 4) t =

∝ = 0,05

n = 12

υ = 12 − 1 = 11

t = 2,2010

∑(x − x ) = 0,95 n −1 2

2) ∝ = 0,05

3) s = 0,95

x − µ 1 − 0,5 = = 1,82 s 0,95 n 12

Se acepta la hipótesis nula; puede considerarse que el promedio de nacimiento de mellizos por mes, es de 0,5 al nivel del 5%.

76. Solución: ∝ = 0,05

n=5

x=

∑ xi 6 = = 1,2 n 5

1) H 0 : µ = 2 Ha : µ < 2 4) t =

s=

µ =2

υ=4

t = −2,1318

∑(xi − x ) = 0,84 n −1

2) ∝ = 0,05

2

3) s = 0,84

x − µ 1,2 − 2 − 1,79 = = = −2,13 s 0,84 0,84 n 5

Se ubica − 2,13 en la zona de aceptación, por lo tanto al nivel del 5%, no debería desconectar el teléfono. También por la cercanía al punto crítico ( − 2,1318 ) se podría no tomar ninguna decisión, es decir, omitir juicio.

35



77. Solución: µ =7

n = 16

1) H 0 : µ = 7 Ha : µ ≠ 7

sˆ = 1,6

x = 5,8

2) ∝ = 0,05

∝ = 0,05

3) sˆ = 1,6

4) υ = n − 1 = 15 5) t = x − µ sˆ

t=

n −1

5,8 − 7 = −2,90 1,6 16 − 1

Al nivel del 5%, se puede concluir que la máquina no funciona correctamente. Prueba bilateral.


n = 20

1) H 0 : µ = 82 H a : µ ≠ 82

x = 75

2) ∝ = 0,05

sˆ = 9

3) sˆ = 9

∝ = 0,05

4) υ = n − 1 = 19

5) t = 75 − 82 = 3,39 9

20 − 1

La diferencia es significativa, el nivel del 5%. Prueba bilateral.


1) H 0 : µ = 78 H a : µ > 78

n = 25

x = 82

2) ∝ = 0,01

sˆ = 21

3) sˆ = 21

∝ = 0,01

4) υ = n − 1 = 24

36



5) t = 82 − 78 = 0,93 21 24

No se puede afirmar al nivel del 1% , que el carro sea superior. Unilateral derecha.


n = 25

1) H 0 : µ = 380 H a : µ < 380

x = 360

2) ∝ = 0,01

∝ = 1%

sˆ = 40

3) sˆ = 40

4) υ = n − 1 = 24

5) t = 360 − 380 = −2,45 40

24

No se puede admitir la afirmación de que el porcentaje es inferior al solicitado, al nivel del 1%. Unilateral izquierda.

81. Solución: µ = 18.250

n = 30

1) H 0 : µ = 18.250 H a : µ > 18.000

x = 19.500

2) ∝ = 0,05

sˆ = 3.000

3) sˆ = 3.000

∝ = 5%

4) υ = n − 1 = 29

5) t = 19.500 − 18.250 = 2,24 3.000

29

Se observa que 2,24 cae en la región crítica. Al nivel del 5%, se acepta la afirmación de la asociación, ya que el sindicato subestima el salario medio por día. Unilateral derecha.

37



82. Solución: µ = 8,10 meses

n = 25

1) H 0 : µ = 8,10 H a : µ < 8,10

2) ∝ = 0,05

x = 7,5 meses

3) sˆ = 3,54

sˆ 2 = 12,5 ⇒ sˆ = 3,54

4) υ = n − 1 = 24

5) Z = 7,5 − 8,10 = −0,83 3,54

24

La duración de las botas, no es inferior al señalado por el gerente de la empresa, al nivel del 5%. Unilateral izquierda.


n = 15

1) H 0 : µ = 200 H a : µ > 200

x = 210

2) ∝ = 0,01

sˆ = 11

∝ = 1%

3) sˆ = 11

4) υ = n − 1 = 14 5) t = 210 − 200 = 3,40 11 14

Es una prueba suficiente para concluir que el tiempo medio aumenta, al nivel del 1%. Unilateral derecha.

38



84. Solución: 2

µ = 160

n = 12

1) H 0 : µ = 160 H a : µ > 160

x=

2) ∝ = 0,01

1.943 = 161,92 12

1.943  323.699 − 12  12  s= = 28,75 12 − 1

3) s = 28,75 (corregida)

4) υ = 11

5) t = 161,92 − 160 = 0,23 28,75 12

Estos datos no nos permiten concluir que la media poblacional sea superior a 160, al nivel del 1%. Unilateral derecha.

85. Solución: 2

µ = 12

n=9

1) H 0 : µ = 42 H a : µ < 42

x=

354,5  14.106,25 − 9 9   s= = 4,23 9 −1

354,5 = 39,39 9

2) ∝ = 0,01

3) s = 4,23 (corregido)

4) υ = n − 1 = 8

5) t = 39,39 − 42 = −1,85 4,23

9

No se puede rechazar la afirmación del fabricante, pues no esta exagerando, al nivel 1%. Unilateral izquierda.

39



86. Solución: 2

µ = 48

x=

n=6

1) H 0 : µ = 48 H a : µ ≠ 48

246  12.260 − 6  6  = 20,85 s= 6 −1

246 = 41 6

2) ∝ = 0.05

3) s = 20,85 (corregido)

υ =5

5) t = 41 − 48 = −0,82 20,85

6

No se debe rechazar la afirmación del fabricante, al nivel del 5%. Prueba bilateral.

PRUEBA DE HIPÓTESIS DE DISTRIBUCIONES PROPORCIONALES


n = 20

1) H 0 : P = 0,30

∝ = 0,05

2) ∝ = 0,05

p=

8 = 0,40 20

3) s p = pq

H a : P > 0,30

υ = 20 − 1 = 19 t=

p−P pq n −1

t=

0,40 − 0,30 = 0,89 0,4(0,6) 20 − 1

Al nivel de 5% no se justifica afirmar que el procentaje de ahorradores, tienen un saldo superior al señalado por el gerente. Unilateral derecha.

40




p=

n = 28

1) H 0 : P = 0,03

2) ∝ = 0,05

2 = 0,07 28

∝ = 0,05

4) υ = 28 − 1 = 27

3) s p = pq

H a : P ≠ 0,03

5) t = 0,07 − 0,03 = 0,81 0,07(0,93) 28 − 1

Al nivel del 5%, se justifica afirmar que el fabricante cumple con lo prometido. Prueba bilateral.


p=

n = 30

1) H 0 : P = 0,70

2) ∝ = 0,05

19 = 0,63 30

∝ = 0,05

3) s p = pq

4) υ = 30 − 1 = 29

H a : P < 0,70

5) t = 0,63 − 0,70 = −0,78 0,63(0,37) 30 − 1

El encargado del negocio no exagera el porcentaje, al nivel del 5%. Prueba unilateral izquierda.

41




p=

n = 18

1) H 0 : P = 0,86

2) ∝ = 0,01

16 = 0,89 18

3) s p = pq

∝ = 1%

υ = 18 − 1 = 17

H a : P > 0,86 t=

0,89 − 0,86 = 0,40 0,89(0,11) 18 − 1

El equipo no es mucho más efectivo que el señalado por el fabricante, al nivel del 1%. Unilateral derecha.


p=

n = 25

1) H 0 : P = 0,30

2) ∝ = 0,05

7 = 0,28 25

∝ = 0,05

3) s P = pq

4) υ = 25 − 1 = 24

H a : P ≠ 0,30

5) t = 0,28 − 0,30 = −0,22 0,28(0,72) 25 − 1

Se puede justificar ésta crítica, al nivel del 5%. Prueba bilateral.

42




n = 30

1) H 0 : P = 0,70

p=

2) ∝ = 0,05

18 = 0,60 30

3) s P = pq

∝ = 0,05

υ = 30 − 1 = 29

H a : P < 0,70

t=

0,6 − 0,7 = −1,10 0,6(0,4) 30 − 1

No se puede asegurar que el porcentaje de efectividad sea inferior, al nivel del 5%. Unilateral izquierda.


n = 20

1) H 0 : P = 0,30

p=

2) ∝ = 0,10

9 = 0,45 20

∝ = 10%

3) s P = pq

υ = 20 − 1 = 19

H a : P > 0,30

t=

0,45 − 0,30 = 1,31 0,45(0,55) 20 − 1

El porcentaje no es superior al señalado por la oficina, al nivel del 10%. Unilateral derecha.

43




p=

n = 25

1) H 0 : P = 0,25

8 = 0,32 25

2) ∝ = 0,01

∝ = 1%

3) s P = pq

υ = 25 − 1 = 24

H a : P > 0,25

t=

0,32 − 0,25 = 0,74 0,32(0,68) 25 − 1

La nueva técnica no constituye un progreso en la reducción de la mortalidad post-operatoria, al nivel del 1%. Unilateral derecha.

DISTRIBUCIÓN DE DIFERENCIAS ENTRE DOS MEDIAS MUESTRALES

95. Solución: x1 = 58

s12 = 5

n1 = 15

x2 = 63

s22 = 8

n2 = 15

1) H 0 : µ x = µ y

2) ∝ = 0,05

∝ = 0,05

υ = 15 + 15 − 2 = 28

H 0 : µ1 = µ 2 H 1 : µ1 ≠ µ 2

t = 2,0484

H a : µx ≠ µ y

3) s x − y =

(15 − 1)5 + (15 − 1)8 1 + 1 = 0,93 15 + 15 − 2

15 15

4) t = 58 − 63 = − 5 = −5,38 0,93

0,93

Se ubica en la región de rechazo, por tanto aceptamos que µ x ≠ µ y , o sea que existe diferencia entre los coeficientes de digestibilidad de los ovinos y bovinos, al nivel del 5%.

44



96. Solución:

xi 1,5 2,5 3,5 2,5

yi 2,5 3,0 3,0 4,0 3,5 2,0 18,0

10,0 x=

10 = 2,5 4

(xi − x )2

0

2

y=

sx − y =

1 0 1 0

n1 = 4

2

s2 s2 + n1 n2

1) H 0 : µ x = µ y

yi − y -0,5 0 0 1,0 0,5 -1,0 0

18 = 3,0 6

Σ ( xi − x ) + Σ ( y i − y ) n1 + n2 − 2 2

s2 =

xi − x -1,0 0 1,0 0

s2 =

0,25 0 0 1,00 0,25 1,00 2,50 n2 = 6

2 + 2,50 = 0,56 4+6−2

sx − y =

2) ∝ = 0,10

( yi − y )2

0,56 0,56 + = 0,48 4 6

3) s x − y = 0,48

H a : µx ≠ µ y

4) t = 2,5 − 3,0 = −1,04 0,48

Se ubica en la región de aceptación. Se puede concluir que los procesos no dan resultados diferentes, al nivel del 5%. Prueba bilateral

45



97. Solución: xi 154 143 132 147 139 715

s2 =

xi − x 11 0 -11 4 -4 0

yi 144 131 155 126 134 690

(xi − x )2 121 0 121 16 16 274

( yi − y )2

yi − y 6 -7 17 -12 -4 0

x = 715 = 143 5

36 49 289 144 16 534

y=

690 = 138 5

274 + 534 808 = = 101 5+5−2 8

sx − y =

101 101 202 + = = 40,4 = 6,36 5 5 5

1) H 0 : µ x = µ y

2) ∝ = 0,05

3) s x − y = 6,36

H a : µx > µ y

4) t = 143 − 138 = 5 = 0,79 6,36

6,36

Se puede concluir que el nuevo método no ha aumentado la resistencia a la comprensión, al nivel del 5%. Unilateral a la derecha.


sx−y =

n2 = 7

x = 120

(12 − 1)457,45 + (7 − 1)425,33 12 + 7 − 2

1) H 0 : µ x = µ y

2) ∝ = 0,05

y = 101

s x2 =

1 1 + = 12,48 12 7

5.032 = 457,45 12 − 1

υ = 17

s 2y =

2.552 = 425,33 7 −1

t = 2,1098

3) sx − y = 12,48

H a : µx ≠ µ y

4) t = 120 − 101 = 19 = 1,52 12,48

12,48

46



Estos datos no nos indican que exista una diferencia significativa entre las ganancias medias en peso, al nivel del 5%. Bilateral 99. Solución: y i : $ 338 y=

393

416

363

375

420

447

412

∑ yi 4.966 = = 413,833 (miles ) n 12

s 2y =

∑ y i2 − ny 2

sx − y =

υ = 27

=

n2 −1

510

436

476

380 miles

x = 428 (miles)

2.081.268 − 12(413,83) = 2.382,25 miles de pesos 2 12 − 1 2

(

)

s x = 80 (miles )

(17 − 1)2.382,25 + (12 − 1)80 2 1 + 1 = 23,90 17 + 12 − 2

t = 2,052

1) H 0 : µ x = µ y

17 12

∝ = 0,05

2) ∝ = 0,05

3) s x − y = 23,90

H a : µx ≠ µ y

4) t = 428 − 413,833 = 0,59 23,90

Se ubica en la región de aceptación. Se puede concluir que no existe diferencia en los salarios de los empleados de las dos empresas, al nivel del 5%.

47



100. Solución: xi 12,6 13,4 11,9 12,8 13,0

yi 13,1 13,4 12,8 13,5 13,3 12,7 12,4 91,2

63,7 sx − y =

(xi − x )2

( yi − y )2

0,0196 0,4356 0,7056 0,0036 0,0676

0,0064 0,1444 0,0484 0,2304 0,0784 0,1024 0,3844 0,9948

1,2320

0,22 0,22 + = 0,27 5 7

1) H 0 : µ x = µ y

x=

63,7 = 12,74 5

y=

91,2 = 13,02 7

s2 =

υ = 10

1,2320 + 0,9948 2,2268 = = 0,22 10 10

t = 2,2281

3) s x − y = 0,27

2) ∝ = 0,05

H a : µx ≠ µ y

4) t = 12,74 − 13,02 = − 0,28 = −1,04 0,27

0,27

La diferencia no es significativa, al nivel del 5%. Prueba bilateral.


n2 = 15

x = 131

υ = 15 + 15 − 2 = 28

∝ = 0,10

1) H 0 : µ x = µ y

2) ∝ = 0,05

y = 136

s x = 6,25

t = −1,7011

s y = 4,65

H 0 : µ1 = µ 2 H 1 : µ1 〈 µ 2

H a : µx < µ y

3) s x − y =

(15 − 1)39,06 + (15 − 1) 21,62 15 + 15 − 2

1 1 + = 5,51(0,365) = 2,01 15 15

48



4) t = 131 − 136 = − 5 = −2,49 2,01

2,01

Los anteriores resultados sí indican que la segunda calidad de tela es superior, al nivel del 5%. 102. Solución: x=

250 = 25 10

∑ yi2 = 80 n22

s x2 =

6.500 − 10(25) = 27,28 10 − 1 2

∑ yi2 = 152 (80) = 18.000

1) H 0 : µ x = µ y

35 =

18.000 − y2 15

y 2 = 1.165

y = 34,13

2) ∝ = 0,05

H a : µx ≠ µ y

(10 − 1)27,78 + (15 − 1)35 1 + 1 = 2,32

3) s x − y =

25 − 2

10 15

4) t = 25 − 34,13 = − 9,13 = −3,94 2,32

2,32

υ = n1 + n2 − 2

∝ = 0,05

υ = 10 + 15 − 2 = 23

t = 2,0687

Se ubica en la región crítica, por lo tanto, se acepta que no le es indiferente comprar la maquinaria, ya que las diferencias presentadas son significativas, al nivel del 5%.

103. Solución: x = 26.000

1) H 0 : µ x = µ y

y = 25.000

2) ∝ = 0,05

n1 = 16

3) s x − y =

H a : µx > µ y

4) t =

n2 = 16

s x = 4.200

s y = 2.800

15(17.640.000) + 15(7.840.000) 1 1 + = 1.261,94 16 + 16 − 2 16 16

x − y 26.000 − 25.000 = = 0,79 sx − y 1.261,94

49


υ = 16 + 16 − 2 = 30


t = 1,6973

No existe evidencia, al nivel del 5%, de que la marca A sea superior a B. Prueba unilateral derecha. 104. Solución: n1 = 20

n2 = 12

x = 7,5

1) H 0 : µ x = µ y

4) t =

s x = 0,24

s y = 0,30

∝ = 0,05

2) ∝ = 0,05

H a : µx ≠ µ y

3) s x − y =

y = 7,4

υ = 30

(n1 − 1)s x2 + (n2 − 1)s y2 1 1 + n1 + n2 − 2

n1

n2

x−y 7,5 − 7,4 = = 1,04 sx − y 19(0,0576) + 11(0,09) 1 1 + 20 + 12 − 2 20 12

Se acepta la hipótesis nula; la diferencia no es significativa, al nivel del 5%. Bilateral


∝ = 0,05

n2 = 11

1) H 0 : µ x = µ y

x = 58

∑ xi2 = 37.286

∑ xi = 638

y = 55,73

∑

= 34.367

∑ yi = 613

yi2

2) ∝ = 0,05

H a : µx > µ y ∑(x − x ) + ∑( y i − y ) n1 + n 2 2

s2 =

3) s 2 =

2

[37.286 − 11(58) ]+ [34.367 − 11(55,73) ] = 24,24 2

2

11 + 11 − 2

4) υ = n1 + n2 − 2 = 20

50


t=

x−y 2

t=

2

s s + n1 n2


58 − 55,73 = 1,08 24,24 24,24 + 11 11

Al nivel del 5%, no se puede concluir que la proteína de maní tostado tiene un menor efecto que el crudo, al nivel del 5%. Unilateral derecha. 106. Solución: n1 = 16

x = 112

s x2 = 64

∝ = 0,05

n2 = 14

y = 107

s y = 10

s 2y = 100

1) H 0 : µ x = µ y

2) ∝ = 0,05

3) sx − y =

(n1 − 1)sx2 + (n2 − 1)s2y 1 1 +

H a : µx ≠ µ y

n1 + n2 − 2

n1

n2

υ = n1 + n2 − 2 = 28

4) t =

112 − 107 = 1,52 (16 − 1)64 + (14 − 1)100 1 + 1 16 + 14 − 2 16 14

No existe una diferencia que se considere significativa entre el coeficiente de inteligencia según la jornada, al nivel del 5%. Prueba bilateral.


x = 40

∝ = 5%

∑ xi2 = 44.500

n2 = 25

y = 50

υ = n1 + n2 − 2 = 48

∑ yi2 = 78.000

s2 =

[∑ x

2 i

] [

− n1 x 2 + ∑ y i2 − n 2 y 2 n1 + n 2 − 2

1) H 0 : µ x = µ y H a : µx < µ y

]

2) ∝ = 0,05

[

] [

]

2 2 3) s 2 = 44.500 − 25(40) + 78.000 − 25(50) = 416,67

50 − 2

51


4) t =


40 − 50 = −1,73 416,67 416,67 + 25 25

Al nivel del 5%, si se puede concluir con base en estos datos que los empleados de la compañía B se presentan a una edad mayor que los de la compañía A, al nivel del 5%. Unilateral izquierda. 108. Solución: n1 = 8

∑ xi = 64,8

x = 8,1

∑ xi2 = 534,58

n2 = 6

∑ yi = 52,4

y = 8,73

∑

1) H 0 : µ x = µ y

yi2

= 470,30

∝ = 0,05

υ = n1 + n2 − 2 = 12

2) ∝ = 0,05

H a : µx < µ y

3) s 2 =

s2 =

4) t =

[∑ x

2 i

] [

− n1 x 2 + ∑ yi2 − n2 y 2 n1 + n2 − 2

]

[534,58 − 8(8,1) ]+ [470,30 − 6(8,73) ] = 1,89 2

2

6+8−2

8,1 − 8,73 1,89 1,89 + 8 6

= −0,85

Al nivel del 5%, el resultado no sugiere que el valor de B produce mayor utilidad que el valor de A. Unilateral izquierda.


x = 3,5

s x = 0,5

∝ = 0,05

n2 = 12

y = 3,7

s y = 0,4

υ = n1 + n2 − 2 = 20

1) H 0 : µ x = µ y

2) ∝ = 0,05

H a : µx < µ y

52



(n1 − 1)s x2 + (n2 − 1)s 2y 1 1 (10 − 1)0,52 + (12 − 1)0,42 1 + 1 = 0,1917 + sx − y =

3) s x − y =

n1 + n2

n1

10 + 12 − 2

n2

10

12

4) t = 3,5 − 3,7 = −1,04 0,1917

No se puede afirmar, al nivel del 5%, que el método B es más efectivo que el método A. Unilateral izquierda.


s = 14,24 (corregido)

x = 117,7

1) H 0 : µ x = 110 H a : µ x > 110

2) ∝ = 0,05

∑ (x1 − x )

3) s =

2

4) υ = n − 1 = 9

n −1

5) t = x − µ s

t=

n

∝ = 5%

117,7 − 110 = 1,71 14,24 10

Los anteriores resultados no son una buena base para afirmar, al nivel del 5%, que el programa sea más efectivo. Unilateral derecha. b) Siendo el valor de $112.000 semanal, se esta cometiendo un error de Tipo II (aceptando algo falso) aceptar a $110.000 cuando es $112.000. c) n1 = 10

x = 117,7 y = 105,71

n2 = 14

1) H 0 : µ x = µ y

s x = 14,24 s y = 22,09

∝ = 0,05 υ = n1 + n2 − 2 = 22

2) ∝ = 0,05

H a : µx > µ y

3) s x − y =

(n1 − 1)s x2 + (n2 − 1)s 2y 1 1 + n1 + n2 − 2

n1

n2

53



(10 − 1)14,242 + (14 − 1)22,092 1 + 1 = 7,98

sx − y =

10 + 14 − 2

10 14

4) t = 117,7 − 105,71 = 1,50 7,98

El programa no produce los efectos que sostiene el gerente, al nivel del 5%. Unilateral derecha.


∑ xi = 751

x = 75,1

∑ xi2 = 56.459

∝ = 0,05

n2 = 10

∑ yi = 824

y = 82,4

∑ yi2 = 68.018

υ = n1 + n2 − 2 = 18

1) H 0 : µ x = µ y

2) ∝ = 0,05

H a : µx < µ y

3) s 2 =

s2 =

[∑ x

2 i

] [

− nx 2 + ∑ yi2 − ny 2 n1 + n2 − 2

]

[56.459 − 10(75,1) ]+ [68.018 − 10(82,4) ] = 9,96 2

2

10 + 10 − 2

4) t = 75,1 − 82,4 = −5,17 9,96 9,96 + 10 10

Si se puede afirmar que el plan de incentivos fue efectivo, al nivel del 5%. Unilateral izquierda.


x = 905

s x = 25

∝ = 0,10

n2 = 20

y = 925

s y = 35

υ = n1 + n2 − 2 = 33

3) s x − y =

(n1 − 1)s x2 + (n2 − 1)s 2y 1 1 + n1 + n2 − 2

n1

n2

54


1) H 0 : µ x = µ y


2) ∝ = 0,10

H a : µx < µ y

sx − y =

(15 − 1)252 + (20 − 1)352 1 + 1 = 10,6404 15 + 20 − 2

15

20

4) t = 905 − 925 = −1,88 10,6404

Si hay suficiente evidencia que la resistencia al esfuerzo de los cables B sea superior a los de A, al nivel del 10%. Unilateral izquierda.


x = 40

s x2 = 10,0

∝ = 0,05

n2 = 7

y = 31

s 2y = 20,9

υ = n1 + n2 − 2 = 16

1) H 0 : µ x = µ y

2) ∝ = 0,05

H a : µx > µ y

3)

s xr − y

(n1 − 1)s x2 + (n2 − 1)s 2y 1 1 = +

sx − y =

n1 + n2 − 2

n1

n2

(11 − 1)10 + (7 − 1)20,9 1 + 1 = 1,8147 11 + 7 − 2

11 7

4) t = 40 − 31 = 4,96 1,8147

Si se puede concluir que en promedio, la iniciación de los síntomas operó más pronto cuando la toxina se administró por el conducto B, al nivel del 5%. Unilateral derecha.

55



DISTRIBUCIÓN DE DIFERENCIAS ENTRE DOS PROPORCIONES MUESTRALES 114. Solución: 14 = 0,70 20 10 p2 = = 0,63 16 p1 =

n1 = 20 n2 = 16

2) ∝ = 0,01

1) H 0 : P1 = P2 H a : P1 > P2

4) t =

t=

∝ = 0,01

υ = n1 + n2 − 2 = 34

3) s p1 − p2 =

p1q1 pq + 2 2 n1 − 1 n2 − 1

p1 − p2 p1q1 pq + 2 2 n1 − 1 n2 − 1

0,70 − 0,63 = 0,43 0,7(0,3) 0,63(0,37 ) + 20 − 1 16 − 1

Se puede concluir que el jefe de cartera tiene razón para hacer tal afirmación, al nivel del 1%. Unilateral derecha.

115. Solución: n1 = 20 n2 = 24

1) H 0 : P1 = P2 H a : P1 > P2

14 = 0,70 20 10 p2 = = 0,42 24 p1 =

2) ∝ = 0,05

∝ = 0,05

υ = n1 + n2 − 2 = 42

3) s p1 − p2 =

p1q1 pq + 2 2 n1 − 1 n2 − 1

56


4) t =


0,70 − 0,42 = 1,90 0,7(0,3) 0,42(0,58) + 20 − 1 24 − 1

Al nivel del 5% es valida la afirmación. Unilateral derecha. 116. Solución: 20 = 0,8 25 υ = n1 + n2 − 2 = 39

n1 = 25

p1 =

∝ = 0,05

p2 =

10 = 0,63 16

n2 = 16

2) ∝ = 0,05

1) H 0 : P1 = P2 H a : P1 ≠ P2

3) s p1 − p2 = 4) t =

p1 q1 p 2 q 2 + n1 n2

0,80 − 0,63 = 1,14 0,8(0,2) 0,63(0,37) + 25 − 1 16 − 1

Hay igualdad en las preferencias, conclusión que se llega con los datos obtenidos, al nivel de significación del 5%. Prueba bilateral.

117. Solución: 6 = 0,38 16 3 p2 = = 0,30 10

n1 = 16

p1 =

n2 = 10

1) H 0 : P1 = P2

∝ = 0,05

υ = n1 + n2 − 2 = 24

2) ∝ = 0,05

H a : P1 ≠ P2

3) s p1 − p2 =

p q2 p1q1 + 2 n1 − 1 n2 − 1

57


4) t =


0,38 − 0,30 = 0,40 0,38(0,62) 0,3(0,7) + 16 − 1 10 − 1

La preferencia no depende de los niveles de grasa, de acuerdo a los resultados obtenidos y al nivel del 5%. Prueba bilateral.

LIMITES DE CONFIANZA PRUEBAS CON DISTRIBUCIONES DE MEDIAS MUESTRALES


n = 25 x=µ ± z

σ =4

A(0,4500) → Z = 1,65

x = 168,52

P = 99%

σ n

 4  x = 20 ± 1,65   25 

x = 20 ±

6,60  21,32 =  5  18,68

119. Solución: σ = 2,48

n = 100

0,9900 = 0,4950 → Z = 2,57 2

 169,16 µsi = 168,52 ± 2,57 2,48 = 168,52 ± 2,57 (0,248) = 

 167,88

100


x = 35

s = 4,2

P = 95%

0,9500 = 0,4750 2

58



µ = 35 ± 1,96 4,2

60

A(0,4750) → Z = 1,96

 36,062

µS = 35 ±  8,23  = 35 ± 1,062 =   7,75  I  33,938


x = 40

s = 2,1

P = 95%

µS = 40 ± 1,96 

2,1    36 

I

 40,69  39,31

µS = 40 ±  4,12  = 40 ± 0,69 =   6 

I


x = 4,82

s = 0,1

P = 90%

A(0,4500) → Z = 1,65  4,838 µS = 4,82 ± 1,65 0,1 = 4,82 ± 0,018 =   4,802

80

I

123. Solución: x=

∑ xi 10 = =1 n 10 2 ∑ xi2 − nx 2 10,0074 − 10(1) s x2 = = = 0,0008 n −1 9

s x = 0,0008 = 0,028

µ S = 1± 1,8331 I

0,028 10

59



 1,016  0,984

µS = 1 ± 0,051 = 1 ± 0,016 =  3,16

I

υ = n − 1 = 10 − 1 = 9

124. Solución: x=

∑ xi 19.518 = = 1.301,20 n 15

s x2 =

∑ xi2 − nx 2 30.207.364 − 15(1.301,20) = = 343.610,17 n −1 14 2

s x = 343.610,17 = 586,18

υ = 15 − 1 = 14 µS = x ± t I

s n

µ S = 1.301,20 ± 2,14 I

586,18 15

 1.625,09  977,31

µS = 1.301,20 ± 323,89 =  I

125. Solución: x = 38,2 %

µS = x ± t I

n = 15

P = 99%

υ = 15 − 1 = 14

s n −1

µ S = 38,2 ± t I

sˆ = 5,2 %

5,2 14

 42,34%  5,2   = 38,2 ± 4,14 =   3,74   34,06%

µ S = 38,2 ± 2,9768  I

60



126. Solución: n = 14 P = 95%

x = 34,86 υ = n − 1 = 13

sˆ = 4,23 ∝ = 0,05

 4,23   4,23   = 34,86 ± 2,1604  13  3,60   

µ S = 34,86 ± t  I

 37,40  32,32

µS = 34,86 ± 2,54 =  I


x = 26,3

sˆ = 1,9

P = 99%

 1,9   1,9   = 26,3 ± 2,8188    22   4,69 

µ S = 26,3 ± 2,8188  I

 27,44  25,16

µS = 26,3 ± 1,14 =  I

128. Solución:  3,83    6 

a) µ S = x ± z  I

 19,48  14,31

µS = 16,9 ± 1,65  3,83  = 16,9 ± 2,58 =  I

 2,45 

Nota: cuando se conoce σ se le emplea de preferencia en vez de s; aunque se puede aplicar como en este caso.

61



b) xi 18,5 20,6 12,9 14,6 19,8 15,0 101,4

xi − x 1,6 3,7 -4,0 -2,3 2,9 -1,9 0

(xi − x )2

x=

2,65 13,69 16,00 5,29 8,41 3,61 49,65

101,4 = 16,9 6

s2 =

 3,15    6 

µ s = 16,9 ± t  I

49,65 = 9,93 5

s = 9,93 = 3,15

 3,15   19,49  = 16,9 ± 2,59 =   14,31  6 

µ s = 16,9 ± 2,0150  I

Nota: si se da σ deberá trabajarse directamente y no como aparece anteriormente con sˆ 129. Solución: n=5

t=

P = 95%

x −µ sˆ n −1

sˆ = 17,11 − µ 4 sˆ − 2,7764 = 12,39 − µ 4 ⇒ 0 = 29,5 − 2µ 2,7764

sˆ = ?

xs = 17,11

t

xi = 12,39

sˆ =x−µ n −1

2µ = 29,5

µ=

29,5 = 14,75 2

2,7764

sˆ = 17,11 − 14,75 2

2,7764sˆ = 2(2,36)

µ = 14,75 sˆ = 1,7

sˆ =

4,72 = 1,7 2,7764

62



130. Solución: x=

97,2 = 12,15 8

s x2 =

0,28 = 0,04 7

s x = 0,2

12,40 3,4995 (0,2) a) µ s = 12,15 ± t 0,2 = 12,15 ± = 12,15 ± 0,25 =  2,83

 11,90

8

I

b) H 0 : µ = 12,35 H a : µ ≠ 12,35 Sí se mantiene la producción de 12,35 onzas en promedio por tarro al nivel del 1%, la respuesta anterior se justifica diciendo que µ = 12,35 se encuentra dentro de los límites calculados, es decir entre 11,90 y 12,40.

xi 12,1 11,9 12,4 12,3 11,9 12,1 12,4 12,1 97,2

xi − x -0,05 -0,25 0,25 0,15 -0,25 -0,05 0,25 -0,05 0

(xi − x )2 0,0025 0,0625 0,0625 0,0225 0,0625 0,0025 0,0625 0,0025 0,2800

131. Solución: µ s = 374.000 ± 1,96 I

E = Zs x = ±2,58

 381.840 80.000 = 400  366.160

80.000 = 10.320 400

E = 10.320

63



132. Solución: x±z σ n

x ± 5,2

z

σ n

= 5,2

2,57

2,57σ = (3,16)5,2 ⇒

siendo : p = 99% = 0,9900

σ = 5,2

0,9900 = 0,4950 → z = 2,57 2

10

5,2(3,16) = 6,39 2,57

σ=

σ = 6,39


µs = x ± z σ

n

I

σ =8

x = 26

P = 99%

Z = 2,57

µ s = 26 ± 2,57 8 I

100

 28,06 20,55 = 26 ± 2,06 =  10 I  23,94 b) 1) H 0 : µ = 30 2) ∝ = 0,01 3) σ = 8 H a : µ ≠ 30

µ s = 26 ±

Como µ = 30 no se ubica dentro de los límites de confianza (28,06 y 23,94) hay razón para rechazar la hipótesis nula y aceptar la alternativa, es decir, que el término medio de la nicotina es diferente de 30, al nivel del 1%.


µ = x ±t

x = 612.000

s n −1

s 2 = 935.000

s = 966,95

∝ = 0,05

612.367,2 966,95  = 612.000 ± 367,20 =    30 − 1  611.632,8

µ = 612.000 ± 2,045 

υ = n − 1 = 29 ⇒ t = 2,045

∝ = 0,05

µˆ S = 612.367,2 µˆ I = 611.632,8

64



135. Solución: n =8

s = 3,50 (corregido)

x = 20,63

∝ = 0,01

υ = 8 −1 = 7

 24,96  16,30

a) µ = 20,63 ± 3,499  3,50  = 20,63 ± 4,33 =   8

b) 1) H 0 : µ = 22 H a : µ ≠ 22

2) ∝ = 0,01

3) s = 3,53

Observamos que H 0 : µ = 22 cae dentro de los límites 16,30 y 24,96, cuando esto ocurre se acepta la hipótesis nula, en caso contrario se rechaza. Al nivel del 1% no se puede afirmar que estos resultados sean diferentes al señalado por la empresa. 136. Solución: x=

n = 18

s2 =

1.351.000 = 79.470,51 18 − 1

2.700.000 = 150.000 semanal 18

s = 79.470,51 = 281,91

 150.140,20 a) µ = 150.000 ± 2,110 281,91 = 150.000 ± 140,20 =   149.859,80

18

υ = n − 1 = 17

t = 2,110

∝ = 0,05

b) 1) H 0 : µ = 152.000 H a : µ ≠ 152.000

2) ∝ = 0,05

3) µˆ S = 150.140,20 µˆ I = 149.859,80

Al nivel del 5%, no se puede afirmar que el salario promedio por semana es diferente a $152.000, ya que este valor cae por fuera de los límites de confianza al nivel del 5%. c) El error cometido es de tipo II 137. Solución: n=9

x=

2.531 = 281,22 9

s2 =

712.413 − 9(281,22) = 79,94 ⇒ s = 8,94 9 −1 2

65



 288,09 a) µ = x ± t s ⇒ x = 281,22 ± 2,306  8,94  = 281,22 ± 6,87 =  

n

9 

 274,35

v = n − 1 = 8  t = 2,306 ∝= 0,05 

b) 1) H 0 : µ = 280 H a : µ ≠ 280

3) µ S = 288,09 µ I = 274,35

2) ∝ = 0,05

Observemos que 280 cae dentro de los límites de confianza, al nivel del 5%, por tal razón se puede aceptar la afirmación.


x = 120

∝ = 2%

s = 25

Z = 2,33

P = 98%

a) µˆ = x ⇒ µˆ = 120 b) µˆ = x ± Z s ⇒ µˆ = 120 ± 2,33 25 = 120 ± 5,82 =  125,82 n

c) 1) H 0 : µ = 100 H a : µ ≠ 100

100

2) ∝ = 0,02

 114,18

3) µˆ S = 125,82 µˆ I = 114,18

Como µ = 100 cae por fuera de los límites, al nivel del 2%, se puede concluir que la velocidad promedio es diferente a los 100 kilómetros por hora.

DISTRIBUCIONES DE UNA PROPORCIÓN 139. Solución: p=

188 = 0,0376 5.000

q = 1 − 0,0376 = 0,9624

66



(0,9624)(0,0376) = 0,0362 = 0,0000072 = 0,002683

sp =

5.000

5.000

 0,0420  0,0332

a) PS = 0,0376 ± 1,65 ( 0,002683 ) = 0,0376 ± 0,0044 =  I

b) PS = 0,0376 ± 1,96 (0,002683) = 0,0376 ± 0,0053 =  0,0429

 0,0323

I

 0,0445  0,0307

c) PS = 0,0376 ± 2,57 ( 0,002683 ) = 0,0376 ± 0,0069 =  I

140. Solución: q=

95 = 0,11 826

sp =

p = 0,89

P = 90%

PS I = p ± z

pq n

0,89(0,11) 0,0979 = = 0,0001185 = 0,0108 826 826

 0,908 PS = 0,89 ± 1,65 (0,0108) = 0,89 ± 0,018 =  I  0,872


p = 0,60

a) Pˆ = p ± z

pq n

∝ = 1%

Z = 2,57

P = 99%

 0,73 0,6(0,4) Pˆ = 0,60 ± 2,57 = 0,6 ± 0,13 =  100  0,47

67


3) s p = pq

2) ∝ = 0,01

b) 1) H 0 : P = 0,62


H a : P ≠ 0,62

Nota: cuando la prueba es bilateral podemos utilizar los límites de confianza. Como P = 0,62 cae dentro de los límites 0,47 y 0,73, por lo tanto se acepta H 0 . El fabricante tiene razón, al nivel del 1%. c) Se está cometiendo un error de Tipo II, ya que estamos aceptando algo falso. Aceptar 0,60 cuando en realidad es 0,65.

142. Solución: p=

640 = 0,8 800

a) Pˆ = p ± z

n = 800

∝ = 1%

Z = 2,57

P = 99%

0,84 0,8(0,2) Pˆ = 0,80 ± 2,57 = 0,80 ± 0,04 =  800 0,76

pq n

b) 1) H 0 : P = 0,85

3) sP = pq

2) ∝ = 1%

H a : P ≠ 0,85

Nota: cuando la prueba es bilateral utilizamos los límites de confianza. Observamos que 0,85 cae por fuera, por lo tanto aceptamos la hipótesis alternativa H a : P ≠ 0,85 , de ahí que al nivel del 1% no aceptamos la aseveración. c) Pˆ = 0,80 ± E Z=

0,77 →  0,83 

E = 0,03 = Z

0,8(0,2 ) 800

0,03 = 2,12 ⇒ A (0,4830) × 2 = 96,60 0,8 (0,2 ) 800

P = 96,60%

68



143. Solución: p = 85 = 0,85 100

n = 100

pq n

a) Pˆ = p ± z

Z = 1,64 ó 1,65

P = 90%

Pˆ = 0,85 ± 1,64

0,15 (0,85) 0,91 = 0,85 ± 0,06 =  0 100  ,79

2) ∝ = 0,10

b) 1) H 0 : P = 0,80

3) s p = pq

H a : P ≠ 0,80

Nota: la prueba es bilateral, por lo tanto si P = 0,80 cae dentro de los límites, aceptamos H 0 : P = 0,80 , es decir, que el gerente tiene razón al afirmar que el 80% incluyen leche en la compra, al nivel del 10%. 144. Solución: p=

n = 80

52 = 0,65 80

P = 95% ⇒ Z = 1,96

0,75 0,65 (0,35) Pˆ = 0,65 ± 1,96 0,65 ± 0,10 =  80 0,55

pq n

a) Pˆ = p ± z

b) 1) H 0 : P = 0,56

2) ∝ = 0,05

H a : P ≠ 0,56

0,56 cae por dentro de los límites, si hay razón para aceptar la afirmación hecha por la Cámara de Comercio, al nivel del 5%.

DISTRIBUCIONES DE DIFERENCIAS ENTRE DOS MEDIAS MUESTRALES 145. Solución:

2

s x2 =

21 92 − 10   − nx  10  = 92 − 44,1 = 5,32 = n1 − 1 10 − 1 10 − 1

∑ xi2

2

69



2

32 136 − 16   ∑ − ny 16  136 − 64 2  sy = = = 4,80 = n2 − 1 16 − 1 16 − 1 yi2

x=

2

∑ xi 21 = = 2,1 n1 10

y=

υ = n1 + n2 − 2 = 26 − 2 = 24 ⇒

∑ yi 32 = =2 n2 16

t = 2,0639

(10 − 1)5,32 + (16 − 1)4,8

µ x − y s = (x − y ) ± t

10 + 16 − 2

I

µ x − y s = (2,1 − 2) ± 2,0639 119,88 24

I

1 1 + 10 16

0,1625 = 0,10 ± 2,0639 (2,2349) (0,403)

µ x − ys = 0,10 ± 1,86 = 

1,96 1  ,76

I

El valor de s x − y se podrá calcular así: s2 =

[92 − 10(2,1) ]+ [136 − 16(2) ] = 4,9958 ≅ 5 ; 2

2

10 + 16 − 2

siendo: s x − y =

5 5 + = 0,9 10 16

µ x − y = (2,1 + 2) ± 2,0639(0,9)  1,96  1,76

µ x − y = 0,1 ± 1,86 = 

146. Solución: s x2 = 1.482 = 41,16 36 sx − y =

s 2y =

1.830 = 28,59 64

41,16 28,59 + = 1,59 = 1,26 36 64

µ x − yS = (x − y ) ± Z (s x − y ) I

70



 17,94  12,06

µ x − yS = (75 − 60) ± 2,33 (1,26) = 15 ± 2,94 =  I

147. Solución: Primera parte: µ x − y = (x − y ) ± t

(n1 − 1)s x2 + (n2 − 1)s y2

µ x − y = (5 − 7,5) ± 2,12

n1 + n2 − 2

1 1 + n1 n2

8(8,01) + 8(5,15) 9+9−2

− 5,07 1 1 + = − 2,5 ± 2,57 =  9 9  0,07

(Siendo : υ = n1 + n2 − 2 = 16 y ∝ = 0,05 se tiene que t = 2,1199)

Segunda parte: 1) H 0 : µ x = µ y

2) ∝ = 0,05

3) s x − y = 1,21

H a : µx ≠ µ y

4) t =

x − y 5 − 7,5 = = −2,07 sx− y 1,21

υ = 16

∝ = 0,05

t = 2,1199

La diferencia no es significativa, al nivel del 5%. Prueba bilateral. También se pueden utilizar los límites de confianza (de la primera parte), como µ x − µ y = 0 Observemos que el cero, al nivel del 5%, cae dentro de ellos, por lo tanto la diferencia no es significativa. 148. Solución: n1 = 9 n2 = 20

360 = 40 9 960 y= = 48 20

x=

sx = 6

P = 99%

s y2 = 100 ⇒ s y = 10

∝ = 0,01

υ = 29 − 2 = 27

t = 2,771

71


a) µ x − y = (x − y ) ± t

(n1 − 1) s x2 + (n2 − 1) s y2 n1 + n2 − 2

µ x − y = (40 − 48) ± 2,771


1 1 + n1 n2

(9 − 1) 36 + (20 − 1)100 1 + 1 9 + 20 − 2

9

20

 2,01 − 18,01

µ x − y = − 8 ± 2,771 (9,00)(0,40) = −8 ± 10,01 = 

b) 1) H 0 : µ x = µ y

2) ∝ = 0,01

3) Ls = 2,01

H a : µx ≠ µ y

Li = −18,01

Sabiendo µ x − µ y = 0 , observamos que queda incluida dentro del intervalo, por lo tanto se acepta la hipótesis nula H 0 , es decir, la diferencia entre las medias muestrales no es significativa, al nivel del 1%.


∑ xi = 177,4

x = 25,34

∑ xi2 = 4.573,2

n2 = 5

∑ yi = 125,7

y = 25,14

∑ yi2 = 3.181,15

S2 =

[∑ x

2 i

] [

]

− n1 x 2 + ∑ yi2 − n2 y 2 = n1 + n2 − 2

υ = 12 − 2 = 10 ∝ = 0,05

t = 2,228

[4.573,2 − 7 (25,34) ] + [3.181,15 − 5 (25,14) ] = 2

2

7+5−2

s 2 = 9,94

a) µˆ x − y = (x − y ) ± t

s2 s 2 + n1 n2

µ x − y = (25,34 − 25,14) ± 2,228

b) 1) H 0 : µ x = µ y

 4,31 9,94 9,94 + = 0,20 ± 4,11 =  7 5 − 3,91

2) ∝ = 0,05

72



H a : µx ≠ µ y

3) t = 2,228

 υ = 10 para  ∝ = 0,05

Como µ x − µ y = 0 , observamos que se ubica dentro de los límites -3,91 y 4,31, estaremos aceptando H 0 . Al nivel del 5%, no podemos afirmar que hay desacuerdo entre ellos.

150. Solución: a) µ x − y = (272 − 335) ± 2,101

(10 − 1) 1.636 + (10 − 1) 1.892 10 + 10 − 2

1 1 + 10 10

µ x − y = −63 ± 39,46 = − 23,54 − 102,46

b) 1) H 0 : µ x = µ y

2) ∝ = 0,05

H a : µx ≠ µ y

 υ = 18 ∝ = 0,05

3) t = 2,01 para 

Siendo µ x − µ y = 0 , no cae dentro de los límites -102,46 y -23,54 de ahí que no aceptamos H 0 . Al nivel del 5%, si hay diferencias entre la resistencia media de esta fibras.

151. Solución: 854,58 745,42

a) µ s = 800 ± 2,33  150  = 800 ± 54,58  I

 41 

b) 1) H o : µ = 1.000 H a : µ > 1.000

Saldo promedio en cuentas corrientes

2) α = 1%

73



1.200 − 1.000 = 5,92 200 35

3) Z =

Al nivel del 1%, se puede concluir que sí es superior a los $1.200.000, las cuentas de ahorro. d) 1) H o : µ x = µ y

2) α = 0.05%

Ha :µx ≠ µ y

3) Z = 800 − 1.200

1502 2002 + 41 35

= − 9,73

Se observa que -9,73 cae en la región crítica, por lo tanto al nivel del 5%, hay una diferencia significativa en los saldos. e) 1) H o : µ x = µ y

2) α = 0.05%

Ha :µx < µ y

3) Z = 800 − 1.200

1502 2002 + 41 35

= − 9,73

Al nivel del 5%, se puede concluir que promedio en las cuentas corrientes es menor que el de los ahorros.

152. Solución: n1 =10

x =4

µ x − y = (4 − 3,6 )± 2,086

s x = 0,4

n2 =12

y = 3,6

s y = 0,03

0,4 2 0,032 + 10 12

0,66 0,14

µ x − y = 0,4 ± 0,26 

74



DISTRIBUCIÓN DE PROPORCIONES

153. Solución: p1 =

40 = 0,33 120

p2 =

55 = 0,37 150

 0,11 a) µ p1 − p2 = (0,33 − 0,37) ± 2,57 0,33(0,67) + 0,37(0,63) = −0,04 ± 0,15 =  120

150

 − 0,19

2) ∝ = 0,05

b) 1) H 0 : P1 = P2 H a : P1 ≠ P2

Se observa que P1 − P2 = 0 y se ubica dentro de los límites, por lo tanto se puede concluir que la diferencia entre éstas dos proporciones de preferencia no es significativa al nivel del 1%.

154. Solución: p1 =

10 = 0,63 16

p2 =

12 = 0,55 22

a) µP1 − P2 = (0,63 − 0,55) ± 2,028

υ = 36

t = 2,028

 0,42 0,63 (0,37) 0,55 (0,45) + = 0,08 ± 0,34 =  16 − 1 22 − 1 − 0,26

Nota: es muy común, en el caso de muestras pequeñas, donde debe utilizarse la “t” de Student, se obtenga la varianza pq dividiendo por n-1, tal como se hizo en el ejercicio anterior. b) 1) H 0 : P1 = P2

2) ∝ = 0,05

H a : P1 ≠ P2

Siendo P1 = P2 , la diferencia de P1 − P2 = 0 ubicándose dentro de los límites que permiten la aceptación de la hipótesis nula ( H 0 ), es decir, que los anteriores resultados no permiten concluir, una diferencia significativa de opción respecto a los nuevos incentivos.

75



155. Solución: 120 = 0,6 200 150 p2 = = 0,50 300 p1 =

n1 = 200

n2 = 300

a) µ p1 − p2 = (0,6 − 0,5) ± 1,96 µ p1 − p2 = ( p1 − p2 ) ± Z

P = 95%

Z = 1,96

∝ = 0,05

 0,19 0,6 (0,4) 0,5 (0,5) + = 0,10 ± 0,09 =  200 300  0,01

p1 q1 p2 q2 + n1 n2

b) 1) H 0 : P = 0,60

2) ∝ = 0,05

H a : P < 0,60

p1 q1 p2 q2 + n1 n2

3) s P1 − P2 = 4) Z =

Z=

p1 − p2 p1 q1 p2 q2 + n1 n2 0,6 − 0,5 = 2,22 0,6 (0,4) 0,5 (0,5) + 200 300

Como es una prueba unilateral seguimos este proceso. Observemos que 2,22 cae en la región crítica, por lo tanto podemos decir que en la segunda encuesta disminuyó su popularidad. NOTA: Se entiende mejor el problema si se invierten las proporciones, es decir, p1 = 0,50 y p2 = 0,60 y la prueba es unilateral izquierda. 156. Solución: n1 = 10 n2 = 18

6 = 0,60 10 10 p2 = = 0,50 18 p1 =

P = 0,90

υ = 10 + 18 − 2 = 26

∝ = 0,10

t = 1,706

76


µ p1 − p2 = ( p1 − p2 ) ± t


p1 q1 p2 q2 + n1 − 1 n2 − 1

µ p1 − p2 = (0,6 − 0,56) ± 1,706

 0,39 0,6 (0,4) 0,56 (0,44) + = 0,04 ± 0,35 =  10 − 1 18 − 1  − 0,31

157. Solución: υ = 16 + 20 − 2 = 34 ⇒

p1 = 18%

n1 = 16

P = 95%

p2 = 10%

n2 = 20

∝ = 0,05 (se toma el doble ∝ = 0,10 )

µ p1 − p2 = ( p1 − p2 ) ± t

t = 2,032

p1 q1 p2 p2 + n1 − 1 n2 − 2

µ p1 − p2 = (0,18 − 0,10) ± 2,032

0,18 (0,82) 0,1 (0,9) + 16 − 1 20 − 1

 0,32  − 0,16

µ p1 − p2 = 0,08 ± 0,24 = 

Los límites están entre -16% y el 32%

77



158. Solución: 14 = 0,70 20 17 p2 = = 0,85 20

n1 = 20

p1 =

n2 = 20

µ p1 − p2 = ( p1 − p2 ) ± t

P = 95%

υ = 20 + 20 − 2 = 38

∝= 0,05

t = 2,024

p1 q1 p q + 2 2 n1 − 1 n2 − 1

µ p1 − p2 = (0,70 − 0,85) ± 2,024

0,7 (0,3) 0,85 (0,15) + 20 − 1 20 − 1

 0,12  − 0,42

µ p1 − p1 = −0,15 ± 0,27 = 

Se podría decir que los límites están entre -0,42 y el 12%.

159. Solución: 16 onzas = 1 libra de café

a) 1) H 0 : µ = 16 H a : µ < 16 t=

n = 20

2) ∝ = 0,05

x = 15,1

sˆ = 6,3

3) sˆ = 6,3

15,1 − 16 = − 0,62 6,3 20 − 1

υ = n − 1 = 19

 t = 2,093 ∝ = 0,05

Al nivel del 5%, no se puede afirmar que se está vendiendo el producto por debajo del peso establecido de una libra. b) Si el valor verdadero es 15,5 onzas, se comete un error de Tipo II, ya que se está aceptando a 16 onzas, valor que es falso.

160. Solución:

78


∝ = 1%

n1 = 8

n2 = 6

Σ = ( xi − x ) = 8,215

x = 8,325


y=9

Σ = ( yi − y ) = 13,48

2

2

2) ∝ = 0,05

1) H 0 : P1 = P2 H a : P1 < P2

3) s 2 =

t=

8,215 − 13,48 = 1,81 8+6−2

s 2 = 1,81

8,325 − 9 = − 0,93 1,81 1,81 + 8 6

υ = n1 − n2 = 12

 t = 2,681 ∝ = 0,02

Cae (-0,93) en la ZA, por lo tanto al nivel del 1%, no se puede concluir que el valor de B produce una mayor utilidad que el valor A.

161. Solución: n1 = 120

n2 = 120

1) H 0 : P1 = P2

p1 = 108 = 0,90 120

p2 = 104 = 0,87 120

2) ∝ = 0,02

H a : P1 > P2 ∝ = 0,02 ⇒ A(0,4800) ⇒ Z = 2,05

Z =

0,90 − 0,87 0,03 = = 0,73 0 ,041 0,10 (0,90) 0,13 (0,87 ) = 120 120

0,73 cae en la zona de aceptación, por lo tanto al nivel del 2%, no se podrá afirmar que la asistencia en la primera fábrica sea superior a la segunda.

162. Solución:

79


n1 = 17 n2 = 8

x = 828 y = 808,75

1) H 0 : µ x = µ y


s x = 63 s y = 52,67

2) ∝ = 0,01

H a : µx ≠ µ y

υ = n1 + n2 − 2 = 23 

 t = 2,807 ∝ = 0,01 

µ x − y = (828 − 808,75) ± 2,807

16 (63) + 7 (52,67 ) 25 − 2 2

2

1 1 + 17 8



91,51  − 53,01

µ x − y = 19,25 ± 72,26 = 

Se acepta H 0 al nivel del 1%, por lo tanto no existe diferencia salarial

163. Solución: µ = 3,07 mg / cc

1) H 0 : µ x = 3,07 H a : µ x ≠ 3,07

n = 10

x = 3,04

s = 0,50

2) ∝ = 0,01

υ = n −1= 9

 t = 3,25 ∝ = 0,01 

t=

3,04 − 3,07 = − 0,19 0,5 10

Al nivel del 1%, se puede aceptar la afirmación del distribuidor, sobre el contenido medio de grasa. Prueba bilateral.

164. Solución:

80



n=7

x = 33,91

2 ∑ (xi − x ) = 43,95

n=5

y = 33,14

2 ∑ ( yi − y ) = 31,85

υ = 10

  t = 2,228 ∝ = 0,05 

s2 =

a) µ x − y = (33,91 − 33,14) ± 2,228 b) 1) H 0 : µ x = µ y

43,95 + 31,85 = 7,58 7+5−2

7,58 7,58 + 7 5

µ x − y = 0,77 ± 3,59 = 

4,36 − 2,82

2) ∝ = 0,05

Ha : µx ≠ µ y

Como µ x − µ y = 0 si el cero cae dentro de los límites, estamos aceptando H 0 , es decir, no hay diferencias o no están en desacuerdo, al nivel del 5%.

165. Solución: P = 0,10

p = 218 ≅ 0,09 2.500

1) H 0 : P = 0,10

2) ∝ = 0,05

H a : P ≠ 0,10

Z =

0,09 − 0,10 = − 1,75 0,09 (0,91) 2.500

-1,75 cae en la zona de aceptación. Al nivel del 5% se puede afirmar que el porcentaje es correcto.


x = 95,7

s x = 8,20

∝ = 1%

81


n2 = 50

y = 87,8

1) H 0 : µ x = µ y

s y = 6,64


Z = 2,33

2) ∝ = 0,05

H a : µx > µ y

3) Z =

95,7 − 87,8 8,2 2 6,64 2 + 50 50

= 5,29

5,29 cae en la región crítica. Al nivel del 1%, se acepta la afirmación del fabricante, que el promedio a la tensión de los tornillos A excede a los de B.

167. Solución: n1 = 100

p1 = 0,32

1) H 0 : P1 = P2

n2 = 80

p2 = 0,24

2) ∝ = 0,02

H a : P1 > P2

3) Z =

0,32 − 0,24

0,32 (0,68) 0,24 (0,76) + 100 100

= 1,26

1,26 cae en la zona de aceptación. Al nivel del 2%, se puede concluir que la segunda planta no presenta niveles menores de contaminación, al estar alimentadas con combustibles diferentes.

168. Solución: P = 0,40

p = 210 = 0,35 600

82


1) H 0 : P = 0,40


2) ∝ = 0,05

H a : P ≠ 0,40

3) Z =

0,35 − 0,40 = − 2,57 0,35 (0,65) 600

Z = -2,57 cae en la zona de rechazo, podemos concluir al nivel del 5%, que la proporción de fumadores es diferente al 40%.


n=8

1) H 0 : µ = 12 H a : µ ≠ 12

x = 12,14

s = 0,37

2) ∝ = 0,05

υ=7

  t = 2,365 ∝ = 0,05 

3) t =

12,14 − 12 = 1,07 0,37 8

t = 1,07 cae en la zona de aceptación. Al nivel del 5%, el personal no requiere de un promedio diferente a los 12 minutos.

170. Solución:

83



Se puede plantear con medias o proporciones muestrales. Supongamos que se realiza aplicando este último. El primer método produce un incremento del 12%, mientras que en el segundo es del 10%. Establecemos que el nivel es del 5% y los tamaños muestrales fueron 36 y 50 respectivamente. Los resultados permiten concluir que el primer método presenta un mayor incremento. 1) H 0 : P1 = P2

2) ∝ = 0,05

H a : P1 > P2

3) Z =

0,12 − 0,10 = 0,29 0,12 (0,88) 0,10 (0,9 ) + 36 50

Como Z = 0,29 cae en la zona de aceptación, al nivel el 5%, se podrá concluir que el primer método no produce mayor incremento con respecto al segundo método. 171. Solución: n1 = 250

n2 = 250

1) H 0 : P1 = P2

p1 = 18 = 0,07 250

p2 = 13 = 0,05 250

∝ = 0,05

2) ∝ = 0,05

H a : P1 > P2

3) Z =

0,07 − 0,05 = 0,94 0,07 (0,93) 0,05 (0,95) + 250 250

Z = 0,94 cae en la zona de aceptación. Al nivel del 5% no se puede afirmar que la tasa de desempleo en la segunda ciudad sea inferior al la primera.

172. Solución: a) Corresponde a las pruebas de normalidad para un conjunto de observaciones al comprobar si las mismas pueden haber resultado del muestreo aleatorio de una población supuestamente normal. Se puede decir que ser objeto es evaluar o probar una afirmación con respecto a un valor estadístico de la población.

84



b) La distribución “t” de Student se utiliza en muestras pequeñas, generalmente n ≤ 30 , cuando no conoce la varianza poblacional y se deba sustituir por el de la muestra. c) El error de tipo I se comete cuando rechazamos la hipótesis verdadera, cuando ella es falsa. d) La inferencia corresponde a la realización de investigaciones utilizando una parte de los elementos de la población (muestras) con la cual se obtiene unos resultados, denominadores estimadores, considerándolos representativos de los valores estadísticos de la población (parámetros).


n = 10

1) H 0 : µ = 24 H a : µ > 24

x = 26

sˆ = 3

2) ∝ = 0,01

υ=9

  t = 2,821 ∝ = 0,02 

t=

26 − 24 =2 3 10 − 1

t = 2 cae en la zona de aceptación. Al nivel del 2%, el tiempo promedio no es mayor de los 24 minutos.

174. Solución: Se deja al alumno la contestación de este punto, con el cual se le facilita recordar conceptos que aprendió en clase y en la lectura de éste u otros textos.

85



175. Solución: P = 0,05

n =191

1) H 0 : P1 = 0,05

p = 14 = 0,07 191

2) ∝ = 0,05

H a : P1 > 0,05

3) Z =

0,07 − 0,05 = 1,08 0,07 (0,93) 191

Z = 1,08 cae en la zona de aceptación. Al nivel del 5%, no se justifica suponer que el requisito no se está cumpliendo. Unilateral derecha.

86


Cap.9 Otras pruebas de hipótesis Paramétricas y no paramétricas

9 Otras pruebas de hipótesis PARAMETRICAS

Y NO PARAMETRICAS

EJERCICIOS RESUELTOS PRUEBA DE HIPOTESIS DE UNA VARIANZA 1. Solución: a) n = 20

s = 10

s 2 = 100

υ = n −1 =19

 χ 2   = 0,469    υ  0,025 ; 19 Valores críticos  2  χ  = 1,73  υ  0 , 975 ; 19 

χ2 < 1,73 υ

→

0,469 <

< 1,73

→

100 100 > σ2 > 0,469 1,73

→

100 100 < σ2 < 1,73 0,469

→

0,469 <

7,60 < σ < 14,59

sˆ 2

σ

2

1 σ2 1 > 2 > ˆs 0,469 1,73 10 < σ < 1,73

10 0,47

→

→


b) n = 51

s = 10


s 2 = 100

 χ2    = 0,647  υ    0,025 ; 50 Valores críticos  χ2    = 1,43  υ    0,975 ; 50

χ2 < 1,43 υ

→

0,647 <

100 100 <σ2 < 1,43 0,647

→

10 <σ < 1,43

0,647 <

100

σ

2

< 1,43

→

1 1 σ2 > > 0,647 100 1,43

10 0,647

→

8,36 < σ < 12,43

< 1,36

→

1 σ2 1 < 2 < 1,36 sˆ 0,697

10 0,697

→

10 10 <σ < 1,1662 0,8348


s = 10;

s 2 = 100

 χ2    = 0,697  υ    0, 025 ; 70  χ2    = 1,36  υ    0,975 ; 19

0,697 <

χ2 < 1,36 υ

100 100 <σ2 < 1,36 0,697

→

→

0,697 <

sˆ 2

σ2

10 <σ < 1,36

8,57 < σ < 11,98

2



b) n = 120  χ2    = 0,763  υ    0, 025 ; 120  χ2    = 1,27  υ    0,975 ; 120 0,763 <

χ2 < 1,27 υ

1 σ2 1 > > 0,763 100 1,27 10 <σ < 1,27

10 0,763

s2

100

→

0,763 <

< 1,27

→

0,763 <

→

100 100 >σ2 > 0,763 1,27

→

100 100 <σ2 < 1,27 0,763

→

10 10 <σ < 1,1269 0,8735

→

8,87 < σ < 11,45

σ

2

σ2

< 1,27

3. Solución: sˆ = 7

σ =5

n = 15

 σ2 σ2 =1  H o : 2 = 25 σ0 1)  2 H : σ ≠ 1  a 25

2) ∝ = 0,05

∝ = 0,025 2

χ 4)   = 0,402  υ  0, 025 ; 14 

2



 χ2    = 1,87 υ   0,975 ; 14

∝ = 0,975 2

5) 0,402 >

3)

χ 2 Sˆ 2 = υ 25

χ2 > 1,87 υ

7) Rechazar H o y aceptar H a:

6) σ2 25

Sˆ 2

σ

2

=

49 = 1,96 25

≠1

3



4. Solución: a)

b) 99% de confianza

95% de confianza 0,402 <

S2

< 1,87

2 0,291 < S 2 < 2,24

< 1,87

0,291 < 492 < 2,24

1 1 σ2 > > 0,402 49 1,87

1 > σ2 > 1 0 ,291 49 2,24

0,402 <

σ

2

49

σ2

1 1 σ2 < < 1,87 49 0,402 49 49 < σ2 < 1,87 0,402 7 1,87

< σ

<

7

σ

σ

49 < σ 2 < 49 2,24 0,291 7 <σ < 2,24

7 0,291

7 <σ < 7 1,50 0,54

0,402

7 7 < σ < 1,37 0,63

5,11 < σ < 11,11

4,67 < σ < 12,96

4



5. Solución: σ = 20

s = 10

n = 25

  σ2 σ2  H o : 2 = 2 = 1 σ 0 20 1)   2 H : σ ≠ 1   a 202 

2) ∝ = 0,05

 χ 2  s2 s2 = 2 = 400 υ  σ

3) 

 χ2   χ2   4)   = 0,517 ;  = 1,64   υ 0, 025 ; 24  υ 0,975 ; 24

Rechazar H 0 y aceptar H a:

σ2 25

 χ2   χ2  5)   > 1,64 ;   < 0,517  υ   υ  2 6) s 2 = 100 = 0,25

≠1

20

400

6. Solución: ∝ = 0,05

n = 22

x

x2

12,7 13,1 12,3 12,6 13,2 12,9 12,8 13,0 13,6 12,4 13,1 14,6

161,29 171,61 151,29 158,76 174,24 166,41 163,84 169,00 184,96 153,76 171,61 213,16

σ = 0,5

Continuación x

x2

12,6 13,8 12,4 13,4 14,1 12,7 13,3 13,5 13,4 12,5 288,0

158,76 190,44 153,76 179,56 198,81 161,29 176,89 182,25 179,56 156,25 3.777,50

5


∑ xi

x=

n

288 = 13,09 22

=

σ2

a) 1) H 0 :

σ2

2 ∑ xi2 − n x 2 = 3.777,50 − 22 (13,09) = 0,36

n

22

2) ∝ = 0,05

=1

0,52

Ha :

s2 =


≠1

0,52

s s χ 3)   = 2 = 2 0,5  υ  σ 

2



2

2

χ 4)   = 0,480  υ 0, 025 ; 21 

2



 χ2   χ2  5)   ≤ 0,480 ;   ≥ 1,71 υ  υ 

 χ2    = 1,71  υ    0,975 ; 24

6)

s2

σ2

0,36 = 1,44 0,25

=

sˆ 2

7) H 0 :

σ2 =1 σ 02

< 1,71

⇒

0,480 <

0,36 0,36 >σ > 0,480 1,71

⇒

0,60

0,60 0,60 <σ < 1,31 0,69

⇒

b) 0,480 <

σ2

0,480

0,36

σ2

Aceptamos la hipótesis

< 1,71

⇒

1 σ2 1 > > 0,480 0,36 1,71

0,60

⇒

0,60 0,60 >σ > 0,69 1,31

>σ >

1,71

0,46 < σ < 0,87

7. Solución:

(∑ xi )2 n

x=

= 1.000

(∑ xi )2 = 1.000 (100) = 100.000

∑ x = 316,23 = 3,16 n

100

s2 =

∑ xi

= 100.000 = 316,23

∑ xi2 − x 2 = 2.000 − 3,16 2 = 20 − 9,99 = 10,01 n

100

6


a) 1) H 0 : Ha :

σ2 8

σ2 8

2) ∝ = 0,05

=1 ≠1

χ 3)   = 0,742  υ  0, 025 ; 100

 χ2     υ  > 1,30  

χ 4)   = 1,30  υ 0,975 ; 100

 χ2     υ  < 0,74  



2



5)

2

s2

σ

2





=


10,01 = 1,25 8

6) Aceptamos que

σ2 8

= 1 , por lo tanto se puede admitir que la varianza anterior era 8, al

nivel de significación del 5%.

Nota: del ejercicio 8 hasta el 15 se le deja al estudiante para que sean resueltos.

7



PRUEBAS DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE PEARSON

16. Solución: H0 : ρ = 0 Ha : ρ > 0

1) H 0 : R = 0 Ha : R > 0

3) υ = 20 − 2 = 18

4) t = r

2) ∝ = 0,05 t0,10 = 1,7341

H 0 : No hay correlación H 0 : Hay correlación

n−2 1 − r2

t = 0,37

18 = 0,37 (4,57 ) = 1,69 1 − 0,37 2

1,69 < 1,7341. Se acepta la hipótesis nula. No se puede deducir al nivel del 5%, que el coeficiente de correlación de la población difiere de 0. No hay correlación

17. Solución: H0 : ρ = 0 Ha : ρ ≠ 0

1) H 0 : R = 0 Ha : R ≠ 0

2) ∝ = 0,05 4) t = r

3) υ = 18 − 2 = 16

n−2 1 − r2

t = − 0,92

16 = − 9,39 2 1 − (− 0,92)

-9,39 < -2,1192. Se ubica en la zona de rechazo. Se puede concluir al nivel del 5% que el coeficiente de correlación es extremadamente significativo.

8



18. Solución:

∑ xi = 660 = 60

x =

n

∑ xi2 r=

11

= 41.210

[∑

− n (x )

2

] [∑

n

880 = 80 11

∑ xi yi

= 52.593

yi2

− n (y)

2

]

52.593 − (60) (80)

r

[41.210 − 11 (60) ] [70.864 − 11 (80) ] 2

= − 0,239

2

H0 : ρ = 0 Ha : ρ ≠ 0

1) H 0 : R = 0 Ha : R ≠ 0

3) υ = 11 − 2 = 9

2) ∝ = 0,05 4) t = r

=

2 ∑ y i = 70.864

∑ xi y i − n x y xi2

∑y

y=

n−2 1 − r2

t = − 0,239

9 = − 0,74 1 − 0,057

Se acepta H 0 . Al nivel de significación del 5%, se puede concluir que no existe correlación entre las calificaciones de matemáticas II y estadística II.

19. Solución: r=

∑ xi r=

n ∑ xi yi − (∑ xi ) (∑ yi )

[n ∑ x = 28

2 i

− (∑ xi )

2

∑ xi2

] [n ∑ y

2 i

− (∑ yi )

= 102

2

∑ xi yi

10 (143) − (48) (28)

[10 (102) − (28) ] [10 (260) − (48) ] 2

] = 143

∑ yi

= 48

∑ yi2

= 260

= 0,33

2

9



2) ∝ = 0,05

1) H 0 : R = 0 Ha : R > 0

3) υ = 10 − 2 = 8 4) t = r

n−2 1 − r2

t = 0,33

8 = 0,99 1 − 0,11

0,99 < 1,86. Se acepta H 0 , es decir, que no existe correlación entre las actitudes obtenidas con la muestra, ante los dos tipos de salsa.

20. Solución: z=

z − µz

µz =

σz =

σz

1 + r  1  In  2 1- r   1 + 0,9 

 µ z = 1,1513 log10   1 - 0,9 

1 = n−3

1 1 = = 0,18 35 − 3 5,66 1 + r 

 µ z = 1,1513 log10  1- r  ⇒

 1,9   = 1,1513 (1,2787 ) = 1,4721  0,10 

µ z = 1,1513 log10 

Ahora determinamos el valor de la variable Z 1 + r   z = 1,1513 log10  1- r 

 1 + 0,8   = 1,1513 (0,9542) = 1,0986 z = 1,1513 log10   1 - 0,8 

Los valores de µ z y Z se pueden obtener utilizando la tabla de transformación de r en Z. Buscamos en la columna de r el valor de 0,9 y nos da 1,472, luego el de 0,8 y Z será igual a 1,099.

10



Con los anteriores valores, reemplazamos en la variante estadística. H 0 : ρ = 0,90 H a : ρ ≠ 0,90

1) H 0 : R = 0,90 H a : R ≠ 0,90

2) ∝ = 0,05 3) σ z = 0,18 4) z =

z − µz

σz

=

1,0986 − 1,4721 = − 2,075 0,18

Al nivel del 5% se rechaza la hipótesis de que el coeficiente de correlación es de 0,90, es decir que el coeficiente de correlación de 0,8 no proviene de una población con un coeficiente de 0,9. Nota: se hubiera podido hacer una prueba unilateral hacia la izquierda. a) H 0 : R = 0,9

∝ = 0,05

H a : R < 0,9

La conclusión será la misma que la dada en la dócima bilateral.

21. Solución: σz =

1 1 = = 0,2182 n−3 21

(Usando la tabla se obtiene 0,973) 1) H 0 : R = 0,60

 1 + 0,6   = 0,6932  1 - 0,6 

µ z = 1,1513 log10 

 1 + 0,75   = 0,9730 z = 1,1513 log10   1 - 0,75 

2) ∝ = 0,05

H a : R > 0,60

3) σ z = 0,2182

11


4) z =

z − µz

σz

=


0,973 − 0,6932 = 1,28 0,2182

Se acepta la hipótesis de que R = 0,60; no se puede rechazar que el coeficiente de correlación r = 0,75, en una muestra, no pertenezca a una población con coeficiente de correlación 0,60.


1 = 0,143 52 − 3

µ z si = z ± zσ 2 0,87  0,31

µ zsi = 0,590 ± 1,96 (0,143) = 

23. Solución: 1) H 0 : ρ = 0,60 H a : ρ > 0,60

1 1 = = 0,10 103 − 3 10

3) σ z =

4) z =

2) ∝ = 0,05

z − µz

z=

σz

1,472 − 0,693 = 7,79 0,10

Usando la tabla: z para r = 0,90 es igual a 1,472; µ z para r = 0,60 es igual a 0,693 Se rechaza la hipótesis de que el coeficiente de correlación es 0,60, al nivel del 5%


1 52 − 3

= 0,1428

P(r ≤ 0, 40 ) = ?

12


µ z = 0,678 (Utilizamos la tabla, cuando r = 0,59);

z=

z − µz

σz

=


z = 0,424 (En la tabla cuando r = 0,40)

0,424 − 0,678 = − 1,78 0,1428

z = − 1,78 → A (0,4625) A (0,5000 ) − A (0,4625) = 0,0375

P(r < 0, 40 ) = 3,75%

25. Solución: r = 0,65, en la tabla µ z = 0,775 y para r = 0,75 ⇒ Z = será igual a 0,973

Si la P(r ≥ 0,75) = 15% = 0,15 A (0,5000) − A (0,1500) = 0,3500 ⇒ z = 1,04 z=

z − µz

σz =

σz

0,973 − 0,775 = 0,19 ⇒ σ z = 1,04

n − 3 = 5,26 ⇒

1 n−3

⇒ 0,19 =

1 n−3

⇒

n − 3 = 5,26 2 ⇒ n − 3 = 28 ⇒ n = 28 + 3 = 31

n−3=

1 = 5,26 0,19

n = 31

26. Solución:  1 + r1   z1 = 1,1513 log   1 − r1 

 1 + 0,5   = 0,549 z1 = 1,1513 log   1 − 0,5 

(ver tabla)

13


 1 + 0,30   = 0,310 z2 = 1,1513 log   1 − 0,30 

1) H 0 : µ z1 = µ z 2

σ z1 − z 2 =

(ver tabla)

2) ∝ = 0,05


1 1 + = n1 − 3 n2 − 3

1 1 + = 0,2669 25 32

3) σ z1 − z 2 = 0,2669

H a : µ z1 ≠ µ z 2

4) z =

z=

(z1 − z2 ) − (µ z σ z1 − z 2

− µ z2

1

)

(0,549 − 0,310) − 0 = 0,8955 0,2669

Z = 0,8955 se sitúa en la zona de aceptación, es decir, no existe una diferencia significativa entre los coeficientes de correlación obtenidos en las muestras. 27. Solución:  1 + r1   z1 = 1,1513 log   1 − r1   1 + 0,8   = 1,099 z1 = 1,1513 log   1 − 0,8 

 1 + 0,6   = 0,693 z2 = 1,1513 log   1 − 0,6 

1 1 1 1 + = + = 0,354 n1 − 3 n2 − 3 12 24

σ z1 − z 2 =

1) H 0 : µ z1 = µ z 2

2) ∝ = 0,05

H a : µ z1 ≠ µ z 2

3) σ z1 − z 2 = 0,354 4) z =

(z1 − z2 ) − 0 = 1,099 − 0,693 = 1,15 σ z1 − z 2

0,354

z = 1,15

La diferencia no es significativa, al nivel del 5%.

14



28. Solución: xi

yi

xi yi

xi2

yi2

5 8 10 12 20 55

3 2 5 6 14 30

15 16 50 72 280 433

25 64 100 144 400 733

9 4 25 36 196 270

55 = 11 5

x=

s x2 =

∑ xi2

by x =

n mx y

s x2

y=

− x2 =

=

30 =6 5

s 2y =

733 − 121 = 25,6 5

mx y =

n

5

∑ xi yi − x y = 86,6 − 66 = 20,6 n

20,6 = 0,81 25,6

C y x = y − x by x = 6 − 0,81 (11) = − 2,91 Yˆ = b y x x + C yx

s 2y x =

∑ y i2 − y 2 = 270 − 36 = 18

by x = 0,81

C y x = − 2,91

Yˆ = 0,81x − 2,91

∑ yi2 − C y x ∑ yi − b y x ∑ xi yi n

=

270 − (− 2,91) 30 − 0,81 (433) = 1,31 5

s y x = 1,31 = 1,14 s x = 25,6 = 5,06 t=

´ b y x − bYX sy x

sx

n−2=

0,81 − 0,70 1,14 5,06

5−2 =

0,11 (1,73) = 0,83 0,23

15



Siendo υ = 5 − 2 = 3 ; t0,05 = 2,3554 . Se acepta la hipótesis de que el coeficiente de regresión puede ser tan bajo como 0,70. t

29. Solución:

d =

Lote

xi

yi

d i = xi − yi

di − d

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Σ

49 58 53 60 45 49 66 55 44 52 -

47 57 49 57 44 44 67 52 42 53 -

2 1 4 3 1 5 -1 3 2 -1 19

0,1 -0,9 2,1 1,1 -0,9 3,1 -2,9 1,1 0,1 -2,9 0

∑ di n

1) H 0 : ad = 0

∑ (d i − d )

2

19 = =1,9 10

sd =

n −1

=

34,90 = 1,97 9

sd =

(d

− d)

2

i

0,01 0,81 4,41 1,21 0,81 9,61 8,41 1,21 0,01 8,41 34,90

sd 1,97 = = 0,62 n 10

2) ∝ = 0,05

H a : ad ≠ 0

3) sd = 0,62 4) t =

d − ad 1,9 − 0 = = 3,06 0,62 sd

υ = n −1 = 10 −1 = 9

Los resultados señalan una diferencia significativa entre ambas semillas; t = 3,06 se sitúa en la región crítica, por tal razón, se rechaza la hipótesis nula H o : ad = 0 y se acepta la alternativa.

16



30. Solución: Pareja

xi

yi

1 2 3 4 5 Σ

25 30 28 34 23 -

19 32 21 34 19 -

∑ (d i − d )

2

sd =

n −1

∑ di

d =

n

sd =

=

=

d i = xi − yi 6 -2 7 0 4 15

di − d 3 -5 4 -3 1 0

(d

− d)

2

i

9 25 16 9 1 60

60 = 3,87 4

15 =3 5

sd 3,87 = = 1,73 n 5

1) H 0 : ad = 0

2) ∝ = 0,05

υ = 5 −1= 4

H a : ad ≠ 0

3) sd = 1,73 4) t =

d − ad 3−0 = = 1,73 sd 1,73

t = 1,73 se sitúa en la región de aceptación y se acepta la hipótesis nula, es decir, no puede considerarse que alguna dieta sea superior a la otra.

17



31. Solución: n=6

d =5

ad = d ± t si

sd = 6,48

sd n

υ = 6 −1= 5

a d = 5 ± 2,5706

11,80 = 5 ± 6,80 =  6 − 1,80

6,48

si

32. Solución: Lote

xi

yi

d i = xi − yi

di − di

1 2 3 4 5 6 7 8 Σ

13 14 19 10 15 14 12 11 -

12 16 17 9 16 12 10 8 -

1 -2 2 1 -1 2 2 3 8

0 -3 1 0 -2 1 1 2 0

∑ (di − d )

2

sd =

1)

n −1

H 0 : ad = 0 H a : ad > 0

2) ∝ = 0,05 4) t =

=

20 = 1,69 7

d =

8 =1 8

sd =

(d

− d)

2

i

0 9 1 0 4 1 1 4 20

sd 1,69 = = 0,60 n 8

υ = 7

 t = 1,8946 ∝ = 0,10

3) sd = 0,60

d − ad 1 = = 1,67 sd 0,60

18



Al nivel del 5%, estos resultados no señalan una mayor producción para la nueva manzana.

33. Solución:

d =

1)

Lote

xi

yi

d i = xi − yi

di − di

1 2 3 4 5 6 Σ

23 35 29 33 43 32 -

28 38 29 37 42 30 -

-5 -3 0 -4 1 2 -9

-3,5 -1,5 1,5 -2,5 2,5 3,5 0

∑ di n

=

H 0 : ad = 0 H a : ad < 0

2) ∝ = 0,05 4) t =

∑ (d i − d )

2

−9 = − 1,5 6

sd =

n −1

41,50 = 2,88 5

=

(d

− d)

2

i

12,25 2,25 2,25 6,25 6,25 12,25 41,50

sd =

sd 2,88 = = 1,18 n 6

∝ = 0,10  t = 2,015 υ =5 

3) sd = 1,18

d − ad − 1,5 − 0 = = − 1,27 sd 1,18

Como -1,27 se ubica en la zona de aceptación, se considera que estos resultados no indican que la pausa para el café aumenta la productividad.

34. Solución: Finca

xi

yi

d i = xi − yi

di − di

1 2 3 4 5

86 87 56 93 84

80 79 58 91 77

6 8 -2 2 7

0,5 2,5 -7,5 -3,5 1,5

(d

− d)

2

i

0,25 6,25 56,25 12,25 2,25

19


6 7 8 Σ

d =

∑ di n

=

93 73 79 -

82 74 66 -

11 -1 13 44

∑ (d i − d )

2

44 = 5,5 8

υ=7


sd =

n −1

206 = 5,42 7

=

5,5 -6,5 7,5 0

sd =

30,25 42,25 56,25 206,00 sd 5,42 = = 1,92 n 8

∝ = 0,05

ad = d ± t si

sd n

10,04 a d = 5,5 ± 2,3646 (1,92) =  si  0,96

35. Solución:

d =

Atleta

xi

yi

d i = xi − yi

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Σ

127 195 162 170 143 205 168 175 197 136 -

135 200 160 182 147 200 172 186 194 141 -

-8 -5 2 -12 -4 5 -4 -11 3 -5 -39

∑ di n

− 39 = = − 3,9 10

1) H 0 : ad = 0

∑ (di − d )

2

sd =

2) ∝ = 0,05

n −1

=

296,9 = 5,74 9

di − d -4,1 -1,1 5,9 -8,1 -0,1 8,9 -0,1 -7,1 6,9 -1,1 0

(d

− d)

2

i

16,81 1,21 34,81 65,61 0,01 79,21 0,01 50,41 47,61 1,21 296,90

υ = n −1= 9

∝ = 0,05

3) sd = 5,74

H a : ad ≠ 0

20


4) t =


d − ad − 3,9 (3,16) = = − 2,15 sd 5,74 n

Se acepta la hipótesis nula. Al nivel del 5%, el programa de entrenamiento no afecta el peso medio de los atletas.


1) H 0 : ad = 0 H a : ad > 0

2) ∝ = 0,05 4) t =

υ = 24

∝ = 0,05

d = 5,6

sd = 9,6

υ = n − 1 = 24 ∝ = 0,10

3) s d = 9,6

d − ad 5,6 − 0 = = 2,92 sd 9,6 n 25

Se rechaza la hipótesis nula y aceptamos la alternativa. El primer método es superior, al nivel del 5%.

37. Solución: Amas de casa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Σ

xi

yi

3 1 5 2 0 4 3 3 2 5 -

2 4 4 7 3 4 6 5 5 8 -

d i = xi − yi 1 -3 1 -5 -3 0 -3 -2 -3 -3 -20

di − di 3 -1 3 -3 -1 2 -1 0 -1 -1 0

(d

− d)

2

i

9 1 9 9 1 4 1 0 1 1 36

21


d =

∑ di n

H a : ad < 0

∑ (d i − d )

2

− 20 = = −2 10

1) H 0 : ad = 0


sd =

n −1

=

36 =2 9

2) ∝ = 0,05 υ=9

3) sd = 2 4) t =

d − ad − 2 10 = = − 3,16 sd 2 n

Se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa ad < 0 . Al nivel de significación del 5%, el tipo de salsa picante menos espesa alcanzó una mayor preferencia en la muestra.

38. Solución:

d =

1)

No.

xi

yi

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Σ

2 3 4 5 1 4 5 7 4 5 3 3 -

3 5 7 4 3 2 5 4 6 7 6 6 -

∑ di n

=

H 0 : ad = 0 H a : ad < 0

− 12 = −1 12

d i = xi − yi -1 -2 -3 1 -2 2 0 3 -2 -2 -3 -3 -12

di − di 0 -1 -2 2 -1 3 1 4 -1 -1 -2 -2 0

∑ (d i − d ) = 46 =

(d

− d)

2

i

0 1 4 4 1 9 1 16 1 1 4 4 46

2

sd =

n −1

11

4,18 = 2,04

υ = n − 1 = 11

 t = − 1,7959 ∝ = 0,10

22


2) ∝ = 0,05 4) t =


3) s d = 2,04

d − ad − d n − 1(3,46) = = = − 1,70 sd 2,04 sd n

Se ubica en la zona de aceptación; la diferencia no es significativa al nivel del 5%. Podrá afirmarse que el anuncio B no suscita más atención que el anuncio A. 39. Solución: No. Prueba

xi

yi

d i = xi − yi

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -

20 17 18 20 19 18 19 20 19 20

19 18 20 17 18 17 19 19 20 19

1 -1 -2 3 1 1 0 1 -1 1 4

d =

∑ di n

=

Σ 4 = 0,4 10

1) H 0 : ad = 0

∑ (d i − d )

di − di

n −1

= 1,43

sd =

− d)

2

i

0,6 -1,4 -2,4 2,6 0,6 0,6 -0,4 0,6 -1,4 0,6 0

2

sd =

(d

0,36 1,96 5,76 6,76 0,36 0,36 0,16 0,36 1,96 0,36 18,40

sd 1,43 = = 0,452 n 10

2) ∝ = 0,05

H a : ad ≠ 0

3) s d = 1,43 4) t =

d − ad 0,4 = = 0,885 sd 0,452

Al nivel del 5%, no se puede afirmar que exista una diferencia significativa.

40. Solución:

23


d =


No. Prueba

xi

yi

d i = xi − yi

di − di

1 2 3 4 5 6 -

21 20 20 22 16 21

17 18 18 16 14 13

4 2 2 6 2 8 24

0 -2 -2 2 -2 4 0

∑ di n

=

Σ

1) H 0 : ad = 0

∑ (d i − d )

2

24 =4 6

sd =

n −1

=

32 = 2,53 5

sd =

(d

− d)

2

i

0 4 4 4 4 16 32

sd 2,53 2,53 = = = 1,033 2,45 n 6

2) ∝ = 0,01

H a : ad ≠ 0

3) t =

d 4 = = 3,872 sd 1,033

Al nivel del 1%, no permite afirmar que exista una diferencia significativa.

41. Solución: No. Prueba 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Σ

1º. Estudio 7 8 10 11 18 16 12 12 6 12 -

2º Estudio 8 8 7 6 10 9 9 8 7 10 -

d i = xi − yi -1 0 3 5 8 7 3 4 -1 2 30

di − di -4 -3 0 2 5 4 0 1 -4 -1 0

(d

− d)

2

i

16 9 0 4 25 16 0 1 16 1 88

24


∑ di

d =

n

=

30 =3 10

∑ (d i − d )

2

sd =

=

n −1

υ=9

P = 99%

88 = 3,13 9


sd =

t = 3,2498

sd 3,13 = = 0,99 n 10

ad = d ± tsd

 6,22 a d s = 3 ± 3,2498 (0,99) =  i − 0,22

υ=9

1) H 0 : ad = 0 H a : ad > 0

∝ = 0,02

t = 2,821

3) t =

2) ∝ = 0,01

3 = 3,03 0,99

Se concluye que este programa si reduce el tiempo medio de ensamble, al nivel del 1%.

42. Solución: Mecanógrafa

xi

yi

d i = xi − yi

di − di

1 2 3 4 5 6 7 8 Σ

75 89 79 85 102 115 97 69 -

79 62 54 67 81 78 66 73 -

-4 27 25 18 21 37 31 -4 151

-22,88 8,12 6,12 -0,88 2,12 18,12 12,12 -22,88 0

d =

(d

− d)

2

i

523,49 65,93 37,45 0,77 4,49 328,33 146,89 524,49 1.631,84

∑ d i = 151 = 18,88 8

n

∑ (d i − d ) = 1.631,84 = 15,27 sd = 2

n −1

7

sd =

sd n

=

15,27 = 5,40 8

25


1) H 0 : ad = 0

υ = n −1= 7

H a : ad ≠ 0

t0,05 = 2,3646

3) s d = 5,40

2) ∝ = 0,05 4) t =


d − ad sd

18,88 − 0 = 3,50 5,40

t=

El valor de t = 3,50 se ubica en la región crítica. Se rechaza la hipótesis nula H 0 : ad = 0 por lo tanto la diferencia es significativa, al nivel del 5%.

CHI – CUADRADO O JI-CUADRADO

43. Solución:

p=

ni

ni*

ni − ni*

12 17 20 22 13 16 100

16,666 16,666 16,666 16,666 16,666 16,666 99,999

-4,666 0,334 3,334 5,334 -3,666 -0,666 0,004

1 6

ni* = pn =

1) H 0 : ni = ni* H a : ni ≠

3) χ 2 = ∑

H 0 : Fo = Fe

i

i

− ni*

)

2

21,77 0,11 11,12 28,45 13,44 0,44 Siendo υ = n − 1 = 5

(n

− ni* ni* 1,306 0,007 0,667 1,707 0,806 0,026 4,519

i

)

2

χ 02, 01 = 15,09

2) ∝ = 0,01

H a : Fo ≠ Fe

ni*

(n

1 (100) = 16,666 6

(n

− ni* ni*

)

2

= 4,519

Como χ 2 = 4,519 se sitúa en la zona de aceptación, se puede considerar al dado como perfecto, es decir, no está cargado, al nivel del 1%.

26



44. Solución:

p1 =

ni

ni*

ni − ni*

20 55 25 100

25 50 25 100

-5 5 0 0

1 = 0,25 4

p2 =

ni* = n p1 = 100 (0,25) = 25

1) H 0 : ni = ni* H a : ni ≠

3) χ 2 = ∑

i

− ni* ni*

i

−n

)

25 25 0 -

2 = 0,50 4

p3 =

n2* = n p2 = 100 (0,50) = 50

H 0 : Fo = Fe

i

− ni* ni* 1,00 0,50 0 1,50

)

2

1 = 0,25 4

n3* = n p3 = 100 (0,25) = 25

2) ∝ = 0,05

H a : Fo ≠ Fe

ni*

(n

(n

(n

* 2 i

)

2

Siendo υ = 3 − 1 = 2

= 1,50

χ 02,05 = 5,99

Se puede concluir que la segregación se ha presentado de acuerdo a la relación mendeliana de 1: 2: 1.

45. Solución:

ni

n

ni − n

120 49 36 12 217

122,06 40,69 40,69 13,56 217,00

-2,06 8,31 -4,69 -1,56 0

* i

* i

(n

i

)

* 2 i

−n

4,24 69,06 21,99 2,43 -

(n

i

− ni*

)

2

ni* 0,0347 1,6972 0,5404 0,1792 2,4515

27



p1 =

9 = 0,5625 16

n1* = np1 = 217 (0,5625) = 122,06

p2 =

3 = 0,1875 16

n2* = np2 = 217 (0,1875) = 40,69

p3 =

3 = 0,1875 16

n3* = np3 = 217 (0,1875) = 40,69

p4 =

1 = 0,0625 16

n4* = np4 = 217 (0,0625) = 13,56

1) H 0 : ni = ni* H a : ni ≠

Siendo

υ =4 − 1 = 3 χ 02, 05 = 7,82

ni*

2) ∝ = 0,05 3) χ

2

(n =∑

χ2 = ∑

i

(Fo

− ni* ni*

)

2

= 2,4515

− Fe ) Fe

2

Se puede concluir, que los resultados son consistentes con la proporción esperada, al nivel del 5%.

46. Solución: ni 440

ni*

400

ni − ni*

40

)

−n

i

(n

i

n

ni − n

220

200

20

* i

(n

i

400

)

2

1) χ

4

)

* 2 i

−n

− ni* ni*

1.600

ni

* i

(n

* 2 i

(n

i

− ni* ni*

2

(n − n ) =∑

* 2 i

i

ni*

=4

)

2

2

28


Fo

Fo − Fe

Fe

(Fo


(Fo

− Fe )

2

− Fe ) Fe

2)

2

χ2 = ∑

(n − n )

* 2 i

i

ni*

Exactamente es la mitad del valor del punto (a) 1 1  2  2

1 2

σ = n p q = 400     = 10

3) µ = n p = 400   = 200

z=

z=

X −µ

σ X −µ

σ

=

219,5 − 200 = 1,95 10

=

180,5 − 200 = − 1,95 10

z = 1,95 → A (0,4744)

0,4744 + 0,4744 = 0,9488

P(180,5 > x > 219,5 ) = 1 − 0,9488 = 0,0512 = 5,12%

47. Solución: ni

ni*

ni − ni*

34 10 20 64

36 12 16 64

-2 -2 4 0

(n

i

p1 =

9 = 0,5625 16

ni* = n p1 = 64 (0,5625) = 36

p2 =

3 = 0,1875 16

n2* = n p2 = 64 (0,1875) = 12

)

* 2 i

−n 4 4 16 -

(n

i

− ni* ni* 0,11 0,33 1,00 1,44

)

2

29

=2


p3 =

n3* = n p3 = 64 (0,25) = 16

4 = 0,25 16

υ =n − 1 = 3 − 1 = 2

χ 02,05 = 5,99

1) H 0 : ni = ni* H a : ni ≠

3) χ 2 = ∑


2) ∝ = 0,05

ni*

(n

i

− ni* ni*

)

2

= 1,44

Los datos son consistentes con el modelo, al nivel del 5%

48. Solución: Tratamiento Vacunados No Vacunados Total

ni 192 113 4 34 343

ni* 173,85 131,15 21,66 16,34 343,00

Enfermos 192 113 305

No Enfermos 4 34 38

ni − ni* 18,15 -18,15 -17,66 17,66 0

p1 = 196 = 0,57 343

n1* = 305 (0,57 ) =173,85

p2 = 147 = 0,43 343

n2* = 305 (0,43) = 131,15

(n

i

)

* 2 i

−n

329,42 329,42 311,87 311,87 -

Total 196 147 343

(n

− ni* ni* 1,90 2,51 14,40 19,09 37,90

i

)

2

n3* = 38 (0,57 ) = 21,66

30



n4* = 38 (0,43) = 16,34

1) H 0 : ni = ni*

H 0 : Fo = Fe

υ = (2 −1)(2 −1) = 1

H a : ni ≠

H a : Fo ≠ Fe

χ 02,01 = 6,64

ni*

2) ∝ = 0,01 3) χ 2 = ∑

(n

i

− ni* ni*

)

2

= 37,90

χ2 = ∑

(Fo

− Fe ) Fe

2

Estos datos no nos indican la efectividad de la vacunación al nivel del 1%. Aplicando la corrección de Yates.

ni −

 n − n* − 0,5   i  i  

− 0,5

ni*

17,65 17,65 17,16 17,16 _

(n

i

χ2 = ∑

− ni* − 0,5

)

311,52 311,52 294,47 294,47 _

2

2

ni*

= 35,79 ;

χ 02, 01 < χ 2

Otra fórmula de cálculo para χ 2 sin corregir:

χ2 ==

 n − n * − 0,5   i  i   ni* 1,79 2,38 13,60 18,02 35,79

2

6,64 < 35,79

⇒

χ2 =

n ( AD − BC ) m1 m2 m3 m4

2

343 [5.904,5] = 35,80 333.931.080 2

La fórmula con la cual se obtiene el valor χ 2 corregida se da a continuación: χ = 2

n

( AD − BC

− 0,5 n )

m1 m 2 m3 m 4

2

343 [(192) (342) − 4 (113)] 343 [6.076] = = 37,92 305 (38) (196) (147 ) 333.931.080 2

2

31



49. Solución: Color Ojos Azules Ojos Castaños Total

p1 =

Pelo Claro 23 4 27

ni

ni*

23 4 7 16 50

16,2 10,8 13,8 9,2 50,0

30 = 0,60 50

p2 =

Pelo Oscuro 7 16 23

ni − ni* 6,8 -6,8 -6,8 6,8 0

(n

i

Total 30 20 50

)

* 2 i

−n

46,24 46,24 46,24 46,24 -

(n

i

− ni*

)

2

ni* 2,85 4,28 3,35 5,03 15,51

20 = 0,40 50

n1* = 27 (0,60) =16,2 ; n2* = 27 (0,40) = 10,8 ; n3* = 23 (0,60) = 13,8 ; n4* = 23 (0,40) = 9,2

υ = (2 −1)(2 −1) = 1 ;

χ 02,01 = 3,84

2) ∝ = 0,05

1) H 0 : No hay relación H a : Existe relación

3) χ

2

(n =∑

i

− ni* ni*

)

2

= 15,51

Puede concluirse que existe relación entre ambas propiedades, al nivel del 1%.

Aplicando la corrección de Yates:

ni*

ni − ni*

16,2 10,8 13,8

6,8 -6,8 -6,8

 n − n*  i i 

− 0,5   6,3 6,3 6,3

 n − n* − 0,5   i  i  

39,69 39,69 39,69

2

 n − n * − 0,5   i  i   * ni 2,45 3,68 2,88

2

32


9,2 50,0

6,8 0

6,3 -

39,69 -

 n − n * − 0,5   i  i  = 13,32 χ2 = ∑ ni*

χ 02,05 < χ 2

Otra forma de cálculo sin corregir:

χ2 =

χ2 =


4,31 13,32

3,84 < 13,32

n ( AD − BC ) m1 m 2 m3 m 4

2

50 [(23) (16) − 7 ( 4)] 50 [340] 5.780.000 = = = 15,51 (Se llega a la misma conclusión) 27 (23) (30) (20) 372.600 372.600 2

2

La fórmula con la cual se obtiene χ 2 corregida: n ( AD − BC − 0,5 n )

2

χ = 2

=

m1 m2 m3 m4

50 [315] = 13,32 372.600 2

50. Solución: Sexo Hombres Mujeres Total

Escuchan 35 20 55

No escuchan 65 80 145

ni

n

ni − n

35 20 65 80 200

27,50 27,50 72,50 72,50 200,00

7,50 -7,50 -7,50 7,50 0

* i

* i

(n

i

Total 100 100 200

)

* 2 i

−n

56,25 56,25 56,25 56,25 _

(n

i

− ni*

)

2

ni* 2,045 2,045 0,776 0,776 5,642

33


p1 =

100 = 0,50 200

p2 =


100 = 0,50 200

n1* = 0,5 (55) = 27,50 ; n2* = 0,5 (55) = 27,50 ; n3* = 0,5 (145) = 72,50 ; n4* = 0,5 (145) = 72,50

υ = (2 −1)(2 −1) = 1 ;

χ 02,01 = 6,64

1) H 0 : ni = ni*

H 0 : Fo = Fe

H a : ni ≠

3) χ 2 = ∑

(n

i

2) ∝ = 0,01

H a : Fo ≠ Fe

ni*

− ni* ni*

)

2

χ2 = ∑

= 5,64

(Fo

− Fe ) Fe

2

No existe una diferencia significativa entre los hábitos de este grupo de hombres y mujeres respecto al programa radial.


ni*

ni − ni*

ni − ni* − 0,5

27,5 27,5 72,5 72,5 200,0

-7,5 7,5 7,5 -7,5 0

7 7 7 7 -

 n − n*  i i 

− 0,5  

2

49 49 49 49 -

 n − n * − 0,5   i  i   * ni 1,78 1,78 0,68 0,68 4,92

2

2

n  ni − ni* − 0,5   = 4,92; 2 χ =∑  * ni

χ 02,01 > χ 2 se llega a la misma conclusión 6,64 > 4,92

Otra forma de calcular χ 2 sin corregir: χ2 =

n ( AD − BC ) m1 m2 m3 m4

2

χ2 =

200 [(35) 80 − 65 (20)] 200 [1.500] = = 5,64 (55) (145) (100) (100) 79.750.000 2

2

La fórmula con la cual χ 2 se obtiene corregida es:

34



2 n ( AD − BC − 0,5 n ) 200 (1.400) = = 4,91 m1 m2 m3 m4 79.750.000 2

χ2 =

51. Solución: ni

n

ni − n

8 2 16 14 40

6 4 18 12 40

2 -2 -2 2 0

* i

24 = 0,6 40 n1* = 0,6 (10) = 6

16 = 0,4 40 n2* = 0,4 (10) = 4

1) H 0 : ni = ni*

2) ∝ = 0,02

p1 =

H a : ni ≠

(n

* i

i

)

* 2 i

−n 4 4 4 4 -

(n

i

− ni* ni* 0,66 1,00 0,22 0,33 2,21

)

2

p2 =

n3* = 0,6 (30) = 18

n4* = 0,4 (30) = 12

ni*

3) υ = (2 −1)(2 −1) = 1 χ

2

(n =∑

i

− ni* ni*

)

2

= 2,21

χ =∑ 2

(Fo

− Fe ) Fe

2

La cantidad de fruta deteriorada no depende de su fumigación, al nivel del 2%


ni*

ni − ni*

ni − ni* − 0,5

 n − n* − 0,5   i  i  

6 4 18 12

2 -2 -2 2

1,5 1,5 1,5 1,5

2,25 2,25 2,25 2,25

2

 n − n * − 0,5   i  i   * ni 0,38 0,56 0,12 0,19

2

35


40

χ2 = ∑

(n

i

0 − ni* − 0,5


_

)

ni*

_

1,25

2

χ 02,02 > χ 2

= 1,25;

χ2 =

Otra forma de calcular χ 2 sin corregir :

χ2 =

5,41 > 1,25 Se llega a la misma conclusión

⇒

n ( AD − BC ) m1 m2 m3 m4

2

40 [8 (14) − 16 (2)] 40 [80] 256.000 = = = 2,22 (10) (30) (24) (16) 115.200 115.200 2

2

La fórmula con la cual χ 2 se obtiene corregida. : n ( AD − BC − 0,5 n )

2

χ = 2

m1 m2 m3 m4

=

40 (60) = 1,25 115.200 2

52. Solución: n1* = 0,27 (17 ) = 4,59 ; n2* = 0,73 (17 ) = 12,41 ; n3* = 0,27 (93) = 25,11 ;

p1 =

ni

ni*

ni − ni*

9 8 21 72 110

4,59 12,41 25,11 67,89 110,00

4,41 -4,41 -4,11 4,11 0

30 = 0,27 110

1) H 0 : ni = ni* H a : ni ≠

p2 =

(n

i

− ni*

19,45 19,45 16,89 16,89 _

)

2

n4* = 0,73 (93) = 67,89

(n

i

− ni* ni* 4,24 1,57 0,67 0,25 6,73

)

2

80 = 0,73 110

2) ∝ = 0,05

ni*

υ = (2 −1)(2 −1) = 1

χ 02, 05 = 3,84

36


3) χ

2

(n =∑

i

− ni* ni*

)


2

= 6,73

La diferencia es significativa, al nivel del 5%.


ni*

ni − ni*

ni − ni* − 0,5

 n − n* − 0,5   i  i  

4,59 12,41 25,11 67,89 110,00

4,41 -4,41 -4,41 4,11 0

3,91 3,91 3,61 3,61 -

15,29 15,29 13,03 13,03 -

2

 n − n * − 0,5   i  i   * ni 3,33 1,23 0,52 0,19 5,27

2

2

n  ni − ni* − 0,5   = 5,27 se llega a la misma conclusión 2 χ =∑  ni*

χ2 =

Otra forma de cálculo χ 2 sin corregir

χ2 =

χ 02, 01 > χ 2 ⇒ 3,84 < 5,27

n ( AD − BC ) m1 m2 m3 m4

2

110 [9 (72) − 21 (8)] 110 [480] 25.344.00 = = = 6,68 17 (93) (30) (80) 3.794.400 3.794.400 2

2

La fórmula con la cual χ 2 se obtiene corregida : n ( AD − BC − 0,5 n )

2

χ = 2

m1 m 2 m3 m 4

110 [425] = 5,24 3.794.400 2

=

53. Solución: p1 =

20 = 0,20 110

p2 =

30 = 0,30 110

p3 =

50 = 0,50 100

37



n1* = 0,20 (20) = 4

n2* = 0,30 (20) = 6

n3* = 0,50 (20 ) = 10

n4* = 0,20 (30) = 6

n5* = 0,30 (30) = 9

n6* = 0,50 (30) = 15

n7* = 0,20 (50 ) = 10

n8* = 0,30 (50) = 15

n9* = 0,50 (50) = 25

ni

ni*

ni − ni*

2 3 15 9 6 15 9 21 20 100

4 6 10 6 9 15 10 15 25 100

-2 -3 5 3 -3 0 -1 6 -5 0

(n

i

(n

)

* 2 i

−n 4 9 25 9 9 0 1 36 25 -

i

)

− ni* ni* 1,00 1,50 2,50 1,50 1,00 0 0,10 2,40 1,00 11,00

2

2) ∝ = 0,01

1) H 0 : ni = ni* H a : ni ≠ ni*

υ = (3 − 1)(3 − 1) = 4

3) χ 2 = ∑

(n

i

− ni* ni*

χ 02, 01 = 13,28

)

2

= 11,0

El color del pelo no depende de la región geográfica, al nivel del 1%.

54. Solución: Vendedor

ni

n

ni − n

A B C D

35 20 47 32

35 35 35 35

0 -15 12 -3

* i

* i

(n

i

)

* 2 i

−n 0 225 144 9

(n

i

− ni*

)

2

ni* 0 6,43 4,11 0,26

38


E F Σ

51 25 210

35 35 210

1 n1* = 210   = 35 6

Siendo υ = 5

256 100 -

y

∝ = 0,05

7,31 2,86 20,97

χ 02,05 = 11,07

ni*

(n

3) χ 2 = ∑

16 -10 0

2) ∝ = 0,05

1) H 0 : ni = ni* H a : ni ≠


i

− ni* ni*

)

2

= 20,97

χ2 = ∑

(Fo

− Fe ) Fe

2

Se rechaza la hipótesis ya que χ 2 = 20,97 se sitúa en la zona de rechazo es decir, que el número de visitas no está distribuido en forma uniforme, al nivel del 5%.

55. Solución: ni

n

ni − n

59 43 102

51 51 102

8 -8 0

p = 0,5

* i

* i

i

−n

)

64 64 -

(n

i

− ni* ni* 1,25 1,25 2,50

)

2

n1* = n p1 = 102 (0,5) = 51

1) H 0 : ni = ni*

H 0 : Fo = Fe

H a : ni ≠ ni*

H a : Fo ≠ Fe

∝ = 0,05

(n

* 2 i

Siendo υ = 1 y ∝ = 0,05

2)

Se tiene χ 02,05 = 3,84

3) χ 2 = 2,50

39



Dado que 2,50 es menor que 3,84, podemos admitir al nivel del 5%, que la hipótesis (nula) es correcta; no hay razón para suponer que se produzcan más accidentes en la fábrica A que en la fábrica B.

56. Solución: Región

ni

n

ni − n

1 2 3 4 5 Σ

61 83 54 46 56 300

54 90 63 51 42 300

7 -7 -9 -5 14 0

* i

n1* = 300 (0,18) = 54

n2* = 300 (0,30) = 90

n3* = 300 (0,21) = 63

n4* = 300 (0,17 ) = 51

1) H 0 : ni = ni*

H 0 : Fo = Fe

H a : ni ≠ ni*

H a : Fo ≠ Fe

(n

* i

i

)

* 2 i

−n

(n

49 49 81 25 196 -

− ni* ni* 0,907 0,544 1,286 0,490 4,666 7,893

i

)

2

n5* = 42

2) ∝ = 0,01

3) Siendo υ = n − 1 = 4 χ 02, 01 = 13,28

> χ 2 = 7,893

Como χ 2 = 7,893 es menor que 13,28 se sitúa en la zona de aceptación, en consecuencia podemos admitir que las frecuencias de venta no son, en conjunto, significativamente diferente a las frecuencias dadas por las cuales, aunque acusen diferencias muy grandes para la región cinco, al nivel del 1%.

57. Solución: ni

n

ni − n

77

70,54

6,46

* i

* i

(n

i

)

* 2 i

−n

41,73

(n

i

− ni*

)

2

ni* 0,59

40


54 63 66 260

60,46 69,46 59,54 260,00

n1* =

131 × 140 = 70,54 260

n3* =

129 × 140 = 69,46 260

1) H 0 : ni = ni* H a : ni ≠

3) χ 2 = ∑

i

− ni* ni*

-6,46 -6,46 6,46 0 n2* =

41,73 41,73 41,73 -

0,69 0,60 0,70 2,58

131 × 120 = 60,46 260

n4* =

129 × 120 = 59,54 260

H 0 : Fo = Fe

2) ∝ = 0,05

H a : Fo ≠ Fe

ni*

(n


)

2

= 2,58

No se puede concluir que un procedimiento es mejor que el otro. Aceptamos la hipótesis nula H 0  n − n * − 0,5   i  i  Ahora procederemos aplicando la corrección de Yates χ 2 = ∑  ni*

ni

ni*

ni − ni*

 n − n* − 0,5   i  i  

77 54 63 66 260

70,54 60,46 69,46 59,54 260,00

6,46 -6,46 -6,46 6,46 0

5,962 5,962 5,962 5,962 -

2

2

 n − n * − 0,5   i  i   * ni 0,504 0,588 0,511 0,597 2,200

2

υ = (2 − 1) (2 − 1) = 1 → χ 02,05 = 3,84

1) H 0 : ni = ni* H a : ni ≠

2) ∝ = 0,05

ni*

41



2

 n − n* − 0,5  i  i  = 2,20 2 3) χ = ∑  ni*

χ2 = ∑

(Fo

− Fe ) Fe

2

χ 2 = 2,20 se sitúa en la zona de aceptación. La diferencia entre las dos muestras no es significativa y no se puede tomar ninguna conclusión de que uno de ellos sea mejor, al nivel del 5%.

58. Solución: n1* =

675 × 550 = 245,37 1.513

n2* =

675 × 368 = 164,18 1.513

n3* =

675 × 251 = 111,98 1.513

n4* =

675 × 344 = 153,47 1.513

n5* =

554 × 550 = 201,39 1.513

n6* =

554 × 368 = 134,75 1.513

n7* =

554 × 251 = 91,91 1.513

n8* =

554 × 344 = 125,96 1.513

n9* =

284 × 550 =103,23 1.513

* n11 =

284 × 251 = 47,11 1.513

* n12 =

284 × 344 = 64,57 1.513

* n10 =

284 × 368 = 69,08 1.513

1) H 0 : ni = ni* H a : ni ≠

* i

ni

n

229 186 110 150 216 119 92 127 105 63 49 67 1.513

245,37 164,18 111,98 153,47 201,39 134,75 91,91 125,96 103,23 69,08 47,11 64,57 1.513,00

(n

i

− ni* ni*

)

2

1,092 2,900 0,035 0,078 1,060 1,841 0,000 0,009 0,030 0,535 0,076 0,091 7,747

2) ∝ = 0,02

ni*

42


χ2 = ∑

(n

i

− ni* ni*

)

2

χ2 = ∑

= 7,747

(Fo


− Fe ) Fe

2

3) υ = (4 − 1) (3 − 1) = 6 → χ 02,02 = 15,03 χ 2 = 7,747 se ubica en la región de aceptación, por ser inferior a 15,03, podemos concluir que la distribución de las piezas producidas por las cuatro máquinas, no acusan diferencias significativas en lo concerniente a la calidad, al nivel del 2%.

59. Solución: n1* =

200 (500) = 90,91 1.100

n2* =

400 (500) =181,82 1.100

n3* =

300 (500) = 136,36 1.100

n4* =

200 (500) = 90,91 1.100

n5* =

200 (100) = 18,18 1.100

n6* =

400 (100) = 36,36 1.100

200 (100) = 18,18 1.100 300 * (300) = 81,82 n11 = 1.100

n9* =

300 (100) = 27,27 1.100 400 (300) =109,09 = 1.100

n7* = * n10

* n13 =

200 (200) = 36,36 1.100

* n16 =

200 (200) = 36,36 1.100

ni 85 153 128 134 23 44 26

n8* =

* n14 =

* i

n

90,91 181,82 136,36 90,91 18,18 36,36 27,27

* n12

400 (200) = 72,73 1.100

ni − n

* i

-5,91 -28,82 -8,36 43,09 4,82 7,64 -1,27

200 (300) = 54,55 1.100 200 (300) = 54,55 = 1.100

* n15 =

(n

i

300 (200) = 54,55 1.100

)

* 2 i

−n

34,93 830,59 69,89 1,856,75 23,23 58,37 1,61

(n

i

− ni* ni*

)

2

0,3842 4,5682 0,5137 20,4240 1,2778 1,6053 0,0590

43


7 56 128 101 15 36 75 45 44 1.100

18,18 54,55 109,09 81,82 54,55 36,36 72,73 54,55 36,36 1.100,00

-11,18 1,45 18,91 19,18 -39,55 -0,36 2,27 -9,55 7,64 0


124,99 2,10 357,59 367,87 1.564,20 0,13 5,15 91,20 58,37 -

6,8751 0,0385 3,2779 4,4961 28,6746 0,0708 0,0715 1,6719 1,6053 75,6139

H 0 : No hay relación entre los hábitos de fumar y beber H a : Si hay relación entre los hábitos de fumar y beber

2) υ = (4 − 1) (4 − 1) = 9 3) χ 2 = ∑

(n

i

− ni* ni*

)

χ 02,05 = 16,92

2

= 75,61

Se contrasta la hipótesis de independencia. Como 75,61 es mayor que 16,92 se rechaza la hipótesis de independencia, por lo tanto se infiere que existe una relación entre los hábitos de fumar y beber, al nivel del 5%.

44



60. Solución: ni

ni*

51 74 25 90 110 106 124 60 39 20 51 50 800

60 60 60 60 100 100 100 100 40 40 40 40 800

(n

ni − ni*

i

-9 14 -35 30 10 6 24 -40 -1 -20 11 10 0

)

* 2 i

−n

81 196 1.225 900 100 36 576 1.600 1 400 121 100 -

(n

i

− ni* ni*

)

2

1,35 3,27 20,42 15,00 1,00 0,36 5,76 16,00 0,02 10,00 3,02 2,50 78,70

χ 02, 05 = 12,59

Siendo: υ = (4 − 1) (3 − 1) = 6

∝ = 0,05

1) H 0 : Hay homogeneidad H a : No hay homogeneidad 2) χ

2

(n =∑

i

− ni* ni*

)

2

= 78,7

χ2 = ∑

(Fo

− Fe ) Fe

2

Se rechaza la hipótesis de homogeneidad, los 4 grupos no tienen la misma preferencia, al nivel del 5%.

61. Solución: (a) Falso

(b) Falso

(c) Cierto

(d) Cierto

(e) Cierto

(f) Cierto



62. Solución: Eslogan

Sexo

Recuerdan 209 65 274

Varones Mujeres Totales

No recuerdan 67 33 100

Totales 276 98 374

Será necesario efectuar la corrección de Yates, dado que se trata de una tabla de 2 × 2 y υ igual a 1.

ni

n

ni − n

209 65 67 33 374

202 74 72 26 374

7 -7 -7 7 0

* i

* i

2 Corrección  ni − ni* − 0,5   Yates  

6,5 6,5 6,5 6,5 -

42,25 42,25 42,25 42,25 -

 n − n * − 0,5   i  i   * ni 0,209 0,571 0,587 1,625 2,992

2

1) H 0 : hay homogeneidad H a : no hay homogeneidad 2

 n − n * − 0,5   i  i  = 2,992 2 2) χ = ∑  * ni

χ2 = ∑

(Fo

− Fe ) Fe

2

3) υ = (2 − 1) (2 − 1) = 1 χ 02,10 = 2,71 2,99 > 2,71; la hipótesis de homogeneidad se rechaza, al nivel del 10%.

45



63. Solución: ni

n

62 84 24 36 42 22 270

61,2 79,9 28,9 36,0 47,0 17,0 270,0

(n

ni − n

* i

* i

i

0,8 4,1 -4,9 0,0 -5,0 5,0 0

−n

)

i

0,64 16,81 24,01 0,00 25,00 25,00 -

2) υ = (3 − 1) (2 − 1) = 2

1) H 0 : ni = ni*

(n

* 2 i

− ni* ni*

)

2

0,01 0,21 0,83 0,00 0,53 1,47 3,05

χ 02,05 = 5,99

H a : ni ≠ ni*

3) χ 2 = ∑

(n

i

− ni* ni*

)

2

= 3,05

χ2 = ∑

(Fo

− Fe ) Fe

2

Se acepta que tienen la misma opinión, al nivel del 5%.

64. Solución: Sexo Hombres Mujeres Total

Margarina 86 144 230

ni

ni*

ni − ni*

ni − ni*

86 144 74 96

92 138 68 102

-6 6 6 -6

6 6 6 6

Mantequilla 74 96 170

 n − n*  i i 

− 0,5  

30,25 30,25 30,25 30,25

Total 160 240 400

2

 n − n * − 0,5   i  i   * ni 0,33 0,22 0,44 0,30

2

46


400 p1 =

400

0

-

-

× 230 = 92 = n1* 160 = 0,40 →  * 400 × 170 = 68 = n3

1) H 0 : ni = ni* H a : ni ≠


p2 =

1,29

× 230 = 138 = n2* 240 = 0,60 →  * 400 × 170 = 102 = n4

2) ∝ = 0,05

H 0 : Fo = Fe H a : Fo ≠ Fe

ni*

3) υ = (2 − 1) (2 − 1) = 1 4) χ 02,05 = 3,84 χ 2 = 1,29 cae en la zona de aceptación, al nivel del 5%, no hay diferencias en las preferencias.

65. Solución: Resultados Defectuoso No Defectuoso Total

A 40 300 340

B 60 500 560

ni

ni*

ni − ni*

ni − n

40 300 60 500 900

37,4 302,6 61,6 498,4 900,0

2,6 -2,6 -1,6 1,6 0

2,6 2,6 1,60 1,60 -

Fo

Fe

Fo − Fe

Fo − Fe

p1 =

100 = 0,11 900

* i

 n − n* − 0,5   i  i  

Total 100 800 900

2

4,41 4,41 1,21 1,21 -

(

Fo − Fe − 0,5)

2

 n − n * − 0,5   i  i   ni* 0,12 0,01 0,02 0,00 0,15

(

2

Fo − Fe − 0,5)

2

Fe

p2 = 0,89

47



n1* = 0,11 (340 ) = 37,4

n3* = 0,11 (560 ) = 61,6

n2* = 0,89 (340 ) = 302,6

n4* = 0,89 (560 ) = 498,4

2) ∝ = 0,01

1) H 0 : ni = ni* H a : ni ≠

ni*

3) υ = 1

4) χ 2 = 0,15

χ 2 = 0,15 cae en la ZA, al nivel del 1%, por lo tanto no se puede afirmar diferencias entre la proporción de defectuosas para las dos operadoras.

66. Solución: ni

ni*

ni − ni*

85 11 3 1 100

85 10 4 1 100

0 1 -1 0 0

Fo

Fe

Fo − Fe

χ2 = ∑

(n − n )

* 2 i

i

ni*

1) H 0 : ni = ni* H a : ni ≠

(n

i

)

* 2 i

−n

(n

i

0 1 1 0 -

(Fo

− ni* ni*

)

2

0 0,10 0,25 0 0,35

− Fe )

2

(Fo

− Fe ) Fe

2

χ 2 = 0,35

2) ∝ = 0,10

ni*

48


3) υ = n − 1 = 3


χ 02,10 = 6,25

Al nivel del 10%, se puede concluir que los porcentajes de opinión son los mismos.

67. Solución: ni

ni*

ni − ni*

8 7 9 6 13 12 10 65

9,29 9,29 9,29 9,29 9,28 9,28 9,28 65,00

-1,29 -2,29 -0,29 -3,29 3,72 2,72 0,72 -

Fo

Fe

Fo − Fe

χ2 = ∑

p=

(n

i

− ni* ni*

i

−n

)

(n

i

1,6641 5,2441 0,0841 10,8241 13,8384 7,3984 0,5184 -

(Fo

− ni* ni*

)

2

0,18 0,56 0,00 1,17 1,49 0,80 0,06 4,26

− Fe )

2

(Fo

− Fe ) Fe

2

)

2

1 = 0,1429 × 65 = 9,29 7

∝ = 0,05

(n

* 2 i

χ 02, 05 = 12,59

υ = n −1= 7 −1= 6

χ 2 = 4,26

Como χ 2 = 4,26 cae en la zona de aceptación, podemos concluir al nivel del 5%, que los incendios están homogéneamente distribuidos por semana.

49



68. Solución: Calificaciones Aprueban No Aprueban Total

Hombres 110 20 130

Mujeres 80 10 90

Total 190 30 220

ni

ni*

ni − ni*

ni − ni*

 n − n* − 0,5   i  i  

110 20 80 10

111,80 18,20 77,40 12,60

-1,8 1,8 2,6 -2,6

1,8 1,8 2,6 2,6

1,69 1,69 4,41 4,41

 n − n * − 0,5   i  i   * ni 0,015 0,093 0,057 0,350

220

220,00

0

-

-

0,515

p1 =

190 = 0,86 220

× 130 = 111,80 →   × 90 = 77,40

p2 =

30 = 0,14 220

× 130 = 18,20 →   × 90 = 12,60

2

2

50


 n − n * − 0,5   i  i  χ2 = ∑ ni*


2

χ 2 = 0,515

2) ∝ = 0,05

1) H 0 : No hay relación H a : Si hay relación

3) χ 02,05 = 3,84 4) υ = (n1 − 1) (n2 − 1) = 1 Al nivel del 5%, se concluye que no hay relación entre el sexo y la aprobación de curso.

69. Solución: Habito Fumar Fumadores en exceso Fumadores promedio Poco Fumadores No Fumadores Totales

Bebedores 40 60 80 10 190

* i

ni

n

40 60 80 10 20 40 40 60 350

32,3 55,1 64,6 38,0 27,2 46,4 54,4 32,0 350,0

Abstemios 20 40 40 60 160

ni − n

* i

7,7 4,9 15,4 -28,0 -7,2 -6,4 -14,4 28,0 -

(n

i

)

* 2 i

−n

59,29 24,01 237,16 784,00 51,84 40,96 207,36 784,00 -

Total 60 100 120 70 350

(n

i

− ni* ni*

)

2

1,84 0,44 3,67 20,63 1,91 0,88 3,81 24,50 57,68

51


Fo


(Fo

Fo − Fe

Fe

− Fe )

2

(Fo

− Fe ) Fe

2

p1 =

× 190 = 32,3 60 = 0,17 →  350 × 160 = 27,2

p2 =

100 = 0,29 → 350

 × 190 = 55,1  × 160 = 46,4

p3 =

× 190 = 64,6 120 = 0,34 →  350 × 160 = 54,4

p4 =

70 = 0,20 → 350

× 190 = 38,0  × 160 = 32,0

χ

2

(n =∑

i

− ni* ni*

)

2

χ 2 = 57,68

1) H 0 : ni = ni* ( No hay diferencia) H a : ni ≠

ni*

2) ∝ = 0,05

( Si la hay )

3) χ 02,05 = 7,82 4) υ = (4 − 1) (2 − 1) = 3 Al nivel del 5%, se puede concluir que si hay diferencia en los fumadores, entre bebedores y abstemios.

70. Solución: Tipo Poder Novelas Música Ciencia ficción Comedia Total

Bogotá 70 100 40 30 240

Medellín 40 80 50 30 200

ni

n

ni − n

70 100

60 96

10 4

* i

* i

Total

Cali 40 60 30 30 160

(n

i

)

* 2 i

−n 100 16

150 240 120 90 600

(n

i

− ni* ni*

)

2

1,67 0,17

52


40 30 40 80 50 30 40 60 30 30 600

48 36 50 80 40 30 40 64 32 24 600

150 p1 = = 0,25 600

120 p3 = = 0,20 600

χ

2

(n =∑

i

− ni* ni*

H a : ni ≠

64 36 100 0 100 0 0 16 4 36 -

1,33 1,00 2,00 0 2,50 0 0 0,25 0,13 1,50 10,55

→

 × 240 = 60   × 200 = 50  × 160 = 40 

240 p2 = = 0,40 600

→

 × 240 = 96   × 200 = 80  × 160 = 64 

→

 × 240 = 48   × 200 = 40  × 160 = 32 

90 p4 = = 0,15 → 600

 × 240 = 36   × 200 = 30  × 160 = 24 

)

1) H 0 : ni = ni* ni*


-8 -6 -10 0 10 0 0 -4 -2 6 0

2

χ2 = ∑

H 0 : Fo = Fe

(Fo

− Fe ) Fe

2

2) ∝ = 0,05

H a : Fo ≠ Fe

3) υ = (4 − 1) (3 − 1) = 6 4) χ 02,05 = 12,59 χ 2 = 10,55

Al nivel del 5%, se puede concluir que las preferencias por los programas son las mismas en las tres ciudades, al nivel del 5%.

71. Solución: 53


Pacientes Tratados No tratados Total

p1 =


Curados 140 20 160

No curados 30 40 70

Total 170 60 230

ni

ni*

ni − ni*

 n − n* − 0,5   i  i  

140 20 30 40 230

118,4 51,8 41,6 18,2 230,0

21,6 31,8 11,6 21,8 -

445,21 979,69 123,21 453,69

170 = 0,74 → 230

× 160 = 118,4  × 70 = 51,8

 n − n * − 0,5   i  i  2 χ = ∑ * ni

p2 =

2

1) H 0 : No hay relación

χ2 = ∑

60 = 0,26 230

( Fo − Fe

 n − n * − 0,5   i  i   * ni 3,76 18,91 2,96 24,93 50,56

2

2

 × 160 = 41,6   × 70 = 18,2

→

− 0,5)

2

Fe

2) ∝ = 0,01

H a : Si hay relación

3) υ = (n − 1) (n − 1) = 1 4) χ 02,01 = 6,64 ;

χ 2 = 50,56

Se puede concluir que si hay relación entre el tratamiento y la curación, al nivel del 1%.

72. Solución: 54



a) υ = (4 − 1) (3 − 1) = 3 (2 ) = 6 ≠ 5 Falso b) χ 2 = No puede tomar valor negativo c) Es lo más recomendable d) No puede ser, siempre la suma de esas dos columnas deben ser iguales.

73. Solución: Características No Fumadores Ocasión Habituales Ex fumadores Total

Padres 8 10 40 20 78

Hijos 30 24 56 12 122

ni

n

ni − n

8 10 40 20 30 24 56 12 200

14,82 13,26 37,44 12,48 23,18 20,74 58,56 19,52 200,00

-6,82 -3,26 2,56 7,52 6,82 3,26 -2,56 7,52 0

* i

* i

(n

i

Total 38 34 96 32 200

)

* 2 i

−n

46,5124 10,6276 6,5536 56,5504 46,5124 10,6276 6,5536 56,5504

(n

i

− ni* ni*

)

2

3,14 0,80 0,18 4,53 2,01 0,51 0,11 2,90 14,18

55


p1 =

38 = 0,19 200

p3 =

96 = 0,48 200

χ

2

(n =∑

i

− ni* ni*


 × 78 = 14,82   × 122 = 23,18

→

 × 78 = 37,44   × 122 = 58,56

→

)

2

χ2 = ∑

(Fo

p2 =

34 = 0,17 200

→

 × 78 = 13,26   × 122 = 20,74

p4 =

32 = 0,16 200

→

 × 78 = 12,48   × 122 = 19,52

− Fe ) Fe

2

2) ∝ = 0,05

1) H 0 : No hay relación H a : Si hay relación

3) υ = (4 − 1) (2 − 1) = 3 4) χ 02,05 = 7,82

χ 2 = 14,18

Al nivel del 5%, se puede concluir que si hay relación entre las diferentes clases de fumadores y la posición familiar.

74. Solución: Vacunados Si No Total

No enfermos 70 24 94

* i

ni

n

70 24

58,75 35,25

ni − n

* i

11,25 11,25

Si enfermos 30 36 66

 n − n* − 0,5   i  i  

115,5625 115,5625

Total 100 60 160 2

 n − n * − 0,5   i  i   ni* 1,97 3,28

2

56


30 36 160 p1 =

p2 =

41,25 24,75 160,00

100 = 0,625 → 160

60 = 0,375 160

115,5625 115,5625 -

2,80 4,67 12,72

 × 94 = 58,75   × 66 = 41,25

→

 n − n * − 0,5   i  i  2 χ = ∑ * ni

 × 94 = 35,25   × 66 = 24,75 2

χ2 = ∑

( Fo − Fe

− 0,5)

2

Fe

2) ∝ = 0,10

1) H 0 : ni = ni* H a : ni ≠

11,25 11,25 -


ni*

3) υ = (2 − 1) (2 − 1) = 1 4) χ 02,10 = 2,71

χ 2 = 12,72

Al nivel del 10%, se puede concluir que la vacuna es efectiva.

75. Solución: Resultados Positivo Negativo Total

Vía de Aplicación Intradérmica 30 70 100

Escarificación 20 80 100

Total 50 150 200

57


ni − n

* i

* i

ni

n

30 70 20 80 200

25 75 25 75 200

5 5 5 5 -

p1 =

50 = 0,25 200

→

× 100 = 25  × 100 = 25

p2 =

150 = 0,75 → 200

 × 100 = 75   × 100 = 75

 n − n * − 0,5   i  i  2 χ = ∑ ni*

H a : ni −

 n −  i 

ni*

− 0,5  

20,25 20,25 20,25 20,25 -

χ2 = ∑

2

 n − n * − 0,5   i  i   ni* 0,81 0,27 0,81 0,27 2,16

( Fo − Fe

2

− 0,5)

2

Fe

2

2) ∝ = 0,05

1) H 0 : ni − ni* = 0 ni*


≠0

3) υ = (2 − 1) (2 − 1) = 1 4) χ 02,05 = 3,84

χ 2 = 2,16

No existe ninguna diferencia significativa, al nivel del 5%. 76. Solución: Resultados Gobierno Oposición Total

Pro 600 225 825

Contra 375 300 675

Total 975 525 1.500

58


p1 =

p2 =

ni − n

* i

* i

ni

n

600 225 375 300 1.500

536,25 288,75 438,75 236,25 1.500,00

975 = 0,65 1.500

→

525 = 0,35 → 1.500

H a : ni ≠

 n − n* − 0,5   i  i  

4.000,5625 4.000,5625 4.000,5625 4.000,5625 -

2

 n − n * − 0,5   i  i   ni* 7,46 13,85 9,12 16,93 47,36

2

 × 825 = 536,25   × 675 = 438,75  × 825 = 288,75   × 675 = 236,25

 n − n * − 0,5   i  i  2 χ = ∑ * ni

1) H 0 : ni = ni*

63,75 63,75 63,75 63,75 -


2

χ2 = ∑

( Fo − Fe

− 0,5)

2

Fe

2) ∝ = 0,05

ni*

3) υ = (2 − 1) (2 − 1) = 1 4) χ 02,05 = 3,84

χ 2 = 47,36

La afirmación no tiene que ver con la preferencia del voto, al nivel del 5%.

77. Solución: Artículos Neveras Radios Televisores Total

Masculinos 380 260 270 910

Femeninos 400 300 350 1.050

Total 780 560 620 1.960

59


380 260 270 400 300 350 1.960

364,0 263,9 282,1 420,0 304,5 325,5 1.960,0

Fo − Fe

→

 × 910 = 364  × 1.050 = 420

p1 =

780 = 0,40 1.960

p2 =

560 = 0,29 1.960

p3 =

620 = 0,31 → 1.960

χ =∑ 2

(n − n i

* i

− 0,5

16,0 -3,9 -12,1 -20,0 -4,5 24,5 -

Fe

Fo

→

 n − n* − 0,5   i  i  

ni − ni*

ni*

ni


2

240,25 11,56 134,56 380,35 16,00 576,00 -

( Fo − Fe

− 0,5)

2

 n − n * − 0,5   i  i   * ni 0,66 0,04 0,48 0,91 0,05 1,77 3,91

( Fo − Fe

2

− 0,5)

2

Fe

 × 910 = 263,9  × 1.050 = 304,5  × 910 = 282,1  × 1.050 = 325,5

)

2

ni*


χ =∑ 2

(F

o

− Fe − 0,5) Fe

2

2) ∝ = 0,05


3) υ = (3 − 1) (2 − 1) = 2 4) χ 02,05 = 5,99

χ 2 = 3,91

No hay relación entre el sexo y la preferencia, al nivel del 5%.

78. Solución: 60


Nivel ingreso Alto Medio Bajo Total

Frecuente 220 131 30 381

ni

n

ni − n

220 70 30 131 100 80 30 80 120 861

140,97 92,50 85,10 137,16 90,00 82,80 102,87 67,50 62,10 861,00

79,03 -22,50 -55,10 -6,16 10,00 -2,80 -72,87 12,50 57,90 0

311 p2 = = 0,36 861

χ =∑ 2

Ocasional 70 100 80 250

→

× 381 = 140,97  × 250 = 92,50 × 230 = 85,10 

→

× 381 = 137,16  × 250 = 90,00 × 230 = 82,80 

(n − n i

* i

− 0,5

)

2

ni*

1) H 0 : No existe relación

χ2 = ∑

Nunca 30 80 120 230

 n − n* − 0,5   i  i  

* i

* i

320 p1 = = 0,37 861


2

6.166,9609 484,0000 2.981,1600 32,0356 90,2500 5,2900 5.237,4169 144,0000 3.294,7600 -

230 p3 = = 0,27 861

(F

o

→

Total 320 311 230 861  n − n * − 0,5   i  i   ni* 43,75 5,23 35,03 0,23 1,00 0,06 50,91 2,13 53,06 191,40

2

× 381 = 102,87  × 250 = 67,50 × 230 = 62,10 

− Fe − 0,5) Fe

2

2) ∝ = 0,01


61



3) υ = (3 − 1) (3 − 1) = 4 4) χ 02,01 = 13,28

χ 2 = 191,40

Al nivel del 1%, se puede aceptar que si hay alguna relación entre los niveles de ingreso y la teleaudiencia en los noticieros.

79. Solución: ni*

ni 18 22 40 20 100

χ2 = ∑

(n

i

− ni* ni*

21 20 44 15 100

ni −

ni*

-3 2 -4 5 0

(n

i

−

)

2 ni*

9 4 16 25

(n

i

− ni*

)

2

ni* 0,43 0,20 0,36 1,67 2,66

)

2

1) H 0 : ni = ni*

H o : Fo = Fe

H a : ni ≠ ni*

H a : Fo ≠ Fe

2) ∝ = 0,05

3) υ = n − 1 = 3 4) χ 02, 05 = 7,82

χ 2 = 2,66

Se puede afirmar, que las preferencias por las pantallas es el mismo, al nivel del 5%.

80. Solución:

62


Sexo Masculino Femenino Total

p1 =


Acabado 950 850 1.800

ni

ni*

ni − ni*

950 550 850 1.650 4.000

675 825 1.125 1.375 4.000

275 275 275 275 -

1500 = 0,375 → 4.000

 n − n* − 0,5  i  i  2 χ = ∑ * ni

Precio 550 1.650 2.200

 n − n*  i i 

χ2 = ∑

2

75.350,25 75.350,25 75.350,25 75.350,25 -

 × 1.800 = 675   × 2.200 = 825

2

− 0,5  

Total 1.500 2.500 4.000

p2 =

( Fo − Fe

2.500 = 0,625 4.000

 n − n * − 0,5   i  i   * ni 111,63 91,33 66,98 54,80 324,74

→

2

 × 1.800 = 1.125  × 2.200 = 1.375

− 0,5)

2

Fe

2) ∝ = 0,05

1) H 0 : Independiente H a : Dependiente

3) υ = (2 − 1) (2 − 1) = 1 4) χ 02,05 = 3,84

χ 2 = 324,74

Se puede aceptar que el sexo es dependiente de la respuesta dada, al nivel del 5%.

63



81. Solución: Desempeño

Nivel Sección 427 110 63 600

Elemento 82 10 8 100

Bueno Regular Malo Total

ni

ni*

ni − ni*

82 427 191 10 110 60 8 63 49 1.000

70 420 210 18 108 54 12 72 36 1.000

12 7 -19 -8 2 6 -4 -9 13 0

→

× 100 = 70  × 600 = 420 × 300 = 210 

180 p2 = = 0,18 → 1.000

 × 100 = 18  × 600 = 108  × 300 = 54 

120 p3 = = 0,12 1.000

 × 100 = 12  × 600 = 72 × 300 = 36 

700 p1 = = 0,70 1.000

χ2 = ∑

(n

i

− ni* ni*

)

→

2

χ2 = ∑

Total

Universidad 191 60 49 300

(n

i

−

)

2 ni*

144 49 361 64 4 36 16 81 169 -

700 180 120 1.000

(n

− ni* ni* 2,06 0,12 1,72 3,56 0,04 0,67 1,33 1,13 4,69 15,32 i

)

2

(Fo − Fe )2 Fe

64



2) ∝ = 0,05

1) H 0 : Independiente H a : Dependiente

3) υ = (3 − 1) (3 − 1) = 4 χ 2 = 15,32

4) χ 02,05 = 9,49

Al nivel del 5%, se puede concluir que la calificación de su desempeño es independiente del nivel educacional.

82. Solución:

p1 =

ni −

* i

ni

n

74 56 50 54 42 276

55,2 55,2 55,2 55,2 55,2 276,0

ni*

18,8 0,8 -5,2 -1,2 -13,2 0

(n

i

−

)

2 ni*

353,44 0,64 27,04 1,44 174,24 -

(n

− ni* ni* 6,40 0,01 0,49 0,03 3,16 10,09 i

)

2

1 = 0,20 × 276 = 55,2 5

χ2 = ∑

(n

i

− ni* ni*

)

2

1) H 0 : ni = ni* H a : ni ≠

χ2 = ∑

(Fo − Fe )2 Fe

2) ∝ = 0,05

ni*

3) υ = 5 − 1 = 4 4) χ 02,05 = 9,49

χ 2 = 10,09

65



Se concluye que cada grupo de edad, teme de manera diferente a los exámenes, al nivel del 5%. 83. Solución: Tiempo Libre Alto Bajo Total

p1 =

Delincuentes 10 20 30

ni −

* i

ni

n

10 29 20 41 100

11,7 27,3 18,3 42,7 100,0

39 = 0,39 100

→

1,7 1,7 1,7 1,7 -

 × 30 = 11,7   × 70 = 27,3

 n − n * − 0,5   i  i  2 χ = ∑ * ni


ni*

No Delincuentes 29 41 70

 n − n* − 0,5   i  i  

1,44 1,44 1,44 1,44 p2 =

2

Total 39 61 100  n − n * − 0,5   i  i   * ni 0,12 0,05 0,08 0,03 0,28

61 = 0,61 → 100

2

 × 30 = 18,3   × 70 = 42,7

2

2) ∝ = 0,05


3) υ = (2 − 1) (2 − 1) = 1 4) χ 02,05 = 3,84

χ 2 = 0,28

Al nivel del 5%, se puede afirmar que no hay relación en cuanto a los criterios de clasificación.

66



84. Solución: Maquina A B Total

Rosa 11 6 17

Lila 77 7 84

χ

2

* i

n

11 77 6 5 3 3 6 7 10 7 6 6 147

12,07 59,64 11,36 8,52 6,39 6,39 4,93 24,36 4,64 3,48 2,61 2,61 147,00

(n =∑

i

− ni* ni*

)

-1,07 17,36 -5,36 -3,52 -3,39 -3,39 1,07 -17,36 5,36 3,52 3,39 3,39 0

Verde 3 6 9

(n

i

)

* 2 i

−n

= 59,64 = 11,36

p2 =

= 8,52 = 6,39 = 6,39

χ =∑ 2

Blanco 3 6 9

(n

i

1,1449 301,3696 28,7296 12,3904 11,4921 11,4921 1,1449 301,3696 28,7296 12,3904 11,4921 11,4921 -

= 12,07

2

1) H 0 : Independiente

Anar 5 7 12

ni − n

* i

ni

17 84  16 105 p1 = = 0,71 → ×  147 12 9  9

Amar 6 10 16

42 = 0,29 147

→

Total 105 42 147

− ni* ni*

)

2

0,09 5,05 2,53 1,45 1,80 1,80 0,23 12,37 6,19 3,56 4,40 4,40 43,87 × 17 × 84  × 16  × 12 × 9  × 9

=

4,93

= 24,36 = 4,64 =

3,48

=

2,61

=

2,61

(Fo − Fe )2 Fe

2) ∝ = 0,01

H a : Dependiente

3) υ = (2 − 1) (6 − 1) = 5 67


4) χ 02,05 = 15,09


χ 2 = 43,87

Se puede considerar que hay dependencia entre la mezcla de los colores con la máquina que los envuelve, al nivel del 1%.

85. Solución:

p1 =

ni

n

ni − n

63 78 54 49 56 300

60 60 60 60 60 300

3 18 -6 -11 -4 0

* i

* i

(n

i

−

)

2 ni*

9 324 36 121 16 -

(n

i

− ni* ni* 0,15 5,40 0,60 2,02 0,27 8,44

)

2

1 = 0,20 × 300 = 60 = ni* 5

χ2 = ∑

(n

i

− ni* ni*

1) H 0 : ni = ni* H a : ni ≠

)

2

χ2 = ∑

(Fo − Fe )2 Fe

2) ∝ = 0,05

ni*

3) υ = n − 1 = 4 4) χ 02,05 = 9,49

χ 2 = 8,44

Es aproximadamente igual al número de reclamaciones que recibe cada almacén, al nivel del 5%.

68



86. Solución: n ( AD − BC − 0,5 n )

2

χ2 =

40 ( 112 − 32 − 0,5 (40))

2

χ2 =

m1 × m2 × m3 × m4

10 × 30 × 24 × 16

= 1,25

2) ∝ = 0,05

1) H 0 : No hay dependencia H a : Si hay dependencia

3) υ = (2 − 1) (2 − 1) = 1 χ 2 = 1,25

4) χ 02,05 = 3,84

No hay dependencia entre la cantidad de fruta deteriorada y su fumigación, al nivel del 5%.

87. Solución: ni

χ

2

* i

n

18 12 25 23 8 19 14 119

p1 =

ni − n

* i

17 17 17 17 17 17 17 119

1 -5 8 6 -9 2 -3 0

(n

i

)

* 2 i

−n 1 25 64 36 81 4 9 -

(n

i

− ni* ni*

)

2

0,06 1,47 3,76 2,12 4,76 0,24 0,53 12,94

1 = 0,1428 × 119 = ni* ≅ 17 7

(n =∑

i

− ni* ni*

1) H 0 : ni = ni* H a : ni ≠

)

2

χ2 = ∑

(Fo − Fe )2 Fe

2) ∝ = 0,05

ni*

69



3) υ = n − 1 = 6 4) χ 02,05 = 12,59

χ 2 = 12,94

Los alumnos no muestran las mismas preferencias según las secciones en las cuales están distribuidos, al nivel del 5%

Observaciones Apareadas (pruebas del Signo) 88. Solución: Di = xi − yi + + + + + + 0 + + 0 + + + + + + 0 1 2 1 Ha : P > 2

1) H 0 : P =

n = 17

Positivos = 14

Negativos = 3 Ceros = 3 Se eliminan los 0 1 2

µ = np = 17   = 8,5 1 1  2  2

σ = npq = 17     = 4,25 = 2,06

2) ∝ = 0,05 3) σ = 2,06

70


4) z =

X −µ

σ

=


13,5 − 8,5 = 2,43 2,06

Se rechaza la hipótesis nula, al nivel del 5%, se puede concluir que el primer sistema es superior. Otro procedimiento, válido únicamente para pruebas bilaterales: k =

n −1 − 0,98 n + 1 2

k=

16 − 0,98 18 2

3 < 3,85 rechazamos H 0

89. Solución: Signo de la Diferencia 0 + 0 + + -

1) H 0 : P = 0,5

Nota: se puede trabajar con diferencias positivas y la curva resultaría al lado contrario. Signos positivos = 3

Signos negativos = 15

Ceros = 2

(se eliminan los ceros)

1 µ = n p = 18   = 9 2

 1  1   2  2 

σ = n p q = 18     = 4,5 = 2,12

X = 3, el cual quedara así: X = 3,5

2) ∝ = 0,05

H a : P < 0,5

3) σ = 2,12

71


4) z =

X −µ

σ

=


3,5 − 9 = − 2,59 2,12

Se ubica en la región crítica, de ahí que rechazamos la hipótesis nula y aceptamos la alternativa; afirmamos que la dieta es efectiva, al nivel del 5%. Se hubiera podido realizar la prueba en forma unilateral derecha, con el mismo resultado. Sólo se aplica cuando la prueba es bilateral: k=

17 − 0,98 2

19 = 4,23 ;

S < K se rechaza H 0

90. Solución: Parejas

x1

y1

Di = xi − yi

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

56 90 38 47 85 49 55 58 68 74 83 87 60 31 89

49 88 51 50 83 41 52 69 83 89 77 62 65 44 92

+ + + + + + + -

Signos positivos = 7 Signos negativos = 8 n = 15 1 µ = n p = 15   = 7,5 2

1) H 0 : P = 0,5

 1  1   2  2 

σ = n p q = 15     = 3,75 = 1,94

2) ∝ = 0,05 72



H a : P ≠ 0,5

3) σ = 1,94 4) z =

X −µ

σ

=

7,5 − 7,5 =0 1,94

La diferencia no es significativa, al nivel del 5%: Otro procedimiento, en el caso de que se trate de una dócima bilateral, al nivel del 5%.

k=

(n − 1) − (0,98) 2

n +1

k=

15 − 1 − 0,98 15 + 1 = 7 − 3,92 = 3,08 2

S = 7, ya que el número de signos negativos es menor que el número de signos positivos. Como 7 > 3,08, es decir que S > K, aceptamos la hipótesis nula; la diferencia no es significativa.

91. Solución: Signo de la Diferencia Di + 0 0 +

73



Signos positivos = 3

0 0 + -

Ceros = 4

(se eliminan los ceros)

Signos negativos = 23 n = 26 1 µ = n p = 26   = 13 2

 1  1   2  2 

σ = n p q = 26     = 6,5 = 2,55

1) H 0 : P = 0,5 H a : P ≠ 0,5

2) ∝ = 0,05 3) σ = 2,55 4) z =

X −µ

σ

=

3,5 − 13 = − 3,73 2,55

La diferencia es significativa, ya que rechazamos la hipótesis nula H 0 : P = 0,5 . Otro procedimiento en la dócima del signo es como sigue; siempre y cuando sea bilateral y ∝ = 0,05

k=

(n − 1) − (0,98) 2

n +1

k=

26 − 1 − 0,98 26 + 1 = 12,5 − 5,10 = 7,4 2

74



Siendo S = 3 y S < K, se rechaza la hipótesis nula y aceptamos la hipótesis alternativa, es decir, que la diferencia es significativa; cuando la prueba es bilateral y ∝ = 0,05

92. Solución: No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

xi

yi

d i = xi − yi

di − d

46 42 38 36 30 28 25 20 20 17 14 9 8 7 5 4

40 42 36 38 32 25 25 22 17 15 10 6 9 5 3 3

6 0 2 -2 -2 3 0 -2 3 2 4 3 -1 2 2 1 21

4,69 -1,31 0,69 -3,31 -3,31 1,69 -1,31 -3,31 1,69 0,69 2,69 1,69 -2,31 0,69 0,69 -0,31 0

(d

− d) 21,9961 1,7161 0,4761 10,9561 10,9561 2,8561 1,7161 10,9561 2,8561 0,4761 7,2361 2,8561 5,3361 0,4761 0,4761 0,0961 81,4376 2

i

Di

+ 0 + + 0 + + + + + + + -

a) Observaciones apareadas d =

∑ d i = 21 = ≅ 1,31 n

16

∑ (d i − d ) = 0 Si no da cero, se debe a la aproximación que hacemos d = 1,3125 Sd =

∑ (di

− d) = n −1 2

81,4376 = 2,33 16 − 1

75


1)

H 0 : ad = 0

2)

H a : ad ≠ 0

3) t =

d sd

=

n

∝ = 0,05


  = t = 2,131

υ = 16 − 1 = 15

1,31 = 2,25 2,33 16

De acuerdo al resultado de t = 2,25, se puede concluir que hay diferencias, la nivel del 5%. b) Prueba del signo: positivo = 10

negativo = 4

µ = n p = 14 (0,5) = 7

n = 10 + 4 = 14

1) H 0 : P = 0,5

;

2) ∝ = 0,05

;

cero = 2

σ = n p q = 14 (0,5) (0,5) = 1,87

3) n = 14

H a : P ≠ 0,5

4) P = 95% 5) Z =

Z = 1,96

X −µ

σ

Z =

9,5 − 7 = 1,34 1,87

Se concluye que no existen diferencias significativas al nivel del 5%. 93 Solución: No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

xi

yi

d i = xi − yi

di − d

27 28 10 20 11 11 15 27 21 20 28 32 30 26 38

20 25 10 21 11 13 18 20 16 20 23 29 26 28 29

7 3 0 -1 0 -2 -3 7 5 0 5 3 4 -2 9

4,22 0,22 -2,78 -3,78 -2,78 -4,78 -5,78 4,22 2,22 -2,78 2,22 0,22 1,22 -4,78 6,22

(d

− d) 17,8084 0,0484 7,7284 14,2884 7,7284 22,8484 33,4084 17,8084 4,9284 7,7284 4,9284 0,0484 1,4884 22,8484 38,6884 2

i

Di

+ + 0 0 + + 0 + + + +

76


16 17 18 -

27 34 36 Σ

23 26 33 -

4 8 3 50


1,22 5,22 0,22 0

1,4884 27,2484 0,0484 231,1112

+ + + ∑

a) Observaciones apareadas

∑ di

d =

d =

n

Sd =

∑ (di

− d) = n −1 2

1) H 0 : ad = 0

50 ≅ 2,78 18

∑ (d i − d ) = 0

231,1112 = 3,69 18 − 1

2) ∝ = 0,05

H a : ad ≠ 0

3) t =

d sd

n

t=

2,78 3,69

18

= 3,20

υ = 18 − 1

t = 2,110 ∝ = 0,05 

Se concluye que las diferencias son significativas al, nivel del 5%. b) Prueba del signo: positivo = 11; ceros = 3; negativos = 4 µ=n p

µ = 15 (0,5) = 7,5

σ = n pq

σ = 15 (0,5)(0,5) = 1,94

1) H 0 : P = 0,5

2) ∝ = 0,05

n = 15

H a : P ≠ 0,5

3) P = 95% 4) Z =

X −µ

σ

Z = 1,96 Z =

10,5 − 7,5 = 1,55 1,94

77



Podemos concluir, que las diferencias que se observan no son significativas, al nivel del 5%.

94. Solución: Par

I

II

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

440 400 400 310 300 410 260 260 320 380 360 370 290 290 286 310 252 Σ

410 440 290 270 300 360 250 300 340 350 360 350 250 290 290 320 252

a) Prueba del signo: positivo = 8

Di

+ + + 0 + + + 0 + + 0 0

; ceros = 4

µ =np

µ = 13 (0,5) = 6,5

σ = n pq

σ = 13 (0,5)(0,5) = 1,80

1) H 0 : P = 0,5

2) ∝ = 0,05

di

30 -40 110 40 0 50 10 -40 -20 30 0 20 40 0 -4 -10 0 216

; negativos = 5

(d

− d) 298,9441 2.778,3441 9.465,3441 744,7441 161,5441 1.390,5441 7,3441 2.778,3441 1.069,9441 298,9441 161,5441 53,1441 744,7441 161,5441 279,2241 515,7441 161,7441 21.071,7297 2

i

n = 13

H a : P ≠ 0,5

3) P = 95% 4) Z =

X −µ

σ

Z = 1,96 Z =

7,5 = 6,5 = 0,56 1,80

78



Las diferencias no son significativas, al nivel del 5%.

b) Observaciones apareadas: d =

∑ di

d =

n

∑ (d i − d ) sd =

2

sd =

n −1

1) H 0 : ad = 0

2) ∝ = 0,05

216 = 12,71 17 21.071,7297 = 36,29 17 − 1

3) υ = n − 1 = 16

H a : ad ≠ 0

4) t = 2,120 t=

d sd

n

t=

12,71 = 1,44 36,29 17

No se puede concluir que las diferencias presentadas sean significativas, al nivel del 5%. NOTA: Los puntos c y d, se deja al estudiante su solución. 95. Solución: Par 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

xi 10 8 12 16 5 9 7 11 8 16 8 5 8

yi 10 15 10 18 13 14 9 16 6 16 6 5 5

Di 0 + + 0 + 0 +

79


14 15 16 17 18 19

6 12 14 8 4 9


4 11 12 8 2 8

+ + + 0 + +

µ = 15 (1 2) = 7,5

Positivos = 9

µ = np

Negativos = 6

σ = n pq

σ = 15 (1 2) (1 2) = 1,94

Ceros = 4 n = 15

1) H 0 : P = 0,50

2) ∝ = 0,05

H a : P ≠ 0,50

P = 95%

4) Z =

X −µ

Z =

3) Z = 1,96

8,5 − 7,5 = 0,52 Las 1,94

σ diferencias obtenidas no son significativas al nivel del 5%.

96. Solución: Par

xi

yi

Di

di

di − d

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

45 44 29 27 30 36 35 30 34 40 43 29 32 38

45 48 36 27 28 32 31 42 36 42 44 29 30 42

0 0 + + + 0 + -

0 -4 -7 0 2 4 4 -12 -2 -2 -1 0 2 -4

1,56 -2,44 -5,44 1,56 3,56 5,56 5,56 -10,44 -0,44 -0,44 0,56 1,56 3,56 -2,44

(d

− d) 2,4336 5,9536 29,5936 2,4336 12,6736 30,9136 30,9136 108,9936 0,1936 0,1936 0,3136 2,4336 12,6736 5,9536

2

i

80


15 16 17 18 Σ

34 28 32 36 −

40 28 30 40 -

0 + -


-6 0 2 -4 -28

-4,44 1,56 3,56 -2,44 0

19,7136 2,4336 12,6736 5,9536 286,4448

a) Prueba soluciones apareadas:

∑ di

d =

− 28 = − 1,56 18

d =

n

∑ (d i − d )

2

sd =

1)

t=

n −1

sd =

H 0 : ad = 0

∝ = 0,05

  t = 1,740 υ = 18 − 1 = 17

H a : ad p 0 d sd

t=

n

286,4448 = 4,10 18 − 1

− 1,56 = − 1,61 4,10 18

Se puede concluir que no se mejoró el rendimiento, al nivel del 5%.

b) Prueba del signo: positivos = 5 negativos = 9 ceros = 4 µ = 14 (0,5) = 7

µ =np

σ = n pq

1)

H 0 : P = 0,50 H a : P < 0,50

Z =

n = 14

X − µ

σ

14 (0,5)(0,5) =1,87 ∝ = 0,05   P = 95% 

Z =

Z = 1,64

5,5 − 7 = − 0,80 1,87

Como en el caso anterior, también se puede concluir que no se mejoró el rendimiento, al nivel del 5%. 81



97. Solución: Individuos

xi

yi

di

di − d

(d

− d)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Σ

65 65 76 84 68 70 66 82 64 65 88 82 70 70 75 80 92 −

72 70 78 84 74 76 72 79 65 70 88 80 76 76 75 86 80 -

-7 -5 -2 0 -6 -6 -6 3 -1 -5 0 2 -6 -6 0 -6 12 -39

-4,71 -2,71 0,29 2,29 -3,71 -3.71 -3,71 5,29 1,29 -2,71 2,29 4,29 -3,71 -3,71 2,29 -3,71 14,29 0

22,1841 7,3441 0,0841 5,2441 13,7641 13,7641 13,7641 27,9841 1,6641 7,3441 5,2441 18,4041 13,7641 13,7641 5,2441 13,7641 204,2041 387,5297

2

i

Di

0 + 0 + 0 + ∑

a) Observaciones apareadas (poblaciones dependientes) d =

∑ di

d =

n

∑ (d i − d ) sd =

2

n −1

1)

sd =

− 39 = − 2,29 17

387,5297 = 4,92 17 − 1

H 0 : ad = 0 H a : ad ≠ 0

2) ∝ = 0,05

  t = 2,120 3) υ = 17 − 1 = 16 

82


d

t=

sd

t=

n


− 2,29 = − 1,92 4,92 17


b) Prueba del signo: negativos = 11

positivos = 3

µ =np

µ = 14 (0,5) = 7

σ = n pq

σ = 14 (0,5)(0,5) =1,87

1)

H 0 : P = 0,50 H a : P ≠ 0,50

Z =

ceros = 3

n = 14

2) ∝ = 0,05   Z = 1,96 3) P = 0,95 

X −µ

Z =

σ

3,5 − 7 = − 1,87 1,87


98. Solución:

Sujeto

xi

yi

Di

di

di − d

(d

− d)

*1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

98 81 72 63 92 63 81 73 63 82 54 88 93 68

82 71 63 63 90 72 66 54 63 88 50 88 82 52

+ + + 0 + + + 0 + 0 + +

16 10 9 0 2 -9 15 19 0 -6 4 0 11 16

9,33 3,33 2,33 -6,67 -4,67 -15,67 8,33 12,33 -6,67 -12,67 -2,67 -6,67 4,33 9,33

87,0489 11,0889 5,4289 44,4889 21,8089 245,5489 69,3889 152,0289 44,4889 160,5289 7,1289 44,4889 18,7489 87,0489

2

i

83


15 16 17 18 Σ

97 81 72 63 −

82 81 63 54 -

+ 0 + + -

a) Prueba del signo: positivos = 12

negativos = 2

8,33 -6,67 2,33 2,33 0

69,3889 44,4889 5,4289 5,4289 1.124,0002

ceros = 4

n = 14

σ = 14 (0,5)(0,5) =1,87

σ = n pq H 0 : P = 0,50

2) ∝ = 0,05   Z = 1,96 3) P = 0,95 

H a : P ≠ 0,50 Z =

15 0 9 9 120

µ = 14 (0,5) = 7

µ =np

1)


X −µ

Z =

σ

11,5 − 7 = 2,41 1,87

Se concluye que el alcohol sí tiene efecto sobre la ansiedad al nivel del 5%

b) Observaciones apareadas

∑ di

d =

d =

n

∑ (d i − d )

120 = 6,67 18

2

sd =

1)

H 0 : ad = 0 H a : ad > 0 t=

sd =

n −1

d sd

n

1.124,0002 = 8,13 18 − 1

2) ∝ = 0,05

  T = 1,740 3) υ = n − 1 = 17 

t=

6,67 = 3,48 8,13 18

Se concluye que el alcohol reduce la ansiedad, de acuerdo a los resultados obtenidos y al nivel de significación del 5%. 84



99. Solución:

Personas

xi

yi

d i = xi − yi

di − d

(d

− d)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Σ

29 22 25 29 26 24 21 20 46 38 28 30 29 25 21 22 23 −

30 26 25 35 33 36 32 20 54 58 43 30 30 20 20 20 23 -

-1 -4 0 -6 -7 -12 -11 0 -8 -20 -15 0 -1 5 1 2 0 -77

3,53 0,53 4,53 -1,47 -2,47 -7,47 -6,47 4,53 -3,47 -15,47 -10,47 4,53 3,53 9,53 5,53 6,53 4,53 0

12,4609 0,2809 20,5209 2,1609 6,1009 55,8009 41,8609 20,5209 12,0409 239,3209 109,6209 20,5209 12,4609 90,8209 30,5809 42,6409 20,5209 738,2353

2

i

Di

0 0 0 + + + 0


∑ di

d =

n

∑ (d i − d ) sd =

2

n −1

1)

sd =

− 77 = − 4,53 17

738,2353 = 6,79 17 − 1

H 0 : ad = 0 H a : ad < 0

2) ∝ = 0,05

  t = 1,746 3) υ = 17 − 1 = 16 

85


d

t=

sd

n

t=


− 4,53 = − 2,75 6,79 17

Se concluye al nivel del 5%, que si hubo mejoramiento. b) Prueba del signo: positivos = 3

negativos = 10

µ =np

µ = 13 (0,5) = 6,5

σ = n pq

σ = 13 (0,5)(0,5) =1,80

H 0 : P = 0,50 H a : P < 0,50

1)

Z =

ceros = 4

n = 3 + 10 = 13

2) ∝ = 0,05   Z = 1,65 o 1,64 3) P = 95% 

X −µ

Z =

σ

3,5 − 6,5 = − 1,67 1,8

Se concluye, al igual que en la prueba anterior y al nivel del 5%, que si hubo mejoramiento. 100. Solución: Automóvil

xi

yi

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

40,6 63,3 48,2 38,4 39,2 42,6 42,0 46,1 51,0 39,1 38,6 42,0 38,6 38,4 37,3 38,6

51,2 62,1 52,3 42,0 43,5 40,5 42,0 50,2 51,0 42,6 40,4 42,4 37,5 39,6 40,2 41,2

di

di − d

-10,6 1,2 -4,1 -3,6 -4,3 2,1 0 -4,1 0 -3,5 -1,8 -0,4 1,1 -1,2 -2,9 -2,6

-8,46 3,34 -1,96 -1,46 2,16 4,24 2,14 -1,96 2,14 -1,36 0,34 1,74 3,24 0,94 -0,76 -0,46

(d

− d)

Di

71,5716 11,1556 3,8416 2,1316 4,6656 17,9776 4,5796 3,8416 4,5796 1,8496 0,1156 3,0276 10,4976 0,8836 0,5776 0,2116

+ + 0 0 + -

2

i

86


17 18 Σ

39,3 37,6 −

38,4 40,2 -


0,9 -2,6 -36,4

3,04 -0,46 0

9,2416 0,2116 150,9608

+ ––


∑ di

d =

n

∑ (d i − d ) sd =

− 36,4 = − 2,14 18 − 1

2

sd =

n −1

ad = d ± t

υ = n − 1 = 17 

Sd

∝ = 0,05

n

ad = − 2,14 ± 2,11

150,9608 = 2,98 18 − 1

 = t = 2,11 

− 0,66 2,98 =  18  − 3,62

− 2,14 + 1,48 = LS = − 0,66 − 2,14 − 1,48 = LI = − 3,62

1) H 0 : ad = 0

2) ∝ = 0,05

H a : ad ≠ 0

La diferencia es significativa, al nivel del 5%, ya que ad = 0 , no cae dentro de los límites. b) Prueba del signo: positivos = 4

negativos = 12

µ =np

µ = 16 (0,5) = 8

σ = n pq

σ = 16 (0,5)(0,5) = 2

1)

H 0 : P = 0,5 H a : P ≠ 0,5

ceros = 2

n = 4 + 12 = 16

2) ∝ = 0,05   Z =1,96 3) P = 95% 

87


Z =

X −µ

Z =

σ


3,5 − 8 = − 2,25 2

Al nivel del 5%, la diferencia que se presenta se puede considerar significativa.

101. Solución: Sujeto

xi

yi

Di

di

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

30,4 28,6 27,6 34,2 32,8 30,2 30,1 32,4 33,3 28,4 33,6 36,4 36,6 35,4 30,6 37,6 37,6 38,6 34,5 33,8

30,4 29,4 30,0 34,4 33,8 30,4 32,4 34,5 33,3 30,6 31,4 34,2 36,6 34,5 33,5 36,6 39,4 38,6 37,3 31,4

0 0 + + 0 + + 0 +

0 -0,8 -2,4 -0,2 -1,0 -0,2 -2,3 -2,1 0 -2,2 2,2 2,2 0 0,9 -2,9 1,0 -1,8 0 -2,8 2,4

di − d

0,5 -0,3 -1,9 0,3 -0,5 0,3 -1,8 -1,6 0,5 -1,7 2,7 2,7 0,5 1,4 -2,4 -1,5 -1,3 0,5 -2,3 2,9

(d

− d)

2

i

0,25 0,09 3,61 0,09 0,25 0,09 3,24 2,56 0,25 2,89 7,29 7,29 0,25 1,96 5,76 2,25 1,69 0,25 5,29 8,41

88


Σ

−

-

-


-10

-

53,76

a) Observación apareada:

∑ di

d =

n

sd =

t=

d =

− 10 = − 0,5 20

53,76 = 1,68 20 − 1

− 0,5 = − 0,30 1,68

2) ∝ = 0,05

1) H 0 : ad = 0

3) t = 2,093

H a : ad ≠ 0

Las diferencias, se pueden considerar que no son significativas, al nivel del 5%. b) Prueba del signo: positivo = 5

negativo = 11

µ =np

µ = 16 (0,5) = 8

σ = n pq

σ = 16 (0,5)(0,5) = 2

1)

Z =

H 0 : P = 0,5 H a : P ≠ 0,5 X −µ

σ

ceros = 4

n = 5 + 11 = 16

2) ∝ = 0,05   Z =1,96 3) P = 95%  Z =

5,5 − 8 = − 1,25 2

Al igual que en la prueba anterior, al mismo nivel del 5%, se puede concluir que las diferencias no son significativas. 102. Solución:

89


Prueba del signo: positivos = 14

negativos = 3

µ =np

µ = 17 (0,5) = 8,5

σ = n pq

σ = 17 (0,5)(0,5) = 2,06

1)

Z =

H 0 : P = 0,5 H a : P ≠ 0,5

X −µ

ceros = 3

n = 14 + 3 = 17

2) ∝ = 0,05   Z =1,96 3) P = 0,95 

Z =

σ


13,5 − 8,5 = 2,43 2,06

Las diferencias son significativas, al nivel del 5%, de acuerdo a los resultados obtenidos.

103 – 108. Se dejan estos ejercicios para que el alumno los resuelva. 109. Solución:

(d

No.

Di

di

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

+ + 0 + 0 0 + + + + + -

2 4 -2 0 6 0 0 4 7 -4 5 6 12 -2 38

a) positivos = 8

negativos = 3

ceros = 3

)

2

−d 0,5041 1,6641 22,1841 7,3441 10,8241 7,3441 7,3441 1,6641 18,4041 45,0241 5,2441 10,8241 86,3041 22,1841 246,8574 i

n = 11

90


µ = 11(0,5)= 5,5

1)

H0 : P = 0 Ha : P > 0


σ = 11(0,5) (0,5) = 1,66

(Equivale a reducir)

2) ∝ = 0,05 Z =

7,5 − 5,5 = 1,2 1,66

Al nivel del 5%, no se redujo el número de accidentes en los cruces de alto riesgo. b) d =

1)

t=

38 = 2,71 14

H0 : ad = 0 Ha : ad > 0

246,8574 = 4,36 14 − 1

sd =

2) ∝ = 0,05 υ = 13 

2,71 = 2,33 4,36 14

 t = 1,771 ∝ = 0,10

Al nivel del 5%, se puede concluir que se redujo el número de accidentes en los cruces de alto riesgo.

110. Solución: No.

di

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-0,67 -0,35 4,89 2,05 -0,20 0,25 -1,36 -0,19 -0,30 -1,12 0,45

(d

)

2

−d 0,9168 0,4064 21,1830 1,7625 0,2377 0,0014 2,7143 0,2280 0,3452 1,9810 0,0264 i

91


12 ∑

1)

0 3,45

0 29,8027

d =


3,45 = 0,2875 12

sd =

29,8027 = 1,65 12 − 1

H 0 : ad = 0 (Equivale a reducir) H a : ad > 0

2) ∝ = 0,05 t=

0,2875 = 0,60 1,65 12

µ = 11   t = 1,796 ∝ = 0,10 

Al nivel del 5%, no se ha presentado ningún cambio positivo en los dos períodos.

111. Solución: ni

n

ni − n

250 186 124 50 6 616

221,76 184,80 123,20 73,92 12,32 616,00

28,24 1,20 0,80 -23,92 -6,32 -

χ 2 = 14,58

1)

H 0 : ni = ni* H a : ni ≠ ni*

* i

χ 02,05 = 9,49

(n

* i

i

)

* 2 i

−n

797,4976 1,4400 0,6400 572,1664 39,9424 -

(n

− ni* ni* 3,60 0,00 0,00 7,74 3,24 14,58

i

)

2

υ = n − 1 = 4 ∝ = 0,05

2  χ = 9,49 

2) ∝ = 0,05

14,58 cae en la zona de rechazo, al nivel del 5% por lo tanto se puede concluir que ha habido cambios en las 92



preferencias de compra según la marca del auto.

112 y 113. Se dejan estos ejercicios para que el alumno los resuelva.


∑ xi = 75

a) r =

∑ xi2 = 551

11(992) − (75)(134)

[11(551) − (75) ] [11(1.818) − (134) ] 2

b) 1)

∑ yi = 134

H0 : ρ = 0 Ha : ρ ≠ 0

∑ yi2 = 1.818

∑ xi yi = 992

= 0,91

2

2) ∝ = 0,05

11 − 2 = 7,28 1 − 0,912

t = 0,91

υ = n − 2 = 9

 t = 12,262 

∝ = 0,05

Al nivel del 5%, si hay correlación lineal entre esas dos variables.

115. Solución: PAR

(xi − yi )

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-2 5 8 0 -6 -20 -5 4 4

(d

)

2

−d 1,9044 70,2244 129,5044 11,4244 6,8644 276,2244 2,6244 54,4644 54,4644 i

93


10 11 12 13

-12 -10 -6 -4 -44

∑

a) d =

1)

t=


74,3044 43,8244 6,8644 0,3844 733,0772

− 44 = − 3,38 13

sd =

H 0 : ad = 0 H a : ad < 0

733,0772 = 7,82 12

2) ∝ = 0,01

− 3,38 = − 1,56 7,82 13

υ = n − 1 = 12 ∝ = 0,02

 t = − 2,681 

Como t = -1,56 cae en la zona de aceptación, se puede concluir que los hombres no obtienen un mayor puntaje que las mujeres, al nivel del 1%. b) ad = − 3,38 ± 2,179

 1,54 = − 3,38 ± 4,92 =  12 − 8,30

7,82

υ = 12 

= 2,179  t ∝ = 0,05 0, 05

116. Solución: ni

ni*

ni − ni*

1 9 11 11 11

5,04 8,40 7,56 6,96 11,60

-4,04 0,60 3,44 4,04 -0,60

(n

i

)

* 2 i

−n

16,3216 0,3600 11,8336 16,3216 0,3600

(n

i

− ni* ni* 3,24 0,04 1,57 2,35 0,03

)

2

94


7 50

n1* n n n n n

* 2 * 3 * 4 * 5 * 6

10,44 50

= 0,24 (21) = = 0,40 (21) = = 0,36 (21) =


-3,44 0

11,8336 -

1,13 8,36

5,04 8,40 7,56

12 = 0,24 50

= 0,24 (29) = 6,96 = 0,40 (29) = 11,60

18 = 0,36 50

20 = 0,40 50

= 0,36 (29) = 10,44

1) H 0 : son idénticas H a : son diferentes χ 2 = 8,36 χ 02,05 = 9,49 υ = (3 − 1)(3 − 1) = 4 ∝ = 0,05

χ 2 = 8,36 cae en la zona de aceptación, al nivel del 5%, pudiéndose concluir que las diferencias son idénticas.

117. Se deja el ejercicio para que el alumno lo resuelva. 118. Se deja el ejercicio para que el alumno lo resuelva 119. Solución:

ni 144 128 34 46 352

ni* 137,55 134,45 40,45 39,55 352,00

 n − n*  i i 

− 0,5  

5,95 5,95 5,95 5,95 -

 n − n * − 0,5   i  i   * ni 0,26 0,26 0,88 0,90 2,30

2

95


n1* n2* n3* n4*

 174  =   272  352   174  =   272  352   178  =   80  352   174  =   80  352 

= 137,55 = 134,45 = =

40,45 39,55


1) H o : ni = ni* H a : ni ≠ ni* 2) υ = (2 − 1)(2 − 1) = 1  2  χ 0 , 05 = 3,84 ∝ = 0,05  3) χ 2 = 2,30

χ 2 = 2,30 cae en la zona de aceptación, al nivel del 5%, no hay diferencias significativas en cuanto a la aprobación de la materia.

120. Solución: r = 0,46

n = 22

t = 0,46

22 − 2 = 2,32 1 − 0,462

υ = 20 

 t = 2,086 ∝ = 0,05  H 0 : ρ = 0 (no hay correlación) H a : ρ ≠ 0 (si hay correlación)

Al nivel del 5%, se puede concluir que hay correlación entre las variables.

121. Solución: r = 0,78

n = 52

96


Z = 0,78


52 − 2 = 5,53 1 − 0,782

H 0 : ρ = 0 (no hay correlación) H a : ρ ≠ 0 (si hay correlación)

Como Z = 5,53, cae en la zona crítica, se concluye que hay correlación al nivel del 1%.

122. Solución: r = 0,56

n = 26

26 − 2 = 3,31 1 − 0,562

t = 0,56

1) H 0 : ρ = 0 (no hay correlación) H a : ρ ≠ 0 (si hay correlación) 2) ∝ = 1% υ = 24 

 t = 2,797 ∝ = 0,01 

El valor de 3,31 cae en la Región crítica, por lo tanto al nivel del 1%, se puede concluir que hay correlación entre las variables.

123. Solución: se deja al estudiante su respuesta. 124. Solución: ni

ni*

10 3 2 5 14

6,8 6,8 6,8 6,8 6,8

(n

i

)

* 2 i

−n

10,24 14,44 23,4 3,24 51,84

(n

i

− ni*

)

2

ni* 1,51 2,12 3,39 0,48 7,62

97


34

1 = 0,20 5

1)

ni* = 0,2 (34) = 6,8


34

-

15,12

υ = n − 1 = 4 ∝ = 0,05

2  χ 0, 05 = 9,49 

H 0 : ni = ni* H a : ni ≠ ni*

2) ∝ = 0,05 Como χ 2 = 15,12 cae en la RC se está concluyendo, al nivel del 5% de que si hay diferencia de ocurrencia de accidentes en los días de la semana. NOTA: los ejercicios 125, 126, 127 y 128 se dejan, para que sean resueltos por el estudiante.

98


Cap.10 Regresión y correlación simple ponderada y múltiple

10 Regresión y correlación simple, ponderada y múltiple EJERCICIOS RESUELTOS REGRESION LINEAL SIMPLE 1. Solución: 110 60 3.156 = 22 y= = 12 s x2 = − 22 2 = 147,20 5 5 5 1.138 1.868 s y2 = − 12 2 = 83,60 ; m xy = − (22) (12) = 109,60 5 5 x=

a) s 2yx = 83,6 −

12.012,16 = 1,9956 ≅ 2,0 147,20

b) s 2y − s 2yx = s ay2

⇒

s yx = +

2 s ay = 83,6 − 2 = 81,60

2 = 1,4142

⇒

υ = n − 1 = 4

t = 2,776 ∝ = 0,05

c) Yˆ = byx (x − x ) + y

byx =

109,6 = 0,7446 ≅ 0,74 147,2

s 2yx = s 2y −

2 s ay = 81,60

2 m xy

s x2


Yˆ = 0,74 (80 − 22) + 12 = 54,92

Yˆ = 54,92 ± 2,776 (1,41)

1 + 5


Yˆ = 54,92

(80 − 22)2 (110)2 3.156 −

63,47 = 54,92 ± 8,55 =  46,37

5

2. Solución: 8x 2 y 1 + = 8 8 8

x+

16 x 9 y + =1 9 9

1 1 y= 4 8

x=−

16 1 x+ y= 9 9

1 1 y+ 4 8

bxy = −

y=−

1 4

16 1 x+ 9 9

byx = −

R 2 = bxy b yx = (− 1 4 ) (− 16 9) =

16 9

16 = 0,44 36

R 2 = 0,44

r = 0,66

3. Solución: C yx = 64

b yx = − 1,4

a) C yx = y − b yx x

b) b yx =

r=

m xy

⇒

s x2

m xy sx s y

=

⇒

64 = 45 − x (− 1,4)

mxy = b yx s x2

− 72,576

(7,2) (10,5)

= − 0,96

⇒

x = 19 = 13,5714 ≅ 13,57 1,4

mxy = (− 1,4) (51,84) = − 72,576

s x2 = 7,2 2 = 51,84

2


c) Xˆ = bxy y + c xy bxy =


Xˆ = bxy ( y − y ) + x

ó

s 2y = 10,5 2 = 110,25

− 72,576 = − 0,6582 110,25

C xy = x − y bxy

C xy = 13,57 − 45 (− 0,658) = 43,18

Xˆ = − 0,658 ( y − 45) + 13,57

Xˆ = − 0,658 y + 43,18

ó

4. Solución: r=

m xy

r (s x ) s y = 0,85 (2.000) (3.000) = m xy = 5.100.000

sx s y

V[x − y ] = V[x ] + V[ y ] − 2mxy

s x2 = 2.000 2 = 4.000.000

s y2 = 3.000 2 = 9.000.000

V[x − y ] = 4.000.000 + 9.000.000 − 2 (5.100.000) = 2.800.000

s = 1.673,32

5. Solución: r = 0,8 → R 2 = 0,64

R =1− 2

s 2yx s 2y

byx = 4 36 s 2y

⇒

( )

⇒

→

0,64 = 1 −

→

0,64 = 4 bxy

R 2 = b yx bxy

c yx = 7

2 s yx = 36 = 6 2

− 0,36 =

bxy =

− 36 s 2y

⇒

s 2y =

− 36 = 100 − 0,36

0,64 = 0,16 4

m xy = bxy s 2y = (0,16) (100) = 16

b yx =

m xy s x2

⇒

s x2 =

m xy b yx

=

16 =4 4

s x2 = 4

sx = 2

3



6. Solución: xi

yi

xi yi

xi2

9 17 20 19 20 23 108

23 35 29 33 43 32 195

207 595 580 627 860 736 3.605

81 289 400 361 400 529 2.060

yi2

529 1.225 841 1.089 1.849 1.024 6.557

x=

108 = 18 6

y=

195 = 32,50 6

6.557 2.060 3.605 − 32,5 2 = 36,58; s x2 = − 18 2 = 19,33; m xy = − (32,5) (18) = 15,83 6 6 6 15,83 = = 0,82 s x = 19,33 = 4,39 s y = 36,58 = 6,04 19,33

s y2 = b yx

Yˆ = 0,82 (16 − 18) + 32,50 = 30,86

a) Yˆ = byx (x − x ) + y b) r =

m xy sx s y

=

2 c) s yx = s y2 −

d) Yˆ ± t s yx

15,83 = 0,59 (4,39) (6,04)

2 m xy

s 2yx = 36,58 −

s x2

1 + n

∑

30,86 ± 2,571 (4,86)

Yˆ = 30,86

r = 0,59

250,59 = 23,61 19,33

s yx = +

23,61 = 4,86

( x − x )2 (∑ xi )2 x2 − i

1 + 6

n

(16 − 18)2 (108)2 2.060 −

36,46 = 30,86 ± 5,60 =  25,26

6

4



7. Solución: C yx = 73

b yx = − 0,6

C yx = y − x byx

mxy

byx =

r=

x =8

m xy

=

sx s y

s x2 = 4

s 2y = 9

⇒ 73 = y − 8 (− 0,6) → 73 = y + 4,80 → y = 73 − 4,80 = 68,20 m xy = b yx s x2

S x2

sx = 2

− 2,4 = − 0,4 (2) (3)

m yx = (− 0,6) (4 ) = − 2,40

r = − 0,4

y = 68,20

8. Solución: x=

∑ xi = 287 = 35,875 ≅ 35,87 n

mxy =

8

∑ xi yi n

−x y=

y=

∑ yi = 273 = 34,125 ≅ 34,12 n

14.225 − (35,87 ) (34,12) = 554,24 8

s 2y =

∑ y i2 − y 2 = 13.599 − 34,12 2 = 535,7006 ≅ 535,70

s x2 =

∑ xi2 − x 2 = 14.911 − 35,87 2 = 577,2181 ≅ 577,22

n

8

n

b yx =

m xy

bxy =

m xy

s x2

s 2y

8

8

=

554,24 = 0,9602 ≅ 0,96 577,22

=

554,24 = 1,03461 ≅ 1,035 535,70

C yx = y − b yx x = 34,13 − (0,960) (35,87 ) = − 0,32 C xy = x − bxy y = 35,87 − (1,035) (34,12) = 0,56

5


s yx = +

a) Error estándar de estimación: s 2yx = s 2y −

b) s

r =

s x2

(

)

s x2 s y2

= byx bxy

m xy = sx s y

s 2yx

554,24 2 = 3,525 577,22

s yx = + 3,525 = 1,88

2

2 s ay = s 2y − s 2yx

n 2 mxy

c) R 2 =

= 535,70 −

∑ Yî − y

=

2 ay

2 m xy


⇒

R2 =

d) Yˆ = byx x + C yx Yˆ = 0,960 x − 0,32

R2 =

⇒

2 s ay = 535,70 − 3,525 = 532,18

554,24 2 = (0,959) (1,035) = 0,9934 (535,70) (577,22)

0,9934 = 0,9967

ó

Yˆ = byx ( x − x ) + y

ó

Yˆ = 0,960 ( x − 35,87 ) + 34,12

ó

9. Solución: y = 6,6

ó

6.600

x = 20

s 2y = 60

ó

60.000

mxy = 8,4 ó

=

8,4 = 0,28 30

b yx =

m xy s x2

20.000

s x2 = 30

ó

30.000

8.400

C yx = y − x byx = 6,6 − (20) (0,28) = 1

8.400 = 0,28 30.000

Yˆ = byx x + C yx

byx =

Yˆ = 0,28 (28) + 1

C yx = 6.600 − 0,28 (20.000) = 1.000

Yˆ = 7,84 + 1 = 8,84

Yˆ = $ 8.840 diario

Yˆ = 0,28 (28.000) + 1.000

Yˆ = 7.840 + 1.000 = 8.840 diario

6



10. Solución: V[x + y ] = V[x ] + V[ y ] + 2m xy

( )

0,9 = (− 0,2) byx

R 2 = bxy byx ⇒

b yx =

m xy

bxy =

m xy

s x2

s 2y

⇒

− 4,5 =

⇒

s 2y =

m xy

m xy bxy

=

byx =

0,9 = − 4,5 − 0,2

mxy = (− 4,5) (8) = − 36

⇒

8

⇒

− 36 = 180 − 0,2

V[x + y ] = s x2 + s 2y + 2m xy

V[x + y ] = 8 + 180 + 2 (− 36) = 116

V[x + y ] = 116

11. Solución: s yx = 3

→

s 2yx = 9

R2 = 1 −

sy = 5

→

s 2y = 25

r=

VR VT

R2 = 1 −

R2

9 = 0,64 25

r = 0,64 = 0,8

r = 0,8

12. Solución: a) r =

m xy sx s y

R = 2

2 s ay

s 2y

=

10 10 = = 0,25 5 (8) 40

R 2 = 0,252 = 0,0625

=

4 = 0,0625 64

Cierto

b) bxy byx ≤ 1 c)

bxy = − 0,7

1,24 (0,95) = 1,178

1,178 >1

Falso

byx = 0,9

7



Falso, deben tener el mismo signo, los coeficientes angulares o de regresión

d) mxy = − 10

r = 0,8

Falso. El Coeficiente de correlación deberá tener el mismo signo de la covarianza

e) V[x - y ] = − 14

V[ x ] = 8

V[ y ] = 12

cov = 17

Falso, las varianzas nunca pueden ser negativas

13. Solución: a) R 2 = 1 −

s 2yx s 2y

⇒ R 2 = 0,81 = 1 −

19 100

0,81 = 1 − 0,19

⇒

0,81 = 0,81 Cierto

b) byx = 7

C yx = 4

4 ≠ 64 − 70

⇒ ⇒

C yx = y − x byx

4 ≠ −6

⇒

4 ≠ 64 − 10 (7 )

Falso

c) byx = 0,3

bxy = − 3

d) mxy = 60

s x2 = 50

s 2y = 50

byx = 1,2

60 = 1,2 50

Cierto

b yx = 1,2

byx =

m xy S x2

=

Falso, deben tener el mismo signo

14. Solución: M [x + y ] = M [x ] + M [ y ] = x + y = 7 mxy =

∑ xi yi n

x y = 12 ⇒

− xy

⇒

50 =

1.240 −xy 20

⇒

50 − 62 = − x y

x = 12 reemplazamos en x + y = 7 Los valores de las medias son 4 y 3 y

8


12 + y=7 y

12 + y 2 = 7 y

⇒

⇒


y 2 − 7 y + 12 = 0

x=4

Como M [x − y ] > 0 se tiene que x > y

⇒

s x2 = M [x 2 ] − x 2 = 81 − 16 = 65

s x2 =

∑ x − x2

s 2y = M [y 2 ] − y 2 = 49 − 9 = 40

s 2y =

∑ y i2 − y 2

2 s yx = s y2 −

2 m xy

⇒

s x2

y=3

y

2

n

n

2.500 = 40 − 38,46 = 1,54 65

2 S yx = 40 −

s yx = 1,54 = 1,24

15. Solución: (1) V[x + y ] = V[x ] + V[ y ] + 2m xy = 9,2

( 2) V[x − y ] = V[ x ] + V[ y ] − 2m xy = 14,8

Multiplicamos a la segunda ecuación por -1 y le restamos a la primera: 9,2 − 14,8 − 5,6

= = =

V[x ] − V[x ] 0

+ −

V[ y ] V[ y ] 0

+ +

2m xy 2m xy 4m xy

mxy = −

5,6 = − 1,4 4

m xy = − 1,4

16. Solución: a) s 2yx = s 2y −

r=

m xy sx sy

b) b yx =

m xy s

2 x

2 m xy

s x2

sy = 8

⇒

s 2y = 64

s x = 10 →

; r (s x )(s y ) = 0,6 (8) (10) = 48 = m xy ; s 2yx = 64 −

=

48 = 0,48 100

s x2 = 100

2.304 = 64 − 23,04 = 40,96 100

Yˆ = 0,48 ( x − 16 ) + 13

9




b) Cierto

c) Falso

d) Falso

e) Falso

18. Solución: x=

∑ xi n

mxy =

s x2 =

=

174 = 8,7 20

∑ xi yi − x y = n

y=

∑ yi n

340 = 17 20

=

3.062 − (8,7 ) (17 ) = 5,2 20

∑ xi2 − x 2 = 1.626 − 8,7 2 = 5,61 n

20

Yˆ = byx ( x − x ) + y 2 s yx = s y2 −

b yx =

2 m xy

s x2

= 6,2 −

m xy s x2

=

5,2 = 0,927 5,61

Yˆ = 0,927 (30 − 8,7 ) + 17 = 36,75 5,2 2 = 1,381 5,61

s y2 =

Yˆ = 36,75

∑ y i2 − y 2 = 5.904 − 17 2 = 6,2 n

20

s yx = + s 2yx = 1,381 = 1,175

Yˆ = 36,75 ± 2,093 (1,175)

1 + 20

(30 − 8,7 )2 (174)2 1.626 −

41,73 = 36,75 ± 4,98 =  31,77

20

19. Solución: mxy =

400 = 20

→

r=

m xy sx s y

=

20 20 = = 1,333 3 (5) 15

r = 1,333

El coeficiente de correlación no puede ser mayor de 1. Por lo general: − 1 ≤ r ≤ 1

10



20. Solución: a)

s 2yx

100 = porcentaje de la varianza total que queda sin explicar.

s 2y

R2 = 1 − s 2yx

s 2yx s 2y

⇒

0,8836 = 1 −

s 2yx s 2y

= 1 − 0,8836 = 0,1164

s 2y

VR 100 = 11,64% VT

100 = 11,64%

s 2y

s 2yx

⇒

El porcentaje de la varianza total que queda sin explicar es del 11,64%. b yx =

b) V[x + y ] = V[x ] + V[ y ] + 2 mxy

R 2 = byx bxy

bxy =

m xy

⇒

s y2 =

s 2y

m xy

⇒

s x2

b yx s x2 = m xy = (0,40) (18) = 7,2

2 0,8836 bxy = R = = 2,209 b yx 0,40

m xy bxy

=

V[x + y ] = 18 + 3,259 + 2 (7,2 ) = 35,659

7, 2 = 3,259 ; 2,209

21. Solución:

∑ xi

x=

=

n

s x2 =

174 = 8,7 20

y=

∑ yi n

=

340 = 17 20

∑ xi2 − x 2 = 1.626 − 8,7 2 = 5,61 n

s 2y =

20

a) b yx =

m xy s x2

=

5,2 = 0,9269 5,61

mxy =

∑ xi yi

c yx = y − x byx = 17 − 8,7 (0,9269) = 8,936

b)

r=

m xy sx s y

=

n

∑ y i2 − y 2 = 5.904 − 17 2 = 6,2 n

−xy=

20

3.062 − (8,7 ) (17 ) = 5,2 20

Yˆ = 0,9269 (10) + 8,936 = 18,205

5,2 5,2 = = 0,88 (2,37 )(2,49 ) 5,90

11



22. Solución: b yx =

sy =

m xy

→

s x2 4

(0,9)

20

r=

m xy

→

sx s y

4 = 0,9937 4,025

=

m xy

sy =

r (s x )

⇒

→

b yx s x2 = m xy

⇒ 0,2 (20) = 4 = m yx

s 2y = 0,9875

V[x + y ] = V[x ] + V[ y ] + 2mxy = 20 + 0,9875 + 2 (4 ) = 28,9875

V [x + y ] = 28,9875

23. Solución: s x2 = 56,09

s x2 = M [x 2 ] − x 2

⇒

x 2 = 27.812,25 − 56,09 = 27.756,16

⇒

⇒

56,09 = 27.812,25 − x 2

x = 27.756,16 = 166,60

x = 166,60 s 2y = 64,8

s y2 = M [y 2 ] − y 2

⇒

mxy = M [xy ] − x y bxy =

m xy

=

s 2y

⇒

⇒

64,8 = 4.567,21 − y 2

⇒

y =

4.502,41 = 67,1

m xy = 11.223,5 − (166,60) (67,1) = 44,64

44,64 = 0 ,68 64,8

Xˆ = bxy ( y − y ) + x

⇒

Xˆ = 0,68 (20 − 67,1) + 166,20 = 134,17

Xˆ = 134,17

24. Solución: a) b yx =

m xy 2 Sx

=

3,6 = 0,90 4

Yˆ = b yx x + C yx b) r =

m xy sx sy

=

3,6 = 0,42 2(4,24)

C yx = y − b yx x = 21 − 0,90 (8) = 13,8 ⇒

Yˆ = 0,9 x + 13,8 r = 0,42

Sy = 18 = 4,24

25. Solución:

12


x = 28

y = 1,2

s x2 = 8

s 2y = 2

Cov = 1,15 (4) = 4,6

a) Antes del incremento R 2 = r 2 = Con el incremento : R 2 =

b) bxy =

Cov 4 = =2 2 s 2y

Cov = 4

y = 1,15 (1,2 ) = 1,38 ; s y2 = 1,15 2 (2) = 2,645

⇒

Con incremento del 15%

Cov 2 s x2 s 2y

⇒ r 2 = R2 =

16 =1 8 (2)

4,6 2 = 1 → sigue siendo igual a 1 8 (2,645)

R2 = 1

Xˆ = bxy ( y − y ) + x = 2 (3 − 1,2 ) + 28 = 31,6

→

Xˆ = 31,6 Después : b xy =


antes del incremento (mill $ )

4,6 = 1,739 → Xˆ = 1,739 (3 − 1,38) + 28 = 30,817 2,645

Xˆ = 30,817 después del incremento (mill $ )

26. Solución:

∑ (Yî − y ) = 115,2 = 5,76 = 2

2 s ay

n

20

a) VT = V R + V E

→

s x2 = 16

2 2 s y2 = s ay + s yx

sx = 4

⇒

sy = 8

2 s 2yx = s 2y − s ay

s 2yx = 64 − 5,76 = 58,24 VR = 58,24 = 0,91 = 91% Porcentaje que no queda explicado por la recta de regresión VT 64

b) Yˆ = b yx x + C yx ⇒ Yˆ = b yx (x − x ) + y R2 =

VE VT

⇒ R2 =

2 s ay

s 2y

=

5,76 = 0,09 64

⇒ R=

Cov sx s y

13


0,30 =

b yx =


Cov ⇒ Cov = 0,30 (32) = 9,60 4 (8)

R = 0,09 = 0,30

Yˆ = 0,60 (62 − 70) + 75 = 70,2

Cov 9,6 = = 0,60 16 s x2

Yˆ = 70,2

Se espera una calificación de 70,2 en el examen final

c) V[x + y ] = s x2 + s 2y + 2 Cov V[x + y ] = 16 + 64 + 2 (9,6) = 99,20

V[x + y ] = 99,20

27. Solución:

∑ (Yî − y ) = 810 = 27 2

2 s ay =

n

∑ (y i − Yˆ ) = 290 = 9,666 ≅ 9,67 2

s 2yx =

30

n

30

a) s 2y = say2 + s 2yx ⇒ s 2y = 27 + 9,67 = 36,67 r 2 = R2 =

2 VE s ay = 2 VT sy

⇒ R2 =

27 = 0,7363 ⇒ r = 36,67

R 2 = 0,7363 ≅ 0,86

r = 0,86  3,11   120,96  = 120 ± 0,96 =  119,04  30  

b) Yˆ = 120 ± 1,699 

∝ = 0,05 υ=n−2

  t = 1,699 

28. Solución: x = 3.820

Sin aumento :

s x2 = 2.500

R2 =

s 2y = 2.500

Cov = 300

Yˆ = 4 años promedio de servicio

Cov 2 300 2 2 ⇒ R = = 0,0144 ⇒ r = 0,0144 = 0,12 (2.500) (2.500) s x2 s 2y

Con aumento la cov arianza cambia siendo : cov = 1,20(300) = 360

14


R2


306 2 = 0,020 ⇒ r = 0,020 = 0,14 ( hubo cambio) ( 2.500)

29. Solución:

∑ xi = 34 ∑ xi2 = 138

n = 10

a) Yˆ = b yx x + C yx Cov =

b yx =

⇒

∑ y i = 36 ∑ y i2 = 154

∑ xi

Yˆ = b yx ( x − x ) + y

130 − (3,4) (3,6) = 0,76 10

y i = 130

x = 3,4

s x2 = 2,24

y = 3,6

s 2y = 2,44

Cov 0,76 = = 0,3393 ≅ 0,34 2,24 s x2

Yˆ = 0,3393 (10 − 3,4 ) + 3,6 = 5,8394 ≅ 5,84 mill de $ es el costo para una empresa con 10 sucursales

30. Solución: a) s 2y = s ay2 + s 2yx

⇒

VT = VE + VR

2 2 s yx = s y2 − s ay = 28,2 − 28,6 = − 0,4

s 2yx = − 0,4

Las varianzas de x, de y, las explicadas y las residuales, no pueden ser negativas ⇒ Falso

b) Yˆ = 5 + 4,8 x

x =5

y = 29

Se tienen dos soluciones

b1) C yx = y − byx x

⇒

C yx = 29 − 4,8 (5) = 5

cierto

b2) M [ y ] = M [5] + M [4,8 x ] ⇒ y = 5 + 4,8 x = 5 + 4,8 (5) = 29 c) Cov = 80 b yx =

Cov s x2

s x2 = 50 ⇒

b yx =

s y2 = 50

80 = 1,6 50

y = 29 Cierto

b yx = 1,2 1,6 ≠ 1,2 Falso

15



e) Los dos coeficientes deben tener el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos).

31. Solución:

∑ xi

= 100

n = 50

∑ yi2 = 5.390,5

x =

∑ y i = 500 ;

100 =2 50

y =

∑ xi yi = 30

r = 0,8

x y  x  y a) m xy = Cov = ∑ i i −  ∑ i   ∑ i n  n  n

500 = 10 50

n

  100   500   = 30 −     50   50  

Cov = 30 − 2 (10) = 10

5.390,5  500  −  50  50 

s y2 =

2

↓ b xy

10 = = 1,2804 ≅ 1,28 7,81

s 2y = 107,81 − 100 = 7,81

 100   500  C xy =   − 1,28   = 2 − 12,8 = − 10,8  50   50 

;

s y = 7,81 = 2,7946

Xˆ = 1,28 y − 10,8

b) s xy2 = 20,01 −

sx =

10 2 = 7, 21 ; 7,81

10 = 4,4729 0,8 (2,7946)

c) Xˆ = 1,28 (20 − 10) + 2 = 14,8

r=

Cov 10 ⇒ 0,8 = sx s y s x (2,7946)

s x2 = (4,4729) = 20,01 2

s x2 = 20,01

Xˆ = 14,8 millones de $

16



32. Solución: Nota: se elaboró un cuadro de doble entrada, a fin de reducir operaciones y trabajos en una regresión lineal ponderada (frecuencias absolutas). xi

yi

xi, −1 − xi,

2,5 5,5 8,5 -

1,1 - 4 4,1 - 7 7,1 -10 -

1

2

3

4

∑

3 1 4

2 4 6

2 6 6 14

2 4 6

4 15 11 30

xi

yi

ni

x i ni

y i ni

xi2 ni

yi2 ni

xi y i ni

2,5 2,5 5,5 5,5 5,5 5,5 8,5 8,5 8,5 -

2 3 1 2 3 4 1 3 4 -

2 2 3 4 6 2 1 6 4 30

5,0 5,0 16,5 22,0 33,0 11,0 8,5 51,0 34,0 186,0

4 6 3 8 18 8 1 18 16 82

12,50 12,50 90,75 121,00 181,50 60,50 72,25 433,50 289,00 1.273,50

8 18 3 16 54 32 1 54 64 250

10,00 15,00 16,50 44,00 99,00 44,00 8,50 153,00 136,00 526,00

x =

∑ x i ni n

=

186 = 6,20 30

y=

∑ y i ni = 82 = 2,7333 ≅ 2,73 n

30

s x2 =

∑ xi2 ni − x 2 = 1.273,5 − 6,20 2 = 42,45 − 6,20 2 = 4,01

s y2 =

∑ y i2 ni − y 2 = 250 − 2,73 2 = 0,88

n

n

m xy = Cov =

30

30

526,00 − 6,20 (2,73) = 0,61 30

(a) Yˆ = 0,15 (6 − 6,20) + 2,73 = 2,70

b yx =

0,61 = 0,15 4,01 Yˆ = 2,70

17


2 0,612 2 = s y2 − Cov2 = 0,88 − = 0,79 s yx 4,01 sx

  (b) Yˆ = 2,7 ± 2,048  0,89  1 + 1 + 30

 30 

⇒


s yx =

(6 − 6,2)2 (186)2 1.273,5 −

0,79 = 0,89

3,04 = 2,7 + 0,34 =  2,36

30

c) r 2 = R 2 =

0,612 = 0,11 (4,01) (0,88)

→

r =

0,11 = 0,33

r = 0,33

(Hay muy poca correlación) 33. Solución: b yx = 0,2

r = 0,9

b yx = Cov s x2

Cov = 0,2 (20) = 4

⇒

Cov 2 s x2 s y2

r 2 = R2 =

s x2 = 20

⇒

s y2 =

Cov 2 42 = = 0,9876 ≅ 0,99 R 2 s x2 (0,9)2 (20)

( )

V [x + y ] = 28,99

V[x + y ] = 20 + 0,99 + 2 (4) = 28,99

34. Solución: x =

15 =3 5

s x2 =

y=

45 =9 5

55 2 −3 = 2 5

Cov =

n=5

s 2y =

495 − 9 2 = 18 5

165 − 3 (9) = 6 5

a) R 2 =

Cov 2 62 = =1 (2) (18) s x2 s 2y

b) b yx =

6 =3 2

R2 = 1

Yˆ = 3 (6 − 3) + 9 = 18

Yˆ = 18

18



Cuando R 2 = 1 la varianza residual (s 2yx ) es igual a 0 y el error es igual a 0, donde Yˆ = 60 (límites de confianza). c)

VR = 0 Todos los puntos quedaron explicados por la recta de regresión. VT

35. Solución: a) Se deja al estudiante hacer la gráfica. n = 10

x = 8.610

s 2y = 703.600

b xy =

y = 7.720

s x2 = 2.170.900

s x = 1.473,40

s y = 838,81

Cov = 1.139.800

C xy = 8.610 − 1,6199 (7.720) = − 3.895,63

1.139,800 = 1,6199 703.600

b) Xˆ = 1,6199 y − 3.895,63 c) Xˆ = 1,6199 (12.400) − 3.895,63 = 16.191,13 (cientos de $) Nota: el (a) se le deja al estudiante para que lo realice, lo mismo que la segunda parte del (c).

36. Solución: a) r = Cov

→

S S y x

bxy =

( )

Cov = r (s x ) s y = 0,80 (5) (2,828) = 11,312

Cov 11,312 = = 1,414 8 s 2y

2 b) s xy2 = s x2 − Cov2

sy

⇒ S xy2 = 25 −

Xˆ = 1,414 (28 − 45) + 30 = 5,962

11,312 2 = 9,01 8

Xˆ = 5,962

2 s xy = 9,01

19



37. Solución: a) C yx = y − b yx x

⇒

C yx = 105 − 0,932 (104) = 8,072

8,072 ≠ 6,84 Falso 24 = 4,8 5

b) s 2yx =

2 s ay =

2 s 2y = s 2yx + s ay

d) C yx = y − b yx x Cov s x2

b yx =

Cov =

e) s 2y = ?

b yx =

⇒

⇒

⇒

∑ xi y i − x y n

→

s 2y = 18

8 ≠ 18 Falso

4 = 0,44 9

0,44 ≠ 4 Falso

− 4 = y − 0,2 (30)

y = 6−4 = 2

⇒

( )

Cov = b yx S x2 = 0,2 (50)

⇒

50 − (30) (2) = − 10

⇒

V[ y ] = V[2 x + 5]

⇒

s 2y = 4 (16) = 64

r = 0,4375 = 0,66

n=5

s 2y = 4,8 + 3,2 = 8

⇒

Cov s x2

c) b yx =

16 = 3,2 5

R2 = 1 −

s 2yx s 2y

⇒

y=2

Cov = 10

⇒

s 2y = V(2 x ) + V[5]

⇒

− 10 ≠ 10 Falso

⇒ S y2 = 4 S x2

R2 = 1 −

36 = 0,4375 64

⇒ 0,66 ≠ 0,3 Falso

38. Solución: x=

7.620 = 762 10

a) s x2 =

y=

28,5 = 2,85 10

7.104.300 − 762 2 = 129.786 10

s 2y =

99,75 − 2,85 2 = 1,8525 10

20


Cov =


26.370 − (762) (2,85) = 465,3 10

465,3 = 251,17 ⇒ C xy = 762 − 251,17 (2,85) Xˆ = bxy y + C xy ⇒ bxy = 1,8525 C xy = 46,1655 Yˆ = byx x + c

b yx =

465,3 = 0,003585 129.786

Yˆ = 0,003585 (1.500) + 0,11823 = 5,49 días

C yx = 2,85 − 0,003585 (762 ) =

C yx = 0,11823

5,49 días > 3 días Estoy de acuerdo

b) s 2yx = s 2y −

Cov 2 s x2

2 s ay = s 2y − s 2yx

465,32 = 0,1843 129.786

⇒

s 2yx = 1,8525 −

⇒

2 s ay = 1,8525 − 0,1843 = 1,6682

1,6682 VE 100 = 100 = 90,05 % VT 1,8525

VE 100 = 90,05% VT

39. Solución:

∑ (xi − xi ) ( y − y ) = 241

∑ (xi − xi ) ( y − y ) = 4,82 Cov = 241 = 50 n s y2 =

byx =

2 ∑ ( yi − y ) = 218,15 = 4,363

n

50

4,82 2 = 0,62 6,2

2 ∑ (xi − x ) = 310 = 6,2

s ay2 =

n

50

196,34 = 3,9268 50

Yˆ = 0,777 (30 − 20) + 30 = 37,77

4,82 = 0,777 6,20

s 2yx = 4,363 −

s x2 =

⇒

s yx = 0,62 = 0,79

21



37,97 37,57

a) Yˆ = 37,77 ± 1,800  0,79  = 37,77 ± 0,20 =   50 

b)

s 2yx s 2y

100 =

0,62 100 = 14,21% 4,363

VR 100 = 14,21% VT

40. Solución:

∑ xi

n=8

= 68

∑ xi2 = 684 byx = − 0,2057

∑ yi = 66,6 ∑ yi2 = 558,94

C yx = 10,073

∑ xi yi x = 8,5

mxy S y2

=

y = 8,325

Yˆ = − 0,2057 x + 10,073

a) Yˆ = − 0,2057 (0) + 10,073 = 10,073 mm fué el grosor original b) bxy =

= 544,3

Yˆ = 10,073 mm

− 2,725 = − 4,85 0,5618

Xˆ = − 4,85 (0 − 8,325) + 8,5 = 48,88 horas

Xˆ = 48,88 horas

c) A partir de las 48,88 horas ya no hay lámina, por lo tanto no tiene sentido pronosticar el grosor después de 70 horas de fricción.

41. Solución: n=6

a) r =

∑ xi = 18 ∑ xi2 = 64 6 (122) − (18) (45)

[6 (64) − (18) ] [6 (355) − (45) ] 2

b) byx

∑ yi = 45 ∑ yi2 = 355

− 2,17 = = − 1,299 ≅ − 1,30 1,67

∑ xi yi

= 122

x =3

= − 0,9827 ≅ − 0,98

y = 7,5

r = − 0,98

2

mxy = − 2,17

s x2 = 1,67 s 2y = 2,92

Yˆ = − 1,3 (0 − 3) + 7,5 = 11,4 segundos es la rapidez de acción en ausencia del agente químico

22



c) bxy = − 2,17 = − 0,743 2,92

Xˆ = − 0,743 (0 − 7,5) + 3 = 8,57 gramos es la proporción que deberá contener el producto para que la solución sea instantánea.

42. Solución:

∑ xi = 179,4 ∑ xi2 = 4.937,68

n=8

x = 22,425 ≅ 22,43

∑ yi = 166,3 ∑ yi2 = 3.505,37

y = 20,7875 = 20,79

∑ xi yi

= 3.919,62

s 2y = 6,05

s x2 = 114,33

a) Se deja al estudiante la realización de la gráfica de dispersión y de regresión. b) s 2yx = s 2y −

Cov 2 s x2

2 s ay = s 2y − s 2yx

⇒

⇒

s 2yx = 6,05 −

23,79 2 = 1,099 ≅ 1,10 114,33

2 s ay = 6,05 − 1,10 = 4,95

2 VE s ay 4,95 = 2 = = 0,8182 = 81,82% Es el porcentaje que queda explicado por la recta de regresión VT 6,05 sy

c) bxy = 23,79 = 3,93 6,05

Xˆ = 3,93 (25 − 20,79) + 22,43 = 38,98

Xˆ = 38,98

42,92  4,56  Xˆ = 38,98 ± 2,447   = 38,98 ± 3,94 =   8  35,04

υ=n−2=6

2 s xy = s x2 −

Cov 2 s y2

⇒ 114,33 −

23,79 2 = 20,78 6,05

∝ = 0,05 s xy =

20,78 = 4,56

43. Solución: r = 0,80

x = 25

y = 60

s x = 7,5

s y = 14,4

23


( )

Cov = r (s x ) s y

byx =

a)


Cov = 0,80 (7,5) (14,4) = 86,4

⇒

86,4 = 1,536 56,25

Cov = 86,4

s 2y = 207,36

s x2 = 56,25

Yˆ = 1,536 (40 − 25) + 60 = 83,04 valor de la cuenta (miles de $)

b) s 2yx = s 2y −

Cov 2 S x2

⇒

s 2yx = 207,36 −

2 VR s yx 74,65 = 2 = = 0,36 = 36% VT s y 207,36

86,4 2 = 74,65 56,25

es el porcentaje de la varianza total que no queda explicada por la recta de regresión.


s x2 = 25

sx = 5

Se requiere de las dos ecuaciones Cov = r s x s y byx =

⇒

y = 45

Xˆ = bxy y + C xy

s 2y = 64

y

sy = 8

r = 0,90

Yˆ = b yx x + C YX

Cov = 0,90 (5) (8) = 36

36 = 1,44 25

bxy = 36 = 0,5625 64

Yˆ = 1,44 ( x − 30) + 45

Xˆ = 0,5625 ( y − 45) + 30

Yˆ = 1,44 x − 1,8

Xˆ = 0,5625 y + 4,6875

c yx = 45 − 1,44 (30) = 1,8

c xy = 30 − 0,5625 (45) = 4,6875

Se le dan dos valores a xi para obtener dos valores de Yˆ ; lo mismo, en la segunda ecuación, dos valores de yi para obtener dos valores de Xˆ , con los anteriores resultados se puede elaborar la gráfica.

45. Solución:

24


r = 0,65

s x2 = 36

sx = 6

b)

Cov 2 s x2

⇒

x = 50

( )

Yˆ = 1,0833 (40 − 50 ) + 100 = 89,167

Cov 39 = = 1,0833 36 s x2

s 2yx = s 2y −

s 2y = 100

y = 100

Cov = r (s x ) s y

a) Cov = 0,65 (6) (10) = 39 b yx =


calificación predicha

s 2yx = 100 −

39 2 = 57,75 36

Porcentaje de la varianza total que no queda explicada por la recta 2 VR s yx 57,75 = 2 = = 0,5775 VT 100 sy

⇒

VR 100 = 57,75% VE

46. Solución: a) Diagrama de dispersión c) Igual a uno e) Falso ⇒ − 1 ≤ r < 1

b) Coeficiente de correlación d) Verdadero VT = VE f) Verdadero


R2 =

R 2 = 0,70

S ay2 S y2

s y2 =

⇒

2 s 2yx = s 2y − s ay

⇒

2 S ay = 1,2

say2 R2

⇒

s 2y =

s 2yx = 1,71 − 1,2 = 0,51

1,2 = 1,71 0,7 ⇒

s 2yx = 0,51


R2 = 1 −

r = 0,85 s 2yx s 2y

⇒

0,85 2 = 1 −

s 2yx = 16 16 S y2

⇒

− 0,2775 = −

16 s 2y

25


s 2y =

a)

16 = 57,66 0,2775 2 say = s 2y − s 2yx


s 2y = 57,66 2 s ay = 41,66

2 s ay = 57,66 − 16 = 41,66

⇒

VR 100 = 27,75% VE

b) VR = 16 = 0,2775 = 27,75% VT

57,66


VE = 56,2

VT = 66,3

= 56,2

s 2y = 66,3

2 s ay

s yx2 = s y2 − s ay2

s 2yx = 66,3 − 56,2 = 10,1

⇒

s yx = 10,1 = 3,178

50. Solución: b yx = 2,5

a) β1 = b1 ± t Sb1

S b1 = 0,8

n = 25

⇒

β1 = 2,5 ± 2,064 (0,8) β1 = 2,5 ± 1,6512 =  0,84 4,16

b) t =

1)

b1 − β1 2,5 − 0 = = 3,125 Sb1 0,8 H 0 : β1 = 0 H 1 : β1 ≠ 0

(No hay relación ) (Si hay relación ) 3)

2) ∝ = 0,05

υ = n = 1 = 24 ∝ = 0,05

Algunos trabajan con

 

=

t 0,05 = 2,064

υ = n − 2 = 23  ∝ = 0,05

 t 0, 05 = 2,069 

26



Observemos que t = 3,127 cae en la región crítica, por lo tanto rechazamos H 0 : β i = 0 y aceptamos H a : β i ≠ 0 , es decir, que si hay relación. 51. Solución:

∑ ( yi

− y ) = 220

s 2y =

220 = 7,33 30

∑ (Yˆ −

2

a) R 2 =

2 s ay

s y2

2 s ay =

⇒

R2 =

y

)

2

= 38,4

n = 30

38,4 = 1,28 30

1,28 = 0,1746 ≅ 0,17 7,33

r = 0,1746 = 0,42

b) Queda explicada por el 17,46% c) t =

1)

r 1 − r2 n−2

=

H0 : ρ = 0 Ha : ρ ≠ 0

2) ∝ = 0,05

0,42 = 2,45 (Resultado obtenido trabajando con la calculadora) 1 − 0,1746 30 − 2

(No hay correlación ) (Si hay correlación) 3) t = 2,45

υ = n − 2 = 28  = t 0, 05 = 2,048 ∝ = 0,05

Observamos que t = 2,45 cae en la región crítica, rechazando H 0 y aceptando H a : ρ ≠ 0 , por lo tanto si hay correlación.


∑ xi = 220 ∑ yi = 77,15

∑ xi2 = 4.840 ∑ yi2 = 620,3679

x = 20

∑ xi

y = 7,013

s x2

s x = 6,3244

s y = 2,685

s 2y = 7,21

y i = 1.727,64

= 40

27



a) Xˆ = bxy ( y − y ) + x 16,81 = = 2,33 bxy = Cov 7,21 s 2y

r = cov sx s y

⇒

0,99 =

Cov

(6,3244) (2,685)

⇒

Cov = 0,99 (16,98) = 16,81

Xˆ = bxy ( y − y ) + x

Xˆ = 2,33 (18 − 7,013) + 20 = 45,62 Xˆ = 45,62 % es el porcentaje de descuento que debe dar, que no queda explicado 2 16,812 s 2yx = s y2 − cov2 ; s 2yx = 7,21 − = 0,1455 = 0,15 40 sx b) 2 VR = s yx 100 = 0,15 100 = 2,08% es el porcentaje de la varianza que no queda explicado VT SY2 7,21

say2 r = 2 sy

say2 ⇒ 0,98 = 7,21

2

c) t =

r 1− r n−2 2

1) H 0 : ρ = 0 Ha : ρ ≠ 0

⇒ t=

⇒

say2 = 0,98 (7,21) = 7,07

0,99 0,99 = = 1 − 0,98 0,02 11 − 2 9

say2 = 7,07

0,99 0,99 = = 20,63 0 ,048 0,002222

(No hay correlación ) (Si hay correlación )

2) ∝ = 0,05 3)

υ = n − 2 = 11 − 2 = 9 ∝ = 0,05

 t = 2,262 

Se le acepta, debido a que se ubica en la región crítica (t = 20,63), es decir, si hay correlación.  s xy    n

d) Xˆ ± t 

Xˆ = 45,60

28


 0,90  45,60 ± 2,262   ⇒ 45,60 ± 0,61 =  11  2 s xy2 = s x2 − Cov sy

⇒ 40 −


42,21% 44,99% 

16,812 = 0,81 7,21

s xy = 0,81 = 0,90

53. Solución: Yˆ = − 18.000 + 0,85 x

a) Yˆ = − 18.000 + 0,85 (700.000) = 577.000 gastos mensuales b) No se debe estimar, pues la ecuación corresponde a familias de 4 miembros, y aquí nos piden para familias de 5 miembros. c) Tampoco se puede utilizar la ecuación, dado que se emplea para familias de 4 miembros, con ingresos entre $688.000 y $820.000. En este caso, nos piden para familias de 5 miembros y con ingresos inferiores al anterior rango. d) Tampoco se debe utilizar la ecuación, dado que $450.000 no está dentro del rango de ingresos 54. Solución: a) Por cada unidad que toma X (Variable independiente), la variable Y (dependiente), crece en 0,3. b) Yˆ = 50 + 0,3 (40) = 62 para un gasto semanal de $40.000, se estima, que el alumno obtiene una nota promedio de 62 puntos sobre 100. Se nota en este ejercicio, a pesar del resultado, no hay relación entre las dos variables, podemos decir que fue una relación “CASUAL” 55. Solución: R 2 = 0,64

a) 1)

⇒

r = 0,64 = 0,8

H0 : ρ = 0 Ha : ρ ≠ 0

(No hay correlación ) (Si hay correlación )

29



2) ∝ = 0,05 3) t =

r 1− r n−2 2

⇒t =

0,8 = 5,66 1 − 0,64 20 − 2

(Resultado calculadora)

υ = 20 − 2 = 18

 t 

∝ = 0,05

0, 05

= 2,101

Se concluye al nivel del 5%, que la muestra realizada permite admitir que proviene de poblaciones con cierto grado de correlación. b)

R2 = 1 −

VR VT

⇒

VR 100 = 36,00% VT

VR = 1 − 0,64 = 0,36 = 36% VT

36% es la proporción de la variación que queda sin explicar por la recta de regresión.


∑ xi = 192 ∑ xi2 = 2.988

∑ yi = 748 ∑ yi2 = 38.026

∑ xi yi

x = 12

y = 46,75

s 2y = 191,0625

s x2

= 10.391

= 42,75

a) Yˆ = byx (x − x ) + y Cov =

10.391 − 12 (46,75) = 88,4375 16

b yx =

88,4375 = 2,069 42,75

Yˆ = 2,069 (24 − 12) + 46,75 = 71,58 días

b) s 2yx = 191,0625 −

88,4375 2 = 8,11 ⇒ s yx = 8,11 = 2,85 42,75

2,85 54,48 días Yˆ = 52,96 ± 2,145 = 52,96 ± 1,52 =  51,44 16 Yˆ = 2,069 (15 − 12 ) + 46,75 = 52,96 días

30



 2,74   54,43 ˆ Yˆ = 52,96 ± 2,145   ⇒ Y = 52,96 ± 1,47 =  51,4 días  16   16 (10.391) − (192) (748)

c) r =

1)

= 0,9785 ≅ 0,98

[16 (2.988) − (192) ] [16 (38.026) − (748) ] 2

2

(No hay correlación) (Si hay correlación )

H0 : ρ = 0 Ha : ρ ≠ 0

2) ∝ = 0,05 3) t =

r 1− r n−2 2

=

0,98 0,98 = = 18,33 0 , 05345 1 − 0,96 16 − 2

18,33 cae en la RC, luego aceptamos la alternativa, es decir, que hay correlación al nivel del 5%. d) 1)

H 0 : β1 = 0 (No hay relación)

1

S b1 = s yx

t=

2) ∝ = 0,05

H a : β1 ≠ 0 (Si hay relación)

∑ ( xi − x )

2

⇒ 2,85

1 = 0,1089 684

byx − β yx 2,069 − 0 = = 18,999 Sbyx 0,1089

Observemos que 18,999 cae en la región crítica, por lo tanto rechazamos a H 0 y aceptamos H a : β yx ≠ 0 , luego se puede aceptar al nivel del 5% que si hay relación.

57. Solución: n=5

∑ xi

= 43

∑ xi2

= 405

∑ yi

= 29

∑ yi2

= 189

∑ xi yi

= 256

31


bxy =

5 (256) − (43) (29) 33 = = 0,317 2 104 5 (189) − (29)


C xy =

43 − 0,317 ( 29) = 6,7614 5

Xˆ = 0,317 (10) + 6,761 = 9,93 millones de pesos semanales es el costo de mano de obra.

58. Solución: byx =

5 (165) − (15) (45) =3 2 5 (55) − (15)

C yx =

45 − 3 (15) =0 5

a) Yˆ = 3x + 0 b)

r =

5 (165) − ( 15) (45)

[5 (55) − (15) ] [5 (495) − (45) ] 2

c)

2

=

150 =1 150

VE = R 2 = 1 = 100% queda explicado por la recta de regresión. La correlación es perfecta. VT

59. Solución: a) byx =

35 (5.890) − (234) (831) = 1,44 2 35 (1.796) − (234)

Yˆ = byx ( x − x ) + y

b) r =

⇒

y=

831 234 = 23,74; x = = 6,686 35 35

Yˆ = 1,44 ( x − 6,686) + 23,74

35 (5.890) − (234) (831)

[35 (1.796) − (234) ] [35 (21.037) − (831) ] 2

2

= 11.696 = 0,61 19.251,71


∑ xi = 243 ∑ xi2 = 6.405

a) byx = 0,3969

∑ yi = 125 ∑ yi2 = 1.739

∑ xi yi

= 3.236

C yx = 2,8548

32


Yˆ = 0,3969 (15) + 2,8548 = 8,8083

b) r = 0,6681


Yˆ = 8,81

R 2 = 0,4463

⇒

61. Solución:

xi

yi

ni

2 2 4 4 6 6 8 8 8

1 2 1 3 2 3 1 2 3

3 2 5 3 5 5 1 3 3 30

∑

148 − 30 (2.07 ) = 0,65 30 2

s y2 =

a) bxy =

b) r =

n = 30

∑ xi ni = 158

∑ y i ni = 62

x = 5,26667 ≅ 5,27

y = 2,0660 ≅ 2,07

∑ xi y i ni = 348

∑ xi2 ni = 956

Cov = 348 − (2,07 ) (5,27 ) = 0,6911 30

∑ y i2 ni = 148

(0,71555) *

956 − 30 (5,27 ) = 4,09 (4,128788) * 30 * resultados, usando programa RL en la calculadora 2

S x2 =

(0,66222) *

0,6911 = 1,06 (1,0805) * Xˆ = bxy ( y − y ) + x 0,65 Xˆ = 1,06 (4 − 2,07 ) + 5,27 = 7,32 30 (348) − (158) (62)

[30 (956) − (158) ] [30 (148) − (62) ] 2

= 0,43 (0,432739) *

⇒

R 2 = 0,19

2

2 0,69112 c) s xy2 = s x2 − Cov2 = 4,09 − = 3,36 (3,355)* Varianza residual

0,65

sy

s xy = 3,36 = 1,83 2 2 s ax = s x2 − s xy

⇒

2 s ax = 4,09 − 3,36 = 0,73 Varianza explicada

 1,83   8,00  = 7,32 ± 0,68 =  6,64   30 

d) Xˆ = 7,32 ± 2,048 

Xˆ = 7.32

33



62. Solución: xi

yi

ni

35 35 40 40 40 60 60 60 70 70

80 60 120 100 80 120 100 80 120 100

2 4 1 6 2 4 2 1 5 3 30

∑

n = 30

2

a)

86.150 − 30 (51,67 ) = 201,88 30 2

r =

byx =

= 86.150

∑ yi ni

= 2.940

∑ yi2 ni

= 300.400

1.550 = 51,67 30

y=

2.940 = 98 30

= 157.800

(51,6666) *

* resultados con la calculadora

(409,3333) * (202,2222) *

30 (157.800) − (1.550) (2.940)

[30 (86.150) − (1.550) ] [30 (300.400) − (2.940) ]

= 0,68 ⇒ R 2 = 0,47

2

157.800  1.550   2.940  −   = 196,67 30  30   30 

197,67 = 0,979 201,88

(0,97252) *

Yˆ = 0,979 (50 − 51,67 ) + 98 = 96,37 miles de $

c)

∑ xi2 ni

x=

2

b) mxy =

= 1.550

∑ xi yi ni

300.400 − 30 (98) s y2 = = 409,33 30 s x2 =

∑ xi ni

2 s yx = 409,33 −

196,67 2 = 217,74 201,88

$96.370

(218,019) *

s yx = 217,74 = 14,76

 14,76  101,89  = 96,37 ± 5,52 =  Yˆ = 96,37 ± 2,048  miles de $ 90,85  30 

34


2 d) s ay = VE = s 2y − s 2yx ;

2 s ay

s 2y

=


VE = 409,33 − 217,74 = 191,59

VE 191,59 = = 0,4681 = 46,81% queda explicado por la recta de regresión VT 409,33

63. Solución: xi

yi

ni

2 2 2 4 4 4 6 6 6 8 8

24 32 40 24 32 40 24 32 40 32 40

3 2 1 4 5 3 1 3 5 1 2 30

∑

∑ xi ni

n = 30

= 138

∑ yi ni

= 984

∑ xi2 ni

∑ yi2 ni

− 33.472

∑ xi yi ni

x = 4,6

y = 32,8

= 732

= 4.672

s x2 = 3,24

s 2y = 39,89 (39,89333) * Cov =

4.672 − (4,6) (32,8) = 4,85 30

(4,85333) *

* Resultados con calculadora

a) byx =

4,85 = 1,4969 3,24

(1,497942) *

Yˆ = 1,4969 (5 − 4,6 ) + 32,8 = 33,40 años de edad

b) r =

30 (4.672) − (138) (984)

[30 (732) − (138) ] [30 (33.472) − (984) ] 2

= 0,4269 ≅ 0,43

R 2 = 0,1822 ≅ 18

2

35



64. Solución: xi

yi

ni

7 8 2 3 5 3 7

2 1 5 6 4 9 2

2 3 6 5 4 7 3 30

∑ s x2 =

669 − 4,232 = 4,4071 30

a) Cov = byx =

∑ xi ni

n = 30

∑ xi2 ni

= 669

∑ xi yi ni

s 2y =

= 513

∑ yi ni

= 127

∑ yi2 ni

= 152

= 984

x = 4,23

y = 5,07

984 − 5,07 2 = 7,095 30

513 − 4,23 (5,07 ) = − 4,3461 30

− 4,3461 = − 0,986 4,4071

Yˆ = − 0,986 (6 − 4,23) + 5,07 = 3,32 días de incapacidad

b) r =

30 (513) − (127 ) (152)

[30 (669) − (127) ] [30 (984) − (152) ] 2

= − 0,78 ⇒ R 2 = 0,61

2

65. Solución: b yx =

C yx =

n ∑ xi yi ni − (∑ xi ni ) (∑ y i ni ) 2 n ∑ xi2 ni − (∑ xi ni )

∑ yi ni − b yx ∑ xi ni n

Yˆ = 2,045 (30) + 0,7034 = 62,05

b yx =

50 (9.282) − (374) (800) = 2,045 2 50 (4.410) − (374)

C yx =

800 − 2,045 (374) = 0,7034 50

Yˆ = 62 , 05

36


2 = s yx

∑ y i2 ni − C yx ∑ yi ni − b yx ∑ yi xi ni n

=


19.736 − 0,7034 (800) − 2,045 (9.282) = 3,83 50

62,59 1,96 s yx = 3,83 = 1,96 ; Yˆ = 62,05 ± 1,96 = 62,05 ± 0,54 =  50  61,51

66. Solución: Coeficiente de correlación Pearson: 2

19.736 − 50  800  2 2 ∑ y i ni − n y  50  = 138,72 2 sy = V T = = n 50

R 2 = 1 − VR VT

R2 = 1 −

3,83 = 0,9723 ⇒ r = 0,986 ≅ 0,99 138,72

r = 0,99


a) b yx =

C yx =

∑ xi ni = 324 2 ∑ xi ni = 4.602

∑ y i ni = 145 2 ∑ y i ni = 991

∑ xi yi ni = 2.127

30 (2.127 ) − (324) (145) = 0,5087 2 30 (4.602) − (324) 145 − 0,5087 (324) = − 0,66 ⇒ Yˆ = 0,5087 (14) − 0,66 = 6,4618 30

Yˆ = 6,46

991 + 0,66 (145) − 0,5087 (2.127 ) = 0,1565 30 2 991 − 30  145  0,1565  30  = 9,67 R2 = 1 − = 0,9838 s 2y = 9,67 30

b) s yx2 =

37



68. Solución: = = =

∑ yi ∑ xi y i 2 ∑ xi y i

Yˆ = ax 2 + b x + c

a ∑ xi 3 a ∑ xi 4 a ∑ xi 2

a) Le damos valores a las ecuaciones anteriores = 1.626a yx

340

3.062 = 16.110 a yx 29.418 = 167.130 a yx

+ 174 byx

+ 20 c yx

+ 1.626 byx + 16.110 byx

+ 174 c yx + 1.626 c yx

+ + +

b ∑ xi 2 b ∑ xi 3 b ∑ xi

+ + +

nc c ∑ xi 2 c ∑ xi

Los valores de los parámetros son: a yx = − 0,09 = − 0,087 * b yx = 2,45 = 2,455 * c yx = 2,74 * resultado calculadora

La regresión parabólica de “2 en 1” será: Yˆ = − 0,09 x 2 + 2,45 (x ) + 2,74

b)

2 s yx

=

s 2yx =

∑ yi2 − c yx ∑ yi − b yx ∑ yi xi − a yx ∑ yi xi2 n

Yˆ = 18,24

5.094 − 2,74 (340) − 2,455 (3.062) + 0,087 (29.418) = 0,73 20

r2 = 1 −

s 2y =

Yˆ = − 0,09 (100) + 2,45 (10) + 2,74 = 18,24

s 2yx s 2y

=1−

0,73 = 1 − 0,11 = 0,89 6,2

r = 0,94

∑ y i2 − y 2 = 5.904 − 17 2 = 6,2 n

20

El ajuste parece mejor que el de la recta, ya que r = 0,94 acercándose más a 1.

38



69. Solución: xi

yi

xi2

xi3

xi4

xi yi

xi2 y i

yi2

5 8 4 7 10 4 3 4 3 4 52

28 32 46 24 28 36 42 37 51 42 366

25 64 16 49 100 16 9 16 9 16 320

125 512 64 343 1.000 64 27 64 27 64 2.290

625 4.096 256 2.401 10.000 256 81 256 81 256 18.308

140 256 184 168 280 144 126 148 153 168 1.767

700 2.048 736 1.176 2.800 576 378 592 459 672 10.137

784 1.024 2.116 576 784 1.296 1.764 1.369 2.601 1.764 14.078

52 ∑ xi = 2 ∑ xi = 320 ∑ xi3 = 2.290 ∑ xi4 = 18.308

n = 10

∑ y i = 366 ∑ xi yi = 1.767 ∑ xi2 y i = 10.137 ∑ y i2 = 14.078

366 =

320 a yx +

52 b yx + 10 C yx

2) 1.767 =

2.290 a yx +

320 b yx + 52 C yx

a) 1)

3) 10.137 = 18.308 a yx + 2.290 b yx

(1) (2) (3)

366 = 1.767 = 10.137

320 a + 2.290 a +

(5,2) (− 1)

+ 320 C yx

52 b + 320 b +

10 c 52 c

= 18.308 a + 2.290 b + 320 c

se podrá utilizar esta simbo log ía si así lo desea

(1) (2) (3)

366

=

320 a yx

1.767 = 2.290 a yx 10.137 = 18.308 a yx

+

52 b yx

+ 320 b yx + 2.290 b yx

+

10 c yx

+ 52 c yx + 320 c yx

Multiplicamos la (1) por 5,2 y le restamos la (2)

(1) (2) (4)

1.903,2 =

1.664 a yx

− 1.767 = − 2.290 a yx 136,2 = − 626 a yx

+ 270,4 b yx

+ 52 c yx

− −

− 52 c yx 0

320 b yx 49,6 b yx

39



Multiplicamos la ecuación (1) por -32 y se le resta a la (3)

(3) (1) (5)

10.137 =

18.308 a yx

+ 2.290 b yx

+ 320 c yx

− 11.712 = − 10.240 a yx − 1.575 = 8.068 a yx

− 1.664 b yx + 626 b yx

− 320 c yx 0

Multiplicamos la (4) por 626 y la (5) por – 49,6

(4) (5)

85.261,2 = − 391.876,0 a xy − 78.120,0 = 7.141,2

400.172,8 a xy

=

− 31.049,6 c yx + 31.049,6 c yx ⇒

8.296,8 a xy

a yx =

7.141,2 = 0,8607 8.296,8

Reemplazamos en la ecuación (4) 4) 136,2 = − 626 (0,8607) − 49,6 b yx b yx =

136,2 + 626 (0,8607) = − 13,6088 − 49,6

Reemplazamos en la ecuación (1)

1) 366 = 320 (0,8607) + 52 (− 13,6088) + 10 c yx

c yx =

366 − 320 (0,8607) + 52 (13,6088) = 79,8234 10

Yˆ = 0,8607 (36) − 13,6088 (6 ) + 79,8234 = 29,1558 ≅ 29,16

Yˆ = 29,16

Yˆ = 29,16 debe ser la edad estimada para un trabajador que solicita 6 permisos. b) s 2yx =

14.078 − 79,8234 (366) + 13,6088 (1.767 ) − 0,8607 (10.137 ) = 18,4469 10

s yx = 18,4469 =

4,29 2

s 2y

14.078  366  = −  = 68,24 10  10 

R2 = 1 −

s yx2 s y2

⇒

R2 = 1 −

18,4469 = 0,7297 ≅ 0,73 68,24

R 2 = 0,73

40


 4,29   = 29,16 ± 3,13 c) Yˆ = 29,16 ± 2,306   10 


32,29 años (edad)  26,03

=

70. Solución: Por comodidad, cambiamos por yi = Capacidad y xi = el número de pasajeros, con el fin de estimar Yˆ en vez de estimar Xˆ , tal como se hace frecuentemente, obteniéndose los mismos resultados. xi

yi

xi2

xi3

xi4

8 12 5 10 14 8 11 16 6 5 95

12 20 12 20 40 12 20 40 12 20 208

64 144 25 100 196 64 121 256 36 25 1.031

512 1.728 125 1.000 2.744 512 1.331 4.096 216 125 12.389

4.096 20.736 625 10.000 38.416 4.096 14.641 65.536 1.296 625 160.067

a)

Yˆ = a x 2 + b x + c

⇒

xi yi

96 240 60 200 560 96 220 640 72 100 2.284

xi2 y i

yi2

768 2.880 300 2.000 7.840 768 2.420 10.240 432 500 28.148

144 400 184 400 1.600 144 400 1.600 144 400 5.376

Yˆ = a yx x 2 + byx x + c yx

1) 208 = 1.031 a + 95 b + 10 c 2) 2.284 = 12.389 a + 1.031b + 95 c 3) 28.148 = 160.067 a + 12.389 b + 1.031c

Multiplicamos la primera ecuación por − 9,5 y la restamos de la ecuación dos (2) ( 2)

2.284 =

12.389 a +

1.031b + 95 c

(1) − 1.976 = − 9.794,5 a + − 902,5 b − 95 c ( 4) 308 = 2.594,5 a + 128,5 b 0

41



Ahora trabajamos con la primera y tercera ecuación multiplicándo la (1) por 103,1 28.148 =

(3)

160.067a +

12.389 b + 1.031c

(1) 21.444,8 = − 106.296,1 a − 9.794,5 b − 1.031c (5) 6.703,2 = 53.770,9 a + 2.594,5 b 0

Nos quedan dos ecuaciones con dos incógnitas (4) y (5) y despejamos a, multiplicando por 2.594,5 la ecuación (4) y por 128,5 la ecuación (5), luego restamos 861.361,2 =

(5)

6.909.560,65 a + 333.393,25 b

( 4) − 799.106.0 = − 6.731.430,25 a − 333.393.25b 62.255,2 = 178.130,4 a 0

a=

62.255,2 = 0,3495 Reemplazamos en la ecuación (4) y despejamos b 178.130,4

(4) 308 = 2.594,5(0,3495)

+ 128,5 b ⇒ b =

308 − 906,78 = − 4,6598 128,5

 b =  b  yx

Ahora reemplazamos en la ecuación (1) para calcular el valor de c 208 = 1.031 (0,3495) + 95 (− 4,6598) + 10 c

c=

208 − 1.031 (0,3495) + 95 (4,6598)  c = 29,0347 =  10  c yx

Yˆ = 0,3495 x 2 − 4,6598 x + 29,0347 Siendo x = 13 se tiene: 2 Yˆ = 0,3495 (13) − 4,6598 (13) + 29,0347 = 27,5228

Yˆ = 27,52 pasajeros

La capacidad del vehículo, puede ser aproximadamente de 30 pasajeros

b) s yx2 =

5.376 − 29,0347 (208) + 4,6598 (2.284) − 0,3495 (28.148) = 14,20 10 2

s y2 =

5.376  95  −   = 447,35 10  10 

R =1− 2

s yx2 s

2 y

⇒

R2 = 1 −

14,20 = 0,9683 447,35

⇒

r ≅ 0,98

42



CORRELACIÓN MÚLTIPLE

71. Solución: *Presentamos dos maneras de simbolizar las columnas de las variables, el proceso es el mismo

xi x1

x2 yi

x3 x2

5 9 12 8 16 18 19 20 18 27 152

20 18 16 10 14 16 16 17 17 20 164

270 250 280 260 310 330 350 320 360 330 3.060

*

x12

x22

x32

x1 x2

x1 x3

x2 x3

2 1

2 i

x22

yi x1

x1 x2

yi x2

72.900 62.500 78.400 67.600 96.100 108.900 122.500 102.400 129.600 108.900 949.800

100 162 192 80 224 288 304 340 306 540 2.536

1.350 2.250 3.360 2.080 4.960 5.940 6.650 6.400 6.480 8.910 48.380

5.400 4.500 4.480 2.600 4.340 5.280 5.600 5.440 6.120 6.600 50.360

x

y

25 81 144 64 256 324 361 400 324 729 2.708

400 324 256 100 196 256 256 289 289 400 2.766

Presentamos dos de las ecuaciones que podemos utilizar, en cuanto se refiere a la SIMBOLOGIA utilizada: (1)  Xˆ 2 = b2.13 + b21.3 x1 + b23.1 x3 (2) (3)

∑ x2 ∑ x2 x1 ∑ x 2 x3

= = =

n b2.13 b2.13 ∑ x1 b2.13 ∑ x3

+ + +

b21.3 ∑ x1 b21.3 ∑ x12 b21.3 ∑ x1 x3

+ + +

b23.1 ∑ x3 b23.1 ∑ x3 x1 b23.1 ∑ x32

ó (1) ∑ yi  ˆ Y = β o + β1 x1 + β 2 x 2 ∑ yi x1 ∑ y i x 2 

= = =

(1) (2) (3)

152 β1 2.708 β1 48.380 β1

164 2.536 50.360

β o = b2.13

= = =

10 β o 152 β o 3.060 β o

β1 = b21.3

+ + +

n βo

+ + +

β o ∑ x1 β o ∑ x2 + + +

β1 ∑ x1 β1 ∑ x12 β1 ∑ x1 x 2

+ + +

β 2 ∑ x2 β 2 ∑ x 2 x1 β 2 ∑ x 22

3.060 β 2 48.380 β 2 949.800 β 2

β 2 = β 23.1

Consideramos las ecuaciones (1) y (2 ) y multiplicamos la primera por 15,2

43


( 2) 2.536 = 152 β o + 2.708 β1 (1) − 2.492,8 = − 152 β o − 2310,4 β1 ( 4) 43,2 = 0 − 397,6 β1


+ 48.380 β 2 − 46.512 β 2 + 949.800 β 2

Ahora multiplicamos la ecuación (1) por 306 + 48.380 β i

+ 949.800 β 2

(1) 50.184 = − 3.060 β o − 46.512 β i (5) 176 = 0 + 1.868 β i

− 936.360 β 2 + 13.340 β 2

(3) 50.360 =

3.060 β o

Eliminamos β1 multiplicando la (4 ) por 1.868 y la (5) por 397,6

( 4) 80.697,6 =

742.716,8 β1

+ 3.489.424 β 2

− 69.977,6 = − 742.716,8 β1 − 5.303.984 β 2 10.720,0 = 0 − 1.814.560 β 2

β2 =

10.720 = 0,0059 Reemplazamos en la ecuación 4 y 43,2 = 397,6 β1 + 1.868 (0,0059) 1.814.560

β1 =

43,2 − 1.868 (0,0059) = 0,0809 397,6

Reemplazamos en la ecuación (1) 164 = 10 β o + 0,0809 (152) + 0,0059 (3.060 )

βo =

164 − 0,0809 (152) − 0,0059 (3.060) = 13,3649 10

β o = b2.13 = 13,3649

β1 = b21.3 = 0,0809

β 2 = β 23.1 = 0,0059

Yˆ = β o + β1 x1 + β 2 x 2

Yˆ = 13,3649 + 0,0809 x1 + 0,0059 x2 Yˆ = 13,3649 + 0,0809 (35) + 0,0059 (24) = 16,338 ≅ 16,34

Yˆ = 16,34

Se esperaría una utilidad del 16,34 %

44



72. Solución: Yˆ1 = β o + β1 x1 + β 2 x2

Xˆ 1 = b1,23 + b12,3 x2 + b13, 2 x3

(1) 308 = 6 b1.23 + 363 b12.3 + 81 b13.2 (2) 18.555 = 363 b1.23 + 22.157 b12.3 + 4.994 b13.2 (3) 4.264 = 308 b1.23 + 4.994 b12.3 + 1.145 b13.2 + + +

363 X 2 22.157 X 2 4.994 X 2

X1

+

60,5 X 2

+

13,5 X 3

51,3333

0

+

195,5 X 2

−

93,5 X 3

− 78,9879

0

−

13.640 X 2

−

3.013 X 3

− 11.546,6564

6 X1 363 X 1 308 X 1

a b c a 6 b1 = b − 363 a1 a1 =

c1 = c − 308 a1 a2 = a1 − 60,5 b2

X1 0 0

b2 = b1 195,5 c2 = c1 + 13.640 b2 a3 = a2 + 15,4371 c3 b2 = b2 − 0,4783 c3 c3 = c2 3.511,012

X1 0 0

+ + +

81 X 3 4.994 X 3 1.145 X 3

− 15,4371X3 + 0,4783X3 + 3.511,012X3

0 X2 0

0 X2 0

a) Yˆ = 0,7788 + 1,9196 (70) − 4,8582 (23) = 23,4122

0 0 X3

308 18.555 4.264

75,7753 − 0,4040 − 17.057,22 0,7788 = β o = b1.23 1,9196 = β1 = b12.3 − 4,8582 = β 2 = b23.1

Yˆ = 23,41

b) Se deja planteada las ecuaciones: Xˆ 2 = b2.13 + b21.3 x1 + b23.1 x3

(1) 363 (2) 18.555 (3) 4.994 o

=

6 b2,13 +

308 b21,3 +

81 b23,1

= 308 b2,13 + 16.152 b21,3 + 4.264 b23,1 = 81 b2,13 + 4.264 b21,3 + 1.145 b23,1

Yˆ = β o + β1 x1 + β 2 x 2

45


(1) 363 = (2) 18.555 = (3) 4.994 =


6 βo + 308 β 1 + 81 β 2 308 β o + 16.152 β1 + 4.264 β 2 81 β o + 4.264 β1 + 1,145 β 2

βo = ? β 1 = ? Calcularlos β2 = ?

6 x1 + 308 x2 308 x1 + 16.152 x2 81 x1 + 4.264 x2

a b c a1 = a 6 b1 = b − 308a1 c1 = c − 81a1

+ 81 x3 + 4.264 x3 + 1.145 x3

363 18.555 4.994

51,3333 x2

+ 13,5 x3

60,5

0 + 341,3436 x2 0 + 106,0027 x2

+ 106 x3 + 51,5 x3

− 79,0 93,5

x1 +

a 2 = a1 − 51,3333b2 b1 b2 = 341,3436 c 2 = c1 − 106,0027b2 a 3 = a 2 + 2,4390 c3 b3 = b2 − 0,3105 c3 c 3 = c 2 18,5862

β o = 87,8671

x1

0

− 2,4390 x3

72,3785

0 0

x2 0

+ 0,3105 x3 + 18,5862 x3

− 0,2314 118,0290

x1

0

0

87,8671

0

x2

0

− 2,2032

0

0

x3

6,3504

β1 = − 2,2032

β 2 = 6,3504

Yˆ = 87,8671 − 2,2032 x1 + 6,3504 x 2

c) r12 =

6 (18.555) − (308) (363)

[6 (16.152) − (308) ] [6 (22.157) − (363) ] 2

r13 =

r23 =

2

6 (4.264) − (308) (81)

[6 (16.152) − (308) ] [6 (1.145) − (81) ] 2

[6 (1.145) − (81) ] [6 (22.157) − (363) ]

r12 = r21 = − 0,7963

2

− 474

(2.048) (1.173)

= − 0,7963

=

636 = 0,7994 2.048(309)

=

56 = 0,0930 309 (1.173)

2

6 (4.994) − (363) (81) 2

=

r13 = r31 = 0,7994

r23 = r32 = 0,0930

46



73. Solución: Xˆ 1 = b1,23 + b12,3 x2 + b13, 2 x3

∑ x1

= nb1.23

+ b12.3 ∑ x2

∑ x1 x2 = b1.23 ∑ x2 + b12.3 ∑ x22

+ b13.2 ∑ x3 + b13.2 ∑ x3 x2

∑ x1 x3 = b1.23 ∑ x3 + b12.3 ∑ x2 x3 + b13.2 ∑ x32

(1) 129 (2) 1.996 (3) 201,98

= 6 b1, 23 + 79 b12.3 + 7,23 b13.2 = 79 b1.23 + 1.279 b12.3 + 129,39 b13.2 = 7,23 b1.23 + 129,39 b12.3 + 14,1881 b13.2

a b c

a 6 b1 = b − 79 a1 a1 =

6 x1 + 79 x1 +

79 x2 1.279 x2

7,23 x1 + 129,39 x2

+ +

7,23 x3 129,39 x3

+ 14,1881 x3 + +

x1 0

13,1667 x2 238,8307 x2

c1 = c − 7,23 a1

0

34,1948 x2

a 2 = a1 − 13,1667 b2

x1 0

0 x2

− 0,6805 x3 + 0,1432 x3

0

0

+ 0,5793 x3

b2 = b1 238,8307 c 2 = c1 − 34,1948 b2

a 3 = a 2 + 0,6805 c3 b3 = b2 − 0,1432 c3 c3 = c 2 0,5793

x1 0 0

x

129 1.996 201,98

21,5

1,205 x3 34,195 x3

297,5 46,535

+ 5,4760 x3

5,0995 1,2456 3,9420

0

0

9,730

2

0

0

x3

0,2712 6,8048

Xˆ 1 = 9,730 + 0,2712 x2 + 6,8048 x3 Xˆ 1 = 9,730 + 0,2712 (40) + 6,8048 (8) = 75,0164

Xˆ 1 = 75,02

47



74. Solución: Xˆ 2 = b2,13 + b21,3 x1 + b23,1 x3

= nb2.13

∑ x2

+ b21.3 ∑ x1

+ b23.1 ∑ x3

∑ x2 x1 = b2.13 ∑ x1 + b21.3 ∑ x12

+ b23.1 ∑ x3 x1

∑ x2 x3 = b2.13 ∑ x3 + b21.3 ∑ x1 x3 + b23.1 ∑ x32

(1) 604 = 15 b2,13 + 3.247,4 b21.3 (2) 98.060,1 = 3.247,4 b2.13 + 939.175,68 b21.3 (3) 3.833 = 95 b2.13 + 18.057 b21.3 15 x1

a b c

3.247,4 x1 95 x1

a 15 b1 = b − 3.247,4 a1 a1 =

x1 0 0

c1 = c − 95 a1

a 2 = a1 − 216,4933 b1 b2 = b1 236.135,3376 c 2 = c1 − 2.509,8635 b2 a3 = a 2 + 8,6281 c3 b3 = b2 + 0,01060 c3 c3 = c 2 − 96,7319

+ + −

+

+ 95 b23.1 + 18.057 b23.1 + 725 b23.1 3.247,4 x 2

+ 939.175,68 x 2 + 18.057 x 2

216,4933 x 2 236.135,3376 x 2 2.509.8635 x 2

x1 0 0

0 x2 0

+ − + − − +

+

95 x3

604

+ 18.057 x3 + 725 x3

98.060,1 3.833

6,3333 x 3 2.509,7584 x 3 123.3365 x 3

40,2667 − 32.701,9816 7,6635

5,1625 x 3 0,01063 x 3 96,65665 x 3

70,2510 − 0,1385 − 339,9275

x1

0

0

0 0

x2 0

0 x3

(a ) Xˆ 2

= 39,88211 − 0,1012 x1 + 3,51686 x3

(b ) Xˆ 2

= 39,88211 − 0,1012 (210) + 3,51686 (5) = 36,2144

39,88211 − 0,1012 3,51686

Xˆ 2 = 36,21

48



75. Solución: yi

x1

x2

yi2

x12

x22

yi x1

yi x2

x1 x2

0,5 0,5 0,9 1,6 2,5 2,8 3,0 3,2 3,3 3,7 22,0

43 36 39 41 34 46 35 32 49 38 393

14 16 10 12 8 12 6 6 4 12 100

0,25 0,25 0,81 2,56 6,25 7,84 9,00 10,24 10,89 13,69 61,78

1.849 1.296 1.521 1.681 1.156 2.116 1.225 1.024 2.401 1.444 15.713

196 256 100 144 64 144 36 36 16 144 1.136

21,5 18,0 35,1 65,6 85,0 128,8 105,0 102,4 161,7 140,6 863,7

7,0 8,0 9,0 19,2 20,0 33,6 18,0 19,2 13,2 44,4 191,6

602 576 390 492 272 552 210 192 196 456 3.938

Yˆ = β o + β1 x1 + β 2 x2

(1) 22 = 10 β o (2) 863,7 = 393 β o (3) 191,6 = 100 β o (2) (1) (4)

+ 393 β1 + 100 β 2 + 15.713 β1 + 3.938 β 2 + 3.938 β1 + 1.136β 2

=

393 β o

− 864,6 = − 0,9 =

− 393 β o 0

863,7

+

15.713 β1

− 15.444,9 β1 + 268,1 β1

multiplicamos la ecuación (1) por − 39,3 y lo restamos a la ecuación (2 ) + 3.938 β 2 − +

3.930 β 2 8 β2

trabajamos con las ecuaciones (1) y (3)multiplicando la ecuación (1) por − 10

(3) (1) (5)

191,6

100 β o

=

− 220 = − 100 β o − 28,4 = 0

+ 3.938β1

+ 1.136 β 2

− 3.930β1 + 8 β1

− 1.000 β 2 + 36 β 2

multiplicamos la ecuación (4 ) por 4,5 y se le resta la ecuación (5)

(4) (5)

− 4,05

= 1.206,45 β1

+ 28,40 = 24,35

− 8,00 β1

= 1.198,45 β1

+ 36 β 2 − 36 β 2 0

⇒ β1 =

24,35 = 0,0203 1.198,45

49




(5) − 28,4 = 8 (0,0203) + 36 β 2

β2 =

⇒

− 28,4 − 8 (0,0203) = − 0,7934 36

Reemplazamos en la ecuación (1) 22 = 10 β o + 393 (0,0203) − 100 (0,7934) ⇒ β o =

22 − 7,9779 + 79,34 = 9,3362 10

Yˆ = 9,3362 + 0,0203 (40) − 0,7934 (11) = 1,4208 horas de T .V .

Yˆ = 1,42

76. Solución: n=5

∑ y i = 60 ∑ y i2 = 914 ∑ x1 x 2 = 439

(1) 60 (2) 532 (3) 750 (2) (1) (4)

=

5 βo +

x1 = 35 x12 = 313

35 β1 + 50 β 2

= 35 β o + 313 β1 + 439 β 2 = 50 β o + 439 β1 + 618 β 2

532 =

35 β o

− 420 = − 35 β o 112

=

0

con las ecuaciones (1) y (2) multiplicando esta última − 7

+

− 245 β1

− 350 β 2

68 β1

+

xi y i = 532 ∑ x 2 = 50

eliminamos a β o trabajando

+ 313 β1 +

∑ x 22 = 618 ∑ y i x2 = 750

439 β 2 89 β 2

Ahora trabajamos con las ecuaciones (1) y (3) res tan do la ecuación (1) multiplicado − 10

(3) (1) (5)

750

=

50 β o

− 600 = − 50 β o 150

=

0

+ 439β1

+

618 β 2

− 350β1

−

500 β 2

89 β1

+ 118 β 2

multiplicamos la ecuación (4 ) por 118 y la (5) por 89

50


(5) (4)

13.350 = 7.921 β 1 + 10.502 β 2 − 13.216 = − 8.024 β1 − 10.502 β 2 134 = − 103 β1 0


β1 = −

134 = − 1,301 103


(4) 112 = 68 (− 1,301) + 89 β 2

⇒

β2 =

112 + 68 (1,301) = 2,2524 89

Reemplazamos en la ecuación (1) 60 = 5 β o − 35 (1,301) + 50 (2,2524) ⇒ β o =

60 + 45,535 − 112,62 = − 1,417 5

Yˆ = − 1,417 − 1,301 (11) + 2,2524 (16) = 23,14

ryx1 = r12 = 0,975 = r21 b) R y . x1x2 =

ryx2 = r13 = 0,991 = r31

Yˆ = 23,14 rx2 x3 = r23 = 0,9936 = r32

0,975 2 + 0,9912 − 2 (0,975) (0,991) (0,9936) = 0,9947 ≅ 0,99 1 − 0,9936 2

77. Solución: Vendedor 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

xi

70 71 72 72 82 85 86 87 88 88 89 93 93 96 98

Rango xi 1,0 2,0 3,5 3,5 5,0 6,0 7,0 8,0 9,5 9,5 11,0 12,5 12,5 14,0 15,0

yi

Rango y i

29 32 32 32 34 37 39 41 42 43 44 46 50 51 53

1,0 3,0 3,0 3,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0 15,0

51


Vendedor

xi

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

72 88 70 72 87 71 85 89 93 98 93 96 86 82 88

Rango xi

3,5 9,5 1,0 3,5 8,0 2,0 9,5 11,0 12,5 15,0 12,5 14,0 7,0 5,0 9,5


yi 34 42 32 44 29 32 41 46 50 51 53 32 39 43 37

Rango yi 5,0 9,0 3,0 11,0 1,0 3,0 8,0 12,0 13,0 14,0 15,0 3,0 7,0 10,0 6,0

∑ rs = 1 −

6 ∑ d i2 n3 − n

rs = 1 −

6 (281,75) 153 − 15

d i2

di

-1,5 0,5 -2,0 -7,5 7,0 -1,0 1,5 -1,0 -0,5 1,0 -2,5 11,0 0,0 -5,0 3,5

2,25 0,25 4,00 56,25 49,00 1,00 2,25 1,00 0,25 1,00 6,25 121,00 0,00 25,00 12,25

0

281,75

rs = 0,4965 ≅ 0,50

rs = 1 − 0,5031 = 0,4965

El resultado de 0,50 nos muestra que hay muy poca correlación entre esas dos variables * Ver más ejercicios capítulo 9

78. Solución: No.

xi

1 2 3 4

6 6 6 10

Rango xi

2,0 2,0 2,0 4,5

yi

8 9 10 10

Rango yi

1,0 2,0 3,5 3,5

52


5 6 7 8 9 10 11 12

10 11 11 13 14 14 17 17

No.

xi

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

6 10 14 17 6 6 11 14 10 17 11 13


4,5 6,5 6,5 8,0 9,5 9,5 11,5 11,5

Rango xi

2,0 5,5 9,5 11,5 2,0 2,0 6,5 9,5 5,5 11,5 6,5 8,0

12 12 13 17 18 18 18 20

5,5 5,5 7,0 8,0 10,0 10,0 10,0 12,0

Rango

yi

di

d i2

-1,5 -1,5 -0,5 6,0 0,0 1,0 1,0 -0,5 -2,5 8,0 -3,5 1,0

2,25 2,25 0,25 36,00 0,00 1,00 1,00 0,25 6,25 64,00 12,25 1,00

0

126,50

yi

10 13 18 12 9 8 12 18 17 10 18 20

3,5 7,0 10,0 5,5 2,0 1,0 5,5 10,0 8,0 3,5 10,0 7,0

∑ rs = 1 −

6 (126,5) = 1 − 0,4423 = 0,5577 ≅ 0,57 nos indica muy poca correlación entre esas dos variables 12 3 − 12

rs = 0,57

79. Solución: No.

xi

1 2 3 4 5

12 13 14 15 15

Rango xi

1 2 3 4,5 4,5

yi

16 17 18 20 21

Rango yi

1 2 3 4 5

53


6 7 8 9 10 11 12 13 14

16 17 18 20 21 22 22 23 24

No.

xi

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

13 12 16 15 14 22 23 17 24 20 21 18 15 22


6 7 8 9 10 11,5 11,5 13 14

22 24 24 25 25 31 31 34 35

Rango 2 1 6 4,5 3 11,5 13 7 14 9 10 8 4,5 11,5

Rango

yi

xi

6 7,5 7,5 9,5 9,5 11,5 11,5 13 14

yi

21 17 22 16 18 35 34 20 31 24 25 25 24 31

5 2 6 1 3 14 13 4 11,5 7,5 9,5 9,5 7,5 11,5

∑ a) rs = 1 −

6 (57,5) = 1 − 0,1264 = 0,8736 143 − 14

di

d i2

-3,0 -1,0 0 3,5 0 -2,5 0 3,0 2,5 1,5 0,5 -1,5 -3,0 0

9,00 1,00 0,00 12,25 0,00 6,25 0,00 9,00 6,25 2,25 0,25 2,25 9,00 0,00

0

57,50

rs = 0,87

Hay una buena correlación entre esas variables, según el coeficiente de Spearman b) r = coeficiente de correlación de Pearson r=

14 (6.454) − (252) (343)

[14 (4.742) − (252) ] [14 (8.899) − (343) ] 2

= 0,8764

2

Casi igual al coeficiente de correlación de Spearman

54



80. Solución: No.

yi

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

20 45 45 52 52 52 53 60 60 60 68 68 70 70

Rango

No.

yi

1,0 2,5 2,5 5,0 5,0 5,0 7,0 9,0 9,0 9,0 11,5 11,5 13,5 13,5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Rango

Rango

xi

yi

11,0 1,0 2,0 5,0 3,5 3,5 6,0 9,0 12,0 13,5 9,0 7,0 13,5 9,0

2,5 9,0 7,0 5,0 9,0 9,0 1,0 5,0 13,5 11,5 13,5 5,0 11,5 2,5

∑ rs = 1 −

6 (339,50) = 1 − 0,7462 = 0,2538 143 − 14

di

d i2

8,5 -8,0 -5,0 0,0 -5,5 -5,5 5,0 4,0 -1,5 2,0 -4,5 2,0 2,0 6,5

72,25 64,00 25,00 0,00 30,25 30,25 25,00 16,00 2,25 4,00 20,25 4,00 4,00 42,25 339,50

rs = 0,25

Se puede decir que no hay correlación entre las dos variables

81. Solución: No.

xi

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

65 65 65 75 76 76 76 78 80 80 83 83

Rango xi

2,0 2,0 2,0 4,0 6,0 6,0 6,0 8,0 9,5 9,5 12,0 12,0

yi

25 25 25 30 35 35 35 38 38 40 42 42

Rango yi

2,0 2,0 2,0 4,0 6,0 6,0 6,0 8,5 8,5 10,0 11,5 11,5

55


13 14 15 16

83 84 85 90

xi

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

65 80 76 75 80 78 83 84 85 90 65 83 76 76 83 65

rs = 1 −

45 48 50 55

Rango

No.

∑

12,0 14,0 15,0 16,0


yi

xi

2,0 9,5 6,0 4,0 9,5 8,0 12,0 14,0 15,0 16,0 2,0 12,0 6,0 6,0 12,0 2,0

30 25 35 40 38 42 48 50 55 45 25 35 38 35 25 42

6 (357 ) = 1 − 0,5250 = 0,4750 163 − 16

13,0 14,0 15,0 16,0

Rango yi

4,0 2,0 6,0 10,0 8,5 11,5 14,0 15,0 16,0 13,0 2,0 6,0 8,5 6,0 2,0 11,5

di

d i2

-2,0 7,5 0,0 -6,0 1,0 -3,5 -2,0 -1,0 -1,0 3,0 0,0 6,0 -2,5 0,0 10,0 -9,5

4,00 56,25 0,00 36,00 1,00 12,25 4,00 1,00 1,00 9,00 0,00 36,00 6,25 0,00 100,00 90,25 357,00

rs = 0,48

Muy poca correlación

EJERCICIOS MISCELÁNEOS 82. Solución: ∑ xi = 28

∑ xi2 = 140

∑ yi = 71

∑

a) r =

yi2

= 827

n=7

x=4

∑ yi xi = 338

y = 10,14

7 (338) − (28) (71)

[7 (140) − (28) ] [7 (827)− (71) ] 2

Cov = 7,71

= 0,987 ≅ 0,99

2

56


b) bxy =

Cov 2 Sy

=

7,71 = 0,505 15,27


C xy = 4 − 0,505 (10,14) = − 1,12

Xˆ = 0,505 (22) − 1,12 = 9,99 → (Con todos los decimales, usando la calculadora 2

Sy

=

Xˆ = 10,15 )

827 − 7 (10,14) = 15,32 → (Con calculadora S y2 = 15,27 ) 7

Cov =

2

338 = (4)(10,14) = 7,725 → (Con calculadora 7,71) 7

Queda fuera de servicio a los 9,99 años aproximadamente ( Xˆ = 10,15) 83. Solución: La solución se le deja al estudiante


∑ xi = 75

∑ yi = 134

r = 0,83

∑ xi2 = 551 2 S y = 16,88

∑

2

2 Sx

= 3,60

∑ xi yi = 992

= 1.818

Cov = 7,12

x = 6,818 = 6,82

y = 12,18

yi2

a) Yˆ = 1,977(9 ) − 1,298 = 16,50 (Resultado con calculadora) b)

(

)

S yx

= 16,81 1 − 0,912 = 2,79 (Resultado con calculadora)

S yx

= 2 ,79 = 1,67

2

υ = n − 2 = 9  t = 2,622 ∝ = 0,05 

 1,67   17 ,82 Yˆ = 16,50 ± 2 ,622   = 16,50 ± 1,32 =   15,18  11 

c) r = 0,91 es un buen coeficiente de correlación (muy cercano a 1), esto quiere decir, que el ajuste rectilíneo es una buena línea de estimación; b = 1,98 es el coeficiente de regresión, que indica el aumento en Yˆ por cada unidad de x.

57



85. Solución: 1. a) x = salario y = tiempo de servicio

∑ xi yi = 235.996,5 n = 15

∑ x i = 3.991 ∑ yi = 3.487

bxy = 0,0196

∑ xi2 = 67.527,52

∑ yi2 = 1.108.695

x = 66,07

y = 232,2

Cov = 392,42

2

Sx

Xˆ = 0,0196 (200 − 232,2 ) + 66,07 = 54,82 (calculadora)

b) n = 15 bxy = 0,346 x = 66,07

∑ xi2 = 67.527,52

∑ yi = 632

∑

y = 42,13

2

Sy

= 19.996,16

$54.820 es el salario semanal

∑ xi = 991

yi2

= 137,03

∑ xi yi = 42.151

= 27.776

Cov = 26,46

2

Sx

= 137,03

2

Sy

= 76,52

Xˆ = 0,346 (38 − 42,13) + 66,07 = 44,66 (calculadora) Xˆ = 44,66 $44.660 salario semanal

c) En ambos casos son positivos, por lo tanto indican el crecimiento en la variable x (variable dependiente) de acuerdo al valor de y (variable independiente). 2. a) x = Salario

∑ xi = 991

∑ x3 = 632

∑ x2 = 3.483

x2 = T . servicio

∑ x = 67.527,52

= 27.776 x3 = Edad

n = 15

∑ x22

2 1

= 1.108.695

∑ x32

∑ x1 x2 = 235.996,5

∑ x1 x3 = 42.151

∑ x 2 x3 = 163.678

Xˆ = b1.23 + b12.3 X 2 + b13.2 X 3

(1)

∑ x1

(2) ∑ x1 x 2 (3) ∑ x1 x3

= n b1.23

+ b12.3 ∑ x2

+ b13.2 ∑ x3

= b1.23 ∑ x 2 = b1.23 ∑ x3

+ b12.3 ∑ x + b12.3 ∑ x2 x3

+ b13.2 ∑ x3 x 2 + b13.2 ∑ x32

2 2

Reemplazando se tiene que:

58


(1) 991 15 b1.23 = ( 2) 235.996,5 = 3.483 b1.23 (3) 42.151 = 632 b1.23


3.483 b12.3 + + 1.108.695 b12.3 + 163.678 b12.3

632 b13.2 + + 163.678 b13.2 + 27.776 b13.2

Multiplicamos a la ecuación (1) por -232.2 ( 2) 235.996,5 = 3.486 b1.23 (1) − 230.110,2 = − 3.483 b1.23 ( 4) 5,886,3 = 0

+ − +

+ 163.678 b13.2 − 146.750,4 b13.2 + 16.927,6 b13.2

1.108,695 b12.3 808.520,4 b12.3 299.942,4b12.3

Ahora proseguimos con las ecuaciones (1) y (3), con el fin de eliminar a b1.23 , para ello multiplicamos a la (1) por 632 y la (3) por 15 y luego restamos al mayor valor, el menor de ellos así: 3

632.265

=

9.480 b1.23

1 − 626.312 = − 9.480 b1.23 (5) 5,953 = 0

+

2.455.170 b12.3

+ 416.640 b13.2

− 2.201.256b b12.3 + 253.914 b12.3

− 399.424 b13.2 + 17.216 b13.2

Nos queda dos ecuaciones (4 y 5) con dos incógnitas cada una, para ello eliminamos b13.2 multiplicando a la ecuación (4) por 17.216 y por 16.927,6 la ecuación (5), luego restamos, para hallar el valor de b1.23 4 101.338.540,8 = 5.163.808.358b12.3 5 − 100.770.002,8 = − 4.308.514.318b12.3 (5)

b12.3 =

568.538,0 =

855.294.040 b12.3

+ 291.425.561,6 b13.2 − 291.425.561,6 b13.2 +

0

568.538,8 = 0,00066 Reemplazamos en la ecuación (4) o (5). 859.291.596

Consideremos esta última: 5.953 = 253.914 (0,00066) + 17.216 b13.2

b13.2 =

5.953 − 253.914 (0,00066) = 0,336 Reemplazando en la ecuación (1) 17.216

991 = 15 b1.23 + 3.483 (0,00066) + 632 (0,336)

b 1.23 =

991 − 3.483 (0,0006) − 632 (0,336) ≅ 51,77 15

59



Xˆ 1 = 51,77 + 0,00066 x 2 + 0,336 x 3 Xˆ 1 = 51,77 + 0,00066 (260) + 0,336 (53) ≅ 69,75

Xˆ = 69,75

b) El coeficiente de regresión β 1 o b12.3 nos da el crecimiento o decrecimiento en Xˆ , manteniendo constante los demás coeficientes de regresión, algo similar sucede con β 2 o b13.2 . El primero corresponde al coeficiente angular de la segunda variable y el segundo, es el coeficiente angular de la tercera variable.

15 (235.996,5) − (991) (3.483)

c) r12 =

[15 (67.527,52) − (991) ] [15 (1.108.695) − (3.483) ] 2

2

15 (42.151) − (991) (632)

r13 =

[15 (67.527,52) − (991) ] [15 (27.776) − (632) ] 2

= 0,258

2

15 (163.678) − (3.483) (632)

r23 =

= 0,237 r12 = r21 = 0,237

[15 (1.108.695) − (3.483) ] [15 (27.776) − (632) ] 2

= 0,91

r13 = r31 = 0,258

r23 = r32 = 0,91

2

0,056 + 0,067 − 2 (0,237 )(0,258) (0,91) = 0,66 = 0,81 1 − 0,83

R1.23 =

R12.23 ≅ 0,812 ≅ 0,66 (Se trabajó con los decimales que da la calculadora)

d)

1 − r122 − r132 − r232 + 2 r12 r13 r23 1 − r23

S 1.23

=S

S 1.23

= 137,03

1

1 − 0,056 − 0,067 − 0,83 + 2(0,237 ) (0,258) (0,91) = 80,131 1 − 0,83

e) Xˆ 1 = 51,76 + 0,00066 (120) + 0,336 (47 ) = 67,63

Xˆ 1 = 67,63

60



EJERCICIOS MISCELÁNEOS 86. Solución: A) (a)

B) (d)

87. Solución: La solución se le deja al alumno

88. Solución: La solución se le deja al alumno

89. Solución: b yx = 2,8

bxy = 0,3

r = 2,8 (0,3) = 0,9165 ≅ 0,92

r = 0,92

90. Solución: a) C yx = byx =

24 − 0,75 (12) = 3,75 4

4 (78) − (12)(24) 4 (44) − (12)

2

=

24 = 0,75 32

b) Yˆ = 0,75 x + 3,75 c) Yˆ = 0,75 (6) + 3,75 = 8,25

Yˆ = 8,25

91. Solución: a) y =

194 = 9,7 ; 20

Cov = r S x S y = 0,9

S y2 =

(

323.200 − 20(9,7) 2 = 16.065,91 20

7.694

) ( 16.065,91) = 10.006,25;

;

x = 9.360

S x2 = 7.694

;

n = 20

61


b yx =

10.006,25 = 1,30 7.694

b yx =


Cov S x2

Yˆ = 1,3 ( x − x ) + y

b) Yˆ = 1,3 (9.400 − 9.360) + 9,7 ≅ 61,7

Yˆ = 61,7

92. Solución:

1. (a)

2. (b)

93. Solución:

b) r = 1

a) 0

c) r = 0,33

94. Solución: ∑( y i − y ) = 220 n 2

2

Sy

=

2

a) R 2 =

S ay 2 Sy

=

38,4 = 0,17 220

2 S ay =

VT

H0 : ρ = 0 Ha : ρ ≠ 0

t = 0,41

)

2

= 38,4

R = r = 0,17 = 0,41

b) Ha sido explicada en un 17% = VE 100 =

c) 1)

(

∑ Yˆ − y n

r = 0,41

S ay2 100 S y2

2) ∝ = 0,05

30 − 2 = 2,38 1 − 0,17

υ = n − 2 = 28 ∝ = 0,05

 t = 2,048 

t = 2,38 cae en la Región Crítica, por lo tanto al nivel del 5%, podemos concluir que hay correlación entre las variables. La correlación es muy baja.

62



95. Solución: R 2 = 0,36

n = 20

H0 : ρ = 0 Ha : ρ ≠ 0

a) 1)

r = 0,6

2) ∝ = 0,05

20 − 2 = 3,18 1 − 0,36

t = 0,6

υ = 20 − 2 = 18

 t = 2,101 

∝ = 0,05

t = 3,18 cae en la región crítica, por lo tanto al nivel del 5%, se puede concluir que hay correlación entre las variables. Es baja la correlación. 2

b)

S yx 2 Sy

VR 100 = 64% VT

= 1 − R 2 = 1 − 0,36 = 0,64

El porcentaje de la varianza que queda sin explicar por la recta de regresión es del 64%

96. Solución:

b yx =

(∑ x n ) (∑ y n ) 50 (9.288) − (374) (800) = = 2,049 50 (4.410) − (374) n ∑ x n − (∑ x n )

n ∑ x i y i ni − 2 i

i

i

i

i

2

i

i

2

i

800 − 2,049 (374) = 0,6735 n 50 Yˆ = 62,14 Yˆ = 2,049 (30 ) + 0,6735 ≅ 62,14 C yx =

∑y

i

ni − b yx

∑x

i

ni

=

63


S

2 yx

∑y =

2 i

ni − C yx

∑y n i

i

− byx

∑x

i

n

yi ni


=

19.736 − 0,6735 (800) − 2,049 (9.288) = 3,32 50

S yx = 3,32 = 1,82  1,82  Yˆ = 62,14 ± 1,96   = 62,14 ± 0,50  50 

 62,64 =   61,64

97. Solución: No.

xi

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

7 8 9 10 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14

Rango xi

1 2 3 5 5 5 7,5 7,5 9,5 9,5 11,5 11,5 13,5 13,5

No.

xi

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

12 10 13 8 7 11 11 14 12 14

Rango xi

9,5 5,0 11,5 2,0 1,0 7,5 7,5 13,5 9,5 13,5

yi

3,6 3,7 3,8 3,8 3,8 3,9 3,9 4,2 4,2 4,3 4,3 4,4 4,4 4,5 yi

3,9 4,2 4,2 3,8 3,8 3,8 4,3 4,4 4,5 4,4

Rango yi

1 2 4 4 4 6,5 6,5 8,5 8,5 10,5 10,5 12,5 12,5 14,0 Rango yi

6,5 8,5 8,5 4,0 4,0 4,0 10,5 12,5 14,0 12,5

di

d i2

3,0 -3,5 3,0 -2,0 -3,0 3,5 -3,0 1,0 -4,5 1,0

9,00 12,25 9,00 4,00 9,00 12,25 9,00 1,00 20,25 1,00

64


11 12 13 14 -

rs = 1 −

9 10 10 13 -

3,0 5,0 5,0 11,5 -


3,9 3,7 4,3 3,6 -

6,5 2,0 10,5 1,0 -

-3,5 3,0 -5,5 10,5 0

12,25 9,00 30,25 110,25 248,50

6 (248,50 ) = 1 − 0,546 = 0,45 muy poca correlación entre las dos variables 14 3 − 14

98. Solución: Xˆ 2 = b2.13 + b21.3 + b23.1 x3

(1) ∑ x2 (2) ∑ x2 x1 (3) ∑ x2 x3

(1) (2) (3)

= n b2.13 = b2.13 ∑ x1 = b2.13 ∑ x3

+ b21.3 ∑ x1 + b21.3 ∑ x12 + b21.3 ∑ x1 x3

1.096 = 15 b2,13 179.293 = 2.446 b2.13 22.406 = 303 b2.13

+

+ b23.1 ∑ x3 + b23.1 ∑ x3 x1 + b23.1 ∑ x32

2.446 b21.3 + 401.778 b21.3 + 49.761b21.3

+

303 b23.1 + 49.761b23.1 + 6.507b23.1

Tambien se hubiera presentado de la siguiente manera Yˆ = β o + β1 x1 + β 2 x 2

(1) 1.096 = (2) 179.293 = (3) 22.406 =

(2) (1) (4)

15 β o + 2.446 β 1 + 303 β 2 2.446 β o + 401.778 β 1 + 49.761 β 2 303 β o + 49.761 β 1 +

179.293,00 = 2.446 β o − 178.721,07 = − 2.446 β o 571,93 = 0

6.507 β 2

+ 401.778,00 β 1 − 398.861,07 β1 + 2.916,93 β1

multiplicamos la ecuación (1) por − 163,066667 y se lo restamos a la segunda ecuación

+ 49.761,0 β 2 − 49.409,2 β 2 + 351,8 β 2

Multiplicamos la ecuación (1) por − 20,2 y se la restamos a la ecuación (3)

65


(3) (1) (5)

22.406,0 = 303 β o − 22.139,2 = − 303 β o 266,8 = 0

+ 49.761,0 β1 − 49.409,2 β1 351,8 β1


+ 6.5070 β 2 − 6.120,6 β 2 + 386,4 β 2

Trabajamos con las ecuaciones (4 ) y (5) para despejar β1 multiplicamos la ecuación (5) por − 351,8 y la ecuación ( 4) por 386,4

(4) (5)

220.993,75 = 1.127.101,75 β 1 − 93.860,24 = − 123.763,24 β 1 127.133,51 = 1.003.338,51 β 1

+ 135.935,52 β 2 − 135.935,52 β 2 0

β1 =

127.133,51 = 0,1267 1.003.338,51


(5) 226,8 = 351,8 (0,1267) + 386,4 β 2

⇒

β2 =

226,8 − 351,8 (0,1267 ) = 0,4716 386,4

Ahora reemplazamos en la ecuación (1) para obtener β o

(1) 1.096 = 15 β o

+ 0,1267 (2.446 ) + 0,4716 (303) ⇒ β o =

1.096 − 0,1267 (2.446 ) − 0,4716 (303) = 42,8798 15

a) Yˆ = 42,8798 + 0,1267 x1 + 0,4716 x 2 Yˆ = 42,8798 + 0,1267 (180) + 0,4716 (25) = 77,48 mts 2 b) r12 = 0,59

r1, 23 =

r13 = 0,33

Yˆ = 77,48 mts 2

r23 = 0,37

0,592 + 0,332 − 2 (0,59) (0,33) (0,37 ) = 0,60 1 − 0,37 2

r12, 23 = R12, 23 = 0,36

66



67


Cap.11 Series de tiempo, tendencia rectilínea - Parabólica y logarítmica

11 Series de Tiempo, Tendencia Rectilínea Parabólica y Logarítmica

EJERCICIOS RESUELTOS REGRESION LINEAL SIMPLE 1. Solución: Años 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Σ

Producción( yi ) 360 383 337 390 406 459 480 2.815

xi

xi2

xi yi

0 1 2 3 4 5 6 21

0 1 4 9 16 25 36 91

0 383 674 1.170 1.624 2.295 2.880 9.026


xi

xi2

xi yi

−3 −2 −1 0 1 2 3 0

9 4 1 0 1 4 9 28

−1.080 −766 −337 0 406 918 1.440 581


a) Yˆ = bx + c

(1) ∑ yi = b ∑ xi + nc (2) ∑ xi yi = b ∑ xi2 + c ∑ xi Reemplazamos:

(1) 2.815 = 21b + 7c (2 ) 9.026 = 91b + 21c

Multiplicamos a la primera ecuación por −3

(2 ) (1)

9.026 = 91b + 21c − 8.445 = −63b − 21c 581 = 28b

⇒

b=

581 = 20,75 28

Ahora reemplazamos en la primera ecuación:

(1)

2.815 = 21(20,75) + 7c

c=

2.815 − 435,75 = 339,89 7

Yˆ = bx + c

b)

b=

Yˆ19 = 20,75(19) + 339,89 = 734,14

x = 2019 − 2000 = 19

∑ yi xi 581 = = 20,75 ∑ xi 28

c=

(Miles Tons)

∑ yi 2.815 = = 402,14 n 7

x = 2014 − 2003 = 11

Yˆ14 = 20,75 x + 402,14 ⇒ Yˆ14 = 20,75(11) + 402,14 = 630,39

(Miles Tons)

2



c) yi

Años 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Σ

360 383 337 390 406 459 480 600 3.415

xi

xi2

xi yi

−7 −5 −3 −1 1 3 5 7 0

49 25 9 1 1 9 25 49 168

−2.520 −1.915 −1.011 − 390 406 1.377 2.400 4.200 2.547

b=

∑ xi yi 2.547 = = 15,16 168 ∑ xi2

c=

∑ yi 3.415 = = 426,88 n 8

NOTA: Para que ∑ xi = 0 Se debe trabajar con semestres.

Yˆ = bx + c

Yˆ = 15,16 x + 426,88

x = 2014 − 2004 = 10 × 2 = 20 + 1 = 21 semestres

Yˆ14 = 15,16(21) + 426,88 = 725,24

(Miles tons)

2. Solución:

2

Años

yi

xi

) Yi

) yi − Yi

(yi − Yi )2

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Totales

360 383 337 390 406 459 480 2.815

0 1 2 3 4 5 6 21

339,89 360,64 381,39 402,14 422,89 443,64 464,41 2.815,00

20,11 22,36 −44,39 −12,14 −16,89 15,36 15,59 0

404,41 499,97 1.970,47 147,38 285,27 235,93 243,05 3.786,48

S yx

=

(

∑ yi − Yî n

)

S yx = 2

3.786,48 = 540,93 7

S yx

)

= 540,93 = 23,25

3


S Yˆ Yˆ ± t yx =  s n Yî


Yˆ14 = 20,75(14) + 339,89 = 630,39

Yˆ = bx + c

Σyi = 2.815

Σxi2 = 91

Σyi2 = 1.147.875

n=7

Σxi = 21

Σxi yi = 9.026

b = 20,75

c = 339,89

(23,25) = 651,99 Yˆ = 630,39 ± 2,45  7 608,87

x = 2014 − 2000 = 14

La varianza residual se hubiese podido calcular en forma más rápida, así:

2

S yx

=

∑ y12 − c ∑ yi − b ∑ yi xi n

1.147.875 − 339,89 (2.815) − 20,75 (9.026) = 542,16 7

S yx

=

S yx

= 542,16 = 23,28

2

(hay una pequeña diferencia)

Nota: por calculadora el valor de la varianza residual es 541,02 en cada uno de los cálculos de S yx2 , se empleó el valor de n, sin embargo, muchos lo obtienen con n – 2 que, en este caso sería sobre 5.

b) Coeficiente de correlación

r=

[n ∑

n ∑ x i y i − (∑ x i )(∑ y i ) xi2

− (∑ xi )

2

][n ∑

y i2

− (∑ y i )

2

]

=

7(2.547 ) − (21)(2.815)

[7(91) − (21) ] [7 (1.147.875) − (2.815) ] 2

= 0,87

2

4



3. Solución: Años 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Σ

yi

xi

xi2

xi yi

128 135 148 145 152 161 162 1.031

-3 -2 -1 0 1 2 3 0

9 4 1 0 1 4 9 28

-384 -270 -148 0 152 322 486 158

a) Yˆ = bx + c

2) ∑ xi yi = b ∑ xi2 + c ∑ xi

1) ∑ yi = b ∑ xi + nc c=

∑ yi n

b=

c=

1.031 = 147,28 7

b=

∑ xi y i ∑ x i2

158 = 5,64 28

x = 2008 − 2003 = 5 años

Yˆ = 5,64x + 147,28 ⇒

Yˆ = bx + c

Yˆ08 = 5, 64 (5 ) + 147 , 28 = 175 , 48

b) Yî

130,37 136,00 141,65 147,28 152,93 158,56 164,21 1.031,00

(y

i

− Yî

)

-2,37 -1,00 6,35 -2,28 -0,93 2,44 -2,21 0

Aplicando la siguiente fórmula

(y

i

− Yî

)

2

yi2

5,61 1,00 40,32 5,19 0,86 5,95 4,88 63,81

16.384 18.225 21.904 21.025 23.104 25.921 26.244 152.807

2

S yx

=

2 S yx

(

∑ yi − Yî = n

=

S yx

= 3,019

∑ yi2 − c ∑ yi − b ∑ yi xi n

2

63,81 = 9,11 7

S yx

2

)

nos daría:

5


2

S yx

=


152.807 − 147,28(1.031) − 5,64(158) = 10,03 ; 7

O mediante el uso de la calculadora

2

S yx

(

S yx

= 3,16 (Desv. típica residual )

)

= SY2 1 − r 2 = 10,03

Nota: no olvidar que muchos calculan la varianza residual dividiendo por n – 2

c) y =

2

SY

179,15  171,81

 3,019  ⇒ 175,48 ± 2,571  ⇒ 175,48 ± 3,67 =  7 

S Yˆ ± t yx n

1.031 = 147,28 7

=

y 2 = 21.691,39

∑ y i2 − y2 n

2

SY

2

r = 1−

S yx 2

Sy

= 1−

=

152.807 − 21.691,39 = 138,18 ; 7

9,11 = 1 − 0,065 = 0,935 = 0,966 138,18

Sy

= S y2 = 138,18 = 11,75

r = 0,97

También se puede calcular el coeficiente de correlación aplicando la fórmula siguiente:

r=

[n ∑

n ∑ xi yi − (∑ xi )(∑ yi ) xi2

(

− ∑

xi2

)] [n ∑

yi2

− (∑ yi )

2

]

r=

7(158) − (0 )(1.031)

[7(28) − (0) ][7(152.807) − (1.031) ] 2

= 0,96

2

r = 0,96

6



4. Solución: yi

Años 2002 2003 2004 2005 2006 Σ

Yî

xi

xi2

580 635

-2 -1 0 1 2 0

4 1 0 1 4 10

y1 y2

550 600 750 2.900 580 =

a) c = Yˆ = 580

∑ yi = ∑ yi = 2.900 ; 5

b=

xi yi

-2( y1 ) -1( y2 ) 0 600 1.500 550

Yˆt − Yô 635 − 580 = = 55 2005 − 2004 1

Yˆ = 55x + 580 ⇒ Yˆ15 = 55 (11) + 580 = 1.185

x = 2.015 − 2004 = 11 años

b) 2.900 = y1 + y2 + 1.900 ⇒ y1 + y2 = 1.000

55 =

∑ xi yi ⇒ ∑ xi yi = 550 10

550 = −2 y1 − y2 + 2.100 ⇒ − 2 y1 − y2 = −1.550

Eliminando y2 se tiene que − y1 = − 550 ⇒ donde

y1 = 550

y y2 = 450

5. Solución: Años 2002 2003 2004 2005 2006 Σ c=

Σyi n

yi

Yî

50 y2

100

90

y4

140 450 ⇒ 90 =

148 450

xi

xi2

-2 -1 0 1 2 0

4 1 0 1 4 10

xi yi

-100 -1 ( y 2 ) 0 1(y 4 ) 280 290

Σy i ⇒ Σy i = 450 5

7


b=


Yˆ1 − Yˆ0 148 − 90 = = 29 2006 − 2004 2 Yˆ16 = 29(12) + 450 = 798

a) Yˆ = 29x + 450 x = 2.016 − 2004 = 12

b) b =

Σxi yi Σxi2

⇒ 29(10) = Σxi yi = 290

290 = − y2 + y4 + 180 ⇒ 110 = − y2 + y4

(1)

450 = y2 + y4 + 290 ⇒ 160 = y2 + y4

(2)

260 = 2 y 4

⇒

y4 =

260 = 130 2

y

Eliminado y2

y 2 = 30

6. Solución: Años 2002 2003 2004

yi

200 y2

y3

2005 2006 Σ a) y =

320 380 1.400

xi yi

0 1(y 2 ) 2 ( y3 ) 960 1.520 3.260

Σxi = 280 n

xi

xi2

0 1 2 3 4 10

0 1 4 9 16 30

Σyi = 280(5) = 1.400 1.400 = 200 + y2 + y3 + 700 1.400 − 900 = y2 + y3 = 500

3.260 = y 2 + 2 y 3 + 2.480

⇒

y 2 + 2 y 3 = 780 − y 2 − y 3 = −500 y 3 = 280

(1)

(2 ) (1) y

y 2 = 220

b) Yˆ = bx + c

8


Σy i = bΣxi + nc

1)

bΣxi2

2)

Σy i x i =

2)

3.260 = 30b + 10c

1)

− 2.800 = −20b − 10c 460 = 10b

1)

1.400 = 10(46) + 5c 1.400 = 460 + 5c

Yˆ = 46x + 188

1.400 = 10b + 5c 2) 3.260 = 30b + 10c

1)

⇒

+ cΣxi

→

b=

→ c=


(− 2)

460 = 46 10

1.400 − 460 = 188 5

⇒ Yˆ13 = 46(11) + 188 = 694

x = 2013 − 2002 = 11 años

7. Solución: Se considera 1.985 = 0 = xi

Años 1985 1988 1991 1994 1997 2000 2003 2006

(a)

(b)

yi

xi

xi

42 64 48 82 110 96 84 124

0 3 6 9 12 15 18 21

-21 -15 -9 -3 3 9 15 21

b=

8 (8.094) − (84)(650) = 3,36 2 8 (1.260) − (84)

c=

650 − 3,36(84) = 45,97 8

(a) Σxi = 84 n =8

Σxi2 = 1.260 Σyi = 650

Σyi2 = 58.636 Σxi yi = 8.094

Con la calculadora el resultado de c = 46

9



Yˆ02 = 3,36(17 ) + 45,97 = 103,09

Yˆ02 = 103,09

x = 2002 − 1985 = 17

Yˆ08 = 3,36 (23) + 45,97 = 123,25

Yˆ08 = 123,25

x = 2008 − 1985 = 23

Con calculadora Yˆ02 = 103,09

Yˆ08 = 123,21

y

Ahora trabajando con cambio de origen, de tal manera que Σx i = 0 , se tiene 22 períodos. El 1º de enero/96 ⇒ x = 0 y el 1º de julio ⇒ x =1 Σxi = 0

b=

Σxi2 = 1.512

Σyi2 = 58.636

Σyi = 650

2.538 = 1,678 semestral ; 1.512

c=

Σxi yi = 2.538

n=8

650 = 81,25 8

Yˆ02 = bx + c ⇒ 1,678(13) + 81,25 = 103,06

Yˆ02 = 103,06

x = 2002 – 1996 = años × 2 = 12 meses + 1 ⇒ x = 13 semestres. Yˆ07 = 123,20

Yˆ07 = 1,678 (25) + 81,25 = 123,20

x = 2.008 – 1996 = 12 años × 2 = 24 semestres + 1 = 25 semestres b) r =

8(2.538) − (0)(650)

[8(1.512) − 0] [8(58.636) − (650) ]

= 0,8553 ≅ 0,85

r = 0,85

2

En (a) y (b) el valor de r es el mismo

10



8. Solución: Años 1986 1990 1994 1998 2002 2006 Σ

yi

xi

xi2

xi yi

12 30 86 114 140 200 582

-10 -6 -2 2 6 10 0

100 36 4 4 36 100 280

-120 -180 -172 228 840 2.000 2.596

Como Σxi = 0 calculamos b y c aplicando las siguientes fórmulas. c=

Σyi n

Yˆ = bx + c

c=

582 = 97 6

b=

Σxi yi Σxi2

b=

2.596 = 9,27 280

Yˆ = 9,27 ( x) + 97

Yˆ88 = 9,27 (−8) + 97 = − 74,16 + 97 = 22,84 Tons

x = 1.988 − 1.996 = −8

Yˆ11 = 9,27 (15) + 97 = 139,05 + 97 = 236,05 Tons

x = 2011 − 1996 = 15 años

9. Solución: Yˆ13 = 0,11 (25) + 1,52 = 2,75 + 1,52 = 4,27

x = 2013 − 2001 = 12 × 2 = 24 + 1 = 25 (semestres)

Yˆ16 = 0,11 (31) + 1,52 = 3,41 + 1,52 = 4,93

x = 2016 − 2001 = 15 × 2 = 30 + 1 = 31

El coeficiente R 2 = 0,87 , nos indica que hay una buena correlación, para la realización de los anteriores cálculos.

10. Solución: Yˆ16 = − 2 (31) + 35 = − 62 + 35 = − 27

Yˆ16 = − 27

11



Siendo R 2 = 0,99 la recta explica perfectamente el comportamiento de la variable, en el período (1997 – 2006), pero el estimado para 2016, es absurdo, ya que arroja una producción de –27 y no puede haber una producción menor a cero. 11. Solución: yi

10 12 13 15 20 70

xi

-2 -1 0 1 2 0

xi2

xi yi

4 1 0 1 4 10

-20 -12 -32 / 55 15 40 23

b=

Σx i y i Σxi2

=

23 = 2,3 10

2,3 = Incremento promedio por período de tiempo (x).

12. Solución: Años 1996 1999 2000 2003 2005 2006 Σ

yi

xi

xi yi

xi2

8 16 14 20 22 22 102

0 3 4 7 9 10 33

0 48 56 140 198 220 662

0 9 16 49 81 100 255

Se le dan valores a las ecuaciones anteriores: 662 = 255b + 33c 1) − 561 = − 181,5b − 33c

Yˆ = bx + c 1)

Σyi

= bΣxi + nc

2)

Σxi yi = bΣxi2 + cΣx

102 = 33b + 6c 2) 662 = 255b + 33c

1)

2)

101 =

73,5b + 0

Reemplazamos la ecuación (1)

(Multiplicamos a la ecuación (1) por -5,5)

⇒

b = 101 = 1,37 73,5

102 = 33(1,37) + 6c 102 − 45,21 c= = 9,465 6

Yˆ = 1,37 x + 9,46 Yˆ97 = 1,37 (1) + 9,46 = 10,83

Yˆ97 = 10,83

Yˆ98 = 1,37 (2) + 9,46 = 12,20

12



Yˆ01 = 1,37 (5) + 9,46 = 16,31 Yˆ02 = 1,37 (6) + 9,46 = 17,68

Yˆ04 = 20,42

Yˆ04 = 1,37 (8) + 9,46 = 20,42

13. Solución: a) b =

1.148 = 19,13 60

c=

1.620 = 180 9

Yˆ = 19,13(10) + 180 = 371,3 2

S yx

=

Yˆ = 37,13

314.502 − 180(1.620) − 19,13(1.148) = 104,52 ⇒ S yx = 10,22 9

υ = n −1= 8

379,15 10,22 Yˆ = 371,3 ± 2,306 =  9 363,45

t = 2,306

∝= 0,05

Nota: algunos trabajan con υ = n − 2 donde t = 2,365 y cambian los valores estimados b) r =

9(1.148) − (0)(1.620)

[9(60) − 0] [9(314.502) − (1.620) ]

= 0,98 → R 2 = 0,969

2

14. Solución: a) r =

9(1.723)

[9(60)] [9(509.992) − (2.032)

2

b) 2003 → x = 0 b=

1.723 = 28,72 60

]

= 0,98

Yˆ10 = 28,72(7 ) + 225,78 = 426,82

c=

r = 0,98

Yˆ10 = 426,82

2.032 = 225,78 9

x = 2010 – 2003 = 7 años

13



15. Solución: Años 2002 2003 2004 2005 2006

yi

xi

230 285 310 325 360

-2 -1 0 1 2

n=5

Σxi = 0

Σxi2 = 10

Σyi = 1.510

Σyi2 = 465.450

Σyi xi = 300

b=

300 = 30 10

c=

1.510 = 302 5

Yˆ = 30 x + 302

x = 2014 − 2004 = 10

Yˆ14 = 30(10) + 302 = 602

En el 2014 se tendrá Yˆ = 602 miles de millones de $

16. Solución: Años 2002 2003 2004 2005 2006

yi

xi

100 150 200 200 250

-2 -1 0 1 2

n=5

a) Σyi = 900 b=

Σxi = 0

Σx 2i = 10

Σyi2 = 175.000

Σxi yi = 350

Σxi yi 350 = = 35 10 Σxi2

Yˆ = 35(4) + 180 = 320

b) r =

5(350)

[5(10)][5(175.000) − (900)2 ]

= 0,97

⇒

c=

900 = 180 5

x = 2008 − 2004 = 4

R 2 = 0,94

17. Solución: Yˆ = 900 + 40 (13) = 1.420

x = 2008 – 2002 = 6 × 2 = 12 + 1 = 13 semestres

Yˆ = 1.420 carros usados

14



18. Solución: Años

Yî

2001 2006

896.000 1.692.000

1.692.000 − 896.000 = 159.200 2006 − 2001 c = 896.000 ⇒ Yˆ = 159.200(7 ) + 896.000 = $2.010.400 b=

x = 2008 − 2001 = 7 años

También puede estimarse:

Yˆ = 159.200(2) + 1.692.000 = 2.010.400

Yˆ = 2.010.400

x = 2008 − 2006 = 2 años

19. Solución: a) b =

233 = 3,88 60

c=

244 = 27,11 9

Yˆ = 3,88(10) + 27,11 = 65,91 x = 2010 − 2000 = 10 2

S yx

=

Yˆ = 65,91

8.118 − 27,11(244) − 3,88(233) = 66,57 9

⇒ S yx = 8,16

 72,18 8,16 Yˆ = 65,91 ± 2,306 = 65,91 ± 6,27 =  9  59,64

(v = n − 2)

v = n −1= 8 ;

b) r =

9(233)

[9(60)][9(8.118) − (244)

2

]

∝= 0,05

= 0,78

r = 0,78

15



20. Solución: Años 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Σ

xi

a)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 45

b=

c=

10(3.266) − (45)(544) 10(285) − (45)

2

=

8.180 = 9,92 825

544 − 9,92(45) = 9,76 10

Yˆ = 9,92 x + 9,76

2000 ⇒ x = 3 años 2002 ⇒ x = 5 años

Se toman dos puntos, por ejemplo:

Yˆ00 = 9,92(3) + 9,76 = 39,52

Yˆ02 = 9,92(5) + 9,76 = 59,36

Yˆ00 = 39,52

Yˆ02 = 59,36

Se establecen dos puntos en el plano cartesiano, uniéndose y prolongándose para 1997 – 2006. El estudiante debe terminar el ejercicio.

b) r =

10(3.266) − (45)(544) 2

r = 0,98

= 0,98

[10(285) − (45) ][10(38.040) − (544) ] 2

21. Solución: Años 2001 2002 2003 2004 2005 2006

yi (miles)

723,00 982,50 1.236,42 1.450,60 1.636,25 1.890,90

xi

-5 -3 -1 1 3 5

a) n = 6

Σxi = 0

Σxi yi = 8.014,93

Σxi2 = 70 Σyi = 7.919,67

Σyi2 = 11.373.826,9 b=

8.014,93 = 114,499 70

c=

7.919,67 = 1.319,945 6

x = 2.011 − 2.004 = 7 × 2 = 14 + 1 = 15 semestres

16



x = 15 semestres Yˆ11 = 114,499 (15) + 1.319,945 = 3.037,43

3.037 pasajeros (miles)

Yˆ16 = 114,499 (25) + 1.319,945 = 4.182,42

4.182 pasajeros (miles)

x = 2.016 − 2004 = 12 × 2 = 24 + 1 = 25 semestres

Deberíamos haber hecho un ajuste exponencial, pero nos fue solicitado hacerlo mediante un ajuste rectilíneo. b)

c)

6(8.014,93)

r=

[6(70)] [6(11.373.826,9) − (7.919,67 )

]

= 0,9985 ⇒

Casi = 1

r ≅1

11.373.826,9 − 1.319,945 (7.919,67) − 114,499(8.014,93) 2 = S yx = 432,77 6

S yx

=

S yx

= 20,8

2

2

 3.059,26 20,8 (miles de pasajeros) Yˆ = 3.037,43 ± 2,571 = 3.037,43 ± 21.83 =  6  3.015,60

22. Solución: Años 2002 2003 2004 2005 2006

yi

xi

417,50 572,80 620,35 679,26 712,80

-2 -1 0 1 2

a) n = 5

Σxi2 = 10

Σxi = 0

Σyi2 = 1.869.225,20

b=

Se trabaja en miles, a fin de simplificar las operaciones. Además se va a realizar un ajuste rectilíneo, cuando lo recomendado en este caso, es el ajuste exponencial.

697,06 = 69,706 10

Σyi = 3.012,71

Σyi xi = 697,06

c=

3.012,71 = 602,542 5

Yˆ12 = 69,706 x + 602,542 = 69,706 (8) + 602,542 = 1.160,19 (miles de pasajeros)

17



Es decir, se estiman en, 1.160.190 pasajeros para el año 2.012 x = 2.012 − 2.004 = 8 años

b) y = miles de pasajeros Años 2002 2003 2004 2005 2006

yi

xi

167,00 229,12 248,14 271,70 285,12

-2 -1 0 1 2

Σxi = 0

n=5

Σxi2 = 10

Σyi = 1.237,08

Σyi2 = 316.234,8114

Σyi xi = 287,82

b = 27,882

c = 247,416

x = 2.012 − 2.004 = 8 años Yˆ12 = 27,882 (8) + 247,416 = 470,472 = 470.472 pasajeros

23. Solución: Años 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Gastos (Mill. de $)

2.460 2.700 2.850 2.950 3.150 3.300

xi

0 1 2 3 4 5

n=6

Σxi = 15

Σyi2 = 50.979.100

Σxi2 = 55

Σyi = 17.410

Σyi xi = 46.350

b=

6(46.350) − (15)(17.410) = 161,43 2 6(55) − (15)

c=

17.410 − 161,43(15) = 2.498,09 6

x = 2.008 − 2.001 = 7 años

Yˆ08 = 161,43 (7 ) + 2.498,09 = 3.628,10 (mill de $)

Yˆ08 = 3.628,10

18


b) r =


6(46.350) − (15)(17.410)

[6(55) − (15) ] [6(50.979.100) − (17.410) ] 2

= 0,9945

2

r ≅ 0,99

24. Solución: Años 1982 1986 1990 1994 1998 2002 2006

yi

xi

120 180 100 260 370 250 460

0 4 8 12 16 20 24

n=7

Σxi = 84

Σxi2 = 1.456

Σyi = 1.740

Σyi2 = 535.400

Σyi xi = 26.600

b=

c=

6(26.600) − (84)(1.740) = 12,77 2 6(1.456) − (84)

1.740 − 12,77(84) = 95,33 7

x = 2.010 − 1.982 = 28 años Yˆ10 = 12,77 (28) + 95,33 = 452,89

Yˆ10 = 452,89

25. Solución: Años 1982 1986 1990 1994 1998 2002 2006

yi

xi

120 180 100 260 370 250 460

-12 -8 -4 0 4 8 12

n=7

Σxi = 0

Σxi2 = 448

Σyi = 1.740

Σyi2 = 535.400

Σyi xi = 5.720

b=

5.720 = 12,77 448

c=

1.740 = 248,57 7

x = 2.010 − 1.994 = 16 años

Yˆ10 = 12,77(16) + 248,57 = 452,89

Yˆ10 = 452,89

Los resultados son exactamente iguales

19



26. Solución: r=

7(5.720)

[7(448)][7(535.400) − (1.740)

2

]

r = 0,84

= 0,8425

Coeficiente de correlación de Pearson, Los resultados son iguales, si utilizamos los datos del ejercicio 25.

ESTIMACIONES MENSUALES 27. Solución: Consideremos a la variable Yi como si fuera producción (miles tons) Tomando como origen el año 2000 se tiene: Yˆ = 20,75 x + 339,89 144

Yˆ = 0,14 x + 28,32

(1º julio / 00)

c = 28,32 + 0,07 = 28,39

Yˆ = 0,14 x + 28,39

12

(15 de julio / 00)

0,07 = mitad del mes

Los estimativos para los diferentes meses, son:

Yˆ Mayo/01 Yˆ Sep./03 Yˆ Oct./05 Yˆ Dic./09

= 0,14(10) + 28,39 = 29,79 = 0,14(38) + 28,39 = 33,71 = 0,14(63) + 28,39 = 37,21 = 0,14(113)+28,39 = 44,21

(miles tons)

20



28. Solución: 5,64 Yˆ = x + 147,28 12

Yˆ = 5,64 x + 147,28 Yˆ = 0,47 x + 147,28

2004 Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Σ

Yˆ = 0,47 x + 147,51

(1º julio/03)

(15 julio/03)

Estimativos Yˆ = 0,47 (6) + 147,51 = 150,33 Yˆ = 0,47 (7) + 147,51 = 150,80 Yˆ = 0,47 (8) + 147,51 = 151,27 Yˆ = 0,47 (9) + 147,51 = 151,74 Yˆ = 0,47 (10) + 147,51 = 152,21 Yˆ = 0,47 (11) + 147,51 = 152,68 Yˆ = 0,47 (12) + 147,51 = 153,15 Yˆ = 0,47 (13) + 147,51 = 153,62 Yˆ = 0,47 (14) + 147,51 = 154,09

c = 147,28 + 0,235 c = 147,515 0,235 = medio mes

Yˆ = 0,47 (15) + 147,51 = 154,56 Yˆ = 0,47 (16) + 147,51 = 155,03 Yˆ = 0,47 (17) + 147,51 = 155,50

Total 1.834,98

1.834,98 Yˆ04 = = 152,92 12

Observe que el resultado del ejercicio 3 donde Yˆ04 = 152,92 , exactamente se obtiene el resultado, al igual cuando sumamos los estimativos mensuales y luego este total se divide por los 12 meses, con lo cual obtendremos el precio promedio para el 2004.

29. Solución: 9,27 97 Yˆ = x+ 144 12 Yˆ = 0,064 x + 8,08 Yˆ = 0,064 x + 8,112

Yˆ = 0,064 (– 64) + 8,112 (1º Julio/96) (15 Julio/96)

(Marzo/91)

Yˆ91 = – 4,096 + 8,112 = 4,016 (Abril de 2000) Yˆ = 0,064 (45) + 8,112 Yˆ00 = 2,88 + 8,112 = 10,992

21



30. Solución: Estimar los meses de Mayo/2001 y Octubre/07 (Variable Producción) 28,72 225,78 Yˆ = x+ ⇒ Yˆ = 18,815 x 144 12 Yˆ = 0,1994 x + 18,815

(al 1 de julio/03) (al 15 de julio/03)

Yˆ = 0,1994 x + 18,9147 ⇒ YˆMayo / 2001 = 0,1994(−26) + 18,9147 = 13,7303

YÔct . / 07 = 0,1994(51) + 18,9147 = 29,0841

31. Solución: Estimar el mes de Agosto del 2008, a fin de conocer los gastos en ese mes. 35 180 Yˆ = x+ ⇒ Yˆ = 0,2430 x + 15 (1 julio/2004) 144 12 Yˆ = 0,2430 x + 15,1215 (15 de julio/04) Yˆ = 0,2430 x + 15

⇒ YÂg . / 08 = 0,2430 (49) + 15,1215 = 27,0285

32. Solución: Yˆ = 9,292x + 9,76

Estimar los meses de Sep./2004, Octubre 2006 y Octubre 2008. 9,92 9,76 Yˆ = x+ ⇒ Yˆ = 0,06889 X + 10,81333 → 1 Julio / 97 144 12 Yˆ = 0,06889 X + 0,84778 → 15 Julio / 97 Yˆ = 0,06889 x + 0,84778 → Yˆ = 0,06889(86) + 0,84778 = 6,7723 Sep. / 04

YÔct . / 06 = 0,06889 (111) + 0,84778 = 8,49446 YÔct . / 08 = 0,06889 (135) + 0,84778 = 10,14793

22



AJUSTE POR EL METODO DE LOS SEMI-PROMEDIOS 33. Solución:

Años 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

yi

200 366 490 500 620 780 910

Semi-suma

Semi-promedio

  1.050 

1.050 = 350 3

  2.310 

2.310 = 770 3

Yî

xi

0 1 2 3 4 5 6

350

770

El valor de x dependerá del origen que se tome, el cual puede ser localizado en cualquier período. Siendo Yˆ = bx + c se tendrá dos ecuaciones: 350 = b + c (2) 770 = 5b + c (1)

b=

Multiplicamos a la ecuación (1) por − 1

770 = 5b + c (1) − 350 = − b − c

(2)

420 = 105 Reemplazamos la ecuación (1): 350 = 105+c ⇒ c = 350 – 105 = 245 4

La ecuación quedará Yˆ = 105 x + 245

Si estimamos a Yˆ para el 2013 se tendrá:

Yˆ13 = 105 (l 3) + 245 = 1.365 + 245 = 1.610

Yˆ13 = 1.610

Un procedimiento similar, que podríamos llamar empírico, consiste en determinar la diferencia entre los dos semi-promedios; el resultado es dividido por el valor correspondiente al período transcurrido entre los dos semi-promedios. Con este proceso se obtendrá el valor de b: b=

yˆ 2 − yˆ1 770 − 350 420 = = = 105 t1 − t o 1999 − 1995 4

y el valor de c podrá ser el valor de cualquiera

de los semi-promedios. El semi-promedio que se ha tomado como C, en ese punto o período, se tendrá x igual a cero, así: Yˆ = 105x+350 ⇒ siendo:

Yˆ13 = 105(12) + 350 = 1.610

Yˆ = 105x+770 ⇒ siendo:

Yˆ13 = 105 (8) + 770 = 1.610

23



34. Solución: Años 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006

yi

60 140 400 600 800 900 1000

a) 900 − 200 = 700

Semi-suma

Semi-promedio

  600 

600 = 200 3

  2.700 

⇒

2.700 = 900 3

b=

700 = 87,5 8

xi

xi

Yî

-2 0 2 4 6 8 10

-10 -8 -6 -4 -2 0 2

25 200 375 550 725 900 1.075

x = 2004 - 1.996 = 8

Yˆ = 87,5 x + 200

Yˆ02 = 87,5(6) + 200 = 725,0

X =0

en 1.996

Yˆ = 87,5 x + 900

Yˆ02 = 87,5 (− 2) + 900 = 725,0

X =0

en 2004

900 = 8b + 200

8b = 900 − 200

b=

700 = 87,5 8

b) Considerando que la variable “Y” corresponde a precios tenemos: b Yˆ = x + c 12

8,75 Yˆ = x + 200 = 7,29 + 200 12

(1º de Julio de 1996)

Yˆ = 7,29 x + 203,64

(15 de Julio de 1996)

Para Mayo de 1995

( x = −14)

YˆMayo/95 = 7,29(−14) + 203,64 = 101,58

Para Junio de 2003

( x = 83)

YˆJunio/03 = 7,29 (83) + 203,64 = 808,71

24



35. Solución: Años 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

b=

yi

1.280 1.350 1.480 1.450 1.520 1.610 1.620

Semi-suma

xi

xi

-1 0 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1

Semi-promedio

  4.110 

4.110 = 1.370 3

 4.750 

4.750 = 1.583,33 3

1.583,33 − 1.370 = 53,325 4

x = 2.005 - 2.001 = 4

Yˆ = 53,325 x + 1.370

Yˆ = 53,325 x + 1.583,33

o

Yˆ12 = 53,325(11) + 1.370 = 1.956,575

;

X = 0 en 2.001;

Yˆ12 = 53,325(7) + 1.583,33 =1.956,605

;

X = 0 en 2.005

También se pueden obtener los parámetros b y c en la siguiente forma: Yˆ = bx + C

(1) ( 2)

1.370 = b(0) + c 1.583,33 = b(4 ) + c

1.583,33 = 4b + c

Multiplicamos por - 1 a la primera ecuación

- 1.370,00 = 0 - c 213,33 = 4b

b=

213,33 = 53,325 4

Reemplazamos el valor de b en la ecuación (1), para obtener el valor de c: (1)

1.370 = 53,325 (0 ) + c c = 1.370

25



Yˆ = 53,325 x + 1.370 ; X = 0 en 2.001 ; Yˆ12 = 53,325(11) + 1.370 = 1.956,575; X = 2.012 − 2.001 = 11


Trimestre I

Ventas (mill. $) 810

II III IV I II III IV I II III IV

1.200 860 1.680 900 1.300 850 1.600 860 1.100 940 1.400

2004

2005

2006

(1) ( 2)

b=

1.610 − 1.090 = 86,67 6

(1) ( 2)

Semi-suma                

Semi-promedio

xi

-2 1.090

5.450

8.050

1.610

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Yˆ = 86,67 x + 1.090 Yˆ = 86,67 x + 1.610 Yˆ = 86,67(15) + 1.090 = 2.390,05 Yˆ = 86,67 (9) + 1.610 = 2.390,03 (2° semestre/08)

Los gráficos pedidos en (a) y (b) se dejan al alumno para que los realice 37. Solución: a) La solución se le deja al estudiante Años 1991 1994 1997 2000 2003 2006

yi

200 360 460 580 720 800

Semi-promedio

xi

   1.020

340

   2.100

700

-3 0 3 6 9 12

Semi-suma

b=

700 − 340 = 40 9

26



b) (1) ( 2) (1) ( 2)

Yˆ = 40 x + 340 Yˆ = 40 x + 700 Yˆ10 = 40(16) + 340 = 980 Yˆ10 = 40(7 ) + 700 = 980

x = 2.010 − 1.994 = 16 años x = 2.010 − 2.003 = 7 años

38. Solución: Años 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 (1) ( 2) (1) ( 2)

yi

Semi-suma

200 380 520 600 640 720 580 660 940 800

xi

Semi-promedio

     

2.340

468

     

3.700

740

b=

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

740 − 468 = 54,40 2004 − 1999

Yˆ = 54,4 x + 468 Yˆ = 54,4 x + 740 Yˆ10 = 54,4 (11) + 468 = 1.066,4 Yˆ10 = 54,4 (6) + 740 = 1.066,4

x = 2.010 − 1.999 = 11 años x = 2.010 − 2.004 = 6 años

AJUSTE PARABÓLICO 39. Solución: Años 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Σ

yi

234 171 147 124 140 144 206 1.166

xi

xi2

xi3

xi4

xi yi

xi2 yi

0 1 2 3 4 5 6 21

0 1 4 9 16 25 36 91

0 1 8 27 64 125 216 441

0 1 16 81 256 625 1.296 2.275

0 171 294 372 560 720 1.236 3.353

0 171 588 1.116 2.240 3.600 7.416 15.131

27


(1)

Σyi = aΣxi2 + bΣxi + nc

(2)

Σxi yi = aΣxi3 + bΣxi2 + cΣxi

(3)

Σxi2 yi = aΣxi4 + bΣxi3 + cΣxi2


Le damos valores a las ecuaciones anteriores: (1) (2) (3)

1.166 =

91a + 21b + 7c

3.353 = 441a + 91b + 21c 15.131 = 2.275a + 441b + 91c

Procedemos con las ecuaciones (1) y (2) Multiplicamos a la ecuación (1) por -3 (1) (2) (4)

− 3.498 = − 273a − 63b − 21c 3.353 = − 145 =

441a + 91b + 21c 168a + 28b

Ahora trabajamos con las ecuaciones (1) y (3) multiplicando la ecuación (1) por – 13 (1) (3) ( 5)

− 15.158 = − 1.183a − 273b − 91c 15.131 = − 27 =

2.275a + 441b + 91c 1.092a + 168b 0

Se despeja a trabajando con las ecuaciones (4) y (5) multiplicando la ecuación (4) por – 6 ( 4) (5)

a=

870 = − 1.008a − 168b − 27 = 1.092a + 168b 843 = 84a

843 = 10,03 84

Se reemplaza en la ecuación (4) − 145 = 168 (10,03) + 28b − 145 = 1.685,04 + 28b − 1.830,04 = 28b

28


b=


− 1.830,04 = −65,36 28

Se reemplaza en la ecuación (1) 1.166 = 91 (10,03) + 21 ( −65,36) + 7c 1.166 = 912,73 − 1.372,56 + 7c 1.625,83 = 7c

c=

1.625,83 = 232,26 7

Yˆ10 = 10,03 (100) − 65,36 (10) + 232,26 = 581,66 ;

Yˆ = ax 2 + bx + c

x = 2.010 − 2.000 = 10

b) yi

Años 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Σ

234 171 147 124 140 144 206 1.166

xi

xi2

xi3

xi4

xi yi

xi2 yi

−3 −2 −1 0 1 2 3 0

9 4 1 0 1 4 9 28

−27 −8 −1 0 1 8 27 0

81 16 1 0 1 16 81 196

−702 −342 −147 0 140 288 618 −145

2.106 684 147 0 140 576 1.854 5.507

Como la Σxi = 0 trabajamos con las siguientes ecuaciones: Le damos valores a las ecuaciones: (1)

Σyi = aΣxi2 + nc

(2)

Σxi yi =

bΣxi2

(3)

Σxi2 yi = aΣxi4 + cΣxi2

Se tiene que: (2 )

b=

(1) (2) (3)

1.166 = 28a + 7c − 145 = 28b 5.507 = 196a + 28c

Σxi yi − 145 = = −5,18 28 Σxi2

Se procede con las ecuaciones (1) y (3) multiplicando la ecuación (1) por – 7

29


(1) (3)


− 8.162 = −196a − 49c 5.507 = 196a + 28c − 2.655 =

⇒

c=

2.655 = 126,43 21

⇒

a=

280,99 = 10,03 28

− 21c

0

Reemplazamos en la ecuación (1) 1.166 = 28a + 7(126,43) 1.166 = 28a + 885,01 28a = 280,99

2 Yˆ15 = 10,03 (12) + (− 5,18)(12) + 126,43 = 1.508,59 ;

Yˆ = ax 2 + bx + c

x = 2.015 − 2.003 = 12

40. Solución:

(y

Yî

232,26 176,94 141,66 126,43 131,30 156,22 201,19 1.166,00

− Yî

)

1,74 -5,94 5,34 -2,43 8,70 -12,22 4,81 0

(y

i

− Yî

)

2

3,027 35,283 28,515 5,904 75,690 149,328 23,136 320,883

=

Sy

2

= 29.107,714 − 27.745,564 = 1.362,15

2 S yx

2 Σ yi − Yˆ 320,883 = = = 45,84 n 7

(

a) R 2 = 1 −

S yx

yi2

54.756 29.241 21.609 15.376 19.600 20.736 42.436 203.754

y=

1.166 = 166,57 7

Σy i2 203.754 2 − y2 = − (166,57 ) n 7

2

Sy

b)

i

)

VR VT

2 = S yx

R2 = 1 −

S yx

45,84 = 0,966 1.362,15

= 45,84 = 6,77

= 36,90

⇒

Sy

⇒

S

⇒

r = 0,982

⇒

S

2 yx

yx

= 45,84

= 6,77

30


c) Yˆ15 ± t

P = 95% ∝= 0,05

LS   LI

S yx

n


v = n −1 t = 2,447

 1.514,85  6,77  Yˆ15 = 1.508,59 ± 2,447   =  1.502,33  7  

41. Solución:

Años 1981 1989 1994 2001 2006 Σ

yi

xi

xi2

xi3

xi4

xi yi

xi2 yi

70 36 24 60 110 300

0 8 13 20 25 66

0 64 169 400 625 1.258

0 512 2.197 8.000 15.625 26.334

0 4.096 28.561 160.000 390.625 583.282

0 288 312 1.200 2.750 4.550

0 2.304 4.056 24.000 68.750 99.110

Observemos que Σxi ≠ 0 , por lo tanto debemos trabajar con un sistema de ecuaciones normales (1)

Σyi

= aΣxi2 + bΣxi + nc

(2)

Σxi yi = aΣxi3 + bΣxi2 + cΣxi

(3) Σxi2 yi = aΣxi4 + bΣxi3 + cΣxi2 Reemplazando se tiene que: (1) (2) (3)

300 = 1.258a + 66b + 5c 4.550 = 26.334a + 1.258b + 66c 99.110 = 583.282a + 26.334b + 1.258c

Eliminamos a c multiplicando a la ecuación (1) por -13,2 y se lo restamos a la ecuación (2) ( 2)

(1) ( 4)

4.550 =

26.334a + 1.258b + 66c

− 3.960 = − 16.605,6a − 871,2b − 66c 590 =

9.728,4a + 386,8b 0

Ahora se procede a multiplicar la ecuación (1) por -251,6 y se lo restamos a la ecuación (3) para eliminar a c.

31


(3) (1) (5)

99.110 =


583.282a + 26.334b + 1.258c

− 75.480 = − 316.512,8a − 16.605,6b − 1.258c 23.630 =

266.769,2a + 9.728,4b +

0

Procedemos a eliminar b multiplicando a la ecuación (4) por -9.728,4 y a la ecuación (5) por 386,8

(5) (4)

9.140.084 = 103.186.326,60a + 3.762.945,12b 5.739.756 = − 94.641.766,56a − 3.762.945,12b 3.400.328 =

8.544.560,04a +

0

⇒ Siendo a =

3.400.328 = 0,3979 8.544.560,04

Conociendo a = 0,40 (aproximadamente), reemplazamos en la ecuación (4) para despejar b (4)

590 = 9.728,4 (0,3979) + 386,8b ⇒ Siendo: b =

590 − 9.728,4(0,3979) = c ≅ −8,4822 386,8

y reemplazamos en la ecuación (1) para despejar c

(1)

300 = 1.258 (0,3979) + 66 (− 8,4822) + 5c

Siendo c igual a:

c=

La ecuación queda así:

300 − 1.258 (0,3979) + 66 (8,4822) = 71,8534 5

ˆ = 0,3979x 2 − 8,4822x + 71,8534 Y

Si fuéramos a estimar el valor de Yˆ para el año 2011 se tendrá que: x = 2.011 – 1.981 = 30 Reemplazando se tendrá que: Yˆ11 = 0,3979 (900) – 8,4822(30) + 71,8534 = 175,50 aproximadamente.

32



42. Solución: Años 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Σ b=

a=

c=

yi

xi

xi2

56 42 70 82 41 63 110 84 548

−7 −5 −3 −1 1 3 5 7 0

49 25 9 1 1 9 25 49 168

Σxi yi Σxi2

( ) − (Σx )

nΣxi2 yi − Σxi2 (Σyi ) nΣxi4

2 2 i

Σyi − aΣxi2 n

xi3

−343 −125 −27 −1 1 27 125 343 0

xi4

2.401 625 81 1 1 81 625 2.401 6.216

xi yi

−392 −210 −210 −82 41 189 550 588 474

⇒

b=

474 = 2,82 168

⇒

a=

8(11.980) − (168)(548) = 0,1756 2 8(6.216) − (168)

⇒

c=

548 − 0,1756(168) = 64,81 8

Yˆ = 0,18x 2 + 2,82x + 64,81

xi2 yi

Yî

2.744 1.050 630 82 41 567 2.750 4.116 11.980

53,89 55,21 57,97 62,17 67,81 74,89 83,41 93,37 −

x = 2008 − 2003 = 5 × 2 = 10 + 1 = 11 semestres

( )

ˆ = 0,18 112 + 2,82(11) + 64,81 = 117,61 Y 08

Yˆ08 = 117,61

La varianza residual, el error estándar y el coeficiente de correlación parabólico serán iguales a:

S yx

2

=

Σyi2 − cΣyi − bΣxi yi − aΣxi2 yi n

2

=

41.330 − 64,81(548) − 2,82(474) − 0,18(11.980) = 290,13 8

2

=

41.330 − 8(68,5) = 474 8

S yx

2

Sy

y=

548 = 68,5 8

33


S yx


= 290,13 = 17,03

R2 = 1 −

290,13 = 0,38 474

r = 0,62

⇒

No se recomienda la aplicación del ajuste parabólico para esta serie.

43. Solución: a) Años 1991 1994 1997 2000 2003 2006 Σ

yi

xi

xi2

xi3

xi4

xi yi

xi2 yi

20 36 42 62 84 74 318

−15 −9 −3 3 9 15 0

225 81 9 9 81 225 630

−3.375 −729 −27 27 729 3.375 0

50.625 6.561 81 81 6.561 50.625 114.534

−300 −324 −126 186 756 1.110 1.302

4.500 2.916 378 558 6.804 16.650 31.806

Trabajamos con Σxi = 0 , al 1º de Enero del 99 con el fin de simplificar operaciones, pero Usted puede trabajar con xi = 0 ; 3; 6; 9; 15 y los resultados finales son exactamente iguales. b=

Σxi yi Σxi2

c=

318 + 0,0327(630) = 56,43 6

b=

1.302 = 2,067 630

a=

6 (31.806) − (630)(318) = −0,0327 2 6 (114.534) − (630)

x = 2.008 − 1.999 = 9 años x = 9 (2) = 18 + 1 = 19 semestres

Yˆ = −0,0327 x2 + 2,067 x + 56,43

( )

Yˆ08 = − 0,0327 192 + 2,067 (19) + 56,43 ≅ 83,90 (aproximadamente)

34



b) yi

Años 1991 1994 1997 2000 2003 2006

b=

20 36 42 62 84 74

Semi-suma

Semi-promedio

xi

  

98

32,67

32,67

  

220

73,33

73,33

73,33 − 32,67 = 4,518 2003 − 1994

(1) (2)

x = 2.008 − 1.994 = 14 años

(1) (2)

Yˆ = 4,518x + 32,67 Yˆ = 4,518x + 73,33

ó

Yˆ08 = 4,518(14) + 32,67 = 95,92 Yˆ = 4,518(5) + 73,33 = 95,92 08

x = 2.008 − 2.003 = 5 años

44. Solución: Yˆ11 = 0,311x 2 + 13,188 x + 351,1

( )

Yˆ11 = 0,311 212 + 13,188(21) + 351,1 = 765,20 x = 2011 − 2001 = 10(2) + 1 = 21 semestres

45. Solución: b=0

a=

5 (48) − (10) (20) = 0,56 2 5 (34) − (10)

c=

20 − 0,56 (10) = 2,88 5

( )

Yˆ = 0,56 202 + 0 (20) + 2,88 = 226,88  231,23  3,51  Yˆ = 226,88 ± 2,776   = 226,88 ± 4,35 =   5  222,53

35


b)

2

S yx

= VR =


146 − 2,88 (20) − 0 (0 ) − 0,56 (48) = 12,304 ; S yx = 3,51 5 2

20 146 − 5   5 2  Sy = = 13,2 5 R2 = 1 −

12,30 = 0,068 13,2

r = 0,068 = 0,26

c) b = 0 c=

20 − 0 (0) =4 5

Yˆ = 0 (20) + 4 = 4 (totalmente diferente)

46. Solución: Años 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Σ a) b =

yi

20 26 42 58 78 63 42 36 14 379 11 = 0,18 60

xi

xi2

xi3

xi4

xi yi

xi2 yi

yi2

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 0

16 9 4 1 0 1 4 9 16 60

−64 −27 −8 −1 0 1 8 27 64 0

256 81 16 1 0 1 16 81 256 708

−80 −78 −84 −58 0 63 84 108 56 11

320 234 168 58 0 63 168 324 224 1.559

400 676 1.764 3.364 6.084 3.969 1.764 1.296 196 19.513

a=

9 (1.559) − (60)(379) = − 3,14 2 9 (708) − (60)

Yˆ = −3,14(64) + 0,18(8) + 63,04 = −136,48

b)

379 + 3,14(60) = 63,04 9

x = 2.010 − 2.002 = 8 años

19.513 − 63,04 (379) − 0,18 (11) + 3,14 (1.559) = 57,12 9

S yx

= VR =

S yx

= 57,12 = 7,56

2

c=

36



− 130,52  7,56  Yˆ = −136,48 ± 2,365  = − 136,48 ± 5,96 =    9 − 142,44

c) r 2 = R 2 = 1 −

57,12 = 0,80 394,76

r 2 = 0,80

2

379  19.513 − 9   2  9  = 394,76 (varianza) Sy = 9

Se deja la gráfica para que el estudiante la elabore

47. Solución: Años 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Σ

yi

36 48 72 84 63 52 48 36 56 72 567

xi

xi2

xi3

xi4

xi yi

xi2 yi

yi2

−9 −7 −5 −3 −1 1 3 5 7 9 0

81 49 25 9 1 1 9 25 49 81 330

−729 −343 −125 −27 −1 1 27 125 343 729 0

6.561 2.401 625 9 1 1 9 625 2.401 6.561 19.194

−324 −336 −360 −252 −63 52 144 180 392 648 81

2.916 2.352 1.800 756 63 52 432 900 2.744 5.832 17.847

1.296 2.304 5.184 7.056 3.969 2.704 2.304 1.296 3.136 5.184 34.433

37


a) b =

81 = 0,245 ; 330

a=


10 (17.847 ) − (330) (567 ) 10 (19.194) − (330)

2

= −0,104 ;

Yˆ11 = −0,104 (19 2 ) + 0,245 (19) + 58,132 = 25,24

c=

547 + 0,104 (330) = 58,132 10

x = 2.011 − 2.002 = 9 años x = 9 × 2 = 18 + 1 = 19 semestres

18,19   38,5 Yˆ11 = 25,24 ± 2,306   = 25,24 ± 1326 =  11,98  10 

b)

34.433 − 58,132 (567 ) − 0,245 (81) + 0,104 (17.847 ) = 330.84 10

2

= VR =

S xy

2

= 330,84

S yx

= 330,84 = 18,19

S yx

2

 567  34.433 − 10    10  = 228,41 2 Sy = 10 R2 =1−

330,84 = 0,45 228,41

No hay correlación, por lo tanto no es bueno hacer este ajuste parabólico, se deberá utilizar otra línea.

38



48. Solución: Meses Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Σ

yi

13 17 38 50 40 20 10 188

xi

xi2

xi3

xi4

−3 −2 −1 0 1 2 3 0

9 4 1 0 1 4 9 28

−27 −8 −1 0 1 8 27 0

81 16 1 0 1 16 81 196

a) b =

−1 = −0,036 ; 28

a=

xi yi

−39 −34 −38 0 40 40 30 −1

7 (433) − (28)(188) = −3,7976 ; 2 7 (196) − (28)

c=

xi2 yi

yi2

117 68 38 0 40 80 90 433

169 289 1.444 2.500 1.600 400 100 6.502

188 + 3,7976 (28) = 42,05 7

YˆDic. = −3,7976 (64) − 0,036 (8) + 42,05 = − 201,28

b)

2

S yx

=

6.502 − 42,05 (188) + 0,036 (− 1) + 3,7976 (433) = 34,42 ⇒ S yx = 5,87 7

 − 195,58 5,87 YˆDic. = −201,28 ± 2,571 = − 201,28 ± 5,70 =  7 − 206,98

c) R 2 = 1 −

34,42 = 0,83 207,55

r = 0,83 = 0,91

2

Sy

= 207,55

r = 0,91

39



AJUSTE LOGARÍTMICO 49. Solución: Años 1951 1964 1974 1994 2006 Σ

xi

log yi

xi log yi

xi2

0 13 23 43 55 134

3,50799 3,56996 3,63215 3,70105 3,77327 18,18442

0 46,40948 83,53945 159,14515 207,52985 496,62393

0 169 529 1.849 3.025 5.572

yi

3.221 3.715 4.287 5.024 5.933 22.180

a) La ecuación general es Y = c b x o log Y = log c + x log b . Para determinar los parámetros b y c procedemos utilizando el método de los mínimos Cuadrados, cuyas ecuaciones son:

(1) (2)

+ (Σxi ) log b

Σ log yi = n log c

( )

Σxi log y i = (Σxi ) log c + Σxi2 log b

Se le dan valores a las ecuaciones (1) (2)

18,18442 = 5 log c + 134 log b 496,62393 = 134 log c + 5.572 log b

Determinar el valor de b multiplicando la ecuación (1) por 134 y la ecuación (2) por -5 (1) (2)

2.436,7122 = 670 log c + 17.956 log b − 2.483,1196 = − 670 log c − 27.860 log b − 46,4074 =

− 9.904 log b

0

⇒

log b =

46,4074 = 0,00468 9.904

Reemplazamos en la ecuación (1) 18,18442 = 5 log c + 134 (0,00468) 18,18442 = 5 log c + 0,62712

log Yˆ = log c + x log b

⇒

log c =

17,5573 = 3,51146 5

log Yˆ2010 = 3,51146 + 59(0,00468) = 3,78758

x = 2.010 −1.951 = 59 años

⇒ Yˆ2010 = 6.131,69

Yˆ10 = antilog de 3,78758

40



b) La tasa de crecimiento se simboliza por r. log b = 0,00468 →

b =1+ r

b = 1 + r = 1,0108 →

r = 1,08 % →

r = 10,8 %o

b = anti log de 0,00468 = 1,0108

c) Yî

Años 1951 1964 1974 1994 2006 Σ

3.248 3.736 4.160 5.162 5.873 22.179

y = 4.436

d)

2

Sy

=

2 S yx

y i − Yî

(y

-27 -21 127 -138 60 1

729 441 16.129 19.044 3.600 39.943

(

Σ yi − Yˆ = n

)

2

=

i

− Yî

)

y i2

2

10.373.841 13.801.225 18.378.369 25.240.576 35.200.489 102.995.500

39.943 = 7.988,6 5

log Yî

3,51146 3,57230 3,61910 3,71270 3,76886 18,1842 S y x = 89,38

Σy i2 102.995.500 − y2 = − 19.678.096 = 921.004 n 5

Nota: lo normal es calcular la varianza residual con fórmulas donde se emplean logaritmos, pero se hizo de la anterior manera, a sabiendas de haber una ligera diferencia, con el único fin de agilizar operaciones. R2 = 1 −

VR VT

R2 = 1 −

7.988,6 = 0,9913 (coeficiente de correlación al cuadrado) 921.004

e) log Yˆ2012 = 3,5114 + (61)0,00468 ⇒ log Yˆ2012 = 3,5114 + 0,28548 = 3,79688 Yˆ2012 = 6.264,41 S yx

Yˆ12 = antilog de 3,79688 = 6.264,41

= 7.988,6 = 89,378

Probabilidad 95%

Yˆ2012 ± t

S yx

n

υ = 5 −1 = 4

∝ = 0,05

= 6.264,41 ± 2,776

(89,378) = 6.264,41 ± 110,96 5

t = 2,776

6.375,37  6.153,45

41



Nota: el procedimiento que se debe seguir, siendo un poco más complejo, para calcular la varianza residual y el coeficiente angular, es el siguiente: 2

S x log y

=

Σ(log yi ) − log cΣ log yi − log bΣxi log yi n

(

Σ log yi − log Yî n

2

2

S x log y

=

)

2

El coeficiente de correlación se debe calcular así: 2

R2 = 1 −

S x log y

2

Donde:

2 Slog y

Slogy

=

Σ(log yi )2 − nlog y n

2

log y =

(Varianza)

Σ log y i n

(Media)

50. Solución: P96 = 12

P06 = 21 (en millones)

a) P06 = P96 (1 + r )10

a) r = ? b)

b) P12 = ? P12 = P06 (1 + r )

2

log P06 = log P96 + 10 log (1 + r )

log P12 = log P06 + 6 log(1 + r )

log 21 = log12 + 10 log (1 + r )

log P12 = log 21 + 6 log(1 + r )

1,32222 = 1,07918 + 10 log (1 + r )

log P12 = 1,32222 + 6(0,024304)

1,32222 − 1,07918 = log (1 + r ) 10

log P12 = 1,32222 + 0,145824

log (1 + r ) =

log P12 = 1,468044

0,24304 = 0,024304 10

(1 + r ) = anti log .0,024304

P12 = 29,38 millones de habitantes

(1 + r ) = 1,057 r = 1,057 − 1 r = 0,057 r = 5,7%

o

r = 57 %o

(Tasa de crecimiento)

42



51. Solución: M (1 + r ) = 2 M 4

log M + 4 log (1 + r ) = log 2M 4 log (1 + r ) = 0,301030

log (1 + r ) =

0,301030 = 0,075258 4

1 + r = 1,189 r = 0,189 r = 18,9%

r = 189 %o (Tasa de crecimiento)

52. Solución: c (1 + r ) = 2c n

log c + n log (1 + r ) = log 2c

→

n log (1 + r ) = 0,301030 n (0,029384) = 0,301030

⇒

n=

0,301030 = 10,24 años 0,029384

n = 10 años, 2 meses y 26 días

43



53. Solución: xi

xi2

log yi

xi log yi

−3 −2 −1 0 1 2 3 0

9 4 1 0 1 4 9 28

2,00000 2,00860 2,02160 2,03862 2,05346 2,06633 2,08027 14,26888

−6,00000 −4,01720 −2,02160 −−−− 2,05346 4,13266 6,24081 0,38813

Yˆ = cb x

log yˆ i = log c + x log b

a) Como Σxi = 0 , nos queda: log c =

log b =

Σ log yi n

=

14,26888 = 2,03841 7

Σ xi log y i 0,38813 = = 0,01386 Σ xi2 28

⇒

c = 109,24

⇒

b = 1,0324

La función será: Yˆ = 109,24 (1,0324)x ; también log Yˆ = 2,03841 + x (0,01386) b) La tasa de crecimiento será: b =1+r r = b − 1 = 1,0324 − 1 = 0,0324

r = 3,24%

r = 32,4 %o (Tasa de crecimiento)

54. Solución: Si en el 2.000 el valor de Yˆ es 120 y en el 2.006 el valor es de 460, se pide con esos dos períodos, determinar la tasa de crecimiento geométrico, además estimar el valor de Yˆ para el 2.010.

44


log (1 + r ) =


log 460 − log 120 = 0,0972628 2.006 − 2.000

log Yˆ2010 = 0,0972628 (4 ) + log 460 = 3,051829832 Yˆ10 = antilog de 3,051829832 = 1.126,76

Yˆ10 = 1.126,76

1 + r = 1 + 0,251015 r = 25,10%

r = 251%o

o

(Tasa de crecimiento)

55. Solución: a) Años 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Crecimiento % ---2,0 3,6 4,2 3,8 3,4 3,5

x 0 1 2 3 4 5 6

log b = 0,031350108 b = 1 + r = anti log (0,031350108 ) 1 + r = 1 + 0,0748556 r = 0,07486 r = 7,49 % (Tasa de crecimiento)

b) Trabajando con el índice 2.000 – 2.006 Años 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

log b =

yi

xi

100,00 102,00 105,60 110,10 114,30 118,20 122,30

-3 -2 -1 0 1 2 3

0,4032138 = 0,0144005 ; 28

n=7

Σx i = 0

Σxi2 = 28

Σ log y i = 14,28498 Σxi log y i = 0,4032138 Σ(log yi ) = 29,157388 2

log c =

14,28498 = 2,040711 7

45



log Yˆ08 = 0,0144005 (5) + 2,040711 = 2,1127135 Yˆ08 = antilog de 2,1127135 = 129,63

Yˆ08 = 129,63

56. Solución: a) 150.000 = 50.000 (1,0175)n n=

log 150.000 − log 50.000 = 63,33 meses log (1,0175)

n=

63,33 = 5,28 = 5 años, 3 meses, 11 días 12

b) C f = 50.000 (1 + 0,0175)72 ⇒ log C f = log 50.000 + 72 log (1,0175) 6 años × 12 = 72 meses ;

log C f = 5,241448093

C f = anti log (5,241448093) = 174.360,49

C f = $174.360,49

57. Solución: a) log b =

15 (583,45830) − (105)(80,33100) = 0,0755046 2 15(1.015) − (105)

b = anti log (0,0755046) = 1,18988

⇒

r = 0,18988

r = 18,99 % r = 189,99 %o (Tasa de crecimiento)

b) log c =

80,33100 = 5,35540 ; 15

x = 2008 − 1991 = 17

log Yˆ08 = 0,0755046 (17 ) + 5,35540 = 6,6389782

Yˆ08 = 4.354.900,13

Yˆ08 = anti log(6,6389782) = 4.354.900,13

46



58. Solución: Años 2001 2002 2003 2004 2005 2006

yi

xi

150 140 180 220 190 380

0 1 2 3 4 5

n=6

Σxi = 15

Σ log yi = 13,77845168 Σ(log y i ) 2 = 31,76243818 Σxi log yi = 35,69787348

log Yˆ11 = 0,071528244 (10) + 2,117588002 = 2,8328704 Yˆ11 = antilog de 2,8328704 = 680,56

Yˆ11 = 680,56

r = 0,1790 (Tasa de crecimiento anual)

r = 17,90%

Σxi = 15

b) n = 6 b=

Σxi2 = 55

Σxi2 = 55

Σyi = 1.260

6 (3.820) − (15)(1.260) = 38,285 ; 2 6(55) − (15)

Yˆ11 = 497,14

x = 2.011 − 2.001 = 10 años

r = 179,0 %o Σyi xi = 3.820

c=

Σyi2 = 303.400

1.260 − 38,285 (15) = 114,29 6

Yˆ11 = 38,285 (10) + 114,29 = 497,14 r=

6(3.820) − (15)(1.260)

[6(55) − (15) ] [6(303.400) − (1.260) ] 2

= 0,41 (Coeficiente de correlación)

2

59. Solución: a) log b =

1,708451 = 0,028474 → b = 1,06776 60

1 + r = 1 + 0,06776 ⇒ r = 0,06776 = 6,78 % (Tasa de crecimiento) r = 6,78%

o

r = 67,8%

47


b) log c =


28,744073 = 3,1937859 9

log Yˆ10 = 0,028474(8) + 3,1937859 = 3,4215779 Yˆ10 = anti log (3,4215779) ⇒

Yˆ10 = 2.639,84

60. Solución: 2.580.000 = Ci (1,248)

4

log 2.580.000 = log C i + 4 log (1,248) 6,4116197 = log Ci + 0,3848583

log Ci = 6,4116197 − 0,3848583 = 6,0267614 log C i = 6,0267614 ⇒

Ci = $1.063.558,54

61. Solución: a) 450.000 = 150.000 (1 + r )8 log 450.000 − log 150.000 = log (1 + r ) = 0,059640156 8 1 + r = anti log (0,059640156) = 1,1472 ⇒ r = 0,1472

r = 14,72 % anual (Tasa de crecimiento)

b) C f = 150.000 (1,1472)6 log C f = log150.000 + 6 log (1,1472) log C f = 5,533926089 ⇒

Capital final = $ 341.921,25

c) 450.000 = 150.000(1 + r )

96

48



log 450.000 − log150.000 = log (1 + r ) = 0,0049700 96 1 + r = anti log (0,0049700) = 1,0115

r = 1,15 % mensual (Tasa de crecimiento)

62. Solución: log b =

14 (129,55270) − (91)(18,43915) = 0,0426295 2 14(819) − (91)

log c =

18,43915 − 0,0426295 (91) = 1,039990 14

a) log Yˆ08 = 0,0426295 (16) + 1,039990 = 1,722062 x = 2008 − 1992 = 16 años Yˆ08 = anti log (1,722062) = 52,73

b) r =

Yˆ08 = 52,73

14 (129,55270) − (91)(18,43915)

[14 (819) − (91) ] [14 (36,67826) − (18,43915) ] 2

= 0,1826 (No hay correlación)

2

EJERCICIOS MISCELÁNEOS

63. Solución: ˆ = 9,885 (10) + 56,95 = 155,8 Y

La respuesta es la (e); b=

6(1.398) - (15)(490) = 9,885 6(55) − (15) 2

c=

x = 2.011 – 2.001 = 10

490 - 9,885(15) = 56,95 6

64. Solución: b=

75 - 15 = 12 2006 − 2001

La respuesta corresponde a la pregunta (a)

49



65. Solución: Años Meses 2004 2005

2006

Oct. Ene. Abr. Jul. Oct. Ene. Abr. Jul. Oct.

yi

75 92 63 107 94 130 68 162 134

(a)

(b)

xi

xi

x12

x13

x14

x1 y i

x12 y i

0 3 6 9 12 15 18 21 24

-12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12

144 81 36 9 0 9 36 81 144

-1.728 -729 -216 -27 0 27 216 729 1.728

20.736 6.561 1.296 81 0 81 1.296 6.561 20.736

-900 -828 -378 -321 0 390 408 1.458 1.608

10.800 7.452 2.268 963 0 1.170 2.448 13.122 19.296

∑ y i = 925 b=

2 ∑ y i = 104.067

∑ x i y i = 12.537

9(12.537) - (108)(925) = 2,66 9(1.836) - (108)2

c=

ˆ Y enero/08 = 2,66(39) + 70,84 = 174,63 b) ∑ x i = 0

∑ x 3i = 0

∑ x i2 = 540 b=

c=

2 ∑ x i = 1.836

∑ x i = 108

a) n = 9

1.437 = 2,66 540

925 - 2,66(108) = 70,84 9

Yênero / 08 = 174,63

∑ x i y i = 1.437

∑ x i4 = 57.348 a=

∑ x i2 y i = 57.519

∑ y i = 925

n=9

9(57.519) − (540)(925) = 0,081 9(57.348) − (540) 2

925 - 0,081(540) = 97,92 9

Yˆ = 0,081x 2 + 2,66 x + 97,92 ;

Yˆsep/ 05 = 0,081(−12 ) + 2 ,66(−1) + 97,92 = 95,34

Yˆdic/ 06 = 0,081(14 2 ) + 2 ,66(14) + 97,92 = 151,04

66. Solución: se deja al estudiante el desarrollo de este ejercicio

50



67. Solución:

Años

Meses

yi

Oct. Ene.

75 92

Abr.

63

Jul. Oct. Ene. Abr.

107 94 130 68

Jul.

162

Oct.

134

2004 2005

2006

b=

121,33 - 86,2 = 2,34 15

semisuma

semipromedio

Yî

xi

-6 -3

431

431 = 86,2 5

86,2

0 3 6 9 12

364

364 = 121,33 3

121,33

15 18

c = 86,2

Yˆsep/ 05 = 2,34(5) + 86,2 = 97 ,9

Yˆdic/ 06 = 2,34(20) + 86,2 = 133,04

Yˆsep / 05 = 97,9

Yˆdic / 06 = 133,04

68. Solución:

a) 600 = 300(1 + 0,02) n log 600 − log 300 = n = 35 meses (tiempo para duplicarse) log(1,02)

b) 600 = 300(1 + 0,32) n log 600 − log 300 = n = 2,4966 años (tiempo para duplicarse) log(1,32)

n = 2 años, 5meses, 29 días

51



69. Solución: a) Tasa de crecimiento aritmético b=

516 - 110 = 67,67crecimiento anual 2.006 - 2.000

b) log 480 = log 120 + 6 log (1 + r) log 480 − log120 = log(1 + r) = 0,10034 6

1 + r = antilog 0,10034 = 1,25991 r = 0,25991 = 25,991% = 259,91%o (Tasa de crecimiento geométrico) r = 25,99% 70. Solución: ˆ = 480(1,25991) 4 ⇒ log Y ˆ = log 480 + 4 log(1,25991) = 3,082599 Y 10 10

x = 2.010 – 2.006 = 4 ˆ = anti log 3,082599 = 1.209,48 Y 10 ˆ = 1.209,48 Y 10

71. Solución: Se deja que el alumno lo investigue.

72. Solución: r=1 r = 0,90 r = 0,20 r = -1

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

correlación perfecta, es una recta ascendente buena correlación, recta ascendente no hay correlación correlación perfecta, recta descendente

52



73. Solución: Es un resultado mal calculado, ya que − 1 ≤ r ≤ 1 , por lo tanto no puede ser mayor a 1


yi

xi

x i2

x i yi

x 3i

x i4

x i2 y i

y i2

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

11,3 2,5 8,3 7,6 18,9 12,6 18,3 79,5

0 1 2 3 4 5 6 21

0 1 4 9 16 25 36 91

0 2,5 16,6 22,8 75,6 63,0 109,8 290,3

0 1 8 27 64 125 216 441

0 1 16 81 256 625 1.296 2.275

0 2,5 33,2 68,4 302,4 315,0 658,8 1.380,3

127,69 6,25 68,89 57,76 357,21 158,76 334,89 1.111,45

∑

a) La gráfica con los datos originales, así con la rectilínea y parabólica (estimadas) que se pide en (b) y (c) se deja al estudiante su representación. n ∑ x i y i - (∑ x i )(∑ y i ) ⇒ n ∑ x i2 − (∑ x i ) 2 ∑ yi - b ∑ x i c) c = ⇒ n

b) b =

Yˆ = bx + c

⇒

b=

7(290,30) − (21)(79,5) = 1,85 7(91) − ( 21) 2

c=

79,5 − 1,85(21) = 5,81 7

Yˆ = 1,85 x + 5,81

Se toman dos valores de x i , podrían ser: 2 y 5 y con ellos se traza una recta tal como se solicita. c) 1 ) ∑ yi

= a ∑ xi2 + b ∑ xi + nc

2 ) ∑ y i xi = a ∑ xi3 + b ∑ xi2 + c ∑ xi

Yˆ = ax 2 + bx + c

3 ) ∑ yi xi2 = a ∑ xi4 + b ∑ xi3 + c ∑ xi2

reemplazando en las tres ecuaciones, se tendrá que: 1) 79,50 = 91a + 21b + 7c 2) 290,30 = 441a + 91b + 21c 3) 1.380,30 = 2.275a + 441b + 91c

trabajamos con las ecuaciones (1) y (2); multiplicamos la (1) por -3 y se la restamos a la (2).

53



(2) 290,30 = 441a + 91b + 21c (1) -238,50 = –273a – 63b – 21c (4) 51,8 = 168a + 28b

Ahora trabajamos con las ecuaciones (1) y (3); multiplicando a la (1) por -13

(3) 1.380,30 = 2.275a + 441b + 91c (1) -1.033,50 = –1.183a – 273b – 91c (5) 346,80 = 1.092a + 168b

Se trabaja con las ecuaciones (4) y (5); multiplicamos la ecuación (4) por -6

(5) 346,80 = 1.092a + 168b (4)-310,80 = –1.008a – 168b 36,00 =

84a

⇒

a=

36,00 = 0,4286 84

Reemplazamos en la ecuación (4) (4) 51,80 = 168 (0,4286) + 28b b=

51,80 − 168(0,4286) = −0,7216 28

Reemplazamos en la ecuación (1) 79,50 = 0,4286 (91) – 0,7216(21) + 7c c=

79,50 − 0,4286(91) + 0,7216(21) = 7,9501; ⇒ c = 7,9501 7 a = 0,4280

c = 7,9501

b = −0,7216

La ecuación de la parábola será: Yˆ = 0,4286 x 2 − 0,7216 x + 7 ,9501

se le da a x varios valores (ojalá desde 0 hasta 6) para estimar Yˆ y dibujar la gráfica respectiva.

75. Solución: Recta

s yx2 =

s 2yx =

∑ yi2 − c ∑ yi − b ∑ yi xi n

1.111,45 − 5,81(79,5) − 1,85(290,3) = 16,07 7

(Utilizamos los datos del ejercicio 74)

⇒

s yx = 4,01

54


Yˆ = 1,85(8) + 5,81 = 20,61

Yˆ = 20,61

x = 2.008 – 2.000 = 8

υ = n − 2 = 5;


α = 0,05

ˆ = 20,61 ± 2,571 4,01 = 20,61 ± 3,90 = 24,51 Y 7 16,71 S yx2 =

Parabólico

1.111,45 − 7,9501(79,5) + 0,7216 (290,3) − 0,4286 (1.380,3) = 13,90 7

s yx = 13,90 = 3,93

Yˆ = 29,71

ˆ = 0,4286 (64) - 1,7216 (8) + 7,9501 = 29,61 Y ˆ = 29,61 ± 2,571 3,73 = 29,61 ± 3,62 = 33,23 Y 7 25,99

d) Recta r=

r=

[n ∑ x

n ∑ x i y i − (∑ x i )(∑ y i ) 2 i

− (∑ x i ) 2

] [n ∑ y

2 i

− (∑ y i ) 2

]

7(290,30) − ( 21)(79,5)

=

[7(91) − (21) ][7(1.111,45 − (79,5) ] 2

2

362,6 = 0,68 534,92

r = 0,68

Parabólico R2 = 1−

2 s yx

s y2

∑ y i2 − n (∑ y i / n ) n

2

s 2y =

1.111,45 − 7(79,5 / 7) 2 = 29,79 7 13,90 R 2 =1− = 0,5334 ⇒ 29,79 s y2 =

r = 0,73

Según la teoría, se acepta como mejor ajuste, aquel que tenga un coeficiente de correlación más cercano a 1. En este caso sería el parabólico, donde r = 0,73, para el rectilíneo es de 0,68.

55



76. Solución: Años 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

yi

11,3 2,5 8,3 7,6 18,9 12,6 18,3

n=7

∑(log yi ) 2 = 7,32182

∑ yi = 79,5

log b = 0,08537

∑ xi = 21

log c = 0,728206

∑ xi2 = 91 ∑ log y i = 6,89019

∑ xi log yi = 23,06094

a) Yˆ = cb x

ˆ = logc + x log b log Y

⇒

ˆ = 0,728206 + 8(0,08537) = 1,411166 log Y

ˆ = antilog 1,411166 = 25,77 Y log b = 0,08537 ⇒ b = antilog 0,08537 = 1,2177

r = 0,2177 ⇒ 21,77% b) r = R =

[n ∑ x

⇒ 217,7%o (tasa de crecimiento)

n ∑ x i logy i − (∑ x i )(∑ log y i ) 2 i

− (∑ x i ) 2

] [n ∑(log y ) i

2

− (∑ log y i )

]

r = 0,6148

De acuerdo con la teoría, es el menos indicado es el logarítmico, ya que es el menor de los tres coeficientes de correlación. r = 0,74 r = 0,66 r = 0,61

→ → →

parabólico rectilíneo logarítmico

77. Solución: se deja al estudiante su desarrollo.

78. Solución: se deja al estudiante su desarrollo.

56


Cap.12 Índices simples, ponderados encadenamiento y aplicaciones

12 Índices simples, ponderados encadenamiento y aplicaciones EJERCICIOS RESUELTOS

1. Solución: Meses

Producción

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

185 178 220 179 199 175 216 207 199 208 218 213

a) Índice Enero = 100

XE 185 × 100 = × 100 = 100 XE 185 X 178 I EF = F × 100 = × 100 = 96,22 XE 185

100,00 96,22 118,92 96,76 107,57 94,59 116,76 111,89 107,57 112,43 117,84 115,14

b) Índice Mayo = 100

92,96 89,45 110,55 89,95 100,00 87,94 108,54 104,02 100,00 104,52 109,55 107,04

c) Base Variable

100,00 96,22 123,60 81,36 111,17 87,94 123,43 95,83 96,14 104,52 104,81 97,71

a) I EE =

I EM =

220 × 100 = 118,92 etc. 185


XE 185 × 100 = × 100 = 92,96 XM 199 X 178 = F × 100 = × 100 = 89,45 XM 199


b) I ME = I MF

I MM =

178 × 100 = 96,22 185 179 = × 100 = 81,36 220

c) I EF = I MA

220 × 100 = 110,55 etc. 199

220 × 100 = 123,60 178 199 = × 100 = 111,17 etc. 179

I FM = I AM

2. Solución: Productos

A B C D E F G H I Totales 06 a) I 00 =

Cosecha (cientos de Toneladas) 2000 2006

11.158 1.196 1.111 1.460 859 1.106 41 6.686 204 23.821

13.044 1.357 1.326 1.840 997 870 659 7.978 202 28.273

X 06 × 100 = 28.273 × 100 = 118,69 X 00 23.821

Relativos

Índices

1,1690 1,1346 1,1935 1,2602 1,1606 0,7866 16,0731 1,1932 0,9901 24,9609

116,90 113,46 119,35 126,02 116,06 78,66 1.607,31 119,32 99,01 2.496,09

b) I 0006 =

06 I 00 =

ΣR0006 24,9609 = × 100 = 277,34 n 9 06 ΣI 00 2.496,09 = = 277,34 9 9

2



3. Solución: Años

Ventas (Miles Mill. $)

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

120 140 180 180 190 150 120 160 200 240 350

Índice 1996 = 100

100,00 116,67 150,00 150,00 158,33 125,00 100,00 133,33 166,67 200,00 291,67

96 b) I 99 = 120 × 100 = 66,67

Índice 1999 = 100

a) 96 I 96 = 120 × 100 = 100 120

66,67 77,78 100,00 100,00 105,56 83,33 66,67 88,89 111,11 133,33 194,44

97 I 96 = 140 × 100 = 116,67 120 98 I 96 = 180 × 100 = 150,00 120 99 I 96 = 180 × 100 = 150,00 etc 120

97 I 99 = 140 × 100 = 77,78 etc. 180

180

4. Solución:

(160)P J

F J = LJ × P J

FJ =

200 = 160 × P J

40.000 = 160 × P J

PJ =

40.000 = 250 160

5. Solución: 05 I 04 = 120

I 006 = 174

05 I 005 = I 004 × I 04

06 I 05 = 118

06 I 006 = I 005 × I 05

147,45 = I 004 × 1,20

I 004 = ?

174 = I 005 × 1,18

I 004 =

I 005 = ?

174 = I 05 = 147,45 0 1,18

I o04 = 122,87

147,45 = 122,87 1,20

I o05 = 147,45

3



6. Solución: Años Índice (base variable)

2003

2004

2005

2006

100,00

107,83

108,12

104,26

06 03 04 05 06 I 03 = I 03 × I 03 × I 04 × I 05 06 I 03 = 100 × 1,0783 × 1,0812 × 1,0426 = 121,55

(Se trabaja con los relativos en vez de los índices)

121,55 ≠ 119 Falso

7. Solución: Años

l

q

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

100,00 112,14 115,26 110,04 105,00 110,82 120,55

2,86 3,20 3,29 3,14 3,00 3,17 3,44

105 → 3 100 → X

K=

X=

3(100) = 2,86 para el 2000 105

3 = 0,02857 105,00

K (105,00) = 0,02857(105,00) = 3

8. Solución: 06 I 05 = 71

06 I 03 = 150

05 150 = I 03 × 0,71

05 I 03 =?

06 05 06 I 03 = I 03 × I 05

05 I 03 =

150 = 211,26 0,71

4



9. Solución: L=

2 P 3

⇒

F = L×P =

L=

2 (130) = 86,66 3

(1,30)(0,8666)(100) =

1,1265 (100 ) = 106,14

F = 106,14

10. Solución: (1) e)

Superiores o igual a un 20% 150 × 100 = 120 125 120 − 100 = 20 %

(2) d)

25 = 0,10 = 10% 250

(3) c) Desarrollo Vivienda Préstamos Autorizados e)

175 25 200

200 × 100 = 0,5479 ≅ 54,79 % 365

11. Solución: El costo de construcción de casas de habitación en el 2006 asciende a $69.791.165,62 108,44 → 6'200.000

x=

6'200.000(1.220,67) = 69.791.165,62 108,44

1.220,67 → x

5



12. Solución: 06 I 92 = 150

06 I 00 = 75

00 I 92 =?

06 00 06 I 92 = I 92 × I 00

00 150 = I 92 × 0,75

00 I 92 =

150 = 200 0,75

00 I 92 = 200

13. Solución: q 06

p 03 q 03

p06 q06

p 06 q 03

p 03 q 06

3.800

8

26.000

30.400

38.000

20.800

5

10.000

7

30.000

70.000

50.000

42.000

1.000

2

4.000

5

2.000

20.000

8.000

5.000

D

6.000

1

15.000

2

6.000

30.000

15.000

12.000

E

3.600

2

2.000

1

7.200

2.000

4.000

3.600

71.200 152.400 115.000

83.400

Artículos

p03

q 03

p 06

A

2.600

10

B

6.000

C

Σ p 03 p 06

q 06 por el mínimo ( p 03 ; p 06 )

--q 03 por el mínimo ( p 03 ; p 06 )

p 03 p 06

q 06

p 03 p 06

q 03

p 03 p 06

9.880.000

20.800

26.000

3.143,25

25.146,00

31.432,50

60.000.000

42.000

30.000

7.745,97

54.221,79

38.729,85

4.000.000

5.000

2.000

2.000

10.000

4.000

90.000.000

12.000

6.000

9.486,83

18.973,66

9.486,83

7.200.000

2.000

4.000

2.683,28

2.683,28

5.366,56

−

81.800

68.000

−

111.024,73

89.015,74

6


06

LI 03 =

a)

Σp 06 q 03 × 100 = 115.000 × 100 = 161,52 Σp 03 q 03 71.200

LI 03 = 161,52

Σp 06 q 06 × 100 = 152.400 × 100 = 182,73 Σp 03 q 06 83.400

P I 03 = 182,73

06

P I 03 = 06

06 F I 03 = L06 03 × P03 =

(1,6152)(1,8273) 100 = 171,80

p 03 + p 06

q 06 ( p 03 + p 06 )

q03 ( p03 + p06 )

6.400

51.200

64.000

16.000

112.000

80.000

5.000

25.000

10.000

21.000

42.000

21.000

5.600

5.600

11.200

235.800

186.200

Σ

06

b) K J 03 =

06

M J03 =

06

W J 03 =

06

06

06

F I 03 = 171,80

Σq06 minimo ( p 06 ; p03 ) 81.800 × 100 = × 100 = 120,29 Σq 03 minimo ( p 06 ; p 03 ) 68.000 Σq06 ( p03 + p06 ) 100 = 235.800 × 100 = 126,64 Σq03 ( p03 + p06 ) 186.200

S J03 = L

06


06 J 03

+P

06 J 03

=

117,13 + 132,52 = 124,83 2

Σq 06 p 03 p06 Σq03 p03 p06

× 100 =

111.024,77 = 124,71 89.015,74

Los índices de Laspeyres y Paasche de Cantidad son: 06

LJ 03 =

06 Σp 03 q 06 Σp q × 100 = 83.400 × 100 = 117,13 ; P J 03 = 06 06 × 100 = 152.400 × 100 = 132,52 Σp 03 q 03 71.200 Σp 06 q 03 115.000

7




Índice Base Variable

Relativos

Índice Encadenado

1 2 3 4 5

103,15 108,36 94,86 117,28 104,84

1,0315 1,0836 0,9486 1,1728 1,0484

100,00 108,36 102,79 120,55 126,39

% Variación

0 +8,36 +2,79 +20,55 +26,39

15. Solución: 161,52 → 13.000.000 495,82 →

X=

X

113.000.000(495,82) = $ 39.906.265,48 161,52

El costo de la construcción para vivienda de dos pisos, etc., es de $39.906.265,48

16. Solución: p 04 q 04

p 06 q 06

14.700,0 852,0 37.760,0 4.462,5 21.456,0 79.230,5

20.840,0 2.250,0 48.100,0 6.457,5 36.990,0 114.637,5

06

a) LI 04 = 06

P I 04 =

p 04 q 06

19.600,0 1.278,0 30.680,0. 3.187,5 32.184,0 86.929,5

p 06 q 04

15.630,0 1.500,0 59.200,0 9.040,5 24.660,0 110.030,5

Σp 06 q 04 110.030,5 × 100 = × 100 = 138,87 (precios) Σp 04 q 04 79.230,5 Σp 06 q 06 114.637,5 × 100 = × 100 = 131,87 Σp 04 q 06 86.929,5

F I 04 = LI 04 × P I 04 = 138,87(131,87 ) = 135,32 06

06

06

8



Σp 04 q 06 86.929,5 × 100 = × 100 = 109,72 (cantidad) Σp 04 q 04 79.230,5

06

b) LJ 04 = 06

P J 04 =

Σp 06 q 06 114.637,5 × 100 = × 100 = 104,19 Σp 06 q 04 110.030,5

F J 04 = LJ 04 × P J 04 = 109,72(104,19) = 106,92 06

06

06


Ventas (Mill. $)

Relativos

Índice 2000 = 100

Índice 2002 = 100

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

12.320 14.563 18.624 27.632 24.830 29.316 32.514

1,0000 1,1821 1,2789 1,4836 0,8986 1,1807 1,1090

100,00 118,21 151,18 224,29 201,55 237,97 263,90

----100,00 148,36 133,32 157,41 174,56

12.320 = 1,000 12.320

a)

00 b) I 00 = 100 ;

14.563 = 1,1821 12.320

18.624 = 1,2789 , etc… 14.563

01 I 00 = 100 × 1,1821 = 118,21 02 I 00 = 100 × 1,1821 × 1,2789 = 151 ,18, etc...

02 = 100 c) I 02

03 I 02 = 100 × 1,4836 = 148,36 04 I 02 = 100 × 1,4836 × 0,8986 = 133,32, etc...

18. Solución: t

t

t

t

F I O = LI O × P I O ⇒ 107,00 = LI O × 136,06

t t 107 2 = LI o (136,06) ⇒ 11.449 = 84,15 = LI O 136,06

9


I Ot V = LI O × P J O = 0,8415(138,71) = 116,72 t


t

(es el índice de valor)


Índice 1995 = 100

Índice 2001 = 100

% Variación

2001

182,63

100,00

---

2002 2003

204,28 210,34

111,85 115,17

11,85 15,17

2004

214,36

117,37

17,37

2005

286,49

156,87

56,87

2006

322,24

176,44

76,44

204,28 100 = 111,85 182,63

210,34 100 = 115,17 182,63 214,36 100 =117,37, etc... 182,63

20. Solución: a) El índice de precios de Laspeyres, como su nombre lo indica, nos determina las variaciones en los precios entre dos períodos, manteniendo constante las cantidades del período base como ponderaciones. b) Indica las variaciones en las cantidades entre dos períodos, manteniendo constante, como ponderaciones los precios del período base. c) Indica las variaciones en los precios entre dos períodos, tomando como ponderaciones, las cantidades del período que se investiga. d) Indica las variaciones en las cantidades entre dos períodos, tomando como ponderaciones los precios del período que se investiga.

21. Solución: 04 I 03 = 130

05 I 04 = 90

06 03 04 05 06 I 03 = I 03 × I 03 × I 04 × I 05

06 I 03 = 100 × 1,30 × 0,90 × 1,15 = 134,55

06 I 05 = 115

06 I 03 = 134,55

10



22. Solución: Agudeza Visual

Normales Con diferencia leve

Nº

3.209 161

943,82 47,35

22 8

6,47 2,36

3.400

1.000,00

Con diferencia moderada Con diferencia severa Σ

%o

Tasa = 3.209 × 1.000 = 943,82% o 3.400

23. Solución: a) Índices simples de precios 1.600 100 = 123,08 1.300 3.600 =C = 100 = 600,00 ; 600

06 a) I 04 = A= 06 I 04

2.000 100 = 76,92 2.600 4.800 =D= 100 = 100,00 4.800

06 I 04 =B= 06 I 04

b) Índice agregativo simple Se presenta dos maneras de calcular:

06 (b2 ) I 04 =

b)

06 I 04 =

Σp 06 100 = 12.000 100 = 129,03 Σp 04 9.300

Σ Indices Simples 123,08 + 76,92 + 600,00 + 100,00 = = 225,00 n 4

06 I 04 = 225,00

Este último cálculo es el más indicado, dado que el artículo C pasa de $600 a $3.600 y se detecta esta variación; en cambio, en el primer cálculo no se determina.

c) Índices de Fischer de precios y cantidad

11



ARTÍCULOS

p 04 q 04

p 06 q 06

p 06 q 04

p 04 q 06

A B C D

13.000 36.400 4.800 57.600 111.800

25.600 40.000 21.600 67.200 154.400

16.000 28.000 28.800 57.600 130.400

20.800 52.000 3.600 67.200 143.600

Σ

Índices de precios 06

LI 04 =

06

P I 04 =

Σp 06 q 04 100 = 130.400 100 = 116,64 Σp 04 q 04 111.800

(+16,64 %)

Σp06 q06 154.400 100 = 100 = 107,52 Σp04 q06 143.600

(+7,52 %)

F I 04 = LI 04 × P I 04 = 116,64 (107,52) = 111,70 (+11,70 %) 06

06

06

Índices de cantidad 06

LJ 04 =

Σp 04 q 06 100 = 143.600 100 = 128,44 Σp 04 q 04 111.800 Σp06 q06 154.400 100 = 100 = 118,40 Σp06 q04 130.400

06

P J 04 = 06

F J04 =

128,44(118,40) = 123.32

(+28,44 %)

(+18,40 %)

(+23,32%)

24. Solución: t

P I O = Conocido t

t

t

t

V0t = LI O × P J O =

V0t = LJ O × P I O =

" V" = Conocido

Σp t q o Σp t q t Σp t q t × = Σp o q o Σp t q o po qo Σp o q t Σp t q t Σp t q t × = Σp o qo Σpo qt Σpo qo

V0t =

Σp t q t Σp o q 0

12


t

LI0 =

IV0t t

p J0

100

t

LJ 0 =

IV0t t

p I0


100

Prácticamente son relativos de valores, si estos se multiplican por 100 se convierten en índices de valores.

25. Solución:

Años

I. Precios 2002= 100

I. Valor 2002=100

I. Cantidad 2002=100

2002

100,00

100,00

100,00

2003

120,12

119,08

99,13

2004

130,24

133,48

102,49

2005

160,86

152,51

94,81

2006

180,08

166,83

92,64

IV03 =

250,06 × 100 = 119,08 210,00

IV04 =

Se cambia la base para el índice de valor. La nueva base es 2002.

280,31 × 100 = 133,48 , etc. 210,00

Los índices de cantidad, se obtienen dividiendo al índice de valor por el índice de precios. I q = IV × 100 IP

I q03 =

119,08 × 100 = 99,13 120,12

I q04 =

133,48 × 100 = 102,49 etc. 130,24

26. Solución: a) Índice de empleo = 150 100 = 125,00 120

La cantidad relativa es igual a 1,2500 b) Número índice del costo de mano de obra: I =

112.500.000 × 100 = 125,00 90.000.000

El Valor relativo será igual a 1,25 c) PR= Precio relativo QR= Cantidad relativa

PR =

VR 125,00 = = 1,0000 = 100,00 % QR 125,00

13



VR = Valor relativo Puede interpretarse como el índice del costo medio por empleado, es decir, que en julio de 2006 fue de 100,00% del costo medio por empleado en relación al mes de enero. No hubo ni aumento ni disminución durante ese período.

27. Solución: 06 I 03 = 160

I de Producción = 60 Precio × Producción = Valor I Precio × I Produc. =160×0,60=96 96 – 100 = – 4

Disminuyó el índice de valor en un 4% en dicho período.

28. Solución: Ingreso total = Cantidad vendida × Precios 250 = 150 × I.Precios I.Precios = 250 × 100 = 166,67 150

Deberá incrementar los precios en un 66,67 %

29. Solución: t

t

t

F J O = LJ O × P J O t

P JO =

t

⇒ 125,32 = 115,23 P J O

t

125,32 2 = 115,23 P J O

125,32 2 = 136,29 ⇒ IVot = 130,65 (1,3629) = 178,06 115,23

30. Solución: Ingreso Total = Precio × Cantidad Vendida

14



300,00 = IP × 134,00 IP =

300,00 100 = 223,88; 134,00

223,88 − 100 = 123,88 %

Se deberá incrementar el precio en un 23,88 %

31. Solución: 38.000 100 = $32.035,07 118,62 Comprobación: 32.035,07 (1,1862) = 38.00000

Lo Compró =


Meses

Índice 1984=100

Índice Mayo 05=100

1996 1998 2003 2005

Diciembre Mayo Junio Enero Abril Septiembre Diciembre Enero Febrero Marzo

2.382,68 2.763,21 4.326,42 5.128,23 5.312,61 5.824,25 6.010,34 6.112,28 6.331,65 6.410,64

44,64 51,77 81,06 96,08 99,54 109,12 112,61 114,52 118,63 120,11

2006

a)

Enero/ 06 = 112,61 114,52

6.010,34 x

X=

114,52 (6.010,34) = 6.112,28 112,61

También se puede calcular, obteniendo una constante (k) 6.010,34 K= = 53,373057 ; 112,61

53,373057 (114,52) = 6.112,28 Enero

53,372057 (118,63) = 6.331,65 Febrero 53,373057 (120,11) = 6.410,64 Marzo

15


b)

Diciembre/96 = 6.010,34 2.382,68 K=

112,61 x


X=

112,61 (2.382,68) = 44,64 6.010,34

0,018736 (2.382,68) = 44,64 Dic / 96

112,61 = 0,018736 6.010,34

33. Solución: Índice 1994 = 100

Años

2001 2002 2003 2004 2005 2006

328,32 352,46 370,63

Índice 2003 = 100

Índice 1994= 100

Índice 2003 = 100

100,00 105,61 108,89 111,23

328,32 352,46 370,63 391,42 403,58 412,25

88,58 95,10 100,00 105,61 108,89 111,23

Cálculo: 100,00 → 370,63 105,61 →

X

100,00 → 370,63 108,89 →

X

370,63 → 100,00 352,46 → X

X=

370,63 (105,61) = 391,42 100

(2004)

X=

370,63 (108,89) = 403,58, etc. 100

(2005)

X=

100 (352,46) = 95,10, etc. 370,63

(2002)

16



34. Solución:

Índice A

Años

1 2 3 4 5 6

100,00 98,36 110,14 135,36

Índice B

Índice A

Índice B

100,00 108,12 96,84

100,00 98,36 110,14 135,36 146,35 131,08

73,87 72,67 81,37 100,00 108,12 96,84

Empalme hacia abajo 100,00 → 135,36 108,12 →

X

100,00 → 135,36 96,84 → X

X=

135,36 (108,12) = 146,35 100

(5)

X=

135,36 (96,84) = 131,08 100

(6)

X=

100 (110,14) = 81,37 135,36

(3)

X=

100 (98,36) = 72,67, etc. 135,36

(2)

Empalme hacia arriba 135,36 → 100 110,14 → X

135,36 → 100 98,36 → X

35. Solución:

17



IPC / 02 =

643,12 100 = 100 ; 643,12

318.511,00

IPC / 03 =

110,78

472.942,77

712,45 100 = 110,78 643,12

etc.

670.718

125,60

534.011,15

2005

905.661

134,76

672.054,76

2006

1.036.129

136,36

759.848,20

Años

Siniestros (Miles Mill.$)

I. PC 2002=100

Siniestros (Miles Mill. $)

2002

318.511

100,00

2003

523.926

2004

Precios constantes del 02 ⇒

03 ⇒

318.511 100 = 318.511 100

(2002)

523.926 100 = 472.942,77 etc... 110,78

(2003)

36. Solución: a) % devaluación = 100 1 − 2.662  = 7,28 % ≠ 9,63% ⇒ no es cierto 



b) 9,83 % = 100 1 − 

⇒ 1 − 0,0983 =

c) PA =

2.871 

To  2.320,5 

⇒ 0,0982 = 1 −

To 2.320,5

TO ⇒ 0,9017 (2.320,5) = To = $2.092,39 ⇒ 2.320,5

1 100 = 100 = 0,9274 ⇒ 1 − 0,9274 = 0,0726 = 7,26% 107,83 107,83

fue de $2.092,39

7,26 % ≠ 5,23 %

37. Solución:

Años

Costos (mill. $)

Índice 1996 = 100

Índice 2001= 100

Costos a Precios del 2002

2001

124,6

142,28

100,00

124,60

2002

136,2

186,16

130,84

104,10

2003

148,5

195,34

137,29

108,17

18



2004

210,6

234,15

164,57

127,97

2005

217,4

260,16

182,85

118,89

2006

252,6

275,28

193,48

130,56

Cambiamos la base del índice base 1996 a la base 2001 2001 →

142,28 100 = 100,00 142,28

2002 →

186,16 100 = 130,84, etc… 142,28

Luego deflactamos, transformando precios corrientes de mercado a precios constantes de 2001 2001 →

124,6 100 = 124,6 100

2002 →

136,2 100 = 104,10, etc… 130,84


IPP 2003=100

IPC 2003=100

IP 2003=100

2003

100,00

100,00

100,00

2004

120,82

124,16

113,28

2005

140,56

162,40

122,41

2006

170,15

186,69

126,93

Segundo, deflactamos cada sector, por su respectivo índice deflactor.

a) Producto Bruto Real Años

Agricultura

Serv. y Otros

Industria

2003 2004 2005 2006

2.000,00 2.565,80 4.268,64 4.760,51

4.000,00 4.671,39 5.541,87 5.624,30

2.600,00 3.354,52 4.493,10 5.751,20

b) Índices del Producto Bruto Real

19



Índices Agricultura

Serv. Otros

Industria

100,00

100,00

100,00

128,29

116,78

129,02

213,43

138,55

172,81

238,03

140,61

221,20

39. Solución: (a)

(b)

(c)

Años

Índice 2002=100

Salarios Reales

Índice P. Adquisitivo

Poder Adq. =1996

2002 2003 2004 2005

100,00 101,34 102,37 109,29

232.000,00 232.386,03 279.378,72 309.268,92

100,00 98,68 97,69 91,50

0,3117 0,3077 0,3045 0,2852

2006

112,38

391.528,74

88,99

0,2774

Primero: Cambiamos la base del índice al 2002 Segundo: deflactamos, dividiendo los salarios por el índice con la nueva base


IPC 2000=100

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

100,00 105,62 108,84 114,25 118,43 119,99 121,46

Salario Real

Obreros (miles)

(miles mill $)

1.800,0 1.950,4 2.113,2 3.326,0 4.306,3 4.833,7 4.939,9

120 180 200 300 420 450 510

20


Salario Nominal por obrero

Índice Salario Real

Índice Salario Nominal

(mill $)

15,0 11,4 11,5 12,7 12,1 12,9 11,8


Salario Real por obrero

Índice Sal. Real por obrero

(mill $)

100,00 108,36 117,40 184,78 239,24 268,54 273,44

100,00 76,00 76,67 84,67 80,67 86,00 78,67

15,0 10,8 10,6 11,1 10,3 10,7 9,7

100,00 72,00 70,67 74,00 68,67 71,33 64,67

Primero: cambiamos la base al 2002. Segundo: dividimos los salarios nominales por el respectivo IPC, con base en el 2002. Tercero: dividimos los salarios nominales por el número de obreros obteniendo el salario nominal por obrero. Cuarto: seleccionamos la columna del salario real y cada uno se divide por el primero, es decir, por 1.800. Quinto: seleccionamos la columna del salario nominal por obrero, y cada uno de ellos lo dividimos por el primero, en este caso por 15,0. Sexto: dividimos cada uno de los salarios reales por el número de obreros. Séptimo: cada uno de los salarios real por obrero lo dividimos por el primero. 41. Solución:

Años

IPC 1996=100

IPC 2001=100

2001 2002 2003 2004 2005 2006

142,39 160,51 280,32 420,16 458,98 536,01

100,00 112,73 196,87 295,08 322,34 376,44

Salario Real (miles de $)

400,0 443,5 558,7 440,6 465,4 504,7

Índice Salario Real

100,00 110,88 139,68 110,15 116,35 126,18

21



Primero: Realizamos el empalme hacia abajo. 110,18 → 420,16 120,36 → X

110,18 ⇒ 420,16 140,56 ⇒

X

X=

420,16 (120,36 ) = 458,98 110,18

(2005)

X=

420,16 (140,56) = 536,01 110,18

(2006)

y completamos la primera columna con base al año 1996. Segundo: Pasamos o cambiamos la base al año 2001, dividiendo cada índice por el primero, en este caso 142,39. Tercero: Dividimos los salarios nominales por IPC/2001. Cuarto: Con la columna del salario Real, cada uno de ellos es dividido por el primero (2001), para obtener el I. salario Real con base al año 2001. Quinto: El salario Real para el 2006 aumentó en un 26,18 % con respecto al año 2002, por lo tanto mejoró su situación económica.

42. Solución: Primero

Años

1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

IPC Base variable

100,00 110,18 90,36 115,14 112,26

Segundo

Tercero

IPC 2002=100

IPC 1996=100

IPC 1999=100

Salario Real a Precios 1999

100,00 111,81 114,73 130,51 143,79 129,93 149,59 167,95

$ 400.000

100,00 110,18 99,56 114,63 128,69

130,86 146,32 150,14 170,7 8 188,17 170,03 195,76 219,78

$ 1.488.538,25

Primero: Encadenamos el índice de base variable. Segundo: Empalmamos la serie.

22



100,0 → 170,78 110,18 → X

X=

170,78 (110,18) = 188,17 100,0

(2003)

100,0 → 170,78 99,56 → X

X=

170,78 (99,56) = 170,03 etc… 100,0

(2004)

Tercero: El salario nominal para el 2006 es $2.500.000 y su salario real es de $1.488.538,25; pero su salario real mejoró con respecto al año 1999 en un 272,13%, por lo tanto se encuentra en mejores condiciones. Su salario nominal creció, en los dos períodos, en un 525%; 43. Solución:

Años

IPC 1986=100

IPC 1996=100

Poder Adquisitivo

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

464,53 532,98 607,31 759,42 963,53 1.136,04 1.430,41 1.849,32 2.179,28 2.376,42 2.516,82

100,00 114,74 130,74 163,48 207,42 244,56 307,93 398,11 469,14 511,58 541,80

1,0000 0,8715 0,7649 0,6117 0,4821 0,4089 0,3247 0,2512 0,2132 0,1955 0,1846

1 100 = 1 100 1 100 = 0,8715 114,74 1 100 = 0,7649 130,74

etc.

Primero: Se cambia la base a 1996. Segundo: Dividimos a 100 por cada IPC con base 1996, para obtener el poder adquisitivo con base en el año 1996. Se puede decir, que $1.000 en el 2006, equivale a $184,6 , con respecto a 1996. 44. Solución: I   100  IPA = 100  o  = 100   = 80  125   It 

% de variación = 80 – 100 = -20 %;

Cierto, bajó en un 20 %

23



45. Solución: Primero cambiamos la base de cada índice al año 2002. Años

IPC 2002=100

IPP 2002=100

IPV 2002=100

2002 2003 2004 2005 2006

100,00 155,28 258,18 332,19 407,99

100,00 176,33 289,10 411,71 516,42

100,00 167,87 200,64 231,98 241,69

Segundo: Dividimos cada rubro por su deflactor:

326,2 100 = 210,07, etc... 155,28

Años

Salarios

Arriendos

Int. y Utili.

TOTAL

2002 2003 2004 2005 2006

298,1 210,1 211,6 204,8 201,0

50,6 44,9 39,4 33,9 34,9

87,7 103,1 110,9 107,9 117,0

436,4 358,1 361,9 346,6 352,9

Tercero: Dividimos cada total por la población en millones. (YNR per cápita) Cuarto: Los resultados obtenidos, los dividimos por 55,95. IYNR per cápita =

44,76 100 = 80,00 para el 2003 55,95 Tercer paso IYNR per cápita 2002 = 100

Cuarto paso

Años

Ingreso Nal. Real per cápita

YNR 2002=100

2002

55,95

100,00

100,00

2003 2004 2005

44,76 44,13 44,26

80,00 78,87 73,74

82,05 82,93 79,42

2006

40,56

72,49

80,87

24



Quinto: Dividimos (una columna TOTAL) por 436,4 y obtenemos IYNR con base 2002

46. Solución: SR =

100

SN × 100 IPC

S R06 = 972.000 × 100 = 173.323,82 ⇒ 560,80

SR06 = 137 SR04

S R04 =

173.323,82 × 100 = 137,00 SR04

126.513,74 =

173.323,82 × 100 = 126.513,74 137,0

IPC04 =

632.000 × 100 = IPC 04

632.000 × 100 = 499,55 126.513,74

47. Solución: To   % devaluación : 37 = 1001   2.829,8  To = 0,63 (2.829,8 ) = $1.782,77

;

0,37 = 1 −

To 2.829,8

⇒ 0,63 =

To 2.829,8

To = $1.782,77


Valores (Miles $)

Índice *

Valores Corregidos

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

3.000 9.000 12.000 20.000 25.000 26.000 30.000

100,00 110,00 121,00 133,10 146,41 161,05 177,15

3.000,00 8.181,82 9.917,36 15.026,30 17.075,34 16.144,05 16.934,80

Valores Corregidos 9.000 100 = 8.181,82 110 12.000 100 = 9.917,36, etc… 121

* Se desvaloriza en un 10 % constante, cada año, a partir de 2002. Es decir el índice se incrementa anualmente en un 10 %.

25



49. Solución: Primer paso

Segundo Paso

Tercer paso

Años

IRPI Variable

IRPI 2001 = 100

IQX 2004 = 100

IQX 2001 = 100

Índice Capacidad para Importar

2001 2002 2003 2004 2005 2006

100,00 110,18 80,36 120,14 115,20 116,18

100,00 110,18 88,54 106,37 122,54 142,37

90,36 120,12 90,34 100,00 110,21 80,36

100,00 132,93 99,98 110,67 121,97 88,93

100,00 146,46 88,52 117,72 149,46 126,61

Primero: Transformamos el índice base variable, en base fija: 2001 = 100. 02 I 01 = 100 (1,1018) = 110,18

01 I 01 = 100

03 I 02 = 100 (1,1018)(0,8036) = 88,54, etc…

Segundo: Se cambia la base del índice QX al 2001 = 100. Tercero: Se multiplica el IRPI de cada año, por el relativo QX 110,18 (1,3293) = 146,46;

88,54 (0,9998) = 88,52, etc.


Segundo paso

Años

IQX Variable

IQX 2001 = 100

IVUX 1997 = 100

IVUX 2001 = 100

2001

100,00

100,00

124,35

100,00

2002

110,12

110,12

112,16

90,20

2003

80,36

88,49

118,14

95,01

2004

120,14

106,31

129,63

104,25

2005

115,16

122,43

132,35

106,43

2006

126,84

155,29

124,28

99,94

26


Tercer paso


Cuarto paso

IVUM 2001 = 100

IRPI 2001 = 100

ICM 2001 = 100

100,00

100,00

100,00

104,36

86,43

95,17

103,16

92,10

81,50

106,81

97,60

101,75

105,32

101,05

107,55

108,14

92,42

92,36

Primero: Se encadena el IQX a base fija 2001 = 100,00. Segundo: Cambiamos la base del IVUX del 1997 al 2001 = 100,00. Tercero: Calculamos el IRPI dividiendo el IVUX por el IVUM y el resultado se debe multiplicar por 100. Cuarto: El ICM se obtiene multiplicando el IVUX por el relativo de RPI en cada uno de los períodos.


Segundo paso

Tercero paso

IRPI 2000=100

ICM 2000=100

Años

IVUX 2000 = 100

IVUM 2000 = 100

IQX 2000 = 100

2000

100,00

100,00

100,00

100,00

100,00

2001 2002 2003

78,22 69,11 80,90

105,43 107,16 103,15

103,92 102,05 118,62

74,19 64,49 78,43

77,10 65,81 93,03

2004

75,08

96,26

106,51

78,04

83,12

2005

75,99

105,45

114,48

72,06

82,49

2006

87,66

109,28

117,03

80,22

93,88

Primero: Se cambia la base a los tres índices, siendo 2000 = 100. Segundo: Se calcula la relación precios de intercambio, dividiendo IVUX por el IVUM y el resultado se multiplica por 100.

27



Tercero: Se multiplica el IQX por el relativo de la relación de precios de intercambio de cada período y se obtiene ICM con base en 2000.


Índice

Cantidades Producidas

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

100,00 112,83 115,24 110,12 105,36 110,92 120,55

284,73 321,27 328,13 313,55 300,00 315,83 343,25

105,36 → 300 100,00 → X X=

300 (100) = 284,73 105,36

K=

300 = 2,8473804 105,36

K es una constante, que debemos multiplicar por cada uno de los índices, de los diferentes períodos.


Primero

Segundo

Años

Producción Miles Tons.

Índice Producción 2000 = 100

Índice Obreros 2000 = 100

Índice Productividad 2000 = 100

% Variación

2000 2001

1.420 1.630

100,00 114,79

100,00 110,02

100,00 104,34

0 4,34

2002

1.580

111,27

100,16

111,09

11,09

2003 2004 2005

1.710 1.812 1.750

120,42 127,61 123,24

109,05 98,55 97,74

110,43 129,49 123,09

10,43 29,49 26,09

2006

1.800

126,76

96,93

130,77

30,77

Primero: Calculamos el índice de producción y el índice de obreros. Segundo: Dividimos el índice de producción por el índice de obreros, multiplicando por 100 el valor resultante y obtenemos el índice de productividad.

28




Segundo

Años

IPI 2000 = 100

IPI 2004 = 100

Producción Industrial

2002

100,00

83,04

5.000

2003

198,36

164,72

9.918

2004 2005

120,42 135,86

100,00 112,82

6,021 6.793

2006

150,14

128,68

7.748

83,04 → 5.000 164,72 → X X=

5.000 (164,72) = 9.918,11 83,04

83,04 → 5.000 100,0 → X , etc....

*IPI: Índice Producción Industrial Primero: Cambiamos la base del índice de Producción Industrial al 2004. Segundo: Hacemos una relación de “si 83,04 es a 5.000, los índices siguientes serán igual a… 55. Solución: Años 2001 2002 2003 2004 2005 2006

yi 850.000 1.000.700 1.370.000 1.720.600 2.120.300 2.850.320

(a) Índice

(b) Índice

Índice

Activos Reales

Índice A.Reales

% Variación

100,00 117,73 161,18 202,42 249,45 335,33

575,1 732,6 954,3 1.250,3 1.380,4 1.706,2

100,00 127,39 165,94 217,41 240,02 296,68

850.000,00 785.540,47 825.599,61 791.407,94 883.384.72 960.738,84

100,00 92,42 97,13 93,11 103,93 113,03

0 -7,58 -2,87 -6,89 +3,93 +13,03

Muy poco han crecido los activos reales, sólo se produjo un ligero crecimiento en los dos últimos años, ya que los anteriores decrecieron.

56. Solución: Y = P.Q.

IP = 125

IY = 220

220 = 125(IQ) IY = IP (IQ)

IQ = VENTAS = 220 100 = 176 125 Se deberá aumentar las ventas en un 76%.

29




Índice 1993=1 00

2001 2002 2003 2004 2005 2006

Índice 2003=100

428,6 594,2 672,4

Índice Empalmado 2003=100

Índice 2001=100

63,74 88,37 100,00 135,60 162,80 201,40

100,00 138,64 156,89 212,74 255,41 315,97

100,0 135,6 162,8 201,4

Salario Nominal

Salarios Reales A precios/01

746.400 746.400,00

1.110.100 351.330,82

(a) La situación en términos reales empeoró, ya que se redujo su salario real en un 47,07% (b) El salario en el 2006 = 3,1592 (746.400) = $2.358.400,08, éste debe ser su salario nominal en vez de los $1.110.100,oo que le están pagando en 2006.

58. Solución: Se le deja al lector o usuario del libro su consulta.

59. Solución: Cuarto

Quinto

Años

IPC 1983=100

IPC 1994=100

Inversión (Miles mill $)

(a) Serie Deflactada (Miles Mill $)

1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2001 2003 2004 2005 2006

285,36 336,40 520,60 720,60 810,40 960,32 1.030,42 880,01 1.005,78 1.186,41 1.342,81 1.527,73

39,60 46,68 72,25 100,00 112,46 133,27 142,99 122,12 139,58 164,64 186,35 212,01

25 37 42 58 65 80 105 115 130 142 160 180

63,13 79,26 58,13 58,00 57,80 60,03 73,43 94,17 93,14 86,25 85,86 84,90

(a)

Quinto b

IPC 2003=100

Primero Segundo

IPC 2001=100

100,00 100,00

151,89

IPC 1996=100

100,00 118,50 127,15 108,59 124,11

IPC 2003=100

185,36 336,40 520,60 720,60 810,40 960,32 1.030,42 1.005,79 1.186,41 1.342,81 1.527,73

173,61

Primero: se convierte el IPC, base variable en base fija, así: 1996 = 100,00 1998 = 100(1,185) = 118,5 2000 = 118,5 (1,073) = 127,15 2001 = 127,15(0,854) = 108,59 2003 = 108,59(1,143) = 124,11 (acumulados en la calculadora)

30

IPC



Segundo: se hace el empalme hacia abajo, con los índices ya encadenados Constante = 810,4÷100 = 8,104 y lo multiplicamos por cada uno de ellos así: 8,104(118,5) = 960,32 8,104(127,15) = 1.030,42, etc. Tercero: se hace el empalme con el IPC de 2002 = 100, así: 1.005,78 K= = 8,641 y se tiene que: 2004 = 8,641(137,3) = 1.186,41; 116,4 2005 = 8,641(155,40) = 1.342,81, etc. Cuarto: se cambia la base a 1994 ⇒ (285,36÷720,60)(100) = 39,60 Quinto: se deflacta la serie, dividiendo a cada uno de los valores de inversión por el IPC con base 1994. (b) Se cambia la base a 2003 siendo 100,00 para ese año y (212,01 – 139,58)100 = 151,89 luego mediante una regla de tres simple (procedimiento más fácil) calculamos la inversión real para el 2006, así: 100,00 93,14 151,89 X X=

93,14(151,89) = 141,47 (miles de mill de $) en vez de los $84,90 (miles millones de $) 100

(c) Cambiamos la base del IPC a 2001 = 100,0 por lo tanto el IPC para el 2006 es igual a (212,01÷122,12)100 = 173,61, la inversión nominal para el 2006, que sea igual a la de 2001, se obtiene nuevamente mediante una regla de tres, así: 100,00

880,01

173,61

X

X=

880,01(173,61) = 1.527,79 (miles mill de $) 100

60. Solución: Se deja al lector o usuario su consulta.

61. Solución: 2004 ⇒ IPC /04 = ?

$450.000

Actual $1.068.000 y el IPC = 350,62

31


SR Actual =


SN actual 100 = 1.068.000 100 = 304.603,27 IPC actual 350,62

SR actual 304.603,27 100 = 134,00 ⇒ 100 = SR 04 = 227.315,87 SR /04 134,00 SR 04 = 100

SN 04 ⇒ IPC 04 = 450.000 100 = 197,96 IPC 04 227.315,87

62. Solución: (a)

% devaluación = 100 (1 -

2.762,5 ) = 3,81% ≠ 4,25% (es diferente) 2.871,8

(b) IPA = 100 × 100 = 76,34 ⇒ 1 − 0,7634 = 23,66% (es diferente) 131

(c) 136,5 = 100 1 

23,6% ≠ 24,6%

?  ⇒ 36,5 = ? 100 2.876,8  2.876,8

También: ⇒ 1,365 = 1 −

? ? ⇒ 1 − 1,365 = 2.876,8 2.876,8

0,365(2.876,8) = $1.050,03 = To

To = 1.050,03 fue el tipo de cambio

63. Solución:

⇒

300 = IP x 134,0 ⇒ IP = (300÷134)100 = 223,88 223,88 – 100 = 123,88% deberá ser el incremento en los precios YT = P.Q

64. Solución: (a) IPC = (386,82 ÷ 307,13) 100 = 125,95 Presupuesto mensual, sería: 95.000(1,2595) = $119.652,50 (b) Períodos Comienzo Final

Salario nominal 720.000,00 800.000,00

Salario real 720.000,00 635.172,69

IPC 100,00 125,95

SR = 800.000 100 = 635.172,69 125,99

32



65, 66 y 67 Solución: Se deja al lector su solución (Leer una nota que aparece al final de este capítulo en el CD)

68. Solución: (a)

15 = 0,25 = 25% disminución = 1 − 0,25 = 0,75 = 75% 60

(b) 60 100 = 400 ⇒ 400 − 100 = 300% este fue el aumento 15

69. Solución:

18.200 100 = 121,33 − 100 = 21,33% fue el aumento 15.000 70. Solución: 4.000 100 = 50% Porcentaje de rebaja 8.000

71. Solución: 3.500 100 = $2.800 fue el precio de compra 125

72. Solución: 1.200 (1,30) = 1.560 deberá vender

73, 74, 75 y 76 Solución: Se deja al lector su solución.

77. Solución: a. Razón

b. Proporción

f. Proporción g. Razón

c. Proporción

d. Razón

h. Proporción

i. Proporción j. Proporción

e. Proporción

33


Cap.13 Tablas

13 En este capítulo del CD, el estudiante encontrará además de algunos ejercicios resueltos, tablas que contienen datos (supuestamente) poblacionales, no incluidos en el libro, con la finalidad de reducir su tamaño.

TABLAS CON INFORMACIÓN DE UNA POBLACIÓN TEÓRICA UTILIZADAS EN EL LIBRO PARA EL DESARROLLO Y EXPLICACIÓN DE LA TEORÍA DEL MUESTREO (págs. 1 hasta la 19) Tabla 13.1 CD Algunos datos correspondientes a 355 familias que residen en el barrio El Futuro (Datos poblacionales)

Número de personas

Número Familias

Ingresos (miles $)

Vivienda Propia

Total

Consumo Diario de carne Masculino Femenino Trabajando (grs)

001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014

1.860 3.840 920 1.060 1.080 1.700 1.650 1.930 2.820 800 1.790 780 3.060 2.350

si no no si no no no si no no no si si si

5 6 3 3 3 2 3 5 4 3 2 5 5 3

3 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 3 4 2

2 4 2 2 1 1 2 3 2 2 1 2 1 1

2 3 1 1 1 2 1 2 3 1 2 1 3 2

789 807 802 765 735 895 799 749 742 892 864 772 804 732


015 016 017 018 019 020 021 022 023 024 025 026 027 028 029 030 031 032 033 034 035 036 037 038 039 040 041 042 043 044 045 046 047 048 049 050 051 052 053 054 055

3.420 2.060 2.000 1.790 2.060 2.250 830 1.630 1.790 790 790 1.820 3.130 1.140 2.600 2.100 2.250 960 790 1.260 1.040 1.450 830 1.620 860 950 950 1.060 1.840 760 1.920 2.130 840 840 1.350 1.760 1.250 3.860 1.880 1.050 1.730

no si si no no no no si no si si no no si si no si si no no no no si si no si no no no no si si si si no si si no no si si

4 3 3 4 5 3 2 1 2 2 3 6 5 4 4 4 3 2 7 2 1 2 3 2 1 3 3 3 5 4 2 2 3 4 1 3 2 5 3 3 4

Cap.13 Tablas

1 1 1 2 1 1 1 1 1 0 1 3 2 1 2 2 1 1 3 0 1 1 1 1 0 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1

3 2 2 2 4 2 1 0 1 2 2 3 3 3 2 2 2 1 4 2 0 1 2 1 1 2 2 2 3 2 1 1 2 2 0 2 1 8 2 1 3

3 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 3 1 2 3 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 3 2 1 2

743 824 804 767 760 842 813 753 723 680 620 816 868 832 757 714 852 782 620 630 580 580 520 570 510 520 620 730 780 520 630 850 610 610 590 630 750 750 880 780 560

2


056 057 058 059 060 061 062 063 064 065 066 067 068 069 070 071 072 073 074 075 076 077 078 079 080 081 082 083 084 085 086 087 088 089 090 091 092 093 094 095 096

2.620 950 1.870 840 860 1.020 1.340 3.950 1.860 790 2.140 1.830 1.350 760 790 1.260 950 980 2.360 1.350 1.840 780 820 2.860 2.890 2.870 960 2.050 2.130 1.620 2.420 2.060 2.850 1.560 1.320 3.140 960 1.860 890 1.010 1.000

si si no si no si no no no si si si no no no no si no si si no no no si no no no si si si si si no si no no no si si no no

5 3 2 3 1 3 2 5 6 3 5 4 3 2 1 3 2 3 4 6 5 3 2 3 4 4 2 3 5 3 3 5 4 3 6 3 4 5 2 2 2

Cap.13 Tablas

2 1 2 1 0 1 1 2 1 2 2 1 2 1 0 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 3 2 2 1 1 2 1 1 0

3 2 0 2 1 2 1 3 5 1 3 3 1 1 1 2 1 1 2 4 4 1 0 2 2 3 1 1 3 2 2 4 1 1 4 2 3 3 1 1 2

2 1 2 1 1 2 1 3 2 1 3 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 3 2 2 1 2 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 1 1 2

620 870 520 630 520 540 600 680 720 600 540 810 770 530 550 580 520 560 716 600 620 570 520 510 770 810 834 630 610 716 760 780 801 812 714 612 775 757 720 630 650

3


097 098 099 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137

1.120 2.140 1.560 2.020 960 840 1.930 1.020 1.960 2.140 1.860 950 1.720 2.310 1.110 2.620 860 840 3.960 980 2.020 1.130 2.450 3.630 3.230 4.960 1.870 840 2.020 2.260 1.350 2.320 1.300 1.860 780 1.260 1.940 2.060 3.870 1.020 1.340

si si no si no no si no si si no si si no si si no si no si no si si no si si si no no no no no si no no si si si no si si

3 4 4 3 2 3 4 1 2 6 3 2 4 5 3 2 3 4 6 2 3 4 5 3 7 6 3 2 4 4 2 3 2 3 2 3 4 5 4 2 3

Cap.13 Tablas

1 2 3 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 3 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 3 2 1 1 1

2 2 1 2 1 2 2 0 1 4 2 1 2 3 2 1 1 2 4 1 1 3 3 0 5 4 2 1 3 2 0 2 1 2 1 1 1 3 3 1 2

1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 3 4 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1

610 660 720 680 520 560 520 530 650 520 570 578 580 590 620 616 518 514 520 516 570 620 636 636 744 700 786 785 516 634 638 520 527 586 516 520 536 636 735 816 515

4


138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178

1.160 1.840 870 1.880 1.040 1.060 1.880 1.650 3.420 3.320 1.860 890 1.950 1.060 2.080 860 1.840 2.060 2.730 1.860 1.896 1.260 880 1.860 1.140 960 1.870 1.860 2.880 2.060 1.640 2.680 2.700 1.130 1.950 860 880 1.860 880 1.010 2.060

si no no si si no no si si si si si no no no si no si si no si no si no si no no no si si no si si no si no no si no no no

2 3 3 4 2 2 3 4 5 3 4 3 4 2 3 2 3 1 3 4 2 3 2 4 2 3 5 2 3 4 5 2 3 4 2 2 3 3 4 2 3

Cap.13 Tablas

1 2 1 1 1 0 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 0 1 1 1 0 1 2

1 1 2 3 1 2 2 2 3 2 3 1 2 1 2 1 2 0 2 2 1 2 1 3 1 1 3 1 1 3 3 1 2 2 2 1 2 2 4 1 1

1 2 2 2 1 1 2 2 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 3 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2

516 520 532 630 635 520 560 580 626 635 640 520 636 522 636 516 732 806 816 735 738 516 508 630 600 520 580 586 635 712 720 760 812 716 718 510 512 512 520 606 803

5


179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219

1.630 1.840 3.960 1.030 2.960 2.870 2.840 880 1.160 1.150 1.980 2.360 1.340 2.450 3.210 3.240 3.860 950 970 990 2.260 1.830 1.850 1.960 3.620 2.140 3.320 2.140 1.750 3.890 2.970 2.990 2.060 1.626 1.860 2.620 1.130 1.140 860 930 2.150

si no si si no si no no si si no no si si no si no no no si si no si si si si si no si no no no no no no si si si si no no

3 2 4 2 5 3 2 3 2 1 3 4 2 3 4 2 5 3 2 3 4 2 3 2 3 4 6 5 2 3 3 4 5 2 3 4 6 2 5 2 3

Cap.13 Tablas

2 1 1 1 2 1 1 1 1 0 0 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 0 1 1 2 1 2 2 3 2 1 2 1 1

1 1 3 1 3 2 1 2 1 1 3 2 1 2 2 1 3 1 1 2 3 1 2 1 1 2 3 2 2 2 2 2 4 0 1 1 4 1 3 1 2

1 1 2 1 3 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 2 1 3 2 3 2 1 3 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2

605 596 520 563 548 555 730 510 580 584 636 814 620 712 806 794 812 515 508 506 514 630 650 642 684 716 750 752 684 802 794 755 744 536 716 777 700 520 506 516 613

6


220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260

2.620 1.860 2.120 1.630 1.520 1.410 1.360 990 1.040 950 980 960 1.020 2.130 2.150 3.790 1.720 1.830 1.960 850 2.140 2.460 1.450 1.830 2.260 1.620 1.130 1.050 1.980 1.990 1.060 1.120 1.080 1.930 860 1.950 2.960 1.950 2.140 980 2.260

no si si no no si si si no si si no si no no si no no no no si no si si si no no si si no no si si si no no no no no si si

3 4 2 5 6 3 1 2 3 4 2 3 4 2 3 6 5 2 3 4 2 3 2 3 4 4 4 2 3 4 2 3 4 2 3 2 3 5 2 3 2

Cap.13 Tablas

2 2 1 4 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 0 2 1 3 1 1 2 1 2 1 0 1 0 1 2 0 1 1

1 2 1 1 4 2 0 0 2 3 1 2 2 1 2 4 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 1 2 2 1 1 3 2 2 2 2 3 2 2 1

2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2

624 636 680 650 666 672 712 520 542 548 560 558 562 616 630 642 584 586 584 520 601 608 632 636 650 600 586 584 586 532 616 512 716 650 520 616 684 705 624 601 712

7


261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301

3.280 1.140 1.930 1.850 3.860 1.820 1.880 1.050 1.130 1.260 2.500 2.610 2.930 2.960 1.050 1.010 1.010 2.080 3.260 1.280 960 1.840 1.880 1.620 2.120 1.950 1.630 1.420 2.860 2.980 2.050 790 1.860 2.880 1.360 1.850 1.760 1.920 3.350 990 1.080

no no no si si no si no no no si si si si no no si no si no si no no no si si si si no no si no si si no no si si si si no

5 2 3 5 3 3 3 2 3 4 5 2 3 4 4 4 3 2 3 1 3 5 4 5 6 5 5 4 3 3 4 3 3 2 3 3 4 5 4 3 4

Cap.13 Tablas

2 1 0 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 0 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 0 2 2 3 1 1 2

3 1 3 3 2 2 1 1 1 2 4 1 2 2 3 3 3 0 2 0 2 3 2 3 5 4 3 3 2 1 2 1 2 1 3 1 2 2 3 2 2

2 1 2 2 3 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 3 1 1

802 613 626 650 830 760 731 516 510 520 636 651 686 680 512 520 506 603 799 516 508 700 705 684 703 710 656 678 592 600 734 509 638 724 805 781 629 732 814 512 523

8


302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342

1.730 3.460 2.790 2.960 1.110 1.460 1.900 1.660 2.390 1.290 1.890 1.280 3.290 2.860 1.110 1.690 1.760 1.090 1.260 950 980 2.360 1.350 1.840 780 820 2.860 2.890 2.870 960 2.050 2.130 1.620 2.420 2.060 2.850 980 1.550 1.320 1.230 1.150

no si si no si si no si si no no no si si no no si no no si no si si no no no si no no no si si si si si no si si no no si

3 4 6 2 3 3 2 2 6 3 4 5 6 5 2 2 2 3 3 2 3 4 6 5 3 2 3 4 4 2 3 5 3 3 5 4 2 3 6 3 4

Cap.13 Tablas

1 1 4 1 2 2 0 1 2 2 3 2 3 2 2 0 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1

2 3 2 1 1 1 2 1 4 1 1 3 3 3 0 2 1 2 2 1 1 2 4 4 1 0 2 2 3 1 1 3 2 2 4 2 1 1 4 1 3

2 3 2 2 1 1 2 2 3 1 2 3 3 3 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 3 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1

612 718 687 555 564 508 666 578 598 543 576 687 768 756 500 515 543 576 580 520 560 716 600 620 570 520 510 770 810 834 630 610 716 760 780 801 516 812 714 605 580

9


343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355

980 1.650 1.320 1.840 960 1.020 1.110 850 960 1.240 1.750 930 1.450

no no no si no si no no no no si no si

2 2 3 3 2 3 2 4 2 2 3 1 2

Cap.13 Tablas

1 0 1 2 1 2 0 2 1 2 2 1 1

1 2 2 1 1 1 2 2 1 0 1 0 1

1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1

520 530 510 520 516 605 520 532 526 580 515 524 530

Tabla 13.2 CD Población (Familias del Barrio El Futuro), estratificadas por niveles de ingreso Estrato I. Familias con ingresos menores a $1.650 (miles de $) Número de personas No. Orden

Número Ingresos Vivienda miles $ Familias propia

Total

M

F

Consumo Trabajando diario de carne (grs.)

001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014 015 016 017 018

003 004 005 010 012 021 022 024 025 028 032 033 034 035 036 037 038 039

920 1.060 1.080 800 780 830 1.630 790 790 1.140 960 790 1.260 1.040 1.450 830 1.620 860

no si no no si no si si si si si no no no no si si no

3 3 3 3 5 2 1 2 3 4 2 7 2 1 2 3 2 1

1 1 2 1 3 1 1 0 1 1 1 3 0 1 1 1 1 0

2 2 1 2 2 1 0 2 2 3 1 4 2 0 1 2 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1

802 765 735 892 772 813 753 680 620 832 782 620 630 580 580 520 570 510

10


019 020 021 022 023 024 025 026 027 028 029 030 031 032 033 034 035 036 037 038 039 040 041 042 043 044 045 046 047 048 049 050 051 052 053 054 055 056 057 058 059

040 041 042 044 047 048 049 051 054 057 059 060 061 062 065 068 069 070 071 072 073 075 077 078 082 085 089 090 092 094 095 096 097 099 101 102 104 108 111 113 114

950 950 1.060 760 840 840 1.350 1.250 1.050 950 840 860 1.020 1.340 790 1.350 760 790 1.260 950 980 1.350 780 820 960 1.120 1.560 1.320 960 890 1.010 1.000 1.120 1.560 960 840 1.020 950 1.110 860 840

si no no no si si no si si si si no si no si no no no no si no si no no no si si no no si no no si no no no no si si no si

3 3 3 4 3 4 1 2 3 3 3 1 3 2 3 3 2 1 3 2 3 6 3 2 2 3 3 6 4 2 2 2 3 4 2 3 1 2 3 3 4

Cap.13 Tablas

1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 0 1 1 2 2 1 0 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 0 1 3 1 1 1 1 1 2 2

2 2 2 2 2 2 0 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 4 1 0 1 2 1 4 3 1 1 2 2 1 1 2 0 1 2 1 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2

520 620 730 520 610 610 590 750 780 870 630 520 540 600 600 770 530 550 580 520 560 600 570 520 834 716 812 714 775 720 630 650 610 720 520 560 530 578 620 518 514

11


060 061 062 063 064 065 066 067 068 069 070 071 072 073 074 075 076 077 078 079 080 081 082 083 084 085 086 087 088 089 090 091 092 093 094 095 096 097 098 099 100

116 118 124 127 129 131 132 136 137 138 140 142 143 149 151 153 159 160 162 163 168 171 173 174 176 177 179 182 186 187 188 191 196 197 198 212 215 216 217 218 223

980 1.130 840 1.350 1.300 780 1.260 1.020 1.340 1.160 870 1.040 1.060 890 1.060 860 1.260 880 1.140 960 1.640 1.130 860 880 880 1.010 1.630 1.030 880 1.160 1.150 1.340 950 970 990 1.620 1.130 1.140 960 930 1.630

si si no no si no si si si si no si no si no si no si si no no no no no no no si si no si si si no no si no si si si no no

2 4 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 5 4 2 3 4 2 3 2 3 2 1 2 3 2 3 2 6 2 5 2 5

Cap.13 Tablas

1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 0 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 0 1 2 1 1 1 0 1 1 1 1 2 2 1 2 1 4

1 3 1 0 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 3 2 1 2 4 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 0 4 1 3 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2

516 620 785 638 527 516 520 816 515 516 532 635 520 520 522 516 516 508 600 520 720 716 510 512 520 606 605 563 510 580 584 620 515 508 506 536 700 520 506 516 650

12


101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141

224 225 226 227 228 229 230 231 232 239 242 245 246 247 251 252 254 259 262 268 269 270 275 276 277 280 281 284 287 288 292 295 300 301 306 307 311 316 319 320 321

1.520 1.410 1.360 990 1.040 950 980 960 1.020 850 1.450 1.620 1.130 1.050 1.120 1.080 860 980 1.140 1.050 1.130 1.260 1.050 1.010 1.010 1.280 960 1.620 1.630 1.420 790 1.360 990 1.080 1.110 1.460 1.290 1.110 1.090 1.260 950

no si si si no si si no si no si no no si si si no si no no no no no no si no si no si si no no si no si si no no no no si

6 3 1 2 3 4 2 3 4 4 2 4 4 2 3 4 3 3 2 2 3 4 4 4 3 1 3 5 5 4 3 3 3 4 3 3 3 2 3 3 2

Cap.13 Tablas

2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 0 1 1 2 2 1 2 0 1 2 2 2 2 2 1 1 1

4 2 0 0 2 3 1 2 2 3 1 3 1 1 1 3 2 2 1 1 1 2 3 3 3 0 2 3 3 3 1 3 2 2 1 1 1 0 2 2 1

2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

666 672 712 520 542 548 560 558 562 520 632 600 586 584 521 716 520 601 613 516 510 520 512 520 506 516 508 684 656 678 509 805 512 523 564 508 543 500 576 580 520

13


142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162

322 324 326 327 331 334 338 339 340 341 342 343 345 347 348 349 350 351 352 354 355

980 1.350 780 820 960 1.620 980 1.550 1.320 1.230 1.150 980 1.320 960 1.020 1.110 850 960 1.240 930 1.450

no si no no no si si si no no si no no no si no no no no no si

3 6 3 2 2 3 2 3 6 3 4 2 3 2 3 2 4 2 2 1 2

Cap.13 Tablas

2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 0 2 1 2 1 1

1 4 1 0 1 2 1 1 4 1 3 1 2 1 1 2 2 1 0 0 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

560 600 570 520 834 716 516 582 714 605 580 520 510 516 605 520 532 526 580 524 530

2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 3 2 2

789 895 799 749 864 732 824 804 767 760 842 723 816 714 852 780

Estrato II. Ingresos entre 1.650 y 2.500 (miles de $) 001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014 015 016

001 006 007 008 011 014 016 017 018 019 020 023 026 030 031 043

1.860 1.700 1.650 1.930 1.790 2.350 2.060 2.000 1.790 2.060 2.250 1.790 1.820 2.100 2.250 1.840

si no no si no si si si no no no no no no si no

5 2 3 5 2 3 3 3 4 5 3 2 6 4 3 5

3 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 3 2 1 2

2 1 2 3 1 1 2 2 2 4 2 1 3 2 2 3

14


017 018 019 020 021 022 023 024 025 026 027 028 029 030 031 032 033 034 035 036 037 038 039 040 041 042 043 044 045 046 047 048 049 050 051 052 053 054 055 056 057

045 046 050 053 055 058 064 066 067 074 076 083 084 086 087 093 098 100 103 105 106 107 109 110 117 119 123 125 126 128 130 133 134 139 141 144 145 148 150 152 154

1.920 2.130 1.760 1.880 1.730 1.870 1.860 2.140 1.830 2.360 1.840 2.050 2.130 2.420 2.060 1.860 2.140 2.020 1.930 1.960 2.140 1.860 1.720 2.310 2.020 2.450 1.870 2.020 2.260 2.320 1.860 1.940 2.060 1.840 1.880 1.880 1.650 1.860 1.950 2.080 1.840

si si si no si no no si si si no si si si si si si si si si si no si no no si si no no no no si si no si no si si no no no

2 2 3 3 4 2 6 5 4 4 5 3 5 3 5 5 4 3 4 2 6 3 4 5 3 5 3 4 4 3 3 4 5 3 4 3 4 4 4 3 3

Cap.13 Tablas

1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 3 2 2 1 1 2 1 2 1 1

1 1 2 2 3 0 5 3 3 2 4 1 3 2 4 3 2 2 2 1 4 2 2 3 1 3 2 3 2 2 2 1 3 1 3 2 2 3 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2

630 850 630 880 560 520 720 540 810 716 620 630 610 760 780 757 660 680 520 650 520 570 580 590 570 636 786 516 634 520 586 536 636 520 630 560 580 640 636 636 732

15


058 059 060 061 062 063 064 065 066 067 068 069 070 071 072 073 074 075 076 077 078 079 080 081 082 083 084 085 086 087 088 089 090 091 092 093 094 095 096 097 098

155 157 158 161 164 165 167 172 175 178 180 189 190 192 199 200 201 202 204 206 207 211 213 219 221 222 233 234 236 237 238 240 241 243 244 248 249 250 253 255 256

2.060 1.860 1.890 1.860 1.870 1.860 2.060 1.950 1.860 2060 1.840 1.980 2.360 2.450 2.260 1.830 1.850 1.960 2.140 2.140 1.750 2.060 1.860 2.150 1.860 2.120 2.130 2.150 1.720 1.830 1.960 2.140 2.460 1.830 2.260 1.980 1.990 2.060 1.930 1.950 2.140

si no si no no no si si si no no no no si si no si si si no si no no no si si no no no no no si no si si si no no si no no

1 4 2 4 5 2 4 2 3 3 2 3 4 3 4 2 3 2 4 5 2 5 3 3 4 2 2 3 5 2 3 2 3 3 4 3 4 2 2 2 2

Cap.13 Tablas

1 2 1 1 2 1 1 0 1 2 1 0 2 1 1 1 1 1 2 3 0 1 2 1 2 1 1 1 3 1 1 1 1 0 2 1 2 1 0 0 0

0 2 1 3 3 1 3 2 2 1 1 3 2 2 3 1 2 1 2 2 2 4 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 3 2 2 2 1 2 2 2

1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

806 735 738 630 580 586 712 718 512 803 596 636 814 712 514 630 650 642 716 752 684 744 716 613 636 680 616 630 684 586 584 601 608 636 650 586 532 616 650 616 684

16


099 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132

258 260 263 264 266 267 271 278 282 283 285 286 291 293 296 297 298 302 308 309 310 312 313 317 318 323 325 332 333 335 336 344 346 353

1.950 2.260 1.930 1.850 1.820 1.880 2.500 2.080 1.840 1.880 2.120 1.950 2.050 1.860 1.850 1.760 1.920 1.730 1.900 1.660 2.390 1.890 2.180 1.690 1.760 2.360 1.840 2.050 2.130 2.420 2.060 1.650 1.840 1.750

no si no si no si si no no no si si si si no si si no no si si no no no si si no si si si si no si si

5 5 3 5 3 3 5 2 5 4 6 5 4 3 3 4 5 3 2 2 6 4 5 2 2 4 5 3 5 3 5 2 3 3

Cap.13 Tablas

2 2 0 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 3 1 0 1 2 3 2 0 1 2 1 2 2 1 1 0 2 2

3 3 3 3 2 1 4 0 3 2 5 4 2 2 1 2 2 2 2 1 4 1 3 2 1 2 4 1 3 2 4 2 1 1

2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2

624 712 626 650 760 731 636 603 700 705 703 710 734 638 781 629 732 612 666 578 598 576 687 515 543 716 620 630 610 760 780 530 520 515

Estrato III. Ingresos superiores a $2500 (miles de $) 01 02 03

002 009 013

3.840 2.820 3.060

no no si

6 4 5

2 2 4

4 2 1

3 3 3

807 742 804

17


04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

015 027 029 052 056 063 079 080 081 088 091 112 115 120 121 122 135 146 147 156 166 169 170 181 183 184 185 193 194 195 203 205 208 209 210 214 220 235 257 261 265

3.420 3.130 2.600 3.860 2.620 3.950 2.860 2.890 2.870 2.850 3.140 2.620 3.960 3.630 3.230 4.960 3.870 3.420 3.320 2.730 2.880 2.680 2.700 3.960 2.960 2.870 2.840 3.210 3.240 3.860 3.620 3.320 3.890 2.970 2.990 2.620 2.620 3.790 2.960 3.280 3.860

no no si no si no si no no no no si no no si si no si si si si si si si no si no no si no si si no no no si no si no no si

4 5 4 5 5 5 3 4 4 4 3 2 6 3 7 6 4 5 3 3 3 2 3 4 5 3 2 4 2 5 3 6 3 3 4 4 3 6 3 5 3

Cap.13 Tablas

1 2 2 2 2 2 1 2 1 3 1 1 2 3 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 3 1 1 2 3 2 2 1 2 1

3 3 2 3 3 3 2 2 3 1 2 1 4 0 0 4 3 3 2 2 1 1 2 3 3 2 1 2 1 3 1 3 2 2 2 1 1 4 2 3 2

3 3 2 3 2 3 3 2 2 3 3 2 3 3 3 4 2 3 3 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 3 2 2 3

743 868 752 750 620 680 510 770 810 801 612 616 520 636 744 700 735 626 635 816 635 760 812 520 548 555 730 806 794 812 684 750 802 794 755 777 624 642 684 802 830

18


45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61

272 273 274 279 289 290 294 299 303 304 305 314 315 328 329 330 337

2.610 2.930 2.960 3.260 2.860 2.980 2.880 3.350 3.460 2.790 2.960 3.290 2.860 2.860 2.890 2.870 2.850

si si si si no no si si si si no si si si no no no

2 3 4 3 3 3 2 4 4 6 2 6 5 3 4 4 4

Cap.13 Tablas

1 1 2 1 1 2 1 1 1 4 1 3 2 1 2 1 2

1 2 2 2 2 1 1 3 3 2 1 3 3 2 2 3 2

2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 3 2 2 1

651 686 680 799 592 600 724 814 718 687 555 768 756 510 770 810 801

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Solución: a) Cierto

b) Cierto

c) Falso

e) Cierto

f) Cierto

g) Falso

a) Cierto

b) Cierto

c) Falso

e) Cierto

f) Cierto

g) Falso

a) Cierto

b) Cierto

c) Cierto

e) Falso

f) Cierto

g) Cierto

d) Falso

2. Solución: d) Falso

3. Solución: d) Cierto

4. Solución:

19


a) Sistemático

b) Sistemático

d) Aleatorio simple

e) Estratificado (asignación igual)

Cap.13 Tablas

c) No aleatorio (intencional)

5. Solución: a) Sistemático

b) Estratificado

c) Voluntaria

a) No aleatorio

b) No aleatorio

c) No aleatorio

d) No aleatorio

e) Aleatorio

6. Solución:

7. Solución: Si ordenamos las compras almacenadas por días o semanas de menor a mayor, haríamos una selección sistemática. De esta manera, en la muestra quedarían representados cada uno de las variaciones en la cantidad almacenada, por día o semana, al no ser así, es decir, cuando la variabilidad es muy poca deberíamos usar el muestreo aleatorio simple.

8. Solución: a) En el M.A.S. tendríamos la totalidad de los alumnos matriculados sin ordenarlos por cursos o por jornadas, conformando una población; luego hacemos un listado de los estudiantes siendo enumerados desde 001 hasta N. De esta población seleccionamos un determinado número de alumnos, de acuerdo con el tamaño muestral establecido. La selección es al azar. b) Primero seleccionamos una muestra de facultades, pues nuestra población esta constituida por el total de ellas que tenga la universidad. La segunda etapa, es una selección de cursos por cada facultad seleccionada; la tercera etapa, consiste en una selección de un determinado número de alumnos por curso. c) Fijamos carteles en lugares donde el alumno se entere y deposite el formulario que ha sido previamente diligenciado. En este caso el alumno en forma voluntaria colabora en la investigación. d) Cada facultad se constituye en población de la cual, se extrae una muestra cuyo tamaño será proporcional al tamaño poblacional. También podremos tener la

20


Cap.13 Tablas

población de alumnos por facultad distribuidos por cursos y haríamos una selección al azar, proporcional al número de alumnos por cursos. Nota: lo hubiéramos podido hacer como lo pide el ejercicio partiendo de 240 semestres, nos faltaría suponer el número de alumnos por cursos, por ejemplo, un promedio de 30 alumnos por curso, dando como resultado un total de 7.200 alumnos matriculados en la universidad.

9. Solución: Muestreo aleatorio estratificado – debemos clasificar las cuentas según su valor, en dos, tres o más grupos sub-poblaciones y luego seleccionamos muestras aleatorias de cada grupo de cuentas según su valor. Muestreo por conglomerados. Distribuimos las cuentas en varios grupos o conglomerados, de tal manera que cada uno de ellos tenga un número de cuentas con diferentes valores, de tal manera que cada grupo sea una réplica de la población. Enumeramos los conglomerados constituidos y seleccionamos uno de ellos al azar como la muestra que será estudiada. Muestreo sistemático. Ordenamos las cuentas según valor, de menor a mayor y luego seleccionamos, el número de cuentas que conformarán la muestra, a intervalos regulares por ejemplo: de cuatro en cuatro cuentas. Muestreo por conglomerados en dos etapas. Nuestra primera población son los departamentos en que está dividida la empresa comercial, seleccionando como muestra algunos de los departamentos, constituyéndose en la primera etapa; luego, en cada departamento hacemos un listado de cuentas; luego se procede a una segunda selección o segunda etapa.

10. Solución: •

Primero: Es posible que los nombres de los que habitan (jefe de hogar o propietarios) se encuentren desactualizados. Segundo: puede ser que el directorio esté incompleto, es decir, no incluye todas las viviendas o direcciones.

•

La actualización y correcciones deben hacerse en la etapa de preparación de la investigación y no cuando se está realizando la encuesta.

•

Es preferible considerar la lista de direcciones como marco, ya que la actualización es mucho más rápida. La selección de uno de ellos, se dará de acuerdo al tipo de investigación que se va a realizar, dependiendo del objetivo establecido.

21


Cap.13 Tablas

11. Solución: a) En algunos casos se utiliza el teléfono, hoy en día hay sistemas más sofisticados, mejorando el procedimiento de recolección de información. b) El Fax, Internet o celular, hoy en día, sustituyen el método de correo, sistema que frecuentemente era utilizado. c) El más indicado es la entrevista, donde se puede utilizar un cuestionario y de esta forma, recoger más opiniones o reacciones sobre el programa. d) Se puede hacer la investigación puerta a puerta o diseñar una muestra que nos permita comprobar la información.

12. Solución: Hay varios procedimientos, uno de ellos sería la selección de hogares y realizar la recolección mediante entrevistas. Para ello iniciamos con selección de zonas, luego barrios, manzanas y finalmente hogares. Sin embargo la aplicación del método de observación directa, entrevistando a los compradores en los supermercados y administradores o dueños de los negocios que venden el nuevo producto.

13. Solución: Sería un ejemplo de muestreo aleatorio simple (M.A.S.) en el caso que se tenga un listado de establecimientos donde se vende el producto, sin estar organizado por ciudades o volumen de ventas. En nuestro caso no lo es. Un muestreo aleatorio estaría dado, si clasificamos los establecimientos por volumen de ventas; por número de empleados; por área etc. En este caso no se cumple. Nos quedamos con el método de muestreo por conglomerados en dos etapas, ya que tenemos dos poblaciones y por lo tanto dos selecciones. Primero ciudades y luego establecimientos.

14. Solución: Es difícil realizar un marco de unidades, pues en este caso es casi imposible la elaboración de un listado de vehículos. Se debe establecer si son automóviles particulares y/o de servicio público. Luego debería seleccionar los puntos de observación en la ciudad, para aplicar un muestreo sistemático, es decir, parar de cada 5 vehículos, que transiten uno de ellos, para examinar el estado de sus llantas.

22


Cap.13 Tablas

15. Solución: Pˆ = p ± Z

pq n

a) Pˆ = 0,65 ± 1,96

0,74 = 74% 0,65 (0,35) =  100 0,56 = 56%

b) Mujeres que llegan a un puesto de ventas en un centro comercial, durante un cierto período de tiempo. c) No. Es una muestra con selección sistemática. d) Es el método de muestreo más conveniente en este caso.

16. Solución: Se está relacionando dos variables: el volumen de venta y el costo de publicidad del cual se espera genere más ventas. Se puede estimar el volumen de ventas en relación a un determinado costo de publicidad, por lo tanto necesitamos información tanto de ventas como los costos en publicidad.

17. Solución: a1) La diferencia principal consiste, en que, primero la variable a investigar debe estar ordenada de menor a mayor en el caso de ventas por ejemplo, y segundo deben estar totalmente desordenados y con poca variabilidad. a2) El muestreo de criterio. El investigador fija cuales son los elementos que deben ser considerados en la muestra, es un muestreo intencional u opinático. El de cuotas, a cada encuestador se le da un determinado número de unidades o elementos, que pueden estar divididas, por ejemplo, la mitad ser hombres y la otra mitad mujeres. El de conveniencia es el mismo voluntario, la persona suministra los datos sin hacerle seguimiento. b) Cuando la población es infinita o muy grande; cuando la característica tiende a ser homogénea; costo; tiempo; recursos de personal; destrucción del elemento y la finalidad de la investigación. c) El objetivo principal del muestreo es el de obtener la mayor cantidad de información con el menor costo posible.

23


Cap.13 Tablas

d) Aumentar el tamaño de la muestra; sustituir el elemento que no se entrevistó por el siguiente que informó, y que debería encontrarse seleccionado; seleccionar dentro de los que informaron un número igual a aquellos que no lo hicieron y se duplican los datos; seleccionar un número igual a aquellos que no informaron, dentro de la población que no quedó incluida en la muestra.

18. Solución: a) Las poblaciones son: barrios; manzanas; viviendas y personas que las habitan. b) Se tendrán varios marcos, primero elabora un listado de barrios, luego de manzanas que fueron seleccionadas y finalmente de las viviendas seleccionadas y se entrevista a las personas de esa vivienda. c) Barrios, manzanas, viviendas, personas dentro de la vivienda d) Muestreo por etapas; (c) afiliación al servicio médico; edades; sexo; enfermedades comunes en el grupo, etc. f) Total de afiliados; promedio de edad; proporción de hombres y mujeres; proporción de las enfermedades más comunes al grupo.

19. Solución: a) Mi población a seleccionar en la primera etapa son manzanas, de éstas se seleccionaron 10; luego en la segunda etapa se tendrá una población de 100 casas, de las cuales se seleccionarán 20. b) En el muestreo aleatorio simple, la población estará constituida por 400 casas y la muestra será de 20 casas.

20. Solución: Siendo la clasificación del menor hasta el de mayor ingreso se debe utilizar el muestreo sistemático. Si formamos grupos cada uno con diferentes niveles de ingresos, se aplicará el método estratificado. En el irrestricto o muestreo aleatorio simple, se debe tener la población de ingresos en forma desordenada y por otra parte existir poca variabilidad en los niveles de ingresos.

21. Solución: a) Utilizaríamos el muestreo sistemático

24


Cap.13 Tablas

b) En este caso, lo más indicado es el muestreo aleatorio simple c) Debe haber un sistemático y la idea que nos da, es ser de un muestreo de dos etapas (bietápico). TAMAÑO DE LA MUESTRA (Muestreo aleatorio simple) 22. Solución: a) E = 0,08 (46 ) = 3,68 Z =2

no =

n=

Z 2 s2  2 1 +  2 n E 1  

no n 1+ o N

 2 2 (9.700)  no =   2  27,6 

c) E = 0,08 = 8% no =

n=

Z 2 PQ E2

 2 1 +  n1  

s = 40

N = 2.200 2  1 + 40  = 496,22  

496,22 = n ≅ 405 hatos 496,22 1+ 2.200

s 2 = 9.700

2  1 + 40  = 53,48  

Z =2

p = 95%

 2 2 (1.600)  no =   2  3,68 

n=

b) E = 0,08 (345) = 27,6

s 2 = 1.600

Z =2 n=

N = 2.200

53,48 ≅ 53 hatos 53,48 1+ 2.200

s 2p = PQ = 0,6 (0,4 )  2 2 (0,6) (0,4)  no =   0,082  

N = 2.200

P = 0,6 = 60%

2  1 + 40  = 157,5  

157,5 ≅ 147 hatos 157,5 1+ 2.200

d) El tamaño de la muestra óptima deberá ser el resultado del aparte (a), donde n = 405 hatos, puesto que es el mayor valor calculado. 23. Solución E = 8.096

Z =2

N = 2.200

s 2 = 1.600

25


 2 2 (2.200)2 (1.600)  no =   [1,05] = 496,22 8.096 2  

 Z 2 N 2 s2   2  1 +  n o =  2   n E 1    

n=

Cap.13 Tablas

496,22 ≅ 405 hatos 496,22 1+ 2.200

Nota: el resultado es exactamente igual al obtenido en el problema No. 22 aparte a.

24. Solución: a) s = 250

s 2 = 62.500

1,96 2 (62.500)  n=  24 2  

 Z2 S2   2  1 +  n =  2   n1   E 

b) N = 1.200

no = 427,26

E = 24

n=

no n 1+ o N

n=

427,26 ≅ 315 familias 427,26 1+ 1.200

Z = 1,96

2  1 + 80  ≅ 428 familias  

25. Solución: 63 = 0,7 90

a) p =

no =

n=

b) x =

Z 2 PQ E2

no n 1+ o N

q = 0,30

 2 1 +  n1   ⇒

n=

⇒

Z = 1,96 1,96 2 (0,7 )(0,3)  no =   0,02 2  

E = 0,02 2  1 + 90  = 2.061,21  

2.061,21 ≅ 1.711 afiliados o tarjetas 2.061,21 1+ 10.050

2.390.000 = 26.555,55 gasto promedio mensual 90

s = 4.000

⇒ s 2 = 16.000.000

E = 0,02 (26.555,55) = 531,11

26


(

Cap.13 Tablas

)

1,96 2 4.000 2  no =   [1,022] = 222,69 2  531,11 

n=

222,69 ≅ 218 tarjetas o afiliados 222,69 1+ 10.050

Z2 N2 S2   [1,022] = 2  E 

c) no = 

n=

1,96 2 (10.050)2 × 4.000 2    [1,022] = 222,64 5.537.655,5  

222,64 = 218 tarjetas 222,64 1+ 10.050

E = 10.050 (531,11) = 5.537.655,5

Este es el procedimiento cuando trabajamos con totales

d) El tamaño óptimo debería ser 1.711 tarjetas, por ser el mayor de todos


b) Cierto

c) Falso

d) Falso

e) Falso

27. Solución: Nº 1 2 3 4 5 6 7 8

Nº personas 4 5 8 6 6 4 6 5

Ventas 37,8 49,6 51,4 51,4 48,6 41,4 53,6 53,4

Rˆ = 8,8

n=8

∑ yi = 387,2

∑ yi2

= 18.973,36

∑ xi = 44

∑ xi2

= 254

∑ xi yi = 2.164,6

x = 5,5

387,2 Rˆ = = 8,8 44  1  Rˆ S = 8,8 ± 2,365   l  8 (5,5) 

 18.973,36 − 2 (8,8) (2.164,6 ) + 8,82 (254)    7  

27


Cap.13 Tablas

10,15 Rˆ S = 8,8 ± 2,365 (0,57 ) =  l 7.45  8  N =   (3.720 ) = 992 Establecimientos considerados como almacenes  30  N1 = 992(5,5) = 5.456 Personas que trabajan en los establecimientos considerados como

almacenes 55.332,57 (miles de $) YˆRS = 5.456 (8,8) ± 2,365 (992) (3,12 ) =  i 40.693,03

y=

∑ yi n

=

1 Vˆ[ y R ] =   n

44 = 5,5 8  ∑ y i2 − 2 Rˆ ∑ y i x i + Rˆ 2 ∑ xi2    n −1  

1  Vˆ[ y R ] =   [78,0236] = 9,7529 8  Vˆ[ y R ] = 3,12

error de estimación

28. Solución: p=

6 = 0,20 30

PˆS = 0,2 ± 2,04 I

(0,2) (0,8) 30 − 1

1−

35% 30 =  3.720 5%

 1.305 establecimientos Aˆ S = 3.720 (0,2) ± 2,04 (3.720) (0,074 ) =  I  182

Otro método que se podría aplicar es: p=

6 = 0,50 12

28


PˆS = 0,50 ± 2,201

(0,5) (0,5) 11

I

1−

Cap.13 Tablas

0,83 = 83% 30 =  3.720 0,17 = 17%

29. Solución: No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Total 4 3 3 6 5 4 6 2 3 4 6 2 3 2 4 2

Hombres Mujeres 2 2 1 2 0 3 2 4 3 2 2 2 2 4 1 1 1 2 1 3 2 4 1 1 2 1 0 2 1 3 1 1

  1 PˆS = 0,37 ± 2,1315   I  16 (3.69) 

PS = 45,6% PI = 28,4%

Estimación a 22 a) p = ∑ i = = 0,37

∑ mi

p1 =

59

16 = 0,53 30

m = 3,69

N m = Total

(3.720) (0,53) = 1.971,6 (Establecimientos) 1.971,6 (3,69) = 7.275,2 (Total trabajadores) ∑ ai = 22

∑ ai2

∑ mi

∑ mi2 = 249

= 59

∑ ai mi

= 40

= 93

 40 − 2(0,37 )(93) + 0,37 2 (249)  0,456   =  16 − 1   0,284

(Proporción de hombres que trabajan)

3.318 Aˆ S = 0,37 (7.275) ± 7.275 (0,086) =  I 2.066

(Total de hombres que trabajan)

Totales (otro método) 2

 22 40 − 30    30  22 29 ˆ X S = 3.720  ± 2,045 30 I  30

Total hombres que trabajan

1−

3.984 30 (3.720) = 2.728 ± 1.256 =  3.720 1.472

29


Cap.13 Tablas

30. Solución: Estime el promedio y total de ventas por empleado.

∑ a i = 1.039 = ∑ yi

2 ∑ ai2 = 39.770 = ∑ yi

∑ mi = 108 = ∑ xi

2 ∑ mi2 = 466 = ∑ xi

∑ ai mi = 4.198 = Rˆ =

∑ yi ∑ xi

∑ xi yi

X = 3,8

m = 3,6

1.039,8 Rˆ = ≅ 9,62 (Mill.$ de pesos por empleado) 108

ventas $ personal empleado

=

x = 3,6

 30  1−   2  22  3.720   39.770 − 2 (9,62 ) (4.198) + 9.62 (466 )  = 9,62 ± 0,89 = 10,66 Rˆ S = 9,62   ± 2,045   29  30 (3,6 )   I  30    8,73      (Millones de pesos por empleado)

Nota: se trabajó con la calculadora en el programa de estadística 147.855,86 YˆRS = 9,62 (3.720) (3,8) ± 3.720 (1,56) (2,045) =  I 124.120,78

(Total)

Nota: los cuadros con líneas punteadas, índica el equivalente en la calculadora.

31. Solución: p=

∑ ai ∑ mi

∑ ai

= 59

=

PˆS = p ± t I

59 ≅ 0,55 108

∑ mi

= 108

m =

∑ ai2

∑ mi n

=

= 207

1− f

∑ ai2 − 2 p ∑ ai mi + p 2 ∑ mi2

n m

n −1

 1 PˆS = 0,55 ± 2,045  I  30 3,6 Aˆ S = N1 p ± tN1 Vˆ[ p ]

108 = 3,6 30

∑ mi2

m = 3,6

= 466

∑ ai mi

207 − 2(0,55) (282) + 0,552 (466)   = 0,55 ± 0,12 = 30 − 1 

= 282

 67%   43%

N 1 = N m = 3.720 (3,60 ) = 13.392

I

30


Cap.13 Tablas

9.008,8 ≅ 9.009 Aˆ S = 13.392 (0,55) ± 2,045 (0,06)(13.392) =  I 5.722,4 ≅ 5.722

Personas afiliadas

32. Solución: p=

No. mujeres No. personal empleado

∑ ai

= 65

∑ ai2

p=

= 193

∑ ai ∑ mi

∑ mi

=

= 108

65 ≅ 0,6 108

∑ mi2

m =

108 = 3,6 30

∑ ai mi

= 466

= 289

 193 − 2(0,6) (289) + 0,62 (466)   0,67 = 67% mujeres PˆS = 0,6 ± 2,045  1  = 0,6 ± 0,07 =  0,53 = 53% 29 empleadas I   30 3,6 

 8.993,73 ≅ 8.994 Mujeres empleadas Aˆ S = 13.392 (0,6 ) ± 2,045 (0,035)(13.392) =  I 7.076,62 ≅ 7.077

33. Solución: Mediante la regresión lineal, estimar el promedio y total de ventas semanales por empleado, sabiendo que el promedio de empleados por establecimiento es de 3.8.

∑ x = 108

∑ x2

x = 3,6

y = 34,66

s x2 = 2,57

s x2 = 2,66 (Corregida)

s 2y = 124,35

s 2y = 128,63 (Corregida)

s x = 1,6

s x = 1,63 (Corregida)

s y = 11,15

s y = 11,34 (Corregida)

= 466

y = ventas (miles de $ semanales) ;

∑ y = 1.039,8

∑ y2

∑ xy = 4.198

n = 30

= 39.770

x = personal empleado

Nota: se trabajó en la calculadora con el programa de estadística b=

n ∑ xy − (∑ x )(∑ y ) 30 (4.198) − (108) (1.039,8) = = 5,89 2 2 n ∑ x 2 − (∑ x ) 30 (466) − (108)

31


b=

c=

Cap.13 Tablas

∑ xy − n x y = 4.198 − 30 (3,6)(34,66) = 5,89 2 466 − 30 (3,6 ) ∑ x2 − n x 2

∑ y − b∑ x n

=

1.039,8 − 5,89 (108) = 13,456 30

YˆRL = b X + c

YˆRL = 5,89 (3,8) + 13,456 = 35,838

YˆRL = b ( X − x ) + y

YˆRL = 5,89 (3,8 − 3,6) + 34,66 = 35,838 (promedio)

YˆRL = bX + c

Xˆ = NX = 3.720 (3,8) = 14.136

(total)

Xˆ = N x = 3.720 (3,6 ) = 13.392

Total de empleados

c = 3.720 (13,456) = 50.056,32 YˆRL = 5,89 (14.136) + 50.056,32 = 133.317,36

YˆRL = b ( X − x ) + y

Yˆ = N y = 3.720 (34,66 ) = 128.935,2 (miles de $)

(total)

YˆRL = 5,89 (14.136 − 13.392) + 128.935,2 = 133.317,36 (mill de $)

1− f Vˆ[ yˆ RL ] = n m xy =

s 2y − 2bmxy + b 2 s x2

∑ xy − x y = 4.198 − 3,6 (34,66) = 15,16 n

30

1−

Vˆ[ y RL ] =

30 3.720 30

124,35 − 2 (5,89 ) (15,16 ) + 5,89 2 (2,57 ) = 1,08 Error estándar de

estimación. Si trabajamos con las varianzas sin corregir.

r = 2

r2 =

2 m xy

s x2 s y2 m xy2 2 x

s s

2 y

=

15,16 2 = 0,67 (2,66) (128,63)

=

15,16 2 = 0,72 (2,57 ) (124,35)

(Calculado con varianzas corregidas)

(Con varianzas sin corregir)

32


Cap.13 Tablas

Vˆ[ yRL ] =  1  [128,63 (1 − 0,72)] = 1,20  30 

Vˆ[ y RL ] = 1,20 = 1,09

(Error estándar de estimación)

34. Solución: Estimar el total de ventas semanales (miles $) para los establecimientos que aparecen con actividad comercial “tienda”. No.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Σ

Ventas semanales

28,4

19,6

27,4

23,6

42,5

30,6

31,4

38,4

19,3

42,5

32,8

32,5

369,0

∑ xi

∑ xi2

= 369

= 12.012,4

12.012,4 − 30  369   30  30 − 1 30

Xˆ S = 3.720  369  ± 2,045 (3.720)  30  I

2

1 − 0,008

 67.961,15 (Mill de $) Xˆ S = 45.756 ± 22.296 (0,9959) = 45.756 ± 22.205,5 =  I  23.550,50

35. Solución: a) Proporción de mujeres: p=

∑ ai ∑ mi

Pˆ = p ± Z

=

∑ mujeres ∑

No. de personas

n N n m

1−

Pˆ = 0,52 ± 1,96

∑ ai2

35 15.000 35 (3,34)

1−

− 2p

∑ ai mi

m =

117 = 3,34 35

+ p2

∑ mi2

p=

∑ ai ∑ mi

=

61 = 0,52 117

n −1

137 − 2 (0,52) (2,28) + 0522 (443) 35 − 1

33


Cap.13 Tablas

0,79 = 79% Mujeres Pˆ = 0,52 ± 0,27  0,25 = 25%

x 117 b) Promedio de personas: x = ∑ i = = 3,34 n

s2 =

2 2 ∑ xi − n x

n −1

s Xˆ = x ± Z n

35

443 − 35 (3,34 ) = 1,55 35 − 1 2

=

1−

ˆ = Np ± ZN A

 1,24   3,75   (1) = 3,34 ± 0,41  Personas por familia  2,93  35 

n = 3,34 ± 1,96 N

p=

c) Total de propietarios de vivienda: pq n

1−

s = 1,55 = 1,24

∑ ai n

=

16 = 0,46 35

n N

(0,46) (0,54)

ˆ = 15.000 (0,46 ) ± 1,96 (15.000) A

35

9.377 1 = 6.900 ± 2.477  4.423 Total propietarios de vivienda

a 34 d) Número de personas que visitan al odontólogo: p = ∑ i = = 0,29

∑ mi

1− ˆ = Mp ± ZN A

n N

117

∑ a i2 − 2 p ∑ a i mi + p 2 ∑ mi2 n −1

n

M = N m = 15.000 (3,34) = 50.100

ˆ = 50.100 (0,29) ± 1,96 (15.000) A ˆ = 14.529 ± 4.360 18.889 A 10.169

1 35

62 − 2(0,29) (126 ) + 0,29 2 (443) 35 − 1

Personas que visitaron al odontólogo

34


Cap.13 Tablas

36. Solución: Razón =

personas que visitaron al médico personas que visitaron al dentista

y Rˆ =   ± Z x

Rˆ = 1,44 ± 1,96

n N n x

1−

∑ yi2

− 2 Rˆ

∑ yi xi

Rˆ =

+ Rˆ 2

y x

Rˆ =

∑ yi ∑ xi

=

49 = 1,44 34

∑ xi2

1 147 − 2 (1,44) (59 ) + 1,44 2 (62 ) 35 − 1 35 (0,97 )

Relación de personas

a 49 b) p = ∑ i = = 0,4188 ≅ 0,42 ;

Pˆ = p ± Z

=

n −1

2,04 Rˆ = 1,44 ± 0,6  0,84

∑ mi

∑ yi ∑ xi

117

n N n m

1−

∑ ai2

− 2p

∑ ai mi

El 42% visitaron al médico

+ p2

∑ mi2

n −1

m =

117 = 3,34 35

3,34 = m = promedio de personas por familia (vivienda) Pˆ = 0,42 ± 1,96

1 147 − 2 (0,42)(195) + 0,422 (443) 35 − 1 35 (3,34)

0,55 = 55% Porcentaje de personas que visitaron al médico durante el período Pˆ = 0,42 ± 0,13  0,29 = 29%

c) Se deja al estudiante la solución de este punto 37. Solución: n = 10

∑ xi = 202

s 2 = 12,18

s = 3,49

∑ x i2 = 4.190

x = 20,2

a) El estimador puntual es x = 20,2 punto medio de ruptura.

35


s n

b) Xˆ = x ± t

 3,49  Xˆ = 20,2 ± 2,262   = 20,2 ± 2,5  10 

22,7  17,7

υ = n −1 = 9

P = 95%

c) 1)

Cap.13 Tablas

H 0 = µ = 22 H a = µ < 22

2) α = 0,01

t=

punto medio de ruptura

α = 0,05

x−µ s n

3) s = 3,49

20,2 − 22 = − 1,63 3,49 10

t=

Como t = − 1,63 cae en la zona de aceptación, se puede afirmar al nivel del 1% que estos resultados no son inferiores a los señalados por la empresa. d) Hay error de tipo II, ya que estamos aceptando que µ = 22 , cuando en realidad µ ≠ 22 amperios, por lo tanto estamos aceptando algo falso. 38. Solución: a) x = ∑

xi 140 = = 3,5 n 40

Número de personas por familia (datos sin agrupar)

y =

∑ y i ni = 140 = 3,5 n

40

(Estimador puntual) (datos agrupados)

yi

ni

yi ni

y i2 ni

1 2 3 4 5 6 7 Σ

2 6 14 11 3 3 1 40

2 12 42 44 15 18 7 140

2 24 126 176 75 108 49 560

Xi

fi

X i fi

X i2 f i

Falta por resolver b) y c), se deja al estudiante hacerlos.

36


Cap.13 Tablas

39. Solución: σ 2 = 134,53

N = 36 n=

(

Z = 1,96

E = ±2

)

36 1,96 2 (134,53) 18.605,18 = = 29 ≠ 12 estantes 2 2 660,81 36 (2 ) + 1,96 (134,53)

Se necesitan 29 estantes y no 12 como sostiene el asesor.

40. Solución: N = 7.000

n = 700

pq n

Pˆ = p ± t

1−

n N

∑ ai

= 480

Pˆ = 0,69 ± 2,57

p=

480 = 0,6857 700

0,69 (0,31) 700

1−

⇒

p = 0,69

700 = 0,69 ± 0,04 7.000

0,73  0,65

El estimador puntual es: Pˆ = p = 68,57%

41. Solución:

S = 2

 135  1.069 − 20   20   = 20

∑ Yi 2 − N Y 2

a) n =

N

2

≅ 7,89 = σ 2

20 (1,96 ) (7,89 ) 606,20 = ≅ 6 valores 2 2 20 (2) + 1,96 (7,89 ) 110,31 2

b) No. aleatorio 13 02 08 16 05 12

xi

8 8 8 12 10 6

n=6

∑ xi

s = 2,07

x = 8,67

= 52

∑ xi2

= 472

 10,84  2,07  Xˆ = 8,67 ± 2,571   = 8,67 ± 2,17   6   6,50

 216,8  2,07  Xˆ = 20 (8,67 ) ± 2,571 (20 )   = 173,4 ± 43   6   130,0

37


Cap.13 Tablas

42. Solución: a) Colegios públicos:

∑ y i = 31.281 ≅ 15,46 Rˆ = 2.024 ∑ xi

Rˆ = 15,46 ± 1,96

54 253 54 (37,48) 1−

x =

 54  N =  468 = 253 Colegios públicos  100 

2.024 = 37,48 54

16,95 29.881.219 − 2 (15,46) (1.729.349) + 15.462 (111.090) = 15,46 ± 1,49  54 − 1 13,97

( )

Entre 14 y 17 alumnos por profesor, es la relación en los colegios públicos.

b) Colegios privados:

∑ y i = 13.707 ≅ 12,75 Rˆ = 1.075 ∑ xi

Rˆ = 12,75 ± 1,96

46 215 46 (23,37 ) 1−

x =

 46  N =  468 = 215 Colegios privados  100 

1.075 = 23,37 46

14,17 6.366.785 − 2 (12,75) (431.041) + 12,752 (33.119) = 12,75 ± 1,42  54 − 1 11,33

( )

Entre 11 y 14 alumnos por profesor, es la relación en los colegios privados.

43. Solución: N = 10.000

a) Pˆ = p ± Z

n = 300

pq n

1−

n N

0,65 = 65% Pˆ = 0,6 ± 0,05  0,55 = 55%

∑ ai

= 300 − 120 = 180

Pˆ = 0,6 ± 1,64

(0,6) (0,4) 300

p=

1−

∑ ai n

=

180 = 0,6 300

300 10.000

% empleados que tienen aptitudes 6.500 Empleados que tienen aptitudes  5.500

b) Aˆ = 10.000 (0,6 ) ± 10.000 (0,05) = 6.000 ± 500 

38


Cap.13 Tablas

44. Solución:

∑ y i ni

y =

n

=

106 = 2,65 40

s2 =

580 − 40 (2,65) ≅ 7,67 40 − 1 2

s = 7,67 = 2,77

Aproximadamente 3 caries por alumno

a)

yi

ni

yi ni

yi2 ni

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Σ

12 6 8 2 2 3 2 1 1 2 1 40

0 6 16 6 8 15 12 7 8 18 10 106

0 6 32 18 32 45 72 49 64 162 100 580

Xi

fi

X i fi

X i2 f i

s Yˆ = N y ± ZN n

1−

1.035 Yˆ = 795 ± 240  555

b) Pˆ = 0,10 ± 1,96

n 2,77 40 = 300 (2,65) ± 1,96 (300 ) 1− N 300 40

Total caries de los 300 estudiantes

0,10 (0,9) 40 1− 40 300

 0,19 Pˆ = 0,10 ± 0,09   0,01

Proporción de mujeres sin caries

a 4 c) p = ∑ i = = 0,10 n

p=

∑ ai n

40

=

15 = 0,38 40

39


0,38 (0,62) 40

c) Aˆ = 300 (0,38) ± 1,96 (300)

Cap.13 Tablas

156 40 =114 ± 42  Total de varones con caries 300 72

1−

Nota: podríamos considerar en la pregunta del punto (b), se hace referencia a la proporción de niñas (dentro del total de 17 niñas) que no tienen caries; algo similar sucede con el punto (c), sobre el total de niños (dentro del total de 23 varones con caries). En ambos casos, el tratamiento sería de “dominio de estudio”. p=

∑ ai n

=

4 = 0,24 17

(0,24) (0,76)

Pˆ = 0,24 ± 2,120

p=

∑ ai n

=

1−

17 − 1

15 = 0,65 23

pq n −1

Pˆ = p ± t

1−

n N

 0,45 40 = 0,24 ± 0,21  300  0,03

Aˆ = Np ± tN

pq n −1

1−

n N

p = 15 = 0,38 ⇒ N = 0,38 (300) = 114 varones en la población 40

45. Solución: a) Número de varones sin caries: Aˆ = 114 (0,65) ± 2,074 (114 )

b) n =

n=

NZ 2 s 2 NE 2 + Z 2 s 2 NZ 2 PQ NE + Z PQ 2

2

(0,65)(0,35)

n=

n =

1−

23 − 1 300 (1,96)

96 23 = 74 ± 22  114 52

(7,67 ) = 8.839,52 300(2 ) + 1,96 2 (7,67 ) 1.229,46 2

2

300 (1,96)

(0,3) (0,7 ) = 300(0,08) + 1,96 2 (0,03) (0,7 ) 2

2

= 7 niños

242,02 = 89 niños 2,73

40


Cap.13 Tablas

46. Solución:

∑ xi

n = 20

∑ xi yi

∑ xi2

= 40

= 203

x=2

∑ yi

= 92

y = 4,8

= 96

b = 0,92

∑ yi2

= 500

c = 2,97

Cov = 0,55

s x2 = 0,6

s 2y = 1,96

Las varianzas no fueron corregidas, ya que los cálculos se hicieron con calculadora. a) y RL = b (X − x ) + y = 0,92 (2 − 2) + 4,8 = 4,8 ≅ 5 familias por vehículo. s yx2 = s 2y − 2b Cov + b 2 s x2

s 2yx = 1,96 − 2 (0,92 ) (0,55) + 0,92 2 (0,6 ) = 1,46

s yx = 1,46 = 1,21

Familias por auto o vehículo: 20  5,37 ≅ 5 200 1,96 − 2 (0,92 ) (0,55) + 0,92 2 (0,6) = 4,8 ± 0,57  20  4,23 ≅ 4

1−

Yˆ = 4,8 ± 2,093

b) Si establecemos que X = 2 , es decir, que será el promedio de personas por familia, se tendrá que el total de personas en las 2.000 familias, es de 4.000 personas, diferente a 3.500. c) El promedio estimado de personas por familia es de 2. Nota: se trabajó con calculadora, utilizando el programa de regresión lineal (LR)

47. Solución: n N n X

1−

 y Rˆ =   ± t x

25 300 25 (16,2) 1−

Rˆ = 0,45 ± 2,797

∑ yi2

− 2 Rˆ

∑ yi xi

+ Rˆ 2

n −1

∑ xi2

Rˆ =

∑ yi ∑ xi

=

183 = 0,45 (Aprox.) 405

4.157 − 2 (0,45) (9.612) + 0,45 2 (22.687 ) = 0,45 ± 0,7 25 − 1

0,52  0,38


∑ xi

= 295

∑ xi2

= 8.275

x = 24,58

y = 4,8

41


Cap.13 Tablas

2

 295  8.275 − 12   12  2  s = = 92,99 12 − 1

a) Xˆ = x ± t b)

s n

s = 9,64

 9,64   30,71  = 24,58 ± 6,13 = 24,58 ± 6,13  Xˆ = 24,58 ± 2,201   12   18,45

1) H 0 : µ = 30

H a : µ ≠ 30 α = 0,05 3) Como µ = 30 cae dentro de los límites de confianza, se acepta H 0 , al nivel del 2)

5%, por lo tanto la media es de 30 cm 3 c) Si la verdadera media de llenado es de 28 cm 3 , al aceptar H 0 , se estará cometiendo un error de tipo II.

49. Solución: x = 576 miligramos ;

s2 =

315 = 8,75 → s = 8,75 = 2,96 36

n = 36 cigarrillos

Contenido medio de nicotina en miligramos:  2.96   577,27  = 576 ± 1,27  Xˆ = 576 ± 2,57  (miligramos)  574,73  36 

s Xˆ = x ± Z n

50. Solución: a) E = 2% = 0,02 n=

P = 0,45

Q = 0,5 5

Z = 1,96

N = 3.000

NZ 2 PQ 3.000 (1,96 ) (0,45)(0,55) 2.852,39 n= = = 1.327 Viviendas 2 2 2 2 2.150 NE + Z PQ 3.000 (0,02 ) + 1,96 (0,45) (0,55) 2

Se toma P = 0,45 , por ser el valor más cercano a 0,50; también se hubiese podido calcular el promedio: P = b) E = 1% = 0,01 n=

0,45 + 0,65 = 0,55 2 P = 0,10

Q = 0,90

Z = 1,96

N = 3.000

NZ 2 PQ NE 2 + Z 2 PQ

42


n=

3.000 (1,96)

(0,10)(0,9) 3.000 (0,01) + 1,96 2 (0,10) (0,9 ) 2

2

=

Cap.13 Tablas

1.037,23 = 1.596 Viviendas 0,65

Se toma el mayor valor de n, es decir, se requieren 1.596 viviendas en la muestra.

51. Solución: a) x = 3,1

∑ xi = 46,5

s Xˆ = x ± t n

1−

∑ x i2 = 157,69

n = 15

s = 0,983

s 2 = 0,9671

n N

0,983 Xˆ = 3,1 ± 2,145 15

1−

15 = 3,1 ± 0,52 150

3,62  2,58

mill $

El ingreso promedio mensual es de $3.100.000 y el valor verdadero debe estar entre $3.620.000 y $2.580.000 con una seguridad o confianza del 95%. b) Xˆ = N x ± tN

s n

1−

n N

0,983 Xˆ = 150 (3,1) ± 2,145 (150 ) 15

1−

543 15 = 465 ± 78  150 387

mill $

El ingreso total de las 150 familias es estimado en $465.000.000 mensual. c) No. de orden 1 2 3 4 5 6 7 s Xˆ = x ± t n

Ingreso 5,0 3,5 4,0 3,5 4,0 4,2 3,6

1−

n N

n=7

x=

∑ x i = 27,8

∑ xi n

s2 =

=

∑ x i2 = 112,10

s = 0,531

27,8 = 3,97 7

∑ xi2 − n x 2 n −1

0,53 Xˆ = 3,97 ± 2,447 7

 27,8  112,10 − 7    7  s2 = 7 −1

2

= 0,28

4,43 1 − 15 = 3,97 ± 0,46  mill $ 150  3,51

s 2 = 0,28 ⇒ s = 0,28 = 0,53

43


Cap.13 Tablas

Ingreso promedio mensual de $3.971.428,57 de las familias propietarias de vivienda. 52. Solución: a) Xˆ = N x ± tN

S n

1−

n N

0,53 Xˆ = 50 (3,97 ) ± 2,447 (50) 7

1−

221,5 7 miles de $ = 198,5 ± 23  50 1.962

El ingreso total mensual para las 50 familias propietarias de vivienda es de $198.500.000 (aprox.)

 ∑ xi   ± tN  n 

b) Xˆ = N 

∑x  ∑ xi2 − n  i   n  n −1 n

 27,8  Xˆ = 150   ± 2,145 (150)  15 

2

1−

 27,8  112,10 − 15    15  15 − 1

n N

2

15

1−

15 = 278 ± 173,76 150

451,76 mill $  104,24

También, una manera mucho más fácil sería trabajar con el porcentaje de propietarios en la muestra, para realizar los cálculos. %=

7 = 0,47 = 47% 15

N = 0,47 (150 ) = 70

Propietarios en la población:

0,53 Xˆ = 70 (3,97 ) ± 2,447(70 ) 7

1−

310,45 7 = 277,9 ± 32,55  mill $ (aprox.) 70 245,35

Corresponde al ingreso total, de las familias no propietarias, cuando no se conoce el número de propietarios en la población. d) Porcentaje de arrendatarios

44


p=

∑ ai n

=

Pˆ = p ± t

8 = 0,53 15

pq n −1

Pˆ = 0,53 ± 2,447

Cap.13 Tablas

El 53% son arrendatarios

1−

n N

(0,53) (0,47 ) 15 − 1

1 −

 0,84 = 84% 15 = 0,53 ± 0,31  150 0,22 = 22%

53. Solución: a) Número de arrendatarios ˆ = Np ± tN A

pq n −1

1−

n N  8  7      15   15  1 − 15 = 80 ± 46 126 Total de arrendatarios  15 − 1 150 34

ˆ = 150  8  ± 2,447 (150 ) A  15 

De las 150 familias, se estima que 80 de ellos son arrendatarios. xi : 2,5 2,0 2,5 1,5 2,8 1,8 2,6 3.0 (millones de $) b) Hay dentro de los arrendatarios tres (3) que tiene ingresos semanales superiores a $2.500.000 siendo: 2,8 2,6 3,0 (millones de $)

p=

∑ ai n

=

3 = 0,375 = 38% 8

0,38 (0,62) Pˆ = 0,38 ± 2,365 8 −1

1−

0,79 15 = 0,38 ± 0,41  150 0

El resultado anterior aparentemente extraño, se debe a que la muestra (8) es demasiado pequeña, por lo tanto el error de estimación (0,41 = 41%), es relativamente grande. c) Aˆ = Np ± tN

pq n −1

1−

3 Aˆ = 150   ± 2,145 (150)  15 

n N  3   12      15   15  1 − 15 = 30 ± 33 63  15 − 1 150 0

45


Cap.13 Tablas

El número de arrendatarios con ingresos superiores a $2.500.000, se estima en 30 familias. d) p =

4 = 0,27 = 27% 15

0,27 (0,73) Pˆ = 0,27 ± 2,145 15 − 1

1−

15 = 0,27 ± 0,24 150

0,51 = 51%  0,03 = 3%

(Porcentaje de familias con ingresos superiores a $3,7 mill $)

54. Solución:

∑ yi a) Rˆ = ∑ xi

n=7

∑ xi = 4.700

∑ y i2 = 40.030.000

b) X =

 ∑ yi Rˆ =   ∑ xi

     

x = 671,43

y = 2.357,14

  ± t 

n  1 − N  2 n X 

    

 ∑ y i2 − 2 Rˆ ∑ y i xi + Rˆ  n −1 

2

∑ xi2   

 40.030.000 − 2 (3,51) (11.070.000) + 3,512 (3.310.000)    = 3,51 ± 1,25 7 −1  

 y YˆR =  ∑ i  ∑ xi

210.000 = 525 400

 16.500  YˆR =   525 ± 2,447  4.700 

∑ y i = 16.500

∑ x i y i = 11.070.000

Rˆ = 16.500 = 3,51 ; 4.700

  1− 7  400 Rˆ = 3,51 ± 2,447  7 (525) 

∑ xi2 = 3.310.000

1−

7 400 7

 X ±t  

1−

n N

∑ yi2

− 2 Rˆ

n

∑ yi xi

+ Rˆ 2

∑ xi2

n −1

 2.501,55 40.030.000 − 2 (3,51) (11.070.000) + 3,512 (3.310.000) = 1.842,75 ± 658,8  7 −1  1.183,95

miles de $

 ∑ yi c) YˆR =   ∑ xi

  XN ± tN 

1− n

n N

4,76  2,26

2 2 2 ∑ y i − 2 Rˆ ∑ y i x i + Rˆ ∑ xi

n −1

46


Cap.13 Tablas

1.000.608 YˆR = 400 (1.842,75) ± 400 (658,8) = 737.088 ± 263.520  473.568

miles de $


∑ xi = 64 s

Xˆ = x ± t

n

Xˆ = x ± t

= 16.480

s n

1−

∑ xi2

a 6 c) p = ∑ i = = 0,35 = 35%

Pˆ = p ±

pq n

Pˆ = 0,35 ± 2,12

1−

= 16.413.400

x = 969,41

s = 165,36

165,36  17 Xˆ = 969,41 ± 2,12   1 − 1.200  17 

n N

1.053,83 Xˆ = 969,41 ± 84,42  884,99

17

s = 1,48

En promedio 4 personas por familia

∑ xi

n

∑ xi2 = 276

 1,48  17 Xˆ = 3,76 ± 2,12   1 − 1.200  17 

n N

1−

4,52 Xˆ = 3,76 ± 0,76  3,00

b) n = 17

x = 3,76

El gasto promedio en el mes es de $969.410

Con suscripción al periódico

n N

(0,35) (0,65) 17 − 1

1−

n = 0,35 ± 0,25 N

0,60 = 60%   0,10 = 10%

Familias con

suscripción


∑ yi2

= 10.353

b = 0,79

∑ xi

= 188

∑ xi yi

= 6.181

c = 17,11

∑ xi2

= 3.768

∑ yi

= 319

x = 18,8

y = 31,9

r = 0,90

R 2 = 0,81

Nota: las operaciones se hicieron en la calculadora con el programa LR.

47


y RL = 0,79 (20 − 18,8) + 31,9 = 32,85

1− f

Yˆ = y RL ± t

(

sY2 1 − R 2

n 1

Yˆ = 32,85 ± 2,262

10

[n ∑ x

)

n

(

sY2 1 − R 2

17.085 YˆRL = 16.425 ± 660  15.765

c) R = r =

Promedio de productividad

34,2 19,66 (1 − 0,81) = 32,85 ± 1,35   31,5

1− f

b) YˆRL = N y RL ± tN

Cap.13 Tablas

)

Total de productividad

(∑ xi ) (∑ yi ) (∑ xi )2 ] [ n ∑ yi2 − (∑ yi )2 ]

n ∑ xi y i − 2 i

−

= 0,90

r = 0,90 R 2 = 0,81

57. Solución: 5.904 − 20 (17 ) = 6,53 20 − 1 2

x = 8,7

s x2 =

y = 17

s y2 =

1.626 − 20 (8,7 ) = 5,91 20 − 1 2

a) b yx =

s x = 2,43

Cov =

s y = 2,56

3.062 − (8,7 ) (17 ) = 5,2 20

5,2 = 0,88 5,91

YˆRL = 0,88 (12 − 8,7 ) + 17 = 19,90 s 2yx = 6,53 − Yˆ = 19,90 ± 2,093

5,2 2 = 1,95 5,91 1 20

55 ( 1,95 ) = 19,90 ± 0,65 1920,,25

b) YˆRL = 300 (19,90 ) ± 2,093 (300)



6.166 = 5.970 ± 196  20 5.774

1,95

48


Cap.13 Tablas

58. Solución: xi

yi

ni

xi ni

yi ni

xi yi ni

xi2 ni

yi2 ni

2 2 4 6 6 6 7 7 -

1 2 3 1 2 3 2 4 -

2 8 5 4 3 2 4 2 30

4 16 20 24 18 12 28 14 136

2 16 15 4 6 6 8 8 65

4 32 60 24 36 36 56 56 304

8 32 80 144 108 72 196 98 738

2 32 45 4 12 18 16 32 161

x = 136 = 4,53 30

y = 65 = 2,17 30

161 − 30 (2,17 ) = 0,68 29

→

s y = 0,82

738 − 30 (4,53) s = = 4,22 30 − 1

→

s x = 2,05

2

s y2 =

2

2 x

Cov = 304 − (2,17 ) (4,53) = 0,30 30

b=

0,30 = 0,071 4,22

a) YRL = 0,071 (5,8 − 4,53) + 2,17 = 2,26 ; s yx2 = 0,68 −

0,30 2 = 0,66 → 4,22

s yx = 0,82

 0,82  2,57  = 2,26 ± 0,31  YˆRL = 2,26 ± 2,045  1,95  30  1.285  975

b) YˆRL = 2,26 (500) ± 0,31 (500) = 1.130 ± 155 

59. Solución: a) Rˆ = 319 = 1,70 188

49


10 500 10 (18,8) 1−

Rˆ = 1,70 ± 2,262

Cap.13 Tablas

10.353 − 2 (1,70) (6.181) + 1,70 2 (3.768) = 1,70 ± 0,19 10 − 1

1,89  1,51

37,8 30,2

b) YˆR = 1,7 (20 ) ± 20 (0,19) = 34 ± 3,8 

18.900 15.100

c) YˆR = 1,7 (20) 500 ± 0,19 (20 ) 500 = 17.000 ± 1.900 

60. Solución: Con los datos del ejercicio 57 se hacen los cálculos de: Rˆ , YˆRL , YˆR a) Rˆ = 340 = 1,95 174

Rˆ = 1,95 ± 2,093

1 − 20 300 20 (12 )

5.904 − 2 (1,95) (3.062 ) + 1,952 (1.626) = 1,95 ± 0,10 20 − 1

2,05 1,85 

b) YˆR = 1,95 (12) ± 0,10 (12 ) = 23,4 ± 1,2 24,6 22,2 7.380 6.660

c) YˆR = 1,95 (12 ) 300 ± 300 (1,2 ) = 7.020 ± 360 

Con los datos del ejercicio 58 se hacen los cálculos de:

Rˆ , YˆR , YˆR

a) Rˆ = 65 = 0,48 136

30 500 30 (5,8) 1−

Rˆ = 0,48 ± 2,045

161 − 2(0,48) (304 ) + 0,48 2 (738) = 0,48 ± 0,03 30 − 1

 0,51  0,45

2,95  2,61

b) YˆR = 0,48 X ± 0,03 X = 0,48 (5,8) ± 0,03 (5,8) = 2,78 ± 0,17 

1.475 1.308

c) YˆR = 2,78 N ± 0,17 N = 2,78 (500) ± 0,17 (500) = 1.390 ± 85 

50


Cap.13 Tablas

61. Solución: x = 72.710 = 2.423,67 30

s = 2.262,45

2.262,45 Xˆ = 2.000 (2.423,67 ) ± 2,045 (2.000) 30 6.536.768,04 Xˆ = 4.847.333,33 ± 1.689.435,71 =  3.157.897,62

El error generado es alto, dado la gran dispersión que se observa en los datos, con costos de $260 miles y de $7.200 miles.

62. Solución: ∑ xi = 72.710

2 ∑ xi = 329.786.500

n = 30

∑ xi yi = 224.171.200

YˆRL = bx + c

Yˆ = 0,6053x + 337,57

∑ yi = 54.140

2 ∑ yi = 186.374.200

YˆRL = 0,6053 (2.728,6) + 337,57 = $1.989,19 miles ( promedio) 1.039,27 2.377,79 ⇒ YˆRL = 1.989,19 ± 388,60 =  YˆRL = 1.989,19 ± 2,048 1  .600,59 30

s 2yx =

186.374.200 − 337,57 (54.140) − 0,6053(224.171.200) 30

2 s yx = 1.080.244,43 ;

s yx = 1.039,27

El coeficiente de correlación: r = 0,7965 ≅ 0,80

51


Cap.13 Tablas


686 = 34,30 aproximadamente 34 visitantes por hora y por almacén 20

El total de visitantes por hora en los 20 almacenes será: Xˆ = nx = 20(34,30 ) = 686 visitantes por hora. Para los 2.000 almacenes, se estima en: Xˆ = 2.000 (34,30) = 68.000 visitantes por hora. b) Yˆ = bx + c ⇒ Yˆ = 1,3934 (37,6 ) − 0,0448 = 52,34 ≅ 52 Visitantes por hora, es el promedio para cada almacén.

Yˆ = 2000 (52,34) = 104.680

Visitantes, es el total de visitantes por hora para los 2.000 almacenes.

64. Solución: a) Los almacenes con un número de visitantes, superior a las 50 personas son los almacenes: 4; 6; 9; 12; 15; 16; 17; 18; 19 y 20 ⇒ Total 10 almacenes p=

∑ ai = 10 = 0,50 ⇒ 50% de los almacenes investigados, tienen más de 50 n

20

personas que los visitan cada hora. b) Podríamos estimar en los 2.000 almacenes, que 1.000 de ellos son visitados por más de 50 personas en una hora. Aˆ = Np = 2.000(0,50) = 1.000 almacenes

NOTA: Se deja al alumno terminar el desarrollo de estos ejercicios.

65. Solución: a) La población está conformada por un número indeterminado de establecimientos que funcionan arrendados. Se forman dos subgrupos: C = establecimientos que funcionan en locales arrendados con baño y C` los que no tienen baño. C

C`

C

C`

52


Cap.13 Tablas

Aj + Aj = N j

409 + 111 = n j

a Pˆj = p J = J = 409 = 0,7865 nJ 520

El error del muestreo para el estimado: pJ qJ nJ

Sˆ PJ =

1 − fJ

Como la fracción de muestreo ( f j ) no se puede determinar por desconocer el valor de N j , se aplica como fracción de muestreo.

f = n = 800 = 0,087 (Siendo mayor a 0,05 para su aplicación) N 9.200

Sˆ PJ =

 409   111      520   520  520

1 − 0,087 = 0,0172

Los límites de confianza del 95% serán:

o

1,72%

Pˆs = p ± z i

pJ qJ nJ

1− fj

0,8202 = 82,02% Pˆs = 0,7865 ± 1,96 (0,0172) = 0,7865 ± 0,0337 =  0,7528 = 75,28% i

b) Para estimar el total de establecimientos en local y sin baño propio, cuando no se conoce el número de ellos en local arrendado, se procede de la siguiente manera: ˆ = N  ∑ a i  = 9.200  111  = 1.276,5 ≅ 1.277 establecimientos A S I  800   n 

 ∑ aJ   n − ∑ aJ     n  ∑ aJ   n   ± Aˆ S = N  ZN  n n I  

1− n N

La confianza será del 95%

 111  Aˆ S = 9.200   ± 1,96 (9.200) I  800 

 111   689      800   800  800

1−

1.487 800 = 1.276,5 ± 210,58 =  9.200 1.066 Establecimientos

c) Se sabe que el total de establecimientos en locales arrendados es de 6.400 y con local propio, de 2.800.

53


Cap.13 Tablas

 ∑ ai  241  = 2.410 Aˆ S = N   = 2.800   n 280   I  

Los límites de confianza del 95%  ∑ ai   n − ∑ ai     n  n a   ∑   i ˆ AS = N   ± ZN n I  n   241   39      280   280  280

 241  Aˆ S = 2.800   ± 1,96 (2.800) I  280 

1− n N

1−

 2.517,73 ≅ 2.518 280 = 2.410 ± 107,73 =  2.800 2.302,27 ≅ 2.302 Establecimientos

Los ejercicios 66 y 67, no se desarrollaron, por lo tanto tendrá que resolverlos el interesado.

68. Solución: Artículos Cantidad exagerada

x =

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

350

100

230

80

120

90

220

80

230

280

120

200

200

200

2.500 = 178,57 14

s = 82,45

79,45 Xˆ = 1.000 (178,57 ) ± 2,160 (1.000) 14

234.856,38 1.000 − 14 = 178.570 ± 47.286,35 =  1.000 − 1 131.283,62

69. Solución: Yˆ = 1,0058 (1.500 ) + 164,363 = 1.673,18 (Se trabajo con calculadora)

Total : Yˆ = 1.000 (1.673,18) = 1.673.177,6 83,81 1.721.559,8 Yˆ = 1.673.177,6 ± 2.160 (1.000 ) = 1.673.177,6 ± 48.382,2 =   1.624.795,4 14

54


Cap.13 Tablas

70. Solución: a) Rˆ = ∑ i = 1.250,6 = 1,21 ∑ xi 1.031,7 y

→

Promedio YˆR = X Rˆ = 105 (1,21) = 127,28

Total: YˆRˆ = N X Rˆ = 500 (127,28) = 63.640

X = 105

y = 1.250 = 125 (Promedio) 10

b) Directo:

Total: Yˆ = 500 (125) = 62.500 Se deja a usted el cálculo de los límites de confianza.

71. Solución: Desarrollaremos este ejercicio para demostrar cómo se aplican estas fórmulas, en la obtención de estimativos para promedios y totales. En primer lugar suponemos que se tiene información para las 28 familias sobre sus niveles de ingreso quincenal obtenidos a través de un censo realizado con anterioridad a la encuesta por muestreo. ∑ xi = 32.210

∑ xi2 = 42.506.100

∑ xi yi = 60.639.500

∑ y i = 46.250

∑ y i2 = 87.416.300

x = 1.150,36 media muestral

Se conoce la media poblacional X = 1.238

∑ yi Rˆ = ∑ xi

46.250 ⇒ Rˆ = = 1,4359 ≡ 1,44 32.210

YˆRS = Rˆ X ± t I

1 − f   n 

YˆRS = 1,44 (1.238) ± 2,045 I

∑ yi2 − 2 Rˆ ∑ xi yi + Rˆ 2 ∑ xi2 n −1

28   1 − 355   87.416.300 − 2 (1,44 ) (60.639.500) + 1,44 2 (42.506.100 )     28 − 1   28    

1.851,01 YˆRS = 1.782,72 ± 68,29 =  1  .714,43 I

El estimativo del total de ingresos en miles de $ en las 355 familias sería:

55


Cap.13 Tablas

YˆRS = NRˆ X ± tN SˆYR I

YˆRS = 355(1,44) (1.238) ± 2,045 (355) I

28   1 − 355     28   

 87.416.300 − 2(1,44) (60.639.500) + 1,442 (42.506.100 )    28 − 1  

657.108,55 | YˆRS = 355 (1.782,72 ) ± 355 (68,29) = 632.865,6 ± 24.242,95 =  I 608.622,65

NOTA: no fueron resueltos los ejercicios desde el 72 hasta el 86. 87. Solución: n01 =

Z12 s12 2 2 (28) = = 25,92 E12 112

n02 =

Z 22 s22 12 (37 ) = = 8,76 ; E22 12,52

2

n1 =

n 01 25 ,92 = ≅ 24 n 01 25 ,92 1+ 1+ 285 N1

2

n2 =

8 , 76 8 , 76 1+ 415

≅ 9

n = n1 + n2 = 24 + 9 = 33 Elementos

88. Solución: Tamaño de la muestra Asignación igual:

n 33 = = 17 2 2

n 1 = 17

n 2 = 17

n = 34 Elementos

Asignación proporcional: W1 =

N 1 285 = = 0,4071 ≅ 0,41 N 700

n1 = W1 (n ) = 0,41(33) = 13,53 ≅ 14

W2 =

N 2 415 = = 0,5929 ≅ 0,59 N 700

n2 = W2 (n ) = 0,59 (33) = 19,47 ≅ 20 ; n = 34 Elementos

Asignación óptima:  W S  nh = n  h h   ∑ Wh S h 

W1 S1 0,41 (28)     n1 = n  = 33    ≅ 12 W S + W S 0 , 41 ( 28 ) + 0 , 59 ( 37 ) 2 2   1 1

56


Cap.13 Tablas

    W2 S 2 0,59 (37 ) n2 = n   = 33   ≅ 22  0,41 (28) + 0,59 (37 )  W1 S1 + W2 S 2  n1 = 12

n 2 = 22

n = 34 Elementos

89. Solución: a) Asignación proporcional e igual n0 =

∑ Wh s h2

(E / Z )

n0 =

2

0,5 (16 ) + 0,3 (25) + 0,2 (36 ) = 115,21 (0,87 / 1,96)2

xst = 0,5 (10) + 0,3 (20) + 0,2 (32) = 17,4 n =

115 , 21 elementos o unidades = 90 115 , 21 1+ 400

(∑W S Asignación óptima: n =

[0,5 (4)

)

 WS Cn  ∑ h h  Cn  2 1 E   + ∑ Wh S h2 N Z h

n=

E = 0,05 (xst ) = 0,05 (17,4) = 0,87

;

h

   

 0,5 (4 ) 0,3 (5) 0,2 (6)  1 + 0,3 (5) 4 + 0,2 (6 ) 9  + +  (8,6) (3,15) = 107 4 9   1 = 2 0 , 1970 + 0,05675  0,87  + 1 [0,5 (16) + 0,3 (25) + 0,2 (36 )]  1,96  400  

]

b)

Elementos



Asignación óptima: n =

[10.000 − n=



(C − C o )  ∑ N h S h  Cn   ∑ N h S h Cn

 200 (4 ) 120 (5) 80 (6 )  9.500]  + +  1 4 9  

[200 (4)

1 + 120 (5) 4 + 80 (6) 9

]

=

(500) (1.260) = 184 Elementos 3.440

NOTA: sobre la información de n = 148 90. Solución: Asignación proporcional (Promedio)

57


xst = 0,5 (10) + 0,3 (20) + 0,2 (32 ) = 17,4

Cap.13 Tablas

s2 Vˆ[x st ] = 12 ∑ N h (N h − nh ) h nh N

Consideramos las varianzas como las obtenidas a través de una muestra, para luego calcular el error de estimación. Vˆ[x st ] = 1 2 355

 200 (200 − 74 ) 16 + (120 − 45) 25 + 80 (80 − 30) 36  = 0,12  74 45 30 

Siendo n = 148 se tiene que n1 = 0,5 (148) = 74

n2 = 0,3 (148) = 45

Xˆ st s = x + Z Vˆ[xst ]

18,08 Xˆ st s = 17,4 ± 1,95 0,12 =  ( promedio) i 16,72

i

n3 = 0,2 (148) = 30

 7.231,58 Xˆ st s = 400 (17,4 ) ± 1,96 (400) 0,12 =  (total ) I  6.688,42

NOTA: en el libro aparece n = 177 en vez de n = 148.

58


Cap.14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística

14 Algunos elementos básicos de las matemáticas aplicados en la estadística El hombre instruido lleva en si mismo sus riquezas Fedro

CONTENIDO Sumatoria, productoria, propiedades Símbolos y operaciones aritméticas, razones y porcentajes Sistemas de ecuaciones, con dos y tres incógnitas 75 ejercicios resueltos

COMPETENCIAS Desarrollar o resolver cualquier ejercicio que aplique la sumatoria o la productoria Manejar correctamente las propiedades de las sumatorias Comprender y manejar símbolos y operaciones aritméticas Resolver ecuaciones con dos y tres incógnitas, aplicadas a algunos temas estadísticos. Capacidad para distinguir y utilizar relativos, proporciones, porcentajes, etc.

ASPECTOS GENERALES Se ha considerado de gran importancia la inclusión de algunos temas, no importa lo resumido de su presentación, ya que el alumno de acuerdo al interés que muestre lo podrá emplear o consultar en libros de matemáticas donde el tema es desarrollado con mayor profundidad.



SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS SUMATORIA SIMPLE Si el alumno desarrolla los ejercicios que se presentan en este tema, será una valiosa ayuda en el aprendizaje de la estadística, en especial para la aplicación y desarrollo de las fórmulas, así como en el uso de las propiedades, que luego serán utilizadas en muchas de las unidades que contiene el libro. Nos encontramos frecuentemente en estadística con la suma de un gran número de términos. Con el fin de simplificar, es indispensable indicar mediante un símbolo dicha suma. Supongamos que se tienen seis números y deseamos sumarlos. S = 7 + 10 + 12 + 18 + 13 + 5 = 65 Lo anterior lo podemos generalizar y anotar, empleando para ello un simbolismo algebráico. S=a+b+c+d+e+f Donde a, b, c,…., toman los respectivos valores de: 7, 10, 12…., hasta completar los sumandos, que en este caso corresponde a seis. Cuando el número de sumandos se hace bastante grande, nos encontramos en dificultad al usar las letras del alfabeto, de ahí que se prefiera la notación n para reunir en una sola cantidad la totalidad de los sumandos. Así, esta suma: X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6

6

La podríamos escribir ∑ X i i =1

Por convención se ha adoptado la letra S del alfabeto griego, es decir, sigma (Σ), que se lee sumatoria, para indicar la suma de n términos. Entonces:

6

∑ X i = X1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6

i =1

En algunos casos se podrá utilizar la letra i en vez de X i . Si generalizamos, tenemos la n

siguiente expresión: ∑ i donde: i =1

n: límite superior de la sumatoria

i: elemento genérico de la sumatoria 2


Σ: sumatoria


i = 1: límite inferior de la sumatoria

Lo anterior, en conjunto, se lee “sumatoria de i = 1 hasta n de i”. En el caso de utilizar a X i observamos que i es la que toma valores desde el límite inferior hasta el límite superior. Como en este caso el límite superior es 6, resultará: X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , X 6 y la sumatoria sería: 6

∑ X i = X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + Y5 + X 6

i =1

Esta es la solución que le daríamos a esa sumatoria de X i . Sin embargo, cada X i , toma un valor, de acuerdo con las observaciones hechas, (en nuestro caso, los numerales 7, 10, 12, 18, 13, 5, respectivamente). Entonces, reemplazando cada X i por su valor correspondiente, la solución a dicha sumatoria sería: 6

∑ X i = 7 + 10 + 12 + 18 + 13 + 5 = 65

i =1

Cuando la sumatoria tiene el término i como elementos genérico, se está indicando que i toma todos los valores, en forma continua, desde el límite inferior hasta el superior. n

∑ i = 1 + 2 + 3 + 4 + ...... + n

i =1

Así, por ejemplo, siendo el límite superior 6 y el inferior 1, se tendrá: 6

∑ i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

i =1

Sin embargo, se puede operar con un límite inferior diferente a uno: 7

∑ i = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25

i =3

9

∑ i = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 35

i =5

También se pueden cambiar los símbolos empleados como elementos genéricos de la suma: 4

∑ Ai = A1 + A2 + A3 + A4

i =1

4

∑ Yi = Y1 + Y2 + Y3 + Y4

i =1

3



En vez de i se podrá emplear otro símbolo, por ejemplo j: 5

4

∑ A j = A2 + A3 + A4 + A5

∑ j = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

j=2

j =1

8

∑ Y j = Y5 + Y6 + Y7 + Y8

j =5

Veamos otras operaciones sobre sumatorias simples: 4

a. ∑ i i = 11 + 2 2 + 33 + 4 4 = 1 + 4 + 27 + 256 = 288 i =1

4

b. ∑ 2i = 21 + 2 2 + 23 + 2 4 = 2 + 4 + 8 +16 = 30 i =1

4

c. ∑ i 2 = 12 + 2 2 + 32 + 4 2 = 1 + 4 + 9 +16 = 30 i =1

2

4  d.  ∑ i  = [1 + 2 + 3 + 4]2 = (10)2 = 100 i =1  2

 3  Es necesario observar que ∑ i ≠  ∑ i  ; si desarrollamos la primera expresión el i =1  i =1  2 2 2 resultado será: 1 + 2 + 3 = 14 y en el segundo caso será (1 + 2 + 3)2 = 6 2 = 36 ; el 3

(

2

)

alumno fácilmente puede confundir las dos expresiones.

Propiedades de la sumatoria Además de que el signo de la sumatoria sea el más utilizado en las operaciones de estadística, las propiedades de la sumatoria tienen su importancia al ser casi las mismas propiedades que presenta la media aritmética y, como tal, se volverá a ver en las medidas de posición.

La sumatoria de una constante k, desde uno hasta n, es igual a n veces la constante: n

∑ K = K + K + K + ..... + K = nK

i =1

4

Ejemplo: ∑ 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 4(2) = 8 i =1

4



n

Se debe tener en cuidado al generalizar que ∑ K = nK i =1

ya que sólo se cumple cuando el

límite inferior es uno. Si es diferente a uno se procederá en la siguiente forma: 6

Si A3 = K ; A4 = K ; A5 = K ; A6 = K

∑ Ai = A3 + A4 + A5 + A6

i =3

6

Entonces, al reemplazar Ai por K , será igual a: ∑ K = K + K + K + K = 4 K i =3

Ahora siendo K = 2 , se tendrá: ∑ 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 4(2) = 8 6

i =3

∑ 2 = [(6 − 3) + 1] (2) = 4(2) = 8 6

Que equivale a:

i =3

∑ 8 = [(10 − 5) + 1] (8) = 6(8) = 48 10

Otro ejemplo:

i =1

La sumatoria del producto de una constante por una variable es igual al producto de la constante por la sumatoria de la variable. n

∑ Ki = K (1) + K (2) + K (3) + ..... + K ( n) = K (1 + 2 + 3 + ..... + n)

i =1

n

n

i =1

i =1

∑ Ki = K ∑ i

∑ 2i = 2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(5) = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 5

i =1

Siendo igual a la expresión de:

Otro ejemplo:

8

8

i =3

i =3

5

2 ∑ i = 2(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 2(15) = 30 i =1

∑ 8i = 8 ∑ i = 8 (3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) = 8(33) = 264

La sumatoria de dos o más variables, es igual a la suma de las sumatorias de cada una de las variables (ley distributiva):

5



∑ ( X i + Yi + Z i ) = ( X 1 + Y1 + Z1 ) + ( X 2 + Y2 + Z 2 ) + .... n

i =3

Siendo:

∑ ( X i + Yi + Z i ) = ∑ X i + ∑ Yi + ∑ Z i n

n

n

n

i =1

i =1

i =1

i =1

4

4

4

4

i =1

i =1

i =1

i =1

2 2 2 ∑ (2i − 6) = ∑ (4i − 24i + 36) = 4 ∑ i − 24 ∑ Z i + 4 (36)

= 4(12 + 2 2 + 33 + 4 2 ) − 24(1 + 2 + 3 + 4) + 144 = 4(30) − 24(10) + 144 = 120 − 240 + 144 = 24

Fórmulas especiales sobre sumatorias Existen algunas fórmulas “especiales” que proporcionan el valor de la suma de n números, comprendidos entre 1 y n, inclusive. n

∑i =

i =1

n( n + 1) 2

Ejemplo 1. 10

∑ i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55

i =1

10

∑i =

i =1

10(10 + 1) 10(11) 110 = = = 55 2 2 2 n

∑ i2 =

i =1

n(n + 1) (2n + 1) 6

Ejemplo 2.

6



10

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∑ i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 385

i =1

10

2 ∑i =

i =1

10(10 + 1) ( 20 + 1) 110(21) = = 385 6 6

 n (n + 1)2  ∑i =   2 i =1   n

3

Ejemplo 3. 5

3 3 3 3 3 3 ∑ i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 225

i =1

2

2  5(5 + 1)   30  = (15)2 = 225 =   2   2 

5

3 ∑ i = i =1 

EJERCICIOS RESUELTOS Desarrollo de algunos ejercicios de sumatoria. 4

1) ∑ i = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 i =1

7

3) ∑ i = 4 + 5 + 6 + 7 = 22 i=4

3

3

i =1

i =1

5) ∑ 2i = 2 ∑ i = 2(1 + 2 + 3) = 2(6) = 12 3

7) ∑ i i = 11 + 2 2 + 3 3 = 32 i =1

6

9) ∑ X i = X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 i =1

3

2) ∑ i 2 = 12 + 2 2 + 32 = 14 i =1

4

4) ∑ i 2 = 2 2 + 32 + 4 2 = 29 i=2

3

6) ∑ 5i = 5(1) + 5(2) + 5(3) = 30 i =1

4

8) ∑ 2i = 21 + 2 2 + 23 + 2 4 = 30 i =1

5

10) ∑ X j = X 2 + X 3 + X 4 + X 5 j=2

7



4

11) ∑ 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 = (2 × 4) = 8 i =1

3

12) ∑ (i + 2) = (1 + 2) + (2 + 2) + (3 + 2) = 12 i =1

3 

2

13)  ∑ i  = [1 + 2 + 3]2 = 6 2 = 36 i =1 

3

3

3

i =1

i =1

i =1

∑ (i + 2) = ∑ i + ∑ 2 = (1 + 2 + 3) + 6 = 12



Escriba en forma explícita las sumas representadas por cada una de las siguientes expresiones: 6

i=2

16) ∑ (Y j + 7)

i =1

9

j=2



4

18) ∑ ( X i + 3) X i

17) ∑ X 2j j =7

Solución:

5

3

15) ∑ ( X i − 2) 2

14) ∑ X i



7

2

19)  ∑ X i  i =1 

i =1



6

14) ∑ X i = X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 i =2

15) ∑ ( X i − 2) = ∑ (X i2 − 4 X i + 4) = ∑ X i2 − 4 ∑ X i + 12 3

3

3

3

i =1

i =1

i =1

i =1

(

)

= X 12 + X 22 + X 32 − 4( X 1 + X 2 + X 3 ) + 12

16) ∑ (Y j + 7 ) = ∑ Yi + 28 = (Y2 + Y3 + Y4 + Y5 ) + 28 5

5

j=2

j =2

9

17) ∑ X 2j =X 72 + X 82 + X 92 j =7

18) ∑ ( X i + 3) X i = ∑ (X i2 + 3 X i ) = ∑ X i2 + 3 ∑ X i = 4

4

4

4

i =1

i =1

i =1

i =1

8


(


)

= X 12 + X 22 + X 32 + X 42 + 3( X 1 + X 2 + X 3 + X 4 ) 2

7  19)  ∑ X i  = ( X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 + X 7 )2  i =1 

Escriba cada una de las siguientes expresiones, utilizando un signo de sumatoria, con los límites de sumación y límites adecuados: 20) X 1 + X 2 + X 3 + X 4

22) X 22 + X 32 + X 42

21) [( X 3 − 4) + ( X 4 − 4) + ( X 5 − 4 )]2

23) Y92 + Y102 + Y112 + Y122 + Y132

4

20) X 1 + X 2 + X 3 + X 4 = ∑ X i

Solución:

i =1

4

21) X 22 + X 32 + X 42 = ∑ X i2 i=2

22) [( X 3 − 4 ) + ( X 4 − 4) + ( X 5 − 4)]2 =  ∑ ( X i − 4) 5

i = 3

2



13

23) Y92 + Y102 + Y112 + Y122 + Y132 = ∑ Yi 2 i =9

Si X 1 = 3 , X 2 = 9 , X 3 = − 7 , siguientes expresiones: 2

24) ∑ ( X i + 1) 4

i=2

X4 = −3,

calcule el valor numérico de las

25) ∑ X i ( X i + 7 )

Solución: siendo X 1 = 3

3

i =1

X2 = 9

X3 = − 7

X4 = −3

9



24) ∑ ( X i + 1) = ∑ (X i2 + 2 X i + 1) = ∑ X i2 + 2 ∑ X i + 3 = ( X 22 + X 32 + X 42 ) + 2 ( X 2 + X 3 + X 4 ) + 3 2

4

i=2

2

4

i=2

[

4

4

i=2

i =2

]

= 9 2 + (−7) 2 + (−3) 2 + 2 (9 − 7 − 3) + 3 = (81 + 49 + 9) + 2(−1) + 3 = 139 − 2 + 3 = 140

25) ∑ X i ( X i − 7 ) = ∑ (X i2 − 7 X i ) = ∑ X i2 − 7 ∑ X i = (X 12 + X 22 + X 32 ) − 7 ( X 1 + X 2 + X 3 ) 3

3

3

3

i =1

i =1

i =1

i =1

[

]

= 32 + 9 2 + (−7) 2 − 7(3 + 9 − 7) = (9 + 81 + 49) − 7(5) = 139 − 35 = 104

X1 = 8

Si

X2 = 4

X3 = 4

X4 = 0

Calcule:

4

4

4

26) ∑ ( X i + 3) 2

27) ∑ ( X i − a) 2 ,

i=2

donde a =

i=2

∑ Xi

i =1

4

Solución: 26) ∑ ( X i + 3) 2 = ∑ (X i2 + 6 X i + 9 ) = ∑ X i2 + 6 ∑ X i + 27 4

4

4

4

i=2

i=2

i=2

i=2

= ( X 22 + X 32 + X 42 ) + 6 ( X 2 + X 3 + X 4 ) + 27 = (16 + 16 + 0) + 6 (4 + 4 + 0) + 27 = 32 + 48 + 27 = 107

27) ∑ ( X i − a) 2 = ∑ (X i2 − 2aX i + a 2 ) = ∑ X i2 − 2a ∑ X i + 4a 2 4

4

4

4

i =1

i =1

i =1

i =1

= ( X 12 + X 22 + X 32 + X 42 ) − 2a ( X 1 + X 2 + X 3 + X 4 ) + 4a 2 = (64 + 16 + 16 + 0) − 2a (8 + 4 + 4 + 0) + 4a 2

10



4

a=

∑ Xi

i =1

4

=

X 1 + X 2 + X 3 + X 4 8 + 4 + 4 + 0 16 = = =4 4 4 4

Reemplazamos a por su valor de 4. Igual a 96 − 2(4)(16) + 4( 4) 2 = 96 − 128 + 64 = 160 − 128 = 32

En los ejercicios siguientes, supóngase que se da un conjunto de números: X 1 , X 2 , X 3 ,.........., X n y que n

∑ Xi

a=

i =1

n

n

Demuestre las relaciones siguientes:

[

28) ∑ ( X i − 3a) 2 − 2aX i i =1

]

 n   ∑ X i  n i =1  = ∑ X i2 +  n i =1

[

2

]

29) ∑ ( Xi − a )2 + X i + (a − 1) = ∑ X i2 − na

[

]

30) ∑ X j (X j − a ) + a 2 = ∑ X 2j n

j =1

n

j =1

31) ∑ ( X i − a )2 + 1  = ∑ X i2 − na 2 + 1 n  

X Solución: a = ∑ i ; an = ∑ X i n

11


n   ∑ X i  n n i =1  28) ∑ ( X i − 3a ) 2 − 2aX i = ∑ X i2 +  n i =1 i =1

[


2

]

2 2 ∑ (X i − 6aX i + 9a − 2aX i ) n

n

i =1

n

= ∑ X i2 − 8a(an) + n9a 2

(

= ∑ X i2 − 8aX i + 9a 2 i =1

n

n

i =1

i =1

)

n

i =1

i =1

= ∑ X i2 − 8a 2 + 9a 2 n = ∑ X i2 + a 2 n

i =1

n   ∑ X i  n i =1 Reemplazando a: an = ∑ X i , se tiene que: ∑ X i2 +  2  n i =1

[

n

= ∑ X i2 − 8a ∑ X i + n9a 2

2

n   ∑ X i  n i =1  n = ∑ X i2 +  n i =1

2

]

29) ∑ ( X i − a )2 + X i (a − 1) = X i2 − na

[

2 2 ∑ X i − 2aX i + a + aX i − X i

]

= ∑ X i2 − 2a ∑ X i + na 2 + a ∑ X i − ∑ X i

= ∑ X i2 − 2a( an) + na 2 + a (an) − an

= ∑ X i2 − 2a 2 n + a 2 n + a 2 n − an

= ∑ X i2 − an

[

]

30) ∑ X j (X j − a ) + a 2 = ∑ X 2j n

j =1

n

[

]

n

j =1

n

n

n

n

n

j =1

j =1

j =1

j =1

j =1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∑ X j − aX j + a = ∑ X j − a ∑ X j + na = ∑ X j − a( an) + na = ∑ X j − a n + a n = ∑ X j j =1

31) ∑ ( X i − a )2 + 1  = ∑ X i2 − na 2 + 1 n   1 n 2 2 2 2 ∑  X i − 2aX i + a +  = ∑ X i − 2a ∑ X i + na + 

n

n

12


= ∑ X i2 − 2a (an) + na 2 + 1


= ∑ X i2 − 2a 2 n + a 2 n + 1 = ∑ X i2 − na 2 + 1

EJERCICIOS MISCELÁNEOS 32) ∑ (i + 1)

33) ∑ (2i + i + 8)

5

4

i =1

i =1

 3   35)  ∑ X i  + 3  i =1  

2

i =1

5

5

i =3

4

5

42) ∑ (3i − 2) 2

i =1

43) ∑ (2i − 2) i

i =1

10

i =1

4

44) ∑ (i − 2)

5

45) ∑ (2i − i + 5)

i =1

i =1

40) ∑ 2i

i =1

41) ∑ (3i − 2)

46) ∑ (i + 1) (1 − 1)

i =1

6  −  ∑ X i   i =1 

2

6

2

6

39) ∑ i

i =1

47) ∑

6  37)  ∑ X i   i =1 

36) ∑ X i + 8

6

X i2

i =1

4

38) ∑ ( X i + 3) 2

6

6

34) ∑ (5i + 8) 2



6

i =1



6



48) ∑ X iYi −  ∑ X i  ∑ Yi  i =1 i =1 i =1 





Nota: considere los valores de X i y Yi para los ejercicios: 4, 5, 6, 7, 16 y 17. X1 = 8

X2 = 0

X3 = 5

X4 = 2

X5 = 3

X6 = 4

Y1 = 2

Y2 = 3

Y3 = 6

Y4 = 2

Y5 = 7

Y6 = 5

Solución: 5

5

i =1

i =1

32) ∑ i + ∑1 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 5(1) = 15 + 5 = 20

13


4

4

4

i =1

i =1

i =1


33) 2∑ i + ∑ i + ∑ 8 = 2(1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3 + 4) + 4(8) = 2(10) + 10 + 32 = 62 6

6

6

6

i =1

i =1

i =1

i =1

34) ∑ (25i 2 + 80i + 64) = 25∑ i 2 + 80∑ i + ∑ 64 = 25 (12 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 ) + 80(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) + 6(64)

= 25(91) + 80(21) + 384 = 4.339

35) [( X 1 + X 2 + X 3 ) + 3]2 = [8 + 0 + 5 + 3]2 = 16 2 = 256 36) ( X 1 + X 2 + X 3 + X 4 ) + 8 = (8 + 0 + 5 + 2 ) + 8 = 23 37) ( X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 ) 2 = (8 + 0 + 5 + 2 + 3 + 4)2 = 22 2 = 484 38) ( X 1 + 3)2 + ( X 2 + 3)2 + ( X 3 + 3)2 + ( X 4 + 3)2 + ( X 5 + 3)2 + ( X 6 + 3)2

(8 + 3)2 + (0 + 3)2 + (5 + 3)2 + (2 + 3)2 + (3 + 3)2 + (4 + 3)2 112 + 32 + 82 + 5 2 + 6 2 + 7 2 = 121 + 9 + 64 + 25 + 36 + 49 = 304

39) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 40) 2(3) + 2(4) + 2(5) + 2(6) = 6 + 8 + 10 + 12 = 36 5

5

i =1

i =1

41) 3∑ i − ∑ 2 = 3(1 + 2 + 3 + 4 + 5) − 5( 2) = 3(15) − 10 = 45 − 10 = 35 4

4

4

4

i =1

i =1

i =1

i =1

42) ∑ (9i 2 − 12i + 4) = 9∑ i 2 − 2∑ i + ∑ µ = 9(12 + 2 2 + 32 + 4 2 ) − 2 (1 + 2 + 3 + 4) + 4 ( 4) = 9(70) − 2(10) + 16 = 630 − 20 + 16 = 626

43) ( 2i − 2)1 + (2i − 2) 2 + (2i − 2) 3 + (2i − 2) 4 + (2i − 2) 5

14



= (2(1) − 2) + (2( 2) − 2 ) + (2(3) − 2 ) + (2(4) − 2) + (2(5) − 2 ) 1

2

= (0)1 + (2) 2 + (4) 3 + (6) 4 + (8) 5

3

4

5

= 0 + 4 + 64 + 1.296 + 32.768 = 34.132

44) (1 − 2) + (2 − 2) + (3 − 2) + (4 − 2) + (5 − 2) + (6 − 2) + (7 − 2) + (8 − 2) + (9 − 2) + (10 − 2) − 1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = − 1 + 36 = 35 4

4

4

i =1

i =1

i =1

45) 2∑ i − ∑ i + ∑ 5 = 2(1 + 2 + 3 + 4) − (1 + 2 + 3 + 4) + 20 = 30 (Se hubiera podido eliminar la segunda sumatoria) 5

5

5

i =1

i =1

i =1

46) ∑ (i 2 − 1) = ∑ i 2 − ∑ i = (12 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 ) + 5(1) = 55 + 5 = 60 47) ( X 12 + X 22 + X 32 + X 42 + X 52 + X 62 ) − ( X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 ) = (8 2 + 0 2 + 5 2 + 2 2 + 32 + 4 2 ) − (8 + 0 + 5 + 2 + 3 + 4) = (64 + 25 + 4 + 9 + 16) − 22 = 118 − 22 = 96

48)

( X 1Y1 ) + ( X 2Y2 ) + ( X 3Y3 ) + ( X 4Y4 ) + ( X 5Y5 ) + ( X 6Y6 ) − ( X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 ) (Y1 + Y2 + Y3 + Y4 + Y5 + Y6 )

= (8( 2) ) + (0(3) ) + (5(6) ) + (( 2(2) ) + (3 (7) ) + (4(5) ) − [8 + 0 + 5 + 2 + 3 + 4][2 + 3 + 6 + 2 + 7 + 5] = [16 + 0 + 30 + 4 + 21 + 20] − [22( 25)] = 91 − 550 = 459

PRODUCTORIA Se utiliza la letra griega pi mayúscula ( π ), que se lee “producto de”, para designar al elemento genérico del producto, que puede ser i, escribiéndose debajo y encima de pi los valores extremos (límites inferior y superior) que toma dicho elemento i. Así: n

Π i = 1.2.3.4........n

i =1

3

Π i 2 = 12 . 2 2 . 32 = 1 . 4 . 9 = 36

i =1

⇔

⇔

5

Π i = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120

i =1

3

Π j 2 = 12 . 2 2 . 32 = 36 i= j

15


4

n

⇔

Π X i = X1 . X 2 . X 3 . X 4 i =1


Π X i = X 1 . X 2 . X 3 .......... . X n i =1

La productoria es utilizada para calcular la media geométrica.

PROPIEDADES DE LA PRODUCTORIA Como en el caso de la sumatoria, también se deben tener en cuenta algunas propiedades de la productoria.

El producto de una constante es igual a una potencia, en donde la base es la constante y el exponente es el límite del producto. n

n

ΠK = Kn

Π K = K . K . K .......... .....K = K n

i =1

i =1

3

Ejemplo: Π 2 = 2 . 2 . 2 = 2 3 = 8 i =1

El producto de una constante por una variable es igual a la constante elevada al límite superior por la productoria de la variable: n n  Π KX i = K n Π X i  i =1 i =1  n

n

i =1

i =1

Π KX i = ( KX 1 ( KX 2 )( KX 3 ).....( KX n ) = ( K . K . K .....) ( X 1 . X 2 . X 3 ...... X n ) = K n Π X i Π 2i = 23 Π i = 8[1. 2 . 3] = 8(6) = 48 3

3

i =1

i =1

n n  n  n  Π X i Yi Z i =  Π X i  Π Yi  Π Z i  i =1  i =1  i =1  i =1 

n n  n  n  Π Π Xi  = Π  Π Xi  j =1  i =1  i =1  j =1 

16



EJERCICIOS RESUELTOS 3

3

49) Π 4 = 4 3 = 64 i =1

4 

3 

50) Π 4i = 4 3 Π i  = 64 (1 × 2 × 3) = 384 i =1 i =1 

 4  

 



51) Π X i Yi = Π X i  Π Yi  = Π X i Yi = [X 1 . X 2 . X 3 . X 4 ] [Y1 . Y2 . Y3 . Y4 ] i =1 i =1 i =1 i =1 4

4

SÍMBOLOS Y OPERACIONES ARITMÉTICAS No se puede entender la estadística sin conocer la manera en que se llevan a cabo las distintas operaciones aritméticas y los símbolos que se utilizan en su estudio. En numerosas ocasiones se presentan serias dudas en cuanto a la manera de hacer ciertas operaciones, para ello se mencionan algunas reglas que se deben tener en cuenta. Regla para las operaciones aritméticas Para evitar confusión se han adoptado ciertas reglas sobre el orden en que se han de realizar las distintas operaciones. Entre otras tenemos:

El orden en que se suman los números no afecta el resultado de la suma. Es lo mismo sumar 6 + 4 + 2 que 4 + 2 + 6, que 2 + 6 + 4, etc. El resultado será siempre 12. En símbolos será: a + b + c = a + c + b = c + b + a = c + a + b = b + a + c = b + c + a

El orden en que multiplican los números no afecta el resultado. Es lo mismo multiplicar 6 × 5 × 2 ; 5 × 6 × 2 que 2 × 6 × 5 , etc. El resultado será siempre 60. Si se van a realizar tanto operaciones de multiplicación como de suma o de resta, la multiplicación debe realizarse primero, a menos que se indique lo contrario por medio de paréntesis, corchetes o algún símbolo de agrupación. Aclaremos lo anterior con algunos ejemplos:

17



52) 17 + 2 × 5 − 4 × 5 + 3 = 17 + 10 − 20 + 3 = 10 53) (17 + 2) × (5 − 4) × (5 + 3) = 19 × 1 × 8 = 152 54) (15 × 8) − 6 × 2 + 7 × 3 × 4 = 120 − 12 + 84 = 192 55) 15 × (8 − 6) × ( 2 + 7 × 3) × 4 = (15 × 2) (23 × 4) = 2.760 Si van a realizarse tanto operaciones de división como de suma o resta, la división debe realizarse primero a menos que se indique lo contrario por medio de paréntesis, corchetes u otro símbolo de agrupación. 56) 35 − 32 ÷ 4 + 12 ÷ 2 + 2 = 35 − 8 + 6 + 2 = 35 57) 35 − 32 ÷ (4 + 12 ÷ 2) + 2 = 35 − 32 ÷ 10 + 2 = 35 − 3,2 + 2 = 33,8 Cuando van a realizarse operaciones de multiplicación y división debe clasificarse la expresión por medio de paréntesis o algún otro símbolo de agrupación para evitar ambigüedad en la expresión. 58) 48 ÷ (12 ÷ 2) = 48 ÷ 6 = 8

( 48 ÷ 12) ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2

59) 96 ÷ (3 × 4) = 96 ÷ 12 = 8

(96 ÷ 3) × 4 = 32 × 4 = 128

Las expresiones 48 ÷ 12 ÷ 2 y 96 ÷ 3 × 4 son ambiguas. Los distintos signos de agrupación como paréntesis ( ), corchetes [ ], y llaves { }, deben usarse para indicar que lo incluido dentro de ellos debe tratarse como si fueran un solo número. Es conveniente, calcular primero el valor de la expresión que está dentro del paréntesis. 60) 25(27 − 2) = 25 (25) = 625 61) 40 1 + 1  = 40 + 40 = 5 + 8 = 13 8

5

8

5

Simbólicamente: 18



a (b + c + d) = ab + ac + ad. Se llama a esta relación la ley distributiva y significa que la relación que a tiene con la expresión en paréntesis se distribuye entre todos los términos del paréntesis.

La barra de una fracción tiene el mismo efecto que un paréntesis: en este caso, tanto el numerador como el denominador se considera como un solo número. 62) 5 + 10 = 15 = 1 3 + 12

63) 24 − 3 = 24 − 3 = 21

15

4

4

4

4

Debe tenerse en cuidado especial con las cancelaciones. Sería incorrecto calcular la expresión anterior en la siguiente forma: 6 24/ − 3 =6 − 3 4/

Un signo de radical tiene el mismo efecto de un paréntesis. Esto es, la expresión del radical se considera como un solo número. Las operaciones dentro del radical deben realizarse antes de extraer la raíz.

EJERCICIOS PARA RESOLVER Y RESPUESTAS 64) Identifique los siguientes símbolos: a. ≠ g. ≅

b. = h. ( )

Respuesta: a. Diferente e. Mayor igual i. Corchete

c. > i. [ ]

b. Igual f. Menor igual j. Llave

d. < j. { }

e. ≥ k. ⇔

f. ≤ l. ⇒

c. Mayor que d. Menor que g. Aproximado h. Paréntesis k. Equivale l. Implica

19



65) Operaciones con números naturales 7.905 − 6.856 2.002 − 1.292 7.303 − 1.698 8.335 − 6.253

Resta:

a. b. c. d.

Producto:

a. 1.228 × 315 b. 3.245.672 × 2.003 c. 1.234.567 × 1.003

Cocientes:

a. 824 ÷ 14 b. 7.245 ÷ 26 c. 1.987.654 ÷ 8.756

Potenciación: a. 63 e. 7 3 − 4 2 Raíz cuadrada de:

c. 33 ÷ 25 g. 67 − 33 ;

b. 36 f. 4 2 + 32

a. 841

b. 10.201

d. 9 6 − 39

c. 254.016

Respuesta: Resta:

a. 1.049

b. 710

c. 2.605

Producto:

a. 386.820

b. 6.501.081.016

c. 1.238.270.701

Cociente:

a. 58,857

b. 287,65

c. 277,0

Potenciación:

a. 216 e. 327

b. 729 f. 25

c. 0,84375 g. 279.909

b. 101

c. 504

Raíz cuadrada: a. 29

d. 2.082

d. 511.758

66) Operaciones con racionales (fracciones) Simplificar:

a. 28 36

b. 54 96

c. 539

833

20



Amplificar:

a. 1 = ?

b. 2 = ?

Suma:

a. 5 + 11

b. 3 + 1 + 2

c. 12 5 + 13 7

Resta:

a. 3 − 1

b. 1 − 1 − 1

c. 9 1 − 7 2

Multiplicación:

a. 4 × 10

b. 5 × 7

c. 5 1 × 2 2

División:

a. 5 ÷ 2

b. 72 ÷ 6

c. 6 3 ÷ 3 1

Simplificar:

a. 7

b. 9

c. 11

Amplificar:

a. 2

b. 8

c. 3

Suma:

a. 51

b. 1.407

c. 1.437

Resta:

a. 5

b. 14

c. 9

Multiplicación:

a. 40

b. 35

c. 420

División:

a. 15

b. 936

c. 630

2

8

4

64

5 10

5

6

9

3

3

21

2

c. 1 = ?

12

2

8

13

49

39

6

40

6

6 10

3

4

91 13

9

9

7

4

Respuesta: 9

4

64

10

45

12

16

17

12

39

2.058

54

40

6

60

36

546

172

67) Operaciones con números irracionales Suma:

a. 6 5 + 8 5 + 7 5

b. 1 8 + 6 + 2 8 + 1 6 + 1 8

Resta:

a. 7 3 − 4 3

b. 11 5 − 2 5 − 5

8

3

4

21



Multiplicación:

a.

6

b.

2 .

División:

a. 8 ÷ 6

b.

60 ÷ 5

Suma:

a. 21 5

b. 19 8 + 4 6

Resta:

a. 3 3

b. 8 5

Multiplicación:

a. 18

b. 170

División:

a.

3 .

5 .

7

c. 3 500 ÷ 3 20 5

2

Respuesta:

8 = 6

8

8 6

3

c. 6 25

b. 12

12

68) Regla de los signos:

a. ( +) ( +)

b. ( −) ( −)

c. ( +) ( −)

d. ( −) (+)

Respuesta:

a. +

b. +

c. –

d. –

69) Productos notables Resolver los siguientes productos: a. ( a + b) 2

b. ( a − b) 2

c. ( a + b) 3

d. ( a − b) 3

e. (3 y + 4) 3

f. ( 2 x + 1) (2 x − 1)

Efectuar los siguientes productos: a. ( a + 2)(a + 3)

b. (9 y + 6)(10 x − 7)

Descomponer en un producto de dos factores: a. x 2 + 6 x + 8

b. a 2 − 5a + 6

c. x 2 − 5 x − 84

Completar los siguientes cuadrados de binomios: a. x 2 + 10 x + ...

b. m 2 − ... + 36n 2

c. ... + 42 x + 49

d. 4a 2 + 20a + ... 22



Respuestas: Resolver los siguientes productos: a. a 2 + 2ab + b 2

b. a 2 − 2ab + b 2

c. a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

d. a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

e. 27 y 3 − 108 y 2 + 144 y − 64

f. 4 x 2 − 1

Efectuar los siguientes productos: b. 90 xy + 60 x − 63 y + 42

a. a 2 + 5a + 6

Descomponer en un producto de dos factores: a. (x + 4) (x + 2 )

b. (a − 3) (a − 2)

c. ( x − 12)( x + 7)

Completar los siguientes cuadrados de binomios: a. x 2 + 10 x + 25

b. m 2 − 72mn + 36n 2

c. 9 x + 42 x + 49

d. 4a 2 + 20a + 25

70) Eliminar paréntesis: a. 4 + (3 − 1) Respuesta:

b. (14 + 1 − 2) + 11 a. 6

b. 24

c. (3 + x) − (2 − x) c. 2 x + 1

d. ( y + 5 x) + 3 − (2 x − 2 y ) d. 3 y + 3x + 3

71) Redondear hasta la décima cada uno de los números siguientes: a. 425,76 d. 0,76 g. 8,43

b. 3.006,009 e. 0,076 h. 0,05

c. 25,67 f. 0,009 i. 4.374,835

23


Respuesta:

a. 425,8 d. 0,8 g. 8,4

b. 3.006,0 e. 0,1 h. 0,1

72. Escribir el signo apropiado (>, <) Respuesta:

a. >

b. >

c. >

a. 4...1,6


c. 25,7 f. 0,0 i. 4.374,8

b. 3... − 6

c. 7 + 5...32

d. 1,5... 2 3

d. >

RAZONES Y PORCIENTOS Para facilitar el análisis y la interpretación de datos estadísticos se utilizan con frecuencia razones y porcentajes. Una razón es una comparación de una magnitud con otra, como múltiplo o como fracción. Supongamos que la empresa A tiene 789 trabajadores, de los cuales 526 son mujeres y 263 varones. La relación existente entre los trabajadores mujeres y trabajadores varones podría expresarse por medio de la fracción 526/263. Esta fracción no aclararía gran cosa. Podría decirse también que es una razón de 526 a 263. Esto tampoco aclararía mucho. Si se dice, sin embargo, que el número de mujeres que trabajan en la empresa A llevan ventaja a los hombres en una proporción de dos a uno, tenemos realmente una cifra que nos ayuda en la interpretación de los datos. Con frecuencia se expresan las razones usando una base de 100, o múltiplo de 10. Se prefiere decir 200/100 o 200 a 100, en vez de 400/200 o 400 a 200. Los cuatro conceptos indican lo mismo, pero se hace más fácil entender las razones cuya base es 100. Una forma especial de este tipo de razón es el porciento. En el ejemplo anterior podríamos decir que el número de empleados mujeres es 200% del número de empleados varones. Cuando las razones se expresan en forma de porcentajes se facilita la comparación. En el ejemplo anterior podríamos comparar el porcentaje de varones en esta empresa con el porcentaje de varones en otras empresas.

USO DE PORCENTAJES Los porcentajes pueden usarse en diferente forma al establecer comparaciones. Algunas formas son las siguientes:

24



Comparación de una parte con el total. En este caso se comparan los diferentes componentes de un total. Así podría indicarse que en un almacén las ventas del departamento de ropa para mujeres representaron el 42% del total, mientras que las ventas del departamento de muebles representaron el 23% de dicho total. La suma de los porcentajes que representaron las ventas en cada departamento es de 100%. Comparación de dos partes de un total. Consiste en establecer la comparación entre dos componentes de un total, Podría así decirse que las ventas en el departamento de ropa para mujer fueron el 183% de las ventas del departamento de muebles. Podría también decirse que las ventas del departamento de ropa para mujer fueron 83% mayores que las ventas del departamento de muebles, o que las ventas del departamento de muebles representaron únicamente el 55% de las ventas del departamento de ropa para mujer. La forma en que se hace la comparación depende del análisis que quiere dársele a las distintas partidas. Comparación de un total con otro total. Pueden establecerse comparaciones entre las ventas de una empresa y las ventas de otra empresa. Podría indicarse, por ejemplo que las ventas de la empresa A son el 75% de las ventas de empresa B.

CORRECTO USO DE LOS PORCENTAJES Aunque el uso de los porcentajes está muy generalizado, muchas veces se establecen comparaciones que no se justifican y que dan impresiones erróneas. Esto sucede a pesar de la corrección del cálculo aritmético. En el uso de los porcentajes deben evitarse los siguientes errores: Comparación entre dos cifras cuando la base y la magnitud a comparar son pequeñas. El ejemplo clásico de esto es el de la universidad que admitió señoritas por primera vez a sus planteles. Poco tiempo después se indicaba que el 33,3% de las estudiantes admitidas se casaban con profesores de la facultad. Al examinar la declaración con más detalle se encontró que solamente, se habían admitido tres estudiantes y que una de ellas se había casado con uno de los profesores. No hay duda de que el cálculo de porcentajes en esta forma tiende a producir una impresión completamente errónea debido al número tan pequeño de estudiantes consideradas. Generalmente no se deben calcular porcentajes cuando la base a usarse es menor de 100. Comparación de cifras usando base demasiado pequeñas. En otras palabras, no deben establecerse comparaciones cuando la base es muy pequeña, ya que el porcentaje resultará tan grande que dificultará la comparación en vez de facilitarla. 25



Si una persona indica que el capital de una empresa aumentó en 1.355% durante los últimos 15 años, no está realmente simplificando y aclarando. Esto más bien sirve para oscurecer la realidad. Comparación de cifras usando bases demasiado grandes. Esta es la situación contraria de la mencionada anteriormente. Si se quiere indicar la posición de un grupo profesional u ocupacional dentro de la población total y se dice que este grupo representa una décima parte del 1% de la población en un país y que en otro país este grupo ocupacional representa 3/10 del 1% de la población total, no se está haciendo una comparación que puede captarse con facilidad. En este caso sería mejor usar las cifras absolutas de ambos países.

Comparación de los cambios en porcentajes olvidando referirse a las bases de los mismos. No se pueden comparar los cambios en porcentajes sin referirse a la base sobre la cual éstos están calculados. Si las ventas en el departamento de ropa para hombres en una tienda aumenta en 40% sobre una base de $20.000.000,oo y las ventas del departamento de muebles de la misma tienda bajan un 40% sobre una base de $100.000.000,oo, no se puede suponer que estos dos porcentajes se cancelan uno a otro y que no ha habido disminución en las ventas totales. Al considerar los dos departamentos unidos, se notará que las ventas disminuyeron en $32.000.000,oo, resultado de un aumento de $8.000.000,oo en el departamento de ropa para hombres y una disminución de $40.000.000,oo en el departamento de muebles. Uso de porcentajes olvidando los cambios en las magnitudes. Deben observarse los cambios en las magnitudes, ya que en ocasiones los porcentajes pueden aclarar, mientras que en otros casos pueden confundir. Si el precio de un artículo aumenta de $360.000 a $480.000 en un mes, la declaración de que este aumento de sólo $120.000 no es sustancial, es contraria al hecho de que el aumento es de 33,33%, relativamente grande, si se considera la importancia de este artículo en la canasta familiar o artículos de primera necesidad. Por otro lado, una firma comercial que ha operado por dos años, indica que sus beneficios aumentaron en 100% entre estos dos años. Dicho porcentaje puede ocultar el hecho de que las utilidades del primer año fueron mínimas y que el aumento entre ambos años es ínfimo en términos absolutos.

ALGUNAS RAZONES QUE SE USAN COMÚNMENTE Razones per-cápita. Muchas cifras adquieren mayor significación cuando se expresan en términos de per-cápita, esto es, por cabeza o persona. Por ejemplo, un país A importó de Estados Unidos mercancía 26



por valor de $802,4 millones. En ese mismo año las importaciones de un país B provenientes de los Estados Unidos ascendieron a $547,6 millones. La población del país A en esa fecha era de 34,3 millones mientras que la del país B ascendía a 6,4 millones. Dividiendo las importaciones entre la población de los países, encontramos que, en términos per-cápita del país A ascendieron a US$23.39 (US$802,4 millones ÷ 34,3 millones) mientras que las del país B ascendieron a US$81,73 (US$547,6 millones ÷ 6.7 millones) Densidad de población. En ocasiones resulta más interesante comparar la densidad poblacional de dos países en lugar de su población total. El estimado de la población a mediados de año de un país A ascendió a 94.050.000 personas. La misma cifra para un país B fue de 3.500.000. La densidad poblacional de A en ese año era de 254 personas por kilómetro cuadrado, ya que su superficie es de 369.661 kilómetros cuadrados. Con una superficie de 1.096.581 kilómetros cuadrados, la densidad poblacional de B fue en ese año de 3 personas por kilómetro cuadrado. Tasas de natalidad y mortalidad. La tasa de natalidad se obtiene dividiendo el número de nacimientos en un año, por la población de mitad de año del país. A julio de 2007, la población en un país cualquiera, supongamos, ascendía a 20 millones de personas. Durante ese año considerado hubo un total de 662.884 nacimientos. La tasa de natalidad fue de 33,14 nacimientos anuales por cada 1.000 habitantes (662.884 ÷ 20.000.000 = 0,03314 × 1.000 = 33,14). En ese mismo año hubo un total de 169.000 muertes. La tasa de mortalidad se calcula en la misma forma que la tasa de nacimientos, esto es, dividiendo las muertes ocurridas en el año por la población a mediados de año. La tasa de mortalidad fue de 8,4 personas por cada 1.000 habitantes (169.000 ÷ 20.000.000 × 1.000). La diferencia entre la tasa de natalidad y la tasa de mortalidad, representa el crecimiento natural biológico o vegetativo de la población. En se mismo año este crecimiento fue de 23,0 personas por cada 1.000 habitantes. Las tasas de desempleo representan el número de desempleados por cada 100 personas, del grupo económicamente activo. El grupo trabajador es la suma de los empleados y desempleados. Supongamos que en abril de 2007 el grupo trabajador en un país A ascendía a 6.000.000 de personas. De este total había 5.100.000 empleados y 900.000 desempleados. La tasa de desempleo fue de 15,0%.

27



SISTEMAS DE ECUACIONES Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Cuando tenemos dos o más ecuaciones con el mismo número de incógnitas, lo denominamos sistema de ecuaciones. Los valores o raíces de las ecuaciones deben ser los mismos para todo el sistema. Para resolver sistemas de ecuaciones se puede emplear cualquiera de los tres métodos siguientes: a. Igualación b. Sustitución c. Eliminación

SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS a. Método de igualación. La forma general será:

(1) ax + by + c = 0 (2) a' x + b' y + c' = 0

Se despeja una de las incógnitas en ambas ecuaciones: (1) X =

− c − by a

(2) X =

− c'−b' y a'

c − by − c' − b' y = a a'

“Dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre si” a' ( −c − by ) = a(−c' − b' y )

Quitamos denominadores, agrupamos términos semejantes, sacamos factor común, despejamos y − a' c − a' by = − ac' − ab' y ab' y − a' by = a' c − ac' y ( ab' − a ' b) = a ' c − ac'

28


y=


a ' c − ac' ab' − a' b

Para averiguar el valor de x reemplazamos el valor que hemos encontrado para y en cualquiera de las ecuaciones, (1) o (2).

− c − by (1) X = = a

X =

X =

−c

 a ' c − ac'  − c − b   ab'− a' b  a

− b(a ' c − ac') ab' − a' b − ab' c + a' bc − a' bc + abc' = a a (ab' − a' b)

a(bc' − b' c ) bc' − b' c ∴X = a(ab' − a' b ) ab' − a ' b

Anular valores sirve, igualmente para las dos ecuaciones, convirtiéndolas en una identidad al reemplazarlas por las incógnitas. Ejemplo numérico: (1) 2 X − Y = 1

(2) X + 3Y = 11

(1) X = 1 + Y

(2) X = 11 − 3Y

2

1 + Y = 11 − 3Y 2 →

1 + Y = 2 (11 − 3Y )

1 + Y = 22 − 6Y

7Y = 21

Y + 6Y = 2 − 1

Y =3

Reemplazando el valor del Y en la ecuación (2) X = 11 − 3 (3)

X = 11 − 9 = 2

X = 2 Raíces  X = 3

b. Método de sustitución. Para resolver un sistema de ecuaciones por este método, se despeja una de las incógnitas en una ecuación y se reemplaza su valor en otra ecuación. (1) ax + by + c = 0 29



(2) a' x + b' y + c' = 0 (1) X =

− c − by a

Reemplazar este valor de X en (2)

 − c − by  a'   + b' y + c' = 0  a   − c − by  a'   + b' y + c ' = 0 a  

Quitamos denominadores

a' (− c − by ) + ab' y + ac' = 0 − a' c − a' by + ab' y + ac' = 0 y ( ab' − a' b) = a' c = ac'

y=

Agrupamos términos semejantes y sacamos factor común: Despejamos y

a ' c − ac' ab' − a' b

Para encontrar el valor de la segunda incógnita, se sigue el mismo procedimiento que para el método de igualación, reemplazando en cualquiera de las ecuaciones el valor de Y. Ejemplo: (1) 2 X + Y = 4

(2) 6 X − 2Y = 2

(1) Y = 4 − 2 X

Reemplazamos en (2)

6 X − 2( 4 − 2 X ) = 2 ;

6X − 8 + 4X = 2 ;

6X + 4X = 2 + 8 ;

10 X = 10 ;

X =1

Reemplazamos en Y = 4 − 2(1) = 4 − 2 = 2

c. Método de eliminación. Consiste este método en eliminar una de las incógnitas sumando ambas miembro a miembro. Para ello es necesario que los coeficientes de la incógnita a eliminar sean iguales y de signo contrario. (1) ax + by + c = 0 30



(2) a' x + b' y + c' = 0 Vamos a hacer los coeficientes de X en (1) y (2) iguales, multiplicando a a’ por un número tal que: a = k a’; a continuación multiplicamos por (-1) a la ecuación (2) y seguidamente sumamos miembro a miembro. ax + by + c = 0 − a' kx − b' ky − c' k = 0 ax − a' kx + by − b' ky + c − c' k = 0 x(a − a ' k ) + y (b − b' k ) + (c − c' k ) = 0

a − a' k Sabemos que es igual a 0; quedará la ecuación: y (b − b ' k ) + ( c − c ' k ) = 0

y (b − b ' k ) = c ' k − c

y = c' k − c b − b' k

Para averiguar el valor de la otra incógnita bastará reemplazar el valor obtenido para Y en cualquiera de las ecuaciones (1) o (2). Ejemplo:

(1) X + Y = 3 (2) 5 X − 2Y =1 5( x + y ) = 5(3) 5 x + 5 y = 15 − 5 x − 5 y = − 15

Vamos a eliminar X. En la (1) multiplicamos por 5: Multiplicamos por (-1)

(1)

Y la sumamos a la (2)

(1) − 5 x − 5 y = − 15 5x − 2 y = 1

(2)

0 − 7 y = − 14

Para el valor de X reemplazamos en la (1) x + 2 = 3 ;

y = − 14 = 2 −7 x = 3− 2 =1

Ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Solución de ecuaciones completas, es decir, cuando constan de un término en segundo grado, otro en primer grado y el término independiente.

31



Ecuación de la forma: ax 2 + bx + c = 0

− b ± b 2 − 4ac x= 2a

NOTACIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES

El frecuente uso de sistemas de ecuaciones con varias incógnitas y la dificultad en su solución recomienda emplear, hasta donde sea posible, un método uniforme para encontrar soluciones. El álgebra matricial nos permite el desarrollo de un método que tiene como característica principal, la de constituirse en un proceso que no se altera, cualquiera que sea el número de incógnitas o de ecuaciones, el mismo tiempo que proporciona información apropiada para decidir sobre la consistencia o compatibilidad del sistema y sus soluciones. En la solución de sistemas lineales (n ecuaciones con n incógnitas) existen dos métodos desarrollados por Gauss y Jordan, respectivamente, en los cuales se sistematiza el método de eliminación de incógnita, mediante continuaciones lineales de las ecuaciones del sistema final en el que cada ecuación contenga una sola incógnita, diferente en cada una de ellas.

Ejemplo:

X1 + 4 X 2 − X 3 = 6 2 X1 + 5X 2 − 7 X 3 = − 9 3X1 − 2 X 2 + X 3 = 2

Desarrollo: a b c

X1 + 4 X 2 − X 3 2 X1 + 5 X 2 − 7 X 3 3X1 − 2 X 2 + X 3

6 -9 2

a1 = a b1 = b − 2a c1 = c − 3a

X1 + 4 X 2 − X 3 0 − 3X 2 − 5X 3 0 − 14 X 2 − 4 X 3

6 -21 -16

X1 + 4 X 2 −

b2 = − b1 (1 / 3)

X3 5 0 + X2 + X3 3 0 − 14 X 2 − 4 X 3

Primera etapa

6 7 -16 32


a2 = a1 − 4b2 b2

c2 = c1 + 14b2 a3 = a2 + (23 / 3)c3 b3 = b2 + (5 / 3)c3 c3

Las soluciones son:

X + 0 − 23 X 3 3 5 0 + X2 + X 3 3 0 + 0 + 82 X 3 3 X1 + 0 + 0 0 + X2 + 0 0 + 0 + X3

X1 = 1


-22 7

Segunda etapa

82 1 2 3

X2 = 2

Tercera etapa

X3 = 3

Del anterior ejercicio podemos observar: • • •

El desarrollo consta de tantas etapas como incógnitas o ecuaciones se tengan. El objetivo final de estas etapas consiste en transformar la matriz de los coeficientes en la matriz unitaria. Cada etapa tiene como objetivo la eliminación de una incógnita en todas las ecuaciones salvo una, y será en esa ecuación donde se hallará el valor de esa incógnita.

El proceso de eliminación es el de reducción, simplificando. Para ellos se efectúan divisiones de modo que el coeficiente de la incógnita por eliminar sea el valor “1” en la ecuación que tiene dicha incógnita. Luego por simple multiplicación y adición o sustracción se elimina la incógnita deseada en las demás ecuaciones.

EJERCICIOS PARA RESOLVER Y RESPUESTAS Resolver los sistemas de ecuaciones de primer grado 73) Por sustitución: a. x − 2 y = 3 4 x + 3 y = 45

b. 8 x + 3 y = 25 5 x + y = 13

74) Por igualación: a. 11x − 36 y = 26

b. 21x + 35 y = 91

7 x + 12 y = 34

3 x + 7 y = 17

33


75) Por reducción: a. 6 x + 15 y = 117

b. 13x − 12 y = 30

5 x + 13 y = 100

9 x + 4 y = 70


Respuestas: 73) a. y = − 6,6

b. x = 2

x = 16,2

y=3

75) a. x = 95,1

b. x = 1

y = 3,9

y=2

74) a. x = 7

b. x = 6

y=5

y=4

SÍNTESIS DEL CAPÍTULO Tener una buena formación matemática es una gran ayuda y ventaja para entender la teoría estadística; sin embargo en el desarrollo de los diferentes capítulos que contiene este libro, su uso ha sido bastante restringido, sólo aplicado en aquellos casos en que son estrictamente necesarios, buscando que los temas sean más comprensibles para aquellas personas que tiene cierto grado de dificultad en esta disciplina. Es esa a razón por la cual se ha considerado necesario incluir un capítulo que contenga algunos aspectos, tales como: sumatorias y productorias; uso de símbolos y operaciones elementales; razones y porcientos; finalmente solución a ecuaciones de primer y segundo grado. Con ello el estudiante estará en condiciones de utilizar el presente contenido. Es recomendable al usar porcientos, tasas, proporciones, razones, ratios, un mayor conocimiento sobre sus aplicaciones y las diferencias que hay entre sí, ya que 34



frecuentemente son mal utilizados, y desorientan al lector al hacer comparaciones en forma indebida. En algunos capítulos venideros, el estudiante va a tener necesidad de su uso, como por ejemplo en números índices; distribuciones de proporciones; pruebas de hipótesis con proporciones, como en el capítulo de probabilidades se dan resultados algunas veces en ralitivos y en otros porcentajes.

35

281468506-Solucionario-Estadistica-y-Muestreo-Ciro-Martinez-Bencardino.pdf

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