Universidad de Granada
Curso 2010-2011
Antenas y Propagación
Problemas de Antenas y Propagación
Profesor: Ignacio Sánchez García 4º Curso de Ing. de Telecomunicación Curso 2010-2011
Escuela Técnica Superior de Telecomunicacione Telecomunicacioness Antenas y Propagación Propagación Curso 2010-2011
RELACIÓN DE PROBLEMAS Tema 1.- Fundamentos Físicos de la Radiación 1. Un campo magnético en el espacio libre, en ausencia de densidades de carga y de corriente, viene dado por (con a, n y ω constantes)
B a sen(t nx) i
ˆ
a n y cos( t nx) j
ˆ
Usar las ecuaciones de Maxwell para obtener la expresión, en el dominio del tiempo, del campo eléctrico en la región. Solución: E ( x, y, z, t )
an2 y 0 0
cos t nx k ˆ
2. Un medio se dice dispersivo cuando la relación entre la frecuencia y el número de ondas no es lineal, generalmente porque su permitividad y permeabilidad son funciones de la frecuencia. Suponga que la permitividad de un medio puede escribirse como
0 1 2 1 2 0
Determínese la relación de dispersión que liga ω y k para una onda plana que se propaga en este medio. Supóngase que la permeabilidad del medio es la del vacío para todas las frecuencias y que la conductividad es nula. Haga un análisis del comportamiento en frecuencia de este medio
Solución:
k 0 0 1 2 1 2 0 0 k 0 0 1 medio con r (1 (1 ) análisis asintótico k 0 0 onda propagándose en el vacío
3. En la región 1 de la figura, se tiene un campo eléctrico en la interface dado por
E 2 j 3k V/m. Obtener el campo eléctrico en la interface de la región 2 ˆ
ˆ
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Solución: E
1
i
ˆ
2
3
j 3k [V/m]
ˆ
2
ˆ
4. Considere los campos:
E a sen ky t k ˆ
B b sen( ky t )i
ˆ
a) Encontrar las condiciones que deben cumplir a, b, k y ω para que estos campos se correspondan con verdaderos campos electromagnéticos en el vacío (ausencia de cargas y corrientes) b) Calcular los potenciales V y A para los campos anteriores tales que cumplan el Gauge de Lorenz (invariante de Lorenz) Solución:
a)
b ; =ck ; a=bc 0 ; A a cos ky t k
ak
b) V
ˆ
5. El potencial vector magnético de una onda viajera es A A x sen t k 0 z i donde Ax es ˆ
una constante. Encontrar el campo electromagnético asociado
E ( z, t ) A x cos t k0 z i [V/m] k 0 H ( z , t ) A x cos t k 0 z j [A/m] 0 ˆ
Solución:
ˆ
6. En una región del vacío libre de cargas y de corrientes, el campo eléctrico es:
E E0 cos( t ) cos(kz)i
ˆ
A partir de dicho campo, calcular: a) El campo magnético b) La relación de dispersión que liga ω con k c)
La densidad de energía eléctrica
d) La densidad de energía magnética e) La densidad de energía total f)
El promedio temporal de las anteriores c antidades
Escuela Técnica Superior de Telecomunicacione Telecomunicacioness Antenas y Propagación Propagación Curso 2010-2011 g) El vector de Poynting h) ¿A qué corresponde este campo eléctrico? Solución:
a) B( z , t )
E 0 c
sen( t )sen(kz ) j
ˆ
ck 1 2 2 2 c) ue 0 E0 cos ( t ) cos (kz kz ) 2 1 2 2 2 d) um 0 E0 sen ( t )sen (kz ) 2 1 2 e) u ue um 0 E0 1 cos(2 t ) cos(2kz ) 4 1 1 f) ue 0 E02 cos 2 (kz ) ; um 0 E02 sen 2 (kz ) ; u 4 4 b)
g)
S
EH j *
1 E 02 0 c
1 4
0E02
sen(kz ) cos(kz)k S 0 ˆ
h) Corresponde a una onda estacionaria 7. El campo electromagnético debido a una antena corta tiene por potencial
0 I 0 L e j ( t kr )k 4 r
A Re
ˆ
Siendo I0 la amplitud de la intensidad oscilante y L la longitud de la antena a) Hallar el campo magnético y, a partir de este, el campo eléctrico en todos los puntos del espacio b) ¿A qué se reducen los campos E y B cuando r es muy grande? c)
Hallar el valor del vector de Poynting para r muy grande, su promedio sobre un periodo y su flujo a través de una superficie esférica.
Solución:
1 2 e jkr s en 4 r r 1 1 I L 1 1 E 0 2 c o s r r r2 4 0c jkr 3 r 2 B
a)
0 I 0 L jk
ˆ
ˆ
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sen jkr 3 1
e jkr ˆ
0 I 0 L jk jkr B e s en 4 r kr 1 E I 0 L jk e jkr s en 4 0c r ˆ
b)
ˆ
c)
S
I 02 L2k 2
sen r S 2
32 2 r 2 0c
ˆ
I 02 L2k 2 32 2 r 2 0c
sen r 2
ˆ
S
dS
I 02 L2k 2
12 0c
8. El fasor campo magnético de una onda plana propagándose por un medio dado es 4
H ( x, t ) 0.02e10 x sen(2 10 109 t 104 x)k A/m ˆ
Se pide: a) Decir que tipo de medio es. Justificar la respuesta. b) Calcular la conductividad y la impedancia intrínseca del medio. Suponer μ=μ0. c) Escribir los fasores correspondientes a los campos magnético y eléctrico. d) Calcular los vectores densidades de potencia instantánea y media. Solución: a) El medio es un buen conductor.
b) c)
25.33 103 ( S / m) ; =0.55845º () 104 x
H ( x) j 0.02e
104 x
k ( A / m) ; E( x) j0.0111e ˆ
e
j 104 x
s en t 10 4 x sen t 10 4 x i W 2.232 104 e 210 xse 4 S 8.2024 105 e 210 xi W / m 2
S d)
e
j104 x
4
ˆ
e
j
4
j (V / m)
ˆ
/ m2 ;
4
ˆ
9. Obtener la expresión de los campos electromagnéticos producidos por distribuciones de equivalentes de carga y corriente magnéticas. Solución: Teoría
10. Haciendo uso de la aproximación de campo lejano, obtener las expresiones de los campos de radiación producidos por distribucio nes equivalentes de carga y corriente magnéticas. Solución: Teoría
11. En un medio no magnético, el campo eléctrico viene dado por
E ( x, t ) 4sen(2 10 107 t 0.8x )k V/m ˆ
Se pide: a)
r ,
b) La densidad de potencia promedio temporal que porta la onda c)
2
La potencia total que atraviesa 100 cm del plano 2x+y=5
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Solución:
a)
r 14.59 ; = 98.7
b)
81.05 mW/m2 P 724.48 W
c)
12. Dos ondas planas se propagan en la misma dirección. Ambas tienen la misma frecuencia y tienen igual amplitud. La onda A está polarizada linealmente en la dirección del eje x y la onda B está polarizada en la dirección i
ˆ
j . Suponiendo que la onda B tiene un pequeño ˆ
retraso, θ, respecto a la onda A, ¿cuál es la polarización de la suma de ambas ondas? Solución: La polarización es RHEP
13. La intensidad del campo magnético de una onda viene dada por
H ( x, t ) j100 cos(t x ) k 200 cos(t ˆ
ˆ
x
2
)
¿Cuál es la polarización de esta onda? Solución: La polarización es RHEP
14. Una antena produce una intensidad de campo eléctrico en zona de campo lejano de
E j
V 0 R
e
jk0 R
sen donde k 0 es la constante de fase en el espacio libre, R es la ˆ
distancia punto fuente al punto campo y θ es el ángulo con respecto a la vertical (eje z). Calcular: a) La densidad de potencia media b) La potencia total radiada por la antena Solución:
a)
b) Prad
V 02
2 R
2
sen2 r W / m2
4 V 02 3
ˆ
W
15. Demostrar que: a) El vector de Poynting promedio de los campos cercanos creados por un dipolo Hertziano es imaginario puro. b) El vector de Poynting promedio de los campos lejanos creados por un dipolo Hertziano es real Solución: Teoría
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Tema 2.- Parámetros Básicos de Antenas
()
1. La intensidad de radiación de una antena viene dada por
a) Dibujar el diagrama de radiación en representación polar b) A partir de la intensidad de radiación, obtener la directividad Solución:
a) b) D = 5.23 (D=7.18 dB)
̂
2. Obtener la directividad de una antena que radia un campo cuya expresión es
2
G(θ,φ)=1.5 sin θ , D = 1.5 (D=1.76 dB) Solución: G(θ
3. Suponga una antena antena que tiene una potencia de entrada de 40π 40π *W+ y una eficiencia del 98%. Si la intensidad de radiación máxima es de 200 [W/str], calcular la directividad y la ganancia de la antena en dB G(θ,φ)=20 (G(θ (G(θ,φ)=13.01 dB) Solución: D = 20.4 (D=13.098 dB), G(θ
( ) ( ) () ̂
4. Una antena radia un campo magnético que viene dado por la expresión
a) Representa el diagrama de radiación para el campo eléctrico y para la densidad de potencia en el plano XZ b) Representa el diagrama de radiación para el campo eléctrico y para la densidad de potencia en coordenadas polares c)
Obtener la dirección de máxima radiación, el ancho de haz entre ceros y a -3dB para el corte XZ
Solución:
c)
Θmáx = 0º (eje Z) y
c y 3dB 51.5º
5. Una antena radia isotrópicamente para los ángulos π/6 < θ <π <π/3 y 0 < φ < π/2. La densidad 2 de potencia en esta zona a 100 m de la antena es de 10mW/m . La corriente eficaz a la entrada de la antena es de 3A. Calcular:
Escuela Técnica Superior de Telecomunicacione Telecomunicacioness Antenas y Propagación Propagación Curso 2010-2011 a) La directividad de la antena b) El área eficaz c)
La resistencia de radiación
Solución:
a) D=21.85 (D=13.39) b) Aef 1.74
2
c)
Rrad 279.25
6. El diagrama de radiación normalizado de una antena es de la forma: n t(θ,φ)=cos θ para θ < π/2 a) Calcular la directividad de la antena. b) Representar gráficamente el diagrama de radiación para n = 1, 2, 3. c) Para los valores anteriores de n calcular el ancho de haz. Solución:
a) D=2(n+1) b)
n 1 A c)
180 º n 2 A 120º n 3 A 90º
7. La intensidad de radiación emitida por cierta antena es de la forma: 2 3 K(θ K(θ,φ) = 8 (sen θ)(sen φ) cuando 0 < θ < π y 0 < φ < π Calcular la resistencia de radiación de la antena para una corriente eficaz a la entrada de 3A. Solución: Rrad 1.58
8. La directividad máxima de una antena es 15dB y su diagrama de radiación normalizado es: 2 tn(θ,φ)=(θ,φ)=-12(θ/2º) [dB] Calcular la directividad en la dirección θ = 1º y φ = 90º Solución: G ( , ) 12 dB
9. Una antena irradia isotrópicamente. Si el campo E tiene un valor eficaz de 50 mV/m a una distancia de 1km, calcular: a) La potencia radiada. b) La resistencia de radiación para un valor eficaz de corriente de alimentación en la antena de 3,5A.
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10. Un campo eléctrico normalizado de una antena viene dado por la expresión
sen sen . La amplitud de campo en la componente cenital toma un valor máximo en el intervalo 0 y 0 y cero fuera de este intervalo. E
a) Encontrar el valor exacto de la directividad b) Encontrar el valor aproximado de la directividad c)
Obtener la diferencia en dB
Solución:
a) D=6 (D=7.78 dB) b) D = 5.09 (D= 7.067 dB) c)
DdB 0.7dB
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Tema 3.- Propagación de Ondas en Medio Natural 1. Determinar la relación entre la potencia que recibe una antena receptora separada de la antena transmisora por una montaña a la frecuencia de 1 MHz. MHz. La altura máxima de la montaña es de 800 m. La antena receptora está separada de la montaña por una distancia de 2 km y la antena transmisora por una distancia de 1 km. Solución: La pérdida de transmisión es de -14 dB
2. Empleando las cartas de la UIT-R, obtenga la distancia a la que se alcanza un campo de 100 μV/m eficaces transmitiendo con un mástil de 75 m que a 1 MHz radia una potencia de 91.5 kW. La directividad de la antena es de 3.28. a) Sobre la superficie del mar b) Sobre tierra seca Solución: a) b)
1100 km d 100 km d
3. Considere un radioenlace a 5.625 GHz de corto alcance (d = 10 Km) sobre una llanura que utiliza como antenas pequeños reflectores, de unas 20λ 20 λ de diámetro, situados sobre sendas torres de 20 metros de alto. Considerando que el coeficiente de reflexión es igual a 0.5 , calcule en cuanto cambia la amplitud del campo incidente sobre la antena receptora respecto al caso en que la propagación fuera en espacio libre.
Solución:
E E directo
1.5
E 3.52dB E directo
4. Suponga un radioenlace como el mostrado en la figura. Las dimensiones están dadas sobre el nivel del mar y las características del mismo son: o o o o o o o
Ganancias de antenas G=35 dB Potencia transmitida PIRE=50 dBm Pérdidas en cables de alimentación 0 dB Frecuencia de trabajo f=2 GHz Polarización vertical Intensidad de lluvia 32 mm/h Factor de radio efectivo de la tierra k=4/3
Calcular: a) la potencia recibida en la estación receptora. b) La potencia recibida en la estación receptora si la frecuencia de uso cambia a 13 GHz
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Solución:
37.045 dB P rec 75.12 dB
a) P rec b)
5. Un radioenlace de microondas tiene una longitud de trayecto de 30 km y una frecuencia de trabajo de 10 GHz. El radioenlace está diseñado para soportar unas pérdidas máximas por propagación de 167 dB. La antena transmisora está montada en una torreta de 20 m sobre el nivel de tierra. A 10 km de la antena transmisora existe una colina de 41 metros de altura. Calcular: a) La pérdida total en trayecto si la altura de la antena receptora es de 20 metros. Sobre el nivel de tierra b) La altura que ha de tener la antena receptora para obtener unas pérdidas totales por propagación iguales a las dadas en las especificaciones. Solución: a) Ltotal b)
161.97 dB
h 40 m
6. Un radar biestático trabaja a una frecuencia de 8 GHz usando antenas transmisora y 2 receptora de 30 y 28 dB respectivamente. El radar localiza un blanco con una RCS de 3 m . La distancia desde el blanco al transmisor y desde el blanco al receptor es de 4 km y 1 km respectivamente. La potencia mínima recibida para detectarlo ha de ser de 10 pW. Calcular: a) La mínima potencia transmitida necesaria para detectar el blanco b) La densidad de potencia de campo incidente en el blanco asumiendo que la potencia transmitida es la mínima c) La potencia recibida por el blanco en las condiciones de los apartados anteriores d) La magnitud del campo rerradiado por el blanco en las condiciones anteriores Solución: a) P trans b) c) d)
119.18 W
592.75 W / m2 m blanco 1.778 mW Prec E 326.61 V / m
7. Dos bocinas rectangulares idénticas de ganancia 17 dbi se sitúan en el transmisor y el receptor de un radioenlace a 10 GHz, de 5 km de vano, sobre sobre torres de 20 m de altura. a) Calcule las pérdidas del radioenlace en espacio libre en dB. b) Calcule las pérdidas del radioenlace incluyendo la propagación frente a tierra plana en dB. Considere un coeficiente de reflexión Γ=-0.5. Γ= -0.5.
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c) Calcule las pérdidas del radioenlace del caso b) en condiciones de lluvia intensa (100 litros/hora) en dB. d) ¿Qué intensidad de lluvia puede soportar el radioenlace para que el nivel de señal no baje en 4.8 dB con respecto al nivel sin lluvia? Solución: a) L 92.4 dB b) L 88.5 dB c) L 103.5 dB d) 50 mm / h
8. Se dispone de un radioenlace con dos bocinas sectoriales plano E de 1λ x 3λ de apertura, separadas 1 km, con eficiencia de radiación igual a 0.9 y eficiencia de apertura igual a 0.6. El radioenlace funciona a 10 GHz en espacio libre. La antena receptora se encuentra girada tal como se presenta en la figura 1, en el plano del papel. El diagrama de radiación en dicho plano es el de de la figura 2. Calcule: Calcule: a) Calcule las pérdidas de inserción del radioenlace en dB. b) Si la antena transmisora transmite con una PIRE de 30 dBW, calcule la potencia (en dBm) que la antena receptora es capaz de entregar al receptor.
Solución: a) L 90.28 dB
b) P rec
43.3 dBm
9. En las proximidades de un edificio de apartamentos apartamentos se ha instalado un enlace de microondas trabajando a 6 GHz. La antena se ha instalado a una altura de 3 m y a una distancia de 30 m de la casa. Un inquilino del edificio mide desde su balcón situado a 3 metros sobre tierra una intensidad de campo eléctrico que es 3 veces superior a la permitida por la ley. Una pared que tiene una altura de 1.9 está situada entre la antena y el edificio a una distancia de 10 m de la antena. Asumir que no existen reflexiones sobre tierra y que la pared es delgada
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a) ¿Qué intensidad de campo se mediría, respecto al valor medido por el inquilino, si la pared no estuviera? b) ¿Qué altura ha de tener la pared para que la intensidad de campo eléctrico medido en el balcón del edificio cumpla la reglamentac reglamentación ión sobre salud pública? c) Mientras los albañiles modifican la pared, se ha producido un incremento máximo en la intensidad del campo eléctrico medido en el balcón. ¿Cómo justificaría este aumento? Respecto a la altura original de la pared, ¿cuánto habían construido o destruido los albañiles cuando se produjo éste aumento? Solución:
a) El campo sin la pared es el mismo que el medido sin la pared b) La altura de la pared ha de ser de 3.2309 m, esto es, hemos de subir la pared una altura de 1.331 m. c)
Los albañiles han construido una altura de 0.6338m por encima de la pared original.
10. Calcule el alcance visible sobre el mar para una antena situada en el borde del mismo, sobre una torre de 100 m de altura, para una atmósfera cuyo coíndice de refracción vale N(h)= 289-78 h(Km). Dato: radio de la Tierra 6370 km. Solución: d=50.32 km
11. Una antena linealmente polarizada que funciona a 3 GHz posee un rendimiento de radiación de un 75% y presenta un diagrama de radiación con simetría de revolución respecto a θ = 0º a) Estime la ganancia de potencia para una dirección situada a 5º respecto de la de máxima radiación. b) Calcule la potencia disponible en bornes de entrada cuando incide sobre ella en la dirección anterior una onda circularmente circularmente polarizada de 10 mW/m2.
Solución: a)
G(5º ) 22dBi
b) Prec
0.6306 mW (Prec 2dBm dBm)
12. Calcular el alcance mínimo a 10 MHz de un enlace ionosférico a través de la capa F, cuya frecuencia crítica es de 6 MHz y la altura virtual es de 350 km. Solución: d min
933.66 km
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13. Un radio enlace terrestre de corto alcance (d=5 Km) en banda X (10 GHz), utiliza dos antenas parabólicas de 50 cm de diámetro que poseen eficiencias de 0.7. Si la temperatura de ruido de antena es de 250 K, calcular la potencia necesaria del transmisor que asegure a la salida del receptor, y en un ancho de banda de 1MHz, una relación señal-ruido de 30 dB cuando sobre el trayecto cae una lluvia torrencial de 150 litros/hora. Dato: La constante de Bolztmann vale 1.38x10-23 Julios/K Solución: P trans
1.3 mW
14. Dos antenas de bocina idénticas están separadas una distancia 100 m. Ambas antenas poseen una ganancia directiva de 15 dB en la dirección de la máxima transmisión y sus dimensiones físicas son 12 cm y 6 cm, respectivamente. La antena transmitiendo (Tx) envía una señal con una potencia de 5 W a 3 GHz. a) Determinar la potencia recibida suponiendo que ambas antenas están adaptadas a sus respectivos circuitos de transmisión y recepción. b) ¿Es aplicable la fórmula de Friis en las l as condiciones del problema? c) Calcular la intensidad del campo eléctrico en la antena receptora
Solución:
a) Prec
31.54 W
b) Si es válida la fórmula de Friis c)
E 0.974 V/m
15. Se desea establecer un radio enlace a una distancia de 10 km usando una frecuencia de 300 MHz y dos antenas reflectoras parabólicas idénticas con ganancia de 30 dB cada una. La antena transmisora radia con una potencia de 500 W. Suponiendo una propagación en espacio libre, calcular: a) La potencia recibida b) La magnitud de la intensidad de campo eléctrico en la antena receptora Solución:
a) P rec b)
31.66 mW
E 0.5 V/m
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16. Una comunicación en onda media (4 Mhz) utiliza como antena transmisora un monopolo vertical de 25 m y un receptor que requiere una señal de 0.1 mV/m. Calcule la potencia que debe radiar el monopolo transmisor si el receptor está situado a 100 km de distancia. Datos: el tipo de terreno es agua dulce con una constante dieléctrica relativa de 3 y una conductividad de 3x10-5 S/m . Solución: P trans
11.95 kW
17. Para un radioenlace de 35 km de longitud, a una frecuencia de 15 GHz, calcular la atenuación adicional que produce la presencia de componentes gaseosos (básicamente vapor de agua y oxigeno). Solución: 1.155 dB
18. Considerar un radioenlace radioenlace de 30 km de longitud que funciona a una frecuencia frecuencia de 13 GHz con polarización horizontal. Calcular la atenuación por lluvia cuando ésta se considera moderada (25 mm/h) Solución: 31.73555 dB
19. Un radioenlace de 1.5 Km a 60 GHz utiliza sendas antenas parabólicas de 1 metro de diámetro, que poseen eficiencias eficiencias de 0.7. La antena transmisora radia una potencia de 100 W hacia el horizonte. ¿Cuánto valen las pérdidas adicionales respecto del mismo radioenlace en condiciones de vacío (espacio libre) cuando el trayecto de propagación está bajo una lluvia de 25 mm/h de intensidad? Solución: total
37.725 dB
20. Un teléfono móvil está situado a 5 Km de su estación base. El móvil usa una antena con una ganancia de 2.55 dB para recibir la señal de radio. La amplitud de campo eléctrico medido a una distancia de 1 Km es de 10 -3 V/m a una frecuencia de 900 MHz. a) Calcular el área efectiva de la antena del teléfono móvil b) Calcular la potencia media recibida por la antena del móvil sabiendo que la altura a la que se encuentra la antena base es de 50 m y la altura de la antena móvil es de 1.5 m. Suponer que la tierra es plana y conductora perfecta. Solución:
a) Aef 0.01559m b) Prec
2
2.698 1013W Prec 125.69dBW
21. Determinar la relación entre la potencia que recibe una antena receptora separada de la estación transmisora por una montaña. La frecuencia de la señal es de f = 1 MHz, la distancia del centro de la montaña a la antena receptora es de L = 2 km y la altura de la montaña de h = 800 m.
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Tema 4.- Antenas Lineales y Antenas de Lazo 1. Obtener el vector de radiación, los campos radiados y el diagrama de radiación de dos dipolos elementales de corriente I y longitud h, situados simétricamente a una distancia d=λ\2 d=λ\2 del origen, en los siguientes casos:
a) Dos dipolos situados en el eje z, con corrientes en el mismo sentido. b) Dos dipolos, paralelos al eje y, y con corrientes en sentidos opuestos Solución:
N
2Ih cos cos z ˆ
j
Ih
H
j
Ih
N
2 jIhsen cos y
a) E
2 2
cos kd cos sen cos kd cos sen
e
jkr
ˆ
r
e jkr r
ˆ
ˆ
Ih e jkr
r sen cos cos sen cos Ih e jkr H sen cos cos cos sen 2 r
b) E
ˆ
ˆ
2
ˆ
ˆ
2. Un radiogoniómetro es un dispositivo que sirve de ayuda a la navegación ya que permite conocer la dirección de llegada de una señal emitida por una radiobaliza. La antena de la figura está formada por dos espiras ortogonales. El sistema funciona a una frecuencia de 300 kHz. Las dos antenas son iguales y tienen lados L 1=1.1 m y L2= 0.8 m. Se pide analizarlas cuando sus bornes están conectados como se indica en la figura, obteniendo:
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a) El diagrama de radiación de la antena en los planos z=0, y=0 y el plano φ=135. b) La polarización de las antenas en la dirección de los ejes coordenados. c)
La directividad de la antena
d)
La longitud efectiva
Solución:
a)
Eje Eje X, X, Pola Polari riza zaci ción Lin Linea eall seg según el el eje eje ˆ
b)
Eje Eje Y, Y, Pola Polari riza zaci ción Lin Linea eall seg según el el eje eje ˆ
Eje Eje Z, Z, Pola Polari riza zaci ción Lin Linea eall seg según x - y ˆ
c)
D = 1.5
d)
lef j
kL 1 L2
x y ˆ
2
ˆ
ˆ
3. Una antena dipolo tiene 10 mm de longitud (L<<λ) y posee una corriente de 2 A. El dipolo es usado en un teléfono teléfono móvil trabajando a una frecuencia frecuencia de 900 MHz a) Calcular la potencia total media radiada por el dipolo en el espacio libre b) Si esta antena se sumerge en agua (σ=0, ε r=81 y μ=μ0), ¿qué corriente circulará por la antena para mantener la misma potencia radiada que en el espacio libre? c)
Calcular la resistencia de radiación en aire y en el agua así como la razón entre ambas
Solución:
a) Prad=0.3553 W b) I 0 c)
0.8167 A
aire rad
R
0.088825, R
agua rad
0.5 326,
aire Rrad agua Rrad
0.1667
4. Un dipolo de 0.1 m de longitud posee una resistencia interna de 0.1 Ω. La corriente máxima en el dipolo es de 1 A y la longitud de onda de 5 m. Calcular:
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a) La resistencia de radiación del dipolo b) La potencia media total radiada por el dipolo c)
La eficiencia de la antena
d) La ganancia máxima de la antena e) La longitud y apertura efectiva f)
El ancho del Haz
Solución:
0.3158 Ω P rad 0.1579 W e f 75.95 %
a) Rrad b) c)
d) D = 1.1388 (D=0.564 dB) 5. Un dipolo Hertziano tiene una longitud de 0.02λ y lleva una corriente de 2 A a 150 MHz. Calcular: a) Los campos cercanos b) Los campos lejanos c)
La resistencia de radiación y la potencia media radiada por la antena.
d) La distancia máxima de localización de la antena receptora en la dirección de máxima densidad de potencia si la densidad de potencia media temporal requerida para la recepción es de 10
-10
W/m
2
Solución:
a)
b) c) d)
1.5266 0.7633 jkr E c o s r e 3 3 jr jr 7.5392 sen e jkr ; Hrad E rad j r Rrad 0.3158 ; Prad 0.6316 W r 27.457 km i
ˆ
ˆ
ˆ
6.3662 10 3 jkr ; H sen e 2 r 0.02 j sen e jkr r i
ˆ
ˆ
6. Un transmisor usa un dipolo Hertziano de 0.02λ de longitud. Debido a cambios en el diseño, es necesario reemplazar el dipolo eléctrico por una antena de lazo equivalente (dipolo magnético) alimentado con la misma corriente que en el dipolo eléctrico. a) ¿Cuál es el radio del lazo que tendría esta antena para producir el mismo campo en zona lejana? b) ¿Qué orientación hemos de darle a la antena de lazo respecto al dipolo eléctrico? Solución:
a)
a 0.0318
b) Con el vector m y p ortogonales.
Escuela Técnica Superior de Telecomunicacione Telecomunicacioness Antenas y Propagación Propagación Curso 2010-2011 7. Una antena de lazo está compuesta de 10 espiras pequeñas recorridas pos una corriente I(t)=I0 cos (ω t). a) Encontrar la potencia media radiada por la antena b) Encontrar la resistencia de radiación de la antena c)
Las expresiones de los apartados anteriores al caso de una antena con n espiras
Solución: 2
a) Prad
0.07 kI0 a 4
b) Rrad
0.14 k
n rad
P
n kI 0
R
a4
a 4
12
c) n rad
2
2
n k
2
a 4
6
8. Considere la espira elemental de la figura
donde D = 1 m es el diámetro de la antena, antena, d=10 mm el diámetro del conductor, σ=5.7· σ=5.7· 10 S/m la conductividad del mismo mismo y L 7
1 4
0 n2 l [H] su autoinducción.
a) La resistencia ofrecida por un conductor de longitud l es de R L donde
1 f
l d
[] ,
es la profundidad de penetración. Determinar la eficiencia de
radiación de la espira a una frecuencia de 10 MHz b) Para mejorar la eficiencia de la antena se construye una espira con un cierto número de vueltas, N. Obtenga la expresión de la nueva eficiencia de radiación en función de N e indique el número de vueltas necesario para que la eficiencia pase a ser de al menos el 60%. c)
En las condiciones del apartado anterior, obtener el factor de calidad Q de la espira sabiendo que éste se define como Q=ωL/R.
d) Se pretende obtener una onda con polarización circular según el eje Y. Para ello, además de la espira del apartado anterior contamos con un dipolo elemental de longitud L. Indicar dónde situaría el dipolo respecto a la espira. Calcular la relación que debe de existir entre las dimensiones de la espira y el dipolo.
Página 21
Solución:
a)
e f 22.23%
b)
e N f
c)
Q 525.49
Ne f e f N 1 1
; N=6
d) Ambos centrados en el origen con p y m paralelos. L N
2
a
2
9. Una antena se construye como una combinación de un dipolo hertziano de longitud 0.01λ y una espira elemental de diámetro 0.05λ. El dipolo se coloca en el centro de la espira de tal forma que el plano que contiene a la espira es perpendicular al dipolo. Las dos antenas trabajan a 100 MHz y portan una corriente de I 0
0.1A
a) Calcular el campo eléctrico y el magnético en zona lejana si las corriente de las antenas están en fase b) Calcular el campo eléctrico y el magnético en zona lejana si las corriente de las antenas están desfasadas 180º Solución:
sen j L 0 a 4 r kI0 e jkr 0 a 2 H sen jL 4 r kI 0 e jkr E sen j L 0 a 2 4 r kI0 e jkr 0 a 2 H sen jL 4 r E
a)
kI 0 e jkr
ˆ
ˆ
ˆ
b)
ˆ
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
10. Una antena radia una potencia de 100 W. En la dirección de máxima radiación, la intensidad de campo eléctrico medido a una distancia de 10 km de la antena es de 0.012 V/m. Admitiendo que el medio de propagación es el vacío, calcular la directividad de la antena. Solución: D = 4.8 (D = 6.8124 dB)
11. Utilizando un programa de cálculo como MATLAB® o similar, realice un programa que permita trazar el patrón de radiación de intensidad de campo para dipolos. Particularizar Particularizar para las siguientes longitudes de antena: 0.1λ, 0.25λ, 0.5λ, λ, 1.5λ, 2λ, 5λ, 10λ (explique y anexe el código usado para ello).
12. Para la antena lineal de longitud total λ/2 y distribución de corriente ideal constante e igual a I 0, cuya potencia de radiación es 84.54 (I 0 )2 calcule, para campos lejanos. (Resuelva el problema sin hacer hacer uso de resultados resultados previos previos obtenidos en teoría) teoría)
a) La resistencia de radiación b) La expresión de la ganancia directiva en función de las coordenadas esféricas (θ, ( θ, φ). φ). c) Represente la ganancia directiva y calcule el valor de la directividad
Solución:
a) Rrad
169.08
b)
l G( , ) 0.7097 sen 2 k cos tan 2 2
c)
D=2.43 dB
13. La antena colineal es una antena muy utilizada en radiodifusión. Está formada por dos dipolos λ/2 en línea separados una distancia d. Ambos elementos están alimentados alimenta dos con la misma intensidad I . Se pide: a) Obtener el diagrama de radiación para el plano horizontal horizontal y el vertical si d = λ. b) Proporcione una expresión, aunque incluya una integral sin resolver, para la potencia radiada en función de la distancia d . c) Calcule el valor de la potencia radiada, la resistencia de radiación, la ganancia directiva y la directividad para d = λ. λ. Haga uso de programas de cálculo simbólico tipo Mathematica ® d) ¿Se mantendrán estos mismos valores para otras distancias d? Razone su respuesta.
Solución: a) 2
b) Prad
I
cos cos 2 d cos 2 d
cos 2
0 Prad 73.2 I 2
sen
Rrad 146 c)
2 c o s c o s 2 cos2 ( co G ( , ) 3.28 cos ) 2 sen D 5.15 dB
d)
14. Una antena de onda viajera es aquella que se construye mediante una línea de transmisión de longitud L y sin pérdidas, tal y como se indica en la figura.
Si se hace circular por ella una corriente de valor I ( z ) I 0e
j z
, con β la constante de
fase, calcular: a) El potencial vector en zona de campo lejano como una función del ángulo θ. b) El campo eléctrico y el campo magnético c) El vector de Poynting y la intensidad de radiación para β = k 0 y L = λ. d) Representar el diagrama de radiación de dicha antena. Solución:
l cos j I z 2 k A 0 0 e jkr e 2 2 r k cos l sen k cos l j I 2 k E j 0 e jkr e 2 sen l
a)
sen k
ˆ
ˆ
2 r
k
b)
H
j
I 0 2 r
l
e
jkr j 2
e
sen k sen
cos
cos 2 k l
ˆ
k
cos
Escuela Técnica Superior de Telecomunicacione Telecomunicacioness Antenas y Propagación Propagación Curso 2010-2011
c)
1 I 02 8 2 r
2 r sen4 2
sen2 2 sen2 2
sen2
ˆ
15. Una antena dipolo sin pérdidas, de longitud
l
y distribución de corriente triangular es
alimentada por una línea de transmisión de 50 Ω. La frecuencia de operación de la antena es de 150 MHz y el radio del hilo de la antena es de a=0.5 mm. La reactancia de entrada de
la antena puede aproximarse por
La antena está adaptada a la línea de transmisión mediante un inductor en serie L y un transformador ideal de relación n = N 1/N2=10 con N el número de vueltas en el primario y secundario del transformador. a) Dibujar, justificadamente, el circuito equivalente de la antena, la línea de transmisión y la red de adaptación. b) Encontrar la longitud de la antena. c)
Calcular el valor del inductor en serie L
Seguidamente la antena se coloca en vertical sobre un plano de tierra magnético perfecto a una altura h. d) Dibujar la nueva situación haciendo uso del método de las imágenes (indicar las polaridades) e) Encontrar el campo E y H total sobre el plano de tierra f)
Calcular la mínima altura h para que el factor de array del campo total sea máximo a θ=60º
Solución:
a) b) L=10 cm. c)
L 2.9 H
d)
kI0 L e jkr
e)
r sen 2 jsen kh cos kI0 L e jkr H j sen 2 jsen kh cos 8 r
f)
h = 1m
E
j
8
Página 25
16. Suponga un dipolo simétrico de longitud L. Los brazos del dipolo están cargados con sendos inductores en serie (de longitud despreciable) tal y como se muestra en la figura. La estructura está funcionando con una distribución de corriente que varía sinusoidalmente y cuya distribución espacial es la mostrada en la figura.
a) Describe razonadamente la función de los inductores b) Expresa matemáticamente la distribución espacial de corriente Solución:
a)
b)
L L 2 1.11 I 0 L z 1 2 z 20 L L I ( z ) I 0 z 20 20 2 z 1 L z L 1 . 1 1 I 0 L 2 2
17. Considere dos antenas dipolo de longitud λ/2 dispuestas como se indica en la figura. Calcular considerando la presencia del plano conductor perfecto infinito: a) El vector de radiación en función de I 1 supuesto que I 1=I2 b) La dirección de máxima radiación en el caso I 1=I2 Calcular considerando los dipolos en el espacio libre (ausencia de plano conductor): c)
La impedancia de entrada de cada uno de los dipolos teniendo en cuenta los efectos mutuos entre ellos. d) ¿Cómo se puede hacer resonante cada dipolo sin variar la resistencia de radiación? e) Supuesto los dipolos resonantes sin cambiar la resistencia de radiación, ¿cuál sería la impedancia característica de los tramos de línea de transmisión en λ/4 para que en los terminales hubiera adaptación a 600 Ω?
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Solución:
a) b) c)
cos k z H 2kI 1 max 72.67º Z1 Z 2 60 14 j N
d) e) Z 0
268
18. Considere una antena dipolo de longitud 3λ/2. Determinar: a) La dirección de máxima radiación. b) La densidad de potencia máxima. c) El diagrama de radiación. Solución:
a)
max
42.6º o bien max 137.4º 2
I 0
b)
max 29.4
c)
3 c o s c o s 2 t ( ) 0.51 sen
2
r
2
19. Se disponen cuatro dipolos idénticos simétricamente respecto al origen de coordenadas, en los lados de un cuadrado de lado 2 d en el plano XZ. Las corrientes que los recorren son de igual amplitud y fase. a) Obtenga la expresión del potencial vector creado por el sistema a grandes distancias. b) Calcule el campo eléctrico total. c) Obtenga el vector de Poynting del conjunto, tomando d = 0,25 λ. ¿En qué dirección o direcciones se radia el máximo de potencia? d) A partir del resultado del apartado c) represente el diagrama de radiación mediante sus secciones en los planos XY, YZ y XZ.
Página 27
e) ¿Cómo modificaría las fases de las corrientes de los dipolos para girar 90º el máximo del diagrama de radiación en el plano horizontal?
Solución:
a)
A 40
I 0 h e jkr
4 r
cos kd
sen cos cos kd cos z ˆ
b) 2
c)
max (r ) 8 ˆ
0 I 0h sen2
4
2
r
sen cos co cos 2 cos r El 2 2
cos 2
ˆ
máximo está en la dirección del eje Y d) e) 20. Dos dipolos cortos están situados en el eje X (x=0 y x=d) y o rientados según el eje Z, como muestra la figura. La corriente en los dipolos es I 0 para el dipolo colocado en el origen e
I 0e j d para el otro. Calcular y d para que no exista radiación en la dirección negativa del eje X y para tener máxima radiación en la dirección positiva del eje X.
Solución:
6
; d
4
21. Considere una antena cuadrada de lazo, de lado L, recorrida por una corriente I 0 y colocada como muestra la figura. Calcular el campo electromagnético en la zona de radiación.
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Solución: E
120 k 2 L2
0 I 0 4 r
e jkr sen
; H
k 2 L2
0 I 0 4 r
e jkr sen
22. Considere la situación de la figura. En ella se representa a tres antenas dipolo corto orientadas sobre cada uno de los ejes X, Y y Z. Si las antenas tienen una longitud L y están recorridas por la misma intensidad de corriente I 0 , calcular: a) El campo eléctrico en cualquier punto espacial de la zona de radiación. b) Indicar sobre qué plano del espacio el campo eléctrico sólo tiene componente en la dirección c) Indicar sobre qué recta del espacio el campo eléctrico es nulo (si lo necesitáis podéis haced uso de Matlab o Mathematica)
Solución:
E (r , , ) j
a)
0 I 0 2k r
e jkr sen k
L 2
cos ta tan sen k
L sen k sen sen tan tan 1 2 L sen k L sen cos sen k sen sen 2 2 sen sen ˆ
ˆ
b) Sobre el plano 45º sólo existe componente
Página 29
L 2
sen cos ta tan 1 tan
23. Considere el radioenlace de la figura en el espacio libre a una frecuencia de 1GHz. Como antena transmisora se utiliza un dipolo λ/2 alimentado a 10 A de corriente de pico, mientras que como antena receptora se usa una hélice de 10 espiras. De longitud entre espiras λ y ángulo de inclinación de 12º. ¿Cuánto va le la potencia disponible en bornes de la hélice?
d=1 km
50º
Solución: Prec
22.43 W
24. Se coloca un dipolo eléctrico elemental con polarización horizontal simétricamente entorno al origen y en la dirección del eje X. a) Calcular los campos de radiación del dipolo b) La directividad de la antena Solución:
a) E
j
kI 0 L 4 r
e
jkr
1 sen cos ; H j 2
2
kI 0 L 4 r
e
jkr
1 sen cos 2
2
b) D=1.5 25. Demostrar que un dipolo eléctrico elemental presenta un ancho de haz a la mitad de la potencia de 90º Solución: Demostración teórica
26. Se tiene un dipolo de media longitud de onda situado de forma paralela a un plano conductor infinito a una distancia de un cuarto de longitud de onda. El dipolo está construido con una varilla metálica delgada para la que la impedancia de entrada aislada vale (7640j) Ω. Calcular a) Diagrama de radiación del dipolo en planos XY y XZ b) Coeficiente de reflexión cuando se conecta un generador de 50 Ω de impedancia c)
Resistencia de radiación, suponiendo una eficiencia de radiación igual a 1
d) Directividad. Solución: a) b)
0.3639.35º
Escuela Técnica Superior de Telecomunicacione Telecomunicacioness Antenas y Propagación Propagación Curso 2010-2011 c)
Rrad 95
d) D=7.03 dBi
27. Un monopolo cilíndrico de longitud H=λ/8 y radio a=0.001λ, está terminado en una placa metálica de radio b = 0.085λ. El efecto que se busca es conseguir que la antena sea resonante y tenga una mayor resistencia de radiación que el monopolo corto equivalente. Para analizar este problema se utiliza un modelo de línea de transmisión terminado en un condensador y de impedancia característica de valor
Z 0
2 H 60 ln 1 a
a) Calcular la reactancia, longitud efectiva y resistencia de radiación que tendría un monopolo de longitud H=λ/8, utilizando un modelo de línea de transmisión terminado en circuito abierto, λ=1 b) Calcular la impedancia del condensador frente a un plano de masa. Calcular la longitud h de una línea de transmisión que tenga la misma impedancia que el condensador c)
Analizar la distribución de corriente que tendría la línea de longitud H, terminada en circuito abierto y terminada en un condensador.
Solución:
a)
X
.28 j , lef 271.28
16
, Rrad
10
330. 330.12 12 j ; h 0.10 0.109 9 z I abierto ( z ) I 0 sen 2 ; 4
2
L
2
b) Zc c)
I condensador ( z ) I 0sen 0.468
2
z
28. Un radio aficionado está usando la banda ciudadana de 30MHz y construye un transmisor al cual le conecta una antena dipolo con polarización horizontal de media longitud de onda. La resistencia de la antena es de 50 Ω a la frecuencia de 30 MHz. El transmisor tiene una potencia de 100 W. Despreciando los efectos de la tierra, calcular: a) Las dimensiones de la antena
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b) La potencia radiada por la antena en el espacio libre c)
La densidad de potencia a una distancia de 100 km desde la antena en la dirección de máxima radiación
d) Dibujar el diagrama de radiación en potencia de la antena en coordenadas rectangulares. A partir de él deducir el ancho del haz a -3 dB Solución: a) L 5m.
59.34W max 7.75 1010 W/m2 3dB 78º
b) Prad c) d)
29. Obtener el campo de radiación producido por una antena como la mostrada en la figura. Suponer que la longitud de la antena L es mucho menor que la longitud de onda de la señal.
Ψ
h
σ→∞ Solución:
Escuela Técnica Superior de Telecomunicacione Telecomunicacioness Antenas y Propagación Propagación Curso 2010-2011
Tema 5.- Agrupaciones de Antenas Lineales
1. Obtener la anchura del lóbulo principal a -6 dB de un array lineal de 4 elementos isótropos, uniformemente alimentados alimenta dos en amplitud y fase y separados 0.75λ. Solución:
6dB 22.96º
2. Dos antenas lineales de media longitud de onda están colocadas paralelamente y separadas una distancia d=λ/2. Las antenas se alimentan con señales armónicas desfasadas π/2. Encontrar Enc ontrar la intensidad con las que habría que alimentar una antena de media longitud de onda aislada para producir a 20º de la dirección de máxima radiación del array una potencia media por unidad de ángulo sólido igual a la que emite la agrupación. Solución: Dos posibles soluciones:
1.752I 0 I d 1.83I 0
i. I d ii.
3. ¿Qué desfase progresivo hay que introducir entre los elementos consecutivos de una array de dipolos colineales, de una estación base de telefonía móvil a 900 MHz, para que la dirección del lóbulo principal se sitúe 6º por debajo del horizonte? La separación entre los centros de los dipolos es de 25cm. Solución: 28.2º
4. Una agrupación de 8 elementos isótropos espaciados λ/2 debe presentar un lóbulo lateral a 26 dB por debajo del lóbulo de máxima radiación. Calcular la amplitud de la distribución que cumple estas especificaciones.
1:1.6 : 2.28: 2.28: 2.68: 2.68: 2.68: 2.68: 2.28:1.6:1 2.28:1.6:1]] Solución: [1:1.6 5. Usar el método de Schelkunoff para diseñar un array con un espaciado entre sus elementos de d=λ/4 de tal forma que los ceros en el espacio real se localicen en θ=0, 90 y 180. Determinar el número de antenas de la agrupación, sus excitaciones y dibujar su diagrama de radiación. Solución: N 4,[1 : 1 : 1 : 1]
6. Determinar los coeficientes de excitación normalizados al primer elemento de una agrupación en modo broadside para que el que el factor de array se ajuste a la función
Página 33
1 / F A ( ) 0
4
3 4
en otro caso
Comparar el diagrama de radiación especificado especificado con el obtenido mediante síntesis de una agrupación agrupación de 11 elementos elementos equiespaciados λ/2 y para 21 elementos. elementos. Solución: Para 11 elementos
:1:0.36 : 0.22 : 0.0558: 0.05778: 0.089 0.089 : 0.05778: 0.0558: 0.22 : 0.36 :1:0.3 Para 21 elementos
9.949 9.94910 :0.04551 :0.045511 1: 0.04958: 0.04958:0.01 0.01013 013:0.0 :0.05178 5178: 0.089:0 0.089:0.0577 .05778: 8:0.055 0.0558: 8: 0.22:0.3 0.22:0.36: 6:1:0.36: :0.36: 0.22:0 0.22:0.055 .0558: 8:0.057 0.05778 78:: 0.089:0 0.089:0.0517 .05178: 8:0.010 0.01013 13: 0.04958 0.04 :0.04551 45511 1: 9.949 9.94 958:0.0 9 10 3
3
7. Demostrar que: a.
La directividad de un array en configuración de endfire puede ser expresada como
D
N N 1 N m 4 kd 1 sen 2 Nd m1 m 2
Hacer uso de la relación:
n 1 sen n / 2 n 2(n k ) cos 2k 2 k 1 sen 2
b. La directividad de una agrupación ag rupación broadside puede ser expresada como
D
Solución: Demostración teórica
N N 1 N m 2 kd 1 sen Nd m1 m
