ESTÁTICA TEMA
:
DESARROLLO DE LA PRIMERA PRÁCTICA CALIFICADA
ING. TARSICIO VALDERRAMA SORIANO ALUMNOS :
CICLO
ALTAMIRANO SEGURA, Roiser
CARRERA TERRONES, José Wilson
VASQUEZ AGIP, José Kevins
: VACACIONAL
FECHA : Cajamarca enero de 2015
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
PROBLEMA UNICO: Reducir el sistema de fuerzas que actúa en el sólido rígido que se muestra en la figura a un torsor equivalente, indica la ecuación del eje central y el paso del torsor. Si se sabe que GA tiene como ángulos directores. α >90°, β =158.383089858°, =108.0525557274°
√ 23041 ; √ 395 ;√ 72 . F1 = 100 T, actúa en la recta DJ.
F2 = 100 T, es perpendicular al plano BCGE Y actúa en el punto L (intersección de las rectas GK y CE). F3 = 200 T, forma 30° con el plano CDHG y 100° con la recta CG.
|| 34 || ||3/5||
H (-3,-5,4.8152173913) I (-2,-6.5,-0.739432645)
Teoría de cursores
Página 2 | 16
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
DESARROLLO A. PRIMERO TENEMOS QUE ENCONTRAR LOS PUNTOS “G”, “C”, “J”, “D”, “L” Y “K” YA QUE ESTOS NOS VAN A SERVIR PARA LA SOLUCIÓN AL PROBLEMA PLANTEADO 1. Calculamos el ángulo α :
1 1 101.491030544°
2. Hallamos las coordenadas del punto G :
Teoría de cursores
Página 3 | 16
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
⃗ ⃗ ⃗|| ,, ,, 5,4,2 5,4,√ 22041,, ,, 3 2 04112 2 0416 √ √ → √ 2041∝15 , , 3 320 3 → 8,10, 3
3. Hallamos las coordenadas del punto C : a. Hallamos la ecuación del plano EGCB:
Teoría de cursores
Página 4 | 16
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
8,10, 203 10,8,1 3,7.8 , ,
⃗.(⃗⃗)0 ⃗.(⃗⃗) 3,7,8.111 3 31 9 3,7,8.12.3333333333,91.6666666671,28 12.33333333391.666666667128828.6666666667…1 ⃗ 959 ∶ : 20 ⃗ 8, 1 0, 3 ⃗ ⃗|| √ 193 3 20 ⃗ 8 10 3 8 10 …2 ⃗ ∶ 7 2 √ : ⃗ |⃗⃗ | 10,√ 78,2 1 ⃗ 10 8 1 =
b. Hallamos otra ecuación en base al vector unitario:
c. Hallamos otra ecuación en base al vector unitario:
Teoría de cursores
Página 5 | 16
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
10 8 1 72
…3
d. Con las ecuaciones 1, 2 y 3 calculamos las coordenadas del punto C :
12.33333333391.666666667128828. 6 666666667…1 8 10 …2 10 8 1 72 …3 → 10.0803277,10.4688085,9.1177911 Las coordenadas del punto C son
4. Calculamos el punto D : a. Hallando el punto D en el plano ABCD
5,4,2
Teoría de cursores
10,8,1 10.0803277,10.4688085,9.11779108
Página 6 | 16
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
⃗ 10, 8, 1 ⃗ 5,12,1 ⃗ 0.803277,2.4688085,8.11779108 ⃗.(⃗⃗)0 10, 8, 1. 0.0803277 0 2. 4 688085 8. 1 1779108 5 12 1 10, 8, 1. 99.88230146,40.6692831,11.3801101 99.88230158 40.6692831411.38011025 684.84886095 De la ecuación del plano:
=0
…. (1)
b. Hallando las coordenadas del punto D en el plano CDGH:
8,10,
3,5,4.8152173913 10.0803277,10.4688085,9.11779108 , ,
⃗ 8, 10, 203 ⃗ 11,15,1.85144928 ⃗ 2.0803277,0.4688085,2.45112441333 ⃗.(⃗⃗)0 Teoría de cursores
Página 7 | 16
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
20 8, 10, 3 .2.0803277 11 0.4688085 15 2.1.45112441333 85144928 0 8, 10, . 35.8988910402,23.1107473243,26.048022 35.89889130 23.1107475326.04802197117.56982469 5,4,2
=0 …. (2)
c. Hallando el punto D en el plano ADHI:
3,5,4.8152173913 2,6.5,0.739432645 , ,
⃗2,6.5,0.739432645 ⃗1,1.5,5.55465004 ⃗7,2.5,2.739432645 ⃗.(⃗⃗)0 2,.65,0.739432645.17 1.2.55 2.5.7539432645 5465004 0 2,.65,0.739432645. 9.77747612,41.6219829,13 9.77747612 41.6219829013241.37531221 99.88230158 40.6692831411.38011025 684.84886095 35.89889130 23.1107475326.04802197 117.56982469 9.77747612 41.6219829013241.37531221 5.15049821 0.75366303 Ecuación del plano
=0
…. (3)
Resolviendo las ecuaciones 1, 2 y 3 encontramos los valores coordenadas del punto D …. (1) …. (2)
…. (3)
Teoría de cursores
Página 8 | 16
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
12.28057610 5.15049821, 0.75366303,12.28057610
→
5. Calculamos las coordenadas del punto J :
|| 34 || ⃗ ⃗ BI ⃗ ⃗IJ ⃗ ⃗ || 34 || ⃗⃗ 34⃗⃗ x2⃗ y6.5 ⃗ z0.739432645⃗ 34 12⃗14.51.⃗739432645⃗ 7 4.375 0.565141839 → 7, 4.375, 0.5651141839 De los datos del problema:
Hallamos BI y IJ
= -12 -14.5 -1.739432645
= (x+2) + (y+6.5) + (z+0.739432645
Reemplazando :
Simplificando:
Teoría de cursores
Página 9 | 16
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
6. Calculamos el punto K :
|| 35 || ⃗ ⃗ BK ⃗ ⃗CB ⃗ ⃗ || 35 || ⃗⃗ 35⃗⃗ ⃗ ⃗ x10⃗ y8 z1 3 0. 0 803277 ⃗ 2. 4 68805 8. 1 1779108 ⃗ ⃗ 5 5.87067465 De los datos del problema:
Hallamos BK y CB
= (x-10) + (y-8) + (z-1)
= -0.0803277 -2.468805 -8.11779108
Reemplazando :
Simplificando:
10.0481966 9.4812851
Teoría de cursores
Página 10 | 16
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
→
10.0481966, 9.48128508, 5.87067465
7. Calculamos de las coordenadas del punto L:
Ecuación de la recta que contiene los puntos “K” Y “G” (L 1)
− − −/ . −. −. + − + . . . =
=
………………… (L1)
Ecuación de la recta que pasa por los puntos “C” Y “E” (L 2)
=
=
…………………… (L2)
Solucionamos las ecuaciones de L 1 y L2 y obtenemos el punto “L”, igualamos estas ya que su intersección vendría a ser el punto “L”:
XL = 8.15986085 YL = 9.95951453 ZL = 6.60453984
→
Teoría de cursores
8.15986085,9.95951453,6.60453984
)
Página 11 | 16
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
B. CALCULAMOS LAS COMPONENTES DE LAS FUERZAS B.1. FUERZA
⃗
⃗1 ú ⃗1 ⃗ ⃗ 1 1⃗ ⃗ ⃗ 1 ⃗1 ⃗⃗ ⃗ 1 ⃗ 1.84950178,5.12863026,11.71543426 ⃗1 =
F1.
=
DJ.
=
.
⃗ ⃗ ⃗ ,
Y
⃗
= (-0.14312950 -0.3968951461 +0.9066356431 ) .100
⃗1
⃗
= (-14.31294993 -39.68951461 +90.66356431 )
B.2. FUERZA
⃗ ⃗
Esta fuerza actúa de manera perpendicular al plano BCGE, por lo tanto necesitamos un vector unitario plano BCGE:
f2 que
cumpla con las condiciones de ser perpendicular y entrante al
⃗|⃗ ⃗|⃗ ⃗ + . ⃗ −. – ..
⃗
⃗ ⃗2
B.3. FUERZA
f2 =-0.12762415
= -31.90603769
f2
=
⃗2 ⃗ .|⃗ 2|
– 0.94855788 + 0.28974131
–
⃗
237.1394693 +72.43532880
⃗
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 2.0803277 0.4688085 2.4511308 ⃗
Para encontrar esta fuerza necesitamos hallar sus componentes: Angulo entre
Teoría de cursores
:
Página 12 | 16
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
⃗ 11 151.8514492087⃗ ⃗ ⃗ . 5386392 0.56730762 cos∝ || | 34.60.743224214 ∝124.56269070°
Dibujamos el plano
DIBUJO DE PLANO
Angulo γ
∝100° 0.75530481 |⃗|.|⃗| .. 40.94798940 24.56269070°
Angulo β
β=
°
180 || 18. 6 9298971 || |ʹ| Angulo θ
114.48931990°
Teoría de cursores
Página 13 | 16
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
| | 18. 6 9298971 ʹ 114.48931990 24.56269070 |ʹ| 8.53860901 ⃗ ⃗ 0.68836640 0.35863553 0.63050159⃗ ⃗ ʹ ⃗ ʹ ∗|ʹ| ⃗ ʹ ⃗ʹ = 0.38050272,0.88677730,0.26238081 |⃗ʹ| ∗30° ⃗ʹ =⃗ʹ ⃗|ʹ| 173.20508076 ⃗ ʹ ∗ |ʹ| ʹ57.90500437,143.59433474,52.11235660 ⃗|ʹ| ∗30 ⃗|ʹ| 200∗30 ⃗|ʹ| 100 ⃗ ⃗⃗ ′′ ⃗ ⃗⃗′′′′ ⃗ 0.7177867141 ⃗ ⃗ʹ ⃗ʹ ⃗ ⃗ ⃗ ʹ
Hallando las coordenadas de Dʹ
(x+3,y+5,z-4.8152173913)=
Dʹ(2.87769154,-1.93775143,10.19882396)
)
Entonces:
(x-8, y-10, z-20/3)=
Necesitamos un vector perpendicular y entrante al plano CDHG:
1
1=
+0.46209219 +0.52081959
1=
=
Teoría de cursores
=
1.
Página 14 | 16
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
⃗ʹ ⃗ ⃗ ⃗ 129.68344272 97.3852556385 ⃗3 ⃗ = (
1).200sen
(30°)
=
Luego
+104.19449076
⃗
=
⃗3
97.52782409⃗
= -137.68344272 -107.38525564
C. CALCULAMOS LE QUE SE NOS PIDE El PROBLEMA C.1. RESULTANTE DE
⃗1 ⃗ 2, 3⃗ ,
⃗1 ⃗2 ⃗3 ⃗
⃗ 1⃗ 2⃗ 3⃗
⃗
= (-14.31294993 -39.68951461 +90.66356431 )
= -31.90603769
–
⃗ 97.52782409⃗ ⃗
237.1394693
+72.43532880
= -137.68344272 -107.38525564
(-183.90243034 – 384.21423955 +260.62671721 )
⃗
| | = 499.36657025
C.1.
CÁLCULO DEL MOMENTO EN EL ORIGEN:
⃗ C.2.
⃗ ( 1⃗ ) (⃗ 2⃗) 3⃗
⃗
4397.87805558 -3142.63290839 -1314.71195819 ) T - m
MOMENTO MINIMO:
(⃗).⃗/│⃗│ ⃗1 ⃗ 0.3682714088 0.5219146269⃗ C=
C = 112.17168291 (Torsor positivo)
1⃗
|
| = 112.17168291 (
Teoría de cursores
|
| = C.
R
-0.7694032049 +
)
Página 15 | 16
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
1⃗
|
⃗
| = (-41.30962369 -86.3052523251 + 58.5440420372 ) T-m
C.3. ECUACION DEL EJE CENTRAL
⃗
Donde Q es un punto de la recta que contiene al eje central. Q=
⃗ |⃗ |⃗²
Q = (5.3101866124, 3.62688687, 9.09368706) Luego, la ecuación del eje:
5.3101866124, 3 . 6 2688687, 9 . 0 9368706 t183.90243034 – 384.21423955 260.62671721⃗ C.4.
PASO DEL TORSOR
⃗|⃗| 1 7168291 112. 499.36657025
.
Teoría de cursores
Página 16 | 16
