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GEOMETRÍA
Propiedad de correspondencia correspondencia
TRIÁNGULOS DEFINICIÓN: Es la figura geométrica que se forma al unir tres segmentos rectilíneos, de manera que cada
β
c
par de estos segmentos, tengan un extremo común.
Si: > > , :
a
> >
α
θ
B
δ
Φ
Relación de existencia Si: ≥ ≥ , :
θ
β
α
A
C
γ
a
c
b – c < a < b + c
Elementos. , BC y AC - Lados: AB y AC - Vértices: A, B y C - s interiores α, β, - s exteriores δ, , γ - perímetro (2p) 2p= a+b+c
a – c < b < a + c
b
a – b < c < a + b
TEOREMAS ADICIONALES. ADICIONALES.
TEOREMAS FUNDAMENTALES. FUNDAMENTALES. 1.
Suma de las medidas de los s interiores.
Se cumple:
β Se cumple:
θ
+ + =
α
+ + = 180° 180° α
θ
x
β
Suma de las medidas de los s exteriores.
x
2.
α
60° + + = 360°
z
y
β
Se cumple:
Se cumple:
x
+ = +
y 3.
Cálculo al ángulo exterior.
β Se cumple:
β
Se cumple:
+ = +
x
+ =
x
α
Suma de las medidas de dos ángulos exteriores distintos x
Se cumple: + = 180 +
α
y
α
4.
x
Se cumple:
β
=
y
Prof. Prof. FÉ LI X QUI QUI SPE Y.
1
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y
x
θ
Se cumple:
α
+ + < 90°
+ = +
β
α
β
a.2) Triángulo obtusángulo: tiene un ángulo interior obtuso.
6.
C
x
Se cumple:
β
α
+ = 180 +
> 90°
α A
B
B. Triángulo rectángulo
Clasificación Los triángulos se clasifican teniendo en cuenta a sus lados y a sus ángulos.
Cuando tiene un ángulo recto. Los lados que determinan ángulo se llaman catetos y el tercer es la hipotenusa. C
I. Por la Medida de sus Lados
a
A. Triángulo escaleno Es aquel que tiene los lados de diferentes longitudes.
B
+ = 90°
β
b
= +
α
A
c
•
EJERCICIOS
B. Triángulo isósceles
01. Si ABC es un triángulo equilátero y ,
Es aquel que tiene dos lados de igual longitud
calcule el valor de “x” B L2
A) 140°
• • α°
α°
base
B) 160°
80° L1
C) 150° D) 120° E) 165°
A
C
x
C. Triángulo equilátero Es aquel que tiene los lados de igual longitud
02. De la gráfica calcule el valor de “x” B
A) 60°
60°
•
• 60°
•
60°
II. Según sus ángulos internos A. Triángulo oblicuángulo Es aquel triángulo que no tiene un ángulo interno que mida 90°
a.1) Triángulo acutángulo: Si sus ángulos internos son agudos.
Prof. FÉ LI X QUI SPE Y.
x
B) 30°
x
E
C) 22.5° D) 45° E) 15°
A
D
C
03. Del gráfico mostrado, exprese “x” en términos de a, b, y c. (CEPRE-UNSCH) A) c - a - b b B) c - 2a – b x
C) c - a + 2b D) c – (a + b)/3 E) c – (a + b)/2
a
c
2
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11.Del
04.De la gráfica calcule “x” si + = 98°
gráfico Calcule “x”
A) 38° B) 50°
AD = 2(BC) = 2(AC),
mostrado B
x α
A) 120°
C) 48°
B) 150°
D) 62°
a
b
x
C) 100°
E) 98°
C
D) 140° E) 130°
05.En la siguiente figura, calcule el valor de “x”, si
2α
+ = 24° y BE=BD A) 29°
α
A
B
β
α
D
12.En la figura, los triángulos ABD y BEC son
B) 30°
equiláteros, el triángulo ABC es isósceles. Calcular el valor de “x”.
C) 31°
E
D) 32° E) 33°
X
E
A
C
06. Del gráfico mostrado, calcule el valor de “X”. α α
X
B) 15°
D
(CEPRE-UNSCH) A) 130° B) 90°
B
A) 12° C) 10° D) 14° E) 13°
20°
A
C
x
D
C) 50°
13.Según el gráfico, AB=BQ=QC. Calcule el valor de
D) 150°
θ θ
50°
E) 105°
“x” B
75°
A) 20°
07. En el gráfico mostrado, AB=AD, calcular “x” (CEPRE-UNSCH) A) 30° B) 40°
B) 25° C) 30° D) 28°
A X
E) 24°
C) 50°
50°
D) 10°
C
Q
C
X
E) 60°
50° A
14.En el gráfico, calcular el valor de “x”
10° D
08. En la figura mostrada. Calcular “x”.
4 5 °
A) 29° A) 30°
x
B) 30°
B) 60°
C) 15°
C) 45°
D) 20° x
D) 22.5°
30°
E) 10°
β 2
E) 15°
x
120°
2 α
α
β
15.En el gráfico mostrado halle DB si CF=a, AD=b y AB=BC. (CEPRE-UNSCH)
09. Según el grafico + = 120°. Calcular “x” A) A) 30° 120°
C)
C) 15°
D)
D) 22° E) 19°
m n
2X
10. Los ángulos de un triángulo ABC miden: = + , = y la = 2 . ¿Cuál es el mínimo valor de y? A) 20°
B) 50°
C) 60°
Prof. FÉ LI X QUI SPE Y.
D) 40°
D
B) +
x
B) 20°
B
E) 46°
A
α α
E
C
E) + 3 F
16. En un triángulo ABC obtuso en B, si AB=4cm, AC=13cm, halle BC sabiendo que es el mayor entero posible. (CEPRE-UNSCH) A) 7cm
B) 9cm
C) 11cm
D) 12cm
E) 13cm
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17.En el exterior de un triángulo ABC y relativo al laso se ubica el punto P talque AB=BC=AP. Si = 12°. Halle la . (CEPRE-UNSCH) A) 20° B) 15° C) 16° D) 14° E) 18°
25. En el gráfico mostrado halle el valor de “x”, si AB=BD. (CEPRE-UNSCH) B
42°
θ
X
18.En un triángulo ABC, halle el menor valor entero que puede asumir AB sabiendo que = 3 y BC=12u. (CEPRE-UNSCH) A) 2u B) 5u C) 6u D) 4u E) 7u
19. Se tiene un triángulo donde dos de sus lados miden 6cm y 5cm. Hallar el perímetro del triángulo sabiendo que el tercer lado es el doble de uno de sus lados. (CEPRE-UNSCH) A) 23cm B) 22cm C) 25cm D) 20cm E) 21cm
42° θ
A
D
A) 53°
B) 69°
C) 72°
valor de “x” (CEPRE-UNSCH) C
20.En el interior de un triángulo isósceles ABC se
B) 120°
toma un punto P de modo que = 70°, = , halle . (CEPREUNSCH) A) 120° B) 125° C) 130° D) 135° E) 140°
C) 110°
UNSCH)
˜
A) 380° B) 400°
θ
X
D) 130°
60°
E) 115°
D
80° A
27. En el lado de un triángulo ABC se toma un
28. Del gráfico mostrado, calcule “x” si PQ=QC.
β
(CEPRE-UNSCH)
D) 440° E) 460°
α
•• •
(CEPRE-UNSCH)
C) 80° E) 60° A
A) 68°
θ
B) 40° D) 100°
B
B
θ
A) 50°
22. En el gráfico mostrado halle “x”. si AB=BD=AE
X 50°
D
C) 70°
29. Del gráfico mostrado, calcular “x” . (CEPREUNSCH)
X
D) 74° 3Φ
E) 76°
Φ
C
A
23. En la figura mostrada, halle el valor de “x” si + = 30° (CEPRE-UNSCH) C
θ
B) 54° C) 72° D) 45°
B X
D) 75° E) 68°
D β
60° A
E
α F
24. Halle el máximo valor entero que puede tomar el lado BC de un triángulo ABC sabiendo que = 4, AB=5m. (CEPRE-UNSCH) B) 15m
C) 16m
Prof. FÉ LI X QUI SPE Y.
x
72 °
θ θ 72 °
30. En un triángulo ABC recto en B, se traza la altura
B) 70° C) 72°
θ θ
A) 60°
E) 30° A) 75°
C
P
60°
B) 72°
A) 10m
B
punto D de modo que AD=BD+BC, halle si = 40° y = 20°. (CEPRE-UNSCH) A) 20° B) 30° C) 25° D) 35° E) 40°
˜ ˜
C) 420°
E) 68°
26. En la figura mostrada BC=CD, AD=AB+BC, halle el A) 100°
21.En el gráfico mostrado halle + + (CEPRE-
D) 74°
D) 19m
E) 20m
, y la bisectriz interior del que interseca a en E y a en F de manera que BF=5u y BH=8u. calcule HE. (CEPRE-UNSCH) A) 1u B) 2u C) 3u D) 4u E) 5u
31. Los dos lados que forman el ángulo obtuso en un triángulo obtuso miden 6m y 7m. Calcular el menor valor entero que puede tener el semiperimetro de dicho triángulo. (CEPREUNSCH) A) 12m B) 9m C) 10m D) 8m E) 11m
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