UNIDAD DIDÁCTICA I: CINEMÁTICA Y DINÁMICA DE LA PARTÍCULA: Caracterización de una partícula puntual repe repect! ct! a un ite ite"a "a de re#ere re#erenc ncia ia inercial$ 1.- Un sistema formado por las partículas A, B, C y D se encuentran localizadas en los puntos (4,-3 m, (-!,-" m, (#,1$ m y (-%,& m' respectiamente. Dete Determ rmin ine e el ect ector or de posi posici ci)n )n para para cada cada part partíc ícul ula* a* en nota notaci ci)n )n cart cartes esia iana na (ec (ecto tore ress unitarios y notaci)n polar. +* ectores unitarios notaci)n polar r r r A = 4 m i − 3 m / r A = % m, m, 33°$# $ # r r rB = − ! m i − " m / rB = 1$ m, m , 33°$# r rC = # m i + 1$ m / r rD = − % m i + & m /
r
rC = 1.1 m, m, %%° r
rD = 1$.3m, 11&°$3 .- l ector ector de posici) posici)n n para para un electr)n electr)n es r r = % m i − 3 m / + m 0 . ncuentre la manitud y direcci)n de r y 2 trace al ector so2re un sistema de referencia. % 3 i− /+ 0. +* r 3" m y r = 3" 3" 3" 3.3.- l ect ector or de posi posici ci)n )n para para un prot prot)n )n es r r % i - ! / 5 0 inicialmente y lueo es r r - i 5 ! / 5 0 , todo en metros. a 6Cu7l es el desplazamiento del prot)n8 2 6A 9u: plano es paralelo el ector8 r +* ∆ r -# m i 5 1 m / 4.- l minutero de un relo/ de pared mide 11.13 cm del e/e a la punta. 6Cu7l es el desplazamiento de la punta (a desde un cuarto despu:s de la ;ora ;asta media ;ora despu:s (2 en la siuiente media ;ora y (c en la siuiente ;ora8 r r +* (a ∆r -.! cm i (2 ∆r .! cm i y r (c ∆r $ .
%.- Una semilla semilla de sandía sandía tiene las siuie siuiente ntess coordenad coordenadas as (-!,&,$ (-!,&,$ m. ncuentre ncuentre su ector ector de posici)n. posici)n. (a n notaci)n notaci)n cartesiana cartesiana (ectores (ectores unitarios (2 6yz (3, $, $ m, 6cu7l es el despla desplaza zamie miento nto en notaci notaci)n )n cartes cartesian iana a (ecto (ectores res unitar unitarios ios y en notaci notaci)n )n polar8 polar8 y (e +ealice un r7fico del moimiento de la semilla colocando a los ectores correspondientes en la notaci)n polar. +* a ? 13 441 @, 1"$. , 2 r 1! m , c 13 41, r r d ∆ r = & m i − & m / ó ∆ r = 1! m, m, 31%°. .
".- Un cilindro con un radio de 4% cm rueda so2re el piso ;orizontal sin deslizarse como se aprecia en la fiura, F es un punto pintado en el 2orde del cilind cilindro. ro. n t1, F se encuen encuentra tra en el punto punto de contacto entre el cilindro y el piso. n el momento posterior t, la rueda ;a rodado media reoluci)n. 6Cu7nto se desplaza F durante el interalo8 r +* ∆r 1.41 m i 5 $.&$ m /.
F F n el tiempo t 1 n el tiempo t &.- Usted camina ;orizontalmente de la puerta de su casa de campo !$ m ;acia el este, rum2o a un río, lueo da uelta y camina lentamente 4$ m al oeste y se sienta en una 2anca para descansar. n el primer recorrido transcurren " s y en el seundo 3! s. Considerando el recorrido total, de la puerta a la 2anca, 6cu7les son a su elocidad media y 2 su rapidez media8 +* a $.313 mGs al este, 2 1.%! mGs.
!.- =e conduce un autom)il al ste una distancia de %4 0m, lueo al @orte una distancia de 3 0m y finalmente # 0m en la direcci)n " al ste del @orte. race un diarama ectorial y determine el desplazamiento total del autom)il desde el punto de partida. +* = "#.13 0m a 3&%1E al @orte del ste.
1$.- l ector de posici)n inicial de un ion es* r % i - ! / 5 0 y el final r - i 5" / - 0 1$ s m7s tarde, todo en metros 6cu7l es la elocidad media durante los 1$ seundos8
#.- Una estaci)n de radar detecta un ai)n 9ue se apro>ima directamente desde el este. A la primera o2seraci)n, la distancia al ai)n es 3%$ m a %$ so2re el ;orizonte. ;orizonte. l ai)n es rastreado rastreado durante otros otros 1% 1% en el plano plano ertic ertical al este-o este-oest este, e, y la distancia de contacto final es de "&$ m' como se muestra en la fiura. ncuentre el desplazamiento del ai)n durante el periodo de o2seraci)n. r +* ∆r -1 111.%" m i - 1&$.%! 1&$.%! m /
r
+* -
r 11.- Un prot)n inicialmente tiene 4 i - / 5 3 0 r y lue lueo, o, 4 s desp despu: u:s, s, - i - / 5 % 0 (en metros metros por seund seundo. o. Fara Fara esos esos 4 seund seundos. os. Determine* a Ha aceleraci)n media del prot)n en notaci)n de ector unitario. 2 Como una manitud y una direcci)n.
350 m 890 m O
125° 50°
E
r
+* a a r
2 a Antena de radar
# m #m m i5 /0. 1$ s % s % s
3m 1m i5 0. s s
% m 3 1 − i+ j ÷ . s % % ÷
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1.- Un tren se muee a una rapidez constante de !$ 0mG; ;acia el ste durante 4$ minutos, lueo en una direcci)n %$ al ste del @orte en $ minutos y al final, al oeste durante %$ minutos. 6Cu7l es la elocidad media del tren durante este ia/e8 +* #. %" %" 0 m G ; a ! #°3 $ al @ or or te te d el el st st e. e. 13.- Una em2arcaci)n de patines naea so2re la un lao lao conel conelado ado con aceler aceleraci aci)n )n consta constante nte de2ida al iento. n cierto instante la elocidad del 2ote es* (!.3 mGs i I ".4 mGs /. res res seundos seundos despu:s, cam2ia la direcci)n del iento y el 2ote se encuentra instant7neamente en reposo. 6Cu7l es su aceleraci)n media para este interalo de 3 s8 +* r a - .1 .1 mGs i 5 ."1 ."1 mGs /. 14.- Un autom)il su2e una colina a una rapidez constante de 4$ 0mG; y en el ia/e de rereso desciende a una rapidez constante de !$ 0mG;. Calcule la rapidez promedio del ia/e redondo. +* 4" 0mG;.
%unc %unci! i!ne ne &ect &ect!r !ria iale le de p!i p!ici ción ón'' &el!cid &el!cidad ad ( acelerac aceleración ión en una' una' d! ( tre di"eni!ne: 1.- Ha posici)n de una partícula en el plano xy est7 est7 dada por* r r J( J( mGs3 t3 - (% (% mGs mGs tK i 5 J(! J(! m m - (# mGs4 t4 K / . Calcule* a r , 2 v y c a cuando t s. r +* a r(s ! m i - 1$! m / r 2 (s 1& mGs i - 4 mGs / y r a(s 4 4 mGs mGs i - 33! mGs / . c a(s .- Ha posici)n de un o2/eto 9ue se desplaza en línea recta est7 dada por > At 5 Bt 5 Ct3, donde A %.$ mGs, B -".$ mGs y C .$ mGs 3 (a 6($ >($ $, >(1s -1 m, >(s >(s -! m, >(s -3 m, >(4s $ m (2 M> -! m, M> $ m (c > % mGs, > -1 mGs.
3.- Una partícula partícula se desplaza desplaza en el plano xy , de modo 9ue sus coordenadas coordenadas x y y arían con el tiempo seNn x (t (t At3 5 Bt y y (t (t Ct 5 D, donde A 1.$$ mGs 3, B -3.$ mGs, C %.$ mGs y D 1 m. a Calcule su posici)n, elocidad elocidad y aceleraci) aceleraci)n n cuando t 3 s. 2 +epres +epresent enta a la traye trayecto ctoria ria de la partíc partícula ula en moimiento considerando considerando a sus posiciones posiciones en t $, t 1, t , t 3 y t 4 s. c repres represent ente e r7fic r7ficame amente nte a la eloci elocidad dad y aceleraci)n de la partícula en la posici)n t 3 s. r r +* a r -!& m i 5 %# m /, -% mGs i 5 3$ mGs / y r a 1" mGs i 5 $ mGs /. 4.- Un ineniero crea una animaci)n en la 9ue un punto punto en la pantal pantalla la de su comput computado adora ra tiene tiene posici)n r r = ! cm cm + ( 4.% cm cm G s t i + (1$ cm cm G s t /. a Dete Determi rmine ne la man manit itud ud y dire direcc cci) i)n n de la elocidad media del punto entre t $ y t 4 s. 2 Determ Determine ine la manit manitud ud y direcci) direcci)n n de la elocidad instant7nea en t $, en t 3 s y t % s. c Di2u/e la trayectoria del punto de t $ a t % s y muestre las elocidades calculadas en el inciso (2. +* a $.%& cmGs a & 2 ($ 1$ cmGs a &$, (3s ".#3 cmGs a $ 1&E, (%s 4!.1 cmGs a 1 31E. %.- Ha elocidad de una partícula 9ue se desplaza en el plano xy est7 est7 dada por* r = (! m G s t − ( 4 m G s3 t i + (" m G s / . =upona 9ue tO$. a 6Cu7l es la aceleraci)n cuando t 3 s8 2 6Cu7ndo 6Cu7ndo (si es 9ue aluna aluna ez ez es cero la aceleraci)n8 c 6Cu7ndo 6Cu7ndo (si es 9ue aluna aluna ez ez es cero la elocidad8 d 6Cu7ndo (si es 9ue aluna ez es la elocidad iual a 1$ mGs en manitud8 r +* a a(3s = −1" m G s i , 2 t $.#% s, c nunca y d t . s.
!.- Ha elocidad en metros por seundo de una partícula, en moimiento ;orizontal, iene dada por >(t (# mGs 3 t I % mGs, donde t se e>presa en seundos. =i la partícula parte del orien, > $ $ cuando t $ $, ;alla la funci)n de la posici)n y aceleraci)n eneral, eneral, es decir* >(t y a>(t m #m 3 m ( t = (14 3 t R: >( t = ( 3 t − (% t, a > (t s 3s s #.- Dos o2/etos A y B se conectan mediante una 2arra ríida 9ue tiene una lonitud H. los o2/etos se deslizan deslizan a lo laro de rieles uía perpendicular perpendiculares es como se muestra en la fiura. =upona 9ue A se desl desliz iza a ;aci ;acia a la iz9u iz9uie ierd rda a con con una una rapi rapide dezz constante . ncuentre la elocidad de B cuando cuando !$. +* $.%## . y
B x
H
y
$
A
x
".- Una lanosta camina en línea recta so2re la arena en lo profundo del mar y 9ue asinaremos como como e/e e/e x con la direcc direcci)n i)n positia positia ;acia ;acia la derec;a. Ha ecuaci)n de la posici)n de la lanosta en funci)n del tiempo es* >(t "$ cm 5 (% cmGst I($.$#% cmGs t. a Determine la elocidad inicial, posici)n inicial y aceler aceleraci aci)n )n inicia iniciall de la lanos lanosta. ta. 2 6n 9u: instan instante te t la lanos lanosta ta tiene tiene eloci elocidad dad cero8 c 6Cu7nto tiempo despu:s de ponerse en marc;a reresa la lanosta al punto de partida8 d 6n 9u: instantes t la lanosta est7 a una distancia de $ cm de su punto de partida8 6-t, -t y a-t para el interalo de t $ a t 4$ s. +* a $> % cmGs 2 >$ "$ cm c t !!.!# s d t 1 4.# s, >1 4.3! mGs, t !.4 s, > -4.3! mGs y t 3 #$.4# s, >3 -%.%# mGs.
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1.- Un tren se muee a una rapidez constante de !$ 0mG; ;acia el ste durante 4$ minutos, lueo en una direcci)n %$ al ste del @orte en $ minutos y al final, al oeste durante %$ minutos. 6Cu7l es la elocidad media del tren durante este ia/e8 +* #. %" %" 0 m G ; a ! #°3 $ al @ or or te te d el el st st e. e. 13.- Una em2arcaci)n de patines naea so2re la un lao lao conel conelado ado con aceler aceleraci aci)n )n consta constante nte de2ida al iento. n cierto instante la elocidad del 2ote es* (!.3 mGs i I ".4 mGs /. res res seundos seundos despu:s, cam2ia la direcci)n del iento y el 2ote se encuentra instant7neamente en reposo. 6Cu7l es su aceleraci)n media para este interalo de 3 s8 +* r a - .1 .1 mGs i 5 ."1 ."1 mGs /. 14.- Un autom)il su2e una colina a una rapidez constante de 4$ 0mG; y en el ia/e de rereso desciende a una rapidez constante de !$ 0mG;. Calcule la rapidez promedio del ia/e redondo. +* 4" 0mG;.
%unc %unci! i!ne ne &ect &ect!r !ria iale le de p!i p!ici ción ón'' &el!cid &el!cidad ad ( acelerac aceleración ión en una' una' d! ( tre di"eni!ne: 1.- Ha posici)n de una partícula en el plano xy est7 est7 dada por* r r J( J( mGs3 t3 - (% (% mGs mGs tK i 5 J(! J(! m m - (# mGs4 t4 K / . Calcule* a r , 2 v y c a cuando t s. r +* a r(s ! m i - 1$! m / r 2 (s 1& mGs i - 4 mGs / y r a(s 4 4 mGs mGs i - 33! mGs / . c a(s .- Ha posici)n de un o2/eto 9ue se desplaza en línea recta est7 dada por > At 5 Bt 5 Ct3, donde A %.$ mGs, B -".$ mGs y C .$ mGs 3 (a 6($ >($ $, >(1s -1 m, >(s >(s -! m, >(s -3 m, >(4s $ m (2 M> -! m, M> $ m (c > % mGs, > -1 mGs.
3.- Una partícula partícula se desplaza desplaza en el plano xy , de modo 9ue sus coordenadas coordenadas x y y arían con el tiempo seNn x (t (t At3 5 Bt y y (t (t Ct 5 D, donde A 1.$$ mGs 3, B -3.$ mGs, C %.$ mGs y D 1 m. a Calcule su posici)n, elocidad elocidad y aceleraci) aceleraci)n n cuando t 3 s. 2 +epres +epresent enta a la traye trayecto ctoria ria de la partíc partícula ula en moimiento considerando considerando a sus posiciones posiciones en t $, t 1, t , t 3 y t 4 s. c repres represent ente e r7fic r7ficame amente nte a la eloci elocidad dad y aceleraci)n de la partícula en la posici)n t 3 s. r r +* a r -!& m i 5 %# m /, -% mGs i 5 3$ mGs / y r a 1" mGs i 5 $ mGs /. 4.- Un ineniero crea una animaci)n en la 9ue un punto punto en la pantal pantalla la de su comput computado adora ra tiene tiene posici)n r r = ! cm cm + ( 4.% cm cm G s t i + (1$ cm cm G s t /. a Dete Determi rmine ne la man manit itud ud y dire direcc cci) i)n n de la elocidad media del punto entre t $ y t 4 s. 2 Determ Determine ine la manit manitud ud y direcci) direcci)n n de la elocidad instant7nea en t $, en t 3 s y t % s. c Di2u/e la trayectoria del punto de t $ a t % s y muestre las elocidades calculadas en el inciso (2. +* a $.%& cmGs a & 2 ($ 1$ cmGs a &$, (3s ".#3 cmGs a $ 1&E, (%s 4!.1 cmGs a 1 31E. %.- Ha elocidad de una partícula 9ue se desplaza en el plano xy est7 est7 dada por* r = (! m G s t − ( 4 m G s3 t i + (" m G s / . =upona 9ue tO$. a 6Cu7l es la aceleraci)n cuando t 3 s8 2 6Cu7ndo 6Cu7ndo (si es 9ue aluna aluna ez ez es cero la aceleraci)n8 c 6Cu7ndo 6Cu7ndo (si es 9ue aluna aluna ez ez es cero la elocidad8 d 6Cu7ndo (si es 9ue aluna ez es la elocidad iual a 1$ mGs en manitud8 r +* a a(3s = −1" m G s i , 2 t $.#% s, c nunca y d t . s.
!.- Ha elocidad en metros por seundo de una partícula, en moimiento ;orizontal, iene dada por >(t (# mGs 3 t I % mGs, donde t se e>presa en seundos. =i la partícula parte del orien, > $ $ cuando t $ $, ;alla la funci)n de la posici)n y aceleraci)n eneral, eneral, es decir* >(t y a>(t m #m 3 m ( t = (14 3 t R: >( t = ( 3 t − (% t, a > (t s 3s s #.- Dos o2/etos A y B se conectan mediante una 2arra ríida 9ue tiene una lonitud H. los o2/etos se deslizan deslizan a lo laro de rieles uía perpendicular perpendiculares es como se muestra en la fiura. =upona 9ue A se desl desliz iza a ;aci ;acia a la iz9u iz9uie ierd rda a con con una una rapi rapide dezz constante . ncuentre la elocidad de B cuando cuando !$. +* $.%## . y
B x
H
y
$
A
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".- Una lanosta camina en línea recta so2re la arena en lo profundo del mar y 9ue asinaremos como como e/e e/e x con la direcc direcci)n i)n positia positia ;acia ;acia la derec;a. Ha ecuaci)n de la posici)n de la lanosta en funci)n del tiempo es* >(t "$ cm 5 (% cmGst I($.$#% cmGs t. a Determine la elocidad inicial, posici)n inicial y aceler aceleraci aci)n )n inicia iniciall de la lanos lanosta. ta. 2 6n 9u: instan instante te t la lanos lanosta ta tiene tiene eloci elocidad dad cero8 c 6Cu7nto tiempo despu:s de ponerse en marc;a reresa la lanosta al punto de partida8 d 6n 9u: instantes t la lanosta est7 a una distancia de $ cm de su punto de partida8 6-t, -t y a-t para el interalo de t $ a t 4$ s. +* a $> % cmGs 2 >$ "$ cm c t !!.!# s d t 1 4.# s, >1 4.3! mGs, t !.4 s, > -4.3! mGs y t 3 #$.4# s, >3 -%.%# mGs.
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&.- Ha elocidad de una partícula iene dada por r (t (t (! mGs t 5 3 mGs mGs i . (a Pacer un r7fico de en funci)n del tiempo y marcar el 7rea limitada por la cura en el interalo de t $ a t % s. (2 Determine el 7rea marcada en el inciso anterior tomando en cuenta las unidades y mediante ellas indi9ue a 9u: cantidad física se refiere. c Pallar la funci)n de posici)n r (t, ealNe t % s y compare con el inciso anterior' 9ue concluye. +* 2 &$ m y r r Gs t 5 (3 m Gs Gs t i y r (%s &$ m i c r (3 m Gs
MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN (MRU): 1.- Un auto pasa por el punto A mientras otro auto pasa por el punto B en un mismo instante, los puntos est7n separados por una distancia de 1!$ 0m, si am2os autos an en línea recta, en sentido cont contra rari rio o y carr carrile iless dife difere rent ntes es con con rapi rapide dezz cons consta tant nte, e, 6a 9u: 9u: dist distan anci cia a del del punt punto o A se encuentran8 si el primero tiene una rapidez de %$ 0mG; y el seundo 3$ 0mG;. R: x = d = 100 km. .- Un corredor pasa por el punto A, mientras otro pasa por el punto B situado a 3$ metros adelante del punto A' si am2os corredores an en línea recta en el mismo sentido con rapidez constante, si y el primero se muee a " mGs y el seundo con % mGs. 6A 9u: distancia del punto A el primer corredor alcanza al seundo8 R: x = d = 80 m. 3.- Dos ciclistas A y B se mueen en la misma direcc direcci)n i)n y sentid sentido o con rapide rapidezz consta constante nte.. l ciclista A se muee a 4$ 0mG; y B a 3$ 0mG;. =i est7n separados inicialmente por una distancia de $ 0il)metros y parten al mismo tiempo. Calcular* a Ha distancia 9ue tiene 9ue recorrer A desde el punto de partida para alcanzar a B. +* d "$ 0m. 2 l tiempo necesario para alcanzarlo. +* t ;. 4.- n un mismo instante, un auto pasa por un punto A y otro por un punto B, si el 9ue pasa por el punto A tiene una rapidez de 3$ mGs y el 9ue pasa por B $ mGs y la distancia de A ;asta B es de 4$ m. 6A 9u: distancia distancia del punto A alcanza el primer auto al seundo y cu7nto tiempo transcurre8 +* d 1$ m' t 4 s.
%.- Dos corredores participaron en una carrera de $$ metros en línea recta' si el primero puede ad9uirir una rapidez m7>ima de % mGs y el seundo una rapidez m7>ima de 3 mGs, si llean empatados. 6Cu7nto tiempo tiempo de enta/a dio dio el primer corredor al seundo8 (suponer (suponer 9ue los dos corredores no tienen aceleraci)n a lo laro de la carrera. +* t !.!# s. !.- =i en el pro2lema anterior la enta/a se diera en distancia 6cu7l de2er7 ser dic;a distancia para 9ue lleuen empatados8 +* >$B d "$ m.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV) 1.- Fara poder despear un Boein #4# tiene 9ue alcanzar una rapidez de 3!$ 0mG;. =uponiendo 9ue el recorrido de despeue es de 1." 0il)metros y lo ;ace con aceleraci)n constante. Determine (a =u aceleraci)n mínima si parte del reposo. (2 iempo en 9ue lora el despeue. r +* (a a 3! $$$ $$$ 0G; 0G; i , (2 t $.$1 ;. .- Un autom)il 9ue se muee a % mGs patina ;asta 9ue se detiene al ca2o de 14 s. ncuentre ncuentre la aceleraci)n y la distancia 9ue ia/a ;asta 9ue llea r m G s i, > = d = 1#% m. m. a detenerse. +* a = −1.#& mG 3.- 6Cu7l es la elocidad final de una camioneta 9ue recorre 1$ 0m con una aceleraci)n de mGs 8 r
R:
G s i = $$ m Gs
4.- 6 d 133.33 m. !.- 6n 9u: tiempo una aioneta recorre &$$ 0m si su elocidad inicial es de 3$$ 0mG; y se le aplica una aceleraci)n de 3$ 0mG; 8 +* t .!4 ;
#.- Una 2ala se muee ;orizontalmente con rapidez de 1%$ mGs, c;oca con un 7r2ol y penetra 3% 3% cm ;asta 9ue se detiene. Determine la manitud de la acel aceler erac aci) i)n n y el tiemp tiempo o en 9ue 9ue se deti detien ene, e, supo suponi nie endo ndo 9ue su rapi rapid dez dism dismin inuy uye e constantemente y su trayectoria es recta. +* a 3 14."! mGs , t 4.!# ms. ".- Un motociclista ia/a inicialmente en línea recta a raz)n de 3$ mGs, se detiene constantemente a 3." mGs. Determine* (a l tiempo 9ue tarda en detenerse (2 Ha distancia recorrida en ese tiempo. +* a t #."& s, 2 d 11".4 m. &.- Un conductor a en línea recta a 2ordo de un autom)il con rapidez de 3$ mGs, aplica los frenos constantemente ;asta detenerse en s y así eita pasar un alto. Determine* (a Ha aceleraci)n (2 Ha distancia distancia 9ue recorri) recorri) desde el instante instante en 9ue aplica los frenos. r +* (a a -1% -1% mGs mGs i y (2 d 3$ m. 1$.- =e dispara un mu)n (una partícula elemental con una rapidez inicial de %. Q1$ ! mGs, ;acia una rei)n rei)n donde donde un campo campo el:ctr el:ctrico ico produc produce e una aceler aceleraci aci)n )n de 1.3$ 1.3$ Q 1$14 mGs en direcci)n direcci)n contraria contraria a la elocidad elocidad inicial. 6
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13.- Un tr7iler acelera constantemente a 1.! mGs partiendo del reposo en 1 s. A continuaci)n se muee con rapidez constante durante $ s, despu:s de los cuales disminuye su rapidez con una aceleraci)n de -1.! mGs . a 6
1#.- Un coc;e llea una rapidez contante de % mGs en una zona escolar. Una patrulla 9ue se encuentra estacionada arranca tras el infractor acelerando de manera constante a % mGs suponer 9ue la patrulla aanza inicialmente a la par del auto. (a 6Cu7nto tiempo tarda la patrulla en alcanzar al e;ículo infractor8(2 6
CAÍDA LIBRE Y TIRO VERTICAL 1.- =e lanza una pelota erticalmente ;acia arri2a con una elocidad inicial de $ mGs. 6Cu7nto tiempo est7 la pelota en el aire8 (Despreciar la altura del punto de lanzamiento +* t 4.$" s. .- Fara intentar estudiar los efectos de la raedad un estudiante lanza un pe9ueSo proyectil erticalmente ;acia arri2a con elocidad 3$$ mGs. Despreciando el rozamiento con el aire, 6cu7l es la altura m7>ima alcanzada por el proyectil8 +* ;ma> 4%&1."4 m 3.- Fara medir la profundidad a la 9ue se encuentra el aua en un pozo se de/a caer una piedra 9ue tarda 3. seundos en llear a ella. 6Cu7l es la profundidad del pozo8 +* ; %$.1" m.
4.- Una piedra es lanzada en línea recta ;acia arri2a con una rapidez inicial de "$ piesGs. 6actamente so2re el 2om2ardero. (a 6Con 9u: rapidez de2e lanzar el proyectil para dar en el 2lanco con una rapidez de 1$ mGs (2 6Cu7nto tiempo tarda el proyectil en dar en el 2lanco8 +* a $ 31.34 mGs y 2 t .1" s. !.- Un su2marino lanza un proyectil desde la superficie del mar ;acia un ;elic)ptero 9ue se mantiene suspendido en el aire e>actamente por encima de :ste. =i el ;elic)ptero se encuentra a una altura de 4%$ metros de la superficie del mar. (a 6Cu7l es la rapidez del proyectil en el instante del impacto con el ;elic)ptero, si es lanzado con una rapidez inicial de $$ mGs8 (2 6Cu7nto tiempo tarda el proyectil en dar en el 2lanco desde 9ue fue lanzado8 +* (a 1#!.%" mGs y (2 t .3" s. #.- Un payaso se encuentra en la azotea de un edificio a % m de suelo, su cola2orador, 9uien mide 1."$ m de estatura camina ;acia el edificio con una rapidez constante de 1.3 mGs. =i el payaso de/a caer un ;ueo con la intenci)n de caia en la ca2eza de su cola2orador, 6en d)nde de2er7 encontrarse el cola2orador en el momento de soltar el ;ueo8 +* a 4.4" m respecto la trayectoria ertical del ;ueo.
% m 1."$ mGs 1."$ m
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".- n el patio de la escuela los emelos Fa2lo y Tuan se encuentran /uando con una 2ola de oma. =i Fa2lo est7 en el 2arandal del primer piso, mientras 9ue Tuan en la planta 2a/a del patio, y la altura entre nieles es de .% m, determine* a el tiempo 9ue tarda la 2ola en llear a las manos de Fa2lo, si Tuan la lanza erticalmente ;acia arri2a con una rapidez de 1 mGs, 2 el tiempo 9ue tardar7 la 2ola en llear a las manos de Tuan si Fa2lo a;ora la lanza erticalmente ;acia arri2a con la misma rapidez 9ue Tuan y c Ha elocidad con 9ue cada uno reci2e la 2ola. +* a t1 . s, t $.3 s, 2 t .!4 s y r
r m m / o = &.#% / , s s r m mientras 9ue Tuan la reci2e* 1 = −13."& /
c Fa2lo la reci2e* 1 = −&.#%
s
&.- Una rNa leanta una cara de ladrillos a la elocidad constante de % mGs, cuando a ! m del suelo se desprende un ladrillo de la cara. Determine a 6Cu7l es la altura m7>ima respecto al suelo 9ue alcanza el ladrillo8 2 6Cu7nto tarda en llear al suelo8 c 6Cu7l es su elocidad en el instante en 9ue c;oca contra el suelo8 +* (a ;ma> #." m, (2 +* t 1.#3 s y r (c v = −11.&4 m G s j . 1$.- Un tornillo se desprende del fondo e>terior de un ascensor 9ue se muee ;acia arri2a a elocidad de ! mGs. l tornillo alcanza en fondo del ;ueco del ascensor en un tiempo de 3 s. (a 6A 9u: altura esta2a el ascensor cuando se desprendi) el tornillo8 (2 6
13.- Un co;ete se lanza erticalmente ;acia arri2a con una aceleraci)n de $ mGs . Al ca2o de % s el com2usti2le se aota y el co;ete continNa como una partícula li2re, ;asta 9ue alcanza el suelo. Calcular* a el punto m7s alto 9ue alcanza el co;ete. 2 el tiempo total 9ue el co;ete est7 en el aire. c la elocidad del co;ete /usto antes de c;ocar con el suelo. +* a y 1& $$%.1 m, 2 t 13".3 s y r c v = −!$&.!% m G s j . 14.- =e de/a caer una pelota desde una altura de . m y re2ota a una altura de 1.& m so2re el suelo. =upona 9ue estuo en contacto con :ste durante &! ms y determine su aceleraci)n promedio o media, durante el contacto con el suelo. r a = 13$.31 m G s j 1%.- Dos 2olas de 2illar se de/an caer desde un edificio de !$ m de altura. Ha seunda 2ola se de/a caer 1.! s despu:s de la primera. 6ima alcanzada por la piedra arri2a del punto B. +* (a "."% mGs y (2 ;ma> $.&& m.
1&.- Dos o2/etos inician la caída li2re a partir del reposo desde la misma altura, si uno de ellos cae 1 s m7s tarde, en 9ue tiempo despu:s de 9ue el primer o2/eto cae la distancia entre ellos ser7 de 1$ m. +* 1.% s.
TIRO PARABÓLICO 1.- l portero de un e9uipo de fNt2ol realiza un despe/e desde su portería. =i el 2al)n sale disparado con un 7nulo de 4% so2re la ;orizontal, y el tiempo 9ue tarda en llear a los pies de un /uador 9ue se encuentra parado so2re el piso esperando el pase es de 1." s (sin considerar el efecto del 2al)n y el rozamiento del aire. Determine* (a Ha rapidez inicial del 2al)n (2 6A 9u: distancia se encontra2a el /uador 9ue reci2i) el pase respecto a la posici)n inicial del 2al)n8 +* a $ 1.4# mGs y 2 d 1%."" m. .- Un proyectil de /uuete se lanza con una rapidez de 4 mGs con un 7nulo de %3 so2re la ;orizontal. Determine*(a Ha posici)n ;orizontal y ertical a 3 s despu:s del disparo (2 Has componentes de la elocidad ;orizontal y ertical en dic;o instante. +* (a > 43.33 m, y 13.4 m y (2 > 14.44 mGs, y -1$.3 mGs. 3.- Un caS)n se a/usta con un 7nulo de tiro de 4%. Dispara un 2ala con rapidez de 3$ mGs. (a 6A 9u: altura llear7 la 2ala8 (2 6Cu7nto tiempo estar7 en el aire8 (c 6Cu7l es el alcance ;orizontal8 (d 6 !1.4 m (2 t 4!.1" s (c > 1"44".&" m (d = 3$ m G s 31%° . 4.- Un lanzador arro/a una pelota a 14$ 0mG; ;acia la 2ase de una canc;a de 2:is2ol 9ue est7 a 1!.&$ m de distancia ;orizontal. Despreciando la resistencia del aire, determinar la altura a la 9ue fue lanzada la pelota. +* ; $.&3 m. %.- Una pelota de 2:is2ol a2andona el 2ate formando un 7nulo de 3$ so2re la ;orizontal, la reci2e un /uador situado a 1$ m fuera del cuadro.
34
(a 6Cu7l fue la rapidez inicial de la pelota8 (2 6A 9u: altura se ele)8 (c 6 1#.3 m y c t 3.#! s. !.- Una 2ola rueda so2re una mesa ;orizontal de #% centímetros de altura y cae tocando el suelo en un punto situado a una distancia ;orizontal de 1.% metros del 2orde de la mesa. 6Cu7l era la elocidad de la 2ola en el momento de a2andonar r la mesa8 +* $ = 3."3 m G s i . #.- Una canica se proyecta desde el descanso de una escalera a .% mGs, si los escalones tienen una altura de $.1" m y $.3$ m de anc;o. 6Con cu7l escal)n c;ocar7 primeramente la 2ola8 +* 3 ".- Calcular la altura de una repisa, si al caer un cuerpo de ella llea al suelo con una elocidad ertical de !.# mGs 6Cu7nto tiempo tardara en caer8 +* ; m, t $.!4 s &.- Una piedra lanzada desde un puente $ m arri2a de un río tiene una elocidad inicial de 1 mGs diriida a 4% so2re la ;orizontal. (a 6
.
$ !$ 1$.l mGs alcance de un proyectil disparado ;orizontalmente desde lo alto de un alle es iual a !$donde fue lanzado. 6Cu7l es la la altura desde direcci)n de la elocidad del proyectil un instante antes del impacto con el suelo8 +* &!.%. 11.=e dispara un proyectil al aire desde la cima de $$m una montaSa a $$ m por encima de un alle. =u elocidad inicial es de !$ mGs a !$ respecto a la ;orizontal. Despreciando >la resistencia del aire, 6d)nde caer7 el proyectil directamente en el alle8 +* > 4$".13 m.
1.- Un o2/eto es lanzado con un 7nulo de 3# so2re la ;orizontal con una rapidez inicial de $ mGs. A 3 m del punto de partida se encuentra un muro con el cual c;oca. 6A 9u: altura del muro se produce el c;o9ue8 +* 4.44 m. 13.- Calcular la elocidad inicial de una pelota de 2eis2ol al ser olpeada por un 2ate, cuyo 7nulo con respecto a la ;orizontal es de !$ y el tiempo 9ue tarda en llear a la altura m7>ima es de s. r +: $ = .!3 m G s !$°. 14.- n una película un monstruo trepa a la azotea de un edificio de 3$ m so2re el suelo y lanza un peSasco ;acia a2a/o con una rapidez de % mGs y un 7nulo de 4% por de2a/o de la ;orizontal. (a 6A 9u: distancia del edificio cae el peSasco8 (2 6Con 9u: elocidad llea al suelo8 r +* (a .4 m y (2 = 34."% m G s 3$$ °& . 1%.- Un acto circense consiste en lo siuiente* Una 2ella dama se mece en un trapecio, se proyecta con un 7nulo de %3 y se supone 9ue es atrapada por un trapecista cuyas manos est7n a %.& m arri2a y ".3 m adelante del punto de lanzamiento (er fiura inore la resistencia del aire. a 6
$
%.& m %3
".3 m
1!.- Un ai)n con rapidez de 3$$ 0mG;, uela en picada a un 7nulo de 4$ de2a/o de la ;orizontal, de :ste se suelta un pa9uete y la distancia ;orizontal entre el punto de lanzamiento y a9uel donde el pa9uete cae a tierra es de !$$ m, (a 6cu7nto tiempo est7 el pa9uete en el aire antes de impactarse con el suelo8 (2 6a 9u: altura esta2a el ai)n en el instante en 9ue el piloto solt) el pa9uete8 +* (a t &.4 s y (2 y$ &3!.4% m. 1#.- Un caS)n de /uuete dispara un proyectil con una elocidad inicial de 3! mGs, se desea 9ue lleue a un 2lanco situado en una distancia ;orizontal de 1$$ metros del caS)n y eleado a 3 metros por encima de :ste. 6Cu7l es el 7nulo mínimo de eleaci)n del disparo8 R: θ = 26.76° 1".- Un proyectil se dispara desde el suelo con un 7nulo V$ so2re la ;orizontal. (a Demuestre 9ue el 7nulo de eleaci)n isto desde el punto de lanzamiento al punto m7s alto se relaciona con V $ por tan W tan V $ (2 calcule cuando V $ 4%. +* (a tan W tan V$ y; 2 !.%#.
V$
ma>
1&.- =e de/a caer una pelota desde una altura de 3& m. l iento sopla ;orizontalmente y le imparte una aceleraci)n constante de 1. mGs . a Demuestre 9ue la trayectoria de la pelota es una línea recta y encuentre los alores de + y . 2 6Cu7nto tarda la pelota en llear al suelo8 c 6Con 9u: rapidez lo ;ace8 +* a + 4.## m, "3.$, 2 t ." s y c #."% mGs.
1. mGs 3& m 34
&.- 6Cu7l es la frecuencia de iro de un cuerpo si su periodo es de 1 seundos8 +* f $.$"3 Pz.
$.- Un portero puede ;acer llear un 2al)n a una distancia m7>ima de 3$ m en terreno plano, 6con 9u: rapidez se separa la pelota del pie8 1.- Una persona sostiene un carro de supermercado 9ue est7 situado en un plano inclinado 9ue termina en un precipicio so2re un rio. l plano inclinado forma un 7nulo de 4$ por de2a/o de la ;orizontal. Ha persona se descuida y suelta el carro el cual desciende por el plano en línea recta desde la posici)n de e9uili2rio, con una aceleraci)n constante de 3 mGs , recorriendo una distancia de 3$ m ;asta el 2orde de un precipicio ertical. l precipicio se encuentra a 1$ m por encima del aua. Pallar, (a la manitud de la elocidad del carro cuando alcanza el 2orde del precipicio y el tiempo 9ue tarda en llear allí (2 la rapidez del carro cuando c;oca con el aua (c el tiempo total 9ue el carro tarda desde el reposo ;asta el contacto con el aua (d la posici)n del carro so2re la superficie del aua respecto de la 2ase del precipicio. .- Un leopardo ataca moi:ndose en línea recta ;acia un cazador con rapidez constante de "$ mGs. n ese instante el cazador est7 a 1%$ m de distancia y le dispara una flec;a a 3% con respecto al suelo. 6Cu7l de2er7 ser la rapidez inicial de la flec;a para 9ue d: en el 2lanco8 +* $ 14 mGs. 3.- Un caS)n de /uuete se coloca en una rampa 9ue tiene una pendiente con un 7nulo X. =i el proyectil se lanza por encima de la rampa con un 7nulo so2re la ;orizontal, como se muestra en la fiura, y tiene una rapidez inicial $, demostrar 9ue el alcance +, medido a lo laro de la rampa $ iene dado por*
= +
+ θ (tθ − tα $ cos X cos α
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU) 1.- +ealiza las conersiones 9ue a continuaci)n se indican* (a 1% reoluciones a rados se>aesimales y a radianes. +* Ɵ %4$$, 3$ Y rad &4.% rad (2 3.%$ a reoluciones y radianes. +* $.$!% re y $.41 rad (c 1! radianes a rados se>aesimales y reoluciones. +* Ɵ #1&.", $.$% re. .- 6
1$.- Calcular el periodo de un o2/eto cuya frecuencia de iro es de %$ Pz. +* $.$ s. 11.- Calcular la rapidez anular si su periodo de iro es de % seundos. +* [ $.% radGs 1.- Ha rapidez anular con 9ue se muee un disco colocado en un fon)rafo es de 3.% radGs. =i ira en sentido contrario a las manecillas de un relo/, con su plano de iro paralelo al plano xy 69u: elocidad tanencial llear7 una partícula de polo a % cm del centro en el instante 9ue pase por la r coordenada ($,-%,$ cm8 +* = 1#% mm G s i . 13.- Una rueda de la fortuna ira con \.C.U. en el mismo sentido de las manecillas del relo/ con su plano paralelo al plano yz . =i su periodo es de 1% seundos. Determine* a =u elocidad anular. 2 Ha elocidad tanencial 9ue una persona tendr7 so2re la rueda, si est7 sentada a una distancia de ! metros del centro de iro en la parte m7s alta. r r +* (a ϖ = −$ .4 r ad G s i . y (2 = .%1 mG s / . 14.- Un astronauta se pone a irar en una m79uina centrífua a un radio de % metros. Determine* a Ha rapidez tanencial del astronauta si la aceleraci)n centrípeta es de !".! mGs .. 2 Has reoluciones por minuto 9ue se necesitan para producir esta aceleraci)n. c l periodo del moimiento. +* a 1".% mGs, 2 [ 3%.3# rpm y c 1.# s 1%.- Un muc;ac;o ;ace irar una piedra en un círculo ;orizontal de 1.% m de radio y a una altura de m so2re el niel del suelo. Cuando la cuerda se rompe, la piedra sale olando ;orizontalmente y c;oca contra el suelo despu:s de recorrer una distancia ;orizontal de 1$ m. 6Cu7l es la manitud de la aceleraci)n centrípeta de la piedra mientras su moimiento era circular8 +* a c 1!3.33 mGs . 1!.- Un carrusel ira con una rapidez anular constante de ".% radGs. Determine*
34
a =u desplazamiento anular en " seundos. 2 Has reoluciones dadas en ese tiempo. +* a M !" rad y 2 1$." re
$.- Una partícula se muee en un círculo con elocidad r
= −(1$
m rad rad sen (4.% t i + cos (4.% s t / s s
. 1#.- l eloz tren franc:s conocido como ]^ (ren a ]ran ^elocidad tiene una rapidez promedio proramada de 1! 0mG;. Determine* a =i el tren pasa por una cura a esa rapidez y la manitud de la aceleraci)n e>perimentada por los pasa/eros de2e limitarse a $.$%$ de , 6cu7l es el mínimo radio de curatura de la ía 9ue pueda tolerarse8 2 6A 9u: rapidez de2e pasar el tren por la cura con un radio de un 0il)metro para estar en el límite de la aceleraci)n8 +* (a r # 34!.&4 m, (2 .14 mGs 1".- Un trineo recorre una pista circular de 1 m de radio en la niee, a $.1% reGs. De repente se detiene en el punto A como se muestra en la fiura, un pa9uete 9ue esta2a so2re :l continNa moi:ndose a la elocidad 9ue tenía al parar. Descri2a la posici)n del pa9uete respecto al centro del círculo, despu:s de 4 s.
$.1% reGs A 1 m 1&.- Una partícula se muee alrededor de un círculo de radio r $.3$ m en el plano xy . =i su rapidez anular es de 4.% radGs. Cuando t $ pasa per el e/e >. (l orien est7 en el centro del circulo. Determine la posici)n, elocidad y aceleraci)n, cuando t $.4$ s y t 1.3 s.
Deduzca las funciones de posici)n y aceleraci)n.
MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE (MCUV)
CIRCULAR VARIADO
1.- l tornamesa de un tocadiscos ira en sentido ;orario a 4% reGmin y 2a/a su elocidad a 33 rpm en % s. =i su plano es paralelo al plano xy 6Cu7l r es la aceleraci)n anular8 +* α = $.% rad G s 0 .- Un /ueo mec7nico ira en sentido anti ;orario con su plano paralelo al plano yz, su elocidad anular disminuye a raz)n de $. radGs durante 1 s 9uedando con rapidez anular de 1% rpm 6cu7l era su rapidez anular inicial8 +* [$ 3.&# radGs. 3.- Un o2/eto ira en sentido anti ;orario en el plano >y. =u aceleraci)n anular tiene una manitud de " radGs , si realiza ! reoluciones en % seundos 6
+* X ".#% radGs , /ustifica con un sistema de referencia su direcci)n. #.- Ha centrifua de secado de una m79uina laadora est7 dando ueltas en sentido anti ;orario en el plano xy a &$$ rpm y disminuye uniformemente ;asta 3$$ rpm mientras efectNa %$ reoluciones Determine la aceleraci)n anular. r +* α = −1.%# radGs 0. ".- 6A 9u: elocidad anular ira la rueda de una 2icicleta si oriinalmente ira2a en sentido ;orario en el plano yz a %$ radGs con una aceleraci)n de 1 radGs dando % reoluciones8 +* ϖ r = −#&.1" r ad G s i . &.- 6n cu7nto tiempo alcanzar7 la llanta de un autom)il so2re un 2anco de prue2a una elocidad anular de 3$ radGs si se acelera a % radGs, desde 1% radGs8 +* t 43 s. 1$.- 6n 9u: tiempo, un cuerpo con rapidez anular inicial de 1% radGs y aceleraci)n anular constante de 3! radGs realiza 3$ reoluciones8 +* t ."% s 11.- 6Cu7ntas reoluciones da un e/e cuya elocidad anular inicial es de 1 radGs con aceleraci)n anular de % radGs durante % seundos8 +* Z 1&.% re. 1.- 6
%.- Un motor cuyo e/e ira inicialmente a 4$$ rpm se acelera ;asta !$$ rpm con una aceleraci)n de $ radGs, calcule el desplazamiento anular en rados. +* Z 3141.!.
13.- ncontrar la aceleraci)n tanencial en las ruedas de un autom)il, si tienen un radio de 3$ centímetros y una manitud de aceleraci)n anular de $ reGs . +* at 3#.# mGs, /ustifica con un sistema de referencia su direcci)n.
!.- Una rueda de 4$ centímetros de radio ira so2re un e/e estacionario, si la aceleraci)n tanencial en un punto so2re su 2orde es de 3.% mGs 6cu7l es su aceleraci)n anular8
14.- 6
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1%.- Un auto en reposo, acelera sus ruedas en un 2anco de prue2a a 1% radGs en 3$ s. ncontrar la rapidez anular final. +* [ 4%$ radGs.
MOVIMIENTO RELATIVO
1!.- ncontrar la aceleraci)n centrípeta de una partícula en la punta del aspa de un entilador de $.3 metros de di7metro 9ue ira a 1$$ r.p.m. +* ac 3!".#1 mGs, /ustifica con un sistema de referencia su direcci)n.
1.- l piloto de un ai)n o2sera 9ue la 2rN/ula indica 9ue el ai)n se dirie ;acia el `este. Ha rapidez del ai)n respecto al aire es de 1%$ 0mG;. =i ;ay un iento de 3$ 0mG; ;acia el @orte, calcular la elocidad del aeroplano respecto de la tierra. +* a 1%.&# 0mG; a 111"E al @orte del `este.
%.- Una persona su2e por una escalera autom7tica inm)il en &$ s. Cuando la persona permanece inm)il so2re la misma y la escalera se muee, llea ;asta arri2a en !$ s. 6Cu7nto tiempo tardaría en su2ir si la escalera est7 en moimiento8 +* t 3! s.
.- l piloto de una aeronae desea olar ;acia el oeste en un iento de %$ 0mG; 9ue sopla ;acia el sur. =i la rapidez del ai)n respecto al aire es de $$ 0mG;, (a 6en 9u: direcci)n de2e aanzar la aeronae y (2 6cu7l ser7 su rapidez respecto al suelo8 +* a 1&3.!% 0mG; a #% %#E al `este del @orte.
!.- Un 2ote se desplaza en el aua de un río a 1$ mGs respecto al aua, cual9uiera 9ue sea la direcci)n del 2ote. =i el aua del río fluye a 1.% mGs, 6Cu7nto tiempo le toma al 2ote llear a ca2o un ia/e redondo consistente en un desplazamiento de 3$$ m a faor de la corriente seuido de un desplazamiento de 3$$ m contra la corriente. +* t !1.3#s.
1#.- l radio de la )r2ita terrestre (supuestamente circular es de 1.% > 1$ 11 m, si recorre esta )r2ita en 3!% días, 6cu7l es la rapidez tanencial en la )r2ita en mGs y cu7l es la manitud de la aceleraci)n ;acia el sol8 +* v t = & ""%.## mGs y ac %.&! Q 1$ -3 mGs. 1".- Un punto situado so2re una tornamesa iratoria, a $.$ cm del centro, acelera desde la posici)n de reposo, ;asta una rapidez final de $.#$$ mGs en 1.#% s. n t 1.% s, calcular (a la aceleraci)n radial o centrípeta, (2 la rapidez de la partícula y (c la aceleraci)n total del punto. +* a a 1.% mGs , !&°%$_ , 2 $.% radGs y c a 1.3 mGs , %1°%$_. 1&.- n la fiura se representa la aceleraci)n total de una partícula 9ue se muee en el mismo sentido de las au/as del relo/ a lo laro de un círculo de radio .%$ m en cierto instante. n dic;o instante, ;allar (a la aceleraci)n radial o centrípeta, (2 la rapidez de la partícula y (c su aceleraci)n tanencial. +* a ac 13 mGs, 2 %.# mGs y c at #.% mGs.
& $#% !"5# m a = 15 m/!
3.- Una lanc;a de motor cruza un río anc;o moi:ndose con una rapidez de 1% 0mG; en relaci)n con el aua. l aua en el río tiene una rapidez uniforme de 1$ 0mG; ;acia el ste en relaci)n con la tierra. (a =i la lanc;a se dirie ;acia el norte, determine la elocidad de la lanc;a en relaci)n con un o2serador 9ue est7 de pie en cual9uier orilla. (2 =i la lanc;a ia/a con la misma rapidez 1% 0mG; en relaci)n con el rio y de2e ia/ar al norte 6;acia 9u: direcci)n se de2e diriir el tim)n8 +* a H 1".$3 0mG; a %! 1&E al @orte del ste y (2 H 11.1" 0mG; y el 2ote de2e diriirse a 41 4"E al `este del @orte. 4.- Un fur)n plano de ferrocarril ia/a a la derec;a con rapidez de 13 mGs relatia a un o2serador 9ue est7 parado en tierra. Aluien se muee en una motoneta relatia al fur)n. 6
#.- Un río fluye de manera uniforme ;acia el norte a 3.% mGs. Un ;om2re cruza el río nadando con una rapidez uniforme, relatia al aua de %.$ mGs al oeste. l río tiene !$$ m de anc;o. (a 6
34
LEYES DE NE'TON: PRIMERA SEUNDA Y TERCERA" 1.- Considere el peso suspendido por medio de los ca2les como se muestra en las fiuras. Determine las tensiones 9ue e>perimentan los ca2les A y B en cada inciso. a 4% A
de las fuerzas ;orizontales ?1 y ? 9ue de2en aplicarse para mantener el sistema en la posici)n indicada. +* a "4."% @. 2 ? 1 y ? !$ @.
4$ @
3$
B
!$ !$
4%
?1
?
3.- Determinar las reacciones 9ue e/ercen cada una de las paredes so2re el cuerpo. +* @ 11"".1" @ superficie ertical y @ 13# @ superficie inclinada. #$ 0
34$ @ c 3 B
!$
A %% @ d 4$ 1!$
B
4$
?
B
A
4%$ @ 3$ 0
&$ &$
&$ 2
2 Ha distancia 9ue recorre en $ s. +* a ? 344.# @ y 2 d 1!$ m.
4.- Una esfera de acero de $ @ se apoya sin rozamiento, en un sistema formado por un plano inclinado a 3$ con la ;orizontal a la iz9uierda y otro plano inclinado a !$ a la derec;a, como se muestra en la fiura. Determinar la fuerza e/ercida por cada plano so2re la esfera. +* @ 1#.3 @ plano de 3$ y @ 1$ @ plano de !$.
!.- Un cuerpo con masa de %$ se encuentra en reposo so2re una superficie ;orizontal, reci2e la acci)n de una fuerza neta constante de 1%$$ dinas, paralela a la superficie en 3$ s. Calcular la distancia 9ue recorre en ese tiempo. +* d #$$ cm. #.- Un autom)il 9ue pesa una tonelada m:trica se desplaza en una calle recta y ;orizontal con una elocidad de 13 mGs. l conductor aplica los frenos y despu:s de recorrer $ m el autom)il 9ueda en reposo* (a 6plica 2reemente el resultado o2tenido8 (2 6Ha fuerza retardatriz 9ue actNa so2re :l8 r +* a a - 4.% mGs i , 2 ? - 4% @ i . ".- res astronautas impulsados por moc;ilas a c;orro, empu/an y uían un asteroide de 1%$ 0 ;acia un muelle de procesamiento, e/erciendo las fuerzas 9ue se muestran en la fiura. Determina la aceleraci)n del asteroide* (a en notaci)n polar (2 r en notaci)n cartesiana. +* a a $.!! mGs 13 , r 2 a $.!% mGs i 5 $.1% mGs /. y
A
$ @
!$ @ 3$
+* a A 14$%.4 @, B 114#.% @. 2 A 1#$ @, B &4 @. c A "4$.1" @, B &&$.#. d A 4&.#% @, B !$4.4% @. .- n la fiura el peso es de !$ @. a Calcule la tensi)n en el ;ilo diaonal. 2 Calcule la manitud
!$
%.- Un 2lo9ue se muee con rapidez constante de " mGs en línea recta so2re una superficie ;orizontal sin rozamiento, como se demuestra en la fiura Determine* a Ha manitud de la fuerza ;orizontal a la iz9uierda para 9ue se muea en la forma indicada.
3$ x
%$ 4$ 3$ @ 4$ @
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&.- Un cuerpo de % 0 se lanza ;acia arri2a so2re un plano inclinado 9ue forma un 7nulo de 3$ con la ;orizontal, si en la parte m7s 2a/a tiene una rapidez inicial de mGs determinar* (a Ha aceleraci)n 9ue e>perimenta la masa (2 Ha distancia 9ue recorre a lo laro del plano, ;asta r detenerse. +* a a -4.& mGs i , 2 d $.41 m.
de/a caer el 2lo9ue desde lo alto de plano al momento de c;o9ue con el suelo8 +* (a a %.! mGs , (2 .&! mGs, (c d $.# m y (d t $." s.
4% cm
3%
1$.- Como se muestra en la fiura, un 2lo9ue de 1$ 0, se encuentra desliz7ndose so2re un plano inclinado sin rozamiento. Cu7ntos metros ;a2r7 recorrido so2re el plano, desde el reposo si transcurren ! s. +* d #4.%% m.
&$ cm
11.- Un cuerpo 9ue se encuentra en una superficie ;orizontal%se aplica una fuerza ;orizontal Nnica, cuya manitud es de 1% @ a partir del reposo el cuerpo recorre 1$$ m en 1$ s. (a 6Cu7l es la masa del cuerpo8 (2 6=i la fuerza de/a de actuar al final de los primeros 1$ s. 6Cu7nto aanzara en los siuientes 1$ s8 +* a m #.% 0, 2 > $$ m.
14.- Ha posici)n de una aeronae de .% Q 1$ % @ 9ue se est7 pro2ando est7 dada por* r r ($.$" mGs t i 5 (!.3 mGst / - ($.$3 mGs3 t3 0. Determine la fuerza neta so2re la aeronae en t % s. +* ? 4.1 Q 1$3 @ i - 3 Q 1$3 @ 0.
1.- Un ;om2re 9ue pesa #$ 0 se encuentra dentro de un eleador 6
1%.- Un o2/eto con masa m se muee so2re el e/e >. =u posici)n en funci)n del tiempo est7 dada por >(t At - Bt3, donde A y B son constantes. Calcule la fuerza neta como funci)n del tiempo. +* ?>(t - ! mBt. 1!.- Un o2/eto con masa m $." 0 est7 inicialmente en reposo, si se le aplica una fuerza* Calcule ? %.$ @ i - (4.$ @Gs3 t3 / + (!.$ @ G s t 0. la elocidad (t del o2/eto como funci)n del tiempo. +* r (t (!.% mGs t i - (1.% mGs% t4 / + (.% m G s4 t3 0. 1#.- Fara un 2lo9ue cuya masa es de $ 0 y 9ue se encuentra so2re una superficie ;orizontal, el coeficiente de rozamiento est7tico es de $.4% y el cin:tico $.%. Determine* a Ha fuerza normal 9ue actNa so2re el 2lo9ue. 2 Ha fuerza de rozamiento 9ue actNa so2re el 2lo9ue, si e/erce so2re :ste una fuerza ;orizontal de %$ @. c Ha fuerza m7>ima ;orizontal 9ue pondr7 al 2lo9ue en moimiento. d Ha fuerza mínima ;orizontal 9ue
mantendr7 al 2lo9ue en moimiento una ez 9ue ;a empezado a moerse y e Ha fuerza de rozamiento si la fuerza ;orizontal aplicada es de 1$$ @. +* a @ 1&! @, 2 f s %$ @, c ? "". @, d ? 4& @ y e ? 4& @. 1".- Un 2lo9ue de 1$$$ 0 de masa se encuentra so2re una superficie ;orizontal. =e re9uiere una fuerza mínima de 3%$ @ para ponerlo en moimiento y una de 4$ @ para 9ue se mantena en moimiento con elocidad constante, una ez 9ue ;a empezado a moerse, encuentre* a l coeficiente de rozamiento est7tico. 2 l coeficiente de rozamiento cin:tico. +* a bs $.$3! y 2 b 0 $.$4. 1&.- Un trineo cuyo peso es de %$ 0f se desliza so2re un terreno ;orizontal neado, mediante l a acci)n de una fuerza constante de 1$ 0 f 9ue forma un 7nulo de 3$ con la ;orizontal. =i el coeficiente de rozamiento entre el trineo y la niee es de $.$% determinar la aceleraci)n del trineo. r +* a 1.! mGs i . $.- un m:todo e>perimental sencillo para determinar los coeficientes de rozamiento consiste en emplear un plano cuya inclinaci)n pueda a/ustarse y so2re el cual se ;ace deslizar un cuerpo. Fara un caso particular, el cuerpo empieza a deslizarse ;acia a2a/o del plano inclinado cuando el 7nulo de inclinaci)n es de $.%' una ez iniciando el moimiento, se encuentra 9ue el 2lo9ue se desliza con una elocidad constante cuando el 7nulo de inclinaci)n es de 13 Calcular los coeficientes de rozamiento* a est7tico y 2 cin:tico. +* a bs $.3# y 2 b 0 $.3. 1.- Un 2lo9ue de % 0 se desliza ;acia arri2a so2re un plano inclinado de 1% con la ;orizontal, por medio de una fuerza constante de "$$ @ paralela al plano inclinado, si el rozamiento tiene un coeficiente cin:tico entre el 2lo9ue y el plano inclinado de $.1% 6
34
.- Ha ta2la entre otras dos ta2las en la fiura pesa &%.% @. =i el coeficiente de fricci)n entre los ta2leros es de $.!!3, 6cu7l de2e ser la manitud de las fuerzas de compresi)n (supuestas ;orizontales 9ue actNan so2re am2os lados del ta2lero central para eitar 9ue se deslice8 +* @ # @.
%.- Dos o2/etos de masas m 1 y m , situados so2re una superficie ;orizontal sin rozamiento est7n unidos mediante una cuerda liera. =e e/erce una fuerza F ;acia la derec;a so2re uno de los o2/etos, como se muestra en la fiura. Determinar la aceleraci)n del sistema y la tensi)n de la cuerda. r +* a J? G (m1 5 m K i y (m1 ? G (m1 5 m m
m1
".- n la fiura el coeficiente de rozamiento cin:tico entre el 2lo9ue y la mesa es de $., la masa del cuerpo A es de % 0 y el del cuerpo B es de 1% 0. 6
?
A B
3.- =upona 9ue los tres 2lo9ues 9ue se indican en la fiura se desplazan so2re la superficie sin fricci)n y 9ue una fuerza de 4% @ actNa como se muestra so2re el 2lo9ue de " 0. Determine (a Ha aceleraci)n 9ue se imprime al sistema (2 la manitud de la tensi)n de la cuerda 9ue conecta a los 2lo9ues de 4 0 y " 0, y (c la fuerza 9ue el 2lo9ue de 4 0 e/erce so2re el 2lo9ue de ! 0. r +* a a .% mGs i, 2 % @ y c ? 1% @ i .
4% @ 4 kg
8 kg
6kg
4% @
4.- Dos 2lo9ues de masas m 1 y m, con m1 O m, se colocan toc7ndose entre sí so2re una superficie ;orizontal y sin rozamiento como se indica en la fiura. =e aplica una fuerza ;orizontal constante ? a m1, como se indica. Determine* (a Ha aceleraci)n del sistema formado por los dos 2lo9ues. (2 Ha manitud de la fuerza de contacto entre los dos 2lo9ues. r +* a a J? G (m1 5 m K i y 2 ? m ? G (m1 5 m.. ?
m1
m
!.- Un 2lo9ue se coloca contra el frente ertical de un carro como se muestra en la fiura. 6
a
&.- n el sistema de la fiura la masa del 2lo9ue A es de %$ 0 y la delB2lo9ue B es de $$ 0. l coeficiente est7tico de rozamiento entre A y la superficie en 9ue se encuentra es de $.$%, mientras 9ue el cin:tico es de $.$' la masa de la cuerda y el rozamiento de polea se desprecian. B Determinar* a Ha masa mínima del cuerpo C 9ue de2e colocarse so2re A para eitar 9ue res2ale. 2 Ha aceleraci)n de A si el cuerpo C se retira repentinamente. C
A #.- Dos 2lo9ues de 1$ 0 est7n atados al t ec;o de un ascensor, como se muestra en la fiura. l ascensor acelera ;acia arri2a a 3 mGs . Calcule la manitud de la tensi)n en cada cuerda. +* 1 %! @ y 1" @.
A
B 3$.- l 2lo9ue A en la fiura tiene un peso de .4 @, y B, 4.4 @. l coeficiente de fricci)n cin:tica entre todas las superficies es $.. Determine la manitud de la fuerza ? necesaria para arrastrar a B a la iz9uierda con rapidez constante si A y B est7n conectados por un cordel fle>i2le 9ue pasa por una polea fi/a sin fricci)n. +* ? .3 @.
A
?
B 34
31.- Fara el sistema mostrado en la fiura determine la manitud aceleraci)n del sistema y la tensi)n de la cuerda, si el coeficiente de rozamiento 0 $.4* +* a 1.# mGs y 11.4" @.
3%.- Dos 2lo9ues de masas 4.$$ 0 y ".$$ 0 est7n conectados por un cordel y 2a/an res2alando por un plano inclinado de 3$ como muestra la fiura. l coeficiente de fricci)n cin:tica entre el 2lo9ue de 4.$$ 0 y el plano es de $.%, y entre el 2lo9ue de ".$$ 0 y el plano, $.3%. a Calcule la manitud de la aceleraci)n en cada 2lo9ue. 2 Calcule la tensi)n en el cordel. c 6
".$$ 0 1% 0 3.- Dos !$ 2lo9ues se encuentran unidos por medio de una cuerda inel7stica, como se muestra en la fiura (no considere el rozamiento en la polea y desprecie el peso de la cuerda. Determine la manitud de la aceleraci)n del sistema* +* a $.34 mGs . 3$ 0
$ 0
$.$$ $
4$
33.- l aparato 9ue se muestra en la fiura se denomina m79uina de Atood y se utiliza para medir la aceleraci)n de2ida a la raedad a partir de la aceleraci)n de los dos 2lo9ues. =uponiendo 9ue la cuerda y la polea tienen masa desprecia2le y la polea carece de fricci)n, demostrar 9ue la manitud de la aceleraci)n en cual9uiera de los dos 2lo9ues y la manitud de la tensi)n de la cuerda est7n dados por
D
4% @
4.$$ 0
1$ 0
a
a Di2u/e un diarama de cuerpo li2re del pinino y uno m7s del trineo, e identifi9ue la fuerza de reacci)n a cada fuerza 9ue incluya. 2 Determine la tensi)n en la cuerda. +* &." @. r c Ha aceleraci)n del trineo. +* a $.%" mGs i.
m1 -m m15m
y
m1m . m15m
m1 1
m
34.- =i una de las masas de la m79uina de Atood 3$es de 1. 0, Cu7l sería la otra de la fiura anterior masa para 9ue el desplazamiento de cual9uiera de ellas durante el primer seundo despu:s de comenzar el moimiento fuese de $.4 m8 3!.- n un eento olímpico de patina/e artístico, un patinador de !% 0 empu/a a su compaSera de %$ 0, imprimi:ndole una aceleraci)n de 3 mGs . 6perimenta Tuan8 (2 =i la fuerza se aplica de forma constante, 6D)nde se r /untaran Tuan y Tuana8 +* a a -1.% mGs i , 2 d 4.4& m a la derec;a de Tuana. 3".- Un pinino de % 0 est7 sentado so2re un trineo de 1$ 0 como en la fiura. =e aplica al trineo una fuerza ;orizontal de 4% @, pero el pinino intenta impedir el moimiento su/et7ndose de una cuerda atada a un 7r2ol. l coeficiente de fricci)n cin:tica entre el trineo y la niee, así como el 9ue ;ay entre el trineo y el pinino, es de $.$.
3&.- =e tira ;orizontalmente en la niee de un trineo 9ue pesa !$ @' el coeficiente de fricci)n cin:tica entre el trineo y la niee es de $.1. Un pinino 9ue pesa #$ @ a montado en el tri neo. =i el coeficiente de fricci)n est7tica entre el pinino y el trineo es de $.#, calcule la fuerza ;orizontal m7>ima 9ue se puede e/ercer so2re el trineo sin 9ue el pinino comience a deslizarse. +* ?ma> 1%3 @.
?
4$.- n el modelo de Bo;r del 7tomo de ;idr)eno, la rapidez del electr)n es apro>imadamente iual a . × 1$! mGs. Calcular* (a Ha manitud de la fuerza 9ue actNa so2re el electr)n cuando ira en una )r2ita circular de radio $.%3 × 1$-1$ m (2 Ha manitud de la aceleraci)n centrípeta del electr)n sa2iendo 9ue su masa es de &.1 × 1$-31 0. +* a ?c ".31 > 1$ -" @, 2 ac &.13 > 1$ mGs.
34
41.- Considere las sillas oladoras de un par9ue de diersiones, como se muestra en la fiura. =i la lonitud H es de " m y la distancia a .% m 6
H
+ 4.- Un o2/eto de masa m se suspende de una cuerda de lonitud H. l o2/eto ira siuiendo un círculo ;orizontal de radio r con una rapidez constante, como se muestra en la fiura (como la cuerda enera un cono al irar, el sistema es conocido como p:ndulo c)nico. Pallar* a la manitud de la elocidad del o2/eto' 2 el periodo de reoluci)n. +* a + tan θ , 2 (Y + G + tan θ .
44.- Un piloto se encuentra en un ai)n acro27tico y e/ecuta una manio2ra de 2ucle, como en la fiura. l ai)n se muee en un círculo ertical de radio .# 0m con rapidez constante de % mGs. Determinar la fuerza e/ercida por el asiento so2re el piloto en (a el punto m7s 2a/o del 2ucle y (2 el punto m7s alto del 2ucle. >presar las respuestas en t:rminos de del peso m del piloto. +* a @ J m (1".#% mGs 5 m (&." mGs K y 2 @ J m (1".#% mGs - m (&." mGs K.
4%.- Un disco de masa m se desliza so2re una mesa sin fricci)n, cuando esta unido a un cilindro colante de masa \ mediante una cuerda 9ue pasa por un au/ero en la mesa, como se muestra en la fiura. 6
1.% m .$$ m
4.$$ 0 1.% m
4#.- 6Cu7l es el radio mínimo de un camino plano (sin peralte alrededor del cual una ciclista puede ia/ar con rapidez de 3$ 0mG; y el coeficiente de fricci)n entre las llantas y el camino es de $.38 +* + .14 m. 4".- Una pe9ueSa esfera de masa m est7 unida al e>tremo de una cuerda de lonitud +, ira 2a/o la influencia de la fuerza de raedad descri2iendo un círculo ertical alrededor de un punto fi/o como se muestra en la fiura . Determine la tensi)n de la cuerda cuando :sta forma un 7nulo θ con la ertical. Ha rapidez de la 2ola no es constante. +* m J(G+ 5 cos ZK
r
r
43.- Un /ueo mec7nico en un par9ue de diersiones consiste de un carro 9ue se muee en círculo ertical colocado en el e>tremo de una ia ríida de masa desprecia2le. l peso del carro con sus pasa/eros es de ! 0@ y el radio del círculo es de " m. 6Cu7les son la manitud y direcci)n de la fuerza de la ia en la parte superior del círculo, si la rapidez del carro a;í es* a 4 mGs y 2 13 mGs8 a ? 4##%.% @, 2 ? !&33.%# @.
+
m
\
4!.- l 2lo9ue de 4.$$ 0 de la fiura est7 unido a una arilla ertical con dos ;ilos. Cuando el sistema ira so2re el e/e de la arilla, los ;ilos se e>tienden como se muestra y la tensi)n en el ;ilo superior es de "$ @. a 6pli9ue 9u: sucede si el nNmero de rpm es menor 9ue en c. +* a 31 @, 2 [ 4% rpm
4&.- Un coc;e de 1"$$ 0 se muee so2re una carretera ;orizontal y plana y siue una cura cuyo radio es de 4$ m. =i el coeficiente de rozamiento est7tico entre los neum7ticos y el paimento seco es de $.%, calcular la manitud de la elocidad m7>ima 9ue el coc;e puede alcanzar para dar la uelta sin pro2lemas. +* ma> 14 mGs.
34
%$.- Un ineniero desea diseSar una rampa de salida en cura para una autopista, de tal forma 9ue los coc;es no tenan 9ue depender del rozamiento para tomar la cura sin derrapar, como se muestra en la fiura. =upona 9ue un coc;e típico toma la cura con una rapidez de %$ mG; y 9ue el radio de la cura es de 4% m 6cu7l ;a de ser el 7nulo de inclinaci)n de la cura8 +* 3 3#E.
e total 3$".! T.
F 30°
m1 d fuerza ;orizontal. +* "4%.# T.
F
m1
20°
Z e fuerza paralela al plano inclinado. +* &$$ T.
TRABA*O (FUER+AS CONSTANTES EN TRAYECTORIA RECTILÍNEA:
1.- Un 2lo9ue de 1$ 0 se encuentra 2a/o la acci)n de una fuerza constante de &$ @ a lo laro de un recorrido rectilíneo de 1$ m (sin rozamiento, en las situaciones mostradas a continuaci)n. Determine en cada situaci)n el tra2a/o efectuado por dic;a fuerza* a fuerza ;orizontal. +* &$$ T. F
m1
2 fuerza de empu/e. +* ##&.4 T. 30
°
F
m1
c fuerza tirando del cuerpo. +* ##&.4 T.
F
m1 20°
.- =uponer 9ue en el pro2lema anterior el coeficiente de rozamiento entre el 2lo9ue y la superficie b0 $.. Determine en cada caso el tra2a/o efectuado por cada una de las fuerzas 9ue actNan so2re el 2lo9ue. +* a m $ T, @ $T , ? &$$ T y f -1&! T. 2 m $ T, @ $ T, ? ##&.4 T y f -"! T. c m $ T, @ $ T, ? ##&.4 T y f -1$! T d m - 33%.1" T, @ $ T, ? "4%.# T y f - 4%.#4 T e m - 33%.1" T, @ $ T, ? &$$ T y f -1"4. T 3.- Determine el tra2a/o total efectuado so2re el cuerpo en cada caso del pro2lema . +* a total #$4 T, 2 total 4&1.4 T, c total !##.4T, d total !4.4! T y
4.- Una ota de lluia de 3.3% Q 1$ -% 0 de masa cae erticalmente con rapidez constante 2a/o la influencia de la raedad y la resistencia del aire. \odele la ota como partícula. \ientras cae 1$$ m, 6cu7l es el tra2a/o consumido en la ota a por la fuerza raitacional y 2 por la resistencia del aire8 +* a ? 3." cT, 2 f -3." cT. %.- Un 2lo9ue de ;ielo flotante 9ue es empu/ado por una corriente efectNa un desplazamiento r ∆ r 1% m i - 1 m / a lo laro de un terrapl:n recto' el aua e/erce una fuerza ? 1$ @ i 5 1%$ @ / so2re el 2lo9ue. 6Cu7nto tra2a/o realiza la fuerza so2re el 2lo9ue durante el desplazamiento8 +* 13%$ T. !.- Una persona empu/a un corrito de supermercado en mal estado, para 9ue el carrito se muea en línea recta, la persona de2e aplicar una fuerza cuya direcci)n no es paralela a l a trayectoria rectilínea del carrito. =i la fuerza aplicada por la persona so2re el carrito considerado como partícula es* ? " @ i - @ / y el desplazamiento r ∆ r 3 m i 5 m / " Calcular* a el tra2a/o realizado por la fuerza so2re la partícula. 2 el 7nulo entre la fuerza y el desplazamiento. +* a $ T, 2 4# 43. #.- Un cuerpo de 0 e>perimenta un r desplazamiento ∆ r 3 m i 5 3 m / - m 0 . Durante el desplazamiento actNa so2re el cuerpo una fuerza constante ? @ i - 1 @ / 5 1 @ 0 . (a Determinar el tra2a/o realizado por la fuerza en el desplazamiento y (2 Determinar la componente de la fuerza en la direcci)n del desplazamiento. +* a 1 T, 2 ?cos $.13 @. ".- Un pescador /ala una lanc;a so2re un lao estacionario con un iento fuerte. l pescador aplica una fuerza constante ? 3$ @ i - 4$ @ / a
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la lanc;a, mientras :sta sufre un desplazamiento r s -& m i - 3 m / 6Cu7nto tra2a/o efectNa la fuerza del pescador so2re la lanc;a8 +* -1%$ T.
TRABA*O (FUER+AS VARIABLES EN T RAYE CT OR IA R ECT IL ÍNE A Y FUER+AS CONSTANTES EN TRAYECTORIAS CURVAS) 1.- Una fuerza de 1!$ @ estira un resorte $.$%$ m m7s all7 de su lonitud no estirada (a 6 a un trineo de 1$ 0 9ue se muee so2re la superficie conelada de un estan9ue. Ha niSa controla la rapidez del trineo, y la componente > de la fuerza 9ue aplica aría con la coordenada > del o2/eto como se muestra en la fiura. Calcule el tra2a/o efectuado por F cuando el trineo se muee* a de > $ a > ".$ m. 2 de > ".$$ m a > 1.$ m. c de > $ a > 1.$ m. +* a 4$ T, 2 $ T y c !$ T. ?>, J@K 1$
3.- =e re9uiere un tra2a/o de 1 T para estirar un resorte 3.$$ cm respecto a su lonitud no estirada. 6Cu7nto tra2a/o de2e efectuarse para comprimir ese resorte 4.$$ cm respecto a su lonitud no estirada8 R: W = 21.33 J. 4.- Un resorte tiene una constante de fuerza de 1%$ @Gcm. a 6Cu7nto tra2a/o se necesita para e>tenderlo #.!$ mm respecto a su posici)n rela/ada8 2 6Cu7nto tra2a/o se re9uiere para e>tenderlo otros #.!$ mm8 +* a $.433 T, 2 1.3 T. %.- Una aca terca trata de salirse del esta2lo mientras usted la empu/a cada ez con m7s fuerza para impedirlo. n coordenadas cuyo orien es la puerta del esta2lo, la aca camina de > $ a > !.& m mientras usted aplica una fuerza componente > ?> - J$ @ 5 (3@Gm>K. 6Cu7nto tra2a/o efectNa so2re la aca la fuerza 9ue usted aplica durante ese desplazamiento8 +* -$&.4 T. !.- Ha fuerza 9ue actNa en una partícula es ?> ("> I 1! @, donde > est7 en metros. a ]rafi9ue est7 fuerza con > desde > $ ;asta > 3 m. 2 A partir de su r7fica encuentre el tra2a/o neto realizado por esta fuerza so2re la partícula conforme se traslada de > $ a > 3.$$ m. +* 2 -1 T. #.- Un o2/eto de masa m, est7 suspendido por medio de una cuerda de lonitud H. Al o2/eto lo muee lateralmente una fuerza ? 9ue siempre es ;orizontal, ;asta 9ue la cuerda finalmente forma un 7nulo V con la ertical. l moimiento se consiue con una pe9ueSa rapidez constante. Determine el tra2a/o de todas las fuerzas 9ue actNan so2re el o2/eto, er fiura.
%
$
4
"
1
Q, JmK
V
".- Batman cuya masa es de "$ 0, est7 colado en el e>tremo li2re de una soa de 1 m, el otro e>tremo est7 fi/o de la rama de un 7r2ol arri2a de :l. Al fle>ionar repetidamente la cintura, ;ace 9ue se pona en moimiento, y eentualmente la ;ace 2alancear lo suficiente para 9ue pueda llear a una repisa cuando la soa forma un 7nulo de !$ con la ertical. 6Cu7nto tra2a/o inirti) la fuerza raitacional so2re Batman en esta manio2ra8 +* -4 #$4 T.
POTENCIA: 1.- Una lanc;a de motor necesita "$ ;p para moerse a una elocidad constante de 1! 0mG;. 6Cu7l es la fuerza de resistencia del aua so2re el 2ote a esta elocidad8 +* ? 13 441 @, 1"$. .- Una persona de "" 0 su2e por una escalera con moimiento uniforme ;asta una altura de % m empleando un tiempo de minutos. Calcular la potencia en Pp desarrollada por la persona. +* F $.41 Pp. 3.- Un cuerpo de % 0 es eleado por una fuerza iual al peso del cuerpo. l cuerpo se muee erticalmente ;acia arri2a con elocidad constante de mGs. (a 6Cu7l es la potencia de la fuerza8 (2 6cu7nto tra2a/o realiza la fuerza en 4 s8 +* a F &" , 2 3& T. 4.- Un ato ;a cazado un rat)n y decide arrastrarle ;asta la ;a2itaci)n para 9ue la dueSa de la casa pueda admirar su acci)n cuando despierte. Fara arrastrar al rat)n so2re la alfom2ra con elocidad constante 2asta aplicar una fuerza constante de 3 @. =i la fuerza del ato permite realizar este tra2a/o con una potencia de ! . (a 6Cu7l es la manitud de la elocidad8 (2 6
34
r a ? 4 @ i 5 3 @ 0 , ! mGs i . r 2 ? ! @ i - % @ / , -% mGs i . r c ? 3 @ i - ! @ / , mGs i 5 3 mGs /. +* a F 4 , 2 F -3$ y c F -1 .
!.- Un malacate 9ue funciona por medio de enería el:ctrica (er fiura, arrastra una ca/a de .$ 0 pendiente arri2a con una rapidez constante de 3.$ mGs. l coeficiente de fricci)n cin:tica entre la ca/a y la superficie es de $.3. 6Cu7nta potencia de2e suministrar el malacate8 +* 4#.3
$ m #.- Un ;om2re empu/a una ca/a con una fuerza ;orizontal de 3 $$$ @ para su2irla por una rampa de " m de lonitud 9ue forma un 7nulo de 1% por 3$ m encima de la ;orizontal* (a 6
T E OR E M A , T R AB A *O Y E N E R Í A CIN-TICA : 1.- Una partícula de $.!$ 0 tiene una rapidez de .$ mGs en un punto A y en un punto B una enería cin:tica de #.% T. 6Cu7les son* a su enería cin:tica en A, 2 la manitud de su elocidad en el punto B y c el tra2a/o neto inertido en la partícula, conforme se muee del punto A al punto B8 +* a A 1. T, 2 % mGs, c AB !.3 T. .- Un autom)il ia/a oriinalmente con una rapidez de 1$$ 0mG; frenan y se detiene considerando 9ue su masa es de 1"$$ 0. (a 6Cu7l es el alor de su enería cin:tica al inicial8 (2 6Cu7nto ale su enería cin:tica al final8 (c Determine el cam2io 9ue sufre la enería cin:tica del auto. (d 6Cu7l es el tra2a/o 9ue realiza el
sistema de frenos del auto para detenerlo8 (e =i se o2sera 9ue al auto se detiene en una distancia de 1%$ m. Calcular la manitud de la fuerza empleada para tal efecto. +* (a $ !&4 444. 44 T, (2 $, (c M !&4 444. 44 T, (d -!&4 444. 44 T y (e f 4!&.!3 @.
cin:tica y potencial para cada uno de los puntos anteriores 6ima de la niSa. +* h 4.!4 mGs i 3.- Utilizando consideraciones ener:ticas y despreciando el rozamiento con el aire' con 9u: elocidad tendr7 9ue ser lanzado un proyectil erticalmente ;acia arri2a, si se desea 9ue lore una altura m7>ima de 3% m. r R: !.1& mGs / .
3.- Una 2ola de $.3$$ 0 tiene una rapidez de 1%.$ mGs. a 6Cu7l es su enería cin:tica8 2 si su rapidez se duplica, 6cu7l sería su enería cin:tica8 +* a 33.#% T, 2 13% T. 4.- Un o2/eto de 3.$$ 0 tiene una elocidad de ( ! i - / mGs. a 6Cu7l es su enería cin:tica en ese momento8 2 6Cu7l es el tra2a/o neto inertido en el o2/eto si su elocidad cam2ia a ( " i - 4 / mGs8 @ota* de la definici)n de producto punto* g . +* a !$ T. 2 if !$ T. %.- Un martinete de 1$$ 0 se usa para enterrar una ia I de acero en la tierra. l martinete cae %.$$ m antes de 9uedar en contacto con la parte superior de la ia. Despu:s claa la ia 1.$ cm m7s en el suelo mientras llea al reposo. Aplicando consideraciones de enería, calcule la fuerza promedio 9ue la ia e/erce so2re el martinete mientras :ste llea al r eposo. +* ? "#$ $"$ @, ertical ;acia arri2a.
4.- Un cami)n caruero de 3$ $$$ 0 tarda 4$ minutos en su2ir desde 1"$ m ;asta &$$ m por un camino de montaSa (a 6Cu7nto tra2a/o desarrollo contra la raedad8 (2 6Cu7ntos ca2allos de potencia asto el cami)n en contra de la raedad8 +* a #&&.!" \T, 2 F 44!.!% ;p. %.- l mecanismo de lanzamiento de un rifle de /uuete consiste en un resorte de constante de fuerza desconocida. =i el resorte se comprime una distancia de $.14 m y el /uuete se dispara erticalmente, como de indica, el rifle puede lanzar un proyectil de desde el reposo a una altura m7>ima de $ m por encima del punto de partida de proyectil. =in tomar en cuenta las fuerzas resistias, determine (a la constante de fuerza del resorte y (2 la elocidad del proyectil cuando pasa por la posici)n de e9uili2rio del resorte. r +* a 0 44$ @Gm, (2 1&.&3 mGs / .
!.- Una masa de ! 0 en reposo se elea a una altura de 3 m con una fuerza ertical de "$ @. Determinar* a l tra2a/o realizado por la fuerza. 2 l tra2a/o realizado por la fuerza de raedad. c Ha enería cin:tica final de la masa
ENERÍA POTENCIAL ,RAVITACIONAL Y EL.STICA: 1.- =e de/a caer un o2/eto de 1$ 0 desde lo alto de un edificio de 3$ m de alto. Calcular* a las enerías cin:tica y potencial 9ue posee cuando est7 en la parte alta del edificio (no considere el rozamiento con el aire. 2 las enerías cin:tica y potencial cuando ;a caído al piso. Compare la suma de enerías
>
>$
>
34
".- Ha fiura muestra una piedra de # 0 en reposo so2re un resorte, 9ue es comprimido 1$ cm por la piedra* (a 6Cu7l es la constante de resorte8 (2 la piedra es empu/ada otros 3% cm y soltada. 6Cu7l es la enería potencial el7stica U e del resorte comprimido, /usto antes de soltarla8 (c 6Cu7l es el cam2io de enería potencial raitacional del sistema formado por la piedra y la ierra cuando la primera se muee desde el punto donde se suelta ;asta su m7>ima altura. (d 6Cu7l es la m7>ima altura, medida desde el punto en 9ue se suelta8 +* a 0 !"! @Gm, 2 Ue !&.4! T, c MU !&.4! T y d ; 1.$1 m
y "
0
!.- Un 2lo9ue de 4 0 se pone contra un resorte en un plano inclinado sin fricci)n de 33 con la ;orizontal. (l 2lo9ue no est7 unido al resorte. l resorte cuya constante de resorte es de .4 @Gcm se comprime $ cm y lueo se suelta (a 6Cu7l es la enería potencial el7stica del resorte comprimido Ue8 (2 6Cu7l es el cam2io en la enería potencial raitacional del sistema formado por el 2lo9ue y la ierra cuando el primero se muee desde el punto en 9ue se suelta, ;asta el punto m7s alto al 9ue llea del plano inclinado (c 6
! (4,% m
x
&.- l lanzador de 2olas de un /ueo de pin2allj tiene un resorte cuya constante fuerza es 1. @Gcm. Ha superficie so2re la 9ue se desplaza la 2ola est7 inclinada 1$ respecto a la ;orizontal. =i el resorte se comprime inicialmente % cm, determine la rapidez con la 9ue se lanza la 2ola de $.1 0 cuando se suelta del :m2olo. Ha fricci)n y la masa del :m2olo son insinificantes. +* 1.!" mGs.
.- Una fuerza actNa so2re un cuerpo 9ue se muee en el plano xy est7 dada por la e>presi)n ? = (3yi + > / @ , donde x y y se e>presan en metros. l cuerpo se muee desde el orien ;asta un punto de coordenadas (4,% m, como se muestra en la fiura del pro2lema 1. Calcular el tra2a/o realizado por ? si el cuerpo se muee a lo laro de los tres caminos mostrados en la fiura, es decir* 0! , 0"! y 0! . >plica tu conclusi)n en 2ase a la soluci)n.
10º TEOREMA DE CONSERVACIÓN DE LA ENERÍA MEC.NICA (FUER+AS CONSERVATIVAS)"
3.- Un carrito de montaSa rusa de "$$ 0, inicialmente en reposo, desciende por una pendiente como se indica en la fiura. Determine la elocidad 9ue ad9uiere en el punto A. r +* 13.&1 mGs i.
1.- (a =uponer 9ue una fuerza constante actNa so2re un cuerpo. Ha fuerza no aría en el tiempo, ni con su posici)n ni con la elocidad del cuerpo. Fartiendo de la definici)n eneral del tra2a/o realizado por una fuerza f r r i ? ×dr
∫
=i ? = (4i + ! / @ actNa so2re un cuerpo 9ue se muee desde $ ;asta C. Calcular el tra2a/o realizado por ? si el cuerpo se muee a lo laro de los tres caminos mostrados en la fiura, es decir* 0! , 0"! y 0! . >plica tu conclusi)n en 2ase a la soluci)n.
1$m A
34
4.- l p:ndulo 9ue se muestra en la fiura, se supone ideal, si tiene una lonitud en la cuerda de 4$ cm y se suelta en el punto A 69u: elocidad tendr7 la lente/a* (a l punto B (2 l punto C. =uponer al sistema conseratio. r R: #a$ 1.!! mGs i , (2 1.%" mGs, 1%.
la elocidad inicial mínima para 9ue el p:ndulo de una uelta completa en el plano ertical. (a 6Cu7l es la m7>ima enería cin:tica de la lente/a8 (2 6Cu7l es en ese momento la tensi)n de la cuerda8 +* (a ma> % m+G (2 !m
F
!$ m
%$ 1%
A
C B
A
%.- Un 2lo9ue de 3.$$ 0 9ue se desliza remonta la colina lisa, cu2ierta de ;ielo, como se muestra en la fiura. Ha cima de la colina es ;orizontal y est7 a %$ m m7s arri2a de su 2ase. 6
%$ m
$ m
#.- Una cuenta de collar se desliza so2re un ca2le sin rozamiento 9ue forma un 2ucle como el mostrado en la fiura. Ha cuenta se suelta desde una altura ; 3.% +. (a 6Cu7l es su rapidez en el punto A8 (2 6Cu7l es la fuerza normal e/ercida so2re ella en el punto A, si su masa es de %.$$ 8 +* (a (3+ 1G (2 $.$&" @ descendente.
4$ m
!.- Una partícula1$$ de masa m m $.%$$ 1%0mse lanza desde el punto F, como se indica en la fiura. Ha partícula tiene una elocidad &$ con una componente ;orizontal de 3$.$ mGs, la partícula alcanza una altura m7>ima de $.$ m por encima del punto F. Utilizando el teorema de conseraci)n de la enería, determinar (a l a componente ertical de &i, (2 el tra2a/o realizado por la fuerza de raedad so2re la partícula durante su moimiento desde F ;asta B y (c las componentes ;orizontal y ertical de la elocidad en el punto B. +* a y 1&." mGs, 2 &4.3 T, c > 3$ mGs y y - 3&.! mGs
$
B
1$.- Un carro de montaSa rusa rueda por una ía sin fricci)n en un par9ue de diersiones, como muestra la fiura. =i parte del reposo en el punto A cuya altura es ; so2re la 2ase del rizo. rate al carro como partícula. a 6tremo de un di7metro ;orizontal. +ealice un diarama a escala a escala de las componentes de aceleraci)n en dic;o punto. +* a ; %+G, 2 31.3$ mGs, a+ 4& mGs y at &." mGs .
".- Un p:ndulo est7 formado por un lente/a de 0 atada a una cuerda liera de lonitud 3 m. Ha lente/a se olpea ;orizontalmente, de modo 9ue alcanza una elocidad ;orizontal inicial de 4.% mGs. n el punto en 9ue la cuerda forma un 7nulo de 3$ con la ertical (a 6cu7l es Ael m)dulo de la elocidad de la lente/a8 (2 6Cu7l es su enería ; potencial8 (c 6Cu7l es la tensi)n de la cuerda8 (d 6ima altura8 +* (a 3.% mGs (2 U #."4 T (c %.3 @ (d Z 4&k &.- Un p:ndulo est7 formado por una cuerda de lonitud H y un lente/a de masa m. Ha cuerda se dispone en posici)n ;orizontal y se da a la lente/a
11.- Un p:ndulo consiste en una pe9ueSa masa m A atada al e>tremo de una cuerda B de lonitud H. al como se muestra en la fiura, la masa se coloca en posici)n ;orizontal y se suelta. n el punto m7s 2a/o de la oscilaci)n, la cuerda c;oca con una ;clai/a delada situada a una distancia + por encima de dic;oCpunto. Demostrar+9ue + de2e ser menor 9ue HG% para 9ue la masa descri2a un círculo entero alrededor de +.
H
+
34
1.- =e empu/a un 2lo9ue de 0 contra un muelle (resorte cuya constante de fuerza es %$$ @Gm. Despu:s de comprimirlo $ cm, el muelle se suelta y proyecta al 2lo9ue primero so2re una superficie ;orizontal sin rozamiento, y lueo por un plano inclinado 4%, tam2i:n sin rozamiento, como se indica en la fiura. 6
4% $ cm
1%.- n la fiura, los 2lo9ues de 1$ 0 y 1% 0 est7n unidos mediante una cuerda liera 9ue pasa por una polea sin fricci)n. l 2lo9ue de 1% 0 est7 unido al resorte de masa desprecia2le con constante de fuerza de $$ @Gm. l resorte no est7 deformado cuando el sistema se encuentra en la posici)n indicada. =e desplaza 1% cm ;acia a2a/o al 2lo9ue de 1$ 0 por el plano inclinado 9ue no presenta rozamiento con el 2lo9ue (así el 2lo9ue de 1% 0 9ueda a 3$ cm de altura, respecto del suelo y se li2era desde el reposo. Calcular la rapidez de cada 2lo9ue cuando el 2lo9ue de 1% 0 se encuentra a una altura de 1% cm respecto del suelo (es decir, cuando el resorte no est7 deformado. +* 1.13 mGs.
1#.- l sistema 9ue se muestra en la fiura 11a est7 en reposo cuando se corta la cuerda inferior. Determinar la rapidez de los o2/etos cuando est7n a la misma altura. n la polea no ;ay rozamiento y su masa es desprecia2le.
3 0
$ cm
13.- Un ta2i9ue se encuentra so2re un montículo semiesf:rico como se muestra en la fiura, si empieza a res2alar desde el reposo. 6n 9u: punto p de la superficie sin rozamiento, de/a el ta2i9ue de tener contacto con el montículo. +* ; +G3.
1m 1$ 0 1% 0 1% cm
R 14.- Un 2lo9ue de masa m parte del reposo a una altura ; y se desliza ;acia a2a/o por un plano inclinado sin rozamiento 9ue forma un 7nulo Z con la ;orizontal como se muestra en la fiura. l 2lo9ue c;oca contra un muelle de constante de fuerza 0. Determinar la compresi)n del muelle cuando el 2lo9ue se detiene moment7neamente.
0
3%
1!.- Un sistema 9ue consta de dos cu2etas de pintura conectadas por una cuerda liera se suelta del reposo con la cu2eta de 1 0 a m so2re el piso. Use el teorema de conseraci)n de la enería mec7nica para calcular la rapidez con 9ue la cu2eta olpea el piso. Paa caso omiso de la fricci)n y la inercia de la polea. +* 4.43 mGs.
m
1".- Una pesa de imnacia formada por dos 2olas de masa m conectadas por una 2arra de lonitud H y masa desprecia2le se apoya so2re una superficie ;orizontal y un muro ertical, am2os sin rozamiento. Comienza a deslizar, como se muestra en la fiura. Determinar la rapidez de la 2ola 9ue et7 /unto al suelo en el momento 9ue tiene la misma rapidez de la otra 2ola. +* = $.&H.
1.$ 0 0
;
Z
m 4.$ 0 34
ENERÍA MEC.NICA (FUER+AS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS)" 1.- Un ui/arro de $.$ 0 se li2era del reposo en el punto A, en el 2orde un taz)n ;emisf:rico de radio + $.%$ m. =upona 9ue la piedra es pe9ueSa en comparaci)n con +, así 9ue puede tratarse como una partícula supona 9ue la piedra se desliza en luar de rodar. l tra2a/o efectuado por la fricci)n so2re el ui/arro al 2a/ar de A al punto B en el fondo del taz)n es I$. T. 6
4.- l autom)il de $$$ 0 9ue se muestra en la fiura est7 en el punto A y se muee a $ mGs cuando empieza a su2ir la cuesta cuando pasa por el punto B su rapidez es de % mGs. (a 6De 9u: manitud es la fuerza de rozamiento media 9ue retarda su moimiento8 (2 Considerando la misma fuerza de rozamiento 6A 9u: distancia m7s all7 de B lleara el autom)il antes de detenerse8 +* a f & 3".## @ +* .!" m B
A
+
A
B
.- Un arma de /uuete usa un resorte para proyectar una 2ala de ;ule suae de %.3$ . l resorte oriinalmente se comprime %.$ cm y tiene una constante de fuerza de ".$ @Gm. Cuando el arma se dispara, la 2ola se muee 1% cm atra:s del caSon ;orizontal del arma y el caSon e/erce una fuerza de fricci)n constante de $.$3 @ en la 2ola. (a 6Con 9u: rapidez el proyectil a2andona el caS)n del arma. (2 6n 9ue punto la 2ola tiene rapidez m7>ima8 (c 6Cu7l es esta rapidez m7>ima8 3.- Un es9uiador de #$ 0 inicialmente en reposo, desciende por una pendiente como se indica en la fiura* (a determine la elocidad 9ue ad9uiere en el punto A. (2 6
$ A 4$ m
B
3$ m %m d$A 3$$ m y f $ @
"m mA
$
%.- Un trozo de madera de .$ 0 res2ala por una superficie como se muestra en la fiura. Hos lados curos son perfectamente lisos, pero el fondo ;orizontal tiene una lonitud de 3$ m y es 7spero, con coeficiente de fricci)n cin:tica de $.$ con la madera. l trozo de madera parte del reposo 4.$ m arri2a del fondo 7spero. (a 6D)nde se detendr7 finalmente este o2/eto8 (2 Fara el moimiento desde 9ue se suelta la madera ;asta 9ue se detiene, 6cu7l es el tra2a/o total 9ue realiza la fricci)n8 +* a d $ m, 2 -#".4 T.
!.- Una piedra de 1% 0 2a/a desliz7ndose por una colina neada como se muestra en la fiura. =i parte del punto A con una rapidez de 1$.$ mGs y no ;ay fricci)n en la colina entre los puntos A y B, pero sí en el terreno plano, la 2ase entre B y la pared. Despu:s de entrar en la rei)n 7spera la piedra recorre 1$$ m y c;oca con un resorte muy laro y liero cuya constante de fuerza es de .$$ @Gm, si los coeficientes de fricci)n cin:tica y est7tica entre la piedra y el suelo ;orizontal son de $.$ y $."$, respectiamente. a 6 1!.3" m. +*
#.- Un 2lo9ue de 1$ 0 se pone en moimiento ;acia arri2a de un plano inclinado con una rapidez inicial de 1% mGs, como se muestra en la fiura, el 2lo9ue llea al reposo despu:s de recorrer 1 m a lo laro del plano, 9ue est7 inclinado en un 7nulo de !$ con la ;orizontal. Fara este moimiento determine a el cam2io en la enería cin:tica del 2lo9ue, 2 el cam2io en la enería potencial del sistema 2lo9ue-ierra, c la fuerza de fricci)n 9ue se e/erce so2re el 2lo9ue (supuestamente constante y d 6cu7l es el coeficiente de fricci)n cin:tica8 +* a -11% T, 2 U 1$1".4% T c f 0 "."" @ y d $.1"1
1 m
1% mGs
".- Un 2lo9ue de 1 0 se suelta so2re un plano !$;acia a2a/o a una distancia inclinado desliz7ndose de % m de un muelle de constante de fuerza 0 $$ @Gm. l muelle est7 fi/o a lo laro del plano inclinado, 9ue forma un 7nulo de !$ como se muestra en la fiura. (a =i no ;ay rozamiento entre el 2lo9ue y la superficie, ;allar la compresi)n m7>ima del muelle, admitiendo 9ue carece de masa. (2 =i el coeficiente de rozamiento cin:tico entre el 2lo9ue y la superficie es de $.3, ;allar la compresi)n m7>ima. (c n el plano del apartado (2, 6;asta 9u: punto su2ir7 el 2lo9ue por el plano despu:s de a2andonar el muelle8 +* (a > $.# m, (2 > $.!3 m y (c dE 3.%4 m
m 1 0
% m
$ m B
0 $$ @Gm 34
%.- Un niSo de 4$.$ 0, 9ue se encuentra de pie so2re un estan9ue ;elado, lanza una piedra de $.%$$ 0 ;acia el ste con una rapidez de %.$ mGs. Rnorando el rozamiento entre el niSo y el ;ielo calcular la elocidad de retroceso del niSo. +* $.$!% mGs al `este. &.- Un 2lo9ue reposa so2re un plano inclinado como se muestra un la fiura. For medio de una polea, el 2lo9ue est7 conectado a un resorte del cual se tira ;acia a2a/o con una fuerza radualmente creciente. l alor de b e es conocido. Determinar la enería potencial U del resorte en el momento 9ue el 2lo9ue comienza a moerse.
!.- Dos 2lo9ues de masas \ y 3\ se colocan so2re una superficie ;orizontal sin rozamiento. =e fi/a un resorte liero a uno de ellos y enseuida se empu/an am2os 2lo9ues comprimiendo el resorte entre ellos, como se muestra en la fiura, su/etando los 2lo9ues mediante una cuerda. A continuaci)n, se rompe la cuerda, por lo 9ue el 2lo9ue de masa 3\ se muee ;acia la derec;a con una rapidez de mGs. (a 6Cu7l es la rapidez del 2lo9ue de masa \8 (2 Pallar la enería potencial el7stica oriinal del resorte si \ $.3%$ 0. +* (a ! mGs, (2 Ue ".4 T.
" CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL SU CONSERVACIÓN E IMPULSO: 1.- 6 & 0gmGs y py -1 0gmGs, r (2 p & 0 ×mGs i - 1 0 ×mGs / y p 1% 0 ×mGs, 3$#.
Z 1$.-l coeficiente de rozamiento cin:tico entre el 2lo9ue de 4 0 y la plataforma es de $.3%. (a Determinar la enería disipada por rozamiento cuando el 2lo9ue de 0 cae una distancia y . (2 Calcular la enería mec7nica total del sistema despu:s de 9ue el 2lo9ue de 0 caia la distancia y , =uponiendo 9ue inicialmente $. (c Utiliza los resultados de (2 para determinar el m)dulo de la elocidad de cual9uiera de los dos 2lo9ues despu:s de 9ue el 2lo9ue de 0 caia m.
antes
3.- Un o2/eto de 4."" 0 con una rapidez de 31.4 mGs c;oca contra una placa de acero en un 7nulo de 4, y re2ota con la misma rapidez y 7nulo. 6Cu7l es el cam2io en su momentum8 r +* ∆p $% 0gmGs /.
4
4.- Un cami)n de $$$ 0 9ue se dirie al @orte a 4$ mG;, da uelta al ste y acelera a %$ 0mG;. 6Cu7l es el cam2io de su momentum8 +* Mp 3% %# 0gmGs a 3" 3& al =ur del ste.
.$$ mGs
\
3\
#.- =e suelta un 2lo9ue pe9ueSo de masa m 1 $.%$$ 0 desde una posici)n de reposo en el punto m7s alto de una cuSa cura de masa m 3 0 9ue despu:s descansa so2re una superficie ;orizontal sin fricci)n, como se muestra en la fiura (a. Cuando el 2lo9ue de/a atr7s a la cuSa su elocidad medida es de 4.$$ mGs ;acia la derec;a como en la fiura (2. a 6Cu7l es la elocidad de la cuSa despu:s de 9ue el 2lo9ue llea a la superficie ;orizontal8 2 6Cu7l es la altura, ;, de l a cuSa8 w +* a - $.!# mGs i. 2 ; $.&% m m1
m
4
4 0
3\
\
;
m
u2 4.$$ mGs
0 ?iura (a
?iura (2 34
una pelota de oma con masa de 14$ , 9ue se muee a #." mGs, la colisi)n dura 3.& ms. r r m + * (a ? = − i, (2 ? = − %!$ @ i. ∆t ".- Una pelota de 3$$ r se orienta ;acia un 2ate con una rapidez de 13 mGs, cinco cent:simas despu:s sale en sentido contrario con una rapidez de $ mGs calcular* (a l impulso 9ue reci2e la pelota. (2 Ha fuerza 9ue e/erce la pelota so2re el 2ate. R: a$ R &.& 0 mGs i y %$ ? -1&" @ i . &.- =e dispara una 2ala de $$ r por medio de un rifle de % 0, si despu:s del disparo la 2ala sale con una rapidez de 3$$ mGs calcule la elocidad de retroceso del rifle. r +* - 1 mGs i. 1$.- Una muc;ac;a de %% 0 salta ;acia afuera de una canoa de #% 0 9ue est7 inicialmente en reposo. =i la elocidad de la muc;ac;a es de .% mGs a la derec;a, 6cu7l es la elocidad de la canoa despu:s del salto8 +* 1."3 mGs a la iz9uierda. 11.- Un autom)il con una masa de 1% !"$ 0 se muee a mGs frena y se detiene en $ s. Calcular* a 6Cu7l es su cantidad de moimiento inicial8 2 6Cu7nto ale su cantidad de moimiento final8 c 6Cu7l es el cam2io en la cantidad de moimiento8 d Calcule el impulso 9ue reci2e para detenerse e 6
F = - 17 248 N iˆ
.
1.- Una pelota de masa m y rapidez v olpea un muro perpendicularmente, y re2ota con rapidez inalterada. (a =i el tiempo de colisi)n es Mt, 6cu7l ser7 la fuerza promedio e/ercida por la pelota so2re el muro8 (2 alNe esta fuerza num:ricamente en
13.- Una 2ola de acero de 3.$$ 0 c;oca contra una pared con un rapidez de 1$ mGs, formando un 7nulo de !$ con la superficie. Ha 2ola re2ota con la misma rapidez y formando el mismo 7nulo, er la fiura. =i la 2ola est7 en contacto con la pared durante $.$ s, 6cu7l es la fuerza promedio e/ercida por la pared so2re la 2ola8 +* ? -!$ @ i. y
!$ x
!$ 14.- Un c;orro de 1$$ 2olitas de idrio sale de un tu2o ;orizontal cada seundo y c;oca contra un platillo de una 2alanza como se e en la fiura. n su marc;a caen a lo laro de una distancia de $.% m ;asta la 2alanza y re2otan ;asta la misma altura. Cada 2olita tiene una masa de $.% . 6
COLISIONES EN DIMENSIONES"
UNA
Y
DOS
1.- Una pelota de 1 0 moi:ndose a 1 mGs c;oca de frente con otra de 0 9ue se muee inicialmente en la misma direcci)n pero en sentido contrario a 4 mGs, encontrar la elocidad para cada una despu:s del c;o9ue si* (a l coeficiente de restituci)n es G3. (2 Despu:s del c;o9ue 9uedan unidas.(c l c;o9ue es perfectamente el7stico. r r +*a 1 - " mGs i y - 4 mGs i. r r r r 2 1 -1 mGs i y c 1 3! mGs i y $. .- Dos pelotas de iual masa moi:ndose con rapidez de 3 mGs c;ocan de frente, encu:ntrese la elocidad de cada una despu:s del impacto si* (a
34
primer re2ote y "1 cm en el seundo re2ote 6Cu7l es (a l coeficiente de restituci)n entre los o2/etos. (2 6Ha altura al tercer re2ote8 +* a e $.#% y 2 ; $.4% m. !.- =e dispara ;orizontalmente una 2ala de 3.%4 contra dos 2lo9ues 9ue se ;allan en reposo so2re una ta2la sin fricci)n, como se muestra en la fiura a. Ha 2ala atraiesa el primer 2lo9ue con una masa de 1. 0, y se incrusta en el seundo con una masa de 1.#" 0. For lo cual se produce la rapidez de $.!3$ mGs y de 1.4" mGs respectiamente en cada 2lo9ue, como se aprecia en la fiura %. =i prescindimos de la masa e>traída del primer 2lo9ue por la 2ala, calcule* a la rapidez de :sta de inmediato despu:s de salir del primer 2lo9ue, y 2 la rapidez oriinal de la 2ala. +*a #4! mGs y 2 &!3 mGs.
fiura* a
.
1"!! 23 fiura* 2
".- Dos carritos de iual masa, m $.%$ 0, est7n colocados en un carril sin fricci)n 9ue tiene un resorte liero cuya constante de fuerza es 0 %$.$ @Gm, fi/o a un e>tremo del mismo, como en la fiura. Al carrito de la iz9uierda se le imprime una elocidad inicial de $ 3.$$ mGs ;acia la derec;a y el seundo carrito esta en reposo al principio. =i 0 los dos carritos c;ocan el7sticamente, determine* (a Ha rapidez de los carritos un momento despu:s del primer c;o9ue y (2 Ha compresi)n m7>ima del $.!% m resorte. +* a 1 $ mGs y 3 mGs y 2 > $.1 m
$
m1
m
1"0 23
$.!3$ mGs
1.4" mGs
#.- Una 2ola de acero de $.%14 0 de masa, est7 su/eta a un cord)n de !".# cm de lonitud, se de/a caer la 2ola cuando el cord)n se encuentra ;orizontal. Al soltar la 2ola desde esta posici)n, olpea a un 2lo9ue de acero de .!3 0 inicialmente en reposo so2re una superficie sin fricci)n. =i la colisi)n es el7stica. Palle* (a Ha elocidad de la 2ola un instante antes del impacto con el 2lo9ue y (2 Ha elocidad de am2os un instante despu:s del c;o9ue. r +* (a u1 3.!# mGs i. r r (2 1 - .4# mGs i y 1. mGs i.
&.- l p:ndulo 2alístico consiste de un 2lo9ue de madera colado mediante una cuerda. Al ser olpeado por un proyectil 9ue se 9ueda incrustado en el 2lo9ue, am2os se 2alancean ;asta una altura determinada. Calcular la elocidad con la 9ue el proyectil c;oca con el 2lo9ue, considerando al 2lo9ue de % 0 inicialmente en reposo y la 2ala de ! r o2serando 9ue el con/unto se elea ;asta una altura de !$ cm so2re el niel oriinal. r +* - "!1.1# mGs i. 1$.- Una pelota de 1$ 0 se muee ;acia la derec;a con una elocidad de 3$ mGs, c;oca contra otra 9ue se muee en la misma direcci)n pero con sentido contrario, si su masa es de 4 0 y su elocidad es de 3! mGs ncontrar la elocidad para cGu despu:s del c;o9ue si* (a e 1, (2 e 3G4. r r +* a 1 -#.# mGs i y %&.4 mGs i. y r r 2 1 -3 mGs i y 4!.% mGs i.
11.- =e suelta del reposo un 2lo9ue de 0 desde la parte superior del plano inclinado de sin fricci)n y altura de $.!% m. n la parte inferior del plano c;oca contra un 2lo9ue de 3.% 0 y se ad;iere a :l. Hos dos 2lo9ues se deslizan /untos a una distancia de $.%# m por un plano ;orizontal antes de detenerse. 6Cu7l es el coeficiente de fricci)n de la superficie ;orizontal8 +* b0 $.1%1.
3.% 0 $.%# m 1.- n un partido ru2y, un defensa de &$ 0 9ue corre ;acia el ste con una rapidez de % mGs es alcanzado por un oponente de &% 0 9ue corre ;acia el @orte con una rapidez de 3 mGs. =i la colisi)n es perfectamente inel7stica, (a calcular la rapidez y direcci)n de los /uadores /usto despu:s del encuentro y (2 determinar la enería mec7nica perdida como resultado de la colisi)n. +* (a ."" mGs a 3 34 al norte de este, (2 M #"3 T. 13.- Como se muestra en la fiura, una 2ala de masa m y rapidez v pasa a tra:s de la 2ola de un p:ndulo de masa \. Ha 2ala sale con una rapidez v G. Ha 2ola del p:ndulo est7 suspendida de una arilla ríida de lonitud y masa desprecia2le. 6Cu7l es el alor mínimo de v para 9ue el p:ndulo oscile descri2iendo un círculo ertical completo8 4\ l +* m
m v
\
G
14.- =e dispara una 2ala de 1$ ;acia un 2lo9ue de %$ 9ue inicialmente est7 en reposo al 2orde
34
de una mesa de 1 m de altura. Ha 2ala permanece dentro del 2lo9ue, el cual despu:s del impacto cae al suelo a .% m del fondo de la mesa, como se muestra en la fiura. Determine la rapidez inicial de r la 2ala. +* u1 143.#" mGs i.
1m .% m 1%.- Una 2ola de 2illar 9ue se muee a % mGs olpea a una 2ola inm)il de la misma masa. Despu:s de la colisi)n la primera 2ola se muee a una elocidad de 4.33 mGs con un 7nulo de 3$ respecto a la línea de moimiento oriinal. =uponiendo una colisi)n el7stica (e inorando el rozamiento y la rotaci)n, calcular la elocidad de la 2ola olpeada. +* .% mGs a !$ de la línea de moimiento de la 1 a 2ola. 1!"4 Una 2ola con rapidez inicial de 1$ mGs c;oca de manera el7stica con dos 2olas id:nticas, cuyos centros est7n en una línea perpendicular a la elocidad inicial, y 9ue inicialmente est7n en contacto entre sí. Ha primera 2ola se lanza a los puntos de contacto y ninuna de ellas ti ene fricci)n. Determine la elocidad de las tres 2olas despu:s de la colisi)n. (()*+r+-ia: =i no ;ay fricci)n, los impulsos se dirien a lo laro de la línea de centros de las 2olas, normales a las superficies en colisi)n.
1".- n un /ueo de 2illar la 2ola 2lanca c;oca con otra 9ue inicialmente se ;alla en reposo. Despu:s de la colisi)n, la 2ola 2lanca se desplaza a 3.% mGs a lo laro de una línea 9ue forma un 7nulo de !% con su línea oriinal de moimiento. Ha seunda 2ola alcanza una rapidez de !.#% mGs. Aplicando la conseraci)n del momentum, determine (a el 7nulo entre la direcci)n del moimiento de la seunda 2ola y la direcci)n oriinal de la 2ola 2lanca y (2 la rapidez oriinal de :sta. +* (a " y (2 #.44 mGs.
3
1#.- Un nNcleo at)mico inesta2le cuya masa es 1# Q 1$-#0, inicialmente en reposo se desintera
I $.% m. ncuentra el centro de masas del sistema8 r +* rC\ 1 m /. 4.- n la fiura se muestra una losa compuesta con las dimensiones (, 13 y ." cm. Ha mitad est7 ;ec;a de aluminio (densidad .# Gcm 3, y la otra de ;ierro (densidad #."% Gcm 3. 6D)nde se ;alla el centro de masa de la losa8 r +* rC\ !.% cm i 5 13.!" cm / 5 1.4 cm 0 cm
." cm
11 cm 13 cm
11 cm
CENTRO DE MASA DE UN SISTEMA DE N PARTÍCULAS Y SU MOVIMIENTO (VELOCIDAD ACELERACIÓN MOMENTUM LINEAL Y SU CO NS ER VAC IÓ N) " 1.- 6A 9u: distancia del centro de la tierra se encuentra el centro de masas del sistema ierraHuna8 6s interesante comparar la respuesta con el radio terrestre8 (masa de la ierra %.&" Q 1$ 4 0, masa de la Huna #.3! Q 1$ 0 y radio or2ital de la Huna 3." Q 1$ " m. +* >C\ 4.!44 Q 1$! m. .- res masas puntuales de 0 est7n localizadas so2re el e/e x , en el orien, en > $. m y en > $.% m. ;allar el centro de masas del sistema. +* >C\ $.3 m.
$ 1
en tres partículas. Una de las partículas, de masa % Q 1$-# 0, se muee a lo laro del e/e y con una rapidez de ! Q 1$ ! mGs. `tra partícula, de masa ".4 Q 1$-# 0, se muee a lo laro del e/e x con una rapidez de 4 Q 1$! mGs. Calcular (a la elocidad de la tercera partícula y (2 el incremento de la enería cin:tica total en el proceso. r +* (a - &.33 \mGs i - ".33 \mGs /, (2 M 43& fT.
3.- Cuatro o2/etos se colocan en el e/e y , del siuiente modo* 0 en la posici)n 5 3 m, 3 0 en la posici)n 5 .% m, .% 0 en el orien y 4 0 en
%.- Una mol:cula de aua consta de de un 7tomo de o>íeno enlazado con dos mol:culas de ;idr)eno. l 7nulo entre los dos enlaces es de 1$!. =i los enlaces tienen una lonitud de $.1 nm, 6D)nde se encuentra el centro de masas de la r mol:cula8 +* r (3 !.#1 pm i s
$.1 nm %3 O %3 $.1 nm
34
!.- l ;ac;a de piedra mostrada en la fiura, est7 formada por una piedra sim:trica de " 0, atada al e>tremo de un palo ;omo:neo de .% 0. Pallar el centro de masas del sistema. R: x ! = 0.7& m.
"$ cm
1" cm
#.- 6D)nde est7 el centro de masa de las partículas 9ue se muestran en la siuiente fiura8 r R: r 1.$!# m i 5 1.333 m /. !.
y (m
14.- Has partículas de 0 y 3 0 tienen las elocidades de ( i 5 3 / mGs y (1 i 5 ! / mGs respectiamente. Calcular (a la elocidad del centro de masas y (2 la cantidad de moimiento r total del sistema. +* (a C\ 1.4 mGs i 5 4." mGs / r y (2 pC\ # 0×mGs i 5 4 0 ×mGs /.
z
" 0
4 0
1
y
3 0 ".- res 2olas A, B y C de masas 3 0, 1 0 y 1 0 respectiamente, est7n conectadas por x 2arras (m de masa desprecia2le. Has 2olas est7n localizadas como se muestra en la fiura. 6Cu7l es el centro de r masas8 +* rC\ m i 5 1.4 m /. y(m .
1 y (cm 3$
1$.- Una ca/a a2ierta en la parte superior, tiene forma de cu2o con una lonitud de 2orde de 4$cm, y est7 ;ec;a de una placa met7lica delada, encuentre las coordenadas del centro de masa de la ca/a respecto al sistema de referencia indicado. +* >C\ yC\ $ cm y z C\ 1! cm.
11.- Una tira delada de material se do2la en forma de semicírculo, como se indica en la fiura. Determine su centro de masa. +* y C\ $.!3# +. x
y
+
A
13.- Una arilla con una lonitud de 3$ cm tiene una densidad lineal (masa por unidad de lonitud determinada por* q %$ Gm 5 ($ Gm >, donde > es la distancia desde un e>tremo medida en metros. (a 6Cu7l es la masa de la arilla8 (2 6A 9u: distancia de > $ se encuentra el centro de masa8 +* (a \ 1%.& y (2 $.1%3 m.
1%.- Dos pelotas colisionan con las siuientes características* m1 $.$$ 0, u1 1.% mGs i y m $.3$$ 0, u = -$.4 mGs i . Am2as pelotas c;ocan frontalmente en una colisi)n el7stica. (a Pallar sus elocidades despu:s de la colisi)n. (2 Pallar la elocidad del centro de masas antes y despu:s de la colisi)n. r r +* (a 1 -$.#" mGs i y 1.1 mGs i r r (2 uC\ $.3! mGs i y v C\ $.3! mGs i.
x
B C 1
3 x (m
&.-Una ;o/a de acero unif orme tiene la forma $ en la fiura. Calcular el centro de masas mostrada r de la pieza. +* rC\ 11.# cm i 5 13.3 cm /.
1.- Una planc;a de metal se corta en forma de par72ola como se muestra en la fiura, iene determinada por la ecuaci)n y a> , con $ y 2. Determinar el centro de masa, en funci)n de a y 2. (Pay 9ue calculary primero el 7rea. +* yC\ 32G%.
2
1$
1!.- Considere un sistema de dos partículas en el plano xy con las siuientes características* r r m1 0, r1 (1 i 5 / m y 1 (3 i 5 % / mGs' r r m 3 0, r (-4 i -3 / m y (3 i 5 % / mGs. . (a Di2u/e a estas partículas so2re una cuadrícula o un papel milim:trico y represente a los ectores de posici)n y elocidad en cada una de :stas. (2 Palle la posici)n del centro de masas del sistema y
y a> 34
seS7lelo so2re la cuadrícula o papel milim:trico. (c Determine la elocidad del centro de masas y seS7lelo so2re el diarama. (d 6Cu7l es el momentum lineal del sistema8 r r +* (2 rC\ - m i - 1 m / (c C\ 3 mGs i 5 % mGs / r y (d pC\ 1% 0× mGs i 5 % 0 ×mGs / 1#.- Cada minuto una ametralladora especial de /uuete de un celador dispara $ 2alas de oma de 1.! con una rapidez inicial de &#% mGs. 6Cu7ntas 2alas ;a2r7 disparado con un animal de "4.# 0 9ue se lanza contra el celador con una rapidez de 3."# mGs a fin de detener al animal8 (=upona 9ue la 2alas se desplazan ;orizontalmente y caen al suelo despu:s de dar en el 2lanco. +* #. 1".- Con un arma se dispara una 2ala a una elocidad inicial de 4!! mGs, a un 7nulo de %#.4 con la ;orizontal. n la parte m7s eleada de la trayectoria, la 2ala e>plota y produce dos framentos de iual masa. Uno de ellos, cuya rapidez inmediatamente despu:s de la e>plosi)n es cero, cae en direcci)n ertical. 6A 9u: distancia de la pistola cae el otro framento8 +* 3$ 1# m. 1&.- +omeo de ## 0 entretiene a Tulieta de %% 0 tocando la uitarra en la parte trasera de su 2arca, la 2arca esta en reposo so2re un lao en calma Tulieta se encuentra en la parte delantera de la 2arca a una distancia de .# m de +omeo, despu:s de la serenata, Tulieta se muee cuidadosamente ;asta la parte posterior de la 2arca (ale/7ndose de la orilla para 2esar a +omeo en la me/illa. 6
CINEM.TICA ROTACIONAL: CUERPO RÍIDO CON ACELERACIÓN CONSTANTE: 1.- =e apaa el motor 9ue ;ace irar a una podadora a 1$$ rpm. =uponiendo 9ue ;ay una
aceleraci)n anular neatia constante de radGs* a 6Cu7nto tiempo tarda en parar la rueda8 2 6cu7ntos radianes recorre en su iro mientras se est7 deteniendo8 +* (a t %.4 s y (2 #.4 rad. .- Ha posici)n anular de una puerta oscilante est7 descrita por* Z %.$$ rad 5 (1$.$ radGst 5 (.$$ radGs t Calcular la posici)n anular, la manitud de la elocidad anular y la manitud de la aceleraci)n anular de la puerta. (a en t $ y (2 t 3.$$s. +* (a Z($s % rad, [($s 1$ radGs y X($s 4 radGs (2 Z(3s %3 rad, [(3s radGs y X(3s 4 radGs . 3.- Un disco de " cm de radio ira alrededor de su e/e central a raz)n constante de 1$$ rpm. Calcular* (a su rapidez anular.(2 la rapidez tanencial en un punto situado a 3.$$ cm de su centro.(c la manitud de la aceleraci)n radial o centrípeta de un punto del 2orde.(d la distancia total 9ue recorre 9ue recorre un punto del 2orde en .$$ s. +* a [ 1! radGs, 2 3.## mGs, c aC 1.! 0mGs y (d d $.1 m. 4.- Un autom)il acelera uniformemente desde el reposo y alcanza una rapidez de mGs en & s. si el di7metro de una llanta es de %" cm, calcular* a el nNmero de reoluciones 9ue realiza la llanta durante este moimiento suponiendo 9ue no ;ay deslizamiento. 2 6Cu7l es la rapidez de rotaci)n final de la rueda, en reoluciones por seundo8 +* (a Z %4.3 re y (2 [ 1.$# reGs. %.- Un disco de 1 cm de radio empieza a irar alrededor de su e/e partiendo del reposo con aceleraci)n anular constante de " radGs . Al ca2o de % s, 6cu7l es (a la manitud de la elocidad anular del disco y (2 las manitudes de las aceleraciones* tanencial a t y centrípeta a c de un punto del 2orde del disco8 +* (a [ 4$ radGs, (2 at $.&! mGs y ac 1& mGs .
MOMENTO DE INERCIA CIN-TICA DE ROTACIÓN:
Y
ENERÍA
1.- Dos arillas deladas de masa desprecia2le est7n conectadas ríidamente a sus e>tremos para formar un 7nulo de &$. ]iran en el plano xy y los e>tremos unidos forman el piote en el orien. =e conecta una partícula de #% a una de ellas a una distancia de 4 cm del orien' una partícula de 3$ se conecta ala otra a una distancia de !% cm del orien. a 6Cu7l es la inercia rotacional del sistema8 2 6C)mo cam2ia la inercia rotacional del sistema si las partículas estuieran unidas a una arilla en las distancias seSaladas respecto al orien8 +* $.$! 0Gm. .- res masas conectadas a una arilla delada de 1 m de lonitud y masa desprecia2le iran alrededor del orien en el plano xy . Ha partícula 1 (% est7 unida a # cm del orien, la partícula (3% se encuentra a 4% cm y la partícula 3 (4 est7 a !% cm. (a 6Cu7l es la inercia rotacional del sistema8 (2 =i en cam2io la arilla irase alrededor del centro de masa del sistema 6cu7l sería su inercia rotacional8 +* (a R $.$11 0m y (2 R .4! Q 1$-3 0m. 3.- res pe9ueSas partículas est7n conectadas por medio de arillas ríidas de masa desprecia2le situadas a lo laro del e/e como se muestra en la fiura. =i el sistema ira alrededor del e/e >, con una rapidez anular de .$$ radGs, calcular* a el momento de inercia respecto al e/e x y la enería cin:tica de rotaci)n total, ealuada a partir de WR[. 2 la rapidez tanencial de cada partícula y la enería cin:tica total ealuada a partir de Wm ii. +* (a 1"4 T y (2 1"4 T .
6 4 0
y3m
0
y - m
7
34
distancia tendría 9ue caer li2remente la ;:lice para ad9uirir esa enería8
4.- Cuatro partículas est7n en los :rtices de un cuadrado unidas por arillas de masa desprecia2le, de modo 9ue m 1 m4 3 0 y m m3 4 0. Ha lonitud del lado del cuadrado es H m, Pallar el momento de inercia respecto a* (a el e/e z y (2 el e/e x . +* (a R !$ 0m y (2 R " 0m .
&.- Una rueda de carreta tiene un radio de !$ cm y la masa de su 2orde es de " 0. Cada rayo 9ue est7 so2re un di7metro, tiene una lonitud de !$ cm y tiene una masa de 4%$ . 6
1. m
6 m1
m4 8
m
m3 7
%.- Demuestre 9ue el momento de inercia de un disco uniforme de masa \ es W \+ , si su e/e de rotaci)n es perpendicular al disco y pasa por su centro. !.- Demuestre 9ue el momento de inercia de un cilindro ;ueco de pared delada con masa unif orme \ es* \+ , si su e/e de rotaci)n es perpendicular al plano circular del cilindro y pasa por su centro. #.- Demuestre 9ue el momento de inercia de una arilla con densidad uniforme de masa \ es \+, si su e/e de rotaci)n est7 en uno de sus e>tremos. ".- Una ;:lice de ai)n con di7metro de .3 m de punta a punta y masa 1# 0, y ira a 4$$ rpm alrededor de un e/e 9ue pasa por su centro. a 6
1.- Considere dos o2/etos con masas m 1 O m unidos entre sí por medio de una cuerda de masa desprecia2le 9ue pasa por una polea cuyo momento de inercia respecto a su e/e de iro es R, como se muestra en la fiura. Ha cuerda no res2ala so2re la polea y :sta ira sin fricci)n. Hos o2/etos se sueltan partiendo del reposo, separados por una distancia ertical de ;. Utilizar el principio de conseraci)n de la enería mec7nica para calcular la rapidez de traslaci)n de los o2/etos en el instante 9ue pasan el uno al lado del otro. Calcular la rapidez anular de la polea en ese instante. +* [ J;(m 1-m G+(mi 5 m 5\K1G.
1$.- Ha Folea de la fiura iene un radio + y momento de inercia R. Ha cuerda no res2ala so2re la polea y :sta ira so2re un e/e sin fricci)n. l coeficiente de fricci)n cin:tica entre el 2lo9ue A y la superficie de la mesa es b 0. l sistema se suelta del reposo y el 2lo9ue B desciende. Use \:todos de enería para calcular la rapidez de B en funci)n de la distancia d 9ue ;a descendido.
R
A
11.- Una 2arra delada y uniforme de lonitud Hy B masa \ est7 su/eta por uno de sus e>tremos a un piote o e/e fi/o so2re el cual puede oscilar. 6
6
6CM
CM
+
;
13.- Dos discos met7licos de radios + 1 3.$$ cm y + %.%$ cm y masas \ 1 1. 0 y \ .% 0 se sueldan /untos y se montan en un e/e sin fricci)n 9ue pasa por su centro comNn, como se muestra en la fiura. a 6pli9ue su respuesta. +* a R + 4.3 Q 1$-3 0 m, 2 .&4 mGs y c 4.14 mGs. +1
#
+
L .$$ 0
34
con e/e de coordenadas z . =i se aplica la fuerza en r calcular el el punto r 4 m i 5 % m / 5 $ m0, r momento de torsi)n. +* τ @×m 0. 14.- ste pro2lema descri2e un m:todo e>perimental para determinar el momento de inercia de un o2/eto de de forma irreular como, por e/emplo, la cara Ntil de un sat:lite. Ha fiura muestra un cilindro de masa m suspendido de una cuerda 9ue est7 enrollada alrededor de un carrete de radio r , montado en una placa iratoria. Cuando se suelta el cilindro partiendo del reposo, desciende una distancia /, ad9uiriendo una rapidez v . Demostrar 9ue el momento de inercia R del con/unto (incluyendo la placa iratoria es* mr J(;G -1K
.- Una placa rectanular y uniforme, tiene como e/e de rotaci)n su centro eom:trico, el cual coincide con el orien del sistema de referencia como se muestra en la fiura. Determine la torca o momento de torsi)n 9ue e/erce la fuerza aplicada so2re la placa en el punto indicado* y JmK
posiciones indicadas, determine la torca neta 9ue e>perimenta*
@, ? (-# i 5 3 / 5 " 0 @ ?1 (% i - 3 / 5 ! 0 @ en rr1 (4$ i 5 %$ / - 0 cm, y ?3 (-4 i 5 3 0 r
cm y rr3 ( -% i 5 3% / cm' r (-"$ i 5 3% / - 1$ 0 respectiamente. r +* Σι #.1 @gm i 5 4." @gm / - .% @gm 0. %.- Calcular el momento de torsi)n neto so2re la rueda de la fiura, respecto al e/e 9ue pasa por $, si a 1$ cm y 2 % cm.
1$ @
3 a
3$
x JmK
4
$ 1 @
%$
2
4$ @
FUER+AS E9TERNAS UE ENERAN LA ROTACIÓN DE LOS CUERPOS RÍIDOS MOMENTO DE FUER+A RESPECTO A UN E*E DE ROTACIÓN: PRODUCTO VECTORIAL CRU+ O E9TERNO: r r 1.- =i* a = 4.% 4%°, 2 = !.3 3$ ° y c = !." 11$ °. r r r r Determine* a a × 2, 2 2 × a, c 2 × c y d c × d.
&@
3.- Ha fiura muestra las líneas de acci)n y los puntos de aplicaci)n de dos fuerzas alrededor del orien 0 , todos los ectores est7n en el plano de la fiura. Rmaine 9ue actNan so2re un cuerpo ríido 9ue ira alrededor un e/e en el punto 0 y perpendicular al plano de la fiura. ncuentre la torca la torca resultante si* r 1 .3 m, r 4. m, ?1 1 @, ? & @, 1 1$ y 4$.
r
.- Dados los ectores*
TORCA O MOMENTO FUER+A: 1.- =e aplica una fuerza ? @ i 5 3 @ / a un o2/eto 9ue ira alrededor de un e/e fi/o alineado
1m
A
r 1 ?1
1
1m
3@ 4@ "@
B = 4i − / − 0 y C = i + /. A = 3i − / − 0, Determina* a A × B, 2 B × A, c C × A y d B × C.
!.- Determine la torca resultante en el plano siuiente 2a/o la acci)n del sistema de fuerzas, si puede irar so2re*(a l punto Ay (2 l punto B
@
B
!@
%@
0
?
4.- Un cuerpo ríido irreular, tiene su centro de iro fi/o en el orien de un sistema de referencia. =i se le aplican las siuientes fuerzas en las
#.- n la fiura las fuerzas A, B, C y D tienen manitud de "$ A@ y actNan so2re el mismo punto B del o2/eto. a 6
4$ cm F
!$
C
34
e/erce la pared so2re la la 2arra en funci)n de ? , d, H y Z.
d
Paraiso México
CUERPO RÍIDO EN EUILIBRIO: 1.- Una claadista de %"" @ de peso est7 en la punta de un trampolín uniforme de %.$ m y 13$ @ de peso. l trampolín est7 sostenido por dos pedestales separados una distancia de 1.!$ m, como se indica en la fiura. Calcule la compresi)n o tensi)n en los dos pedestales.
H
"$ cm a lo laro (la dimensi)n perpendicular al plano de la fiura, con su centro de raedad en el centro eom:trico. l coeficiente de fricci)n est7tica entre una paca y la 2anda transportadora es de $.!$, y la 2anda se muee con rapidez constante. a l 7nulo del transportador se aumenta lentamente. n cierto 7nulo crítico las pacas se oltear7n (si no se deslizan antes. Calcule los dos 7nulos críticos y determine 9u: sucede en el 7nulo m7s pe9ueSo. 2 6=ería diferente el resultado de la parte a si el coeficiente de fricci)n fuera de $.4$8
4.- Un ca2le soporta a una ia, uno de sus e>tremos esta fi/o en la pared, del otro lado se sostiene un peso de 1$$ @, la ia pesa 3$ @ y es uniforme. Palle la tensi)n del ca2le y la fuerza e/ercida so2re la pared en la ia.
$.% m $.% m
%.$ m
$.%$ m G3 H
1.!$ m
.- Una ia uniforme de masa m 2 y lonitud H soporta dos 2lo9ues de masas m 1 y m situados en dos posiciones distintas, tal como se muestra en la fiura. Ha ia descansa so2re dos pilares trianulares. 6Fara 9u: alor de > estar7 la ia en e9uili2rio en F de modo 9ue la fuerza normal en $ sea cero8
HG
m1 $
d m
F C]
!#
3# %.- Un adorno consiste en dos esferas con c;apa de oro con masas de $.3$$ 0 y $.4"$ 0 suspendidas de una arilla uniforme de 1.$ 0 y 1$$ cm de lonitud como se muestra en la fiura. Palla la tensi)n en cada una de las cerdas 9ue conforman el sistema.
? $ cm
!$ cm
$ cm
H 3.- Un cartel de densidad uniforme con peso ? y anc;ura H, cuela de una 2arra ;orizontal de masa desprecia2le unida a la pared y 9ue se sostiene por medio de un ca2le, como se muestra en la fiura. Calcular (a la tensi)n en el ca2le y (2 las componentes de la fuerza de reacci)n 9ue
C
#- Ha paca del pro2lema anterior es arrastrada so2re una superficie ;orizontal con rapidez constante por una fuerza ?, como muestra la fiura. l coeficiente de fricci)n cin:tica es de $.3%. a Calcule la manitud de ?. 2 Determine el alor de ; con el cual la paca apenas comenzar7 a olcarse. $.% m
$.%$ m
3% %$
>
C]
1G3 H
D
C]
;
?
B $.3$$ 0 A $.4"$ 0 !.- Un ineniero est7 diseSando un sistema transportador (2anda transportadora para carar pacas de pa/a de 3$ 0 en un carro, er fiura. Has pacas miden $.% cm de anc;o, $.%$ cm a lo alto y
".- Rmaine 9ue trata de su2ir una rueda de 2icicleta de masa m y radio + a una acera de altura ;' para ello aplica una fuerza ;orizontal ?. 6
+
34
+* (a R $ 0gm (2 τ 4 @gm y (c Z 1#% re.
?
&.- Ha fiura muestra una fuerza ertical 9ue se aplica de manera tanencial so2re un cilindro uniforme cuyo peso es ? el coeficiente de fricci)n est7tico entre el cilindro las superficies es de $.%$. Calcular en funci)n de ? la manitud de la fuerza m7>ima F 9ue se puede aplicar de modo 9ue el cilindro no ire. ( ta, -)ad + -iidr +st a )t d+ *irar as 4)+rzas d+ 4ri--i5 a-aza s)s var+ mxims r )?
F
MOMENTO DE TORSIÓN NETO SOBRE UN CUERPO RÍIDO" 1.- Un ai)n de aeromodelismo con una masa de $."$$ 0, est7 atado a un ca2le de modo 9ue uela en círculo de 3$.$ m de radio. l motor del ai)n del ai)n proporciona un empu/e neto de $.&% @ perpendicular al ca2le al 9ue est7 atado. (a Calcular el momento de torsi)n 9ue produce el empu/e neto respecto al centro del círculo. (2 Calcular la aceleraci)n anular cuando el ai)n est7 en pleno uelo. (c Calcular la aceleraci)n tanencial del ai)n. I Ha com2inaci)n de dos fuerzas, una e>terna y otra de fricci)n producen un momento de torsi)n neto cuya manitud es de 4$ @gm so2re una rueda 9ue ira alrededor de un e/e fi/o. Ha com2inaci)n de fuerzas actNa durante 1$ s. n ese tiempo la rapidez anular de la piedra se incrementa de $ a $ radGs. n ese instante se de/a de aplicar la fuerza e>terna y la rueda aca2a por detenerse al ca2o de 1$$ s. Calcular (a el momento de inercia de la rueda (2 Ha manitud del momento de torsi)n del rozamiento y (c el nNmero total de reoluciones 9ue ;a irado la rueda.
3.- l olante de un motor tiene un momento de inercia de .%$ 0gm alrededor de su e/e de rotaci)n. a 6terior, a distancias e9uidistantes. st7 com2inaci)n ira respecto a un e/e 9ue pasa por el centro de la esfera y dos de las masas pe9ueSas, como muestra la fiura. 6
%.- H torno de un alfarero es un disco rueso de piedra con un radio de $.%$$ m y una masa de 1$$ 0 al irar li2remente a %$ reGmin, el alfarero puede detener la piedra en !.$ s si presiona con un trapo ;Nmedo contra el 2orde e/erciendo una fuerza radial ;acia el centro de #$.$ @. Calcular el coeficiente efectio de fricci)n din7mico entre el torno y el trapo. !.- Un o2/eto con un peso de %$.$ @ est7 unido al e>tremo li2re de una cuerda de masa desprecia2le enrollada alrededor de un carrete con un radio de $.%$ m y masa de 3.$$ 0. l carrete es un disco s)lido 9ue puede irar li2remente en el plano ertical alrededor de un e/e ;orizontal 9ue pasa a tra:s de su centro. =e suelta el o2/eto a !.$$ m del suelo. (a Calcular la tensi)n en la cuerda, la aceleraci)n del o2/eto y la rapidez con la 9ue el o2/eto olpea al suelo (2 Utilizando el principio de conseraci)n de la enería calcular la rapidez con la 9ue el o2/eto olpea el suelo.
como se muestra en la fiura. Ha rueda es un disco s)lido con una masa de "$.$ 0 y un di7metro de 1.% m, 9ue ira so2re un e/e sin fricci)n. Ha polea unida a ella tiene una masa muc;o menor y un radio de $.3$ m. =i la tensi)n en el semento superior (el m7s tenso de la correa de transmisi)n es de 13% @ y la rueda e>perimenta una aceleraci)n anular de 1.!# radGs , resultado de un iro en el sentido de las manecillas de un relo/, calcular la tensi)n en el semento inferior (el m7s flo/o de la correa de transmisi)n.
".- Una cu2eta con aua con masa de 1%.$ 0 se suspende de una cuerda enrollada en un rodillo, es un cilindro s)lido de $.3$$ m de di7metro y masa de 1 0, piotando en un e/e sin fricci)n 9ue pasa por su centro. Ha cu2eta se suelta del 2orde un poso y cae 1$ m ;asta el aua. l peso de la cuerda es desprecia2le. a 6
#.- Un motor el:ctrico ;ace irar una rueda por medio de una correa de transmisi)n 9ue une dos poleas, situadas una en motor y otra en la rueda,
+ C 34
una superficie ;orizontal, con rapidez de 4 mGs 9ue tra2a/o se necesit) para ponerlo en moimiento.
1$.- Dos 2lo9ues, como se muestra en la fiura, est7n unidos por una cuerda de masa desprecia2le 9ue pasa por una polea de radio $.% m y momento de inercia R. l 2lo9ue so2re la pendiente sin fricci)n se muee ;acia arri2a con una aceleraci)n de .$$ mGs. (a Calcular las tensiones 1 y en las dos partes de la cuera. (2 Calcular el momento de inercia de la polea. mGs
.- Un cilindro de masa \ y radio + tiene en enrollada una cuerda. sta cuerda est7 fuertemente su/eta, y el cilindro cae erticalmente, tal como se muestra en la fiura. (a Demostrar 9ue la aceleraci)n del cilindro est7 diriida erticalmente ;acia a2a/o y 9ue su manitud o m)dulo es de a G3. (2 Calcular la tensi)n de la cuerda.
%.- Un taco de 2illar olpea a una 2ola ;orizontalmente a una distancia > por encima del centro de masa de la 2ola, como se muestra en la fiura. Determinar el alor de > para el cual la 2ola de 2illar rodar7 sin deslizamiento. >presar la respuesta en funci)n del radio + de la 2ola. +* (G%+
1
>
1% 0
$ 0 3# 11.- Un 2lo9ue de masa m %.$$ 0 2a/a desliz7ndose por una superficie inclinada de 3!.& respecto a la ;orizontal, como muestra la fiura. l coeficiente fricci)n cin:tica es de $.%. Un ;ilo atado al 2lo9ue est7 enrollado en un olante de %.$ 0 y con su e/e fi/o en $y momento de inercia respecto al e/e de $.%$$ 0gm . l ;ilo tira sin res2alar a una distancia perpendicular de $.$$ m respecto a ese e/e. a 6
3.- Un aro de $.%$ m de radio y $."$ 0 rueda sin deslizarse con una rapidez de 1" mGs ;acia un plano inclinado de 3$. 6Cu7l ser7 la distancia recorrida por el aro so2re el plano inclinado8 (=uponer 9ue rueda sin deslizarse. 4.- Una esfera ;ueca y otra s)lida (y uniforme de iuales masas \ y radios + ruedan sin deslizamiento por un plano inclinado desde la misma altura P, er fiura. Am2as se mueen ;orizontalmente al salir de la rampa. Cuando las esferas c;ocan contra el suelo, el alcance de la esfera ;ueca es H. Determinar el alcance HE de la esfera uniforme s)lida. + * HE 1.$& H
3!.&
ROTACIÓN Y TRASLACIÓN DE CUERPO RÍIDO: + 1.- Un cilindro s)lido ;omo:neo de $ cm de radio y %$ 0 de masa, rueda sin deslizamiento so2re
!.- Una 2olita de masa \ y radio + rueda sin deslizamiento ;acia a2a/o por la pista de la iz9uierda desde la altura ; 1 como indica la fiura. Ha 2olita su2e entonces por la pista sin rozamiento de la derec;a ;asta una altura ; . Determinar la altura ;. +* ; %;1G#
H HE
#.- n 1&&3, un yo-yo iante de masa 4$$ 0 y 1.% m;de de 1 radiose de/) caer desde una rNa de %# m; altura. Uno de los e>tremos de la cuerdaesta2a atada a la rNa, de modo 9ue el yo-yo se desenrrolla2a al descender. =uponiendo 9ue el e/e del yo-yo tenía un radio de $.1 m, determinar la rapidez de descenso en el punto mas 2a/o de su recorrido. +* 3.14 mGs
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CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANULAR O MOMENTO ANULAR Y SU CONSERVACIÓN: 1.- Una partícula 9ue se muee a elocidad constante, tiene un momento anular nulo respecto a un determinado punto. Demostrar 9ue la partícula ;a pasado por dic;o punto, est7 en dic;o punto o pasar7 por :l. .- Una partícula de masa 0 se muee con rapidez constante de 3.% mGs descri2iendo una circunferencia de 4 m de radio. (a 6Cu7l es la manitud del momento anular respecto al centro de la circunferencia8 (2 6Cu7l es su moento de inercia respecto a un e/e 9ue pasa por el centro de la circunferencia y es perpendicular al plano de moimiento8 (c 6Cu7l la rapidez anular de la partícula8 +* (a H " 0gm Gs, (2 R 3 0gm , (c [ $."#% radGs.
%.- Dos partículas m1 y m est7n localizadas en la r r posiciones r1 y r respecto al mismo orien $ como indica la fiura, estas particulas en con/unto e>perimentan fuerzas sim:tricas. Calcular el momento resultante e/ercido por estas fuerzas alrededor del orien y demostrar 9ue es nulo si las fuerzas ?1 y ? est7n diriidas a lo laro de la línea 9ue une am2as partículas.
m
?
?1
r 1
0
4.- Una 2arra ríida liera de 1.$$ m de lonitud une a dos partículas con masas de 4.$$ 0 y 3.$$ 0, en sus e>tremos. Determine la cantidad de moimiento anular del sistema en torno al orien, cuando la rapidez de cada partícula sea de %.$$ mGs. +* H = 1#.% 0 ×m G s 0.
#.- l ector de posici)n de una partíca de 0 de masa como funci)n del tiempo se conoce por r r (!.$$ i 5 %.$$ t / m. Determine el momento anular de la partícula en torno al orien como funci)n del tiempo. +* H = !$ 0 ×m G s 0.
3.$$ 0
1.$$ m
4.$$ 0
x
m l 3sen4 θ = ÷ cos θ
1G
r
3.- Un cuerpo de 0 se muee con elocidad constante de 4.% mGs a lo laro de una línea recta* (a 6Cu7l es el m)dulo de su momento anular respecto a un punto situado a ! m de la línea8 (2 Descri2ir cualitatiamente c)mo aría con el tiempo su rapidez anular respecto a dic;o punto8 +* (a H %4 0gm Gs
H
r
m1
!.- Una partícula de 1." 0 se muee en una circunferencia de radio 3.4 m. l m)dulo de su momento anular relatio al centro del circulo depende del tiempo seNn la e>presi)n* H (4 @gm t (a Determinar el m)dulo del momento 9ue actNa so2re la partícula.(2 Determinar la rapidez anular de la partícula en funci)n del tiempo. +* (a τ 4 @gm, (2 [ ($.1& radGst
y
&.- un p:ndulo c)nico consiste de una plomada de masa m en moimiento en una trayectoria circular en plno ;orizontal, como se muestra en la fiura. Demuestre 9ue la manitud de la cantidad e moimiento anular de la plomadaen torno al centro del círculo es
".- Con direcci)n /usto ;acia la cima de los Fi0es Fea0, un ai)n de 1 $$$ 0 de masa uela so2re las planicies de ansas a una altitud ccasi constante de 4.3$ 0m con elocidad constante de 1#% mGs oeste. (a 6Cu7l es la cantidad de moimiento anular del ai)n en relaci)n con una ran/a de trio so2re el suelo directamente 2a/o el ai)n8 (2 6 ste alor cam2ia a medida 9ue el ai)n continNa su moimientoa lo laro de la línea recta8 (c 6Cu7l es su cantidad de moimiento anular en relaci)n con la cima de los Fi0es Fea08
1$.- Un cilindro uniforme de masa &$ 0 y radio $.4 m est7 dispuesto de modo 9ue ira sin rozamiento alrededor de su e/e de simetría, racias a una correa de transmisi)n 9ue se arrolla so2re su perímetro y e/erce un momento constante. n el tiempo t $ su rapidez anular es cero. n el tiempo t % s su rapidez anular es de %$$ reGmin. (a 6Cu7l es su momento anular en t % s8 (2 6C)mo se incrementa el momento anular en cada unidad de tiempo8 (c 6terno actNa so2re el cilindro8 (d 6Cu7l es el m)dulo de la fuerza 9ue actNa so2re la periferia del cilíndro8 11.- Una partícula de 1.% 0 se muee en el plano
r xy con ua elocidad 4.$ mGs i 5 3.!$ mGs /.
Determine la cantidad de moimiento anular de la partícula en torno al orien cuando su ector de r posici)n es r 1.%$ m i 5 .$ m /. 1.- una partícula de masa m se muee en un círculo de radio + con una rapidez constante , como se muestra en la fiura. l moimiento comienza en el punto
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r
+* H = m+ cos(
t + i 0. + y
(2 H = +(
R +
+ m1 + m , (c
a=
(msenθ − m1 . R + m + m 1 ÷ +
m +
m
m1 F
<
x
Z
1.- Un planeta se muee en una )r2ita elíptica alrededor del =ol, estando :ste en el foco de la elipse, como se muestra en la fiura. (a 6Cu7l es el momento producido por la fuerza raitatoria de atracci)n del =ol so2re el planeta8 (2 n la posici)n A, el planeta est7 a una distancia r 1 del =ol y se est7 moi:ndo con una elocidad 1 perpendicular a la línea 9ue a del =ol al planeta. n la posici)n B, est7 a una distancia r y se muee r con elocidad de nueo perpendicular ala línea 9ue a del =ol al planeta. 6Cu7l es la relaci)n de 1 y en finci)n de r 1 y r 8 1 r = +* r 1
A 13.- Un cilindro uniforme de masa &$ 0 y radio $.4 m est7 dispuesto de modo 9ue ira sin rozamiento alrededor de su e/e de simetría, racias a una correa de transmisi)n 9ue se arrolla so2re su perímetro y e/erce un momento constante. n el tiempo t $ su rapidez anular es cero. n el tiempo t % s su rapidez anular es de %$$ reGmin. (a 6Cu7l es su momento anular en t % s8 (2 6C)mo se incrementa el momento anular en cada unidad de tiempo8 (c 6terno actNa so2re el cilindro8 (d 6Cu7l es el m)dulo de la fuerza 9ue actNa so2re la periferia del cilíndro8 14.- n la fiura el plano inclinado carece de rozamiento y la cuerda pasa atra:s del centro de masa de cada 2lo9ue. Ha poleatiene un momento de inercia R y un radio +. (a Determinar el momento resultante 9ue actNa so2re el sistema (las dos masas, la cuerda y la polea respecto al centro de la polea. (2 >presar el momento anular total del sistema respecto al centro de la polea cuando las masas se mueen con elocidad . (c Determinar la manitud de la aceleraci)n de las masas a partir de los resultados del apartado (a y (2 iualando el momento resultante con la deriada respecto al tiempo del momento anular del sistema. +* (a τ +(msenZ-1,
1%.- Una partíula de masa m se dispara con una elocidad inicial 9ue forma un 7nulo Z so2re la ;orizontal, como se muestra en la fiura. Ha partícula se muee en el campo raitacional de la tierra' despreciando el rozamiento del aire. Determine lecantidad de moimiento anular de la cuando la partícula partícula en torno al orien, esta a en el orien, 2 en el punto m7s alto de su trayectoria $ y c /usto antes de olpear el suelo. d 6e>prese 9u: momento de torsi)n ;ace 9ue cam2ie la cantidad de moimiento anular de la partícula durante su recorrido8 V +* a cero, 2 H = ( −m $3senθ cos θ G 0 c) H = ( −m $ 3sen θ cos θ G 0
r 1
[$
antes CANTIDAD
DE
r
B
1 .- Un con momento de inercia R 1 de ueltas A cilindro en torno a un e/e ertical sin fricci)n con rapidez anular [$. Un seundo cilindro, con momento de inercia R y 9ue inicialmente no ira, cae so2re el primer cilindro como se muestra en la fiura. De2ido a la fricci)n entre las superficies, con el tiempo los cilindros llean a la misma rapidez anular [. (a Calcule la rapidez anular final. (2 Demuesrtra 9ue la enería cin:tica del sistema disminuye en esta interacci)n y calcue la proporci)n de la enría rotacional final a la inicial. + (a [ [$R1G(R1 5 R, (2 R1G( R1 5 R.
CONSERVACIÓN DE LA MOVIMENTO ANULAR
=ol
[
despu:s
3.- Un pe9ueSo disco plano con masa m .4 0 9ue se desliza so2re una superficie ;orizontal sin fricci)n. =e mantiene en una )r2ita circular en torno
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a un e/e fi/o mediante una 2arra con masa desprecia2le y lonitud + 1.%$ m, articulado en un e>tremo. Al inicio el disco tiene una rapidez %.$$ mGs. Una 2ola de arcilla de 1.3 0 se de/a caer erticalmente so2re el disco desde una pe9ueSa distancia so2re :ste y de inmediato se pea al disco. (a 6Cu7l es el nueo periodo de rotaci)n8 (2 6n este proceso se consera la cantidad demoimiento anular del sitema disco-arcilla en torno al e/e de rotaci)n8 (c 6Ha cantidad de moimiento del sistema se consera en el proceso de la arcilla 9ue se pea al disco8 (d 6Ha enería mec7nica se consera en el proceso8 4.- Un carrusel de /ardin con radio + .$$ m tiene un momento de inercia de R %$ 0gm y es rotatorio a 1$,$ reGmin en torno a un e/e ertical sin fricci)n. ?rente al e/e un niSo salta ;acia el tioio y lora sentarse en el 2orde. 6Cu7l es la nuea rapidez del tioio8 +* [ #.4 reGmin. %.- Un ;om2re est7 de pie so2re una plataforna sin rozamiento 9ue ira con rapidez anular de 1.% reGs. sus 2razos est7n e>tendidos y sostiene en cada mano una 2ola pesada. l momento de inercia del ;om2re, los pesos e>tendidos y la plataforma es de ! 0gm . Cu7ndo el ;om2re impulsa los pesos ;acia su cuerpo, el momento de inercia decrece a 1." 0gm . (a 6Cu7l es la rapidez anular de la plataforma8 (2 6Cu7l es la ariaci)n de la enería cin:tica e>perimentada por el sistema8 +* (a [ % reGs, (2 M ! T. !.- Una pe9ueSa porci)n de masilla de masa m cae desde el tec;o so2re el 2orde e>terior de un tocadiscos de radio + y momento de inercia R $, 9ue est7 irando li2remente con rapidez anular [ $ alrededor de su e/e de simetría ertical fi/o. (a 6Cu7l es la rapidez anular del tocadiscos y la masilla despues del c;o9ue8 (2 Despu:s de arias ueltasla masilla se desprende del 2orde del tocadiscos ;acia fuera. 6Cu7l es la rapidez anular del tocadiscos despu:s de desprenderse la R$ ω$ masilla8 +* ω = ÷ R$ + m+ #.- Un disco ded "$ de masa y 4.$$ cm de radio se desliza a tra:s de una mesa de aire con una
rapidez de 1.%$ mGs, como se muestra en la fiura. ?orma una colisi)n o2licua con otro disco de !.$$ cm de radio y 1$ de masa (inicialmente en reposo tal 9ue sus 2ordes apanas se tocan. La 9ue los 2ordes est7n recu2iertos por peamento de acci)n instant7nea. Hos dicos 9uedan unidos y iran despue de la colisi)n. (a 6Cu7l es la cantidad de moimiento anular del sistema relatia al centro de masa8 (2 6Cu7l es la rapidez anular del sistema relatia al centro de masa8
&.- Dos discos de masas id:nticas pero de radios diferentes (r y r iran so2re co/netes sin rozamienta a la misma rapidez anular [ $ pero en sentido contrario er fiura. Hentamente los dos discos son impulsados el uno ;acia el otro ;asta 9ue sus superficies entran en contacto. Ha fuerza de fricci)n superficial da luar a 9ue los dos discos poseean la misma elocidad anular. 6Cu7l el m)dulo de esa alocidad anular final8 +* [ 3 [$G%. [0
1.%$ mGs
[
r
0
r
2
a
".- Un 2lo9ue de madera de masa \, 9ue descansa so2re una superficie ;orizontal sin fricci)n, est7 unido a una 2arra riida de lonitud y masa desprecia2le como se muestra en la fiura. Ha 2arra se articula en el otro e>tremo. Una 2ala de masa m 9ue ia/a paralela a la superficie ;orizontal y perpendicular a la 2arra on rapidez , olpea al 2lo9ue y 9ueda incrustado en :l. (a 6Cu7l es la manitud de la cantidad de moiento anular del sistema 2ala 2lo9ue8 (2 6
1$.- Ha fiura muestra una 2arra uniforme de lonitud d y masa \ cuela de un piote en la parte superior. Ha 2arra, inicialmente en reposo, reci2e el c;o9ue de una partícula de masa m en un punto > $." d por de2a/o del piote. =uponer 9ue la masilla se pea al 2arra. 6Cu7l de2e ser el m)dulo de la elocidad de la partícula para 9ue el 7nulo m7>imo entre la 2arra y la ertical sea de &$8 +*
=
1 ($.% \+ $." m( \d + $.!%md 3 $.3dm
> \
m
\
d
11.- =i para el sistema del pro2lema 1, d 1. m, \ $," 0 y m $.3 0 y el 7nulo m7>imo entre la
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2arra y la ertical es de !$, determinar la rapidez de la partícula antes del impacto. +* #.#4 mGs. 1.- Una 2arra de 1! 0 y .4 m de lonitud est7 apoyada so2re el filo de una cuc;illa por su punto medio. Una 2ola de arcilla de 3. 0 se de/a caer desde el reposo, de una altura de 1. m y produce un c;o9ue con la 2arra completamente inel7stico, a $.& mdel punto de soporte, como indica la fiura. Determinar el momento anular del sistema 2arra m7s arcilla, inmediatamente despues de la colisi)n inel7stica. +* H 14 Tgs.
$.& m
1. m
.4 m
@oena edici)n. C@]A] Hearnin.
ditorial
- =ears y emans0y. ?ísica Uniersitaria. ^ol. 1. 13 a edici)n. ditorial FA+=`@. - ipler-\osca. ?ísica para la ciencia y la tecnoloía. ^ol. 1. ! a edici)n. ditorial +^+v. -- +esnic0-Palliday-rane. ?ísica ^olmen 1. %k edici)n. ditorial CC=A.
13.- Un estudiante se sienta so2re un 2anco rotatorio li2remente, sosteniendo dos mancuernas, cada una de 3.$$ 0 de masa. Cuando el estudiante e>tiende los 2razos ;orizontalmente, las mancuernas est7n a 1.$$ m del e/e de rotaci)n y el estudiante da ueltas con rapidez anular de $.#%$ radGs. l momento de inercia del estudante m7s el 2anco es de 3.$$ 0gm y se supone constante. l estudiante /ala las mancuernas ;orizontalmente ;acia adentro a una posici)n de $.3$$ m del e/e de rotaci)n. (a ncuentre la nuea rapidez anular del estudiante. (2 ncuentre la enería cin:tica del sistema rotatorio antes y despu:s de /alar las mancuernas ;acia adentro. +* (a [ 1.& radGs, (2 $ .% T, !.4 T
Bi;a?@a: - =eray-Teett. ?ísica para ciencias e ineniería. ^ol. 1. 34
