PORTAL TIGA DIMENSI
PENDAHULUAN Pada pembahasan ini kita akan bahas lebih dalam tentang analisa struktur menggunakan cara matriks khususnya pada portal tiga dimensi. Pembahasan akan difokuskan pada matriks kekakuan member, formulasi matriks kekakuan portal 3D dalam kordinat global dengan mengkombinasikan hubungan kekakuan elemen, gaya pada joint dan gaya joint equivalent akibat beban merata serta langkah demi langkah prosedur analisa portal yang dibebani gaya pada joint dan batang. Dengan mempelajari modul ini diharapkan mahasiswa akan memahami tentang prosedur analisa portal 3D sehingga mampu menghitung matriks kekakuan elemen dan struktur, vector
beban
serta
menyelesaikan
persamaan
simultan
untuk
mendapatkan
displacacement dan gaya dalam grid dengan menggunakan system perhitungan matriks. Pengetahuan ini akan berguna sebagai bekal pada penggunaan software analisa struktur khususnya rangka bidang yang selalu ditulis/dibuat berdasarkan metode matriks.
PENYAJIAN Portal 3D merupakan tipe portal yang paling umum. Member pada portal tersebut dapat berorientasi ke semua arah dalam koordinat tiga dimensi, dan dihubngkan dengan suatu koneksi yang dapat berupa koneksi kaku ataupun fleksibel. Beban yang bekerjapun dapat mengarah ke semua arah, baik itu beban titik maupun body force. Akibat pembebanan tersebut, portal pada umumnya mengalami moment lentur dan geser pada sumbu utama, torsi dan gaya aksial. Proses pendefinisian model analisis, penomoran dof dan restrained coordinates sama seperti portal 2D.
200
Gambar 9.1 Sistem Kordinat Member Portal 3D
201
Derajat Kebebasan
Derajat kebebasan grid pada dasarnya adalah displacement joint (translasi dan rotasi). Karena ujung bebas dari portal 3D dapat bertanslasi dan rotasi terhadap semua arah sehingga tiap joint bebas dari grid mempunyai enam dof (restrained coordinat) Untuk portal 3D, jumlah dof dihitung dengan rumus
=6
NDOF
: Jumlah dof
NJ
: Jumlah joint
NR
: Jumlah reaksi perletakan
Gambar 9.2 Model Analisis, DOF dan Restrained Koordinat Portal 3D
202
Hubungan Kekakuan Elemen dalam System Kordinat Lokal
Perhatikan member m dari grid di bawah ini
Gambar 9.3 Gaya dan Displacement Ujung Member Portal 3D pada Koordinat Lokal
Karena pada tiap titik ada enam displacement maka sebua member pada portal 3D mempunyai 12 dof pada loordinat local. Pada member di atas, displacement ujung adalah u1 sampai u12 dengan gaya ujung yang bersesuiaan dengan displacement tersebut adalah Q1 sampai Q12.
203
204
Gambar 9.4 Koefisien Stiffness Member Portal 3D pada Sumbu Lokal
Hubungan antara gaya ujung Q dan displacement ujung member u untuk grid dinyatakan sebagai berikut
205
=+ Matriks kekakuan member dalam sumbu local k diturunkan dengan menerapkan secara terpisah suatu unit displacement pada tiap dof seperti pada di atas. Stiffness koefisien pada portal 3D terdiri dari koefisien gaya geser, moment, aksial dan torsi sehingga merupakan gabungan dari portal 2D dan grid. Dengan menyusun koefisen stiffness portal 2D dan grid berdasarkan dof pada gambar di atas maka kita dapatkan matriks kekakuan portal 3D dalam sumbu lokal
00 1200 1200 000 600 600 00 1200 1200 000 600 600 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 4 0 0 0 6 0 2 0 0 6 0 0 0 4 0 6 0 0 0 2 = 0 120 00 00 00 60 0 120 00 00 00 60 00 00 120 0 60 00 00 00 120 0 60 00 00 60 60 00 20 40 00 60 60 00 40 40 [ ] Member local Fixed end forces vector Q f
Dengan menggabungkan fixed end forces portal 2D dan grid, kita dapatkan vector fixed end for dalam kordinat local untuk portal 3D sebagai berikut
= [] 206
Matriks kekakuan elemen local k dan fixed end forces Q f di atas dirumuskan untuk kondisi kedua perletakan terjepit ( MT = 0) sedangkan untuk kondisi perletakan bukan berupa jepit adalah
Sendi pada ujung b ( MT = 1)
02 00 0 = 3 00 2 00 0[ 0
03 00 00 03 00 03
00 30 00 00 30 30
00 00 00 00 00 00
00 00 00 00 00 00
00 00 00 00 00 00
0 2 00 00 02 00 00
03 00 00 03 00 03
00 30 00 00 30 30
3 23 + 02 00 = +23 +23 121 [ 2 ]
00 00 00 00 00 00
00 30 00 00 30 302
03 00 00 03 00 032 ]
207
Sendi pada ujung e ( MT = 2)
02 00 0 = 3 00 2 00 [ 00
03 00 03 03 00 00
00 30 30 00 30 00
00 00 00 00 00 00
00 30 302 00 30 00
03 00 032 03 00 00
0 2 00 00 02 00 00
3 23 + +2 121 = 2 + 233 02 0 [ 0 ]
03 00 03 03 00 00
00 00 00 30 00 00 30 00 00 00 00 00 30 00 00 00 00 00
00 00 00 00 00 00]
208
Sendi pada kedua ujung ( MT = 3)
10 00 0 = 100 00 [ 00
00 00 00 00 00 00
00 00 00 00 00 00
00 00 00 00 00 00
00 00 00 00 00 00
00 00 00 00 00 00
10 00 00 10 00 00
00 00 00 00 00 00
00 00 00 00 00 00
1 1 + + (0 +) 0 = 1 0 +1 + (0 +) 0 [ 0 ]
00 00 00 00 00 00
00 00 00 00 00 00
00 00 00 00 00 00]
Tranformasi Koordinat
Matriks transformasi pada portal 3D terdiri dari cosines arah dari ketiga sumbu local x, y dan z terhadap ketiga sumbu global X , Y dan Z .
209
Gambar 9.5 Transformasi Gaya pada Portal 3D
210
Pada elemen m dari portal di atas, terlihat gaya ujung member, Q dan displacement ujung, u pada kordinat local dan juga penguraian komponennya menjadi gaya dan displacement ujung dalam kordinat global masing-masing F dan v.
Gambar 9.6 Orientasi Member Portal 3D
211
Orientasi member didefinisikan dengan sudut antara sumbu local x, y dan z dengan sumbu global X, Y dan Z. (dinotasikan dengan
θ xX , θ xY , θ xZ ,; θ yX , θ yY , θ yZ ,;
dan
θ yX , θ yY ,
θ yZ ).
Transformasi dari kordinat global ke kordinat local. Gaya pada ujung b
== coscos ++ coscos ++ coscos = cos + cos + cos
Persamaan di atas dapat ditulis sebagai
= =cos =, =, = = = =
Di mana
Demikian juga momen pada gaya ujung b
pada ujung e
dan
Jika digabungkan maka persamaan-persamaan di atas dapat ditulis sebagai
212
0 0 0 0 0 0 = 000 000 000 00 00 00 [ 00 00 00 Di mana
00 00 00 00 00 00 0 0 0 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0 0 0 00 00 00 00 00 00 = =
00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0 0 0 ]
Matriks r dapat juga ditentukan dengan cara alternative menggunakan angle of roll untuk mendefinisikan orientasi sumbu y dan z. sumbu x diorientasikan pada arah yang diinginkan sedangkan sumbu y dan z sedemikian rupa sehingga mengikuti
̅ ̅
aturan tangan kanan dan bidang xy vertical. Sumbu utama member dinyatakan sebagai dan
(bukan y dan z)
Gambar 9.7 Orientasi Aktual Member Portal 3D
213
Sudut putaran (angle of roll ) ψ didefinisikan sebagai sudut dengan searah jarum jam jika dilihat kearah x negative sebagai sudut putaran koordinat local xyz terhadap sumbu x, sehingga bidang xy menjadi vertical dengan y mengarah ke atas. Dengan cara ini maka matriks r dinyatkan sebagai
cos si n cos+ si n + cos = √ sin+ cos √ sin++ cos √ + + sin √ + [ ]
Rumusan tersebut tidak berlaku untuk elemen yang berorientasi vertical karena ada beberapa suku yang akan tidak terdefinisikan. Oleh karena itu untuk kasus special di mana member memiliki sumbu x yang berorientasi vertical, Sudut putaran ( angle of roll ) ψ didefinisikan sebagai sudut dengan searah jarum jam jika dilihat kearah x negative sebagai sudut putaran koordinat local xyz terhadap sumbu x, sehingga sumbu local z menjadi sejajar dan memiliki arah positif yang sama dengan sumbu global Z.
214
Gambar 9.8 Orientasi Member Vertikal Portal 3D
Pada kasus tersebut, matriks r dirumuskan
0 0 = cos 0 sin [ sin 0 cos] Sama seperti gaya, displacement juga dapat ditransformasi dari kordinat global ke
=
kordinat local dengan menggunakan hubungan
Transformasi dari kordinat lokal ke kordinat global. Transformasi dari kordinat local ke kordinat global menggunakan hubungan sebagai berikut 215
= ==
Hubungan tersebut memungkinkan kita mentransformasi matriks kekakuan member dari kordinat local ke kordinat global menjadi
= Prosedur analisa portal 3D dengan menggunakan matriks
Prosedur analisa gris sama dengan prosedur analisa untuk portal 2D Contoh Tentukan joint displacement, gaya ujung member dan reaksi perletakan untuk portal 3D di bawah ini.
216
Jawab portal tersebut digambarkan dalam diagram garis dengan 6 dof dan 18 restrained coordinates seperti di bawah ini.
Member 1
L= 240 in;
7 3975.4 8 0 9 0 10 0 110 120 3975. 1 4 2 0 3 0 4 0 5 06 0 7 8 18. 0 24 0 0 0 2162. 9 0 18. 0 24 0 0 0 2162. 9 5. 9 41 0 712. 9 2 0 0 0 5. 9 41 0 712. 9 2 0 723.54 1140670 00 00 00 712.092 723.0 54 570330 00 10119 346067 3975.0 4 2162.0 9 00 00 00 1730330 121 = 18.024 5.9041 00 712.092 2162.0 9 23 723.54 1140670 00 ] 45 [ 346067 6 Karena sumbu local searah dengan sumbu global maka T1 = I sehingga K1 = k1 Akibat gaya 0.25 k/in (=3 k/ft),
217
= =30 = =1200 030 78 00 109 0 11 = = 1200300 1212 00 34 0[1200] 56
Member 2
L= 240 in;
3975.4 18.0024 00 00 00 2162.0 9 3975.0 4 18.0024 00 00 00 2162.0 9 5.941 723.054 712.0 92 00 00 00 5.0941 723.0 54 712.0 92 00 114067 0 0 0 712. 9 2 0 57033 0 346067 0 2162. 9 0 0 0 173033 = 3975.4 18.0024 00 00 00 2162.0 9 5.941 723.054 712.092 00 [ 114067 3460670 ]
= =0 = = 020 =1 = =0 cos=0 si n=1 218
010 = 0 0 1 [1 0 0] 00 10 01 00 00 00 00 00 00 00 00 00 10 00 00 00 01 00 00 00 00 00 00 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 = 000 000 000 100 000 000 000 010 001 000 000 000 00 00 00 00 00 00 10 00 00 00 01 00 0[0 00 00 00 00 00 00 00 00 01 00 10] 13 5.94114 0 15 0 16 0 17 0 18 712.921 5.941 2 0 3 0 4 0 5 0 6 712.92 13 0 024 2162.0 9 00 00 1415 3975.4 18.0024 346.2162.00679 712.00 92 2162.00 9 000 3975.00 4 —18. 2162. 9 1730330 723.0 54 00 1617 723. 5 4 0 0 0 712. 9 2 114.067 712.5.94192 00 00 00 00 712.5703392 181 = 3975.4 18.0024 2162.0 9 00 00 23 346067 723.0 54 00 ] 45 [ 114067 6
=0
Member 3
L= 240 in
3975.4 18.0024 5.90041 000 712.00 92 2162.00 9 3975.00 4 18.00024 5.00941 000 712.00 92 2162.00 9 723.54 1140670 00 00 00 712.092 723.0 54 570330 00 346067 3975.0 4 2162.0 9 00 00 00 1730330 = 18.024 5.9041 00 712.092 2162.0 9 723. 5 4 0 0 114067 0 [ 346067 ] 219
= =0 = =0 = = 0 20 =1 ψ=30∘ cos=0.86603 sin =0.5 0 0 1 = 0.5 0.86603 1 [0.86603 0.5 0] 0.0.8066035 0.0.866030 5 001 0 5 0.866030 01 0. = 0.86603 0.5 0 0.0 5 0.866030 01 0. 8 6603 0. 5 0 0 5 0.866030 01 0. [ 0.86603 0.5 0] 19 8.961820 5.221322 220 627.2387 1075.244 0 1 8.96182 5.23223 0 4 627.857 1075.64 0 19 15.003 3975.0 4 1800.0 4 627.0 87 00 5.20322 15.0003 0 1800.0 4 627.0 87 00 2021 288.067 100459 00 627. 847 1800. 47 3975.0 4 144033 50229 00 2223 172067 1075. 627. 8 50229 86033 723.54 8.90618 5.20322 00 627.0 87 1075.0 4 723.0 54 241 = 15.003 3975.0 4 1800.0 4 627.087 00 23 288067 100459 172067 723.00 54 456 =0
1 2 3 4 5 6 220
1 3990. 3 5. 2 322 0 627. 8 7 1075. 4 712. 9 2 2 5. 2 322 4008. 4 0 1800. 4 627. 8 7 2162. 9 3 0 87 1800.0 4 2162. 3999.49 2162. 9 712. 9 2 0 = 627. 4 634857 100459 0 5 4 627. 8 7 712. 9 2 100459 286857 0 [1075. ] 712.92 2162.9 0 0 0 460857 6 030 12 = 000 345 [1200] 6
Gaya joint P
00 12 = 180000 345 [ 1800 ] 6 Joint displacement
=
00 300 5.3990.23223 5.4008.23224 00 627. 8 7 1075. 4 712. 9 2 1800. 4 627. 8 7 2162. 9 01800 00 = 627.0 87 1800.0 4 2162. 3999.49 2162. 9 712. 9 2 0 634857 100459 0 01800 12000 [1075. 4 627. 8 7 712. 9 2 100459 286857 0 ] 712.92 2162.9 0 0 0 460857 1.2.37522965 = 3.1.1.00569021812 ×10− [ 6.4986 ] 221
Member end displacement dan end forces Member 1
00 00 0 = = 1.2.370522965 ×10− 1.3.0802112 1.[ 6.04569986 ] 5.44.3757106 78 0.2.177224272 109 11 58. 9 87 12 5 = = + = 2330. 5.15.3875794 12 0.2.714272722 34 5 119. 2 7 [ 1055 ] 6
222
Member 2
= 00 00 0 = = 2.1.70896512 ×10− 1.1.03569522 [3.6.40986021] 11.6.4160717 4.0.766472249 369. 6 7 5 5 = = 515. 11.6.4607117 4.0.764726249 [ 740.103531 ] 4.11.6124917 1314 6.515.460755 1516 17 0. 7 6472 = = 11.369.4.624916177 1812 6.1035 4607 34 0.[ 740.7647231 ] 56 223
Member 3
= 00 00 0 = = 1.1.70845712 ×10− 2.6.54693986 [ 2.2.40164714 ] 7.4.25034118 1.4.7702379 139. 6 5 = = 362.7.4.2520341181 1.4.7702379 [277.720.4663 ] 0.4.777635082 1920 7.383.20345 2122 23 60. 1 66 = = 4.0.4.750827776302 2412 7.762.203482 34 5 120. 0 3 [ 4.702 ] 6 224
Reaksi Perletakan
5.44.3757106 78 0.2.177224272 109 58.2330.9875 1112 4.11.6124917 1314 6.460755 1516 = 0.515. 7369.647267 1718 0.4.777625082 1920 7.383.20345 2122 23 60. 1 66 [ 4.702 ] 24
225
PENUTUP Rangkuman
Sebagai rangkuman dari penjelasan di atas, analisa struktur grid dapat disederhanakan dalam suatu diagram blok seperti di bawah ini Identifikasi dof d dan restrained coordinates portal 2D batang
Untuk tiap member : Hitung K dan F f Tempatkan K dalam S dan F f dalam P f
Bentuk vector beban joint P
Selesaikan P – Pf = Sd untuk mendapatkan d
Untuk tiap member : Dapatkan v dari d Hitung u = Tv, Q = ku + Qf dan F = TTQ Tempatkan F dalam R Gambar 9.9 Flowchart Analisa Struktur Portal 3D
Tes Mandiri
Untuk dapat memantapkan pemahaman anda tentang analisa struktur balok menggunakan metode matriks maka kerjakanlah latihan di bawah ini : Tentukan displacement joint, gaya aksial member dan reaksi perletakan untuk dari Portal 2D di bawah ini
226
a.
DAFTAR PUSTAKA
1. Kassimali, A., Matrix Analysis of Structures, Carbondale, Brooks/Cole Publishing Company, 1999 2. Wang, C. K., Matrix Methods of Structural Analysis, Wisconsin, American Publishing Co.,1970 3. Nasution, A., Analisis Struktur dengan Metoda Matriks, Bandung, Penerbit ITB
227
