1. Gotas esféricas de agua (de diámetro 3mm y temperatura 20°C) sedimentan en una atmosfera de aire a 60°C y presión atmosférica. Calcular el incremento de temperatura que experimenta cada gota durante un periodo de tiempo de 2 segundos, suponiendo que la gota cae con su velocidad de sedimentación y el flujo de calor calculado para las condiciones iniciales se mantiene durante los 2 segundos de cale ntamiento. 2. La medición de la velocidad de sedimentación de una esfera puede utilizarse para determinar experimentalmente la viscosidad de un líquido, bajo ciertas condiciones, en la forma siguiente: a) Calcular la viscosidad del líquido A (densidad 980 kg/m 3) si una esfera de 4mm de diámetro y densidad 1120 kg/m3 sedimenta en él con velocidad de 0.9 cm/s. b) Calcular la viscosidad del líquido B (densidad 1045 kg/m 3) si una esfera de 8mm de diámetro y densidad 1200 kg/m3 sedimenta en él con velocidad de 9cm/s. c) Explique por qué no se puede aplicar este método en régimen de Newton. 3. La suspensión afluente a un sedimentador con una concentración de 435 kg/m 3 está formado por partículas irregulares con una esfericidad de 0.6 y densidad de partícula de 1250 kg/m3 y agua a 28°C. Calcule el tamaño de las partículas separadas, si el sedimentador tiene una capacidad de 3 kg/(m2s)-1. Nota: [Capacidad=(velocidad de sedimentación)(Concentración de solidos)] Desarrollo 1. R/ Datos:
-
Partícula: Gotas de agua
==20°3 3 = 3∗3 ∗ 10− ∞ = 60°
Temperatura de pared o superficie de la gota Temperatura del fluido lejos del cuer po.
-
Fluido Aire
En primera instancia calculamos la temperatura de la película o film para saber a qué temperatura se encuentra el aire c uando fluye alrededor de la gota de agua.
= +2 ∞ = 20° +60° 2 = 40° = 1.128 / = 1.1.9 ∗ 10− = 1.90∗10− ∗
A una temperatura de 40°C, el aire tiene las siguientes propiedades: ;
A una temperatura de 20°C, el e l agua tiene las siguientes propiedades:
= 998.2 /
≡ 9. 8 1. 1 28 998. 2 1. 1 28[ ] − ≡ 3∗10 1.90∗10− ∗ ) (
≡ 93.76
Como k< 2364 y mayor a 69.12, el régimen es de Newton. Ahora, calculamos la velocidad terminal o sedimentación de la partícula, sabiendo que se encuentra en régimen de Newton, gracias al cálculo del parámetro indicador K
= √ 430.44 − 4 9. 8 / 3∗10 998. 2 1. 1 28/ = √ 30.441.128/ = 8.8741 / = − 8. 8 741 /3∗10 1. 1 28 / = 1.90∗10− ∗ = 1580.22
Comprobamos si el régimen supuesto es el indicado por medio de la ecuación de Reynolds de partícula
Si Re>1000, el régimen es de Newton, por tanto la suposición es válida.
Calculamos el calor transferido del aire a la gota, sabiendo que ocurre un fenómeno de transferencia de calor por convección, para eso calculamos el flujo de calor en la superficie de la esfera por medio del número de Nuasselt para flujo turbulento. El número de Nausselt (Nu) es un numero adimensional que mide el aumento de la transferencia de calor desde una superficie por la que un fluido discurre (transferencia de calor por convección) comparada con la transferencia de calor si esta ocurriera por conducción. Suponiendo que ocurre una convección natural (movimiento convectivo producido en fluido y debido solamente a la variación de temperatura en e l interior del fluido) desde esferas tenemos:
= 2+0.60.
Donde Pr es el número de Prandlt que es adimensional, proporcional al cociente entre la difusividad de momento (viscosidad) y la difusividad térmica. El número de Prandlt para el aire es:
= 0.70
. Reemplazando en la anterior ecuación, t enemos:
= 2+0.61580.22.0.7 = 28.416 = ℎ ∗ = 0.024 ∗ ℎ = ∗ 28. 4 160. 0 24 ℎ = 3∗10− ∗ ℎ = 227.328 ∗ = ℎ ∗ ∗ ∞ = 227.328 ∗ ∗3∗10−333.15 293.15 = 0.2571 = 0.2571 = ∆
Calculamos el coeficiente de transferencia de calor por convección a partir de:
Donde Kf es la conductividad térmica del fluido. Para el aire es:
Despejando el coeficiente de transferencia de calor obtenemos:
Ahora la transferencia de calor por convección establecida por la ley de enfriamiento de Newton es:
Igualamos la cantidad de calor transferido durante 2 segundos con la cantidad de calor que recibe la gota
Dónde:
mgota es la masa de la gota esférica de agua.
= ∗ = ∗ 6 = 998.2/ ∗ 6 3∗10− = 1.41∗10− = 4.182 ∗
Cpagua es la capacidad calorífica del agua. A una temperatura de 20°C
Despejando el
∆
obtenemos
1 0. 2 571 ∗ 1000 ∆ = 1.41∗10−4. 182 ∗ ∆ = 4.36012 ∆ = 4.36012 ∗2 ∆ = 8.72024
Para un periodo de 2 segundos el incr emento de la temperatura es:
2. R/ a. Datos:
== 9804/= 4∗10 − = =0.11209 / = 9∗10−/
Suponiendo régimen de Stoke
= 18 = 9. 8 − 4∗10 1120 / 980 = 9∗10−/ = 0.1355 ∗
Verificamos si régimen supuesto es el corr ecto
= −/4∗10−980 9∗10 = 0.1355 ∗ = 0.2603 == 1045 / − 8 = 8∗10 = =91200 =/ 0.09 /
Es valida la suposición de régimen de Stoke ya que Rep<1. b. Datos:
Suponiendo régimen de Stoke y aplicando la ecuación de velocidad terminal para régimen Stoke, tenemos que la viscosidad es:
= 0.060 ∗ −1045 0. 0 9 / 8 ∗10 = 0.06 ∗ = 12.54
Verificamos si régimen supuesto es el co rrecto por medio de la ecuación de número de Reynolds
Como Rep>1, no es válido utilizar el régimen de Stoke, por lo tanto es necesario utilizar el régimen de Allen. A partir de la expresión general del cálculo de la velocidad terminal, determinamos la ecuación de velocidad terminal para régimen de Allen de la siguiente manera:
Para régimen de Allen
= 43 = 18..5 = 43 18. .5
Reemplazando CD en la ecuación de velocidad terminal tenemos:
= 34 18. 5. = 455.5 . . . . 4 = 55.5. . = 4.55.5 . . . . 4 . = 55.5. . . 4 . = 55.5. 1045/. 4 9. 8 . = 8∗10−.1200/ 0.1045/ . 0 9 55.51045/ . = 0.0872 ... = 0.01714 ∗ −1045 0. 0 9 / 8 ∗10 = 0.01714 ∗ = 43.89
Despejando
obtenemos:
Verificamos si la suposición de régimen de Allen es correcta por medio del número de Reynolds de partícula
Como el Rep está entre el intervalo de 1 y 1000, característico del régimen de transición o Allen, es válida la suposición del régimen e implementación de ecuaciones para determinar la v iscosidad del fluido. c.
No es válido aplicar dicho método con régimen de Newton, debido a que las ecuaciones del régimen de Newton no están en función de la viscosidad, que es la variable que deseamos determinar, además de que las variables dependientes de la las ecuaciones del régimen de Newton ya son establecidas por el ejercicio. De igual manera, no es válido utilizar el método del régimen de Newton ya que el número de Rep indica que el régimen que se debe trabajar para los ejercicios resueltos es para régimen de Stoke y régimen de Allen.
435 / 3 ∗ = 1250 / = =996.8.333∗10 1 /− ∗ =?? = = ∗ = 4353 / = 6.896∗10−/ = 43 = 49.8/8.33∗10− ∗1250 / 996. 31 / 36.896∗10−/ 996.31 = 8.48266 = 8.48266 = 8.48266∗ 3. Datos: Concentración de suspensión solida:
Capacidad de sedimentación: Esfericidad ( )= 0.6 Densidad de partícula
Densidad del fluido (Agua a 28°C)
Viscosidad del fluido (Agua a 28°C) Diámetro de partícula
En primera instancia calculamos la velocidad terminal por medio de la siguiente ecuación:
Para partículas irregulares, dado Ut, hallamos el Dp que sería el Dequivalente esfera volumen
Donde CD es el coeficiente de arrastre.
Dándole valores supuestos a Re, obtendremos los puntos para graficar una recta en una gráfica C D vs Rep
CD Re 0.848266 0.1 8.48266 1 84.8266 10 848.266 100 8482.66 1000 Ubicando estos puntos en la gráfica de coeficiente de arrastre vs número de Reynolds se traza una línea que corta la curva que corresponde a una esfericidad de 0,6 en un de 3,9.
∗
∗
Así, a partir de un de = 3,9 es posible calcular el diámetro esfera volumen de la partícula usando la relación del número de Reynolds así:
∗ = − ∗ ∗ − = ∗∗ ∗
Despejando el diámetro equivalente esfera-volumen
− ∗ 3. 9 8. 3 3∗10 − = 6.896∗10−/996.31 − = 4.7284∗10− 4.7284∗10−
El diámetro calculado a partir de la ve locidad de sedimentación es
