Universidad San Ignacio de Loyola Ciencias Básicas
GUIA DE TRABAJO
ESTADÍSTICA GENERAL
2014-0
TEMA: DEFINICIONES Y CONCEPTOS. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN EN TABLAS DE FRECUENCIA REPRESENTACIÓN TALLO HOJA
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1. Para los siguientes siguientes enunciados enunciados Identifique: población, población, muestra, unidad unidad elemental, variable, variable, tipo de variable, estadístico estadíst ico o parámetro parámetr o adecuado y dé un ejemplo de observación para cada variable: La Municipalidad de Lima desea saber si los ciudadanos están de acuerdo o no con continuar los trabajos del tren eléctrico. Un editor de periódico desea conocer las opiniones del público sobre la cobertura de las noticias internacionales que publica. En SEDAPAL se necesita estimar el consumo trimestral de agua por familia para un distrito de Lima. Un empresario desea conocer el número de veces al mes que salen a comer a un restaurante, los habitantes de una zona de la ciudad. 2. Suponga que lo acaban de nombrar ejecutivo principal de mercadotecnia mercadotec nia para Fun Enterprise (F.E), compañía que se especializa en diseñar y construir parques de diversiones cerca de grandes ciudades. F.E se interesa principalmente en un sitio al Sur de Lima. Para conocer el perfil de sus potenciales clientes, clientes , selecciona una muestra de 55 personas de su público objetivo. Algunas de las características características evaluadas evaluadas y resultados resultados se presentan presentan a continuación. continuación. Opinión acerca de la posible instalación del parque de diversiones (A favor, en Contra). Si su respuesta es: es: está a favor de la instalación del parque de diversiones diversiones: Precio que estaría dispuesto dispuesto a pagar en cada visita Frecuenc ia de visitas al mes que realizaría al parque de diversiones. Frecuencia
Además se obtuvieron los siguientes resultados: Precio promedio dispuesto a pagar: S/. 7.8 El 90% de los entrevistados declararon estar a favor de la instalación del parque. De acuerdo a lo expuesto anteriormente. a) Defina claramente: claramente: Población, Población, Muestra, Variables Variables y Tipos. b) Identifique si fuera posible: Valor Estadístico o Parámetro y de un ejemplo de Observación para cada variable. 3. Con la finalidad de estudiar algunos indicadores socioeconómicos, una empresa de investigación de mercados extrae una muestra representativa de 850 personas mayores de 20 años repartida en los diferentes estratos socioeconómicos de la ciudad de Arequipa. Algunos de los resultados publicados publicados fueron:
El 35% se opone a la ejecución del proyecto “Nueva arequipa”.
El tiempo promedio que se encuentra sin trabajo es 12 años. El 35% tiene instrucción primaria, 25% instrucción superior, 30% instrucción secundaria y el resto ninguna. El 92% no posee auto. a) Identifique: Población, Muestra, Variables y tipos de variables. b) Determine (si existieran) los estadígrafos y/ó parámetros a partir del enunciado enunciado propuesto.
4. La gerencia del hotel CONFORT desea evaluar la calidad de mil cajas de jabones BUBSA que intenta comprar (cada caja contiene 24 unidades); el gerente dispone revisar al azar 80 cajas y evaluar la calidad de los jabones en estas cajas. El supervisor en cargado le informa: “En el 65% de las cajas no se encontró jabones malogrados, en el 20% se encontró un jabón malogrado,
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en el 10% de cajas se encontraron dos jabones malogrados y en el resto de cajas se encontraron tres jabones malogrados”. Se pide identificar: a. La población objetivo. c. La variable estudiada. b. La muestra. d. La tabla de frecuencias. 5. La gerencia general del hotel ESTRELLA, preocupada por la calidad del servicio que están recibiendo los 95 clientes atendidos actualmente, dispone que se consulte la opinión sobre la calidad del servicio a una muestra de 20 clientes hospedados. La Oficina de Imagen Institucional del hotel realizó esta consulta y le entrega la base de datos siguiente: Cliente Nacionalidad Edad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Peruana Peruana Peruana Americana Americana Peruana Americana Americana Argentina Argentina Europea Americana Europea Americana Americana Peruana Europea Americana Europea Americana
25 23 50 48 28 28 36 35 25 23 39 43 55 28 41 33 48 50 36 42
Sexo Masculino Femenino Masculino Femenino Masculino Femenino Masculino Femenino Masculino Femenino Masculino Femenino Femenino Masculino Masculino Femenino Masculino Femenino Femenino Femenino
Numero de atenciones en el año 2 3 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 1 2 2
Opinión sobre el servicio Nivel de Educación recibido en la última atención Superior Superior Superior Secundaria Secundaria Secundaria Superior Superior Superior Superior Secundaria Superior Secundaria Superior Superior Secundaria Superior Superior Secundaria Superior
Buena Buena Buena Mala Mala Regular Regular Regular Buena Buena Regular Buena Mala Regular Buena Buena Regular Regular Buena Mala
Con respecto al conjunto de datos. a. Identifique: la Población, Población, muestra, unidad elemental b. Identifique las variables variables y establezca su naturaleza. naturaleza. c. ¿Cual es la observación para la variable edad del cliente 7 de esta base de de datos?. d. ¿Cuál es el parámetro que corresponde para la edad de los clientes?. e. ¿Cuál es el estadístico que corresponde correspond e para la edad de los clientes?. f. ¿Cuál es parámetro parámetro que corresponde corresponde a la nacionalidad nacionalidad de de los clientes?. Elabore los siguientes cuadros de resumen considerando las estructuras porcentuales respectivas: g. Número de clientes según su opinión del servicio por nacionalidad del cliente h. Número de clientes según su opinión del servicio por sexo del cliente i. Número de clientes según su opinión por el número de atenciones recibidas de hotel En base a las estructuras porcentuales de los cuadros elabore los gráficos descriptivos siguientes: j. Porcentaje de clientes clientes según su opinión sobre sobre la atención recibida. k. Porcentaje Porcentaj e de clientes según nacionalidad del cliente. 6. Para estudiar las principales características característi cas descriptivas de los 850 clientes que está atendiendo el gimnasio SAMOA se elige una muestra de 25 clientes y a cada cliente elegido se le solicita la información siguiente: Nacionalidad, sexo, edad (años), peso (kg), días que trabajó la semana anterior, número de veces que vino al gimnasio en el mes anterior y si está haciendo dieta. Cliente
Nacionalidad
Sexo
Edad
Peso
Días
Veces
Dieta
4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Peruana Peruana Peruana Peruana Peruana Peruana Peruana Peruana Peruana Peruana Panameña Panameña Panameña Panameña Panameña Panameña Panameña Colombiana Colombiana Colombiana Colombiana Colombiana Ecuatoriana Ecuatoriana Ecuatoriana
Masculino Masculino Masculino Masculino Masculino Masculino Femenino Femenino Femenino Femenino Masculino Masculino Masculino Masculino Femenino Femenino Femenino Masculino Masculino Masculino Femenino Femenino Masculino Masculino Femenino
18 19 17 19 30 41 20 18 18 18 59 17 49 20 21 20 18 38 39 20 21 20 48 18 20
54.3 63.2 62.5 53.3 66.8 74.5 52.2 53.6 61.5 55.8 74.3 63.2 72.5 73.3 56.8 54.5 52.2 63.6 71.5 65.8 52.2 43.6 71.5 65.8 54.3
6 5 6 6 7 6 6 6 4 6 6 5 4 6 7 6 6 6 4 6 5 6 4 7 6
5 25 10 20 15 15 15 5 25 10 20 15 15 15 15 15 15 15 15 20 20 10 10 25 5
No No No No No No Si Si Si Si No No No No No Si Si No No No Si Si No No No
a. Determine la unidad de análisis, la población y la muestra en esta investigación. investigaci ón. b. Establezca la naturaleza naturaleza de cada variable incluida en la investigación. investigación. c. Elabore un cuadro de resumen sobre el número de clientes según nacionalidad, por sexo que incluya la estructura porcentual y haga un gráfico para mostrar la estructura porcentual respecto al sexo de los clientes. d. Elabore un cuadro de resumen sobre el número de clientes según nacionalidad que incluya la estructura porcentual y haga un gráfico para mostrar la estructura porcentual de la nacionalidad. 7. Para caracterizar a los 120 estudiantes matriculados matriculado s en Estadística Estadíst ica General se eligen 25 estudiantes y se les pide la información siguiente: Especialidad, colegio de procedencia, edad, promedio ponderado, número de cursos en que está matriculado, horas de clase a la semana que debe asistir y si repite el curso. Alumno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Especialidad Hotelería Hotelería Hotelería Hotelería Hotelería Hotelería Hotelería Hotelería Hotelería Hotelería Turismo Turismo Turismo Turismo Turismo Turismo Turismo Comunicaciones Comunicaciones Comunicaciones
Colegio Particular Particular Particular Particular Particular Particular Nacional Nacional Nacional Nacional Particular Particular Particular Particular Nacional Nacional Nacional Particular Particular Particular
Edad 18 19 17 19 20 22 21 18 18 18 19 17 19 22 21 24 18 18 19 20
Promedio 14.3 13.5 12.5 13.6 16.8 14.5 12.5 13.6 11.0 15.1 14.3 13.2 12.5 13.3 16.5 14.5 12.2 13.6 11.5 15.8
Cursos 6 5 6 6 7 6 6 6 4 6 6 5 4 6 7 6 6 6 4 6
Horas 30 25 30 30 35 30 30 30 20 30 30 25 20 30 35 30 30 30 20 30
Repite No No No No No No Si Si Si Si No No No No No Si Si No No No
5
21 22 23 24 25
Comunicaciones Comunicaciones Educación Educación Educación
Nacional Nacional Particular Particular Nacional
21 20 18 18 20
12.2 13.9 11.8 15.1 14.3
5 6 4 7 6
25 30 20 35 30
Si Si No No No
a) Determine cuál es la unidad de análisis, la población, la muestra y la naturaleza de cada variable. b) Elabore un cuadro estadístico que incluya una estructura estruct ura porcentual sobre el número de estudiantes según especialidad, por su repitencia del curso. c) Elabore la representación representa ción tallo hoja sobre la distribución del promedio ponderado de los estudiantes. d) Elabore una tabla de frecuencias frecuenci as del promedio ponderado de los estudiantes. estudiantes . 8. Considerando la tabla de frecuencias frecuenci as de la parte (e) del problema anterior, conteste las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es el porcentaje de estudiantes estudiant es cuyo promedio ponderado es menor a 15.5? b) ¿Cuál es el puntaje puntaje total que acumulan acumulan los 25 estudiantes estudiantes entrevistados? entrevistados? c) ¿Cuál es el porcentaje de de estudiantes cuyo promedio es menor a 15.5 pero mayor a 13.5? d) ¿A partir de qué promedio ponderado se consideraría al 20% superior de estudiantes? estudian tes? 9. El gerente del hotel BAMBU desea analizar el perfil de los clientes que prefirieron al hotel durante el mes pasado, por tal motivo solicita a la recepción información de los clientes atendidos durante la última semana del mes pasado. La información solicitada es: CLIENTE
NACIONALIDAD
EDAD
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Norteamericana Norteamericana Norteamericana Norteamericana Norteamericana Norteamericana Norteamericana Norteamericana Norteamericana Norteamericana Canadá Canadá Canadá Canadá Canadá Francia Francia Japón Japón Japón
25 27 29 35 36 39 38 45 56 68 25 24 30 35 38 25 30 32 40 45
NUMERO DE ACOMPAÑANTES ACOMPAÑANTES 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3
DIAS DE PERMANENCIA 2 2 2 5 5 5 5 5 5 5 2 2 7 7 7 7 5 7 7 7
MONTO DE FACTURA 201 251 388 401 417 484 459 479 518 670 280 305 749 679 695 750 580 875 948 780
a. Elabore la representación represent ación Tallo-Hoja Tallo-Hoj a para describir la edad de los clientes atendidos. b. Construya una tabla de frecuencias y el histograma respectivo para describir el número de días que permanecieron los clientes en el hotel durante esta semana. c. Construya una tabla de frecuencias frecuenc ias y su histograma utilizando 4 intervalos de clase para describir el monto de las facturas pagadas por los clientes del hotel durante esta semana. d. Utilizando la tabla de frecuencia construida construid a en la pregunta pregunta b estime el porcentaje de clientes cuyas facturas fueron por montos entre S/ 500 y menos de S/ 800. (R: El 47%) e. La gerencia plantea hacer un obsequio a los clientes cuyas facturas factura s corresponden al 20% de los mayores montos. ¿Cuál es el monto a partir del cual se haría el obsequio al cliente? (R: S/730.83)
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f. Utilizando la tabla de frecuencia construida en la pregunta b determine el monto de factura que comprende al 50% de los clientes que gastaron menos. (R: S/548.28) g. Utilizando la tabla de frecuencia construida en la pregunta b estime el monto total de las facturas de los 20 clientes del hotel durante la última semana de Julio. ¿Cuál es el verdadero valor de este total?. (R: Estimado: 11,126 y Verdadero 10,909) 10. La gerencia general de la agencia de viajes VIASA está interesada en conocer el comportamiento de las ventas efectuadas por su representante de ventas en la ciudad de Iquitos TURSA, por tanto dispone evaluar al número de ventas mensuales realizadas durante los 25 meses que viene trabajando. El número ventas por mes que efectuaron en este período es: 3 4 1 2 1 2 2 5 2 1 2 3 0 1 0 3 3 2 0 2 1 3 4 1 2 Construya una tabla de frecuencia y en base a esta tabla responda a las siguientes preguntas: a. ¿Cuántos meses TURSA realizó entre 2 y 4 ventas? b. ¿Cuántos meses TURSA realizó menos de 3 ventas? c. ¿Qué porcentaje de los meses realizó a lo más 2 ventas? d. ¿Qué porcentaje de los meses realizó más de 2 ventas? 11. La gerencia del restaurante EL MIRADOR desea implementar acciones que motiven a sus clientes a aumentar el monto de sus consumos los fines de semana, por tal motivo desea analizar el monto de las 40 facturas correspondientes a los consumos realizados en el último fin de semana, estos son: 121 201 388 749 141 138 251 575 417 484 140 401 784 750 576 130 451 676 459 679 479 875 549 749 702 518 981 948 414 486 978 755 648 518 510 410 655 476 571 710 Construya una tabla de frecuencia y en base ella responda a las siguientes preguntas: a. ¿Cuántos clientes consumieron por montos menores a 409 soles? b. ¿Cuántos clientes consumieron por montos entre 409 y 553 soles? c. ¿Cuántos clientes consumieron por montos mayores a S/ 409? d. ¿Cuántos clientes consumieron por montos menores a S/ 490? e. ¿Qué porcentaje de clientes consumieron por montos menores a S/ 490? 12. La comisaría de LA MOLINA desea establecer los niveles de velocidad que corresponderían al pasar por la clínica La Salud, para tal fin establecen un punto de control de velocidad y miden las velocidades de 30 vehículos que transitan por dicho punto de control, estas velocidades son: 60 30 38 60 45 20 35 20 40 54 38 35 40 10 45 60 49 30 55 46 29 38 80 40 28 15 82 72 105 85 a. Construya la tabla de distribución de frecuencias absolutas y relativas b. Grafique el histograma y el polígono de frecuencias correspondiente c. Elabore una representación “tallo hoja” para describir los niveles de velocidad observados
13. El gerente del hotel SAVOY desea llevar un mayor control sobre el tiempo de las llamadas internacionales que realiza su personal de promoción. Preliminarmente se plantea la idea que estas llamadas deben tener un límite de 10 minutos. Para examinar más esta idea la gerencia solicita le alcancen la relación de tiempos utilizados por las 50 llamadas internacionales realizadas por el hotel durante el mes de Febrero 2010 El listado de estos tiempos (en minutos) usados por cada llamada es:
7
5.0 6.2 4.0 4.0 6.0 a. b. c. d. e. f.
3.1 3.2 1.0 6.1 6.1 7.1 5.1 6.2 3.2 7.0 6.0 5.1 5.2 16.0 1.0
4.0 4.5 5.1 6.5 1.0 14.2 1.2 2.2 5.1 3.3 4.5 5.4 9.0 11.0 3.1 12.1 10.0 1.5 8.0 9.0
4.0 4.0 6.4 4.1 2.1
2.1 4.0 8.5 7.1 12.0
Construya una tabla de frecuencia clasificando estos datos en 5 intervalos. Construya el histograma de frecuencia y el polígono respectivo. ¿Qué porcentaje de llamadas duraron entre 4 y 10 minutos? ¿Cuál es el tiempo que comprende al 20 % de las llamadas que duraron más? ¿Cuál es el tiempo que comprende al 50 % de las llamadas que duraron menos? Realice una representación “tallo-hoja” para los tiempos observados.
14. La gerencia del restaurante DELICIAS desea evaluar el contrato que ha realizado con el grupo teatral AMENIDADES ya que, de acuerdo con el contrato firmado, el grupo teatral se compromete a que el 50% la audiencia permanecería en el restaurante atendiendo la función por un tiempo mayor a los 70 minutos. Con el fin evaluar este contrato durante el fin de semana asistieron 48 clientes, para cada cliente se midió el tiempo (en minutos) que permanece atendiendo la función, esta información es: 83 51 66 61 82 65 54 56 92 60 65 87 68 64 51 70 75 66 74 68 44 55 78 69 67 82 77 79 62 38 88 76 99 84 47 60 42 66 74 91 71 83 80 68 65 51 56 73 a. b. c. d.
Construya la tabla de frecuencia considerando 7 intervalos de igual tamaño. Construya el histograma y el polígono de frecuencias relativas correspondiente Elabore una representación “tallo - hoja” para describir el tiempo de audiencia. ¿Se puede decir que el grupo cumplió con lo acordado?.
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15. La representación tallo hoja del tiempo (en minutos y con un decimal) requerido por los estudiantes para responder cierta pregunta de razonamiento matemático es : Nº Tallo Hoja 1 00012233334444444 17 1 555556666666667777888899999 44 2 00000011111111222222222222333333 76 106 2 555556666666666666777778889999 (29) 3 00000000011111111222233333344 90 3 55566666667788888899999999 64 4 0001111112222222333444 42 4 55555667778888 28 5 000001111122233444 10 5 5567899 3 6 04 7 0 1 ( La suma de los tiempos registrados es: 713.3 minutos) Construya una tabla de frecuencias para los datos observados. a. Considerando 5 intervalos. b. Aplicando la regla Sturges (muestre sólo frecuencias absolutas). Utilizando la tabla de frecuencia que incluye 5 intervalos determine: c. ¿Qué porcentaje de alumnos utilizó entre 3 y menos de 5 minutos para responder?. d. ¿Cuál es el tiempo que comprende al tercio de alumnos que demoró menos?. e. Responda las preguntas c y d a través de la representación tallo hoja. 16. En la primera práctica de Estadística General del ciclo anterior, las notas de los 50 alumnos fueron: 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 12.5 13.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 12.5 13.0 13.5 14.0 10.5 11.0 11.5 12.0 12.5 13.0 13.5 14.0 14.5 17.5 a. Construya una tabla, histograma y polígono de frecuencia clasificando estos datos en 6 intervalos.(considere un mínimo de 1 y un máximo de 19). b. Realice una representación “tallo - hoja” para los calificaciones registradas. En base la tabla de frecuencia construida: c. ¿Cuál es la calificación que corresponde al tercio superior en las notas registradas? d. ¿Qué porcentaje de alumnos está comprendido entre las notas 9.5 y menos de 13.5? 17. Para comparar los resultados de la primera práctica del presente ciclo con el ciclo anterior le alcanzan la tabla siguiente: Número de alumnos de Estadística General según su calificación en la primera práctica del presente ciclo Calificación Número De 1 a menos de 4 4 De 4 a menos de 7 8 De 7 a menos de 10 12 De 10 a menos de 13 24 De 13 a menos de 16 20 De 16 a 19 12 Total 80 Fuente: Oficina de Servicios Académicos
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a) Compare los polígonos de frecuencia de ambos períodos y establezca el ciclo que registra las notas mayores. b) ¿Cuántos alumnos del presente ciclo tuvieron notas de 12 ó más y que porcentaje significa? Rept: 40; 50% c) Para el presente ciclo: ¿Cuántos puntos suman las notas de los alumnos que lograron notas "De 10 a más"? Respt: 776 puntos 18. Para el presente ciclo se ha dispuesto que los alumnos del tercio superior reciban una felicitación y los del tercio inferior reciban clases de nivelación. Si Pedro obtuvo la nota 10.25; Manolo 10.35; Bobi 13.7 y Alex 13.85. a) ¿Qué tratamiento recibirá Pedro y Manolo? b) ¿Qué tratamiento recibirá Bobi y Alex?. 19. Moore Travel, una agencia de viajes, ofrece precios especiales en ciertas travesías por el Caribe. Planea ofrecer varios de estos paseos durante la próxima temporada invernal y desea enviar folletos a posibles clientes. A fin de obtener el mayor provecho por cada dólar gastado en publicidad, necesita la distribución de las edades de los pasajeros de travesías anteriores. Se consideró que si participaban pocas personas de un grupo de edad en los paseos, no sería económico enviar un gran número de folletos a personas de ese grupo de edad. La agencia seleccionó una muestra de 40 clientes anteriores de sus archivos y registró sus edades: 18 50 58 63
26 51 58 63
34 52 59 63
36 52 60 65
38 53 60 66
41 53 61 71
43 54 61 71
44 54 62 77
45 56 62 83
50 58 62 84
a) Organice la información en un Cuadro de Distribución de Frecuencias (utilice la fórmula de Sturges) b) Interprete los resultados: f 5 , h2, F4, H4 c) Grafique el Histograma. ¿Cuál de los intervalos presenta la mayor frecuencia y cual la menor? d) Para asegurar la efectividad de la publicidad. Moore Travel, ¿a qué intervalo de edad debe enviarla? e) ¿Qué porcentaje de las edades esta entre 29 o más pero menores de 62? f) ¿Cuál sería la edad máxima de un cliente para estar considerado dentro del 60% de menor edad?
10
20. La siguiente tabla muestra la distribución del ingreso familiar semanal , el que fue medido en una muestra aleatoria de 60 familias, en cierta zona de la ciudad, este ingreso está en soles:
Intervalo de Ingreso (S/.) f i 250-260 14 260-270 270-280 280-290 290-300
Fi
hi
30 0.2 0.1667
Determine el número de familias que tienen un ingreso semanal de menos de 280 soles. 21. Se realizó una evaluación a 48 niños de una escuela privada para determinar su nivel de conocimientos en matemática el primer día de clases. Los puntajes obtenidos son los siguientes: Stem-and-Leaf Display: Puntajes Stem-and-leaf of Puntajes N = 48 Leaf Unit = 0.10 2 9 25 6 10 0669 9 11 249 13 12 2558 17 13 1677 (11) 14 01224456789 20 15 123445668899 8 16 013788 2 17 12
Histogram of Puntajes 14
12
10 y c n e u q e r F
8
6
4
2
0 9.0
10.2
11.4
12.6
13.8
Puntajes
15.0
16.2
17.4
11
Histogram of Puntajes 14
12
10 y c n e u q e r F
8
6
4
2
0 9.0
10.2
11.4
12.6
13.8
15.0
16.2
17.4
Puntajes
a) ¿Diría Ud. que el diagrama tallo-hoja y el histograma, nos dan la misma información acerca de los datos? ¿Qué puede ver Ud. en ellos?. b) A partir de los intervalos del histograma y empleando los datos del tallo hoja prepare una tabla de frecuencias. c) Interprete F2, H4, f 3 d) Compare e Interprete el Histograma y Polígono de Frecuencias Relativas, preparados con MINITAB, ¿Podrían hacerse manualmente a partir del tallo-hoja? e) A partir de la tabla de frecuencias. ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvieron un puntaje mayor a 15?. e) ¿Entre que puntajes se encuentran el 30% de los alumnos con puntaje más alto?. 22. Se ha registrado los tiempos (en minutos) que permanecieron dentro de un restaurante 30 clientes durante un fin de semana, la distribución de esos tiempos se muestra en los siguientes diagramas tallo-hoja:
Stem-and-Leaf Display: Tiempo 2 3 6 (11) 13 5 3 2 1
0 1 1 2 2 3 3 4 4
Stem-and-leaf of Tiempo N = 30
55 0 555 00000000000 55555555 00 5 0 5
Stem-and-Leaf Display: tiempo
Leaf Unit = 1,0
12
Stem-and-leaf of tiempo N = 30 Leaf Unit = 1.0 2 6 (19) 5 2
0 1 2 3 4
55 0555 0000000000055555555 005 05
Conteste basándose en los diagramas tallo hoja anteriores: a) ¿Los dos diagramas tallo-hoja representan a dos muestras diferentes de tiempos? . Si no fuera así: ¿Por qué tienen distinto aspecto? b) ¿A partir de qué tiempo está el 20% de los clientes de menor permanencia? c) Se busca estimular la permanencia en el local, regalando pases libres para un evento especial de fin de semana al 10% de los clientes que permanecen más tiempo en el local. ¿Cuánto tiempo como mínimo debe quedarse un cliente para recibir su pase gratis? d) Determine los tiempos de permanencia que comprenden al 80% central de los clientes observados. e) Observando el primer diagrama tallo- hoja, ¿Puede Ud. decir si es aproximadamente simétrico? .
Bibliografía: (Estos libros están en la Biblioteca USIL) 1)
2)
García Oré, Celestino. Estadística Descriptiva y probabilidades Lima, Perú Capítulos 1 y 2 Webster, Allen L. Estadística aplicada a los negocios y la Economía Mc Graw Hill 3ra. Edición – 2005 Capítulos 1 y 2.
TEMA: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y MEDIDAS DE TENDENCIA NO CENTRAL
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1. En el distrito San Marcos hay 13 hoteles cuyo número de habitaciones es: 10 11 11 12 12 13 13 13 14 15 17 18 20 a) Halle el número de habitaciones promedio, mediano, modal (Respuestas: 13.77, 13, 13) b) Desordene estos datos y vuelva a calcular la mediana, ¿debería salir el mismo resultado que en el punto (a)?. Verifíquelo. 2. La empresa Meridian Trucking lleva un registro del kilometraje de todos sus vehículos. A continuación presentamos registros del kilometraje semanal: 810 450 756 789 210 657 589 488 876 689 1 450 560 469 890 987 559 788 943 447 775 a) Calcule la mediana del kilometraje que recorre un camión. b) Calcule la media para el kilometraje de los 20 camiones. Respuesta: 722.5 millas, 709.1 millas 3. La gerencia del hotel PARAISO ha dispuesto efectuar un mayor control sobre el tiempo de las llamadas internacionales que utiliza el personal del área de promoción; por tal motivo, e l gerente solicita la información sobre los tiempos utilizados durante las últimas 50 llamadas internacionales que realizó el personal de promoción. Estos tiempos tienen la distribución siguiente:
Número de llamadas internacionales según el tiempo utilizado Tiempo en minutos Numero de llamadas De 1 a menos de 3 2 De 3 a menos de 5 13 De 5 a menos de 7 24 De 7 a menos de 9 7 De 9 a 11 4 Determine el tiempo promedio, modal y mediano de las llamadas realizadas. Respuestas: 5.92, 5.79, 5.83. 4. Dada la siguiente tabla de frecuencias: Intervalos 16-32 32-48 48-64 64-80 80-96
fi 6 k 8 3k 3
Se pide calcular el valor de “k” sabiendo que la moda es 60 y pertenece al tercer intervalo.
5. Dada la siguiente tabla de frecuencias:
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Intervalos 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70
fi 3 1 2 6 k
Calcular el valor de “k” sabiendo que la mediana vale 61.6667 y que pertenece al quinto
intervalo. 6. Las calificaciones de la práctica calificada de Estadística tienen la distribución: Tallo Hoja 3 0 344 8 0 55689 (12) 1 001112222234 10 1 55566789 2 2 00 Determine la nota promedio, la mediana y la nota modal. Rpta: 11.833 puntos; 12 puntos; 12 puntos. 7. Parece ser que una máquina automática que llena recipientes, está trabajando de manera errática. Una verificación de los pesos del contenido de un cierto número de latas reveló lo siguiente: Peso (gr) 130-140 140-150 150-160 160-170 170-180 180-190 190-200 200-210 Número de latas 2 8 20 15 9 7 3 2 a) Estime la media aritmética del peso del contenido de una lata e interprete. Rpta. 164.70 gr b) Encuentre la mediana y moda e interprete el resultado. Rpta. 162 gr, 157.05 gr 8. Las calificaciones del curso de Estadística en dos salones tiene la distribución: Grupo A Nota Número alumnos 05-10 4 10-15 16 15-20 5 Total 25 Determine la nota promedio de los 65 alumnos.
Nota 00-05 05-10 10-15 15-20 Total
Grupo B Número alumnos 8 10 16 6 40
Rpta: 11.04
9. Las remuneraciones de los empleados de los hoteles LUX y ASTORIA que pertenecen a la empresa hotelera HOTESA se presentan en las tablas de frecuencia siguientes: Hotel LUX Sueldo Número (soles) Empleados 400-800 60 800-1200 35 1200-1600 5 Total 100
Hotel ASTORIA Sueldo (soles) Número Empleados 500-1000 10 1000-1500 30 1500-2000 10 Total 50
a) Determine el sueldo promedio de los empleados en la empresa HOTESA.
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b) Se acuerda aumentar los sueldos del hotel LUX un 5% más una gratificación de S/ 100, para el hotel ASTORIA, acordó en aumento de 10%. Determine los nuevos sueldos promedios para cada hotel c) Determine los nuevo sueldos promedio de los empleados en la empresa HOTESA d) ¿En cuál de los hoteles es menos variable el sueldo, antes y después del aumento? 10. La siguiente tabla muestra la distribución del coeficiente intelectual, C.I., de 120 alumnos:
CI 60-70 70-80 80-90 90-100 100-110 110-120 120-130 130-140 2 3 25 46 35 5 3 1 n Si se consideran bien dotados aquellos alumnos cuya puntuación esté sobre el P 90. ¿A partir de qué C.I. mínimo se considera bien dotado a un alumno?. 11. Parece ser que una máquina automática que llena recipientes, está trabajando de manera errática. Una verificación de los pesos del contenido de un cierto número de latas reveló lo siguiente: Peso (gr) 130-140 140-150 150-160 160-170 170-180 180-190 190-200 200-210 Número de latas 2 8 20 15 9 7 3 2 a) Estime la media aritmética del peso del contenido de una lata e interprete. Rspta. 164.70 gr b) Encuentre la mediana y moda e interprete el resultado. Rspta. 162 gr, 157.05 gr c) El Gerente de producción indica que sólo el 60% central de las latas observadas tienen un peso dentro de las especificaciones. ¿Cuáles son las especificaciones? (Se entiende por especificaciones a los pesos que deberían tener las latas para ser considerados buenos productos) Rpta. 151.6gr-178.67 gr. 12. El hotel PARAÍSO compró la primera semana del mes de Abril 40 pasajes aéreos LimaChiclayo a $ 60 cada pasaje, la segunda semana 10 pasajes aéreos Lima- Chiclayo a $ 62 cada pasaje, la tercera semana 10 pasajes a $ 65 y la cuarta semana compró 5 pasajes a $ 61. ¿Cuál es el precio promedio que se pagó por estos pasajes aéreos?. Rpta. $ 61.1538 13. La tabla de frecuencias correspondiente a los hoteles del distrito San Isidro clasificados según el número de sus empleados es la siguiente:
Número de hoteles del distrito San Isidro según el número de empleados en Enero 2009 Número de empleados Número de hoteles De 6 a menos de 8 4 De 8 a menos de 10 6 De 10 a menos de 12 25 De 12 a menos de 14 30 De 14 a menos de 16 23 De 16 a menos de 18 8 De 18 a 20 4 a) Determine el promedio, mediana y moda para el número de empleados por hotel de la ciudad. Rspta: 13.04, 13, 12.83. b) El municipio de la ciudad ha dispuesto que todos los hoteles que tengan un número de empleados menor al primer cuartil no pagarán impuesto predial ¿Cuál es este número de empleados?. Rspta: 11 c) El municipio de la ciudad ha dispuesto que todos los hoteles que tengan un número de empleados mayor al octavo decil pagará el impuesto selectivo ¿Cuál es este número de empleados?. Rspta: 15.3
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d) ¿Cuál es el total de empleados que trabajan en los hoteles de esta ciudad? . Si todos los hoteles que tienen menos de 10 empleados son clausurados ¿Cuántos empleados quedarían trabajando?. Rspta: 1304, 1222 14. Las notas de práctica (sin decimales) del aula A de Matemáticas son:
Unidad de hoja: 0.1 Tallo Hoja 1 9 0 5 10 0000 10 11 00000 (4) 12 0000 7 13 000 4 15 000 1 16 0 Determine: a) La nota promedio, mediana y modal del aula A. b) ¿A partir de qué nota está el tercio superior (alumnos con las notas mayores) del aula A? c) Si el profesor agregara 2 puntos a cada estudiante del salón A: ¿Cuál sería la nueva nota promedio, mediana y moda del aula A? d) Si por error los datos omitieron al calificativo de Alex quien obtuvo 20: ¿Cuál será la nota promedio, mediana y moda del aula A incluyendo la nota de Alex y sin aumentar los 2 puntos? 15. Las notas de práctica del aula B de Estadística General son: Nota (puntos) Alumnos De 5 a menos de 7 3 De 7 a menos de 9 8 De 9 a menos de 11 10 De 11 a menos de 13 7 De 13 a 15 2 Determine: a) La nota promedio, mediana y modal del aula B. b) El Profesor del aula B asignará la calificación sobresaliente a los alumnos que se encuentran en el quinto superior de las notas. ¿Cuál será la nota mínima para recibir tal calificación? c) ¿Entre qué notas se encuentra el 40% central de las notas? 16. El histograma adjunto muestra la distribución del tiempo que demoran 32 personas para leer el periódico. a) Calcule e interprete la media, mediana y moda b) Encuentre cual es el tiempo máximo para pertenecer al 30% de los lectores más rápidos c) Se proporcionó entrenamiento en lectura veloz al grupo que demora más de 40 minutos y se consiguió que disminuyeran 20% del tiempo que necesitan para leer. (Asuma que el resto de lectores permanece igual).¿Cuál es la nueva media del tiempo de lectura para esta muestra?
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BIBLIOGRAFÍA (Estos libros están en la Biblioteca USIL) a) García Oré, Celestino. Estadística Descriptiva y probabilidades Lima, Perú Capítulos 1 y 2 b) Webster, Allen L. Estadística aplicada a los negocios y la Economía Mc Graw Hill 3ra. Edición – 2005 Capítulos 1 y 2. c) ANDERSON, DAVID; SWEENEY DENNIS Y OTROS. Estadística para Administración y Economía. Internacional Thomson Editores. (Capítulos 2 y 3).
TEMA: MEDIDAS DE VARIABILIDAD, MEDIDAS DE FORMA, DIAGRAMA DE CAJAS
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1. Los siguientes datos corresponden a los tiempos (en minutos) empleados en atender a los clientes en una agencia bancaria A.
Tiempo (min) 0.5 – 1.5 1.5 – 2.5 2.5 – 3.5 3.5 –4.5 4.5 – 5.5 Frec. Absoluta 6 9 12 9 6 a) Hallar los tiempos: promedio, mediano, modal. b) Si en otra agencia bancaria B, el tiempo promedio de atención es de 4 minutos con una desviación estándar de 0.5894 minutos. ¿A qué agencia bancaria preferiría ir Ud.? 2. La gerencia del hotel PARAISO ha dispuesto efectuar un mayor control sobre el tiempo de las llamadas internacionales que utiliza el personal del área de promoción; por tal motivo, e l gerente solicita la información sobre los tiempos utilizados durante las últimas 50 llamadas internacionales que realizó el personal de promoción. Estos tiempos tienen la distribución siguiente: Número de llamadas internacionales según el tiempo utilizado Tiempo en minutos Numero de llamadas De 1 a menos de 3 2 De 3 a menos de 5 13 De 5 a menos de 7 24 De 7 a menos de 9 7 De 9 a 11 4 a) Determine el tiempo promedio, moda y mediana de las llamadas realizadas. Rpta: 5.92, 5.79, 5.83. b) Evalúe la desviación estándar y coeficiente de variación del tiempo utilizado por estas llamadas. Respt: 1.8935, 0.3198. c) Se amonestará a las llamadas cuya duración sea mayor al cuartil superior, ¿Cuál es este valor?. ¿Cuántas llamadas recibirían esta amonestación?. Rpta: 6.875, 12.5 d) Evalúe el grado de asimetría del tiempo utilizado por estas llamadas. e) Evalúe el grado de Curtosis del tiempo utilizado por estas llamadas. f) Haga un gráfico de cajas para el tiempo utilizado para estas llamadas. g) Si el gerente dispone que no se pagarán las llamadas cuyo tiempo haya excedido al promedio más una desviación estándar ¿Cuántas llamadas quedarían afectadas?. Rpta: 8 3. En el distrito San Marcos hay 13 hoteles cuyo número de habitaciones es: 10 11 11 12 12 13 13 13 14 15 17 18 20
Descriptive Statistics: habitaciones Variable Mean StDev Variance CoefVar Habitaciones 13.769 2.976 ------ ---------a) Halle los tres cuartiles. b) Complete la salida de Minitab. 4. Las edades en años de los asistentes a cierto curso fueron: 39, 37, 35, 41, 37, 40, 38, 25, 39., después de dos años volvieron a reunirse. a) ¿Qué cambio han sufrido las edades de estas personas? b) ¿Qué cambios han sufrido la media y las medidas de variabilidad, después de los 2 años? c) Exprese sus descubrimientos como una regla.
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Variable Mean StDev Variance CoefVar Minimum Q1 Median Q3 edades 36.78 4.76 22.69 12.95 25.00 36.00 38.00 39.50 edades1 38.78 4.76 22.69 12.29 27.00 38.00 40.00 41.50 Variable Maximum edades 41.00 edades1 43.00
d) Interprete la siguiente gráfica Boxplot of edades, edades1 43 42 41 40 a t a D
39 38 37 36 35 34 edades
edades1
5. El siguiente cuadro muestra la distribución de la renta anual (en miles de soles) en que incurren 50 viviendas: Marca de Clase 18.85 21.55 N° de Viviendas 3 2
24.25 7
26.95 7
29.65 12
32.35 10
35.05 9
a) Halle e interprete la media, mediana y moda. b) Calcule el coeficiente de variabilidad. c) Si las rentas menores que 28 300 soles se incrementaron en 2 500 soles y las rentas mayores o iguales que 28 300 soles se redujeron en un 30%. Calcule la nueva renta promedio. 6. El cuadro de pagos en dos fábricas para el mes pasado fue así:
Salario medio Desviación estándar
FABRICA A
FABRICA B
960
980
26
28
a) ¿Cuál de los dos conjuntos de datos es más homogéneo?
b) Si en la fábrica A, a todos los trabajadores se les aumenta 200 soles. ¿Cuál sería su nuevo coeficiente de variación?
20
c) Si en la fábrica B, a todos los trabajadores se les incrementa su salario en 20%. ¿Cuál sería su nuevo coeficiente de variación? 7. Los sueldos de 50 empleados de una empresa se muestran a continuación: Sueldos (soles) Empleados
600-700
700-800
800-900
900-1000
16
14
12
8
Además, la desviación estándar = s = 107.97. Se plantean dos alternativas de aumento: la primera, consiste en un aumento general de 50 soles. La segunda consiste en un aumento general del 30% del sueldo más una bonificación de 10 soles. ¿Cuál de las dos propuestas conviene a los trabajadores a) si el interés es subir la media de los sueldos? b) si el interés es bajar la dispersión de los sueldos? 8. Un agente de compras puso a prueba dos muestras de 10 y 28 baterías para calculadoras de bolsillo de dos fabricantes. Cada batería se probó en una calculadora que estaba programada para llevar a cabo repetidas veces cálculos ordinarios; el tiempo en horas que cada batería tardó en agotarse se presenta en los siguientes diagramas de tallo y hojas:
Fabricante E Stem-and-leaf of Fabrican N = 10 Leaf Unit = 0.010
Fabricante S Stem-and-leaf of Fabrican N = 28 Leaf Unit = 0.010 2 119 89 5 120 234 12 120 5688899 14 121 44 (2) 121 89 12 122 00113 7 122 567 4 123 34 2 123 2 124 2 124 56
1 118 0 1 118 2 119 1 3 119 5 (4) 120 0234 3 120 7 2 121 3 1 121 1 122 0
2
1443,72
2
4144,82
Fabricante E :
X
120,15
X
Fabricante S :
X
340,65
X
a) Calcule e interprete la media, la mediana y la moda, acerca de la distribución de los datos para cada grupo. b) ¿Qué indica la relación entre la media, la mediana y la moda, acerca de la distribución de los datos para cada grupo?. Interprete cada uno de estos indicadores. c) ¿Cuál fábrica presenta mayor variabilidad en el tiempo de duración de las baterías? d) Interprete detalladamente el diagrama de cajas que representa a ambos conjuntos de datos.
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9. Los siguientes datos se refieren a la utilidad diaria (en soles) de tres tiendas dedicadas a la venta de artículos de ferretería; esta información se tomó durante los últimos diez días: 10
Tienda A: x i 1
10
i
4000
; x
2 i
1625000
Tienda B:
10
CV = 6.7%; x
i 1
i
6000
i 1
Tienda C: Varianza = 2025; x 770 a) ¿Cuál de las tiendas tiene mejor nivel de ventas diarias? Justifique su respuesta. b) ¿Cuál de las tiendas es más estable en el nivel de ventas diarias? 10. Los jornales (en soles) que reciben 100 obreros tienen una distribución de frecuencias cuyas características son: Simétrica perfecta y mesocúrtica perfecta. El coeficiente de variación de la distribución es 10% La mediana de los jornales es 15 y el jornal mínimo es 8. El jornal mínimo que corresponde al 10% de los obreros "mejor pagados" es 20. El jornal máximo del 10% de los obreros "peor pagados" es 10. Determine: a) El jornal máximo del 25% de los obreros "peor pagados" y el jornal mínimo del 25% de los obreros "mejor pagados". b) Verifique si es verdad que "el jornal máximo de la empresa es 25.soles". c) Verifique si es verdad que "85% de los obreros tiene jornales entre 10 y 20.soles". d) Verifique si es verdad que "la variancia de la distribución de los jornales 2.25". e) Verifique si es verdad que "el jornal más frecuente de los obreros es 15 soles".
BIBLIOGRAFÍA (Estos libros se encuentran en la Biblioteca USIL) a) García Oré, Celestino. Estadística Descriptiva y probabilidades Lima, Perú. (Capítulo 2) b) Webster, Allen L. Estadística aplicada a los negocios y la Economía Mc Graw Hill 3ra. Edición – 2005. (Capítulo 2) c) ANDERSON, DAVID; SWEENEY DENNIS Y OTROS. Estadística para Administración y Economía. Internacional Thomson Editores. (Capítulo 3).
TEMA:
EXPERIMENTO ALEATORIO, ESPACIO MUESTRAL, EVENTOS, AXIOMAS Y TEOREMAS DE PROBABILIDAD
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1. Los artículos provenientes de una línea de producción se clasifican como defectuosos ( D) o no defectuosos (N). Se observan los artículos uno a uno y se anota su condición. Este proceso se continúa hasta que se produzcan dos artículos defectuosos consecutivos o se hayan verificado cuatro artículos. a) Defina el árbol de probabilidades que corresponde a este experimento b) Determine el espacio muestral que corresponde a este experimento aleatorio 2. En un puesto de revistas ubicado en una plaza pública se recibe todos los días 30 ejemplares de un diario. En un cierto día, no se sabe cuántos va a vender. Defina el espacio muestral y defina (indicando su composición) cada uno de los siguientes eventos: a) Se venden por lo menos 8 diarios. b) Se venden a lo más 8 diarios. c) Se venden exactamente 8 diarios. 3. Sean A, B y C tres eventos para un experimento aleatorio. Utilice notación de conjuntos para expresar los siguientes enunciados. a) Al menos uno de los tres ocurre b) Los tres ocurren c) Sólo uno de los tres ocurre d) Ocurren A y B pero no C 4. En una universidad se obtuvo la siguiente información: El 32% de las chicas tienen cabello rubio, ojos azules o ambas cosas; el 20% tiene ojos azules; y el 17% tiene cabello rubio. ¿Qué porcentaje de chicas tiene: a) Cabello rubio y ojos azules? R: 5% b) Solo cabello rubio? R: 12% c) Solo ojos azules? R: 15% d) Ninguna de las dos características mencionadas? R: 68% 5. Sean A y B dos eventos tales que P (A) = 0.2, P (Bc)= 0.4 y a)
P ( A B )
b)
P ( A B )
c)
P ( A B
C
)
d)
P ( A
P ( A C
C
B)
C
B )
e)
0.3 .
P ( A
C
Calcule: B
)
6. La probabilidad que un turista que viene al Perú solicite un viaje a la ciudad de Cajamarca es 0.12; la probabilidad que solicite un viaje a la ciudad de Iquitos es 0.29 y la probabilidad que solicite ambos viajes es 0.07. ¿Cuál es la probabilidad que el turista no solicite un viaje a Cajamarca y no pida un viaje a Iquitos? R. 066 7. En una industria se considera tres tipos de defectos A, B y C. La probabilidad de que un producto tenga el defecto C es 0.19, que tenga el defecto B es 0.28, que tenga el defecto A y B es 0.14, que tenga los defectos B y C pero no A es igual a 0.05, que tenga los defectos A y C pero no B es igual a 0.01, que tenga el defecto A pero no C es igual a 0.12 y que tengan los defectos A, B y C es 0.06. Si se selecciona un producto al azar cual es la probabilidad de: a) Tenga el defecto A b) No tenga ningún defecto. c) Tenga el defecto A o C pero no el defecto B. 8. Dos vendedores trabajan en una librería. La probabilidad de que el vendedor más viejo llegue tarde cierto día es 0.20, de que el vendedor más joven llegue tarde cierto día es 0.15 y que ambos lleguen tarde es 0.09. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Cuando menos un vendedor llegue tarde al trabajo cierto día. b) Sólo un vendedor llegue tarde cierto día.
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9. Un estudio de investigación de mercado ha determinado que en cierta ciudad el 50% de personas consumen Alfa kola, 37% consumen el producto Beta kola y el 30% el producto Zeta kola. Además, consumen Alfa kola y Beta kola el 2%; consumen solo Alfa kola y Zeta kola el 8%; consumen solo Beta kola y Zeta kola el 5%; consumen solamente Zeta kola el 15%. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona consuma Alfa o Beta kola pero no Zeta kola? b) ¿Cuál es la probabilidad que consuma solo un producto? c) ¿Cuál es la probabilidad de que consuma exactamente dos productos? d) ¿Cuál es la probabilidad de que consuma por lo menos un producto? 10. Para realizar el control de calidad se eligen en forma independiente 200 artículos producidos y se encuentra que 10 artículos tienen falla tipo A; 10 tienen falla tipo B; 12 tiene falla tipo C; 2 tienen fallas tipo A y B pero no C; 3 tienen fallas A y C pero no B; 5 tienen fallan B y C pero no A y un artículo tiene las 3 fallas. Cuál es la probabilidad que un artículo producido en un día cualquiera a) No tenga falla tipo A b) Tenga falla tipo A ó B c) Tenga falla tipo A pero no tipo C d) Sólo tenga dos tipos de fallas 9. Para analizar las preferencias de sus clientes por los tres tipos de comidas que ofrece el restaurante DELICIAS, consolida los pedidos de 200 clientes y obtiene la tabla siguiente: Numero de clientes según su edad y por su menú solicitado: Edad del Menú solicitado por el cliente: cliente Menú A Menú B Menú C Total Adolescente 40 20 60 Joven 30 26 56 Maduro 35 14 10 59 Anciano 1 2 22 25 Total 106 62 32 200 Si elige al azar uno de los clientes, determine la probabilidad que el cliente elegido: a) Sea adolescente ó que haya pedido el menú A. b) Sea maduro ó que haya pedido el menú B. c) Sea adolescente o joven.
12. Dado un espacio muestral
Ω
se consideran los sucesos A y B, cuyas probabilidades son:
P(A) = 2/3 y P(B) = 1/2. a) ¿Pueden ser los sucesos A y B mutuamente excluyentes? ¿Por qué?
b) En caso de que su respuesta en (a) sea negativa, si la P(A) sigue siendo 2/3 ¿Cuánto debe ser la P(B) como máximo para que A y B sean mutuamente excluyentes? c) Suponiendo que
P ( A
d) Suponiendo que
A B ,
C
C B )
1
6
, calcule
calcule
P ( A B ) .
P ( A B)
.
Bibliografía: (Estos libros están en la Biblioteca USIL) 1) García Oré, Celestino. Estadística Descriptiva y probabilidades Lima, Perú (Capítulo 4) 2) Webster, Allen L. Estadística aplicada a los negocios y la Economía Mc Graw Hill 3ra. Edición – 2005 (Capítulo 4)
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TEMA: PROBABILIDAD CONDICIONAL EVENTOS INDEPENDIENTES 1. Si P(A)=P(B)=0.3 y P(AB)=0.2, calcule P(AC/BC).
R: 6/7 = 0.8571
2. La probabilidad que un cliente que acude al restaurante DELICIAS pida el plato A es 0.85, que pida el plato B es 0.80; asimismo, se conoce que la probabilidad que pida ambos platos es 0.70. En base esta información determine las probabilidades siguientes: a) Que el cliente pida el plato A o el plato B. R=0.95 b) Que pida el plato B dado que ya pidió el plato A. R=0.8235 c) Que pida el plato B dado que no pidió el plato A. R=0.6667 3. En una localidad del interior del país hay dos bancos: A y B. El 22% de los habitantes tiene cuenta en A, el 37% en B y el 47% no tiene cuenta. a) ¿Cuál es el porcentaje de habitantes que tiene cuenta en ambos bancos? b) De los que tienen cuenta en A, ¿qué porcentaje tiene cuenta en B? c) De los que tienen cuenta, ¿qué porcentaje tiene cuenta en B? R:
a) 6 %
b) 27.27%
c) 69.81%
4. En una ciudad el 45% de la población lee el periódico A, el 50% lee el B y el 45% lee el C. De las personas que leen el B, el 50% no lee el A. Se sabe que la probabilidad de que una persona que lee el C lea el A es 1/3, y que si no lee ni el A ni el C, la probabilidad de que lea el B es 0.6. Además hay un 5% de personas que leen los tres periódicos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar de dicha ciudad lea algún periódico? b) ¿Cuál es la probabilidad de que lea solo un periódico? c) Si lee el C, ¿cuál es la probabilidad de que no lea ninguno de los otros dos periódicos? R: a) 0.9 b) 0.45 c) 4/9 =0.4444 5. De los 250 empleados de una compañía, 130 fuman cigarrillos. Hay 150 hombres que trabajan en esta compañía, de los cuales 85 fuman cigarrillos. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado seleccionado en forma aleatoria. a) No fume cigarrillos. b) Sea mujer y no fume cigarrillos. c) Sea hombre o fume cigarrillos. d) Suponga que se encuentra con una empleada de la compañía. ¿Cuál es la probabilidad de que no fume? 6. El 60% de los empleados de una compañía internacional son peruanos, el 30 % son americanos y el resto europeos. El 25 % de los peruanos son hombres, el 50 % de los americanos también son hombres y el 15 % de los europeos son mujeres. Si se selecciona un empleado de esta compañía. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) ¿Sea mujer? b) ¿Sea mujer si se sabe que es americano? c) ¿Sea europeo si se sabe que es hombre? d) ¿Sea una peruana? e) ¿Sea hombre o peruano?
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7. Se han clasificado 2000 estudiantes universitarios de acuerdo con los puntajes que obtuvieron en el examen de admisión a la universidad. En la siguiente tabla también se muestra la calidad de los colegios en donde terminaron, según la clasificación que hizo un grupo de educadores.
Puntaje
Clase de colegio Inferior Regular Superior 200 100 100 Bajo 150 350 300 Medio 50 150 600 Alto
Si un estudiante es elegido al azar, determine la probabilidad de que: a) Haya obtenido un puntaje alto en el examen. b) Haya terminado en un colegio de nivel regular c) Haya obtenido un puntaje medio en el examen o haya terminado en un colegio de nivel inferior. d) Haya obtenido un puntaje alto en el examen dado que haya terminado en un colegio de nivel regular. 8. Se les preguntó a los suscriptores de un periódico local si leían regularmente, ocasionalmente o nunca la sección de economía, y también si habían realizado operaciones en bolsa durante el año anterior. Las proporciones obtenidas en la encuesta figuran en la siguiente tabla.
ADQUISICIONES EN BOLSA SI NO
LECTURA DE LA SECCIÓN ECONOMÍA REGULARMENTE OCASIONALMENTE NUNCA 0.18 0.10 0.04 0.16 0.31 0.21
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor elegido al azar no lea nunca la sección de economía? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor elegido al azar haya realizado operaciones en bolsa durante el pasado año? c) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor que lee la sección de economía haya realizado operaciones en bolsa durante el año pasado? d) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor que ha realizado operaciones en bolsa durante el pasado año no lea nunca la sección de economía? e) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor que no lee regularmente la sección de economía haya realizado operaciones en bolsa durante el pasado año? 9. Los empleados de una gran agencia de viajes se encuentran separados en tres divisiones: Administración, Promoción y Ventas. La siguiente tabla indica el número de empleados en cada división clasificados por sexo: Mujer (M) Hombre (H) Administración (A) 20 30 Promoción (P) 60 140 Ventas (V) 100 50 Si se elige aleatoriamente un empleado: a) b) c) d)
¿Cuál es la probabilidad de que trabaje en Ventas ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y trabaje en la división de Administración?. ¿Cuál es la probabilidad de que trabaje en la división de Promoción, si es mujer?. ¿Son independientes los sucesos V y H (V: Un empleado pertenezca al área de ventas y H: Un empleado de sexo Masculino)?
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10. En un determinado hotel, se sabe que la probabilidad de satisfacer las exigencias de un cliente es 0.901, la de que un cliente vuelva al hotel es 0.91 y la probabilidad de satisfacer al cliente si éste ha vuelto al hotel, es de 0.99. Se pide: a) La probabilidad de que habiendo satisfecho al cliente, éste vuelva al hotel. b) La probabilidad de que no habiendo satisfecho al cliente, éste vuelva al hotel. 11. En un conjunto de estudiantes el 15% estudia alemán, el 30 % estudia francés y el 10% ambas materias. a) ¿Son independientes los sucesos: estudiar alemán y estudiar francés? b) Si se elige un estudiante al azar, calcule la probabilidad de que no estudie francés. 12. En líneas generales, la probabilidad que un posible cliente efectúe una compra cuando el vendedor ESTRELLA se comunica con él es 0.6. Si el vendedor ESTRELLA selecciona aleatoriamente de su agenda 3 posibles clientes y los visita. a) ¿Cuál es la probabilidad que los 3 clientes efectúen la compra? R:0.216 b) ¿Cuál es la probabilidad que sólo uno efectúe la compra? R:0.288 13. Tres jugadores de baloncesto, tienen las probabilidades de encestar: 0.2, 0.3 y 0.5 respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que dos de ellos puedan encestar y el otro no? R. 0.22 14. Una empresa de venta por correo considera tres posibles errores al enviarse un pedido: A: el artículo enviado no es el solicitado B: el artículo se extravía C : el artículo sufre desperfectos en el transporte Suponga que el suceso A independiente de los sucesos B y C y que los sucesos B y C son mutuamente excluyentes. Las probabilidades de los sucesos individuales son P(A)=0.02, P(B)=0.01y P(C )=0.04. Calcule la probabilidad de que al menos uno de estos errores ocurra en un pedido escogido al azar. R. 0.069 15. En un Hotel el sistema de aire acondicionado esta formado por 3 componentes que funcionan de forma independiente A, B y C, la probabilidad de que falle A es 0.01, la probabilidad de que falle B es 0.02 y la probabilidad de que falle C es 0.01. Para que funcione el sistema del aire acondicionado se requiere que el componente A este funcionando y al menos uno de los otros 2 componentes. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema de aire acondicionado funcione? 16. El tiempo para completar un proyecto de construcción depende de si los gremios de los plomeros y de los carpinteros irán a la huelga. Las probabilidades de atraso en el proyecto son de 100%, 80%, 40% y 5%, si ambos gremios van a la huelga, si sólo los carpinteros lo hacen, si sólo los plomeros lo hacen y si ninguno de ellos lo hace, respectivamente. También existe una probabilidad de 0,6 de que los plomeros vayan a la huelga si los carpinteros lo hacen; y si los plomeros van a la huelga, existe una probabilidad de 0,3 de que los carpinteros los sigan. La probabilidad que los plomeros hagan huelga es 0,1: a) determine la probabilidad de atraso en completar el proyecto; b) si existe un atraso en la terminación del proyecto, determine la probabilidad de que: b1) ambos gremios hayan ido a la huelga; b2) lo hayan hecho los carpinteros, pero no los plomeros; b3) los carpinteros hayan estado en huelga. 17. Para la señalización de un aeropuerto se han instalado 2 indicadores que funcionan independientemente. Cuando hay una avería en el aeropuerto, el indicador A se acciona con probabilidad 0.95 y el indicador B con probabilidad 0.9. Calcule la probabilidad de que:
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a) Durante una avería se accione solo un indicador. b) Durante una avería se accione a lo más un indicador. 18. Dos clientes independientes A y B de una agencia de viajes solicitan un pasaje al interior del país, la probabilidad de que los dos clientes soliciten el pasaje a Trujillo es 1/6 y la probabilidad de que el cliente A solicite el pasaje a Trujillo pero no el cliente B es 1/3, la probabilidad que ninguno de ellos solicite pasaje a Trujillo es 1/3. Determine las siguientes probabilidades: a) Que el cliente B solicite el pasaje a Trujillo b) Que el cliente A solicite el pasaje a Trujillo dado que el Cliente B ya solicitó pasaje a Trujillo c) Que el cliente B solicite pasaje a Trujillo pero no el cliente A d) Que el cliente A ó el cliente B soliciten pasaje a Trujillo 19. Los trabajadores del hotel ARAMO clasificados según su habilidad en el trabajo y por los años de trabajo que tienen en la empresa se presentan en el cuadro:
Habilidad en el trabajo Debajo del promedio Promedio Encima del promedio
Años de trabajo en el hotel Hasta 2 años
De 3 a 5 años
De 6 a 8 años
1 3 1
1 2 2
0 2 3
Se elige al azar un trabajador del hotel, determine la probabilidad que trabajador elegido: a) b) c) d)
Tenga una habilidad en el trabajo “promedio ó más”. Tenga habilidad “encima del promedio” y tenga “más de 2 años” en el hotel. Tenga “más de 5 años” en el hotel si su habilidad en el trabajo es “promedio”. Que la habilidad del trabajador esté “por debajo del promedio” sabiendo que el trabajador tiene “a lo más 2” años de experiencia.
20. Un Empresario invierte en 3 proyectos diferentes, por información anterior este empresario sabe que las probabilidades de éxito en estos proyectos son de 0.6, 0.7 y 0.9 respectivamente y además que estos proyectos son independientes. a) Calcule la probabilidad de que este empresario tenga éxito en sólo uno de estos proyectos. b) Calcule la probabilidad de que este empresario tenga éxito como máximo en dos de estas empresas.
Bibliografía: (Estos libros están en la Biblioteca USIL) 1) García Oré, Celestino. Estadística Descriptiva y probabilidades Lima, Perú Capítulo 4 2) Webster, Allen L. Estadística aplicada a los negocios y la Economía Mc Graw Hill 3ra. Edición – 2005 Capítulo 4
TEMA: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS ESPECIALES (Binomial y Poisson). Recomendaciones:
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Distribución Binomial: Se puede reconocer, cuando se ha extraído una muestra de una población y se dice que hay independencia entre sus elementos. Identifique el valor de “n”, el “éxito”, y “p” (la probabilidad de éxito), tenga también en cuenta que en ocasiones “p” no se da directamente, hay que calcularlo con otra V.A. Redacte la V.A. binomial, empleando el modelo: “Número de éxitos en n ensayos”. Distribución Poisson: Se puede reconocer si lo único que le dan es un promedio de ocurrencias por unidad de medida (λ), Si no le dan directamente el valor de λ, debe calcularlo.
1. En el 65% de los hogares con teléfono de una zona suburbana, hay alguien en la casa en la noche. Un investigador que está haciendo una encuesta por teléfono, selecciona al azar 16 de esos hogares para llamar en la noche. (asuma independencia entre los hogares). i) Cuál es la probabilidad de que: a) Encuentre a alguien en cada casa en exactamente el 50% de los hogares. b) Encuentre a alguien en casa en menos de 3 hogares. c) Encuentre a alguien en casa en 3 o más hogares. ii) Si la zona suburbana cuenta con 700 hogares, ¿en cuántos se espera encontrar a alguien en casa en las noches?. iii) Si el investigador decide estudiar una muestra de 100 hogares, ¿cuál es la probabilidad de encontrar a lo más 3 con alguien en casa en la noche? 2. El restaurante MIRADOR tiene cuatro mesas para atender al público y conoce que durante cualquier cena la probabilidad de que una de las mesas pida vino CURNOT es 0.20. Sea la variable aleatoria X : Número de mesas que piden vino CURNOT durante una cena (en 4 mesas): a) Verifique que la tabla de distribución de probabilidades para la variable aleatoria X es: X 0 1 2 3 4
P(X) 0.40960 0.40960 0.15360 0.02560 0.00160
b) Si por cada mesa que pida este vino se logra una utilidad de 10 soles ¿Cuál es la utilidad esperada, variancia y desviación estándar por concepto de este producto del restaurante? c) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 3 mesas pidan vino CURNOT en una cena? d) Para las próximas 100 cenas ¿En cuántas cenas se esperaría que ninguna mesa pida este vino? NOTA: En el punto (d), observe que se trata de otra variable binomial: Número de cenas en las que ninguna mesa pida vino Cournot en 100 cenas. 3. Cada día de atención el restaurante MIRADOR tiene una utilidad de 1000 soles. El propietario ha dispuesto que se entregue comprobante de venta (boleta o factura) sólo al 90% de los clientes que el restaurante atiende. La SUNAT realiza 3 visitas al azar a este restaurante: Si en 1 visita verifica que no se entregó comprobante multará con 3000 soles. Si en 2 visitas verifica que no se entregó comprobante multará con 4000 soles. Si en 3 visitas verifica que no se entregó comprobante multa con 5000 y cierra el local por un día. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el restaurante reciba sólo una multa? R:0.270 b) ¿Cuál es la probabilidad de que el restaurante sea cerrado?. R:0.001
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c) ¿Cuál será la pérdida esperada del restaurante si continúa con la política del propietario?. R: 156 4. De acuerdo con las estadísticas del restaurante MIRADOR el 2% de sus clientes devuelven su plato por considerar que está mal condimentado. El restaurante debe atender a 100 clientes a) ¿Cuál es la probabilidad que más de 2 clientes devuelvan su plato por estar mal condimentado? R:0.3233 b) Si el restaurante retribuye con 20 soles a los clientes que encuentran su plato mal condimentado ¿Cuál será la suma que esperaría deba pagar por tal concepto y cuál es su variancia? R:40 ; 784 5. De acuerdo a los datos del gobierno, el 30% de las mujeres que trabajan nunca han estado casadas. Se elige al azar una muestra de 11 mujeres trabajadoras. a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 2 de ellas nunca hayan estado casadas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más 2 de ellas nunca hayan estado casadas? c) ¿Cuál es la probabilidad de que 5 de ellas hayan estado casadas. 6. El porcentaje de familias que usan el jabón A en cierta ciudad es 20%. se toma una muestra aleatoria de tamaño n = 20 familias. Suponiendo independencia entre familias: a) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 4 familias usen este jabón? b) ¿Cuál es el número esperado de familias que no usan este jabón? 7. En líneas generales, la probabilidad que un posible cliente efectúe una compra cuando el vendedor ESTRELLA se comunica con él es 0.6. Si el vendedor ESTRELLA selecciona aleatoriamente de su agenda 3 posibles clientes y se comunica con ellos. a) ¿Cuál es la probabilidad que los 3 clientes efectúen la compra? R:0.216 b) ¿Cuál es la probabilidad que sólo uno efectúe la compra? R:0.288 Nota: En este problema se aplica distribución binomial, también se puede resolver suponiendo independencia entre clientes 8. El señor SOTO, vendedor de seguros, sabe que la probabilidad de vender una póliza de seguros es mayor mientras más entrevistas realice con clientes potenciales. Si la probabilidad que un cliente compre una póliza después de una visita es 0.25 y cada visita es independiente, determine el número de clientes que se debe visitar para que la probabilidad de vender al menos 1 póliza sea 0.90 R.8 clientes 9. El gerente del restaurante SABOR conoce que cuando un cliente ingresa al restaurante, la probabilidad que pida el menú A es 0.625. Si ingresan 4 clientes independientes para atenderse en este restaurante: a) ¿Cuál es la probabilidad que ninguno de ellos pida el menú A? b) ¿Cuál es la probabilidad que todos ellos pidan el menú A? c) ¿Cuál es la probabilidad que a lo más 3 de ellos pidan el menú A? d) ¿Cuál es la media y la varianza del número de clientes que piden el menú A? e) Si por cada menú A que se vende se genera una utilidad de 2 soles para el restaurante, ¿Cuál es la media y la varianza de la utilidad por venta del menú A en el restaurante SABOR? 10. Un fabricante envía lotes de 10 piezas a sus clientes la probabilidad de que cualquiera de ellas sea defectuosa es 0.05 a) ¿Cuál es la probabilidad de que un lote no tenga piezas defectuosas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un lote sea aceptado, si se sabe que el lote es rechazado cuando se encuentran más de 1 pieza defectuosa? c) Si un cliente recibe 5 lotes ¿Cuál es la probabilidad de que reciba 3 lotes que no contengan piezas defectuosas?
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11. Un Hotel realiza operaciones comerciales con tres proveedores A, B y C. De los cuales recibe billetes en la siguiente proporción: De A recibe el 60% de todos los billetes, de B, el 30% y el resto de C. Se ha determinado que la proporción de billetes falsos que provienen de A es 0.001, de B, 0.002 y de C, 0.001. a) Si se elige un billete al azar ¿Cuál es la probabilidad de que este billete sea falso? b) Se elige un billete al azar y este resulto falso; ¿Cuál es la probabilidad de que ese billete provenga del proveedor C? c) Si se toma una muestra con reemplazo de 12 billetes. ¿Cual es la probabilidad de encontrar más de 1 billete bueno (No Falso)? 12. Un equipo se entrega con 7 tornillos para ser montados por el cliente, pero el equipo sólo necesita 4 para funcionar. Si la proporción de tornillos defectuosos es del 10%. (Considere independencia entre tornillos) a) ¿Cuál es la probabilidad de que un equipo pueda funcionar? b) ¿Cual es la probabilidad de que de 3 equipos comprados, no funcione ninguno, por culpa de los tornillos? (Considere que los tornillos de un equipo no sirven para el otro) 13. En un estudio sobre la efectividad de un insecticida contra cierto insecto se roció un área grande de tierra. Posteriormente, se examinó el área en relación con los insectos vivos, seleccionando metros cuadrados. Experiencias anteriores han demostrado que el número promedio de insectos vivos por metro cuadrado, después de haber rociado, es de 0,6. Si el número de insectos vivos por metro cuadrado se distribuye según Poisson. i) ¿Cuál es la probabilidad de que un metro cuadrado elegido al azar contenga: a) Exactamente un insecto vivo. b) Ningún insecto vivo. c) Tres o más insectos vivos. ii) ¿Cuál es la probabilidad de que, en tres metros cuadrados haya más de 5 insectos vivos? 14. En una ciudad se registran un promedio de 7.5 peatones atropellados por automovilistas al día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera ocurran: a) 7 casos de personas atropelladas. b) Entre seis y ocho casos. c) Más de ocho casos. 15. De acuerdo a información oficial en una ciudad existe en promedio 1 bache o fisura por cada cuatro kilómetros de calle. Si se considera esto como una variable de Poisson, cuál es la probabilidad de que en un tramo cualquiera de dos kilómetros se detecte: a) Cuando mucho una fisura. b) Más de tres y menos de 6 fisuras. 16. En una clínica del Seguro Social se atiende a un promedio de 5 pacientes por hora, ¿Cuál es la probabilidad de que en la próxima media hora se atiende exactamente 3 pacientes? 17. Una caja registradora falla en promedio 1 vez cada 2500 horas ¿Cuál es la probabilidad: a) Ocurra más de una falla en las próximas 500 horas R:0.01752 b) No ocurran fallas en las próximas 5000 horas R:0.13534 19. La probabilidad de una persona de edad entre 50 y 60 años fallezca en el transcurso del año a causa de la enfermedad AA se la estima en 0.00001; una compañía de seguros tiene asegurados a 100000 personas de este grupo de edad, cuál es la probabilidad que la compañía deba pagar a más de 4 reclamaciones en 1 año a causa del fallecimiento de asegurados por esta enfermedad R: 0.00366 20. Un equipo de fútbol de la liga metropolitana nacional vende boletos en una oficina del centro de la ciudad durante las horas de trabajo. Los aficionados llegan a la oficina uno a uno y en forma
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aleatoria a una tasa media de 32 por hora. Dicha tasa permanece esencialmente constante durante el día. ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de 3 llegadas en un período de 10 minutos?
Nota: Observe que en (a) el promedio de respuestas erróneas por estudiante no es dato, y debe ser hallado antes de poder resolver el ejercicio. 22. Una empresa está preocupada por las devoluciones de un artículo electrónico debido a fallos en su funcionamiento. Se sabe que semanalmente (semana de 5 días laborables) se devuelven en promedio 12 artículos. Para llevar a cabo un control sobre las devoluciones, el día lunes se observó durante medio día el número de artículos devueltos. ¿Cuál es la probabilidad de que en dicho período se devuelvan por lo menos dos artículos. Si se sabe que la variable en estudio sigue una distribución Poisson? 23. Una máquina fabrica hilo de seda de modo que durante la producción la aparición de defectos en el hilo sigue un proceso de Poisson a razón de uno cada 40 metros. El hilo se vende en carretes de 50 metros y un carrete sólo es vendible si tiene menos de 3 defectos, en otro caso se desecha. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un carrete no sea vendible? b) Si fabricamos 10 carretes en la misma máquina y suponiendo independencia entre carretes producidos, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 8 sean vendibles? NOTA: En este problema se trabaja con una Poisson X y una binomial Y: X: número de defectos en 50 metros de hilo Y: número de carretes vendibles en 10 carretes Donde la Poisson permite calcular” p” para la Binomial. 24. La agencia en Lince del banco HIPOTECAS recibe de los clientes un billete falso cada 1000 entregas de billetes, determinar la probabilidad: a. Que reciba más de 1 billete falso en las próximas 500 entregas de billetes. R: 0.0902 b. Que no reciba un billete falso en las próximas 100 entregas de billetes. R:0.9048 c. Cuántos billetes falsos esperaría recibir en las próximas 100000 entregas y cuál sería su desviación estándar. R: 100 y 10 billetes
Bibliografía: (Estos libros están en la Biblioteca USIL) 1) Webster, Allen L. Estadística aplicada a los negocios y la Economía Mc Graw Hill 3ra. Edición – 2005 Capítulo 5 2) Lind-Marchal-Mason. Estadística para Administración y Economía Alfaomega 11ª Edición Capítulo 6
TEMA: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS: DISTRIBUCIÓN NORMAL Recomendación: Para todos estos ejercicios, identifique primero cual es la variable aleatoria de interés en el ejercicio, y defina correctamente la probabilidad que va a calcular.
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1. El consumo medio diario de agua de un animal de laboratorio es de 16 gramos con una desviación estándar de 2 gramos, suponga que este consumo presenta una distribución normal. i) Cuál es la probabilidad de que, si se selecciona un animal al azar, consuma: a) Menos de 15 gramos b) Entre 15,50 y 16,25 gramos c) Más de 16.50 gramos ii) Si se tiene una muestra de 65 animales, ¿cuántos se espera que consuman entre 15,50 y 16,25 gramos? (Utilice la probabilidad del punto b). 2. El monto de las facturas que emite diariamente un restaurante sigue una distribución normal con promedio µ=80 soles y variancia σ2=100 soles2. a) ¿Cuál es la probabilidad que el restaurante emita facturas entre 75 y 105 soles? b) Si al 25% de clientes que gasta menos se los considera “clientes austeros”. Al 25% que gasta más se los considera “clientes generosos” y al resto se los considera “clientes promedio”,
encuentre el monto de las facturas que clasifican los clientes en dichas categorías c) Si la factura del cliente es menos que 75 soles la propina esperad del cliente es 1 sol; si el monto de la factura del cliente está entre 75 y 105 la propina esperada sería 5 soles y si la factura del cliente es mayor a 105 soles la propina esperada sería 10 soles. ¿Cuál ser á la propina promedio de todos los clientes atendidos por el restaurante durante el día? 3. En una población de 1000 estudiantes, las puntuaciones de una prueba de inteligencia (CI) se distribuyen normalmente con media 100 puntos y desviación estándar de 10 puntos. a) ¿Cuántos alumnos obtuvieron entre 75 y 125 puntos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar tenga un CI de 90 puntos o menos? c) Si se diera una beca a los 50 estudiantes con mayores CI, ¿Cuál es el puntaje mínimo
que debería establecerse para otorgar la beca?
4. La vida útil de una computadora marca ABC sigue una distribución normal con promedio de 10000 horas y una desviación estándar de 1000 horas. Cuantificar la probabilidad que para una computadora que acabamos de comprar: a) Su vida útil sea mayor a las 12000 horas R: 0.023 b) La vida útil esté entre 8000 y 11000 horas R: 0.818 5. El capital diario que necesita un hotel para funcionar sigue una distribución normal con promedio S/ 20000 y desviación estándar S/1000. ¿Cuál será el monto mínimo que usted recomendaría entregar a la administración del hotel para que la probabilidad que el hotel se quede sin dinero suficiente durante en día cualquiera sea sólo 0.01? R: 22330 Nota: Observe que cualquiera que sea la cantidad entregada a la Administración, ésta se quedará sin dinero si los gastos de ese día son mayores a dicha cantidad, y el problema limita la probabilidad de que eso ocurra a solo 0.01. 6. El hotel CINCO ESTRELLAS lleva un registro estadístico sobre el número de días que permanece cada huésped en el hotel y sabe que esta variable tiene una distribución normal con promedio 7 días y una desviación estándar de 2 días. El hotel ha recibido 500 reservas para el próximo mes y se pide pronosticar: a) Cuántos huéspedes permanecerán menos de 5 días en el hotel R: 79 b) Cuántos huéspedes permanecerán más de 10 días en el hotel R: 33 c) Cuántos huéspedes permanecerán entre 6 y 12 días en el hotel R: 343 NOTA: En este problema no se pide probabilidades, se piden cantidades; recuerde que una probabilidad se convierte en % multiplicándola por 100.
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7. La línea aérea CONFORT ha programado realizar el próximo año 100 vuelos directos a Alemania y a través de la información estadística de la empresa conoce que el número de asientos desocupados por cada vuelo realizado sigue una distribución normal con un promedio de 8 asientos desocupados y una desviación estándar de 3 asientos desocupados, se pide pronosticar: a) En cuántos vuelos se registrarán menos de 5 asientos desocupados R: 16 b) En cuántos vuelos se registrarán más de 14 asientos desocupados. R: 2 8. Se conoce que al aplicarse la prueba de aptitud ABC a universitarios se generan calificativos que siguen una distribución normal con promedio 11 y variancia 4. Para cubrir las vacantes de vendedores en una feria se presentan 200 universitarios y se les aplica dicha prueba? a) Determine la nota máxima para desaprobar si sólo hay 80 plazas vacantes. R: 11.5 b) Determine la nota máxima para desaprobar si hay 120 plazas vacantes R: 10.5 9. La vida útil de una computadora AKER tiene una distribución normal con promedio 10000 y desviación estándar 1000 horas: a) Se elige al azar una computadora AKER. ¿Cuál es la probabilidad que tenga una vida útil mayor a 10440 horas?. R: 0.33 b) Determine al percentil 33 que corresponde a la vida útil de estas computadoras. R: 9560 c) Se compran 3 computadoras AKER ¿Cuál es la probabilidad que más de una computadora tenga una vida útil mayor a 10440 horas?. R: 0.2458 10. Suponga que una compañía envasa bolsas de detergente mediante la máquina A. El contenido neto de las bolsas de detergente sigue una distribución normal con media de 250 gramos y una desviación estándar de 25 gramos. a) Si en las bolsas entran 265 gramos como máximo, ¿Cuál es la probabilidad de que una bolsa se derrame?. b) El jefe del área de control de calidad está interesado en adquirir una nueva máquina. Si en una muestra de 6 bolsas de detergente envasadas por la máquina A, más de 1 bolsa tienen un contenido menor de 240 gramos, entonces se hará la compra. Halle la probabilidad de que se adquiera la nueva máquina. 11. Una embotelladora de gaseosas envasa su producto en botellas cuyo contenido neto sigue una distribución normal con media 12 onzas y variancia 0.0625 onzas 2. Especificaciones de calidad establecen que el contenido debe estar en el intervalo [11.75; 12.25]. a) Se elige una botella al azar, ¿cuál es la probabilidad de que esté fuera de estos límites? b) La empresa planea retirar el 10% de las botellas con menores contenidos. ¿Cuál es el contenido máximo de una botella para que sea retirada? 12. Se conoce que al aplicarse una prueba estadística se generan calificativos que siguen una distribución normal con promedio 11 y varianza 4. Si se aplica esta prueba a 200 estudiantes. a) Determine la nota a partir de la cual están los 80 alumnos con las notas más altas. b) Determine la nota a partir de la cual están los 80 alumnos con las notas más bajas. 13. Los naranjos de un huerto tienen una producción que en peso se distribuye normalmente. El 25% de los árboles tienen más de 51 kg. de fruta y el 60 % más de 40 kg. ¿Cuál es la media y la desviación estándar de la distribución?. NOTA: Observe que tanto la media como la desviación estándar son desconocidas, en este tipo de problemas debe llegar a 2 ecuaciones, puesto que hay dos incógnitas. 14. Un supermercado almacena 30 Kg de queso fundido cada semana. Si la demanda semanal de queso fundido está normalmente distribuida con media 24 kg. y desviación estándar 5 kg. Determine la probabilidad de que el supermercado agote los quesos fundidos durante una semana seleccionada al azar. (Similar al problema 5)
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15. Suponga que la demanda mensual de un bien de consumo se distribuye normalmente con una media de 650 kg. y una desviación estándar de 100 kg. a) ¿Qué probabilidad hay de que la demanda no supere los 500 kg.? b) ¿Qué cantidad del bien debe haber mensualmente a fin de satisfacer la demanda en el 89.8 % de los meses?. NOTA: Satisfacer la demanda en el 89.8% de los meses, significa que la probabilidad de que la demanda sea menor o igual a la cantidad que se tiene es 0.898. 16. Una pequeña ciudad es abastecida de agua cada 2 días. El consumo en volumen de agua (cada dos días) tiene distribución normal. a) Determine la media y varianza de la distribución si se sabe que el 0.62% del consumo es al menos de 22 500 litros y que el 1.79% del consumo es a lo más 17 900 litros. b) Hallar la capacidad del tanque de agua de la pequeña ciudad para que sea solo el 0.01 la probabilidad de que en el período de dos días el agua no sea suficiente para satisfacer toda la demanda. 17. Las calificaciones de una prueba final de estadística tienen distribución normal con una media de 12. Si el 95.44% de los examinados obtuvieron calificaciones entre 8 y 16. a) Calcular la desviación estándar de la distribución. b) Si la nota aprobatoria es 11.¿Qué porcentaje de alumnos aprobaron el curso? c) Si un alumno ha obtenido una nota mayor a 12. ¿Cuál es la probabilidad de que su nota sea menor a 15? 18. En una empresa harinera, el peso de los sacos de harina tiene una distribución normal con media 25 libras y desviación estándar de 0.5 libras. Si se toma al azar un saco: a) ¿Cuál es la probabilidad de que pese entre 24 y 26 libras? b) Si el control de calidad establece que solo el 80 % central de los sacos es adecuado para la venta, ¿Cuál es el peso mínimo y máximo para que un saco de harina se pueda vender? c) En un lote de 5 sacos de harina, ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 3 pesen más de 24.5 libras? 19. Los ingresos de los ejecutivos “junior” en una gran empresa están distribuidos normalmente con una desviación estándar de $ 1 200. Se piensa hacer un recorte de personal, por lo que los empleados que ganan menos de $ 28 000 serán despedidos. Si el despido representa al 10 % de tales ejecutivos, ¿Cuál es el salario medio actual del grupo de ejecutivos “junior”?
20. “Servicio Automotriz Croacia” desea ofrecer un contrato especial de servicio que cubra el costo total de cualquier reparación necesaria en automóviles. El gerente estima que los costos por servicio tienen una distribución normal con promedio $150 y desviación estándar $25. a) Si la empresa ofrece el contrato de servicio a clientes con un costo de $200. ¿Cuál es la probabilidad de que el costo en alguno de los clientes supere el precio de contrato? b) La empresa clasifica los costos de servicio según el siguiente criterio: Si el costo por servicio es menor a 120$ se clasifica como “Bajo”, si el costo por servicio es superior a 200$ se clasifican como “Altos”; En cualquier otro caso los costos se clasifican como “Medio”. ¿Cuál es la proporción de ocurrencia para cada uno de estos tipos de costos por servicio? c) Si cconsideramos que el 20% de los menores costos por servicio se clasificaran como “Bajo”, el 65% de costos por servicio se clasificará como “Medio” y el 15% de los mayores costos por servicio se clasificara como “Alto”. ¿Cuáles serán los valores límite del costo por servicio para encontrarse en cada uno de estos tipos de costo por servicio propuesto? d) Si los costos por servicio no exceden a $110, las utilidades serían de $25,000; si los costos por servicio superan los $190 las utilidades serían $15,000; en cualquier otro caso, las utilidades generadas serán $18,000. Determine la utilidad esperada del Servicio Automotriz
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21. En un estudio hecho para determinar el tiempo medio necesario para el montaje de una máquina, se encontró que este tiempo se distribuye normalmente con una media de 42.5 minutos y una desviación estándar de 3.8 minutos. Se considera que un trabajador es lento si demora más de 50 minutos en ensamblar la máquina, el equipo de trabajadores encargados del ensamble de estas máquinas tiene 10 trabajadores, y los lentos serán reasignados a otras áreas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos dos trabajadores del equipo sean reasignados? b) ¿Cuál es la varianza del número de trabajadores lentos en el equipo?
Bibliografía: (Estos libros están en la Biblioteca USIL) 1) Webster, Allen L. Estadística aplicada a los negocios y la Economía Mc Graw Hill 3ra. Edición – 2005 Capítulo 5 2) Lind-Marchal-Mason. Estadística para Administración y Economía Alfaomega 11ª Edición Capìtulo 6
TEMA: INTERVALOS DE CONFIANZA: MEDIA Y PROPORCIÓN Problema 1 El gerente de control de calidad de una fábrica de lámparas eléctricas desea estimar la duración promedio de las lámparas del embarque que provienen del proveedor A. Se sabe que estas lámparas tienen una desviación estándar de 120 horas. Se selecciona una muestra aleatoria (m.a) de 64 lámparas y se obtiene que la duración promedio de esta muestra es de 540.12 horas.
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a) Con esta información estimar con un 95% de confianza, la duración promedio de todas las lámparas del embarque, si se sabe que el tiempo de duración de estas lámparas siguen una distribución normal. Interprete. b) En base al resultado de la estimación hecha en a, es posible pensar que duran más que las lámparas del proveedor B que tienen un promedio de duración igual a 500 h.
Problema 2 Se va a vender un nuevo cereal para desayuno como prueba de mercados durante un mes en las tiendas de una cadena de autoservicio. Los resultados de una muestra de 26 tiendas indicaron una venta promedio de 1250.8 soles con una desviación estándar de 210.4 soles. Si las ventas tienen distribución normal a) Establezca una estimación por intervalo con un 95% de confianza para la venta promedio por tienda de este cereal en este mes de prueba. b) Si la cadena de autoservicios tiene 200 tiendas, estime con un 95% de confianza el monto de las ventas que por concepto de este producto tendrían las 200 tiendas en este mes de prueba.
Problema 3 Para decidir si un programa de ayuda social en cierta región del país se justifica, se realiza un estudio con respecto al ingreso mensual de las familias de esta región y a partir del resultado de este tomar una decisión al respecto. Si se tiene evidencia de que el ingreso total mensual en esta región es inferior a 900,000 dólares se considerará a esta zona como susceptible de ayudad social. Se seleccionó una muestra de 100 familias de esta región, en la cual radican 5000 familias. La muestra dio un ingreso mensual promedio de 150 US$ y una desviación estándar de 80 US$. Obtenga un intervalo del 90% de confianza para el ingreso total de la comunidad y a partir es este Intervalo determine si se puede considerar que se tiene evidencia para considerar que esta región requiere de ayuda social.
Problema 4 Un empresario afirma que el riesgo de una cartera de inversión es significativamente pequeña (es decir que, la desviación estándar de la utilidad es menor a $500). Para verificar esto un investigador decide tomar una muestra aleatoria de tamaño n = 16 y encontró una varianza de 102400 dólares 2. a) Defina adecuadamente el parámetro a estimar en este caso b) Utilizando un 95% de confianza se puede considerar que realmente el riesgo es bajo? Justifique su respuesta. Problema 5 Actualmente el costo promedio, por unidad producida, de un artículo es de 120 soles con una desviación estándar de 10 soles. Se realizan ciertas medidas de reajuste en el proceso de producción de este artículo con la finalidad de disminuir los costos de producción. Luego de estas medidas se toma una muestra aleatoria de 6 objetos y se determinó los siguientes costos : 115.6, 118.5, 123.6, 119.5, 115.2, 116.3 Con esta información, utilizando un nivel de confianza del 90% , ¿es posible confirmar que se logró el objetivo?
Problema 6 Una casa comercial tiene 2500 clientes con cuenta de crédito. Para estimar el total adeudado por estos clientes, se seleccionan una muestra aleatoria de 25 cuentas la cual arroja una media de S/. 950 y una desviación estándar de S/.300. Construya un intervalo del 99% para estimar la cantidad total adeudada por los clientes de esta casa comercial, si se sabe que el monto adeudado por los clientes tiene una distribución normal con media y varianza 2
Problema 7
37
Se selecciona una muestra aleatoria de 100 familias de una comunidad de 15000 familias. La muestra dio un promedio de 150 (US$) de ingreso mensual y una varianza muestral de 400 (US$), con esta información se entregó el siguiente informe “Los ingresos totales de la comunidad están comprendidos ent re 2200800 y 2299200 (US$)”. Indique que nivel de confianza se usó en el informe
dado.
Problema 8 Se tomó una muestra de bodegas de cierta zona de la ciudad con la finalidad de estimar el nivel promedio de ventas por semana (en miles de soles). Los datos obtenidos se procesaron mediante el programa MINITAB, y los resultados se muestran a continuación:
One-Sample T: VENTAS Variable
N
Mean
StDev
SE Mean
VENTAS
15
.......
10,21
2,646
…………………………
( 56,21; 67,52)
A partir de esta información responda las siguientes preguntas: a) Se afirma que el nivel de venta promedio semanal, de estas bodegas es superior a los 54500 soles. Con el reporte dado ¿Qué puede decir al respecto? b) Determine el valor promedio de ventas de la muestra c) ¿Que nivel de confianza se utilizó en este reporte?
Problema 9 El gerente de producción desea estimar el tiempo promedio que demora cierto proceso, como el tiempo se mide en minutos, este gerente desea tener un error máximo de estimación, del tiempo promedio real, de a lo más 4 minutos, sabe, por experiencias anteriores, que la desviación estándar en lo tiempos de procesamiento es de 10 minutos, qué tamaño de muestra debe tomar, si desea un nivel de confianza del 95% para sus resultados?
Problema 10 El tiempo que tarda un proceso de ensamblaje tiene una distribución normal con una media de 20 minutos. Para hacer más eficiente el sistema, se le pide a un ingeniero que haga un análisis y proponga algunas mejoras. Tras implementar los cambios sugeridos, se toma una muestra de 9 artículos y se registran sus tiempos de ensamblaje obteniéndose un tiempo medio de 24.3 minutos con una desviación estándar de 6 minutos. a) ¿Se puede afirmar que los cambios implementados has disminuido el tiempo promedio del sistema de ensamblaje? (Utilice un nivel de confianza del 95%) b) Construya un intervalo del 90% de confianza para el tiempo medio de ensamblaje
Problema 11 Al estudiar si conviene o no tener una sucursal en la ciudad de Trujillo, la gerencia de una gran tienda comercial de Lima establece el siguiente criterio para tomar una decisión: Abrir la sucursal sólo si el ingreso promedio familiar mensual en dicha ciudad sea mayor o igual a $500 y no abrirla en caso contrario. Se obtuvo una muestra aleatoria de 100 familias con un ingreso familiar de $480. Por información histórica se conoce que la desviación estándar del ingreso es de $80. a) ¿Cuál es la decisión a tomar con un nivel de significación del 5%? b) Construya un intervalo del 95% de confianza para el ingreso promedio familiar mensual
Problema 12 Una empresa quiere introducir un nuevo producto al mercado local, por tanto quiere estimar la proporción de clientes potenciales (dispuestos a adquirir el producto al precio que se ofrece). Para esto realizaron 200 entrevistas de las cuales 68 mostraron ser potenciales clientes.
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a) Realice la estimación correspondiente con un 99% de confianza. b) Si se estima que hay 10000 personas en la localidad, cuántos se espera que estén dispuestos a adquirir el producto?
Problema 13 Una compañía telefónica está tratando de determinar si algunas líneas en una determinada comunidad deben instalarse de manera subterránea. Debido a que se hará un pequeño cargo adicional en las cuentas telefónicas para pagar los costos extras de la instalación, la compañía ha determinado hacer un estudio entre los clientes y proceder con la instalación subterránea solo si el estudio indica que más del 60% de todos los clientes están a favor de la instalación. Si 118 de 160 clientes entrevistados están a favor de esta instalación a pesar del cargo adicional. Construya un intervalo de confianza al 95% y diga qué debe hacer la compañía.
Problema 14 Una industria lechera está estudiando la posibilidad de cambiar sus botellas para la leche a envases de plástico, y desea estimar la proporción de clientes que aceptarían el cambio en la ciudad de ICA. Se realiza una encuesta a 450 personas y se les clasifica por estrato socioeconómico y si está o no a favor del cambio
Si No
Estrato socioeconómico A (Alto) B (Medio) C(Bajo) 80 70 120 40 80 60
a) Estime la proporción de personas que están a favor del cambio. Use un nivel de confianza del 92% b) Si en la ciudad hay 4,000 personas que pertenecen al estrato A, 12,000 al estrato B y 20,000 al estrato C, estime el número de personas del estrato C que están a favor del cambio de envase. Use un nivel de confianza del 98% y suponga que las muestras fueron obtenidas independientemente de cada uno de los estratos.
Problema 15 Un banquero desea estimar el porcentaje de gente que responde favorablemente a una nueva campaña de publicidad televisiva. Este banquero desea realizar dicha estimación con un error máximo de 2.5% y un nivel de confianza del 90%. Determine el tamaño de muestra necesario para realizar dicha estimación. Una muestra piloto determinó que p=65%.
Problema 16 Para adquirir un lote que contiene artículos, un comerciante desea estimar el porcentaje de artículos defectuosos que contiene este lote, para lo cual se fija un error de estimación de a lo más 3% y un nivel de confianza del 93%. ¿Qué tamaño de muestra deberá tomar?, este comerciante sabe, por experiencias anteriores, que aproximadamente este tipo de lotes tienen 7.5% de artículos defectuosos.
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Problema 17 Se desea realizar una encuesta de mercado para estimar la proporción de amas de casa que prefieren un producto al que vende la competencia. Asimismo se requiere que el error al estimar la proporción poblacional no sea mayor de 4 puntos porcentuales con un nivel de confianza del 95%. Si cuesta S/.10000, poner en marca la encuesta además de S/.5 por cada entrevista. ¿Cuál será el costo total de la encuesta?
TEMA: PRUEBAS DE HIPÓTESIS Problema 1 En cada uno de los siguientes casos se le pide plantear las hipótesis nula y alternativa correspondientes: a. El jefe de control de calidad de cierto producto desea determinar si el proceso de envasado está bajo control, es decir: si el peso promedio envasado es de 450 gramos. b. Las ventas semanales, en promedio, de cierto producto son de 4500 soles, se realiza una campaña por TV y por radio. El Jefe de ventas desea probar si la campaña realizada fue efectiva. c. Una máquina, actualmente utilizada por una empresa en la fabricación de un determinado artículo, produce un 3% de artículos defectuosos. Al jefe de producción se le ofrece un nuevo modelo de máquina argumentado que esta produce menos porcentaje de artículos defectuosos. El jefe de producción desea probar si tal afirmación es válida o no lo es.
Problema 2 a) Suponga que se plantean las siguientes hipótesis: H0: El proceso de producción está bajo control. H1: El proceso de producción no está bajo control y se debe detener para reajustar. Defina en términos de estas hipótesis el error tipo I y el error tipo II. b) En la situación que se da a continuación, diga usted cual debe ser la hipótesis nula (Ho) de manera que el error tipo I sea el más grave: “El trabajo del operador de un radar es detectar aeronaves enemigas, en un determinado momento el tablero indica que algo invadió el espacio aéreo” el operador tiene las dos
siguientes hipótesis: Está comenzando un ataque No hay ataque solo es una interferencia.
Problema 3 El Gerente de control de calidad desea determinar si la máquina con la que embolsan un cereal está bajo control, es decir si se está embolsando con un promedio de 500 gramos. Para determinar esto toma una muestra aleatoria de 36 bolsas y encuentra un promedio de 496.5 gramos. a) Plantee la hipótesis adecuadas indique, si es necesario, los supuestos bajo los cuales se puede resolver este problema. b) A que conclusión llegará el jefe de control de calidad, si sabe que el proceso tiene una varianza de 81 gramos 2 y utiliza una 5% de significancia?
Problema 4 En una oficina de defensa del consumidor se han recibido quejas de los consumidores con respecto a que una determinada marca de aceite vende botellas que indican 850 c.c. pero que en realidad es menos de esa cantidad. Un funcionario de esta oficina con la finalidad de determinar si los clientes tienen fundamento en sus quejas decide tomar una m.a. de 49 botellas de aceite y encontró que el promedio de esta muestra fue 848.3c.c. y una desviación estándar de 10c.c. a) Plantee la hipótesis adecuadas
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b) Usando un nivel de significancia del 5% ¿A que conclusión llegará el funcionario de la oficina de defensa del consumidor?
Problema 5 Se sabe que en una compañía de taxis el gasto diario promedio en combustible, por unidad, es una variable con distribución normal, cuyo promedio es de 187.6 galones, y una desviación estándar de 32.5 galones. El gerente de operaciones decide incluir un aditivo especial al combustible que le permitirá un ahorro en ese rubro. Después de incluir el aditivo toma una muestra de 6 unidades y encontró los siguientes gastos en combustible expresado en galones por día: 180.3 179.6 185.7 170.5 158.3 180.6 El gerente operativo afirma que el gasto promedio diario en combustible disminuyó en más de 12% ¿En base a la información muestral presentada se puede aceptar lo afirmado por el gerente operativo. En la solución de este problema considere: i. Plantear el o los parámetros que crea conveniente ii. Realizara la prueba respectiva iii. Describa claramente sus conclusiones
Problema 6 Responda cada una de las siguientes preguntas justificando brevemente su respuesta Se tiene los siguientes resultados obtenidos en base a una muestra aleatoria procesada con el programa MINITAB: T de una muestra Prueba de mu = 16 vs. > 16
N 10
Media 17.209
Media del Error Desv.Est. estándar 0.937 0.296
95% Límite inferior 16.666
T 4.08
P 0.001
i. Plantear la hipótesis Nula y Alternativa ii. ¿Cuál es el valor de la media muestral? iii. Utilizando el valor del estadístico de prueba y un nivel de significancia del 5% ¿Cuál es la decisión?
Problema 7 Una compañía telefónica está tratando de determinar si algunas líneas en una determinada comunidad deben instalarse subterráneas. Debido a que se hará un pequeño cargo adicional en las cuentas telefónicas para pagar los costos extras de la instalación, la compañía ha determinado hacer un estudio entre los clientes y proceder con la instalación subterránea solo si el estudio indica que más del 60% de todos los clientes están a favor de la instalación. a) Defina en forma clara el parámetro que utilizará en la prueba de hipótesis respectiva. b) Si 118 de 160 clientes entrevistados están a favor de esta instalación a pesar del cargo adicional, ¿qué debe hacer la compañía? Use un =0.01 c) Cuales son las conclusiones al respecto? d) Defina el error tipo I y error tipo II en términos del problema
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Problema 8 El Dpto. de Marketing de una compañía que produce el detergente ABC encontró en una muestra de 200 amas de casa que el 20% utiliza esta marca de detergente. Después de una intensa campaña publicitaria, se tomó otra muestra de 300 amas de casa la que indicó que el 27% favorece esta marca. Al 5% de significación, ¿puede el jefe del Dpto. concluir, en base a los resultados de esta muestra, que la campaña fue exitosa?
Problema 9 Al señor Juan Pérez le han propuesto participar en una lista para el congreso, en representación de su provincia. Para aceptar la propuesta este señor quiere estar seguro de que al menos el 25% de los votantes en la provincia que reside están a favor de su candidatura. Para determinar esto toma una muestra aleatoria de tamaño n = 450 personas encontrando que 90 están a favor de su candidatura. ¿Aceptará el señor Juan Pérez participar en la lista? Considere = 5%
Problema 10 Una oficina relacionada con la cobranza de impuestos comprobó que el 5% de las declaraciones juradas de impuestos eran inexactas. Después de un programa de educación aplicado a los contribuyentes se comprobó que de 1124 declaraciones juradas, 45 eran inexactas. ¿Existe suficiente evidencia para concluir que el programa de educación ha rendido buenos resultados? Problema 11 La tabla siguiente resume algunos datos de un experimento realizado para estudiar varias características de tornillos de anclaje, puesto que la empresa “Ferriti” desea realizar la compra de un lote de estos tornillos:
Diámetro de tornillo
Tamaño de la muestra
3/8 1/2
15 14
Resistencia promedio (kilo/ libra) 4.25 7.14
Desviación Estándar 1.3 1.68
Un aspecto importante es la homogeneidad en cuanto a la resistencia de estas dos marcas de tornillos, ¿podemos concluir en base a la información mostrada que las resistencias de los tornillos de ambos diámetros tienen la misma variabilidad?. Use un nivel de significancia =0.05
Problema 12 El gerente de marketing de una compañía desea determinar si un nuevo envase podría aumentar las ventas de su producto. Para probar la factibilidad de la nueva forma de envase se seleccionó una muestra de 18 tiendas similares y se asignaron, en forma aleatoria, 10 de ellas como mercado de prueba de la nueva forma de envase, en t anto que las otras 8 continuarían recibiendo el envase antiguo. Las ventas semanales durante el tiempo de estudio fueron las siguientes: Envase nuevo n1 = 10 x = 130 cajas 1 S1 = 10 cajas
Envase antiguo n1 = 8 x = 118 cajas 2 S2 = 12 cajas
Si se sabe que el nivel de ventas con el envase nuevo y con el envase antiguo se comporta según una distribución normal y que las muestras tomadas son independientes, ¿Tiene evidencia de que la nueva forma de envase dio como resultado un mayor nivel de ventas? Utilizar un nivel de significancia del 5% (Asumir que las varianzas poblacionales son homogéneas)
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Problema 13 La Oficina de Recursos Humanos de cierta empresa, ha recibido una partida extra para la capacitación del personal administrativo, sin embargo el presupuesto es reducido y no es posible financiar la capacitación de todo el personal administrativo de la empresa, sino sólo de la mitad de este cuerpo, por lo que se debe decidir a quiénes capacitar. El jefe de la oficina de Recursos Humanos cree que el personal administrativo que trabaja en el turno de la mañana comete menos errores que el personal administrativo que trabaja en el turno tarde, por lo que él propone que el personal que se desempeña en el turno tarde debe ser capacitado. Para sustentar esto selecciona al azar a un grupo de empleados del turno mañana y a otro grupo de empleados del turno tarde, y registra el número de errores cometidos en una jornada laboral. La información se resume a continuación:
Turno Mañana Tarde
Número de empleados 12 10
Número promedio de errores 9.56 12.89
Desviación estándar de los errores 2.82 3.02
El gerente considera adecuado asumir normalidad en la distribución del número de errores cometidos por los empleados ¿Está usted de acuerdo con el Jefe de Recursos Humanos sobre el turno que debe capacitar?. Considere un nivel de significancia del 5% y que la varianza del número de errores cometidos por los empleados es igual tanto en .la mañana como en la de tarde.
Problema 14 Se entrevistó a 900 personas y se les preguntó acerca de su preferencia con respecto a tres tipos de programas de televisión, los entrevistados se clasificaron de acuerdo al distrito donde residían y de acuerdo al grupo de edad. Los resultados fueron los siguientes: Tipo de Programa Cómico Deportivo Musical Distrito A Adolescentes 40 50 20 Jóvenes 45 30 60 Adultos 55 20 15 Distrito B Adolescentes 35 60 15 Jóvenes 30 40 40 Adultos 105 15 5 Distrito C Adolescentes 25 40 15 Jóvenes 25 30 20 Adultos 40 15 10 Se desea lanzar al aire un novedoso programa Cómico, y se realizará este lanzamiento si se tiene evidencia de que en la población adulta, considerando los tres distritos en conjunto, el porcentaje de personas que prefieren programas cómicos es mayor al porcentaje de personas que prefieren un programa Deportivo. Utilizando un nivel de significancia del 2.5% ¿Cuál será la decisión al respecto? Considerando que las muestras aleatorias tomadas de los distritos son independientes, resuelva las siguientes cuestiones: i. Plantear el o los parámetros que crea conveniente ii. Realizar la prueba respectiva iii. Describa claramente sus conclusiones
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Problema 15 El jefe de ventas de una gran cadena de tiendas debe decidir entre dos cursos similares de capacitación para sus vendedores. Para esto decide comprobar la eficacia de los cursos tomando un muestra de 350 vendedores para el curso A y otra muestra de 400 vendedores para el curso B, al final de cada curso encontró que en el primer caso 82% de los vendedores mejoraron significativamente su desempeño, mientras que en con el curso B ese porcentaje fue del 74%. Como el curso A es más costoso decidirá enviar a sus vendedores a dicho curso siempre y cuando el porcentaje de vendedores que mejoran significativamente su desempeño supere en más de 6% al porcentaje de vendedores que mejoran significativamente su desempeño y que recibieron el curso B, utilizando un = 0,05. ¿Cuál será la decisión del jefe de ventas de esta cadena de tiendas?
Problema 16 Para determinar la efectividad de un nuevo método de enseñanza del curso de Ingles para niños, se seleccionaron a 10 niños que no sabían Ingles, los mismos que fueron divididos aleatoriamente en dos grupos de cinco cada uno. Al primer grupo, se le enseñó el Inglés con el método tradicional y al segundo grupo con el nuevo método; además, se cree que califica ciones obtenidas con el nuevo método serán más altas. Al final del curso, los niños fueron evaluados y los resultados obtenidos se muestran a continuación: Método tradicional Nuevo método Calificación promedio 87 92 Desviación estándar 10 11
a) Definir correctamente las hipótesis de contraste. b) ¿A un nivel de significancia del 5%, existe evidencia estadística para pensar en que las calificaciones obtenidas con el nuevo método son más altas? c) Describa claramente sus conclusiones.
(Considerar que las varianzas poblacionales son iguales) Problema 17 Una fábrica produce dos tipos de productos en dos turnos diferentes y se desea observar el número de productos defectuosos en ambos turnos. Para esto se toman dos muestras independientes, una de cada turno de trabajo, y se determinó la cantidad de artículos defectuosos y el tipo de producto producido, los resultados se muestran en la siguiente tabla:
TURNO Mañana Tarde
PRODUCTO A B Defectuosos Buenos Defectuosos Buenos 20 200 50 300 5 150 25 200
a) ¿Podemos afirmar que el turno de la tarde se producen artículos con un menor porcentaje de unidades defectuosas?. I. Defina los parámetros de interés en este caso II. Realice la prueba de hipótesis correspondiente y de sus conclusiones b) ¿Podemos afirmar que en el turno de tarde, la proporción de defectuosos del producto B es mayor que la proporción de defectuosos del turno de la mañana en más de 0.04?. i. Defina, en este caso, los parámetros involucrados ii. Realice la prueba de hipótesis correspondiente e indique sus conclusiones al respecto
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TEMA: ANÁLISIS DE VARIANZA Problema 1 Con la finalidad de comparar los precios del producto “A1” se llevo a cabo un experimento en tres zonas de Lima: Cono Sur, Cono Norte y Lima Centro. En cada una de dichas zonas se tomaron muestras de las tiendas más grandes: 6 tiendas de Lima Centro, 4 tiendas de Cono Norte y 5 tiendas del Cono Sur y se consultó acerca del precio de dicho producto, los resultados se muestran en la siguiente tabla: Precios del Producto “A1”
ZONAS Cono Norte Cono Sur 27 30 27 30 30 31 28 27 29
Lima Centro 29 27 31 29 32 30
¿Constituyen los datos anteriores, al nivel de significación del 5%, suficiente evidencia que indique una diferencia en el precio promedio del producto “A1” en las tiendas de las 3 zonas de Lima?
Problema 2 Los siguientes datos muestran los tiempos (en minutos) que tardan en procesar una pieza cada una de las cuatro máquinas.
Máquina 1
Máquina 2
Máquina 3
Máquina 4
4
2
3
2
5
2
4
3
4
3
3
3
5
3
4
2
4
3
4
3
Las muestras obtenidas son independientes y el gerente de producción tiene evidencia suficiente como para asumir que la distribución de los tiempos sigue una distribución normal. Determine si se puede considerar que los tiempos promedio de procesamiento de las máquinas son iguales utilizando un nivel de significancia del 5%.
Problema 3 Los miembros de un equipo ciclista se dividen al azar en tres grupos que entrenan con métodos diferentes. El primer grupo realiza largos recorridos a ritmo pausado, el segundo grupo realiza series cortas de alta intensidad y el tercero trabaja en el gimnasio con pesas y se ejercita en el pedaleo de alta frecuencia. Después de un mes de entrenamiento se realiza un test de rendimiento consistente en un recorrido cronometrado de 9 Km. Los tiempos empleados fueron los siguientes:
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Método 1 Método 2 Método 3 15 14 13 16 13 12 14 15 11 15 16 14 17 14 11 A un nivel de significación del 5% ¿Puede considerarse que los tres métodos producen resultados equivalentes? O por el contrario. Plantee las hipótesis y realice las pruebas necesarias.
Problema 4 El jefe de producción de una fábrica desea determinar si las cuatro máquinas que tiene utilizan el mismo tiempo promedio en la fabricación de un artículo. Para esto selecciona muestras aleatorias de cada máquina de tamaños n 1 = 6, n2 = 4, n3 = 4 y n4 = 6 respectivamente, midiendo el tiempo que utilizan en la fabricación de un artículo. Debido a un descuido de su ayudante la información obtenida se perdió parcialmente, encontrándose sola la siguiente tabla incompleta:
Fuente de variación Entre tratamientos Error
Suma de cuadrados
TOTAL
542.92
Grados de libertad
Cuadrados medios
F
152.62
Con esta información, plantee las hipótesis adecuadas y diga cual será la conclusión del jefe de producción, interpretando adecuadamente sus resultados. Use = 0.05
Problema 5 Una lista de palabras sin sentido se presenta en la pantalla del ordenador con cuatro procedimientos diferentes, asignados al azar a un grupo de sujetos. Posteriormente se les realiza una prueba de recuerdo de dichas palabras, obteniéndose los siguientes resultados: PROC1 5 7 6 3 9 7 4
PROC2 9 11 8 7 7 4 4
PROC3 8 6 9 5 7 4
PROC4 1 3 4 5 1
¿Qué conclusiones pueden sacarse acerca de las cuatro formas de presentación, con un nivel de significación del 5%?. Use la salida de MINITAB adjunta para ello.
ANOVA unidireccional: PROC1, PROC2, PROC3, PROC4 Fuente Factor Error Total
GL 3 21 24
S = 2.116
SC 60.55 94.01 154.56
MC 20.18 4.48
F 4.51
R-cuad. = 39.17%
P 0.014
R-cuad.(ajustado) = 30.48%
ICs de 95% individuales para la media
46 Nivel PROC1 PROC2 PROC3 PROC4
N 7 7 6 5
Media 5.857 7.143 6.500 2.800
Desv.Est. 2.035 2.545 1.871 1.789
basados en Desv.Est. agrupada ------+---------+---------+---------+--(-------*--------) (--------*-------) (-------*--------) (---------*---------) ------+---------+---------+---------+--2.0 4.0 6.0 8.0
Desv.Est. agrupada = 2.116
Intervalos de confianza simultáneos de Tukey del 95% Todas las comparaciones en parejas Nivel de confianza individual = 98.89%
Se restó PROC1 a:
PROC2 PROC3 PROC4
Inferior -1.865 -2.637 -6.509
Centro 1.286 0.643 -3.057
Superior 4.437 3.922 0.394
---------+---------+---------+---------+ (-------*-------) (--------*-------) (-------*--------) ---------+---------+---------+---------+ -4.0 0.0 4.0 8.0
Superior 2.637 -0.891
---------+---------+---------+---------+ (-------*--------) (-------*--------) ---------+---------+---------+---------+ -4.0 0.0 4.0 8.0
Superior -0.131
---------+---------+---------+---------+ (--------*--------) ---------+---------+---------+---------+ -4.0 0.0 4.0 8.0
Se restó PROC2 a:
PROC3 PROC4
Inferior -3.922 -7.794
Centro -0.643 -4.343
Se restó PROC3 a:
PROC4
Inferior -7.269
Centro -3.700
Problema 6 Un factor importante al seleccionar programas de procesamiento de palabras y de administración de bases de datos es el tiempo necesario para aprender cómo usar el sistema. Para evaluar tres sistemas de administración de archivos, una empresa diseñó una prueba donde intervinieron cinco operadores de procesamiento de palabras. Como se creyó que la variabilidad entre operadores es un factor importante, se adiestraron cinco operadores en cada uno de los tres sistemas de administración de archivos. Los datos que se obtuvieron son los siguientes: (5 puntos)
Operador 1 2 3 4 5
Sistema A B C 16 16 24 19 17 22 14 13 19 13 12 18 18 17 22
Use 0.05 para ver si hay alguna diferencia en la media del tiempo de adiestramiento (en horas) para los tres sistemas.
TEMA: BONDAD DE AJUSTE Y PRUEBAS DE INDEPENDENCIA
47
Problema 1 Una persona realiza un experimento que consiste en lanzar cuatro monedas cien veces; además, en cada lanzamiento cuenta el número de monedas que muestran cara. Los resultados del experimento son los siguientes: Número de caras Número de lanzamientos de las cuatro monedas 0 1 2 3 4
18 22 20 17 23
Con un nivel de significancia del 1%. ¿Puede concluirse que la variable X: Número de monedas que muestran cara, sigue una distribución Binomial con n = 4 y p = 0.5?
Problema 2 Un vendedor de computadoras visita a 4 clientes por día. El vendedor cree que el número de clientes que realiza una compra es una variable aleatoria con distribución binomial. Para esto, registra el número de clientes que realizan una compra por un periodo de 100 días. Los resultados fueron como aparecen en la tabla que sigue:
Número de clientes que realizan una compra
Número de días
0 1 2 3 4
10 30 35 20 5
A un nivel de significancia igual a 0.01, determine si estos datos provienen de una población binomial con parámetros n = 4 y = 0.4.
Problema 3 Un ingeniero de control de calidad del proceso de ensamblaje de llantas, desea verificar si el número de llantas con defectos sigue una distribución binomial con una proporción de llantas defectuosas del 5%. Para esto tomó 200 muestras de 10 neumáticos cada una y encontró lo siguiente: Número de llantas defectuosas Número de muestras 0 138 1 53 2 o más 9 Total 200 ¿Se puede afirmar que el número de rubros rechazados sigue una distribución binomial con la probabilidad p=0.4?. Use un =0.01.
Problema 4
48
El responsable de servicio de mantenimiento de una empresa de transporte, quien lleva el control desde los inicios de creación de la empresa, afirma que el número de vehículos que necesitan reparación en un día, sigue una distribución de Poisson con media igual a 2. Se hace estadísticas de 200 días sobre el número de vehículos que necesitan reparación, los resultados fueron:
N° de días N° de vehículos
54 0
70 1
50 2
21 3
Realice la prueba necesaria para corroborar esta afirmación. Use un
4 4
1 5 o más
=0.1.
Problema 5 Un investigador afirma que el número de llamadas que ingresan a la central telefónica de una institución educativa sigue una distribución Poisson con parámetro igual a 2 llamadas por minuto. Para verificar esta afirmación, se toma una muestra aleatoria de 100 minutos y se observan los siguientes resultados: Número de llamadas Número de minutos 0 15 1 20 2 35 3 15 4 10 5 O más 5 Con un nivel de significancia del 5%. ¿Puede concluir que los datos apoyan a la afirmación hecha por el investigador?.
Problema 6 Se afirma que el número de errores que comete una secretaria al transcribir un documento es una variable aleatoria que tiene una distribución de Poisson con media de 3 errores por trascripción. Se revisó 440 transcripciones hechas por ella obteniéndose los siguientes resultados: Realice la prueba con un α=0.01
Número de errores Frecuencia 0 18 1 53 2 103 3 107 4 82 5 46 6 18 7 10 8 2 9 o más 1 Problema 7
Para probar si existe alguna relación entre la clasificación de los empleados de la USIL y el tipo de seguro con el que cuentan, se seleccionó a un grupo de ellos y se obtuvieron los siguientes resultados:
49
Plan de seguro Clasificación del Empleado A B C 35 10 5 Docente Administrativo 15 5 10 Otros 2 6 12 ¿Cuál es su conclusión utilizando un nivel de significancia del 5%? Problema 8
Se cree que un estudiante de USIL permanece más horas en la computadora mientras mayor sea el número de cursos en el que está matriculado. Para probar si existe alguna relación entre estas variables, se toma una muestra de 165 estudiantes y se obtienen los siguientes resultados:
Número de horas en Número de cursos matriculados una computadora Entre 3 y 5 Entre 4 y 6 Entre 7 y 9 (por semana) Entre 10 y menos de 10 12 15 15 horas Entre 15 y menos de 15 18 20 20 horas Entre 20 y menos de 20 25 30 25 horas ¿Cuál es su conclusión utilizando un nivel de significancia del 5%? Problema 9
Se cree que el tipo de boleto, que un estudiante de USIL adquiere para realizar un viaje en avión, depende del tipo de vuelo (Nacional e Internacional). Para probar si existe alguna relación entre estas variables, se toma una muestra de 150 estudiantes y se obtienen los siguientes resultados:
Tipo de boleto Clase económica Clase Ejecutiva Primera clase
Tipo de vuelo Nacional Internacional 30
25
35 15
25 20
¿Cuál es su conclusión utilizando un nivel de significancia del 5%? Problema 10
Una socióloga estuvo investigando esta cuestión: ¿existe alguna relación entre el nivel de Instrucción alcanzado y el nivel de actividad social de una persona? Decidió manejar tres niveles de Instrucción: Primaria, Secundaria y Universitaria. Cada persona llevó un registro de sus actividades sociales, como jugar boliche en grupo, asistir a bailes, eventos sociales, ceremonias religiosas, etc. La socióloga los dividió en actividad social inferior al promedio, actividad social promedio y actividad social superior al promedio. Los resultados de su muestra se dan en la siguiente tabla: ¿Cuál será la conclusión de esta socióloga, en base a esta muestra aleatoria y un 5% de significancia, use la salida de MINITAB adjunta?.
50
Educación Superior al promedio Universitaria 20 30 Secundaria 10 Primaria
Actividad Social Promedio Inferior al promedio 10 10 50 80 60 130
Prueba chi-cuadrada: Superior al promedio, Promedio, Inferior al promedio Los conteos esperados se imprimen debajo de los conteos observados Las contribuciones chi-cuadradas se imprimen debajo de los conteos esperados
Superior al promedio 1 20 6.00 32.667
Promedio 10 12.00 0.333
Inferior al promedio 10 22.00 6.545
Total 40
2
30 24.00 1.500
50 48.00 0.083
80 88.00 0.727
160
3
10 30.00 13.333
60 60.00 0.000
130 110.00 3.636
200
Total
60
120
220
400
Chi-cuadrada = 58.826, GL = 4, Valor P = 0.000
Problema 11 Con el propósito de hacer una redistribución del personal, una compañía evalúa a sus 400 trabajadores (60% del área de producción y 40% del área administrativa). Los resultados se presentan en el siguiente cuadro: Área de Producción Área administrativa Total Calificación Nombrado Contratado Nombrado Contratado Excelente 85 40 15 160 Adecuado 60 40 60 180 Deficiente 20 10 60 Total 160 45 400 a) ¿Está asociada la calificación asignada al trabajador con el área donde trabaja?.. Utilizar α=0.05
b) ¿La condición laboral del trabajador está relacionada con su ca lificativo?. Utilizar α=0.05.
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TEMA: REGRESION LINEAL: SIMPLE Y MULTIPLE Problema 1 Un banco quiere determinar la relación entre las variables Ingresos mensuales (variable independiente) y Ahorros mensuales (variable dependiente) de sus clientes. Para esto, selecciona una muestra aleatoria de seis clientes y obtiene los siguientes resultados: X: Ingresos mensuales 1.0 1,2 1,5 0,8 1,8 2.0
Y: Ahorros mensuales 0,20 0,22 0,25 0,18 0,30 0,35
a) Halle la ecuación de regresión e interprete sus coeficientes. b) Calcule el coeficiente de determinación e interprételo. c) Utilice el modelo de regresión desarrollado para predecir los ahorros mensuales si el ingreso mensual de su cliente es de 2500 soles. d) Plantee las hipótesis respectivas y diga si el modelo hallado es significativo o no. Utilizar un nivel de significancia del 5%.
Problema 2 Para determinar la relación entre la velocidad (X) y el rendimiento de la gasolina (Y) en automóviles de determinada marca, se tomó una muestra de 5 automóviles y se obtuvieron los siguientes resultados: X: Velocidad (Km/h) Y: Rendimiento (Km/Galón)
60 70 80 90 100 55 52 50 45 40
Se pide: a) Halle la ecuación de regresión e interpretar sus coeficientes. b) Calcule el coeficiente de determinación e interprételo. c) Utilice el modelo de regresión desarrollado para predecir el rendimiento de gasolina para una velocidad de 120 Km/h. d) Plantee las hipótesis respectivas y diga si el modelo obtenido es significativo a un nivel de significancia del 5%.
Problema 3 La empresa comercializadora de productos agrícolas ECOPA está interesada en precisar qué relación existe entre la distancia que una carga de fruta es transportada (por tierra) y la cantidad de fruta malograda, medida en kilogramos (Y) al llegar a su destino. Se obtuvieron los siguientes resultados de un estudio de 9 despachos de fruta: 10
10
10
X i
i 1
765 ;
i 1
X i
2
69225 ;
i 1
10
Y i
316 ;
i 1
10
Y i
2
12128 ;
X Y 28605 i
i
i 1
a) Ajuste una recta de regresión para determinar la cantidad de fruta malograda en función de la distancia recorrida. Interprete el coeficiente de regresión estimado. b) ¿Existe una relación lineal entre la cantidad de fruta malograda y la distancia que recorrida?. Use un α=0.05.
c) Es posible afirmar que por cada kilómetro que recorre la carga de fruta hasta llegar a su destino la cantidad de fruta malograda se incrementa en más de 300 gramos. d) Estime un intervalo de confianza para la cantidad de fruta malograda promedio cuando la distancia recorrida fue de 95 Kilómetros, utilizar un 99% de confianza.
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Problema 4 A continuación se muestran los gastos en publicidad (ciento de dólares) que realiza una empresa y el precio (dólares) que tiene una empresa en 10 semanas tomadas al azar. Precio Ventas Semana 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X (dólares) 1.3 2 1.7 1.5 1.6 1.2 1.6 1.4 1 1.1
Y (miles artículos) 10 6 5 12 10 15 5 12 17 20
a) Comente el diagrama de dispersión que se muestra a continuación. Gráfica de dispersión de Ventas vs. Precio 20,0 17,5 15,0 s a t n 12,5 e V
10,0 7,5 5,0 1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
Precio
b) Determine la línea de regresión que permita estimar el nivel de ventas en base al precio del artículo e interprete el coeficiente de regresión estimado. c) Estime el nivel de ventas que se espera obtener si el precio del artículo es de $1.8. d) Halle e interprete el coeficiente de determinación.
Problema 5 En ocasiones es conveniente comprar la mayor cantidad posible de ciertos artículos. Por lo general el precio unitario es menor al adquirir grandes cantidades. Para contrastar esta teoría se obtuvieron los siguientes datos: Número de Unidades (X) Costo Unitario (Y) $
1 55
3 5 52 48
10 36
12 32
Los resultados obtenidos con el MINITAB son los siguientes: Predictor Constant Num. de S = 4.104
Coef 53.793 -1.4079
SE Coef 2.615 0.2105
R-Sq = 89.9%
Analysis of Variance Source DF Regression 1 Residual Error 5 Total 6
SS 753.22 84.20 837.43
T 20.57 -6.69
R-Sq(adj) = 87.9%
MS 753.22 16.84
F 44.73
15 30
24 25
53
a) b) c) d)
Interprete el coeficiente de regresión estimado. ¿Qué % de la variabilidad en el costo no es explicada por la recta de regresión? ¿Es la pendiente de la recta diferente de cero significativamente? . Use un α=0.05. Estime, mediante un intervalo de confianza del 95%, el costo promedio unitario cuando se compran 40 unidades. e) Es posible afirmar, en base a la información muestral obtenida y utilizando un nivel de significación del 5%, que por cada unidad adicional que se compre, el precio del artículo disminuye en más de $1,2. Use un α=0.05.
Problema 6 El gerente de ventas permite que los agentes vendedores que tiene a su cargo reciban charlas para motivarlos, dichas charlas se dan en diferentes horarios y los agentes tienen absoluta libertad para elegir el horario que crean conveniente. El gerente cree que dichas charlas influyen en la eficiencia de las ventas. Para verificar esto toma una muestra de 10 vendedores y determinó el tiempo acumulado de horas en las que estuvo presente en una o más charlas durante el último trimestre y la eficiencia de sus ventas, los datos encontrados fueron: Tiempo acumulado (Horas) 27 45 41 19 35 39 19 49 15 31 Eficiencia en las ventas (%) 47 84 80 46 62 72 52 87 37 68 Los resultados obtenidos en con el MINITAB son los siguientes:
The regression equation is eficiencia = ...... +........tiempo Predictor Coef SE Coef Constant ………………… 5.163 tiempo 1.4200 0.1523 S = 5.385
Source Regression Residual Error Total
R- Sq = ………………
DF ……… ……… ………
T 3.497966 …………………
R -Sq(adj) = 90.5%
Analysis of Variance SS MS ……………… ……………… 232.0 29.0 2752.5
F 86.91
a) Complete los espacios en blanco. b) ¿Es posible afirmar que existe una relación lineal entre el número de horas de charla y la eficiencia en las ventas?. Use un α=0.05.
c) Interprete adecuadamente el coeficiente de regresión. d) Utilizando un nivel de confianza del 90%, calcule e interprete adecuadamente, un intervalo de confianza para el promedio de eficiencia en las ventas de un vendedor cuando el número de horas de charla que reciba sea de 60. e) El Gerente de ventas afirma que cuando un agente vendedor recibe charlas esto permite un mejor desempeño en sus nivel de ventas y cree además que por cada hora adicional de charla su rendimiento se incrementa en más de un punto porcentual. Utilizando un nivel de significación del 5% ¿Qué puede concluir con respecto a la afirmación que hace el gerente de ventas?.
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Problema 7 Una empresa desea estimar la venta promedio de leche (miles de galones) para su próximo período. Para ello observa que hay dos variables que podrían estar influyendo: El gasto en publicidad (en cientos de dólares ) y el precio (en dólares). A continuación se muestra parte de una salida de minitab para este problema: Predictor Constante Gasto Publicidad Precio S = 1.50720
Coef. de EE 4.343 0.1337 2.196
Coef 16.406 0.5851 -8.248
R-cuad. = 93.2%
Análisis de varianza Fuente GL SC Regresión 2 217.70 Error residual 7 15.90 Total 9 233.60
T 3.78 4.38 -3.76
R-cuad.(ajustado) = 91.2%
MC 108.85 2.27
F 47.92
Usando un nivel de significación del 5%, conteste: a) Halle la ecuación de regresión lineal múltiple que sirva para explicar la venta de leche en función del precio y el gasto en publicidad. Interprete los coeficientes de regresión. b) ¿El modelo con las dos variables es significativo? c) ¿Ambas variables deben estar en el modelo?
Problema 8 Un distribuidor de cerveza está estudiando el sistema de reparto de su producto. Específicamente, el distribuidor está interesado en predecir el tiempo de servicio a un expendio al menudeo. El ingeniero industrial a cargo del estudio ha sugerido que los dos factores más importantes que intervienen en el tiempo de reparto son el número de cajas de cerveza que se entregan (X 1) y la distancia que debe recorrer el repartidor (X 2). El ingeniero recopiló la muestra de tiempos de reparto que aparece en la tabla siguiente: Número de cajas Distancia (km) Tiempo (min.)
10 15 10 20 25 18 12 14 16 22 24 17 13 30 24 30 25 40 18 22 31 26 34 29 37 20 25 27 23 33 24 27 29 31 25 33 26 28 31 39 33 30 25 42 40
Al procesar la información con el Minitab, se obtiene: Regression Analysis: TIEMPO versus Nº DE CAJAS, DISTANCIA
The regression equation is TIEMPO = 2.31 + 0.877 Nº DE CAJAS + 0.456 DISTANCIA Predictor
Constant Nº DE CA DISTANCI S = 3.141
Source Regression Residual Error
Coef
SE Coef
2.311 0.8772 0.4559
T
5.857 0.1530 0.1468
R-Sq = 73.7%
0.39 5.73 3.11 R-Sq(adj) = 69.3%
Analysis of Variance DF SS MS 2 331.36 165.68 12 118.37 9.86 Total
14 449.73
F 16.80
