233125060-Desarrollo-de-Ejercicios-de-Resistencia-de-Materiales.docx

DESARROLLO DE EJERCICIOS DE RESISTENCIA DE MATERIALES CAP. 8 Los problemas problemas de la sección 8.5 se deben resolver suponiendo suponien do que las estructuras se comportan linealmente elásticas y que los esfuerzos generados por dos o más cargas se pueden superponer para obtener los esfuerzos resultantes resultantes que actúan en un punto. Considere los esfuerzos cortantes en el plano y fuera del plano a menos que se especique lo contrario

8.5.1 Una mé méns nsul ula a ABC BCD D co con n se secc cc! !n n "# "#a ans ns$e $e#s #sa al

c#cul c#c ula# a# co cons nss s"e "e %e un &# &#a' a'o o $e $e#" #"c cal al AB AB(( un &# &#a' a'o o )o#'on"al BC *a#alelo al e+e ,-  un &#a'o )o#'on"al CD *a#alelo al e+e '- /consul"e la 0u#a2. Los &#a'os BC  CD "enen lon"u%es &1 3 4. 6  &73 7.7 "( #es*ec"$amen"e. Los %9me"#os e,"e#o# e n"e#o# %e la ménsula son %73 :.5 n  %13 .8 n. Una ca#a $e#"cal P 3 1;-- I& ac"
.-

&1

&7

B P

A 'SOLUCION= b1= 3.6 f t , b2=2.2 f t , P=1400 lb,d 2= 7.5 ∈,d 1= 6.8 ∈¿

 A =

 I =

π 

 ( d 4

2 2

π 

 ( d 64

−d 12) =7.862 ¿2

4 2

− d 14 )=50.36 ¿ 4

!"#$ %&!'(C"L ")  M = P √ b1 + b2 =7.088 x 10 lb . ∈¿ 2

2

4

 '&*+($* ,"-(,") σ t =

− P  A

d2  M (  )

+

2

 I 

=5100 psi

,-

C$,!&+($* ,"-(,") σ C =

− P  A

d2  M (  )

−

2

 I 

=−5456 psi

,"-(,$ &+/0&!#$ C$!'"*'&) τ max =|σ c|; τ max =5456 psi ←

8.5.7 Una !n%ola %e un "eleé#co es"9 so*o#"a%a *o#

%os &#a'os %o&la%os( como se mues"#a en la 0u#a. Ca%a &#a'o "ene una e,cen"#c%a% & 3 18- mm %es%e la l>nea %e acc!n %e la ue#'a %el *eso ?. Los esue#'os *e#ms&les en los &#a'os son 1-- MPa en "ens!n  5- MPa en co#"an"e. S la !n%ola *esa 17 @N( cu9l es el %9me"#o m>nmo % %e los &#a'os

?

% %

?

? SOLUCION= b =180 mm,W =

12 kN  =6 kN  2

σ  permisible=100 MPa ( tension ) , σ  permisible=50 MPa

% %

% d min

&*C$*'!"!

 A =

πd 4

2

, =

πd

)

3

32

,"-(," '&*+($*)

?

σ t =

−W   M  4 W  32 Wb + = 2+ 3  A



πd

πd

? o

( )  π σ t 

4 W 

3

d − d −8 b =0

%

+0+'('0(,$+ L$+ %"L$!&+)

( )  π σ t 

4 W 

=

πσ  permisible 4 x 6 kN 

=13.08997 x

?

1

m

2

8 b = 1.44 m

13.090 d

3

−d −1.44 = 0 , ( d =metros )

= 0.04845 m

∴ d min

,"-(,$ &+/0&!#$ C$!'"*'& ) σ t  τ max =  ; 2

1iámetro m2nimo por cizallamiento es el mismo que para la esfuerzo de tensión

8.5.4 Un "u&o )ueco *a#a *e#o#ac!n en un *o'o

*e"#ole#o /consul"e la 0u#a2 "ene un %9me"#o e,"e#o# %e .7 n  es*eso# %e -.:5 n. Jus"o a##&a %e la &#oca( la ue#'a %e com*#es!n en el #a&o /%e&%a al *eso %el "u&o2 es 7 @  el *a# %e "o#s!n /%e&%o al %s*os"$o %e *e#o#ac!n2 es 185 @n. De"e#mne los esue#'os m9,mos %e "ens!n( com*#e s!n  co#"an"e en el "u&o %e *e#o#ac!n.

SOLUCIN=  P= !"er#a de compresion

$ =$or%"e

d 2=diametro exterior d 1=diametro interior  P=62 k , $ =185 k . ∈ ,d 2 =6.2∈ , t =0.75 ∈ , d 1=d 2 −2 t = 4.7 ∈¿

 A =

π 

 ( d 4

 I  P=

2 2

−d 12) =12.841 ¿2

π 

(d 32

4 2

− d14 )= 97.16 ¿4

&* L" +0&!/(C(& &-'&!($! σ  & =

− P

=−4828 psi

 A

σ  x =0 d2 $ (  ) τ  x& =

2

 I  P

=5903 psi

 '&*+($* !(*C("L σ  x −σ  & 2

σ 1=

¿ ¿ σ  x + σ  & 2

σ  x − σ  & 2

σ 2=

¿2+ τ  x&2

+ √ ¿

¿2 + τ  x&2

¿ ¿ σ  x + σ  & 2

−√ ¿

,"-(," &+/0&!#$ 1& '&*+($*) σ t =σ 1 =3963 psi ←

,"-(," &+/0&!#$ 1& C$,!&+($*) σ c = σ 2=−8791 psi ←

,"-(,$ &+/0&!#$ C$!'"*'&) σ  x − σ  & 2

¿2 + τ  x&2

¿ ¿ τ max =√ ¿

NOTA= 1ebido a los esfuerzos principales tienen signos opuestos3 el má4imo esfuerzo cortante en el plano es mayor que la má4ima esfuerzo de tensión fuera de plano.

Un semen"o %e un e+e %e un ene#a%o# es"9 some"%o a un *a# %e "o#s!n T a una ue#'a a,al P( como se mues"#a en la 0u#a. El e+e es )ueco /%9me"#o e,"e#o# %7 3 4-- mm  %9me"#o n"e#o# %1 3 75mm2  sumns"#a 18-- @? a ;.- '. 8.5.4

S la ue#'a %e com*#es!n P 3 5;- @N( cu9les son los esue#'os m9,mos %e "ens!n( com*#es!n  co#"an"e en el e+e

SOLUCION=

 P= !"er#a de compresion  P0= 'ner(ia , f =frec"encia

$ =$or%"e =

P0 2 πf 

d 2=diametro exterior d 1=diametro interior  P=540 k N , P0=1800 kW , 4

f =4 )# ,$ =7.162 x 10  N .m , d 2=300 mm,d 1=250 mm

 A =

 I  P=

π 

 ( d 4

2 2

−d 12) =2.16 x 104 mm2

π 

(d 32

4 2

− d14 )= 4.117 x 108 mm 4

&* L" +0&!/(C(& &-'&!($! σ  & =

− P

=−25.002 MPa

 A

σ  x =0 d2 $ (  ) τ  x& =

2

 I  P

=26.093 MPa

 '&*+($* !(*C("L σ  x −σ  & 2

σ 1=

¿ ¿ σ  x + σ  & 2

σ  x − σ  & 2

σ 2=

¿2+ τ  x&2

+ √ ¿

¿2 + τ  x&2

¿ ¿ σ  x + σ  & 2

−√ ¿

,"-(," &+/0&!#$ 1& '&*+($*) σ t =σ 1 =16.432 MPa ←

,"-(," &+/0&!#$ 1& C$,!&+($*) σ c = σ 2=−41.434 MPa ←

,"-(,$ &+/0&!#$ C$!'"*'&)

σ  x − σ  & 2

¿2 + τ  x&2

¿ ¿ τ max =√ ¿

NOTA= 1ebido a los esfuerzos principales tienen signos opuestos3 el má4imo esfuerzo cortante en el plano es mayor que la má4ima esfuerzo de tensión fuera de plano.

Un semen"o %e un e+e %e un ene#a%o# con secc!n "#ans$e#sal )ueca es"9 some"%o a un *a# %e "o#s!n T 3 7;- @n. /Consul"e la 0u#a2. Los %9me"#os e,"e#o# e n"e#o# %el e+e son 8.- n  .75 n( #es*ec"$amen"e. 8.5.5

Cu9l es la ca#a %e com*#es!n m9,ma P Fue se *ue%e a*lca# al e+e s el esue#'o co#"an"e *e#ms&le en el *lano es " 3 75- *s

SOLUCION=

 P= !"er#a de compresion

$ =$or%"e d 2=diametro exterior d 1=diametro interior $ =240 k . ∈ , d2 =8 ∈ , d 1=6.25 ∈¿

 A =

 I  P=

π 

 ( d 4

2 2

−d 12) =19.586 ¿2

π 

(d 32

4 2

− d14 )=252.321 ¿ 4

&* L" +0&!/(C(& &-'&!($!  P σ  & =  A σ  x =0 d2 $ (  ) τ  x&=

2

 I  P

=3805 psi

,-(,$ &+/0&!#$ C$!'"*'&) σ  x − σ  & 2

¿2 + τ  x&2

¿ ¿ τ max =√ ¿

τ max = τ  promedio

2

2

4

τ  max −τ   x& ¿

¿ ¿ σ  & =√ ¿

 P=σ  & A , P=194.2 k ←

*$'") &l esfuerzo má4imo de corte en el plano es más grande que el má4imo esfuerzo de corte fuera de plano.

8.5.6 Un "u&o $e#"cal en un ss"ema %e a&as"ecmen"o %e aua /consul"e la 0u#a2 "ene 17 n %e %9me"#o   n %e es*eso#. Dos "u&os )o#'on"ales "oman aua %el "u&o $e#"calG ca%a uno nene 7 " %e %9me"#o  1 n %e es*eso#. Cuan%o el ss"ema es"9 ce##a%o  el aua llena los "u&os *e#o no se mue$e( el esue#'o c#cune#encal en la *a#"e ne#o# %el "u&o es %e 14- *s. a2 Cu9l es la al"u#a h %el aua en el "u&o $e#"cal &2 S los on%os %e los "u&os es"9n a la msma ele$ac!n Fue el on%o %el "u&o( cu9l es el esue#'o c#cune#encal en los "u&os

DONDE=

d =12 ft =144 ∈ , r =72 ∈ , t =6 ∈¿

) * =62.4

 lb 3

ft 

=

 62.4 3 lb /¿ 1728

σ 1= tension circ"nsferencialen la parte inferior delt"bo +ertical=130 psi

a2 ENCONTRAR LA ALTURA  DEL AHUA EN EL TUBO ERTICAL  P= presionen el fondo del t"bo +ertical= *

or equivalencia)

σ 1 . t   Pr *r σ 1= = o = t  t  *r

"stit"imos los +alores n"mericos :

6 ∈¿

¿ 72 ∈¿ ¿

( )  62.4 lb 1728

¿3

¿

130 psi ¿

 =¿  =25 ft ←

&2 SI LOS ONDOS DE LOS TUBOS ESTKN A LA MISMA ELEACIN UE EL ONDO DEL TUBO( CUKL ES EL ESUERO CIRCUNERENCIAL EN LOS TUBOS d 1=2 ft =24 ∈ , r 1=12 ∈ , t 1=1.0 ∈¿

Encon"#a# la "ens!n σ 1   c#cune#encal en las "u&e#>as( Da%o Fue los "u&os son 7 *es %e %9me"#o( la *#oun%%a% %e aua *a#a el cen"#o %e los "u&os es %e a*#o,ma%amen"e 7; *es 1=24 ft =288 ∈ , p1= * 1 288 ∈¿

 P1 r 1 * 1 r 1 σ 1= = , t 1 t 1

¿ 12 ∈¿ ¿ 1.0 ∈¿=125 psi

 'nbase a la presi-nmedia en las t"beras : σ 1 / 125 psi ←

8.5.: Un "anFue cl>n%#co con e,"#emos )emsé#cos es"9 cons"#u%o con seccones %e ace#o sol%a%as c#cune#encal men"e /consul"e la 0u#a2. El %9me"#o %el "anFue es 1.75 m( el es*eso# %e *a#e% es 77 mm  la *#es!n n"e#na es 1:5- @Pa. a2 De"e#mne el esue#'o %e "ens!n m9,mo σ  en los e,"#emos %el "anFue. &2De"e#mne el esue#'o %e "ens!n m9,mo σ c en la *a#"e cl>n%#ca %el "anFue.

c2 De"e#mne el esue#'o %e "ens!n σ 0  Fue ac"n%#ca %el "anFue.

C$+'0!"+ +$L1"1"+

Soluc!n= d d =1.25 m , r =  , t =22 m m , p =1750 2Pa 2

a2 DETERMINE EL ESUERO DE TENSIN MKIMO σ 

EN LOS ETREMOS DEL TANUE .  pr σ  =  1 . σ =24.9 Mpa ← 2 t 

&2DETERMINE EL ESUERO DE TENSIN MKIMO EN LA PARTE CILNDRICA DEL TANUE. σ c =

 pr 1 . σ c = 49.7 Mpa← t 

σ c

c2 DETERMINE EL ESUERO DE TENSIN σ 0 UE ACTA PERPENDICULAR A LAS UNIONES SOLDADAS.  pr σ 0 =  1 . σ 0 =24.9 Mpa← 2 t 

%2DETERMINE EL ESUERO CORTANTE MKIMO LOS ETREMOS DEL TANUE.

τ 

EN

 pr τ  =  1 . τ =12.43 Mpa ← 4 t 

e2 DETERMINE EL ESUERO CORTANTE MKIMO LA PARTE CILNDRICA DEL TANUE. τ c =

τ c

 EN

 pr  1 . τ c =24.9 Mpa← 2 t 

8.5.8 Un "anFue cl>n%#co con %9me"#o % 3 18 n es"9

some"%o a una *#es!n %e as n"e#na * ;5- *s. El "anFue es"9 cons"#u%o con seccones %e ace#o Fue es"9n

sol%a%as

c#cune#encalmen"e

/consul"e

la

0u#a2. Los e,"#emos %el "anFue son )emsé#cos. Los esue#'os %e "ens!n  co#"an"e *e#ms&les son 87-*s  4--- *s( #es*ec"$amen"e. A%em9s( el esue#'o %e "ens!n *e#ms&le *e#*en%cula# a la sol%a%u#a es 75- *s.

De"e#mne el es*eso# m>nmo #eFue#%o

t min

 %e /a2 la

*a#"e cln%#ca %el "anFue  /&2 %e los e,"#emos )emsé#cos. SOLUCION= d d =18 ∈ , r =  , p =450 psi 2

σ  permisible= 8200 psi ( tension ) τ  permisible=3000 psi ( compresion ) σ a =6250 psi ( tension )

a2

LA PARTE CILNDRICA DEL TANUE σ max =

t min=

 pr t  pr

σ  permisible

=0494 ∈¿

Corte)  pr τ max =

2 t 

t min=

pr τ  permisible

 7)  pr σ a = 2 t 

=0.675 ∈¿

t min=

 pr =0.324 ∈¿ σ a

∴ t min

&2

=0.675 ∈ ←

DE LOS ETREMOS EMISQRICOS  '&*+($*)  pr σ max = 2 t 

t min=

pr 2 σ  permisible

=0.247 ∈¿

C$!'&)  pr τ max = 4 t  t min=

pr 4 τ  permisible

=0.338 ∈¿

t min= 0.338 ∈←

8.5. Un "anFue *#esu#'a%o %e ace#o es"9 cons"#u%o

con una sol%a%u#a )elco%al Fue o#ma un 9nulo a 3 55 con el e+e lon"u%nal /consul"e la 0u#a2. El

"anFue "ene #a%o # 3 -. m( es*eso# %e *a#e% " 3 18 mm  *#es!n n"e#na * 3 7.8 MPa. A%em9s( el ace#o "ene m!%ulo %e elas"c%a% E 3 7-- HPa  #elac!n %e Posson $ 3 -.4-. De"e#mne las can"%a%es suen"es *a#a la *a#"e cl>n%#ca %el "anFue. a2 Los esue#'os c#cune#encal  lon"u%nal. &2Los esue#'os co#"an"es m9,mos en el *lano  ue#a %el *lano. c2 Las %eo#macones c#cune#encal  lon"u%nal. %2Los esue#'os no#mal  co#"an"e Fue ac"
SOLUCION= 3 =55 4 ,r =0.6 m ,t = 18 mm

 p=2.8 MPa , '=200 5Pa,+=0.3

a2 LOS ESUEROS CIRCUNERENCIAL  LONHITUDINAL &sfuerzos circunferenciales) σ 1=

 pr 1 . σ 1= 93.3 MPa ← t 

&sfuerzos longitudinales) σ 2=

 pr  1 σ 2=46.7 MPa ← 2 t 

&2 LOS ESUEROS CORTANTES MKIMOS EN EL PLANO   UERA DEL PLANO. /uera del plano) σ 1−σ 2 τ 1= 1. τ 1 =23.3 MPa ← 2

1entro del plano) τ 2=

σ 1 2

1 . τ 2=46.7 MPa ←

c2 LAS DEORMACIONES LONHITUDINAL. 1eformaciones circunferenciales) 6 1=

σ 1 2 '

( 2 −+ ) 1 6 1=3.97 x 10−4 ←

1eformaciones longitudinales)

CIRCUNERENCIAL

 

62 =

σ 2  '

 ( 1−2 + ) 1 62= 9.33 x 10−5 ←

%2 LOS ESUEROS NORMAL  CORTANTE UE ACTAN SOBRE PLANOS PARALELOS  PERPENDICULARES A LA SOLDADURA /MUESTRE ESTOS ESUEROS EN UN ELEMENTO DE ESUERO ORIENTADO DE MANERA APROPIADA2. 7= 90 4 −3 1 . 7 =35 4 

σ  x =σ 2 , σ  x =46.67 MPa , σ  & =σ 1 σ  & =93.333 MPa , τ  x& =0 7=35 4  :

Para

σ  x 1 =

σ  x + σ  & σ  x −σ  &

τ  x 1 & 1=

+

2

−σ  x −σ  & 2

2

. cos2 7 + τ  x& sin2 7 =62 MPa←

. sin2 7 + τ  x& cos2 7 =21.9 MPa ←

σ  & 1= σ  x + σ  & −σ  x 1=78 MPa←

8.5.1- Resuel$a el *#o&lema an"e#o# *a#a un "anFue

sol%a%o con a 3 7( # 3 1 n( " 3 -.5 n( * 3 7;- *s( E 3 4-  1- *s  $ 3 -.4-.

SOLUCION= 3 =62 4 , r =19 ∈ ,t =0.65 ∈¿ 6

 p= 240 psi , ' = 30 x 10  psi, + =0.3

a2 LOS ESUEROS CIRCUNERENCIAL  LONHITUDINAL

&sfuerzos circunferenciales) σ 1=

 pr 1 . σ 1=7015 psi← t 

&sfuerzos longitudinales) σ 2=

 pr  1 σ 2=3508 psi ← 2 t 

&2 LOS ESUEROS CORTANTES MKIMOS EN EL PLANO   UERA DEL PLANO. /uera del plano) τ 1=

σ 1−σ 2 2

1. τ 1 =1754 psi ←

1entro del plano)

τ 2=

σ 1 2

1 . τ 2=3508 psi ←

c2 LAS DEORMACIONES LONHITUDINAL. 1eformaciones circunferenciales)

CIRCUNERENCIAL

 

6 1=

σ 1 2 '

( 2 −+ ) 1 6 1=1.988 x 10−4 ←

1eformaciones longitudinales) 62 =

σ 2  '

 ( 1−2 + ) 1 62= 4.68 x 10−5 ←

%2 LOS ESUEROS NORMAL  CORTANTE UE ACTAN SOBRE PLANOS PARALELOS  PERPENDICULARES A LA SOLDADURA /MUESTRE ESTOS ESUEROS EN UN ELEMENTO DE ESUERO ORIENTADO DE MANERA APROPIADA2. 7= 90 4 −3 1 . 7 =62 4 

3

σ  x =σ 2 , σ  x =3.508 x 10  psi , σ  & = σ 1

3

σ  & =7.015 x 10  psi , τ  x&=0

Para

σ  x 1 =

7= 35 4  :

σ  x + σ  & σ  x −σ  &

τ  x 1 & 1=

+

2

−σ  x −σ  & 2

2

. cos2 7 + τ  x& sin2 7 = 4281 psi←

. sin 2 7 +τ  x& cos2 7 =1454 psi←

σ  & 1= σ  x + σ  & −σ  x 1=6242 psi ←

8.5.11 Una $a en $ola%'o con secc!n "#ans$e#sal

#ec"anula# es"9 some"%a a una ca#a concen"#a%a P 3 1: @ Fue ac"
2

co#"an"e m9,mo τ max en el *un"o A. Mues"#e es"os esue#'os en &osFue+os %e elemen"os o#en"a%os %e mane#a a*#o*a%a.

P

A

) &

C

SOLUCION=  P=17 k , c = 2.5 f t , b=3 ∈ , d = 9 ∈ , =12 ∈ , + = 0.3

 '&*+($* &* &L 0*'$ ")

%

3

 I =

b

4

1 . I =432 ¿

12

5

 M =− Pc , M =−5.1 x 10 lb −¿ 4

8 =− P ,8 =1.7 x 10 lb  & A =

σ  x =

− 2

− M & A

3

, σ  x =3.542 x 10  psi

 I 

9=bd .

τ =

+ d , & A =3 ∈¿

( )  2

−

d 2

3

,9 =40.5 ¿

89 , τ =531.25 psi , τ  x&= τ   Ib 3

σ  x =3.542 x 10  psi , σ  & = 0 , τ  x& =531.25 psi

 '&*+($*&+ !(*C("L&+ tan ( 2 7 P )=

1 2

2 τ  x&

σ  x −σ  &

7 p=  3 tan

"!")

(

= 0.3

2 τ  x&

σ  x − σ  &

)

,7 p=8.35 4 

71=7 P , 71=8.35 4 

σ  x 1 =

σ  x + σ  & σ  x −σ  & 2

+

2

. cos2 71 + τ  x& sin2 71 =60.306 MPa←

72= 90 4 + 7 P , 72=98.35 4 

"!")

σ  x 2=

σ  x + σ  & σ  x −σ  &

+

2

2

. cos2 72 + τ  x& sin2 7 2=−77.971 MPa ←

or lo tanto) σ 1= σ  x 2 ,7 P 1=7 2 , σ 2 =σ  x 1 , 7 P 2 =71 σ 1=−78 psi, 7 P 1=98.4 4  σ 2= 3620 psi ,7 P 2= 8.35 4 

 '&*+($* ,"-(," 1& C$!'&) σ  x − σ  & 2

¿2 + τ  x&2

¿

τ max =√ ¿ τ max =1849 psi← 7 x 1=7 P 1− 45 4 ,7 x 1=53.4 4 ← 7 x 2=7 x 1 + 90 4 ,7 x 2=143.4 4 ←

σ  promedio=

σ  x + σ  & 2

, σ  promedio=1771 psi

Resuel$a el *#o&lema an"e#o# con los suen"es %a"os= P 3 14- @N( & 3 8- mm( ) 3 7- mm( c 3 -. m  % 3 77- mm. 8.5.17.

P

A

) &

C

%

SOLUCION=  P=130 k N , c = 0.6 m, b =80 mm,d =220 mm,= 260 mm,+ =0.3

 '&*+($* &* &L 0*'$ ") 3

 I =

b

12

8

4

1 . I =1.172 x 10 mm

4

 M =− Pc , M =−7.8 x 10  N . m

5

8 =− P ,8 =1.3 x 10  N   & A =

σ  x =

− 2

− M & A

, σ  x =59.911 MPa

 I 

9=bd .

τ =

+ d , & A =90 mm

( )  2

−

d 2

5

3

,9 =3.52 x 10 mm

89 , τ =4.882 MPa , τ  x&=τ   Ib

σ  x =59.911 MPa , σ  & =0 , τ  x& = 4.882 MPa

 '&*+($*&+ !(*C("L&+ tan ( 2 7 P )=

1 2

2 τ  x&

σ  x −σ  &

7 p=  3 tan

"!")

(

2 τ  x&

σ  x − σ  &

)

,7 p=4.628 4 

71=7 P , 71=4.628 4 

σ  x 1 =

"!")

= 0.163

σ  x + σ  & σ  x −σ  & 2

+

2

. cos2 71 + τ  x& sin2 71 =60.306 MPa←

72= 90 4 + 7 P , 72=94.628 4 

σ  x 2=

σ  x + σ  & σ  x −σ  &

+

2

2

. cos2 72 + τ  x& sin2 7 2=−0.395 MPa ←

or lo tanto) σ 1= σ  x 2 ,7 P 1=7 2 , σ 2 =σ  x 1 , 7 P 2 =71 σ 1= 60.3 MPa , 7 P 1=4.63 4  σ 2=−0.395 MPa , 7 P 2 =94.6 4 

 '&*+($* ,"-(," 1& C$!'&) σ  x − σ  & 2

¿2 + τ  x&2

¿ τ max =√ ¿

τ max =30.4 MPa ← 7 x 1=7 P 1− 45 4 ,7 x 1=−40.4 4 ← 7 x 2=7 x 1 + 90 4 ,7 x 2=49.6 4 ←

σ  promedio=

σ  x + σ  & 2

, σ  promedio=30.0 Mpa

La &a##a c#cula# no *#sm9"ca en $ola%'o Fue se mues"#a "ene un au+e#o cl>n%#co n"e#no %e - a ,( %e mane#a Fue el momen"o *ola# %e ne#ca %e la secc!n "#ans$e#sal *a#a el semen"o 1 es /:82IP. El *a# %e

8.5.14

"o#s!n T se a*lca en ,  el *a# %e "o#s!n T7 se a*lca en , 3 L. Su*ona Fue H es cons"an"e. /a2 Encuen"#e el momen"o %e #eacc!n RV. /&2 Encuen"#e los momen"os "o#sonales n"e#nos TW en los semen"os 1  7. /c2 Encuen"#e , #eFue#%a *a#a o&"ene# una "o#s!n en el *un"o 4 %e X4 3 TLHIP /%2 Cu9l es la #o"ac!n en el *un"o 7(X7  /e2 T#ace el momen"o "o#sonal /TMD= TV,2( - Y , Y L2  los %a#amas %el %es*la'amen"o /TDD= Y*/,2 - Y ,Y L2.

SOLUCIN=

/a2Momen"o %e #eacc!n R1=

∑ M  =0 : : =−( $ + $ 2 ) : = −23 $  1

 x

1

/&2Momen"os "o#sonales n"e#nos en los semen"os 1  7= $ =− : 1 $ 1=1.5 $ $ 2 =

$  2

/c2 #eFue#%a *a#a o&"ene# una "o#s!n en el *un"o 4 = ∅3

=∑

$ i 5 I  Pi

$  ( x ) $  ( − x ) $ = 1 + 2 5 I  P 5 I  P 7 5  I  P

( ) 8

$; = 5 I  P

 

( ) +( )( − ) ( ) $ 

3 $  ( x ) 2

5

2

 ;  x

5 I  P

7  I  P 8

(= ) ( ) + ( − ) () () 3  x 2

1    x 2

7 8

 =

17 ( x ) 14

()

+

1 ( x ) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ donde : x = 7   2 17

/%2Ro"ac!n en el *un"o 7 =

=

∅2

( )( ) ( ) ( )

$ 1 ( x ) 5

7  I  P 8

=

3 7 $   ; 2 17

5

7  I  P 8

∅2

=

12 $ 17 5 I  P

/e2T#a'o %el momen"o "o#sonal ( se
8.5.1;

∅2

en el *un"o 7 

∅3

en el *un"o 4.

Un

"u&o

uno#memen"e a)usa%o AB con secc!n "#ans$e#sal c#cula# se mues"#a en la 0u#a. El "u&o "ene es*eso# %e *a#e% cons"an"e "  lon"u% L. Los %9me"#os *#ome%o en los e,"#emos son %A  %B37%A. El momen"o *ola# %e ne#ca se *ue%e #e*#esen"a# me%an"e la !#mula a*#o,ma%a IP3Z%4"; /consul"e la ecuac!n 4.182. De%u'ca una !#mula *a#a el 9nulo %e "o#s!n X%el "u&o cuan%o se some"e a *a#es %e "o#s!n T Fue ac"
SOLUCIN= t =espesor de pared constante

d A , d < =diamterosenlos extremos d < =2 d A 3

 I  P=

π d t  4

( f-rm"la aproximada )

Anulo %e "o#s!n=

Tomamos el o#en %e las coo#%ena%as en el *un"o - . d ( x ) =

x  x d < )= ( d A ) ( 2 ;  ; π [ d ( x ) ] t  πt d A 3

  p ( x )=

4

=

3

4 

3

x

3

Pa#a elemen"o %e lon"u% %,)

$ dx d ∅= = 5 I  P ( x )

2 

=∫ d ∅=

∅

 

=

∅

3

$ dx 5

4$ 

( )  πt d A 4  ;

 x

3

3

3

π 5 t d A  x

3

2 

3

π5 t d A

=

3

4 $ ; dx

3

∫  xdx 3

 

3 $; 2 π 5 t d A

3

8.5.15 En la 0u#a se mues"#a un "u&o %e una aleac!n %e

alumno uno#memen"e a)usa%o AB con secc!n "#ans$e#sal c#cula#  lon"u% L. Los %9me"#os e,"e#o#es en los e,"#emos son %A  %B 3 7%A. Una secc!n )ueca con lon"u% L7  es*eso# cons"an"e " 3 %A1- es"9 o#ma%a en el "u&o  se e,"en%e %es%e B )as"a la m"a% %el "u&o )aca A. Encuen"#e el 9nulo %e "o#s!n X %el "u&o cuan%o se some"e a *a#es %e "o#s!n T Fue ac"
SOLUCIN

PARTE /A2= U"l'a# , como $a#a&le %e n"e#ac!n me%%o %es%e B )aca A. Des%e B )aca la *a#"e cen"#al D9me"#o e,"e#o# e n"e#o# en unc!n %e ,=

(

 

0 = x =  : d o ( x )=d <− 2

 d<− d A  

)

 x

 x d A d o ( x ) =2 d A−   d i ( x )= ( d < −2 t )− d i ( x )=

−1 5

d A

(

( 2 d A− 2 t )−( d A−2 t )  ;

−9 ; + 5 x  ;

Sol%o %el cen"#o )aca A=  x d A    = x=  : d o ( x ) =2 d A − 2  

(

  2

( )∫

$  32 ∅= 5 π 

0

 

1 4

d 0 −d i

Rem*la'an%o=

4

∫ d1

 dx +

  2

0

4

dx

)

)

 x

[(  ;

( )∫

$  32 ∅= 5 π 

= $ 

∅

2

0

( )( 32

5 π 

 ;

1

 x d A

2 d A −

 ;

) −( 4

−1 5

d A

−9 ; + 5 x  ;

)

4

∫

dx +

 ; 2

1

(

 )

 x d A

2 d A −

 ;

=

2

d A

4

2

d A

16 $; 4

81 5 πd A

(

38 + 10125 ln

(

71117 70952

))=

3.868

4

$; 5 d A

4

Rem*la'an%o los suen"es %a"os encon"#amos 6

 = 48 ∈. 5=3.9 x 10  psi d A= 2.5 ∈¿ t = ∅a

d A 10

$ = 40000 ∈. lb

=0.049 rad . ≅ 2.79 ?

PARTE /B2DIAMETRO DEL AHUJERO CONSTANTE

(

 

0 = x =  : d o ( x )=d <− 2

 d<− d A  

)

 x d A  x d o ( x )=2 d A− d ( x )=d A   i

 x d A    = x=  : d o ( x ) =2 d A − 2  

(

$  32 ∅= 5 π 

(

 ; 2

) ∫d 0

 ;

1 4 0

−d i

∫ d1  dx

 dx + 4

4

 ;

0

2

[(

)

 ;

(

$  32 ∅= 5 π 

 dx

]

−125  3 ln ( 2 ) + 2 ln ( 7 ) −ln ( 197 ) − 125  −2 ln ( 19 ) + ln ( 181 ) +

Sm*l0can%o= ∅a

4

2

)∫ 0

 ;

1

 ) −(

 x d A

2 d A −

 ;

∫

dx +

4

4

d A )

 ; 2

1

(

 x d A

2 d A−

 ;

)

4

 dx

]

∅

=

19 81 d A

4

 

)

=

∅

( )

(

ln ( 5 ) + 2 atan

$  32  1  ; 5 π  4

d A

4

( )− 3 2

1  ln ( 3 ) + 2 atan ( 2) 19  ;  ; + 4 4 4 d A 81 d A

)

Sm*l0can%o= ∅b

=3.057

$; 5 d A

Po# lo "an"o)

4

rempla#ando datos, setiene : ∅b= 0.039 rad ≅ 2.21 ?

∅a ∅b

=1.265 ( se conclue Fue el "u&o /a2 es m9s ]e,&le Fue

el "u&o /&2

8.5.1

Una &a##a no *#sm9"ca ABC con secc!n "#ans$e#sal

C#cula# s!l%a es"9 ca#a%a *o# *a#es %e "o#s!n %s"#&u%os /consul"e la 0u#a2. La n"ens%a% %e los *a#es %e "o#s!n( es %ec#( el *a# %e "o#s!n *o# un%a% %e %s"anca( se %eno"a "/,2  $a#>a lnealmen"e %e ce#o en A a un $alo# m9,mo T-Len B. El semen"o BC "ene un

*a#

%e

"o#s!n

lnealmen"e

%s"#&u%o

con

n"ens%a% "/,2 3 T-4L %e sno o*ues"o al a*lca%o a lo la#o %e AB. A%em9s( el momen"o *ola# %e ne#ca %e AB es el %o&le Fue el %e BC  el m!%ulo %e elas"c%a% en co#"an"e %el ma"e#al es H. /a2 Encuen"#e el *a# %e "o#s!n %e la #eacc!n RA. /&2 Encuen"#e los momen"os "o#sonales n"e#nos T/,2 en los semen"os AB  BC. /c2 Encuen"#e la #o"ac!n ^C. /%2 Encuen"#e el esue#'o co#"an"e m9,mo _m9,  su u&cac!n a lo la#o %e la &a##a.

/e2

T#ace el %a#ama %e momen"o "o#sonal

/TMD= T/,2( - ` , `L2

/a2Momen"o %e la #eacc!n R1 Ecuac!n %e eFul&#o=  : A +

( )( ) ( )( )

1 $ 0  ; 2  ; 2

 : A =

−

1  $ 0  ; 2 3 ; 2

∑ $ =0

6

/&2Momen"o "o#sonal n"e#no = $ 0 6

−

(

(

 x   2

() )

$ 0  x   2

)

$ 0  x 2   $  A< ( x )= − 2 $ 0 : 0 = x= 6   2

$ 
( )

−(  − x )  $ 0 ( − x )   2

3 

2

1 6

=0 : A + $ 0= 0

−$ 0

$  A< ( x )=

SOLUCIN=

[( ) ]

 x −  $ 
/c2Ro"ac!n en C=  ;

$  A< ( x )

2

=∫

∅C 

0

 ;

5 ( 2 I  p )

$ 
∫ 5 ( I  ) dx

dx +

 ;

 p

2

( ) [ ] ∫

$ 0  x 2

  2

−

6

$ 0 2

 x −  −  

 

  dx + 5 ( 2 I  p )  

=∫

∅C 

0

2

$ 0 3

5 ( I  p )

2

=

∅C 

=

∅C 

/%2

$ 0  48 5 I  p

−

$ 0  72 5 I  p

$ 0  144 5 I  p

M9,mos /or AB

2 I  P

/or C

I  P

 =

()

d A<

d
1 2

1 4

 

π   d A <

32

π   d A <

32

4

4

$ @ d A < 6

 At A . $ =$ d $ max=

6

π  32

$ max=

2

d A <

4

8 $ o 3 π d A <

3

 9usto al derec:o de < . $ =−$ d 12

dx

2

$ 0   :  = x=  3

2

$ max=

2.243 $ @

π d A <

3

8.5.1: Un alam&#e %e una aleac!n %e maneso con

%9me"#o %3;mm  lon"u% L #a %en"#o %e un "u&o ]e,&le a 0n %e a&## o ce##a# un n"e##u*"o# %es%e una u&cac!n #emo"a/consul"e la 0u#a2. Se a*lca un *a# %e "o#s!n manualmen"e /a sea en el sen"%o %e las manecllas %el #elo+ o con"#a#o a és"e2 en B( "o#cen%o as> el alam&#e %en"#o %el "u&o. En el o"#o e,"#emo A( la #o"ac!n %el alam&#e o*e#a una man+a Fue a&#e o ce##a el n"e##u*"o#. Se #eFue#e un *a# %e "o#s!n T- 3 -.7 Nm *a#a o*e#a# el n"e##u*"o#. La #%e' "o#sonal %el "u&o( com&na%a con la #cc!n en"#e el "u&o  el alam&#e( n%uce un *a# %e "o#s!n %s"#&u%o con n"ens%a% cons"an"e " 3 -.-; Nmm /*a# %e "o#s!n *o# un%a% %e %s"anca2 Fue ac"
"o#s!n ^/en #a%os2 en"#e los e,"#emos %el alam&#e

SOLUCIN

Da"os= d = 4 mm $ @ =0.2 N .m f =0.04

/a2

lon"u% m9,ma max $  perm. =30 MPa  '%"ilibrio : $ =t + $ @

τ max =

3

16 $ 

md

3

 $ =

π d τ max 16

3

t; + $ @=

π d τ max 16 3

π d τ max−16 $ @  ; =

1

;

 ¿

16 t 

3

π d τ  perm . −16 $ @  max =

1  ¿ 16 t 

;

+ustituyendo valores)  ;max =4 . 42 m

/&2

∅

Knulo %e "o#s!n  = 4 m5 =4 5Pa ∅1 :

n("lo de (iro debido al par t distrib"idas 2

∅1

∅2 :

π5 d

4

n("lode torsi-n debidoal tor%"e$  @ ∅2

∅:

=

16 t 

=

$ @  5 I  P

=

32 $ @ 

π5 d

4

n("lototal detorsi-n

= ∅1 + ∅2

∅

=

∅

16 

π5 d

4

(t + 2 $ @ )

+ustituyendo valores)

=2 . 971 rad =170 ?

∅

8.5.18Dos "u&os )uecos es"9n conec"a%os *o# un *asa%o#

en B Fue se nse#"a en un au+e#o Fue *asa *o# los %os "u&os enB /consul"e la $s"a %e secc!n "#ans$e#sal en B2. El "u&o BC es"9 a+us"a%o 0#memen"e en el "u&o AB *e#o no "ome en cuen"a nnuna #cc!n so&#e la n"e#a'. Los %9me"#os n"e#o#  e,"e#o# %el "u&o %W / 3 1( 7( 42  el %9me"#o %e *asa%o# %* es"9n %en"0ca%os en la 0u#a. El *a# %e "o#s!n T- se a*lca en C. El m!%ulo %e elas"c%a% en co#"an"e %el ma"e#al es H. o#mule e,*#esones *a#a el *a# %e "o#s!n m9,mo T-m9, Fue se *ue%e a*lca# en C *a#a ca%a una %e las con%cones suen"es.   El co#"an"e en el *asa%o# %e cone,!n es meno# Fue al
SOLUCIN=

/a2 T o max &asa%o en co#"e a%ms&le en el *un"o B &n  es de cizallamiento en la interface entre los dos tubos3 la fuerza pare
$ @

 8  τ  pes = d2  A 

$ @ τ  pes =

d2

 τ  pes=

( ) π d p

2

4 $ @

π d2 d p

2

4

$ @ ,max =τ  P , perm

(

 π d 2 d p

2

4

)

/&2  ' o max &asa%o en co#"e a%ms&le en los "u&os AB  BC  I  PA< =  I  PAC =

π  32

 π  32

(d

3

(d

2

4

4

−d 2 ) 4

− d1 ) 4

$ @ τ t"bo A< =

( ) d3 2

 I  PA<

$ @ τ t"bo A< =

π  32

τ t"bo A< =

( ) d3 2

(d

3

4

−d 2 ) 4

16 $ @ d 3

π ( d3 −d 2 ) 4

4

As> Fue &asa%o en el "u&o AB= $ @ ,max =τ  P ,allo0

[

 π ( d 3 −d 2 ) 4

4

16 d 3

]

  &asa%o en el "u&o BC= $ @ τ t"bo
π  32

τ t"bo A< =

( )

(d

d2 2

2

4

− d1 ) 4

16 $ @ d 2

π ( d2 −d 1 ) 4

$ @ ,max =τ  P , perm .

4

[

 π ( d 2 − d1 ) 4

16 d 2

4

]

/c2 Ma,. #o"ac!n en C &asa%os en o"#as co#"e a%ms&le en B o esue#'o co#"an"e *e#ms&le en "u&os. Ma,. Ro"ac!n &asa%a en co#"e a%ms&le en B. =

∅C 

$ @ ,max 5

(

; A

+

;<

 I  PA<  I  P
)

τ  P , perm . ∅Cmax

∅Cmax

=

(

2

 π d 2 d P 4

)

5

=τ  P , perm .

(

2

8 d 2 d P

5

[

; A π 

(d 32

)[ (

−d 2 ) 3 4

4

 A d 3 − d2 ) 4

+

4

+

;< π  32

(d

2

<

(d

24

−d 1 ) 4

4

−d 1 ) 4

]

]

Ma,. Ro"ac!n &asa%a en esue#'o co#"an"e a%ms&le en el "u&o AB 4

d 3 − d 2¿ 4

2¿

[(

¿

 A d 3 −d 2 ) 4

+

4

∅ Cmax

<

(d

24

−d 1 ) 4

¿ =τ  P , perm . ¿

]

Ma,. Ro"ac!n &asa%a en esue#'o co#"an"e a%ms&le en el "u&o BC 4

d 2 − d1¿ 4

2¿

[(

¿

 A d 3 −d 2 ) 4

4

+

<

(d

24

−d 1 )

¿ ∅Cmax = τ   P , perm ¿

4

]

8.5.1Un e+e )ueco %e alumno /consul"e la 0u#a2 "ene

un %9me"#o e,"e#o# %7 3 ;.- n  %9me"#o n"e#o# %13 7.- n. Cu9n%o se "ue#ce *o# los *a#es %e "o#s!n T( el e+e "ene un 9nulo %e "o#s!n *o# un%a% %e

%s"anca ual a -.5;". El m!%ulo %e elas"c%a% %el alumno es H  ;.-  1- *s.  De"e#mne el esue#'o %e "ens!n m9,mo bm9, en el e+e.  De"e#mne la man"u% %e los *a#es %e "o#s!n a*lca%os T.

SOLUCIN=

Da"os) d 2= 4.0 ∈ .d 1= 2.0 ∈7 =0.54 ? / ft  6

5= 4.0 B 10  psi

M9,moesue#'oco#"an"e τ max =5r7 d2 r =  = 2.0 ∈¿ 2

7=( 0.54 ? / ft )

( )( 1 ft  12 ∈ .

  πrad 180 de(ree

)

−6

7=785.40 B 10 rad /¿ . 6

−6

τ max =( 4.0 B 10  psi)( 2.0 ∈ . )( 785.40 B 10 rad /¿ . ) τ max =6283.2 psi

/a2

Esue#'o m9,mo %e "ens!n= σ max occ"rsona 45 ? plane ∧is a%"al ¿ τ max σ max = τ max= 6280 psi

/&2

Pa#es %e "o#s!n=

0sando la fórmula de torsión

$r τ max =  I  P

4.0 ∈ .

¿ ¿

¿=23.562 ¿ .4 $ =

τ max I  P r

I  P =

 π  32

¿

2.0 ∈¿

( 6283.2 psi ) ( 23.562 ¿4 ) $ = ¿ $ =74.000 lb −¿ .

DESARROLLO DE EJERCICIOS DE RESISTENCIA DE MATERIALES CAP.

Una $a sm*le con secc!n "#ans$e#sal #ec"anula# /anc)o ; n( al"u#a 1- n2 so*o#"a una ca#a uno#me %e 17-- l&" so&#e un %u#o %e 17 ] /consul"e la 0u#a2. σ  σ  Encuen"#e los esue#'os *#nc*ales  el .7.1

1

2

τ max esue#'o co#"an"e m9,mo en la secc!n "#ans$e#sal a 7 " %es%e el a*oo 'Fue#%o en ca%a una %e las u&cacones suen"es= /a2 en el e+e neu"#o( /&2 a 7 n a##&a %el e+e neu"#o  /c2 en la *a#"e su*e#o# %e la $a. /No "ome en cuen"a los esue#'os %e com*#es!n %#ec"os *#o%uc%os *o# la ca#a uno#me a*oa%a con"#a la *a#"e su*e#o# %e la $a.2

17-- l&" 1- n 7 "

SOLUCION= b =3 ∈ , =10 ∈ , A = b  I =

b

3

12

4

1 . I =333.33 ¿

lb % =1200  , c =2 f t , =12 ft  ft 

; n 17 "

 : A =

% 2

3

, : A=7.2 x 10 lb

2

 c 5  M = : A c −% , M =1.44 x 10 lb −¿ 2

3

8 = : A −% c , 8  = 4.8 x 10 lb

a2 EN EL EJE NEUTRO σ  x =0, σ  & = 0 , τ  x& =

−3 8  2 A

τ  x&=−180 psi σ 1=−τ  x& , σ 2=−σ 1 , τ max =σ 1

Corte:

σ 1=180 psi  psi ,σ 2=−180 psi τ max =180 psi←

C2 EN LA PAR ARTE TE SU SUPE PERI RIOR OR DE LA IHA.  

− M  σ  x =

2

 I 

3

,σ  x =−2.16 x 10  psi

&2 A 7 IN ARRIBA DEL EJE NEUTROσ  x =0 , τ  x&=0  & =2 ∈ , d = 3 ∈ ¿

σ  x =

− M&  I 

, σ  x =−864 psi,  psi, σ  & = 0

 '&*+($* &* 0*" 1(!&CC($*) σ 1= σ  =0 3

9=bd .

( )  2

− d , 9 =42 ¿3 2

σ 2= σ  x x =−2.16 x 10  psi σ  x 2

¿ 2+ τ  x&2

¿ τ max max =√ ¿

τ max =1080 psi←

τ  x& =

σ  x 2

−89  Ib

, τ  x& =−151.2 psi

¿2 + τ  x& 2 ¿

σ 1=

σ  x 2

+ √ ¿

σ 1= 25.7 psi ← σ  x 2

¿2 + τ  x&2

σ 2=

¿ σ  x x 2

−√ ¿

σ 2=−890 psi  psi ← σ  x 2

¿ 2+ τ  x&2 ¿

τ max max =√ ¿ τ max = 458 psi ←

Una a $ $a a AB ABC C co con n sa sal len en"e "e AB ABC C co con n un a* a*o oo o .7.7 Un ua%o ua% o en A " "ene ene se secc cc! !n n "# "#an ans$ s$e# e#sa sall #e #ec"a c"an nula ula##  ca#as concen"#a%as P en el a*oo A  en el e,"#emo l&#e C /consul"e la 0u#a2. La lon"u% %el cla#o %e A a B es L(  la lon"u% %e la salen"e es L7. La secc!n "#ans$e#sal "ene anc)o &  al"u#a ). El *un"o D es"9 u&ca%o a la m"a% en"#e los a*oos a una %s"anca % %es% %e s%e e la ca ca#a #a su su*e *e# #o# o# %e la $ $a a.. Sa Sa& &en en%o %o Fu Fue e el esue#'o %e "ens!n m9,mo /esue#'o *#nc*al2 en el

*un"o D es σ  3 45 MPa( %e"e#mne la man"u% %e la ca#a P. Los %a"os *a#a la $a son= L 31.:5 m( & 5mm( ) 3 7-- mm  % 3 ;- mm 1

P

P %

A D

C

B L7

L7

SOLUCION= l=1.75 m , b =50 mm,d = 40 mm, =200 mm

 '&*+($* ,"-(," &* &L 0*'$ 1) 3    :< =0 , M  A= P + P  , M  A =  P 2

 M  D =

 − 3 2 P

2

 

+ P =− P,  P , 8  D= P 2

 '&*+($* &* &* 0*'$ 1)  I =

b

3

12

7

4

1 . I =3.333 x 10 mm

) &

L7

  & = −d , & =60 mm 2

σ  x =

−(− P) & − M& −(− = = 3150 P . N / m2 , σ  & =0  I 

9=bd .

τ  x&=

 I 

( )  2

− d , 9 =1.6 x 105 mm3 2

89 2  = 96 P.  P . N / m  Ib

 '&*+($* !(*C("L !(*C("L σ  x −σ  & 2

σ 1=

¿2+ τ  x& 2

¿ ¿ σ  x + σ  & 2

+ √ ¿

Comoσ 1= 35 MPa , P=

 P=11.10 kN ←

σ 1 3.153 x 10

3

.7.4

Resuel$a el *#o&lema an"e#o# s el esue#'o 

las %mensones son= σ   3 7;5- *s( L 3 8- n( ) 3 7.5 n( ) 3 1- n  % 3 7.5 n. 1

P

P %

A D

C

B L7

L7

SOLUCION=  ;=80 ∈ , b =2.5 ∈ , d =2.5 ∈ , =10 ∈¿

 '&*+($* ,"-(," &* &L 0*'$ 1) 3    :< =0 , M  A= P + P  , M  A =  P 2

 M  D =

 − 3 2 P

2

 

+ P =− P, 8  D= P 2

 '&*+($* &* &* 0*'$ 1) 3

 I =

b

12

4

1 . I =208.33 ¿

) &

L7

  & = −d , & =2.5 ∈¿ 2

σ  x =

− M& −(− P) & 0.96 2 = =  P . lb /¿ ,σ  & =0  I 

9=bd .

τ  x& =

 I 

( )  2

− d ,9 =23.438 ¿3 2

89  = 0.045 P . lb /¿ 2  Ib

 '&*+($* !(*C("L σ  x −σ  & 2

σ 1=

¿2+ τ  x&2

¿ ¿ σ  x + σ  & 2

+ √ ¿

Comoσ 1= 2450 psi , P =

 P=2.55 k ←

σ 1 0.960

.7.; Una $a con secc!n "#ans$e#sal %e *a">n anc)o

/Consul"e la 0u#a2 "ene las %mensones suen"es= & 3 17- mm( " 3 1- mm( ) 3 4-- mm  ) 7- mm. La $a es"9 sm*lemen"e a*oa%a con lon"u% %el cla#o L 3 4.- m. Una ca#a concen"#a%a P 3 17- @N ac"
σ 1



σ 2

el

esue#'o co#"an"e m9,mo τ max   ( en ca%a una %e las u&cacones Suen"es= /a2 en la *a#"e su*e#o# %e la $a( /&2 en la *a#"e su*e#o# %el alma

&

" )1 )

SOLUCION=

P

 P=120 kN , ;=3 m , c =1 m

 Pc  P  M = =60 kN .m ,8 = =60 kN  2

2

b =120 mm,t =10 mm

C 7 8"

L 8" 17

 =300 mm, 1=260 mm

 I =

b

3

12

−

( b −t ) 13 12

=108.89 x 106 mm 4

a2 EN LA PARTE SUPERIOR DE LA IHA /A2

A

σ  x =

&

− Mc (60 kN m)( 150 mm ) = 108.89∗106 mm 4  I 

B

σ  x =82.652 MPa

" σ  & =0 , τ  x& =0

'

σ 1 =82.652 MPa σ 2=−82.7 MPa , τ max = 41.3 MPa

&2 EN LA PARTE SUPERIOR DEL ALMA /B2 σ  x =

− M& = −60 k N . m(130 mm ) =−71.63 MPa 6

 I 

108.86 x 10 mm

4

σ  & =0

c)

( )( )

9 =b

τ  x& =

−89  It 

σ  x − σ  & 2

σ 1,2 =

− 1

 + 1

2

4

=−18.51 MPa

¿2 + τ  x&2

¿ ¿ σ  x + σ  & 2

∓

3

3

, 9=336 x 10 mm

√ ¿

σ 1= 4.5 MPa , σ 2=−76.1 Mpa←

C

)1 )

σ  x − σ  & 2

¿2 + τ  x&2

¿ ¿ τ max =√ ¿

.4.1 Una $a con secc!n "#ans$e#sal %e *a">n anc)o

/consul"e la 0u#a2 "ene las %mensones suen"es= & 3 5 n(  3 -.5 n( ) 3 17 n  )1 3 1-.5 n. La $a es"9 sm*lemen"e a*oa%a con lon"u% %el cla#o L 3 1- "  so*o#"a una ca#a concen"#a%a F 3@". Calcule los esue#'os *#nc*ales

σ 1



σ 2

  el esue#'o

co#"an"e m9,mo τ max en la secc!n "#ans$e#sal u&ca%a a 4 " %es%e el a*oo 'Fue#%o en ca%a una %e las u&cacones suen"es= /a2 en la *a#"e ne#o# %e la $a( /&2 en la *a#"e ne#o# %el alma  /c2 en el e+e neu"#o.

SOLUCION=

F

L

7C 8"

17 8"

 k  % =6.0  , =10 ft =120 ∈ , c =3 ft =36 ∈¿ ft 

 M =

%c 2

2

−

%c 2

=756.000 lb. ∈, 8 =

% 2

−%c =12.000 lb

b =5 ∈ ,t = 0.5 ∈¿

 =12∈ , 1= 10.5∈¿

 I =

b

3

12

−

( b −t ) 13 12

=285.89 ∈4

a2 EN LA PARTE INERIOR DE LA IHA /A2 & −6 ∈¿ ¿ 756 lb. ∈¿ ¿ ¿ − Mc σ  x = =¿

"

 I 

)1 )

σ  x =15.866 psi σ  & =0 , τ  x& =0

'

C

σ 1=15.886 psi

B

σ 2= 0, τ max =7930 psi

&2 EN LA PARTE SUPERIOR DEL ALMA /B2 −5.25 ∈¿ ¿ 756 lb. ∈¿ ¿ ¿ − M& σ  x = =−¿  I 

σ  & =0

9 =b

τ  x&=

( )( ) − 1

 + 1

2

4

−89  It 

σ  x − σ  & 2

σ 1,2 =

, 9=21.094 ¿

=−1771 psi

¿2 + τ  x&2

¿ ¿ σ  x + σ  & 2

∓

√ ¿

σ 1=14.100 psi ,σ 2=−220 psi ← σ  x − σ  & 2

¿2 + τ  x&2

¿ ¿ τ max =√ ¿

c2 EN EL EJE NEUTRO

3

A

σ  x =0 , σ  & =0

9 =b

τ  x&=

( )( ) 



2

4

−89  It 

− ( b−t )

( )( )= 1

1

2

4

=−2349 psi

ara) σ 1= 2350 psi σ 2=−2350 psi τ max =2350 psi

27.984 ¿

3

.4.7 Una $a ? 7--  ;1.: %e *a">n anc)o /consul"e

la "a&la2( a*én%ce E2 es"9 sm*lemen"e a*oa%a  "ene un cla#o %e 7.5 m /consul"e la 0u#a2. La $a so*o#"a una ca#a concen"#a%a %e 1-- @N a -. m %el a*oo B. En una secc!n "#ans$e#sal u&ca%a a -.: m %el a*oo 'Fue#%o( %e"e#mne los esue#'os *#nc*ales

σ 1



σ 2

el esue#'o co#"an"e m9,mo τ max en ca%a una %e las u&cacones suen"es= /a2 en la *a#"e su*e#o# %e la $a( /&2 en la *a#"e su*e#o# %el alma  /c2 en el e+e neu"#o.

?7--  ;1.:

1-- @N

A

B -.: m

-.R m

-.R m

& 7.5 m

SOLUCION=



"

W  200 x 41.7

A

)1 )

6

 I =40.8 x 10 mm

4

B

b =166 mm

t 0 =7.24 mm

'

t f =11.8 mm  =205 mm

C t f 

t 0

1=181.4 mm

(

 :< =100 kN 

0.7 + 0.9 2

)=

64 kN 

 : A =100 kN − : < =36 kN 

&* &L 0*'$ 1 )  M = : A ( 0.7 m )= 25.2 k N . m 8 = : A =36 kN 

a2 EN LA PARTE SUPERIOR DE LA IHA /A2  

− M  σ  x =

 I 

2

=−63.309 MPa

σ  & =0 , τ  x& =0

 '&*+($* &* 0*" 1(!&CC($* )

σ 1= σ  & , σ 2=σ  x , τ max =

σ  x 2

σ 1= 0 , σ 2=−63.3 MPa τ max =31.7 MPa

&2 EN LA PARTE SUPERIOR DEL ALMA − M  σ  x =

1 2

=−56.021 MPa

 I 

σ  & =0

9 =b

τ  x& =

( )( ) − 1

 + 1

2

4

−89  I t 0

σ  x −σ  & 2

σ 1=

+ √ ¿

¿2 + τ  x&2

¿ ¿ σ  x + σ  &

σ  x − σ  & 2

¿2+ τ  x&2

2

2

σ 2=

=−23.061 MPa

¿ ¿ σ  x + σ  &

σ  x −σ  &

2

=1.892 x 10 5 mm 3

−√ ¿

¿2 + τ  x&2

¿ ¿ τ max =√ ¿

c2 EN EL EJE NEUTRO. σ  x =0 , σ  & =0 9 =b τ  x& =

( )( ) 



2

4

−89  It 

− ( b−t )

( )( )= 1

1

2

4

5

3

2.19 x 10 mm

=−26.69 MPa

ara) σ 1=|τ  x&|=26.7 MPa σ 2=−σ 1=−26.7 MPa τ max = τ  x& =−26.7 MPa

.4.4 Una $a ? 17 , 1; %e *a">n anc)o /consul"e la "a&la El/a2( a*én%ce E2 es"9 sm*lemen"e a*oa%a  "ene un cla#o %e 17- >n /consul"e la 0u#a2. La $a so*o#"a %os ca#as concen"#a%as %e mane#a smé"#ca *e#o con sen"%os o*ues"os %e :.5 @ ca%a una. En una secc!n "#ans$e#sal u&ca%a a 7- n %es%e el a*oo %e#ec)o( %e"e#mne los esue#'os *#nc*ales 

σ 2

el esue#'o co#"an"e m9,mo

τ max

σ 1

en ca%a una

%e las suen"es u&cacones= /a2 en la *a#"e su*e#o# %e la $a( /&2 en la *a#"e su*e#o# %el alma  /c2 en el e+e neu"#o. :.5 @

?17 , 1;

;- n

:.5 @  

;- n 7- n 7- n

17- n SOLUCION=

&

W  200  x 41.7

A

4

 I =88.6 ¿

"

B

b =3.970 ∈¿

)1 )

t 0 =0.200 ∈¿ t f = 0.225 ∈¿  =11.91∈¿

1=11.46 ∈¿

'

C t f 

t 0

(

 :< =7.5 k 

80 −40 120

)=

2.5 k ( arriba)

 : A =− : <=−2.5 k ( aciaabaEo )

&* L" +&CC($* C=C 20 ∈¿

¿  M = : < ¿ 8 =− :< =−2.5 k 

a2 EN LA PARTE SUPERIOR DE LA IHA /A2  

− M  σ  x =

2

 I 

=−3.361 x 103 psi

σ  & =0 , τ  x& =0

 '&*+($* &* 0*" 1(!&CC($* )

σ 1= σ  & , σ 2=σ  x , τ max =

σ 1= 0 , σ 2=−3361 psi τ max =1680 psi

&2 EN LA PARTE SUPERIOR DEL ALMA − M  σ  x = σ  & =0

 I 

1 2

=−3.234 x 103 psi

σ  x 2

9 =b

τ  x& =

( )( )= − 1

 + 1

2

4

−89  I t 0

σ  x −σ  & 2

σ 1=

¿2+ τ  x&2

2

2

σ 2=

=736.289 psi

¿ ¿ σ  x + σ  &

σ  x −σ  &

2

2

+ √ ¿

¿2 + τ  x&2

¿ ¿ σ  x + σ  &

σ  x − σ  &

5.219 ∈3

−√ ¿

¿2 + τ  x&2

¿ ¿ τ max =√ ¿

c2 EN EL EJE NEUTRO. σ  x =0 , σ  & =0 9 =b τ  x& =

( )( ) 



2

4

−89  It 

− ( b−t )

( )( )= 1

1

2

4

=−1200 psi

ara) σ 1=|τ  x&|1200 psi σ 2=−σ 1=−1200 psi

3

8.502 ¿

τ max = τ  x& =1200 psi

.4.;  Una $a en $ola%'o con secc!n "#ans$e#sal T es"9 some"%a a una ue#'a nclna%a con man"u% %e 5 @N /consul"e la 0u#a2. La l>nea %e acc!n %e la ue#'a es"9 nclna%a a un 9nulo %e - con #es*ec"o a la )o#'on"al e n"e#seca la *a#"e su*e#o# %e la $a en la secc!n "#ans$e#sal e,"#ema. La $a "ene una lon"u% %e 7.5 m  la secc!n "#ans$e#sal "ene las %mensones Fue se mues"#an en la 0u#a. σ  σ  De"e#mne los esue#'os *#nc*ales  el 1

esue#'o co#"an"e m9,mo τ max en los *un"os el alma %e la $a ce#ca %el a*oo.

2

A



B

en

6>?

B .5 @N

A

 T  7.5 m

8- mm

8- mm

75 mm

M

C 1- mm 75 mm

SOLUCION=  P=6.5 kN , = 2.5 m , A =2 ( 160 mm ) (25 mm ) 3

2

 A = 8 x 10 mm ,b =160 mm,t =25 mm

L$C"L(#"C($* 1&L C&*'!$(1& C) c 2=

∑ &  A i

i

 A

( 160 mm ) ( 25 mm ) c 2=

(

160 +

)

25 mm + ( 160 mm ) ( 25 mm ) ( 80 mm ) 2

 A

c 2=126.25 mm,c 1=185 mm− c2 =58.75 mm

,$,&*'$ 1& (*&!C(")

3

c1− t ¿ 1

3

1

3

 I F = tc2 + bc 1 − 3

3

7

 I F =2.585 x 10 mm

1 3

( b −t ) ¿

4

C"!@" &A0(%"L&*'& &* &-'!&,$ L(!&)

 P ) =− P cos60 4 =−3.25 kN   P8 = P sin 60 4 ¿ 5.629 kN , M C = P )  c1 =−190.938 N . m

&+/0&!#$+ /(9$ "L /(*"L 1& L" %(@" )  N 0= P ) =−3.25 kN  8 = P8 =5.629 kN  4

 M =− M C − P8  =−1.388 x 10  N . m

 '&*+($* &* &L 0*'$ " B"!'& (*/&!($! 1& L" %(@";  N 0  M c 1 σ  x = + =−31.951 MPa  A  I F  σ  & =0 , τ  x& =0

 '&*+($* 0*("-("L)

σ 1= σ  &

3

||

σ 2= σ  x , τ max =

σ  x 2

σ 1= 0 , σ 2=−32 MPa , τ max =15.98 MPa

 '&*+($* &* &L 0*'$  B"!'& +0&!($! 1& L" %(@";

 N 0  M ( c 1−t ) σ  x = − = 17.715 MPa  A  I F 

σ  & =0

( ) t 

9=bt  c 1−

τ  x& =

−89  I F t 

σ  x −σ  & 2

σ 1=

+ √ ¿

¿2 + τ  x&2

¿ ¿ σ  x + σ  &

σ  x − σ  & 2

¿2+ τ  x&2

2

2

σ 2=

=−1.611 MPa

¿ ¿ σ  x + σ  &

σ  x − σ  &

2

=1.85 x 105 mm3

2

−√ ¿

¿2 + τ  x&2

¿ ¿ τ max =√ ¿

.4.5 Una $a sm*le con secc!n "#ans$e#sal #ec"anula# "ene un cla#o L 3 7 n  so*o#"a un

momen"o concen"#a%o M 3 5- @n a la m"a% %el cla#o /consul"e la 0u#a2. La al"u#a %e la $a es  h 3  n  el anc)o es b = 7.5 n. T#ace #90cas %e los esue#'os *#nc*ales σ   σ  el 1

2

esue#'o co#"an"e m9,mo τ max  mos"#an%o c!mo $a#>an so&#e la al"u#a %e la $a en la secc!n "#ans$e#sal mn( Fue se encuen"#a a 7; n %es%e el a*oo 'Fue#%o.

SOLUCION=  M =560 k . ∈ , ; = 62 ∈ , c =24 ∈ , b =2.5 ∈ , =6 ∈¿

 I =

b

3

12

=45 ¿ 4

 M   : A =  = 9.032 k ( acia arriba )  ;  : A =− : <=−9.032 k ( aciaabaEo )

&* L" +&CC(* ,=*)  M = : A c =216.774 k . ∈¿ 8 = : A =9.032 k  σ  x ( & )=

− M&  I 

9 ( & )=b τ  x& ( & )=

, σ  & =0

( )( )( + )  2

− &

89 ( & )  Ib

1 2

 2

 &

 '&*+(* !(*C("L) σ  x ( & ) 2

¿2+ τ  x&( & )2 ¿

σ 1 ( & )=

σ  x ( & ) 2

2

2

+ √ ¿

¿ 2+ τ  x& ( & )2 ¿

σ 2 ( & )=

σ  x ( & )

σ  x ( & )

σ  x ( & ) 2

−√ ¿

¿2 + τ  x& ( & )2

¿ τ max ( & )= √ ¿

3 ∈¿

¿

σ 1 ¿ 3 ∈¿

¿

σ 2 ¿ 3 ∈¿

¿

τ max ¿ σ 1 ( 0 )= 903 psi , σ 2 ( 0 )=−903 ps τ max ( 0 )=903 psi

−3 ∈¿ ¿ σ 1 ¿ −3 ∈¿ ¿ σ 2 ¿

−3 ∈¿ ¿ τ max ¿

.4. Resuel$a el *#o&lema an"e#o# *a#a una secc!n "#ans$e#sal mn u&ca%a a -.18 m %es%e el a*oo s L3-.:5 m ( M 3 5 dN.m ( )3 17- mm  &37- mm . SOLUCION=  M =65 kN .m ,; = 0.75 m, c = 0.18 m , b= 20 mm, =120 mm

 I =

b

3

12

=2.88 x 106 mm4

 M   : A =  = 86.667 kN ( aciaarriba )    : A =− : <=−86.667 kN ( acia abaEo)

&* L" +&CC(* ,=*)  M = : A c =15.6 kN . m 8 = : A =86.667 kN  σ  x ( & )=

− M&

9 ( & )=b

 I 

, σ  & =0

( − )( )( + )  2

 &

1 2

 2

 &

τ  x& ( & )=

89 ( & )  Ib

 '&*+(* !(*C("L) σ  x ( & ) 2

¿2+ τ  x&( & )2 ¿

σ 1 ( & )=

σ  x ( & ) 2

2

2

+ √ ¿

¿ 2+ τ  x& ( & )2 ¿

σ 2 ( & )=

σ  x ( & )

σ  x ( & )

σ  x ( & ) 2

−√ ¿

¿2 + τ  x& ( & )2 ¿

τ max ( & )= √ ¿ σ 1 ( 60 mm )=0 MPa σ 2 ( 60 mm )=−325 MPa τ max ( 60 mm )=162.5 MPa σ 1 ( 0 )=54.2 MPa , σ 2 ( 0 )=−54.2 MPa τ max ( 0 )=54.2 MPa σ 1 (−60 mm )=325 MPa